FAMAT em Revista

www.famat.ufu.br

Revista Científica Eletrônica daFaculdade de Matemática - FAMAT

Universidade Federal de Uberlândia - UFU - MG

Número 06 - Maio de 2006

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e-mail: [email protected]

Comitê Editorial: Márcio José Horta Dantas - Famat/Ufu

Valdair Bonfim - Famat/Ufu

Marcos Antônio da Câmara - Famat/Ufu

Flaviano Bahia Paulinelli Vieira - Petmat - Famat/Ufu

Maria Luiza Vitorino Gonçalves - Damat - Famat/Ufu

FAMAT em Revista

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EditorialA sexta edição da FAMAT em Revista assinala a passagem do antigo Comitê para o

novo Comitê Editorial formado por:

Márcio José Horta Dantas – Editor Responsável Valdair Bonfim – Coordenador do Curso de Matemática Marcos Antônio Câmara – Tutor PETMAT Flaviano Bahia Paulinelli Vieira – aluno PETMAT Maria Luiza – aluna representante DAMAT

Este novo Comitê espera fazer jus à responsabilidade na qual foi investido e realizar um trabalho tão bom quanto o realizado pela equipe anterior.

O Comitê Editorial da FAMAT em Revista, com muita satisfação, vem disponibilizar à comunidade acadêmica o seu sexto número. A FAMAT em Revista é a revista eletrônica da comunidade acadêmica da Faculdade de Matemática da Universidade Federal de Uberlândia – MG. A sua finalidade é promover a circulação de idéias, estimular o estudo da Matemática e despertar a curiosidade intelectual dos estudantes e de todos aqueles que se interessam pelo estudo de Matemática.

Gostaríamos de externar nosso contentamento com a aceitação de nossa revista; a quantidade de artigos completos de iniciação científica vem se mantendo expressiva desde a terceira edição, o que tomamos como índice de nossos esforços, em prol do estudo de matemática e de mantermos uma revista voltada para os trabalhos de graduação, estão logrando certo êxito.

Em relação ao conteúdo do sexto número da revista, foram contempladas as atividades desenvolvidas no segundo semestre de 2005 e parte do primeiro semestre de 2006. Abaixo, apresentamos de modo sucinto, as diversas contribuições e matérias que compõe cada seção.

Em Artigos Completos de Iniciação Científica, contamos com nove trabalhos muito interessantes, todos desenvolvidos em projetos de Iniciação Científica orientados por professores da FAMAT. Sem dúvida, a leitura dos mesmos irá enriquecer a formação de estudantes de matemática.

Na Seção Problemas e Soluções, apresentamos as resoluções de quatro problemas propostos no número anterior. Para o problema 20 são apresentadas duas soluções, uma do Coordenador da Seção e outra dada por um aluno do curso de Matemática. Esperamos que no futuro mais soluções de nossos alunos sejam publicadas. Além disso, quatro novos desafiadores problemas são propostos neste número.

Na Seção Eventos, disponibilizamos aos nossos leitores uma lista dos eventos ligados à matemática a serem realizados no primeiro semestre de 2006. Anunciamos, também, os principais eventos já confirmados para o segundo semestre de 2006.

Na Seção Reflexões sobre o Curso de Matemática, temos um artigo do Coordenador do Curso de Matemática, Prof. Valdair Bonfim, sobre a implantação da Reforma Curricular e todo o processo aí envolvido. Cremos que será muito instrutivo para os nossos leitores ter conhecimento de todo este processo.

Na Seção Em Sala de Aula temos um artigo da Profa Fabiana Fiorezi de Marco da FAMAT, sobre Jogo no Ensino de Matemática. Neste artigo são discutidos os resultados de uma pesquisa realizada com alunos do curso de Licenciatura em Matemática da Universidade Federal de Uberlândia em que são interpretadas as concepções dos alunos sobre a utilização de jogos no ensino de Matemática, após algumas discussões teóricas e práticas. Para os que estão interessados em Educação Matemática este é sempre um tema interessante.

Na Seção Iniciação Científica em Números trazemos uma descrição dos atuais projetos de Iniciação Científica e de Ensino da FAMAT – UFU desenvolvido por alunos do Curso de Licenciatura e Bacharelado em Matemática.

Na Seção E o meu Futuro Profissional, apresentamos uma entrevista com Germano Abud de Resende, que é Bacharel pela FAMAT –UFU e é Mestre em Matemática pela UNICAMP. Em sua entrevista, Germano relata suas experiências nas Pós – Graduação e cremos que será muito interessante para todos aqueles que querem seguir a carreira acadêmica.

Na Seção Merece Registro, destacamos as atividades e os fatos que mereceram destaque na FAMAT no período de outubro de 2005 a março de 2006.

Finalmente, esperamos que os nossos leitores apreciem os trabalhos aqui publicados e lembramos que críticas e sugestões produtivas são sempre bem-vindas.

Comitê Editorial

Indice de Secoes

Secao 1: Trabalhos Completos de Iniciacao Cientıfica 7

Secao 2: Problemas e Solucoes 169

Secao 3: Eventos 177

Secao 4: Reflexoes sobre o Curso de Matematica 181

Secao 5: Em Sala de Aula 195

Secao 6: Iniciacao Cientıfica em Numeros 209

Secao 7: E o meu Futuro Profissional? 215

Secao 8: Merece Registro 221

FAMAT em Revista



Número 06 - Maio de 2006www.famat.ufu.br

Trabalhos Completos deIniciação Científica

PBIIC-FAPEMIG-UFU - Programa de Bolsas Institucionais de Iniciação Científica daFundação de Amparo à Pesquisa do Estado de Minas Gerais

PETMAT-UFU - Programa de Educação Tutorial da Faculdade de Matemática

PIBIC-CNPq-UFU - Programa Institucional de Bolsas de Iniciação Científica doConselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico

PROMAT-UFU - Programa Institucional de Iniciação Científica e Monitoria da Faculdade de Matemática

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Comitê Editorial da Seção Trabalhos Completos de Iniciação Científica

do Número 06 da FAMAT EM REVISTA:

Márcio José Horta Dantas (coordenador da seção) Valdair Bonfim

Marcos Antônio da Câmara Flaviano Bahia Paulinelli Vieira

Instrucoes para submissao de Trabalhos

A Secao de Trabalhos de Iniciacao Cientıfica visa divulgar trabalhos que estejam as-sociados a projetos cadastrados na(o) PBIIC-FAPEMIG / PETMAT / PIBIC-CNPq /PROMAT ou IM-AGIMB e orientados por docentes da FAMAT.

Trabalhos completos em nıvel de iniciacao cientıfica dos programas acima listadossubmetidos para publicacao na Revista Eletronica “Famat em Revista” estarao sujeitosa apreciacao pelo Comite Editorial responsavel por essa secao de artigos e, se for o caso,por consultores ad hoc ligados a area ou subarea do trabalho. Caso se faca necessario,sugestoes para o aperfeicoamento do trabalho serao dirigidas aos interessados pelo ComiteEditorial.

Alem da redacao clara e concisa que todo trabalho submetido a boa qualidade devepossuir, pede-se evitar o estilo arido e extremamente tecnico caracterıstico de algumaspublicacoes matematicas, nao perdendo de vista que o publico-alvo ao qual se destina arevista e constituıdo por alunos de graduacao.

Os trabalhos submetidos ate o final de um semestre letivo serao publicados na edicaoda revista lancada no inıcio do semestre letivo subsequente.

Quanto as normas tecnicas para submissao dos trabalhos:

1) Formato do arquivo: PDF

2) Tamalho da Folha: A4

3) Margens: 2,5 cm (portanto, area impressa: 16 cm x 24,7 cm)

4) Tamanho de fonte (letra): 12 pontos (exceto tıtulos, subtıtulos, notasde rodape, etc, que ficam submetidos ao bom senso)

5) Espacamento entre linhas: Simples

6) Orientador(es), tipo de programa e orgao de fomento (se houver)devem constar no trabalho.

Envio:Por e-mail: [email protected]

Indice de Trabalhos

A ANALISE AMMI-PLOT PARA NO MELHORAMENTODE FRUTOS DE PIMENTAO 13

FERNANDA BONUTI, MARCELO TAVARESE EDNALDO CARVALHO GUIMARAES

ESTUDO DOS ALGORITMOS EVOLUTIVOS: PSO e ACO 24

JAIR ROCHA DO PRADO, SEZIMARIA F. P. SARAMAGO

EVOLUCAO DIFERENCIAL APLICADA A SOLUCAODE ALGUNS PROBLEMAS DE ENGENHARIA DE PRODUCAO 48

MATHEUS BORGES ARANTES, GIOVANA TRINDADE DASILVA OLIVEIRA E SEZIMARIA FATIMAPEREIRA SARAMAGO

AS DESIGUALDADES ENTRE AS MEDIAS ARITMETICA,GEOMETRICA, HARMONICA E QUADRATICA DEDOIS NUMEROS REAIS 62

THIAGO RODRIGUES DA SILVA E DULCE MARY DE ALMEIDA

CODIGOS CORRETORES DE ERROS LINEARES 75

ADENILCE OLIVEIRA SOUZA E MARCOS ANTONIO DA CAMARA

EQUACOES DE CONGRUENCIA DE GRAU MAIOR DO QUE UM 111

PATRICIA BORGES DOS SANTOS E MARCOS DA ANTONIO CAMARA

TRANSFORMACOES GEOMETRICAS EA CONSTRUCAO COM REGUA E COMPASSO 123

BRUNO N. DE SOUZA, CLAUDIA HELENA V. FREITASE JOCELINO SATO

ESTUDO DE PARAMETROS FUZZY NOS MODELOSDE EVOLUCAO DA AIDS COM TRATAMENTO 145

EDER LUCIO DA FONSECA E ROSANA SUELI DA MOTTA JAFELICE

USO DE AUTOMATO CELULAR NO ESTUDO DAEVOLUCAO DA AIDS 159

JOAO CLAUDIO MARTINS DE FREITAS E ROSANA SUELI DAMOTTA JAFELICE

A ANÁLISE AMMI-PLOT PARA NO MELHORAMENTO DE

FRUTOS DE PIMENTÃO.

FERNANDA BONUTI1, MARCELO TAVARES2, EDNALDO CARVALHO

GUIMARÃES3

RESUMO

A análise Ammi-Plot mostra a formação de grupos homogêneos de linhagens a partir da

capacidade específica de combinação, permitindo assim a visualização dos materiais

genéticos que apresentam maior capacidade de formarem bons híbridos. Este trabalho teve

por objetivo utilizar representação Biplot Ammi para seleção de híbridos em um programa de

melhoramento de pimentão a partir de um cruzamento dialélico. A representação Biplot

Ammi permitiu a visualização das combinações híbridas superiores principalmente utilizando

o material Agronômico 8.

Palavras chave: Cruzamentos dialélicos; Pimentão; Biplot Ammi; Híbridos.

THE BIPLOT AMMI ANALYSIS FOR THE BREEDING OF FRUITS OF

THE SWEET PEPPER.

ABSTRACT

The aim of this work was showed the use of the biplot ammi analysis in the breeding

sweet pepper for the identification of high hybrids. The results showed that analysis was

efficient in the identification of the betters hybrids combinations.

Key words: Sweet Pepper; Biplot Ammi; Fruits; Hybrids.

INTRODUÇÃO

A utilização de híbridos em várias espécies, tem se mostrado com alto potencial nos

programas de melhoramento. Várias técnicas têm sido testadas e avaliadas para a

1 Aluna FAMAT/UFU, [email protected] (Bolsista PIBIC - FAPEMIG) 2 Faculdade de Matemática (FAMAT) da Universidade Federal de Uberlândia, Avenida João Naves de Ávila, 2160, Campus Santa Mônica, Uberlândia (MG), 34408-100. [email protected] (orientador) 3 FAMAT/Universidade Federal de Uberlândia – [email protected] (professor colaborador)

identificação das melhores combinações híbridas. O pimentão está entre as principais em

termos de consumo e produção. Além de um manejo adequado, a utilização de cultivares

híbrido possibilita aumentos potenciais, precocidade, maior uniformidade, maior vigor inicial

e maior resistência a doenças. No Brasil o custo e a disponibilidade de mão-de-obra para

execução de cruzamentos manuais, dificultam o desenvolvimento de programas de

melhoramento visando híbridos, reduzindo assim o número de cruzamentos a serem

realizados.

A avaliação do desempenho dos híbridos F1 pode ser realizada através da avaliação

per se dos mesmos pelo uso de delineamentos especiais tais como North Carolina I, II, III e

cruzamentos dialélicos (Jinks, 1983), ou através de técnicas que possibilitem a estimar da

superioridade dos híbridos em função da covariância entre parentes (Maluf et al., 1983 e

Falconer, 1981), ou pela divergência genética dos progenitores (Miranda et al., 1988).

O número de híbridos que podem ser obtidos a partir de um pequeno conjunto de

parentais cresce vertiginosamente, fazendo com que a avaliação deste grande número de

materiais possa ser muitas vezes realizada de maneira imprecisa, ou até mesmo impraticável.

O uso de híbridos é vantajoso porque combina caracteres qualitativos e quantitativos

importantes em uma só geração. Essa vantagem é ampliada pelo benefício da heterose em

características importantes como produtividade, qualidade e uniformidade. Em geral as

obtenções de híbridos de espécies autógamas, como pimentão, adotam-se esquemas híbridos

simples, pois as linhagens homozigóticas não perdem vigor e não afeta, portanto a produção

de sementes.

As sementes híbridas de pimentão apresentam um custo bastante elevado quer seja

no processo de obtenção das linhagens superiores ou através da avaliação das melhores

combinações heteróticas. Portanto uma análise mais criteriosa dos materiais para formação

dos grupos heteróticos, possibilitará uma redução no número de cruzamentos e assim uma

redução nos custos de um programa de melhoramento de pimentão. Com a separação das

linhagens em grupos heteróticos podem-se diminuir os cruzamentos e as avaliações dos

híbridos em experimentos com repetições e aumentar a eficiência do programa. A

representação Biplot Ammi permite a visualização das combinações híbrida superiores por

meio de gráficos, facilitando a formação dos grupos heteróticos. Desta forma este trabalho

teve por objetivo verificar a divergência genética de linhagens de pimentão a partir de

estimativas da capacidade específica de combinação obtidas por meio de cruzamentos

dialélicos e identificar grupos heteróticos utilizando-se a representação gráfica Biplot Ammi.

MATERIAL E MÉTODOS

Serão utilizados para análise os dados referentes a um experimento onde foi avaliado

seis cultivares de pimentão devido as suas características e/ou origem - (1) Linha - 006, (2)

Agronômico - 8, (3) Ikeda, (4) Linha - 004, (5) Linha – 008, (6) Magda e todos os híbridos

possíveis entre estes cultivares, excluindo-se os recíprocos. Os tratamentos foram formados a

partir dos quinze híbridos experimentais e os seis materiais parentais, totalizando vinte e um

tratamentos em esquema dialélico. Os materiais Linha – 004 Linha – 006 e Linha – 008,

foram desenvolvidos pelo Prof. Wilson Roberto Maluf da Universidade Federal de Lavras.

O experimento foi conduzido no delineamento de blocos casualizados com 3

repetições, na Universidade Federal de Lavras (antiga Escola Superior de Agricultura de

Lavras - ESAL), sendo que cada parcela foi constituída de uma fileira única de 7,5 m de

comprimento com um total de quinze plantas, onde foram utilizadas para a coleta de dados

apenas as cinco plantas mais representativas previamente selecionadas. Maiores detalhes

experimentais podem ser encontrados em Tavares (1993).

Os caracteres avaliados foram os seguintes: i)LOC (Número de lóculos por fruto); ii)

LARG (Largura de frutos); iii) COMP (Comprimento de frutos); iv)PMFA (Peso médio de

frutos amostrados); v) RC\L (Relação comprimento\largura).

Para a análise dialélica, as capacidades específicas de combinação foram

estimadas a partir do modelo II proposto por Gardner & Eberhart (1966). A realização da

análise Biplot-AMMI a partir das estimativas das capacidades específicas de combinação,

será realizada segundo metodologia apresentada por Duarte e Pinto (2002). A representação

biplot constitui-se em uma técnica de álgebra matricial denominada decomposição por valores

singulares (DVS). Este procedimento proposto por Eckart and Young (1936), permite

escrever uma matriz real B, de posto p, como uma soma de p parcelas (matrizes) ortogonais

entre si e de posto unitário:

B(lxc) = kk

p

1uk vk’ ; com: k=1, 2, ..., p e p min{l , c}

Em que, k é o k-ésimo valor singular de B (raiz quadrada do k-ésimo autovalor não

nulo de BB’ ou B’B), e uk e vk’ são os vetores singulares associados, vetor-coluna e vetor-

linha, respectivamente.

Outra propriedade importante da DVS é que ela determina um desdobramento da

soma de quadrados dos elementos da matriz decomposta (SQB). Considerando-se que B é a

matriz de estimativas dos desvios de CEC ( ijs , com média zero), tal soma relaciona-se

diretamente com a SQCEC da análise de variância dialélica. Assim, no caso de um dialelo

parcial, SQB=SQCEC, and SQB=2SQCEC no caso de um dialelo completo (B simétrica). Em

uma situação mais geral (B retangular), o particionamento da SQB pode ser ilustrado

algebricamente por:

SCAIPCAi,j

ij

SCAi,j

iji,j

iji,j

iji,j

iji,j

ij

]b[]b[]b[]b[

)x(

SSSS...s

SSb ... bbsb

...

ijijijij

p

kp

p

kk

p

B

ppp

BBB

mf

k

pp

VUSvuvuvuB

1

222

21

1

22

222

21

22

222111

2211

A SQCEC é, portanto, desdobrada em componentes relativos a cada termo da DVS

(decomposição de valores singulares), ou seja, a cada eixo principal da interação (IPCAk), no

qual a interação avaliada é a CEC. Semelhante ao que ocorre com os diagramas de dispersão

numa análise de componentes principais, tomando-se de forma cumulativa os sucessivos

termos do desdobramento, obtém-se aproximações cada vez melhores para a SQCEC original.

Porém, sendo 12

22 ... p

2, é possível que apenas os poucos primeiros termos (um, dois

ou três) sejam suficientes para descrever uma alta proporção dessa soma de quadrados. Assim,

a análise permite interpretar a SQCEC por meio de uma aproximação de posto n de uma matriz

CE. Sendo n possivelmente menor que p (ex. n =1, 2 ou 3) a análise resulta em um modelo

informativo e possível de representação gráfica. Assim, a aproximação DVS de uma matriz

permite representar os efeitos de cada linha e cada coluna num gráfico denominado biplot.

Os grupos heteróticos serão formados baseando-se nas estimativas das capacidades

específicas de combinação (CEC) e na inspeção visual dos gráficos resultantes das análises

Biplot-AMMI. As estimativas de CEC serão consideradas como medidas de distância entre as

linhagens, sendo que cruzamentos com efeitos de CEC positivos indicam que as linhagens

pertencem a grupos heteróticos opostos e cruzamentos com efeitos de CEC negativos indicam

que pertencem ao mesmo grupo heterótico.

Uma propriedade da representação biplot é que, multiplicando-se o valor da

coordenada de um marcador de linha pelo de um marcador de coluna, reproduz-se o elemento

correspondente na matriz aproximada. Ou seja, o produto entre a coordenada de uma fêmea i

e a de um macho j recupera o valor da CEC esperado para aquela combinação híbrida

( sijAMMI ).Nesse sentido, fêmeas e machos com coordenadas de elevada magnitude e de mesmo

sinal apresentam elevada CEC (interação positiva), caracterizando-se, portanto, como

combinações favoráveis à hibridação comercial. Por outro lado, combinações cujas

coordenadas apresentem sinais opostos mostram CEC negativas, ou seja, são desfavoráveis.

Dessa forma, as distâncias genotípicas intergrupos (F/M) tem interpretação inversa em relação

à distância visualizada no gráfico. Ou seja, pontos próximos entre si não indicam similaridade

genotípicas, mas, sim, afinidade para se combinarem em bons híbridos.

Por outro lado, inspecionando-se somente os marcadores (variáveis) de fêmeas (ou

só os de machos) é possível avaliar as divergências intragrupos. E, neste caso, pontos

próximos indicam maior similaridade genotípica. Nos dialelos completos, as fêmeas e os

machos são os mesmos genótipos e, portanto, esta inspeção permitirá avaliar a divergência

entre todos os materiais. Assim, para fins de agrupamento dos genótipos, seria suficiente

plotar apenas os marcadores de fêmeas (ou de machos). Porém, neste caso, perder-se-ia a

oportunidade de predizer graficamente a magnitude das CEC’s e, por conseguinte, identificar,

também no gráfico, as combinações híbridas mais promissoras.

RESULTADOS E DISCUSSÃO

As representações das variáveis estudadas COMP (Comprimento de frutos), LARG

(Largura de frutos), RC\L (Relação comprimento\largura), LOC (Número de lóculos por

fruto) e PMFA (Peso médio de frutos amostrados), estão representadas por meio das figuras 1

a 5 respectivamente. Nestas figuras a notação M representa o pai e F a mãe dos dos parentais

utilizados. Já os números 1 a 6 representam cada um dos parentais, (1) Linha - 006, (2)

Agronômico - 8, (3) Ikeda, (4) Linha - 004, (5) Linha – 008, (6) Magda.

Na figura 1 verifica-se que os parentais, ou seja, os materiais avaliados, apresentaram

uma alta divergência genética, já que dentro dos parentais masculinos (M) e dos femininos

(F), a maioria dos materiais avaliados mantiveram-se relativamente distantes, sem a formação

de grupos altamente similares. Somente a Linha-008 e Magda, estiveram mais próximos, ou

seja, mais similares para o comprimento do fruto.

Já visualizando as combinações híbridas (entre M e F) obtidas no cruzamento

dialélico, a Linha 006 e Agronômico 8 (M1 e F2), foram os que estiveram mais próximos na

representação gráfica Biplot Ammi, mostrando assim uma maior capacidade específica de

combinação. Portanto para a variável comprimento do fruto, a melhor combinação híbrida

será advinda do cruzamento entre Linha-006 e Agronômico 8.

Figura 1. Plano dos dois primeiros componentes principais para a capacidade específica de

combinação em pimentão, para o comprimento de frutos de um cruzamento dialélico, onde F

representa os genótipos da linha e M os genótipos da coluna da tabela dialélica. Os número de

1 a 6 representam os genótipos Linha - 006, Agronômico - 8, Ikeda, Linha - 004, Linha –

008 e Magda, respectivamente.

Já para a largura de frutos, os materiais mais divergentes foram Linha-008 e

Agronômico 8, como pode ser visualizado na figura 2. Esta alta divergência mostrada entre

matérias em relação aos demais, é expressada pela boa combinação específica entre estes dois

materiais (M5 e F2), que graficamente estiveram próximos.


combinação em pimentão, para a largura de frutos de um cruzamento dialélico, onde F

representa os genótipos da linha e M os genótipos da coluna da tabela dialélica. Os número de

1 a 6 representam os genótipos Linha - 006, Agronômico - 8, Ikeda, Linha - 004, Linha –

008 e Magda, respectivamente.

O comportamento dos materiais avaliados da variável relação comprimento/largura

(figura 3) apresentou uma diversidade genética um pouco diferenciada do comprimento e da

largura de frutos individualmente. O Agronômico 8, manteve o comportamento de ser o mais

divergente dos vários materiais avaliados. Tanto o Agronômico 8, quanto a Linha-006

também foram os mais divergentes, quando avaliados somente em termos de largura ou

comprimento dos frutos individualmente.


combinação em pimentão, para a relação comprimento/largura de frutos de um cruzamento

dialélico, onde F representa os genótipos da linha e M os genótipos da coluna da tabela

dialélica. Os número de 1 a 6 representam os genótipos Linha - 006, Agronômico - 8, Ikeda,

Linha - 004, Linha – 008 e Magda, respectivamente.

A Linha-008 e Agronômico 8 foram os mais divergentes entre os materiais avaliados

para o número de lóculos por fruto, como pode ser visto por meio da figura 4. Também

apresentaram uma boa capacidade específica de combinação entre si, ou seja, podem formar

bons híbridos.

Outros híbridos de performance superior podem ser obtidos pelos cruzamentos entre

Ikeda e Magda (M3 e F6) e Linha-004 e Linha-008 (M4 e F5).


combinação em pimentão, para o número de lóculos por frutos de um cruzamento dialélico,

onde F representa os genótipos da linha e M os genótipos da coluna da tabela dialélica. Os

número de 1 a 6 representam os genótipos Linha - 006, Agronômico - 8, Ikeda, Linha - 004,

Linha – 008 e Magda, respectivamente.

Com relação ao peso médio de frutos amostrados, entre os materiais avaliados os

mais divergentes foram Linha-006 e Magda. Estes materiais também apresentaram uma alta

capacidade de formar híbridos superiores, já que M1 e F6 apresentaram-se no gráfico bem

próximos. Também as combinações formadas por Linha-004 x Linha-008 e também Linha-

008 x Agronômico 8, mostraram-se com alto potencial para exploração do vigor de híbrido.


combinação em pimentão, para o peso médio de frutos amostrados de um cruzamento

dialélico, onde F representa os genótipos da linha e M os genótipos da coluna da tabela

dialélica. Os número de 1 a 6 representam os genótipos Linha - 006, Agronômico - 8, Ikeda,

Linha - 004, Linha – 008 e Magda, respectivamente.

CONCLUSÃO

Podemos concluir que a análise Biplot Ammi mostrou-se eficiente na identificação

da diversidade e das melhores combinações híbridas em programas de melhoramento, sendo

que o material Agronômico 8 mostrou-se como promissor para produção de híbridos.

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

DUARTE, J. B. & PINTO, R. M. C. Biplot ammi graphic representation of specific

combining ability. Crop breeding and applied biotechnology, 2002 (prelo).

EKART, C. & YOUNG, G. The aproximation of one matrix by another of lower rank.

Psychometrika, v.1, n.3, p.211-218, 1936.

FALCONER, D.S., Introduction to quantitative genetics. 2.ed. London, Longman, 340p.

1981.

GARDNER,C.O. & EBERHART,S.A., Analysis and interpretation of the variety cross diallel

and related populations. Biometrics, Raleigh, 22:439-52, 1966.

JINKS, J.L., Biometrical genetics of heterosis. In: FRANKEL, R., ed. Heterosis; reappraisal

of theory and pratice. Berlin, Springer Verlag, p.1-46, 1983.

MALUF, W. R.; FERREIRA, P. E. & MIRANDA, J. E. C. de., Genetic divergence in

tomatoes and its relationship with heterosis for yield in F1 hybrids. Revista Brasileira de

Genética, Ribeirão Preto, 6:453-60, 1983.

MIRANDA, J. E. C. de; CRUZ, C. D. & COSTA, C. P. da., Predição do comportamento de

híbridos de pimentão (Capsicum annuum L.) pela divergência genética dos progenitores.

Revista Brasileira de Genética, Ribeirão Preto, 11:929-37, 1988.

TAVARES, M. Heterose e estimativa de parâmetros genéticos em um cruzamento dialélico

de pimentão (Capsicum annuum L.). Lavras, 1993. 88p. (Dissertação Mestrado) - Escola

Superior de Agricultura de Lavras

ESTUDO DOS ALGORITMOS EVOLUTIVOS: PSO e ACO

Jair Rocha do Prado 1, Sezimária F. P. Saramago2

Resumo. Neste trabalho são apresentados os métodos de otimização natural conhecidos como Colônia

de Partículas (Particle Swarm Optimization - PSO) e Colônia de Formigas (Ant Colony Optimization -

ACO). O algoritmo PSO é baseado em um modelo simplificado da teoria de enxames (swarm theory),

através da qual os pássaros ou partículas fazem uso de suas experiências e da experiência do próprio

bando para encontrarem o ninho ou alimento. Colônia de Formigas (ACO) é o segundo método

estudado nesta pesquisa e seu modelo é inspirado no estudo do comportamento de colônias de

formigas, em particular, no seu comportamento na procura de alimentos. Este método também envolve

uma população de indivíduos, mas com princípios muito diferentes dos outros algoritmos evolutivos.

De uma forma geral, a técnica ACO consiste na utilização de uma trilha de feromônio para guiar a

procura do ótimo. Algumas aplicações são apresentadas para ilustrar as metodologias estudadas. Além

disso, é considerado o problema de maximizar o espaço de trabalho de robôs manipuladores.

Palavras-chave: Otimização por Colônia de Partículas, Otimização por Colônia de Formigas, Robôs

Manipuladores.

STUDY OF EVOLUTIONARY ALGORITHMS: PSO and ACO

Abstract. In this work are presented the natural optimization methods known as Particle Swarm

Optimization (PSO) and Ant Colony Optimization (ACO). The algorithm PSO is based on a simplified

model of the swarm theory, in which the birds or particles make use of their own experience and the

swarm experience in order to find local with food or the nest. ACO is the second type of optimization

techniques considered in this paper, which model is deriving from the study of ant colonies, in

particular, in its behavior in the food search. In this method a population of individuals also evolves but

with very different principals from the other evolutionary algorithms. One general ACO techniques

consists in using pheromone trails to guide the search for the optimum. Some applications are presented

to illustrate the studied methodologies. Besides, it is considered the maximization of the robot

manipulators workspace.

