Fasciculo Secundaria Matematica VII

5/21/2018 Fasciculo Secundaria Matematica VII

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1TODOS PODEMOS APRENDER, NADIE SE QUEDA ATRS

Tercero, cuarto y quinto grados de Educacin Secundaria

HOY EL PER TIENE UN COMPROMISO: MEJORAR LOS APRENDIZAJES

TODOS PODEMOS APRENDER, NADIE SE QUEDA ATRS

MOVILIZACIN NACIONAL POR LA MEJORA DE LOS APRENDIZAJES

Nmero y operaciones

Cambio y relaciones

VII CICLO

Fascculo

1

Qu y cmo aprendennuestros adolescentes?


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2 MOVILIZACIN NACIONAL POR LA MEJORA DE LOS APRENDIZAJES

MINISTERIO DE EDUCACINAv. De la Arqueologa, cuadra 2 - San Borja

Lima, PerTelfono 615-5800www.minedu.gob.pe

Versin 1.0Tiraje: 51 800 ejemplares

Emma Patricia Salas OBrienMinistra de Educacin

Jos Martn Vegas TorresViceministro de Gestin Pedaggica

Equipo coordinador de las Rutas del Aprendizaje:Ana Patricia Andrade Pacora, Directora General de Educacin Bsica RegularNeky Vanetty Molinero Nano, Directora de Educacin InicialFlor Aidee Pablo Medina, Directora de Educacin PrimariaDaro Abelardo Ugarte Pareja, Director de Educacin Secundaria

Asesor general de las Rutas del Aprendizaje:Luis Alfredo Guerrero Ortiz

Equipo pedaggico:Rger Saavedra SalasPedro David Collanqui Daz

Daniel Jos Arroyo GuzmnHolger Saavedra Salas, asesorAntonieta de Ferro, asesora

Agradecimientos:Agradecemos la colaboracin del equipo de especialistas de IPEBA y UMC por su participacin en larevisin del documento.

Correccin de estilo:Jorge Coaguila QuispeDiseo grfico y diagramacin: Hayd Pumacayo CondoriIlustraciones: Hayd Pumacayo CondoriEquipo editor:Juan Enrique Corvera Ormeo, Carmen Rosa Len Ezcurra, Luis Fernando Ortiz Zevallos

Impreso por:Corporacin Grfica Navarrete S.A.Carretera Central 759 Km 2 Santa Anita Lima 43RUC 20347258611

Distribuido gratuitamente por el Ministerio de Educacin. Prohibida su venta.Hecho el Depsito Legal en la Biblioteca Nacional del Per: N. 2013-01775

Impreso en el Per /Printed in Peru


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Estimada (o) docente:

Queremos saludarte y reiterar el aprecio que tenemos por tu labor. Es por elloque en el Ministerio de Educacin estamos haciendo esfuerzos para comenzara mejorar tus condiciones laborales y de ejercicio profesional. Esta publicacines una muestra de ello.

Te presentamos las Rutas del Aprendizaje, un material que proporcionaorientaciones para apoyar tu trabajo pedaggico en el aula. Esperamos quesean tiles para que puedas seguir desarrollando tu creatividad pedaggica.Somos conscientes que t eres uno de los principales actores para que todoslos estudiantes puedan aprender y que nuestra responsabilidad es respaldarteen esa importante misin.

Esta es una primera versin, a travs del estudio y uso que hagas de ellas,as como de tus aportes y sugerencias, podremos mejorarlas para contribuircada vez mejor en tu trabajo pedaggico. Te animamos entonces a caminarpor las rutas del aprendizaje. Nosotros ponemos a tu disposicin el portalde Per Educa para que nos enves tus comentarios, aportes y creaciones;nos comprometemos a reconocer tus aportes, realizar seguimiento ysistematizarlos. A partir de ello, mejorar el apoyo del Ministerio de Educacina la labor de los maestros y maestras del Per.

Sabemos de tu compromiso para hacer posible que cambiemos la educaciny cambiemos todos en el pas. T eres parte del equipo de la transformacin,

junto al director y con los padres y madres de familia, eres parte de la granMovilizacin Nacional por la Mejora de los Aprendizajes.

Te invitamos, a ser protagonista en este movimiento ciudadano y a compartirel compromiso de lograr que todos los nios, nias y adolescentes puedanaprender y nadie se quede atrs.

Patricia Salas OBrien

Ministra de Educacin


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5TODOS PODEMOS APRENDER, NADIE SE QUEDA ATRS 5

Introduccin 7

I. Qu entendemos por ensear y aprender en Matemtica? 9II. Qu aprenden nuestros adolescentes? 15III. Cmo podemos facilitar estos aprendizajes? 21 3.1 Desarrollando escenarios de aprendizaje 21

3.2 Articulando la progresin del conocimiento matemticoen el VII ciclo de la EBR 22

3.3 Planificando nuestras unidades y sesiones considerandolos indicadores propuestos 25

3.4 Reconociendo escenarios, herramientas y condiciones

didcticas para desarrollar las capacidades matemticas 27 3.5 Promoviendo tareas matemticas articuladas 33 3.6 Resolviendo problemas 34 3.7 Fases de la resolucin de problemas 35 3.8 Promoviendo el trabajo cooperativo 36

IV. Cmo desarrollamos escenarios de aprendizaje respecto al nmero real? 37 4.1 Algunas situaciones de aprendizaje 38 4.2 Algunas actividades para el desarrollo de las capacidades

vinculadas a nmeros reales 50

V. Cmo desarrollamos escenarios de aprendizaje respecto a las funciones cuadrticas? 61 5.1 Algunas situaciones de aprendizaje 62 5.2 Algunas actividades para el desarrollo de las capacidades

vinculadas a las funciones cuadrticas 77

VI. Cmo desarrollamos escenarios de aprendizaje respecto asucesiones con nmeros reales y programacin lineal? 89

6.1 Algunas situaciones de aprendizaje 90

Bibliografa 99

ndice


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7TODOS PODEMOS APRENDER, NADIE SE QUEDA ATRS 7

Introduccin

El Proyecto Educativo Nacional establece, en su segundo objetivo estratgico, la necesidad detransformar las instituciones de Educacin Bsica de manera tal que asegure una educacinpertinente y de calidad, en la que todos los nios, nias y adolescentes puedan realizarsus potencialidades como persona y aportar al desarrollo social. Es en este marco que elMinisterio de Educacin, como una de sus polticas priorizadas, busca asegurar que: Todos ytodas logran aprendizajes de calidad con nfasis en comunicacin, matemtica, ciudadana,ciencia, tecnologa y productividad.

En el mbito de la matemtica, nos enfrentamos al reto de desarrollar las competencias ycapacidades matemticas en su relacin con la vida cotidiana. Es decir, como un mediopara comprender, analizar, describir, interpretar, explicar, tomar decisiones y dar respuesta

a situaciones concretas, haciendo uso de conceptos, procedimientos y herramientasmatemticas.

Reconociendo este desafo se ha trabajado el presente fascculo, que llega hoy a tus manos,como parte de las rutas de aprendizaje, y busca ser una herramienta para que nuestrosestudiantes puedan aprender. En l se formulan seis capacidades matemticas que permitenhacer ms visible el desarrollo de la competencia matemtica y trabajarla de forma integral.Se adopta un enfoque centrado en la resolucin de problemas desde el cual, a partir deuna situacin problemtica, se desarrollan las seis capacidades matemticas, en formasimultnea, configurando el desarrollo de la competencia.

En este fascculo encontrars:

Algunas creencias que an tenemos los docentes en nuestras prcticas educativas y que,con espritu innovador, tenemos que corregir.

Los estndares de aprendizaje que los estudiantes deben lograr al trmino de los ciclosVI y VII de la Educacin Bsica Regular, en dos dominios: nmero y operaciones, cambio yrelaciones.


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Las competencias y capacidades cuyo desarrollo permitir alcanzar esos estndares de

aprendizaje, con mayor nfasis en el primer dominio.

Orientaciones respecto de cmo facilitar el desarrollo de las competencias y capacidadesmatemticas vinculadas a los dominios de nmero y operaciones, cambio y relaciones.

Esperamos que este fascculo contribuya en tu labor cotidiana. Por nuestra parte estaremosmuy atentos a tus aportes y sugerencias para ir mejorndolo en las prximas ediciones, demanera que sea lo ms pertinente y til para el logro de los aprendizajes a los que nuestrosestudiantes tienen derecho.


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Nuestras creencias, es decir, nuestra visin particular de las matemticas, influyen sobre loque hacemos en clase y sobre cmo aprenden nuestros estudiantes.

A continuacin, presentamos dos situaciones de enseanza que te permitirn reflexionar ymejorar tu prctica pedaggica.

Creencia: Las ecuaciones se aprenden resolviendo muchos ejercicios ysolo despus se emplean para resolver problemas.

Roberto y Luisa son profesores de Matemtica del mismo grado en una institucin educativa.Veamos cules son sus experiencias de enseanza de las ecuaciones cuadrticas:

I. Qu entendemos por ensear y aprender en Matemtica?

Yo parto de una situacin problemticaque se puede resolver con una ecuacincuadrtica. Durante la resolucin delproblema, los estudiantes obtienen unaecuacin cuadrtica y desconocen susolucin. Justo hoy tengo clases con laotra seccin; le invito a que observe misesin.

Tal como he aprendido cuandoestaba en el colegio: muestro la ormageneral de la ecuacin cuadrtica yresuelvo un ejercicio como ejemplo.Luego dejo cinco ejercicios pararesolver en clase en orma individualy al final les planteo un problema deaplicacin. Y usted cmo ensea?

Proesor Roberto, quierocomentarle algo.Tengo serias dificultades conlos estudiantes del tercer gradoD, pues no tienen intersen aprender ecuacionescuadrticas.

Podra ser por su ormade ensear? Cmo estdesarrollando la sesin?


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Los veopreocupados. Qudificultades tienen?

Salen dos soluciones,

proe. Una es positiva yotra negativa: 90 y -120.

La medida puede serun nmero negativo?

Entonces los 10 800 m2de csped donadopor el alcalde alcanzarn para cubrir elcampo deportivo con las dimensiones quehan calculado.

