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Francisco JosÄ Salieron Corraliza
Reliability of a fire detector system.
Reliability analysis of a fire detector system located in a production room, is developped in this job. Basic concepts and results are detailed when they are necessaries for the analisys.
Differents assumptions and points of view are treated.
KEY WORDS: Reliability, failure rate, MTTF, lifetime, fault tree, reliability blocks diagrams.
0-INTRODUCCI�N
Se estudia la fiabilidad de un sistema de detecci�n de incendios, que se describe en el pr�ximo apartado. Se supone que todas las componentes son independientes y con tasa de fallo constante, es decir, la variable tiempo hasta el primer fallo sigue una ley exponencial.
El sistema tiene una estructura serie/paralelo, con una estructura 2 de 3 conectada en serie con un “ voter “. Adem�s consta de una alarma, que se puede accionar manualmente por un operario. Por su naturaleza el sistema debe estar preparado para funcionar cuando se produzca una emergencia.
Se van a introducir los conceptos b�sicos de la teor�a de la fiabilidad desde el punto de vista probabil�stico y se calcula la fiabilidad del sistema de varias formas. En primer lugar no se tiene en cuenta en el estudio el error humano, estudi�ndose por tanto la fiabilidad intr�nseca. Posteriormente se tienen en cuenta un posible fallo en el interruptor y la influencia de un mantenimiento preventivo.
Se considera que cuando una componente falla es inmediatamente sustituida por otra igual.
1-DESCRIPCI�N DEL SISTEMA
El siguiente esquema muestra la estructura del sistema de detecci�n de incendios:
Figura 1.1. ESQUEMA DEL SISTEMA DE DETECCI�N
El sistema de detecci�n est� dividido en dos partes, detecci�n de calor y detecci�n de humo. Adem�s hay un bot�n de alarma que puede ser accionado manualmente.
DetecciÄn de calor:
En la nave de producci�n hay un circuito neum�tico cerrado con cuatro v�lvulas id�nticas, FP1, FP2, FP3 y FP4. Estas v�lvula introducen aire en el sistema si se exponen a temperaturas superiores a 72� C. El sistema neum�tico tiene una presi�n de 3 bares y est� conectado a un presostato PS.
Si al menos una de las v�lvulas se activa, el presostato se activar� y dar� una se�al el�ctrica al rel� que activa la alarma y se cierra el sistema. Para transmitir una se�al el�ctrica, la fuente de corriente DC, debe estar intacta.
DetecciÄn de humo:
El sistema de detecci�n de humo consiste en tres detectores �pticos de humo, SD1, SD2 y SD3; todos son independientes y tienen sus propias bater�as. Estos detectores son muy sensibles y pueden avisar demasiado pronto. Para evitar falsas alarmas, los tres detectores est�n conectadas en una estructura l�gica “voting” 2 de 3, VU. Esto significa que al menos dos detectores deben detectar el fuego antes de que la alarma se active. Si se activan al menos dos de los tres detectores, la unidad VU ( el voter ) dar� una se�al el�ctrica al rel� que activa la alarma, SR y el sistema se cierra. Otra vez la fuente de corriente, DC debe estar intacta.
ActivaciÄn manual
Junto con el circuito neum�tico de cuatro v�lvulas, hay tambi�n un interruptor manual MS que puede ser accionado para liberar presi�n en el circuito. Si el operario OP, que debe estar continuamente presente, advierte un fuego, puede activar este interruptor. Cuando se activa el interruptor se libera presi�n del circuito y se activa el presostato, que env�a una se�al el�ctrica al rel� SR. Otra vez la fuente de energ�a debe estar intacta.
El relÅ SR
Cuando el rel� SR recibe una se�al el�ctrica del sistema de detecci�n, se activa y da una se�al para:
Cerrar el proceso Activar la alarma y los extintores de fuego.
Notemos que el rel� SR recibe la se�al el�ctrica bien del presostato PS ( que se activa con el interruptor manual o con las v�lvulas del circuito neum�tico ) bien de la unidad VU.
2-CONCEPTOS B�SICOS
Tiempo de fallo
Para cada componente, sistema o subsistema se define la variable aleatoria T, tiempo de vida ( lifetime ) o tiempo libre de fallo ( failure-free time ) definida como la longitud del intervalo de tiempo desde que la componente se activa hasta su primer fallo. Suponemos que T es continua y no negativa.
Las tres medidas m�s importantes de la fiabilidad de una unidad no reparable son:
- La funci�n de fiabilidad o supervivencia R ( t )- La tasa de fallo o funci�n de riesgo h ( t )- El tiempo medio hasta el fallo MTTF
Supongamos que tomamos t = 0 como el instante inicial. El estado de la unidad en el instante t puede describirse como una variable binaria de estado X ( t ) que es tambi�n aleatoria
Sea F ( t ) la funci�n de distribuci�n de T, entonces:
t
duuftTPtF0
0t)()()( ( 2.1 )
F ( t ) expresa, por tanto, la probabilidad de que la unidad falle dentro del intervalo ( 0 , t ].
La funci�n de densidad de probabilidad f ( t ) se define como:
tttTtP
ttFttFtF
dtdtf limlim
tt
)()()()()(00
Cuando t es peque�o:
ttfttTtP )()( ( 2.2 )
FunciÄn de fiabilidad o supervivencia
La funci�n de fiabilidad de una unidad se define:
0t)()()( tTPtFtR 1 ( 2.3 )
R(t) es la probabilidad de que la unidad no falle en el intervalo de tiempo ( 0, t ]. La funci�n de fiabilidad R(t) se denomina tambi�n funci�n de supervivencia.
Tasa de fallo o funciÄn de riesgo
La probabilidad de que una unidad falle en el intervalo ( t , t+ t ), cuando la unidad est� funcionando en el instante t, es
)()()(
)()()/(
tRtFttF
tTPttTtPtTttTtP
Dividiendo por t y haciendo t 0 tenemos la tasa de fallo h(t)de la unidad:
)()(
)()()(
)()/()(
tRtf
tRttFttF
tTPtTttTtPth limlim
tt
1
00
( 2.4 )
Cuando t es peque�o tthtTttTtP )()/( ( 2.5 )
Como )())(()()( tRtRdtdtF
dtdtf 1 entonces
)(ln)()()( tR
dtd
tRtRth
( 2.6 )
Como R(0) = 1, entonces t tRdtth0
)(ln).( ( 2.7 )
Por tanto t duuhtR0
}).(exp{)( ( 2.8 )
La funci�n de fiabilidad R(t) y la funci�n de distribuci�n F(t) est�n un�vocamente determinadas por la tasa de fallo. De 3.4 y 3.8 tenemos que la funci�n de densidad f (t) puede escribirse:
t duuhthtf0
0t}).(exp{).()( ( 2.9 )
La tasa de fallo de una poblaci�n de unidades estad�sticamente id�nticas, se caracteriza por un periodo de fallos tempranos, un periodo con tasa de fallo aproximadamente constante, y un periodo de desgaste( curva con forma de ba�era )
Fig. 3.1 CURVA DE h ( t )
Para una unidad con tasa de fallo constante h(t) = , t 0 de 3.8
tenemos que tetR )( , en este caso h(t).t = .t es independiente de t, es decir no tiene memoria. Este hecho caracteriza a la funci�n de
distribuci�n exponencial tetF 1)( .
