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Resumen—En este trabajo se estudia el comportamiento de un

filtro pasivo pasa bajas cuyo propósito es eliminar aquellas frecuencias armónicas introducidas por los por los elementos conmutadores. La configuración del circuito consiste en un arreglo de inductancia y capacitor en serie con una resistencia de carga, paralela al capacitor, que nos ayudará a verificar la señal de salida. Además este circuito tiene de un elemento de conmutación que nos permitirá observar la respuesta a la frecuencia. Se propondrá el modelo del sistema en el espacio de estados para finalmente verificar la respuesta en una simulación hecha en un programa de Matlab. El objetivo será verificar las señales de salida a diferentes frecuencias y tiempos del estado de encendido del conmutador.

Palabras clave—Armónicos, filtro, pasa bajas, ODE solver, espacio de estados, tren de pulsos, Matlab.

I. INTRODUCCIÓN l elemento mas simple para simular un conmutador en un circuito eléctrico es un interruptor. Estos interruptores, por

así decirlo, se abren y se cierran debido a alguna señal de control o en su defecto, a alguna señal que provenga de las características del circuito. El hecho es que, el circuito entra en un estado en el cual, estos interruptores, empiezan a cambiar de estado de encendido a apagado con cierta frecuencia. Este comportamiento de cambio de estado se le llama conmutación y la frecuencia con que cambia, se le llama frecuencia de conmutación. Estos ciclos de conmutación introducen señales armónicas en los circuitos eléctricos provocando perturbaciones que a cierto grado pueden provocar comportamientos inesperados en la respuesta de nuestro sistema. Por este motivo se emplean los filtros, para disminuir los efectos de estos armónicos y tener una respuesta mas confiable de nuestro sistema ya sea electrónico o de potencia. Dependiendo de la naturaleza del sistema, las altas frecuencias suelen ser indeseables, sobre todo si se trata de armónicos. Por esta razón se propone el diseño de un filtro pasa bajas de acuerdo como se muestra en la figura 1a. El elemento que simula la conmutación es un interruptor de dos estados: encendido y apagado. Cuando está encendido, el voltaje 𝑉! carga a la inductancia y al capacitor se cargan. Cuando el interruptor cambia al estado de apagado, los

Este trabajo teórico práctico está sujeto a revisión por parte del Dr. Pável

Zúñiga Haro, Coordinador de la Maestría en Ciencias de la Ingeniería Eléctrica de la Universidad de Guadalajara. Guadalajara, Jalisco a 4 de septiembre de 2013

elementos que almacenaron energía, la liberan produciendo un efecto de resonancia en el circuito hasta que el interruptor vuelva a encenderse para iniciar el ciclo nuevamente. En los circuitos de conmutación, estos ciclos en encendido y apagado ocurren muchas veces por segundo, a esta característica se le conoce como frecuencia de conmutación. La configuración mostrada (Figura 1a) posee un interruptor que no resulta práctico a la hora de la simulación, por lo que es sustituido por un generador de señal de onda cuadrada. (Figura 1b).

Fig 1a. Diagrama del circuito LC con un elemento interruptor.

Fig 1b. Circuito con interruptor reemplazado por un tren de pulsos.

A continuación se realizará el análisis en la frecuencia de las señales producidas por el generador de tren de pulsos de onda rectangular.

II. ANÁLISIS DEL ESPECTRO DE LAS SEÑALES PRODUCIDAS POR EL GENERADOR DE PULSOS DE ONDA RECTANGULAR La señal fue elaborada en un pequeño script de Matlab

mediante la función square, la cual nos permitió modificar el ancho del tiempo de encendido así como la frecuencia. Posteriormente se aplicó el algoritmo FFT (Fast Fourier

Análisis de Señal de un Filtro Pasa Bajas en Matlab

J. Regalado. Maestría en Ciencias en Ingeniería Eléctrica. CUCEI. Universidad de Guadalajara.

E ON

OFF

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Transform) para obtener las magnitudes de los armónicos que componen la señal del tren de pulsos rectangular.

Se propuso que la señal fuera de 1kHz y se observaron los

espectros de frecuencias con diferentes tiempos de encendido (Ton). Cada uno de estos Ton están expresados en función de un porcentaje del periodo de conmutación T como se muestra en la figura 2.

Fig 2. Espectro de frecuencias de una señal de tren de pulsos rectangular de 1kHz.

Como puede observarse en la figura 2, las magnitudes del

espectro de frecuencia se van atenuando conforme el tiempo de encendido Ton tiende al 100%. Esto significa que si la entrada del sistema deja de oscilar, es decir, que no hay conmutación, entonces la respuesta no contendrá ningún armónico, es decir, será una salida constante.

III. SOLUCIÓN DEL SISTEMA EN EL ESPACIO DE ESTADOS El modelo del circuito en el espacio de estados nos muestra

un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden. Las matrices quedan expresadas de la siguiente manera:

𝑋 = 𝐴𝑥 + 𝐵𝑢

𝐴 =  − !!

