FII – QA DF – UM MRCP Interacção gravitacional. FII – QA DF – UM MRCP Forças Fundamentais Força Nuclear Fraca (a força nuclear fraca tem um alcance muito

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Interacção gravitacional

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Forças Fundamentais

• Força Nuclear Fraca (a força nuclear fraca tem um alcance muito curto, cerca de 10-15 m. é responsável pelos decaimento beta. Pensa-se que se trata de uma versão da força electromagnética)

• Força Nuclear Forte (Sabendo que um núcleo é 10 000 vezes menor do que o átomo e que as cargas positivas se repelem, é necessária a existência de um força forte que os mantenha juntos, de muito curto alcance)

• Força Electromagnética (A força electromagnética é responsável pela coesão da matéria mantendo os átomos juntos em posições fixas. O seu alcance vai teoricamente até ao infinito)

• Força Gravitacional (é a mais fraca de todas mas a mais geral de todo o Universo)

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O que é?

• …é talvez uma das generalizações elaboradas pela mente humana com maior alcance universal…

• Cada objecto do Universo atrai todos os outros objectos com uma força que para cada par de corpos é proporcional à massa de cada um e varia com o inverso da distância entre eles:

rr

mMGF ˆ

2

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O Movimento dos Planetas

• Modelo geocêntrico de Ptolomeu

Claudios Ptolomeu (87-150)

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• Modelo de Copérnico

Nicolau Copérnico (1473-1543)

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• Modelo de Copérnico• Tabelas de Tycho Brahe

Tycho Brahe

(1546-1601)

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Johann Kepler (1571-1630)



• Modelo de Copérnico• Tabelas de Tycho Brahe• Leis de Kepler

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• Modelo de Copérnico• Tabelas de Tycho Brahe• Leis de Kepler• Lei da Gravitação

Universal (sem esquecer Galileu)

Isaac Newton (1642-1727)

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• Lei das Órbitas – cada planeta move-se à volta do Sol segundo uma trajectória elíptica com o Sol a ocupar um dos focos

• Lei das Áreas – o vector raio a partir do Sol varre áreas iguais em intervalos de tempo iguais

Leis de Kepler


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MRCP

• Lei das Órbitas – cada planeta move-se à volta do Sol segundo uma trajectória elíptica com o Sol a ocupar um dos focos

• Lei das Áreas – o vector raio a partir do Sol varre áreas iguais em intervalos de tempo iguais

• Lei dos Períodos – a raiz quadrada dos períodos de quaisquer dois planetas são proporcionais ao quadrado dos eixos maiores de suas respectivas órbitas


32 ~ rT

Leis de Kepler

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dtvmrm

dA

2

1

Verificação das Leis de Kepler

• Lei das Órbitas – forças centrais do tipo 1/r2 originam trajectórias cónicas

• Lei das Áreas -

r

dtv

dtvrdA

2

1

L

Lmdt

dA

2

1 F

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• Lei das Órbitas• Lei das Áreas• Lei dos Períodos

r

vF

aMF P

r

vM

r

MMG P

PS2

2

r

GMv S2

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• Lei das Órbitas• Lei das Áreas• Lei dos Períodos

r

vF

T

rv

.2

32

2 4r

GMT

S

r

GM

T

rv S 2

222 4

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2r

mMGFTL


TLF

LTF

mgFTL r

mv2

7.2 x 1023N = 1.9 x 1020N

Constante de Gravitação Universal = 6.67 x 10-11 Nm2kg-2

Implica que a força gravitacional entre dois corpos com 1 kg de massa separados por 1 m é 6.67 x 10-11 N

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2r

mMGFLT LTF

TLF

Um corpo esférico de matéria atrai uma partícula

fora da esfera como se toda a sua massa estivesse

concentrada no seu centro (Shell Theorem)

i

LiL FF

FdF

Princípio da Sobreposição(4ª lei de Newton)

O efeito total corresponde à soma dos efeitos individuais

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LTF

Presença de uma Força (Conservativa, porquê?)

implica uma capacidade de realizar trabalho – Energia

Potencial

i

PiP EE

Princípio da Sobreposição

r

mMGEP

2r

mMGFLT

r

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• Não conseguiu explicar totalmente o movimento de precessão do periélio de Mercúrio;

• Não explicou porque é que a aceleração da gravidade não depende da massa ou composição de um corpo;

• Considerava a interacção gravitacional entre dois corpos instantânea, o que é inconsistente com a teoria da Relatividade Restrita.

Interacção gravitacionalFalhas da Lei da Gravitação Universal de Newton

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O campo GravitacionalO que é um campo?Um campo corresponde a uma situação física ou perturbação produzida no espaço por uma propriedade de um corpo.

Campo Gravitacional:

propriedade Massa

situação Física Força Gravitacional

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O campo GravitacionalComo o caracterizar?

