fc h fc ORIA 1

Paragrafo 1. Teorema di Rolle

1659

TEORIA

T( ) ( )

h

f c h f c0#

+ -, per h 01 .

L’inverso del teorema della permanenza del segno afferma che, se esiste un intorno del punto x0 in cui ( )f x 0$ e se esiste ( )lim f x l

xx 0=

"

, allora l 0$ . Applicandolo, otteniamo:

( ) ( )lim

h

f c h f c0

h 0$

+ -

"+

e ( ) ( )

0limh

f c h f c

h 0#

+ -

"-

.

I due limiti rappresentano rispettivamente la derivata destra e sinistra di f (x) in c e, poiché f (x) è derivabile, devono essere finiti e coincidenti, pertanto:

( )( ) ( )

0limfh

f c h f cc

h 0=

+ -=

"

l .

Il teorema si dimostra analogamente nel caso in cui d, anziché c, sia interno all’intervallo [a; b].

Da un punto di vista geometrico, il teore‑ma di Rolle dice che, quando sono verifi‑cate le sue ipotesi, esiste sempre un punto c in cui la tangente al grafico è parallela alla retta AB e quindi all’asse x.Osserviamo che il teorema garantisce l’e‑sistenza di almeno un punto ;c a b! 6@ in cui la derivata di f si annulla, ma nulla vieta che i punti siano più di uno (figura a).Se una delle ipotesi non è soddisfatta, il teorema può non essere verificato (figura b).

x

y

O a

B

bc1

c2

c3

c4

Af(a) = f(b)

a. Il grafico di questa funzione presentapiù punti in cui la tangente è parallelaalla retta AB e all’asse x. In questi puntif'(x) = 0.

b. Per x = c la funzione non è derivabile.Il suo grafico è privo di punti in cuila tangente è parallela alla retta AB eall’asse x.

x

y

O a

f(a) = f(b)

c b

BA

C

esempio

Consideriamo, nell’intervallo [-1; 1], la funzione f (x) = x 4 - 2x 2.f (x) è continua e derivabile Rx6 ! , e ha derivata ( )x x x4 4= -f 3l . Inoltre f (-1) = - 1 = f (1). Quindi sono verificate le ipotesi del teorema di Rolle.In questo caso, esistono tre punti in [-1; 1] per i quali la derivata si annulla, infatti:

( ) ( )x x x x x0 4 4 0 1 0" "= - = - =f 3 2l ,

da cui:

x 1 = - 1, x 2 = 0, x 3 = 1.

In particolare, x 2 ! ]-1; 1[ e quindi il teorema è verificato.

x

y

O

A B

ca b

f(a) = f(b)

m = f'(c) = 0

Animazione

Studiamo il significato geo-

metrico del teorema di Rolle

utilizzando una figura dina-

mica, il grafico di

( )f x x x x6 9213 2

= - + +

e l’intervallo

;2 3 2 3- +6 @.

▶ Quale delle due fun-

zioni verifica le ipotesi

del teorema di Rolle

nell’intervallo [ ; ]2 2- ?

a. y x 1= -

b. y x x4 2= -

Capitolo 26. Teoremi del calcolo differenziale

1660

TEORIA

T

Teorema di Lagrange

teorema

Teorema di Lagrange o teorema del valore medioSe una funzione f (x) è

• continua nell’intervallo limitato e chiuso [a;b],

• derivabile in ogni punto interno a esso,

allora esiste almeno un punto c interno all’intervallo per cui vale la relazione:

( ) ( )( )

b a

f b f af c

-

-= l .

Dimostrazione

Consideriamo la funzione:

( ) ( )F x f x kx= - , con Rk ! .

• F(x) è continua in [a; b], perché somma di funzioni continue in [a; b];

• F(x) è derivabile in ]a; b[, perché somma di funzioni derivabili in ]a; b[.

Determiniamo k in modo che F(x) soddisfi la terza ipotesi del teorema di Rolle, e cioè si abbia ( ) ( )F a F b= .Deve essere:

( ) ( )( ) ( )

f a ka f b kb kb a

f b f a"- = - =

-

-.

Sostituiamo nella funzione ( ) ( )( ) ( )

F x f xb a

f b f ax= -

-

-.

Poiché F(x) soddisfa le ipotesi del teorema di Rolle, esiste almeno un punto ] ; [c a b! tale che ( )F c 0=l . Calcoliamo la derivata di F(x),

( ) ( )( ) ( )

F x f xb a

f b f a= -

-

-l l ,

da cui:

( ) ( )( ) ( )

F c f cb a

f b f a0= -

-

-=l l .

Otteniamo la tesi:

( )( ) ( )

f cb a

f b f a=

-

-l .

Diamo un’interpretazione geometrica del teorema.

Essendo y = f(x) derivabile nell’inter‑vallo aperto ]a;b[, il corrispondente grafico in tutti i suoi punti è dotato di retta tangente. Il teorema afferma che deve esserci almeno un punto c per il quale questa retta tangente è parallela alla congiungente i punti del grafico A e B rispettivamente di ascisse a e b.

2 |▶ Esercizi a p. 1675

Animazione

Con una figura dinamica,

studiamo il significato

geometrico del teorema di

Lagrange, considerando la

funzione

( )f xx

x4

22

=- +

nell’intervallo [1; 6].x

y

aO c

f(b)

f(a) A

B

H α α

b

Video

Teorema di Lagrange

Perché il teorema di

Lagrange vale solo se sono

rispettate determinate

ipotesi?

Paragrafo 2. Teorema di Lagrange

1661

TEORIA

TLa tangente al grafico della funzione nel punto di ascissa c ha coefficiente angolare

( )f cl .

Determiniamo il coefficiente angolare della retta AB.

Nel triangolo rettangolo ABH è:

tanAHHB

a = , con HB = f (b) - f (a) e AH = b - a.

Il coefficiente angolare di AB è: tanb a

f b f aa =

-

-^ ^h h.

Se la tangente in c alla curva è parallela ad AB, ha lo stesso coefficiente angolare, perciò:

( )( ) ( )

f cb a

f b f a=

-

-l .

Anche per il teorema di Lagrange valgono osservazioni analoghe a quelle fatte per il teorema di Rolle.Il teorema afferma che esiste almeno un punto c ! ]a;b[, ma nulla vieta che i punti siano più di uno, come si vede nella figura a lato.Il grafico di questa funzione ha più punti in cui la tangente è paralle‑la alla retta AB.

Se una delle ipotesi non è soddisfatta, il teorema può non risultare verificato, come evidenzia l’esempio della figura a lato, in cui nel punto c la funzione non è derivabile. Non esiste alcun punto in cui la tangen‑te alla curva sia parallela alla retta AB. Per x = la funzione non è derivabile. Il suo grafico non ha punti in cui la tan‑gente è parallela alla retta AB.

esempio

Consideriamo, nell’intervallo [1; 2], la funzione ( )f xx

x 12

=+

.

La funzione è continua e derivabile per ogni x 0! . Quindi sono soddisfatte le ipotesi del teorema di Lagrange. Verifichiamo che esiste un punto c ! ]1; 2[ tale che ( )

( ) ( )f c

f f

2 1

2 1=

-

-l .

Poiché

( )( )

f xx

x x x

xx

x

2 1 1 11

12

2

2

2

2

$ $=

- +=

-= -l

e

(1) 2, (2)( ) ( )

f ff f

25

2 1

2 1

25

221

"= =-

-= - = ,

deve essere:

1 2 2c c

c c1

21 1

21

2 22

" " " !- = = = = .

Quindi, per 2c1 != ]1; 2[, il teorema di Lagrange è verificato.

Listen to it

The Mean-Value Theorem,

attributed to Joseph Louis

Lagrange, has a geometric

implication. The theorem

guarantees the existence of

a tangent line that is parallel

to the secant line through the

points (a; f(a)) and (b; f(b)).

x

y

c1

O

f(b)

f(a)A

B

c2

c3

ba

x

y

O

A

B

ca b

C

▶ La funzione y x3

=

verifica le ipotesi del

teorema di Lagrange

nell’intervallo [ ; ]0 8 ?


1662

TEORIA

T

Conseguenze del teorema di Lagrange

Dal teorema di Lagrange discendono i seguenti teoremi.

teorema

Se una funzione f (x) è continua nell’intervallo [a;b], derivabile in ]a; b[ e tale che ( )f xl è nulla in ogni punto interno dell’intervallo, allora f (x) è costante in tutto [a;b]. x

y

O

A B

a b

f(a) = f(b)

f'(x) = 0 x ]a; b[ ∀ ∈

Dimostrazione

Applichiamo il teorema di Lagrange all’intervallo [a; x], dove x è un punto qualsiasi di [a;b] diverso da a; esiste un punto c ! ]a; x[ per cui si ha:

( )( ) ( )

f c x af x f a

=-

-l .

Essendo f x 0=l^ h per ogni punto di ] ; [a b , allora f c 0=l^ h .Deve essere allora:

( ) ( ) ( ) ( ) [ ; ]f x f a f x f a x a b0 " 6 !- = = .

Quindi f è costante in tutto [a;b].

teorema

Se f (x) e g(x) sono due funzioni continue nell’intervallo [a;b], derivabili in ]a;b[ e tali che ( ) ( )f x g x=l l per ogni x ! ]a; b[, allora esse differiscono per una costante.

Dimostrazione

Chiamiamo z(x) la loro differenza, ossia z(x) = f (x) - g(x); si ha:

( ) ( ) ( )z x f x g x= -l l l .

Per ipotesi ( ) ( )f x g x=l l , quindi ( )z x 0=l , per ogni x in ]a;b[. Per il teorema precedente, z(x) = k in tutto [a; b] e quindi f (x) - g(x) = k .

Criterio di derivabilità

Nel capitolo precedente abbiamo enunciato il teorema che fornisce un criterio per studiare la derivabilità di una funzione, senza ricorrere al calcolo del limite del rapporto incrementale. Vediamo ora la dimostrazione che si serve del teorema di Lagrange.

teorema

Se f (x) è una funzione continua in [a; b], derivabile in ]a; b[ a eccezione al più di un punto ] ; [x a b0 ! :

( ) ( )limf x f xx x

00

="

--

l l e ( ) ( )limf x f xx x

00

="

++

l l .

3|▶ Esercizi a p. 1678

y

O x

k

k

s

r

f(x) = g(x) + k

g(x)

1663

TEORIA

TParagrafo 3. Conseguenze del teorema di Lagrange

In particolare, se

( ) ( )lim limf x f x lx x x x0 0

= =" "

- +

l l ,

allora la funzione è derivabile in x0 e risulta:

( )f x l0 =l .

Dimostrazione

Se consideriamo un punto x x01 , allora nell’intervallo [ ; ]x x0 è applicabile il teorema di Lagrange, perché ( )f x è continua e derivabile nei punti interni, quindi deve esistere almeno un punto ] ; [c x x0! per il quale si ha:

( ) ( )( )

x x

f x f xf c

0

0

-

-= l .

Calcoliamo i limiti dei due membri per x x0"- . Al primo membro, per defini‑

zione di derivata sinistra, si ha:

( ) ( )( )lim

x x

f x f xf x

xx 0

00

0 -

-=

"

--

l .

Al secondo membro, se x x0"- anche c x0"

- , quindi per ipotesi si ha:

( )lim f c lc x0

="-

l .

Dunque si ottiene: ( )f lx0 =-l .

Si procede in modo analogo se si considera x x02 , ottenendo ( )f x l0 =+l .

Si conclude allora che ( )f x l0 =l .

■ Funzioni crescenti e decrescenti e derivate

Esaminiamo ora un teorema che studia il legame tra le caratteristiche di una fun‑zione f(x) e le proprietà della sua derivata.

teorema

Data una funzione y = f (x), continua in un intervallo I e derivabile nei punti interni di I:

1. se ( )f x 02l per ogni x interno a I, allora ( )f x è crescente in I;

2. se ( )f x 01l per ogni x interno a I, allora ( )f x è decrescente in I.

L’intervallo I può essere sia limitato sia illimitato. Questo teorema è una condi-zione sufficiente per affermare che una funzione è crescente o decrescente in un intervallo.

Dimostrazione

1. Siano x 1 e x 2 ! I, con x 11 x 2.Per il teorema di Lagrange, applicato a f (x) nell’intervallo [x 1; x 2], si ha:

( ) ( )( )

x x

f x f xf c

2 1

2 1

-

-= l , con ] ; [c x x1 2! .

Essendo x2 - x12 0 e per ipotesi ( )f c 02l , anche f (x2) - f (x1) 2 0, da cui:

( ) ( )f x f x2 12 .

Poiché x 1 e x 2 sono punti qualsiasi di I , la funzione è crescente in I .

2. Procedendo in modo analogo al caso precedente si ottiene:

( ) ( )f x f x 02 1 1- .

x

a

c

x0 b


1664

TEORIA

T

Infatti x x 02 12- e per ipotesi ( )f c 01l , quindi f (x 2) 1 f (x 1).Pertanto la funzione è decrescente in I.