Keywords: Particle Swarm Optimization, Ant Colony Optimization, Robot manipulator.

1Faculdade de Matemática, UFU, e-mail: [email protected] de Matemática, UFU, e-mail: [email protected] Av. João Naves de Ávila, 2160, Santa Mônica, Uberlândia, MG, Brasil.

1. INTRODUÇÃO

Otimização é o processo de ajuste de características de um dado processo, matemático ou

experimental, para se encontrar o valor máximo ou mínimo da função associada ao referido processo,

que represente seu desempenho. Pode-se aplicar a otimização em várias áreas do conhecimento. Nas

últimas décadas, a aplicação de otimização em problemas de engenharia tem crescido

consideravelmente. Existem muitos métodos de otimização e cada um deles alcança melhor

desempenho dependendo do tipo de problema considerado. A escolha do método depende de uma série

de características do problema a ser otimizado, principalmente do comportamento da função que o

representa, podendo ser de difícil determinação.

As técnicas para a programação não-linear podem ser divididas em métodos determinísticos e

estocásticos, também conhecidos como métodos naturais.

Os métodos determinísticos são baseados no cálculo de derivadas ou em aproximações destas,

necessitando de informações do vetor gradiente, seja procurando o ponto onde ele se anula ou usando a

direção para a qual aponta. Estes métodos só produzem bons resultados quando as funções são

contínuas, convexas e unimodais (funções que possuem apenas um ponto de mínimo ou de máximo)

Sendo um campo crescente de pesquisa e aplicação, torna-se difícil e perigoso chamar qualquer

método de clássico. Pode-se entender como métodos clássicos todo algoritmo de otimização e busca

que usa apenas uma solução atualizada em cada iteração e que, principalmente, trata-se de métodos

determinísticos. Muitos algoritmos de otimização podem ser encontrados em livros padrões (Deb,

1995; Fox, 1971; Haug e Arora, 1989; Himmelblau, 1972; Reklaitis et al, 1983, Vanderplaats, 1999).

A maioria dos algoritmos clássicos ponto a ponto usa um procedimento determinístico para

aproximar a solução ótima. Tais algoritmos começam de uma solução inicial. Daí, baseado em regras

de transição pré-especificada, o algoritmo indica uma direção de busca, obtida através de informações

locais. A busca unidimensional, i.e., busca em apenas uma dimensão, é então realizada ao longo da

direção de busca até encontrar a melhor solução. Esta melhor solução torna-se a nova solução e o

procedimento acima é repetido por um determinado número de vezes. Os algoritmos variam em geral

no modo de escolher as direções de busca.

De forma geral, os métodos de otimização natural requerem maior esforço computacional

quando comparados aos métodos clássicos, mas apresentam vantagens tais como: fácil implementação,

robustez e não requerem continuidade na definição do problema (Venter e Sobieszczanski-Sobieski,

2002).

Os métodos naturais, dos quais os algoritmos evolucionários, ou evolutivos (AEs) fazem parte, se

caracterizam pela busca da melhor solução através de regras de probabilidade, trabalhando de maneira

“aleatória orientada”. Tais métodos utilizam apenas as informações da função de otimização, não

requerendo informações sobre suas derivadas ou possíveis descontinuidades.

Como exemplo desta classe de métodos, pode-se citar os Algoritmos Genéticos, que trabalham

com técnicas de computação evolutiva, as quais modelam a evolução das espécies proposta por Darwin

e operando sobre uma população de candidatos (possíveis soluções). A idéia é que a evolução da

população faça com que a formação dos cromossomos dos indivíduos caminhe para o ótimo, à medida

que aumenta sua função de adaptação (fitness).

O algoritmo conhecido como Colônia de Partículas (Particle Swarm Optimization), um método

baseado no comportamento social de aves. A busca por alimento ou pelo ninho e a interação entre os

pássaros ao longo do vôo são modelados como um mecanismo de otimização. Fazendo uma analogia, a

área sobrevoada é equivalente ao espaço de projeto e encontrar o local com comida ou o ninho

corresponde a encontrar o ótimo. O algoritmo é baseado em um modelo simplificado da teoria de

enxames (swarm theory), através da qual os pássaros ou partículas fazem uso de suas experiências e da

experiência do próprio bando para encontrarem o ninho ou alimento.

Outro método estudado de otimização natural é conhecido como Colônia de Formigas (Ant

Colony Systems). Esta técnica é inspirada no comportamento de colônias de formigas reais, em

particular, pelo seu comportamento na procura de alimento, a idéia central é a comunicação indireta

entre as formigas de uma colônia a qual se baseia na disposição de feromônio no percurso realizado.

Algumas aplicações simples são apresentadas para ilustrar as metodologias estudadas. Além

disso, também é tratado o problema de maximizar o volume de trabalho de robôs manipuladores 3R .

1.1 Problema Geral de Otimização

O problema geral de otimização consiste em minimizar uma função objetivo, sujeita, ou não, a

restrições de igualdade, desigualdade e restrições laterais.

A função objetivo e as funções de restrições podem ser funções lineares ou não lineares em

relação às variáveis de projeto, implícitas ou explícitas, calculadas por técnicas analíticas ou numéricas.

Seja o problema geral de otimização dado por:

Minimizar: f(x), x = [x1, x2,..., xn]T, x n (1)

Sujeito a: jg (x) 0 , j=1,2,...,J

kh (x) = 0 , k=1,2,...,K (2)

)(Lix x )(U

ix , i= 1,2,..., n

onde, )(Xf representa a função objetivo, jg e kh as restrições de desigualdade e de igualdade, xi(L) e

xi(U) as restrições laterais. Todas essas funções assumem valores em n e são, na maioria, não-

lineares.

2. OTIMIZAÇÃO POR COLÔNIA DE PARTÍCULAS (PARTICLE SWARM

OPTIMIZATION)

Otimização por colônia de partículas (PSO), é uma técnica de otimização desenvolvida na

década de 90, mais precisamente em 1995, por James Kennedy e Russel Eberhart. Neste modelo é

analisado algoritmos que modelam o “comportamento social” visto em várias espécies de pássaros.

Dentre vários modelos vamos estudar a técnica desenvolvida pelo biólogo Frank Heppener que

é baseada no seguinte comportamento: pássaros estão dispostos aleatoriamente e estes estão a procura

por alimento e um local para construir o seu ninho, eles não sabem onde está esse lugar e este é único.

A indagação é qual o melhor comportamento que os pássaros terão que realizar para conseguir efetuar

seu objetivo, parece mais evidente que eles sigam o pássaro que estiver mais próximo do alimento ou

do ninho. Inicialmente os pássaros voam sem nenhuma orientação prévia, eles se aglomeram em

bandos, até que um consegue encontrar o ninho e a seguir atrair os que estiverem mais próximos.

Pelo fato de um pássaro encontrar o ninho a chance de os outros pássaros também o

encontrarem aumenta consideravelmente, isto se deve ao fato de a inteligência ser social, ou seja, o

indivíduo aprende com o acerto do outro. A formulação matemática do algoritmo Particle Swarm

Optimization (PSO) pode ser encontrada em Prado e Saramago (2005).

3. OTIMIZAÇÃO POR COLÔNIA DE FORMIGAS (ANT COLONY SYSTEMS - ACS)

O algoritmo de colônia de formigas ou ant colony systems (ACS) é inspirado no

comportamento de colônias de formigas reais, em particular, no seu comportamento na procura de

alimento. Foi proposto originalmente por Dorigo et.al (1991), cuja idéia central é a comunicação

indireta entre as formigas de uma colônia a qual se baseia na disposição de feromônio no percurso

realizado. Feromônio é o hormônio produzido pelas formigas para comunicarem entre si.

Formigas reais são capazes de determinar o caminho mais curto entre o formigueiro e a fonte de

alimento. As primeiras formigas seguem em direção ao alimento e depositam o feromônio no caminho

percorrido, ao retornarem ao formigueiro outras formigas seguem seus rastos previamente deixados de

maneira que a primeira formiga que retorna fez o caminho mais curto dos já percorridos. Esse processo

da origem a um ciclo pela busca de alimento reforçando cada vez mais a trilha de feromônio do melhor

caminho. A escolha dos primeiros caminhos é aleatória, porém, depois de determinado período de

tempo, o melhor caminho terá maior quantidade de feromônio influenciando a decisão de outras

formigas.

O ACS é baseado em uma população de formigas que pode ser utilizada para resolução de

problemas combinatórios. O ACS é um algoritmo não-determinístico baseado em mecanismos que se

encontram na natureza, é paralelo e adaptativo, pois os agentes se movimentam de forma independente

e sem nenhum controle central, é um algoritmo cooperativo, pois cada agente (formiga) se comunica

indiretamente com as demais através do feromônio. Segundo Coelho (2003) este comportamento pode

ser acompanhado nas Figs. 1 a 4.

Figura 1 – Movimentação inicial das formigas em direção ao alimento.

Figura 2 – Uma formiga retorna ao formigueiro, enquanto a outra se movimenta em direção ao

alimento.

Figura 3 – Outras formigas começam a seguir o feromônio depositado pela primeira formiga ao

retornar ao formigueiro.

Figura 4 – A maioria das formigas começam a seguir o melhor caminho (com mais feromônio) em

direção ao alimento

Este princípio da natureza pode ser útil na configuração de uma colônia de formigas artificiais

para resolução de vários problemas de otimização.

3.1 Algoritmo da Otimização por Colônia de Formigas

O algoritmo desenvolvido neste trabalho combina o principio de uma colônia de formigas com

uma determinada população genética. Sua formulação é baseada nos algoritmos genéticos binários aos

quais se inseriu uma distribuição de probabilidades para gerar indivíduos (formigas) ao invés de usar

seus operadores de mutação, cruzamento e seleção.

No algoritmo colônia de formigas a população de formigas evolui de acordo com a trilha de

feromônio. A evolução da trilha, que é feita a cada iteração, ocorre de acordo com as probabilidades

geradas inicialmente e com uma regra especifica de atualização. Essa trilha conduz a distribuição de

probabilidade sobre o espaço de busca onde cada formiga tem uma dada probabilidade de seguir

determinado caminho.

As soluções para o problema são construídas por várias formigas individualmente e a avaliação

de cada uma delas é usada para atualizar a trilha de feromônio.

3.2. Implementação do Algoritmo da Otimização por Colônia de Formigas

O algoritmo colônia de formigas é um algoritmo de minimização de funções que pode ser

descrito em cinco passos, conforme o fluxograma da Fig.5. Cada um desses passos é descrito abaixo.

Vamos definir o espaço de busca }1,0{S e a função custo f, Sf : .

Cada formiga tem uma dada probabilidadei0 ou

i1 de seguir o caminho i0 ou i1 ,

respectivamente, com i=1,...,l as quais compõe o vetor de probabilidades ],...,,[ 21 lj vvvV onde

j=1,...,n , 1,0iv e l é a quantidade de bits de cada vetor jV . Na primeira iteração, o conjunto de

vetores jV é gerado aleatoriamente, a partir da segunda iteração faz-se suas respectivas atualizações.

Os vetores jV são as trilhas de feromônio. Os vetores jV com j=1,...,n, onde n representa a quantidade

de formigas da colônia, são usados para gerar a cadeia de valores ],...,,[ 21 lj sssp com Ssi .

Segue, abaixo, a regra para geração dos jp :

5.0,0

5.0,1)(

i

ii vse

vsejs i=1,...,l j=1,...,n (3)

Nesse ponto, cada vetor ip é composto por zeros e uns, para que seja possível a avaliação da função

custo é preciso passar os valores para base 10 e escreve-los no espaço de busca.

Escrever na base 10:

l

i

iisx

1

2 (4)

Trazer para o espaço de busca:

12

)loh(*xlox l

0 (5)

onde: ho é o extremo superior do intervalo

lo é o extremo inferior do intervalo

A seguir, avalia-se o valor da função custo para cada valor de x e utilizando-os para a

atualização dos vetores jV . A atualização é dada por:

n

i

jkkk iii

1

)1( (6)

onde é um número randômico no intervalo [0,1] e

kisse

kissesf

j

jj

jki

)(,0

)(,)(1

1

(7)

Figura 5 - Fluxograma ilustrativo da colônia de formigas

Acrescenta-se 1 ao denominador, acima, para evitar descontinuidades da função quando

0)( jsf .

Inicializa V

Gera P Escreve na base 10 Traz para o intervalo de busca

Avalia f

Atualiza V

Fim

Convergi

Essa é a descrição da primeira iteração e deve se repetir até que o critério de parada ou de

convergência seja satisfeito.

4. APLICAÇÃO: OTIMIZAÇÃO DO ESPAÇO DE TRABALHO DE ROBÔS

MANIPULADORES 3R

Os robôs manipuladores 3R com três juntas rotacionais que serão estudados neste momento pode

ser observado no esquema cinemático representado na Fig. 6. O efetuador é montado no final da

terceira junta.

A capacidade de um robô desenvolver uma determinada tarefa depende da sua arquitetura e da

dimensão de seus membros, assim como da posição por ele assumida no ambiente de trabalho. Estas

características devem ser consideradas no projeto dos manipuladores robóticos, ou melhor, na definição

de sua geometria. No caso de manipuladores com juntas puramente rotacionais, os parâmetros de

projeto são a1, a2, a3, d2, d3, 1 e 2 (representados na Figura 1); os termos 2 e 3 representam as

variáveis cinemáticas.

Figura 6 - Esquema cinemático de um robô manipulador 3R, juntamente

com os parâmetros cinemáticos.

4.1. Cinemática de robôs manipuladores utilizando o método de Denavit-Hartenberg

Um dos métodos mais usados para descrever geometricamente um robô é aquele que utiliza a

notação de Denavit e Hartenberg (Denavit, 1955), cujo esquema é exibido na Fig. 7. Esta notação

basicamente consiste em construir a matriz de transformação homogênea, iiT 1 , que representa o

sistema XiYiZi, associado ao i-ésimo membro do robô, em relação ao sistema Xi-1 Yi-1 Zi-1, associado ao

(i-1)-ésimo membro, para cada i variando de 1 a n, onde n é o grau de liberdade do robô.

Figura 7 - Notação de Denavit e Hartenberg para manipuladores.

Pela Fig. 7 pode-se observar que a representação do sistema XiYiZi em relação ao sistema Xi-1Yi-

1Zi-1 percorre quatro etapas bem definidas, representadas pelos quatro parâmetros cinemáticos i-1,

ai-1, di e i, que também são conhecidos por parâmetros de Denavit-Hartenberger. Usando esta

representação, seja a matriz de transformação homogênea genérica de um sistema de referência em

relação ao precedente dada por:

1000CdCSCSSSdSCCCSa0SC

)Z,(Rot)d,0,0(Trans)0,0,a(Trans)X,(RotT

1ii1i1ii1ii

1ii1i1ii1ii

1iii

iii1i1iii

1i (8)

A matriz de transformação homogênea que representa as coordenadas do efetuador em relação à

base, nT0 , pode ser obtida através da seguinte expressão (Saramago e Steffen Júnior, 1999):

nn

n TTTTT 13

22

1100 (9)

Conforme mostrado na Fig.6, a cinemática do robô manipulador 3R é feita com o auxílio de

quatro sistemas de referência. A matriz de transformação homogênea do sistema X1Y1Z1 em relação à

base é determinada da seguinte forma:

1000

0100

00

00

),( 11

11

1110

CSSC

ZRotT (10)

Na representação do sistema X2Y2Z2 em relação ao sistema X1Y1Z1 e do sistema X3Y3Z3 em relação

ao sistema X2Y2Z2, os parâmetros de Denavit-Hartenberger podem ser todos diferentes de zero.

Portanto, as respectivas matrizes de transformação homogênea são dadas por

1000

0

1211212

1211212

122

21 CdCSCSS

SdSCCCSaSC

T (11)

1000

0

2322323

2322323

233

32 CdCSCSS

SdSCCCSaSC

T (12)

Considere, agora, um ponto H no sistema X3Y3Z3, que pode ser escolhido como o centro do

efetuador. Por se tratar do sistema X3Y3Z3, este ponto será denotado por H3 e representado por

1

0

03

3

a

H (13)

Note que a3 deve ser diferente de zero. Caso contrário, H3 seria a origem do sistema X3Y3Z3, não

sofrendo assim nenhum movimento decorrente da terceira junta, o que não é de interesse prático.

Utilizando a Eq. (9), a representação vetorial de H3 em relação à base, denotada por H0, é obtida

da seguinte forma

1103

32

21

100 HTHTTTH (14)

Expandindo a Eq. (14), pode-se obter

1CdSSaSdCSa

aCa

HT

1HH

H

H23233

23233

233

332z

2

y2

x2

2 (15)

1CdCHSCHSSH

SdSHCCHCSH

aSHCH

HT

1HH

H

H121

z212

y212

x2

121z211

y122

x2

12y22

x2

22

1z1

y1

x1

1 (16)

e, por fim

1H

CHSH

SHCH

HTHz1

1y11

x1

1y11

x1

11

00 (17)

4.2. Espaço de Trabalho de Manipuladores 3R

O espaço de trabalho W(H) de um ponto H situado na extremidade do robô manipulador é o

conjunto de todos os pontos que H ocupa quando as variáveis de junta são variadas em todo os seus

intervalos de definição (Gupta e Roth, 1982), representado na Fig.8 (a).

O procedimento mais imediato para investigar o espaço de trabalho é variar os ângulos 1, 2 e

3 sobre seus intervalos de definição e estimar as coordenadas do ponto H com respeito à base do

manipulador. Desta maneira, obtém-se a posição do órgão terminal, tendo como resultado a

representação vetorial dada por H0 na Eq. (17).

(a) (b)

Figura 8 - (a) Espaço de trabalho de um robô 3R; (b) seção radial plana.

A Fig. 8 (a) exibe o espaço de trabalho seccionado de um determinado manipulador 3R. Como

pode se ver, o espaço de trabalho deste tipo de robô é um sólido de revolução, tendo Z1 como o seu

eixo de revolução. Desta forma, é natural imaginar que o espaço de trabalho é o resultado da rotação,

em torno do eixo Z1, de uma seção radial plana que funcione como uma seção geratriz. A Fig. 8 (b)

esboça a seção radial relativa ao espaço de trabalho exibido na Fig. 8 (a).

Então, o espaço de trabalho de robôs com estrutura 3R pode ser obtido por intermédio da

extensão radial r e da extensão axial z com respeito à base (Ceccarelli, 1996; Cecarelli e Lanni, 1999).

Para esta representação, r é a distância de um ponto genérico do espaço de trabalho ao eixo Z1 e z é a

distância desse mesmo ponto ao plano X1Y1 (veja Fig. 8 (b)). Assim, usando a Eq. (17), as equações

paramétricas do lugar geométrico descrito pelo ponto H sobre um plano radial são:

z1

2y1

2x1

2

Hz

HHr (18)

Para exemplificar, considere uma configuração particular, cujos parâmetros de projeto são: a1 =

3.0, a2 = 1.0, a3 = 0.5, d2 = 1.0, d3 = 1.0, 1 = 60° e 2 = 60°. Utilizando a Eq. (17), obtém-se

o conjunto dos pontos r e z, que formam a família de curvas que está contida na seção radial do espaço

de trabalho deste robô, conforme mostrado na Fig. 9.

Figura 9 - Família de curvas contida na seção radial do espaço de trabalho de um particular

manipulador 3R.

O volume do espaço de trabalho V, é o volume do sólido de revolução obtido pela rotação da

seção radial em torno do eixo Z0. Assim, usando o Teorema de Pappus-Guldin, em acordo com o

esquema mostrado na Fig. 10, o volume é dado através da equação:

V = 2 rg Área (19)

Figura 10. Cálculo do volume do espaço de trabalho de manipuladores 3R

Este pesquisa propõe uma formulação numérica para aproximar o cálculo da área da seção radial,

através de sua discretização em uma malha retangular. Inicialmente, deve-se obter os valores extremos

dos vetores r e z, ou seja

rmin = min {r} e rmax = max {r}

zmin = min {z} e zmax = max {z} (20)

Adotando-se o número de sub-intervalos desejados para a discretização ao longo de r e z (nr e nz),

pode-se calcular as dimensões das áreas elementares da malha:

r

minmax

nrr

r , z

minmax

nzz

z (21)

A Eq. (18) permite calcular todos os pontos da família de curvas que compõem a seção radial do

espaço de trabalho. Dado um determinado ponto (r,z), determina-se sua posição dentro da malha de

discretização, através do seguinte controle de índices:

1rrr

inti min 1zzz

intj min (22)

Conforme mostrado no esquema da Fig. 11, o ponto da malha que pertence ao espaço de trabalho

será identificado como Pij=1, do contrário terá valor nulo, ou seja

)H(WPse1)H(WPse0

Pij

ijij (23)

Figura 11. Discretização da seção radial usando malha retangular.

Desta forma a área total será obtida pela soma de todas as áreas elementares da malha. Na Eq.

(24), observe que apenas os pontos pertencentes ao espaço de trabalho contribuem para o cálculo da

área:

rmin rmax

zmin

zmax

r

z

Pij = 1

Pi+3 , j-1 = 0

i- i i+

j+

j

j-

z

)zrP(Area ijj

1j

i

1i

maxmax (24)

A coordenada do baricentro é calculada considerando a soma dos baricentros de cada área

elementar, dividido pela área total, ou seja:

Area

r2rr)1i(zrP

rmin

i

1i

j

1jij

g

max max

(25)

Finalmente, conhecendo-se os valores da área e do baricentro da seção radial, dados pelas Eqs.

(24) e (25), pode-se calcular o volume do espaço de trabalho do manipulador usando a Eq. (19).

4.3 Formulação do Problema Ótimo

O trabalho proposto consiste na síntese dimensional de um manipulador 3R. Assim, o problema

de otimização é formulado visando à maximização do volume do espaço de trabalho, V. O problema de

otimização é, então, definido como:

max = Vsujeito a ul XXX (26)

O vetor das variáveis de projeto é dado por X = [a1, a2, a3, d2, d3, 1, 2], Xl e Xu representam os

limites inferiores e superiores, respectivamente.

5. SIMULAÇÃO NUMÉRICA

A seguir serão apresentadas as simulações numéricas que visam obter a solução ótima de alguns

problemas mecânicos e a otimização do volume de trabalho de robôs manipuladores 3R. Algoritmos

Genéticos (AG) foram aplicados usando o programa GAOT (Houck et al, 1995). Para o caso da

Evolução Diferencial (ED), Otimização por Colônia de Partículas (PSO) e Otimização por Colônia de

Formigas foram aplicados códigos computacionais desenvolvidos pelos autores em MATLAB.

Exemplo 1: Problema do Pêndulo

Sob a ação de uma força F, o sistema move de A até a posição de equilíbrio B. Obtenha esta

posição de equilíbrio, que corresponde à mínima energia potencial:

min xFyWEp

onde, )cos1(Ly

sinLx

dados: W = 500 N; F = 100 N; L = 2,5 m , [0 , /2]

Figura 12 – Sistema de pêndulos nas condições inicial e final

Tabela 1 – Comparação de resultados obtidos

Observando a Tab.1 verifica-se que os três métodos convergem para a solução do problema,

obtendo a energia mínima E = 24.7545.

AG PSO ACO

Fmin(N.m) 24.7549 24.7549 24.7549

X (graus) 11.31 11.3102 11.3045

Exemplo 2: Problema do Compressor de Multi-Estágios

Seja vapor d’água fluindo a razão de N moles/hr à pressão de 1 atm, que deve ser comprimido à 64

atm usando um compressor de três estágios conforme Fig. 13. Assume-se que o processo seja

reversível, adiabático e que após cada estágio o vapor esteja à mesma temperatura inicial T.

Figura 13 - Compressor de multi-estágios

Deseja-se determinar as pressões intermediárias que minimize o consumo de energia, ou seja, que

o trabalho seja mínimo:

)( pFTRNW (27)

364

1)(

21

21

PPPP

pF k

konde 1 (28)

Assim, para atingir o objetivo basta minimizar F(p), onde 33,1/ vp CCk para vapor d’água e R

é a constante ideal dos gases. Como restrições têm-se 0,11P e 641 2P .

Figura 14 - Função objetivo para compressor multi-estágios

Variáveis AG PSO ACO

P14.000 4.000 3.9958

P216.000 16.000 15.7683

F(p) 1.2315 1.2315 1.2315

Tabela 2 - Minimização do compressor multi-estágios

A Fig. 14 representa a função objetivo F(p) e as suas curvas de nível. Nesta aplicação todas as

técnicas evolutivas obtiveram a mesma solução, conforme apresentado na Tab.2.

Exemplo 3: Problema do Equilíbrio Estático de Várias Molas

Considerando um sistema de 5 pesos e 6 molas mostrados na figura abaixo:

Figura 15 – Sistema de molas nas condições inicial e final

O sistema será analisado para que se determine a posição de equilíbrio minimizando a Energia

Potencial. A equação da deformação das molas é a seguinte:

L = [ ( Xi+1 – Xi )² + ( Yi+1 + Yi ) ² ]1/2 Li

0 (29)

Na qual o comprimento Li0 =10m para todas molas e há um total de N +1 molas sendo N o

numero de pesos (N=5)

A rigidez da mola i é adotada como sendo:

Ki = 500 + 200 (3

N – i )² N/m (30)

O peso Wj é definido com sendo

Wj = 50j N (31)

No qual j corresponde à junta em que Wj é aplicado. A Energia Potencial é agora:

jjN

1j

2ii

1N

1ip YWLK

21E (32)

Energia Potencial calculada em Newton por metros, e as coordenadas são positivas como

mostradas na figura.

Neste exemplo o AG obteve um resultado muito melhor do que as duas técnicas estudadas.

Tanto o ACO quanto o PSO apresentaram dificuldades na solução deste problema, sendo que a

performance do ACO foi um pouco melhor do que a do PSO.

X m AG PSO ACO

X1 10,4 12.5149 10

X2 21,1 25 21

X3 31,7 35 31

X4 42,1 45 42

X5 51,8 55 51

X6 -4,30 0 -5

X7 -7,9 -3.3579 -13

X8 -9,9 -7.6363 -13

X9 -9,4 -10.3348 -10

X10 -6 -8.7569 -6

Tabela 3 – Minimização do Equilíbrio Estático de várias molas – Posição

AG PSO ACO

Fmin

(N.m) - 4416 -1169 -2001

Tabela 4 – Minimização do Equilíbrio Estático de várias molas – Energia Potencial

Exemplo 4: Robôs Manipuladores 3R

Os resultados obtidos visando a maximização do volume de trabalho de um robô manipulador

3R podem ser observados nas Tabs.5 e 6.

Xmax AG PSO ACO

X1 3 3 0.9876

X2 2.9982 3 2.7447

X3 3 3 2.5671

X4 2.9706 3 0.8839

X5 2.9983 3 0.2612

X6 1.2838 71.1434 15.2275

X7 1.2050 64.1077 43.1074

Tabela 5 - Maximização do volume do espaço de trabalho dos robôs manipuladores 3R.

AG PSO ACO

Vm 244.8221 244.9321 33.3741

Tabela 6 - Volume máximo do espaço de trabalho dos robôs manipuladores 3R.

Figura 16 – Família de curvas contida na seção radial do espaço de trabalho de um

manipulador 3R de acordo com o ACO.

Figura 17 – Família de curvas contida na seção radial do espaço de trabalho de um particular

manipulador 3R de acordo com o PSO.

Este é um problema complexo de difícil solução. Na Tab.7 observa-se que o volume máximo

obtido foi o mesmo para o PSO e AG, sendo, no entanto, bastante inferior no caso do ACO. Esta última

técnica apresentou grandes dificuldades na solução deste problema, seus resultados foram muito

inferiores, não sendo recomendado sua utilização no caso desta aplicação.

6. CONCLUSÃO

Este trabalho apresenta um estudo sobre algoritmos evolutivos, considerando duas técnicas

desenvolvidas recentemente: otimização por colônia de partículas e otimização por colônia de

formigas. É proposto também o estudo do volume de trabalho de robôs manipuladores 3R, com intuito

de aplicar os métodos de otimização citados acima.

A análise dos resultados obtidos durante a aplicação das duas técnicas estudadas demonstram a

potencialidade destes métodos e a necessidade de aprofundar os estudos para aperfeiçoá-los.

Para problemas complexos o PSO apresentou uma performance superior ao ACO. De uma

forma geral, recomenda-se à utilização de técnicas diversas na solução de problemas de otimização e a

comparação dos resultados, pois não é possível escolher o melhor método uma vez que o

comportamento das técnicas muda de acordo com o problema em estudo.

7. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

CECCARELLI, M., 1996, “A Formulation for the Workspace Boundary of General N-Revolute

Manipulators”. IFToMM Jnl Mechanism and Machine Theory, v. 31, n. 5, p. 637-646.

