Upload
dinhhanh
View
233
Download
1
Embed Size (px)
Citation preview
1
MUKAVEMET
FORMÜLLER, TABLOLAR VE
ŞEKĐLLER.
2008/09
2D Statik Denge Denklemleri:
∑ ∑ ∑ ==+↑=+→ 0M 0F 0F yx
Eksenel Gerilme
A
P=σ
σ – Normal gerilme P – Kuvvet A – Kesit Alanı
Ortalama Kayma Gerilmesi
A
Vort
=.τ , τ – Kayma Gerilmesi
V – kesme kuvveti A - kesit alanı
Emniyetli Gerilme (Allowable Stress) – Emniyet Katsayısı (s) σs ; Sınır gerilme, malzemenin hasarlanmadan taşıyabileceği en büyük gerilme ( standart deneylerle saptanır) σ ; dış yüklerin etkisinde elemanda oluşan gerilme (hesaplanan)
(veya müsaade edilen tasarım gerilmesi =emniyetli gerilme)
Genleme (strain)
0L
δε =
ε – genleme (birim şekil değiştirme) δ – uzunluktaki değişim
L0 – ilk (original) uzunluk
Kayma genlemesi (shear strain)
θπ
γ −=2
γ – kayma genlemesi
L/δ -küçük açılar için
Hooke Kanunu
εσ E= , σ – Normal gerilme
E – Elastisite modülü
ε - genleme Rezilyans Modülü
Eu r /2
1
2
1 2plplpl σεσ ==
Tokluk (Modulus of Toughness), ut gerilme-genleme eğrisi altında kalan toplam alan.
Poisson oranı
boyuna
enine
εε
ν −=
Kayma gerilmesi ile Hooke Kanunu
τ = Gγ , τ – kayma gerilmesi G - rijidlik modülü γ - kayma genlemesi
sabitler arasındaki ilişki ;
( )ν+=
12
EG
Eksenel Yükleme-Deformasyon
( )( )
∫=L
dx
ExA
xP
0δ
Uzunluktaki değişim (A=sabit ve E=sabit ise)
AE
PL=δ
Değişik kısımlardan oluşan eksenel yükler etkisinde uzunluktaki değişim
∑=
="
iii
ii
EA
LP
1
δ
δ uzunluktaki değişim P belirli bir kısımdaki yük L belirli bir kısmın uzunluğu A belirli bir kısmın kesit alanı E belirli bir kısmın elastisite modülü N belirli kısım sayısı
Isıl genleme ve şekil değiştirmeler
δ = α.∆T. L δ uzunluktaki değişim α ısıl genleşme katsayısı ∆T sıcaklıktaki değişim L belirli bir kısmın uzunluğu Sıcaklık nedeniyle iki şekilde genleme oluşabilir ; 1. Gerilme olmaksızın genleme 2. Gerilmeli genleme
Statikçe belirsiz eksenel yükler 1. Durum 1 :
21 δδ =
2. Durum 2: geometric şartlar
21
2
1
1
LLL +=
δδ
3. Durum 3: δAt + δBt − δboşluk = δA + δB
Eksenel elemanların integrasyonu
( ) ( ) 0=+ xq
dx
xdF [ 1 ]
( ) ( )
∆−= xTdx
duAExF α [ 2 ] (here,
dx
du=ε )
.em
s
sσ
σσ =≤
3
Burulma (Torsion) Kayma Gerilmesi (Shear Stress)
J
Tr=τ
τ kayma gerilmesi r dış yarıçap T Burulma momenti (TORK, torque (F-L)) J polar atalet momenti
[ ] milboşiçi rrJ
mildoluici rJ
io
44
4
2
2
−=
=
π
π
GÜÇ N = Tω = Τ 2 π f, N güç (kuvvet-uzunluk/zaman) T Tork (Burulma Momenti) ω açısal hız rad/s f frekans Hz.
