Ficha para identificação da Produção Didático-pedagógica – Turma 2016

Título: A Influência da Geometria na Construção das Obras de Arte: Aprendendo com Perspectiva.

Autor: Ivânia Mara Gabardo

Disciplina/Área: Matemática

Escola de Implementação do Projeto e sua localização:

Colégio Estadual General Antônio Sampaio – Ensino Fundamental e Médio, situado na av. Carlos Cavalcanti nº 2145.

Município da escola: Ponta Grossa

Núcleo Regional de Educação: Ponta Grossa

Professor Orientador: Prof. Dr. Jocemar de Quadros Chagas

Instituição de Ensino Superior:

Universidade Estadual de Ponta Grossa

Relação Interdisciplinar: Matemática, História e Arte.

Resumo:

Esta produção Didático-Pedagógica é composta de sete ações. Cada ação apresenta orientações ao professor, fatos históricos da Matemática (através de textos e indicação de vídeos), e atividades para os alunos explorarem as relações entre a Geometria e a Arte. Pretendemos, com este trabalho, mostrar aos alunos que sempre é possível encontrar uma relação entre a Matemática e o cotidiano. Nosso propósito é mostrar o quanto a Matemática foi e é importante na História e na Arte, utilizando uma metodologia dinâmica para motivar o aluno.

Palavras-chave: Ensino de Geometria; Perspectiva matemática; desenho/pintura.

Formato do Material Didático: Unidade didática de Matemática.

Público: Alunos do 9º ano do ensino fundamental.

Nosso propósito com esse trabalho é mostrar o quanto a Matemática foi e é

importante na História e na Arte, utilizando uma metodologia dinâmica para

motivação dos alunos. Como nos últimos anos verificamos um acentuado

desinteresse dos alunos pela disciplina, nosso objetivo é apresentar uma face da

Matemática mais interessante e atraente, mostrando que sempre é possível

perceber uma relação entre a Matemática, o cotidiano e as artes.

A presente produção Didático-Pedagógica propõe utilizar a História da

Matemática como um fio condutor para introduzir os conteúdos, ao mostrar fatos

históricos relacionados à elaboração de certos conteúdos, rompendo assim com

pensamento de que a Matemática é uma ciência pronta e acabada. Buscaremos

explorar as relações entre a Geometria e a Arte, fazendo uso das simetrias e

proporções encontradas tanto na natureza quanto nas artes. Como podemos ver em

Tomás de Aquino APUD (BERGAMINI, 1965, p.88): “Os sentidos se deleitam com

coisas devidamente proporcionais”. Nessa citação encontramos uma referência à

relação entre a beleza e a Matemática presente tanto na natureza quanto nas artes,

que, ao ser examinada, permite que se estude um amplo conteúdo de Geometria.

Com o incentivo ao estudo das Geometrias Plana e Espacial temos por

finalidade fazer com que os alunos desenvolvam algumas habilidades específicas,

mais propriamente, pretendemos estimular os alunos a desenhar em perspectiva,

habilidade que não depende de dons especiais ou artísticos, apenas da

compreensão e domínio de certas técnicas matemáticas que se propõe ensinar com

o uso deste material.

Esta produção Didático-Pedagógica está dividida em sete ações. Cada ação

apresenta orientações ao professor, cita os fatos históricos da Matemática que

podem ser usados para introduzir os conteúdos de forma direta, ou indicando vídeos

e textos, e propõe atividades para os alunos realizarem.

1ª AÇÃO

.

1. Para começar, use sua criatividade e, numa folha em branco, faça um desenho

de:

a) Uma longa estrada;

b) Um cubo;

c) Um prédio.

Quero que você capriche. Mas não se preocupe se seu desenho não ficar tão bom.

Nas próximas aulas você irá aprender algumas técnicas que são usadas para

desenhar.

Orientação ao professor:

1º Momento: Distribuir aos alunos folhas de papel sulfite e solicitar que eles desenhem

algumas imagens, como: uma estrada, um cubo, um prédio. O objetivo é fazer uma

investigação dos conhecimentos prévios e habilidades de desenhar dos alunos. Estas

atividades devem ser guardadas para uma futura comparação.

2º Momento: Assistir um vídeo sobre Geometria.

3º Momento: Conversar com os alunos sobre o vídeo e a interferência da Matemática na

Arte.

