Upload
others
View
9
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
1
Fiche d’approfondissement 01 : Equation différentielle linéaire d’ordre un à coefficients constants avec second membre
dépendant du temps Lorsqu’un système est soumis à une tension d’entrée e(t), la modélisation aboutie à une équation différentielle de la forme :
𝑑𝑠𝑑𝑡 +
𝑠𝜏 = 𝐻!×
𝑒 𝑡𝜏
Equation différentielle linéaire du premier ordre à coefficient constant avec second membre dépendant du temps. 𝐻! : Amplification statique, sans unité 𝜏 : Constante de temps et a donc pour unité la seconde. 𝑒 𝑡 étant un échelon de tension, on obtient pour 𝑡 > 0𝑠 :
𝑑𝑠𝑑𝑡 +
𝑠𝜏 = 𝐻!×
𝐸𝜏
Régime transitoire et régime permanent : La solution de l’équation différentielle est la somme de deux termes :
𝑠 𝑡 = 𝑠! 𝑡 + 𝑠! 𝑡 • 𝑠! 𝑡 : solution générale de l’équation homogène associée !!!
!"+ !!
!= 0 qui a pour forme :
𝑠! 𝑡 = 𝐴× exp −𝑡𝜏 , 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝐴: 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 à 𝑑é𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑒𝑟
• 𝑠! 𝑡 : solution particulière de l’équation complète. Pour un échelon de tension e(t), on a une solution continue :
𝑠! 𝑡 = 𝐻!×𝐸 La solution générale devient alors
𝑠 𝑡 = 𝑠! 𝑡 + 𝑠! 𝑡
𝑠 𝑡 = 𝐴× exp −𝑡𝜏 + 𝐻!×𝐸
Pour un filtre passe d’ordre 1 : Dans la plupart des cas, le signal de sortie à 𝑡 = 0𝑠 est nul :
𝑠 𝑡 = 0 = 𝐴× exp −0𝜏 + 𝐻!×𝐸 = 0
𝐴×1+ 𝐻!×𝐸 = 0 Donc, on obtient : 𝐴 = −𝐻!×𝐸 La solution générale devient alors
𝑠 𝑡 = 𝐴× exp −𝑡𝜏 + 𝐻!×𝐸
𝑠 𝑡 = −𝐻!×𝐸× exp −𝑡𝜏 + 𝐻!×𝐸
On factorise par 𝐻!×𝐸 et on obtient la solution de l’équation différentielle :
𝑠 𝑡 = 𝐻!×𝐸(1− exp −𝑡𝜏 )
2
Graphiquement, on obtient :
𝑠 𝑡 est représentée en trait plein. 𝑒 𝑡 est représentée en pointillé.
On distingue deux régimes :
• Régime transitoire : t < 3𝜏, 𝑠 𝑡 = 𝑠! 𝑡 + 𝑠! 𝑡 • Régime permanent (continu): t > 3𝜏 , 𝑠! 𝑡 + 𝑠! 𝑡 ≈ 𝑠! 𝑡 = 𝑠 𝑡 = 𝐻!×𝐸
RT RP