Fenómenos de Transporte. Capítulo 2 · 2018-02-19 · Distribuciones de velocidad en flujo laminar. ... Procesos en la Planta de Producción de Orimulsión, ... el gradiente de

PROBLEMAS RESUELTOS Y PROPUESTOS DE

FENÓMENOS DE

TRANSPORTE. MECÁNICA DE FLUIDOS PARA ESTUDIANTES

DE INGENIERÍA, CIENCIA Y TECNOLOGÍA.

CAPÍTULO 2: DISTRIBUCIONES DE

VELOCIDAD EN FLUJO LAMINAR.

SISTEMAS RECTANGULARES.

Ing. Willians Medina.

Maturín, agosto de 2017.

Capítulo 2. Distribuciones de velocidad en flujo laminar. Sistemas rectangulares.

Fenómenos de Transporte. Ing. Willians Medina. www.slideshare.net/asesoracademico/ 2

CONTENIDO.

CONTENIDO. ...................................................................................................................... 2

PRESENTACIÓN. ............................................................................................................... 4

ACERCA DEL AUTOR. ..................................................................................................... 6

2.1.- DEFINICIONES BÁSICAS. ......................................................................................... 8

2.2.- FLUJO DE UNA PELÍCULA DESCENDENTE. ......................................................... 9

Ejemplo 2.1. Flujo de una película descendente. Sección 2.2 del Bird. Página 2-4. ..... 16

Ejemplo 2.2. ................................................................................................................... 17

Ejemplo 2.3. Cálculo de la velocidad de una película. Ejemplo 2.2-1 del Bird. Página

2.8. ................................................................................................................................. 17

Ejemplo 2.4. Espesor de una película descendente. Problema 2A.1 del Bird. Segunda

Edición. Página 71. ........................................................................................................ 17

Ejemplo 2.5. Problema 5.17 del Streeter. Octava Edición. Página 239. ........................ 18

Ejemplo 2.6. ................................................................................................................... 18

Ejemplo 2.7. Flujo de una película descendente. Otras deducciones. Problema 2.D2 del

Bird. Página 2-30. .......................................................................................................... 18

Ejemplo 2.8. ................................................................................................................... 19

Ejemplo 2.9. Problema 5.14 del Streeter. Octava Edición. Página 239. ........................ 19

Ejemplo 2.10. Flujo laminar en una rendija estrecha. Problema 2.E2 del Bird. Página 2-

31. .................................................................................................................................. 20

Ejemplo 2.11. Flujo laminar en una rendija con una pared móvil (“Flujo de Couette

plano”). Problema 2B.4 del Bird. Segunda Edición. Página 73. ................................... 21

Ejemplo 2.12. ................................................................................................................. 23

Ejercicios propuestos. .................................................................................................... 23

Ejemplo 2.13. ................................................................................................................. 24


Ejemplo 2.14. ................................................................................................................. 26


Ejemplo 2.15. Flujo de una película polimérica. Problema 8B.1 del Bird. Segunda

Edición. Página 301. ...................................................................................................... 29

Ejemplo 2.16. ................................................................................................................. 31

Ejemplo 2.17. ................................................................................................................. 31


Ejemplo 2.18. Flujo no – newtoniano de una película. Problema 2.K2 del Bird. Página

2-34. ............................................................................................................................... 32

Ejemplo 2.19. ................................................................................................................. 33

Ejemplo 2.20. ................................................................................................................. 33

Ejemplo 2.21. ................................................................................................................. 34


Ejemplo 2.22. Plate glass casting. .................................. ¡Error! Marcador no definido.

Ejemplo 2.23. ................................................................................................................. 35

Ejemplo 2.24. ................................................................................................................. 36



Ejercicios propuestos ..................................................................................................... 38



PRESENTACIÓN.

La presente es un Manual de Ejercicios de Fenómenos de Transporte para

estudiantes de Ingeniería, Ciencia y Tecnología dictada en las carreras de Ingeniería Civil,

Industrial, Mecánica, de Petróleo y Química de reconocidas Universidades en Venezuela.

El material presentado no es en modo alguno original, excepto la solución de

algunos ejemplos con una metodología que ofrece mejor comprensión por parte del

estudiante así como la inclusión de las respuestas a algunos ejercicios seleccionados y su

compilación en atención al contenido programático de la asignatura y al orden de dificultad

de los mismos.

Dicho manual ha sido elaborado tomando como fuente la bibliografía especializada

en la materia y citada al final de la obra, por lo que el crédito y responsabilidad del autor

sólo consiste en la organización y presentación en forma integrada de información existente

en la literatura.

Este manual, cuyo contenido se limita al estudio de las distribuciones de velocidad

en flujo laminar para sistemas rectangulares, contiene los fundamentos teóricos, 24

ejercicios resueltos paso a paso y 12 ejercicios propuestos para su resolución, y es ideal

para ser utilizada por estudiantes autodidactas y/o de libre escolaridad (Universidad

Abierta) y por estudiantes que están tomando un curso universitario de Fenómenos de

Transporte o Mecánica de Fluidos, así como por profesores que estén impartiendo clases en

el área de enseñanza de Fenómenos de Transporte o Mecánica de Fluidos para estudiantes

de Ingeniería, Ciencia y Tecnología.

El concepto de distribuciones de velocidad en flujo laminar es fundamental en el

estudio de los Fenómenos de Transporte, pues es la base de algunas definiciones

involucradas en el estudio de esta materia (Ecuaciones de variación para sistemas

isotérmicos, flujo a régimen permanente en canales abiertos y balances macroscópicos en

sistemas isotérmicos), y en este manual el autor presenta de manera clara y rigurosa el

espectro de situaciones involucradas en el manejo de los perfiles de velocidad en flujo



laminar para sistemas rectangulares tanto para un flujo libre sobre una lámina, como para

dos fluidos en movimiento uno encima del otro y diferentes tipos de fluidos.