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EVOLUÇÃO DIFERENCIAL APLICADA À SOLUÇÃO DE ALGUNS PROBLEMAS DE ENGENHARIA DE PRODUÇÃO

Matheus Borges Arantes [email protected] Trindade da Silva Oliveira [email protected]ária Fátima Pereira Saramago [email protected] Federal de Uberlândia. 2160 João Naves de Ávila Av., Campus Santa Mônica, CEP 38400-902, Uberlândia, Brasil

Resumo: Devido à grande evolução dos recursos computacionais e também da utilização de técnicas de otimização cada vez mais simples e eficientes, torna-se cada vez mais atraente a utilização de métodos de otimização na solução de problemas complexos nas mais diferentes áreas científicas. Entre os novos métodos destacam-se os algoritmos naturais baseados em populações, sendo que a Evolução Diferencial (ED) apresenta a vantagem de trabalhar com um número pequeno de indivíduos, reduzindo bastante o tempo computacional e permitindo a aplicação na solução de problemas de otimização complexos e com elevado número de variáveis de projeto. O objetivo deste trabalho é apresentar a Evolução Diferencial e aplicá-la na solução de dois problemas clássicos de engenharia. O primeiro problema visa minimizar o custo da produção de cimento Portland, considerando o co-processamento e a adição de mineralizadores. A segunda aplicação considera o problema do despacho econômico de energia elétrica, que consiste na seleção ótima de geradores de uma unidade de produção de energia, considerando a minimização do custo total de combustível. Os resultados obtidos serão comparados com os encontrados na literatura.

Palavras-chave: otimização, evolução diferencial, cimento Portland, despacho econômico

1. INTRODUÇÃO

O objetivo da otimização é encontrar a melhor configuração de um projeto com mais eficiência e menor custo operacional.

A aplicação de otimização em vários campos da ciência tem crescido consideravelmente nas últimas décadas. Existem muitos métodos de otimização e cada um deles alcança melhor resultado dependendo do tipo de problema a que são aplicados. A escolha do método depende de uma série de características do problema a ser otimizado, principalmente do comportamento da função que o representa (Vanderplaats, 1999). De acordo com estas características, os métodos podem ser classificados em métodos de programação linear e programação não-linear. Sendo que os métodos de programação não-linear podem ser divididos em métodos determinísticos e métodos naturais.

Os métodos determinísticos são baseados no cálculo de derivadas ou em aproximações destas, necessitando de informações do vetor gradiente, seja procurando o ponto onde ele se anula ou usando a direção para a qual aponta. Estes métodos produzem melhores resultados para funções contínuas, convexas e unimodais (funções que possuem apenas um ponto de mínimo ou de máximo).

Os métodos naturais ou estocásticos utilizam apenas as informações da função a ser otimizada, que pode ser de difícil representação, não-linear, descontínua, não diferenciável, multimodal (possui muitos pontos de mínimo ou de máximo). Estes métodos buscam o ótimo através de regras de probabilidade operando de maneira “aleatória orientada”. Entre as técnicas mais conhecidas destacam-se os algoritmos genéticos (AGs), as estratégias evolutivas (EEs), Recozimento Simulado, entre outros (Goldberg, 1989; Schwefel, 1995; Kirkpatrick et al., 1983; Saramago and Faria, 2001).

Os algoritmos evolutivos (AEs) imitam os princípios da evolução natural ao criar procedimentos de otimização e busca. Além disso, são baseados em população de indivíduos, onde cada indivíduo representa um ponto de busca no espaço das soluções candidatas de um dado problema. Os AEs possuem alguns procedimentos de seleção baseados na aptidão dos indivíduos, operadores de cruzamento e mutação.

Neste artigo é apresentado o algoritmo evolutivo denominado Evolução Diferencial desenvolvido por Storn e Price (1995), que tem sido aplicado com sucesso em vários campos da ciência, podendo ser citado entre muitos outros, a solução de: projeto de sistemas (Storn, 1999), solução de sistemas lineares (Cheng and Hwang, 2001), transferência de calor (Babu and Munawar), projeto manipulador de robô (Bergamaschi et al, 2005). A idéia principal da evolução diferencial é gerar novos indivíduos, denotados vetores modificados ou doadores, pela adição da diferença vetorial ponderada entre dois indivíduos aleatórios da população a um terceiro indivíduo. Será mostrado que este princípio de usar diferenças de vetores para perturbar a população (indivíduos) resulta em um método de rápida convergência, fácil implementação e robusto.

O objetivo deste trabalho é utilizar a Evolução Diferencial na solução de dois problemas de engenharia. O primeiro problema visa minimizar o custo da produção de cimento Portland, considerando o co-processamento e a adição de mineralizadores. O segundo considera o problema do despacho econômico de energia elétrica, que consiste na seleção ótima de geradores de uma unidade de produção de energia, considerando a minimização do custo total de combustível.

2. FORMULAÇÃO DO PROBLEMA ÓTIMO

Um problema de otimização pode ser formulado como encontrar um vetor de nvariáveis de projeto X = [x1, x2,…, xn]

T que otimize uma função objetivo, f(X), e satisfaçam as restrições de igualdade, desigualdade e laterais. O problema pode ser escrito como:

Minimizar f(X) (1)

Sujeito a

.n,...,1i,xxx

.L,...,1l,0)X(h

.J,...,1j,0)X(g

supii

infi

l

j (2)

Muitos algoritmos evolutivos são desenvolvidos para resolver problemas irrestritos, assim, no caso de problemas com restrições, é necessário introduzir modificações nestes métodos. Neste artigo, é utilizado o conceito de Função de Penalidade (Vanderplaats, 1999). Nesta técnica, os problemas com restrições são transformados em problemas sem restrições adicionando uma função de penalidade P(X) à função objetivo original para limitar as violações das restrições. Esta nova função objetivo, chamada pseudo objetivo,é penalizada de acordo com um fator de penalidade toda vez que encontrar uma restrição ativa. Seja a função pseudo objetivo, , dada por:

)()()( XPrXfX p (3)

J

j

L

llj XhXgXP

1 1

22 )()(,0max)( (4)

onde f(X) é a função objetivo original dada na Equação (1), P(X) é a função de penalidade imposta, dada pela Equação (4), gj(X) e hl(X) são funções de restrições de desigualdade e igualdade, respectivamente, conforme a Equação (2). O escalar rp é um multiplicador que quantifica a magnitude da penalidade. Observa-se que para a eficiência do método, devem ser adotados elevados valores para o fator de penalidade, garantindo a obediência a todas as restrições.

3. EVOLUÇÃO DIFERENCIAL

A Evolução Diferencial foi desenvolvida por Storn e Price em meados da década de noventa e surgiu de tentativas de resolver o problema de ajuste polinomial de Chebychev (Storn and Price, 1995).

O algoritmo é iniciado criando uma população inicial escolhida aleatoriamente devendo cobrir todo o espaço de busca. Geralmente, é criada por uma distribuição de probabilidade uniforme, quando não há nenhum conhecimento sobre o problema.

A idéia principal da evolução diferencial é gerar novos indivíduos, denotados vetores modificados ou doadores, pela adição da diferença ponderada entre dois indivíduos aleatórios da população a um terceiro indivíduo. Esta operação é chamada mutação.

As componentes do indivíduo doador são misturadas com as componentes de um indivíduo escolhido aleatoriamente (denotado vetor alvo), para resultar o chamado vetor tentativa, ou vetor experimental. O processo de misturar os parâmetros é referido freqüentemente como "cruzamento" na comunidade dos algoritmos evolutivos.

Se o vetor experimental resultar um valor da função objetivo menor que o vetor alvo, então o vetor experimental substitui o vetor alvo na geração seguinte. Esta última operação é chamada seleção. O procedimento é finalizado através de algum critério de parada.

3.1 Operadores da Evolução Diferencial

Os operadores da evolução diferencial se baseiam no princípio da evolução natural cujos objetivos são manter a diversidade da população e evitar convergências prematuras. São eles:

Mutação: Sejam os vetores X , X e X escolhidos aleatoriamente e distintos entre si. Na geração q um par de vetores (X , X ) define uma diferença X – X . Esta diferença é multiplicada por F > 0, sendo denotada por diferença ponderada, e é usada para perturbar o terceiro vetor X ou o melhor vetor Xbest da população. Este processo que resulta o vetor doador V(q+1) pode ser escrito matematicamente como:

)( )()()()1( qqqq XXFXV ou )( )()()()1( qqqbest

q XXFXV (5)

onde os índices aleatórios , , {1,..., Np} são inteiros distintos entre si e diferentes do índice d. O número de indivíduos da população, Np, deve ser maior ou igual a 4. F é um número real e constante pertencente ao intervalo [0,2] que controla a amplitude da diferença ponderada. A Figura 1 mostra um exemplo bidimensional que ilustra os diferentes vetores que participam da geração do vetor doador V(q+1).

Np indivíduos da geração qIndivíduo recém gerado V(q+1)

Mínimo

x x

x

x

x

xxx

x x

x

x

x)(q

dX)q(X )q(X )q(X

)( )()( qq XXF

)( )()()()1( qqqq XXFXV

x2

x1

Np indivíduos da geração qIndivíduo recém gerado V(q+1)

Mínimo

x x

x

x

x

xxx

x x

x

x

x)(q

dX)q(X )q(X )q(X

)( )()( qq XXF

)( )()()()1( qqqq XXFXV

x2

x1

Figura 1 - Processo de gerar o vetor doador V(q+1) para uma função objetivo bidimensional.

Se o número de indivíduos da população é grande o suficiente, a diversidade da população pode ser melhorada usando duas diferenças ponderadas para perturbar um vetor existente, ou seja, cinco vetores distintos são escolhidos aleatoriamente na população atual. O vetor diferença ponderada usa dois pares de diferenças ponderadas e é usado para perturbar o quinto vetor ou o melhor vetor da população atual. Este processo pode dado por:

)( )()()()()()1( qqqqqq XXXXFXV (6)

ou )( )()()()()()1( qqqqqq XXXXFXV (7)

Os índices aleatórios , , , , {1,..., Np}, são inteiros mutuamente distintos e diferentes do índice d, tal que Np 6.

Cruzamento: O cruzamento é introduzido para aumentar a diversidade dos indivíduos que sofreram a mutação. Assim, as componentes do vetor experimental U(q+1) são formadas conforme a expressão:

niCRrsexCRrsev

ui

qid

iq

iqi

,...,1,,

,)(

,

)1()1( (8)

onde ri é um número gerado aleatoriamente com resultado no intervalo [0, 1]. xd,i são as componentes do vetor alvo Xd

(q). CR é a probabilidade do cruzamento ocorrer, representa a probabilidade do vetor experimental herdar os valores das variáveis do vetor doador, e está compreendida entre 0 e 1, sendo fornecida pelo usuário. Quando CR= 1, por exemplo, todas as componentes do vetor experimental virão do vetor doador V(q+1). Por outro lado, se CR = 0, todas as componentes do vetor experimental virão do vetor alvo Xd

(q).Se após o cruzamento uma ou mais componentes do vetor experimental estiver fora

da região de busca, fazem-se as correções:

Se Lii xu , então faz-se L

ii xu (9) Se U

ii xu , então faz-se Uii xu

Seleção: A seleção é o processo de produzir melhores filhos. Diferentemente de outros algoritmos evolutivos, a evolução diferencial não usa hierarquia (elitismo) nem seleção proporcional. Em vez disso, o custo do vetor experimental U(q+1) é calculado e comparado com o custo do vetor alvo Xd

(q). Se o custo do vetor alvo for menor que o custo do vetor experimental, o vetor alvo é permitido avançar para a próxima geração. Caso contrário, o vetor experimental substitui o vetor alvo na geração seguinte. Em outras palavras, este processo pode ser escrito como:

Se )()( )()1( qd

q XfUf , então )1(qdX = )1(qU

(10) Se )()( )()1( q

dq XfUf , então )1(q

dX = )(qdX

O procedimento acima é finalizado através de algum critério de parada, sendo que um número máximo de gerações deve ser estabelecido. Para problemas com restrição, um critério pode ser a não violação das restrições ou o melhor indivíduo ter encontrado um valor dentro de uma precisão pré-estabelecida.

3.2 Estratégias da Evolução Diferencial

As estratégias da evolução diferencial podem variar de acordo com o tipo de indivíduo a ser modificado na formação do vetor doador, o número de indivíduos considerados para a perturbação e o tipo de cruzamento a ser utilizado, podendo ser escritas como: ED/a/b/c.

a – especifica o vetor a ser perturbado, podendo ser “rand” (um vetor da população escolhido aleatoriamente) ou “best” (o vetor de menor custo da população);

b – determina o número de diferenças ponderadas usadas para a perturbação de a;c – denota o tipo de cruzamento (exp: exponencial; bin: binomial).

Em 1995, Storn e Price deram o princípio de trabalho da estratégia básica usando apenas o operador cruzamento binomial (devido aos experimentos binomiais independentes), onde o cruzamento é executado em cada variável sempre que um número r [0, 1] aleatório for menor que a probabilidade de cruzamento CR.

Alguns anos mais tarde, Storn e Price (1997) desenvolveram mais estratégias usando o operador cruzamento exponencial, em que o cruzamento é executado nas variáveis em um laço até que esteja dentro do limite de CR. A primeira vez que um número r [0, 1] aleatório ultrapassa o valor de CR, nenhum cruzamento é executado e as variáveis restantes são deixadas intactas.

Resumidamente, as dez estratégias podem ser descritas de acordo com a Tabela 1. Uma estratégia que funciona bem para um dado problema pode não funcionar bem

quando aplicada a outro problema. A estratégia a ser adotada para um problema é determinada por tentativa e erro.

Tabela 1. Representação das estratégias da evolução diferencial.

Número Mutação Notação 1 )( )()()()1( qqqq XXFXV ED/rand/1/bin

2 )( )()()()1( qqqbest

q XXFXV ED/best/1/bin

3 )( )()()()()()1( qqqqqq XXXXFXV ED/rand/2/bin

4 )( )()()()()()1( qqqqqbest

q XXXXFXV ED/best/2/bin

5 )( )()()()()()1( qqqold

qbest

qold

q XXXXFXV ED/rand-to-best/2/bin

6 )( )()()()1( qqqq XXFXV ED/rand/1/exp

7 )( )()()()1( qqqbest

q XXFXV ED/best/1/exp

8 )( )()()()()()1( qqqqqq XXXXFXV ED/rand/2/exp

9 )( )()()()()()1( qqqqqbest

q XXXXFXV ED/best/2/exp

10 )( )()()()()()1( qqqold

qbest

qold

q XXXXFXV ED/rand-to-best/2/exp

4. APLICAÇÃO EM ENGENHARIA DE PRODUÇÃO

4.1 Produção do Cimento Portland

O cimento portland é um pó fino com propriedades aglomerantes ou ligantes que endurece sob ação da água. Depois de endurecido não se decompõe mais. É composto de clínquer e de adições.

O clínquer é seu principal componente e tem como matérias-primas o calcário e a argila, ambos obtidos de jazidas em geral situadas nas proximidades das fábricas de cimento. A rocha calcária é primeiramente britada, depois moída e em seguida misturada, em proporções adequadas, com argila moída. A mistura formada atravessa então um forno giratório de grande diâmetro e comprimento, cuja temperatura interna chega a alcançar 1450oC. O intenso calor transforma a mistura em um novo material, denominado clínquer, que se apresenta sob a forma de pelotas. Na saída do forno o clínquer, ainda incandescente, é bruscamente resfriado para posteriormente ser finamente moído, transformando-se em pó (ABCP, 2006).

As adições definem os diferentes tipos de cimento e são outras matérias-primas que, misturadas ao clínquer na fase de moagem, permitem a fabricação dos diversos tipos de cimento portland hoje disponíveis no mercado. Essas outras matérias-primas são o gesso, as escórias de alto-forno, os materiais pozolânicos e os materiais carbonáticos (ABCP, 2006).

Atualmente, as indústrias de cimento estão se modernizando, acompanhando mais rápido os avanços tecnológicos e se adaptando à legislação ambiental em vigor. Um processo amplamente estudado tem sido o co-processamento, que consiste em aproveitar os resíduos descartados pelas indústrias utilizando-os como combustíveis e/ou substitutos de matérias-primas em fornos de fabricação de cimento, proporcionando uma redução no consumo da fabricação. Além disso, economizam-se recursos naturais não renováveis, contribuindo com a preservação do meio ambiente. Estes combustíveis alternativos podem ser: serragem de madeiras, óleos usados, borras de tintas, resíduos de indústrias de alumínio, solventes de indústrias químicas e petroquímicas, pneus usados, resíduos de áreas impactadas (solos e areias contaminadas) e resíduos orgânicos (ABCP, 2006).

Outro processo amplamente estudado na literatura é a adição de CaF2 e CaSO4 ou a mistura de ambos como mineralizadores, resultando na redução da temperatura máxima de clinquerização e na obtenção de clínquer com boa proporção de alite, conseqüentemente, obtém-se um cimento com propriedades mecânicas satisfatórias (Molina e Varela, 1995; Raina e Janakiraman, 1998).

O objetivo deste trabalho é obter a composição ótima de matérias-primas e combustíveis (primários e alternativos) necessária para a fabricação do clínquer usando a Evolução Diferencial.

A função objetivo representa o custo da produção do clínquer, ou seja, é a soma do custo das matérias-primas e combustíveis (US$/ton) juntamente com o consumo de energia (kWh/ton) necessário para a moagem do clínquer.

Os dados para a função objetivo que descrevem a composição química dos principais combustíveis primários e alternativos nos fornos de clínquer podem ser encontrados em Carpio et al. (2005). Os valores percentuais de diversos óxidos presentes no calcário x1, na argila x2, na areia x3 e no minério de ferro x4 são mostrados na Tabela 2. A composição química do combustível primário é o carvão mineral x5 e oscombustíveis alternativos aqui utilizados são coque de petróleo, x6 e pneus usados, x7.

Tabela 2 – Composição química das matérias-primas (%)

Matérias-primas CaO SiO2 Al2O3 Fe2O3 MgO SO3 Na2O

Calcário 50,66 5,04 1,19 0,67 0,78 0,1 0,1

Argila 1,23 61,62 16,59 0,01 - 0,3 0,3

Areia 1,13 93,00 2,87 1,2 0,10 0,5 0,5

Minério de ferro 0,71 7,6 1,13 82,97 - - -

Os custos considerados foram: carvão mineral (x5) US$35,0/ton, coque de petróleo (x6) US$40,0/ton, calcário US$0,93/ton, argila US$0,54/ton, areia US$1,54/ton, minério de ferro US$0,77/ton e energia elétrica US$31,0/MWh. Pneus usados (x7) são considerados como receita para a indústria do cimento, com uma renda de US$50,0/ton.

O problema de otimização pode ser formulado conforme detalhado abaixo, considerando várias restrições a fim de garantir a estabilidade da operação nos fornos rotativos, a qualidade do clínquer produzido, o custo mínimo da composição e a redução no consumo de energia. Assim, seja a formulação proposta por Carpio et al.(2005):

)2,098,0(

7654321

82,576,5031,0

50403577,054,154,093,0)(MSeMS

xxxxxxxXfMin (11)

onde MS é o Módulo de Sílica:

754321

754321

92,029,121,8407,46,2586,1

93,132,96,79362,6104,5

xxxxxxxxxxxx

MS (12)

Sujeito às restrições:

036000x32100x34436x25392xh 7651 (13)

062x93,0x03,1x71,0x13,1x23,1x66,50xg 7543211 (14)

067x93,0x03,1x71,0x13,1x23,1x66,50xg 7543212 (15)

019x93,1x32,9x6,7x93x62,61x04,5xg 7543213 (16)

025x93,1x32,9x6,7x93x62,61x04,5xg 7543214 (17)

02x79,0x08,5x13,1x87,2x59,16x19,1xg 7543215 (18)

09x79,0x08,5x13,1x87,2x59,16x19,1xg 7543216 (19)

01x13,0x21,7x97,82x20,1x01,9x67,0xg 7543217 (20)

05x13,0x21,7x97,82x20,1x01,9x67,0xg 7543218 (21)

05,6x12,0x44,0x10,0x78,0xg 75319 (22)

0x186,0x96,18x83,185x64,83x74,2x762,0xg 75432110 (23)

0x554,0x88,23x47,219x011,82x5,7x018,0xg 75432111 (24)

0x621,0x29,4x73,106x31,1x877,4x319,0xg 75432112 (25)

0x439,0x387,14x88,222x37,0x737,7x619,0xg 75432113 (26)

0x2,4x86,37x34,164x6,173x67,155x24,38xg 75432114 (27)

0x34,5x51,46x0,201x43,212x65,190x48,35xg 75432115 (28)

005,0x0123,0x07,0x046,0xg 76516 (29)

02,0x5,0x3,0x1,0xg 32117 (30)

007,2x5,0x3,0x1,0xg 32118 (31)

003,0x5,0x3,0x1,0xg 32119 (32)

033,0x5,0x3,0x1,0xg 32120 (33)

031,0x1x5x3,0xg 32121 (34)

076,1x1x5x3,0xg 32122 (35)

010,0BxAxxg 7123 (36)

035,0BxAxxg 7124 (37)

005,0Axxg 626 (38)

As equações (14) e (22) representam restrições de ordem operacional. Nas equações (14) e (15) o índice de CaO deve estar entre 62 e 67%. Nas equações (16) e (17) o conteúdo de SiO2 deve estar entre 19 e 25%. O índice de Al2O3 deve estar entre 2 e 9% nas Equações (18) e (19). As Equações (20) e (21) se referem à quantidade de Fe2O3

que deve estar entre 1 e 5%. Na Equação (22) o conteúdo máximo de magnésio é limitado em 6,5%. As equações (23) a (28) representam os valores numéricos para as restrições dos módulos da mistura (Carpio, et al., 2005), e referem-se à qualidade do clínquer. A alimentação total de combustíveis deve satisfazer o consumo de energia, sendo representada na restrição de igualdade h1 (Equação 13), que em média é

36kWh/ton (Hackman e Quarry, 1999). A restrição para o enxofre é representada na Equação (29). O valor está baseado em leis ambientais européias. As restrições das Equações (30) e (31) representam o óxido acido na matéria-prima. As restrições das Equações (32) a (35) referem ao índice de alkalis na matéria-prima. As Equações (36) a (38) controlam as restrições de metais pesados perigosos e instáveis (Carpio, et al., 2005; Souza, et al., 2005).

4.2 Despacho Econômico de Energia

O objetivo básico do problema de despacho econômico da geração de energia elétrica é dimensionar as saídas das unidades de geração conveniadas para obter a demanda de carga consumidora a um custo mínimo de operação, satisfazendo a todas unidades e restrições de igualdade e desigualdade impostas ao problema (Abido, 2003). Quando o problema de despacho econômico trata de um intervalo de tempo simples, ele é referido como um problema de despacho econômico estático, enquanto o problema de despacho econômico dinâmico considera um número finito de intervalos de despacho acoplados com a previsão de carga para providenciar uma trajetória de geração “ótima” seguindo uma demanda variável de carga (Chowdhury e Rahman, 1990).

O tipo de problema de despacho econômico, abordado neste artigo, pode ser descrito matematicamente com uma função objetivo e duas restrições. As restrições representadas pelas equações (39) e (40) devem ser satisfeitas:

n

i 1

Pi – PL – PD = 0 (39)

Pimin Pi Pi

max (40)

A equação (39) representa as restrições de igualdade do balanço de potência (isto é, balanço entre suprimento e demanda), enquanto a expressão (40) representa as restrições de desigualdade relativas aos limites da capacidade de geração de potência de cada unidade geradora, onde Pi é a saída para a unidade geradora i (em MW); n é o número de geradores presente no sistema; PD é a demanda de carga total (em MW); PL

são as perdas de transmissão (em MW) e Pimin e Pi

max são respectivamente as saídas de operação mínimas e máximas da unidade geradora i (em MW). O custo total de combustível deve ser minimizado sendo representado pela equação:

min f=n

i 1

Fc(Pi) (41)

onde a função custo de combustível para a unidade geradora i (em $/h), que é definida pela equação,

FC(Pi) = aiPi² + bi Pi + ci (42)

Tabela 3- Restrições laterais e coeficientes característicos dos geradores

G Pimin Pi

max a b c e f

1 36 114 0,00690 6,73 94,705 100 0,084

2 36 114 0,00690 6,73 94,705 100 0,084

3 60 120 0.02028 7,07 309,54 100 0,084

4 80 190 0.00942 8,18 369,03 150 0,063

5 47 97 0,01140 5,35 148.,89 120 0,077

6 68 140 0,01142 8,05 222,33 100 0,084

7 110 300 0,00357 8,03 278,71 200 0,042

8 135 300 0,00492 6,99 391,98 200 0,042

9 135 300 0,00573 6,60 455,76 200 0,042

10 130 300 0,00605 12,9 722,82 200 0,042

11 94 375 0,00515 12,9 635,20 200 0,042

12 94 375 0,00569 12,8 654,69 200 0,042

13 125 500 0,00421 12,5 913,40 300 0,035

14 125 500 0,00752 8,84 1760,4 300 0,035

15 125 500 0,00708 9,15 1728,3 300 0,035

16 125 500 0,00708 9,15 1728,3 300 0,035

17 220 500 0,00313 7,97 647,85 300 0,035

18 220 500 0,00313 7,97 649,69 300 0,035

19 242 550 0,00313 7,97 647,83 300 0,035

20 242 550 0,00313 7,97 647,81 300 0,035

21 254 550 0,00298 6,63 785,96 300 0,035

22 254 550 0,00298 6,63 785,96 300 0,035

23 254 550 0,00284 6,66 794,53 300 0,035

24 254 550 0,00284 6,66 794,53 300 0,035

25 254 550 0,00277 7,10 801,32 300 0,035

26 254 550 0,00277 7,10 801,32 300 0,035

27 10 150 0,52124 3,33 1055,1 120 0,077

28 10 150 0,52124 3,33 1055,1 120 0,077

29 10 150 0,52124 3,33 1055,1 120 0,077

30 47 97 0,01140 5,35 148,89 120 0,077

31 60 190 0,00160 6,43 222,92 150 0,063

32 60 190 0,00160 6,43 222,92 150 0,063

33 60 190 0,00160 6,43 222,92 150 0,063

34 90 200 0,00010 8,95 107,87 200 0,042

35 90 200 0,00010 8,62 116,58 200 0,042

36 90 200 0,00010 8,62 116,58 200 0,042

37 25 110 0,01610 5,88 307,45 80 0,098

38 25 110 0,01610 5,88 307,45 80 0,098

39 25 110 0,01610 5,88 307,45 80 0,098

40 242 550 0,00313 7,97 647,83 300 0,035

Na Eq. (42) tem-se que ai , bi , ci são os coeficientes característicos do gerador. Além disso, a Eq. (41) para o cálculo do custo total pode ser modificada para considerar o efeito do ponto de válvula (Wood e Wollenberg, 1994), tal que

FC(Pi)= FC(Pi) + | ei sen(fi(Pimin – Pi)) | (43)

assim,

FC(Pi)= aiPi² + bi Pi + ci + | ei sen(fi(Pimin – Pi)) | (44)

onde ei e fi são constantes do efeito do ponto de válvula dos geradores. Conseqüentemente, o custo total de combustível que deve ser minimizado, conforme representado na Eqs. (41) e (44).

Em relação às restrições (39) e (40), nesta aplicação desconsideradas as perdas de transmissão PL, portanto, neste caso PL=0. A demanda de carga total adotada foi PD= 10.500 MW. Seja um problema onde se deseja selecionar 40 geradores. Os dados para as restrições laterais de cada gerador e seus respectivos coeficientes são apresentados na Tabela 3.

5. SIMULAÇÕES NUMÉRICAS

Neste artigo, os problemas de minimização foram estudados a fim de verificar o desempenho do algoritmo de Evolução Diferencial, por se tratar de problemas com muitas variáveis de projeto e restrições. O código computacional foi implementado em MATLAB 6.5, utilizando um microprocessador Intel(R) Pentium(R) 4, CPU 3.20 GHz, AT/AT compatível, 261,616 KB RAM, sistema operacional Windows XP. Os parâmetros utilizados foram: número de indivíduos da população Np = 15; número de gerações = 100; multiplicador da diferença ponderada F = 0,8; probabilidade de cruzamento CR = 0,5, precisão de 10-6 e o fator de penalidade rp = 10000. A estratégia que apresentou melhor resultado foi a estratégia 2, ou seja, ED/best/1/bin.

5.1 Produção do Cimento Portland

A estratégia que apresentou melhor resultado foi a estratégia 2, ou seja, ED/best/1/bin, sendo o tempo computacional de 33 s em 20 execuções do programa. Todas as restrições foram obedecidas.

A composição ótima obtida foi x1 = 1.3210, x2 = 0.2007, x3 = 0.0143, x4 = 0.0002, x5= 0.0995, x6 = 0.0131 e x7 = 0.0545, resultando em um custo de US$ 3.0453/ton na produção do clínquer, que é menor que o apresentado em Carpio et al. (2005).

Comparando a solução obtida neste trabalho com os resultados de Carpio et al.(2005), verifica-se, por exemplo, que no artigo citado a quantidade de coque de petróleo é de 78,4 kg/ton de clínquer, e a de pneus usados é de 28,0 kg/ton de clínquer, enquanto que nesta pesquisa, foi de 13,1 kg/ton e 54,5 kg/ton de clínquer, respectivamente. Desta forma, fica caracterizada a economia de recursos naturais não renováveis e a contribuição com a preservação do meio ambiente.