Possiamo utilizzare questo teorema per determinare gli intervalli in cui una fun‑zione è crescente o decrescente, studiando il segno della sua derivata prima.

esempio

Determiniamo in quali intervalli la funzione y = 4x 3 - x 2 + 1, definita per ogni x reale, è crescente e in quali intervalli è decrescente.

Calcoliamo la derivata prima: yl = 12x 2 - 2x .

Studiamo il segno di yle compiliamo il quadro dei segni.

( )x x x x12 2 0 2 6 1 02" "2 2- -

x x0 61

01 2

Applicando il teorema precedente, concludiamo che:

• per x 01 f (x) è crescente;

• per 0 x61

1 1 f (x) è decrescente;

• per x61

2 f (x) è crescente.

Si può invertire il teorema precedente nel seguente modo.

teorema

Data una funzione y = f (x), continua in un intervallo I e derivabile nei punti interni di I:

1. se f (x) è crescente in I, allora ( )f x 0$l per ogni x interno a I ;

2. se f (x) è decrescente in I, allora ( )f x 0#l per ogni x interno a I.

Per esempio, la funzione ( )f x x3= è crescente in R, e si ha ( )f x x3 02

$=l Rx6 ! .

Teorema di Cauchy

teorema

Teorema di CauchySe le funzioni f (x) e g(x) sono tali che

• f (x) e g(x) sono continue nell’intervallo [a;b],

• f (x) e g(x) sono derivabili in ogni punto interno a questo intervallo,

• g l(x) ! 0, per ogni x interno ad [a; b],

allora esiste almeno un punto c interno ad [a;b] in cui si ha:

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

g b g a

f b f a

g c

f c

-

-=l

l,

0+ − +

01—6

y' 0

00

1—6

+ − +

0

y'

y

▶ Data la funzione

( )f xx

x x6 122

2

=- +

,

determina gli intervalli in

cui è crescente o decre-

scente.

Animazione

Video

Segno della derivata

e funzioni crescenti

e decrescenti

Come varia la funzione

( )f x x x x51

41

32

15 4 3=- + + + ?

Vediamo come risolvere

il problema utilizzando le

derivate.

4 |▶ Esercizi a p. 1685

Paragrafo 4. Teorema di Cauchy

1665

TEORIA

T

cioè il rapporto fra gli incrementi delle funzioni f (x) e g(x) nell’intervallo [a;b] è uguale al rapporto fra le rispettive derivate calcolate in un particolare punto c interno all’intervallo.

Dimostrazione

Consideriamo la funzione ( ) ( ) ( )F x f x kg x= - , con Rk ! .

Per ipotesi, F(x) è continua in [a; b] e derivabile in ]a; b[, perché differenza di funzioni continue e derivabili in tali intervalli.Determiniamo k in modo che F(x) soddisfi la terza ipotesi del teorema di Rolle e cioè ( ) ( )F a F b= . Deve essere:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )f a kg a f b kg b k

g b g a

f b f a"- = - =

-

-.

La funzione F(x) diventa allora:

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( )F x f x

g b g a

f b f ag x= -

-

-.

F(x) soddisfa le ipotesi del teorema di Rolle, perciò esiste almeno un punto ] ; [c a b! tale che ( )F c 0=l . Si ha

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )

( )F x f xg b g af b f a

g x F c f cg b g af b f a

g c 0"= --

-= -

-

-=l l l l l l .

Si ottiene così:

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

g b g a

f b f a

g c

f c

-

-=l

l.

esempio

Verifichiamo che il teorema di Cauchy è applicabile alle funzioni:

f (x) = 3x 2 - 5x + 1 e g(x) = 2x 2

nell’intervallo [1; 3].Le due funzioni sono continue e derivabili per ogni x ! R.Inoltre ( )g x x4 0!=l ] ; [x 1 36 ! . Quindi le ipotesi del teorema di Cauchy sono soddisfatte. Verifichiamo perciò che esiste un punto c ! ]1; 3[ tale che:

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

g g

f f

g c

f c

3 1

3 1

-

-=l

l.

Svolgiamo i calcoli nel primo membro:

( ) ( )

( ) ( )

g g

f f

3 1

3 1

18 213 1

1614

87

-

-=

-

+= = .

Nel secondo membro, poiché ( )f x x6 5= -l e ( )g x x4=l , si ha:

( )

( )

g c

f cc

c4

6 5=

-

l

l.

Allora:

5 10c

cc

ccc

c c4

6 587

812 10

87

2" " "

-=

-= = = .

Poiché c = 2 ! ]1; 3[, il teorema di Cauchy è verificato.

▶ Verifica se le funzioni

( )f x x x 13= - + e

( )g x x 12= +

soddisfano le ipotesi

del teorema di Cauchy

nell’intervallo [0; 2] e

trova gli eventuali punti

la cui esistenza è assicu-

rata dal teorema.

Animazione


1666

TEORIA

T

Teorema di De l’Hospital

■ Forme indeterminate 00

e 3

3

Il calcolo delle derivate e i teoremi studiati finora sono utili anche nella ri‑soluzione di alcuni limiti che si presentano nelle forme di indecisione del tipo

00

oppure 3

3. Ciò è possibile in base al seguente teorema.

teorema

Teorema di De L’HospitalDate due funzioni f (x) e g (x) definite nell’intorno I di un punto x0 , se

• ( )f x e ( )g x sono continue in x0 e ( ) ( )f x g x 00 0= = ,

• ( )f x e ( )g x sono derivabili in I eccetto al più x0,

• ( )g x 0!l in { }I x0- ,

• esiste ( )

( )lim

g x

f xx x0" l

l,

allora esiste anche ( )

( )lim

g x

f xxx 0"

e risulta: ( )( )

( )( )

lim limg xf x

g x

f xx x x x0 0

=" " l

l.

Dimostrazione

Se consideriamo un punto qualsiasi x dell’intorno I diverso da x0, possiamo appli‑care il teorema di Cauchy alle due funzioni f (x) e g (x) nell’intervallo [x0; x].Esiste allora un punto c ! ]x0; x[ per cui:

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

g x g x

f x f x

g c

f c

0

0

-

-=l

l.

Poiché per ipotesi è ( ) ( )f x g x 00 0= = , scriviamo:

( )

( )

( )

( )

g x

f x

g c

f c=l

l.

Se x x0" anche c x0" , quindi passando al limite scriviamo:

( )

( )

( )

( )lim lim

g x

f x

g c

f cx x c x0 0

=" " l

l,

ma poiché è ( )

( )

( )

( )lim lim

g x

f x

g c

f cx x c x0 0

=" "l

l

l

l, concludiamo che:

( )

( )

( )

( )lim lim

g x

f x

g x

f xx x x x0 0

=" " l

l.

esempio

Calcoliamo limln x

x4 4x 1

2-

"

.

Il limite si presenta nella forma indeterminata 00

.

Le due funzioni ( )f x x4 42= - e ( ) lng x x= verificano in un intorno di 1 le ipotesi

del teorema di De L’Hospital, quindi possiamo scrivere che:

5

|▶ Esercizi a p. 1689

c

I

x0 x

Paragrafo 5. Teorema di De l’Hospital

1667

TEORIA

T

lim limln x

x

x

x4 41

88

x x1 1

2-= =

" "

.

Diamo un’interpretazione geometrica del teorema considerando due funzioni f(x) e g(x) tali che ( )f x 00 = , ( )xg 00 = , entrambe derivabili in x0.

Se nel punto x0, invece delle funzioni, consideriamo le loro tangenti di equa‑zioni

: ( )( )s y f x x x0 0= -l ,

: ( ) ( )y x x xt g 0 0= -l ,

otteniamo:

( )( )

( )( )

( )( )

( )

( )

( )

( )lim lim lim lim

g xf x

g x x x

f x x x

g x

f x

g x

f xx x x x x x x x0 0

0 0

0

0

0 0 0 0=

-

-= =

" " " "l

l

l

l

l

l.

Si può dimostrare che il teorema è valido anche quando le due funzioni non sono definite in x0, ma la prima ipotesi viene sostituita da

( ) ( )lim limf x g x 0x xx x0 0

= =" "

, oppure:

( ) ( )lim limf x g xx xx x0 0

3= =" "

.

Il teorema è vero anche se I è un intorno destro o sinistro di x0, in tal caso ovvia‑mente si considerano i limiti per x x0"

+ o per x x0"- .

Il teorema si estende anche al caso di limite per x " 3+ (o 3- ). In questo caso le condizioni del teorema non devono essere vere per un intorno di un punto, bensì deve esistere un valore M 02 tale che esse siano soddisfatte x M6 2 (o x M6 1- ). Si ha allora

( )

( )

( )

( )lim lim

g x

f x

g x

f xx x

=" "3 3+ + l

l,

e la relazione è analoga per x " 3- .

esempio

Calcoliamo limln

xx x2 1

3x +

+

" 3+.

Tale limite si presenta nella forma indeterminata 3

3, e sono rispettate le

altre ipotesi del teorema di De L’Hospital; possiamo scrivere:

( )f x( )f xl

lim limln

xx x x2 1

32

31

23

x x+

+=

+

=" "3 3+ +

.

( )xg ( )xgl

Osserva che per applicare il teorema di De L’Hospital calcoliamo il rapporto delle derivate e non la derivata del quoziente.

( )f x ( )f xl

( )xg

( )xgl

y

O xx0

f(x)

g(x)

s

t

▶ Calcola:

limlnx x

xx 1 3

-"

.

Animazione

▶ Calcola:

a. limlnxx1x 1 -"

;

b. limx

e x2x

x+

" 3-.


1668

TEORIA

T

Nel caso in cui il limite del rapporto delle derivate si presenti anch’esso come una

una forma indeterminata del tipo 00

oppure 3

3 e le funzioni f l(x) e g l(x) soddi‑

sfino le ipotesi del teorema, si può passare al limite del quoziente delle derivate seconde, e così via per le derivate successive.

esempio

Consideriamo limsin

xx x

2x 0 3-

"

.

Tale limite si presenta nella forma indeterminata 00

.

Applicando il teorema di De L’Hospital, essendo verificate le sue ipotesi, pos‑siamo scrivere:

lim limcossin

xx x

xx

2 61

x x0 3 0 2-=

-

" "

.

Anche questo limite si presenta nella forma indeterminata 00

.Applichiamo ancora il teorema di De L’Hospital:

limcos

limsin

xx

xx

61

12 121

x x0 2 0

-=

-=-

" "

.

Pertanto:

limsin

xx x

2 121

x 0 3-=-

"

.

Non sempre il teorema di De L’Hospital è utile nel calcolo di un limite; infatti,

anche se non esiste ( )

( )lim

g x

f xx c" l

l, può comunque esistere

( )( )

limg xf x

x c".

esempio

Consideriamo limsinx

x x7

2x

+

"3.

Abbiamo la forma indeterminata 3

3 e applicando il teorema di De L’Hospital

otteniamo

limcos x7

2x

+

"3,

che non esiste, mentre, per il limite iniziale, dividendo numeratore e denomi‑natore per x, otteniamo:

limsin

lim

sin

xx x x

x

72

7

2

72

x x

+=

+

=" "3 3

b l.

Confronto di infiniti

Applicando il teorema di De L’Hospital, ritroviamo i risultati ottenuti con la ge‑rarchia degli infiniti, nel confronto tra le funzioni ln x , xa (con 02a ), ex per x " 3+ .

I limiti lim limln

xe

xx

ex

x

x" "3 3a a+ + si presentano nelle forme indeterminate

3

3 e

le funzioni considerate verificano le ipotesi del teorema di De L’Hospital, per cui:

• ( 1) 3 2 1lim lim lim

xe

xe e

x

x

x

x

x

x

1 $ $ $ $f

f3

a a a= = =

-=+

" " "3 3 3a a+ + - +;

limsinxx

1x 0

="

⤻

▶ Calcola:

limcosx

e1

1x

x

0

3

-

-

"

.

Paragrafo 5. Teorema di De lÕHospital

1669

TEORIA

T

• limln

lim lim limx

xxx

x x x

11 1

0x x x x1 1

$a a a= = = =

" " " "3 3 3 3a a a a

+ +-

+-

+.

■ Forma indeterminata 0 $3

Vediamo come il teorema di De L’Hospital può essere utilizzato anche nelle forme

indeterminate diverse da 00

e 3

3.

Se ( )lim f x 0x x0

="

e ( )lim g xx x0

3="

, per calcolare il limite del prodotto ( ) ( )f x g x$

possiamo osservare che:

( ) ( )

( )

( )f x g x

g x

f x

1$ = .

Quindi ci siamo ricondotti alla forma indeterminata 00

per la quale possiamo applicare il teorema di De L’Hospital.

Analogamente, trasformando il prodotto nella forma

( ) ( )

( )

( )f x g x

x

x

f

g

1$ = ,

ci riconduciamo alla forma indeterminata 3

3.

esempio

Calcoliamo 3lim ex x

x

4$

" 3+

- .