Para determinar la forma de h(t) emp�ricamente para una determinada unidad se puede proceder de la siguiente forma:
- Se divide el intervalo ( 0, t ) en subintervalos disjuntos e iguales de longitud t.
- Se ponen en funcionamiento n unidades iguales en t = 0. Cuando una unidad falla, se anota el tiempo, y no se repara ni se repone.
- Para cada intervalo se recoge:
h(t)
- El n�mero de unidades n(i) que fallan en el intervalo i.- Los tiempos de funcionamiento en el intervalo i de las
unidades ( T1i, T2i, ... , Tni ). Tji es el tiempo que la unidad j ha estado funcionando en el intervalo i, por tanto es 0 si la unidad j ha fallado antes del intervalo i.
n
jjiT
1es el tiempo total de funcionamiento de todas las unidades
en el intervalo i.
Un estimador natural de la tasa de fallo en el intervalo i para las unidades que est�n funcionando al comienzo del intervalo i es:
n
jjiT
inih
1
)()(̂
Sea m(i) el n�mero de unidades que est�n funcionando al comienza del intervalo i, entonces
).()()(̂
timinih
y de aqu� )()().(̂imintih
Tiempo medio hasta el fallo
El tiempo medio hasta el fallo ( MTTF ) de una unidad se define
0 dttftTEMTTF ).(.)( ( 2.10 )
Cuando el tiempo que se necesita para reparar o sustituir una unidad que ha fallado, es muy peque�o comparado con el MTTF, MTTF tambi�n representa el tiempo medio entre fallos MTBF. Si el tiempo de reparaci�n no es despreciable, MTBF comprende tambi�n el tiempo medio de reparaci�n MTTR. En este trabajo, salvo que se especifique lo contrario, se considera MTTR 0.
Como 0
dttRtMTTFtRtf ).(.)()(Integrando por partes:
00 dttRtRtMTTF ).()(.[
Si MTTF < y teniendo en cuenta que 11
)();()( tFlimtFtRt
entonces 00 )(. tRt y por tanto
0
dttRMTTF ).( ( 2.11 )
El tiempo medio hasta el fallo de una unidad puede obtenerse tambi�n utilizando transformadas de Laplace, la transformada de Laplace de la funci�n de fiabilidad R(t) es
0
dtetRsR st).()(* ( 2.12 )
Cuando s = 0, obtenemos
0
0 MTTFdttRR ).()(* ( 2.13 )
El proceso de Poisson
Supongamos que estudiamos la ocurrencia de un suceso “raro” A en un intervalo de tiempo dado. Por ejemplo, si consideramos que el tiempo de reparaci�n es despreciable, A puede ser el suceso de que una componente falle.
Un proceso homog�neo de Poisson requiere las siguientes hip�tesis:
1.- A puede ocurrir en cualquier instante del intervalo, y la probabilidad de que suceda A en el intervalo ( t, t+t] es independiente de t y puede escribirse como .t+o(t), donde es una constante positiva.
2.- La probabilidad de que A suceda m�s de una vez en el intervalo ( t, t+t] es o(t).
3.- Sea ( t11, t12 ], ( t21, t22 ], ... una sucesi�n cualquiera de intervalos disjuntos en el periodo de tiempo considerado. Entonces los sucesos “ A ocurre en ( tj1, tj2 ].” j = 1, 2, ... son independientes.
Se dice que es el par�metro del proceso ( intensidad ), sin p�rdida de generalidad podemos suponer que el proceso se inicia en el instante t = 0.
Sea N(t) el n�mero de veces que ocurre A en ( 0, t ], y sea pn(t) la probabilidad P( N(t) = n ) la probabilidad de que A suceda exactamente n veces en ( 0 , t ], entonces
)().().(.)())(.)(()( totpttptptottpttp 00000 1 ( 2.14 )
luego
ttotp
tpt
tpttp
)().(
)(.)()( 0
000
hacemos t 0, y suponemos p0(t) diferenciable y tenemos
0t.)()(.)( . teCtptptpdtd 000 donde C es constante.
Parece natural poner p0(0) = 1 C = 1 luego 00 tetp t ,)( .
Sea T1 el instante cuando A ocurre por primera vez, es decir el tiempo de primer fallo que es la variable en estudio, T1 es una variable aleatoria y )( 0
1tFT para t < 0 y
tT etptTPtTPtF .)()()()( 111 0111
para t > 0
entonces T1 se dice que est� distribuida exponencialmente con par�metro .
La correspondiente funci�n de densidad de probabilidad es:
..,.)(
.
cctetf
t
T 000
1
y el valor medio de T1 es
001
11
dtetdttftTE tT
...).(.)( ( 2.15 )
Determinemos pn(t) para n = 1,2, ...
)()()(.)()( tottptptpttp nnnn 1
Siguiendo el mismo razonamiento que para n = 0 obtenemos
)()(.)( tptptpdtd
nnn 1 ( 2.16 )
para n = 1
)(..)( . tpetpdtd t
11 como pn(0)=0 para n 1 tenemos
tettp ...)( 1 y recursivamente t
n
n enttp .
!.)( , n = 0,1,2, ...
que es la distribuci�n de Poisson.
La distribuciÄn exponencial
En nuestro estudio se supone que el tiempo de fallo de cada componente es exponencial de par�metro , veamos cu�les son sus caracter�sticas principales.
La densidad de probabilidad viene dada por:
c.c.,.)(
.
000 tetf
t
La funci�n de fiabilidad
0
teduuftTPtR .).()()( para t > 0 ( 2.21 )
El tiempo medio de fallo es
0 0
1
dtedttRMTTF t.).( ( 2.22 )
y la tasa de fallo es
t
t
ee
tRtfth .