Finalmente, se agradece infinitamente la dispensa y atención a esta modesta

contribución en la enseñanza y aprendizaje de los Fenómenos de Transporte y la Mecánica

de Fluidos, así como las sugerencias que tengan a bien para mejorar este trabajo, las cuales

pueden hacer llegar directamente a través de los teléfonos: +58-424-9744352, correo

electrónico: [email protected] ó [email protected], twitter: @medinawj ó

personalmente en la sección de Matemáticas, Universidad de Oriente, Núcleo de Monagas,

Maturín, Estado Monagas, Venezuela.

Ing. Willians Medina.



ACERCA DEL AUTOR.

Willians Medina (Barcelona, 1972) es Ingeniero Químico (1997), egresado de la

Universidad de Oriente, Núcleo de Anzoátegui, Venezuela y recientemente (2016) culminó

sus estudios conducentes al grado de Magister Scientiarum en Ciencias Administrativas

mención Finanzas en el Núcleo de Monagas de la misma Universidad. Fue becado por

LAGOVEN S.A (Filial de Petróleos de Venezuela, PDVSA) para cursar sus estudios

universitarios de pregrado y durante el transcurso de su carrera universitaria se desempeñó

como preparador docente en el área de Laboratorio de Química I y Termodinámica

Aplicada de la carrera de Ingeniería Química de la referida Universidad. En 1996 ingresó a

la Industria Petrolera Venezolana, (PDVSA), desempeñando el cargo de Ingeniero de

Procesos en la Planta de Producción de Orimulsión, en Morichal, al sur del Estado

Monagas hasta el año 1998, momento en el cual comenzó su desempeño en la misma

corporación como Ingeniero de Manejo de Gas en el Complejo Operativo Jusepín, al norte

del Estado Monagas hasta finales del año 2000. Durante el año 2001 formó parte del Plan

Integral de Adiestramiento (PIA) en San Tomé, Estado Anzoátegui, donde recibió cursos de

preparación integral en las áreas de producción y manejo de petróleo y gas, pasando

finalmente a la Gerencia de Manejo de Gas del Norte del Estado Monagas, en la localidad

de Punta de Mata, siendo responsable del tratamiento químico anticorrosivo de gasoductos

de la zona de producción de petróleo y gas hasta finales del año 2002. Desde el año 2006,

forma parte del Staff de Profesores de Matemáticas, adscrito al Departamento de Ciencias,

Unidad de Cursos Básicos del Núcleo de Monagas de la Universidad de Oriente (UDO),

cargo en el cual ha dictado asignaturas tales como Matemáticas I (Cálculo Diferencial),

Matemáticas II (Cálculo Integral), Matemáticas III (Cálculo Vectorial), Matemáticas IV

(Ecuaciones diferenciales), Métodos Numéricos, Termodinámica, Fenómenos de



Transporte y Estadística para estudiantes de Ingeniería. Es autor de video tutoriales para la

enseñanza de la matemática en el área de límites, derivadas y ecuaciones diferenciales a

través del portal http://www.tareasplus.com/ y también es autor de compendios de

ejercicios propuestos, ejercicios resueltos y formularios en el área de Matemáticas, Física,

Química, Mecánica Vectorial, Métodos Numéricos, Termodinámica, Estadística, Diseño de

Experimentos, Fenómenos de Transporte, Mecánica de los Fluidos e Ingeniería Económica.

En sus trabajos escritos el Ing. Medina ha dejado en evidencia su capacidad de integración

de los conocimientos en el área de la enseñanza en Ingeniería, así como el análisis riguroso

y detallado en el planteamiento y la solución de ejercicios en cada asignatura que aborda,

siendo considerado un profesional prolífico en la generación de material académico útil a

los estudiantes de Ingeniería y reconocido en lo personal y a través de sus escritos como

una referencia importante de consulta por estudiantes y profesores. En la actualidad (2017)

ha emprendido el proyecto de difusión de sus obras escritas en las áreas antes citadas a

través de internet de manera pública y gratuita (versión de sólo lectura en línea y con

privilegios limitados) en la página http://www.slideshare.net/asesoracademico/, en la cual

cuenta con un promedio de 3500 visitas diarias, y en forma privada (versión completa)

mediante la corporación http://www.amazon.com/ y su página académica

http://www.tutoruniversitario.com. Es miembro del Colegio de Ingenieros de Venezuela.



2.1.- DEFINICIONES BÁSICAS.

En general, el procedimiento a seguir para plantear y resolver problemas de flujo viscoso es

el siguiente: primeramente se escribe un balance de cantidad de movimiento para una

envoltura de espesor finito ( x ); después se hace tender a cero este espesor ( 0 x ),

utilizando la definición matemática de la derivada (x

xfxxf

x

)()(lim

0

) con el fin de

obtener la correspondiente ecuación diferencial que describe la distribución de la densidad

de flujo de cantidad de movimiento ( ). Se introduce entonces la adecuada expresión

newtoniana de la densidad de flujo de cantidad de movimiento (xd

vd ), con el fin de

obtener una ecuación diferencial para la distribución de velocidad (v). Mediante la

integración de estas dos ecuaciones se obtienen, respectivamente, las distribuciones de

densidad de flujo de cantidad de movimiento y de velocidad del sistema. Esta información

puede utilizarse después para calcular muchas otras magnitudes, tales como velocidad

media (<v>), velocidad máxima (vmax), velocidad volumétrica de flujo (Q), pérdida de

presión, y fuerzas que actúan sobre las superficies límite.

