Fibonaccizahlen - Auftreten in der Biologie · X-Chromosom-Vererbung Wieviele Ahnen in der 6.ten Vorgeneration haben Einﬂuss auf das X-Chromosom eines Mannes? Eine Frau hat 2 X-Chromosome,

FibonaccizahlenAuftreten in der Biologie

Bodo Werner

Department MathematikUniversitat Hamburg

Bodo Werner Absolventenfeier

Fibonacci IGeschichte

Leonardo da Pisa, genannt FIBONACCI (etwa 1170-1250)Liber Abbici (1202): Indisch-arabische Ziffern


Fibonacci II

Wieviel Nachkommen hat ein einzelnes Kaninchenpaar nacheinem Jahr, wenn es nach einem Monat geschlechtsreif wirdund jeden Monat ein Paar zur Welt bringt?


Die Folge

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ..........

Wie geht es weiter?45, 89, 123,...Folge (Fn)

F0 = 0, F1 = 1, F2 = 1, ......, F9 = 34, ......

Bildungsgesetz:

Fn = Fn−1 + Fn−2, F0 = 0, F1 = 1.

Formel von J. P. M. BINET (1786-1856)

Fn =1√5

((12

+12

√5)n−

(12− 1

2

√5)n)

, n = 0, 1, 2, ....


Die Folge

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ..........


F0 = 0, F1 = 1, F2 = 1, ......, F9 = 34, ......

Bildungsgesetz:

Fn = Fn−1 + Fn−2, F0 = 0, F1 = 1.


Fn =1√5

((12

+12

√5)n−

(12− 1

2

√5)n)

, n = 0, 1, 2, ....


Die Folge

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ..........


F0 = 0, F1 = 1, F2 = 1, ......, F9 = 34, ......

Bildungsgesetz:

Fn = Fn−1 + Fn−2, F0 = 0, F1 = 1.


Fn =1√5

((12

+12

√5)n−

(12− 1

2

√5)n)

, n = 0, 1, 2, ....


Die Folge

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ..........


F0 = 0, F1 = 1, F2 = 1, ......, F9 = 34, ......

Bildungsgesetz:

Fn = Fn−1 + Fn−2, F0 = 0, F1 = 1.


Fn =1√5

((12

+12

√5)n−

(12− 1

2

√5)n)

, n = 0, 1, 2, ....


Die Folge

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ..........


F0 = 0, F1 = 1, F2 = 1, ......, F9 = 34, ......

Bildungsgesetz:

Fn = Fn−1 + Fn−2, F0 = 0, F1 = 1.


Fn =1√5

((12

+12

√5)n−

(12− 1

2

√5)n)

, n = 0, 1, 2, ....


Kaninchenvermehrung A I


Kaninchenvermehrung A II


Kaninchenvermehrung A III

An(Jn) := Anzahl der Alt- (Jung-)kaninchenpaare im n-tenMonat

Jn = An−1, An = An−1 + Jn−1

An = An−1 + An−2.

144 Kaninchen nach einem Jahr!


Pflanzenwachstum A

Achillea ptarmica — Sumpf-SchafgarbeErkennen Sie das Bildungsgesetz?


Pflanzenwachstum B

Alttrieb: rot, Jungtrieb: weiß


X-Chromosom-Vererbung

Wieviele Ahnen in der 6.ten Vorgeneration haben Einfluss aufdas X-Chromosom eines Mannes?Eine Frau hat 2 X-Chromosome, die sie von Vater und Muttererbt, ein Mann nur eines. Dies stammt von der Mutter.

Antwort: 13 von 64Wie bei den Kaninchen. Aber Zeit lauft ruckwarts.


X-Chromosom-Vererbung

Wieviele Ahnen in der 6.ten Vorgeneration haben Einfluss aufdas X-Chromosom eines Mannes?Eine Frau hat 2 X-Chromosome, die sie von Vater und Muttererbt, ein Mann nur eines. Dies stammt von der Mutter.

Antwort: 13 von 64Wie bei den Kaninchen. Aber Zeit lauft ruckwarts.


