• FAPAN: Faculdade do Pantanal• Curso : Administração de

Empresa 1º semestre• Ano Letivo: 2011 / 1• Profº: Esp. Gledson Nilton

Emiliano • e-mail: gledsoneada@hotmail.com

MATEMÁTICA INTRODUTÓRIA

• A Matemática, olhada corretamente, possui não apenas verdade, mas surpresa beleza – uma beleza fria e austera, como a de uma escultura ... sublimamente pura e capaz de perfeição severa, tal como somente a arte de maior qualidade pode apresentar. (Bertrand Russel)

“ Não há ramo da Matemática, por mais abstrato que seja, que não possa um dia vir a ser aplicado aos fenômenos do mundo real”. (LOBACHEVSKY)

CONJUNTOS NUMÉRICOS

• A Matemática se originou de convívios sociais, das trocas, das contagens, do comércio, tendo em vista o caráter prático, utilitário e empírico.

• As primeiras noções relativas ao conceito de número, nos remetem aos primórdios da raça humana.

• Encontros arqueológicos em cavernas levam-nos a estimar contagens a mais de 300.000 anos.

Os números

• Os números devem ter surgidos da necessidade do ser humano fiscalizar os próprios bens, para sua própria sobrevivência, em registros de seu interesse :

• - Marcações e desenhos em cavernas, riscos em ossos ou madeiras que representariam animais abatidos e outros.

Vivemos em um mundo matematizado.

• Como faríamos as operações e registros financeiros?

• Como comparar medidas? • Como fazer localizações? • Como seria nosso dinheiro?• Sem os números, qualquer registro numérico

teria de ser feito através de uma linguagem escrita, acarretando maiores dificuldades.

Conjuntos numéricos

• Os conjuntos numéricos surgiram para suprir as necessidades humanas quando efetuamos:

• Contagens• Registros• Cálculos• Localizações

Números Naturais (N):

• Qual é o número do seu sapato?• Qual é o número da sua casa?• Qual é o número do seu celular?• Qual é o CEP da sua cidade?• Quantas pessoas tem nesta sala?• Qual é a senha do seu cartão de crédito???????

É um conjunto de números criado/construído possivelmente para o homem efetuar comparações entre o número de elementos de diferentes conjuntos.

Representação dos Naturais

• O conjunto dos números naturais é representado por:

lN = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, ...}• Representação em uma reta numérica:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ... IN

Subconjuntos importantes dos naturais:

• lN* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, ...} (* asterisco significa a exclusão do zero).• lNp = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, ..., 2n, ...} com n Є lN , representa o conjunto dos números pares.• lNi = {1, 3, 5, 7, 9, 11,13, ..., 2n+1, ....} com n Є lN, representa o conjunto dos números ímpares.• P = { 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... } conjunto dos números primos.

Números Inteiros (Z)• Criado principalmente para as relações

financeiras. • O conjunto dos números inteiros é representado

por: Z = { ..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...}, números negativos, nulo e positivos.• Representação em uma reta numérica: ... - 6 -5 - 4 - 3 - 2 -1 0 1 2 3 4 5 6 ...

Subconjuntos de Z:

• Z* = { ..., -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, ...} Z – {0}

• Z+ = IN = {0, +1, +2, +3, +4, ...} inteiros não-negativos

• Z- = { ...,-4, -3, -2, -1, 0} inteiros não-positivos.

Módulo ou valor absoluto

• Módulo ou valor absoluto de um número inteiro: é a distância da origem ao ponto que representa o número. Assim representamos o módulo de -2 por:

• | -2 | = 2 e módulo de 2 por |2|=2.• Números opostos possuem o mesmo módulo:• |- 10| = |+10|

.. - 6 -5 - 4 - 3 - 2 -1 0 1 2 3 4 5 6 ...

Conjunto dos números Racionais (Q):

• A representação desse conjunto é feito através de uma propriedade comum à todos seus elementos.

• Q = { x | x = a/b, com a Є Z, b Є Z e b≠ 0}• Q é representado por todo número que pode

ser escrito através de um quociente entre dois inteiros, com denominador diferente de zero, mais conhecido por nós como fração.

• Números racionais:- todos os naturais e inteiros: 0, -2, 4, 10, -10...

- toda fração: ...- todo número decimal exato: 0,25; 1,2; 3,289;...

- todo número decimal infinito periódico (dízima periódica): 0,333...; 1,2555...; 2,323232... .

Determinação da fração geratriz de um número decimal: (transformar para forma fracionária)

• a) 0,75=................

• b) 1,25=...............

• c) 3,143=................

• d) 0,222...=..............