Carga horária

2 h/a

2ª AÇÃO

Séculos antes de Cristo, os Pitagóricos descobriram um número que tem

muita importância e aparecia em muitos lugares. Séculos depois de sua descoberta,

esse número recebeu o nome de Número de Ouro e sua utilização, de Proporção

Áurea. Este número teve e ainda tem muita influência na Geometria, nas Artes, na

Arquitetura e na Biologia. É um número repleto de aplicações e mistérios,

considerado por muitos como um presente de Deus à humanidade. Este número é

chamado de Phi (que é a pronuncia da letra f grega), inicial do nome Fideas. Fideas

foi um escultor e arquiteto grego, responsável pela construção do Partenon em

Atenas.

O número Phi é um número irracional, ou seja, pode ser representado como

uma dízima não periódica. Para facilitar seu uso, muitas vezes ele é arredondado.

Por exemplo, o seu valor arredondando para três casas decimais é 1,618.

Orientação ao professor:

1º Momento: Trabalhar com os alunos o conceito do Número de Ouro e suas aplicações.

Utilizando a TV pendrive, contar a história da descoberta deste número e mostrar

imagens da sua existência na natureza e a sua utilização nas obras de arte e na

arquitetura.

Φ = 1,61803398...

Carga horária

4 h/a

E ONDE PODEMOS ENCONTRAR ESTA RAZÃO?

Exemplos na Natureza:

Disponível em: http://www.publicdomainpictures.net/view-image.php?image=1222&jazyk=PT

Disponível em: http://cdn.instantshift.com/wp-content/uploads/2015/03/golden-ratio-in-designs-02.jpg

Exemplos em Obras de Arte:

O número de ouro (proporção áurea) tem sido muito utilizado na Arte.

Vejamos alguns dos exemplos mais famosos:

A Mona Lisa, de Leonardo da Vinci, tem a proporção áurea nas relações

entre o tronco e a cabeça, e também nos elementos da face:

Disponível em: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/6a/Mona_Lisa.jpg

O auto-retrato de Leonardo da Vinci:

Disponível em: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/9e/Possible_Self-Portrait_of_Leonardo_da_Vinci.jpg

Exemplos na Arquitetura:

O Partenon foi um templo dedicado à deusa grega Atena, construído no

século V a.C. na Acróplole de Atenas na Grécia Antiga, por iniciativa de Péricles,

governante da cidade.

Disponível em: http://img.cas.sk/img/21/article/1109932_pantheon-akropolis.jpg

Exemplo na Atualidade:

Disponível em: https://pixabay.com/p-1369111/?no_redirect

VAMOS PRATICAR? 1. Cole o cartão de crédito em seu caderno, e, utilizando uma régua, meça:

a) O comprimento do cartão ______________________

b) A largura do cartão _________________

2. Utilizando uma calculadora, calcule a razão entre o comprimento e a largura do

cartão.

Que número você achou? ______________

Orientação ao professor:

2º Momento: Distribuir cópias de cartões de crédito em tamanho original aos alunos.

Solicitar que eles colem o cartão no caderno, meçam o comprimento e a largura do

cartão, e anotem as medidas. Em seguida, pedir para que calculem a razão entre o

comprimento e a largura do cartão. Serão obtidos valores aproximados ao Número de

Ouro (explicar que o valor encontrado é apenas aproximado devido a falhas no processo

de medição, e que em pequena escala, esse erro de medição é normal, variando de acordo

com a pessoa que efetua a medição e a qualidade do instrumento utilizado para medir.)

(Cuidar para que a cópia do cartão de crédito entregue aos alunos esteja em tamanho

original, sem ser deformado.)

MODO DE DESENHAR A ESTRELA DE 5 PONTAS

1. Com o compasso, traçar uma circunferência com 5cm de raio. Para facilitar a

medição, utilizar a malha quadriculada de 1cmx1cm.

2. Marcar um ponto de referência sobre a circunferência.

3. Como a circunferência mede 360º, ao dividir por 5 obtemos 72º. Com ajuda do

transferidor, marcar um outro ponto na circunferência com a medida de 72º.

4. Com o compasso, pegar esta medida e marcar os demais 3 pontos. Marcar

ainda o último ponto, que deve coincidir com o primeiro.

Fonte: Professora PDE Ivânia Mara Gabardo

5. Unir os pontos marcados com um segmento de reta, pulando sempre um.

6. Colocar letras maiúsculas nas pontas da estrela, para identificar os vértices.

Orientação ao professor:

3º Momento: Construir uma estrela de cinco pontas no quadro, seguindo o passo a

passo exposto a seguir. Pedir que os alunos reproduzam o desenho. Materiais

necessários: régua, compasso, transferidor, caderno de folhas quadriculadas medindo

1cmx1cm.

7. Note que dentro da estrela existe um pentágono. Colocar letras maiúsculas nos

vértices do pentágono.

