Captulo 24

70 Teora cintica de los gases Captulo 3. Teora cintica de los gases 71

RESUMEN

Las leyes de Newton aplicadas en forma estadstica a una coleccin de partculas proporcionan una descripcin razonable de los procesos termodinmicos. En este enfoque, llamado teora cintica, las molculas del gas se mueven en todas las direcciones de manera aleatoria, chocando contra las paredes del envase y entre s. La importancia de esta teora es que proporciona las bases fsicas con las cuales de puede entender el concepto de temperatura. Nuestra descripcin terica la restringiremos a gases monoatmicos (un solo tomo) donde toda la energa es cintica de traslacin, no se consideran rotaciones ni vibraciones.En un modelo microscpico de un gas ideal, se considera que la presin que ejerce un gas en las paredes de un envase que lo contiene es por efecto de los choques de las molculas con las paredes. En este modelo se hacen las siguientes suposiciones:1. El nmero de molculas es grande y la separacin media entre ellas es grande comparada con sus dimensiones. Por lo tanto ocupan un volumen despreciable en comparacin con el volumen del envase y se consideran masas puntuales.2. Las molculas obedecen las leyes de Newton, pero individualmente se mueven en forma aleatoria, con diferentes velocidades cada una, pero con una velocidad promedio que no cambia con el tiempo.3. Las molculas realizan choques elsticos entre s, por lo tanto se conserva tanto el momento lineal como la energa cintica de las molculas.4. Las fuerzas entre molculas son despreciables, excepto durante el choque. Se considera que las fuerzas elctricas o nucleares entre las molculas son de corto alcance, por lo tanto solo se consideran las fuerzas impulsivas que surgen durante el choque.5. El gas es considerado puro, es decir todas las molculas son idnticas.6. El gas se encuentra en equilibrio trmico con las paredes del envase.La presin de N molculas de un gas ideal contenido en un volumen V es

La energa cintica promedio por molcula de un gas, , est relacionada a la temperatura T del gas a travs de la expresin

donde kB es la constante de Boltzmann. Cada grado de libertad traslacional (x, y o z) tiene de energa asociada a l.El teorema de equiparticin de la energa establece que la energa de un sistema en equilibrio trmico es equitativamente dividida entre todos los gados de libertad.

La energa interna de N molculas (o n moles) de un gas ideal monoatmico es

El cambio en la energa interna para n moles de cualquier gas que se somete a un cambio de temperatura (T es

donde CV es el calor especfico molar a volumen constante.El calor especfico molar de un gas monoatmico ideal a volumen constante es ; el calor especfico molar a presin constante es . La razn de calores especficos es .

Si un gas ideal se somete a una expansin o comprensin adiabtica, la primera ley de la termodinmica junto con la ecuacin de estado muestran que

La ley de distribucin de Boltzmann describe la distribucin de partculas a lo largo de los estados de energa disponibles. El nmero relativo de partculas que tienen energa entre E y E + dE es , donde

La funcin de distribucin de velocidades de Maxwell Boltzmann describe la distribucin de velocidades de las molculas en el gas:

Las expresiones siguientes nos permiten calcular la velocidad cuadrtica media, la velocidad media y la velocidad ms probable:

PREGUNTAS

3.1. Un recipiente se llena con gas helio y otro con gas argn. Si ambos recipientes se encuentran a la misma temperatura, cules molculas tienen la velocidad rms ms alta?

El helio debe tener la velocidad rms ms grande. De acuerdo a la ecuacin , el gas con masa ms pequea por tomo (Helio 4 g/mol y argn 39 g/mol) debe tener una velocidad rms ms alta.3.2. Sabemos que una piedra caer al suelo si la soltamos. No les imponemos restriccin alguna a las molculas en el aire, y pese a ello no caen al suelo. Por qu?

___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

3.3. Qu prueba existe en favor de la hiptesis de que las molculas de un gas estn en constante movimiento?El hecho de que su presin sea independiente de que el gas est libre o encerrado dentro de un recipiente. En efecto, en este segundo caso slo puede interpretarse por los impulsos que reciben sus paredes, debidos a la agitacin de las molculas del gas y no por el peso de la columna de gas exterior situada encima.3.4. Qu evidencia se puede dar en favor de la teora molecular de la materia?___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________3.5. Por qu en la teora cintica se utiliza la velocidad cuadrtica y no la velocidad media?

Por la sencilla razn de que la velocidad media es nula, ya que siendo la velocidad una magnitud vectorial, para cualquier recta del espacio hay el mismo nmero de molculas que se mueven en cada uno de sus sentidos. Por el contrario, la velocidad cuadrtica media, tiene siempre significado, ya que los cuadrados de las velocidades individuales de las molculas son siempre positivos, lo que permite hablar de un valor medio.

3.6. Por qu la atmsfera de la Tierra no se extingue por filtracin? En la parte superior de ella los tomos a veces se desplazan con una velocidad mayor que la de escape. No es slo cuestin de tiempo?____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

3.7. Un gas se compone de una mezcla de molculas de He y N2. Las molculas ms ligeras de He viajan ms rpido que las molculas de N2? Explique.