• e) 0,414141....=................

• f) 0,17878...=.....................

O conjunto dos números inteiros é um subconjunto dos racionais

• Existe uma relação de inclusão:

Q

Z IN

PORCENTAGEM

• Porcentagem é uma razão cujo o denominador é igual a 100.

• É representada pelo símbolo “%”que é lido “por cento”.

• Forma de taxa percentual: 35%• Forma de fração centesimal: 35/100• Forma decimal (taxa unitária) : 0,35

EXEMPLOS• 23% = • 45% = • 3% = • 100% = • 200% = • 0,3%

• Exemplos:

• 01- Calcular 15% de 120. • 02- Um artigo com preço R$ 120,00 tem seu valor

reajustado para R$ 150,00. Qual foi o percentual de aumento?

• 03- Um artigo de preço R$ 150,00 teve uma redução em seu preço passado a valer R$ 120,00. Qual o percentual relativo a essa redução?

• 04- Uma dívida no valor de R$ 250,00 tem desconto de 4% se paga com antecipação de pelo menos 15 dia. Sendo paga 20 dias antes do vencimento, terá, valor, em reais de:

• R$ 246,00 b) R$ 244,00 c) R$ 240,00 d) R$ 236,00

Problemas envolvendo porcentagem:

• 01-Por quanto devo multiplicar um valor C para atualizá-lo após: “chamamos este número (f) de fator de atualização (correção)

• um aumento de 35%• um aumento de 20%• um desconto de 20%• um desconto de 3%

• 02 - O governo brasileiro, em abril de 2006, aprovou o aumento do valor do salário mínimo, que passava de R$ 300,00 para 350,00. Qual foi o percentual de aumento?

• 03 - Em uma sala em que 75% dos alunos são rapazes, estudam apenas sete moças. Quantos alunos tem a classe?

• 04 - A produção de uma indústria de roupas passou , em um ano, de 60 mil para 78 mil peças.

• a) Qual foi o aumento percentual de produção?• b) Se esse percentual de aumento se repetir para o

ano seguinte, qual será a previsão da produção?

• 05 – Em uma loja o preço de uma calça foi reajustado de R$ 90,00 para R$ 112,50. Determine a taxa percentual de aumento do produto.

• 06 – Em uma loja o preço de uma camisa foi aumentado em 20%. Percebendo que as vendas sofreram uma grande queda, o gerente resolveu fazer uma promoção de 20%. O preço final da camisa (após a promoção) é menor, maior ou igual ao preço original (antes do aumento)? E qual será o preço da camisa na promoção?

• 07 –(ANTT) Um comerciante aumentou o preço de um certo

produto em 30%. Como a vendo do produto caiu, o comerciante, arrependido, pretende dar um desconto sobre o novo preço de modo a fazê-lo voltar ao valor anterior do aumento. Nesse caso o comerciante deve anunciar um desconto de aproximadamente:

• a) 19% b)23% c)25% d) 28% e)30%

• 08- O preço de uma certa mercadoria tem reajuste em um bimestre de 38%. Se no primeiro mês o aumento foi de 20%, qual foi o aumento no 2º mês?

• a) 15% b) 16% c) 17% d) 18%• • • 09 – Um investimento foi realizado em um período

com inflação de 30% gerando uma taxa de rendimento de 56%. Qual a taxa de rendimento desse investimento descontada a inflação?

• a)26% b)22% c)20% d) 18%

• 10- O preço de fábrica de uma mercadoria é de R$ 3,50, mas, ao comprá-la na fábrica , o revendedor deve pagar ainda um imposto no valor de 10% desse preço. Quando a mercadoria é comprada no varejo por um consumidor, seu preço final é acrescido de 20%. Calcular seu preço no varejo e a taxa total de acréscimo sobre o preço, da fábrica, que pagará o consumidor.

Conjunto dos números Irracionais (I):

• Há números decimais que não admitem a sua representação na forma fracionária de dois inteiros;

• são os decimais infinitos não-periódicos. Esses números são chamados números irracionais.

• Pela grande diversidade de números irracionais, vamos citar apenas alguns exemplos:

• • •

• Todos são números decimais infinitos que não apresenta periodicidade.