..)()()( ( 2.23 )
y la varianza de T es 21
)var(T
La hip�tesis de tiempo de fallo con distribuci�n exponencial implica que:
- Una unidad usada es estoc�sticamente tan buena como si fuera nueva, por lo que no hay raz�n para sustituirla si funciona.
- Para estimar la funci�n de fiabilidad, el tiempo medio de fallo es suficiente tomar datos del n�mero de horas de funcionamiento y del n�mero de fallos. En este sentido no se tiene en cuenta la antig�edad de la unidad.
Nota: La transformada de Laplace de e-t es 1/(s + ) luego MTTF = R*(0)
3.- AN�LISIS DEL �RBOL DE FALLO
Esta t�cnica fue introducida en 1962 por Bell Telephone Laboratories a prop�sito de la evaluaci�n de la seguridad del sistema de lanzamiento del misil intercontinental Minuteman.
Un �rbol de fallo es un diagrama logico que expone las interrelaciones entre un suceso potencialmente cr�tico ( accidente ) en un sistema y las razones que provocan dicho suceso. Un �rbol de fallo muestra los estados de las componentes del sistema ( sucesos b�sicos ) y las conexiones entre estos sucesos b�sicos y el estado del sistema (suceso principal ). Los s�mbolos que se utilizan para representar estas conexiones se denominan puertas l�gicas. La salida de una puerta l�gica viene determinada por las entradas. Las dos clases m�sa importantes de puertas son las de tipo OR y AND.
La puerta OR indica que el suceso de salida se produce cuando ocurre al menos uno de los sucesos de entrada.
La puerta AND indica que el suceso de salida ocurre s�lo cuando todos los sucesos de entrada ocurren simult�neamente.
Caminos y cortes mÇnimos
Un corte en un �rbol de fallo es un conjunto de sucesos b�sicos cuya ocurrencia simult�nea provoca que se verifique el suceso principal. Un corte se denomina minimal si no puede reducirse sin perder su condici�n de corte. El n�mero de sucesos b�sicos en un corte minimal se llama orden del corte.
Un camino en un �rbol de fallo es un conjunto de sucesos b�sicos que si no ocurren simult�neamente, el suceso principal no ocurre. Un camino se dice minimal si no puede reducirse sin perder su condici�n de camino. El orden de un camino minimal es el n�mero de sucesos b�sicos diferentes que lo componen.
Los cortes en �rboles sencillos se pueden identificar sin necesidad de un algoritmo, para �rboles complejos se necesita algoritmos eficientes, muchos de los que est�n implementados en diversos paquetes se basan en el MOCUS ( method for obtaining cut sets ), una vez obtenidos los cortes es sencillo identificar los minimales.
La figura siguiente muestra el �rbol correspondiente a nuestro detector de incendios.
Fig. 3.1. �RBOL DE FALLO DEL DETECTOR DE INCENDIOS.
El algoritmo comienza en la primera puerta bajo el suceso principal. Si es una puerta OR, cada entrada en la puerta se escribe en filas separadas ( las entradas pueden ser a su vez nuevas puertas ). Si la puerta es AND, las entradas se escriben en columnas separadas. La idea es reemplazar consecutivamente cada puerta por sus entradas ( sucesos b�sicos o nuevas puertas ) hasta que se ha recorrido todo el �rbol y todos los elementos se corresponden a sucesos b�sicos. Cuando el proceso termina las filas de la matriz final se corresponden con los cortes.
4.- DIAGRAMAS DE BLOQUES
En este caso se eval�a el �xito, es decir, que funcione el sistema. Un diagrama de bloques de fiabilidad es una red que describe la funci�n del sistema, si el sistema tiene m�s de una funci�n, se considera cada funci�n individualmente y se realiza un diagrama para cada funci�n del sistema. Hay tres estructuras importantes en los diagramas de bloques.
Estructura en serie: el sistema funciona si y s�lo si todas sus componentes funcionan.
Estructura en paralelo: El sistema funciona cuando al menos una de sus componentes funciona. A no ser que se especifique lo contrario, en este trabajo se usan estructuras activas, es decir todas las componentes est�n funcionando en las mismas condiciones.
Estructura k-out of-n: El sistema funciona si y s�lo si al menos k de sus n componentes funcionan
1 2 3
El diagrama de bloques correspondiente al sistema de detecci�n de incendios es:
Fig. 4.1. DIAGRAMA DE BLOQUES DEL SISTEMA DE DETECCI�N DE INCENDIOS
Se puede elegir cualquiera de las dos formas a la hora de analizar la fiabilidad de un sistema, �rbol de fallos o diagramas de bloques. Cuando el �rbol s�lo tiene puertas AND y OR, ambos m�todos proporcionan el mismo resultado.
FunciÄn de estructura
Si tenemos un sistema de n componentes (de orden n) y nos restringimos a situaciones donde es suficiente distinguir s�lo entre dos estados: funciona o fallo, tanto en cada componente como en el sistema completo. El estado de la componente i, i = 1, ... , n puede representarse por una variable binaria xi, donde:
fallaicomponentelasi0funcionaicomponentelasi1
ix
x = ( x1, ... , xn ) es el vector de estados. Suponemos adem�s que conocemos los estados de todas las componentes, as� como el del sistema.
An�logamente para describir el estado del sistema definimos la funci�n binaria (x) = (x1, ... , xn ) de la siguiente forma:
fallasistemaelsi0
ofuncionandest�sistemaelsi)(
1x
(x) es la funci�n estructura del sistema, o simplemente la estructura.
Estructura en serie:
n
iin xxxxx
121 ...)( ( 4.1 )
Estructura en paralelo:
ini
n
ii
n
ii xmaxxxx
,...,)()(
11111
( 4.2 )
Estructura k-out-of-n
n
ii
n
ii
kx
kxx
1
1
0
1
si
si)( ( 4.3 )
Estructuras coherentes
Las componentes que no tienen un papel directo en el funcionamiento del sistema se denominan irrelevantes. Un sistema de componentes se dice coherente si todas sus componentes son relevantes y la funci�n de estructura es no decreciente en cada argumento
Estructuras representadas por caminos y cortes
Una estructura de orden n consiste en n componentes numeradas de 1 a n, el conjunto de componentes se escribe C = { 1,2, ... ,n }.
Un camino P es un conjunto de componentes de C cuyo funcionamiento asegura el funcionamiento del sistema. Un camino es minimal si no puede reducirse sin perder su condici�n de camino.
Un corte es un conjunto de componentes cuyo fallo provoca el fallo del sistema. Un corte es minimal si no puede reducirse sin perder su condici�n de corte.