5.2 Despacho Econômico de Energia

Os resultados obtidos usando a Evolução Diferencial, para a seleção ótima dos 40 geradores, estão apresentados na Tabela 4 e correspondem ao custo mínimo de Fmin=136.010 US$/hora. Vale ressaltar que o resultado encontrado aplicando a técnica Algoritmos Genéticos, usando o programa GAOT (Houck et al, 1995)., foi de Fmin=148.676$/h, ou seja , o resultado obtido pela ED foi melhor. Verifica-se que, neste caso particular, a performance da ED foi superior a dos algoritmos genéticos.

Tabela 4 – Resultados do problema do despacho econômico de 40 geradores (MW)

1 50.2901 2 105.1972 3 80.5019 4 152.5428 5 76.2085 6 117.8071 7 249.6237 8 277.2639 9 169.4688 10 289.8830 11 348.9905 12 331.2762 13 372.7343 14 176.8589 15 490.6398 16 369.9284 17 395.3050 18 499.7484 19 496.5987 20 441.8020 21 310.1711 22 524.6737 23 456.2286 24 471.0494 25 535.6637 26 517.8928 27 42.7627 28 123.9583 29 19.1885 30 95.5591 31 108.3777 32 164.5735 33 117.9175 34 191.5847 35 164.2035 36 180.2762 37 88.9300 38 37.3937 39 107.8554 40 545.4072

6. CONCLUSÕES

Este artigo apresenta a teoria da Evolução Diferencial e aplicações relacionadas com a minimização do custo da produção de cimento Portland, considerando o co-processamento e a adição de mineralizadores, e também da seleção ótima de geradores em uma unidade de produção de energia. É importante observar que todas as restrições foram obedecidas, pois isto representa uma dificuldade para este tipo de algoritmo. Esta técnica tem potencial para se tornar uma ferramenta poderosa em problemas de otimização complexos e multimodais. É fortemente recomendável que o usuário teste todas as estratégias e compare os resultados obtidos. Este procedimento é muito simples, uma vez que todas as estratégias estão disponíveis no programa e o custo operacional é baixo.

AGRADECIMENTOS

O primeiro autor agradece ao CNPq pela bolsa de iniciação científica concedida através do processo no. A-009/2005.

REFERÊNCIAS

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As Desigualdades entre as MediasAritmetica, Geometrica, Harmonica eQuadratica de Dois Numeros Reais ∗

Thiago Rodrigues da Silva† Dulce Mary de Almeida‡

Faculdade de Matematica - FAMAT

Universidade Federal de Uberlandia - UFU

Uberlandia - MG, abril de 2006

Resumo

O objetivo deste trabalho e apresentar as desigualdades entre as medias harmonica,

geometrica, aritmetica e quadratica de dois numeros reais positivos, estudando as

demonstracoes algebricamente, exibindo interpretacoes geometricas, propondo pro-

blemas relacionados e fornecendo aplicacoes. Considerando-se o trapezio de bases

definidas por dois numeros reais dados, apresenta-se uma caracterizacao das medias

entre esses numeros utilizando-se segmentos paralelos as bases do trapezio. Alem

disso, utiliza-se algumas das desigualdades estudadas para descrever um algoritmo

para extracao aproximada de raızes quadradas de numeros reais positivos.

1 Introducao

Neste artigo estuda-se as medias classicas entre dois numeros reais positivos. O propositodo texto e apresentar as desigualdades entre essas medias, bem como suas demonstracoesalgebricas, ilustracoes geometricas e algumas aplicacoes. Com este fim, tem lugar a pri-meira definicao, formulada como segue.

Definicao 1.1 Dados dois numeros positivos a e b, definimos as medias aritmetica mA,geometrica mG, harmonica mH e quadratica mQ de a e b, respectivamente como sendo osnumeros:

i) mA = (a+b)2

ii) mG =√

ab

iii) mH = 2ab(a+b)

iv) mQ =√

(a2+b2)2

∗Este trabalho e parte das atividades do projeto de ensino ”Interdisciplinaridade e In-

teracao Construtiva: uma experencia a luz das novas diretrizes curriculares”†Orientando do Programa Institucional de Bolsas de Ensino de Graduacao PIBEG-UFU. E-mail:

thiago [email protected]‡Professora orientadora. E-mail: [email protected]

Segundo Carl B. Boyer [2], as tres medias: aritmetica, geometrica e subcontraria(mais tarde chamada de harmonica), ja eram conhecidas pelos babilonios. Conta-se quePitagoras de Samos, matematico grego que viveu por volta do ano 550 a.C., soube dastres medias na Mesopotamia.

Os pitagoricos possuiam uma maneira alternativa de definir as tres primeiras mediasenunciadas acima; eles utilizavam a nocao de proporcao. A saber, dados dois numerospositivos a e b, as medias aritmetica, geometrica e harmonica entre a e b e o numero csatisfazendo respectivamente as seguintes relacoes:

a − c

c − b=

a

a(I)

a − c

c − b=

a

c(II)

a − c

c − b=

a

b(III)

De fato, isolando c na equacao (I), obtemos c = (a+b)2

, ou seja c e a media aritmetica

de a e b; isolando c na equacao (II), temos c =√

ab, isto e, c e a media geometrica de a eb; isolando c na equacao (III), obtemos c = 2ab

(a+b), ou seja c e a media harmonica de a e b.

Papus de Alexandria, geometra grego que viveu por volta do ano 300 a.C., descreveem seu livro III da Colecao uma atraente construcao das medias aritmetica, geometricae harmonica, representando as tres medias em um unico semi-cırculo. A representacaoapresentada por Papus e o tema da proxima secao.

2 A construcao de Papus

No que segue, denota-se por AB o segmento de extremos A e B e indica-se o comprimentodo segmento AB pelo sımbolo AB.

No semi-cırculo ADC com centro O, Papus constroi DB ⊥ AC e BF ⊥ OD (Figura 1)

ab2

A O B C

F

D

ab

+ ab2a+

b

Figura 1

e mostra que nestas condicoes, entre as grandezas AB = a e BC = b, tem-se:

i) DO e a media aritmetica,

ii) DB e a media geometrica,

iii) DF e a media harmonica.

As afirmacoes acima, feitas por Papus, podem ser justificadas como segue. Por cons-trucao, DO e o raio da circunferencia de diametro AC = AB + BC = a + b dondeconclui-se que DO = AB+BC

2= a+b

2, que e precisamente a afirmacao i). Tambem por

construcao, o triangulo ADC e retangulo em D, pois esta inscrito no semi-cırculo inicialde diametro AC e centro O, e DB e a sua altura relativa a base AC, assim utilizando-serelacoes metricas de um triangulo retangulo, segue-se que DB =

√AB.BC =

√ab, ou

seja, DB e a media geometrica entre a e b. Para verificar a afirmacao iii) observe que otriangulo ODB e semelhante ao triangulo BDF , nessa ordem, e entao utilizando a razaode semelhanca DF

DB= DB

DO, obtem-se:

DF√ab

=

√ab

a+b2

⇐⇒ DF (a + b)

2= ab ⇐⇒ DF =

2ab

a + b

isto e, DF e a media harmonica entre a e b.

Observacao 2.1 Visto que em todo triangulo retangulo cada cateto e menor que a hipo-tenusa, a construcao de Papus (Figura 1) sugere que, a media harmonica e sempre menorque a media geometrica e que esta, por sua vez, e menor que a media aritmetica, excetono caso limite a = b. Mais adiante sera apresentada uma demonstracao analıtica dessesfatos.

O objetivo da proxima secao e apresentar uma aplicacao da media quadratica entreduas grandezas e caracterizar as medias classicas entre dois numeros reais utilizando umtrapezio.

3 Caracterizacao das medias no trapezio

Nesta secao, a e b denotam dois numeros reais positivos tais que a < b.

3.1 A media quadratica e o problema da area do trapezio

Problema: Considere o trapezio de bases AB e DC de comprimentos a e b, respec-tivamente. Nessas condicoes, determinar o comprimento x do segmento EF paralelo asbases que divide esse trapezio em dois outros trapezios de mesma area (Figura 2).

A B

CD

E F

Figura 2

Antes de apresentar a solucao do problema proposto, faz-se necessario lembrar o se-guinte resultado sobre areas de triangulos semelhantes.

Lema 3.1 Se dois triangulos sao semelhantes, entao a razao entre suas areas e igual arazao entre os quadrados de quaisquer dois de seus pares de lados correspondentes, ouseja, e igual ao quadrado da razao de semelhanca.

Prova: Sejam S e S ′ as areas dos dois triangulos semelhantes. Por simplicidade, chame deb e de b′ os respectivos comprimentos de quaisquer dois de seus pares de lados homologos.Denote por h a altura relativa ao lado de comprimento b e por h′ a altura relativa aolado correspondente de comprimento b′. Visto que, a area de um triangulo e a metade doproduto de qualquer dos seus lados pela altura correspondente; e visto tambem que, sedois triangulos sao semelhantes, as alturas correspondentes estao na mesma razao que oslados correspondentes, segue que

S

S ′ =bh/2

b′h′/2=

b

b′h

h′ = (b

b′)2.

E isso conclui a demonstracao do Lema.

Solucao do problema da area do trapezio: Prolongue os lados opostosnao paralelos DA e CB do trapezio ABCD ate o ponto P, ponto de concorrencia dasduas retas determinadas por estes segmentos. Desta forma, determina-se tres triangulossemelhantes: o menor (�PAB) de area A e base a, um outro (�PEF ) de area A + S ebase x, e o maior (�PDC) de area A + 2S e base b, conforme Figura 3.

A B

CD

E F

P

Figura 3

Como, pelo lema anterior, as areas de triangulos semelhantes sao proporcionais aos

quadrados dos segmentos correspondentes, tem-se: A

a2 = A+S

x2 = A+2Sb2 .

Utilizando a seguinte propriedade elementar das proporcoes: a

b= c

d= a−c

b−d, conclui-

se que: S

a2−x2 = S

x2−b2 , ou seja, a2−x2 = x2−b2, donde, 2x2 = a2 +b2 e x =√

a2+b2

2.

Esta resolvido o problema. O comprimento do segmento que divide um trapezio em

dois outros de mesma area e a media quadratica entre os comprimentos de suas bases.Convem mencionar que a solucao apresentada encontra-se em [5].

No entanto, o estudo desenvolvido para caracterizar a media quadratica atraves de umtrapezio pode ser estendido as demais medias estudadas neste artigo, ou seja, e possıvel de-terminar segmentos paralelos as bases do trapezio que correspondam as medias aritmetica,geometrica e harmonica entre suas bases, conforme proposicao descrita a seguir.

3.2 O trapezio e as demais medias

Proposicao 3.1 Considere o trapezio de bases AB e DC de comprimentos a e b, res-pectivamente, e seja O o ponto de interseccao das diagonais do trapezio. Entao, as mediasaritmetica, geometrica e harmonica de a e b sao respectivamente, os comprimentos dossegmentos paralelos as bases do trapezio, MN , GH e KL, tais que:

i) o segmento MN e a base media do trapezio, ou seja, e o segmento equidistante dasbases.

ii) o segmento GH divide o trapezio dado em dois trapezios semelhantes, ABHG eGHCD;

iii) o segmento KL passa pelo ponto O.

Demonstracao:

i) Visto que, o segmento com extremidades nos pontos medios de dois lados de umtriangulo possui a metade do comprimento do terceiro lado, tem-se que qualqueruma das diagonais do trapezio divide MN em dois segmentos, cujos comprimentossao a

2e b

2, e portanto MN = a

2+ b

2. Assim, MN e a media aritmetica entre os

comprimentos das bases do trapezio.

ii) Se os trapezios ABHG e GHCD sao semelhantes, entao a razao de semelhancaAB

GH= GH

CD, ou seja a

GH= GH

b, implica que GH2 = ab, isto e GH =

√ab.

Portanto, GH e a media geometrica entre os comprimentos das bases do trapezio.

iii) Primeiro, observa-se que os comprimentos dos segmentos KO e OL (Figura 4) saoiguais. De fato, usando o paralelismo das retas determinadas pelos segmentos ABe KO cortadas pelas transversais determinadas pelo KA e OB, obtem-se que :

�ABD ∼ �KOD ⇒ AB

KO=

AD

KD(1)

Analogamente, utilizando-se o paralelismo das retas determinadas pelos segmentosAB e OL cortadas pela transversais determinadas pelo OA e LB, obtem-se que:

�ABC ∼ �OLC ⇒ AB

OL=

BC

LC(2)

Agora, considerando-se as retas paralelas determinadas pelos segmentos AB, KL eDC cortadas pelas transversais determinadas pelo DA e CB, tem-se pelo Teoremade Tales que:

AD

KD=

BC

LC(3)

Segue das equacoes (1), (2) e (3) que ABK0

= AB0L

, donde KO = OL.

A B

CD

K LO

Figura 4

Segundo, a semelhanca dos triangulos AKO e ADC implica que:

KO

CD=

AK

AD=

AD − KD

AD= 1 − KD

AD.

Finalmente, utilizando novamente a equacao (1) segue que:

KO

CD= 1 − KO

ABou KO(

1

CD+

1

AB) = 1.

Portanto,

KO =AB.CD

CD + AB=

ab

a + b=

1

2KL

Logo, KL = 2KO = 2aba+b

. Assim, KL e a media harmonica entre os comprimentosdas bases do trapezio, e isso conclui a demonstracao da proposicao.

Observacao 3.1 A base media do trapezio, representada pelo segmento MN divide otrapezio em dois outros onde a area do trapezio ABNM (trapezio de base a) e claramentemenor que a area do trapezio MNCD (trapezio de base b), visto que a < b. Assim,o segmento EF , paralelo as bases, que divide o trapezio em dois outros de mesma areacertamente estara ”mais proximo”da base b desse trapezio do que a base media do mesmo.Esse argumento ilustra claramente que a media aritmetica e sempre menor que a mediaquadratica, exceto no caso limite em que a = b. Mais adiante sera apresentada uma provaanalıtica desse fato.

Feitas estas ponderacoes, tem-se a seguinte ilustracao geometrica das medias estudadasneste trabalho.

A B

CD

K L

G H

M N

E F

O

Figura 5

Note que a Figura 5 acima ilustra as seguintes desigualdades:

KL < GH < MN < EF

ou equivalentemente,

2ab

a + b<

√ab <

a + b

2<

√a2 + b2

2se a = b, a > 0, b > 0

Esse e o tema da proxima secao.

4 Desigualdades entre as Medias Classicas

Proposicao 4.1 Dados dois numeros reais positivos, a e b, tais que a ≤ b, suas mediasaritmetica mA, geometrica mG, harmonica mH e quadratica mQ satisfazem as seguintesdesigualdades,

a ≤ mH ≤ mG ≤ mA ≤ mQ ≤ b,

sendo que as igualdades ocorrem se, e somente se a = b.

Demonstracao: Com excecao da primeira e da utima desigualdade que seguem dahipotese a ≤ b, as demais sao consequencias do seguinte resultado basico sobre numerosreais: (a − b)2 ≥ 0 ∀a, b ∈ IR. De fato, sabendo que a > 0 e b > 0, tem-se:

a ≤ mH ⇔ a ≤ 2aba+b

⇔ ab + a2 ≤ 2ab ⇔ a(a − b) ≤ 0 ⇔ a ≤ b

mH ≤ mG ⇔ 2aba+b

≤√

ab ⇔ 4a2b2

(a+b)2≤ ab ⇔ 4ab ≤ a2 + 2ab + b2 ⇔ (a − b)2 ≥ 0

mG ≤ mA ⇔√

ab ≤ a+b2

⇔ 4ab ≤ a2 + 2ab + b2 ⇔ (a − b)2 ≥ 0

mA ≤ mQ ⇔ a+b2

≤√

a2+b2

2⇔ (a+b)2

4≤ a2+b2

2⇔ 2a2−4ab+2b2 ≥ 0 ⇔ (a−b)2 ≥ 0

mQ ≤ b ⇔√

a2+b2

2≤ b ⇔ a2+b2

2≤ b2 ⇔ (a2 − b2) ≤ 0 ⇔ a ≤ b

Alem disso, as igualdades acontecem se, e so se (a − b)2 = 0, i.e., se e so se a = b, e oresultado segue.

4.1 Uma ilustracao geometrica

Uma ilustracao geometrica das desigualdades entre as medias classicas foi dada na Figura5, no entanto sera apresentada agora uma outra ilustracao geometrica dessas desigualdadesreproduzida a partir da figura a pagina 263 de [4].

P

R

A H Q

D

M

22

2

2-

+

+

+

2

-

Figura 6

Construcao: Considere apenas numeros reais tais que 0 < a < b e construa ossegmentos PM e QM de maneira que o ponto Q fique entre os pontos P e M e taisque PM = b e QM = a. Agora, trace a circunferencia de diametro PQ e centro A,ponto medio de PQ. Na sequencia, construa a reta tangente a circunferencia de centroA passando por M e denote por D o ponto de tangencia. Trace tambem DH ⊥ PM ,AR ⊥ PM , sendo H pertencente ao segmento PM e R pertencente a circunferenciaconstruida inicialmente.

Afirmacao: Sob as condicoes da construcao dada acima pode-se afirmar que:

i) AM e a media aritmetica de a e b,

ii) DM e a media geometrica de a e b,

iii) HM e a media harmonica de a e b,

iv) RM e a media quadratica de a e b.

Demonstracao: Primeiro, como por construcao, AD, AR e PA sao raios, tem-se

AD = AR = PA = b−a2

.

Logo,

PA + AM = b ⇔ b−a2

+ AM = b ⇔ AM = a+b2

Portanto, conclui-se que AM e a media aritmetica entre a e b.

Segundo, aplicando o teorema de Pitagoras no triangulo ADM, tem-se

(a+b)2

4= (b−a)2

4+ DM2 ⇔ DM2 = ab ⇔ DM =

√ab

Assim, DM e a media geometrica entre a e b.

Terceiro, observe que os triangulos DHM e ADM sao semelhantes, e entao a razaode semelhanca HM

DM= DM

AMimplica que

HM√ab

=√

aba+b

2

⇔ HM(a+b)2

= ab ⇔ HM = 2aba+b

Logo, HM e a media harmonica entre a e b.

Finalmente, aplicando-se o Teorema de Pitagoras ao triangulo retangulo RAM , tem-se

RM2 = (b−a)2

4+ (a+b)2

4⇔ RM2 = 2(a2+b2)

4⇔ RM =

√a2+b2

2

Logo, RM e a media quadratica entre a e b.

Agora, utilizando-se sequencialmente o seguinte resultado elementar de geometriaeuclidiana plana: em todo triangulo retangulo cada cateto e menor que a hipotenusa,conclui-se desta construcao que:

QM < HM < DM < AM < RM < PM

ou seja, se 0 < a < b entao,

a < mH =2ab

a + b< mG =

√ab < mA =

a + b

2< mQ =

√a2 + b2

2< b

5 Aproximando raızes quadradas atraves de medias

O uso de medias para determinar valores aproximados sucessivos para a raiz quadrada deum numero real positivo ja era conhecido pelo matematico grego Heron de Alexandria (100d.C). No entanto, o processo algorıtmico e atribuıdo por alguns ao sabio grego Arquitasde Tarento (428-365 a.C.), e ocasionalmente e chamado algoritmo de Newton. Mas, naprimeira metade do seculo XX, descobriu-se que ele ja era utilizado pelos mesopotamicos,ha uns 3.500 anos

O processo geral consiste no seguinte: dado um numero real positivo n, do qual sequer calcular a raiz quadrada, inicia-se com uma primeira aproximacao a0, escolhidaexperimentalmente. A menos que n seja um quadrado perfeito (o que nao e comum)tem-se em geral a0 = √

n. Entao um dos dois numeros a0,na0

e menor do que√

n e

o outro e maior. Para facilitar a notacao, inicie escolhendo a0 maior do que√

n e sejah0 = n

a0, entao a media aritmetica a1 = 1

2(a0+

na0

) e uma aproximacao por excesso para√

n

melhor do a0 e a media harmonica h1 =2a0

n

a0

a0+ n

a0

=2h0

n

h0

h0+ n

h0

= na1

e uma aproximacao por falta

para√

n melhor do que h0. Sendo assim, de modo analoga, pode-se tomar aproximacoessucessivas por excesso e por falta cada vez melhores de

√n, dadas, respectivamente, por

ak+1 =1

2(ak +

n

ak

) e hk+1 =2hk

nhk

hk + nhk

=2n

hk + nhk

=n

ak+1

para k = 0, 1, ...

Para justificar que o algoritmo acima descrito sempre funciona proceda como segue.Primeiro, observe que as desigualdades entre as medias harmonica, geometrica e aritmetica,apresentadas na secao 5, afirmam que: hk <

√n < ak, para k = 0, 1, 2, .... Alem disso:

hk <√

n =⇒ hk2 < n =⇒ 1

hk2 >

1

n=⇒ hk

2

n< 1

ak >√

n =⇒ ak2 > n =⇒ 1

ak2

<1

n=⇒ n

ak2

< 1

Portanto,

ak+1

ak

=12(ak + n

ak

)

ak

=1

2+

n

2ak2

<1

2+

1

2= 1 =⇒ a0 > a1 > ...

hk

hk+1

=hk

2nhk+ n

hk

=h2

k + n

2n=

h2k

2n+

1

2<

1

2+

1

2= 1 =⇒ h0 < h1 < ...

Isto e os ak sao aproximacoes por excesso, cada vez melhores, de√

n, enquanto os hk saoaproximacoes por falta, cada vez melhores, de

√n. Portanto, tem-se:

h0 < h1 < h2 < ... < hk < ... <√

n < ... < ak < ... < a2 < a0

Falta ainda provar que as sequencias determinadas por ak e hk convergem de fato para√n. Para isso, note que a sequencia crescente formada pelos hk e limitada superiormente

por√

n (e portanto converge a um numero a), enquanto a sequencia decrescente formadapelos ak e limitada inferiormente por

√n (e portanto converge a um numero b), sendo

0 < a ≤ √n ≤ b. No entanto,

ak+1 − hk+1 =1

2(ak +

n

ak

) − 2n

ak + nak

=a2

k − 2n + h2k

4ak+1

=(ak − hk)

2

4ak+1

, (4)

e passando ao limite, obtem-se b − a = (b−a)2

4b. Se a = b, ter-se-ia 4b = b − a, ou seja,

3b + a = 0, o que e impossıvel, com a e b positivos. Logo, a = b =√

n.Finalmente, pode-se afirmar que esse metodo apresenta a enorme vantagem de ter

convergencia quadratica, isto significa que o erro cometido em cada etapa e aproximada-mente o quadrado do erro da etapa anterior. Para justificar esta afirmacao observe queas desigualdades hk <

√n < ak implicam que, tanto o erro cometido ao tomar a k-esima

aproximacao por excesso, isto e, ak − √n, quanto o erro cometido ao tomar a k-esima

aproximacao por falta, isto e,√

n − hk, sao menores que δk = ak − hk. Mas a igualdade(4) mostra que: δk+1 = δ2

4ak+1. Assim sendo, se u e uma aproximacao por falta de

√n,

tem-se que u <√

n < ak+1, de modo que δk+1 < 14u

δ2k. E isto conclui a demonstracao da

eficiencia do metodo de extracao aproximada de raızes quadradas atraves do uso sucessivode medias harmonicas e aritmeticas.

Um exemplo: obtendo uma aproximacao para√

15

O objetivo agora e aplicar o algoritmo descrito anteriormente em um exemplo: obteruma aproximacao para

√15 com quatro casas decimais corretas atraves de aproximacoes

sucessivas de medias aritmeticas e harmonicas.

Para facilitar a compreensao, as aproximacoes obtidas por medias aritmeticas nosquatro primeiros passos serao ilustradas graficamente. Considere entao, as funcoes f(x) =x e g(x) = 15

x, definidas no domınio dos numeros reais positivos; e observe que a funcao

f e estritamente crescente enquanto que a funcao g e estritamente decrescente, quandorestritas a esse domınio. Seus graficos se interceptam no ponto (x, y) tal que x = 15

x, ou

seja no ponto (√

15,√

15). Portanto a reta y =√

15 esta situada entre as curvas y = x ey = 15

x, conforme ilustrado na Figura 7.

15

15

0

15

x

y

=

=

=

Figura 7

Para iniciar o metodo de aproximacao, escolhe-se a0 como sendo uma aproximacao

inicial por excesso para√

15. Digamos a0 = 4, e entao a media aritmetica a1 =a0+ 15

a0

2=

4+ 15

4

2= 2 + 15

8= 31

8= 3, 785 fornece uma nova e melhor aproximacao.

Continuando, considera-se a aproximacao a2 =a1+ 15

a1

2=

31

8+ 120

31

2= 31

16+ 120

62= 1921

496≈

3, 872984, ainda melhor que a1. Prosseguindo mais uma vez, a media aritmetica a3 =a2+ 15

a2

2=

1921

496+ 7440

1921

2≈ 3, 872983 e novamente uma aproximacao por excesso para

√15 me-

lhor que a2. Os graficos apresentados nas Figuras (8-11) abaixo, ilustram as aproximacoes

por excesso a0 > a1 > a2 > a3 para√

15.

15

15

0

15

x

y

ao

=

=

=

15

15

0

15

x

y

a1

=

=

=

Figura 8 Figura 9

15

15

0

15

x

y

a 2

=

=

=

15

15

0

15

x

y

a3

=

=

=

Figura 10 Figura 11

As aproximacoes por falta dadas por medias harmonicas, e os erros cometidos em cadaaproximacao se encontram na tabela abaixo:

k hk ak δk = ak − hk1

12δ2k

015

4= 3, 75 4 0, 25 0, 005208

1120

31≈ 3, 870968

31

8= 3, 875 0, 0041 0, 00000140

27440

1921≈ 3, 872983

1921

496≈ 3, 872984 0, 000002 8, 33 × 10−14

328584480

7380481≈ 3, 872983

7380481

1905632≈ 3, 872983 0, 000000 0, 000000

Conclui-se que uma aproximacao para√

15 com quatro casas decimais corretas e3, 8729.

Referencias

[1] Beckenbach, E., Bellman, R. An Introduction to Inequalities. Washington: TheMathematical Association of America, 1961.

[2] Boyer, C. B. Historia da Matematica.Traducao. Sao Paulo: Editora Edgard Blucher,1974.

[3] Carneiro, J. P. Q. Raiz quadrada utilizando medias. Revista do Professor de Ma-tematica. Sao Paulo: SBM, no 45, pp. 21-28, 2001.

[4] Figueiredo, V. L. X., Mello, M. P., Santos, S. A. Calculo com Aplicacoes:atividades computacionais e projeto. Campinas: UNICAMP/IMECC, 2005.

[5] Wagner, E. A desigualdade de Cauchy-Scharwz. Revista do Professor de Ma-tematica. Sao Paulo: SBM, no 27, pp. 16-20, 1995.

CÓDIGOS CORRETORES DE ERROS LINEARES*

Marcos Antônio da Câmara† Adenilce Oliveira Souza

Universidade Federal de UberlândiaAv. João Naves de Ávila, 2160

Campus Santa Mônica38408-100 – Uberlândia – MG

Faculdade de MatemáticaVII Curso de Especialização em Matemática

RESUMO

Neste trabalho apresentamos uma introdução à teoria dos Códigos Corretores de Erros, que é uma parteda matemática aplicada usada na área de transmissão de informação e que necessita fortemente de conceitos e resultados da matemática pura, especialmente da álgebra. Falaremos especificamente de umaclasse de códigos corretores de erros, os códigos lineares.Palavras Chave: Código linear, matriz geradora, decodificação

INTRODUÇÃO

A história dos Códigos Corretores de Erros começa em 1948 com a publicaçãode um artigo pelo matemático e engenheiro Claude E. Shannon, do laboratório Bell. Inicialmente uns dos maiores interessados nesta teoria foram os matemáticos que a desenvolveram consideravelmente nas décadas de 50 e de 60. A partir da década de 70, com as pesquisas espaciais e a grande popularização dos computadores, essa teoria começou a interessar também aos engenheiros.

Hoje os códigos corretores de erros participam do nosso cotidiano de inúmerasformas, estando presentes, por exemplo, sempre que fazemos uso de informaçõesdigitalizadas, tais como assistir a um programa de televisão, falar ao telefone, ouvir umCD de música, assistir a um filme em DVD, mandar um recado a alguém via Pager ou navegar pela Internet.

Um problema geral pode ser assim exemplificado:

“Suponha que se deseja enviar uma mensagem por um canal de comunicação a cabo de São Paulo para Uberlândia. Eventualmente esta mensagem pode sofrer interferências no caminho. Por exemplo, se considerarmos uma mensagem binária (seqüências de 0’s e 1’s), pode acontecer de um 0 enviado chegar ao destino como 1 ou vice-versa.”___________________________________________* Monografia apresentada por Adenilce Oliveira Souza à Faculdade de Matemática, como requisitoparcial para a obtenção do título de Especialista em Matemática.† Professor orientador: [email protected]

A teoria de códigos foi criada para tentar corrigir estes erros. Um código corretorde erros é, em essência, um modo organizado de acrescentar algum dado adicional acada informação que se queira transmitir ou armazenar e que permita, ao recuperar ainformação, detectar e corrigir erros.