Proesor, tengo unapregunta: es la nica ormade resolver la ecuacincuadrtica?

Proesor, yo tengo otrapregunta: hay otrasaplicaciones de las ecuacionesde segundo grado?

Jvenes, hay otras formas de resolver las ecuacionesde segundo grado, como tambin existen muchasaplicaciones, pero el tiempo nos ha ganado. La prximaclase desarrollaremos otras aplicaciones y otras formasde resolver estas ecuaciones.

El alcalde del distrito de San Pablo dona10 800 m2de gras natural para cubrir elcampo de ftbol, cuyo largo mide 30 mms que el ancho.Cules debern ser lasdimensiones del campo deportivo para quepueda usarse todo el gras donado?

Bien, muchacho, justo esperaba

escuchar eso. Es cierto loque dices, pero todos sabenactorizar polinomios.

No, proe, entonces lasolucin de la ecuacines 90; es decir, el anchomedira 90 metros y ellargo 120 metros.

Ahora, qu valoreshan obtenido?

Jvenes, hoy resolveremos un problema aplicandolo que han aprendido de ecuaciones. Escribir elenunciado del problema en la pizarra. Mientrastanto, ormen grupos de tres, elijan con quinesdesean trabajar.



Proe, este problema no lopodremos resolver. Sale

una ecuacin cuadrticay usted ense soloecuaciones lineales.


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Cules son las creencias que tienen los docentes respecto a la enseanzade ecuaciones?El informe pedaggico de los resultados de la evaluacin nacional de estudiantes de EducacinSecundaria evidencia deficiencias en el desarrollo de aprendizajes en Matemtica. Losestudiantes tienen serias dificultades para hacer tareas tan elementales como la aplicacinde algoritmos algebraicos, como el clculo del conjunto solucin de ecuaciones (EN 2004-UMC). Solo el 2,9 % de los estudiantes evaluados est en capacidad de describir en trminosmatemticos una situacin de la vida real; por ejemplo, en situaciones como las descritasanteriormente, se observa que para lograr desarrollar esta capacidad es necesario promover

situaciones de aprendizaje como Roberto.Estos resultados se explican en parte porque los profesores resuelven ejercicios algortmicossin relacionarlos con el contexto de la vida diaria de sus estudiantes, tal como muestra laexperiencia de Luisa. Tales prcticas pedaggicas reducen el inters de los estudiantes y sonpocos los docentes que consiguen motivarlos mediante actividades ms significativas comolas planteadas por Roberto.

Por qu es importante contextualizar los contenidos matemticos a partirde la resolucin de problemas?La competencia no encierra en s misma los conocimientos, la capacidad o la actitud paraaprender; requiere de la movilizacin de estos contenidos y de su contextualizacin (Perrenoud,1999). Necesitamos, pues, promover el uso de los conocimientos, ms que memorizarlos oaplicarlos mecnicamente. Y esto se logra centrando la actividad de la clase en la resolucinde problemas contextualizados. Adems, los datos del contexto del problema que se quiereresolver demandan que se empleen operaciones mentales complejas.

El desarrollo de conceptos matemticos necesita partir de las situaciones relacionadas conla vida de los estudiantes, en los contextos donde se desenvuelven. En el relato anterior, elrecubrimiento del campo de ftbol con gras natural responde a los intereses de los estudiantes.

MATEMTICA ES MS QUE RESOLVER ECUACIONES

Lo elicito por su clase,proesor Roberto. Hastaahora pensaba que solo sepoda ensear a resolver

problemas de aplicacinde ecuaciones cuadrticasdespus de haber enseadotodos los algoritmos desu resolucin. Adems,usted me ha demostradoque pueden aprenderestos algoritmos en elcontexto de la resolucin deproblemas.

Gracias, proesora Luisa,ormular un problema deaplicacin de ecuaciones

cuadrticas lleva tiempo.Por ello, al igual que muchosdocentes, elegimos lo mssencillo y rpido: resolverejercicios mecnicamente sinque estos aporten a la solucinde un problema; pero as losestudiantes pierden inters porla matemtica.


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Creencia: Se usan materiales concretos para ensear matemticasolo en primaria o inicial; en secundaria no es necesario.

Me parece interesantetrabajar con hojas. Perocreo dicil conseguirlo.

Muchachos, hoy les tengo undesao. Doblando una hojade papel A4 podemos llegar ala Luna?

Los estudiantes al usar hojas A4para la tcnica del doblado de papelreconocen tambin la utilidad de lanotacin cientfica.

Saquen una hoja y procedan adoblar en partes iguales tantas vecescomo sea necesario hasta alcanzarla distancia a la Luna.

Muy bien, recuerden que tenemosque pensar en actividades o tareasque permitan a los estudiantesdesarrollar sus capacidades pararesolver problemas.

Yo voy a iniciarcon la tcnicadel doblado depapel.

Ese tema es cil,voy a rerescar a misestudiantes con lasiguiente operacin:

Proesora, cunto mideel grosor de una hoja depapel A4?

Creo que podemos averiguarlo apartir de la medida del grosor deun paquete de 100 hojas de papeltamao A4.

Claro, tendramosque dividirlo entre100. A ver, cuntosale?

Ensear primerorecordando la definicinde la potenciacin yluego las propiedades

4

...

2 2 2 2 2 16

na a a

n

=

= =

4 43( 2) 5(4 9) + =

En esta unidadensearemos la notacincientfica y empezarrecordando la potenciacincon exponente negativoen Q.


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Cul sera el grosor despus de14 dobleces? y despus de 19dobleces?

Si llamamos n al nmero de veces quedoblamos un papel, cmo podemosconocer el tamao que obtenemos aldoblar n veces un papel?

Mediante: Grosor = 2n10-4metros

El segundo doblezgenerara cuatro partes; elgrosor sera 410-4metros.

Tras 14 dobleces, el espesorsera 21410-4= 16 384 10-4= 1,6384 metros, algo ms demetro y medio.

Necesitamos ms de 43 dobleces,es decir, 24310-4, que esequivalente a 380 000 kilmetroso 380 000 000 metros.

Tras 19 dobleces, el grosoro la altura sera 21910-4= 524 288 10

-4= 52,4288metros, algo ms decincuenta y dos metros.

Proesora, sale 0,01 cm, quesera igual a 0,1 mm, y esto

sera 10-4metros. Ah, entonces el primerdoblez generara dospartes: el grosor sera210-4metros.

El tercer doblez generaraocho partes, el grosor sera810-4metros.

Entonces el cuarto doblezgenerara un grosor de1610-4metros.

Proesora, la distanciade la Tierra a la Luna esaproximadamente 384 400 km,equivalentes a384 400 000 metros.Entonces cuntos doblecespodemos hacer?


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Cules son las concepciones que tienen los docentes respecto a losmateriales concretos en esta historieta? La situacin muestra las creencias que tienen algunos docentes respecto a las palabras

material concreto y problema; se piensa que no pueden estar planteadas juntas en laactividad de aprendizaje. Cuando se alude al uso de materiales concretos en las sesionesde matemtica en secundaria, existe el prejuicio de considerarla una actividad infantily carente de seriedad para los estudiantes, hasta a veces se considera una prdida detiempo.

Si observamos a los estudiantes, reconocemos en ellos reacciones diferentes cuando seles propone un problema mediante el uso de material concreto. Para algunos estudianteshablar de un problema matemtico trae consigo una serie de creencias; por ejemplo, creenque los problemas tienen que resolverse nicamente mediante el uso del lpiz y papel. Porotro lado, hay docentes que no consideran el uso del material concreto en secundaria, yms bien creen que es pertinente solo para construir nociones bsicas en niveles anteriores.

El empleo de materiales educativos concretos diversos en matemtica no solo despierta lacuriosidad del estudiante, sino que tambin provee de significados conceptuales para elaprendizaje. Pero son solo un medio para conseguir algo y no un fin en s mismos, por loque debemos darles el justo valor y el tiempo apropiado. Por ello, sugerimos propiciar elaprendizaje de las matemticas mediante el uso de materiales concretos.

Por qu es importante usar material educativo concreto en el proceso deenseanza y aprendizaje de la matemtica en el nivel secundario?Siempre que se piense en desarrollar las capacidades matemticas para resolver problemas,el proceso ptimo de enseanza y aprendizaje debera incluir la manipulacin de distintosmateriales, ya que solo mediante una enseanza diversificada, rica en recursos y estrategiaspara abordar un mismo aprendizaje, conseguiremos que se construyan significados y atribuyansentido al aprendizaje escolar. Despus de este trabajo manipulativo con materiales concretosse puede pasar a utilizar, progresivamente, recursos ms elaborados de representacinmatemtica, por ejemplo: calculadoras grficas, hojas de clculo, instrumentos de medicine inclusive simuladores virtuales.

Entre las ventajas que aportan los materiales didcticos concretos en la formacin matemticade los estudiantes se pueden mencionar las siguientes:

Proporcionan informacin y guan el aprendizaje, es decir, aportan una base concreta para

el pensamiento conceptual y contribuyen a construir significados (Ogalde, C. y Bardavid, N.,2007).

Desarrollan la continuidad de pensamiento, hacen que el aprendizaje sea ms duradero ybrindan una experiencia real que estimula la creatividad de los estudiantes.

Despiertan el inters de los estudiantes, facilitan la evaluacin de los aprendizajes mediantela tcnica de observacin sistemtica y promueven la comunicacin entre los estudiantes.

MATEMTICA ES MS QUE REALIZAR CLCULOS NUMRICOS


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II. Qu aprenden nuestros adolescentes?

Interpreta el nmero irracional como un decimal infinito y sin periodo. Argumenta por qu losnmeros racionales pueden expresarse como el cociente de dos enteros. Interpreta y representacantidades y magnitudes mediante la notacin cientfica. Registra medidas en magnitudes demasa, tiempo y temperatura segn distintos niveles de exactitud requeridos, y distingue cuando

es apropiado realizar una medicin estimada o una exacta. Resuelve y formula situacionesproblemticas de diversos contextos referidas a determinar tasa de inters, relacionar hastatres magnitudes proporcionales, empleando diversas estrategias y explicando por qu lasus. Relaciona diferentes fuentes de informacin. Interpreta las relaciones entre las distintasoperaciones (Mapa de Progreso de Matemtica: Nmero y operaciones).