Questo limite si presenta nella forma indeterminata 0 $3.

Applicando il ragionamento precedente, abbiamo:

3lim lim limexe

xe

34

30x

x x x x x4

4 4$ = = =" " "3 3 3+

-

+ +.

■ Forma indeterminata 3 3+ -

Quando si deve calcolare il limite della differenza di due funzioni che tendono en‑trambe a 3+ o a 3- , si cerca di scrivere la differenza come prodotto o quoziente di funzioni in modo da ricondursi a una delle forme precedenti.

esempio

Calcoliamo 1 3

limsen x xx 0

-"+

b l.Il limite è nella forma indeterminata 3 3+ - .Ma poiché

sin sinsin

x x x xx x1 3 3

- =-

e la seconda espressione tende a 00

, possiamo applicare il teorema di De l’Hospital a quest’ultima:

.lim lim lim coscos

sin sinsin

sinx x x xx x

x x xx1 3 3 1 3

x x x0 0 03- =

-=

+

-=-

" " "+ + +

b l


▶ Calcola:

( )lim x e2x

x-

" 3-.

Animazione


▶ Calcola:

( )lim

ln x x11 1

x 0 +-

"

; E.


1670

TEORIA

T

■ Forme indeterminate , ,0 10 03

3

Queste forme indeterminate si presentano quando si deve calcolare il limite

[ ( )] ( ( ) )lim f x f x 0con( )x x

g x

02

"

,

in uno dei seguenti casi:

• ( )lim f x 0x x0

="

, ( )lim g x 0x x0

="

;

• ( )lim f x 1x x0

="

, ( )lim g xx x0

!3="

;

• ( )lim f xx x0

!3="

, ( )lim g x 0x x0

="

.

Ma poiché [ f (x)]g(x) = [e ln f (x)]g(x) = e g(x) ln f (x):

[ ( ) ( )]lng x f x[ ( )]lim f x e( )

lim

x xg x x x

0

0="

" .

Quindi basta calcolare [ ( ) ( )]lim lng x f xx x0

$"

, che è della forma 0 $3.

esempio

Calcoliamo ( )lim e 1x

x x

0

2-

"+

.

Questo limite è nella forma indeterminata 00. Riscriviamo il limite:

( ) .lim lim lime e e1 ( ) ( )ln ln

x

x x

x

e

x

x e

0

2

0

1

0

2 1x x x2- = =

" " "

- -

+ + +

Calcoliamo:

[ ( )]( )

lim ln limln

limx e

x

e

x

ee

2 1

21

1

21

1x

x

x

x

x

x

x

0 0 02

$ - =-

=

-

-=

" " "+ + +

lim lim lime

xe

xe

x1

21

2 4x

xx

xx

xx

0

2

0

2

0-

-

-

- -

" " "+ + +

.e 1 0$ $= = =

Pertanto: ( )lim e e e1 1[ ( )]lim ln

x

x xx e

0

22 1

0x

x

0- = = ="

$ -"

+

+ .

matematiCa eD eConomia

Inflazione La variazione dei prezzi dei principa-

li beni di consumo è uno degli aspetti dell’eco-

nomia che interessa più da vicino la nostra vita

quotidiana e i nostri risparmi. Spesso si parla di

inflazione, ma non sempre si conosce bene il si-

gnificato di questa parola e ciò può far coltivare

speranze illusorie.

▶ Se l’inflazione diminuisce vuol dire che i prezzi

calano?

La risposta


tende a 3-

tende a 3+per il teorema

di De L’Hospital

⤻

per il teorema del

limite del prodotto

⤻per il teorema

di De L’Hospital

⤻

▶ Calcola:

( ) .lim x1x

x

0

2

13

+"

+

In sintesi

1671

TEORIA

T

IN SINTESITeoremi del calcolo differenziale

■ Teorema di Rolle

Ipotesi: f(x) continua in ;a b6 @;f(x) derivabile in ;a b6@ ;

f(a) f b= ^ h.Tesi: ;a bc7 ! 6@ in cui:

f c 0=l^ h .

■ Teorema di Lagrange

Ipotesi: f(x) continua in ;a b6 @;f(x) derivabile in ;a b6@ .

Tesi: ;a bc7 ! 6@ in cui:

b af b f a

f c-

-= l

^ ^ ^h h h.Dal teorema di Lagrange discendono i seguenti teoremi.

• Se f(x) è continua nell’intervallo [a; b] e ( )f xl è nulla in ogni punto interno dell’intervallo, allora f(x) è costante in tutto [a; b].

• Se in tutto l’intervallo [a; b] due funzioni f(x) e g(x) sono continue, derivabili nei punti interni e le loro derivate prime sono uguali, allora ( )xf e ( )g x differiscono per una costante.

■ Funzioni crescenti e decrescenti e derivate

• Data una funzione y = f (x), continua in un intervallo I e derivabile nei suoi punti interni:

• se ( )f x 02l per ogni x interno a I, allora ( )f x è crescente in I;• se ( )f x 01l per ogni x interno a I, allora ( )f x è decrescente in I.

• Data una funzione y = f (x), continua in un intervallo I e derivabile nei suoi punti interni: • se ( )f x è crescente in I, allora ( )f x 0l per ogni x interno a I;

• se ( )f x è decrescente in I, allora ( )f x 0#l per ogni x interno a I.

■ Teorema di Cauchy

Ipotesi: ( )f x e g(x) continue in ;a b6 @;( )f x e g(x) derivabili in ;a b6@ ;

g x 0!l^ h per ogni ;x a b! 6@ .

Tesi: ;a bc7 ! 6@ in cui:

g a

f a

g b

f b

g c

f c

-

-=l

l

^ ^^ ^ ^̂h hh h hh .

■ Teorema di De L’Hospital

Se due funzioni f(x) e g(x), definite in un intorno I di un punto x0 (escluso al più x0), sono derivabili in tale intorno con ( )g x 0!l , e inoltre le due funzioni per x x0" tendono entrambe a 0 o a 3+ (o 3- ), e se esiste,

per x x0" , il limite del rapporto ( )( )

g x

f xl

l delle derivate delle funzioni date, allora esiste anche il limite del

rapporto delle funzioni ed è:

( )( )

( )( )

lim limg x

f x

g x

f xx x x x0 0

=" " l

l.

Il teorema si estende anche al caso di limite per x " 3+ (o x " 3- ), dove le condizioni del teorema non devono essere vere in un intorno di un punto, bensì in un intorno di 3+ (o 3- ), cioè deve esistere un valore M 02 tale che esse siano soddisfatte x M6 2 (o x M6 1- ). In questo caso:

( )( )

( )( )

lim limg x

f x

g x

f xx x

=" "3 3+ + l

l.


1672

ESERCIZ

IE

Teorema di Rolle

Indica quale delle seguenti funzioni verifica il teorema di Rolle nell’intervallo [a; b]. Segna nel

grafico il punto (o i punti) in cui vale la relazione del teorema.

x

y

O

a b c

x

y

O x

y

Oba ba ba

a b c

y

O xa b

y

O xa b

y

O xa b

ESERCIZIO GUIDA Data la funzione f(x) = - x3 + 3x, verifichiamo che nell’intervallo ;3 3-6 @ valgono le ipotesi del teorema di Rolle e troviamo i punti la cui esistenza è assicurata dal teorema.

Si devono verificare tre condizioni:

• f (x) è continua in ;3 3-6 @ " la funzione è polinomiale, quindi continua in R;

• f (x) è derivabile in ;3 3- 6@ " la sua derivata f l(x) = - 3x 2 + 3 esiste x R6 ! ;

• f ( ) ( )f3 3- = " infatti f 3 3 33 3 0- = - =^ h e f 3 3 33 3 0=- + =^ h .

Poiché vale il teorema, deve esistere almeno un punto c del- l’intervallo nel quale f l(c) = 0:

-3c 2 + 3 = 0 " -3c 2 = - 3 " c 2 = 1 " c = ! 1.

Entrambi i valori c = 1 e c = - 1 sono accettabili perché inter-ni all’intervallo ;3 3-6 @.

Teorema di Rolle.Se f (x)• è continua in [a; b],• è derivabile in ]a; b[,• ha f (a) = f (b),allora esiste almeno un punto c tale che ( )f c 0=l .

Date le seguenti funzioni, verifica che nell’intervallo indicato a fianco valgono le ipotesi del teorema di Rolle e

trova il punto (o i punti) la cui esistenza è assicurata dal teorema.

f (x) = x x21

233

- , [-1; 2]. [c = 1] f (x) = x 2 - 5x + 3, [-2; 7]. c 25

=: D

1 |▶ Teoria a p. 1658

LEGGI IL GRAFICO

1••

2••

3

4••

5••

CapITolo 26

ESERCIZI

Paragrafo 1. Teorema di Rolle

1673

ESERCIZ

I

E

f (x) = - x 2 + 3x , [1; 2]. c 23

=: D

f (x) = ln(-x 2 + 9), [-2; 2]. [c = 0]

f (x) = x 2 + 2x + 3, [-3; 1]. [c = - 1]

( )f xx 1

12=+

, [-1; 1]. [c = 0]

f (x) = 2 cos x , ;4 47rr: D. [c = r]

f (x) = e 4x2+ , [-1; 1]. [c = 0]

( )f xx x x

x x x

2 12 8 3 1

sese

2

22

#=

+

- + -

( , [-3; 3].

[c 1 = - 1; c 2 = 2]

f (x) = - x 4 + 2x 2 + 3, [-3; 3].[c 1 = - 1; c 2 = 0; c 3 = 1]

( )f xx x

x x

1 1 1 00 1

sese

2

3

1#

# #=

- - -

-

( , [-1; 1].

[c = 0]

Le seguenti funzioni non verificano le ipotesi del teorema di Rolle nell’intervallo indicato a fianco. Spiega il

perché.

f (x) = 4x 2 - 2x , [-1; 3].

f (x) ln x1

= , ;21 3: D.

f (x) x 13= + , [-1; 1].

f (x) = 3x 3 - x , [0; 2].

f (x) sin x= , [-1; 1].

f (x) x1= + , [-2; 2].

( )f x x2 1= - + , [0; 1].

( )f xx x x

x x

3 15 1

sese

2

3

1

=

+

- +

( , [0; 2].

( ) ( )f x x 1 25= - , [0; 1].

( )f xx x

x x

2 00

sese 2

#=

-( , [-2; 1].

tESt Una sola delle seguenti funzioni non soddisfa le ipotesi del teorema di Rolle nell’intervallo ;1 1-6 @, quale?

A f x x 52=- +^ h

b f x x 42= -^ h

C f x x x 22= + -^ h

D f x x 923= -^ h

Ecos

f xx x

x x5sese 2

# r

r=

-^ h '

vERO O FALSO? Sia f x^ h una funzione continua e derivabile in R.

a. Se f x^ h è pari, verifica le ipotesi del teorema di Rolle in ogni intervallo del tipo ;a a-6 @, con a 02 . V F

b. Se f x^ h è dispari, in nessun caso soddisfa le ipotesi del teorema di Rolle. V F

c. Se f x^ h è periodica di periodo T, allora soddisfa il teorema di Rolle in ogni intervallo del tipo ;a a T+6 @. V F

d. Se f x^ h è strettamente crescente, non soddisfa il teorema di Rolle in nessun intervallo. V F

RIFLEttI SULLA tEORIA La funzione f x^ h è continua nell’intervallo [a; b] e derivabile in ]a; b[, ma non esiste alcun ] ; [c a b! tale che f c 0=l̂ h . Cosa puoi dire di f a^ h e f b^ h?FAI Un ESEmpIO di funzione definita in un intervallo, che non soddisfa tutte le ipotesi del teorema di Rolle,

ma la cui derivata prima si annulla in un punto interno.

Verifica che i punti che soddisfano la tesi del teorema di Rolle per la funzione siny kx= ^ h nell’intervallo ;0 r6 @sono k.

Dimostra, senza calcolarla, che la derivata della funzione f x x x x3 2 5- + -=^ ^ ^ ^h h h h è nulla in due punti distinti.

6••

7••

8••

9••

10••

11••

12••

13••

14••

15••

16••

17••

18••

19••

20••

21••

22••

23••

24••

25••

26••

27••

28••

EUREkA!

29••

30••


1674

ESERCIZ

IE

Con i parametri

Trova i valori dei parametri in modo che le seguenti funzioni verifichino il teorema di Rolle nellÕintervallo indicato.