Fonte: Professora PDE Ivânia Mara Gabardo

8. Após todos os alunos terminarem o desenho, desenhar na estrela do quadro

várias estrelas dentro uma das outras.

9. Pedir para os alunos fazerem o mesmo em seu desenho.

Fonte: Professora PDE Ivânia Mara Gabardo

10. Contar quantas estrelas conseguiu desenhar, uma dentro da outra, no quadro.

Pedir aos alunos que contem quantas estrelas eles conseguiram desenhar.

11. Deu diferença no número de estrelas? Por quê isso aconteceu?

1. Observe os passos usados para desenhar uma estrela de 5 pontas no

quadro.

2. Utilizando o papel com a malha quadriculada de 1cm de lado, desenhe uma

estrela de 5 pontas seguindo as orientações dadas.

3. Agora, vamos procurar o Número de Ouro nos segmentos da estrela:

a) Utilizando uma régua, meça o segmento AC: ___________

b) Agora, meça o segmento FC: ___________

c) Calcule a razão entre o segmento AC e FC.

d) Que número você achou? _____________

e) Qual o nome do polígono que encontramos dentro da estrela?

________________

f) Una os vértices do polígono pulando sempre um, com uma reta, e você obterá

outra estrela de 5 pontas.

g) Quantas estrelas você conseguiu construir dentro uma da outra? __________

h) Se seu lápis tivesse a ponta suficientemente fina, quantas estrelas você

conseguiria construir uma dentro da outra? _____________

MODO DE DESENHAR O RETÂNGULO ÁUREO

1. Construir um quadrado ABCD na malha quadriculada. Achar o ponto médio do

segmento AD, e marcar com a letra maiúscula M. Com a ponta seca do

compasso em M e o grafite em C, traçar um arco como mostra o desenho.

Estender o segmento AD até interceptar o arco, e marcar este ponto com a letra

E. A base do retângulo será o segmento AE.

Fonte: Professora PDE Ivânia Mara Gabardo

2. Traçar um novo segmento formando um ângulo reto com o segmento AE.

Estender o segmento BF até interceptar este novo segmento. Marcar com a letra

F.

Fonte: Professora PDE Ivânia Mara Gabardo

3. Pronto. Obtemos o retângulo áureo, e se retirarmos o quadrado ABCD, o que

sobrar será um novo retângulo áureo.

Orientação ao professor:

4º Momento: Construir o retângulo áureo com os alunos, seguindo o passo a passo a

seguir. Materiais necessários: régua, compasso, caderno de folhas quadriculadas

medindo 1cmx1cm.

4. Refazer este processo no novo retângulo, achando o quadrado. O restar será

um novo retângulo áureo, e assim sucessivamente.

Fonte: Professora PDE Ivânia Mara Gabardo

5. Em seguida, com o compasso traçar a espiral.

1. Observe a construção do retângulo áureo e da espiral. Na malha quadriculada,

construa você também um retângulo áureo, seguindo as orientações. A seguir,

desenhe também uma espiral.

2. Agora, utilizando seu desenho:

a) Utilize uma régua, e meça o comprimento do retângulo ABFE: ________

b) Agora, meça a altura do retângulo ABFE: ________

c) Usando uma calculadora, calcule a razão entre o comprimento e a altura

do retângulo.

d) Que número você achou? _____________

3ª AÇÃO

Você sabe qual a diferença entre igual e semelhante?

Igual Idêntico, valores iguais. Semelhante Parecido, que é da mesma forma, espécie.

Orientação ao professor:

1º Momento: Explicar a diferença entre iguais e semelhantes.

2º Momento: Construir retângulos semelhantes e não semelhantes no papel com

malha quadriculada 1cmx1cm.

3º Momento: Explicar razão e proporção.

.

Carga horária

6 h/a

Razão é a comparação entre dois valores de uma mesma grandeza (objetos, pessoas, medida, etc). Para comparar, dividimos os dois números (diferentes de 0), escrevendo: a, a:b ou a/b b

Proporção é a igualdade entre duas razões

1. Em um papel com malha quadriculada de 1cm de lado, desenhe:

a) Um retângulo com 4cm de comprimento e 3cm de largura.

b) Outro retângulo com o dobro das dimensões do retângulo inicial.

c) Calcule a razão entre o comprimento do retângulo maior e do menor ______

d) Calcule a razão entre a largura do retângulo maior e do menor ___________

e) As razões são iguais? __________

f) Escreva a igualdade das razões: ________________________

g) Os retângulos são semelhantes? ________________________

2. Agora construa um retângulo mantendo a medida do comprimento do

retângulo inicial, e dobrando somente a sua largura.

a) Calcule a razão entre o comprimento do retângulo maior e do menor _______

b) Calcule a razão entre a largura do retângulo maior e do menor ___________

c) As razões são iguais? __________

d) Os retângulos são semelhantes? _____________

Na atividade que você acabou de fazer, as razões obtidas foram iguais? Isso ocorre porque existe uma proporção entre as medidas dos elementos desses retângulos.

