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Física 1 – Capítulo 7
Conservação de Energia
http://fisica.ufjf.br/~sjfsato/fisica1
Trabalho (W) e aVariação da Energia Cinética
W=∫1
2F⋅d s=K=K f−K i=
mv f2
2 −mvi
2
2
Força Conservativa
Quando uma força é conservativa?
Uma força é conservativa quando o trabalho por ela realizado sobre uma partícula em uma trajetória fechada é nula.
Outro detalhe é que o trabalho realizado sobre uma partícula de um ponto ao outro independe da trajetória.
Trabalho (W) e a Energia Potencial
Para descrever os movimentos, baseando-nos em conceitos de energia, precisamos definir mais um tipo de... … grandeza escalar associada a um estado de um ou mais corpos.
A energia potencial (U) é a energia que pode ser associada com a configuração (ou arranjo de um sistema de objetos, que exercem forças uns sobre os outros. Se a configuração muda, a energia potencial também pode mudar
Relação entre energia potencial e trabalho:
U=−W
Energia Potencial
Variação de Energia Potencial (movimento unidimensional)
x0 define uma configuração de referência e x uma
configuração geral.A energia potencia para uma dada configuração x:
U=−W=−∫x0
xF xdx
U x =U x0U=U x0−∫x0
xF xdx
Energia Potencial
Do ponto de vista físico, apenas as variações de energia potencial são relevantes. Pode-se sempre atribuir o valor zero à configuração de referência:
Dos casos clássicos, podemos aplicar esse conceito a alguns tipos de força:- Força Elástica;- Força Gravitacional (próximo da superfície da terrestre).
U x0=0
Energia Potencial Elástica
U x =−F⋅d s
U x =−F x dx
U x =∫0
x−−kx dx
U x =U x0kx2
2U x =kx2
2
Energia Potencial Gravitacional
U y =−F⋅d s
U y =−F y dy
U y =∫0
y−−mg dy
U y =U y0mgy
U y =mgy
Potência
P ot=dWdt =
F⋅d rdt =F d r
dt =F⋅v
P ot=Wt
Potência Instantânea:
Potência Média:
Lembrando que a unidade da potência é o Watt.
EquilíbrioDentro do tema que estamos apreciando um ponto de
equilíbrio é o ponto cuja a força é zero, ou seja, a derivada da energia potencial com relação à posição é nula.
Os pontos de equilíbrio podem ser separados em equilíbrio estáveis e instáveis.
U x vs x
F x =−U xdx
F x vs x
Conservação da Energia Mecânica
W= KW=−U
K=−USe estivermos nos referindo à forças conservativas (forças para as quais a energia mecânica de um sistema é conservada), teremos:
KU=0, K fU f=K iU i
Emec , final=Emec , inicial
Lei da Conservação da Energia Mecânica
Observa-se que o aumento ou a diminuição da energia total de um sistema pode ser sempre igualada ao desaparecimento ou aparecimento de energia em uma outra parte do universo.
A energia total do sistema é constante. A energia pode ser convertida de uma forma em outra, pode ser transmitida de uma região para outra, mas não se pode criá-la ou destruí-la.
Teorema da Conservação do Trabalho-Energia:
Eentra no sistema−E sai no sistema=E sistema
E sistema=EmecânicaE térmicaEquímicaE outros
W ext=E sistema
Exemplo 7-2: Um pêndulo consiste em uma massa m ligada a uma haste de comprimento L. A massa é deslocada lateralmente, de modo que a haste faz um ângulo θ
0, com a vertical e é então
abandonada. Calcule a expressão para (a) a velocidade e (b) a tração na haste quando a massa passa pela base do arco. Considere a resistência do ar desprezível.
Emec , final=Emec , inicial
mv f2
2 mgy f=mvi
2
2 mgyi
mv base2
2 0=0mgh , h=L1−cos0
vbase=2gL 1−cos0
T−mg=ma y , Lembrando que ac=v2
r
T=mgma y=m ga y , a y=2gL 1−cos0
LT=mg 3−2cos0
Exemplo 7-3: Um bloco de 2kg em uma superfície horizontal sem atrito é empurrado contra uma mole que tem uma constante elástica de 500 N/m, comprimindo a mola por 20 cm. O bloco é então abandonado, e a mola projeto ao longo da superfície e, em seguida, por uma rampa inclinada de 45o sem atrito. Qual é a distância para cima na rampa que o bloco percorrerá antes de momentaneamente atingir o repouso?
