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FICHA GEOMETRÍA TRIÁNGULOS 03 JUNIO NIVELES AVANZADOS

• TRIÁNGULO

DEFINICIÓN Un triángulo lo podemos entender como la unión de tres segmentos determinados por tres puntos no colineales. Estos tres puntos se denominan vértices, y los segmentos, lados del triángulo; además, se determinan tres ángulos, cuyos lados son los lados del triángulo, y se denominan ángulos interiores del triángulo Se acostumbra usar letras minúsculas para los lados, de acuerdo al vértice al que se oponen.

Teorema fundamental: “En todo triángulo, la suma de las medidas de los ángulos interiores es 180°”

=++ 180γβα

DEFINICIÓN Ángulo Exterior Se llama ángulo exterior de un triángulo, al ángulo formado por un lado del triángulo y la prolongación de otro.

exterioresángulos';';' γβα

Propiedades (1) La medida de un ángulo exterior es igual a la suma de las medidas de los ángulos interiores no adyacentes

βαγ

γαβ

γβα

+=

+=

+=

'

'

'

(2) La suma de las medidas de los ángulos exteriores de un triángulo es 360° =++ 360''' γβα

COLEGIO INGLÉS

DEPARTAMENTO NIVEL: CUARTO MEDIO PSU. UNIDAD: TRIÁNGULOS PROFESOR: NATALIA MORALES A. JAVIER FRIGERIO B. ROLANDO SAEZ M. MIGUEL GUTIÉRREZ S.

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• Clasificación de los triángulos Los triángulos los podemos clasificar según la medida de sus lados y de sus

ángulos

Según la medida de sus ángulos

Acutángulo: es aquel que tiene sus tres ángulos interiores agudos

Rectángulo: es aquel que tiene un ángulo recto. Los otros dos ángulos interiores son agudos y complementarios. Los lados que forman el ángulo recto se denominan “catetos” y el lado opuesto al ángulo recto “hipotenusa”

Obtusángulo: es aquel que tiene un ángulo interior obtuso

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Según la medida de sus lados

Equilátero: tiene sus tres lados congruentes; por lo tanto, sus tres ángulos interiores también lo son, y como la suma de sus medidas es 180°, cada uno mide 60°

Isósceles: es aquel que tiene dos lados congruentes, llamados “lados”, y el tercero se llama “base” Se puede demostrar que los ángulos opuestos a los “lados” son también congruentes. A estos ángulos se les llama “ángulos basales”

Escaleno: es aquel cuyos tres lados tienen distinta medida, y por ende, sus ángulos también

ELEMENTOS DEL TRIÁNGULO

Se denominan “Elementos Primarios” del triángulo a sus lados y ángulos.

Los “Elementos secundarios” del triángulo son los llamados “Puntos Notables” y “Rectas notables”

• Rectas Notables: Se llaman así a las transversales de gravedad, alturas, bisectrices, simetrales y medianas.

• Puntos notables: Son los puntos que surgen de la intersección de un mismo

tipo de rectas notables, ellos son: el centro de gravedad (Baricentro), el ortocentro, el incentro y el circuncentro.

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DEFINICIÓN 1. Transversal de gravedad.- Es la recta que une un vértice, con el punto medio del lado opuesto. Se denominan ta, tb, tc, donde el subíndice indica el vértice por el cual pasa. Las tres transversales de gravedad se intersectan en un mismo punto llamado Centro de Gravedad ( o baricentro)

)Baricentroo(GravedaddeCentro:G

}G{ttt

tCF;tBE;tAD

ladoslosdemediosPuntos:F,E,D

cba

cba

=

===

Propiedad: El baricentro divide a cada transversal de gravedad en dos segmentos que están en la razón 2: 1. El segmento que va desde el vértice al Baricentro mide el doble que el segmento que va del Baricentro al lado

DEFINICIÓN 2.- Altura. Es la perpendicular bajada desde un vértice al lado opuesto. Se denominan ha , hb , hc ; donde el subíndice indica el vértice por el cual pasa. Las tres alturas se intersectan en un mismo punto llamado Ortocentro. Propiedad: Las alturas de un triángulo son inversamente proporcionales a los lados

khchbha cba ===

1

2

GF

CG

GE

BG

GD

AG===

Ortocentro:H

Hhhh

hCD;hBF;hAE

ABCD;ACBF;BCAE

cba

cba

=

===

⊥⊥⊥

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Observaciones:

∗ En un triángulo obtusángulo el ortocentro queda en el exterior del triángulo

∗ En un triángulo rectángulo, el ortocentro coincide con el vértice del ángulo recto,

puesto que los catetos se confunden con las alturas.

