Σπύρος  Ευστ.  Τζαμαρίας   Στοιχειώδη  Σωμάτια   1  

Η  εξίσωση  Dirac  (Ι)  

Σπύρος  Ευστ.  Τζαμαρίας   Στοιχειώδη  Σωμάτια   2  

Μη-­‐Σχετικιστική  Κβαντομηχανική  

•   Η  μη-­‐σχετικιστική  έκφραση  για  την  ενέργεια:  

•   Στην  QM  αντιστοιχούμε  την  ενέργεια  και  την  ορμή  με  Τελεστές:  

 καταλήγοντας  στη  εξίσωση  του  Schrödinger    (για  απλότητα  V=0)        

• Η  S  είναι  πρωτης  τάξης  σε  χρονικές  παραγώγους  και  δεύτερης  τάξης  σε  χωρικές        παραγώγους  –  με  συνέπεια  να  ΜΗΝ  ΕΙΝΑΙ  Lorentz  invariant.    

• Στα  επόμενα  θα  χρησιμοποιήσουμε  την  πυκνότητα  και  το  ρεύμα  πιθανότητας.      Για  την  μη-­‐σχετικιστική  περίπτωση  ορίζονται  ως  ακολούθως:    

(S1)  

(S1)*   (S2)  

η  οποία  επιδέχεται    ως  λύσεις,    για  το  ελεύθερο  σωμάτιο,  το  επιπεδο  κύμα:  

όπου   και  

Σπύρος  Ευστ.  Τζαμαρίας   Στοιχειώδη  Σωμάτια   3  

• Συγκρίνωντας  με  την  εξίσωση  συνέχειας  

Καταλήγουμε  στις  ακόλουθες  εκφράσεις  για  την  πυκνότητα  και  το  ρεύμα  πιθανότητας  

• Για  το  ελευθερο  σωμάτιο  and  

 Ο  αριθμός  σωματίων  ανά  μονάδα    όγκου  είναι!

   Για   σωματια  ανά  μ.ο.  που  κινούνται  με  ταχύτητα          ,                                σωμάτια          διέρχονται  ανά  μονάδα  επιφάνειας  στη  μονάδα  του  χρόνου  (ροή  σωματίων).  Συνεπώς                      είναι  διάνυσμα  με  την  διεύθυνση  της  ταχύτητας  και  μέτρο  ίσο  με  την  ροή.          

(S1)   (S2)  

Σπύρος  Ευστ.  Τζαμαρίας   Στοιχειώδη  Σωμάτια   4  

Η  εξίσωση    Klein-­‐Gordon  • Εφαρμόζοντας   Στην  σχετικιστική  έκφραση  για  την  ενέργεια:    

καταλήγει  στην  εξίσωση  Klein-­‐Gordon  :  

Η  KG  εκφράζεται  συνοπτικά  

• Για  το  ελεύθερο  σωμάτιο,                                                                ,  η    η  KG  εξίσωση  δίνει:  

(KG1)  

(KG3)  

(KG2)  

   Ως  αναμένεται  (από  την    KG1),  η  KG  έχει  λύσεις  αρνητικής  ενέργειας  

     Κλασικά,  οι  αρνητικές  ενεργειακές  λύσεις  δεν  είναι  αποδεκτές.  Αλλά  για  την  KG            υπάρχει  επιπλέον  το  πρόβλημα  με  την  πυκνότητα  πιθανότητας…  

• Χρησιμοποιώντας  

Σπύρος  Ευστ.  Τζαμαρίας   Στοιχειώδη  Σωμάτια   5  

(KG2)*  

• Επαναλαμβάνουμε  την  ίδια  μεθοδολογία  για  να  ορίσουμε  την  πυκνότητα  και  ρεύμα  πιθ.:  

(KG4)  

• Συγκρίνοντας  με  την  εξίσωση  συνέχειας,  καταλήγουμε  ότι:  

• Για  επίπεδο  κύμα  και  

 Η  πυκνότητα  σωματίων  είναι  ανάλογη  του  E. Αυτό  είναι  συνέπεια  της  σχετικιστικής        έκφρασης  για  την  ενέργεια  (θυμηθείτε  ότι  δείξαμε  πως  εάν  η  πυκνότητα  είναι  1/V        σωμάτια  στο  σύστημα  κέντρου  μάζας,  θα  εμφανισθεί  ως  E/V στο  σύστημα  που    

   το  σωμάτιο  έχει  ενέργεια    E , λόγω  της  συστολής  μήκους).  