Cuando se mezclan las molculas, en promedio alcanzan la misma energa cintica traslacional, y como las de Helio tienen menor masa molar (4 g/mol) que las de Nitrgeno (14 g/mol), adquirirn mayor velocidad.

3.8. Titn, una de las muchas lunas de Saturno, tiene atmsfera, pero nuestra Luna no. A qu se debe?

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

3.9. Aunque la velocidad promedio de las molculas de gas en equilibrio trmico a cierta temperatura es mayor que cero, la velocidad promedio es cero. Explique.

Si la velocidad promedio fuera distinta de cero entonces el gas se estara moviendo hacia el lugar donde se tiene la velocidad promedio resultante. Y eso es claramente falso, el gas encerrado en un recipiente puede estar perfectamente en reposo y no por ello las velocidades promedios de cada molcula que lo componen tiene velocidad cero, la suma total de ellas es cero.

3.10. Obedecer la ley del gas ideal un gas cuyas molculas sean verdaderos puntos geomtricos?

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

3.11. Cul es la razn de que un ventilador haga que usted sienta ms fresco en un da caluroso?

Si en un ambiente no hay corriente de aire, es decir el aire est "estancado" entonces las molculas de aire que estn en contacto con nuestra piel alcanzan el equilibrio trmico con nuestra piel y as la piel nuestra disminuye la tasa de transferencia de energa trmica hacia ellas. Pero si hay corriente de aire, provocada por el ventilador, las molculas de aire alrededor de nuestra piel estn en movimiento y en constante renovacin, de esta forma permanentemente tenemos que ir desprendindonos de energa trmica para transferrsela a las molculas que estn de turno a nuestro alrededor, como esto no termina mientras exista corriente de aire, entonces sentiremos frescor e incluso puede ser hasta una sensacin de fro. Hay que considerar que la sensacin de fro, frescor en este caso, se tiene cuando nos desprendemos de ms energa trmica que lo normal. Esto tambin ocurre cuando la temperatura exterior es mayor que la de nuestra piel, a mayor diferencia de temperatura ms energa transferimos al ambiente y, con ello, ms "fro" sentimos.

3.12. Por qu las molculas no siguen lneas perfectamente rectas entre las colisiones y qu efecto, fcilmente observable en el laboratorio, ocurre por ello?

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

3.13. La ingestin de alcohol hace que quien lo bebe se sienta ms acalorado. Pero cuando el alcohol se fricciona en el cuerpo, disminuye la temperatura de este. Explique este ltimo fenmeno.

Lo que ocurre con el alcohol es que es una sustancia muy voltil, se evapora con enorme facilidad, debido a que su punto de evaporacin es bajo. Ahora bien, en el proceso de evaporacin la sustancia toma de su entorno la energa necesaria para ese proceso, y como ya sabemos el proceso de evaporacin de una sustancia es el que mayor energa trmica consume si se le compara con otros procesos, por lo tanto cuando friccionamos alcohol en nuestra piel la tasa de transferencia de energa trmica de nuestra piel al alcohol (para que se evapore) aumenta y con ello nuestra sensacin trmica disminuye notablemente. Es una excelente alternativa para bajar la temperatura de una persona con fiebre.

3.14. Demuestre que, al aumentar el volumen por mol, la ecuacin de Van der Waals tiende a la ecuacin de estado de un gas ideal.

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

3.15. Un lquido llena parcialmente un recipiente. Explique por qu la temperatura del lquido disminuye cuando el recipiente se vaca parcialmente.

Vaciar lquido de un recipiente es como aumentar el volumen de gas que rodea al lquido, entonces el gas hace trabajo sobre el entorno, con ello disminuye su presin y tambin su temperatura, ah el lquido interacta trmicamente con el gas que lo rodea, y como la diferencia de temperatura entre el lquido y el gas aument con respecto a la situacin antes de vaciar parte del lquido, entonces el lquido se desprende de mayor energa trmica para lograr el equilibrio trmico con el gas que lo rodea, por ello es que el lquido que queda disminuye su temperatura.

3.16. Considere el caso en que la trayectoria libre media es mayor que la lnea recta ms larga de un contenedor. Es un vaco perfecto para la molcula en el contenedor?____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

3.17. Un recipiente que contiene un volumen fijo de un gas se enfra. La trayectoria libre media de las molculas de gas aumenta, disminuye o permanece constante en el proceso de enfriamiento? Qu sucede con la frecuencia de choque?

Si la cantidad de gas en el recipiente es constante entonces su densidad no vara, con ello la distancia promedio, trayectoria libre media, no se modifica. En cambio la frecuencia de choque s disminuye debido a que al disminuir la temperatura del gas la velocidad promedio de las molculas disminuye. Recordemos que la trayectoria libre media depende del nmero de moles por unidad de volumen (densidad) y la frecuencia de choque depende directamente de la velocidad promedio de las molculas.

3.18. Ofrezca una explicacin cualitativa sobre la conexin entre la trayectoria libre media en el aire y el tiempo que tardamos en oler el amonaco cuando se abre una botella en el otro lado de una habitacin.

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

3.19. Un gas se comprime a temperatura constante. Qu sucede con la trayectoria libre media de las molculas en este proceso?