DEFINICIÓN

3.- Bisectriz.- Es la recta que pasa por un vértice y divide al ángulo en dos ángulos congruentes. Se

denominan: γβα b;b;b ; donde el subíndice

indica el ángulo que dimidia. Las tres bisectrices se intersectan en un mismo punto llamado Incentro, el cual corresponde al centro de la circunferencia inscrita al triángulo, es decir, el incentro equidista de los lados del triángulo. El radio de esta circunferencia se designa por la letra griega “ ”.

Propiedad: Las bisectrices dividen al lado opuesto en la razón de las medidas de los lados que forman el ángulo

genciatandePuntos:R,Q,P

Incentro:I

Ibbb

bCE;bBG;bAF

=

===

γβα

β γαBA

BC

GA

CG;

AC

AB

FC

FB;

CB

AC

EB

AE===

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Observaciones:

∗ En general, los puntos de tangencia de los lados con la circunferencia inscrita al

triángulo no coinciden con los pies de las bisectrices

∗ Si se dibujan las bisectrices de los ángulos exteriores de un triángulo, se

determinan tres puntos que equidistan de los lados del triángulo. Dichos puntos son los “Excentros” o centros de las circunferencias exinscritas al triángulo.

DEFINICIÓN 4.- Simetral

Es la recta perpendicular a un lado del triángulo, en su punto medio. Las simetrales se designan por: Sa , Sb , Sc , donde el subíndice indica el lado al cual es perpendicular. El punto de intersección de las simetrales se denomina Circuncentro y corresponde al centro de la circunferencia circunscrita al triángulo, es decir, el circuncentro es un punto que equidista de los tres vértices del triángulo. Su radio se designa por “r”

Observación: En general, las simetrales no pasan por los vértices del triángulo.

DEFINICIÓN 5.- Mediana

Es el segmento de recta que une los puntos medios de dos lados del triángulo P, Q, R : Puntos medios de los lados

roCircuncent:O

OSSS

SOE;SOF;SOD

cba

cba

=

===

Medianas:RP,QR,PQ

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Propiedades: • La mediana es paralela al tercer lado:

BC//PQ;AC//QR;AB//RP

• La mediana mide la mitad del lado al cual es paralela:

QR2AC;PQ2BC;PR2AB ===

• Cuando se dibujan las tres medianas de un triángulo, se forman cuatro triángulos congruentes

Nota: En general, las cuatro primeras rectas notables no coinciden, excepto en los

triángulos equiláteros e isósceles.

Observación: TRIÁNGULO EQUILÁTERO

PROPIEDADES

=

===

60

,unocada60aigualesángulos)2(

aCABCAB)1(

α

(3) Las transversales de gravedad, alturas y bisectrices son una misma recta

γβα bbbhhhttt cbacba ========

3

3a

3

3lado

tacircunscrinciacircunfereladeRadio)8(6

3a

6

3lado

inscritanciacircunfereladeRadio)7(

34

a

4

3)lado(Área)6(

32

a

2

3ladoAltura)5(

mediopunto;MMBAM)4(

22

==

==

==

==

=

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TRIÁNGULO ISÓSCELES

PROPIEDADES

vérticedelángulo)3(

basalesángulos)2(

baseAB;BCAC)1(

21

β

αα =

=

(4) La altura, bisectriz, simetral y transversal trazadas desde el vértice del ángulo distinto o trazadas a la base son una misma recta. Para los otros vértices y lados no ocurre lo Mismo

hc = tc = b= CM

La bisectriz de un ángulo interior del triángulo divide interiormente el lado

opuesto en dos segmentos, cuyas medidas son proporcionales a las de los lados del correspondiente ángulo del triángulo

