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11 12 1
21 22 2
1 2
q
q
p p pq
a a aa a a
a a a
=
A
p×q矩阵:
1
2
p
aa
a
=
a
p维列向量:
q维行向量: a′=(a1,a2,⋯,aq)
若将矩阵A的行与列互换,称为A的转置,记作A′,即
若A′=A,则称A为对称矩阵。显然,aij=aji。
11 21 1
12 22 2
1 2
p
p
q q pq
a a aa a a
a a a
′ =
A
§1.1 矩阵的运算
若A=(aij):p×q,B=(bij):p×q,A与B的和定义为
A+B=(aij+bij):p×q
若c为一常数,A的积定义为
cA=(caij):p×q
若A=(aij):p×q,B=(bij):q×r,A与B的积定义为
1
q
ik kjk
a b p r=
= × ∑AB :
(1) (A+B)′=A′+B′。
(2) (AB)′=B′A′。
(3) A(B1+B2)=AB1+AB2。
(4) 。
(5) c(A+B)=cA+cB。
1 1
k k
i ii i= =
=
∑ ∑A B AB
若两个p维向量a和b满足
a′b=a1b1+a2b2+⋯+apbp=0则称a和b正交。
若方阵A满足AA′=I,称A为正交矩阵。
若方阵A满足A2=A,则称A为幂等矩阵。
对称的幂等矩阵称为投影矩阵。
矩阵的分块
设A=(aij):p×q,将它分成四块,表示成
其中A11:k×l,A12:k×(q−l),A21:(p−k)×l,A22:(p−k)×(q−l)。
若A和B有相同的分块,则
11 12
21 22
=
A AA
A A
11 11 12 12
21 21 22 22
+ + + = + +
A B A BA B
A B A B
若C为q×r矩阵,分成
其中C11:l×m,C12:l×(r−m),C21:(q−l)×m,C22:(q−l)×(r−m),则有
11 12
21 22
=
C CC
C C
11 12 11 12
21 22 21 22
11 11 12 21 11 12 12 22
21 11 22 21 21 12 22 22
=
+ + = + +
A A C CAC
A A C C
A C A C A C A CA C A C A C A C
§1.2 行列式
p阶方阵A=(aij)的行列式定义为
这里 表示对1,2,⋯,p的所有排列求和,
τ(j1j2⋯jp) 是排列j1,j2,⋯,jp中逆序的总数。
( ) ( )1 2
1 2
1 2
1 21 p
pp
j j jj j pj
j j ja a aτ= −∑A
1 2 pj j j∑
行列式基本性质
(1) 若A的某行(或列)为零,则|A|=0。 (2) |A′|=|A|。 (3) 若将A某一行(或列)乘以常数c,则所得矩阵行列式为c|A|。
(4) 若A是一个p阶方阵,c为一常数,则|cA|=cp|A|。 (5) 若A的某一行(或列)是其他一些行(或列)的线性组合,则行列式为零。
(6) 若A和B均为p阶方阵,则|AB|=|A||B|。 (7) |AA′|≥0。 (8) 若A与B都是方阵,则
(9) 若A:p×q,B:q×p,则
|Ip+AB|=|Iq+BA|
= =A C A
A BB C B
00
逆矩阵基本性质
(1) AA−1=A−1A=I。 (2) (A′)−1=(A−1)′。 (3) 若A和C均为p阶非退化方阵,则
(AC)−1=C−1A−1
(4) |A−1|=|A|−1。
(5) 若A是正交矩阵,则 A−1=A′。 (6) 若A和B为非退化方阵,则
1 1
1
− −
−
=
A AB B0 0
0 0
矩阵秩基本性质
(1) 若A为p×q矩阵, 且A≠0,则1≤rank(A)≤min{p,q}(若rank(A)=p,则称A为行满秩的;若rank(A)=q,则称A为列满秩的)。