En las integraciones que hemos mencionado aparecen varias constantes de

integración que se evalúan utilizando las ‹‹condiciones límite››, es decir, determinaciones

de hechos físicos para valores concretos de la variable independiente. La mayor parte de las

condiciones límite utilizadas son las siguientes:

a) En las interfases sólido – fluido, la velocidad del fluido es igual a la velocidad con que se

mueve la superficie misma; es decir, que se supone que el fluido está adherido a la

superficie sólida con la que se halla en contacto.

b) En las interfases líquido – gas, la densidad de flujo de cantidad de movimiento, y por

consiguiente, el gradiente de velocidad en la fase líquida es extraordinariamente pequeño, y

en la mayor parte de los cálculos puede suponerse igual a cero.

c) En las interfases líquido – líquido, tanto la densidad de flujo de cantidad de movimiento

como la velocidad son continuas a través de la interfase; es decir, que son iguales a ambos

lados de la interfase.



Subíndices en la nomenclatura.

Densidad de flujo de cantidad de movimiento: zx , x – z es el plano a través del cual se

observa el elemento diferencial de fluido.

Velocidad: vz, z es el eje en el cual se mueven los elementos diferenciales de fluido.

Suposiciones.

1. El flujo es laminar.

2. La densidad es constante (‹‹fluido incompresible››).

3. El flujo es independiente del tiempo (‹‹estado estacionario››).

4. El fluido es newtoniano; es decir, xd

vd zzx .

5. Los efectos finales son despreciables.

6. El fluido se comporta como un medio continuo.

7. No hay deslizamiento en la pared.

2.2.- FLUJO DE UNA PELÍCULA DESCENDENTE.

Consideremos una superficie plana inclinada. Se supone que la viscosidad y densidad del

fluido son constantes y se considera una región de longitud L, suficientemente alejada de

los extremos de la pared, de forma que las perturbaciones de la entrada y la salida no están

incluidas en L; es decir, que en esta región el componente vz de velocidad es independiente

de z.



Vista de frente: Elemento diferencial de espesor.

Condiciones:

Estado estacionario.

Flujo laminar.

Fluido Newtoniano.

Propiedades del fluido constantes ( , ).

Efectos de borde despreciables.

Flujo en dirección z ( 0xv , 0yv , 0zv ).

La velocidad varía en función de x: vz = vz (x).

Se analizan cada uno de los términos involucrados en el balance de cantidad de

movimiento:

x z

)(xv z

)(xyx Dirección de

la gravedad

x

L

x

y

x

W



Velocidad de entrada de cantidad de movimiento z a través de la superficie situada en x:

Área de contacto (Área paralela a x ): L W

Densidad de flujo de cantidad de movimiento: xzx

Cantidad de movimiento: xzxWL (2.1)

Velocidad de salida de cantidad de movimiento z a través de la superficie situada en

xx :

Área de contacto (Área paralela a xx ): WL

Densidad de flujo de cantidad de movimiento: xxzx

Cantidad de movimiento: xxxzWL

(2.2)

Velocidad de entrada de cantidad de movimiento z a través de la superficie situada en

0z :

Flujo de cantidad de movimiento = Flujo másico Velocidad

Flujo másico = Flujo volumétrico Densidad ( Qm ).

Flujo volumétrico = Área Velocidad ( zvAQ ).

Área de flujo:

xWA

Flujo volumétrico.

0 zzvxWQ

Flujo másico.

0zzvxWm

0

zzvxWm

Flujo de cantidad de movimiento = 00

zzzz vvxW

= 0

2

zzvxW (2.3)

Velocidad de salida de cantidad de movimiento z a través de la superficie situada en

Lz :



Flujo de cantidad de movimiento = Lz

zvxW

2 (2.4)

Fuerza de gravedad que actúa sobre el fluido:

Fuerza = Peso del fluido en la dirección del flujo.

= Masa Aceleración de la gravedad

= Volumen Densidad Aceleración de la gravedad

= )()()( zgxWL (2.5)

Fuerza de presión que actúa sobre la superficie rectangular situada en 0z .

Fuerza = Área Presión.

0)( pxWFp

xWpFp 0 (2.6)

Fuerza de presión que actúa sobre la superficie rectangular situada en Lz .

Fuerza = Área Presión.

Lp pxWF )(

xWpF Lp (2.7)

Balance de cantidad de movimiento.

0

presión de Efecto

0

gravedad de Efecto velocidadde Efecto

2

0

2

viscosoEfecto

xWpxWpgxWLvxWvxWWLWL LzLz

zz

zxxzxxzx

(2.8)

Como zv vale lo mismo para 0z y Lz , para cada valor de x, los términos tercero y

cuarto (efecto de velocidad) se anulan entre sí.

0

presión de Efecto

0

gravedad de Efecto viscosoEfecto

xWpxWpgxWLWLWL Lzxxzxxzx

(2.9)

0)( 0

xWppgxWLWLWL Lzxxzxxzx

(2.10)

Las películas descendentes son de longitud L, de ancho W y de espesor x . El espesor de

la capa de fluido descendente es .



La ecuación (2.10) corresponde al balance de cantidad de movimiento en coordenadas

rectangulares para una película descendente. En caso de un sistema en el cual las

coordenadas rectangulares se encuentren en otra orientación, debe hacerse la adaptación de

la ecuación (2.10) al sistema indicado.

La ecuación (2.10) es el punto de partida para abordar cualquier problema de flujo laminar

en películas, bien sea que el flujo se deba a la gravedad (inclinado o vertical), a una

diferencia de presión ( 00 Lpp ) o a la transferencia de cantidad de movimiento

(movimiento de una o de las dos láminas). Para su aplicación se pueden presentar los

siguientes casos:

Flujo sin diferencia de presión ( 00 Lpp ).

0

zxxzxxzx gxWLWLWL

(2.11)

Lámina horizontal ( 0zg ).

0)( 0

xWppWLWL Lxxzxxzx

(2.12)

En este caso, para que exista flujo el fluido debe estar limitado por dos láminas con por lo

menos una en movimiento o ambas estáticas con el fluido sometido a una diferencia de

presión.