Burulma Açısı
( )( )
∫=L
dx
GxJ
xT
0θ
Sabit kesit için
JG
TL=θ
Değişik kesitlerden oluşan elemanlar için
∑=
="
iii
ii
GJ
LT
1
θ
θ burulma açısı (radians) T belirli bir kısımdaki tork L belirli bir kısımdaki J belirli bir kısmın polar atalet momenti G belirli bir kısmın rijitlik modülü N belirli bölüm sayısı
Statikçe belirsiz Tork Uygunluk şartları 1. Case 1 : θ1 + θ2 = 0 & Τ1 + Τ = Τ2 2. Case 2: θ1 = θ2 & Τ1 + Τ2 =Τ
Kesme kuvveti (KK) ve Eğilme Momenti (EM) Diy. 1. mesnet tepki kuvvetlerini bulun 2. Find V(x) 3. Find M(x) , which is the area under the shear diagram
( ) ( )∫ ∫=∆−=∆ dxxVM & dxxwV
4. Slope on the moment diagram is the value of the shear diagram.
( ) ( )xVdx
dMxw
dx
dV=−= &
Değişik yükler için SĐNGÜLARĐTE FONKSĐYONLARI.
Kuvvet Function F(x) Moment < x – a >
-2 -M < x – a>
-2
Tekil kuvvet < x – a >-1
-F < x – a>-1
Yayılı yük < x – a >0
-w < x – a>0
Üçgen yayılı
yük < x – a >
1 -(w/L) < x – a>
1
Kuvvet V(x) M(x) Moment -M < x – a >
-1 -M < x – a>
0
Tekil kuvvet - F < x – a >0
-F < x – a>1
Yayılı yük -w < x – a >
1 -(w/2) < x – a>
2
Üçgen yayılı yük
-(w/2L)< x – a >2
-(w/6L) < x – a>3
Atalet Momenti Atalet momenti ve ağırlık merkezi bulmak için tablo
niAi yi niAiyi niIi di di2niAi
Ai Kesit alanı yi Belirli bir bölgenin ağırlık merkezi Ii atalet momenti
Prizmatik kesitler için , 3
12
1bhI =
Içi dolu dairesel kesit, 4
4rI
π=
Içi boş dairesel kesit, [ ]44
4io rrI −=
π
di ağırlık merkezinden olan uzaklık ( )yyi −
ni Elastisite modulleri oranı
j
i
EE
Ağırlık Merkezi—(T.E. nin yeri )
∑
∑
=
=="
i
ii
"
i
iii
An
yAn
y
1
1
Atalet Momenti ;
∑∑==
+="
i
iii
"
i
ii dAnInI1
2
1
"mdakdn
kW"T .....
.)/(
)(9550 =≅
4
Elastik Eğilme gerilmesi (Flexural Stress)
n
I
My−=σ
σ eğilme gerilmesi M eğilme momenti I atalet momenti y T.E. den uzaklık n elastisite modulleri oranı
Kesit modülü – Section Modulus
maxy
IS zz
zz =
Izz z eksenine gore atalet momenti ymax T.E. den uzaklık
Kayma (kesme) gerilmesi
Ib
VQ=τ
V KK diy. dan alınan kesme kuvveti I moment of inertia b kesilen kesit kalınlığı Q birinci moment
( )∑∑==
−=="
i
ii
"
i
iiyyAdAQ
11
[ ]33
3
2io rrQ −= -- hollow cylinder at neutral axis
Kayma akısı
I
VQq =
q kayma akısı (kuvvet/uzunluk ) V kesme kuvveti Q birinci moment (can include n*A) I moment of inertia
Bağlantı elemanları arası mesafe
q
Fns
.=
s Bağlantı elemanları arası mesafe n bağlantı elemanı sayısı F bir elemana gelen kuvvet q kayma akısı
Basınçlı kaplar
1. küresel kaplar t
ekt 2
Pr. == σσ
2. silindirik kaplar tt
tek
Pr&
2
Pr. == σσ
σek. eksenel (boyuna ) gerilme