Ziegelsteine


F-Rechtecke I


F-Rechtecke II


F-Rechtecke III


F-Rechtecke IV


F-Rechtecke V


F-Rechtecke VI


F-Rechtecke VII


Dame–Halma I

Kann man durch sukzessives Ziehen auf die letzte Liniegelangen?


Dame–Halma II


Dame–Halma III


Dame–Halma IV


Dame–Halma V


Dame–Halma VI


Dame–Halma VII


Dame–Halma VIII


Dame–Halma IX


Dame–Halma X


Dame–Halma XI


Dame–Halma XII


Dame–Halma XIII


Dame–Halma XIV


Dame–Halma XV


Dame–Halma XVI


Blutenblatter I


Blutenblatter II


Blutenblatter III


Blutenblatter IV


Blutenblatter V


Blutenblatter VI


Kiefernzapfen I


Kiefernzapfen II


Kiefernzapfen III

Anzahl der Spiralen sind Fibonacci-Zahlen!!!


Spiralmuster (Parastichen) I


Spiralmuster (Parastichen) II

55 links- und 34 rechtsdrehende Spiralen


Spiralmuster (Parastichen) III


Spiralmuster (Parastichen) IV


Goldener Schnitt: Definition


Goldener Schnitt – Fortsetzung

Kleine Goldene Schnittzahl

ϕ =12

(√5− 1

)= 0.6180339887....

ϕ =1

1 + ϕ

ϕ =1

1 +1

ϕ




ϕ =12

(√5− 1

)= 0.6180339887....

ϕ =1

1 + ϕ

ϕ =1

1 +1

ϕ




ϕ =12

(√5− 1

)= 0.6180339887....

ϕ =1

1 + ϕ

ϕ =1

1 +1

ϕ


Goldener Schnitt — Kettenbruch

ϕ =1

1 +1

1 +1

ϕ

ϕ =1

1 +1

1 +1

1 + . . .+

1

1 +1

· · ·


Goldener Schnitt — Kettenbruch

ϕ =1

1 +1

1 +1

ϕ

ϕ =1

1 +1

1 +1

1 + . . .+

1

1 +1

· · ·


Allgemeiner Kettenbruch

x =1

a1 +1

a2 +1

a3 + . . .+

1

an + · · ·aj : Koeffizienten des Kettenbruchs


Fibonaccizahlen — Goldener Schnitt

Nach n Bruchstrichen abgebrochener Kettenbruch:Konvergenten

pn

qn=

1

1 +1

1 +1

1 + . . .+

1

1 +1

1


Fibonaccizahlen — Kettenbruch von ϕ

p2

q2=

12,

p3

q3=

23,

p4

q4=

35, ......

p5

q5=

1

1 +1

1 +1

1 +1

1 +1

1Rechnen Sie bitte!!!

=58



p2

q2=

12,

p3

q3=

23,

p4

q4=

35, ......

p5

q5=

1

1 +1

1 +1

1 +1

1 +1

1Rechnen Sie bitte!!!

=58



Alternative Berechnung

p5

q5=

1

1 + 35

=58

=F4

F5.



Alternative Berechnung

p5

q5=

1

1 + 35

=58

=F4

F5.


Theorem

Fur die”Konvergenten“ von ϕ gilt

pn

qn=

Fn−1

Fn.

Beweis.

Fn−1

Fn=

1

1 +Fn−2Fn−1

Wir vergleichen:

ϕ = 0.6180339887....,F10

F11=

5589

= 0.617977528,


Fibonaccizahlen — Goldener Schnitt (Forts.)

Theorem

Die Quotienten zweier aufeinanderfolgender Fibonaccizahlenkonvergieren gegen die kleine Goldene Schnittzahl.

limn→∞

Fn−1

Fn= ϕ.


Fibonaccizahlen — Goldener Schnitt (Forts.)

Theorem

Die Quotienten zweier aufeinanderfolgender Fibonaccizahlenkonvergieren gegen die kleine Goldene Schnittzahl.

limn→∞

Fn−1

Fn= ϕ.


Irrationalitat der Goldenen Schnittzahl I

Eine rationale (positive) Zahl ist ein Bruch pq mit naturlichen

Zahlen p und q.Ein endlicher oder periodischer Dezimalbruch.Ein endlicher Kettenbruch.