Si la densidad del gas aumenta, eso se consigue al comprimirlo, la trayectoria libre media de las molculas disminuye. Las molculas estn "ms juntas".

3.20. En qu sentido es la trayectoria libre media una propiedad macroscpica de un gas y no una propiedad microscpica?

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

3.21. Si un globo lleno de helio al principio a temperatura ambiente se pone en una congeladora, su temperatura aumenta, disminuye o permanece constante?

En la congeladora la funcin del "enfriador" (extractor de aire, en forma simple) lo que hace es "sacar" aire de dentro del recipiente, con ello es vlido pensar que el aire est aumentando de volumen. La presin del aire al interior del congelador disminuye en este proceso, entonces el gas (aire) hace trabajo sobre el sistema para aumentar el volumen que se mencion, entonces la temperatura del gas disminuye. El globo lleno de helio al entrar al congelador se expone a lo siguiente: como la temperatura al interior del congelador es menor que la del helio, el helio transfiere energa trmica hacia el entorno, entonces su volumen aumenta y su presin disminuye por lo mismo. Antes de entrar el globo al congelador tena una presin interior similar a la presin atmosfrica que es, evidentemente, mayor que la del interior del congelador. Este proceso, de aumento de volumen del globo y disminucin de presin en su interior, durar hasta que la presin de la goma del globo hacia el interior del globo se iguale con la presin del gas al interior del globo. Por lo tanto, el helio al interior del globo primero mantendr la temperatura, mientras se compensa el aumento de volumen con la disminucin de presin, y luego la disminuir cuando la presin y el volumen del globo se estabiliza, entonces la energa trmica de la que sigue desprendindose le disminuir su temperatura.

3.22. Cuando agitamos una lata de nueces mixtas, por qu la ms grande suele terminar arriba en la superficie, a pesar de ser ms densa que las restantes?

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

3.23. Qu le pasa a un globo lleno de helio que se suelta en el aire? Se expandir o contraer? Dejar de ascender a cierta altura?

El aire es ms denso que el helio. Y el conjunto Helio ms goma del globo es menos denso que el aire. Por ello el globo con Helio se elevar.

Al elevarse, para pequeos tramos, la temperatura no vara mucho, pero la presin atmosfrica vara ms rpido, disminuyendo, con la altura. Entonces la presin al interior del globo, que antes de elevarse era similar a la atmosfrica, empuja a la goma del globo y el globo aumenta su volumen. As seguir. Ms arriba disminuir la temperatura pero no alcanza el ritmo de disminucin de la presin. Se puede entender el proceso como isotrmico. Disminuye la presin.... aumenta el volumen.

El proceso de aumento de volumen del globo tiene un lmite. La presin que la goma del globo ejerce sobre el gas en su interior. Entonces si el globo sigue subiendo la presin en su interior vencer la resistencia que ofrece la goma y "reventar". El Helio en contacto con el aire a una presin muy baja hervir casi de inmediato.

3.24. Justifique cualitativamente la afirmacin de que, en una mezcla de molculas de distintos tipos en equilibrio completo, todos ellos tienen la misma distribucin de Maxwell en la rapidez que tendran si no hubiera otros tipos.

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

3.25. Por qu un gas diatmico tiene un contenido de energa mayor por mol que un gas monoatmico a la misma temperatura?

Debido a que tiene mayor nmero de grados de libertad.

3.26. Un gas se compone de N partculas. Explique por qu vrcm ( vpro a pesar de la distribucin de rapideces.

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

3.27. Qu pasa con la ecuacin de Van der Waals cuando el volumen por mol, V, aumenta?

Si el volumen por mol aumenta entonces la diferencia V b tambin aumenta debido a que b es constante pues representa el volumen de las molculas. Asimismo la presin neta que viene dada por P + na/V2, con n y a constantes, entonces la presin neta disminuye en relacin a su estado anterior. Con esto se lograr que durante cierto intervalo, dado por el aumento de volumen, la ecuacin de Van der Waals nos muestre un estado de equilibrio trmico. Esto ocurre con los gases en su comportamiento ms o menos real.

3.28. Qu observacin constituye una prueba fehaciente de que no todas las molculas de un cuerpo se mueven con igual velocidad a una temperatura particular o fija?

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

3.29. Un gas ideal est contenido en un recipiente a 300 K. Si la temperatura se incrementa a 900 K, en qu factor cambia la presin en el recipiente?

Aumenta en un factor 3. El volumen no vara y se cumple P V = n R T.

3.30. Cite ejemplos del movimiento browniano en los fenmenos fsicos.

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

3.31. A temperatura ambiente, la velocidad promedio de una molcula de aire es de varios cientos de metros por segundo. Una molcula que viaje a esta velocidad debe atravesar una habitacin en una fraccin de segundo. En vista de lo anterior, por qu el aroma de un perfume (u otros olores) tarda varios minutos en recorrer una habitacin?

Las molculas, digamos que estn vaporizadas, en realidad no viajan en lnea recta de un lugar a otro, lo que ocurre es que lo que viaja de un lugar a otro es "la interaccin", el efecto de las colisiones entre molculas cercanas. Y considerando que cada una y todas las molculas tienen movimiento aleatorio, es de esperar que el traspaso del aroma de una molcula a otra no es necesariamente un traspaso lineal, por lo tanto el aroma no viaja rpidamente de un lugar a otro, como si lo hace el efecto de las colisiones.