(2) p阶方阵A是非退化的,当且仅当rank(A)=p(称作A满秩)。
(3) rank(AA′)=rank(A′A)=rank(A)。
一、特征值和特征向量
设A是p阶方阵,若对于一个数λ,存在一个p维非零向量x,使得Ax=λx,则称λ为A的一个特征值或特征根,而称x为A的属于特征值λ的一个特征向量。
|A−λI|是λ的p次多项式,称为特征多项式。有p个根
λ1,λ2,⋯,λp,可能为实数或为复数,存在一个p维非零
向量xi,使得
(A−λiI)xi=0即λi是A的一个特征值,而xi是相应的特征向量。
特征值和特征向量基本性质 (1) A和A′有相同的特征值。
(2) 若A和B分别是p×q和q×p矩阵,则AB和BA有相同的非零特征值。
(3) 若A为实对称矩阵,则A的特征值全为实数,p个特征值表示为λ1≥λ2≥⋯≥λp。若λi≠λj,则相应的特征向量xi和xj必正交。
(4) 。1
p
ii
λ=
=∏A
(5) 若A为p阶对称矩阵,则存在正交矩阵T及对角矩阵Λ=diag(λ1,λ2,⋯,λp),使得
A=TΛT′记T=(t1,t2,⋯,tp),λ1,λ2,⋯,λp是A的p个特征值,
而t1,t2,⋯,tp为相应的(一组正交单位)特征向量。
称之为A的谱分解。
1=
p
i i iiλ
=
′′ = ∑A TΛT t t
(6) 若A为p×q实数矩阵,则存在p阶正交矩阵U和q阶正交矩阵V,使得
A=UΛV′其中Λ的(i,i)元素λi≥0,i=1,2,⋯,min(p,q),其他
元素均为零。正数λi称为A的奇异值,上述分解
式称为奇异值分解。
由A=UΛV′知,
AA′=UΛ2U′,A′A=VΛ2V′ ,于是
AA′ui=λi2ui,i=1,2,⋯,p
A′Avi=λi2vi,i=1,2,⋯,q
即 是 AA′的p个特征值,u1,u2,⋯,up 是相应的特征向量;
是A′A 的q个特征值,v1,v2,⋯,vq 是相应特征向量。
2 2 2 2 2 21 2 1 2, , , 0k k k pλ λ λ λ λ λ+ +> = = = =
2 2 2 2 21 2 1 2, , , 0k k kλ λ λ λ λ+ +> = =
2qλ= =
二、矩阵的迹
A的迹,记tr(A),tr(A)=a11+a22+⋯+app
迹具有基本性质:
(1) tr(AB)=tr(BA)。 (2) tr(A)=tr(A′)。 (3) tr(A+B)=tr(A)+tr(B)。
(4) 设A=(aij)为p×q矩阵,则
(5) 设λ1,λ2,⋯,λp为方阵A的特征值,则
tr(A)=λ1+λ2+⋯+λp
(6) 若A为投影矩阵,则
tr(A)=rank(A)
( ) ( ) 2
1 1tr tr
p q
iji j
a= =
′ ′= = ∑∑A A AA
§1.6 正定矩阵和非负定矩阵
若对一切x≠0,有x′Ax>0,则称A为正定矩阵,记作A>0;若对一切x,有x′Ax≥0,则称A为非负定矩阵,记作A≥0。 对非负定矩阵A和B,A>B表示A−B>0;
A≥B表示A−B≥0。
正定矩阵和非负定矩阵基本性质
(1) 设A是对称矩阵,则A是正定(或非负定)矩阵,当且仅当A的所有特征值均为正(或非负)。
(2) 设A≥0,则A的秩等于A的正特征值个数。
(3) 若A>0(或≥0),则|A|>0(或≥0)。 (4) BB′≥0。 (5) 设A≥0是p阶秩为r的矩阵,则存在一个秩为r(即列满秩)的p×r矩阵B,使得A=BB′。
(6) 若A是p阶对称矩阵,其特征值依次为λ1≥λ2≥⋯≥λp,则
(7) 若A是p阶对称矩阵,B是p阶正定矩阵,μ1≥μ2≥⋯≥μp是B−1A的p个特征值,则
1max ,
min p
λ
λ≠
≠
′ ′ =
′ ′ =0
0
x
x
x Ax x x
x Ax x x
1max ,
min p
µ
µ≠
≠
′ ′ =
′ ′ =0
0
x
x
x Ax x Bx
x Ax x Bx