( ) ( )f x ax a x13= + - , [-1; 2]. a 4

1=: D

( )f xax x x

x b x

2 1 22 2

sese

2

2

#=

- +

+' , ;1 2

7-8 B. ,a b1 3= =-6 @

( )f xx x x

ax bx x

3 1 01 0

sese

3

2

1

=- + +

+ +' , ;2 4-6 @. ,a b8

5 3=- =8 B

( )f xax bx x

x x

2 0 2

216 2 6

se

se

21#

# #=

+ +

+

* , ;0 66 @. [ , ]a b1 3=- =

Determina per quali valori di a e b la funzione:

( )f xx x x

ax bx x

3 1 0

1 0

se

se

3

2

1

=

- + +

+ +

( verifica le ipotesi del teorema di Rolle nell’intervallo [- 2; 4]. Trova i punti la cui esistenza è assicurata dal teorema. , ; ,a b x x8

5 3 1 512

1 2=- = =- =: DApplicazioni del teorema di Rolle

ESERCIZIO GUIDA Dimostriamo che l’equazione x 3 + 3x - 2 = 0 ha una sola soluzione reale.

Consideriamo la funzione f (x) = x 3 + 3x - 2. Poiché f (x) è continua in R e ( )lim f xx

3=-" 3-

e

( )lim f xx

3=+" 3+

, il suo grafico interseca l’asse x almeno in un punto, ossia l’equazione ha almeno una

soluzione.Supponiamo ora per assurdo che la funzione si annulli in due punti distinti x 1 e x 2 (cioè supponiamo che l’equazione corrispondente abbia due soluzioni).Poiché f (x) è polinomiale, la funzione è continua e derivabile in tutto R. Inoltre f (x1) = f (x2) = 0. Quindi f (x) soddisfa le ipotesi del teorema di Rolle nell’intervallo [x1; x2]. Allora esiste un punto c ! ]x1; x2[ tale che

( )f c 0=l . Ma:

( )f x x3 3 022= +l Rx6 ! .

La derivata di f (x) è sempre strettamente positiva, quindi non si annulla mai. Abbiamo pertanto raggiunto un assurdo. Dunque f (x) non si può annullare in due punti distinti, cioè l’equazione data non ammette più di una soluzione.

Dimostra che il grafico della funzione y = x 5 + x 3 + 1 interseca l’asse x in un solo punto.

Dimostra che l’equazione 6x 3 + 2x 2 + x + 4 = 0 ammette una sola soluzione reale.

Data la funzione f (x) = 3x 3 + x + 9, verifica che l’equazione f (x) = 0 ammette una sola soluzione x0 e dimostra che x0 ! [-2; 1].

Stabilisci se l’equazione ln x + 2x = 0 ammette una sola soluzione nell’intervallo ;81 1: D.

Se f (x) è una funzione che ammette derivata prima e seconda in [a; b] ed è tale che ( ) ( ) ( )f a f b f c= = , con ] ; [c a b! , dimostra che esiste un punto ] ; [d a b! tale che ( )f d 0=m .

Considera la funzione

,( ) ( )cos sinf x x x2 2 3–=

con x0 2# # r . Senza calcolare la derivata, stabilisci il numero minimo di soluzioni dell’equazione f x 0=l̂ hnell’intervallo ]0; 2r[. [5]

31••

32••

33••

34••

35••

36

37••

38••

39••

40••

41••

42••


1675

ESERCIZ

I

E

Teorema di Lagrange

Indica quale delle seguenti funzioni verifica le ipotesi del teorema di Lagrange nell’intervallo

[a; b]. Segna nel grafico il punto (o i punti) in cui vale la relazione del teorema.

a b c

x

y

O x

y

Oba bax

y

O ba

a b c

Oa b a b

y

x O

y

x

y

O xa b

ESERCIZIO GUIDA Data la funzione f (x) = x3 - 2x, verifichiamo che nell’intervallo ;21

2-: D valgono le ipo-

tesi del teorema di Lagrange e troviamo i punti la cui esistenza è assicurata dal teorema.

Si devono verificare due condizioni:

• la funzione è polinomiale, quindi è continua in R " f(x) è continua in ;21

2-: D;

• f(x) è derivabile in ;21

2- :D " la sua derivata f l(x) = 3x 2 - 2 esiste x R6 ! .

Poiché vale il teorema, deve esistere almeno un punto c inter-no all’intervallo nel quale:

( )( )

f cf f

2 21

2 21

=

+

- -

l

a k.

Teorema di Lagrange.Se f (x) è• continua in [a; b],• derivabile in ]a; b[,allora esiste almeno un punto cinterno ad ] a; b [ tale che

( )( ) ( )

f cb a

f b f a

––

=l .Essendo

( ) , ( ) ,f c c f f3 2 2 4 21

872

= - = - =l a k ,

si ha:

c3 2

25

4 87

2- =

-

c c c3 45

2 1213

12132 2

" " " != + = = .

Solo c 1213

= è accettabile, perché interno all’intervallo ;21

2-: D.

2 |▶ Teoria a p. 1660

LEGGI IL GRAFICO

43••

44••

45


1676

ESERCIZ

IE

Date le seguenti funzioni, verifica che nell’intervallo indicato a fianco valgono le ipotesi del teorema di Lagrange

e trova il punto (o i punti) la cui esistenza è assicurata dal teorema.

( )f x x x23= + , [-2; 1]. c 1=-6 @

( )f x x21 14

= + , [0; 2]. c 23=6 @

( )f x = 2x 2 + x + 1, [-2; 3]. c21

=: D

( )f x xx 1

=- , [1; 2]. [ ]c 2=

( )f x x x2= + , [1; 2]. c 2

3=8 B

( )f x x x= - , [0; 4]. [ ]c 1=

( )f x xx

12 1

=-

- , ;7 21

-8 B. [ ]c 1=-

( )f x = ln x - x , [1; e]. [c = e - 1]

( )f xx

3= , [4; 9]. [ ]c 2253

=

( )f x x x21 5 22

=- + + , [-2; 4]. [ ]c 1=

( )f x x x43= - , [-1; 0]. c 9

3=-: D

( )f x x 12= - , [2; 3]. c

25

=: D( )f x e x2 x= + , [0; 1]. lnc e 1= -^ h6 @

( )f xx x x

xx

x

2 0

10

se

se

2

2

1

=

- +

+

* , [-1; 2]. c 301

=-: D

Le seguenti funzioni non verificano le ipotesi del teorema di Lagrange nell’intervallo indicato. Spiega il perché.

( )f xx x

42=-

, ;21 1-: D.

( )f x x4 12= - , [-1; 0].

( )f x = ln(x + 1), [-1; 0].

( )f x x 13= - , [-2; 1].

( ) sin tanf x x x= + , ;0 2r: D.

( )f x x x x7 2= + - , [-2; 4].

( )f x x23= , [-1; 1].

( )f x x2 2= - + , [1; 3].

( )f xx x

x x

00

sese1

=-' , [-1; 2].

( )f xx x x

x x

4 5 22

sese

2

2

#=

- +( , [0; 3].

( )f xe x

x x x

1 03 2 0

sese

x

2

1

=

-

+

( , [-1; 2].

( )f x xx

x

x x

3 1

4 1

se

se

2

22

#=

+* , ;21 28 B.

xx x

x x xf

2 1 02 1 0

sese2

1

=- +

+ +^ h ' , [-1; 3].

Solo a una delle seguenti funzioni è possibile applicare il teorema di Lagrange nell’intervallo [- 2; 2]. Quale?

A y x= b y x1 2= - C y x 1= - D y x 12

= - E y x x22= -

Riguardo alla funzione ( )f x x 1 3= - , possiamo dire che nell’intervallo [- 1; 2] il teorema di Lagrange:

A è valido ed è verificato soltanto in un punto interno. D non è valido perché ( )f 1 0=l .

b è valido ed è verificato in due punti interni. E non è valido perché f (- 1) ! f (2).

C non è valido perché f (x) non è derivabile in x = 1.

FAI Un ESEmpIO di una funzione che non soddisfa le ipotesi del teorema di Lagrange nell’intervallo [-2; 2].

Rappresenta ognuna delle seguenti funzioni e trova (se esiste) il punto P del grafico che verifica il teorema di

Lagrange nell’intervallo individuato dai punti A e B. Interpreta poi graficamente i risultati ottenuti.

( )f x = - x 2 + 1, A (–1; 0), B(2; –3). ;P 21

43a k: D

( )f x = - x 3 + 1, A (–2; 9), B(1; 0). [P (-1; 2)]

46••

47••

48••

49••

50••

51••

52••

53••

54••

55••

56••

57••

58••

59••

60••

61••

62••

63••

64••

65••

66••

67••

68••

69••

70••

71••

72••

tESt

73••

74••

75••

76••

77••


1677

ESERCIZ

I

E

f (x) = sin x , ;A 4 22rb l, .;B 4

322

rb l ;P 2 1ra k: D

( ) 1f x x= + , A (–1; 2), B(2; 3). [P non esiste]

Verifica quale delle due funzioni ( )f x x x22= - e ( )g x x

x4

2=+

- , con x ! [1; 3], soddisfa le ipotesi del teorema di Lagrange. Trova quindi i punti previsti dal teorema.

Data la funzione ( )f x xx2

2=-

+ , utilizzando il teorema di Lagrange deduci per quali intervalli [a; b] 1 ]0; 4[ è vera la disuguaglianza:

f (b) - f (a) 2 b - a. [[a; b] 1 ]0; 2[ oppure [a; b] 1 ]2; 4[]

yOU & mAthS Set f x x x63= -^ h . The value of c that satisfies the Mean-Value Theorem for Derivatives on the

interval [0, 5] for f is

A3

5 . b 0. C3

1 . D 35 . E

35

- .

(USA University of Houston Math Contest)

RIFLEttI SULLA tEORIA Utilizza il teorema di Lagrange per spiegare se è vero che quando un automobilista percorre un tratto in autostrada senza soste a una velocità media di 90 km/h, c’è almeno un istante in cui la velocità è uguale a 90 km/h.

Pronti, partenza, via! Un atleta si allena per una gara di corsa e in un per-corso si può pensare che la sua legge oraria sia s t t15 1 2

= +^ h , dove t è il tempo in minuti e s è lo spazio in metri.

a. Se il percorso è di 1500 m, qual è la velocità media vm?

b. Esiste almeno un istante in cui la sua velocità è esattamente vm? Giustifica la risposta. Rappresenta graficamente la situazione. [a) 6,25 m/s]

Attenzione! Un vaso di fiori cade da un balcone a 16 m dal suolo. Durante la caduta, la funzione che descrive la posizione s del vaso, cioè l’altezza da terra a cui si trova, è ,s t t16 4 9 2

= -^ h .

a. Calcola la velocità media del vaso.

b. Determina con il teorema di Lagrange il tempo t in cui la velocità istan-tanea è pari alla velocità media. , ; ,v t8 9 0 9a m/s b sm = =h h6 @

Con i parametri

ESERCIZIO GUIDA Determina per quali valori di a e b la funzione

f xx a x

x bx x

2 22 2

sese2

1

=

-

- + -^ h '

verifica le ipotesi del teorema di Lagrange nell’intervallo [0; 3].

• f(x) è continua per ogni x 2! .

In x 2= è continua se

lim limx a x bx a b a b2 2 2 2 4 2 2 4x x

2

2 2" "- - + -= - =- + - =- +

" "- +^ ^h h .

78••

79••

80••

81••

82••

83••

REALtà E mODELLI

84••

85••

86


1678

ESERCIZ

IE

• f(x) è derivabile per ogni x 2! con derivata

f xx

x b x

1 22 2

sese1

- +=l̂ h '

In x 2= è derivabile se lim lim x b b b1 2 1 4 5x x2 2

" "= - + =- + =" "- +

^ h .

• Risolviamo il sistema:

,a b

ba b

45

1 5"

=- +

==- =' .

Trova i valori di a e b in modo che per le seguenti funzioni sia applicabile il teorema di Lagrange nell’intervallo

indicato.

( )f xx ax x

x x b x

1 14 1

sese

2

2

1

=

+ - -

- + + -

( , [-2; 0]. ,a b11 6= =-6 @

( )f xx ax x

xb

x

11 1

1

se

se

2

2

#

=

- + -* , [0; 3]. ,a b7 5= =-6 @

( )f xax b x

e x

22

sesex2

1

=

+

-' , [0; 4]. ,a b1 3= =-6 @

( )

ln

f x x bax

x

x x

1 1

1 1

se

se

2

2

#= +

-

+

* , [-1; 2]. [ ],a b0 2= =-

( )f xae b x

ex

0

2 11 0

se

se

x

x 2

#

=

+

-

* , [-1; 1]. [a = - 2, b = 3]

( )cos sin

f xa x b x x

x x

0

12 0

se

se

21

=

+

-+

* , ;2 2r r-8 B. [a = - 2, b = 2]

( )( )ln

f xa x x

b x a x x

3 12 1 1

sese

2

2

#=

+ +

+ +) , [-2; 3]. ,a b1 2

5= =-: D

( )f x x bx a

x

e x

3 2 0 1

1 2

se

sex 11

# #

#

= +

-

-

* , [0; 2]. ,a b21 1= =: D

Data la funzione ( )≤

≤

≤f x

x ax x

x ax b x

3 2 2 0

3 0 4

se

se

–

– – <

2

2=+

+) determina per quali valori dei parametri a e b essa

verifica le ipotesi del teorema di Lagrange in [- 2; 4]. Trova poi le coordinate dei punti la cui esistenza è garantita dal teorema.

