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FISICA APPLICATA 2
FENOMENI ONDULATORI - 1
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Il pdf di questa lezione (onde1.pdf) e scaricabile dal sito
http://www.ge.infn.it/∼calvini/tsrm/
10/10/2017
FENOMENI ONDULATORI
Una classe di fenomeni fisici estremamente importanti e
caratterizzata dalla propagazione ondulatoria di una gran-
dezza fisica. Tra gli esempi piu semplici da presentare ab-
biamo le onde elastiche in una corda tesa (o in una sbarra
rigida) e le onde di compressione e rarefazione che costitui-
scono il suono.
In generale si definisce onda una qualsiasi perturbazione,
impulsiva o periodica, che si propaga in un mezzo con una
velocita ben definita.
L’onda ha origine da una sorgente, trasporta energia e puo
essere rilevata da un sensore.
2
Esistono grandezze fisiche scalari e grandezze fisiche di tipo
vettoriale. In corrispondenza esistono onde scalari, quando
la grandezza fisica interessata dal fenomeno ondulatorio e
scalare e onde vettoriali, quando e in gioco una grandezza
vettoriale.
Per semplicita si presenteranno esempi di onde scalari, senza
con questo perdere in generalita, poiche un vettore e as-
segnato mediante la sue componenti [V = (Vx, Vy, Vz)] e,
quindi, quanto si dira per un’onda scalare risultera pure ap-
plicabile alle singole componenti di un’onda vettoriale.
3
Una grandezza fisica scalare a da origine ad un fenomeno on-
dulatorio (si dice che si propaga come un’onda) quando varia
nello spazio ed evolve nel tempo nella seguente maniera: se
il profilo spaziale per a all’istante t = 0 e dato da
a(x,0) = f(x) , (1)
la sua evoluzione temporale sara data da
a(x, t) = f(x∓ c t) , (2)
dove c e la velocita di propagazione dell’onda. Per semplicita
si e considerata una situazione unidimensionale (1D, spazio
= asse x). Quando nella (2) si usa il segno −, l’onda si
propaga nella direzione positiva dell’asse x mentre con la
scelta del + l’onda viaggia nella direzione negativa.4
In ogni caso, indipendentemente dalla scelta del segno, la
propagazione ondulatoria quale viene assegnata dalla (2) e
caratterizzata dalla traslazione rigida a velocita costante c
del profilo geometrico dato dalla (1).
Risulta facile mostrare questo fatto se si sceglie per a un
andamento di tipo impulsivo, cioe abbastanza localizzato
nello spazio. Si consideri ad esempio la funzione f(x) data
da
f(x) =x
4 + x4[= a(x,0)] , (3)
la quale risulta apprezzabilmente diversa da zero nell’inter-
vallo [−10 ≤ x ≤ 10]. Il suo grafico e mostrato nella slide
successiva.5
La propagazione ondulatoria richiesta dalla (2) e applicata
all’esempio (3) da, se si sceglie il − e si prende c t = 30, la
seguente funzione
f(x− 30) =x− 30
4 + (x− 30)4[= a(x,
30
c)] , (4)
la quale non e altro che la funzione (3) traslata di 30 unita
nella direzione positiva dell’asse x.
Nella slide successiva viene mostrata la sovrapposizione degli
andamenti di a al tempo t = 0 ed al tempo t = 30c . Si puo
pensare a due istantanee di a scattate a istanti diversi (punto
di vista del fotografo).
7
PRINCIPIO DI SOVRAPPOSIZIONE
Le condizioni affinche per una grandezza fisica a si abbia
propagazione ondulatoria non fissano l’espressione per il pro-
filo spaziale f(x) della (1), ma semplicemente richiedono che
la completa dipendenza spazio-temporale sia data dalla (2),
dove il valore di c dipende dalla natura di a e dall’ambiente
fisico in cui a si propaga.
Pertanto, se a1(x, t) e a2(x, t) rappresentano due onde per a
in quanto obbediscono alla (2), allora anche la loro somma
as(x, t) = a1(x, t) + a2(x, t) (5)
rappresenta un’altra possibile modalita di propagazione on-
dulatoria per la grandezza fisica in gioco.
9
ONDE SINUSOIDALI O ARMONICHE
Di fronte a questa indeterminatezza, che permette infinite
possibilita, risulta utile introdurre una classe di funzioni in
grado di descrivere tutti i possibili profili. Allo scopo ven-
gono introdotte le cosiddette onde sinusoidali dette anche
onde armoniche (o anche monocromatiche).
Un’onda sinusoidale propagantesi nel verso positivo dell’asse
x e data da
a(x, t) = a◦ cos[2π
λ(x− c t) + φ
](6)
dove a◦ e l’ampiezza dell’onda, λ rappresenta una lunghezza
caratteristica dell’onda armonica, detta lunghezza d’onda, e
infine φ indica la fase addizionale.
10
L’argomento della funzione coseno (ossia la quantita tra le
parentesi quadre) rappresenta la fase totale (o complessiva).
La velocita di propagazione c e anche detta velocita di fase.
Possiamo effettuare un semplice studio delle proprieta della
funzione (6), che dipende dalla due variabili x e t, esaminan-
done la dipendenza dallo spazio x a t fisso (punto di vista
del fotografo) e, poi, esaminandone l’andamento temporale
a x fisso (punto di vista del naufrago).