El fin de la educacin es lograr que los estudiantes desarrollen competencias, las cualesson definidas como un saber actuar en un contexto particular, en funcin de un objetivo ola solucin de un problema. Este saber actuar debe ser pertinente a las caractersticas de lasituacin y a la finalidad de nuestra accin. Para tal fin, se selecciona o se ponen en accin lasdiversas capacidades y recursos del entorno.

En este fascculo se trabajan dos competencias matemticas relacionadas con:

Resolucin de situaciones problemticas en nmero y operacionesResolucin de situaciones problemticas en cambio y relaciones

En nmero y operaciones se desarrolla la siguiente competencia:

Resuelve situaciones problemticas de contexto real y matemtico que implican laconstruccin del significado y el uso de los nmeros y sus operaciones, empleandodiversas estrategias de solucin, justificando y valorando sus procedimientos y resultados.

El estndar de aprendizaje que los estudiantes deben lograr al trmino del VII ciclo es:

En este fascculo, un indicador se relaciona con ms de una capacidad. Por lo tanto, para darcuenta del logro de las capacidades matemticas, se requiere hacer una lectura del conjuntode indicadores.

Competencia, capacidades e indicadores en nmero y operaciones


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Adaptacin: Modelo de competencia matemtica de Mogens Niss, 2011.

Competencia, capacidades e indicadores en cambio y relaciones

Generaliza y verifica la regla de formacin de progresiones geomtricas, sucesiones crecientesy decrecientes con nmeros racionales e irracionales, las utiliza para representar el cambio enlos trminos de la sucesin. Representa las condiciones planteadas en una situacin medianteecuaciones cuadrticas, sistemas de ecuaciones lineales e inecuaciones lineales con una variable;usa identidades algebraicas y tcnicas de simplificacin, comprueba equivalencias y argumenta

los procedimientos seguidos. Modela situaciones de cambio mediante funciones cuadrticas, lasdescribe y representa con expresiones algebraicas, en tablas o en el plano cartesiano. Conjeturacundo una relacin entre dos magnitudes puede tener un comportamiento lineal o cuadrtico;formula, comprueba y argumenta sus conclusiones (Mapa de Progreso de Matemtica: Cambioy relaciones).

En cambio y relaciones se desarrolla la siguiente competencia:

Resolver situaciones problemticas de contexto real y matemtico que implican laconstruccin del significado y el uso de los patrones, igualdades, desigualdades,relaciones y funciones, utilizando diversas estrategias de solucin y justificando susprocedimientos y resultados.

El estndar de aprendizaje que los estudiantes deben lograr al trmino del VII ciclo es:

En este fascculo, un indicador se relaciona con ms de una capacidad. Por lo tanto, para darcuenta del logro de las capacidades matemticas, se requiere hacer una lectura del conjuntode indicadores.

En la figura adjunta seesquematiza la competencia

matemtica en cambio yrelaciones. En ella confluyen las

seis capacidades matemticas

generales que se movilizande manera sistmica con los

conocimientos de patrones,ecuaciones e inecuaciones,

relaciones y funciones

para resolver situacionesproblemticas de la vida

cotidiana.

MATEMTICA


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III. Cmo podemos facilitar estos aprendizajes?

En esta seccin desarrollaremos algunas actividades que nosayudarn a mejorar nuestro trabajo como docentes para quenuestros estudiantes logren sus aprendizajes.

3.1 Desarrollando escenarios de aprendizaje

La competencia matemtica de resolucin de problemas sedesarrolla mediante la movilizacin sistmica de capacidades,conocimientos y actitudes. Esta movilizacin es apropiada solocuando est contextualizada. Por ello, se han seleccionado trescontextos o escenarios en los que comnmente se organizan ydesarrollan las actividades de aprendizaje. A estos escenarioslos llamaremos: Sesin laboratorio matemtico, Sesin taller matemtico y Proyectomatemtico.

Adems de ser complementarios entre s, una caracterstica fundamental de estos escenarioses que deben recrear situaciones en las que la competencia matemtica tenga sentido.

A continuacin, describimos cada uno de estos escenarios de aprendizaje:

a) Sesin laboratorio matemtico

Escenario donde el estudiante, a partir de actividades vivenciales, ldicas y de experimentacin,llega a construir conceptos y propiedades matemticas. En este escenario el estudiantebusca regularidades para generalizar el conocimiento matemtico, profundiza o moviliza losconocimientos aprendidos o construye nuevos aprendizajes para resolver problemas.

b) Sesin taller matemtico

Escenario donde el estudiante usa aquellos aprendizajes que ha ido desarrollando en unperiodo de sesiones de aprendizaje. El estudiante despliega diversos recursos (tcnicos,procedimentales y cognitivos) con la intencin de resolver situaciones problemticas usandodiversas estrategias de solucin.

c) Proyecto matemtico

Escenario que tiene por finalidad contribuir con la solucin de un problema social, econmico,productivo o cientfico de inters de los estudiantes, de la institucin educativa o de sucomunidad. Para esto, requieren usar sus capacidades y conocimientos matemticos. Elproducto es la contribucin de la clase con la solucin del problema.

Sesinlaboratoriomatemtico

Sesintaller

matemticoProyecto

matemtico


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3.2 Articulando la progresin del conocimiento matemtico en el VIIciclo de la EBR

La competencia de resolucin deproblemas promueve el desarrollode las capacidades y conocimientosmatemticos de nmero y susoperaciones. Los estudiantesadquieren y construyen estosconocimientos en forma progresiva.En primaria y en el primer gradode secundaria se enfatiza en losnmeros naturales. En secundaria seinicia con el estudio de los nmeros

enteros y racionales, y se culmina conla construccin de los nmeros reales.Por ello, en los espacios pedaggicosse establecen conexiones entre estosconocimientos.

Hoy estos conocimientos adquierenimportancia debido a la grancantidad de informacin querecibimos en tablas, expresionesporcentuales, infografas condatos numricos, etc. Por ello, es

significativo usar adecuadamenteestos conocimientos matemticosen diversos contextos. Por ejemplo,usar la notacin cientfica de losnmeros se realiza en mediciones demagnitudes grandes, como la menordistancia entre la Tierra y Marte(102 109 m) o magnitudes muypequeas, como las que se realizanen la nanotecnologa cuando estudiapartculas tan pequeas como los

tomos y molculas (100 10-9

m).De la misma manera los conoci-mientos de patrones, ecuacionesy funciones estn mutuamenterelacionados y son adquiridos enforma progresiva desde la infancia,donde se desarrollan las nocionesbsicas, y a travs de los diferentesniveles de la Educacin Bsica.

DESARROLLO DE LOS CONOCIMIENTOS EN TORNO A NMERO YOPERACIONES

VI

CICLO

VII

CICLO

2. 3. 4. 5.

Porcentajes como la expresinde parte-todo

Nmero racional comoexpresin fraccionaria, decimaly porcentual para expresarcantidades continuas y discretas

Propiedades de los nmerosracionales

Potenciacin con basefraccionaria y exponente entero

Potenciacin y radicacin comooperaciones inversas

Operaciones con los nmerosracionales

Representacin, comparacin yorden en los nmeros racionalesa partir de cantidades continuas

Irracionales en situacionesgeomtricas

Irracionales en la recta numrica(recta real)

Notacin cientca en situacionesde medicin de longitud, masa ytiempo

Notacin cientca en situacionesde medicin de supercie yvolumen

Notacin cientca ensituaciones que involucranmagnitudes fsicas y qumicas

Inters simple en contextos

nancierosInters simple y compuesto encontextos nancieros

Densidad de los nmeros reales

Operaciones con nmeros reales

Relaciones entre los sistemasnumricos

Completitud de los nmerosreales

CICLOS YGRADOSCONSTRUCCIN

DEL SIGNIFICADO YUSO DE CONOCIMIENTOS


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En el ltimo grado de primaria y enlos primeros aos de secundaria,se enfatiza en el estudio de los

patrones, y al finalizar la secundaria,se estudian sucesiones en losnmeros reales. Las ecuacionesse estudian prioritariamente en losgrados intermedios, mientras que lasfunciones se formalizan al finalizar elsexto ciclo y se profundizan en losltimos grados.

Todos estos conocimientos seaprenden usndose en la solucin de

situaciones problemticas cercanasa la vida de los estudiantes, ya seanreales o simuladas.

A continuacin, daremos unaexplicacin de cmo progresanestos conocimientos en la EducacinBsica Regular con la intencin demostrar el progreso que tienen losestudiantes en el desarrollo de sucompetencia matemtica.

Uno de los temas centrales delestudio de la matemtica se refierea los patrones. Los estudiantesnecesitan reconocer, describir ygeneralizar patrones. Tambinrequieren desarrollar capacidadespara construir modelos matemticosque simulen el comportamiento delos fenmenos del mundo real quemuestren patrones observables.En los primeros aos de su vida,los nios identifican patrones enmovimientos, sonidos y formas.En sus primeras experiencias consu entorno, identifican patronesen objetos concretos y situacionesmediante la observacin y lamanipulacin. Luego, al finalizarlos estudios de la primaria y en lasecundaria, usan la abstraccin y

DESARROLLO DE LOS CONOCIMIENTOS EN TORNO A CAMBIO YRELACIONES

VI

CICLO

VII

CICLO

2. 3. 4. 5.

