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1
單元一:平面圖形
課文 A:點、線、角
這章節首先要介紹最基本的三個名詞:「點、線、角」,在介紹之前,
可以先試著在下面畫下你心中的這三樣東西。
點 線 角
點
如左圖,點是代表空間中的特定位置,而不管它
的大小。我們通常會在點的旁邊寫上大寫的英文
字母,稱為點 A、點 B、點 C。
線
筆在紙上連續移動所經過的路徑就會是一條
線,如果像左邊那樣畫出來彎彎曲曲的,就
是曲線。
2
如左圖,直線是無限延長,是沒有盡頭的,
而且沒有寬度。我們通常以大寫的英文字母
來表示,稱為直線 M、直線𝐿1、直線𝐿2。
直線 M 通過 A、B兩點,也可以叫做直線 AB,
記作「𝐴𝐵 ⃡ 」或「𝐵𝐴 ⃡ 」。“↔”代表的意義,
就是可以向兩邊無限延伸的直線。
如左圖,直線的一部份,就稱為「線段」,表
示為𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ,讀作「線段 AB」。而 A、B 兩點是
線段的端點。
𝐴𝐵̅̅ ̅̅ 可以用來表示線段長度。例如:𝐴𝐵̅̅ ̅̅ 的長
度為 4.5 公分,可記為 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ = 4.5 公分。
射線AB:𝐴𝐵
如圖,以某一點為端點(A)出發,然後向
另一點(B)無限延伸,就稱為「射線」,記
作「𝐴𝐵 」,讀作「射線AB」。
如左圖,顛倒過來的話,便記作「𝐵𝐴 」,讀
作「射線BA」。也就是說,𝐴𝐵 與 𝐵𝐴 並不相
同。
射線BA:𝐵𝐴
A B
B
A
B
A
3
角
共同端點的兩射線就形成一個角,我們以「∠」
作為角的符號。
如左圖,記為「∠A」,也可以記為「∠BAC」
或「∠CAB」。除此之外,也可以用數字來命名,
如下圖的「∠1、∠2、∠3」。
A點是這個角的頂點,角的大小是指角度的大小,不是邊有多長,因
為角的兩邊𝐴𝐵 、 𝐴𝐶 皆為射線,是無限延伸的。
角的分類
∠1 = 90°稱為直角
∠2小於直角是銳角
∠3大於直角是鈍角
角度等於 180°,
稱為「平角」
角度等於 360°,
稱為「周角」
角的關係
如左圖,若∠1 + ∠2=90° ,稱為∠1 和∠2 互為餘
角,也稱 ∠1 和 ∠2 互餘。
如左圖,若∠1 + ∠2 = 180°,稱為∠1 和∠2 互為補
角,也稱 ∠1 和 ∠2 互補。
4
兩直線 L 和 M 相交,其中不相鄰的兩個角∠1 、∠3就
稱為一組對頂角;∠2 、∠4 則是另一組對頂角。
介紹了角度的分類後就可以根據一些已知的條件來求角度了。
Ex1.已知 ∠1 = 37° ,且 ∠1 和 ∠2 互餘,∠2 和 ∠3 互補,
請分別求出∠2 和 ∠3 的度數。
◎解題思維:
因為∠1 和 ∠2 互餘,所以 ∠1 + ∠2 = 90° 。
因為已知 ∠1 = 37° ,所以 37° + ∠2 = 90°
⇒ ∠2 = 90° − 37° = 53°
因為∠2 和 ∠3 互補,所以 ∠2 + ∠3 = 180° 。
已經算得 ∠2 = 53° ,所以 53° + ∠3 = 180°
⇒ ∠3 = 180° − 53° = 127°
5
Ex2.
已知 ∠1 的補角度數是它的餘角度數的 4 倍,請問 ∠1 為幾度?
◎解題思維:
題目中的條件是「∠1 的補角度數是它的餘角度數的 4 倍」,寫成
數學式就是「∠1 的補角 = ∠1 的餘角 × 4」,要求∠1 的度數。
設 ∠1 的度數為 𝑥° ,因此∠1 的補角= (180 − 𝑥)° ;
而∠1 的餘角= (90 − 𝑥)°
根據條件列式:180 − 𝑥 = (90 − 𝑥) × 4
180 − 𝑥 = 360 − 4𝑥 等號右邊−4𝑥 移項到左邊
180 − 𝑥 + 4𝑥 = 360 等號左邊180 移項到右邊
−𝑥 + 4𝑥 = 360 − 180 整理
3𝑥 = 180
𝑥 = 180 ÷ 3 = 60
所以 ∠1 = 60°
6
Ex3.已知 ∠1 的餘角和 ∠1 的補角互補,請問 ∠1 的度數是多少?