Consideremos una estructura arbitraria con caminos minimales P1, ... , Pp y cortes minimales K1, ... , Kk. Al camino minimal Pj le asociamos la funci�n binaria
pjxxjPi
ij ,...,;)( 1
( 4.4 )
j(x) representa la funci�n de estructura de una estructura en serie formada por las componentes de Pj. A j(x) se le llama estructura en serie del j-�simo camino minimal.
Puesto que sabemos que la estructura funciona si y s�lo si al menos una de las estructuras en serie de los caminos minimales funciona, tenemos
p
j Piij
p
j
p
jj
j
xxxx11 1
11 ))(()()( ( 4.5 )
Por tanto nuestra estructura puede interpretarse como una estructura en paralelo de las estructuras en serie de los caminos minimales.
Analogamente podemos asociar la siguiente funci�n binaria al corte minimal Kj:
k1,2,...,j)()( jj Ki
iKi
ij xxx 11 ( 4.6 )
j(x) representa la funci�n de estructura de una estructura en paralelo formada por las componentes de Kj. A j(x) se la denomina estructura en paralelo del j-�simo corte minimal.
Como la estructura falla si y s�lo si falla al menos una de las estructuras en paralelo de los cortes minimales, tenemos:
k
j Kii
k
jj
j
xxx11)()( ( 4.7 )
Podemos considerar esta estructura como una estructura en serie de las estructuras en paralelo de los cortes minimales.
DescomposiciÄn pivotal
Para cada funci�n de estructura (x) se verifica:
x),()(),()( xxxxx iiii 011 ( 4.8 )
MÄdulos de estructuras coherentes
Podemos descomponer estructuras complejas, en una estructura m�s simple de subsistemas y analizar cada subsistema individualmente. Es importante que la descomposici�n se haga de forma que cada componente simple no aparezca en m�s de un subsistema.
Los subsistemas deben ser estructuras coherentes. Si denotamos mediante ( C, ) donde C es un conjunto de componentes y es una funci�n de estructura. Sea A C y AC = C – A. Identificamos los elementos de A por i1, ... , i. Sea xA el vector de estados correspondiente a los elementos de A, xA = ( xi1, ... , xin ) y sea (xA) la funci�n de estructura correspondiente a A. ( A, ) puede ser interpretado como un sistema en s� mismo.
DescomposiciÄn modular
Una descomposici�n modular de una estructura coherente ( C, ) es un conjunto de m�dulos disjuntos ( Ai, i ), i = 1, ... , r y una funci�n de estructura, tal que:
1.- jiAAAC ji
r
ii
,con
1
2.- )(),...,()( rAr
A xxx 11
5.- FIABILIDAD DE SISTEMAS
Estudiamos sistemas con componentes independientes, como suponemos que los fallos de las componentes siguen una distribuci�n de probabilidad, podemos interpretar las variables de estado de cada componente en el instante t como variables aleatorias X1(t), ... , Xn(t) , as� tenemos el vector de estados X(t) = (X1(t), ... , Xn(t)) y la funci�n de estructura (X(t)).
Consideremos las siguientes probabilidades
)()))(((,...,)())((
tptXPnitptXP
S
ii
111
( 5.1 )
Si suponemos que los fallos de las diferentes componentes son independientes, las variables Xi(t) ser�n independientes entre s�. Si consideramos sistemas no reparables, es decir las componentes son inmediatamente sustituidas la primera vez que fallan. En este caso las expresiones 5.1 se corresponden con la funci�n de fiabilidad de cada componente y del sistema respectivamente.
Fiabilidad de sistemas
Como las variables Xi(t) son binarias tenemos
nitptXPtXPtXE iiii ,...,)())(())(()( 11100 ( 5.2 )
An�logamente la fiabilidad del sistema en el instante t, es
)))((()( tXEtpS ( 5.3 )
cuando las componentes son independientes, la fiabilidad del sistema pS(t) depende �nicamente de las pi(t).
Estructura en serie
La funci�n de estructura viene dada por ( 4.1 ) en nuestro caso
)())(( tXtXn
ii
1
Como las variables Xi(t) se suponen independientes la fiabilidad del sistema es
n
i
n
iii
n
iiS tptXEtXEtXEtp
1 11)())(()()))((()( ( 5.4 )
Se deduce de 6.4 que ))(())((( tpmintXE ii , en otras palabras una
estructura en serie es como m�ximo tan fiable como la componente de menor fiabilidad.
Estructura en paralelo
( 4.2 ) nos da la funci�n de estructura de una estructura en paralelo, ahora tendremos
n
i
n
iii tXtXtX
1 111
))(()())((
De aqu�
n
i
n
iii
n
iiS tptptXEtXEtp
1 111111 )())(()))((()))((()( ( 5.5 )
Estructura k-out-of-n
De 4.3 la funci�n de estructura de un sistema k-out-of-n es
))((n
ii
n
ii
kXsi
kXsitX
1
1
0
1
Consideremos, para simplificar que todas las componente tienen id�ntica fiabilidad p(t). Como hemos supuesto que los fallos de las componentes individuales son independientes, entonces en un instante
t, la variable aleatoria
n
ii tXtY
1)()( ( n, p(t) )
nytptpyn
ytYP yny ,...,,))(()())(( 101
Por tanto la fiabilidad de una estructura k-out-of-n de componentes con fiabilidades iguales es
ynyn
kyS tptp
yn
ktYPtp
))(()())(()( 1 ( 5.6 )
SISTEMAS NO REPARABLES
En nuestro ejemplo de detecci�n de incendios, consideramos que las componentes no son reparables, luego en este caso la funci�n de fiabilidad de cada componente coincide con su correspondiente pi(t), es decir pi(t) = Ri(t) para i = 1, ... , n
Estructuras no reparables en serie
En virtud de 6.4 la funci�n de fiabilidad de una estructura no reparable en serie de componentes independientes es
n
iiS tRtR
1)()( ( 5.7 )
adem�s, teniendo en cuenta 2.8
t
ii duuhtR0
).(exp)( ( 5.8 )
donde hi(t) es la tasa de fallo de la componente i en el instante t.