Devido ao fato de que a motivação primária para o desenvolvimento dos códigos corretores de erros ser a resolução de problemas em comunicações, essa teoria foienquadrada na teoria das comunicações.

Aplicações em problemas de comunicações são diversificadas. Dados binários são comumente transmitidos entre terminais de computadores, entre aeronaves e entre espaçonaves. Códigos corretores de erros são usados freqüentemente em aplicaçõesmilitares para proteção contra interferência inimiga intencional.

As transmissões entre sistemas computacionais usualmente são intolerantes atémesmo a baixas taxas de erros, porque um simples erro pode destruir um programa de computador. Códigos corretores de erros tornam-se importantes nestas aplicações.

Podemos antecipar que técnicas de controle de erros representarão um papel central em todos os sistemas de comunicação do futuro, pois o futuro é digital.

O presente trabalho constitui uma breve introdução à teoria dos códigos corretores de erros.

No capítulo I desta monografia, apresentamos os elementos de um sistema decomunicações e definimos alguns conceitos básicos para podermos iniciar acompreensão de como funcionam os códigos corretores de erros.

No capítulo II, nos dedicamos a uma única classe de códigos, os códigos lineares, determinamos os seus parâmetros e apresentamos os algoritmos gerais de correção de erros.

No capítulo III, apresentamos um exemplo de código linear, onde usamos toda ateoria estudada na monografia para mostrar como se codifica e se decodifica umamensagem.

CAPÍTULO I

CÓDIGOS CORRETORES DE ERROS

1.1 – Sistema de Comunicação

Um sistema de comunicações conecta uma fonte de dados a um usuário de dados através de um canal.

O modelo do sistema de comunicações desenvolve dispositivos que preparam o “input” e processam o “output” do canal.

Dados que entram no sistema de comunicações através de uma fonte de dados,são inicialmente processados por um codificador da fonte projetado para representar osdados da fonte de maneira mais compacta. Esta representação é uma seqüência de símbolos chamada palavra código da fonte. Então, os dados são processados por um codificador de canal, que transforma a seqüência de símbolos da palavra código da fonteem outra seqüência chamada palavra código do canal.

A palavra código do canal é uma nova e longa seqüência que têm maisredundância que a palavra código da fonte. Cada símbolo na palavra código do canalpode ser representada por um bit ou, talvez, por um grupo de bits. Depois, o moduladorconverte cada símbolo da palavra código do canal em um símbolo analógico correspondente de um conjunto finito de símbolos analógicos possíveis.

A seqüência de símbolos analógicos é transmitida através do canal. Como o canal está sujeito a vários tipos de ruídos, distorções e interferências, os dados que saemdo canal diferem dos dados que entram no canal. O demodulador converte cada sinal desaída do canal recebido na seqüência correspondente de símbolos da palavra código docanal. Cada símbolo demodulado é a melhor estimativa do símbolo transmitido, mas o demodulador comete alguns erros devido a interferências do canal. A seqüência de símbolos demodulada é chamada de palavra recebida. Devido aos erros, os símbolos da palavra recebida nem sempre são iguais aos símbolos da palavra código do canal.

O decodificador do canal usa a redundância da palavra código do canal para corrigir os erros da palavra recebida e então produzir uma estimativa da palavra códigofonte. Se todos os erros são corrigidos, a palavra código fonte estimada é igual à palavracódigo fonte original. O decodificador da fonte executa a operação inversa do codificador da fonte e envia sua saída para o usuário.

As funções compressão ou compactação de dados executadas pelo codificador da fonte e o decodificador da fonte não serão discutidas neste trabalho, bem como omodulador e o demodulador. Os codificador e decodificador de canal serão designadosdaqui em diante, simplesmente, por codificador e decodificador, respectivamente.

Palavra código da fonteestimada

Palavrarecebida

Palavracódigo do

canal

Palavracódigo da

fonte

Canal

Usuário

Demodulador

DecodificadorDo Canal

DecodificadorDa Fonte

Modulador

CodificadorDo Canal

CodificadorDa Fonte

Fonte

Sistema de Comunicação

1.2 – Conceitos Básicos

Suponha que todos os dados de interesse pudessem ser representados por umainformação binária, isto é, como uma seqüência de zeros e uns. Esta informação binária está para ser transmitida através de um canal que causa erros ocasionais. O propósito de um código é adicionar símbolos extras aos símbolos da informação de modo que oserros podem ser encontrados e corrigidos no receptor. Isto é, uma seqüência de símbolosde dados é representada por uma seqüência maior de símbolos com redundância suficiente para proteger os dados.

Um código binário de tamanho M e comprimento de bloco n é um conjunto de k palavras de comprimento n, chamadas palavras do código. Geralmente M = 2k paraum inteiro k e o código é denominado de código binário (n,k)

Por exemplo, nós podemos fazer o seguinte código:

11101

10110

01011

00000

C

Este é um código muito pobre e muito pequeno com M = 4 e n = 5 , mas elesatisfaz os requisitos da definição. Nós podemos usar este código para representar números binários com 2 bits, usando a seguinte correspondência arbitrária:

00 00000 01 01011 10 10110 11 11101

Suponhamos que temos um robô que se move sobre um tabuleiro quadriculado, de modo que, ao darmos um dos comandos (para frente, para trás, para direita ou para esquerda), o robô se desloca do centro de uma casa para o centro de outra casa adjacente indicada pelo comando. Os quatro comandos acima podem ser codificados como elementos de {0,1} , como se segue:{0,1} x

Para frente 00 Para direita 10

Para trás 01 Para esquerda 11

O código acima é chamado de código da fonte. Suponhamos, agora, que essespares ordenados devam ser transmitidos via rádio e que o sinal no caminho sofrainterferências. Imaginemos que a mensagem 00 possa, na chegada ser recebida como01, o que faria com que o robô, em vez de ir para frente, fosse para trás. O que se faz,então, é recodificar as palavras, de modo a introduzir redundâncias que permitamdetectar e corrigir erros.

Podemos, por exemplo, modificar o nosso código da fonte como já fizemosanteriormente:

00 00000 01 01011 10 10110 11 11101

Nessa recodificação, as duas primeiras posições reproduzem o código da fonte, enquanto que as três posições restantes são redundâncias introduzidas. O novo código introduzido na recodificação é chamado de código do canal.

Suponhamos que se tenha introduzido um erro ao transmitirmos, por exemplo, apalavra 01011, de modo que a mensagem recebida seja 11011. Comparando essa mensagem com as palavras do código, notamos que não lhe pertence e, portanto, detectamos erros. A palavra do código mais próxima da referida mensagem (a que temmenor números de componentes diferentes) é 01011, que é precisamente a palavra transmitida.

O procedimento acima está esquematizado abaixo:

Codificadorde canal

Codificadorda fonte

fonte

Usuário

Decodificadorda fonte

Decodificadorde canal

O nosso estudo consiste em detectar e corrigir erros na palavra recebida e, depois de corrigidos os erros, relacioná-la à palavra transmitida e transformar a palavratransmitida em código fonte para o usuário.

Quando recodificamos o código fonte, de modo a introduzir redundâncias que permitam detectar e corrigir erros, esta recodificação não precisa ter obrigatoriamente o código fonte inserido. Por exemplo, no código do robô poderíamos ter feito a seguinterecodificação:

11111

01110

10010

10101

C

Os dois códigos criados para o exemplo do robô não são códigos bons, pois eles não são capazes de corrigir muitos tipos de erros. Vamos exemplificar:

00 1010101 1001010 0111011 11111

Note que no primeiro código a escolha da palavra código 01011 para estimar a mensagem recebida 11011 é feita de maneira bem natural. De fato, em relação às palavras do código observamos que:

11011 00000 4 diferenças

01011 1 diferença

10110 3 diferenças

11101 2 diferenças

Suponhamos que tivéssemos recebido a mensagem 01110 . Nesse caso, em relação às palavras do código teríamos:

01110 00000 3 diferenças

01011 2 diferenças

10110 2 diferenças

11101 3 diferenças

Nesse caso, não é possível estimar qual foi a palavra código transmitida.

O ponto de partida para a construção de um código corretor de erros é definir o alfabeto A com um número finito de q símbolos. No caso dos códigos binários A = {0 , 1}.

Um código corretor de erros é um subconjunto próprio qualquer de, para algum número natural n. O número de elementos de um

conjunto A será denotado por |A|.AAAAAn

O código do robô é um subconjunto próprio de A5 , com A = {0 , 1}, ondeA5 = 11111;......;00100;00010;00001;00000 e | = 25A | 5 = 32

Para que possamos identificar as palavras mais próximas de uma dada palavra recebida com erro e estimar qual foi a palavra do código transmitida, vamos apresentarum modo de medir a “distância”entre palavras em An.

Definição 1.1: Dados dois elementos u, v An , a distância de Hamming entre u e v é

definida como d(u,v) = | { i : ui vi , 1 i n}| , onde )v.......,v(v

)u,......,u(u

n,1

n1

Exemplo: Calculando a distância no código do robô:

d ( 00000, 01011) = 3 d ( 00000, 10110) = 3 d ( 00000, 11101) = 4 d ( 01011, 10110) = 4 d ( 01011, 11101) = 3 d ( 11101, 10110) = 3

Propriedades 1.1 : Dados u, v, w An , valem as seguintes propriedades:

(i) Positividade: d(u,v) 0 , valendo a igualdade se , e somente se, u = v . (ii) Simetria: d(u,v) = d(v,u) (iii) Desigualdade Triangular: d(u,v) d(u,w) + d(w, v)

Demonstração:

(i) Temos por definição que d(u,v) = | { i : ui vi , 1 i n}| 0. Caso d(u,v) = 0 , temos que ui = vi para i = 1, ..., n e daí u = v . Se u = v, temos que uj = vj,, para 1 j ne conseqüentemente d(u,v) = 0

(ii) Pela definição de distância de Hamming temos que d(u,v) = | { i : ui vi , 1 i n}|= | { i : vi ui , 1 i n}| = d(v,u)

(iii) Para demonstrar esta propriedade vamos considerar a i-ésima coordenada de u, v, w.

Dados u, v, w An com u = ( u1 , ...... , un) ; v = (v1 , ....... , vn ) ; w = (w1 ,.......... ,

wn) podemos analisar as seguintes possibilidades para cada i, com 1 i n:

Caso I: ui = vi ui = wi wi = vi

ui wi wi vi

Para esta situação temos que se ui = wi então, wi = vi . Logo, a contribuição da i-ésima coordenada para d(u,v) é zero, o que também ocorre pra d(u,w) e d(w,v) , ou seja, as contribuições são iguais.

Por outro lado, se ui wi , teremos também que wi vi . Logo, a contribuição da i-ésima coordenada para d(u,w) e d(w,v) será 1, ou seja, as contribuições são maiorespara d(u,w) + d(w,v).

Caso II: ui vi ui = wi wi vi

ui wi wi vi

wi = vi

Para esta situação temos que se ui = wi então wi vi . Logo, a contribuição da i-ésima coordenada para d(u,w) é zero e a contribuição da i-ésima coordenada para d(u,v) e d(w,v) será 1. Assim, as contribuições para d(u,v) são iguais as contribuições para .v)d(w,w)d(u,

Agora para a situação onde ui wi temos que se wi vi , a contribuição da i-ésima coordenada será 1 para todos, assim teremos que as contribuições para d(u,v)serão menores que as contribuições para d(u,w) + d(w,v). E se wi = vi a contribuição da i-ésima coordenada para d(w,v) é zero e a contribuição da i-ésima coordenada parad(u,v) e d(u,w) será 1. Assim, as contribuições para d(u,v) são iguais as contribuiçõespara .v)d(w,w)d(u,

Assim somando todas as contribuições com i = 1,2,…,n , teremos que.)v,w(d)w,u(d)v,u(d

As propriedades i) , ii) e iii) caracterizam o que se costuma, em matemática,chamar de métrica. Por isso, a distância de Hamming entre elementos de An é também chamada de métrica de Hamming.

Definição 1.2: Dados um elemento a An e um número real t >0 , definimos o disco e aesfera de centro a e raio t como sendo, respectivamente, os conjuntos:

D (a,t) = {u An : d(u,a) t} S (a,t) = {u An : d(u,a) = t}

Exemplos: i) Considere A = {0,1} e n = 4

Nesse caso A4 =

}(1,1,1,1),(1,1,0,1),(1,0,1,1),(0,1,1,1)

(1,1,1,0),(0,0,1,1),(0,1,1,0),(0,1,0,1),(1,1,0,0),(1,0,1,0)

(1,0,0,1),(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1),(0,0,0,0){

Assim, para a = (0,0,0,0) temos que :

D (a,1) = { (0,0,0,0) , (0,0,0,1) , (0,0,1,0) , (0,1,0,0) , (1,0,0,0)} S (a,1) = { (0,0,0,1) , (0,0,1,0) , (0,1,0,0) , (1,0,0,0)}

Note que A4 = D(a,4)

Temos que F é o corpo de Galois e, para cada número natural n, teremosum F-espaço vetorial Fn de dimensão n.

ii) Considere = {(0,0,0) , (1,0,0) , (0,1,0) , (0,0,1) , (1,0,1) , (1,1,0) , (0,1,1) , (1,1,1)} 3F

Assim, para a = (0,0,0) temos que :

D ((0,0,0),2) = { (0,0,0) , (0,0,1) , (1,0,0) , (0,1,0) , (1,0,1) , (1,1,0) , (0,1,1) } S ((0,0,0),2) = { (1,0,1) , (0,1,1) , (1,1,0)}

Definição 1.3: Seja C um código. A distância mínima de C é o número:d = min { d(u,v) : u , v C e u v}

Por exemplo, se C é o primeiro código do robô temos que:

d ( 00000, 01011) = 3 d ( 00000, 10110) = 3 d ( 00000, 11101) = 4

Distância mínima d = 3d ( 01011, 10110) = 4 d ( 01011, 11101) = 3 d ( 11101, 10110) = 3

Por exemplo, se C é o segundo código do robô temos que:

d ( 10101 , 10010) = 3 d ( 10010 , 01110) = 3 d ( 10101 , 01110) = 4

Distância mínima d = 2d ( 10010 , 11111) = 4 d ( 10101 , 11111) = 2 d ( 01110 , 11111) = 2

Nesse caso, para calcular d é necessário calcular 2

M distâncias, onde M é o

número de palavras do código, o que tem custo computacional elevado.

Proposição 1.2 – Seja C um código com distância mínima d. Se c e c’ são palavras

distintas de C, então D(c,t) D (c’, t) = , onde t =2

1d

Obs: [ * ] : parte inteira do número *

d(c,c’) d

2

)c'd(c,

Obs: os raios das circunferências têm medida t.

Demonstração:

De fato, se x pertencesse a D(c,t) D (c’, t), teríamos d(x,c) t e d(x,c’) t , eportanto pela simetria, pela desigualdade triangular e pela definição de t teríamos:

d(c,c’) d(c,x) + d(x, c’) t + t = 2t d – 1 (Absurdo) Como d é a distância mínima de C, temos necessariamente que d(c,c’) d.

x D(c,t) D (c’, t)

D(c,t) D (c’, t) =

Teorema 1: Seja C um código com distância mínima d . Então C pode

corrigir até t = 2

1d erros. Se d é par, o código pode simultaneamente corrigir

2

2d erros e detectar até

2

d erros.

Demonstração:

Se ao transmitirmos uma palavra c do código cometemos s erros com s t, recebendo a palavra r, então d(r,c) = s t

d(c,c’) d

Como D(c,t) D(c’,t) = , temos que d(r,c’) t, para toda palavra c’ C , com c’ c e, portanto, a decodificação pela vizinhança mais próxima vai corrigir este erro, pois c está univocamente determinado a partir de r.

Agora se d for par, então 2

1d =

2

2d . Conseqüentemente, C pode

corrigir2

2derros. Mas, se

2

d ocorreu, isso significa que a palavra recebida r tem

d(c,r) = 2

d. Se existe alguma palavra c’ C tal que d(c,c’) = d , teremos que r pode

estar no “ponto médio” entre c e c’, Nesse caso, d(c’,r) =2

d e o decodificador pode

detectar que 2

d erros ocorreram, mas não pode corrigi-los pois existem duas

possibilidades distintas c e c’ para efetuar a decodificação pela vizinhança maispróxima.

2

d

2

dt

t

r

Por outro lado, se mais de 2

derros ocorrem, a palavra recebida r pode estar mais

próxima de outra palavra do código que não a correta.

d

d(c,r) > 2

d

e d(c’,r) < t

tr

t

2

d

2

d

Nesse caso, a decodificação de r determinará c’ incorretamente. Isto é chamadoerro de decodificação. Em um código eficiente, isto raramente ocorre.

Por exemplo em um código com d = 4, é possível corrigir até t = 2

1d = 1 erro e

detectar até 2

d = 2 erros. Note que pelo teorema anterior, um código terá maior

capacidade de correção de erros quanto maior for a sua distância mínima. Portanto, é fundamental, para a Teoria de Códigos, poder calcular d, ou pelo menos determinar umacota inferior para ele.

Definição 1.4: Seja C An um código com distância mínima d e seja t = 2

1d . O

código C será dito perfeito se Cc

nAtcD ),(

Exemplos:

1 – O código do robô não é perfeito, pois ele é um código C A5 , onde C = { ( 0,0,0,0,0) ; (0,1,0,1,1) ; (1,0,1,1,0) ; (1,1,1,0,1) } e além disso, temos que

Cc

AcD 5)1,(

2 – Todo código de Hamming é perfeito (falaremos deste tipo de código no capítulo II)

CAPÍTULO II

CÓDIGOS LINEARES

A classe de códigos mais utilizada na prática é a chamada classe dos códigos lineares. Denotaremos por F um corpo finito com q elementos tomado como alfabeto. No caso dos códigos binários q = 2 e F é o corpo de Galois. Temos, portanto, para cadanúmero natural n, um F-espaço vetorial Fn de dimensão n.

Definição 2.1: Um código C Fn será chamado de código linear se for um subespaço vetorial de Fn.

Desse modo, C é por definição um espaço vetorial de dimensão finita.Denotaremos por k a dimensão do código C. Conseqüentemente, todo elemento de C seescreve de maneira única na forma: (*) 1v1 + 2v2 + .... + kvk ; i F , i = 1,2,..., konde v1,...,vk é uma base de C. Como i F, i = 1,2,..., k , existem q possibilidades para cada um dos i em (*) . Logo, existem qk elementos em C, ou seja, M = |C| = qk e conseqüentemente

.MlogqlogqlogCdim qqqkkk

Definição 2.2: Dado u Fn, defini-se o peso de u como sendo o número inteiro:

w(u) := | { i: ui 0} |

Ou seja, w(u) = d(u, 0), em que 0 é o vetor nulo de Fn.

Definição 2.3: O peso de um código linear C, é o inteiro w(C) = min{w(u) : u C –{0}}.

Proposição 2.1: Seja C Fn um código linear com distância mínima d . Temos que:

(i) u , v Fn ; d(u,v) = w(u-v) (ii) d = w(C)

Demonstração:

(i) d(u,v) = | {i: ui vi , 1 i n}| = | {i: ui – vi 0 , 1 i n}| = w(u-v)

(ii) Para todo par de elementos u,v C , com u v , temos que z = u – v C . Daí, d(u,v) = w(z) . Portanto, o conjunto {w(z): z C –{0} } é igual ao conjunto{d(u,v) : u,v C e u v} e daí d = min {d(u,v) : u,v C e u v}= min {w(z): z C –{0} }= w(C).

Em virtude disto, a distância mínima de um código linear C será tambémchamada de peso do código C.

2.1 – Como construir códigos lineares

Em álgebra linear, se conhecem essencialmente duas maneiras de se descrever subespaços vetoriais C de um espaço vetorial Fn , uma como imagem, e outra como núcleo de transformação linear.

Vamos obter a representação de C como imagem de uma transformação linear.Escolha uma base v1, v2, ...., vk de C e considere a aplicação linear:

T: Fk Fn

a u

onde a = (a1, a2, ...., ak) e u = a1v1 + a2v2 + .... + akvk . Temos que T é umatransformação linear injetora, pois o Ker T = { 0} , tal que Im(T) = C.

Portanto, dar um código C Fn de dimensão k é equivalente a dar umatransformação linear injetora T: Fk Fn e definir C = Im(T)

Exemplo: Considere a transformação linear:

T: 42

22 FF

(a1,a2) (a1, a2, a2, a1)

Temos que T(a1,a2) = (0,0,0,0) , se (a1, a2, a2, a1) = 0 , ou seja, a1 = a2 = 0 . Logo,Ker T = { (0,0) } . Portanto, T é injetora e daí Im T = C ( a imagem de T é um código C). Como a1 , a2 F2 , temos que | C | = 22 = 4 e:

C = { (0,0,0,0) ; (1,0,0,1) ; (0,1,1,0) ; (1,1,1,1) }

Além disso, w(C) = 2 e C corrige t = 2

1d= 0 erros, ou seja, é um código

muito ruim.

2.2 – Matriz Geradora de um Código.

Definição 2.4: Dado um código linear C Fn , chamaremos de parâmetros do código linear C os inteiros (n, k, d), onde k é a dimensão de C sobre F , d representa a distância mínima de C e n é denominado o comprimento do código C.

Seja = {v1, v2, ..., vk} uma base ordenada de C e considere a matriz G , cujas linhas são os vetores vi = (vi1, vi2, ...., vin) ; i = 1,2,...,k , isto é ,

G =

knkk

n

n

k vvv

vvvvvv

v

vv

....

.........

........

.....

.....

.

.

21

22221

11211

2

1

A matriz G é chamada de matriz geradora de C associada à base .

Exemplo: No exemplo anterior, considere = { (1,0,0,1) ; (0,1,1,0) }e daí teremos:

G = 0110

1001

Utilizando esta matriz geradora G para codificar as palavras código da fonte, doexemplo do robô, teríamos as seguintes palavras do código.

(0,0) . G = 00000110

1001.00

(1,0) . G = 10010110

1001.01

(0,1) . G = 01100110

1001.10

(1,1) . G = 11110110

1001.11

Fonte Palavracódigo

Da fonte

Palavracódigo

Do canal Para frente 00 0000Par trás 01 0110Para direita 10 1001Para esquerda 11 1111

Codificadorda fonte

Codificadordo canal

De maneira geral, consideramos a transformação linear definida por:

T : Fk Fn

a aG

Se a = (a1, a2, ..., ak), temos que T(a) = aG = (a1v1 + a2v2 + .... + akvk), ou seja, T(Fk) = C. Podemos, então, considerar Fk como sendo um código da fonte, C o código do canal e a transformação T, uma codificação.

Além disso, devemos ressaltar que a matriz geradora G não é única, pois ela

depende da base . Portanto, mudando para uma base , teremos uma outra matriz

geradora G para o mesmo código C. Da álgebra linear, sabemos que podemos obter Gde G através de operações elementares com as linhas de G e vice versa.

~

~ ~

Podemos construir códigos a partir de matrizes geradoras G. Para isto, basta tomar uma matriz cujas linhas sejam linearmente independentes e definir um código como sendo a imagem da transformação linear T : Fk Fn

a aG

2.3 – Equivalência de Códigos

Definição 2.5: Sejam F um alfabeto e n um número natural. Diremos que uma funçãof : Fn Fn é uma isometria de Fn se ela preserva distâncias de Hamming, ou seja:

d(f(u),f(v)) = d(u,v) ; u, v Fn

Definição 2.6: Dados dois códigos C e C’ em Fn, diremos que C’ é equivalente a C se existir uma isometria f de Fn tal que f(C) = C’.

Decorre dessa definição que dois códigos equivalentes têm os mesmosparâmetros n, k, d, pois f é injetora leva base em base (k)

f é isometria preserva distância (d)f : Fn Fn (n)

Temos que a equivalência de códigos é uma relação de equivalência (Reflexiva, Simétrica e Transitiva).

Uma maneira mais simples de se obter a partir de um código linear C um código C’ equivalente é efetuando-se seqüências de operações sobre a matriz geradora G do código linear C, do tipo:

Permutação de duas colunasMultiplicação de uma coluna por um escalar não nulo.

Nesse caso, obteremos uma matriz geradora G’ de um código linear C’ equivalente a C, notando que efetuar operações deste tipo em G, implica efetuá-las em todas as palavras de C, o que caracteriza a isometria f.

Fazendo as operações elementares sobre as linhas ou sobre as colunas de G, podemos colocar G na forma padrão. Chamaremos de G* a matriz G na forma padrão.

[ ]AId=*G k

Portanto, dado um código C, existe um código equivalente C’ com matriz geradora G* na forma padrão.

Exemplo: Dado o código C definido sobre F2 pela matriz G abaixo, encontre um códigoC’ equivalente a C, com matriz geradora na forma padrão. T : F4 F7

0101010

1100001

0011001

0000111

G

De G, temos que k = 4 , n = 7 , e |C| = 24 = 16

7c6c5c4c3c2c1c

4L

3L

2L

1L

0101010

1100001

0011001

0000111

0111000

1100100

0001110

0010101c7 c3

c3 c1

c5 c2

0111000

1100100

1001010

1010001

=

0111000

1100100

1110010

1010001

A4Id onde, L4 + L2

4x41000

0100

0010

0001

4Id

kxk

e

34)(011

110

111

101

xknkx

A

2.4 – Códigos Duais

Sejam u = (u1, u2,...,un) e v= (v1, v2 ,..., vn) elementos de Fn. Define-se o produto

interno de u e v como sendo vu, u1v1+u2v2+....+unvn . Essa operação possui as

seguintes propriedades usuais de um produto interno, ou seja, é simétrica :

uv,vu, e bilinear vw,vu,vw,u F

Definição 2.7: Seja C Fn um código linear. Define-se C = Cu,0u,v:Fv n .

Proposição 2.2: Se C Fn é um código linear, com matriz geradora G, então:

(i) C é um subespaço vetorial de Fn;(ii) v C G.vt = 0

Demonstração:

(i) Dados u , v C e F, temos, w C, que:

000wv,wu,wv,u . Portanto u + v C , provando que C

é um subespaço vetorial de Fn .

(ii) v C v é ortogonal a todos os elementos de C 0uv, u C v é

ortogonal a todos os elementos de uma base de C Para uma base = {u1,u2,....,uk}de

C, 0i

uv, ; i = 1,2,..,k , o que é equivalente a dizer que:

0v,ku,....,v,2u,v,1u Gvt = 0 , pois todas as linhas de G são elementos

de uma base de C.

O subespaço vetorial C de Fn, ortogonal a C é também um código linear queserá chamado de código dual de C.

Proposição 2.3: Seja C Fn um código de dimensão k com matriz geradorana forma padrão G = AIdk . Então:

(i) dim C = n – k(ii) H = knIdtA é uma matriz geradora de C .

Demonstração:

(i) Temos que v C , se e somente se, Gvt = 0. Se v = (v1,v2,...,vn) temos o seguinte sistema:

x10

0

nx1nv

1v

.

xn,na1a|1000

|01

|002,na12,a|000101,na11,a|00001

kkkkk,

kk

Daí:

0n.vna1.v1av

0n.v2,na1.v12,a2v

0n.v1,na1.v11,a1v

k,kkk,k

kkkk

nv

2v1v

.A

v

2v1v

n.vna......1.v1av

n.v2,na......1.v12,a2v

n.v1,na......1.v11,a1v

kk

kk,kkk,k

kk

kk

Logo temos que: v = (v1,v2,..,vn) =

n21nn,11,nn2,112,nn1,111, v,..,v,v),.va....v(a...,),.va....v(a),.va....v(av kkkkkkkkkk

,1,0,0,0,...a,....,a,av......,1,0,...,0a,....,a,avv n,n2,n1,n1,12,11,1 kkkkkk

em que vk+1 , vk+2 , ... , vn F . Como F possui q elementos, existem qn-(k+1)+1 = qn – k

possibilidades para v, ou seja, C possui qn-k elementos, o que significa que suadimensão é n – k .

(ii) Temos que as linhas de H são linearmente independentes, devido ao bloco Idn-k .Portanto geram um subespaço vetorial de dimensão n – k. Temos que a i-ésima linha de

H, denotada por Hi ; 1 i n – k, será e a j-

ésima

),0,...00,0,....,1,a,...,a,a(H

elementosnelementos

i2i1ii

kk

k

Posição i

linha de G, denotada por Gj ; 1 i k , será Gj =

elementosn

nj,j2j1

elementos

a,...,a,a,0,..0,00,0,...,1,

k

k

k

Posição j

Daí, ji G,H = -aji + aij = 0 , ou seja, todas as linhas de H são ortogonais às

linhas de G. Portanto, o espaço gerado pelas linhas de H está contido em C , e como esses dois subespaços têm a mesma dimensão, eles coincidem, provando assim que H éuma matriz geradora de C .