11
Quindi studiamo l’andamento spaziale dell’onda armonica
ad un istante fissato. E il punto di vista del fotografo. Non
si perde in generalita ponendo t = 0. Dalla (6) si ottiene
una funzione della sola x, che possiamo scrivere come
a(x,0) = a◦ cos(
2πx
λ+ φ
). (7)
In base alle proprieta del coseno, le variazioni della grandezza
a sono comprese tra −a◦ e +a◦, l’andamento spaziale di a
e periodico e la minima distanza che separa profili identici
e la lunghezza d’onda λ. Pertanto λ specifica la periodicita
spaziale dell’onda. Il grafico generato dalla (6) risulta in-
variante per traslazioni avanti o indietro dell’asse x (o lungo
l’asse x) di un numero intero di lunghezze d’onda.12
Invece il punto di vista del naufrago corrisponde a studiare
al passare del tempo il comportamento dell’onda armonica
in un punto fisso dello spazio. Non si perde in generalita
ponendo x = 0. Utilizzando la parita della funzione coseno
[cos(−α) = cos(α)] si ottiene
a(0, t) = a◦ cos(2πc t
λ− φ) , (8)
per mezzo della quale si puo definire una grandezza T avente
le dimensioni di un tempo ([T ] = s) come
T =λ
c. (9)
Questa grandezza si chiama periodo dell’onda, puo essere
interpretata in base alla (9) come il tempo che l’onda sinu-
soidale impiega a spostarsi di una lunghezza d’onda.14
Grazie alla definizione (9), la (8) puo essere riscritta come
a(0, t) = a◦ cos(2πt
T− φ) , (10)
indicando per a una variazione temporale di tipo armonico
dove T corrisponde al tempo necessario affinche si svolga
un intero ciclo di oscillazione. La variazione temporale di a
e pertanto periodica di periodo T .
A questo proposito risulta utile ricordare che in cinematica
si definisce moto armonico il moto della proiezione su un
diametro di un punto che percorre una circonferenza di moto
circolare uniforme.
15
Vi sono due grandezze collegate al periodo T : la frequenza
ν e la pulsazione ω. La frequenza ν indica il numero di
cicli che hanno luogo in un secondo ed e data da ν = 1/T .
[ν] = s−1 = Hz dove Hz e l’abbreviazione di Hertz. La
pulsazione ω e data da ω = 2 π ν = 2 π/T .
La relazione (9) usata per introdurre il periodo e di fon-
damentale importanza in tutti i tipi di onde e viene scritta
anche come
λ = c T =c
ν(11)
oppure come
c = λ ν . (12)
16
LE ONDE NELLO SPAZIO
Finora si e considerata la situazione 1D di un’onda viag-
giante lungo l’asse x. In realta le onde si propagano nello
spazio tridimensionale e questo fatto permette l’introduzio-
ne di altre definizioni.
Si definisce fronte d’onda il luogo dei punti dello spazio in
cui l’onda ad un assegnato istante ha un determinato valo-
re della fase (totale). Al variare dei valori della fase si ha
una classe di superfici nello spazio, le quali viaggiano con la
velocita di fase c.
Definendo i raggi come le linee perpendicolari ai fronti d’on-
da si stabilisce un collegamento con l’ottica geometrica. I
raggi, punto per punto, danno la direzione di propagazione
dell’onda e, quindi, la direzione del vettore c.19
Nel caso di onde propagantisi nello spazio esistono due si-
tuazioni abbastanza semplici: quella delle onde piane, carat-
terizzate da fronti d’onda piani e quella delle onde sferiche,
caratterizzate da fronti d’onda che sono superfici sferiche di
raggio progressivamente crescente.
Nel caso delle onde piane i raggi risulteranno paralleli, men-
tre nel caso delle onde sferiche i raggi risulteranno divergenti
da un centro, dove presumibilmente si trova localizzata la
sorgente dell’onda.
20
INTENSITA DELL’ONDA
Tutte le onde trasportano energia dalla sorgente verso l’e-
sterno. Si definisce intensita I di un’onda l’energia traspor-
tata dall’onda nell’unita di tempo attraverso una superficie
unitaria disposta perpendicolarmente al verso di propaga-
zione. I ha le dimensioni di potenza su superficie (ossia
[I] = W ·m−2) ed e proporzionale al quadrato dell’ampiezza.
Vale cioe
I ∝ a2◦ . (13)
Nel caso dei fronti d’onda piani (e anche quando si puo
trascurare la divergenza dei raggi) l’intensita I resta costante
poiche la stessa potenza attraversa sezioni sempre uguali.
Questo vale se i fenomeni dissipativi sono trascurabili.21
LEGGE 1/r2 PER L’INTENSITA
Invece, nel caso delle onde sferiche la potenza della sor-
gente nel suo allontanamento dal centro attraversa superfici
sferiche di area via via crescente. Sempre sotto l’ipotesi
che i fenomeni dissipativi siano trascurabili, l’intensita I(r)
dell’onda puo essere calcolata in base alla sua definizione
come
I(r) =Power
4 π r2, (14)
dove con Power si indica la potenza emessa dalla sorgente
(... localizzata).
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