Sustituyendo 5.8 en 5.7 se obtiene
t n
ii
n
i
tiS duuhduuhtR
011
0).(exp).(exp)( ( 5.9 )
Por tanto la tasa de fallo de una estructura en serie de componentes independientes, hS(t) es igual a la suma de las tasas de fallos de las componentes individuales
)()( ththn
iiS
1( 5.10 )
El tiempo medio de fallo de una estructura en serie es
0 0 01
t n
iiS dtduuhdttRMTTF }).(exp{).(
En el caso particular de que todas las componentes tengan tasa de fallos constante, hi(t)= i , i= 1, ... , n tenemos
n
ii
n
ii dttMTTF
1
01
1
}.exp{ ( 5.11 )
Estructuras no reparables en paralelo
De acuerdo con 5.5 la funci�n de fiabilidad de una estructura no reparable en paralelo de componentes independientes viene dada por
n
iiS tRtR
111 ))(()( ( 5.12 )
En el caso particular de que todas las componentes tengan tasa de fallo constante hi(t)=i i=1,2, ... ,n se tiene
n
i
tS
ietR1
11 )()( . ( 5.13 )
Estructuras no reparables k-out-of-n
Supongamos que tenemos una estructura k-out-of-n de n componentes id�nticas e independientes con tasa de fallos constante . La funci�n de fiabilidad de una estructura k-out-of-n viene dado, seg�n 5.5 es
)(.)( ... txtn
kxee
xn
tR
1 ( 5.14 )
Entonces el tiempo medio de fallo es
01 dtee
xn
MTTF txtn
kx).(. ... ( 5.15 )
haciendo v = e-t, obtenemos
n
kx
n
kx
n
kx
xnxn
kx
xnxnx
xn
nxnx
xn
vvxn
MTTF
111
111
110
1
!)!()!(1
)()().(
)(
( 5.16 )
De una forma parecida se puede analizar cuantitativamente los �rboles de fallo, bas�ndonos en la no fiabilidad de una componente en vez de en la fiabilidad, qi(t) = 1 – pi(t), en base a variables de estado y una funci�n de estructura.
CÉlculo de la fiabilidad de un sistema
a) Basado en la funci�n de estructura
Se descompone el sistema de forma modular y se calcula la fiabilidad de cada subsistema y posteriormente del sistema en su conjunto
b) Basado en caminos y cortes minimales
Cuando se han determinado todos los cortes minimales K1, ... , Kk
y/o todos los caminos minimales P1, ... , Pp , la funci�n de estructura puede escribirse
p
j Pii
k
j Kii
jj
XXX11 )( ( 5.17 )
Como, por hip�tesis, X1, ... , Xn son independientes, para obtener la fiabilidad del sistema basta sustituir cada Xi por su correspondiente pi. Ahora bien, si suponemos que las componentes no son reparables, es decir son sustituidas inmediatamente al detectarse un fallo, podemos sustituir cada pi por Ri.
6.- AN�LISIS DEL DETECTOR DE INCENDDIOS
Vamos a pasar al estudio del sistema descrito en el apartado 1, bajo las siguientes hip�tesis:
- Todas las componentes son independientes y con tasa de fallo constante, es decir la distribuci�n del tiempo de fallo de cada componente es exponencial.
- Todas las componentes no son reparables, es decir si se detecta un fallo son inmediatamente sustituidas por otra igual.
- El sistema debe estar preparado para funcionar cuando se presente una emergencia, est� alimentado continuamente por una fuente de energ�a DC.
- En el primer estudio se supone que la influencia del operario es despreciable, se analiza la fiabilidad del dispositivo exclusivamente.
Las referencias usadas son:
Componente Tasa de fallo Variable N� Identificaci�nDC 0 X0 0MS 1 X1 1FP1 2 X2 2FP2 2 X3 3FP3 2 X4 4FP4 2 X5 5PS 3 X6 6
SD1 4 X7 7SD2 4 X8 8SD3 4 X9 9VU 5 X10 10SR 6 X11 11
Tabla 6.1
En la figura 4.1 aparece el presostato dos veces a pesar de ser el mismo aparato, esto es porque el diagrama de bloques es un iagrama l�gico y no funcional.
Pasamos a calcular la fiabilidad del sistema, para ello se obtienen los caminos y cortes minimales del sistema, usando el algoritmo MOCUS y su dual.
Caminos minimales Cortes minimales{ 0, 1, 6, 11 }{ 0, 2, 6, 11 }{ 0, 3, 6, 11 }{ 0, 4, 6, 11 }{ 0, 5, 6, 11 }
{ 0, 7, 8, 10, 11 }{ 0, 7, 9, 10, 11 }{ 0, 8, 9, 10, 11 }
{ 0 }{ 11 }
{ 6, 10 }{ 6, 7, 8 }{ 6, 7, 9 }{ 6, 8, 9 }
{ 1, 2, 3, 4, 5, 10 }{ 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8 }{ 1, 2, 3, 4, 5, 7, 9 }{ 1, 2, 3, 4, 5, 8, 9 }
Tabla 6.2
Como el sistema funciona si al menos una de las estructuras en serie de los caminos minimales funciona, la funci�n de estructura del sistema es seg�n 5.17
8
1
j Pii
j
XX )( y al ser las componentes independientes y no
reparables, tomando esperanza tendremos la funci�n de fiabilidad, en nuestro caso tendremos
(X)= 1-(1-X0.X1.X6.X11)(1- X0.X2.X6.X11)(1- X0.X3.X6.X11).(1- X0.X4.X6.X11)(1- X0.X5.X6.X11)(1- X0.X7.X8.X10.X11).(1- X0.X7.X9.X10.X11)( 1- X0.X8.X9.X10.X11) ( 6.1)
Como la tasa de fallo es constante la fiabilidad de cada componente viene dada por Ri(t)= exp { -i.t }. A la hora de desarrollar 6.1 hay que tener en cuenta que las variables X son binarias, luego sus potencias coinciden con X. Entonces para obtener la fiabilidad del sistema se desarrolla 6.1, y en el resultado final se toman esperanzas, que en este caso equivale a sustituir cada Xi en el resultado por su fiabilidad.