Como as razões obtidas não são iguais, os retângulos não são proporcionais.

3. As figuras apresentadas abaixo são semelhantes. Calcule a razão de

ampliação entre elas.

MODO DE CONSTRUIR TRIÂNGULOS SEMELHANTES

1. Desenhar um retângulo de 10cmx6cm na malha quadriculada. Tracejar uma

de suas diagonais. Recortar o retângulo. Cortar também na linha pontilhada,

formando 2 triângulos iguais.

Fonte: Professora PDE Ivânia Mara Gabardo

Orientação ao professor:

4º Momento: Fazer uma atividade de desenho e recorte, explicada a seguir, para

explicar o conceito de triângulos semelhantes.

2. Identificar a hipotenusa e o ângulo reto de um dos triângulos, e fazer uma

dobradura no papel que comece exatamente no ângulo reto, ajustando a

dobradura de forma que a hipotenusa seja dobrada exatamente sobre ela

mesma. Traçar uma linha pontilhada sobre a dobra que foi marcada no papel.

Você vai ficar com um desenho parecido com este:

Fonte: Professora PDE Ivânia Mara Gabardo

3. Recortar na linha pontilhada, obtendo assim 3 triângulos do retângulo inicial.

Fonte: Professora PDE Ivânia Mara Gabardo

4. Sobrepor os triângulos, fazendo coincidir um dos ângulos.

Fonte: Professora PDE Ivânia Mara Gabardo

Estes três triângulos são semelhantes entre si. A relação básica para um triângulo ser semelhante a outro, é que ele deve conseguir encaixar exatamente um ângulo em cima do outro, e os lados opostos a esse ângulo nos dois triângulos devem ser paralelos.

1. Seguindo as orientações dadas, desenhe um retângulo medindo 10cmx6cm

na malha quadriculada de 1cm de lado e recorte, conforme as orientações,

para encontrar triângulos semelhantes.

QUE TAL UTILIZAR O QUE VOCÊ APRENDEU?

Ângulos iguais = ângulos correspondentes

Caro professor, sugiro que neste momento você pegue os triângulos construídos por

dois alunos para mostrar os triângulos iguais e semelhantes.

Como você já viu, figuras semelhantes possuem lados proporcionais. Nas

atividades a seguir, você irá trabalhar com triângulos semelhantes, e poderá ver

que a semelhança de triângulos possui várias utilidades na matemática.

a = b ou a = a’ a’ b’ b b’

Tales de Mileto foi um filósofo e matemático grego que viveu entre 624 a.C. e

547 a.C.. Do pouco que sabe-se a seu respeito. Muitos de seus conhecimentos

procederam de viagens que ele fez, e em uma delas ele esteve no Egito, onde

aplicou o conceito de semelhança de triângulos para medir a altura de uma pirâmide.

Foi daí que surgiu o famoso Teorema de Tales.

Orientação ao professor:

5º Momento: Apresentar Tales de Mileto, dando a conhecer um pouco da História do

Teorema de Tales.

6º Momento: Explicar a aplicação do teorema de Tales.

7º Momento: Realizar atividades utilizando o teorema de Tales. 8º Momento: Atividades utilizando o conceito de semelhança de triângulos para resolver

situações problemas.

Teorema de Tales: Se um feixe de retas paralelas é cortado por duas retas

transversais, então os segmentos determinados numa das retas transversais

são proporcionais aos segmentos determinados na outra.

AB = A’B’ BC B’C’

https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4f/Thales_theorem_3.svg/548px-Thales_theorem_3.svg.png

QUE TAL TREINAR UM POUCO? Observe a figura:

https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/c9/Tales_aplication.jpg

Para calcular a altura da pirâmide de Queóps, Tales de Mileto apoiou uma vara

espetada perpendicularmente ao chão e esperou que a sombra tivesse

comprimento igual ao da vara. Então, mediu da extremidade da sombra ao centro

da pirâmide, fazendo uso da semelhança de triângulos, como vemos na figura.

Nos triângulos semelhantes se cumpre que:

https://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Tales#/media/File:Thales_theorem_6.png

Aplicando as propriedades de triângulos semelhantes, você encontrará:

10,5 = 21 0,7 = 0,7 as razões são iguais

15 30 Outra maneira de verificar proporcionalidade é a multiplicação dos meios com os

extremos (em cruz), se ao fazer isso for obtido o mesmo resultado, temos

proporcionalidade.

