Physics  150/140    

Solutions  to  Final  Examination  December  16,  2013  

     

 Problem  1  (20  Points)  A  30.0  kg  child  stands  on  the  edge  of  a  solid  uniform  disk  of  mass  100.  kg  and  radius  2.00  m.    The  disk  rotates  horizontally  about  a  fixed  vertical  axis  located  at  the  opposite  edge  of  the  disk  from  the  child.  Initially,  the  disk  and  child  are  rotating  counterclockwise  and  make  1.00  revolution  every  8.00  seconds.  Then  the  child  catches  a  ball  of  mass  5.00  kg  thrown  by  a  friend.    As  shown  in  the  figure,  just  before  the  ball  is  caught,  it  has  a  horizontal  velocity  of  magnitude  12.0  m/s  at  an  angle  φ=37.0°  to  a  line  tangent  to  the  disk.  

(a) (8  Points)  Before  the  ball  is  caught,  what  is  the  moment  of  inertia  of  the  disk  and  child  about  the  axis?  Use  the  parallel  axis  theorem:  

€

Ii = Idisk + Ichild =mdiskR

2

2+mdiskR

2 +mchild 2R( )2

Ii =3mdiskR

2

2+mchild 2R( )2

Ii =3 100kg( ) 2.00m( )2

2+ 30.0kg( ) 4.00m( )2 =1080 kg m2

 

   

(b) (12  Points)  After  the  ball  is  caught,  what  is  the  angular  speed  of  the  disk+child+ball  system?  Li = Lf

Iiωi −mbvcosφ = I fω f

ωi =2π8s

=π4s−1

I f = Ii +mb 2R( )2 =1080 kg m2 + 5kg( ) 4m( )2 =1160 kg m2

ω f =1080 kg m2( ) π4 s

−1"

#$

%

&'− 5kg( ) 12m / s( ) cos37( )

1160 kg m2 = 0.566 rad / s

 

Problem  2  (20  Points)    A  wire  is  30.0  cm  long.    It  has  density  0.230  grams/meter,  and  is  under  tension  FT=5.70  N.    It  is  attached  to  rigid  posts  at  each  end.  

(a) (5  Points)  Calculate  the  velocity  of  a  transverse  travelling  pulse  on  this  wire.    (Be  careful  with  units).  

 

(b) (5  Points)  Calculate  the  fundamental  vibrational  frequency.  

 

(c) (5  Points)  Calculate  the  period  of  the  motion  if  the  wire  is  in  the  n=3  standing  wave  mode.  

   

(d) (5  Points)  At  time  t=0  the  wire  is  not  moving.  The  top  graph  shows  the  displacement  of  the  wire  at  time  t=0.    If  T  is  the  period  of  the  motion  that  you  calculated  in  part  (c),  sketch  the  wire’s  configuration  at  times  t=T/4,  t=T/2,  and  t=T.  

 

     

t = 0 milliseconds

t = 0.318 milliseconds

t = 0.635 milliseconds

t = 1.27 milliseconds

t=0

t=T/4

t=T/2

t=T

Problem  3  (20  Points)    A newly discovered comet (Balley’s Comet) is in an elliptical orbit around the Sun (which has mass 1.99 x 1030 kg) with orbital period 162 years. Its distance of closest approach to the Sun is 8.98 x 1010 m where its speed is observed to be 54.1 km/s. The  mass  of  the  comet  is  2.53  x  1014  kg. (a) (5  points)  Calculate  the  semimajor  axis  of  Balley’s  orbit.      

   (b) (5  points)  What  is  the  farthest  distance  Balley  will  get  from  the  Sun?    

                 

 (c) (5  points)  Balley  is  observed  to  fly  by  the  Earth  at  a  distance  of  1.50  x  1011  m  from  the  Sun.  What  is  its  speed  there?    (You  can  ignore  the  gravitational  force  exerted  by  the  Earth.  Note  that  you  can  solve  this  even  if  you  could  not  do  parts  a  or  b.)    

     (d) (5  points)  How  much  work  needs  to  be  done  on  Balley  to  change  its  orbit  to  a  circular  orbit  at  the  distance  of  closest  approach  to  the  Sun?  (Note  that  you  can  solve  this  even  if  you  could  not  do  parts  a,  b,  or  c.)  

   

 

 

   

     

Problem  6  (10  Points)    A  uniform  disk  of  mass  m  and  radius  r  rests  on  the  back  of  a  truck.  The  truck  and  the  disk  are  initially  at  rest,  but  then  the  truck  accelerates  to  the  right  with  acceleration  atruck  .  Assume  that  the  disk  does  not  fall  off  the  truck  and  that  the  static  coefficient  of  friction  is  large  enough  that  the  disk  rolls  without  slipping  over  the  truck.    What  is  the  acceleration  of  the  center  of  mass  of  the  disk,  as  observed  in  the  reference  frame  of  a  person  standing  on  the  ground?    Specify  both  the  direction  and  the  magnitude  of  the  acceleration  of  the  disk  in  terms  of  some  or  all  of  m,  r,  and  atruck  but  no  other  variables.      

 Note  that  afterwards  the  disk  is  rotating  counterclockwise  and  accelerating  to  the  left.  The  no-­slip  condition  ensures  that  the  bottom  surface  of  the  disk  has  the  same  acceleration  as  the  truck.    

Ff =maFf r = Iα

atan = rα =Ff r

2

I=

Ff r2

mr2 / 2=2Ffm

= 2a

atruck = a+ atan = 3a

a = atruck3

 

   

m,r

atruck