Patrones geomtricos detraslacin, rotacin y reexin

La regla de formacin deprogresiones aritmticas y de lasuma de los trminos a partir deregularidades

La regla de formacin deprogresiones geomtricas y de lasuma de los trminos a partir deregularidades

Modelos de una progresingeomtrica

Sucesiones crecientes ydecrecientes

Ecuaciones lineales en situacionesde equivalencia

Inecuaciones lineales ensituaciones de desigualdad

Sistemas de ecuaciones linealescon dos variables en situacionesde igualdad

Ecuaciones cuadrticas ensituaciones de igualdad ydeterminacin de mximos ymnimos

Sistemas de ecuaciones linealescon tres variables en situacionesde igualdad

Inecuaciones cuadrticas ensituaciones de desigualdad

Sistema de inecuaciones con dosvariables (programacin lineal)en situaciones de optimizacin

Situaciones de proporcionalidad

directa e inversa

Modelacin de situaciones decambio mediante la funcinlineal y lineal afn

Modelacin de situaciones decambio mediante funcionescuadrticas

Modelacin de situaciones decambio mediante funcionesexponenciales

CICLOS YGRADOSCONSTRUCCIN

DEL SIGNIFICADO YUSO DE CONOCIMIENTOS


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comprenden regularidades en los conjuntos numricos. Al iniciar sus estudios escolares, losestudiantes emplean tablas, grficos y descripciones verbales para representar patrones. Losestudiantes comprueban cmo cambian los patrones en las actividades vivenciales y en las

tareas propuestas. Esto facilita la comprensin del concepto de variable como una cantidadque cambia y que asume diferentes valores. Esta experiencia contina hasta la educacinsecundaria; sin embargo, en este nivel los estudiantes llegan a generalizar y usar expresionesalgebraicas de forma fluida.

Las igualdades y desigualdades es otro de los aprendizajes ms importantes que necesitanconstruir los estudiantes en la Educacin Bsica. Los estudiantes buscan diferentes manerasde usar los nmeros para expresar cantidades iguales o equivalentes y las relaciones entreestas. Las variables se introducen como cantidades desconocidas en las ecuaciones y sedesarrollan tcnicas para resolverlas. Desde los inicios de la escolaridad, los nios construyennociones de equivalencia de expresiones aditivas. Al finalizar la educacin primaria son

capaces de representar las condiciones de una situacin problemtica mediante ecuacioneslineales. En los primeros grados de secundaria experimentan situaciones reales o simuladaspara profundizar la comprensin de las igualdades y desigualdades. En los ltimos gradosformulan modelos mediante ecuaciones e inecuaciones cuadrticas y sistemas de ecuacionese inecuaciones lineales para resolver situaciones problemticas.

En cuanto a las relaciones y funciones, los estudiantes deben comprender, establecer y usarrelaciones entre:

a) cantidades y magnitudes,b) las formas de representacin de estas relaciones y

c) el anlisis de las situaciones de cambio.

Estos tres aprendizajes estn relacionados con los aprendizajes descritos anteriormente, loscuales les sirven de fundamento. Por ejemplo, tener experiencias sistemticas con patronesayuda a entender la idea de funcin. Y para resolver situaciones que implican funciones senecesita del manejo de ecuaciones para comprender las relaciones y hallar la solucin.

Cuando los estudiantes entienden que pueden representar situaciones usando la matemticaya sea en la educacin inicial, primaria o los primeros grados de secundaria, adquierennociones elementales de la modelizacin matemtica que llegan a formalizarse hacia losltimos grados de la secundaria.


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3.3 Planificando nuestras unidades y sesiones considerando losindicadores propuestos

A continuacin, presentamos un modelo para la organizacin de una unidad de aprendizajey una sesin de aprendizaje, tomando como recurso la matriz de indicadores, correspondien-te al cuarto grado de Secundaria.

Capacidadesgenerales

IndicadoresEscenarios yactividades

Tiempo

Matematizasituacionesde cambioen diversos

contextos.Representasituacionesde cambioen diversoscontextos.

Comunicasituacionesde cambioen diversoscontextos.

Elaboradiversasestrategiaspara resolver

problemas.Utilizaexpresionessimblicas yformales derelacionesy funcionespara resolverproblemas.

Argumentael uso derelacionesy funcionespara resolverproblemas

de diversoscontextos.

Disea modelos de situacionesde cambio usando funcionescuadrticas.

Ordena datos en esquemas

para resolver problemasde situaciones de cambioque implican funcionescuadrticas.

Interviene y opina respectoal proceso de resolucin deproblemas que implican usarfunciones cuadrticas.

Elabora estrategias heursticaspara resolver problemasque involucran funcionescuadrticas.

Establece relaciones dedependencia entre magnitudes

para resolver problemasque involucran funcionescuadrticas.

Justica mediante ejemplosque la funcin cuadrtica dela forma , osus expresiones equivalentes,modela una situacinproblemtica.

Justica medianteprocedimientos grcos que lafuncin cuadrtica de la forma

, o susexpresiones equivalentes,modela la situacinproblemtica dada.

Proyecto matemtico:Funciones cuadrticas queabaratan costos de viajede promocin.

Constituir ocho equiposde trabajo de cincoestudiantes paradesarrollar las tareas porcomisiones.

Realizar el estudiode costos de pasajespara transportar a losestudiantes a la ciudadde Cusco, ida y vuelta.

Evaluar todas las ofertaspropuestas por lasempresas de transportecon la nalidad deabaratar costos.

Si amerita, proponer ala junta directiva de laotra promocin incluirlosen la excursin.

En caso de aceptar laoferta de la empresade transportes CruzAzul, calcular elnmero de estudiantesadicionales que viajencon la promocin,de manera que no sesupere el monto mximoasignado para solventarel costo de pasajes

con el presupuesto arecaudarse.

Sesin taller matemtico

Funciones cuadrticasque previenen elenvenenamiento.

Sesin laboratoriomatemtico

Haciendo cohetesinterespaciales.

Sesin de 2semanas

Sesin de90 minutos

Dossesiones de90 minutos

Unidad de aprendizaje

= + +2y ax bx c

= + +2y ax bx c


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Para la presentacin de las actividades, es pertinente mostrarlas de forma global; debenpermitir el aprendizaje autnomo de los estudiantes, evitando de esta forma un procesorgido, secuencial y directivo en el desarrollo de los aprendizajes. Tales actividades son: de

indagacin y experimentacin; de registro de experiencias, datos y prcticas; de reflexin, yde resolucin de situaciones problemticas.

Pudindose ser otras que el docente considere para el desarrollo de las capacidades ycompetencia matemtica.

Sesin Capacidades IndicadoresActividades deenseanza yaprendizaje

Funcionescuadrticas queprevienen elenvenenamiento

Matematizasituacionesde cambioen diversoscontextos.

Representasituacionesde cambioen diversoscontextos.

Comunicasituacionesde cambio

en diversoscontextos.

Elaboradiversasestrategiaspara resolverproblemas.

Utilizaexpresionessimblicas yformales derelacionesy funcionespara resolverproblemas.

Argumentael uso derelacionesy funcionespara resolverproblemasde diversoscontextos.

Elabora modelos desituaciones de cambio usandofunciones cuadrticas.

Ordena datos en esquemas(tablas de doble entrada,plano cartesiano) pararesolver problemas desituaciones de cambioque implican funcionescuadrticas.

Interviene y opina respectoal proceso de resolucin deproblemas que implican usar

funciones cuadrticas. Elabora estrategiasheursticas para resolverproblemas que involucranfunciones cuadrticas.

Establece relacionesde dependencia entremagnitudes para resolverproblemas que involucranfunciones cuadrticas.

Justica mediante ejemplosque la funcin cuadrtica dela forma , o

sus expresiones equivalentes,modela una situacinproblemtica.

Justica medianteprocedimientos grcos quela funcin cuadrtica de laforma , osus expresiones equivalentes,modela la situacinproblemtica dada.

Actividades paracomprender elproblema

Actividades paraelaborar el plan

Actividades paraejecutar el plan

Actividades parala reexin ymetacognicin

Sesin taller matemtico

= + +2y ax bx c

= + +2y ax bx c


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3.4 Reconociendo escenarios, herramientas y condiciones didcticaspara desarrollar las capacidades matemticas

A. MATEMATIZARMatematizar implica interpretar un problema definido enla realidad o parte de ella y transformarlo en una formamatemtica, interpretar o evaluar un resultado o un modelomatemtico en relacin con el problema original. Se refieretambin a tener la disposicin de razonar matemticamentepara enfrentar una situacin problemtica y resolverla.

A continuacin, proponemos actividades y caractersticas que favorecen la matematizacin.

Las actividades vivenciales del entornoSon actividades en las que el estudiante entra en contacto directo con situacionesproblemticas reales del entorno. En ellas los estudiantes interpretan la realidad y le danatributos matemticos para atender esa problemtica.

En el nivel secundario, los proyectos matemticos son actividades vivenciales que expresancon ms claridad la matematizacin. Algunos procesos caractersticos para matematizar enla escuela son: Realizar medidas. Elaborar diseos grficos o informativos. Hacer sociodramas que recojan aspectos de la realidad.

Planificar y desarrollar diseos de implicancia tecnolgica.

Las actividades ldicasConsisten en producir resultados matemticos a partir de retos y reglas de juego con los quese enfrentra el estudiante. Requieren analizar e interpretar el entorno y las condiciones en quese suscita el juego. Son caractersticas: Reconocer las condiciones del juego. Experimentar siguiendo las reglas del juego. Modificar las reglas de juego. Emplear estrategias que ayuden a ganar el juego.

Actividades apoyadas en esquemas grficos respecto a la realidadHoy estamos rodeados de informacin que tiene expresiones simblicas que se asocian deforma directa con aspectos de la realidad. Por ejemplo: un cono puede hacer referencia a unhospital, una alerta, una condicin, etc. Dar solucin a problemas a partir de esta informacinrequiere de habilidades para reconocer en ellos aspectos de implicancia matemtica. Estosesquemas informativos lo podemos reconocer en: Recortes periodsticos. Afiches de promocin e infografas. Cuadros estadsticos, etc.

Estas actividadespropician accionesde indagacin,experimentacin ysimulacin.


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B. COMUNICARDesarrollar la capacidad de la comunicacin matemtica implicapromover el dilogo, la discusin, la conciliacin y la rectificacin

de ideas. Esto permite al estudiante familiarizarse con el usode significados matemticos e incluso con un vocabularioespecializado. A continuacin, presentamos un grupo deinterrogantes a fin de promover espacios de discusin, deacuerdos, de rescatar errores y tomarlos como punto de debate.Asimismo, puede suscitar la participacin de los estudiantes ensus grupos de trabajo y en las intervenciones personales.