10,5 = 21 10,5.30 = 15.21 315 = 315

15 30

Use o Teorema de Tales para resolver os problemas a seguir:

1. Utilize o Teorema de Tales para calcular o valor de x:

2. Utilize o Teorema de Tales para calcular o valor do segmento de reta AB:

3. Utilize o Teorema de Tales para calcular o valor de x:

4. Utilize o Teorema de Tales para calcular o valor de x, y e z.

5. Na figura a seguir está representada a fachada de um prédio. Os segmentos

de reta AB e CD são perpendiculares a BE e os segmentos de reta AB e CD

são paralelos.

a) Determine a razão de semelhança entre os triângulos ABE e CDE.

b) Determine a altura do prédio.

Imagens disponíves em: http://brasilescola.uol.com.br/upload/conteudo/images/Untitled-23(1).gif

4ª AÇÃO

Orientação ao professor:

1º Momento: Trabalhar com os alunos o conceito de Homotetia, e explicar sua

utilização na Arte.

2º Momento: Ensinar aos alunos como ampliar e reduzir figuras geométricas

utilizando a Homotetia.

3º Momento: Utilizar a Homotetia para verificar a semelhança entre dois polígonos e

as relações entre eles.

4º Momento: Verificar que utilizou o conceito de semelhança de triângulos nesta

atividade.

HOMOTETIA O que é homotetia? Homotetia é a ampliação ou redução de figuras a partir de um ponto fixo,

preservando a forma da figura original, mas não o seu tamanho, formando figuras

semelhantes. Na homotetia preserva-se os ângulos, as razões entre os segmentos

de retas e o paralelismo. As figuras abaixo apresentam exemplos de homotetia:

Disponível em: http://www.imagui.com/a/estrellas-figura-i6epoLBzy Disponível em: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/a9/Homothetic_transformation.svg

Carga horária

4 h/a

MODO DE AMPLIAR E REDUZIR FIGURAS UTILIZANDO A HOMOTETIA

1. Em uma malha quadriculada construir, por exemplo, um quadrado ABCD de

2cm de lado. Marcar um ponto O exterior a esse quadrado a uma distância

qualquer dele, que será o centro de homotetia. Traçar semirretas com origem

neste ponto e passando pelos vértices do quadrado ABCD. Para ampliar este

quadrado, use proporção: por exemplo, para aumentar na proporção de 2

para 1, com o compasso, meça o segmento OA, e com essa medida marque

o ponto E adiante de A, na semirreta que começa em O e passa por A. Repita

o mesmo procedimento com os vértices B, C e D. Trace o quadrado EHGF.

Fonte: Professora PDE Ivânia Mara Gabardo

2. Se você utilizar uma proporção maior que um (2:1, como descrito acima, ou

outra proporção de aumento), você irá marcar pontos adiante do vértice que

usou para marcar a medida no compasso, e a figura será aumentada.

3. Para utilizar uma proporção menor que um (por exemplo, 1:2), você deve

dividir proporcionalmente o segmento OA. Se marcar os pontos médios dos

segmentos OA, OB, OC e OD, você irá desenhar um quadrado com a metade

do tamanho do quadrado original ABCD.

Disponível em: http://i.stack.imgur.com/j9NXem.png

1. Utilizando a malha quadriculada, desenhe um quadrado de 2cm de lado. A

seguir, faça duas ampliações deste quadrado, uma de razão 2 e outra de

razão 4, usando a técnica da Homotetia.

a) Calcule o perímetro e a área de cada quadrado.

b) O perímetro do segundo quadrado corresponde ao dobro do primeiro

quadrado? ______________

c) O perímetro do terceiro quadrado corresponde ao quádruplo do primeiro

quadrado? ______________

d) A área do segundo quadrado corresponde ao dobro do primeiro

quadrado? ______________

e) A área do terceiro quadrado corresponde ao quádruplo do primeiro

quadrado? ______________

2. Desenhe, na malha quadriculada, uma estrela de 5 pontas. Depois, use a

técnica da Homotetia e faça uma ampliação da estrela com o tamanho que

você desejar.

MODO DE REDUZIR FIGURAS COM O PONTO DE HOMOTETIA DENTRO DA FIGURA

1. Desenhar um retângulo qualquer.

2. Traçar suas diagonais.

3. Utilizando o compasso, achar o ponto médio das metades de cada diagonal.

4. Unir esses pontos médios, formando um novo retângulo, reduzido à razão de

1/2 do retângulo maior.

5. Unir os vértices dos retângulos. O desenho assim obtido é a base que os

arquitetos utilizam para representar o interior de um ambiente, dando a

impressão de profundidade.