Emec , final=Emec , inicial
Emec , inicial=mvi
2
2 kxi
2
2 = kx2
2
Emec , final=mv f
2
2 mgy f=mgh
kx 2
2 =mghh= kx 2
2mg
h=s sen s= hsen45o s=0,72 m
Exemplo 7-4: Uma mola, cuja constante elástica é k, está pendurada verticalmente. Um bloco de massa m está ligado a esta mola na posição indeformada e cai a partir do repouso. Calcule uma expressão para a distância máxima de queda do bloco antes de se iniciar seu movimento de subida.
Emec , final=Emec , inicial
mgy fky f
2
2mv f
2
2=mgyi
ky i2
2mv i
2
2
mg −d k −d 2
20=000
kd 2
2−mgd=0 kd2 −mgd=0
d=0 kd−mg=0 d=2mgk
ou
Adicional: Uma partícula move-se ao longo da direção x sob o efeito de uma força F(x)
= −kx +Kx2, onde k = 200 N/m e K = 300 N/m2.(a) Calcule a energia potencial U(x) da partícula, tomando U(0) = 0, e faça um
gráfico de U(x) para -0,5 m < x < 1 m. (b) Ache as posições de equilíbrio da partícula e discuta sua estabilidade.(c) Para que o domínio de valores de x e da energia total E a partícula pode ter um
movimento oscilatório?(d) Discuta qualitativamente a natureza do movimento da partícula nas demais
regiões do eixo dos x.
Dado :∫0
xyndy= xn1
n1
Sabemos que : F x=−dUdx
U=−∫0
x −kx 'Kx ' 2dx '
U x −U 0= k2x2−
K3x3 U x = k
2x2−
K3x3
As posições de equilíbrio correspondem : dUdx
=0
kx−Kx2=0 cuja solução será : x= kK=
23m , e x=0
Como podemos observar x=2/3 e x=0 são pontos de equilíbrio. x=0 corresponde a
um equilíbrio estável e x=2/3 corresponde a um equilíbrio instável.
U x = k2x2−
K3x3
c) A partícula pode ter um movimento oscilatório para valores x tais que x < (2/3) m e energias menores que U(2/3) = 14,8 J.
d) Na região negativa do eixo x e energias superiores a 14,8 J a partícula sente uma forçaa atrativa que a acelera na direção da origem. Depois de passar pela origem a sua velocidade diminui mas a sua enrgia cinética é suficiente para escapar do campo de potencial. Para valores de x positivos e maiores do que x = (2/3) m a partícula experimenta uma forçaa repulsiva que a afasta da origem.
Exemplo 7-8: Uma caixa de 4 kg é empurrada a partir do repouso, sobre uma mesa horizontal, por uma distância de 3 m com uma força horizontal de 25 N. O coeficiente de atrito dinâmico entre a caixa e a mesa é de 0,35. Calcule (a) o trabalho externo realizado pelo sistema bloco-mesa, (b) a energia dissipada pelo atrito, (c) a energia cinética final na caixa e (d) a velocidade da caixa
∑W ext=W força nobloco
W força nobloco=F emp x=25N3m=75 J
Edissipada= f at x=d F N x=dmg x
Edissipada=0,354kg 9,8N /kg 3m =41,2 J
Energia dissipativa
W ext=EmecânicaEdissipada
W ext=K f Edissipada
K f=W ext−Edissipada=75,0−41,2=33,8 J
K f=mv f
2
2 v f = 2K f
m= 233,8 J
4kg=4,11m /s
W ext=E sistema Pelo teorema da conservação do trabalho-energia
Exemplo 7-10: Uma criança com massa de 40 kg desce de um escorregador inclinado com 30o com a horizontal em um trecho de 8,0 m de comprimento. O coeficiente de atrito dinâmico entre a criança e o brinquedo é de 0,35. Se a criança parte do repouso no topo do escorregador, qual é a sua velocidade quando atinge a base?