Es importante saber hacerpreguntas a los estudiantespara ayudarlos a comprenderel problema, trazar el planpara resolverlo y evaluar losresultados.

Situaciones para promover

las interrogantesPropuesta de interrogantes

Fase: Comprender losproblemas

Orientada a promoverque los estudiantespuedan movilizar susaprendizajes, tomandoconciencia de lo que yasaben por s mismos.

Interrogantes para promover la comprensin del problema: Interrogantes comparativas (en qu se parecen..., cules la diferencia?)

Interrogantes de causa-efecto (si modicamos el dato...,qu ocurrira con...?)Interrogantes de debera (qu deberamos hacerprimero...?)

Interrogantes de cmo (cmo procedera usted paradesarrollar el problema...?)

Interrogantes para promover la resolucin del problema: Interrogantes de vericacin (es el procedimiento

adecuado?, has realizado las operaciones adecuadas...?)

Interrogantes para promover la evaluacin de resultados:Interrogantes de vericacin (es la respuesta correcta?)Interrogantes comparativas (en qu se parece esteproblema desarrollado a otros?)

Interrogantes de causa-efecto (supongamos que ahoralos datos fueran..., cmo afecta el problema?; si elprocedimiento hubiese sido..., qu resultados habramostenido?, etc.)Interrogantes de debera (cuando tenemos un problemade estas caractersticas, qu deberamos hacer

primero?; cuando tenemos planteamientos grcos, qudeberamos hacer?, etc.)Interrogantes de cmo (cmo procediste para resolverla situacin planteada?, etc.)

Interrogantes de generalizacin (en qu situaciones esconveniente desarrollar estas estrategias de resolucin?,cun importante es reconocer el planteamientodesarrollado?, etc.)

Fase: Trazar un plan yresolver el problema

Promueve planteamientos

y estrategias distintaspara resolver problemas.Considera el ordenapropiado de las ideas

Desarrolla actividades departicipacin grupal.

Fase: Evaluar resultados

Expresa ideas tanto delos procesos como de losresultados.

Expresa satisfaccin de loexperimentado.

Explica sus logros apartir de las actividadesdesarrolladas.


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C. REPRESENTARLa representacin es un proceso y un producto que implica seleccionar, interpretar, traducir yusar una variedad de esquemas para expresar una situacin, interactuar con el problema o

presentar el resultado.

Para la construccin de los conocimientos matemticos, es recomendable que los estudiantesrealicen diversas representaciones, partiendo de aquellas vivenciales hasta llegar a las grcasy simblicas.

Adaptacin: Discover Strategies to Engage Young Math Students in Competently Using Multiple Representations, de

Anne Marshall (2010).

Tiposderepresen

taciones

Representaciones vivenciales(acciones motrices) Teatralizacin Sociodrama

Representaciones apoyadas enmaterial concreto Estructurados

Multibase 10 baco Regletas BalanzaRepresentaciones de formapictrica Dibujos conos

Representaciones de forma grca Cuadros de doble entrada Diagramas de complemento Diferencia e igualacin Diagrama de rbol Diagrama de echas

Diagramas lgicos Diagramas de tablas Diagramas de grcas

Representacin simblica

Representacinpictrica

Representacin conmaterial concreto

Representacinvivencial

Representacinsimblica

Representacingrfica


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D. ELABORAR DIVERSAS ESTRATEGIAS PARA RESOLVER PROBLEMASEsta capacidad consiste en seleccionar o elaborar un plan o estrategia sobre cmo utilizar lasmatemticas para resolver problemas de la vida cotidiana y cmo irla implementando en el

tiempo. Los saberes previos del estudiante de los primeros grados son limitados respecto almanejo de estrategias heursticas, por lo que desde el aula debemos darle la oportunidad deapropiarse de variadas estrategias.

En la siguiente tabla se describen las estrategias que frecuentemente se elaboran en laresolucin de problemas.

Estrategias heursticas

1. Ensayo-error

Tantear es una estrategia muy til cuando se realiza de forma organizada y evaluandocada vez los ensayos que se hacen. En realidad, algunos mtodos especcos de solucin,como el de regulacin o el de aproximaciones sucesivas, se basan en el uso sistemtico

de numerosos ensayos y sus respectivas correcciones. La idea es que cada recticacinconduzca a un ensayo que se acerque ms a la respuesta.

2. Hacer una lista sistemtica

En los casos en que requiere la enumeracin de objetos matemticos, es convenienterealizar un conteo o listado organizado, con el n de no dejar de lado ninguna posibilidad.Esta estrategia es muy til al buscar soluciones en una ecuacin, para encontrar espaciosmuestrales o resolver problemas de permutaciones o combinaciones.

3. Empezar por el fnal

La estrategia de utilizar el pensamiento regresivo se utiliza mayormente en problemasen los cuales tenemos informacin de una situacin nal; tambin para demostrardesigualdades. La combinacin de mtodos progresivos y regresivos es una potenciatcnica para demostrar teoremas.

4. Razonar lgicamenteEl razonamiento lgico es muy importante al resolver problemas, pues gracias a lpodemos engarzar los pasos y comprender las secuencias y cadenas de razonamientoque se producen en el desarrollo de su solucin.

5. Particularizar

Conviene siempre utilizar casos particulares para familiarizarse con el problema. As,es posible observar algn mtodo que gue hacia la solucin de un problema genrico.

6. Generalizar

En algunos problemas puede ser muy til simbolizar las expresiones o averiguar si lo quese pide se reere a un caso particular de alguna propiedad general. A esto se le conocecomo la paradoja del inventor. A veces es conveniente investigar ms de lo que piden.

7. Buscar patrones

En algunos problemas es necesario experimentar con varios casos con el n de encontrarpautas o regularidades que despus se podran emplear para llegar a la solucin.

8. Plantear una ecuacin

Lo primordial para poder aplicarla con xito es el entrenamiento en la traduccin dellenguaje cotidiano al lenguaje algebraico.

9. Resolver un problema semejante pero ms simple

Algunas veces, utilizar un mtodo que nos dio resultado con un problema ms simple yrelacionado con el que tenemos nos conduce a la solucin del problema.

Fuente: Manual del docente, Resolvamos 1 y 2, Ministerio de Educacin, 2012


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E. UTILIZAR EXPRESIONES SIMBLICAS, TCNICAS Y FORMALES PARA RESOLVER PROBLEMASImplica comprender, interpretar, manipular y usar expresiones simblicas (incluidas lasexpresiones y las operaciones aritmticas) que se rigen por reglas y convenciones matemticas,

dentro de un contexto matemtico. Implica tambin usar algoritmos. Igualmente, abarcacomprender y usar construcciones formales basadas en definiciones, normas y sistemasformales. Los smbolos, normas y sistemas utilizados pueden variar segn qu conocimientomatemtico particular es necesario para una tarea especfica, con la finalidad de formular,resolver e interpretar la matemtica.

El uso de las expresiones y smbolos matemticos ayuda a comprender las ideas matemticas;sin embargo, estas expresiones no son fciles de generar debido a la complejidad de losprocesos de simbolizacin. En el desarrollo de los aprendizajes, los estudiantes requierenpreviamente vivir experiencias y realizar inducciones usando lenguajes que vayan de locoloquial a lo simblico, transformndose posteriormente en un lenguaje tcnico y formal,que se da con cierta intensidad y nfasis.

S I T U A C I O N E S C O T I D I A N A S

Situacinexperimental

Lenguajesimblico

Situacinmatemtica

Lenguajetcnico - formal

Situacin vivencial

Trnsi

todelle

nguaje

mate

mtic

o

Lenguajecoloquial


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F. ARGUMENTARLa actividad matemtica involucra emplear objetos, procedimientos y conceptos matemticos.Los procesos del pensamiento lgico dan sentido a una situacin y determinan, por

aproximaciones sucesivas, llegar a la situacin ptima.

Argumentar implica varias acciones: cuestionarse sobre cmo conectar diferentes partes dela informacin para llegar a una solucin, analizar la informacin para crear un argumento devarios pasos, establecer vnculos o respetar restricciones entre diferentes variables, reflexionarsobre las fuentes de informacin relacionadas o hacer generalizaciones y combinar mltipleselementos de informacin.

Se reconocen cinco escenarios que propician formas de razonamiento y argumentacin:

Estrategias Caractersticas

Escenarios de exposicin Una manera ecaz de estructurar losconocimientos para una exposicin o discusinson los organizadores visuales.Escenarios de discusin

Escenarios de indagacin Plantear interrogantes, seguidotentativamente de respuestas, implicaestablecer conjeturas para su posterior validez(justicacin) a partir de procedimientos:

Experimentales.

Formulacin de contraejemplos.Escenarios que promuevenprcticas inductivas

Propician una serie de situacionesrepresentativas para establecer relacionesde generalizacin o particularizacin. Puedenser:

Estudios de casos.

Modelos que posibilitan visualizar lo queno podemos observar directamente.

Simulaciones como formas de ejemplicar.

Escenarios integrativos Gran parte de los conocimientos matemticosestn organizados de forma integral: secombinan hechos, procedimientos, formas derepresentacin, conceptos y relaciones entreellos. Una actividad propia de este desarrolloson los mapas mentales


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3.5 Promoviendo tareas matemticas articuladas

Un factor muy importante para el aprendizaje de las matemticas son las situaciones en queel estudiante se enfrenta a problemas. Por ello, es importante generar situaciones desafiantesque vayan creciendo en complejidad y estn de acuerdo con conocimientos y experienciasprevias de los estudiantes.

Para cada espacio de aprendizaje, se deben plantear tareas matemticas que requieran usardiversas capacidades y conocimientos matemticos. Estamos denominando tareas a cadauna de las actividades que proponemos al estudiante en la clase; no a las tareas para lacasa ni a las tareas para el cuaderno.

A continuacin, presentamos diversos tipos de tareas matemticas que necesitan usar

diversas capacidades y conocimientos de los estudiantes.

Estrategias Caractersticas

De relaciones entredatos

Este tipo de tareas busca establecer unarelacin o vnculo entre dos o ms objetos,procedimientos y conceptos matemticos, queexpresan alguna interaccin entre ellos.