σt teğetsel gerilme P iç basınç r iç yarıçap t cıdar kalınlığı
Bileşik yükleme
1. Eksenel Yükleme
A
P=σ
2. Burulma
J
Tr=τ
3. Eğilme Gerilmesi
I
My−=σ
4. Kesme gerilmesi,
Ib
VQ=τ
5. Đç Basınç tt
tek
Pr&
2
Pr. == σσ
Süperpozisyon prensibi 1. Her bir yük için ayrı ayrı gerilme hesaplayın 2. Sonra bulduğunuz gerilmeleri toplayın
Düzlem gerilme (2D) Dönüşüm Đfadeleri
Đşaret Kuralı
Açı θ (+) SYT ( - ) SY
Kayma gerilmesi τxy (+) SYT (Düşey Dz. de) ( - ) SY (Dşy Dz. de)
Normal gerilme σ (+) Çekme ( - ) Basma
5
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )θτθσσ
τ
θτθσσσσ
σ
θτθσσσσ
σ
2cos2sin2
2sin2cos22
2sin2cos22
xy
yx
xy
xy
yxyx
y
xy
yxyx
x
+
−−=′
−
−−
+=′
+
−+
+=′
Asal Gerilmeler
2
2
21
22, xy
yxyx
pp τσσσσ
σσ +
−±
+=
or 03 Pp −=σ
Asal Düzlem ve EBK düzlemi Açıları
( ) ( )
−−=
−=
xy
yx
s
yx
xy
p
τ
σσθ
σσ
τθ
22tan,
22tan
σx Düsey dz. de x yönünde etki eden normal gerilme
σy Yatay dz. de y yönünde etki eden normal
τxy Düşey dz. de etki eden kayma gerilmesi
σx’, σy’, τxy’ ; Dönüştürülmüş gerilmeler (Note τxy’ is acting on the Düşey Dz.)
θp Asal gerilme dz. lerini elde etmek için döndürülmesi gereken açı
θs max. Kayma gerilmesi. dz. lerini elde etmek için döndürülmesi gereken açı
σp1,p2 Asal gerilmeler
Mohr Dairesi
Grafik Yöntem.
yarıçap , 2
2
2xy
yxR τ
σσ+
−=
2)( .
yx
orterkezm
σσσ
+=
σp1 = merkez (σort) + R
σp2 = merkez (σort)- R
σn = merkez (σort) + Rcos(θ’)
τn = Rsin(θ’)
τmax.(2D) = R
En Büyük Kayma (EBK) Gerilmesi
2,
2 .
minmax
3max
yx
ort
pp
D
σσσ
σστ
+=
−=−
where, σ3 or σz =0 dır basınçlı kabın iç yüzeyi hariç, iç yüzeyde
σ3= - p = iç basınç. Mohr Dairesinin Çizimi
1. Dairenin merkezinin koordinatlarını (σort. ; 0) bulun 2. Dairenin yarıçapını bulun (R= ……..) 3. Daireyi çizin. 4. Dairenin yarıçapı en büyük kayma gerilmesi, dairenin
yatay ekseni kestiği noktalar asal gerilmelerdir. Genel Hooke Yasası bu ifadelerde ; Birim Hacımdaki değişim
( )[ ]νσσσ
εεε 210
−++
=++=∆
=EV
Ve
zyx
zyx
Düzlem Gerilme (2D) Hali
Gerilmeler yardımıyla genlemelerin bulunması
( ) [ ]
( ) [ ]( )
xyxy
xy
xy
z
yx
x
xyyxyy
yxxyxx
GG
E
E
E
E
E
γττ
γ
σσσν
ε
νεεν
σνσσε
νεεν
σνσσε
=⇒=
=⇒+
−=
+−
=⇒−=
+−
=⇒−=
0
1
11
1
2
2
EEE
EEE
EEE
zyx
z
zyx
y
zyx
x
σνσνσε
νσσνσε
νσνσσε
+−−=
−+−=
−−+=
zxzxyzyzxyxyGGG γτγτγτ === ,,
( )ν+=
12
EG
6
Elastik Eğri ve Eğim -Sehim Hesapları Sehimi bulmak için integre edilecek moment ifadesi
( ) ( )xMxydx
dEI
eğğrilikIE
M
=
==
2
2
(1
ρκ
elastik eğri denklemi
y(x) x’ deki yer değiştirme M (x) x’ deki moment E Modulus of elasticity I Moment of inertia Sınır şartları kullanılarak problem çözülür Using the slope or deflection.