, ; ; , ;a b A B0 0 97

2749

37

949

= = - -a ak k: D

Conseguenze del teorema di Lagrange

È vero che, date le funzioni f x^ h e g x^ h, se f x g x=l l^ ^h h allora f x g x=^ ^h h?Motiva la risposta aiutandoti con esempi.

Dopo aver derivato la funzione arcsin arccosy x x= + , cosa puoi dedurre sulla funzione?

87••

88••

89••

90••

91••

92••

93••

94••

95••

3 |▶ Teoria a p. 1662

RIFLEttI SULLA tEORIA

96••

97••

1679

ESERCIZ

I

E

Verifica che le funzioni lnf xx8

3=^ h e lng x x5

2 3=^ ah k hanno la stessa derivata. Cosa si può dedurre per le

due funzioni e per i loro grafici?

Verifica che le funzioni ( )arcsiny x 1=- - e ( )arccosy x 1= - differiscono per una costante e individuala.

2r-: D

Dimostra che la funzione arctan arctany x x1

= + è costante in eR R- + e trova il valore di y.

,y x y x2 0 2 0per per1 2r r

=- =: D

Funzioni crescenti e decrescenti e derivate

LEGGI IL GRAFICO Nei seguenti grafici indica gli intervalli in cui le funzioni rappresentate sono crescenti o decrescenti.

a

y

O

b c d

x1 3

y

O x–2 1 23

y

O x2

y

O x–3 2 3

Spiega perché la fun-zione f x^ h rappresen-tata non è decrescente nell’intervallo [0; 5], mentre lo è in ciascu-no dei due intervalli [0; 2[ e ]2; 5].

Poiché la funzione f x x1

=-^ h ha derivata

f xx1

2=l̂ h , positiva per ogni x del dominio di

f x^ h, possiamo concludere che f x^ h sia mono-tòna crescente in tutto il suo dominio. Perché?

vERO O FALSO? In un intervallo [a; b]:

a. se una funzione f (x) è continua e derivabile, allora è certamente crescente. V F

b. se una funzione f (x) è discontinua, non può essere crescente. V F

c. se f l(x) 2 0, allora f (x) è crescente. V F

d. se una funzione f (x) è crescente, allora è derivabile con f l(x) 2 0. V F

È data la funzione f (x) rappresentata nella figura.

a. È corretto scrivere: «f (x) crescente 6x ! R, x ! 1»?

b. È corretto scrivere: «f (x) crescente in [0; 1[ e in ]1; 2]»?

Individua gli intervalli in cui la derivata della funzione rap-presentata è positiva.

98••

99••

100••

101••

RIFLEttI SULLA tEORIA

x2 5

y

O

102••

103••

104••

LEGGI IL GRAFICO y

O x1 2

105••

O x

y

–3

–1

1106

••

Paragrafo 3. Conseguenze del teorema di Lagrange


1680

ESERCIZ

IE

FAI Un ESEmpIO Traccia il grafico di una funzione f x^ h tale che f x 02l̂ h per x x0 3 501 1 # , f x 01l̂ hper x0 31 1 , f x 0=l̂ h per x x0 30= = .

LEGGI IL GRAFICO Dal grafico di f x^ h deduci il segno di f xl^ h.

a b c d

x1–1 3 x

–2

34

y

O x2

y

O

x

y

O

y

O

tESt Solo una delle seguenti affermazioni che riguardano la funzione f x^ h è falsa. Quale?

A f x 02l̂ h in ;4 2- -6 6.b f x 01l̂ h in ;2 1- 6@ .

C xf^ h crescente in ; 23- -@ @.D f x 0l̂ h in ;1 46 6.E xf^ h decrescente in ;0 26 @.

I grafici rappresentano la derivata prima f l(x) di una funzione f(x). Indica gli intervalli in cui

f(x) è crescente e quelli in cui è decrescente. Deduci dal grafico anche il segno della derivata seconda f m(x).

y

O

x4

3

f'(x)

1 2–3

–2

y

O x64

5

f'(x)

2

–3 –1

Una funzione f è derivabile nell’intervallo ]a; b[. Quali delle seguenti affermazioni sono sempre vere?

a. Se f è non decrescente in ]a; b[, allora ( )f x 0l , per ogni ] ; [x a b! .

b. Se f è crescente in ]a; b[, allora ( )f x 02l , per ogni ] ; [x a b! .

c. Se f è crescente in ]a; b[, allora ( )f x 02l , per almeno un ] ; [x a b! .

d. Se ( )f x 0l per ogni ] ; [x a b! , allora f è crescente in ]a; b[.(USA University of Houston Mathematics Contest)

[a); c)]

tESt Se ( )f x x x x6 93 2= - + , allora f è crescente nell’intervallo:

A x 11 . b 1 x 31 1 . C 1 3x xe1 2 . D x 32 . E Nessuno di questi.

(USA University of Central Arkansas Regional Math Contest)

107••

108••

109••

x4 5–2 2–4 O

y

1

LEGGI IL GRAFICO

110••

111••

112••

113••

1681

ESERCIZ

I

E

LEGGI IL GRAFICO Il grafico rappresenta la derivata prima, f xl̂ h, di una funzione f(x) continua in R .

In base ai dati deducibili dal grafico:

a. individua e classifica i punti di non derivabilità della fun-zione f(x);

b. individua gli intervalli in cui f(x) è crescente e quelli in cui è decrescente;

c. spiega se la funzione f(x) è invertibile in ;2 3-6 @.x xx 2 1 1 3b cresc. per 0 01 1 1 2- -h6 @

ESERCIZIO GUIDA Determiniamo gli intervalli in cui la funzione y xx2

4 12=

+ è crescente e quelli in cuiè decrescente.

Dominio x2 0! " D: x 0! . se ( )f x 0> "l f (x) crescente

se ( )f x 0< "l f (x) decrescenteCalcoliamo la derivata prima:

( )( ) ( )

yx

x x xx

x xx

x2

8 2 2 4 14

16 8 22

4 12

2

2

2 2

2

2=

- +=

- -=

-l .

Studiamo il segno di yl. Essendo il denominatore sempre positivo per x 0! , il segno dipende solo dal numeratore.

4 1 0x x x21

212

" 02 1 2- -

Dal quadro deduciamo che:

per x x21

21

01 2- f (x) è crescente;

per 0 0x x21

21

01 1 1 1- f (x) è decrescente.

Trova gli intervalli in cui le seguenti funzioni sono crescenti e quelli in cui sono decrescenti. Nelle soluzioni

indichiamo per brevità solo gli intervalli in cui le funzioni sono crescenti.

AL vOLO y = x2 + 4 y = x y = e–x y = (x – 3)2

y x x x2 4 103 2= + - + x x1 3

201 2-: D

y x x x2 10 13 2= + + + [ ]x R6 !

y x x4 10 95 2= - + [ ]x x0 101 2

y x x2 16 14 2= - + [ ]x x2 0 201 1 2-

y x x x211 6 33 2

=- + - + x32 31 1: D

yx

x4 8 414

= - + [ ]x 22

y x x x31 2 4 13 2

= + + - [ ]x 2!-

y x x33 2= - [ ]x x0 201 2

( )y x x 42 2= - [ ]x x0 2 401 1 2

( )y x x 2 3= - x 2

12: D

y xx2 1

6=

+

-x 2

1!-: D

y xx

32 1

=+

- [ ]x 3!-

114••

115

++ −−

++ −−

4x2 Ð 1 0

0

0

f'(x)

f(x)

00

12

12–– –

116••

117••

118••

119••

120••

121••

122••

123••

124••

125••

126••

127••

128••

O x

y

–

1

32 1–1


1682

ESERCIZ

IE Capitolo 26. Teoremi del calcolo differenziale

yx 9

22=-

[ ]x x0 3/1 !-

yx x

12=

- +x x2

1 1/2 !: D

yx

x x2

6 92

2=

-

- + ,x x x32 3 201 2 !-: D

yx

x x1

2 8 82

2=

-

- + ,x x x21 2 101 2 !-: D

yx

x x4 22

2=

- + [ ]x x0 101 2

( )y

xx

14

3

2=

-[ ]x2 01 1-

yx x

x x4

22

2=

+

-x x0 4

1/! !-: D

yx

x x1

4 22

2=

-

- + [ ]x 1!!

( )y

x x

x

3 23

2

2

=- +

-,x x x3

5 3 101 2 !: D

y x 1= - [ ]x 12

y x9 2= - [ ]x3 01 1-

y xx 2

=- [ ]x x0 201 2

y x x4 2= - [ ]x0 21 1

y x23= [ ]x 02

y xx 2

=- [ ]x2 41 1

y x3 2= - x 32

2: D

y x 1623= - [ ]x 02

y x 13= + [ ]x 1!-

yx

x2

= - [ ]x 0decresc. per 2

ESERCIZIO GUIDA Determiniamo gli intervalli in cui la funzione lny xx

21

=+

- è crescente e quelli in cui è decrescente.

La funzione è definita per xx

21 02+

- , cioè per x x2 101 2- .

Calcoliamo ora la derivata prima:

( )( ) ( )

( ) ( )( )y

xx x

x xxx

xx x

x x21

12

1 2 1 112

22 1

1 23

2 2$ $=

+

- +

+ - -=-

+

+

+ - +=

- +l .

Studiamo il segno di yl. Poiché il numeratore è sempre positivo, yl ha lo stesso segno del denominatore:

( )( )y x x x x0 1 2 0 2 1per" 02 2 1 2- + -l .

Dallo schema deduciamo che f (x) è crescente per .x x2 101 2- Poiché questi intervalli coincidono con il dominio, la funzione non è mai decrescente.

Trova gli intervalli in cui le seguenti funzioni sono crescenti e quelli in cui sono decrescenti. Nelle soluzioni

indichiamo per brevità solo gli intervalli in cui f(x) è crescente.

y e x2 2=

- [ ]x 01

y x e x2=

- [ ]x0 21 1

lny x2 5= +^ h x 25

2-8 Blny x x2= + [ ]x 02

lny x x= x e1

2: Dlny x

x53

=-

+ [ ]x x3 5decresc. per 01 2-

( )lny x x5 62= - + [ ]x 32

y xex= [ ]x 12-

129••

130••

131••

132••

133••

134••

135••

136••

137••

138••

139••

140••

141••

142••

143••

144••

145••

146••

147••

148

f'(x)

f(x)

�

−2 1

�

149••

150••

151••

152••

153••

154••

155••

156••

1683

ESERCIZ

I

E

siny x4 2= k x k21 1r

rr+: D

cos cosy x x2= - k x3 2 1 1

rr r+ +8

k k x k2 35 2 2 20 1 1r r r r r+ + + B

cosy x x2 12 2=- - +

k x k12 125

1 1r

r r r+ +8 B

tany x3 1= - k x k2 21 1r

rr

r- + +: D

3 cosy x x2= + k x2 31 1rr+:

k k x k2 32 2 2 20 1 1r r r r r+ + + E

siny x x2= + k x2 32

1 1r r+:k k x k2 3

4 2 2 20 1 1r r r r r+ + + D

ln lny x x2 2= + x e

12: D

1lny x2= - [ ]x1 01 1-

lnyxx

44 16

2

2=

+

- [ ]x 22

lnyee

11

x

x

=+

- [ ]x 02

cos cosy x x 24 2= - +

k x k4 2 2 21 1r r r r+ +: D

y e 32x

x

=-

-

[ ]x2 31 1

y x x x2 7 32= - - x x0 14

173

01 1 1: D

y xx x

232

=+

-

x x x2 10 2 0 2 10 30 01 1 1 1 2- - - - +6 @

REALtà E mODELLI Giochi & auto Una macchina giocattolo si muove su una

traiettoria in base alla legge oraria sins t t4 3 6r r

= +^ `h j. Nei primi 6 secondi,

in quali intervalli la velocità aumenta e in quali intervalli diminuisce?

t t t25

211 0 2

52

11 6aumenta; diminu ceis01 1 1 1 1 18 BVerifica che l’equazione lnx x2 02

- + = ammette un unico zero reale.

vERO O FALSO? Sia f (x) una funzione derivabile in R.

a. Se f (x) è crescente in [a; b], allora f x2^ h è crescente in [a; b]. V F

b. Se f (x) è decrescente in [a; b], allora f x

1^ h è crescente in [a; b]. V F

c. Se f (x) è pari, allora f 0 0=l̂ h . V F

d. Se f (x) è positiva e decrescente in [a; b], allora ln f x^ h6 @ è decrescente in [a; b]. V F

Con i parametri

ESERCIZIO GUIDA Determiniamo per quali valori di k la funzione

R( ) ,f x kx kx x k3 8 con3 2!= - + + ,

è sempre crescente in R.