De complementacin dedatos

Consiste en reconocer uno o varios datos,conceptos, procedimientos y objetosmatemticos que no estn en un planteamientooriginal.

De interrogantes pararespuestas abiertas Son aquellas orientadas a recibir respuestasamplias y variadas, destinadas a reconocerapreciaciones y formas de razonar, deargumentar y de proceder segn la actividadmatemtica.

De interrogantes pararespuestas cerradas

Buscan reconocer respuestas puntuales,concretas y especcas respecto al dominio deun conocimiento o la espera de una respuestaespecca en la resolucin de problemas.

De desarrollode problemasreproductivos y

algortmicos

Promueven planteamientos que se orientana reproducir conocimientos especcosdesarrollados y formas de proceder algortmicas

(es decir, conocer el procedimiento de solucinde un problema).

De desarrollo deestrategias heursticasde resolucin

Estas tareas promueven planteamientos que seorientan a niveles profundos de la comprensinde conceptos matemticos. Usualmente,tienen mltiples formas de representacin queinvolucran un desarrollo exible de ellas.


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3.6 Resolviendo problemas

Un problema existe cuando una persona tiene una meta y no sabe cmo alcanzarla (Duncker,1945). Esta definicin se esquematiza en la siguiente figura:

El estado dado es el conocimiento que lapersona tiene sobre el problema al principio.Los operadores son las acciones posiblesde realizar para alcanzar el estado metaque es el objetivo deseado con la ayuda delas herramientas disponibles. Las barreraspueden ser la carencia del conocimiento ode las estrategias que dificultan o impiden

alcanzar la meta. Superar las barreras puedeimplicar no solo la cognicin, sino tambin lamotivacin y el estado afectivo1.

Cmo diferenciar un problema de un ejercicio?

Un problema exige movilizar varias capacidades matemticas para realizar una serie detareas que nos permitan encontrar una respuesta o solucin a la situacin planteada.

Un ejercicio consiste en desarrollar tareas matemticas, fundamentalmente las vinculadas aldesarrollo de operaciones. Muchas veces, estas tareas tienen la caracterstica de ser sencillasy de repeticin, por lo cual las llamamos tareas rutinarias.

Para reconocer cmo diferenciar un problema de un ejercicio, veamos algunas caractersticasde las actividades que realizan nuestros estudiantes:

a) Acciones del estudianteEl ejercicio es una actividad simple y reproductiva, implica realizar una accin en la cual bastaque se apliquen, en forma algortmica, los conocimientos ya adquiridos.

En un problema es necesario que el estudiante dedique un tiempo a la comprensin de la

situacin, disee estrategias, las desarrolle y evale sus resultados y consecuencias.

b) Cantidad y calidadExiste la creencia de que un estudiante eficiente en la resolucin de problemas desarrolla yresuelve gran cantidad de ejercicios: mientras ms ejercicios desarrolle, ser mejor resolviendoproblemas. Este pensamiento es impreciso.

Estadometa

Estadodado

Herramientasdisponibles

Barrera

Traducido y adaptado

Problem Situacion (Funke y Frensch, 1995)

1Peter Frensch, 1995; Joaquim Funke, 2010.


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Las investigaciones demuestran que los buenos resolutores de problemas invierten mstiempo en dos procesos: la comprensin y la metacognicin o evaluacin de sus resultados.Esto implica reconocer que resolver un problema con calidad requiere ms tiempo.

d) Desarrollo de capacidadesUn ejercicio tiene por objetivo que el estudiante replique conocimientos aprendidos. En cambio,un problema es un reto para el estudiante, promueve la investigacin, la experimentacin, labsqueda de regularidades y el desarrollo de estrategias de resolucin.

e) Desarrollo de cualidades personalesUn ejercicio implica reproducir conocimientos, procedimientos, tcnicas y mtodos dentro derutinas establecidas, lo que puede generar que el estudiante acte automticamente, sin darsignificatividad al desarrollo.

Una situacin problemtica, por el contrario, despierta una fuerte carga de participacindel estudiante por querer resolver el problema. En ella moviliza experiencias previas yconocimientos adquiridos, hace supuestos, traza planes y, por ltimo, siente la satisfaccin dehaber solucionado el problema.

3.7 Fases de la resolucin de problemas

En la resolucin de problemas existen varios esquemas que presentan el orden msadecuado para situaciones novedosas. A continuacin, presentamos el esquema propuesto

por George Plya (1945), que describe las actividades fundamentales que se realizan en elproceso de resolucin de cualquier problema matemtico en general. Este esquema muestracuatro pasos para resolver el problema: comprender, disear una estrategia, ejecutar el plany desarrollar una visin estratgica.

A la nomenclatura formal de cada fase se ha propuesto un nombre coloquial, de manera quefacilite su comprensin:

Modelo terico Para los estudiantes

Comprender el problema Antes de hacer, vamos aentender

Bsqueda de estrategias yelaboracin de un plan

Elaboramos un plan deaccin

Ejecutar el plan Desarrollamos el plan

Desarrollar una visinestratgica

Le sacamos el jugo a laexperiencia

En el manual deldocente de los mdulosResolvamos 1 y 2 se puedeproundizar la inormacincorrespondiente.


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El nmero de integrantesen los trabajos de grupo

depende del criterio del

docente; sin embargo, lo

conveniente es un promedio

de tres o cuatro integrantes.

3.8 Promoviendo el trabajo cooperativo

El trabajo en equipo permite intercambiar opiniones entreestudiantes, impulsa el planteamiento de distintas estrategiasde resolucin y puede ayudar a comprender mejor el problema.

Respecto a las diversas propuestas dinmicas de trabajocooperativo en la enseanza y el aprendizaje, se recomiendarevisar el documento Orientaciones para el Trabajo Pedaggicodel rea de Matemtica (MED, 2010). A continuacinpresentamos planes de organizacin que podran acompaartales dinmicas:

a) Trabajo simultneo con equipos

En este esquema de organizacin, eldocente asume un rol mediador contodos los equipos de trabajo; asimismo,permite que los estudiantes intercambienideas entre los grupos.

b) Trabajo diferenciado con equipos

En esta organizacin, el docente focalizael trabajo mediador en el grupo que loconsidere necesario; asimismo, deja enlibertad a los otros grupos en el desarrollode la resolucin de problemas.

c) Trabajo diferenciado con monitores de equipo

En esta organizacin, el docente delegael liderazgo a un monitor responsablepor cada grupo de trabajo. Losmonitores tienen el rol de dirigir yorientar el proceso de la resolucin deproblemas, en el cual participan todoslos integrantes.


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IV. Cmo desarrollamos escenarios de

aprendizaje respecto al nmero real?

Hemos reconocido los escenarios de aprendizaje, la progresinde los conocimientos matemticos, las orientaciones paradesarrollar las capacidades matemticas, la promocin de tareas

matemticas y la resolucin de problemas.

A continuacin, mostraremos situaciones que permiten integrarlos temas que hemos abordado: se desarrollan las situaciones deun proyecto, de un laboratorio y de un taller de matemtica.

Recuerda:

El concepto de nmero real involucra dos procesos derepresentacin claves para su desarrollo, significado y uso.

Estos son las notaciones numricas y los modelos geomtricos,y entre ellos se establecen conexiones y relaciones que sedan de forma complementaria y progresiva.

En el estudio de los nmeros reales es preciso afianzarla notacin decimal de los nmeros reales, su orden ydensidad por medio de la expresin decimal y fraccionaria,realizar aproximaciones con nmeros decimales, establecerla correspondencia entre el nmero real y la recta numrica,as como realizar medidas de longitudes.

Para ello, es importante mostrar un desarrollo en lacomprensin de este campo numrico a partir de situacionesvivenciales, para luego ir formalizando y constituyndolocomo un aspecto que moviliza la competencia matemticaen los estudiantes, en los diversos escenarios de la vidacotidiana.

Sesin laboratorio

matemtico:Intervalos que s

cuentan

Sesin laboratoriomatemtico:

Haciendooperaciones con

intervalos

Proyectomatemtico:Cmo ser uncompradorinformado

Sesin tallermatemtico:

Intervalos y susoperaciones


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4.1 Algunas situaciones de aprendizaje

Situacin 1Sesin laboratorio matemtico:Intervalos que s cuentan

SITUACIN PROBLEMTICA

En un aula de tercer grado de Secundaria de la IE Fidel Olivas, el profesor busca representarlas estaturas de todos sus estudiantes de una forma simple. Cmo podemos representar laestatura de un estudiante del aula?

Indicadores

Describe situaciones de medidas en diversos contextos paraexpresar nmeros racionales en su notacin decimal, cientca

e intervalos. Ordena datos en esquemas de organizacin que representan los

nmeros racionales y sus operaciones con intervalos. Aplica variadas estrategias con nmeros racionales, intervalos

y proporciones de hasta dos magnitudes e inters compuesto. Usa los smbolos de =, >,


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Actividad N. 11. En un aula de tercer grado de Secundaria de la IE Fidel Olivas, el docente busca

representar las estaturas de todos sus estudiantes de una forma simple. Acontinuacin, presentamos el cuadro con las tallas obtenidas.

2. Usando la cinta mtrica, marquen las medidas de las estaturas encontradas.

3. Usando una hoja milimetrada o cuadriculada, representen la estatura de cadaestudiante.

4. A partir de las grficas realizadas, expliquen cmo procederan para indicar laestatura mayor y la menor.

Estudiante Estatura

Acosta, Alonso 1,42 m

Aranda, Roco 1,37 m

Arias, Jean 1,56 m

Barrenechea, Renato 1,67 m

Cermeo, Jos 1,55 m

Checa, Fernanda 1,51 m

Cruz, Eduardo 1,48 m

Donayre, Alexandra 1,57 mGarca, Fredy 1,68 m

Huerta, Jos 1,35 m

Irribarren, Arturo 1,45 m

Jaramillo, Jessica 1,45 m

En pareja


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5. El profesor plantea las siguientes interrogantes:

6. Alonso plantea lo siguiente: si incorporamos a ms estudiantes en la tabla, noser posible expresar estaturas entre 1,55 y 1,56 cm, debido a que son nmerosconsecutivos. Este razonamiento es cierto? Justifiquen su respuesta usando la rectanumrica.

