UNIVERSIDAD DE GRANADADepartamento de Ingeniería CivilArea de Ingeniería del Terreno

E.T.S. de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos

Mecánica de SuelosCURSO 2001/2002

Tema 2. FILTRACIÓN DEL AGUA EN EL SUELO.

Granada, octubre de 2001

Profesor: Joaquín Pérez Romero

TEMA 2. FILTRACIÓN DE AGUA EN EL SUELO.

PROGRAMA

1. Principio de presión efectiva.1.1. Estado tensional geostático.

2. Ley de Darcy.2.1. Solución de algunos casos sencillos.2.2. Sifonamiento.

3. Ecuación del flujo estacionario subterráneo.3.1. Líneas de filtración y líneas equipotenciales.3.2. Expresión analítica de las condiciones de contorno.3.3. Métodos de solución.

3.3.1. Analíticos.3.3.2. Aproximados.3.3.3. Gráficos.3.3.4. Analogías físicas.3.3.5. Modelos reducidos.3.3.6. Métodos numéricos.

4. El coeficiente de permeabilidad.4.1. Valores habituales.4.2. Determinación del coeficiente de permeabilidad en el laboratorio.4.3. Determinación del coeficiente de permeabilidad en el campo.4.4. Influencia de la presión efectiva sobre el coeficiente de permeabilidad.

5. Filtración en suelos anisótropos y suelos heterogéneos.6. Resolución de fenómenos de filtración.

6.1. Hipótesis de Dupuit.6.2. Filtración en acuíferos.6.3. Filtración hacia pozos.6.4. Filtración en presas de materiales sueltos.6.5. Filtración bajo estructuras impermeables.

Principio de presión efectiva.

En 1936 Terzaghi enunció por primera vez el principio depresión efectiva:

[definición]“El estado tensional en un punto de un suelo queda

determinado a partir de las tres tensiones totales principales (σ1, σ2,σ3) que actúan en dicho punto. Si los huecos están llenos de agua apresión uw, las tensiones totales principales constan de dos partes.Una parte (uw) actúa en el agua y en el suelo con igual intensidad entodas direcciones. La llamamos presión neutra o presión intersticialdel agua. Las diferencias (σ1 - uw), (σ2-uw), (σ3- uw), representan unexceso sobre la presión neutra y se ejercen exclusivamente sobre elesqueleto de partículas sólidas.

[aplicación]Todos los efectos tangibles provocados por un cambio de

presión, tales como la compresión, distorsión angular, y cambios enla resistencia a cortante, se deben exclusivamente a los cambio de laspresiones efectivas (σ1 - uw), (σ2-uw), (σ3- uw)”.

• Terzaghi K (1936). The shear resistance of saturated soils. Proceedings 1stInternational Conference on Soil Mechanics y Foundations Engineering,Cambridge MA, 1936, vol. I, 54-56.

Estado tensional geostático.

Debido al peso propio de las partículas sólidas y del agua.

Presión vertical total

( ) ∫+=z

v dzpz0

γσ

Presión neutra

wuu ≡

Presión vertical efectivauvv −=σσ '

Coeficiente de empuje en reposo

v

hoK

'

'

σσ

=

Presión horizontal efectiva

voh K '' σσ =

Presión horizontal total.uhh += 'σσ

Ley de Darcy.

Obtenida experimentalmente por Darcy en 1850 mientras diseñaba filtros dearena para las fuentes, en París.

AL

hhkQ 43 −=

ikv −=

Potencial hidráulico

w

w g

vzuh

γγ

/2

2

++=

Su ecuación dimensional es [ML-1T-2], es decir, se trata de una presión y launidad de medida es el kilopascal, aunque también se usan otras unidades.

mbarmmHgcm

kp

cm

kpacmatm

m

kNkPakPa 1013760033.11...1019898100

222==≈===≡≈

Es habitual medir las presiones neutras tomando la presión atmosférica comoorigen, es decir, cuando hablamos de presión neutra nula en realidadqueremos decir que se encuentra en equilibrio con la presión del aire(atmosférica). La altura se mide a partir de un origen arbitrario o datum.

Solución de algunos casos sencillos.

En las siguientes figuras se utiliza el m.c.a.:pressure head=u/γwelevation head=ztotal head=h/γw

Permeámetro de sección constante con flujo vertical ascendente.