Calcoliamo ( )f xl :

( )f x kx kx3 6 12= - +l .

Poiché se R( )f x x0 62 !l la funzione è sempre crescente in R, poniamo:

3 6 1kx kx 022- + .

La disequazione risulta sempre verificata se è k0 3 0/1 2D . Utilizziamo 4D :

( )k k k k4

3 3 9 32 2D= - = - .

157••

158••

159••

160••

161••

162••

163••

164••

165••

166••

167••

168••

169••

170••

171••

172••

173••

174



1684

ESERCIZ

IE

Poniamo 4

01D :

k k k9 3 0 0 312

"1 1 1- .

Poiché k3 02 per k 02 , la funzione assegnata è sempre crescente in R per 0 k31

1 1 .

Trova per quali valori del parametro reale a la funzione ( )f x ax x x3 23 2= + + + è sempre crescente in R.

[a 3]

Determina per quali valori di k la funzione y x x kx2 23 2= + - risulta sempre crescente in R.

32

k 1-: DPer quali valori di k la funzione ( )y x k x2 13

=- + - è sempre decrescente in R? 21

k 1: DTrova per quali valori di a la funzione lny a x 1= + è sempre crescente nel suo dominio. [ ]a 02

Determina per quali valori di a la funzione yx

ax 1–= è sempre crescente in R+ . R[ ]a6 !

Studia, al variare di a in R, quando la funzione ( )f xx

ax12=+

è crescente o decrescente.

[a = 0: f costante; :a 01 f crescente per x x1 101 2- ; :a 02 f crescente per x1 11 1- ]

Data la funzione lnye x

ae x2–=+ , determina Ra ! tale che il grafico della funzione passi per il punto di

ordinata 1 sull’asse y. Determina poi gli intervalli in cui la funzione è crescente e quelli in cui è decrescente.

;2

a ee

x ecresc. per21 1= -; D

Funzioni invertibili

Dimostra che la funzione f x x52 -= -^ h è invertibile nel suo dominio considerando la sua derivata. Trova la funzione inversa f x1- ^ h e rappresenta graficamente sia f x^ h sia f x1- ^ h.Verifica che la funzione cosy x x2 2 12

=- + + è invertibile in tutto R. Calcola poi la derivata della funzione inversa nel punto y0 che corrisponde a x0 r= .

21: D

Verifica che la funzione y = x 3 + 2e x è invertibile Rx6 ! e calcola la derivata della funzione inversa nel punto y0 = 2.

21: D

Determina il dominio della funzione lnyx

x6–= e dimostra che è monotòna per x x0 601 2 . Trova

la sua funzione inversa e rappresenta graficamente la funzione data e la sua inversa. ye

e1

6x

x

=-

: DDimostra che la funzione y x e4 x

= + è invertibile in tutto R . Detta g (y) la funzione inversa, calcola g(1) e ( )g 1l .

( ) ; ( )g g1 0 1 51

= =l: DDimostra che la funzione ( ) lnf x x x2 5

= + è invertibile per x 02 . Calcola ( )f 21- e determina la derivata della funzione inversa nel punto y0 = 2.

( ) ;f 2 1 1111

=-: D

Considera la funzione arcsinyxx

11–

= + . Determina il suo dominio, dimostra che è invertibile e determina

l’equazione della sua funzione inversa. sinsin

y xx

11

=+

-: DData la funzione ( ) arctany f x e x2x

= = + :

a. dimostra che f (x) è invertibile nel suo dominio;

b. detta g (y) la funzione inversa di f (x), calcola g (1) e ( )g 1l . ;0 31b): D

175••

176••

177••

178••

179••

180••

181••

182••

183••

184••

185••

186••

187••

188••

189••

Paragrafo 4. Teorema di Cauchy

1685

ESERCIZ

I

E

Teorema di Cauchy

ESERCIZIO GUIDA Date le funzioni f (x) = x2 - 2x + 4 e g (x) = 4x2 + 2x, verifichiamo che nell’intervallo [1; 3] valgono le ipotesi del teorema di Cauchy e troviamo i punti la cui esistenza è assicurata dal teorema.

Sono verificate le tre condizioni:

• f (x) e g(x) sono continue in [1; 3] perché sono funzioni polinomiali;

• f (x) e g(x) sono derivabili in ]1; 3[ , con f l(x) = 2x - 2 e g l(x) = 8x + 2;

• g l(x) ! 0 in ]1; 3[ ; infatti g l(x) = 8x + 2 ! 0 per x41

!- .

Poiché valgono le ipotesi del teorema, deve esistere almeno un punto c nel quale:

( )( )

( ) ( )( ) ( )

g c

f c

g g

f f

3 13 1

=-

-

l

l.

Teorema di CauchySe f (x) e g(x)

• sono continue in [a; b],

• sono derivabili in ]a; b[,

• e ( )g xl ≠ 0 in ]a; b[, allora esiste almeno un punto c tale che

( ) ( )( ) ( )

( )( )

g b g af b f a

c

f c

g––

=l

l.

Si ha:

9( 1) 4 1cc

cc

c c c8 22 2

42 67 3

4 11

91

41

" " "!+

-=

-

-

+

-= - = + -b l c = 2.

Il punto cercato è c = 2.

Date le seguenti funzioni, verifica che nell’intervallo a fianco valgono le ipotesi del teorema di Cauchy e trova il

punto (o i punti) la cui esistenza è assicurata dal teorema.

( )f x = - x 2 + 3x, g(x) = 2x 2, [1; 4]. c 25

=: D

( )f x = x 3 + 1, g(x) = x 2 - 4x , [-2; -1]. c 31 13

=- -: D

( )f x x1= + , g(x) = 2x + 1, [0; 3]. c 45

=: D

( )f x x 11

=+

, ( )g x xx 1

=+ , [1; 2]. c 2

1 3=+: D

( ) cossinf x x x= - , ( ) cosg x x 1= - , ;0 2r: D. c 4

r=: D

( ) ln lnf x x x42= - , ( ) lng x x2 4= + , [ ; ]e1 . [ ]c e=

( ) cos cosf x x x5 22= - , ( ) cosg x x 3= + , ;2

rr: D. c 3

2r=: D

( ) lnf x x2 1= - , ( ) ( )g x x5 1= + , [ ; ]e1 . [ ]c e 1= -

( )f x xx

12

=+

- , ( )g x x3 1= + , [ ; ]0 2 . [ ]c 3 1= -

( )f x x x43 2=- + , ( )g x x2

1 42= + , [ ; ]1 3- . c 6

13=: D

( )f x e3 x= + , ( )g x x2 1= + , [ ; ]0 1 . [ ( )]lnc e 1= -

( ) ( )lnf x x x2 12= - + , ( )g x x2 1= - , ;0 2

1: D. lnc 1 2 21

= -: D

4 |▶ Teoria a p. 1664

190

191••

192••

193••

194••

195••

196••

197••

198••

199••

200••

201••

202••


1686

ESERCIZ

IE

Per le seguenti coppie di funzioni non vale il teorema di Cauchy nell’intervallo indicato a fianco. Indica le

condizioni che non sono verificate.

( )f x x 31

=+

, ( )g x x x2 2 12= - + , [ ; ]2 1- .

( )f x x 33= + , ( )g x x 12

= + , [ ; ]1 1- .

( )f x x 23= - , ( ) lng x x= , [ ; ]1 4 .

( )f x x 12= - , ( )g x x

1= , [ ; ]1 2- .

tESt Sono date le funzioni f (x) = cos x + 2 e g (x) = sin x - 3, con ;x 0 2!r8 B. Possiamo dire che il teorema

di Cauchy:

A non è valido per nessun punto interno all’intervallo. D è verificato in x 2r

= .

b non è valido perché g 2 0r=l` j . E è verificato ;x 0 26 !

r 8B .

C è verificato in x 4r

= .

RIFLEttI SULLA tEORIA Nell’enunciato del teorema di Cauchy non compare l’ipotesi g b g a 0!-^ ^h h , pur trattandosi di un’espressione al denominatore. Dimostra che questa ipotesi è superflua perché conseguenza delle altre ipotesi.

Stabilisci se ( )f x x x33= - e ( )g x x x2

= - soddisfano le ipotesi del teorema di Cauchy nell’intervallo [0; 1]. In caso affermativo applica il teorema, altrimenti trova un sottointervallo in cui sono verificate le ipotesi e poi determina il punto (o i punti) la cui esistenza è assicurata dal teorema.

; : ;c 611 91 0 2

1no esempio in=- 8; BE

Riepilogo: Teoremi di Rolle, Lagrange, Cauchy

vERO O FALSO?

a. Se una funzione verifica il teorema di Lagrange, non può verificare il teorema di Rolle. V F

b. Se una funzione verifica il teorema di Rolle, non verifica il teorema di Lagrange. V F

c. Se due funzioni hanno la stessa derivata e un punto del grafico in comune, allora sono uguali. V F

d. Due funzioni che verificano il teorema di Lagrange e non hanno punti stazionari verificano il teorema di Cauchy. V F

tESt Sia f definita su [0; 1], continua e derivabile su ]0; 1[, e tale che f(0) = f(1). Allora:

A esiste un punto ] ; [c 0 1! tale che ( )f c 0=l .

b a f si può applicare il teorema di Lagrange nell’intervallo ;41

43: D.

C f è continua nell’intervallo [0; 1].

D a f si può applicare il teorema di Rolle nell’intervallo ;41

43: D.

(Politecnico di Torino, Test di autovalutazione)

RIFLEttI SULLA tEORIA Sia f x^ h una funzione derivabile due volte in R, con derivata seconda continua, e siano a , b (con 1a b) punti stazionari per f x^ h. Esiste almeno un punto ] ; [c ! a b tale che f c 0=m̂ h ?

203••

204••

205••

206••

207••

208••

209••

210••

211••

212••

1687

ESERCIZ

I

ERiepilogo: Teoremi di Rolle, Lagrange, Cauchy

Verifica che le funzioni

( )f xx

x2

1–2

2

=+

e ( )xx

g2

32=+

hanno la stessa derivata prima. Questo implica che f x g x x R6 !=^ ^h h ? Motiva la risposta.

La figura mostra il grafico di una funzione pari f x^ h.

O

y

x1–1

22–

22–

a. In base al grafico, valuta l’esistenza e il segno della derivata prima di f x^ h, individuando in particolare gli eventuali punti stazionari di f x^ h.

b. Spiega perché non è possibile applicare il teo-rema di Rolle a f x^ h nell’intervallo ;2 2-6 @.

c. L’esistenza di punti stazionari in tale interval-lo è una contraddizione? Motiva la risposta.

Data la curva di equazione:

( )f xx bx c x

xax

x

4 0

32

0

se

se

21

$=

+ - +

+

-* individua, senza risolvere l’equazione ( ) ,f x 0=l

i valori dei parametri a, b e c per cui nell’interval-lo [- 1; 2] è garantita l’esistenza di un punto in cui la retta tangente alla curva è orizzontale.

, ,a b c3323

3315

310

= = =: DL’equazione

ln x x1 11

0- --=

ha nell’intervallo [2; 3] una sola soluzione. Spie-gane il motivo utilizzando i teoremi a te noti.

Considera la funzione y x x4= - nell’inter-vallo [- 3; 3].

a. Sono verificate le ipotesi del teorema di Rolle?

b. Esistono dei punti interni all’intervallo [- 3; 3] in cui ( )f x 0=l ?

c. Le ipotesi del teorema sono una condizione necessaria e sufficiente, solo necessaria, o solo sufficiente per l’esistenza dei punti che verificano il teorema?

YOU & MATHS

a. Verify that ( )f x x x x2 13 2= + - - satisfies the

hypotheses of the Mean-Value Theorem on the interval [0, 2].

b. Find all numbers c that satisfy the conclusion of the Mean-Value Theorem.

(USA University of Wisconsin, Final Exam)

Date le due curve di equazione ( )f x ex x4 42=

- + e g (x) = cos(x - 2), dimostra che esiste almeno un valore c interno all’intervallo [0; 4] per il quale le rette tangenti alle curve, rispettivamente nei pun-ti (c; f (c)) e (c; g (c)), sono parallele.

Considera il grafico della funzione

( ) ,f x x x a a4 con R3!= - + ,

passante per il punto A(1; 3). Dimostra, mediante il teorema di Lagrange, che esiste almeno una ret-ta tangente al grafico in un punto D di ascissa interna all’intervallo [- 2; 1], parallela alla con-giungente i punti A e B della curva, con B di ascis-sa - 2. Determina l’area del triangolo BAD.

[ ; ; ]a y x6 8 6= =- +

YOU & MATHS Suppose : [ , ]f a b R" is differen-tiable and ( )f x M$l for all [ , ]x a b! . Prove that

( ) ( ) ( )f b f a M b a$ + - .

(USA University of Illinois at Chicago,

Analysis I Midterm Exam)

EUREKA! Dimostra che se ( )f x è una funzione derivabile con ( )f x k$l per ogni x 02 e f(0) = 0, allora ( )f x kx$ per x 0$ .