7. El profesor observa la justificacin de sus estudiantes y les plantea un reto. Cmousando la recta numrica se puede representar lo desarrollado anteriormente?

Entre los estudiantes, quin oquines tienen una estatura...?

Nombre de estudiantes

mayor que 1,37 y menor que 1,45 m

menor que 1,56 y mayor que 1,42 m

mayor que 1,54 m

mayor o igual que 1,48 y menor que1,50 m

mayor o igual que 1,35 y menor o igualque 1,55 m


Expresin literal Expresin en la recta numrica


mayor que 1,54 m





En pareja


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Actividad N. 2Reflexionen y respondan

Entre dos puntos de la recta numrica correspondientes a dos nmeros realesdiferentes, existen nmeros reales que tienen la caracterstica de ser infinitos (recuerdenlo que encontraron en la tarea n. 7 de la actividad anterior). Esto hace que pensemosen subconjuntos de que en adelante llamaremos intervalos.

Podemos representar, por ejemplo, el intervalo de nmeros reales comprendidos entre 5 y +1, incluidos estos extremos. A continuacin, para desarrollar las preguntas 1 y 2,debemos considerar lo siguiente:

Nota: Ver texto de tercer grado de Secundaria, pg. 21.

1. Cmo expresaran mediante intervalos usando la representacin grfica?

2. Cmo expresaran mediante intervalos usando la representacin simblica?

En pareja

Cuando decimos que es mayor que1,37 m, el subconjunto de los realesexpresado en el intervalo no consideradicho nmero.Cuando decimos que es menor o iguala 1,56 m, el subconjunto de los realesexpresado en el intervalo consideradicho nmero.

1,37 m 1,56 m

Expresin literal Representacin grfca con intervalos


mayor que 1,54 mmayor o igual que 1,48 y menor que1,50 m




Expresin literalRepresentacin simblica con

intervalos

mayor que 1,37 y menor que 1,45 mmayor que 1,54 m






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1. Expresen mediante intervalos la altura mxima y mnima de la tabla dedatos respecto a la altura de los estudiantes.

2. Daniel ha comprado un CD de msica y Karla le pregunta cunto dura una cancin?l expresa que una cancin dura entre 3 y 5 minutos. Cmo lo representaran enintervalos?

3. En un centro de salud, de todos los nios que se atendieron el jueves, result quela mayor temperatura registrada fue de 40,8 C y la menor temperatura, 36,1 C.Expresen de tres maneras distintas las temperaturas de cualquier nio atendidoese da.

Estudiantes Talla

Justiniano, Antonio 1,45 m

Laguna, Alexander 1,43 m

Meja, Luis 1,59 m

Mercado, Rebeca 1,69 m

Molina, Esmeralda 1,52 m

Palacios, Eduardo 1,59 m

Prncipe, Joseph 1,63 mQuintana, Alejandra 1,57 m

Quispe, Fredy 1,67 m

Tarazona, Fernanda 1,49 m

Valdez, Miranda 1,39 m

Venegas, Beln 1,45 m

En grupo

En estas actividades, los estudiantes parten de una situacin problemtica: ellosexpresan las medidas presentadas en una lnea recta, las interrogantes los vanorientando a responder con la representacin grfica que han elaborado. El objetivoes que los estudiantes adquieran la nocin del intervalo a partir de la actividadde experimentacin, para pasar de expresar de forma coloquial a formalizar lapresentacin de los intervalos. Asimismo, esto implica que ellos desarrollenestrategias de solucin de problemas asociadas a este tipo de conocimiento. Laprimera actividad puede plantearse en una variante, los estudiantes puedenempezar haciendo un cuadro de datos de las estaturas del mismo grado o grupode estudiantes.


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Situacin 2Sesin laboratorio matemtico:Haciendo operaciones con intervalos

SITUACIN PROBLEMT ICA

El supervisor de una fbrica de chocolates comunica el tiempo (en horas) que tarda laproduccin de dos lotes, para lo cual utiliza la expresin simblica de intervalos.

Lote 1:

Lote 2:

Cmo expresaran el tiempo que tardara la produccin del lote 1 o del lote 2? (Texto deSecundaria, tercer grado, pg. 22)

Indicadores

Aplica operaciones con intervalos para resolver situaciones en

contextos diversos.

Formula estrategias de estimacin de medidas o cantidadespara ordenar nmeros irracionales en la recta real.

Ordena datos en esquemas de organizacin que representan losnmeros racionales y sus operaciones con intervalos.

Usa los smbolos de =, >,


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Actividad N. 1

A continuacin, trabajaremos con materiales concretos, para lo cualnecesitan: Hojas cuadriculadas Regla

TijeraTiras de papel celofn de color amarillo y azul y otros parecidos

1. Usando una recta numrica, peguen encima de ella una tira de papel celofn queexprese el intervalo del lote 1. Repitan similar situacin para el lote 2. Nota: dibujenlas caractersticas de representacin de los intervalos en los extremos de las tiras(se colorea, segn sea el caso, el interior de los crculos para expresar intervalosabiertos o cerrados).

2. Dibujen el procedimiento que realizaron.

3. Qu subconjunto representa la tira del celofn amarillo?

4. Qu subconjunto representa la tira del celofn azul?

5. Qu subconjunto representa la tira del celofn verde (resultado de los dos colores)?

6. Cmo expresaran el tiempo que tardara la produccin del lote 1 o del lote 2?Justifiquen su respuesta usando las tiras de celofn.

El supervisor de una fbrica de chocolates expres el tiempo (en horas) que tardala produccin de dos lotes, mediante los intervalos:Lote 01:

Lote 02:

Cmo expresaran el tiempo que tardara la produccin del lote 1 o del lote 2?

En pareja

1

2

3,5;5

2,5;4,5

l

l

=

=


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Con los intervalos se realizan diversas operaciones, como:

Completen la informacin a partir de la experiencia realizada.

En grupo

Operaciones

deColor queexpresan

Expresingrfca

Expresinsimblica

Unin

Interseccin

Diferencia

2L

1L

2 3 4 65 7

210-1 3 4 5 6

210-1-2-3 3 4 5 6 7 8 9

2L

1L

210-1-2-3 3 4 5 6 7 8 9

210-1 3 4 5

2 3 4 5 7

6

2L

1L

210-1-2-3 3 4 5 6 7 8 9

210-1 3 4 5

2 3 4 5 7

6

Unin de intervalos:La unin de dos intervalosy es el conjunto denmeros reales que pertenecen almenos a uno de los dos intervalos.

Interseccin de intervalos:La interseccin de dos intervalos esel conjunto de los nmeros realesque pertenecen a la vez a los dosintervalos.

Diferencia de intervalos:La diferencia del intervalo y esel conjunto de los nmeros realesque pertenecen al intervalo y nopertenecen al intervalo .

1 2;6L =

2 1;8L =

2L

2L

1L

1L

1 2 2;6 1;8 2;1L L = =

Usar como materiales deconsulta y apoyo paradesarrollar los aprendizajesen el estudiante lostextos distribuidos por elMinisterio de Educacin enel 2012. (Por ejemplo, ver ellibro de tercer grado, pg.23).

= = 1 2 2;6 1;8 1;6L L

= = 1 2 2;6 1;8 2;8L L


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Actividad N. 3Para usar expresiones simblicas

Representen en sus cuadernos, en forma grfica y usando colores, las siguientesoperaciones con intervalos:

1. 2. 3.

4. 5. 6.

7. 8. 9.

Actividad N. 4

1. El supervisor de una tienda de golosinas realiza su inventario el 20 dediciembre del 2012. Observa que en el ingreso de productos hay un lote de200 cajas de galletas que tienen fecha de fabricacin 1 de noviembre del 2012 yvencimiento 1 de febrero del 2013. Adems, observa que hay un segundo lote de 300cajas del mismo producto que tiene fecha de fabricacin 15 de noviembre del 2012 yfecha de vencimiento 15 de febrero del 2013.

Utilicen la grfica de intervalos en una recta para representar las fechas de fabricaciny vencimiento de cada lote, y respondan a las siguientes preguntas:

1) Entre qu fechas podr vender galletas de los dos lotes?2) En qu fechas ha vendido o vender solo galletas del primer lote?

3) En qu fechas podr vender solo galletas del segundo lote?

2. En una avenida que atraviesa tres distritos y que tiene 52 cuadras de largo, dos delos distritos han acordado colocar luminarias tipo colonial desde el inicio hasta elfinal de la cuadra 32. Pero uno de los anteriores con el tercer distrito han acordadoconstruir una ciclova desde el inicio de la cuadra 23 hasta finalizar la cuadra 52.Utilizando las representaciones de intervalos, realicen lo siguiente:

1) Expresen las cuadras que solo tienen luminarias.2) Expresen las cuadras que tendrn luminarias y ciclova.3) Expresen las cuadras que tendrn solo ciclova.

En pareja

En pareja

En estas actividades, los estudiantes parten de trabajar con material concreto, reconocen elnuevo color que se genera a partir de la interseccin de las tiras de colores. En la realizacinposterior de las tareas, van desarrollando sus capacidades en torno a resolver el problema,lo que los lleva a atribuir el significado de las operaciones con intervalos como resultadode la unin, interseccin y diferencia. El objetivo no es que el estudiante acabe por realizarprocesos netamente matemticos; por el contrario, es importante que el estudiante resuelvaproblemas que requieren una interpretacin adecuada a diversos tipos de problemas.

( ) )

( )

(

6,7 7,

8,4 5,13

8,4 2,11

( ) )

( )

( )

, 4 3,

,1 1,

, 1 5,

( ) )

) )

) )

3,9 2,

3,7 7,12

3, 9 7,10


47/1


Los estudiantes atribuyen el signo positivo o negativo cuando se percatan de que dos objetostienen la misma distancia, pero son opuestos con relacin al sobre y debajo; en el desarrollocomprenden que es necesario atribuir un smbolo que los diferencie. Posteriormente, enReflexionen y respondan los estudiantes llegan a un acuerdo respecto al significado del +y -, nociones que utilizarn cuando resuelvan problemas.