3.32. Del techo se suspende una pelota de golf mediante un hilo largo. Explique con detalle por qu el movimiento browniano no es evidente.

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

3.33. Un recipiente se llena con gas a cierta presin y temperatura de equilibrio. Todas las molculas del gas en el recipiente tienen la misma velocidad?

No, recordemos que cada molcula tiene velocidad aleatoria.

3.34. Sea (n el nmero de molculas por unidad de volumen en un gas. Si definimos (n para un volumen muy pequeo en un gas digamos, uno equivalente a 10 veces el volumen de un tomo-, (n fluctuar con el tiempo en el intervalo de valores cero a algn valor mximo. Cmo podemos justificar una afirmacin de que (n tiene un valor definido en todos los puntos del gas?

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

3.35. Por qu la teora molecular de los gases resulta ms sencilla que la correspondiente a lquidos y slidos?Porque en ella se prescinde de las fuerzas intermoleculares que forzosamente han de tenerse en cuenta en una teora cintica de los sistemas condensados. Obsrvese, por ejemplo, cmo la ecuacin de Van der Waals, que se refiere a los fluidos reales, ya es ms compleja al tener en cuenta dichas fuerzas.3.36. Si usted desea fabricar una locin para despus de afeitar con una fragancia que tenga menor "probabilidad de desaparecer antes de aplicarla", usara una locin de masa molecular alta o baja?

De alta masa molecular, as tendr menos velocidad rms para moverse en una regin, con ello se alejar de un lugar con ms lentitud. Y si est vaporizada, entonces tardar ms en alejarse de cierta regin.

3.37. En nuestro modelo de la teora cintica de los gases, las molculas se consideraron como esferas que chocan elsticamente con las paredes del recipiente. Este modelo es real?

Al parecer no es real. Las bolas de billar chocan contra las paredes y rebotan en ellas y chocan entre s y tambin rebotan. Pero las molculas estn formadas por tomos y los tomos no son slidos. Por lo tanto no se pueden comportar como las bolas de billar. No se pueden considerar como esferas...... no lo son, o al menos no hay pruebas que demuestren que los tomos sean esfricos. Pero, sin embargo, la suposicin de que se comporten como esferas es la que ha permitido la construccin de la Teora Cintica de los Gases y los resultados que se obtienen con todas las suposiciones que se hacen son bastante coherentes con la realidad. Pero, repito, no necesariamente las suposiciones hechas plantean la existencia de un modelo real.

3.38. Qu propiedad de los gases prueba que no es rigurosamente cierta la hiptesis de que las molculas gaseosas slo sufren las acciones correspondientes a los choques elsticos?

La existencia de una cierta viscosidad en todos ellos, es lo que prueba que en realidad existen pequeas fuerzas intermoleculares que actan aun en los intervalos en que las molculas se mueven libremente entre dos choques consecutivos. Prueba de ello es el trmino correctivo de la presin de la ecuacin de Van der Waals.

PROBLEMAS3.1. Un globo esfrico de 4 000 cm3 de volumen contiene helio a una presin (interna) de 1.20 ( 105 Pa. Cuntos moles de helio hay en el globo, si cada tomo de helio tiene una energa cintica de 3.60 ( J?Solucin:KE = energa cintica

3.2. La tabla da la composicin del aire debajo de los 80 km de altura. Calcular: a) las presiones parciales de los gases ms abundantes a la presin atmosfrica normal, b) el volumen ocupado por 100 g de aire a 15C y 1 atm, c) la densidad del aire en esas condiciones, d) el peso molecular, PM, del aire seco. Composicin de la atmsfera.

Resp. c) 1.28 kg/m3, d) 28.964 g/mol.

3.3. a) Cuntos tomos de gas helio son necesarios para llenar un globo hasta un dimetro de 30.0 cm a 20.0C y 1.00 atm? b) Cul es la energa cintica promedio de cada tomo de helio? c) Cul es la velocidad promedio de cada tomo de helio?Solucin:

3.4. Dos moles de oxgeno dentro de un envase de 5 litros estn a una presin de 8 atm. Calcular la energa cintica media de una molcula de oxgeno, de masa 5.31(10(26 kg.

3.5. Durante 30.0 s, 500 granizos golpean una ventana de vidrio de 0.600 m2 a un ngulo de 45.0 respecto de la superficie de la ventana. Cada granizo tiene una masa de 5.00 g y una velocidad de 8.00 m/s. Asumiendo que las colisiones son elsticas, encuentre la fuerza y la presin promedio sobre la ventana.

Solucin:

3.6. a) Demuestre que la densidad de un gas que ocupa un volumen V esta dada por = P(PM)/RT, donde PM es el peso (o masa) molecular del gas. b) Calcular la densidad del oxgeno y la del nitrgeno a la presin atmosfrica y a 20C.