!− !!

!!

− !!"

;      𝐵 =!!0;        𝑥 = !!

!! (1)

Para completar los parámetros de las matrices se seleccionó

de manera arbitraria los valores de algunos de los elementos del circuito dela siguiente manera: 𝑓! = 1150𝐻𝑧, 𝑟! = 0.1Ω, 𝑅 = 100Ω, 𝐶 = 0.1𝜇𝐹. Finalmente, para calcular el valor de la inductancia L, se aplicó la siguiente ecuación:

𝜛! = 1

𝐿𝐶, 𝑎𝑠𝑢𝑚𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜  𝑞𝑢𝑒  𝜛! = 2𝜋𝑓! (2)  

2𝜋𝑓! = 1𝐿𝐶

, 𝑝𝑜𝑟  𝑙𝑜  𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜  𝐿 = 14𝜋!𝐶 (3)

De acuerdo a (2) y (3) obtenemos el valor de 𝐿 =

191.5𝑚𝐻. Para resolver el sistema de ecuaciones diferenciales se utilizó un algoritmo numérico rígido de bajo orden implementado por Matlab. La función ode23tb se utilizó con un tiempo de observación de 0 a 50ms y se consideraron que las condiciones iniciales son cero.

Fig 3. Respuesta del filtro a un tren de pulsos de 1kHz con un tiempo de encendido de 85%.

Puede observarse en la figura 3 la respuesta del sistema y

como la corriente de la inductancia (arriba) y el voltaje del capacitor (abajo) se estabilizan en 10mA y 1V respectivamente.

A continuación se muestran algunas gráficas de voltaje del

capacitor con diferentes tiempos de encendido del pulso y frecuencias (se omitieron las gráficas de corriente debido a que son muy similares).

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Fig 4. Respuestas a diferentes frecuencias de la señal de entrada y

diferentes tiempos de encendido. Se observa claramente que la señal de salida depende del

tiempo de encendido de los pulsos de la señal de entrada. En el grafico de 100Hz (figura 4 arriba) puede verse que a pesar de tener un 85% de Ton, no es posible estabilizar la salida puesto que el filtro permite pasar las bajas frecuencias. En cambio, en el gráfico de 3000Hz (figura 4 abajo), no es posible estabilizar la señal debido a que el tiempo de encendido es mucho menor.

IV. CONCLUSIONES Podemos concluir que de acuerdo a lo mostrado en las

simulaciones la señal de tren de pulsos rectangular introduce armónicos en un filtro pasa bajas si el tiempo del pulso de encendido es pequeño, esto se debe a que su espectro de Fourier incluyese mas armónicos si dicho pulso decrece. De lo contrario, la señal pulsante tendería a ser una señal constante de directa, la cual su armónica es cero.

El análisis y simulaciones del comportamiento de un circuito eléctrico nos permite visualizar los aspectos y

características de funcionamiento del mismo, así como experimentar con los valores de los parámetros para obtener resultados mas o menos reales o bien, satisfactorios. Los algoritmos que implementa Matlab nos hacen el trabajo más sencillo y solo es necesario concentrarnos en analizar la solución ya que la solución analítica puede ser muy difícil de encontrar, sobre todo si el orden del sistema aumenta al introducir mas variables de estado.

APÉNDICE A continuación se muestra el código empleado en Matlab

para resolver el sistema de ecuaciones.

% Función del circuito LC serie (Filtro Pasa bajas) function [ddx] = circuit(t,x) % Parámetros de las matrices Fc = 1150; % Frecuencia de corte C = 0.1e-6; % 1uF L = 1/(4*(pi*Fc)^2*C); % Inductancia rl = 0.1; % 0.1 Ohms R = 100; % 100 Ohms % Señal de entrada Ton = 85; % Porcentaje de Ton F = 1000; % Frecuencia de entrada u = 0.5*(square(2*pi*F*t,Ton)+1); A = [-rl/L -1/L; % Matriz de estados 1/C -1/(R*C)]; B = [1/L;0]; % Vector de entradas X = A*x + B*u; % Ecuación de estados ddx = X;

% Solución numérica del circuito clear, close, clc; y0 = [0 0]'; % Condiciones iniciales tspan = [0 0.05]; % Tiempo de observación % Algoritmo de solución numérica stiff [t,x] = ode23tb(@circuit,tspan,y0); % Gráfica de la corriente de la inductancia subplot(2,1,1); plot(t,x(:,1)); ylim([0 max(x(1,:))+0.011]); title('Corriente IL'); grid on % Gráfica del voltaje del capacitor subplot(2,1,2); plot(t,x(:,2)); ylim([0 max(x(:,2))+0.1]); title('Voltaje Vc'); grid on;