Edissipada= f atrito=cF Normal=cmgcos Energia dissipativa
W ext=EmecânicaEdissipada=0
W ext=E sistema Pelo teorema da conservação do trabalho-energia
Não temos foras atuando no sistema
U=mgh
K=K f=mv f
2
2
Energia mecânica → Energia Potencial
Energia mecânica → Energia Cinética
0=−mghmv f
2
2d mgcos s
0=−mg sen smv f
2
2d mgcos s
h=sen s , F normal=mgcos
v f2 =2gs sen −d cos=29,88 sen30−0,35cos30
v f =5,60m / s
Adicional: No sistema da figura, onde as polias e os fios têm massa desprezível, m
1 = 1 kg e m
2 = 2 kg. (a) O
sistema é solto com velocidade inicial nula quando as distâncias ao teto são l
1 e l
2. Usando conservação de
energia, calcule as velocidades de m1 e m
2 depois que m
2
desceu uma distância x2. (b) Calcule a partir daí as
acelerações a1
e a2
das duas massas. (c) Verifique os resultados usando as leis de Newton.
m1=1kg , x1=− x2
2
m2=2kg , v1=−v2
2
v1i=v2i=0, a1=− a2
2
v1f≡v1 , v2f≡v2
Pela conservação de energia
E i=E f U iK i=U fK f
A energia potencial gravitacional pode ser calculada a partir da seguinte expressão geral:
U=U x −U 0=−∫0
x F x ' ⋅d x '=−∫0
xmgdx '
U=−mg∫0
xdx '=mg [ x ' ]0
x=−mgx
Que aplicada ao sistema sob consideração, fornece o seguinte resultado para as energias totais inicial e final:
E i=U 1iU 2112m1 v1i
2 12m2 v2i
2
Onde usamos o fato de que v1i = v
2i = 0 e,
E i=−m1gl 1−m2gl 2=−g m1 l 1m2l 2
E f =U 1fU 2f12m1 v1
212m2 v2
2
E f =−m1gl 1−12x2−m2 gl 2
12x21
2m1 v1
212m2 −2v1
2
E f =−m1gl 112m1 gx2−m2 gl 2−m2gx 2
12m1 v1
22m2 v12
E f =−g m1l 1m2l 2 gx212m1−m2v1
212m1−2m2
Igualando as expressões da energia inicial e final, temos:
E i=E f
−g m1 l 1m2l 2 =−g m1 l1m2 l 2gx212m1−m2v1
2 12m1−2m2
v12=
−gx212m1−m2
12m1−2m 2
=−gx2 1
21−2
12
1−22=−gx2−3
2 9
2v1=± gx2
3Neste caso, de acordo com a converção adotada, o sinal negativo corresponde à
situação física correta.Agora, usando o fato de que:
v1=−12v2 , com isso temos : v2=±2 gx2
3Sendo que, neste caso, o sinal positivo corresponde à solução fisicamente correta.
No item b. como as forças que atuam sobre m1 e m
2 são constantes, temos que as
acelerações a1 e a
2 também são constantes. Então:
v12=v1i
2 −2a1x1
2 a1=−
v12
x2 a1=−
g3
No item c, considerando os diagramas de corpo livre para cada um dos corpos, temos que:
Na polia 1 : ∑ F x=0 T 1−2T2=0 T 1=2T2
Substituindo a equação da polia 1 na massa m1 e utilizado o fato de que a
2 = -2 a
1,
temos que :
v22=v2i
2 −2a2 x2 a2=v2
2
2x2 a2=
g3
m1 : ∑ F x=m1a1 P1−T 1=−m1a1 m1 g−T 1=−m1a1
m2 : ∑ F x=m2a2 P2−T 2=m2a2 m2g−T 2=m2a2
m1 g−2T2=−m1a1
Combinando as duas expressões acima teremos:
m2 g−T 2=−2 m2a1 2 2m2 g−2T2=−4m2a1
a1=−g m1−2m 2−m14m2
Substituindo as massas:
a1=−g3, e a2=
2g3
Como queríamos demonstrar (cqd) !