Fonte: Professora PDE Ivânia Mara Gabardo

1. Utilizando a malha quadriculada de 1cm de lado, faça a redução de razão ½

de um retângulo de 6cmx4cm, usando a técnica da Homotetia com o Ponto

de Homotetia no interior da figura.

5ª AÇÃO

Usando a técnica aprendida no vídeo, trace as linhas pedidas abaixo:

LINHAS HORIZONTAIS

LINHAS VERTICAIS

Orientação ao professor:

1º Momento: Ensinar aos alunos a traçar linhas à mão livre. Mostrar um vídeo que

ensina a técnica do traçado de linhas.

2º Momento: Completar a folha de traçado de linhas.

Carga horária

3 h/a

COMO DIVIDIR UM SEGMENTO EM PARTES IGUAIS

Para dividir um segmento em (por exemplo) 5 partes iguais: 1. Traçar um segmento reta qualquer. 2. A partir de uma das extremidades do segmento, traçar uma reta auxiliar. 3. Com o compasso, dividir a reta auxiliar em (por exemplo) 5 partes iguais,

utilizando uma medida qualquer. 4. Com a utilização do esquadro, unir o último ponto marcado na reta auxiliar

com o final do segmento de reta que pretende-se dividir. 5. Deslizar o esquadro para, a cada vez que passar sobre um dos pontos

marcados na reta auxiliar, obter as retas paralelas que dividem a reta original em 5 partes iguais.

Fonte: Professora PDE Ivânia Mara Gabardo

1. Siga as orientações dadas, trace um segmento de reta qualquer, e o divida

em 7 partes iguais.

COMO DIVIDIR UM SEGMENTO EM PARTES PROPORCIONAIS

Para dividir um segmento qualquer em partes proporcionais a (por exemplo) 2, 3 e 4:

1. Traçar um segmento qualquer e uma reta auxiliar. 2. Com o compasso, dividir a reta auxiliar em 9 (pois 9 = 2 + 3 + 4) partes iguais,

utilizando uma medida qualquer. 3. Com a utilização do esquadro, unir o último ponto marcado na reta auxiliar

com o final do segmento de reta que queremos dividir. 4. Deslizar o esquadro para, quando passar sobre um dos pontos de número 2 e

5 (pois 5 = 2 + 3), marcados na reta auxiliar, obter as retas paralelas que dividem a reta original em partes proporcionais a 2, 3 e 4 (neste exemplo).

Fonte: Professora PDE Ivânia Mara Gabardo

1. Seguindo as orientações dadas, trace um segmento de reta qualquer e divida

ele em segmentos proporcionais a 2, 3 e 4 unidades.

Observe que, se você unir os pontos marcados no segmento de reta com os pontos correspondentes marcados na reta auxiliar, você obterá três triângulos semelhantes.

6ª AÇÃO .

1. Observe os sólidos geométricos apresentados, e responda:

a) Quais são corpos redondos? Você sabe o nome de cada um?

b) Quais são poliedros? Você sabe o nome de cada um?

c) Escreva a quantidade de faces, vértices e arestas que cada um dos poliedros mostrados possui.

Orientação ao professor:

1º Momento: Levar os sólidos geométricos relacionados abaixo para a sala de aula e

desenvolver as atividades.

2º Momento: Ensinar aos alunos a Perspectiva Cavaleira, utilizando a malha

quadriculada e desenvolver as atividades.

Carga horária

9 h/a

A partir da observação de formas de objetos reais foram criados modelos, chamados de Sólidos Geométricos. São conhecidos por corpos redondos os sólidos que possuem superfícies curvas e por poliedros os sólidos limitados apenas por figuras geométricas planas.

https://s-media-cache-ak0.pinimg.com/originals/af/0b/a4/af0ba47f4a9bfc6feee4ef3302f090ef.jpg

1. Utilizando a malha quadriculada faça o desenho de um cubo utilizando a

técnica da perspectiva cavaleira.

2. Desenhe um cubo vazado, semelhante ao ilustrado a seguir:

Perspectiva cavaleira: Neste tipo de perspectiva, uma das faces deve ser

representada de frente (face frontal) e as outras faces obliquamente. Esta

perspectiva é aplicada na Arquitetura, Mecânica, Engenharia e Desenho Técnico.

(Utilizaremos a malha quadriculada para realizar a atividade com perspectiva

cavaleira.)

1. Na malha triangular, faça o desenho de um cubo, utilizando a técnica da perspectiva isométrica.

2. Na malha triangular, faça o desenho de uma peça como a ilustrada a seguir.

Orientação ao professor:

3º Momento: Ensinar aos alunos a Perspectiva Isométrica utilizando a malha

triangular.