3.7. Un cilindro contiene una mezcla de gases helio y argn en equilibrio a 150C. a) Cul es la energa cintica promedio de cada molcula de gas? b) Cul es la velocidad rms de cada tipo de molcula?Solucin:

3.8. Durante un periodo de 1 s, 5 ( 1023 molculas de nitrgeno golpean una pared sobre un rea de 8 cm2. Si las molculas se mueven con una rapidez de 300 m/s y chocan en un ngulo de 45 respecto a la normal de la pared, calcular la presin ejercida sobre la pared. (La masa de una molcula de nitrgeno es 4.65(10(26 kg).

3.9. Un recipiente de 5.00 litros contiene gas nitrgeno a 27.0C y una presin de 3.00 atm. Encuentre, a) la energa cintica traslacional total de las molculas de gas, y b) la energa cintica promedio por molcula.

Solucin:

3.10. Calcular la temperatura para la cual la rapidez cuadrtica media de las molculas de oxgeno, O2, es igual a la de las molculas de hidrgeno, H2, a 27C. La masa molecular del H2 es 2,02 g/mol y la del O2 es 32 g/mol. Considere que los resultados de la Teora cintica de los gases se pueden aplicar a estos gases. Resp. 4 752.5 K.3.11. 1.00 mol de gas hidrgeno se calienta a presin constante de 300 K a 420 K. Calcule a) la energa transferida al gas por calor, b) el aumento en su energa interna, y c) el trabajo hecho sobre el gas.

Solucin:

3.12. El Helio tiene una masa atmica de 4 g/mol. Calcular: a) la energa cintica de traslacin media de una molcula de He a 300K, b) la rapidez cuadrtica media, c) el momento lineal de una molcula de He si viaja con esa rapidez. Suponga que un cierto nmero de tomos de He ocupan un recipiente cbico de 0.1 m de lado y se encuentran a 1 atm y 300 K. Calcular: d) la fuerza media que ejerce un tomo de He sobre una de las paredes del recipiente cuando su velocidad es perpendicular a los lados opuestos que golpea al rebotar, e) el nmero de tomos viajando a esa rapidez, en una misma direccin, que se necesitan para producir una presin media de 1 atm, f) El nmero de tomos contenidas realmente un recipiente de ese tamao y en esas condiciones, g) su respuesta de f) deber ser tres veces mayor que la obtenida en e), qu origen tiene esa discrepancia? Resp. a) 6.2(10(21 J, b) 1 367.5 m/s, 5.5 kgm/s, d) 1.5(105 N, e) 2.5(1017 tomos.3.13. 1.00 mol de aire (un gas ideal diatmico) a 300 K, confinado en un cilindro bajo un pesado mbolo ocupa un volumen de 5.00 L. Determine el volumen final del gas si 4.40 kJ de calor se transfieren al aire.

Solucin:

3.14. Un globo aerosttico de investigacin a grandes alturas contiene gas helio. A su altura mxima de 20 km, la temperatura exterior es de 50C y la presin se ha reducido a 1/19 atm. El volumen del globo en este punto es de 800 m3. Suponiendo que el helio tiene la misma temperatura y presin que la atmsfera circundante, encuentre el nmero de moles de helio en el globo.

Resp. 2.3 kmol.3.15. En un proceso a volumen constante, 209 J de calor se transfieren a 1.00 mol de gas monoatmico ideal con temperatura inicial de 300 K. Encuentre a) el aumento en la energa interna del gas, b) el trabajo hecho sobre este, y c) su temperatura final.

Solucin:

3.16. Un mol de un gas diatmico ideal ocupa un volumen de un litro a una presin de 0.1 atm. El gas experimenta un proceso en el que la presin es proporcional al volumen, y al final del proceso, se encuentra que la velocidad del sonido en el gas se ha duplicado a partir de este valor inicial. Determine la cantidad de energa trmica transferida al gas.

Resp.91.2 J.

3.17. Una habitacin de una casa bien aislada tiene un volumen de 100 m3 y se llena con aire a 300 K. a) Encuentre la energa necesaria para aumentar la temperatura de este volumen de aire en 1.00C. b) Si esta energa pudiera utilizarse para levantar un objeto de masa m hasta una altura de 2.00 m, calcule el valor de m.Solucin:

3.18. Un mol de gas xenn a 20C ocupa 0.0224 m3. Cul es la presin ejercida por los tomos de Xe sobre las paredes del recipiente?

Resp.109 kPa.

3.19. 1.00 mol de gas monoatmico ideal est a una temperatura inicial de 300 K. El gas se somete a un proceso isovolumtrico en el que adquiere 500 J de calor. Despus se somete a un proceso isobrico en el cual pierde esta misma cantidad de calor. Determine a) la nueva temperatura del gas, y b) el trabajo realizado sobre el gas.Solucin:

3.20. Calcule el cambio en la energa interna de 3 mol de gas helio cuando su temperatura se incrementa en 2 K.

Resp.75 J.

3.21. Un recipiente tiene una mezcla de dos gases: n1 moles del gas 1 que tiene calor especfico molar C1 y n2 moles del gas 2 con calor especfico molar C2. a) Determine el calor especfico molar de la mezcla, b) Cul es el calor especfico molar si la mezcla tiene m gases con n1, n2, n3, . . . , nm, moles, y calores especficos molares C1, C2, C3, . . . , Cm, respectivamente?Solucin:

3.22. Durante la carrera de compresin de cierto motor de gasolina, la presin aumenta de 1 a 20 atm. Suponiendo que el proceso es adiabtico y reversible y que el gas es ideal con = 1.4, a) en qu factor cambia el volumen, b) en qu factor cambia la temperatura?