Permeámetro de sección constante con flujo horizontal.

Permeámetro vertical con dos secciones, dos suelos y flujodescendente.

Sifonamiento.

[definición]Se produce el fenómeno de sifonamiento cuando la presión efectiva en unplano de un suelo se anula.

[determinación]El sifonamiento se produce cuando la presión neutra iguala a la presión total.

[aplicación]Al no existir compresión que mantenga unidas a las partículas sólidas éstas norozan entre sí, por lo que el suelo pierde su resistencia a cortante a lo largo dedicho plano. En el caso de que la presión neutra supere a la presión total seproduce la separación entre partículas sólidas. Al perder éstas el contacto elsuelo saturado pasa a ser agua con partículas sólidas en suspensión, y losprincipios de la Mecánica de Suelos ya no son vigentes.

[ocurrencia]Las presiones neutras alcanzan valores anormalmente altos:1. En ciertos procesos de filtración, siendo especialmente característicos los

ascendentes.2. Ante excitaciones dinámicas producidas por terremotos (licuefacción).

Ecuación del flujo estacionario subterráneo.

Hipótesis:1. El dominio del flujo está saturado.2. La velocidad y la presión son funciones de la posición, es decir, no varían

con el tiempo.3. La porosidad no varía con la presión efectiva.

De acuerdo con la ley de Darcy y considerando la figura tenemos

x

hkv xxx ∂

∂−=

y

hkv yyy ∂

∂−=

z

hkv zzz ∂

∂−=

Considerando la dirección x en el elemento de la figura, por unidad de tiempo,el flujo entrante es

zyvx ∆∆ρ

y el saliente

zyv xx ∆∆∆+ρ

por lo que el balance es

( )zyvzyv xxx ∆∆−∆∆ ∆+ρ

Aplicando el teorema de Taylor al flujo saliente y considerando los dosprimeros términos de la serie tenemos

xx

vvv x

xxx ∆∂∂

+=∆+

Por lo tanto, el balance de flujo que sale del elemento en la dirección x, porunidad de tiempo, es

zyxx

vx ∆∆

∆∂∂

ρ

Podemos obtener expresiones similares para las direcciones ortogonales a x.

Aplicando el principio de conservación de la materia el balance global de flujoen el elemento ha de ser nulo, es decir

0=

∆∆

∆∂∂

+∆∆

∆

∂∂

+∆∆

∆∂∂

yxzz

vxzy

y

vzyx

x

v zyxρ

y por lo tanto

0=∂∂

+∂∂

+∂∂

z

v

y

v

x

v zyx

Aplicando a la expresión anterior la ley de Darcy queda

0=

∂∂

−∂∂

+

∂∂

−∂∂

+

∂∂

−∂∂

z

hk

zy

hk

yx

hk

x zyx

En el caso de que la permeabilidad sea constante (suelo homogéneo)

02

2

2

2

2

2

=∂∂

+∂∂

+∂∂

z

hk

y

hk

x

hk zyx

Para suelos homogéneos e isótropos resulta, finalmente, la ecuación deLaplace

02

2

2

2

2

2

=∂∂

+∂∂

+∂∂

≡∆z

h

y

h

x

hh

Líneas de filtración y líneas equipotenciales.

Suponemos que el dominio es isótropo.

Consideremos el plano (x,z). Definimos la función velocidad del potencialcomo

kh−=Φ

Una línea equipotencial cumple que la velocidad de potencial es tambiénconstante.

La ecuación del flujo subterráneo se puede expresar entonces como

0=∆Φ

Definimos la función de corriente como

xy ∂Φ∂

=∂Ψ∂

yx ∂Φ∂

−=∂Ψ∂

Se puede comprobar que la ecuación del flujo subterráneo se expresa tambiéncomo

0=∆Ψ

Llamamos línea de corriente o de filtración a aquella en la que la función decorriente es constante.

Propiedades:• Las líneas de corriente, o líneas de filtración, y las líneas equipotenciales

son ortogonales en el dominio de la solución y en los puntos de clase unodel contorno.

• Las líneas de filtración no se cruzan.• Dos líneas equipotenciales con distinto valor de potencial no se pueden

tocar.