Otra forma de afrontar el problema es proceder a una descomposici�n modular del sistema, en nuestro caso, teniendo en cuenta que cada componente s�lo puede aparecer dentro de un m�dulo o subsistema. Podemos tener un sistema de tres m�dulos en serie
I = { 0 } ; II = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 } ; III = { 11 }
Asimismo el m�dulo II se puede descomponer en dos m�dulos en paralelo:
A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } ; B = { 7, 8, 9, 10 }
El diagrama de bloques en estudio queda al suprimir la influencia del operario:
Figura 6.1 DIAGRAMA DE BLOQUES SIN EL OPERARIO
Entonces la funci�n de fiabilidad del sistema vendr� dada por:
)()()()( tRtRtRtR IIIIIIS ( 6.2 )
y a su vez podemos descomponer RII(t)
))(())(()( tRtRtR BAII 111 ( 6.3 )
Pasamos a calcular las fiabilidades de los m�dulos
tIII
tI etRetR .. )(;)( 60 ( 6.4 )
CÉlculo de la fiabilidad de RII
Para ello descomponemos el subsistema II en dos m�dulos en paralelo A y B, para despu�s aplicar 6.3
Fiabilidad del m�dulo A
Figura 6.2 DIAGRAMA DE BLOQUES DEL M�DULO A
Los caminos minimales de A son { 1, 6 } , { 2, 6 } , { 3 , 6 } , { 4, 6 } , { 5, 6 }, entonces seg�n 5.17 la funci�n de estructura es:
(X)=1– ( 1 – X1.X6 ) ( 1 – X2.X6 ) ( 1 – X3.X6 ) ( 1 – X4.X6 ) ( 1 – X1.X6 )
Efectuando las operaciones tenemos:
(X)=X1.X6+ X2.X6+ X3.X6+ X4.X6+ X5.X6- X1.X2.X6- X1.X3.X6-X1.X4.X6- X1.X5.X6- X2.X3.X6- X2.X4.X6- X2.X5.X6- X3.X4.X6-X3.X5.X6- X4.X5.X6+ X1.X2.X3.X6+ X1.X2.X4.X6+ X1.X2.X5.X6+X1.X3.X4.X6+ X1.X3.X5.X6+ X1.X4.X5.X6+ X2.X3.X4.X6+X2.X3.X5.X6+ X2.X4.X5.X6+ X3.X4.X5.X6- X1.X2.X3.X4.X6-X1.X2.X3.X4.X6- X1.X2.X3.X5.X6- X1.X2.X4.X5.X6-X1.X3.X4.X5.X6- X2.X3.X4.X5.X6+ X1.X2.X3.X4.X5.X6
Por tanto la fiabilidad
RS(t)=R1.R6+ R2.R6+ R3.R6+ R4.R6+ R5.R6- R1.R2.R6- R1.R3.R6-R1.R4.R6- R1.R5.R6- R2.R3.R6- R2.R4.R6- R2.R5.R6- R3.R4.R6-R3.R5.R6- R4.R5.R6+ R1.R2.R3.R6+ R1.R2.R4.R6+ R1.R2.R5.R6+R1.R3.R4.R6+ R1.R3.R5.R6+ R1.R4.R5.R6+ R2.R3.R4.R6+R2.R3.R5.R6+ R2.R4.R5.R6+ R3.R4.R5.R6- R1.R2.R3.R4.R6-R1.R2.R3.R4.R6- R1.R2.R3.R5.R6- R1.R2.R4.R5.R6-R1.R3.R4.R5.R6- R2.R3.R4.R5.R6+ R1.R2.R3.R4.R5.R6 ( 6.5 )
Sustituyendo cada fiabilidad por su expresi�n tenemos:
RA(t)= exp{ - ( 1+3)t } + 4 exp{ - (2+3)t } - 4 exp{ - ( 1+ 2+3)t } –6exp{ - ( 22+3)t } + 6 exp{ - ( 1+ 22+3)t }+ 4 exp{ - ( 32+3)t }-4 exp{ - ( 1+ 32+3)t} - exp{- ( 42+3)t} +exp{ - ( 1+4 2+3)t }
( 6.6 )
Fiabilidad del m�dulo B
Figura 6.3 DIAGRAMA DE BLOQUES DEL M�DULO B
En este caso evaluaremos la funci�n de estructura directamente
(X) = [1- ( 1- X7.X8 )(1 – X7.X9 )(1 – X8.X9 ) ]. X10 =X10.X7.X8+ X10.X7.X9+ X10.X8.X9- 2 X10.X7.X8.X9
La funci�n de fiabilidad es
RB(t) = R10.R7.R8+ R10.R7.R9+ R10.R8.R9- 2 R10.R7.R8.R9
Y sustituyendo
RB(t) = 3exp{ -(24+5) } - 2exp{ -(34+5) } ( 6.7 )
Llevando 6.6 y 6.7 a 6.3 tendremos la fiabilidad del subsistema II, multiplicando despu�s por las fiabilidades de los subsistemas II y III, dadas por 6.4, obtendremos la fiabilidad del sistema seg�n 6.2
Obtendremos por tanto
RS(t) = exp{-(0+1+3+6)t} + 4exp{-(0+2+3+6)t}-4exp{-(0+1+2+3+6 )t} - 6 exp{ -( 0+22+3+6 )t}+6 exp{ -( 0+1+22+3+6 )t} + 4 exp{ -( 0+32+3+6 )t}-4 exp{ -( 0+1+32+3+6 )t} - exp{ -( 0+42+3+6 )t}+ exp{ -( 0+1+42+3+6 )t} + 3 exp{ -( 0+24+5+6 )t}-3 exp{ -(0+1+3+24+5+6)t}-12 exp{ -(0+2+3+24+5+6)t}+12 exp{ -( 0+1+2+3+24+5+6 )t}+18 exp{ -( 0+22+3+24+5+6 )t}-18 exp{ -( 0+1+22+3+24+5+6 )t}-12 exp{ -( 0+32+3+24+5+6 )t}+12exp{ -( 0+31+2+3+24+5+6 )t}+3 exp{ -( 0+42+3+24+5+6 )t}-3 exp{ -( 0+1+42+3+24+5+6 )t}-2 exp{ -( 0+34+5+6 )t} + 2 exp{ -( 0+1+3+34+5+6 )t}+8 exp{ -( 0+2+3+34+5+6 )t}-8 exp{ -( 0+1+2+3+34+5+6 )t}-12 exp{ -( 0+22+3+34+5+6 )t}+12 exp{ -( 0+1+22+3+34+5+6 )t}+8 exp{ -( 0+32+3+34+5+6 )t}-8 exp{ -( 0+1+32+3+34+5+6 )t}-2 exp{ -( 0+42+3+34+5+6 )t}+2 exp{ -( 0+1+42+3+34+5+6 )t} ( 6.8 )
La funci�n de riesgo o tasa de fallo vendr� dada por
)()(
)(tRtR
thS
S
por tanto se deriva 6.8 y se divide por 6.8 cambiando de signo. Despu�s una vez conocidos los par�metros o estimados, se realiza un an�lisis del crecimiento de h(t).