Proposição 2.4: Suponha que C seja um código de dimensão k em Fn com matrizgeradora G. Uma matriz H de ordem (n – k) x n, com coeficientes em F e com linhas linearmente independentes, é uma matriz geradora de C se, e somente se, G . Ht = 0.

Demonstração: As linhas de H geram um espaço vetorial de Fn de dimensão n – k,

portanto, igual à dimensão de C . Por outro lado, temos que Dji = ij H,G , 1 j k e

1 i n – k que é equivalente a fazer o produto , ou seja, D = G.Htk)nx(nkxn .HG t .

Portanto, G.Ht = 0 é equivalente a dizer que todos os vetores do subespaço gerado pelas linhas de H estão em C . Por outro lado, esse subespaço tem a mesmadimensão de C , logo:

G.Ht = 0 C é gerado pelas linhas de H

Corolário 2.1: (C ) = C

Demonstração: G.Ht = 0 H.Gt = 0. Portanto (C ) = C

H gera o dual CG gera o dual (C )

Conseqüentemente:

Proposição 2.5: Seja C um código linear e suponhamos que H seja uma matriz geradora de C . Temos então que: v C Hvt = 0

Demonstração: v C v (C ) ( pelo corolário 2.1) H.vt=0 (pela proposição 2.2)

Esta proposição nos permite caracterizar os elementos de um código C por umacondição de anulamento. A matriz H geradora de C é chamada matriz teste de paridade de C.

Portanto, para verificar se um determinado vetor v Fn pertence ou não a um código C, com matriz teste de paridade H, basta verificar se H.vt é o vetor nulo ou não.

Exemplo : Seja dado o código C sobre F2 com matriz geradora

G = . Determine se o vetor v = (1010101) pertence a

C.

011|1000

110|0100

111|0010

101|0001

72F

Nesse caso, temos A = e –A

011

110

111

101

t = e daí

H = . Além disso,

0111

1110

1011

0111|100

1110|010

1011|001

H.vt = Cv

0

0

1

11

11

111

1

0

1

0

1

0

1

.

0111100

1110010

1011001

7x1

3x7

Definição 2.8: Dados um código C, com matriz teste de paridade H, e um vetor v Fn , chamamos o vetor H.vt de síndrome de v

Além de determinar de maneira simples se um vetor v Fn pertence ou não a um código C, a matriz teste de paridade de C contém, de maneira bastante simples,informações sobre o valor do peso w do código C.

Vejamos:

Proposição 2.6: Seja H a matriz teste de paridade de um código C. Temos que o peso de C é maior do que ou igual a s se, e somente se, quaisquer s –1 colunas de H são linearmente independentes.

Demonstração:( ) (*) Suponhamos que cada conjunto de s – 1 colunas de H é linearmenteindependente.

Seja c C – {0} , c = (c1, c2, ...,cn) e sejam h1, h2, ..., hn as colunas de H. Como H.ct = 0, temos c1h1 + c2h2 + .... + cnhn = 0 . Além disso, sabemos que w(c) é o número de ci 0 ; i = 1,...,n. Logo se w(c) s – 1, teríamos uma combinação de s – 1 ou menos colunas de H igual ao vetor nulo, com coeficientes ci não todos nulos. Isto éum absurdo pois (*). Logo, w(c) s c C e, portanto w(C) s.

( ) (**) Suponhamos que w(C) s.

Considere por absurdo que H tenha pelo menos um conjunto com s – 1 colunas linearmente dependentes, digamos hi1, hi2, ..., hi,s-1. Logo, existiria ci1,ci2,...., ci,s-1 F, nem todos nulos , tais que ci1hi1 + ci2hi2 +....+ ci,s-1hi,s-1 = 0 o que é equivalente a H.ct = 0, com c = (0,..., ci1, 0,...., ci,s-1, 0,....,0) Fn . Nesse caso, c C e w(c) = s – 1, o que éum absurdo por (**)

Teorema 2: Seja H a matriz teste de paridade de um código C. Temos que o peso de C é igual a s, se somente se, quaisquer s – 1 colunas de H são linearmente independentes e existem s colunas de H linearmente dependentes.

Demonstração:

( ) (*) Suponhamos w(C) = s.

Pela proposição anterior todo conjunto de s – 1 colunas de H é linearmenteindependente. Se não existir pelo menos um conjunto com s colunas de H linearmentedependentes, teríamos pela proposição anterior que w(C) s + 1 . Absurdo por (*)

Portanto, existe pelo menos um conjunto com s colunas de H que é linearmentedependentes.

( ) (**) Todo conjunto com s –1 colunas de H é LI e existe um conjunto com s colunas de H que é LD.

Da proposição anterior temos que w(C) s . Mas w(C) não pode ser estritamentemaior do que s, pois pela proposição anterior , todo conjunto com s colunas de H seria linearmente independentes. Absurdo por (**) . Portanto , w(C) = s

Corolário 2.2: Cota de Singleton: Os parâmetros (n,k,d) de um código linear satisfazem à desigualdade d n – k + 1

Demonstração:

Se H é uma matriz teste de paridade de um código linear C, com parâmetros(n,k,d), ela tem posto n – k, pois H é uma matriz de ordem (n – k)xn, ou seja, n – klinhas linearmente independentes. Desse modo, cada coluna de H tem n – k entradas, ouseja, comprimento n – k, ou ainda então em Fn-k. Pelo teorema anterior, quaisquer d – 1 colunas de H são linearmente independentes.

Como um conjunto de vetores de Fn-k que é LI tem no máximo n – k vetores, então d – 1 n – k . Daí d n – k + 1.

2.5 Decodificação

Chama-se decodificação ao procedimento de detecção e correção de erros num determinado código.

Inicialmente, define-se o vetor erro e como sendo a diferença entre o vetor recebido r e o vetor transmitido c.

e = r – c

Se H é a matriz teste de paridade do código, temos que:

Het = H(r – c)t = Hrt – Hct = Hrt , pois Hct = 0

Portanto, a palavra recebida r tem a mesma síndrome do vetor erro e.

Proposição 2.7: Seja C um código linear em Fn que corrige no máximo t erros. Se rFn e c C são tais que d(c,r) t , então existe um único vetor e com w(e) t , cuja síndrome é igual a síndrome de r e tal que c = r – e .

Demonstração

Se tomarmos e = r – c temos que w(e) = w(r –c) = d(r,c) t. Logo existe um vetor e tal que w(e) t e c = r – e e Het = Hrt . Vamos mostrar que e é único. Suponhamos que e = ( 1 ,..., n) e e’=( ’1 ,..., ’n)sejam tais que w(e) t e w(e’) t e tenham a mesma síndrome que r. Então: Het = H(e’)t

0h)(hhn

1ii

'ii

n

1ii

'i

n

1iii

Como w(e) t e w(e’) t , existem no máximo t entradas i e ’j não nulos e, conseqüentemente, no máximo 2t coeficientes ( i – ’i ), com i = 1,...,n, na combinação

linear , o que nos dá uma relação de dependência linear entre m

colunas de H com m 2t d – 1 . Como quaisquer d – 1 colunas de H são linearmenteindependentes, temos que

0h)(n

1ii

'ii

i – ’i = 0 i = ’i , i = 1,...,n . Portanto, e = e’.

O problema que devemos resolver agora é determinar esse único vetor e a partir de Hrt .

Seja v Fn . Defina: v + C = { v + c : c C}

Cada conjunto da forma v + C é chamado de classe lateral de v segundo C. Noteque v + C = C v C.

Propriedades 2.8:

1 – Os vetores u, v Fn tem a mesma síndrome se, e somente se, u v + C.

Demonstração:

Hut = Hvt H(u – v)t = 0 u – v C u v + C

2 – v + C = v’ + C v – v’ C3 – (v + C) (v’ + C) 0 v + C = v’ + C 4 – n

Fv

F)Cv(n

5 - |(v + C)| = |C| = qk

As demonstrações de 2 a 5 são imediatas. Além disso, concluímos de 3 e 5 que o

número de classes laterais segundo C é knk

n

qq

q.

Exemplo: Seja C o código gerado sobre F2 pela matriz G = . Logo, 1010

1101

11011000

1110,0101,1011,0000C

42F

e as classes laterais segundo C são: qn-k = 24 – 2 = 4

classes. Como tem 16 elementos, cada classe tem 4 elementos. As classes são as seguintes:

0000 + C = { 0000, 1011, 0101, 1110 } 1000 + C = { 1000, 0011, 1101, 0110 } 0100 + C = { 0100, 1111, 0001, 1010 } 0010 + C = { 0010, 1001, 0111, 1100 }

Definição 2.9: Um vetor de peso mínimo numa classe lateral è chamado de elementolíder dessa classe.

Proposição 2.9: Seja C um código linear em Fn com distância mínima d. Se u Fn é tal

que w(u) 2

1d= t então u é o único elemento líder de sua classe.

Demonstração:

Suponhamos u,v Fn com2

1d)u(w e

2

1d)v(w

Cccv

yvCy

yuCy

21

. Se u e v são

elementos da mesma classe, então u – v C , pois . Nesse

caso,

u

cv

cu

2

1

1d2

1d

2

1d)v(w)u(w)vu(w . Como w(a) d , a C 0,

temos que, u – v = 0 u = v.

Portanto, para encontrarmos os líderes de classes, tomamos os elementos u Fn

tais que t2

1d)u(w . Cada um desses elementos é líder de uma e somente uma

classe.

Os líderes de classe v tais que t2

1d)v(w não serão considerados na

correção de erros.

Agora apresentaremos um algoritmo de correção de mensagens que tenham

sofrido um número de erros menor ou igual a 2

1dt .

* Determine todos os elementos u Fn , tais que w(u) t. Em seguida calcule as síndromes desses elementos e coloque esses dados numa tabela.

Seja r a palavra recebida:

(1) Calcule a síndrome st = Hrt

(2) Se s está na tabela construída em * , seja l o elemento líder da classe tal que Hlt

= st. Troque r por r – l(3) Se s não está na tabela, então na mensagem recebida foram cometidos mais do

que t erros.

Justificativa:

Dado r, sejam c e e, respectivamente, a mensagem transmitida e o vetor erro. Como Het = Hrt, temos que a classe lateral onde e se encontra está determinada pela síndrome de r. Se w(e) t , temos que e é o único elemento líder l de sua classe e, portanto, é conhecido e se encontra na tabela. Conseqüentemente, como c = r – e, temosque c = r – l. Se w(e) > t , e não é elemento líder de sua classe e portanto não está na tabela e é desconhecido.

Exemplo: Considere o código linear definido sobre F2 com matriz teste de paridade

. Note que 3 = n – k , como n = 6, então k = 3. Além disso,

2 a 2, as colunas de H são L.I. e existem três colunas 1, 2 e 4 L.D. Logo, d = 3 pois s – 1 = 2 e portanto, t = 1. Os vetores de F com w(u) 1 e suas respectivas síndromes estãorelacionados na tabela abaixo:

110100

011010

101001

H

62

Líder Síndrome000000 000000001 101

000010 011000100 110001000 001010000 010100000 100

Suponhamos que a palavra recebida seja:

a) r = (100011) . Logo, Hrt = (010)t e, portanto e = (010000). Conseqüentemente,110011010000100011erc

b) r = (111111) . Logo, Hrt = (111)t que não se encontra na tabela. Sendo assim, foi cometido mais do que 1 erro na mensagem r.

2.6 – Códigos de Hamming

Códigos de Hamming são exemplos de códigos lineares perfeitos. Um código deHamming de ordem m sobre F2 é um código com matriz teste de paridade Hm de ordemmxn , cujas colunas são os elementos de 0\Fm

2 numa ordem qualquer. A definição de Hm determina o código C a menos de equivalência. Temos, portanto, que o comprimento de um código de Hamming de ordem m é n = 2m – 1 e, portanto, a sua dimensão é k = n – m = 2m – m – 1 .

Verificamos facilmente que d = 3, pois, em Hm, é fácil achar três colunas linearmente dependentes.

Como no exemplo numérico, considere a matriz .

Essa é a matriz de um código de Hamming correspondente a m = 3.

1001110

0101011

0011101

H

Proposição: Todo código de Hamming é perfeito.

Demonstração:

No nosso caso 12

1t

d. Dado c em F , temos que n

2 n1)1,c(D . Portanto,

nmnmk

Cc

22.1212.n1)1,c(D e conseqüentemente .n2

Cc

F)1,c(D

CAPÍTULO III

EXEMPLO DE UM CÓDIGO LINEAR

Considere o código binário C com matriz geradora

.

001001100

000101010

100000111

010001001

000010011

G

a) Determine a dimensão, o comprimento e o número de elementos de C.

Observando a matriz geradora G do código binário C temos que G é uma matrizde ordem k x n onde k é a dimensão de C e n é o comprimento do código C.

Assim temos que a dimensão de C é k = 5 e o comprimento de C é n = 9. Para calcularmos o número de elementos de C , basta fazermos 2k = 25 = 32

elementos.

b) Construa uma matriz teste de paridade H de C e determine a distância mínimad de C.

Obteremos a matriz teste de paridade H a partir da matriz geradora G.

24

21

13

12

kxn

LL

LL

001001100

000101010

100010100

010011010

000010011

LL

LL

001001100

000101010

100000111

010001001

000010011

G

54

35

LL

101011000

010110000

100010100

010011010

010001001

LL001001100

010110000

100010100

010011010

010001001

42

41

45

LL

LL

010110000

111101000

100010100

010011010

010001001

LL101011000

111101000

100010100

010011010

010001001

4x5553

52

A|IdG

010110000

111101000

110100100

111000010

101100001

LL

LL

010110000

111101000

100010100

101110010

101100001

100001111

010011110

001001011

000111101

1000|01111

0100|11110

0010|01011

0001|11101

Id|AId|AH 4t

knt

Analisando as colunas 3 a 3 achamos colunas linearmente dependentes pois a quinta coluna é igual a sexta coluna mais a oitava coluna.

Analisamos as colunas 2 a 2 e todas são linearmente independentes. Assim pelo Teorema 2 temos que s – 1 = 2 s = 3 d = 3, ou seja, a distância mínima do

código C é 3, portanto este código corrige somente erro12

13

2

1dt

c) Suponha que as seguintes informações são dadas: espaço = 00000

A = 10000 B = 01000 C = 00100 D = 00010 E = 00001 F = 11000 G = 10100 H = 10010 I = 10001 J = 01100 L = 01010 M = 01001 N = 00110 O = 00101 P = 00011 Q = 11100 R = 10110 S = 10101 T = 11001 U = 11001 V = 01110 X = 00111 Z = 11110

Decodifique as mensagens recebidas abaixo, admitindo que no máximo um erro é introduzido em cada palavra transmitida.

c.1)

011001100 110010000 011111001 110010000100100010 001100100 101101001 100110101

c.2)

001001011 110100101 111000001 001100000000000000 110010001 111000001 001100100011111001 000011010 110100101 011010110

c.3)

001100100 000110101 011001100 001100100011111001 110100101 000000000 111110011011011110 001101100 000000000 000011010001100100 101101001 100111000 110010000000000000 001010001 110100101 000110101000011010 110010000 010101000 110100111

Para decodificar as mensagens faremos os seguintes procedimentos:

FonteA

H . r t

Código da fonte

c = r - e e

Procurapelo líderna tabela

Síndromede r r

Transmissão

Palavra do código

110010000

A . G Código da fonte

10000

Usuário

Acharemos as palavras do código.

FONTE CÓDIGO DAFONTE

PALAVRA DO CÓDIGO

Espaço 00000 Espaço . G 000000000A 10000 A . G 110010000B 01000 B . G 100100010C 00100 C . G 111000001D 00010 D . G 010101000E 00001 E . G 001100100F 11000 F . G 010110010G 10100 G . G 001010001H 10010 H . G 100111000I 10001 I . G 111110100J 01100 J . G 011100011L 01010 L . G 110001010M 01001 M . G 101000110N 00110 N . G 101101001O 00101 O . G 110100101P 00011 P . G 011001100Q 11100 Q . G 101110011R 10110 R . G 011111001S 10101 S . G 000110101T 11010 T . G 000011010U 11001 U . G 011010110V 01110 V . G 001001011X 00111 X . G 100001100Z 11110 Z . G 111011011

Faremos a tabela do elemento líder e da síndrome

Líder (l) Síndrome (H . lt)000000000 0000000000001 0001000000010 0010000000100 0100000001000 1000000010000 1010

000100000 1111001000000 1011010000000 0111100000000 1101

c.1)011001100 110010000 011111001 110010000100100010 001100100 101101001 100110101

Agora pegaremos a palavra recebida r e faremos H . rt para acharmos a síndrome

r = 011001100 H . rt = (0000) nenhum erro r = c este código representa a letra P

r = 110010000 H . rt = (0000) nenhum erro r = c este código representa a letra A

r = 011111001 H . rt = (0000) nenhum erro r = c este código representa a letra R


r = 100100010 H . rt = (0000) nenhum erro r = c este código representa a letra B

r = 001100100 H . rt = (0000) nenhum erro r = c este código representa a letra E

r = 101101001 H . rt = (0000) nenhum erro r = c este código representa a letra N

r = 100110101 H . rt = (1101) olhando na tabela e = (100000000) assim :

c = r – e c = (100110101) – (100000000) = (000110101) que representa a letra S

A mensagem recebida no c.1 é PARABENS

c.2)

001001011 110100101 111000001 001100000000000000 110010001 111000001 001100100011111001 000011010 110100101 011010110

r = 001001011 H . rt = (0000) nenhum erro r = c este código representa a letra V

r = 110100101 H . rt = (0000) nenhum erro r = c este código representa a letra O

r = 111000001 H . rt = (0000) nenhum erro r = c este código representa a letra C


c = r – e c = (001100000) – (000000100) = (001100100) que representa a letra E

r = 000000000 H . rt = (0000) nenhum erro r = c este código representa espaço.


c = r – e c = (110010001) – (0000000001) = (110010000) que representa a letra A

r = 111000001 H . rt = (0000) nenhum erro r = c este código representa a letra C



r = 000011010 H . rt = (0000) nenhum erro r = c este código representa a letra T


r = 011010110 H . rt = (0000) nenhum erro r = c este código representa a letra U

A mensagem recebida no c.2 VOCÊ ACERTOU

c.3)

001100100 000110101 011001100 001100100011111001 110100101 000000000 111110011011011110 001101100 000000000 000011010001100100 101101001 100111000 110010000000000000 001010001 110100101 000110101000011010 110010000 010101000 110100111


r = 000110101 H . rt = (0000) nenhum erro r = c este código representa a letra S

r = 011001100 H . rt = (0000) nenhum erro r = c este código representa a letra P




r = 000000000 H . rt = (0000) nenhum erro r = c este código representa um espaço


c = r – e c = (111110011) – (0100000000) = (101110011) que representa a letra Q


c = r – e c = (011011110) – (000001000) = (011010110) que representa a letra U


c = r – e c = (001101100) – (000001000) = (001100100) que representa a letra E

r = 000000000 H . rt = (0000) nenhum erro r = c este código representa um espaço.



r = 101101001 H . rt = (0000) nenhum erro r = c este código representa a letra N

r = 100111000 H . rt = (0000) nenhum erro r = c este código representa a letra H


r = 000000000 H . rt = (0000) nenhum erro r = c este código representa um espaço.

r = 001010001 H . rt = (0000) nenhum erro r = c este código representa a letra G


r = 000110101 H . rt = (0000) nenhum erro r = c este código representa a letra S



r = 010101000 H . rt = (0000) nenhum erro r = c este código representa a letra D


A mensagem recebida no c.3 é ESPERO QUE VOCÊ TENHA GOSTADO

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

[B] BLAHUT, Richard E., Theory and Practice of Error Control Codes, Addison-

Wesley, Reading, Massachusetts, 1984.

[G] GONÇALVES, A., Introdução à Álgebra, IMPA, Rio de Janeiro, 1979.

[H] HEFEZ, A. E VILLELA, M.L.T. , Códigos Corretores de Erros, IMPA, Rio de

Janeiro, 2002.

[L] LIPSCHUTZ, S., Álgebra Linear, MacGraw-Hill do Brasil , São Paulo,1981.

[MW] MACWILLIAMS, F.J., e SLOANE, N.J.A., The Theory of Error-Correcting

Codes, North-Holland, Amsterdã, 1992.

Equacoes de Congruencia de Grau Maior doque Um

Patrıcia Borges dos Santos∗ Marcos da Antonio Camara†

Faculdade de Matematica - Famat

Universidade Federal de Uberlandia - Ufu - MG

Marco de 2006

Resumo

Neste trabalho estendemos a nocao de congruencia para polinomios inteiros eapresentamos alguns teoremas, dentre os quais o Teorema de Lagrange, o Teoremade Wilson e o Teorema de Gauss. A partir desse estudo foi possıvel a construcao deum algoritmo que utiliza o polinomio de Taylor de ordem n para se obter a solucaode equacoes de congruencia de grau maior do que um. Generalizando os conceitosde congruencia e equivalencia para polinomios com n variaveis foi demonstrado oTeorema de Chevalley que garante a existencia de um zero simultaneo para umnumero finito m de polinomios com n variaveis, sem termo constante.

Palavras-chave: congruencia, polinomios, Lagrange, Chevalley.

1 Introducao

O conceito de congruencia, bem como a notacao atraves da qual se torna um dos ins-trumentos da teoria dos numeros foi intruduzido por Karl Friedrich Gauss (1777-1855),em um trabalho publicado em 1801 (Disquisitiones Arithmeticae) quando tinha apenas24 anos. Varias ideias de grande importancia, que serviram de base para a teoria dosnumeros, aparecem em nosso trabalho, assim como a extensao de alguns conceitos, parao contexto de congruencia que tratamos.

Neste trabalho, essencialmente, investigaremos a solubilidade (em Z) de equacoes dotipo anx

n + . . . + a1x + a0 ≡ 0 (mod m), para algum m ∈ N. Indicaremos por Z [x] o anelde todos os polinomios sobre Z na variavel x (estes polinomios serao chamados polinomiosinteiros). Para f(x) ∈ Z[x] escreveremos f(x) = a0+a1x+a2x

2+ . . .+anxn para significar

que f(x) tem grau n ∈ N ∪ {0}.Comecemos com uma conceituacao que sera utilizada em nossos resultados. Sejam

f(x) e g(x) dois polinomios inteiros.

Definicao 1.1 Dizemos que f (x) e g (x) sao congruentes modulo m quando os coefi-cientes correspondentes de f(x) e g(x) forem congruentes modulo m, ou seja, sendo

∗patricia [email protected] Orientando do Programa de Educacao Tutorial da Faculdade deMatematica (PetMat) de mar/05 a fev/06.

†[email protected] Professor orientador.

f(x) = anxn + . . . + a1x + a0 e g(x) = brx

r + . . . + b1x + b0 e n ≤ r, escrevemosf (x) = 0xr + . . . + 0xn+1 + anx

n + . . . + a1x + a0 e teremos f (x) ≡ g (x) (mod m) ⇐⇒ai ≡ bi (mod m) para todo i ∈ {0, 1, . . . , r}. Denotaremos este fato por

f ≡ g (mod m)

Definicao 1.2 Dizemos que f (x) e g (x) sao equivalentes modulo m quando para todoxo ∈ Z tivermos f (xo) ≡ g (xo). Denotaremos este fato por

f ∼ g (mod p)

Observe que pelas definicoes acima e claro que se dois polinomios inteiros f (x) eg (x) sao congruentes modulo m, eles tambem sao equivalentes modulo m (para qualquerm ∈ N). A recıproca nao e verdadeira. Se considerarmos p um numero primo temos, peloPequeno Teorema de Fermat, xp ≡ x (mod p) , para todo x ∈ Z mas certamente f (x) = xp

e g (x) = x nao sao congruentes modulo p.Veja tambem que esta nocao de polinomios congruentes estende a nocao de inteiros

congruentes modulo m. Para os polinomios inteiros constantes (polinomios inteiros degrau zero) as duas nocoes coincidem.

Definicao 1.3 Sejam f (x), g (x) ∈ Z [x]. Dizemos que f (x) e divisıvel por g (x) modulom se existe g1 (x) ∈ Z [x] tal que f (x) ≡ g (x) g1 (x) (mod m) .

Isto nada mais e do que a ampliacao natural da nocao de divisibilidade para estecontexto de congruencia de polinomios que estamos considerando.

Definicao 1.4 Seja f (x) ∈ Z [x] e a ∈ Z. Dizemos que a e uma raiz de f (x) modulo mquando f (a) ≡ 0 (mod m) .

Teorema 1.1 (Fatoracao) Sejam f (x) ∈ Z [x] e a ∈ Z. Entao a e raiz de f (x) modulom ⇐⇒ f (x) e divisıvel por (x − a) modulo m.

DemonstracaoPor hipotese f (a) ≡ 0 (mod m). Entao podemos escrever f (x) ≡ [f (x) − f (a)] (mod m).Temos que

f (x) = a0 + a1x + . . . + anxn, f (a) = a0 + a1a + . . . + ana

n

e como(xn − an) = (x − a)

(xn−1 + axn−2 + . . . + an−1

)para todo n ∈ Z segue que:

f (x) − f (a) = an (xn − an) + an−1

(xn−1 − an−1

)+ . . . + a1 (x − a) + (a0 − a0)

= an (x − a)(xn−1 + an−2 + . . . + an−1

)+ an−1 (x − a)

(xn−2 + . . . + an−2

)+

+ . . . + a1 (x − a)

= (x − a) g (x) .

Logo g (x) = f(x)−f(a)x−a

e um polinomio inteiro. Entao f (x) ≡ (x − a) g (x) (mod m),ou seja, f (x) e divisıvel por (x − a) modulo m. Reciprocamente, se f (x) e divisıvel

por (x − a) entao existe g (x) ∈ Z [x] tal que f (x) ≡ (x − a) g (x) (mod m). Portanto,f (a) ≡ 0 (mod m), como querıamos. �

Observe que se f (x) , g (x) e g1 (x) sao polinomios inteiros tais que

f (x) ≡ g (x) g1 (x) (mod m)

(para algum m ∈ N) e a ∈ Z e uma raiz de f (x) modulo m, nao necessariamente a serauma raiz de g (x) ou g1 (x) modulo m. Por exemplo, x2 ≡ (x − 2) (x − 2) (mod 4) e a = 0e raiz de x2 modulo 4, mas nao e raiz de (x − 2) modulo 4.

Este problema nao ocorre quando escolhemos m primo, como veremos a seguir.

Teorema 1.2 Sejam p um primo e f (x) , g (x) e g1 (x) ∈ Z [x] tais que

f (x) ≡ g (x) g1 (x) (mod p) .

Entao, qualquer raiz de f (x) modulo p e raiz de g (x) ou g1 (x) modulo p.

DemonstracaoSabemos que se um numero primo divide um produto de inteiros, entao ele divide umde seus fatores. Assim se a e raiz de f (x) modulo p, entao f (a) ≡ 0 (mod p) =⇒g (a) g1 (a) ≡ 0 (mod p). Daı segue que p | g (a) g1 (a). Logo, p | g (a) ou p | g1 (a)=⇒ g (a) ≡ 0 (mod p) ou g1 (a) ≡ 0 (mod p) como querıamos. �

Veremos a seguir um resultado devido a Lagrange que relaciona o numero de raızesmodulo m de um polinomio f (x) ∈ Z [x] com o grau deste polinomio. Considere inicial-mente o seguinte exemplo:

Exemplo 1.1 O polinomio f(x) = x2 − 1 tem quatro raızes incongruentes modulo 8 quesao 1, 3, 5 e 7 enquanto que o seu grau e 2. Tomando 7 ao inves de 8, vemos que f (x)possui apenas duas raızes incongruentes modulo 7 que sao 1 e 6, ou seja, neste caso onumero de raızes incongruentes nao excede o grau do polinomio. Lagrange mostrou queno lugar do 7 podemos considerar qualquer outro primo e a propriedade permanece valida,como veremos a seguir:

Teorema 1.3 (Lagrange, 1736-1813) Sejam f (x) = akxk+. . .+a1x+a0 um polinomio

inteiro de grau k e p ∈ N um primo tal que ak ≡ 0 (mod p). Entao f (x) ≡ 0 (mod p)tem no maximo k solucoes incongruentes modulo p, isto e, existem no maximo k in-teiros t1, . . . , tk tais que f (ti) ≡ 0 (mod p) para i ∈ {1, . . . , k} , e ti ≡ tj (mod p) parai, j ∈ {1, . . . , k} , i = j.