Las líneas equipotenciales separan el dominio en saltos de potencial. Las líneasde corriente separan el dominio en canales de flujo.

Expresión analítica de las condiciones decontorno.

• Límites impermeables.

El líquido de los poros no puede atravesar dicho límite, por lo que lacomponente normal de velocidad debe ser cero. Se deduce que los límitesimpermeables son una línea de filtración.

cten

=Ψ=∂Φ∂

;0

• Contorno en contacto con líquidos en estado libre (ejemplo:agua embalsada).

El potencial es constante, es decir, es una línea equipotencial.

cten

=Φ=∂Ψ∂

;0

• Nivel freático.

Se define el nivel freático como la superficie del terreno en la que la presiónneutra es nula (atmosférica). En algunos casos se considera como un límite deldominio e incluso como línea de filtración. Esta planteamiento pierde validezante la entrada o salida de agua, por ejemplo por evapotranspiración, o cuandose considera la filtración en el régimen parcialmente saturado.

El nivel freático no es una línea (superficie) equipotencial, salvo en el caso deque sea una línea (superficie) horizontal.

• Superficie de filtración al exterior.

Se trata de surgencia de agua de filtración al exterior del dominio,convirtiéndose en una escorrentía superficial. En ésta la presión neutra esnula, por lo que no es equipotencial salvo en el caso de ser horizontal.

Métodos de solución.

1 Analíticos.1.1 Exactos: planteando el problema de contorno y obteniendo una solución

exacta en el dominio, por ejemplo a partir de la solución de la ecuacióndiferencial en casos sencillos o con técnicas de variable compleja.

1.2 Aproximados: se introducen ciertas simplificaciones o hipótesis. A partirde ahí se obtiene la solución exacta. Ejemplo: hipótesis de Dupuit.

2 Gráficos: se basan en las propiedades de las redes de flujo, líneas defiltración y equipotenciales.

3 Analogías físicas: como el empleo de técnicas eléctricas (en desuso).

4 Estudio de modelos a escala reducida: su empleo permitevisualizar los fenómenos, por lo que su aplicación es más docente queconstructiva.

5 Análisis numérico: empleo de métodos de relajación en hojas decálculo, método de los elementos finitos, método de los elementos decontorno, etc. Tienen un gran avance en la actualidad.

El coeficiente de permeabilidad.

Valores habituales

tipo de suelo K (m/s)Arcilla < 10-9

Arcilla arenosa 10-9 a 10-8

Limo 10-8 a 10-7

Turba 10-9 a 10-6

Arena fina 10-6 a 10-4

Arena gruesa 10-4 a 10-3

Arena gravosa 10-3 a 10-2

Grava > 10-2

Determinación del coeficiente de permeabilidad en el laboratorio.

Permeámetro de carga constante.

Permeámetro de carga variable.

Determinación del coeficiente de permeabilidad en el campo.

1 Ensayos de bombeo.1.1 En régimen permanente.

1.2 En régimen transitorio.

2 Ensayos en sondeos.2.1 Ensayo Lefranc.2.1.1 Con carga constante.

2.1.2 Con carga variable.

2.2 Ensayo Lugeon.

Influencia de la presión efectiva en el valor depermeabilidad.

Consideremos la relación de compresibilidad( ) '1 σovo emee +−=

Supongamos que se puede establecer una relación del tipoeBAk 11ln +=

Se puede deducir, suponiendo que ko=k(eo),( )')1(1 σov emB

oekk +−=

Ejemplo:Permeámetro horizontal de longitud L. Presión vertical total constante.Potenciales de entrada (H0) y salida (H1) conocidos.Valor de B conocido, donde B es el parámetro )1(1 ov emBB +=La solución del caso viene dada por

+

−=

L

xe

L

xee BHBHBh o 11

( ) ( ) σBo

BHBHHHB eK

LB

ee

A

qe

LK

K o

o −−− −==

1

1 ;)(

)0(

Presiones intersticiales, en régimen permanente, medidas en el núcleo de la presa de SaltoSantiago, Brasil.

Presiones intersticiales, en régimen permanente, medidas en el núcleo de lapresa de Vaturu (Fiji), compuesto de un suelo residual volcánico.