◎解題思維:
題目中想要求 ∠1 的度數,可以假設 ∠1 的度數為 𝑥° ,
因此∠1 的餘角= (90 − 𝑥)° ;而∠1 的補角= (180 − 𝑥)°。
而題目條件中有提到這個∠1 的餘角和 ∠1 的補角會互補,也就
是「∠1 的餘角+ ∠1 的補角 = 180°」,所以可以列式成:
(90 − 𝑥) + (180 − 𝑥) = 180 去括號
90 − 𝑥 + 180 −𝑥 = 180 等號左右都有+180,所以同減
90 − 2𝑥 = 0
2𝑥 = 90
𝑥 = 90 ÷ 2 = 45
故 ∠1 = 45°
7
Ex4.如圖,直線 L、M、N 相交於 O 點,且 ∠3 = 90° ,若 ∠1 = 32° ,
請分別寫出 ∠2、∠4、∠5 和 ∠6 的度數。
◎解題思維:
題目中有提到 ∠3 = 90° ,而 ∠6 是 ∠3 的對頂角,
所以 ∠6 = ∠3 = 90° 。
而 ∠1 與 ∠4 是對頂角的關係,∠2 與 ∠5 是對頂角的關係。
因此 ∠1 = ∠4 而且 ∠2 = ∠5 。
題目當中有提到 ∠1 = 32° ,所以 ∠4 = 32° 。
剩下 ∠2 跟 ∠5 而已,因為我們知道 ∠5 = ∠2 ,所以求出其中
一角的度數就可以。
∠3 = 90°,也就是說 ∠1 + ∠2 = 90° ,他們互為餘角。
所以 ∠2 = 90° − ∠1 = 90° − 32° = 58° ,而 ∠5 = ∠2 = 58° 。
O
8
重點提問
1. 根據上面的課文,用自己的話解釋「直線、線段、射線」這三個
名詞,並舉例子說明,再比較其差異。
2. 根據上面的課文,依據角度的大小可以分為哪些類別?請依照大
小排序列出來,並舉例說明。
3. 根據上面的課文,用自己的話解釋「補角、餘角、對頂角」這三
個名詞,並舉例子說明。
9
․隨堂練習:
1. 請依照下列圖形,寫出相對應的記號。
(1)
(2)
(3)
(4)
2. 請依照下列記號,畫出相對應的圖形。
(1) 𝐶𝐷 ⃡ (2) EF̅̅̅̅
(3) AB (4) BA
10
3. 已知 ∠1 = 60° ,且 ∠1 和 ∠2 互餘,∠2 和 ∠3 互補,請分別
求出∠2 和 ∠3 的度數。
4. 已知 ∠1 的補角度數是它的餘角度數的 3 倍再多 60°,請問 ∠1
為幾度?
5. 如下圖,直線 L、直線 M、BA 相交於 B 點,若 ∠1 = 37°,且
∠3 = 90° ,請分別求出 ∠2、∠4 和∠5 的度數。
11
6. 如下圖,𝐵𝐴 、CE̅̅̅̅ 、𝐺𝐷 ⃡ 相交於 B 點,且 ∠ABC = 90° ,請根據圖
中的角回答下列問題。
(1) ∠ABC 的補角是 。
(2) ∠CBD 的對頂角是 。
(3) ∠DBE 的對頂角是 。
(4) ∠EBF 的餘角是 。
(5) ∠FBG 的補角是 。
(6) ∠GBA 的餘角是 。
(7) 上述六個角∠ABC、∠CBD、∠DBE、∠EBF、∠FBG、∠GBA當
中,那些角是銳角?那些角是直角?那些角是鈍角?