v(x) Displacement at location x
w (x) Force at location x
V (x) Shear at location x
M (x) Moment at location x
E Modulus of elasticity
I Moment of inertia
Kirişin sehimini hesaplamak için süperpozisyon Kirişin herhangi bir noktasındaki eğimi ve sehimi hesaplamak için tablolar kullanılır. Statikçe belirsiz kirişler Đki yöntem var; 1. Moment ifadesinin integrasyomu
(a) yayılı yük fonksiyonundan başlanabilir (b) Đntegrasyon sabitlerini bulmak için sınır değer şartları
uyugulanır.
2. Superposition Yöntemi; (a) Problem static olarak belirli parçalara bölünür.
(b) Ve sınır değer çözümlerinden faydalanarak asıl problem çözülür.
Kirişlerin Burkulması
2
2
2
2
2
2
=⇒
==
r
L
E
r
L
EA
L
EIP
e
kr
ee
kr
πσ
ππ
Pkr kritik burkulma yükü
Le Efektif uzunluk
σkr kritik burkulma gerilmesi A kesit alanı E Modulus of elasticity I Atalet Momenti (Moment of inertia) r atalet yarıçapı (radius of gyration)
A
Ir =
L/r narinlik oranı Efektif uzunluklar Efektif uzunluk kolonun sınır şartlarına bağlıdır.
Fixed – Fixed translation Le=1.0L
Bir ucu sabit, bir ucu serbest
Her iki ucu pimli
Bir ucu sabit, bir ucu pimli
Her iki ucu sabit
)()(
)()(.
)(.
)(
4
4
3
3
2
2
sabitEIyEIdx
ydEIqYük
sabitEIyEIdx
ydEIVKuvvetiK
yEIdx
ydEIMMomentiE
dx
dyeğğim
ysehimçokme
′′′′==−
′′′==
′′==
=
=
7
Standart Katsayılar Bazı malzemelerin fiziksel özellikleri:
TEORĐK GERĐLME YIĞILMA FAKTÖRÜ (Kt) TABLOLARI ;
SABĐT KALINLIKLI ÇEKMEYE ÇALIŞAN DELĐKLĐ LEVHA SABĐT KALINLIKLI EĞĐLMEYE ÇALIŞAN DELĐKLĐ LEVHA
8
SABĐT KALINLIKLI ÇEKMEYE ÇALIŞAN ÇENTĐKLĐ LEVHA SABĐT KALINLIKLI EĞĐLMEYE ÇALIŞAN ÇENTĐKLĐ LEVHA
SABĐT KALINLIKLI ÇEKMEYE ÇALIŞAN FATURALI LEVHA SABĐT KALINLIKLI EĞĐLMEYE ÇALIŞAN FATURALI LEVHA
DAĐRESEL KESĐTLĐ ÇEKMEYE ÇALIŞAN FATURALI MĐL DAĐRESEL KESĐTLĐ BURULMAYA ÇALIŞAN FATURALI MĐL
9
DAĐRESEL KESĐTLĐ EĞĐLMEYE ÇALIŞAN MĐL PĐMLĐ BAĞLANTI PĐM DELĐK ETKĐSĐ
DAĐRESEL KESĐTLĐ ÇEKMEYE ÇALIŞAN MĐL DAĐRESEL KESĐTLĐ EĞĐLMEYE ÇALIŞAN MĐL
10
Kesme Kuvveti ve Eğilme Moment Diyagramlarının Grafik Yöntem ile çizimi için birkaç kural :
MU
KA
VE
ME
T
MU
KA
VE
ME
T
MU
KA
VE
ME
T -- -
II I :: :
M UKAVEM ET M UKAVEM ET M UKAVEM ET ---III ::: 08/09 8. Hafta 08/09 8. Hafta 08/09 8. Hafta
© 2008 NM111
wdx
dV−=
Vdx
dM=
∫=−=
D
C
x
x
CD dxVMMM∆
∫−=−=
D
C
x
x
CD dxwVVV∆
M
UK
AV
EM
ET
M
UK
AV
EM
ET
M
UK
AV
EM
ET
-- -II I :: :
MUKAVEM ET M UKAVEM ET M UKAVEM ET --- III ::: 08/09 8. Hafta 08/09 8. Hafta 08/09 8. Hafta
© 2008 NM272727
V – F – (V + ∆V) = 0∆V = – F
M + ∆M – M0 – V ∆x – M = 0∆M = M0
F aşağı doğru etki ettiğinde ∆V negatiftir, bu nedenle KK diy. aşağı doğru şıçrar, F yukarı doğru ise KK diy. da yukarı sıçrar.