Theorem

ϕ ist (die) irrational(ste Zahl).


Divergenz

Zunachst wird nur der Rotationsaspekt betrachtet!!


Drehwinkel I

Drehwinkel ω (Gradmaß, Bogenmaß)ω = 1 entspricht 360 Grad oder 2πω = 1

2 entspricht 180 Grad oder π

ω = 34 entspricht 270 Grad oder 3

2πDer goldene Winkel ω = ϕ entspricht 222,5 Grad = ϕ · 360GradDie Kreislinie S1 ist die Menge aller Winkel.Drehungen stets gegen den Uhrzeigersinn (mathematischpositiv)


Goldene Drehung

Rϕ : S1 → S1

heißt Goldene Drehung.Bodo Werner Absolventenfeier

Dynamisches System

x0 = 0, x1 = Rϕ(x0) = ϕ, x2 = Rϕ(x1) = (ϕ + ϕ) mod 1, ...

xk+1 = Rϕ(xk ), k = 0, 1, 2, ....

Orbit x0, x1, x2, ........

xk = (k ·ϕ) mod 1


Dynamisches System


xk+1 = Rϕ(xk ), k = 0, 1, 2, ....

Orbit x0, x1, x2, ........

xk = (k ·ϕ) mod 1


Dynamisches System


xk+1 = Rϕ(xk ), k = 0, 1, 2, ....

Orbit x0, x1, x2, ........

xk = (k ·ϕ) mod 1


Dynamisches System


xk+1 = Rϕ(xk ), k = 0, 1, 2, ....

Orbit x0, x1, x2, ........

xk = (k ·ϕ) mod 1


Orbit der goldenen Drehung — Saatmaschine I

Meine Saatmaschine besteht aus einem drehbar gelagertenArm, der auf einem kreisformigen Beet immer dann Samenaussat, wenn sich der Arm um einen bestimmten Winkelgedreht hat. Man erhalt einen

”Samenorbit“.


Orbit der goldenen Drehung — Saatmaschine II


Orbit der goldenen Drehung — Saatmaschine III


Orbit der goldenen Drehung — Saatmaschine IV


Orbit der goldenen Drehung — Saatmaschine V


Orbit der goldenen Drehung — Saatmaschine VI

Wie verteilen sich die Samen auf dem Kreisbeet? Wie sieht der

”Samenorbit“ aus?

Dieser Orbit liefert geometrische Informationen uber die reelleZahl des Drehwinkels, die i.W. die Kettenbruchentwicklungliefert!!


Orbit der goldenen Drehung I

Es folgen”screen shots“ eines Applets: Versetzen Sie sich bitte

in den”Ursamen“ mit der Nummer Null. Beobachten Sie,

welche neuen Nachbarn er dieser in welcher Zeit (roteNummer) bekommt. Diese Zahlen sind F-Zahlen! Es gibtabwechselnd einen linken und einen rechten neuen Nachbarn.Der Abstand zu seinem alten Nachbarn wird durch einen neuenNachbarn stets golden geteilt!


Orbit der goldenen Drehung II


Orbit der goldenen Drehung III


Orbit der goldenen Drehung IV


Orbit der goldenen Drehung V


Orbit der goldenen Drehung VI


Orbit der goldenen Drehung VII


Orbit der goldenen Drehung VIII


Orbit der goldenen Drehung IX

Die Zeit m − n zwischen zwei benachbarten Einschlagen xm

und xn irgendwo auf dem Beet ist stets eine Fibonaccizahl. Daserweist sich als der Grund dafur, dass die Anzahl der SpiralenF-Zahlen sind!!


Orbit einer Drehung um ω = 0, 3397 I

Ein ganz andere Winkel. Fast 13 .


Orbit einer Drehung um ω = 0, 3397 II

Es pirschen sich im 3er-Takt von links neue Nachbarn heran.


Orbit einer Drehung um ω = 0, 3397 III


Orbit einer Drehung um ω = 0, 3397 IV


Orbit einer Drehung um ω = 0, 3397 V

Nach 16 Annaherungsversuchen gibt es einen Nachbarn mitder Nummer 50, dem sofort ein ein neuer rechter Nachbar folgt.