還是不太懂本課概念,請看下面影片(1)
https://youtu.be/JXvi1kikDoo
想多看幾題,請看下面影片(2)
https://youtu.be/KQEataSy-dw
還是不太懂本課概念,請看下面影片(3)
https://youtu.be/U0w-3FhkiFI
還是不太懂 Ex1~4,請看下面影片(4)
https://youtu.be/oc8cV3xJcLs
12
課文 B:多邊形
接下來要介紹一些三角形跟四邊形,這章節的很多名詞其實國小就學
過了,現在要再更深入的介紹它們。
首先要介紹「三角形」。
如圖,用線段連接不在同一直線上的 A、B、
C 三點,即為三角形。記作「△ABC」,讀作
「三角形ABC」。其中𝐴𝐵̅̅ ̅̅ 、𝐵𝐶̅̅ ̅̅ 、𝐶𝐴̅̅ ̅̅ 稱為邊,
而∠A、∠B、∠C稱為內角。
三角形分類
分類 例子 描述 想想如何命名
三個內角
都是銳角
有一個內
角是直角
有一個內
角是鈍角
13
事實上,我們把上面三類三角形依序稱作:銳角三角形、直角三角形
與鈍角三角形。
如圖,兩邊等長的三角形就稱為「等腰三角
形」。𝐴𝐵̅̅ ̅̅ =𝐶𝐴̅̅ ̅̅ 稱為「腰」,𝐵𝐶̅̅ ̅̅ 稱為「底邊」;
∠A稱為「頂角」,∠B=∠C稱為「底角」。
有沒有可能一個三角形既是等腰又是直角
呢?如圖,我們稱△ABC為「等腰直角三角
形」,且∠B=∠C=45°。
再來要介紹「四邊形」
如圖,用線段連接頂點 A、B、C、D,其中任三點
都不在同一直線上,稱為四邊形 ABCD。其中𝐴𝐵̅̅ ̅̅ 、
𝐵𝐶̅̅ ̅̅ 、𝐶𝐷̅̅ ̅̅ 、𝐷𝐴̅̅ ̅̅ 是邊,∠A、∠B、∠C、∠D是內角。
邊的關係分為「對邊」與「鄰邊」,如圖:𝐶𝐷̅̅ ̅̅ 和 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ 互為對邊;𝐷𝐴̅̅ ̅̅ 和
𝐵𝐶̅̅ ̅̅ 互為對邊。而 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ 與 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ 互為鄰邊; 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ 與 𝐷𝐴̅̅ ̅̅ 互為鄰邊。
角的關係亦分為「對角」與「鄰角」,如圖:∠A 和 ∠C 互為對角; ∠B 和
∠D 互為對角。而∠A 和 ∠B 互為鄰角; ∠A 和 ∠D 互為鄰角。
14
特殊四邊形
圖形 描述 想想如何命名
四個角都是直角的四邊形。
四邊等長的四邊形。
兩雙鄰邊分別等長的四邊形。
四邊等長且四個角都是直角的
四邊形。
兩雙對邊分別平行的四邊形。
只有一雙對邊平行,但是另外
一雙對邊不平形的四邊形。
上面幾類四邊形,我們依序稱為:矩形(或長方形)、菱形、箏形(或
鳶形)、正方形、平行四邊形、梯形。
15
最後,要來介紹「多邊形」。
由一些線段所圍成的封閉圖形,就稱為多邊形。通常我們會以多邊形
的邊數來命名,四條線段圍成的圖形就稱為四邊形,五條線段圍成的
圖形就稱為五邊形,六條線段圍成的圖形就稱為六邊形,以此類推。
四邊形 五邊形 六邊形
如左圖,將任意兩不相鄰的頂點連線,就稱為對角
線。例如:𝐴𝐶̅̅ ̅̅ 、𝐵𝐷̅̅ ̅̅ 等。
多邊形也分為兩種,一種是「凸多邊形」,一種是「凹多邊形」。
如果畫出多邊形的所有對角線,而所有的對角線都在多邊形的內部,
那麼這個多邊形就是「凸多邊形」。如下圖:
凸四邊形 凸五邊形 凸六邊形
16
如果畫出多邊形的所有對角線,而有一條對角線在多邊形的外部,那
麼這個多邊形就是「凹多邊形」。例如下圖:凹四邊形
凹四邊形
如果一個多邊形的每一個邊皆等長且每一個內角也相等,這樣的多邊
形稱為正多邊形。例如:
正五邊形 正六邊形 正七邊形 正八邊形
17
重點提問
1. 根據上面的課文,從三角形的內角可以將三角形分成哪些類?其
判斷的依據分別是什麼?