Lámina vertical ( gg z ).

0)( 0

xWppgxWLWLWL Lxxzxxzx

(2.13)

En este caso, el flujo puede existir a expensas de la diferencia de presión, sólo por el efecto

gravitacional. Si adicionalmente no existe diferencia de presión, la ecuación (2.9) se reduce

a:

0

gxWLWLWLxxzxxzx

(2.14)

En los ejemplos resueltos en este manual se partirá de la ecuación (2.10) directamente, pues

su deducción ya ha sido mostrada rigurosamente.

Definición de la derivada de una función:



x

ff

xd

fd xxx

xlim

0

(2.15)

Ley de Newton de la viscosidad:

xd

vd zzx (2.16)

Magnitudes relacionadas al flujo de fluidos.

Velocidad máxima. Velocidad media. Flujo volumétrico.

0,max,

zxrzz vv

W

W

z

ydxd

ydxdxvv

0 0

0 0)(

W

z ydxdxvQ0 0

)(

Número de Reynolds.

444Re

v (2.17)

Régimen de flujo:

Flujo laminar sin ondulaciones 25a4Re

Flujo laminar con ondulaciones 2000a1000Re25a4

Flujo turbulento 2000a1000Re

Desarrollo en series de potencias para funciones de interés.

...)1(

...5432

)1(ln15432

nn

xn

xxxxxx (2.18)

...!

...!5!4!3!2

15432

n

xxxxxxe

nx (2.19)

Integrales notables.

cea

xde xaxa 1

(2.20)

x

y

W



cea

xaxdex xaxa

2

1 (2.21)

cbxnn

nambx

n

mxd

bxn

axm

)(ln

2 (2.22)

cubab

uduba

u

)(ln

2

1 222

2222 (2.23)



Ejemplo 2.1. Flujo de una película descendente. Sección 2.2 del Bird. Página 2-4.

Consideremos una superficie plana inclinada. Estas películas se han estudiado en relación

con torres de pared mojada, experiencias de evaporación y absorción de gases y aplicación

de capas de pintura a rollos de papel. Se supone que la viscosidad y densidad del fluido son

constantes y se considera una región de longitud L , suficientemente alejada de los

extremos de la pared, de forma que las perturbaciones de la entrada y la salida no están

incluidas en L ; es decir, que en esta región el componente zv de velocidad es

independiente de z .

Determinar:

a) Distribución de la densidad de flujo de cantidad de movimiento.

b) Distribución de velocidad.

c) Velocidad máxima.

d) Velocidad media.

e) Velocidad volumétrica de flujo (Caudal).

f) Espesor de la película.

g) Componente de la fuerza F del fluido sobre la superficie.

x z

)(xv z

)(xyx Dirección de

la gravedad

L



VER SOLUCIÓN.

Ejemplo 2.2.

Un fluido que fluye con flujo laminar en la dirección x entre dos placas paralelas, tiene un

perfil de velocidad dado por la siguiente expresión:

2

0

max 1y

yvvx (2.2-1)

Donde 02 y es la distancia entre las placas, y es la distancia a la línea central y xv

la velocidad en la dirección x. Deduzca la ecuación que relacione la velocidad media,

xv con la velocidad máxima, maxv .

VER SOLUCIÓN.

Ejemplo 2.3. Cálculo de la velocidad de una película. Ejemplo 2.2-1 del Bird. Página

2.8.

Un aceite tiene una viscosidad cinemática de 2×10–4

cm2/s y una densidad de 0.8×10

–3

kg/m3. ¿Cuál tiene que ser la velocidad de flujo de masa de una película que desciende por

una pared vertical para que el espesor de la misma sea de 2.5 mm?

VER SOLUCIÓN.

Ejemplo 2.4. Espesor de una película descendente. Problema 2A.1 del Bird. Segunda

Edición. Página 71.

Por una pared vertical fluye agua a 20ºC de manera descendente con 10Re . Calcular a)

El caudal, en galones por hora por pie de ancho de la pared, y b) es espesor de la película en

pulgadas.

VER SOLUCIÓN.

http://www.tutoruniversitario.com/producto/ejercicio-1-2/


http://www.tutoruniversitario.com/producto/ejercicio-3/




Ejemplo 2.5. Problema 5.17 del Streeter. Octava Edición. Página 239.

Una película de fluido con un espesor de 0.005 pies fluye hacia abajo por una superficie

vertical fija con una velocidad superficial de 2 pies/s. Determine la viscosidad del fluido.

3

f /pielb 55 .

VER SOLUCIÓN.

Ejemplo 2.6.

A través de un ducto de sección cuadrada (5 cm 5 cm) fluyen 100 L/h de agua

( 3kg/m 1000 , mPa.s 1 ). El ducto está abierto a la atmósfera en su parte superior de

forma tal que el agua rebosa y cae formando una película sobre las paredes exteriores del

ducto. Determine el espesor de dicha película y la distribución de velocidad. Suponga que

la interfase agua – aire es recta, despreciando así lo que sucede en la zona de formación de

la película. Desprecie las variaciones de espesor de película y velocidad que ocurren cerca

de las esquinas del ducto.

VER SOLUCIÓN.

Ejemplo 2.7. Flujo de una película descendente. Otras deducciones. Problema 2.D2 del

Bird. Página 2-30.

Deducir el perfil de velocidad y la velocidad media, situando el origen de coordenadas de la

forma que x se mida a partir de la pared (es decir, 0x corresponde a la pared y x

a la superficie libre de la película). Demostrar que la distribución de velocidad viene dada

por

22

2

1cos

xxgvz (2.D-1)

y que la velocidad media es la que se expresa en la Ec.

3

cos2gv z .