Resp. a) 0.118, b) 2.35

3.23. 2.00 moles de un gas ideal diatmico (( = 1.40) se expande lenta y adiabticamente de una presin de 5.00 atm y un volumen de 12.0 L hasta un volumen final de 30.0 L. a) Cul es la presin final del gas? b) Cules son las temperaturas inicial y final? c) Encuentre Q, W y (Eint.Solucin:

3.24. Un recipiente de 5 L contiene 0.125 moles de un gas ideal a 1.5 atm. Cul es la energa cintica trasnacional promedio de una sola molcula?

Resp. 1.51(10(20 J

3.25. Aire (un gas ideal diatmico, ( = 1.40) a 27.0C y presin atmosfrica se extrae de una bomba de bicicleta que tiene un cilindro con un dimetro interno de 2.50 cm y una longitud de 50.0 cm. La carrera descendente comprime al aire adiabticamente, el cual alcanza una presin manomtrica de 800 kPa antes de entrar a la llanta (vea la foto). Determine a) el volumen del aire comprimido, y b) la temperatura del aire comprimido. c) La bomba es de acero y tiene una pared interior cuyo espesor es de 2.00 mm. Suponga que se deja que 4.00 cm de la longitud del cilindro alcancen el equilibrio trmico con el aire. Cul ser el aumento de temperatura de la pared?Solucin:

3.26. El calor latente de vaporizacin para el agua a temperatura ambiente es de 2.430 J/g. a) Cunta energa cintica posee cada molcula de agua que se evapora antes que este proceso ocurra?, b) Encuentre la velocidad promedio antes de la evaporacin de una molcula de agua que se evapora. c) cul es la temperatura efectiva de estas molculas? Por qu estas molculas no lo queman?

3.27. El aire en un nubarrn se expande conforme se eleva. Si su temperatura inicial era de 300 K, y no se pierde calor en la expansin, cul es la temperatura cuando se duplica el volumen inicial?

Solucin:

3.28. Un gas, no necesariamente en equilibrio trmico, consta de N partculas. La distribucin de rapideces no es necesariamente maxwelliana. a) Demuestre que vrms ( v pro cualquiera que sea la distribucin de rapideces. b) Cundo se mantendr la igualdad?

3.29. Durante la carrera de potencia en un motor de automvil de cuatro tiempos, el mbolo es obligado a bajar cuando la mezcla de la gasolina y el aire se somete a una expansin adiabtica reversible (ver figura). Encuentre la potencia promedio generada durante la expansin suponiendo 1) que el motor trabaja a 2 500 ciclos/min, 2) la presin manomtrica justo antes de la expansin es de 20.0 atm, 3) los volmenes de la mezcla justo antes y despus de la expansin son 50.0 y 400 cm3, respectivamente, 4) el tiempo en el que ocurre la expansin es un cuarto del ciclo total, y 5) La mezcla se comporta como un gas ideal con ( = 1.40. Solucin:

3.30. Calcule la trayectoria libre media de 35 bombones de gelatina azucarada en una jarra que se agita con mucha fuerza. El volumen de la jarra es 1.0 L y el dimetro de los bombones es 1.0 cm.

3.31. 4.00 litros de un gas ideal diatmico (( = 1.40) confinado en un cilindro se someten a un ciclo cerrado. El gas est a una presin de 1.00 atm y a 300 K. Primero su presin se triplica bajo volumen constante. Luego se expande adiabticamente hasta su presin original y por ltimo se comprime isobricamente hasta su volumen original. a) Dibuje un diagrama PV de este ciclo, b) Determine el volumen final de la expansin adiabtica. c) Encuentre la temperatura del gas al principio de la expansin adiabtica. d) Encuentre la temperatura al final del ciclo. e) Cul es el trabajo neto hecho en este ciclo?

Solucin:

3.32. La envoltura y la canasta de un globo aerosttico de aire caliente tienen una masa combinada de 249 kg, y la envoltura posee una capacidad de 2 180 m3. Cuando est totalmente inflado, cul debera ser la temperatura del aire en su interior para darle al globo una capacidad de levantamiento de 272 kg (adems de su propia masa)? Suponga que el aire circundante, a 18.0C, tiene una densidad de 1.22 kg/m3.Resp. 89.0C.

3.33. Cunto trabajo es necesario para comprimir 5.00 moles de aire a 20.0C y 1.00 atm hasta 1/10 del volumen original mediante a) un proceso isotrmico, b) un proceso adiabtico reversible? c) Cules son las presiones finales en los dos casos?Solucin:

3.34. Se informa que slo hay una partcula por metro cbico en las profundidades del espacio. Utilizando la temperatura promedio de 3 K y suponiendo que la partcula es H2 con un dimetro de 0.2 nm, a) determine la trayectoria libre media de la partcula y el tiempo promedio entre los choques, b) repita la parte a) suponiendo que slo hay una partcula por centmetro cbico.