2. 根據上面的課文,請寫出下列各個特殊四邊形的定義,並畫出一
個例子。
(1)長方形 (2)菱形
(3)箏形 (4)正方形
(5)平行四邊形 (6) 梯形
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3. 根據上面的課文,用自己的話解釋「對角線」,並畫出一個五邊
形及其對角線。
4. 根據上面的課文,用自己的話解釋「凸多邊形、凹多邊形、正多
邊形」,並舉例說明。
19
․隨堂練習:
1. 根據所給定的邊角數據,判斷下列各圖形中,哪一個是菱形。
(A)
(B)
(C)
(D)
2. 下列何者是凸多邊形?
(A)
(B)
(C)
(D)
20
△AEB․ ․銳角三角形
△ABC․ ․直角三角形
△ADE․ ․鈍角三角形
還是不太懂,
請看下面影片(1)
https://youtu.be/fXB6BgngN
Gs
還是不太懂,
請看下面影片(2)
https://youtu.be/YTcIy402Z
ks
還是不太懂,
請看下面影片(3)
https://youtu.be/07HnPz9-q
8o
3. 如右圖,已知 ∠AEC 和 ∠BDC 都是直角,
∠ABC 為銳角,完成下面的連連看並說明
理由。
21
課文 C:圓
另外一個常見的平面圖形就是「圓」。在國小的時候就已經學過圓,
也已經會利用圓規來畫圓了。這篇課文 C就要回憶一下一些跟圓有關
的概念,以及從不同面向來認識圓。
再更多點
如左圖,在平面上,距離一個固定點(圓心)一
段固定距離(半徑)的所有點,所形成的圖形就
是圓。
通常會利用圓心來命名,如左圖,圓心是 𝑂點,
那麼我們就稱它為圓𝑂。
如左圖,圓上任意兩點連線段,就稱為圓的「弦」,
如:𝐴𝐶̅̅ ̅̅ 、𝐵𝐷̅̅ ̅̅ 、𝐴𝐸̅̅ ̅̅ 。
其中弦𝐴𝐸̅̅ ̅̅ 通過圓心,那麼就是直徑。
22
如左圖,圓的一部份,稱為「弧」。用“ ”來
表示,唸作“弧 AB”。
如左圖, 剛好是圓的一半,就是所謂的「半
圓」或「半圓弧」。
比半圓小就稱為「劣弧」。
比半圓大就稱為「優弧」。
一條弦和一個弧所圍成的區域就稱為「弓形」。
如左圖,由弦 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ 和劣弧 圍成的紅色圖形是弓
形;而弦 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ 和優弧 圍成的圖形也是。
兩條半徑及所夾的弧所圍成的圖形就稱為「扇形」
如左圖,半徑 𝐴𝑂̅̅ ̅̅ 、𝐵𝑂̅̅ ̅̅ 和 圍成的紅色圖形就
是扇形;而半徑 𝐴𝑂̅̅ ̅̅ 、𝐵𝑂̅̅ ̅̅ 和 圍成的也是。
∠𝐴𝑂𝐵稱為圓心角。
如左圖,橘色區域的確看起來像是扇子,它的兩
邊並不是半徑,所以橘色區域不是扇形。
弓形
弓形
扇形
扇形
23
小學的數學課中會用圓周率的近似值3.14做計算,但實際上圓周率無
法用一個精準的數值表示,因此在數學上,習慣以希臘字母「 π 」(音
唸“ 拍 ”)表示。
若以 r 代表圓的半徑,所以直徑就是半徑的 2 倍,也就是 2r ,那麼
圓周長的公式:直徑×圓周率= 2 × r × π = 2πr。
而圓面積公式就是:半徑×半徑×圓周率= r × r × π = πr2。
如果這個扇形的圓心角是 𝑎° ,圓的完整
一圈是 360° ,所以就是佔了 𝑎
360 圈。
因此要算出這個弧長,就將整個圓算出
來後,再乘以它所佔的 𝑎
360 。而圓周長
是 2πr ,所以弧長就會是 2πr ×𝑎
360 。
圓的完整一圈是 360°,如果這個扇形的圓心角是
𝑎° ,也就是佔了 𝑎
360 圈。
所以要算出這個圓面積,我們就將整個圓面積算
出來後,再乘以它所佔的 𝑎
360 。
因為圓面積是 πr2 ,所以扇形面積就會是
πr2 ×𝑎
360 。
2πr ×𝑎
360
πr2 ×𝑎
360
24
下面用幾題例題來練習一下圓面積的相關應用。
Ex1.如右下圖,圓𝑂的半徑為 5 公分,圓心角∠AOB = 60° ,則
(1) 的長度為多少公分?