M0, SY (saat yönünde) ise ∆M pozitiftir ve EM diy. yukarı doğru şıçrar, M0
SYT (saat yönünün tersi) ise EM diy. da aşağı doğru sıçrar.
1- Kirişin herhangi bir kesidindeki kesme kuvveti diy. eğimi o kesitteki yayılı yükün şiddetine eşittir (-w=dV/dx). Kesme kuvveti diy. değişim; tekil yükler nedeniyle sabit, düzgün yayılı yük nedeniyle lineer olur (eğimi yayılı yükün büyüklüğü ve işaretine bağlıdır)… 2- Kirişin herhangi bir kesidindeki eğilme momentinin x’ e göre değişimi o kesitteki kesme kuvvetinin değerine eşittir. (V=dM/dx).Moment diy. değişim; tekil yükler nedeniyle lineer, düzgün yayılı yük nedeniyle 2. dereceden eğri şeklinde (parabolic) olur. 3- Kesme kuvveti eğrisi kiriş üzerinde herhangi bir noktada tekil yük olmadığı müddetçe süreklidir. Eğer tekil yük varsa tekil yükün büyüklüğü kadar sıçrama olur. (+ yük yukarı doğru) 4- Eğilme momenti eğrisi kiriş üzerinde herhangi bir noktada tekil moment olmadığı müddetçe süreklidir. Eğer tekil moment varsa tekil momentin büyüklüğü kadar sıçrama olur. (+ (SDYT) moment negatif yönde ) 5- Kirişin uç noktalarında tekil yük yoksa bu noktalarda kesme kuvveti sıfırdır. 6- Kirişin uç noktalarında tekil moment yoksa bu noktalarda eğilme momenti sıfırdır.
- Eğer kesme kuvveti pozitif ise moment diy. eğimi de pozitif, eğer kesme kuvveti negatif ise moment diy. eğimi de negatif eğime sahiptir.. - Kesme kuvveti diyagramının sıfır olduğu yerde moment diy. eğimi değişir. (yani negatif veya pozitif en büyük moment değerleri vardır)
11
12
13
S Tipi I-Kirişler (SI Units)
(DAR BA�LIKLI I KİRİ�LER)
kalınlık x-x axis y-y axis
Tip No Birim Ağ.
kg/m Alan
mm2 Yük.