DemonstracaoUsaremos aqui o segundo princıpio de inducao sobre o grau k do polinomio f (x). Setemos k = 0, entao f (x) = a0 e um polinomio constante e, por hipotese, a0 ≡ 0 (mod p),logo a equacao f (x) ≡ 0 (mod p) nao tem solucao. Portanto o teorema e valido no casok = 0. Suponhamos agora que o teorema e verdadeiro para qualquer polinomio de graumenor ou igual a k − 1 e vamos mostrar que isto acarreta a validade do teorema paragrau k. Considere que o grau de f (x) e k. Se f (x) nao tem raiz modulo p, o teorema evalido. Suponha entao que existe a ∈ Z que seja raiz de f (x) modulo p. Pelo Teorema 1.1podemos escrever f (x) ≡ (x − a) g (x) (mod p), onde g (x) tem grau k − 1. Pelo Teorema1.2 qualquer raiz de f (x) ou e raiz de (x − a) ou e raiz de g (x). Agora, (x − a) tem uma

unica raiz modulo p, enquanto que g (x), pela hipotese de inducao, tem no maximo k − 1raızes incongruentes modulo p, logo, f (x) tem no maximo k raızes incongruentes modulop. �

Agora veremos duas aplicacoes do Teorema de Lagrange, a primeira delas devida aWilson e a segunda a Gauss. Chamamos a atencao para o resultado de Wilson por serum dos poucos que nao fornece apenas uma propriedade de um numero primo, mas umcriterio para decidir sobre a primalidade do numero. Vamos aos resultados:

Teorema 1.4 (Wilson, 1741-1793) Seja m ∈ N, m > 1. A congruencia

(m − 1)! ≡ −1 (mod m)

e valida se, e somente se, m e um primo.

Demonstracao(⇒) Suponha inicialmente que m nao e primo e (m − 1)! ≡ −1 (mod m). Entao existed ∈ N, 1 < d < m e d | m. Logo por transitividade, (m − 1)! ≡ −1 (mod d) tambem. Mascomo 1 < d < m temos que (m − 1)! ≡ 0 (mod d), o que implica que −1 ≡ 0 (mod d), ouseja, d = 1, uma contradicao.

(⇐) Reciprocamente, pelo teorema de Euler temos que: xm−1 ≡ 1 (mod m) =⇒xm−1 − 1 ≡ 0 (mod m) se mdc (x, m) = 1. Assim, as raızes de f (x) = xm−1 − 1 sao osvalores de x tais que mdc (x, m) = 1, ou seja, as raızes sao 1, 2, . . . , m − 1, modulo m.Como o grau de f (x) e m−1 o Teorema 1.3 nos diz que estas sao todas as raızes de f (x)incongruentes modulo m. Finalmente, pelo Teorema1.1 podemos escrever:

xm−1 − 1 ≡ (x − 1) (x − 2) . . . [x − (m − 1)] (mod p)

Em particular os termos constantes nos dois lados sao congruentes modulo m, isto e,−1 ≡ (−1)m−1 (m − 1)! (mod m) (onde (m − 1)! e o produto de todas as raızes). Peloteorema de Euler nos sabemos que (−1)m−1 ≡ 1(mod m), pois m e primo. Portanto−1 ≡ (m − 1)! (mod m), como desejavamos demonstrar. �

Veja que a demonstracao do teorema de Wilson e na verdade uma coletanea de variosresultados.

O teorema e a definicao a seguir preparam o caminho para o teorema de Gauss.

Teorema 1.5 Sejam f (x), g (x) ∈ Z [x] e p um numero primo tal que

f (x) g (x) ≡ 0 (mod p)

Entao f (x) ≡ 0 (mod p) ou g (x) ≡ 0 (mod p).

DemonstracaoVamos demonstrar o teorema por reducao ao absurdo. Suponha que f (x) ≡ 0 (mod p) eg (x) ≡ 0 (mod p). Podemos escrever

f (x) = f1 (x) + f2 (x)

g (x) = g1 (x) + g2 (x)

onde supomos que nenhum dos coeficientes de f1 (x) e g1 (x) e multiplo de p. Agora

f (x) ≡ f1 (x) (mod p)

g (x) ≡ g1 (x) (mod p)

logo,

f (x) g (x) ≡ f1 (x) g1 (x) (mod p)

o que implica que

f1 (x) g1 (x) ≡ 0 (mod p) .

Escrevamos

f1 (x) = anxn + · · · + a1x + a0

g1 (x) = bmxm + · · · + b1x + b0

Entao

f1 (x) g1 (x) = (anbm) xn+m + · · · + (a1b0 + a0b1) x + a0b0

E a equacao f1 (x) g1 (x) ≡ 0 (mod p) nos diz em particular que anbm ≡ 0 (mod p) , logo,p | anbm daı p | an ou p | bm, um absurdo, pois p nao divide nenhum dos coeficientes def1 (x) e de g1 (x) . �

Definicao 1.5 Um polinomio nao nulo f (x) ∈ Z [x] e chamado primitivo se todos os seuscoeficientes sao relativamente primos, isto e, para todo p primo tem-se f (x) ≡ 0 (mod p)

Teorema 1.6 (Gauss, 1777-1855) O produto de dois polinomios primitivos e umpolinomio primitivo.

DemonstracaoSejam f (x), g (x) ∈ Z [x] polinomios primitivos. Suponha que o produto f (x) g (x) nao eprimitivo. Entao existe p primo tal que f (x) g (x) ≡ 0 (mod p) . Pelo Teorema 1.5 devemoster f (x) ≡ 0 (mod p) ou g (x) ≡ 0 (mod p) o que equivale a dizer que f (x) ou g (x) nao eum polinomio primitivo, um absurdo. �

2 Equacoes de Grau Maior do que Um

Agora consideraremos equacoes de congruencia do tipo

anxn + . . . + a1x + a0 ≡ 0 (mod m)

onde o polinomio f (x) = anxn + . . . + a1x + a0 ∈ Z [x] e um polinomio primitivo de grau

n ∈ N e m e um inteiro positivo.A partir das nocoes que foram introduzidas construımos um processo algorıtmico cujo

interesse principal foi determinar se uma equacao de congruencia de grau maior do queum admite ou nao solucao, sem a preocupacao com a quantidade dessas solucoes.

Para isso foram feitas as seguintes consideracoes: Seja m = pα1

1 . . . pαrr a forma padrao

de m onde os p′is sao primos distintos e αi > 0 para todo i ∈ {1, . . . , r} . A primeira

observacao e de que encontrar solucoes para a equacao anxn + . . .+ a1x + a0 ≡ 0 (mod m)

equivale a encontrar solucoes para o sistema⎧⎪⎨⎪⎩

f (x) ≡ 0 (mod pα1

1 )...

f (x) ≡ 0 (mod pαrr )

onde f (x) = anxn + . . . + a1x + a0, pois os primos p′is sao todos distintos.

Vamos supor que seja possıvel encontrar solucoes para a equacao acima no caso parti-cular onde m e da forma pα. Entao sejam c1, . . . , cr as respectivas solucoes das r equacoespresentes no sistema acima (estas solucoes nao sao necessariamente solucoes do sistema).Usando o Teorema Chines do Resto podemos encontrar uma solucao x0 para o seguintesistema ⎧⎪⎨

⎪⎩x ≡ c1(mod pα1

1 )...

x ≡ cr (mod pαrr )

onde x0 e unica modulo m. E agora e facil verificar que x0 e uma solucao para o primeirosistema, e portanto uma solucao da equacao acima, pois para todo i ∈ {1, . . . , r} temosque

f (x0) ≡ f (ci) ≡ 0 (mod pαrr ) .

Assim, para cada r-upla (c1, . . . , cr) tal que ci e solucao de f (x) ≡ 0 (mod pαii ) nos

construımos uma solucao para a equacao dada, atraves do Teorema Chines do Resto.Portanto, podemos concentrar nossos estudos nas equacoes do tipo f (x) ≡ 0 (mod pα) emque p e um numero primo e α ∈ N.

O que faremos agora e desenvolver um algorıtmo para construirmos uma solucao paraf (x) ≡ 0 (mod pα).

Algoritmo 2.1 Seja p um primo, α ∈ N e f (x) ∈ Z [x] um polinomio primitivo de graun. Vamos apresentar aqui um metodo para a obtencao de solucoes para a equacao

f (x) ≡ 0 (mod pα)

a partir das solucoes da equacao

f (x) ≡ 0 (mod p)

O metodo a seguir e interativo e baseado no desenvolvimento de Taylor de f (x), per-mitindo que as solucoes modulo pα sejam obtidas a partir das solucoes modulo pα−1. Odesenvolvimento de Taylor de f (x) de ordem n numa vizinhaca de um ponto x = c e dadopor

f (x) = Pn (x) + Rn (x) ,

onde

Pn (x) = f (c) +f ′ (c)

1!(x − c) + . . . +

f (n) (c)

n!(x − c)n

e

Rn (x) =f (n+1) (a)

(n + 1)!

onde f (k) (c) indica a k-esima derivada do polinomio f (x) calculada no ponto x = c, ea e um numero entre x e c. Como f (x) e um polinomio em Z [x] de grau n concluımos

que f (n+1) (x) e identicamente nulo. Logo, f (x) = Pn (x) e portanto f (k)(c)k!

e um numerointeiro, para todo k ∈ {1, 2, . . . , n} . Sejam β ∈ N, β < α e c ∈ Z uma solucao da equacao

f (x) ≡ 0(mod pβ

). Para qualquer t ∈ Z temos que

(c + tpβ

)ke igual a

ck +

(k1

)ck−1

(tpβ

)+ . . . +

(kj

)ck−j

(tpβ

)j+ . . . +

(tpβ

)k ≡ ck(mod pβ

).

Logo,0 ≡ f (c) ≡ f

(c + tpβ

) (mod pβ

),

ou seja, c + tpβ tambem e solucao de f (x) ≡ 0(mod pβ

). Queremos agora determinar

t ∈ Z tal que c + tpβ seja uma solucao da equacao

f(c + tpβ

)≡ 0

(mod pβ+1

).

Vamos reescrever a equacao acima utilizando o desenvolvimento de Taylor de f (x) ,tomando x = c + tpβ. Assim teremos que

f(c + tpβ

)≡ f (c) + f ′ (c) tpβ ≡ 0

(mod pβ+1

)ja que, no desenvolvimento de f

(c + tpβ

)acima, todas as potencias de p a partir do

terceiro termo sao maiores que β +1. Como f (c) ≡ 0(mod pβ

), concluımos que f(c)

pβ ∈ Z,e usando esta informacao na equacao acima obtemos a equacao linear

f ′ (c) t ≡ −f (c)

pβ(mod p)

cujo numero de solucoes ja conhecemos, qual seja (note que mdc (f ′ (c) , p) = 1 ou p):

⎧⎨⎩

0 se p | f ′ (c) e p �(f (c) /pβ

)1 se p � f ′ (c)

p se p | f ′ (c) e p |(f (c) /pβ

)O procedimento geral deve ser claro agora. Se todas as solucoes da equacao acima saoconhecidas para o caso β = 1, escolhemos uma delas, que denotaremos por c1. Substi-tuindo c por c1 no desenvolvimento de Taylor, e repetindo o processo para o caso β = 2,buscaremos uma solucao agora com c1 no lugar de c, e assim por diante ate encontrar-mos a solucao de f (x) ≡ 0

(mod pβ

), com o β desejado. Caso o numero de solucoes da

congruencia linear

f ′ (c) t ≡ −f (c)

pβ(mod p)

seja zero escolhe-se outro c1. Se nenhuma das solucoes para o caso β = 1 induz umasolucao de

f(c + tpβ

)≡ f (c) + f ′ (c) tpβ ≡ 0

(mod pβ+1

)para o caso β = 2 e porque nao existe tal solucao.

Vamos ilustrar este processo com um exemplo:

Exemplo 2.1 Vamos obter uma solucao para

f (x) = x3 − 4x2 + 5x − 6 ≡ 0 (mod 189) .

Como ja vimos anteriormente, determinar uma solucao para esta equacao equivale a en-contrar uma solucao para o sistema{

f (x) ≡ 0 (mod 33)f (x) ≡ 0 (mod 7)

.

E facil verificar que f (4) ≡ 0 (mod 7) , entao precisamos determinar agora uma solucaopara f (x) ≡ 0 (mod 27) , para isto seguiremos o caminho descrito no algorıtmo anterior,determinando primeiramente solucoes modulo 3. Uma computacao simples nos mostraque

f (0) ≡ 0 (mod 3)

e a unica solucao incongruente modulo 3. Tomando x = 0 + 3t tentaremos determinart ∈ Z tal que

f (0 + 3t) ≡ 0 (mod 9)

o que e equivalente a encontrar solucoes da equacao

f ′ (0) t ≡ −f (0)

3(mod 3)

ou seja,5t ≡ 2 (mod 3)

ou ainda,t ≡ 1 (mod 3)

Colocando t = 1 + 3t1 obtemos x = 3 + 9t1, e tentaremos obter t1 ∈ Z tal que

f (3) + 9t1f′ (3) ≡ 0 (mod 27)

ou,

f ′ (3) t1 ≡ −f (3)

9(mod 3)

ou seja,8t1 ≡ 0 (mod 3)

e daqui obtemost1 ≡ 0 (mod 3) .

Tomando t1 = 0 encontramos x = 3, ou seja x ≡ 3 (mod 27) e raiz de

x3 − 4x2 + 5x − 6 ≡ 0 (mod 27)

Neste ponto precisamos encontrar uma solucao para{x ≡ 3 (mod 27)x ≡ 4 (mod 7)

e para isto utilizamos o Teorema Chines do Resto encontrando

x ≡ −24 (mod 189)

como solucao deste sistema, e consequentemente

f (−24) ≡ 0 (mod 189)

como desejavamos.

3 O Teorema de Chevalley

Nesta secao, queremos apresentar um resultado muito bonito provado por C. Chevalleysobre solucoes da equacao

f (c1, . . . , cn) ≡ 0 (mod p) .

E para isto precisamos generalizar algumas definicoes. Sejam f e g dois polinomiosem n variaveis, com coeficientes inteiros.

Definicao 3.1 Diremos que f e congruente com g modulo m, denotado por f ≡ g(mod m),se os coeficientes dos termos de f e g sao congruentes modulo m.

Definicao 3.2 Diremos que f e equivalente com g modulo m, denotado por f ∼ g (mod m) ,se

f (c1, . . . , cn) ≡ g (c1, . . . , cn) ≡ (mod m)

para toda n-upla de inteiros (c1, . . . , cn) .

Exemplo 3.1 Os polinomios 2x51 + 9x2x

43 + 7x3x4x5 e 10x5

1 + x2x43 − x3x4x5 + 8x4x

95 sao

congruentes modulo 8.

Exemplo 3.2 Os polinomios 7x1x52x

74 + x2

3x105 e 2x1x2x

34 + x2

3x25 sao equivalentes modulo

5 pelo Pequeno Teorema de Fermat.

Novamente e facil verificar que polinomios congruentes sao tambem equivalentes. Arecıproca nao e verdadeira.

Definicao 3.3 Seja f um polinomio. Definiremos o grau total de f como sendo o maiorgrau dentre os graus de seus monomios, onde o grau de um monomio e igual a soma dosgraus de suas variaveis.

Exemplo 3.3 Considere o polinomio f (x1, x2, x3, x4) = x21 + x1x2x3 + x6

2x24 + x7

3. Estepolinomio possui quatro monomios de graus 2, 3, 8 e 7 respectivamente, portanto o seugrau total e 8.

Nossa intencao e estudar a solubilidade da equacao f (x1, . . . , xn) ≡ 0 (mod p), p primo.Como polinomios equivalentes tem as mesmas solucoes, temos entao a possibilidade

de buscar a substituicao de f na equacao acima por polinomios equivalentes em formasmais simples.

Vamos comecar tentando reduzir o grau das variaveis de f atraves de sucessivasaplicacoes da equivalencia xp

i ∼ xi (mod p) , consequencia do Pequeno Teorema de Fer-mat. Ao final deste processo encontraremos um polinomio equivalente a f , onde todasas variaveis apresentam graus menores que p, e neste caso diremos que este polinomioequivalente esta na forma reduzida modulo p.

Exemplo 3.4 Encontremos a forma reduzida do polinomio

f (x1, x2, x3) = 6x231 + 2x30

2 x43

modulo 5. Como

x231 =

(x5

1

)4.x3

1 ∼ x41.x

31 = x5

1.x21 ∼ x3

1 (mod 5) e x302 =

(x5

2

)6∼ x6

2 = x52.x2 ∼ x2

2 (mod 5) ,

nos temos6x23

1 + 2x302 x4

3 ∼ 6x31 + 2x2

2x43 (mod 5)

e assim determinamos a forma reduzida de f (x1, x2, x3) pois o grau de todas as variaveise menor que 5.

Atraves das observacoes acima fica provado que

Lema 3.1 Todo polinomio f e equivalente a um polinomio na forma reduzida cujo grautotal e sempre menor ou igual ao grau total de f.

Lema 3.2 Suponha que f e um polinomio na forma reduzida. Se f ∼ 0 (mod p) entaof ≡ 0 (mod p) .

DemonstracaoUtilizaremos aqui inducao sobre o numero de variaveis de f . Seja n o numero de variaveisde f , e vamos supor que n = 1. Como f esta na forma reduzida, o grau de f (queneste caso coincide com o grau total) e menor que p, mas, por hipotese, f (c) ≡ 0 (mod p)para todo c ∈ {0, 1, . . . , p − 1} . Logo f tem mais raızes que seu grau, uma contradicaopelo Teorema de Lagrange, a menos que todos os seus coeficientes sejam divisıveis por p,ou seja, f ≡ 0 (mod p) . Vamos supor entao que n ≥ 2 e que o teorema seja verdadeiropara todo polinomio reduzido, equivalente ao polinomio 0 modulo p, em m < n variaveis.Escreva

f (x1, . . . , xn) = A0 (x1, . . . , xn−1) + A1 (x1, . . . , xn−1) xn + . . . + Ap−1 (x1, . . . , xn−1) xp−1n

onde os Ai (x1, . . . , xn−1) sao polinomios nas variaveis x1, . . . , xn−1, podendo ser o polinomionulo. Tome agora numeros arbitrarios c1, . . . , cn−1 e escreva ai = Ai (c1, . . . , cn−1) comi = 1, . . . , p − 1. Entao

F (xn) = f (c1, . . . , cn−1, xn) = a0 + a1xn + . . . + ap−1xp−1n .

Obviamente F (xn) esta na forma reduzida e F (xn) ∼ 0 (mod p) , logo, por hipotesede inducao, F (xn) ≡ 0 (mod p) , ou seja, ai = Ai (c1, . . . , cn−1) ≡ 0 (mod p) para todoi = 1, . . . , p− 1. Como os numeros c1, . . . , cn−1 foram escolhidos de forma arbitraria, paratodo i = 1, . . . , p − 1 temos que

Ai (x1, . . . , xn−1) ∼ 0 (mod p) .

Claramente os polinomios Ai (x1, . . . , xn−1) estao na forma reduzida, logo, tambem porhipotese de inducao, concluımos que para todo i = 1, . . . , p − 1 temos que

Ai (x1, . . . , xn−1) ≡ 0 (mod p) ,

de onde segue que

f (x1, . . . , xn) ≡ 0 (mod p)

como querıamos demonstrar. �

Lema 3.3 Se o polinomio F (x1, . . . , xn) esta na forma reduzida e tem a propriedadede que F (x1, . . . , xn) ≡ 0 (mod p) em todo e qualquer ponto diferente de (a1, . . . , an) , eF (a1, . . . , an) ≡ 1 (mod p) entao

F (x1, . . . , xn) ≡ (−1)n ((x1 − a1)

p−1 − 1). . .

((xn − an)p−1 − 1

)(mod p)

DemonstracaoSeja

G (x1, . . . , xn) = (−1)n ((x1 − a1)

p−1 − 1). . .

((xn − an)p−1 − 1

).

Claramente vemos que o polinomio G esta na forma reduzida, logo o polinomio F − Gtambem esta na forma reduzida. Pelo Pequeno Teorema de Fermat,

G (a1, . . . , an) ≡ 1 (mod p)

eG (x1, . . . , xn) ≡ 0 (mod p)

em qualquer outro ponto diferente de (a1, . . . , an) , portanto F − G ∼ 0 (mod p) . PeloLema 3.2 concluımos que F − G ≡ 0 (mod p) , como desejavamos demonstrar. �

Agora estamos prontos para apresentar e demonstrar o Teorema de Chevalley.

Teorema 3.1 (C. Chevalley) Sejam f1, . . . , fm polinomios em n variaveis, sem termoconstante e com graus totais d1, . . . , dm respectivamente. Se n > d1 + . . .+dm entao existe(b1, . . . , bn) = (0, . . . , 0) tal que

f1 (b1, . . . , bn) ≡ . . . ≡ fm (b1, . . . , bn) ≡ 0 (mod p) ,

ou seja, (b1, . . . , bn) e um zero simultaneo para f1, . . . , fm modulo p.

DemonstracaoComo estes polinomios nao possuem termos constantes temos que

f1 (0, . . . , 0) = . . . = fm (0, . . . , 0) = 0.

Considere o polinomio

F (x1, . . . , xn) = (−1)m (fp−1

1 − 1). . .

(fp−1

m − 1).

Vamos supor que os m polinomios f1, . . . , fm nao se anulem simultaneamente em ne-nhum ponto (b1, . . . , bn) = (0, . . . , 0) . De acordo com o Lema 3.3 a forma reduzida deF (x1, . . . , xn) e equivalente modulo p ao polinomio (−1)n (x1

p−1 − 1) . . . (xnp−1 − 1) de

grau total n (p − 1) (note que o polinomio F (x1, . . . , xn) satisfaz as hipoteses do Lema3.3, tomando (a1, . . . , an) = (0, . . . , 0) ). Portanto o grau total de F e no mınimo n (p − 1) .Mas, pela definicao de F temos que o grau de F e

(d1 + . . . + dm) (p − 1) ,

o que implica que d1 + . . . + dm ≥ n como desejavamos provar. �

Vamos concluir este trabalho com a seguinte consequencia da demonstracao do Teo-rema de Chevalley.

Teorema 3.2 Seja f um polinomio qualquer em n variaveis, com grau total d menor quen. Se a congruencia

f (x1, . . . , xn) ≡ 0 (mod p)

tem uma solucao, entao essa congruencia tem pelo menos duas solucoes.

DemonstracaoComo foi feito na demonstracao do Teorema de Chevalley, suponha que

f (x1, . . . , xn) ≡ 0 (mod p)

so tenha uma solucao (a1, . . . , an) , e considere o polinomio

F (x1, . . . , xn) = 1 − f (x1, . . . , xn)p−1 .

Pelo Lema 2, a forma reduzida de F e equivalente a

(−1)n ((x1 − a1)

p−1 − 1). . .

((xn − an)p−1 − 1

).

Portanto o grau total de F e no mınimo n (p − 1) , mas pela definicao de F , seu grau totale d (p − 1) , logo d ≥ n, o que contradiz a hipotese, concluindo a demonstracao. �

Referencias

[1] Shokranian, S. & Soares, M. & Godinho, H. , ”Teoria dos Numeros”, Editora Univer-sidade de Brasılia,1994.

[2] Domingues, H., “Fundamentos de Aritmetica”, Editora Atual,1991.

Transformacoes Geometricas e a Construcao comRegua e Compasso

Bruno N. de Souza∗ Claudia Helena V. Freitas†

Jocelino Sato‡



38408-100, Uberlandia - MG

30 de outubro de 2005

Resumo

Neste trabalho exploramos o metodo das transformacoes geometricas para re-solver problemas de construcao com regua e compasso. Acreditamos que essemetodo, auxiliado por uma ferramenta computacional de Geometria Dinamica, euma poderosa ferramenta na investigacao e solucao de problemas de construcaogeometrica. Sob este aspecto, o estudo da acao de uma transformacao sobre umobjeto geometrico e um raciocınio heurısico importante na busca de solucoes dosproblemas de construcao com regua e compasso.

1 Introducao

Na Grecia antiga, epoca dos pitagoricos, a palavra numero era usada so para osinteiros e uma fracao era considerada apenas uma razao entre numeros inteiros. Estesconceitos, naturalmente, causaram dificuldades ao realizar medidas de grandezas. O con-ceito de numero real estava ainda muito longe de ser concebido, mas, na epoca de Eu-clides (sec.III a.C.) surgiu uma nova ideia. As grandezas, ao inves de serem associadasa numeros, passaram a ser associadas a segmentos de reta. Nasce entao nesse perıodouma nova “algebra”, completamente geometrica, onde a palavra resolver era sinonimo deconstruir com regua e compasso.

Com isso, fizeram-se necessarios tracados de segmentos de reta que representassemtais grandezas, retangulos que representassem produtos dessas grandezas atraves de suasareas e tracados das demais figuras. A partir, daı os matematicos gregos desenvolveramuma parte da Matematica, intimamente ligada a Geometria, conhecida como ConstrucoesGeometricas com Regua e Compasso.

Nas construcoes geometricas, alem de lapis e papel, utilizamos dois instrumentos: umcompasso e uma regua (sem graduacao). Com o compasso podemos tracar cırculos e arcos

∗Orientando de Iniciacao Cientıfica PROMAT. E-mail: [email protected]†Orientando de Iniciacao Cientıfica PROMAT. E-mail: hellena [email protected]‡Professor orientador. E-mail: [email protected]

de cırculos com centro e raio dados e tambem transportar segmentos de reta. A reguanao pode ser usada para efetuar medida, embora possamos tracar retas, semi-retas ousegmentos de retas ligando dois pontos dados. Assim, as seguintes operacoes elementarespodem ser realizadas numa construcao com regua e compasso:

O1 - Tracar uma reta por dois pontos conhecidos;

O2 - Desenhar uma circunferencia, dados o seu centro e o seu raio;

Alem dessas construcoes basicas (que sao justificadas pelos axiomas da GeometriaEuclidiana), existem duas outras operacoes elementares, justificadas pelos axiomas decontinuidades (na verdade sao Teoremas):

O3 - Marcar os pontos, quando houver, de interseccao de duas linhas (duas retas, duascircunferencias ou uma reta e uma circunferencia).

O4 - Dado um cırculo λ = C(O, r) e um ponto P nesse cırculo, determinar um segundoponto Q em λ tal que PQ seja congruente a um segmento dado AB (AB < r).

Resolver um problema de construcao geometrica consiste em realizar uma sequenciafinita de pelo menos uma dessas operacoes, determinando a solucao do problema a quale dada por algum ou alguns dos objetos construıdos. Cada passo da construcao deve serjustificado (isto e, demonstrado) usando os conceitos, axiomas e teoremas da GeometriaEuclidiana.

Deve-se observar que, usando somente a regua e o compasso, nao podemos resolveralguns problemas. Tres problemas desse tipo, que tem sua origem na Grecia antiga, sao:

1. A duplicacao do cubo, ou seja, o problema da construcao do lado de um cubo, cujovolume e o dobro do volume de um cubo cujo lado e dado;

2. A triseccao de um angulo, ou seja, o problema de dividir um angulo dado qualquerem tres partes iguais (isto e, em tres angulos congruentes cuja soma e o angulodado);

3. A quadratura de um cırculo, ou seja, o problema de construir um quadrado cujaarea e a mesma de um cırculo dado.

Esses problemas foram resolvidos apenas no seculo XIX, com a ajuda da Algebra,quando foi provada a impossibilidade de tais construcoes. Mas isto ja e outra historia quenao sera abordada neste texto.

A solucao de um problema de construcao geometrica, muitas vezes, depende da de-terminacao de um certo elemento chave que satisfaz certas condicionantes. Consideradasseparadamente ou em conjuntos as condicionantes devem fornecer a solucao como a in-tersecao de certas figuras (quase sempre lugares geometricos). Por exemplo, considere oproblema:

Dados um cırculo de centro O, um ponto P fora do cırculo e um segmentode medida a. Tracar uma reta que passe por P e que determine uma corda decomprimento a no cırculo.

A possıvel reta solucao desse problema (se existir) tem que satisfazer duas condicoes:

(a) Determinar uma corda de comprimento a no cırculo;

(b) Passar pelo ponto P e ser secante ao cırculo.

Comecemos por analisar o conjunto das retas que determinam cordas de comprimentoa no cırculo dado. A reta solucao procurada e uma dessas retas! O tracado de algumascordas nos leva a conjectura de que elas sao tangentes a um outro cırculo (o elementochave), concentrico ao primeiro cırculo. E, neste caso, os pontos de tangencia sao ospontos medios dessas cordas.

Usando o Cabri-Geometre II podemos facilmente construir o lugar geometrico dospontos medios das cordas de um cırculo que possuem o mesmo comprimento obtendouma ”confirmacao visual” de nossa conjectura. E, de fato, a prova dessa afirmacao eelementar (Figura 1).

Figura 1:

Agora, analisemos a segunda condicao (b). Observamos que se AB e a corda determi-nada por uma reta secante ao cırculo, de centro O, que passa por P e M e o ponto mediodessa corda, entao ∠PMO e um angulo reto, logo, M esta no cırculo cujo diametro e PO.As analises das condicoes (a) e (b) fornecem um metodo de construcao.

Metodo de construcao: Tracamos no cırculo de centro O dado uma corda qualquerde comprimento a e em seguida construımos um cırculo de centro O e tangente a corda.Finalmente, construımos uma reta (existem duas) passando pelo ponto P e tangente aocırculo construıdo, a qual determina no cırculo dado uma corda de comprimento a.

Pode ocorrer que um processo de transformacao induza a obtencao de um lugargeometrico ou de um novo elemento (elemento chave) que fornece informacoes adicionaisaplicaveis na resolucao do problema em questao. Sob este aspecto, o estudo da acaode uma transformacao sobre um objeto geometrico desempenha um papel importante nasolucao de problemas de construcao geometrica.