Ref: Vaughan (1988). Non-linearity in seepage problems. Theory and fieldobservation. De Mello Volume, 497-516.

Filtración en suelos heterogéneos.

En la dirección del eje X,

i

n

iix dk

dk ∑

=

=1

1

En la dirección del eje Y,

i

in

i

y

k

dd

k

∑=

=

1

Cambio de un medio a otro de distintapermeabilidad.

2

1

2

1

αα

tan

tan

k

k=

Filtración en suelos anisótropos.

Cambio de variables en el dominio,

yx k

yY

k

xX == ;

02

2

2

2

=∂∂

+∂∂

Y

h

X

h

Hipótesis de Dupuit.

Hipótesis de Dupuit:

1. Las líneas equipotenciales sonverticales (por lo tanto las líneasde corriente son horizontales).

2. El gradiente hidráulico es iguala la pendiente del nivel freáticoy no varía en profundidad.

dyx

hhkdyq

xx

∂∂

−=

dyx

hhkdyq

dxxdxx

++

∂∂

−=

( ) dxdyx

hh

xkyx

x

qdyqq x

xdxx

∂∂

∂∂

−=∂∂∂∂

=−+

Obteniendo la misma expresión en la dirección y, e incorporando el principiode continuidad tenemos,

0=

∂∂

∂∂

+

∂∂

∂∂

y

hh

yx

hh

xk

es decir

0)()(

2

22

2

222 =

∂∂

+∂

∂≡∆

y

h

x

hh

Filtración en acuíferos.

Acuífero no confinado de base impermeable horizontal.

( )0

2

22

=∂

∂x

h

( )L

xhhhh 2

22

12

1 −−=

x

hkhq

∂∂

−=

L

hhkq

2

22

21 −=

Acuífero no confinado de base impermeable horizontal, con caudalesde infiltración (e>0) o evapotranspiración (e<0).

0=+

∂∂

∂∂

ex

hh

xk

2122 CxCexkh +=+

Para una infiltración e>0 tenemos la siguiente ecuación de potencial

( ) ( )xxLk

e

L

xhhhh −+

−−=

22

212

1

y los siguientes caudales.

( ) ( )

−−

−= x

Le

L

hhkxq

22

22

21

El punto de mayor potencial es

L

hh

e

kLa

22

22

21 −−=

Acuífero no confinado de base impermeable inclinada.

La solución es mucho más sencilla que el caso de transporte en canales enlámina libre. En el interior del suelo las velocidades son muy pequeñas y elrégimen es laminar. La primera solución fue publicada por Pavlovsky (1930).

( )x

yixykq

∂∂

−−=

q

kiy

Ceki

qixy =+−

Si C=0 (línea I de la figura),

cteki

qixy =−=−

okihq −=

Cuando C≠0 las curvas A y B son asintóticas a la curva I, por lo que el caudaltransportado es el de la expresión anterior.

oh

y

o Cehixy−

=−−

i>0 C>0 (a)i>0 C<0 (b)I<0 C<0 (c)

Filtración hacia pozos.

Pozo simple en acuífero confinado.

011

2

2

22

2

=∂∂

+∂∂

+∂∂

θh

rr

h

rr

h

01

=

∂∂

∂∂

r

hr

rr

r

r

kD

Qhh e

e ln2π

−=

r

r

kD

Qhh 1

1 ln2π

−=

( )

1

2

12

ln

2

r

rhhkD

Q−

=π

Sistema múltiple:

j

ejn

j je r

rQ

kDhh ln

2

11∑ =

−=π

Pozo simple en acuífero no confinado.

r

r

k

Qhh 122 ln

1 π−=

( )

1

2

222

ln

1

r

rhhk

Q−

=π

Sistema múltiple:

j

ejn

j j r

rQ

khh

eln

11

22 ∑ =−=π

Filtración en presas de materiales sueltos.

Filtración bajo estructuras impermeables.

( )11

51624 −=∆= k

N

NhkQ

d

f

Rango de validez de la ley de Darcy.

Influencia de las sales disueltas en el coeficientede permeabilidad.

Influencia de la porosidad en el coeficiente depermeabilidad de distintos suelos.

Influencia de la estructura en el coeficiente depermeabilidad.

Influencia de la presión efectiva en el coeficientede permeabilidad de distintos suelos.