La bisectriz de un ángulo exterior divide exteriormente el lado opuesto en dos

segmentos, cuyas medidas son proporcionales a las de los lados del correspondiente ángulo interior del triángulo.

a

b

u

vbieno

b

a

v

u==

a

b

EB

EA=

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TEOREMA DE PITÁGORAS “El área del cuadrado construido sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de las

áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos” “En todo triángulo ABC rectángulo en C se cumple que

el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los

cuadrados de los catetos, es decir 222 cba =+ ”

RECÍPROCO DEL TEOREMA DE PITÁGORAS “Sea un triángulo ABC cualquiera, con lados menores a y b y lado mayor c, tales que c2 = a2 + b2, entonces el triángulo ABC es un triángulo rectángulo” · Tríos pitagóricos: (a – b – c)

a b c 3 4 5 5 12 13 8 15 17 7 24 25 20 21 29 12 35 37

TEOREMAS RELATIVOS AL TRIÁNGULO RECTÁNGULO Teorema: “Si uno de los ángulos de un triángulo rectángulo mide 30º, entonces el lado

opuesto a dicho ángulo es igual a la mitad de la medida de la hipotenusa”

Tesis: 2

ABBC =

Teorema: “En un triángulo rectángulo la medida de la transversal de gravedad

correspondiente a la hipotenusa, es igual a la mitad de la medida de dicha hipotenusa”

Tesis: 2

ACBM =

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Corolario: “En un triángulo rectángulo, el circuncentro coincide con el punto medio de la hipotenusa”

Nota: Un triángulo rectángulo queda determinado por solo dos datos: la medida de un lado y la de uno de sus ángulos agudos o la medida de dos lados. El otro dato es propio de su condición de triángulo rectángulo (ángulo de 90º)

TEOREMAS DE EUCLIDES El triángulo de la figura es rectángulo en C y CD es altura. a y b: catetos

c: hipotenusa p y q: proyecciones de los catetos a y b, respectivamente.

Los triángulos ACB, ADC y CDB son semejantes.

Referente a la altura: En todo triángulo rectángulo, la altura correspondiente a la hipotenusa es media proporcional geométrica entre las proyecciones de los

catetos sobre la hipotenusa.

qph2c •=

Referente a los catetos: En todo triángulo rectángulo cada cateto es media

proporcional Geométrica entre la hipotenusa y la proyección de dicho cateto sobre la hipotenusa.

cpa2 •=

OBSERVACIÓN: “En todo triángulo rectángulo, el radio de la circunferencia inscrita en él, es igual al cociente entre el producto de los catetos y el perímetro del triángulo”

c

bah c

•= cqb2 •=

cba

ba

++

=ρ

trosemiperíme:s;2

cbas

++=

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DEFINICIÓN Dos triángulos son congruentes si y sólo si existe una correspondencia entre sus vértices, de modo que cada par de lados y ángulos correspondientes sean

congruentes.

RC

QB

PA

RQCB

PRAC

PQAB

PQRΔABCΔ

POSTULADOS DE CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS

ALA: Dos triángulos son congruentes si tienen respectivamente iguales un lado y los dos ángulos adyacentes a ese lado.

LAL: Dos triángulos son congruentes cuando tienen dos lados y el ángulo

comprendido entre ellos respectivamente iguales.

LLL: Dos triángulos son congruentes si tienen sus tres lados respectivamente iguales.

LLA >: Dos triángulos son congruentes cuando tiene dos lados y el ángulo opuesto al mayor de esos lados respectivamente iguales.

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1. En la figura: AD = DB = DC y m BAC = 30º. ¿Cuál(es) de las proposiciones siguientes es(son) verdadera(s)?

I) ABC es rectángulo. C

II) DBC es equilátero.