• Campo Escalar – Potencial Gravitacional (Φ).

Grandeza escalar que caracteriza todos os pontos do campo gravitacional.

• Campo Vectorial – Intensidade do CampoGravitacional ( )

Grandeza vectorial que caracteriza todos os pontos do campo gravitacional.

G

r

MG

m

EP

rr

MG

m

Fˆ

2

G

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MRCP

O campo GravitacionalComo o representar?

Superfícies Equipotenciais – linhas que unem todos os pontos onde a grandeza escalar que representa o campo tem o mesmo valor.

Linhas de Campo – linhas tangentes à direcção do vector que representa o campo vectorial. Uma maior densidade das linhas corresponde a uma maior intensidade do campo.

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O campo GravitacionalComo o representar?

Terra

Percursos paralelos

Percursos convergentes

Espaço plano longe

da Terra

Espaço curvo perto

da Terra

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O campo GravitacionalQual a relação entre Φ e ?

Considerando que: (porquê?)

obtemos:

G

dr

dEF

-GGdr

d

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Velocidade de Escapemimfm EEE 0

TpiCi r

MmGmvEE 2

2

1

00 pfcf EE

TT

Tei gr

r

GMvv 2

2

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Medição da Constante de Gravitação Universal G

• Foi medida em 1798 por

• Muito difícil de medir

• Uma das primeiras a ser medida mas a menos precisa (1 parte em 10000)

Henry Cavendish (1731-1810)

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Massa Inercial e Massa Gravitacional

• Massa Inercial (mi) – propriedade dos objectos que mede a sua resistência à alteração da sua velocidade.

• Massa Gravitacional (mG) – propriedade dos objectos responsável pelas forças gravitacionais exercídas sobre outros objectos

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Gi mm Através da escolha conveniente das unidades fazemos:

(esta equivalência é conhecida com uma precisão de 1 parte em 1012)

Como consequência todos os corpos perto da Terra caem com a mesma aceleração

mmm Gi

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Imaginemos que eram diferentes:

A evidência experimental mostra que é igual para todos os corpos


2T

G

r

GMmF

im

Fa

i

G

T m

m

r

GMa

2

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1. Qual é a sua aceleração;

2. Qual a força exercida pela Terra.

Exemplo

Igor é um cosmonauta que se encontra na Estação Espacial Internacional em órbita à volta da Terra a uma altitude, h, de 520 km e com uma velocidade constante, v, de 7.6 km/s. A sua massa é de 79 kg. (considere RT=6.37x106 m)

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1. Determine o potencial gravitacional criado pela estrela para a altura inicial e à superfície.

2. Calcule o módulo da velocidade com que a maçã atingia a superfície da estrela.

3. Determine o módulo da intensidade do campo gravitacional G em função de r.

4. Considere agora que Newton estava na superfície desta estrela e tentava segurar a maçã. Qual seria o módulo da força necessária para segurar a maçã à superfície? (considere que a sua massa era de 100 g)

Mini-Teste 1Imagine que a lendária maçã de Newton era libertada, partindo do repouso, a uma altura de 2 m da superfície de uma estrela de neutrões.

M=1.5MSol = 3x1030 kg

R= 20 km (RSol=7x108 m)

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Mini-Teste 1Imagine que a lendária maçã de Newton era libertada,, partindo do repouso a uma altura de 2 m da superfície de uma estrela de neutrões.

1. Determine o potencial gravitacional criado pela estrela para a altura inicial e à superfície.

r

MG

kgJhr

MG

ei

16100007.1

kgJr

MG

ef

16100008.1

M=1.5MSol = 3x1030 kg

R= 20 km (RSol=7x108 m)

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DF – UM

MRCP


2. Calcule o módulo da velocidade com que a maçã atingia a superfície da estrela.

mimfm EEE 0 PfPiCiCf EEEE

ii

ff r

MmGmv

r

MmGmv 22

2

1

2

1

mrr

GMmvvmif

if11

2

1 22

smvv ff62 10415.120 M=1.5MSol = 3x1030 kg

R= 20 km (RSol=7x108 m)

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MRCP


3. Determine o módulo da intensidade do campo gravitacional G em função de r.

kgNrr

MG 2

20

2

10002.2 G

M=1.5MSol = 3x1030 kg

R= 20 km (RSol=7x108 m)

FII – QA

DF – UM

MRCP

Nmr

MmGF 10

24

20

2 10005.5102

10002.21.0

G


4. Considere agora que Newton estava na superfície desta estrela e tentava segurar a maçã. Qual seria o módulo da força necessária segurar a maçã à superfície? (considere que a sua massa era de 100 g)

M=1.5MSol = 3x1030 kg

R= 20 km (RSol=7x108 m)

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