Conjunto dos números Reais (lR)

• Da reunião do conjunto dos números racionais (Q) com o conjunto dos números irracionais ( I ) obtemos o conjunto dos números reais. Então temos :

• lR = Q U I = { x/ x Є Q ou x Є I}

O diagrama a seguir relaciona os conjuntos numéricos estudados

INTERVALOS REAIS

• Certos subconjuntos de lR, determinados por desigualdades, têm grande importância na Matemática: são os intervalos. Assim, dados dois números reais a e b, com a < b, tem-se:

• Intervalo aberto: a b

IR

• Intervalo fechado: a b

IR[a; b] = {x Є IR| a ≤ x ≤ b}

• Intervalo semi- fechado: a b

IR [a; b[ = {x Є IR| a ≤ x < b}

• Intervalo semi- fechado: a b

IR [a; b[ = {x Є IR| a < x ≤ b}

• Intervalo infinito: “valores maiores que...” a

[a; + = {x Є IR| x ≥ a }

b IR

]- ; b] = {x Є IR| x ≤ b }

b IR ]- ; b[ = {x Є IR| x < b }

a c b IR [a; b] – {c} = {x Є IR| a ≤ x ≤ b e x ≠ c }

- + IR = {- ; + }

EQUAÇÕES : Equilíbrio, igualdades, incógnitas.

• Equação de 1º grau: é toda equação que pode ser escrita na forma ax + b = 0, com a Є IR* e b Є IR.

• 2x + 4 = 8 • 2x = 8 – 4 • 2x = 4 • x = 4/2 • x = 2

• 6.(2x – 1) – (7x + 4) = 2.(3x – 2) • 12x – 6 – 7x – 4 = 6x – 4 • 12x – 7x – 6x = +6 +4 – 4 • – x = +6 . ( -1 )• x = – 6

• S = { - 6}.

Equação com frações

• + • = • 40x +45x – 6x = 15• 79x = 15• x = 15/79

Equação do 2º grau:

• É toda equação que pode ser escrita na forma ax² + bx + c = 0 , com a ≠ 0.

• Fórmula resolutiva: • determina os valores de x.• x = onde Δ = b² – 4.a.c .

O discriminante :

• Δ > 0 → a equação possui duas raízes reais (x’ ≠ x”) .• Δ = 0 → a equação possui apenas uma raiz

real ( x’= x”).• Δ < 0 → a equação não possui raízes reais, (x’ e x”).

• 01 - Resolva as seguintes equações:• a) x² +2x – 3 = 0 • b) (x + 1)² = 2(x + 1) • c) 5x² + 4x + 1 = 0 • d) 8x² – x = 0

02 - Resolva e responda os seguintes problemas:

• a) Para produzir uma determinada peça, uma empresa tem um custo fixo de R$ 5,00, independente do número de peça produzidas, e um custo de R$ 2,00 para cada unidade produzida . Qual o número de unidades produzidas se o custo total da produção dessas peças foi de R$ 55,00?

• Mário foi de táxi de sua casa até a escola onde estuda. Ao entrar no carro observou que o taxímetro marcava R$ 3,20. Chegando à escola Mário pagou R$ 21,20. Sabendo que a distância entre sua casa e a escola é de 12 Km, qual o valor do quilômetro rodado?

• c) A quantia de R$ 200,00 será repartida entre dois sócios (S1 e S2 ). Sabendo que o sócio S1 deve receber R$ 40,00 a mais que o outro, quanto deve receber cada um ?

Equações exponenciais: Equações com incógnita nos expoentes.

• Uma equação exponencial tem sua condição de existência: “ a base da potência com incógnita no expoente deve ser maior que zero e diferente de “1”. ( b >0 e b≠ 1)

• Exemplos:• a)

• =

Como resolver uma equação exponencial:

• A técnica mais simples para resolver uma equação exponencial é reduzir os dois membros, através de transformações, para uma mesma base.

• Desta forma potencias com a mesma base nos indicará expoente com mesmo valor.

• Observe nos exemplos:

• a) = 4x = 5 x = 5/4

b)

2x + 1 =

4x + 2 = x

4x – x = -2

3x = -2

x =

• c) = 81

• - x = 4 .(-1)• X = - 4

S = { -4}

FUNÇÕES: RELAÇÕES ENTRE VARIÁVEIS

• Presente quando relacionamos duas grandezas variáveis.

• Muitas situações práticas na área de administração de empresa podem ser representadas por funções matemáticas.

• Nas análises iniciais das funções, ressaltamos conceitos como :– Representações por fórmulas, tabelas e gráficos;– Coeficientes numéricos;– Crescimento e decrescimento,– Estudo do sinal de uma função; – Pontos notáveis, interceptos ;– Valores numéricos;

Mas quando estaremos diante de uma relação que é função?

• Dado dois conjuntos não-vazios A e B, uma função de A em B é uma regra que diz como associar cada elemento x Є A a um único elemento y Є B.