4º Momento: Fazer as atividades.

Perspectiva isométrica: Neste tipo de perspectiva, representa-se a figura como

ela é na realidade. Esta perspectiva é aplicada na Arquitetura, Mecânica,

Engenharia. Embora as faces devam ser paralelas entre si, é preciso que elas

estejam oblíquas ao plano vertical de projeção. (Para representar um poliedro

nesta perspectiva, utilizaremos a malha triangular.)

3. Quantos cubos tem nesta pilha?

Disponível em: http://www.prise2tete.fr/upload/McFlambi-pyra1.JPG

Na idade média, que começou no século V d.C. e durou cerca de mil anos, a

vida cultural era dominada pela igreja. A maioria dos intelectuais e das pessoas

alfabetizadas pertencia ao clero, e quase todos os livros escritos e obras de arte

eram sobre temas religiosos. As imagens representadas em pinturas pelos artistas

eram figuras totalmente estáticas, chapadas contra o fundo, quase que suprimindo a

ideia de espaço. Nessa época, onde cultura era subordinada à igreja, e quem sabia

ler e escrever era quase exclusivamente o clero, as lições de teologia cristã eram

transmitidas à sociedade por imagens representadas dentro e fora das igrejas.

Orientação ao professor: 5º Momento: Através de vídeos e história, apresentar a época do renascimento, época em que se destacaram a utilização da Matemática nas Artes, incluindo Perspectiva Matemática. 6º Momento: Mostrar obras de arte como motivação, e vídeos mostrando a utilização desta técnica. 7º Momento: Ensinar aos alunos a Perspectiva Cônica, com um ponto de fuga.

Disponível em: http://obviousmag.org/archives/uploads/2012/08/03/08_Last_Supper_1470_Jaune_Huguet_08.jpg Disponível em: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/df/Giotto_-_Scrovegni_-_-35-_-_Crucifixion.jpg

Disponível em: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/43/Meister_aus_Halberstadt_001.jpg

https://sites.google.com/site/perspetiva600/_/rsrc/1357124420310/historia-do-desenho-e-da-perspetiva/Imagem11.jpg

O movimento artístico chamado “Renascimento” iniciou na Itália no século XV.

Devido à ascensão do comércio, muitos comerciantes adquiriram fortunas e

encontraram nas letras e nas artes uma forma de prestígio. Para ostentar o poder,

empregavam suas riquezas nas artes e no estudo, promovendo um grande

desenvolvimento intelectual que começou a difundir-se pelo resto da Europa,

iniciando-se uma revolução artística. Houveram neste período muitos progressos e

realizações nos campos das artes, da literatura, e das ciências. Nas artes, surgiu

uma nova técnica de perspectiva que contém um conjunto de regras matemáticas

que permitem reproduzir sobre uma superfície plana (que é bidimensional) objetos e

paisagens (que são tridimensionais), reproduzindo essas imagens com o aspecto

visto por nossos olhos, dando a ideia de volume e profundidade. A elaboração da

perspectiva envolvia o domínio de noções bastante profundas de Matemática,

Geometria e Ótica. Esta técnica foi criada muito antes da invenção da fotografia.

Desenhar em perspectiva uma cena, objeto ou paisagem é como desenharmos uma

fotografia, dando a ideia de volume e profundidade, pintando figuras como nós

vemos e não como elas realmente são. Por isso, atualmente, desenhamos estradas

que se afunilam.

OLHAR PARA UMA PINTURA E TER A IMPRESSÃO QUE ELA É REAL.

ISSO É POSSÍVEL, SE FOI UTILIZADA A PERSPECTIVA MATEMÁTICA.

Disponível em: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/ad/Scuola_di_atene_02.jpg

Disponível em: https://3.bp.blogspot.com/-eWUOSGOn740/V7oSsvcP8gI/AAAAAAAAIE8/TTFXi-

l5eKUB66Eo_7Lgt42BpibGsGfxgCLcB/s320/La%2Bultima%2Bcena%2B-%2BPerspectiva.jpg

Disponível em: http://images.forwallpaper.com/files/thumbs/preview/33/335151__leonardo-da-vinci-the-last-supper_p.jpg

Disponível em:https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/ee/Ryrie_Building_-

_perspective_of_the_south_and_west_facades.jpg/940px-Ryrie_Building_-_perspective_of_the_south_and_west_facades.jpg

Fonte: Adaptado de https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/ee/Ryrie_Building_-

_perspective_of_the_south_and_west_facades.jpg/940px-Ryrie_Building_-_perspective_of_the_south_and_west_facades.jpg

Perspectiva cônica: Neste tipo de perspectiva, recorre-se à linha para

criar efeitos, mas sua intenção final é produzir uma sensação de realidade.