Orbit einer Drehung um ω = 0, 3397 VI


Orbit einer Drehung um ω = 0, 3397 VII

0, 3397 =1

2 +1

1 +1

16 +1. . .


Zusammenfassung

Die goldene Drehung fuhrt zu einer optimalen Packung .Aber auch andere Winkel, z.B. 99,5 Grad,

0, 2764... =1

3 +1

1 +1

1 + . . .+

1

1 + · · ·mit asymptotischer Goldene-Schnittzahl-Entwicklung.


Goldene Drehung und radiales Wachstum I

xk+1 = Rϕ(xk ), rk+1 = .......

Jetzt nehmen wir das radiale Wachstum hinzu, ohne dieRotationsdynamik zu andern!Die Modellierung des radialen Wachstums ist relativunerheblich.


Goldene Drehung und radiales Wachstum II

Die ersten Samen sind am weitesten radial vorgedrungen.


Goldene Drehung – radiales Wachstum (120 Samen) I

Es folgen Bilder von Applets, die fur sich sprechen.


Goldene Drehung – radiales Wachstum (120 Samen)II


Goldene Drehung – radiales Wachstum (120 Samen)III


Goldene Drehung – radiales Wachstum (120 Samen)IV


Goldene Drehung – radiales Wachstum (120 Samen)V


Goldene Drehung – radiales Wachstum (120 Samen)VI


Goldene Drehung – radiales Wachstum (120 Samen)VII


Goldene Drehung – radiales Wachstum (120 Samen)VIII


Goldene Drehung – radiales Wachstum (120 Samen)IX


Goldene Drehung – radiales Wachstum (120 Samen)X


Goldene Drehung – radiales Wachstum (120 Samen)XI


Goldene Drehung – radiales Wachstum (120 Samen)XII


Goldene Drehung – radiales Wachstum (120 Samen)XIII


Goldene Drehung - Radiales Wachstum (400 Samen) I


Goldene Drehung - Radiales Wachstum (400 Samen)II


Goldene Drehung - Radiales Wachstum (400 Samen)III


Goldene Drehung - Radiales Wachstum (400 Samen)IV


Goldene Drehung - Radiales Wachstum (400 Samen)V


Goldene Drehung - Radiales Wachstum (400 Samen)VI


Goldene Drehung - Radiales Wachstum (400 Samen)VII


Goldene Drehung - Radiales Wachstum (400 Samen)VIII


Goldene Drehung - Radiales Wachstum (400 Samen)IX


Goldene Drehung - Radiales Wachstum (400 Samen)X


Goldene Drehung - Radiales Wachstum (400 Samen)XI

Wo sind die 13 roten Spiralen gebieben?


Goldene Drehung - Radiales Wachstum (400 Samen)XII


Goldene Drehung - Radiales Wachstum (400 Samen)XIII


Goldene Drehung - Radiales Wachstum (400 Samen)XIV


Goldene Drehung - Radiales Wachstum (400 Samen)XV


Goldene Drehung - Radiales Wachstum (400 Samen)XVI


Goldene Drehung - Radiales Wachstum (400 Samen)XVII


Goldene Drehung - Radiales Wachstum (400 Samen)XVIII


Goldene Drehung - Radiales Wachstum (400 Samen)XIX


Goldene Drehung - Radiales Wachstum (400 Samen)XX

Ein nur geringfugig kleinerer Winkel.


Goldene Drehung - Radiales Wachstum (400 Samen)XXI


Schlussbemerkung

Das beschriebene mathematische Modell erklart dieauftretenden Spiralmuster. Aber es muss keineswegs

”richtig“

sein.Die Gene haben ja wohl kaum die Goldene-Schnittzahlgespeichert. Vielmehr wird dieser Divergenzwinkel dasErgebnis einer Dynamik in einem komplexeren Modell sein.


Documents

Fibonaccizahlen - Auftreten in der Biologie · X-Chromosom-Vererbung Wieviele Ahnen in der 6.ten Vorgeneration haben Einﬂuss auf das X-Chromosom eines Mannes? Eine Frau hat 2 X-Chromosome,