• todos os elementos x Є A têm correspondente y Є B;

• a cada elemento de x Є A corresponde um único elemento y Є B.

Relações representadas por diagramas

A B A B A B

2

3

4

5

012

345

2

5

10

20

1

0

2

0

4

9

-3

-2

0

+2

A B-3

-2

0

+2

+3

-1

0

+1

Existem três modos de descrever uma função.

• O primeiro consiste em fornecer a fórmula pa ra a função juntamente com as limitações nos valores da variável independente. Temos aqui uma função especificada desta forma:

• 0 segundo método para descrever uma função é graficamente :

• O terceiro método para descrever uma função é pelo fornecimento de uma tabela com os valores da função, como mostrado na Tabela . Uma função descrita deste modo é dita estar numericamente definida.

x f(x) x f(x)-3 -8 0,5 -1

-2,5 -4 1 -4-2 -1 2 -13

-1,5 1 2,5 -19-1 2 3 -26

-0,5 2 3,5 -340 1 4 -43

Mês (t) preço (R$)1 6,72 6,753 6,84 6,885 6,956 7,017 7,088 7,149 7,2

10 7,2811 7,3612 7,45

A tabela ao lado apresenta Preço médio do quilo do contra filé em São Paulo no ano de 2003 para cada mês do ano.Temos uma relação matemática entre as grandezas “tempo” e “preço”.

Representação gráfica:

0 2 4 6 8 10 12 146.2

6.4

6.6

6.8

7

7.2

7.4

7.6

preço (R$)

preço (R$)

Apresentação das equações e coeficientes:

0 2 4 6 8 10 12 146.2

6.4

6.6

6.8

7

7.2

7.4

7.6

f(x) = 0.0676223776223776 x + 6.61045454545455R² = 0.996811572573768

preço (R$)

preço (R$)Linear (preço (R$))

Vendas de CDt (meses)

v(vendas em milhares)

0 0,51 12 24 86 288 84

10 16812 22314 24316 24818 25020 250

A tabela apresenta uma escala de tempo a partir do lançamento do produto CD assim como o respectivo valor de suas vendas (em milhares)

Representação gráfica:

0 5 10 15 20 250

50

100

150

200

250

300

v(vendas em milhares)

A linha de tendência linear não se adapta bem aos pontos da nuvem de dispersão

0 5 10 15 20 250

50

100

150

200

250

300

v(vendas em milhares)

Linha de tendência: “polinomial de 6º grau”.

0 5 10 15 20 250

50

100

150

200

250

300

f(x) = − 0.000156249 x⁶ + 0.0114358 x⁵ − 0.305989 x⁴ + 3.51898 x³ − 14.8611 x² + 20.4679 x − 2.35177R² = 0.998087300879533

v(vendas em milhares)

Domínio, contradomínio e conjunto imagem.

• Dada uma função f de A em B, onde f representa a relação entre as variáveis do conjunto A e as do conjunto B:

• Domínio (A) Contradomínio (B)

...

...

• Conforme o diagrama o domínio é representado pelos elementos :

• D(f) = {} que representa o conjunto formado pelas variáveis independentes.

• O contradomínio é representado pelo conjunto B:

• CD(f) = B = {, que representam os valores possíveis para a função.

• Os valores de “Y” que forma a relação são as imagens de “X”. Im = {}.

Domínio em um contexto:

• o domínio é constituído de todos os valores reais de x para os quais tenha significado o cálculo da imagem.

• Em uma função custo C(x)= 400 + 3x, os valores de x não podem ser negativos (não podemos ter quantidades negativas). Além disso, caso o produto seja indivisível, por exemplo, quando x é a quantidade de carros, o domínio é formado por números inteiros não negativos (IN).

• 01- Dados os conjuntos A = {0, 1, 2, 3} e B = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}, vamos considerar a função f: A B que transforma x ЄA em 2x Є B.

• 02- Uma firma de corretagem mobiliária cobra uma comissão de 6% nas compras de ouro na fai xa de R$50,00 a R$300,00. Para compras excedendo R$ 300,00, a firma cobra 2% do total da com pra mais R$12,00. Denote por “x” o valor do ouro comprado (em reais) e por f(x) a comissão cobrada em função de x.

• a) Descreva f (x)• b) Encontre f(100) e f (500).

• Uma firma que conserta televisores cobra uma taxa fixa de R$ 40,00 de visita mais R$ 20,00 por hora de mão-de-obra. Então o preço y, que se deve pagar pelo conserto de um televisor é dado em função do número x de horas de trabalho (mão-de-obra).