Demostrar cómo se puede llegar a la distribución de velocidad de la Ec. 2.D-1 a partir de la

Ec.

22

12

cos

xgv z . Sugerencia: xx .

VER SOLUCIÓN.

Ejemplo 2.8.

Determínese la fuerza tangencial por unidad de área ejercida sobre la placa superior y su

dirección. Que velocidad 0v ser requiere para que no haya descarga?

VER SOLUCIÓN.

Ejemplo 2.9. Problema 5.14 del Streeter. Octava Edición. Página 239.

La banda transportadora (figura) lleva fluido a un depósito de tal profundidad que la

velocidad en la superficie libre del fluido sobre la banda es cero. a) ¿Cuál es la distribución

de velocidad del fluido en la banda?, b) ¿Cuál es la tasa volumétrica del fluido que se

L

0v

x

z





transporta? c) ¿Qué velocidad se debe ajustar en la cinta para duplicar el caudal

transportado?

VER SOLUCIÓN.

Ejemplo 2.10. Flujo laminar en una rendija estrecha. Problema 2.E2 del Bird. Página

2-31.

Un fluido viscoso circula con flujo laminar por una rendija formada por dos paredes planas

separadas una distancia B2 . Efectuar un balance diferencial de cantidad de movimiento y

obtener las expresiones para las distribuciones de densidad de flujo de cantidad de

movimiento y de velocidad (Figura).

xL

PP Lzx

0

22

0 12

)(

B

x

L

BPPv L

z

en las que zgPLgpP . ¿Cuál es la relación de la velocidad media a la

máxima en la rendija?. Obtener la ecuación análoga a la de Hagen – Poiseuille para la

rendija.

0v




VER SOLUCIÓN.

Ejemplo 2.11. Flujo laminar en una rendija con una pared móvil (“Flujo de Couette

plano”). Problema 2B.4 del Bird. Segunda Edición. Página 73.

Extienda el ejemplo 2.10 permitiendo que la pared en Bx se mueva en la dirección z

positiva a una velocidad estable 0v . Obtenga a) la distribución de la densidad de flujo de

cantidad de movimiento, y b) la distribución de velocidad. Elabore dibujos cuidadosamente

identificados de estas funciones.

Ejemplo 2.10.

Un fluido viscoso circula con flujo laminar por una rendija formada por dos paredes planas

separadas una distancia B2 . Efectuar un balance diferencial de cantidad de movimiento y

x

z

y

B2

Entrada de fluido

Salida de fluido

L

W

p0

pL




obtener las expresiones para las distribuciones de densidad de flujo de cantidad de

movimiento y de velocidad (Figura).

xL

PP Lzx

0

22

0 12

)(

B

x

L

BPPv L

z

en las que zgPLgpP . ¿Cuál es la relación de la velocidad media a la

máxima en la rendija?. Obtener la ecuación análoga a la de Hagen – Poiseuille para la

rendija.

Solución.

VER SOLUCIÓN.

x

z

y

B2

Entrada de fluido

Salida de fluido

L

W

p0

pL




Ejemplo 2.12.

Una correa vertical continua, que pasa en forma ascendente a través de un producto

químico a una velocidad 0v , levanta una película de líquido de espesor h , densidad y

viscosidad ; no hay rozamiento con la atmósfera.

a) Establezca las ecuaciones que describen el sistema, con las hipótesis realizadas y las

condiciones de borde correspondientes.

b) Obtenga una expresión para la distribución de velocidad.

c) ¿En qué punto la velocidad local igualará a la velocidad media?

d) Obtenga el valor de 0v para el cual se cumplirá que la velocidad media en y es igual a

cero.

e) Calcule la densidad de flujo de cantidad de movimiento en la pared y dibuje la

distribución de la densidad de flujo de cantidad de movimiento, yx .

f) ¿Habrá algún valor de 0v tal que el caudal neto sea cero? De ser así, obtenga su

expresión.

VER SOLUCIÓN.

Ejercicios propuestos.

1. Una delgada capa de aceite fluye en estado estacionario sobre un plano inclinado (ver

figura). La distribución de velocidad está dada por la ecuación

2

sen 2yyh

gvx

.

Encuentre una expresión para el flujo másico por unidad de espesor (W).




Respuesta:

3

sen 32 hg

W

m

.

2. Procedimiento alternativo para resolver problemas de flujo.

En el ejemplo 2.1 hemos utilizado el siguiente procedimiento: i) obtener una ecuación para

la densidad de flujo de cantidad de movimiento, ii) integrar esta ecuación, iii) insertar la ley

de Newton para obtener una ecuación diferencial de primer orden para la velocidad, iv)

integrar esta última ecuación para obtener la distribución de velocidad. Otro método es el

siguiente: i) obtener una ecuación para la densidad de flujo de cantidad de movimiento, ii)

insertar la ley de Newton para obtener una ecuación diferencial de segundo orden para el

perfil de velocidad, iii) integrar esta última para obtener la distribución de velocidad.

Aplicar este segundo método al problema de la película descendente sustituyendo la

ecuación xd

vd zzx en la ecuación

cosg

xd

d zx y prosiguiendo como se indica

hasta obtener la distribución de velocidad y evaluar las constantes de integración.

Ejemplo 2.13.

Dedúzcase una expresión para a) La distribución de velocidad, b) el flujo que pasa por una

sección transversal fija de la figura y c) la componente de la fuerza F del fluido sobre la

placa superior para flujo laminar entre dos placas en movimiento. d) Simplifíquese el

problema para la condición en que no existan gradientes de presión y que la lámina inferior

permanezca estática.



VER SOLUCIÓN.