III) ADC es obtusángulo. A) Sólo II B) Sólo I y II A B C) Sólo I y III D D) Sólo II y III E) I, II y III

2. BAC es rectángulo en A y ACD es equilátero, si AB = AC

¿cuánto mide el EDC?, . C A) 45º B) 60º C) 65º D) 75º E) 80º D E A B

3. En la figura: AB = AC = BD, m ADB = 20º y m BAC = 80º. ¿Cuánto mide el ángulo CED? A) 40º C D B) 60º C) 110º D) 90º E E) 100º A B 4. El triángulo ACB rectángulo en C, M punto medio de AB. Entonces el

CMB =?

C

A) 27,5º B) 35º C) 45º D) 70º E) 110º 35° A M x B

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5. Si el triángulo ABC de la figura es equilátero de lado 2 y DBAD , ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) ADC BDC

II) ∡ ACD = 30º

III) 2

3CD =

A) Solo I B) Solo II C) Solo I y II D) Solo II y III E) I, II y III 6. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) Dos triángulos son congruentes si sus lados homólogos con congruentes II) Dos triángulos son congruentes si sus ángulos respectivos son congruentes III) Dos triángulos rectángulos son congruentes si sus catetos homólogos son congruentes A) Solo I B) Solo I y II C) Solo I y III D) Solo II y III E) I, II y III

7. En el ABC de la figura, si AE y CD son bisectrices de los ángulos

A y C, respectivamente, entonces ∡ CDB = A) 90º B) 85º C) 80º D) 75º E) 70º

20º

A D B

C

50º

E

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8. En la figura, los puntos A, C y D son colineales y los ángulos α y β son complementarios. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) siempre verdadera(s)? I) El Δ ABC es rectángulo. II) ∡ ABC = ∡ CBD

III) BC es bisectriz del ∡ ABD.

A) Sólo I B) Sólo I y II C) Sólo I y III D) Sólo II y III E) I, II y III 9. Los triángulos de la figura son equiláteros. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) ∡ AED ≅ ∡ CDE

II) AD ≅AC

III) AD ≅CE

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y II D) Sólo I y III E) I, II y III

10. En el ABC de la figura, ∡ CAD=45° y ∡ABC=30°. Si CD = a,

entonces ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I. AC= a 2

II. BC= 2a

III. DB = a 3

A) Solo I. B) Solo II. C) Solo I y II. D) Solo II y III. E) I, II y III.

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11. En el rectángulo ABC de la figura, P y Q son los puntos medios de los lados respectivos. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es FALSA?

A) Si el triángulo ABC es equilátero, entonces PAQC =

B) PQ es la mitad de AB C) Los triángulos QPB y PQA son siempre congruentes

D)Si R es el punto medio de AB , entonces PQC PQR

E) Los triángulos PQC y ABC son semejantes 12.Si el ABC de la figura es rectángulo en C, entonces la medida de la

altura CD es

A) 10 cm B) 20 cm C) 24 cm

D) 10 5 cm

E) Indeterminable con los datos dados 13. ¿Con cuál de estas afirmaciones se cumple que los triángulos ABC y DEF son congruentes?

I) DEAB II) DEAB III) DEAB

∡ABC ∡DEF ∡ABC ∡DEF ∡BCA ∡EFD

EFBC DFAC EFBC

A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) I y III E) Todas

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14. Si en un triángulo rectángulo la hipotenusa mide x2 + y2, y uno de los catetos mide 2xy, ¿cuál es la medida del otro cateto? A) x + y B) x2 – y2 C) (x + y)2 D) x – y E) 4x2y2

15. Si ABC es un triángulo y CD es bisectriz del ∡ ACB, x es igual a

A) ac

B) 2

ac

C) b

ac

D) c

ba

E) c

ba2

16. En el triángulo ACD de la figura, DCBD = . Entonces, el ∡ ADB en

función de α , mas 180º es:

º125)E

º150)D

º70)C

º55)B

º55)A

−

−

−

−

+

CLAVES

1.E 2.A 3.C 4.D 5.C 6.C 7.B 8.A

9.D 10.E 11.C 12.B 13.A 14.B 15.C 16.A