(CAN University of Windsor, Problem Solving)

Utilizzando il teorema di Lagrange, dimostra che è valida la seguente relazione:

.≥ [ ; ] ;tan tanb a b a a b 2 2– – –6 1r r :D

Spiega poi perché non è valida nell’intervallo [ ; ]0 r .

YOU & MATHS Determine whether the following statement is true or false. If true supply a proof, and if false a counterexample.«Suppose f is continuous on the closed interval [a, b] and differentiable on the open interval (a, b), and there is a point !p (a, b) such that

( )f 0p =l . Then the Mean Value Theorem tells us that we must have ( ) ( )f a f b= .»

(USA Texas A&M University, Final Exam)

213

••

214

••

215

••

216

••

217

••

218

••

219

••

220

••

221

••

222

••

223

••

224

••


1688

ESERCIZ

IE

LEGGI IL GRAFICO La funzione rappresentata in figura è costituita da un arco di parabola di vertice A, dal segmento AB e da un arco di iperbole equilatera riferita ai propri asintoti e passante per B.

a. Determina l’espressione analitica della funzione.

b. Verifica l’applicabilità del teorema di Lagrange in [0; 4] e deter-mina il punto garantito dal teorema.

;f x

xx x

x

x x

c2 2 1 2

1 2 44 4

32a

sese

se

b

2

1

2

#

#=

- + -

=^h h hR

T

SSSSS

V

X

WWWWW

Z

[

\

]]

]]

LEGGI IL GRAFICO Osserva il grafico della funzione f x^ h.a. Stabilisci se sono vere o false le seguenti affermazioni, moti-

vando le risposte.

1. In base al teorema di Lagrange, deve esistere almeno un valore di x interno all’intervallo ;0 46 @ tale che f x 1=-l^ h .

2. In base al teorema di Lagrange, non può esistere alcun valore di x interno all’intervallo ;0 46 @ tale che f x 1=-l^ h .

3. La funzione f x^ h non è ovunque derivabile in ;0 46 @.b. Date le funzioni h x x

x a1=+

- +^ h e k x x x b41

432

=- + +^ h ,

determina i valori delle costanti a e b in modo tale che sia:

f xh x x

k x x

0 1

1 4

se

se 1

# #

#=^ ^^h hh) . ,a b4 1a)1 F, 2 F, 3 V; b)- - - = =6 @

Sia f x^ h una funzione dispari derivabile due vol-te nell’intervallo ;1 1-6 @, tale che f 1 3- =^ h e f 0 0=^ h .

Dimostra che esiste almeno un punto ;c 1 1! - 6@tale che f c 0=m̂ h .

Dimostra che per ogni ;x 0 4!r 8B

.≤ ≤tanx x x2

Dimostra che x R6 ! si ha sin x x22# .

(USA Texas A&M University)

Data la funzione ( )( ) ≥

f xke x

k x x k x

1

1

se

se–

<x 1

2

–

=+

* :

a. dimostra che ( )f x è continua e derivabile x R6 ! ;

b. trova il valore di k in modo che la tangente al grafico della funzione nel suo punto di ascissa 1 abbia coef-ficiente angolare uguale a - 1 e rappresenta graficamente ( )f x ;

c. applica il teorema di Lagrange agli intervalli [1; 4] e [0; 2] nelle ipotesi del punto b.

) ; ) ;k c c e1 25

41 5 1b c 1 2=- = = -a k: D

In FISICA Sofia e Filippo si muovono lungo una stessa strada rettilinea, partendo nello stesso istante t 0= e fermandosi entrambi dopo 10 secondi. La velocità media di Sofia è di 0,5 m/s.

a. Supponendo che la legge oraria di Filippo sia ( ) ,s t tat b

t1 0 10F # #=+

+ , e che s 10 6 mF =^ h , quali valori

si devono attribuire alle costanti a e b per essere sicuri che in almeno un istante la velocità istantanea di Filippo sia uguale alla velocità media di Sofia?

b. Con i valori di a e b trovati, in quale istante si realizza la richiesta del punto precedente?

c. Qual è l’accelerazione media di Filippo nell’intervallo t0 10# # ?

; , ;,a b t a213 1 2 32 11

6a b s c m/sM2

= = = =-h h h8 B

225••

O x

y

Ð

2 4

A B1

1

226•• y

xO 1 4

4

EUREkA!

227••

228••

229••

230••

231••

Allenati con 15 esercizi interattivi con feedback “hai sbagliato, perché…”

su.zanichelli.it/tutor3 risorsa riservata a chi ha acquistato l’edizione con tutor

1689

ESERCIZ

I

E

Teorema di De L’Hospital

Forme indeterminate 00

e 3

3

Forma indeterminata 00

ESERCIZIO GUIDA Calcoliamo limx xe 1

x

x

0 2-

-

"

.

Poiché per x 0" sia e 1x- sia x x2

- tendono a 0, siamo in presenza della forma indeterminata 00 .

Le funzioni f x e 1x= -^ h e g x x x2

= -^ h hanno per derivate f x ex=l̂ h e g x x2 1= -l̂ h , e g x 0!l̂ h in un

intorno di 0. Calcoliamo:

( )( )

lim limg x

f x ex 12 1x x

x

0 0= =-

-" "l

l.

Tutte le ipotesi del teorema di De L’Hospital sono verificate, quindi:

( )( )

( )( )

lim limg xf x

g x

f xx x0 0

=" " l

l " lim lim

x xe

xe1

2 1 1x

x

x

x

0 2 0-

-=

-=-

" "

.

Calcola i seguenti limiti.

lim xx x x

24 2 8

x 2

3 2- + -

+"-

[0]

limx xx x

2 12

x 1 3

5 2

-

- +

-"-

[7]

limx x

x x16

4 8x 2 5

4

-

- -

" 1678 B

limx x

x2 3

1x 1 2

3

+ -

-

" 43: D

lim xx

11

x 1

3

-

-

" 31: D

limx

x

11

x 1 3-

-

" 238 B

limx x

x 82 3

3x 1 3

+

+ -

-

" 81: D

limx x

x x x2 3x 1 5 2

6 2

+

+ +

"- 37-8 B

limx

e91

x

x

3 2

3

-

-

"

-

61: D

lim xe

5 51

x

x

1

12

-

-

"

-

52-: D

lim sinx

x x4x 0

2-

"+

[ ]3-

lim sinsin

xx

510

x 0"[2]

lim xe1

x

x

0

2-

"

-

[2]

lim sin xe x

21

x

x

0

2 2- -

"

[1]

( )lim

lnx

x1

2 1x 1 -

-

"

26 @

lim lnxx x

1x 1 2-" 2

18 B

lim sinxx x

x 0 3-

" 61-: D

lim sintanx xx x

x 0 +

+

"

16 @

( )lim

sinln

xx x3 1

x 0 2+

"

[3]

lim sincos

x xx x xx 0 2+

+"

[2]

( )lim

lnx

x1

2 1x 1 3

2

-

-

" 34: D

limxe

x412x

x

0 3-

-

"

12-

: D

lim cosx x

x1x 0 3 2

3

-

-

" 23-: D

lim sinx

x1cotx 2

3-

"

r06 @

5

|▶ Teoria a p. 1666

232

233••

234••

235••

236••

237••

238••

239••

240••

241••

242••

243••

244••

245••

246••

247••

248••

249••

250••

251••

252••

253••

254••

255••

256••

Paragrafo 5. Teorema di De L’Hospital


1690

ESERCIZ

IE

lime ee x

21

x x x

x

0 - +

- -

"- 2

18 B

( )lim

xx x

22 2 2

x 22

-

- + -

"+

[ ]3+

lim sinlncosx x

xx 0" 2

1-8 B

lim tansinx x

x xx

2

0 -"

36 @

lim sinsin

x xx

2 2x

3

0 -" 43

-8 B

lim tansin

x xx x

52 3

x 0 +

+

" 65: D

tESt De L’Hospital, nel suo libro sul calcolo infinitesimale del 1696, illustrava la sua regola utilizzando il limite della funzione

f xa ax

a x x a a x234

3 4 23

=-

- -^ hper x che tende ad a, con a 02 . Trova il limite.

Aa

34

ba16

9 C 1 Da4

3 E Nessuno dei precedenti.

(USA University of North Georgia Mathematics Tournament)

Forma indeterminata 3

3


limx

e1x

x

2

2

-" 3-[+3]

lime xx 5

x x+

+

" 3+[0]

limln x

x

21x 3

+

+" 3+

^ h[0]

lim lnx xx 1

x

5-

" 3+[+3]

limx

x x2x 2

2+

"3 21: D

lime

x e4x x

x2+

" 3+[1]

lim lnx

x ex

x

2+

" 3+[+3]

limln

e

x1x x

2

2

+

" 3+

^ h[0]

limxe

x

x

3

3

" 3+[+3]

lim lnxx

2x

2

" 3+[0]

limln

lnsinx

xx 0

2"+ 2

1: D

lim lnx

x x7 2

3x -

+

" 3+ 73: D

lim lnlnsin x

xx 0" +

[1]

( )( )

lim lnln

xe e

1x

x

1 -

-

"+

[1]

lim tan xetan

x

x

2"r -

[+3]

limx

x x1 2

5 2 4x 3

3 2

-

- +

" 3- 25-: D

limx

x x1

3 2x 3

2

-

- +

" 3-[0]

limx xe x

35

x

x

2-

+

" 3+[+3]

lim ln x3x x0

1"+

e5[0]

( )( )

limlnln

xx

93

x 32-

-

"+

[1]

( )lim

lnx

x2cotx

r-

" r+[ ]0

lim lncot x

xx 0

3

"+

[ ]0

lim lncot

tanx

xx 0" +

[ ]0

lim ln xe

2x

x

0

2

"+

[ ]3-

limx e

x e2 4

1x x

x2 2

+ +

- +

" 3+[ ]3+

limln

lnx

x2

cotx 0

3"+ 3

1-: D

-

lim tan xe cos

x

x

2

1

"

r +[ ]3-

257••

258••

259••

260••

261••

262••

263••

264••

265••

266••

267••

268••

269••

270••

271••

272••

273••

274••

275••

276••

277••

278••

279••

280••

281••

282••

283••

284••

285••

286••

287••

288••

289••

290••

1691

ESERCIZ

I

EParagrafo 5. Teorema di De L’Hospital

Forma indeterminata 0 $3

ESERCIZIO GUIDA Calcoliamo lim lnx xx 0

$"+

.

Il limite è nella forma indeterminata 0 $ 3. Trasformiamo la funzione con l’identità x

x11

= (se x ! 0):

lim ln lim lnx x

x

x1x x0 0

$ =" "+ +

.

Il limite ottenuto è ora nella forma indeterminata 3

3 . Calcoliamo:

( )( ) ( )lim

lnlim lim lim

x

x

x

xx x x

1 1

11 0

D

Dx x x x0 0

20

2

0$=

-

= - = - =" " " "+ + + +a k .

Per il teorema di De L’Hospital: lim lnx x 0x 0

$ ="+

.


lim x ex

x$

" 3-[0]

lim lnx xx 0

2$

"+

[0]

lim lnx xx 0

2

"+

[0]

lim x ex

x2$

" 3-[0]

limx

x

0

1

"+

x e$ [+3]

lim x x2 cotx 0

$"

[2]

lim ln tanx xx 0

$"+

[0]

lim x ex

x2$

" 3-[0]

lim x ex

x3 3$

" 3-[0]

lim x x3 4cotx 0

$" 4

3: D

lim lnx x2 5x 0

$"+

[0]

lim xex

x2

" 3

-

+

[0]

lim xe2x

x

" 3+

- [0]

lim ln x ex

x2$

" 3+

- [0]

lim arctanx x2x2 3r

-" 3-a k [ 3- ]

( ) ( )lim lnsin x e xx

x

01$ +

"

- [ ]2

lim lntan sinx x2 2x 4

$

"

r[ ]0

( )lim tanx x2x 2

2 2$r-

"

r[ ]4

Forma indeterminata 3 3+ -

ESERCIZIO GUIDA Calcoliamo lim x x1 cot

x 0-

"+

a k.Il limite è nella forma indeterminata +3 -3. Per poter applicare il teorema di De L’Hospital, cerchiamo

di scriverlo nella forma 00 o

3

3 .

Trasformiamo la funzione:

lim lim cos lim cossin sin

sinx x x x

xx xx x x1 1cot

x x x0 0 0- = - =

-

" " "+ + +

a ak k .

Il limite si presenta ora nella forma indeterminata 00 , quindi possiamo calcolare:

( )( )

limcos

lim coscos cos

lim cossinsin

sinsin

sinsin

x xx x x

x x xx x x x

x x xx x

DD

x x x0 0 0

-=

+

- +=

+" " "+ + +

.