• 03 – Um vendedor recebe mensalmente um salário fixo de R$ 800,00 mais uma comissão de 5% sobre as vendas do mês. Em geral, cada duas horas e meia de trabalho, ele vende o equivalente a R$500,00 .

• a) Qual será o salário mensal em função do número x de horas trabalhadas por mês?

• b) Se ele costuma trabalhar 220 horas por mês o que é preferível : um aumento de 20% no salário fixo ou um aumento de 20% ( de 5% para 6%) na taxa de comissão?

• 04 – O custo p de produção, em reais, de cada vaso depende da quantidade q de vasos fabricados, e essa quantidade depende do número n de horas de funcionamento de uma máquina.

• Essas dependências são descritas pelas funções : e q = 200n

• se essa máquina funcionar por apenas 5 horas, qual será o custo de produção de cada vaso em reais?

INTERCEPTOS• São os pontos de intersecção do gráfico de uma função

com os eixos. • Intersecção com o eixo x têm coordenadas (x’,0)

x-interceptos ou raízes da função. • Intersecção com o eixo y têm coordenadas (0, y’) e são

chamados de y-interceptos.• • Exemplo: Vamos obter os pontos de intersecção do

gráfico das seguintes funções:a) f(x) = 30 + 40x b) g(x) = x2 + 2x c) h(x) = (x2 – 1)(x – 2)

Função Crescente e Decrescente

• f é crescente em [a, b] então se :• “aumenta o valor de x”, dentro do intervalo, “as

imagens correspondentes também aumentam”.

y y f(x2) f(x2) f(x1) f(x1) 𝑥1 𝑥2 𝑥 𝑜 𝑥1 𝑥2 𝑥

• f é decrescente num intervalo [a,b] então aumenta o valor de x, dentro do intervalo, as imagens correspondentes vão diminuindo.

y. y 𝑥1 𝑥2 𝑥 𝑜 𝑥1 𝑥2 𝑥

Função constante

• Caso a função tenha a mesma imagem em todos os pontos do intervalo [a,b], dizemos que a função é constante naquele intervalo.

y f(x1) = f(x2) 𝑥1 𝑥2 𝑥

Obtenha os intervalos nos quais a função dada é crescente e nos quais é decrescente.

-7 -2 1 -4 6 7

VALOR MÁXIMO E VALOR MÍNIMO DE UMA FUNÇÃO:

• ponto de máximo relativo – se as imagens de todos os valores de x pertencentes ao

domínio, situados num intervalo centrado em xo, forem menores ou iguais a imagem de xo.

• xo é um ponto de mínimo relativo – se as imagens de todos os valores de x pertencentes ao

domínio situados num intervalo centrado em xo forem maiores ou iguais á imagem de xo . A imagem de f(xo) é chamado de valor mínimo de f.

Graficamente Máx. relativo Máx. relativo

Mín. relativo Mín. relativo

Máximo e mínimo absoluto

• Seja f(x) uma função contínua em [a, b]. Os pontos de máximo e mínimo absoluto de f(x) ocorrem em um ponto de máximo relativo e mínimo relativo, ou em uma das extremidades do intervalo [a, b], como podemos ver no seguinte gráfico:

Máx. absoluto y Mín. absoluto a b x

Exercícios:01- Determine os pontos de máximo e mínimo relativos e máximo e mínimo absolutos:

-7 -2 1

-4 6 7

Mínimo absoluto

Máx. absoluto

• 02 – Uma calculadora é vendida por R$ 200,00 a unidade.• a) Sendo x a quantidade vendida, qual será a fórmula

matemática que representa a receita de vendas?• b) Determine o domínio e o conjunto imagem desta

função. • 02 – Uma livraria vende uma revista por R$ 5,00 a

unidade. Seja x a quantidade vendida. • a) Obtenha a função receita R(x) e calcule os valores de

R(40), R(50) e R(100).• b) Qual a quantidade que vede ser vendida para dar uma

receita igual a R$ 700,00?

• 03 – O custo de fabricação de x unidades de um produto é dado pela função C(x) = 100+2x.

a) Qual o custo de fabricação de 10 unidades?b) Qual o custa de fabricação da 10ª unidade, já tendo sido fabricados nove unidades?

• 04 – Chama-se custo médio de fabricação de um produto ao custo de produção dividido pela quantidade produzida. Indicando o custo médio correspondente a x unidades produzidas por Cme(x), teremos : Cme(x) =

-O custo de fabricação de x unidades de um produto é C(x) = 500 + 4x.a) Qual o custo médio de fabricação de 20 unidades?b) Qual o custo médio de fabricação de 40 unidades?c) Para que valor tende o custo médio à medida que x aumenta?