Para simplificar los c�lculos se podr�a aproximar, para peque�o,1 - e-.t .t ( utilizando el desarrollo en serie de McLaurin de e-.t ) y emplear la f�rmula de fiabilidad correspondiente a la 6.1 teniendo
8
11
j Pi
PiS
j
jttR .)( con [ Pj ] el orden de Pj
La tasa media de fallos del sistema viene dada por 2.11
dttRMTTF S ).(
0
en nuestro caso como
10
dte t.
tendremos
MTTFS = 1/(0+1+3+6) + 4/(0+2+3+6)-4/(0+1+2+3+6 )-6/( 0+22+3+6 )+6/( 0+1+22+3+6 )+ 4/( 0+32+3+6 )-4/( 0+1+32+3+6 )–1/ 0+42+3+6 )
+ 1/( 0+1+42+3+6 ) + 3/( 0+24+5+6 )-3/(0+1+3+24+5+6)-12/(0+2+3+24+5+6)+12/( 0+1+2+3+24+5+6 )+18/( 0+22+3+24+5+6 )-18/( 0+1+22+3+24+5+6 )-12/( 0+32+3+24+5+6 )+12/( 0+31+2+3+24+5+6 )+3/( 0+42+3+24+5+6 )-3/( 0+1+42+3+24+5+6 )-2/( 0+34+5+6 ) + 2/( 0+1+3+34+5+6 )+8/( 0+2+3+34+5+6 )-8/( 0+1+2+3+34+5+6 )-12/( 0+22+3+34+5+6 )+12/( 0+1+22+3+34+5+6 )+8/( 0+32+3+34+5+6 )-8/( 0+1+32+3+34+5+6 )-2/( 0+42+3+34+5+6 )+2 /( 0+1+42+3+34+5+6 ) ( 6.9 )
Caso en que el operario influye
Supongamos que tenemos en cuenta el posible error humano del operario, bien porque se ausenta de su puesto, bien porque no se percata del fuego, y sea p la probabilidad de que se produzca el error humano. En el caso de que no falle estar�amos en la situaci�n anterior, si falla entonces la componente 1 ( el bot�n de alarma ) ser�a irrelevante y la podr�amos excluir del sistema, teniendo as� un nuevo sistema S1
Entonces si llamamos RH(t) a la fiabilidad del sistema teniendo en cuenta el factor humano, y usando el operario como pivote y el teorema de la probabilidad total
RH(t) = p.RS1(t)+ ( 1-p ).RS(t) ( 6.10 )
Ahora debemos calcular la fiabilidad de S1 para ello basta eliminar la componente 1, lo que implica que desaparezcan en RS(t) todos los t�rminos con 1, tendremos por tanto:
Figura 6.4 DIAGRAMA DE BLOQUES DEL SISTEMA S1
RS1(t) = + 4exp{-(0+2+3+6)t}- 6 exp{ -( 0+22+3+6 )t}+ 4 exp{ -( 0+32+3+6 )t} - exp{ -( 0+42+3+6 )t}+ 3 exp{ -( 0+24+5+6 )t}-12 exp{ -(0+2+3+24+5+6)t}
+18 exp{ -( 0+22+3+24+5+6 )t}-12 exp{ -( 0+32+3+24+5+6 )t}+3 exp{ -( 0+42+3+24+5+6 )t}-2 exp{ -( 0+34+5+6 )t}+8 exp{ -( 0+2+3+34+5+6 )t}-12 exp{ -( 0+22+3+34+5+6 )t}+8 exp{ -( 0+32+3+34+5+6 )t}-2 exp{ -( 0+42+3+34+5+6 )t} ( 6.11 )
y el tiempo medio hasta el fallo del sistema S1
MTTFS1 = 4/(0+2+3+6)-6/( 0+22+3+6 )+ 4/( 0+32+3+6 )–1/ 0+42+3+6 )+ 3/( 0+24+5+6 )-12/(0+2+3+24+5+6)
+18/( 0+22+3+24+5+6 )-12/( 0+32+3+24+5+6 )+3/( 0+42+3+24+5+6 )-2/( 0+34+5+6 )+8/( 0+2+3+34+5+6 )-12/( 0+22+3+34+5+6 )+8/( 0+32+3+34+5+6 )-2/( 0+42+3+34+5+6 ) ( 6.12 )
Entonces MTTFH = p.MTTFS1 + ( 1 – p ).MTTFS
7.- MANTENIMIENTO PREVENTIVO
Por la naturaleza del sistema, s�lo se puede detectar un fallo cuando se produce una situaci�n cr�tica, esto supone un serio inconveniente por ello es necesario un mantenimiento preventivo que descubra los fallos ocultos de las componentes, para sustituir la componente en fallo inmediatamente.
Pasamos a detallar someramente la t�cnica utilizada. Una componente entra en funcionamiento en el instante t = 0, la componente es revisada y, si es necesario, sustituida en intervalos regulares de tiempo de longitud . Despu�s de cada test las componentes se consideran como si fueran nuevas.
Podemos considerar dos tipos de fallos en el sistema, el fallo funcional ( FTF ), es decir el sistema no es capaz de realizar su funci�n o la falsa alarma ( FA ). Analizaremos los FTF de forma an�loga al desarrollo precedente.
Sea T el tiempo hasta el fallo funcional de la componente, T es una variable aleatoria con funci�n de distribuci�n FT(T) y funci�n de densidad de probabilidad fT(t). Despu�s de cada revisi�n cada componente se considera como nueva, por tanto todos los intervalos entre revisiones se pueden considerar estoc�sticamente equivalentes, por tanto restringiremos el estudio al primer intervalo ( 0, ).
Dividimos el intervalo en dos partes, T1 donde la componente est� lista para funcionar ( no hay FTF ) y D1 donde la componente es inservible ( hay un fallo oculto que no se detecta hasta la siguiente inspecci�n ) entonces = T1 + D1 y T1 = min ( T, ).
La funci�n de distribuci�n de T1 viene dada por
tsitsitF
tsitTPtF TT )()()(
10
00
11( 7.1 )
La funci�n de distribuci�n de T1 tiene una parte continua y una parte discreta
Figura 7.1 FUNCI�N DE DISTRIBUCI�N DE T1
La funci�n de fiabilidad de una componente para 0 t < viene dada por R1(t) = 1 – F(t).
El tiempo �til medio de una componente en ( 0 , ) es:
00101 dttRRdttftTPdttftTE tt ).()(.).(.)(.).(.)(
( 7.2 )
donde R(t) = P( T > t ).
