FFT Fast Fourier Transformcabm/pds/PDS_Aula07_FFT.pdf · 2020-02-20 · Carlos Alexandre Mello – [email protected] 1 FFT – Fast Fourier Transform Carlos Alexandre Mello

1 Carlos Alexandre Mello – [email protected]

FFT – Fast Fourier Transform

Carlos Alexandre Mello


Algoritmos Rápidos

Objetivo: melhoria do desempenho de

algoritmos

Implementam de forma mais eficiente um

algoritmo sem modificar seu resultado final

Exemplos.....

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Algoritmos Rápidos

x = a.c + a.d + b.c + b.d

4 multiplicações

x = (a + b).(c + d)

1 multiplicação

Mesma expressão anterior

Menor número de operações

No caso, a multiplicação é a operação mais custosa

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Algoritmos Rápidos

Multiplicação de números complexos

(e + jf) = (a + jb).(c + jd)

e = (a.c – b.d)

f = (a.d + b.c)

4 multiplicações e duas adições

e = (a – b).d + a.(c – d)

f = (a – b).d + b.(c + d)

3 multiplicações apenas

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Equação de Análise:

Equação de Síntese:

Transformada Discreta de Fourier

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WN = e-j(2/N)


Transformada Discreta de Fourier

Alta complexidade computacional

O(N2)

Para diminuir essa complexidade,

algoritmos rápidos são empregados

A FFT usa um número reduzido de

operações aritméticas para calcular a DFT

em relação ao seu cálculo direto

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Algoritmo de Cooley-Tukey

1965

J.W.Cooley (IBM) e J.W.Tukey (Bell Labs)

Decimação no Tempo

Ideia:

dividir a sequência x[n] em duas sequências: uma

com os coeficientes de índice par e outra com os

coeficientes de índice ímpar

Algoritmos no qual a sequência é decomposta

sucessivamente em sequências menores são

chamados de algoritmos de decimação em tempo

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Sequência de

Entrada

Coeficientes

Pares

Coeficientes

Ímpares



Fazendo n = 2r e n = 2r + 1

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(Eq. 1)

(Eq. 2)

(Eq. 3)



Mas WN2 = WN/2 já que:

Logo, a Eq. 3 pode ser re-escrita como:

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(Eq. 4)

Twiddle



Cada parcela da Eq. 4 anterior é uma DFT de N/2

pontos

G[k] e H[k]

No caso de uma DFT de 8 pontos, o resultado da

decimação no tempo gera o seguinte diagrama de

fluxo...

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Índices

pares

Índices

ímpares



X[0] = G[0] + H[0]*WN0



X[4] = G[4] + H[4]*WN4

= G[0] + H[0]*WN4



Análise de Complexidade:

DFT clássica:

N2 multiplicações complexas e adições

Cooley-Tukey

DFT de

N/2 pontos

(N/2)2

operações

DFT de

N/2 pontos

(N/2)2

operações

+ N multiplicações pelo twiddle

N + 2(N/2)2 =

= N + N2/2

operações



Análise de Complexidade:

Assim, usando o algoritmo de Cooley-Tukey, para N>2,

temos uma complexidade menor do que usando o

algoritmo de DFT clássico

Mas, ainda podemos buscar melhoria na

complexidade se aplicarmos novamente a ideia de

divisão de Cooley-Tukey



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DFT de N-Pontos

DFT de N/2 Pontos

H[k]

DFT de N/2 Pontos

G[k]

DFT de N/4

Pontos

DFT de N/4

Pontos

DFT de N/4

Pontos

DFT de N/4

Pontos



Se N é potência de 2, podemos dividir novamente

o conjunto de dados:



G[k] = { x[0] x[2] x[4] x[6] } 0 1 2 3

Índices

pares

Índices

ímpares



Fluxo

completo

da DFT de

8 pontos


Algoritmo de Cooley-Tukey Análise de Complexidade

Para o caso geral, mas ainda considerando N

como potência de 2, podemos continuar com a

decomposição da DFT de N/4 pontos em duas de

N/8 pontos e continuarmos até que só restem

DFTs de 2 pontos

Como em uma árvore, esse processo requer v

estágios, onde v = log2N



Para uma única decimação (N -> N/2):

N + 2(N/2)2 operações

Com mais uma decimação (N/2 -> N/4):

O termo (N/2)2 é substituído por N/2 + 2(N/4)2:

N + 2[N/2 + 2(N/4)2]

N + N + 4(N/4)2

Se N=2v,a decomposição pode acontecer

no máximo v = log2N



Assim, se fizermos a decomposição o maior

número de vezes possível, temos uma quantidade

total de multiplicações complexas e adições igual

a N.log2N





A DFT de 8 pontos teve sua computação reduzida

até DFTs de 2 pontos (N = 2):

x[0]

x[4]

WN0 = 1

W2 1= WN

N/2 = -1 WNN/2 = e-j(2/N)N/2 = e-j = -1



O processo pode ser simplificado mais ainda...

A obtenção de um par de valores de um estágio

depende apenas de um par de valores do estágio

anterior

gráfico butterfly

Estágio m-1

WNr

WNr+ N/2

Estágio m

Como:

WNN/2 = -1

então o fator WNr+N/2 pode

ser escrito como:

WNr+N/2 = WN

N/2.WNr = -WN

r



Isso muda o gráfico da butterfly para:

Estágio m-1

WNr

-1

Estágio m

Gráfico butterfly simplificado



Ou seja...

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Relação

entrada-saída

dos índices...


Algoritmo de Cooley-Tukey Ordenação Bit-Reverso

Ou seja:

X0[0] = x[0]

X0[1] = x[4]

X0[2] = x[2]

X0[3] = x[6]

X0[4] = x[1]

X0[5] = x[5]

X0[6] = x[3]

X0[7] = x[7]

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Que implica:

X0[000] = x[000]

X0[001] = x[100]

X0[010] = x[010]

X0[011] = x[110]

X0[100] = x[001]

X0[101] = x[101]

X0[110] = x[011]

X0[111] = x[111]



A representação final do gráfico butterfly para uma

DFT de 8 pontos fica....

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Outras FFTs

Cooley-Tukey é também chamado de Radix-2

Existem Radix-4 e Radix-8

Danielson-Lanczos

Quebra em sequências de tamanho primo como uma

fatoração

Winograd

Para DFTs de N pequeno (até 16)

Re-ordena os dados de entrada e saída


FFT

Referências:

Discrete-Time Signal Processing, J.R.Buck,

A.Oppenheim e R.W.Schafer, Prentice-Hall,

1999

Fast Algorithms for Digital Signal Processing,

R.E.Blahut, Addison-Wesley, 1985

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