Σπύρος  Ευστ.  Τζαμαρίας   Στοιχειώδη  Σωμάτια   6  

Η  Εξίσωση    Dirac   Ιστορικά,  η  εξίσωση    Klein-­‐Gordon  αντιμετωπίσθηκε  με  σκεπτικισμό  λόγω  δύο  σημαντικών  προβλημάτων:  

   Λύσεις  με  αρνητικη  ενέργεια     Σε  αρνητικές  ενέργειες  αντιστοιχεί  αρνητική  πυκνότητα  σωματιδίων  

 Στην  Κβαντική  Θεωρία  Πεδίου  (  Quantum  Field  Theory)  αυτά  τα  προβλήματα  ξεπερνιούνται  και  η  εξίσωση  KG  χρησιμοποιείται  για  να  εκφράζει  spin-­‐0  σωμάτια  (ως  πολυ-­‐σωματιδιακές,  κβαντικές  διεγέρσεις  ενός  βαθμωτού  πεδίου)  

 Ο  Dirac  (1928)  αναζήτησε  νέα  έκφραση  για  την  σχετικιστική          κβαντομηχανική,  η  οποία  να  καταλήγει  σε  θετικές  πυκνότητες          σωματιδίων.  

 Η  ομώνυμη  κυματική  εξίσωση  έχει  λύσεις  οι  οποίες,  αφενός      λύνουν  το  πρόβλημα  τις  πυκνότητας,  περιγράφουν  αντι-­‐    σωμάτια  και  επιπλέουν  περιγράφουν  το  spin  και  μαγνητική    ροπή  του  e  

Ωστόσο:  

Σπύρος  Ευστ.  Τζαμαρίας   Στοιχειώδη  Σωμάτια   7  

• Schrödinger  eqn:   1η    τάξη  σε  22  τάξη  σε  

•   Ο  Dirac  αναζήτησε  εναλλακτική  εξίσωση  που  να  είναι  1η  τάξη  παντού:  

όπου   είναι  ο  Hamiltonian  Τελεστής  και,    

(D1)  

και  εφαρμόζοντας  δύο  φορές  τους  τελεστές    

• Αναλύοντας  την    (D1)  :  

•   Klein-­‐Gordon  eqn:    2η  τάξη  παντού  

Η  Εξίσωση    Dirac  

Σπύρος  Ευστ.  Τζαμαρίας   Στοιχειώδη  Σωμάτια   8  

•   Αλλά  για  να  είναι  συνεπής  με  την  σχετικότητα,  θα  πρέπει  ένα  ελεύθερο  σωμάτιο        να  υπακούει  στην                                                ,        ,  δηλ.  θα  πρέπει    να  ικανοποιεί  την  Klein-­‐Gordon  

 Προφανώς,  τα  σύμβολα            και                δεν  μπορεί  να  είναι  αριθμοί.  Μας  χρειάζονται  4            πίνακες  που  να  μετατίθενται  μεταξύ  τους   Θα  δείξουμε  πως  χρειάζονται  4  πίνακες  με  (ελάχιστη)  διάσταση  4x4  

•   Προφανώς,  για  να  είναι  συμβατή  η  Dirac  με  την  KG,  θα  πρέπει:  (D2)  

(D3)  

(D4)  

Σπύρος  Ευστ.  Τζαμαρίας   Στοιχειώδη  Σωμάτια   9  

Διαστάσεις  των  Dirac  Matrices  

Για  να  είναι  το                Hermi�an  για  κάθε          θα  πρέπει  

Επιπλέον,  δείξαμε  ότι:  

Εάν    

Εφαρμόζοντας  

ομοίως  

(χρησιμοποιώντας  την  μετάθεση)  

Σπύρος  Ευστ.  Τζαμαρίας   Στοιχειώδη  Σωμάτια   10  

Επειδή  οι  πίνακες  α  είναι  Hermi�an,  οι  ιδιοτιμές  είναι  πραγματικές      

άρα    

Καθώς  οι                          είναι  Hermi�an  πίνακες,  με  ίχνος  ίσον  με  μηδέν  και  με  ιδιοτιμές                  ,  θα  πρέπει  να  έχουν  άρτιες  διαστάσεις  

Για  N=2  οι  3  Pauli  spin  πίνακες  ικανοποιούν  

Αλλά  χρειαζόμαστε  4  μετατιθέμενους  πίνακες.  Συνεπώς    οι                          της  εξίσωσης  Dirac  πρέπει  να  έχουν  διαστάσεις  4,  6,  8,…..  Η  απλούστερη  επιλογή      αντιστοιχεί  σε  4x4  πινακες  για  να  εκφράσουμε  τα                            .    