Como = T1 + D1 el tiempo fuera de servicio medio en ( 0 , )
E(D1) = - E(T1) ( 7.3 )
La disponibilidad media Am( 0 , ) es la proporci�n media de tiempo que dicha componente es �til en ( 0 , ):
01 10 dttRTEAm ).()(
),( ( 7.4)
La no disponibilidad media se suele representar por MFDT ( mean fractional dead time ) y viene dada por:
001111 dttFdttRAMFDT Tm ).().( ( 7.5)
F(t)
P(T=t)
Tt
En el caso de que la tasa de fallo sea constante tendremos
)(.).()( .
edtedttRTE t 11
0 01
)()(
),(
eTEAm 110 1
)(
eMFDT 111 ( 7.6 )
Si desarrollamos e en serie de MacLaurin podemos aproximar para peque�o
221
MFDTAm ;
Estudio de sistemas
Si tenemos un sistema de n componentes independiente con tasa de fallos constante i , i = 1, ... , n. La funci�n de distribuci�n FTi(t) del tiempo hasta el fallo de la componente i se puede aproximar por
tetF it
Ti
i.)( . 1
Los fallos entre revisiones ni se detectan ni se reparan, podemos aplicar el an�lisis del �rbol de fallo que se indic� en el apartado 5 y que es similar al an�lisis de diagrama de bloques, ahora se utilizar�n los cortes minimales y las qi
qi(t) = P( componente i falle en el instante t )= FTi(t) i(t)
Sean K1, ... , Kk los k cortes minimales del sistema, el sistema falla si al menos una de las estructuras en paralelo de cortes minimales falla, y para que una de estas estructuras falle deben fallar todas y cada una de las componentes que est�n en un corte minimal. Hay que tener en cuenta que una componente puede estar en m�s de un corte minimal.
Sea Qj(t) la probabilidad que una estructura en paralelo de corte minimal Kj falle en el instante t es, suponiendo componentes independientes
ttFtqtQj jj Ki Ki
iiKi
ij .)()()(
La probabilidad de que el sistema tenga un fallo oculto en el instante t si todas las estructuras en paralelo de cortes minimales son independientes es
k
jj tQtQ
10 11 ))(()(
Ahora bien como una componente puede estar en m�s de un corte, como en nuestro caso, la igualdad no se verifica y el segundo miembro es una cota superior de Q0(t). Cuando todas las qi(t) son muy peque�as podemos tomar
k
jj tQtQ
10 11 ))(()(
y si suponemos que las Qj(t) son tan peque�as que podemos despreciar tendremos
k
jj
k
jj tQtQtQ
110 11 )())(()(
en definitiva
j
jj
Kk
j Kii
k
j Kiis tttFtQ ..)()(
110 ( 7.7 )
Entonces
j
j
j Kii
K
j j
Kk
j Kiis K
tdttFMFDT
.).(
100
1 1111
( 7.8 )
Ahora suponemos que el fuego ocurre de forma que el n�mero de fuegos en un intervalo de tiempo dado ( 0 , t ] est� distribuido seg�n una ley de Poisson con par�metro .t. es el n�mero madio de fuegos por unidad de tiempo. Decimos que se produce una situaci�n cr�tica si se produce un fuego cuando el sistema no est� operativo.
Considerando s�lo el primer intervalo ( 0 , ), ocurre una situaci�n cr�tica en ( 0 , ) si:
1.- El detector falla en un intervalo ( t , t+dt ] donde t < y simult�neamente
2.- Sucede al menos un fuego en el intervalo ( t, ]
La probabilidad del suceso 1 es aproximadamente f(t).dt, mientras que la probabilidad del suceso 2 es 1-e-(-t).
Por tanto la probabilidad de que haya al menos una situaci�n cr�tica en ( 0 , ) es
dttfeP tC ).(),( )(
0
10
Normalmente es muy peque�o y podemos suponer 1 en este caso tenemos
1-e-(-t) ( - t ) y por tanto
dttftPC ).()(),(
0
0
Sustituyendo f(t) por -R’(t) e integrando por partes, obtenemos
00 dttRPC ).(),(
Utilizando 7.6
MFDTdttRdttRPC .).().(),(
00
110
( 7.9 )
AplicaciÄn al sistema de detecciÄn de incendios
Trabajaremos con las mismas hip�tesis que en el caso de no influencia del error humano, suponemos que se efect�a un mantenimiento preventivo cada unidades de tiempo, siendo ( 0, ) el primer intervalo, en el que efectuaremos el estudio, por ser como vimos todos los intervalos equivalentes estoc�sticamente.
Tenemos
Cortes minimales Tasas de fallo Orden{ 0 }
{ 11 }{ 6, 10 }
{ 6, 7, 8 }{ 6, 7, 9 }{ 6, 8, 9 }
{ 1, 2, 3, 4, 5, 10 }{ 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8 }{ 1, 2, 3, 4, 5, 7, 9 }{ 1, 2, 3, 4, 5, 8, 9 }
06
3, 53, 4, 43, 4, 43, 4, 4
1, 2, 2, 2, 2, 51, 2, 2, 2, 2, 4,41, 2, 2, 2, 2, 4,41, 2, 2, 2, 2, 4,4
1123336777
Suponiendo las tasas de fallos lo suficientemente peque�as podremos hacer uso de las aproximaciones.
Probabilidad que el sistema tenga un fallo oculto en el instante tSegÅn 7.7 serÇ
Q0(t) (0+6).t + 3.5.t2+3. 3.(4)2.t3+1.(2)45t6+3.1(2)4(4)2.t7
No disponibilidad media en ( 0, ). Usando 7.8 tenemos
MFDT1/2(0+6).+(1/3) 3.5. 2+(3/4). 3.(4)2. 3 + (1/7)1.(2)456
+ (3/8).1(2)4(4)2. 7
Probabilidad de que haya al menos una situaciÄn crÇtica en el intervalo ( 0, ). Usando 7.9
PC(0,) .((1/2)(0+6).2 + (1/3)3.5.3 + (3/4).3.(4)2.4 +(1/7)1.(2)456 + (3/8).1(2)4(4)2. 7)
Suponiendo que el n�mero de fuegos en ( 0,t ) se distribuya seg�n una ley de Poisson de par�metro t.
BIBLIOGRAF�A
System Reliability Theory; Hoyland A., Rausand M.Ed. John Wiley & Sons Inc. ( 1994 )
On the use of Stochastics Processes in Modeling Reliability Problems; Birolini, Alessandro
Ed. Springer-Verlag ( 1985 )
Introduction to Reliability Analysis; Zacks, S.Ed. Springer-Verlag (1992)