mm Genişlik
mm Web mm
Flanş mm
Ix 106 mm4
Sx 103 mm3
rx mm
Iy 106 mm4
Sy 103 mm3
ry mm
S610 x 180 180.0 22,900 622 204 20.3 27.7 1,310 4,220 239 34.7 218 38.9
x 158 157.8 20,100 622 200 15.7 27.7 1,220 3,940 246 32.4 324 40.1
x 149 148.7 18,900 610 184 18.9 22.1 996 3,270 230 20.1 218 32.6
x 134 134.4 17,100 610 181 15.9 22.1 939 3,080 234 18.9 209 33.2
x 119 119.1 15,200 610 178 12.7 22.1 879 2,880 240 17.9 201 34.3
S510 x 143 143.3 18,300 516 183 20.3 23.4 702 2,720 196 21.1 231 34.0
x 128 128.9 16,400 516 179 16.8 23.4 660 2,560 201 19.6 219 34.6
x 112 111.4 14,200 508 162 16.1 20.2 532 2,090 194 12.5 155 29.7
x 98.2 98.4 12,500 508 159 12.8 20.2 497 1,960 199 11.7 148 30.6
S460 x 104 104.7 13,300 457 159 18.1 17.6 387 1,690 171 10.3 129 27.8
x 81.4 81.6 10,400 457 152 11.7 17.6 335 1,470 179 8.77 115 29.0
S380 x 74 74.6 9,500 381 143 14.0 15.8 203 1,060 146 6.60 92.3 26.4
x 64 63.9 8,150 381 140 10.4 15.8 187 980 151 6.11 87.3 27.4
S310 x 74 74.4 9,470 305 139 17.4 16.7 127 833 116 6.60 94.9 26.4
x 60.7 60.6 7,730 305 133 11.7 16.7 113 744 121 5.67 85.3 27.1
x 52 52.2 6,650 305 129 10.9 13.8 95.8 629 120 4.16 64.5 25.0
x 47 47.4 6,040 305 127 8.9 13.8 91.1 597 123 3.94 62.1 25.5
S250 x 52 52.3 6,660 254 126 15.1 12.5 61.6 485 96.2 3.56 56.5 23.1
x 38 37.8 4,820 254 118 7.9 12.5 51.4 405 103 2.84 48.2 24.3
S200 x 34 34.3 4,370 203 106 11.2 10.8 27.0 266 78.6 1.81 34.2 20.4
x 27 27.5 3,500 203 102 6.9 10.8 24.0 237 82.8 1.59 31.1 21.3
S180 x 30 29.9 3,800 178 98 11.4 10.0 17.8 200 68.4 1.34 27.3 18.8
x 22.8 22.9 2,910 178 93 6.4 10.0 15.4 173 72.7 1.12 24.0 19.6
S150 x 26 25.7 3,270 152 91 11.8 9.1 10.9 144 57.7 0.981 21.6 17.3
x 19 18.6 2,370 152 85 5.9 9.1 9.19 121 62.3 0.776 18.2 18.1
S130 x 22 21.9 2,790 127 83 12.5 8.3 6.33 99.6 47.6 0.690 16.6 15.7
x 15 14.8 1,890 127 76 5.4 8.3 5.12 80.6 52.0 0.508 13.4 16.4
S100 x 14.1 14.2 1,800 102 71 8.3 7.4 2.85 55.8 39.8 0.376 10.6 14.5
x 11 11.4 1,450 102 68 4.8 7.4 2.55 50.1 41.9 0.324 9.52 14.9
S75 x 11 11.2 1,430 76 64 8.9 6.6 1.22 32.0 29.2 0.249 7.77 13.2
x 8 8.4 1,070 76 59 4.3 6.6 1.04 27.4 31.2 0.190 6.43 13.3
14
C tipi Kirişler
15
Çok kullanılan bazı kesitlerin geometrik özellikleri
16
A>KASTRE (KO>SOL) KĐRĐŞLER CABTILEVER BEAMS
KĐRĐŞ Beam EĞĐM Slope SEHĐM Deflection ELASTĐK EĞRĐ Elastic Curve
17
BASIT DESTEKLI KIRIŞLER SIMPLY SUPPORTED BEAMS
KĐRĐŞ Beam EĞĐM Slope SEHĐM Deflection ELASTĐK EĞRĐ Elastic Curve
18
TTEEMMEELL YYÜÜKKLLEEMMEE HHAALLLLEERRİİ VVEE BBUUNNLLAARRAA KKAARRŞŞIILLIIKK KKEESSMMEE KKUUVVVVEETTİİ,, EEĞĞİİLLMMEE MMOOMMEENNTTİİNNİİNN SSİİNNGGÜÜLLAARRİİTTEE FFOONNKKSSİİYYOONNLLAARRII CCİİNNSSİİNNDDEENN İİFFAADDEESSİİ ;;
nm-09