Il limite ottenuto è ancora nella forma indeterminata 00 . Calcoliamo:

( )( )

lim cos lim cos coscos lim cos

cossin

sinsin

sinsin

sinx x xx x

x x x xx x x

x x xx x x

2 0DD

x x x0 0 0+=

+ -

+=

-

+=

" " "+ + +

.

Quindi: lim x x1 0cot

x 0- =

"+

a k .


291

292••

293••

294••

295••

296••

297••

298••

299••

300••

301••

302••

303••

304••

305••

306••

307••

308••

309••


310


1692

ESERCIZ

IE


lime x1

1 1x x0 -

-"

b l21-8 B

lim sin x x1 cot

x 0-

"+

a k [0]

lim sin x x2 2

x 0-

"+

a k [0]

lim lnx x11 1

x 1 --

"+

b l21-: D

lim cotsin

xx

1x 0

22-

"

b l [-1]

lim ln x x3x

-" 3+^ h 3-6 @

Forme indeterminate 00, 03 , 13

ESERCIZIO GUIDA Calcoliamo:

a. lim xtan

x

x

0" +

; b. lim x x8 xx

21

-"3^ h ; c. lim x1 x

x

1

0-

"

^ h .

a. lim xtan

x

x

0" +

si presenta nella forma indeterminata 00.

Ricordando l’identità A = e ln A, se A = x tanx, si può scrivere: x etan lnx xtanx= .

lim lim limx e e etan ln tan lnlim tan ln

x

x

x

x

x

x xx x

0 0 0

tanx x 0= = =

" " "

$ "

+ + +

+

Calcoliamo lim ln lim lntan x x xx

cotx x0 0=

" "+ +

.

Il limite ottenuto è nella forma indeterminata 3

3 . Calcoliamo:

( ) ( )limcotln

lim

sin

lim sin lim sin sinx

x

x

xx x x

xx1

11 0

DD

x x x x0 02

0

2

0=

-

= - = - =" " " "+ + + +^̂ hh .

Per il teorema di De L’Hospital: lim lntan x x 0x 0

="+

.

Pertanto: lim x e e 1tanlim tan ln

x

xx x

0

0x 0= = =

"

"

+

+ .

b. lim x x8x

x21

-"3^ h è nella forma indeterminata 03 .

Ragionando come al punto a, possiamo scrivere:

( )lim lim limx x e e e8 ( )( ) ( )

lnln

limln

x

x

xx x

x

xx x

xx x

21

88 8

xx2

1 2 2

- = = =" " "3 3 3

-

- -

"3 .

Quindi calcoliamo ( )

limln

xx x8

x

2-

"3, che si presenta nella forma indeterminata

3

3 .

Poiché sono verificate le ipotesi, applichiamo il teorema di De L’Hospital:

( )lim

lnlimx

x x x xx

81

82 8

0x x

2 2-=

-

-

=" "3 3

.

Quindi: ( )lim x x e e8 1( )

limln

x

x xx x

21 8

0x

2

- = = ="3

-

"3 .

c. lim x1x

x1

0-

"

^ h è nella forma indeterminata 13 . Abbiamo

lim lim limx e e e1 lnln

limln

x

x

x

x

x

xx

xx

0

1

01

0

1 1x

x

1

0- = = =" " "

-

- -

"^ ^ ^ ^h h h h

311••

312••

313••

314••

315••

316••


317

AA

per la proprietà log logb c bac

a=

⤻

tende a 1

1693

ESERCIZ

I

ERiepilogo: Teorema di De L’Hospital

Applichiamo il teorema di De L’Hospital:

( )lim

lnlimx

xx

11

1 1x x0 0

-=-

-=-

" "

,

per cui:

( )lim x e e e1 1limln

x

x xx

0

1 11x 0- = = =

"

-

-"

^ h.


( )lim sin xx

x

0

2

"+

[1]

( )lim x2x

x

0-

"-

[1]

[ ( )]lim ln x 1x

x

22

-"

- [ ]1

( )lim e xx

x x

0

1

+"

[ ]e2

lim tan xsin

x

x

0" +

[1]

lim x 2x

x

2

2-

"

-

+^ h [1]

lim x 2cos

x

x

2

r-

"

r +` j [1]

lim xx

x

0" +

[1]

lim xe 1x

x

x

1+

" 3+a k [e]

( )lim x1x

x

1

1-

"

-

-[1]

lim xsin

x

x

0" +

[1]

( )lim sin x1x

x

0cot

+"

[ ]e

tESt ( )lim x 1 tan

x

x

0

2

+ ="+

A 1 b e C e2 D 2

r E 4

r

(USA Arkansas Council of Teachers of Mathematics State Contest)

Riepilogo: Teorema di De L’Hospital

Solo uno dei seguenti limiti vale 0. Quale?

A lime

x xx x3

3-

" 3+

b lim e lntan

x

x x

0" +

C limxx

41 1

x 2 2-

- -

"

D lim sin xx x2

x 0

2-

"

E limx xx

14

x 2 3

3

- +" 3+

I seguenti limiti sono tutti uguali a 2, tranne uno. Quale?

A limxx

41 2

x 2

2

-

-

"3

b limx

x22

1 23

x 3$

- -

-

"

C limx xx x2 3

x 3 4

3 2

-

-

"3

D lim e2 lntan

x

x x

0" +

E ( )lim x x2 8x

x21

-"3

318••

319••

320••

321••

322••

323••

324••

325••

326••

327••

328••

329••

330••

tESt

331••

332••

Utilizzando il teorema di De L’Hospital, calcola il limite limx

ex

x

124" 3+

e generalizza il risultato a:

.,limxe

0con >x

x

a" 3

a+ [+ 3]

333••

1694

ESERCIZ

IE Capitolo 26. Teoremi del calcolo differenziale

Ognuno dei seguenti limiti contiene un errore. Trovalo e correggilo.

lim limxx

x14 1

24

2x x1 2 1-

+= =

" "

( )lim ln lim lnx x x 1x x0 0

3= + =-" "+ +

( ) ( )lim limx x2 0x

x

x0

2 2

0

2= =

" "+

( )( )

lim limxx

xx x

1 11

0x x 2-

=-

- -=

" "3 3+ +

In quale di questi limiti è possibile applicare la regola di De L’Hospital e perché?

a. lim sinsin

x xx x

32

x -

+

" 3+; b. lim lnx x

x 0" +

; c. lim tan xe

21tan

x

x

2+

-

"

r +.

a. limarctan

xx

x" 3+; b. lim

tan

x

x

2

1

x2

2

r-

-

"

r +; c. lim x x x

1 1x 0 2-

+"

b l.

rifletti sulla teoria Considera la funzione f x^ h, derivabile in R. Dimostra, applicando il teorema di De L’Hospital, che, se y x3 2= - è un asintoto obliquo per f x^ h, allora è vero che lim xf 3

x=

" 3+l̂ h .


limx x x

x x2 14 3

7 6x 3 3 2

3

+ - -

- -

" 54: D

limx x

x x x2 3x 1 7

6 4

-

+ -

" 611: D

limx xx x

1 92

4x 0 3

- +

-

+ -

" 61: D

limlog x

x1

2x 2 2 -

-

" log e22

-; Elim

lne xx x

x x+

+

" 3+[0]

limsin

arcsinxx

x 0 2

2

"

[1]

limarctan

xx

42

x 0" 218 B

limlnxe

2x

x

0

2

"+

3-6 @lim x

x e4x

x2

-

+

" 3+[-3]

lim lnx x2x 0

3$

"+

[0]

limlnx xx

x

3

+" 3+[+3]

lim sin xe2

1x

x

0

3-

" 23-: D

lim cosxe

11tan

x

x

0

2

-

-

"

[-2]

limsin

xx x2 4

x 02-

"+

[-3]

limlncossin x

x2x 0

2

"

[0]

( )( )

limlnln

xx x

1x 12

2

-

-

"+

[1]

( )lim

ln x ex

24

x x+" 3+

[4]

limsinx x

xx 0

2

+"+

[0]

limsin

x xx x

2x 0 2+

+

"

[1]

lim x x21

41

x 22-

--"

+

b l [+3]

limlnxx2

x 2" 3+

[0]

lim x x x1 2

x 03-+"

+

b l [-3]

lim x ex

x2 2 1

" 3+

- + [0]

( )lim x e2x

x-

" 3-[0]

( )lim x e4x

x-

" 3+[- 3]

( )lim xx

x

0

2

"+

[1]

limlnxx

2x

2

" 3+[0]

limsinxx

72 3

x 0" 76: D

( 3) ( )lim lnx e ex

x

3

3$- -

"+

[0]

( )lim lntan sinx xx

2

$

"

r -[0]

limcos

sinxx

1x

2-

"

r +[+3]

( )lim x 1 ln

x

x

1-

"+

[1]

limlnx x

11

1x 1

2--"

+

b l [+3]

( )( )

limln cos

lnx x e

x e1x e - -

+ -

"

[e]

( )lim cosx1 tan

x

x

2

+

"

r

[e]

limsin

cosx

e x x1x

x

0 2$- -

" 218 B

caccia all’errore

334••

335••

336••

337••

338••

339••

340••

341••

342••

343••

344••

345••

346••

347••

348••

349••

350••

351••

352••

353••

354••

355••

356••

357••

358••

359••

360••

361••

362••

363••

364••

365••

366••

367••

368••

369••

370••

371••

372••

373••

374••

375••

376••

1695

ESERCIZ

I

E

lim cosx

x1x 0 12

6-

" 218 B

limcot x

x41

x 21

2

r

-

"^ h 1

r: D

limlnln e x

x1 42 x

x 0 2+ - -

"

^ h418 B

limarccos x x

x2

x

2 2

0 6

r--

"

^ h61: D

lim x 1x

x

1

11

-"

-

+

e$ [+3]

lim ln x x5

13

x 1--

"+

b l [+3]

lim lnx xx 0

2$

"+

[0]

lim xe e

1x

x

1 -

-

"

[e]

lim sinsin

xx

35

x 0" 35: D

lim sine x1

x

x$

" 3+[+3]

lim cossinx x

e xx

x

0

3-

" 21: D

lim tan x x2

21

x 0-

"+

a k [+3]

lim lnx x1

x 0+

"+

a k [+3]

( )lim lnx x21

11

x 2 --

-"+

c m 21-: D

( )lim ln cosln

xx

1x 0 -"+ 2

1: D

lim sin x x5 3cotx 0

$" 3

5: D

lim ln xx x0

1"+

e

[0]

( )lim ln lnx x2 1x 0

$+"+

[0]

lim sinx x3 1

x 0-

"+

a k [+3]

( )lim ln tanx xx 0

$"+

[0]

lim lnsinx xx 0" +

[0]

lim sin x x1 1

x 02-

"+

b l [-3]

lim lnx xx 0

2

"+

[0]

lim tanx x

x xx 0 2

-

+

"

2-6 @( )lim lnx x

1 1x 0

+"+

a k [1]

( )lim x 2 ( )

x

x

2

2-

"

-

+

[1]

lim lnx xx 1

x

+

" 3+[1]

( )lim lnx x1

11

x 0-

+"+

; E 21-: D

lim xx

x

1

11

"

- [e]

limcos

lncossin x x

x3 3

6x 3

+ -"

r[0]

( ) ( )lim

cos cosx x x x

x x2 3 8 4

1 1x 1 4 3 2

2

- - + -

- - -

" 61: D

( )lim e x1 3cotx

x

02-

" 32: D

lim lnx

x51 2

x 0+

"+

b l 3+6 @

EUREkA! Se lim sinx x xx b x

5 6 32 2 6

x 0 4 2

2

+ +

-=

"

, quanto vale b?

mAtEmAtICA E StORIA

Un marchese con l’hobby della matematica Riportiamo la sintesi di un problema presentato dal marchese Guillaume

François-Antoine De L’Hospital (1661-1704) nel suo Analyse des infiniments petits, sezione IX:

«Stabilire quale sia il valore dell’ordinata y, in corrispondenza del valore a, quando essa sia espressa da una frazione in cui nu-

meratore e denominatore diventano ciascuno zero se x a= ».

a. Confronta la precedente sintesi del problema di De l’Hospital con l’enunciato dell’omonimo teorema che trovi in questo

libro: quali analogie rilevi?

b. Esamina ora il seguente esempio, proposto nel paragrafo 165 di Analyse, e verifica l’affermazione in esso contenuta, attra-

verso l’applicazione del teorema:

«Sia ya ax

aa ax=-

-. Si trova y a2= quando x a= ».

Risoluzione – Esercizio in più

Allenati con 15 esercizi interattivi con feedback “hai sbagliato, perché…”

su.zanichelli.it/tutor3 risorsa riservata a chi ha acquistato l’edizione con tutor

377••

378••

379••

380••

381••

382••

383••

384••

385••

386••

387••

388••

389••

390••

391••

392••

393••

394••

395••

396••

397••

398••

399••

400••

401••

402••

403••

404••

405••

406••

407••

408••

409••

410••

Riepilogo: Teorema di De L’Hospital

Documents

fc h fc ORIA 1