3. Un fluido viscoso se mueve entre 2 placas horizontales debido a un gradiente de presión

constante. La placa inferior está en reposo y la superior se mueve con velocidad 0v en

sentido opuesto al flujo. Calcular:

a) Distribución de velocidad.

b) ¿A qué distancia de la placa inferior 0xv ?

c) Velocidad media.

d) Punto donde la velocidad es máxima.

e) El caudal de circulación.

f) ¿Cuánto debe valer 0v , para que el caudal neto sea 0?

g) Fuerza que se ejerce en la pared.

0v

Lp

0p

L

0u

y

x




Respuesta: a)

yvyy

L

PPv L

x 0

20 )(2

)(

; b)

)(

2

0

0

LPP

Lvy

; c)

L

v

L

PPv L

212

)( 0

2

3

0

; d)

)(2 0

0

LPP

Lvy

; e)

212

)( 0

3

0 Wv

L

WPPQ L

; f)

L

PPv L

6

)( 2

0

0

.

Ejemplo 2.14.

Una suspensión de partículas sólidas en un líquido se encuentra entre dos placas planas

paralelas de área A separadas por una distancia . La placa superior se mueve con una

velocidad constante 0v en la dirección x tal como se muestra en la figura. La suspensión se

encontraba inicialmente en reposo pero, debido al movimiento de la placa superior, se

desarrolla en ella una distribución de velocidad.

La suspensión puede ser considerada un fluido newtoniano pero, debido a que las

partículas sólidas tienden a acumularse sobre la placa inferior, su viscosidad será función

lineal de la posición vertical. Si dicha viscosidad puede expresarse como una función lineal

de y en la forma

y10 , determine la distribución de velocidad. Halle además

una expresión para calcular la fuerza que debe ejercerse sobre la placa superior para

mantener su movimiento. Simplifíquese el problema para la condición en que la viscosidad

sea constante 0 y compare con la parte d) del ejemplo 2.13.

Ejemplo 2.13 y respuesta a la parte d).

Dedúzcase una expresión para a) La distribución de velocidad, b) el flujo que pasa por una

sección transversal fija de la figura y c) la componente de la fuerza F del fluido sobre la

0v

y

x



placa superior para flujo laminar entre dos placas en movimiento. d) Simplifíquese el

problema para la condición en que no existan gradientes de presión y que la lámina inferior

permanezca estática.

Distribución de velocidad:

yvvx

0 Se trataría de una distribución de velocidad lineal.

Flujo; 2

0 WvQ

Fuerza:

AvFx

0)(

VER SOLUCIÓN.


4. Película descendente con viscosidad variable. Variación lineal.

Resolver el ejemplo 2.1 para el caso de que la viscosidad dependa de la posición en la

forma siguiente:

x10 , en la que 0 es la viscosidad en la superficie de la

película, y una constante que expresa la rapidez con que disminuye al aumentar x.

Demostrar como el resultado de este problema se transforma en el obtenido anteriormente

para el caso límite de que 0 (película de viscosidad constante).

Respuesta: a) xgzx cos ; b)

)1(ln1ln1

cos2

0

2

xxgvz ; c)

0v

Lp

0p

L

0u

y

x




)]1(ln[cos2

2

,

gv máxz ; d)

)]1(ln22[2

cos 2

3

0

2

gvz ; e)

)]1(ln22[2

cos 2

3

0

3

WgQ .

5. Película descendente con viscosidad variable. Variación cuadrática.

Resolver el ejemplo 2.1 para el caso de que la viscosidad dependa de la posición en la

forma siguiente:

2

22

0 1

x, en la que 0 es la viscosidad en la superficie de la


Demostrar como el resultado de este problema se transforma en el obtenido anteriormente

para el caso límite de que 0 (película de viscosidad constante).

6. Película descendente con viscosidad variable. Variación exponencial.

Resolver el Ejemplo 2.1 para el caso de que la viscosidad dependa de la posición en la

forma siguiente: )/(

0

xe , en la que 0 es la viscosidad en la superficie de la película,

y una constante que expresa la rapidez con que disminuye al aumentar x. Una

variación de este tipo tiene lugar en el flujo descendente del condensado en una pared, con

un gradiente lineal de temperatura a través de la película. Demostrar como el resultado de

este problema se transforma en el obtenido anteriormente para el caso límite de que 0

(película de viscosidad constante).

Respuesta: a) xgzx cos ; b)

1)1(

cos /

2

0

2

xee

gv x

z ; c)

]1)1([cos2

2

,

eg

v máxz ; d) ]2)22([cos 2

3

0

2

eg

vz ; e)

]2)22([cos 2

3

0

3

eWg

Q .



7. Resolver el Ejemplo 2.14 para el caso de que la viscosidad dependa de la posición en la

forma siguiente: )/(

0

ye , en la que 0 es la viscosidad en la superficie de la


Respuesta: 0

)/(

1

1v

e

ev

y

x

;

)1()( 00

e

AvFx

.

8. Resolver el Ejemplo 2.14 para el caso de que la viscosidad sea constante ( 0 ).

Demostrar cómo se puede llegar a los resultados de este problema a partir del caso límite de

que 0 en el problema anterior.

Respuesta: 0vy

vx

;

AvFx

00)( .

Ejemplo 2.15. Flujo de una película polimérica. Problema 8B.1 del Bird. Segunda

Edición. Página 301.

Trabajar el ejemplo 2.1 para el fluido que obedece la ley de potencias. Demostrar que el

resultado se simplifica de manera idónea al resultado newtoniano.

Ejemplo 2.1 y respuestas obtenidas.

Consideremos una superficie plana inclinada. Estas películas se han estudiado en relación

con torres de pared mojada, experiencias de evaporación y absorción de gases y aplicación

de capas de pintura a rollos de papel. Se supone que la viscosidad y densidad del fluido son

constantes y se considera una región de longitud L , suficientemente alejada de los

extremos de la pared, de forma que las perturbaciones de la entrada y la salida no están

incluidas en L ; es decir, que en esta región el componente zv de velocidad es

independiente de z .