Situacin 3Proyecto matemticoCmo ser un comprador informado

SIT UACIN PROBLEMTICA

En muchas ocasiones tomamos la decisin de hacer compras de diversos productos, sin estarinformados de las condiciones que aquellos tienen. Un caso particular ocurre con los productosalimenticios que tienen una fecha de produccin y una de vencimiento. Sin embargo, estainformacin muchas veces no se toma en cuenta a la hora de adquirir las promociones que seofrecen. En este proyecto conoceremos las caractersticas asociadas a las fechas de producciny vencimiento.

Indicadores

Describe situaciones de medidas en diversos contextos paraexpresar nmeros racionales en su notacin decimal e intervalos.Aplica variadas estrategias con nmeros racionales e intervalos.

Ordena datos en esquemas de organizacin que representan losnmeros racionales y sus operaciones con intervalos.Describe las estrategias utilizadas con las operaciones enintervalos para resolver situaciones problemticas.Usa los smbolos de intervalos como corchetes, desigualdades ogrcas sobre la recta para resolver problemas que involucranoperaciones de unin, interseccin, diferencia y complementode reales.Justica el uso de las operaciones con intervalos para resolversituaciones de contextos variados.

Contexto

Econmico, comercial ysocial

reas afnes

Historia, Geografa yEconoma

Conocimi ento

Porcentajes e inters simpleGrado

3. de Secundaria

Propsito

Investigar sobre los diferentes tipos de impuestos a la renta y cmo calcular el impuestode la cuarta categora.Investigar sobre los tipos de rentas de la Comunidad Andina.

Conocimient os pr evios

Operaciones con nmeros enteros Clculo de porcentajesTiempo

2 sesiones de 90 minutos

Act iv idades

1) Constituir equipos de trabajo, proyectar las tareas a desarrollar.2) Elaborar una cha de entrevista a un funcionario de la Sunat y

otras instituciones.3) Visitar la ocina de la Sunat para investigar sobre qu es un

impuesto a la renta?, qu tipos de rentas existen?, qu es elIGV?, entre otras informaciones.4) Averiguar, en especial, cmo se calcula el impuesto a la cuarta

categora?

Productosparc ia les/ t o ta l es de losestudiantes Cronograma de

actividadesFichas de entrevista a

funcionario de la Sunatpara recojo de datos Papelotes con las tareas

1, 2 y 3


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Actividad N. 1

1. Elaboren una lista de productos alimenticios que se venden en el quiosco desu institucin educativa.

Actividad N. 2

1. Elaboren un cuadro informativo de los productos que tienen fecha de vencimientopor periodos de vigencia.

Actividad N. 3

1. Representen, de forma grfica y simblica, los intervalos para expresar las fechas de produccin y vencimiento de los productos seleccionados.

2. Un empresario quiere invertir en un producto alimenticio. Ustedes, como asesores

de inversiones, usando la tabla de intervalos anteriormente producida, elaboren una

ficha informativa para asesorar en el producto a invertir.3. Como compradores de productos alimenticios, qu criterios relacionados con

la matemtica deben considerar a la hora de tomar decisiones? Justifiquen su

respuesta.

El objetivo es que los estudiantes hagan uso funcional de los intervalos y quereconozcan la importancia de tomar decisiones pertinentes basadas en conocimientosmatemticos.

ProductoFecha de

produccinFecha de

vencimiento

Clase 1

Clase 2

Clase 3

ProductoMenor oigual a 3meses

Menor oigual a 6meses

Menor oigual a 1 ao

Clase 1

Clase 2

Clase 3

En pareja

En pareja

En pareja


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Recuerda:

Indicadores

Describe situaciones de medidas en diversos contextospara expresar nmeros racionales en su notacin decimal,cientca e intervalos.

Expresa los nmeros racionales mediante notacin cientca. Ordena datos en esquemas de organizacin que representan

los nmeros racionales y sus operaciones con intervalos. Formula estrategias de estimacin de medidas o cantidades

para ordenar nmeros racionales en la recta real. Aplica variadas estrategias con nmeros racionales, intervalos

y proporciones de hasta dos magnitudes e inters compuesto Usa los smbolos de =, >,


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4.2 Algunas actividades para el desarrollo de las capacidadesvinculadas a nmeros reales

A. RECONOCIENDO ALGUNAS ACTIVIDADES PARA ELDESARROLLO DE LA CAPACIDAD DE MATEMATIZAR

Respecto a los nmeros reales, es importantereconocer que estos estn conformados por elconjunto de los nmeros racionales e irracionales.Asimismo, los intervalos expresan un subconjunto delos nmeros reales, con caractersticas de reconocer,en aquellos, infinitos nmeros reales.

Un buen recurso para iniciar las actividades matemticas y orientarnos a desarrollar lacapacidad de matematizar es recurrir a esquemas informativos.

A continuacin, se muestra un ejemplo:

Ojo con este dato

Una tarea matemtica es unapropuesta de accin que losdocentes plantean a sus estudiantespara desarrollar sus capacidadesmatemticas. En ellas se puedenrealizar varias capacidades de formadinmica y variada.

En un aula de tercer grado de Secundaria de la IE Fidel Olivas, eldocente busca representar las estaturas de todos sus estudiantesde una forma simple. A continuacin, presentamos el cuadro conlas tallas obtenidas.

1. Usando la cinta mtrica, marquen las medidas de las estaturasencontradas.

2. Usando una hoja milimetrada, representen la talla de cadaestudiante.

Estudiante Estatura

Acosta, Alonso 1,42 mAranda, Roco 1,37 m

Arias, Jean 1,56 m


Cermeo, Jos 1,55 m



Donayre, Alexandra 1,57 m

Garca, Fredy 1,68 m

Huerta, Jos 1,35 m

Irribarren, Arturo 1,45 mJaramillo, Jessica 1,45 m

Los problemaspropuestos enestas tareas nose pueden re-solver con losnmeros ra-cionales ni susoperaciones.Por ejemplo:cunto mide

el lado de uncuadrado quese forma condos cuadrados?


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A continuacin, mostramos otro ejemplo, en que el estudiante, apartir de un desafo matemtico, realiza procesos de construccingeomtrica para reconocer los nmeros irracionales.

Qu pasara si en la secuencia tendramos que hallar la longituddel lado de un cuadrado que se forma con dos, tres, cinco o seiscuadrados segn la secuencia anterior?

Cuntos casilleros hay en cada lado?

Tarea 3:Cmo construir un cuadrado con dos cuadrados?

1. Se entrega a cada alumno doscuadrados de colores diferentes.

2. Cmo deberan cortar loscuadrados para formar con todaslas piezas un cuadrado grande?

3. Peguen las piezas en su cuaderno.4. Si formaron un cuadrado con dos cuadrados, cunto mide su

lado, segn la lgica anterior?

Tarea 4:Ahora, construyan un cuadrado con cinco cuadrados deuna unidad cualquiera de lado e indiquen la medida de su lado.

Las tareas mate-mticas tienendistintos nivelesde complejidad.De acuerdo conStein, hay dosgrupos de tareassegn su deman-da cognitiva. Unode baja deman-da cognitiva, enque se encuen-tran tareas dememorizacin yprocedimientos

sin conexiones.El otro grupo esde alta deman-da cognitiva, enque los procedi-mientos requie-ren establecerconexiones. Eneste ltimo gru-po de tareas, losestudiantes mo-vilizan varias desus capacidades

matemticas.


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B. RECONOCIENDO ALGUNAS ACTIVIDADES PARA DESARROLLAR LA CAPACIDAD DEREPRESENTACIN

Es necesario comprender los nmeros reales por medio de representaciones con materialconcreto. Por ejemplo, medir objetos, establecer relaciones entre sus medidas, graficarlos,ubicarlos en la recta numrica y simbolizarlos. Se pueden usar recursos manipulativos,como reglas, compases y otros instrumentos que permiten varias posibilidades derepresentacin de los nmeros reales y sus operaciones. El uso de esquemas grficos,como cuadros y tablas, permite establecer un puente entre la situacin problemtica y ellenguaje de las matemticas.

A continuacin, mostramos cmo partiendo de actividades de medida se expresan en larecta numrica, nmeros racionales como un proceso de entrada a la construccin delsignificado y uso de los intervalos.

En un aula de tercer grado de Secundaria de la IE Fidel Olivas, eldocente busca representar las estaturas de todos sus estudiantesde una forma simple. A continuacin, presentamos el cuadro conlas tallas obtenidas.

1. Usando la cinta mtrica, marcquen las medidas de las tallasencontradas.

2. Usando una hoja milimetrada, representen la talla de cadaestudiante.

Estudiante Estatura

Acosta, Alonso 1,42 m

Aranda, Roco 1,37 m

Arias, Jean 1,56 m


Cermeo, Jos 1,55 m



Donayre, Alexandra 1,57 m

Garca, Fredy 1,68 m

Huerta, Jos 1,35 m

Irribarren, Arturo 1,45 m

Jaramillo, Jessica 1,45 m


53/1


Atencin

A continuacin,se reconoce cmoel estudiante, en eldesarrollo de laactividad, movi-liza diversas for-mas de represen-

tacin referidasa la construccindel signicado delos intervalos.

1. Cmo expresaran mediante intervalos, usando la

representacin grfica?

Expresin literalRepresentacin grfca con

intervalos

mayor que 1,37 y menorque 1,45 m

mayor que 1,54 m

mayor o igual que 1,48 ymenor que 1,50 m

mayor o igual que 1,35 ymenor igual que 1,55 m

menor que 1,56 y mayorque 1,42 m

mayor a 1,37 y menorque 1,42 m


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Si pensamos que los nmeros reales no

son parte de nuestras vidas es porqueno comprendemos el significado de losnmeros racionales ni de los irracionales.Necesitamos dialogar permanentemente conlos estudiantes sobre sus dudas. Tambinnecesitamos promover el dilogo en el aulaentre equipos de trabajo y dentro de ellos.Por ejemplo, explicar po

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Fasciculo Secundaria Matematica VII