(2)扇形AOB 的面積為多少平方公分?
◎解題思維:
扇形的圓心角 60°,整個圓一圈是 360°,所以此扇形佔了60
360=
1
6
個圓,因此扇形面積就是圓面積的 1
6 ,弧長就是圓周長的
1
6 。
這個弧長為:1
6× 2 × 𝜋 × 5 =
5
3𝜋(公分);
扇形AOB面積為:1
6× 𝜋 × 52 =
1
6× 𝜋 × 25 =
25
6𝜋 (平方公分)。
25
Ex2.已知半徑為 12 公分的圓中,有一弧長為
8π 公分,則此弧所對應的圓心角為度?
◎解題思維:
我們假設圓心角為 𝑎° ,圓一圈有 360∘,所以這個扇形佔了整個
圓的 𝑎
360 。所以弧長 = 圓周長 ×
𝑎
360 。
半徑為 12 公分的圓周長為 2 × 12 × π = 24π (公分),
8 𝜋 = 2415 360
a
𝑎 = 8 × 15 = 120 (度)
Ex3.在半徑為 8 公分的圓中,有一扇形面積
為 16π 平方公分,則扇形圓心角為幾度?
◎解題思維:
我們假設圓心角為 𝑎° ,扇形面積= 圓面積 ×𝑎
360 。
半徑為 8 公分的圓面積為 8 × 8 × 𝜋 = 64𝜋 (公分),
16 𝜋 = 64 169045
8
a
360=
8
45𝜋 × 𝑎
𝑎 = 16 ÷8
45= 16 2
45
8 = 90 (度)
26
Ex4.如右圖,圓𝑂的半徑為 3 公分,圓心角
∠AOB = 90∘,求橘色弓形的面積與周長。
◎解題思維:(面積)
弓形面積是沒有辦法直接算出來的,需要用扣除的方式來求出。
仔細看一下,橘色弓形面積就是 扇形AOB 減掉 △ AOB 。
=
−
扇形面積是 9π ×1
4=
9
4𝜋 (平方公分)。
△ AOB 是一個直角三角形,它的面積:1
2× 3 × 3 =
9
2 。
所以弓形面積就是:
=
−
= 9
4𝜋 −
9
2
沒辦法繼續算下去,這就是最後答案了!
弓形面積 =9
4𝜋 −
9
2 (平方公分)。
如果將𝜋用3.14代入計算,只會求得弓形面積的近似值。
27
◎解題思維:(周長)
弓形的周長就是弧 加上弦 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ 。
=
+
= 6π ×1
4=
3
2𝜋 。
△ AOB 是直角三角形,利用畢氏定理
𝐴𝐵̅̅ ̅̅ = √32 + 32 = √9 + 9 = √18 = √2 × 3 × 3 = 3√2。
=
+
= 3
2𝜋 + √18
= 3
2𝜋 + 3√2
這個就是最後的答案了!弓形周長 =3
2𝜋 + 3√2 (公分)。
28
重點提問
1. 根據上面的課文,請解釋一下「弦、弧、弓形、扇形」,並畫出
例子。
2. 根據上面的課文,弧長的公式為何?是如何計算出來的?
3. 根據上面的課文,扇形的面積公式為何?是如何計算出來的?
29
․隨堂練習:
1. 若有一圓𝑂的半徑為 8 公分,A, B 為圓上的兩點,而且圓心角
∠AOB = 45° ,則
(1) 的長度為多少公分?
(2)扇形AOB 的面積為多少平方公分?
2. 已知半徑為 10 公分的圓中,有一弧長為 8π 公分,則此弧所對應
的圓心角為多少度?
3. 在半徑為 3 公分的圓中,有一扇形面積為 π 平方公分,則扇形圓
心角為幾度?
30
4. 如右圖,正方形 ABCD 的邊長為 5 公分,且 ADB 為一扇形,求橘
色的面積與周長。
Ex4還是不太懂,
請看下面影片(4)
https://youtu.be/zOBre22kpI0
還想多看一題,
請看下面影片(5)
https://youtu.be/4WLq0udsTds
還是不太懂,
請看下面影片(1)
https://youtu.be/XOo5xUl6X6w
Ex1還是不太懂,
請看下面影片(2)
https://youtu.be/ItmtbheyPdI
Ex2、3 還是不太懂,
請看下面影片(3)
https://youtu.be/DKVmEn0blRc