Ας  εξετάσουμε  την  σχέση  ιδιοτιμών  

αλλά  

Σπύρος  Ευστ.  Τζαμαρίας   Στοιχειώδη  Σωμάτια   11  

• Συνεπώς,  η  κυματοσυνάρτηση  θα  πρέπει  να  έχει  4  συνιστώσες    (Dirac  Spinor)  

Συνέπεια  της  επιλογής  1ης  τάξης  σε  χρόνο/χώρο  παραγώγων      αποτελεί  το  γεγονός    ότι  η  κυματοσυνάρτηση  έχει  4  βαθμούς  

ελευθερίας  !!!  (τι  εκφράζουν  οι  βαθμοί  ελευθερίας;;;;)  

•     Μας  συμφέρει  να  επιλέξουμε  «βολική»  αναπαράσταση  για  τους  πίνακες                  .          Ωστόσο,  επισημαίνουμε  πως  τα  φυσικά  αποτελέσματα  δεν  εξαρτόνται  από  την          αναπαράσταση  που  θα  επιλέξουμε  •   Η  «βολική»  αναπαράσταση  βασίζεται  στις  Pauli  spin  matrices:  

with  

(D5)  

Οι  σχέσεις  μετάθεσης  των  4  Hermi�an  4x4  πινάκων,  ορίζει  την  άλγεβρά  τους  

•   Ασκηση:  Δείξετε  ότι                  είναι  Hermi�an  και  έχουν  τις  σωστές  σχέσεις  μετάθεσης  

Dirac  Spinors  

Σπύρος  Ευστ.  Τζαμαρίας   Στοιχειώδη  Σωμάτια   12  

Εξίσωση  Dirac  :  Πυκνότητα  και  Ρεύμα  Πιθανότητας  

(D6)  

(D7)  

• Ας  αρχίσουμε  με  την  εξίσωση  Dirac  

 και  την  Hermi�an  συζηγή  της  (conjugate)  

• Σχηματίστε    την  

• Επειδή  οι  πίνακες  α  έχουν  ως  στοιχεία  αριθμούς,  ισχύει:  

                                             (                            είναι  Hermi�an)  

Σημειώστε  ότι:  

Σπύρος  Ευστ.  Τζαμαρίας   Στοιχειώδη  Σωμάτια   13  

όπου  

• Συνεπώς,  συγκρίνοντας  με  την  εξίσωση  συνέχειας,  ταυτοποιούμε:  

και  

Αρα:  

•   Εν  αντιθέσει  με  την  KG,  η  εξίσωση  Dirac  επιδέχεται  πυκνότητα  πιθανότητας  θετική  •   Ακολούθως,  θα  δείξουμε  πως    οι  4  συνιστώσες  των  Dirac  Spinors  εμπεριέχουν        τις  ιδιότητες  του  spin  και  περιγράφουν  spin  ½  φερμιόνια.  •   Επιπλέον  περιγράφουν  την  μαγνητική  ροπή  ως:  

Καταλήγουμε  στην   (D8)  

Σπύρος  Ευστ.  Τζαμαρίας   Στοιχειώδη  Σωμάτια   14  

Spin  

•   Η  γωνιακή      στροφορμή                                        ,  αντιμετατίθεται  με  την  Hamiltonian?  

Ας  δουλέψουμε  με  την  x  συνιστώσα  της  L:  

Οι  μη  μηδενικοί  όροι  έρχονται  από:  

Συνεπώς  

 Επειδή  η  γωνιακή  στροφορμή  δεν  αντιμετατίθεται  με  την  Dirac  Hamiltonian    έπεται  πως  η  γωνιακή  στροφορμή  δεν  είναι  σταθερά  της  κίνησης  !!!!  

(A.1)  

Το  φυσικό  μέγεθος  Ο  διατηρείται,  εάν:  

Σπύρος  Ευστ.  Τζαμαρίας   Στοιχειώδη  Σωμάτια   15  

Εισάγουμε  ένα  νέο  4x4  Τελεστή:  

όπου              είναι  οι  Pauli  spin  matrices:  i.e.  

Ας  υπολογίσουμε  τον  αντιμεταθέτη  

όπου  

και  επομένως  

Ας  εξετάσουμε  την  x  συνιστώσα:  

Σπύρος  Ευστ.  Τζαμαρίας   Στοιχειώδη  Σωμάτια   16  

Taking  each  of  the  commutators  in  turn:  

Αρα  

 x    x   y  

Σπύρος  Ευστ.  Τζαμαρίας   Στοιχειώδη  Σωμάτια   17  

και  τελικά:  

• Συνεπώς  η  φυσική  ποσότητα  που  εκφράζει  ο  τελεστής                ΔΕΝ  είναι  σταθερά  της  κίνησης.  Αλλά  ...  

• Επειδή      

Οι  σχέσεις  αντιμετάθεσης  για  το                  είναι  οι  ίδιες  με  αυτές  των  

.  Επιπλέον,  τα  S2  και  Sz  είναι  διαγώνια  

• Συνεπώς   και  για  ένα  σωμάτιο  που  κινείται  παράλληλα  με  τον    z    άξονα    

 S  έχει  όλες  τις  κβαντομηχανικές  ιδιότητες  του  spin  και  συνεπώς  η  εξίσωση  Dirac  προσφέρει    την  περιγραφή  σωματίων  με    S=1/2  

(βλπ      στα  επόμενα  λύση  της  Dirac)