Resp. a) 5.63(1018 m; 568 millones de aos, b) 5.63(1012 m; 568 aos.

3.35. Considere 2.00 moles de un gas diatmico ideal. a) Encuentre la capacidad calorfica total a volumen constante y a presin constante si las molculas giran pero no vibran. b) Repita, asumiendo que las molculas giran y vibran. Solucin:La capacidad calorfica a volumen constante es n CV. Una gas ideal de molculas biatmicas tienen tres grados de libertad para la traslacin en las direcciones x, y, y z. Si tomamos el eje y a lo largo del eje de una molcula entonces las fuerzas externas no pueden provocar rotacin alrededor de este eje, puesto que ellas no tienen brazos de palanca. Las colisiones pondrn a las molculas a girar solamente alrededor de los ejes x y z.(a) Si las molculas no vibran, ellas tienen cinco grados de libertad. Las colisiones aleatorias colocan igual cantidad de energa en todas las cinco clases de movimiento. La energa promedio de una molculas es . La energa interna de una muestra de dos moles es

La capacidad calorfica molar es y la capacidad calorfica de la muestra es

Para la capacidad calorfica a presin constante tenemos

(b) En vibraciones con el centro de masa fijo, ambos tomos estn siempre movindose en direcciones opuestas con igual velocidad. La vibracin aade dos grados de libertad ms para dos trminos ms en la energa molecular, para la energa cintica y para la energa potencial elstica. Tenemos

y

3.36. Si la velocidad rms de un tomo de helio a temperatura ambiente es 1.350 m/s, cul es la velocidad rms de una molcula de oxgeno (O2) a esta temperatura? La masa molar del O2 es 32 y la masa molar del He es 4.

Resp. 477 m/s.3.37. Si una molcula tiene f grados de libertad, demuestre que un gas compuesto de ese tipo de molculas tiene las siguientes propiedades: (1) su energa trmica total es fnRT/2; (2) su calor especfico molar a volumen constante es fR/2; (3) su calor especfico molar a presin constante es (f + 2)R/2; y (4) la razn ( = CP/CV = ( f + 2)/f.Solucin:

3.38. Se encuentra que la constante b que aparece en la ecuacin de estado de Van der Waals para el oxgeno mide 318 cm3/mol. Suponiendo una forma esfrica, estime el dimetro de la molcula.

3.39. Quince partculas idnticas tienen las siguientes velocidades: una tiene 2.00 m/s; dos, 3.00 m/s; tres, 5.00 m/s; cuatro, 7.00 m/s; tres, 9.00 m/s; dos, 12.0 m/s. Encuentre a) la velocidad promedio, b) la velocidad rms, y c) la velocidad ms probable de estas partculas.

Solucin:

3.40. A qu temperatura la velocidad promedio de los tomos de helio sera igual a a) la velocidad de escape de la Tierra (1.12(104 m/s), y b) la velocidad de escape de la Luna (2.37(103 m/s).

Resp. a) 2.37(104 K, b) 1.06(103 K

3.41. De la distribucin de velocidades de Maxwell-Boltzmann, demuestre que la velocidad ms probable de una molcula de gas est dada por la ecuacin

.

Obsrvese que la velocidad ms probable corresponde al punto donde la pendiente de la curva de distribucin de velocidades, , es cero.

Solucin:

3.42. En el espacio interestelar existen partculas slidas muy pequeas llamadas gramos. Las bombardean continuamente tomos de hidrgeno del gas circundante. A raz de estas colisiones, los granos realizan el movimiento browniano en la traslacin y en la rotacin. Suponga que son esferas uniformes de 4.0 ( 10(6 cm de dimetro y una densidad de 1.0 g/cm3, y que la temperatura del gas es 100 K. Calcule a) la rapidez raz cuadrada media de los granos entre colisiones, y b) la frecuencia aproximada (rev/s) a la cual giran. (Suponga que la energa cintica traslacional y la energa cintica rotacional promedio son iguales).

3.43. Un gas est a 0C. A qu temperatura debe calentarse para duplicar la velocidad rms de sus molculas?Solucin:

3.44. El Sol es una enorme bola de gas caliente. El resplandor que lo rodea en la imagen ultravioleta de la figura es la corona, es decir, su atmsfera. Tiene una temperatura y una presin de 2.0 ( 106 K y de 0.030 Pa, respectivamente. Calcule la rapidez rms de los electrones libres de la corona.

3.45. Dos gases en una mezcla se difunden a travs de un filtro a tasas proporcionales de las velocidades rms dde loa gases. a) Encuentre la proporcin de velocidades para los dos istopos de cloro, 35Cl y 37Cl, a medida que se difunden por el aire. b) Cul istopo se mueve ms rpido?

Solucin:

3.46. En un sistema de ultra alto vaco, se mide una presin igual a torr (donde 1 torr = 133 Pa). Si las molculas de gas tienen un dimetro de m y la temperatura es de 300 K, encuentre a) el nmero de molculas en un volumen de 1.00 m3, la trayectoria libre media de las molculas, y c) la frecuencia de choque, suponiendo una velocidad promedio de 500 m/s.Solucin:

3.47. Muestre que la trayectoria libre media para las molculas de un gas ideal es

donde d es el dimetro molecular.