Para compreendermos a perspectiva precisamos observar alguns

conceitos:

- Linha do horizonte: é a linha imaginária que separa o lado superior e

inferior da visão. É também onde se localiza o ponto de fuga.

- Ponto de fuga: são os pontos imaginários na linha do horizonte para onde

as retas paralelas convergem. É a direção ao qual o objeto estará se

dirigindo, se aprofundando. Pode-se usar um, dois ou mais pontos de fuga.

- Ponto de vista (nível do olho): é a posição em que o observador se

encontra em relação ao objeto, a perspectiva muda conforme o ponto de

vista.

- Linhas de fuga: são as que parecem se encontrar, à medida que se

aproxima da linha do horizonte.

Exemplo de perspectiva com um ponto de fuga:

http://4.bp.blogspot.com/-8JFql5gMW2U/VTHzFPnpQDI/AAAAAAAACO0/iudiAKpM7eo/s1600/paralelas%2Bvs%2Boblicuas-01.png

1. Utilizando a perspectiva com um ponto de fuga, faça o desenho de um cubo.

2. Utilizando a perspectiva com um ponto de fuga, faça o desenho de uma rua com prédios e casas.

Orientação ao professor:

8º Momento: Ensinar aos alunos a perspectiva com dois pontos de fuga.

9º Momento: Pedir aos alunos que utilizem sua criatividade e façam desenhos

utilizando a perspectiva matemática com dois pontos de fuga.

Perspectiva com dois pontos de fuga:

http://www.amopintar.com/wp-content/uploads/um-ponto-de-fuga-232x165.jpg http://1.bp.blogspot.com/-CU-FS4YLLuE/Vl7B00DojKI/AAAAAAAAAXQ/x6hSGUv_BQE/s1600/board294.png

1. Utilizando a perspectiva matemática com dois pontos de fuga, faça o desenho

de um paralelepípedo.

2. Utilize sua criatividade e faça desenhos utilizando a perspectiva matemática

com dois pontos de fuga.

7ª AÇÃO

Orientação ao professor: 1º Momento: Montagem dos trabalhos para exposição. 2º Momento: Exposição e apresentação dos trabalhos no colégio.

Carga horária 4 h/a

em contra turno

REFERÊNCIAS

BELUSSI, G.M.; GERALDINI, D.A.; PRADO, E.A; BARISON,M,B. Número de Ouro. Disponível em: http://www.uel.br/cce/mat/geometrica/artigos/ST-15-TC.pdf (consultado em 07/12/2016) BERGAMINI, David, Editores de LIFE. As Matemáticas, Rio de Janeiro: livraria José Olympio Editora S.A.,1965. BOYER, Carl B. História da Matemática. São Paulo: Editora Edgard Blücher Ltda, 2002. 495 p. BRASIL. Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática, Secretaria de Educação Fundamental – Brasília: MEC/SEF, 1998. CARVALHO, M. G.; FONSECA, G. A. O Uso da Perspectiva Matemática e o Domínio do Espaço Real e Imaginário, Rio de Janeiro. Disponível em: <http://www.limc.ufrj.br/htem4/papers/43.pdf> CHAVANTE, Eduardo Rodrigues. Convergências: matemática, 9º ano, 1.ed. São Paulo: Edições SM, 2015. FLORES, C. R. ABORDAGEM HISTÓRICA NO ENSINO DE MATEMÁTICA: o caso da representação em perspectiva, Santa Catarina. Disponível em: <http://siaiap32.univali.br/seer/index.php/rc/article/viewFile/182/154> GABARDO, I. M.; GABARDO, T. B. A Interferência da Matemática na Obra de Arte. Ponta Grossa: IBEPEX – Instituto Brasileiro de Pós-Graduação e Extensão. Monografia, 2005. PARANÁ. Secretaria de Estado da Educação. Diretrizes Curriculares da Educação Básica do Estado do Paraná – Matemática. Curitiba: SEED/DEF, 2008. PARANÁ. Secretaria de Estado da Educação. Diretrizes Curriculares da Rede Pública de Educação Básica do Estado do Paraná – Arte e Artes. Curitiba: SEED/DEF, 2006. POSITIVO. Impressões no Tempo. A escrita, da pedra ao computador. Curitiba: Gráfica e Editora Posigraf S/A, 2002. SALIBA, M.; BERTELLO, M. A.. Palavra em Ação: Minimanual de Pesquisa – Arte,

3 ed. Uberlândia – MG: Claranto, 2005.