Determinar:

a) Distribución de la densidad de flujo de cantidad de movimiento: xgzx cos

b) Distribución de velocidad:

22

12

cos

xgvz

c) Velocidad máxima:

2

cos2

,

gv máxz

d) Velocidad media:

3

cos2gvz

e) Velocidad volumétrica de flujo (Caudal):

3

cos3WgQ

f) Espesor de la película:

cos

3

g

vz , 3

cos

3

Wg

Q

, 3

2 cos

3

g

g) Componente de la fuerza F del fluido sobre la superficie: cos)( WLgFz

VER SOLUCIÓN.

x z

)(xv z

)(xyx Dirección de

la gravedad

L




Ejemplo 2.16.

Un fluido que sigue el modelo de la potencia se escurre a lo largo de una pared vertical

formando una película de espesor h , la cual está en todo momento en contacto con la

atmósfera. Determine la distribución de velocidad del fluido y el flujo volumétrico por

unidad de ancho. Recuerde que la densidad de flujo de cantidad de movimiento según el

modelo de la potencia viene dado por

n

y

yxxd

vdm

donde m y n son constantes, x es la coordenada perpendicular a la pared e y es la

coordenada vertical paralela a la pared.

VER SOLUCIÓN.

Ejemplo 2.17.

Un fluido que sigue la ley de la potencia se coloca entre dos placas paralelas horizontales

separadas una distancia H como se muestra en la figura. La placa inferior está fija mientras

que la superior se mueve con velocidad constante 0v y entre ellas hay una diferencia de

presión 0P ( LPPP 0 ) para una longitud L .

Modelo de la ley de potencia:

n

zzx

xd

vdm

.

Para este sistema:

a) Obtenga una expresión que permita determinar la distribución de velocidad. No evalúe

las constantes de integración pero establezca las condiciones y ecuaciones que permitan

calcularlas.

b) Obtenga una expresión para calcular el caudal volumétrico por unidad de ancho a partir

de la distribución de velocidad obtenido en (a).

c) Simplifique las expresiones obtenidas en (a) y (b) para un fluido newtoniano ( 1n ).




VER SOLUCIÓN.


9. Flujo en una rendija estrecha de un fluido que obedece a la ley de potencias.

En el ejemplo 2.10 se resolvió el flujo de un fluido newtoniano en una rendija estrecha.

Encontrar la distribución de velocidad y la velocidad de flujo másico para un fluido que

obedece a la ley de potencias y circula en la rendija.

Respuesta:

1)/1(/1

0 11)/1(

)(nn

Lz

B

x

n

B

Lm

BPPv , Bx 0 ;

n

L

Lm

BPP

n

BWw

/1

0

2 )(

2)/1(

2

.

Ejemplo 2.18. Flujo no – newtoniano de una película. Problema 2.K2 del Bird. Página

2-34.

Deducir una fórmula para el espesor de una película de un fluido de Bingham descendiendo

por una pared plana vertical con una velocidad ( 1g.s por unidad de anchura de pared).

Demostrar que el resultado se simplifica de manera idónea al resultado newtoniano;

32 cos

3

g .

VER SOLUCIÓN.

0v

Lp

H 0p

L





Ejemplo 2.19.

Determine el máximo valor del ángulo de inclinación (ver figura) para que un fluido tipo

Bingham no fluya sobre el plano inclinado. Exprese su resultado en términos del espesor de

la película ( h ) y propiedades del fluido.

VER SOLUCIÓN.

Ejemplo 2.20.

Un fabricante de pinturas ha diseñado un compuesto que se comporta como un plástico de

Bingham con una densidad de flujo de cantidad de movimiento de cedencia de 2.77 N/m2.

Si la densidad de la pintura es de 1393 kg/m3, determine cuál es el máximo espesor del film

que dejará el compuesto al ser aplicado sobre una superficie vertical sin deslizarse por

efecto de la gravedad.

VER SOLUCIÓN.

Dirección de

la gravedad

L

x

Superficie

libre

z

h





Ejemplo 2.21.

Para unir dos vidrios cuadrados de lado L (en forma de sándwich) se emplea una sustancia

que se comporta de acuerdo al modelo de Bingham ( 0 , ). Si los vidrios están colocados

verticalmente responda:

a) ¿Cuál es el máximo espesor ( ) de sustancia permitido para que ésta no se derrame?

b) Un operador inexperto colocó un 100% más ancha la capa de material plástico lo que

provocó un deslizamiento de producto. ¿Qué caudal se deslizó?

VER SOLUCIÓN.


10. Flujo en una rendija de un fluido de Bingham.

Para suspensiones y pastas espesas en encuentra que no ocurre flujo hasta que se alcanza

cierto esfuerzo crítico, el esfuerzo cedente (límite elástico), y luego el fluido circula de tal

forma que parte de la corriente está en “flujo de tapón”. El modelo más simple de un fluido

con un valor de cedencia es el modelo de Bingham:

xd

vd zzx 00

donde 0 es el esfuerzo cedente, el esfuerzo por abajo del cual no ocurre flujo y 0 es un

parámetro con unidades de viscosidad.

a) Demostrar que la distribución de velocidad para el fluido en una rendija estrecha

(Problema 11) es

B

xB

B

x

L

BPPv L

z 112

)(

0

0

2

0

2

0

.

b) Demostrar que la velocidad de flujo másico está dada por

3

0

0

0

0

0

3

0

)(2

1

)(2

31

3

)(2

BPP

L

BPP

L

L

BWPPw

LL

L




Ejemplo 2.22. Moldeado de placa de vidrio.

Una placa de vidrio de alta calidad es moldeada con superficies extremadamente planas

haciéndola flotar en estaño fundido y dejándola enfriar a medida que el vidrio y el piso de

estaño bajan por un plano ligeramente inclinado.