Solucin:

3.48. En un tanque lleno de oxgeno, cuntos dimetros moleculares d (en promedio) viajar una molcula de oxgeno (a 1.00 atm y 20.0C) antes de chocar con otra molcula de O2? (El dimetro de la molcula de O2 es aproximadamente m.)Solucin:

3.49. La compresibilidad, (, de una sustancia se define como el cambio fraccionario en el volumen de esa sustancia para un cambio de presin determinado:

a) Explique por qu el signo negativo de esta expresin asegura que ( siempre ser positiva. b) Muestre que si un gas ideal se comprime isotrmicamente, su compresibilidad est dada por . c) Muestre que si un gas ideal se comprime adiabticamente, su compresibilidad est dada por . d) Determine valores para y para un gas monoatmico ideal a una presin de 2.00 atm.

Solucin:

APLICACIONES

Modelo de atmsfera

Richard Feynman, uno de los Premios Nobel ms creativos del siglo XX, estaba firmemente convencido de que la teora ms til de que disponamos era la atmica. Los cuerpos del mundo fsico, y entre ellos el aire, estn constituidos, de acuerdo con ella,por pequeas esferas que se comportan como pelotas perfectamente elsticas, y dotadas de una velocidad muy alta, tanto ms alta cuanto mayor sea la temperatura. Estas bolas reciben el nombre de molculas.En el caso del aire seco, las ms numerosasson las molculas de nitrgeno (78%) y las de oxgeno (21%); pero para nuestros propsitos, todastendrn las mismas caractersticas y se comportarn de la misma forma. Estas esferas chocan entre sy con las paredes. Cuando chocan con los slidos rebotan elsticamente, como la pelota en la pared de un frontn; el resultado de esos rebotes es la presin atmosfrica.

Las molculas de aire entran en nuestros pulmones (donde la hemoglobina captura algunas de las de oxgeno y desprende dixido de carbono) y tambin penetran en nuestro odo llegando al tmpano y transmitiendo su movimiento a la cadena de huesecillos del odo medio y, por fin, al odo interno. Evidentemente a igualdad de temperatura (velocidad media de las partculas) el valor de la presin es tanto mayor cuanto mayor sea la concentracin de molculas.Como una aplicacin de la ley de distribucin de Boltzmann, vamos a calcular la variacin de la presin del aire en funcin de la elevacin y por encima del nivel del mar. Para simplificar el problema, suponemos que la temperatura se mantiene constante con la altitud. Despreciaremos la pequea variacin de la intensidad del campo gravitatorio g con la altura, siempre que consideremos la porcin de atmsfera ms cercana a la superficie de la Tierra. Supondremos finalmente, que el aire es un gas ideal que est formado por un solo componente, el ms abundante, el nitrgeno.

Vamos a comprobar que la distribucin de las molculas con la altura sigue una ley exponencialmente decreciente, justamente la ley de Boltzmann.

Un comportamiento similar se produce cuando pequeas partculas estn suspendidas en el seno de un fluido. Perrin las observ en 1909 con un microscopio y comprob que la distribucin de la densidad de dichas partculas segua una ley exponencial, a partir de la cual obtuvo un valor preciso de la constante k de Boltzmann.

Atmsfera isoterma. Examinemos las fuerzas sobre un pequeo volumen seccin A y de espesor (y comprendido entre las alturas y e y+(y. La fuerza de la gravedad sobre esta porcin de la atmsfera es Fy=( m g(n A (y)

Donde m es la masa de una molcula y n es el nmero de molculas por unidad de volumen, que es una funcin de la altura y, que vamos a determinar.

La fuerza Fy es compensada por la diferencia de presin en las altitudes y e y+(y, tal como se ve en la figura. (p(y+(y) ( p(y))A = (m g (n A (y)

o bien,

En el lmite cuando (y tiende a cero, obtenemos la derivada de la presin

Si consideramos la atmsfera como un gas ideal, se cumple que pV=NkT, o bien p=nkT.

El nmero de molculas es igual al nmero de Avogadro por el nmero de moles, N=NAn

El nmero de Avogadro por la constante k de Boltzmann nos da la constante R=kNA de los gases, NA=6.02251023 molculas/mol, k=1.380510(23 J/K, R=8.3143 J/(Kmol)

Integrando esta ecuacin, obtenemos

donde n0 es el nmero de molculas por unidad de volumen a nivel del mar.

El nmero de molculas por unidad de volumen decrece exponencialmente con la altura. Es importante destacar que el numerador en la funcin exponencial mgy representa la energa potencial de las molculas individuales con respecto al nivel del mar. Por tanto, la distribucin de molculas con la altura sigue la ley de Boltzmann.Como la ecuacin de los gases ideales es p=nkT. La presin tambin disminuye exponencialmente con la altura

donde p0 es la presin al nivel del mar, una atmsfera.

_1235802728.unknown

_1235803507.unknown

_1235803574.unknown

_1282803539.unknown

_1235803556.unknown

_1235803443.unknown

_1235800862.unknown

_1235800938.unknown

_1235203211.unknown