Datos:

-Vidrio líquido ingresando al proceso: 3g/cm 2.3 , 2N.s/m 0.1 , espesor de película

= 1 mm.

- Estaño líquido: 3g/cm 0.7 , 23 N.s/m 103 , espesor de película = 1 mm.

Ángulo del plano inclinado: 2º.

a) Escriba la solución general de la ecuación de la conservación de momento en el plano

inclinado en la dirección del flujo.

b) ¿Cuál es la condición de límite de interfase en la interfase vidrio-estaño?

c) Calcule la distribución de velocidad tanto para el vidrio como para el estaño (Ayuda: en

el estaño mida la distancia desde el fondo, y en el vidrio mida la distancia desde la parte

superior de la superficie).

d) ¿Cuáles son las velocidades máximas y promedios en el vidrio y en el estaño?

e) Comente sobre el Número de Reynolds en el vidrio y en el estaño. ¿Cree usted que el

flujo permanecerá laminar en ambas capas?

VER SOLUCIÓN.

Ejemplo 2.23.

En la figura se muestra una placa plana de área muy grande, la cual se separa de un plano

inclinado por un aceite (fluido 1: Pa.s 45.01 , 3

1 kg/m 881 ), en tanto que sobre ella

se extiende otro aceite (fluido 2: Pa.s 09.02 , 3

2 kg/m 900 ). La placa se mueve en la

dirección indicada con una velocidad m/s 10 v tal que el flujo neto de ambos fluidos en la

dirección paralela al plano inclinado es nulo. Si el espesor de la película del fluido 1 es




mm 81 , determine el espesor de la película del fluido 2, 2 . El ángulo de inclinación

del plano es º20 .

VER SOLUCIÓN.

Ejemplo 2.24.


dirección y la distribución de velocidad de ambos fluidos. Simplifíquese el problema para

el caso en que existe sólo un fluido entre las láminas y compárese con los resultados

obtenidos en el ejemplo 2.8.

L

x

z

Fluido I

Fluido II

2

1

Dirección de

la gravedad

0v




Ejemplo 2.8 y respuesta obtenida.


dirección. Que velocidad 0v ser requiere para que no haya descarga?

L

x

z

Fluido I

Fluido II

2

1

Dirección de

la gravedad

0v



0

2

sen vgzx ,

6

sen 0

gv

VER SOLUCIÓN.

Ejercicios propuestos

11. [RB] Flujo adyacente de dos fluidos inmiscibles.

Dos fluidos inmiscibles e incompresibles circulan, debido a un gradiente de presión, en la

dirección z de una estrecha rendija horizontal de longitud L y anchura W . Las

velocidades de los dos fluidos están ajustadas de tal forma que una mitad de la rendija está

llena del fluido I (la fase más densa), y la otra mitad está ocupada por el fluido II (la fase

menos densa). Se desea analizar la distribución de velocidad y de densidad de flujo de

cantidad de movimiento en este sistema.

Respuesta:

III

III

Lzx

b

x

L

bpp

2

1)( 0 ;

L

0v

x

z




22

0 2

2

)(

b

x

b

x

L

bppv

III

III

III

I

I

LI

z

22

0 2

2

)(

b

x

b

x

L

bppv

III

III

III

II

II

LII

z

.

12. Se tiene un plano inclinado con un ángulo Φ. Sobre el plano inclinado hay una capa de

espesor 1 de un fluido Bingham, como se muestra en la figura. Sobre este primer fluido

hay uno no newtoniano que sigue la ley de la potencia:

n

zzx

xd

vdm

a) Calcule la distribución de velocidad del fluido no newtoniano suponiendo que el fluido

Bingham no se mueve. Plantee el sistema de ecuaciones que le permita calcular las

constantes desconocidas.

b) Calcule el ángulo máximo Φ para que el fluido Bingham no fluya. Desprecie los

gradientes de presión en ambos fluidos.



BIBLIOGRAFÍA.

BIRD, R. B, STEWART, W y LIGHTFOOT, E. Fenómenos de Transporte. Editorial

Reverté., Barcelona, 1996.

BIRD, R. B, STEWART, W y LIGHTFOOT, E. Fenómenos de Transporte, Segunda

Edición. Editorial LIMUSA, S.A de C.V. Grupo Noriega Editores., México, 2006.

ÇENGEL, Y y CIMBALA, J. Mecánica de Fluidos. Fundamentos y Aplicaciones, Segunda

Edición., McGraw-Hill / Interamericana Editores S.A de C.V., México, 2012.

GILES, R, EVETT, J y LIU, C, Mecánica de los Fluidos e Hidráulica, Tercera Edición.,

Mc-Graw Hill / Interamericana de España, S.A.U., Madrid, 1994.

MOTT, R, Mecánica de Fluidos Aplicada, Cuarta Edición., Editorial Prentice Hall.,

México, 1996.

MOTT, R, Mecánica de Fluidos, Sexta Edición., Pearson Educación de México, S.A de

C.V., México, 2006.

SHAMES, I. Mecánica de Fluidos, Tercera Edición. Editorial McGraw Hill Interamericana

S.A. Santa Fe de Bogotá, Colombia, 1995.

STREETER, V y WILYE, E, Mecánica de los Fluidos, Octava Edición., Editorial Mc-

Graw Hill., México, 1988.

STREETER, V, WILYE, E y BEDFORD, K, Mecánica de Fluidos, Novena Edición.,

Editorial Mc-Graw Hill., México, 2000.

WELTY, J. Fundamentos de Transferencia de Momento, Calor y Masa, Segunda Edición.

Editorial LIMUSA S.A de C.V., México, 2006.



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Fenómenos de Transporte. Capítulo 2 · 2018-02-19 · Distribuciones de velocidad en flujo laminar. ... Procesos en la Planta de Producción de Orimulsión, ... el gradiente de