Um exemplo ilustrativo dessa situacao ocorre no seguinte problema:

Dado um triangulo �ABC construir um quadrado que tenha dois verticessobre a base AB do triangulo e os outros dois vertices sobre os dois outroslados do triangulo.

A B

C

D E

GF

Figura 2:

A abordagem desse problema consiste em observar que a solucao pertence a um con-junto de quadrados que satisfazem parcialmente a condicionante do problema; aqueleformado por quadrados que tem um vertice sobre AC e dois vertices sobre a base AB.Alem disso, o lugar geometrico (elemento chave) dos ”quarto vertices”desses quadradose uma reta l passando pelo ponto A, donde concluımos que esses quadrados estao rela-cionados por uma homotetia de centro A (transformacao). Portanto, a solucao consisteem construir um quadrado pertencente a colecao e depois construir seu transformado poruma homotetia de centro A e razao adequada! Um procedimento pratico: o quarto verticeG do quadrado solucao e a interseccao de l com o lado BC (Figura 2).

Quando precisamos resolver um problema “difıcil” relacionado com uma configuracaogeometrica podemos transforma-la, no todo ou em parte, em uma nova configuracao. Comisso podemos reduzir o problema original a um problema mais “simples” relacionado coma nova configuracao e de modo que exista uma conexao entre eles! Resolvemos o problemamais simples e invertermos a transformacao obtendo a solucao do problema original. Ouseja, aplicamos o processo transformar-resolver-inverter. O problema seguinte ilustra essasituacao:

Sejam C1 e C2 dois cırculos que se intersectam nos pontos A e B e sejam Ce D pontos onde seus respectivos diametros por B intersectam o outro cırculo.

Prove que a reta←→AB passa pelo centro de um terceiro cırculo determinado

pelos pontos C, B e D (Figura 3).

Figura 3:

O uso de uma inversao com centro em B (transformacao) transforma esse problemano seguinte fato conhecido:

As alturas de um triangulo sao sempre concorrentes.Na figura 3, X ′ indica o inverso de X e o elemento chave procurado na configuracao

transformada e a reta λ′ que passa pelos pontos C ′ e D′.Resumindo, o domınio conceitual de algumas transformacoes geometricas e de suas

propriedades, associado de maneira adequada ao metodo dos lugares geometricos, nospermite encontrar caminhos para a resolucao de certos problemas mais elaborados deconstrucoes com regua e compasso.

2 Transformacoes geometricas

Vamos denotar por Π o plano euclidiano e passar a estudar algumas transformacoesgeometricas, correspondencia biunıvoca, que preservam a forma das figuras planas. Tambemfaremos um breve estudo sobre a inversao em relacao a um cırculo λ.

2.1 Semelhancas

Definicao 1 Uma transformacao T : Π → Π e uma semelhanca de razao r se para todopar de pontos X,Y em Π o comprimento do segmento ligando X ′ = T (X) e Y ′ = T (Y )e igual a r vezes o comprimento do segmento ligando X a Y . Os pontos X ′ e Y ′ saodenominados homologos.

Dizemos que F e F ′ sao duas figuras semelhantes, com razao de semelhanca r, quandoexiste uma semelhanca entre os pontos de F e os pontos de F ′. Ou seja, se X, Y saopontos quaisquer de F e X ′ = T (X), Y ′ = T (Y ) sao seus correspondentes em F ′, entao

X ′Y ′ = r.XY

A nocao de semelhanca corresponde a ideia natural de ”mudanca de escala”, isto e, am-pliacao (razao r > 1) ou reducao (razao r < 1) de uma figura alterando seu tamanho semmodificar suas proporcoes (Figura 4). O conjunto de todas as semelhancas no plano mu-

Figura 4:

nido da operacao de composicao de aplicacoes tem uma estrutura de grupo. Precisamentetemos:

1. a composta de semelhancas de razoes r e r′ e, ainda, uma semelhanca e sua razao eigual a r.r′;

2. vale a associatividade para a operacao de composicao;

3. a funcao identidade e uma semelhanca de razao 1 (Elemento neutro);

4. a inversa de uma semelhanca de razao r e uma semelhanca de razao 1r

(Elementoinverso).

Definicao 2 Uma semelhanca de razao 1 e chamada de isometria. Podemos dizer que aisometria e uma correspondencia biunıvoca tal que, para quaisquer pontos X,Y em F , adistancia de X ′ = T (X) a Y ′ = T (Y ) e igual a distancia de X a Y . Quando existe umaisometria entre duas figuras, dizemos que estas figuras sao congruentes.

A seguir apresentamos alguns exemplos de semelhanca.

Exemplo 2.1 Seja AB um segmento orientado no plano (orientado significa que a or-dem em que os extremos sao citados e relevante: primeiro A e depois B). A translacaodeterminada por AB e a transformacao TAB : Π → Π , definida por TAB(X) = X ′, demodo que

(AB, XX ′) e

(AX, BX ′) sejam pares de lados opostos de um paralelogramo.

Toda translacao e uma isometria.

A

B

X

X’

Z

Z’

Figura 5:

Demonstracao: Para provar isso observamos que um quadrilatero e um paralelo-gramo se, e somente se, possui dois lados paralelos e congruentes. Sejam AB um seg-mento orientado no plano e X um ponto arbitrario do plano Π. Seja X ′ = TAB(X), dadefinicao temos que �ABXX ′ e paralelogramo (Figura 5). Logo, AB e XX ′ sao ladosparalelos com AB = XX ′. Analogamente, se Z for outro ponto e Z ′ = TAB(Z), entaoAB e ZZ ′ sao lados paralelos com AB = ZZ ′. Logo, XX ′ e ZZ ′ sao paralelos comXX ′ = ZZ ′e, portanto, �XX ′Z ′Z e um paralelogramo. O Recıproco do Teorema dosAngulos Alternos Internos e o criterio ALA de congruencia entre triangulos, diz que ostriangulos �ZZ ′X ′ ∼= �X ′XZ sao congruentes Daı conclui-se que X ′Z ′ = XZ , comoquerıamos demonstrar.

Exemplo 2.2 Seja l uma reta do plano Π. A reflexao em torno do eixo l e a trans-formacao Rl : Π → Π, que associa a cada ponto X do plano o ponto X ′ = Rl (X) tal quel seja a mediatriz do segmento XX ′. Toda reflexao e uma isometria.

r

Y Y'

X X'

B

r

YY'

X X’

B

A A

Figura 6:

Demonstracao: Dados os pontos X e Y em Π devemos mostrar que X ′Y ′ = XY .Se um dos pontos X ou Y esta sobre l, entao a igualdade e imediata. Agora, se X eY estao do mesmo lado em relacao a reta l, entao l e a mediatriz dos segmentos XX ′

e Y Y ′ (Figura 6). Daı temos a congruencia dos triangulos XBY e X ′BY ′, pelo mesmocaso LAL, onde B e o ponto medio do segmento Y Y ′. Portanto, neste caso, X ′Y ′ = XY .Finalmente, admita que X e Y estejam em lados opostos em relacao a reta l. Sejam A eB os pontos medios dos segmentos XX ′ e Y Y ′, respectivamente. O triangulo �XBX ′ eisosceles e permite concluir que os triangulos �Y BX e o �Y ′BX ′ sao congruentes pelocaso LAL. Logo, X ′Y ′ = XY .

Exemplo 2.3 A simetria em torno de um ponto O e a transformacao SO : Π → Π quefaz corresponder a cada ponto X do plano o ponto SO(X) = X ′ tal que O seja o pontomedio do segmento XX ′. Toda simetria em torno de um ponto e uma isometria.

X Y’

Y X’

O

Figura 7:

Demonstracao: De fato, dados os pontos X e Y em Π, se X ou Y coincidir comO nao ha nada a fazer. Se ambos sao distintos de O ligando os pontos X, Y ′, X ′ e Y ,formamos um quadrilatero, onde suas diagonais se cortam ao meio no ponto O. Isso dizque �XY ′X ′Y e paralelogramo (Figura 7). Logo, da caracterizacao de um paralelogramotemos que X ′Y ′ = XY .

Exemplo 2.4 Consideremos um angulo orientado �BAC. Orientado significa que a

ordem em que os lados sao citados e relevante: primeiro−→AB, e depois

−→AC. O lado

−→AB

e chamado lado inicial e o lado−→AC lado final do angulo orientado �BAC. A rotacao

de centro O e angulo (orientado) θ = �BAC e a transformacao RO,θ : Π → Π com

RO,θ(O) = O e para todo X = O, X ′ = RO,θ (X) e o ponto do lado−−→OY do angulo

O

X

A

X’

l

m

Figura 8:

orientado �XOY = θ, com OX = OY e m�XOY = θ. Para θ = 180◦ a rotacao RO,θ ea simetria em relacao ao ponto O.

Demonstracao: Vamos mostrar que toda rotacao e a composta, de infinitas maneiras,de duas reflexoes e, portanto, toda rotacao e uma isometria (Figura 8). De fato, seja

Rl : Π → Π uma reflexao em relacao a uma reta l =←→OP , onde P e um ponto distinto do

centro de rotacao O. Se A = Rl (X), entao l e a ”bissetriz ”do angulo ∠XOA. Seja m abissetriz do ∠AOX ′. Temos X ′ = Rm (A) e, assim, X ′ = Rm ◦ Rm (X).

Exemplo 2.5 Sejam O um ponto do plano e r um numero real positivo. A homotetiade centro O e razao r e a transformacao HO,r : Π → Π definida do seguinte modo:HO,r(O) = O e, para todo ponto X distinto de O, X ′ = HO,r(X) e o ponto da semi-

reta−−→OX tal que OX ′ = r.OX. Toda homotetia e uma semelhanca e a inversa de uma

homotetia de razao r e uma homotetia de mesmo centro e razao 1r.

O

B

A

C

A’

B’

C’

Figura 9:

Demonstracao: Primeiro observamos que a imagem homotetica de um segmento eainda um segmento. Quando o ponto X esta entre os pontos O e Y (O ∗ X ∗ Y ) e claroque O, X ′ e Y ′ sao colineares e

X ′Y ′ = OY ′ − OX ′ = r. [OY − OX] = r.XY.

Agora, se O, X e Y sao nao colineares consideremos os triangulos �XOY e �X ′OY ′

(Figura 9). Temos OX ′ = r.OX e OY ′ = r.OY . Logo, segue do criterio LAL de semel-hanca que os triangulos �XOY e �X ′OY ′ sao semelhantes com razao de semelhanca r.Portanto, XY e X ′Y ′ sao paralelos com X ′Y ′ = rXY .

Teorema 2.1 Uma semelhanca T : Π → Π possui as seguintes propriedades:

a) A semelhanca T transforma pontos colineares em pontos colineares. Mais, precisa-mente, se A ∗ P ∗ C, entao P ′ = T (P ) esta entre A = T (A) e B = T (B). Logo,a imagem de uma reta por T e uma reta e a imagem de um angulo por T e aindaum angulo;

b) A semelhanca T preserva medida de angulo, ou seja, para todo angulo ∠CAB temosmT (∠CAB) = m∠CAB. Em particular, T preserva perpendicularismo;

c) A semelhanca T preserva paralelismo de retas, isto e, se r e s sao retas paralelas,entao l = T (r) e m = T (s) sao retas paralelas.

Demonstracao:

a) Dados os pontos A e B em Π sejam A′ = T (A) e B′ = T (B) seus respectivoshomologos. Temos A′B′ = r.AB, onde r e a razao de semelhanca de T . Se P estaentre A e B, entao AP + PB = AB e, assim, para P ′ = T (P ) temos

A′P ′ + P ′B′ = r.AP + rPB = r [AP + PB] = rAB = A′B′.

Isso mostra que P ′ pertence ao segmento A′B′.

b) Seja θ = ∠CAB um angulo e θ′ = T (∠CAB). Segue do item a) que θ′ e um angulo.

Sejam P e Q pontos nos lados−→AB e

−→AC, respectivamente, do angulo ∠CAB, com

AP = AQ. E claro que, se P ′ e Q′ sao os homologos de P e Q, entao

A′P ′ = r.AP = rAQ = A′Q′.

Alem disso, da definicao temos P ′Q′ = rPQ. Segue do criterio LLL que ostriangulos �APQ e �A′P ′Q′ sao semelhantes. Portanto, ∠Q′A′P ′ ∼= ∠QAP ∼=∠CAB.

c) Suponha, por absurdo, que l = T (r) e m = T (s) sejam retas concorrentes emT (A) = P = T (B), com A e B em r e s, respectivamente. Entao tomando ainversa de T temos A = T −1 (P ) = B, o que contradiz r e s serem paralelas.Portanto, l e m sao paralelas.

E, assim, obtemos o Teorema.

Corolario 2.1 Uma semelhanca transforma:

a) paralelogramo em paralelogramo;

b) retangulos em retangulos;

c) um triangulo num triangulo semelhante;

d) um cırculo num outro cırculo.

2.2 Estudo da acao de uma semelhanca sobre uma figura e al-gumas propriedades

Para usarmos as transformacoes geometricas como ferramenta na solucao de proble-mas de construcao com regua e compasso e importante entender o efeito de cada uma delassobre as figuras geometricas. Ja sabemos que elas possuem a propriedades de preservar:alinhamentos de pontos, angulos e formas das figuras (ver Teorema 2.1 e Corolario 2.1).Outras informacoes, que decorrem diretamente das definicoes, sao apresentadas abaixo.

2.2.1 Propriedades de uma Reflexao Rl

R1 - Os pontos da reta l sao os pontos fixos de Rl, ou seja, Rl (P ) = P se e somente seP e um ponto de l;

R2 - Toda reta perpendicular a reta l e invariante por Rl, ou seja, se s e uma retaperpendicular a reta l, entao s = Rl (s);

R3 - Toda reta paralela a reta l e transformada por Rl numa reta paralela a reta l;

R4 - Se uma reta r intersecta l, entao l e a reta suporte das bissetrizes dos angulos opostospelo vertices, determinados por s e r = Rl (s);

R5 - Um reflexao Rl e uma transformacao involutiva, ou seja, R−1l = Rl e, portanto,

Rl (Rl (P )) = P , para todo ponto P do plano.

2.2.2 Propriedades de uma Simetria SO

S1 - O unico ponto fixado por uma simetria e o seu centro O, ou seja, SO (P ) = P se esomente se P = O;

S2 - Toda reta r passando O e invariante por SO, ou seja, se r e uma reta contendo O,entao SO (r) = r;

S3 - Toda reta r que nao passapor O e transformada por SO numa reta s = SO (r)paralela a reta r;

S4 - Uma simetria SO e uma transformacao involutiva, ou seja, [SO]−1 = SO e, portanto,SO (SO (P )) = P , para todo ponto P do plano.

2.2.3 Propriedades de uma Rotacao RO,θ

Ro1 - O unico ponto fixado por uma rotacao nao trivial e o seu centro O, ou seja,RO,θ (P ) = P se e somente se P = O;

Ro2 - Toda reta r forma com sua transformada s = RO,θ (r) um angulo de medida θ;

Ro3 - A inversa de uma rotacao RO,θ e uma rotacao de mesmo centro O e angulo −θ.

2.2.4 Propriedades de uma Homotetia HO,λ

H1 - O unico ponto fixado por uma rotacao nao trivial e o seu centro O, ou seja,HO,λ (P ) = P se e somente se P = O;

H2 - Toda reta r passando por O e invariante por HO,λ, ou seja, se r e uma reta contendoO, entao HO,λ (r) = r;

H3 - Toda reta r que nao passa por O e transformada por HO,λ numa reta s = HO,λ (r)paralela a retar r;

H4 - A inversa de uma homotetia HO,λ e uma homotetia de mesmo centro O e razao 1λ.

Assim, todo homotetia e uma transformacao involutiva.

Outras propriedades importantes sao as simetrias que uma figura pode possuir. Taissimetrias estao sempre associadas a alguma isometria.

2.2.5 Simetrias de uma figura

A identificacao de simetrias numa figura Ω e da maior relevancia na investigacao daspropriedades de Ω e na resolucao de problemas geometricos que lhe dizem respeito.

Existem figuras Ω que podem ser vistas como a uniao de uma figura F com sua imagemF ′ = Rl (F) pela reflexao na reta l ⊆ F . Nesse caso, dizemos que a figura Ω= F ∪ F ′ euma figura simetrica (axialmente) em relacao a reta l. A transformacao Rl e chamada desimetria axial interna e a reta l e chamada de eixo de simetria interna da figura.

Algumas importantes figuras geometricas admitem um ou mais eixos de simetria in-terna, como, por exemplo:

• o segmento AB e o angulo ∠BAC admitem um eixo de simetria: a mediatriz doprimeiro e a bissetriz do segundo;

A BM

B

C

A

�

�

• o triangulo isosceles e o trapezio isosceles tambem admitem um eixo de simetria: amediatriz de suas bases;

� �

• o losango e o retangulo, dois eixos de simetria: as retas suportes das diagonais doprimeiro e as medianas dos lados do segundo;

��

� �

• o triangulo equilatero, tres eixos de simetria: as mediatrizes dos lados;

��

�

• o quadrado (losango e retangulo), quatro eixos de simetria: as retas suportes dasdiagonais e as medianas dos lados;

� ��

�

• um polıgono regular de n lados: n eixos de simetria: retas passando pelo ”centro”epelos vertices;

• o cırculo, infinitos eixos de simetria: retas contendo os diametros.

Suponhamos que, relativamente a um ponto O, duas figuras F e F ′ estejam associadaspela simetria SO, isto e, F ′ = SO (F). Nesse caso, dizemos que a figura Ω= F ∪ F ′ e umafigura simetrica em relacao ao ponto O. A transformacao SO e chamada de simetriacentral interna e o ponto O e chamado de centro de simetria interna da figura.

Algumas importantes figuras geometricas admitem centro de simetria, como, por ex-emplo:

• o segmento AB, cujo centro de simetria e seu ponto medio;

A BM

• o paralelogramo, com centro de simetria dado pela intersecao das diagonais;

• os polıgonos regulares de numero par de lados, que admitem o circuncentro porcentro de simetria. Ja os de numero ımpar de lados nao possuem centro de simetria;

• o cırculo; etc.

Algumas figuras sao invariantes por certas rotacoes, ou seja, possuem simetria rota-cional. Dizemos que uma figura F tem simetria rotacional de um angulo θ, ou simetriaθ-rotacional, quando coincide com sua transformada pela rotacao RO,θ. Exemplos defiguras que possuem simetria rotacional sao:

• cırculos, que sao invariantes por RO,θ para todo θ, onde O e o centro do cırculo;

• polıgonos regulares de numero de n lados, que sao invariantes por RO,θ para todoθ = k 2π

n,k = 1, 2, . . . n, onde O e circuncentro.

3 Construcoes tıpicas usando uma semelhanca

3.1 Posicionamento de um segmento retilıneo AB:

Um problema tıpico de construcao geometrica e aquele em que se faz necessarioo posicionamento de um segmento retilıneo AB, cujas extremidades devem pertencer aobjetos conhecidos F e G. Usualmente tal segmento deve cumprir mais condicoes, cujasnaturezas podem determinar o uso de uma das transformacoes geometricas estudadas.Temos:

1. Quando conhecemos a mediatriz l do segmento AB a reflexao na reta Rl fornece oelemento chave da solucao do problema. De fato, suponhamos o problema resolvido

Figura 10:

e seja AB o segmento procurado(Figura 10). A mediatriz l garante que os pon-tos A e B estao associados pela reflexao Rl. Alem disso, B = Rl (A) pertence aF ′ = Rl (F), donde o ponto elemento chave e a intersecao de F ′ com G.O seguinte problema ilustra o uso dessa construcao:Consideremos uma reta l e dois cırculos λ1 e λ2 de centros O1 e O2, respectiva-mente, situados um em cada lado de l. Construa um quadrado �ABCD que tenhadois vertices opostos em l e, os outros dois, um em cada um dos cırculos (Figura11).

2. Quando conhecemos o ponto medio M do segmento AB a simetria SM fornece oelemento chave da solucao do problema. De fato, suponhamos o problema resolvidoe seja AB o segmento procurado (Figura 12). A mediatriz l garante que os pontosA e B estao associados pela simetria SM . Alem disso, B = SM (A) pertence aF ′ = Rl (F), donde o ponto elemento chave e a intersecao de F ′ com G.

Figura 11:

Figura 12:

Um problema onde esta construcao e usada:Inscrever no triangulo �ABC um triangulo �MNP , com o mesmo baricentro Gque o primeiro, conhecendo-se o vertice M ∈ BC.Suponhamos o problema resolvido (Figura 2).. Temos que o baricentro G (encontro

A B

C

M

EF

GJ

P

N

das medianas do triangulo �ABC) satisfaz MG = 2GJ , onde MJ e a mediana

relativa ao vertice M do triangulo �MNP . Alem disso, NJ = PJ , P ∈ ←→AB

, sendo J um ponto conhecido. Portanto, N = SJ (P ) e P = SJ (N). Logo, o

problema reduz-se a apoiar o segmento NP nas retas←→AC e

←→AB, de modo que J seja

o ponto medio de NP . Temos P =←→AB ∩ SJ

(←→AC

)e N =

←→AC ∩ SJ

(←→AB

).

3. Quando conhecemos o comprimento e a direcao do segmento AB a translacao TAB

fornece o elemento chave da solucao do problema. De fato, suponhamos o problemaresolvido e seja AB o segmento procurado(Figura 13). Os pontos A e B estaoassociados pela translacao TAB. Alem disso, B = TAB (A) pertence a F ′ = TAB (F),donde o ponto elemento chave e B = F ′ ∩ G.

Figura 13:

Esta construcao e usada para dar uma solucao para o problema:De um trapezio �ABCD conhecemos os comprimentos AB = a e CD = b dos seuslados paralelos, e AC = c e BD = d das suas diagonais. Construir o trapezio.Considere os cırculos λ = C (A, c) e β = C (B, d). Temos que C e D pertencem

A B

CD

�

� �’

Figura 14:

a λ e β, respectivamente (Figura 14). Alem disso, CD e paralelo a AB. Portanto,nosso problema reduz-se a construir o segmento CD com extremidades em λ e β,de comprimento b e que seja paralelo ao segmento AB. O ponto C se encontra naintersecao λ′ ∩ β, onde λ′ = TAB (λ).

4. Quando sabemos que os extremos do segmento AB equidistam de um dado ponto eque com este definem-se retas formando um angulo de medida conhecida, a rotacaoRA,θ fornece o elemento chave da solucao do problema. De fato, suponhamos o prob-

Figura 15:

lema resolvido e seja AB o segmento procurado(Figura 15 ). Os pontos A e B estao

associados pela rotacao RO,θ. Alem disso, B = RO,θ (A) pertence a F ′ = RO,θ (F),donde o ponto elemento chave e B = F ′ ∩ G.O seguinte problema ilustra o uso dessa construcao:Dados um quadrado �ABCD e um ponto X em AB inscrever um triangulo equilateroem �ABCD em que X e um vertice.Suponha o problema resolvido e observe que o centro do quadrado procurado e o

Figura 16:

centro do paralelogramo sao o mesmo ponto O e, portanto, e um ponto conhecido,encontro das diagonais (Figura 16). As diagonais do quadrado sao perpendiculares

entre si e se cortam ao meio. Logo, o lado MN se apoia sobre as retas←→AB e

←→CB

com m∠MON = π2rd , donde N =

←→CB ∩ RO, π

2

(←→AB

). Um vez obtido o ponto N

teremos N = RO, π2

(M), P = RO, π2

(N) e Q = RO, π2

(P ).

5. Quando conhecemos o ponto P que divide o segmento AB numa razao dada, ahomotetia HP,λ fornece o elemento chave da solucao do problema.De fato, suponhamos o problema resolvido e sejam AB o segmento procurado, oqual contem o ponto P (Figura 17) e λ = PB

PA. Os pontos A, B e P sao colineares e

A e B estao associados pela homotetia HP,λ. Alem disso, B = HP,λ (A) pertence aF ′ = HP,λ (F), donde o ponto elemento chave e B = F ′ ∩ G.O seguinte problema ilustra o uso dessa construcao:

Figura 17:

Dadas tres retas l, m e n concorrentes no ponto O e um ponto P distinto de O,construir por P uma transversal comum t, tal que, se A = l ∩ t, B = m ∩ t eC = n ∩ t, entao BC = 2AB.

Suponhamos o problema resolvido. Temos que uma homotetia de cento O preserva

AB

C

A’B’

r s

t

t’

O

P

Figura 18:

posicoes relativas de retas e razoes de secao (Figura 18).Temos ABAC

= ABAB+2AB

= 13

e, alem disso, AC apoia-se nas retas l e n e B divide AC na razao 13. Logo,

B = m ∩ HO, 13

(n).

3.2 Reflexao num espelho (configuracao de Fermat)

O problema consiste em obter um caminho, de comprimento mınimo, entre doispontos A e B situados no mesmo lado de uma reta r e tocando a reta num ponto P (esseproblema esta relacionado ao Princıpio de Fermat da reflexao da luz). A curva de menorcomprimento ligando dois pontos A e P e o segmento AP , assim, nosso problema consisteem determinar a poligonal APB, P ∈ r, de comprimento mınimo. A solucao consiste

Figura 19:

em considerar B′ = Rr (B) e tomar P =←→AB′ ∩ r (Figura 19). De fato, a desigualdade

triangular nos da , qualquer que seja L = P pertencente a reta r,

AP + PB = AP + PB′

= AB′ ≤ AL + LB.

4 Construcoes com regua e compasso

Nesta secao usaremos as transformacoes geometricas para solucionar alguns proble-mas de construcao com regua e compasso. Nao estaremos preocupados com as questoesde existencia e multiplicidade de solucoes, apenas em exibir um metodo de solucao.

Figura 20:

Problema 4.1 Dados um triangulo �ABC e um ponto M entre A e B, inscrever notriangulo um outro triangulo �MNP , de perımetro mınimo. Suponhamos o problemaresolvido e seja P em AC, entao os segmentos PN e NM fornecem uma configuracao

de Fermat, caminho mınimo de P a M tocando a reta←→BC em N (Figura 20). O ponto

M esta na reta←−→NM , reflexao da reta

←→PN em relacao a reta

←→BC, com PN + NM =

PN + NM ′ = PM ′, onde M ′ = R←→BC

(M). Alem disso, o problema resume-se agoraa buscar o mınimo da soma MP + PM ′. E, novamente, aparece uma configuracao de

Fermat (caminho mınimo de M a M ′ tocando a reta←→AC em P ). O ponto M ′ esta na reta←−→

PM ′, reflexao da reta←−→PM em relacao a reta

←→AC, com MP + PM ′ = MP + PM ′′, onde

M ′′ = R←→AC

(M ′) =(R←→

AC◦ R←→

BC

)(M). Assim, o ponto P e dado pela intersecao das retas

←→AC e

←−−→MM ′′. Uma vez estabelecido o ponto P , fica conhecido o ponto N pela configuracao

de Fermat.

Problema 4.2 De bordo de um navio avistam-se dois pontos P e Q em terra firme. Noinstante T1 le-se o angulo de visada θ1 e no instante T2, depois de ter percorrido umadistancia d, segundo uma direcao −→u , le-se o novo angulo θ2. Pede-se assinalar na cartade bordo a rota retilınea do navio entre os instantes considerados.

P

Q

O1

O2

O’1

A1

A2

�1

�2

�1

�2

Y

U

Figura 21:

Suponhamos o problema resolvido e seja A1A2 o caminho retilıneo percorrido pelo navio(Figura 21). O ponto A1 pertence ao arco capaz Γ1 do angulo θ1 sobre PQ, analogamente,A2 pertence ao arco capaz Γ2 do angulo θ2 sobre PQ. Assim, A1A2 deve ser um segmentoorientado de comprimento d e paralelo a −→u , e portanto, a solucao consiste em apoiar um

segmento orientado −→v paralelo a −→u , de comprimento d e com extremidade em Γ1 e Γ2.Tomando A2 como ponto chave, teremos A2 na intersecao Γ2 ∩ T−→v (Γ1).

Problema 4.3 Dados tres cırculos concentricos λ1 = C (O, r1), λ2 = C (O, r2) e λ3 =C (O, r3) (r1 < r2 < r3) construir um triangulo equilatero �ABC com A ∈ λ1, B ∈ λ2 eC ∈ λ3 e tal que o lado BC seja paralelo a uma reta r dada.

�

r

A

B

C

M

NP

�3 �

2�

1

Figura 22:

Suponhamos o problema resolvido. Observamos que rotacionando a solucao �ABC emtorno de O obtemos infinitas solucoes �MNP do problema, sem a condicionante serparalelo a r (Figura 22). Alem disso, fixado M em λ1 a solucao consiste em apoiar osegmento NP nos cırculos λ2 e λ3 uma vez conhecido θ = m∠NMP = π

3rd. A solucao

de tal problema e conhecida e, uma vez obtido o triangulo �MNP , precisamos submete-lo

a rotacao RO,ω, onde ω = m∠(r,←→NP

).

Problema 4.4 Sao dados tres pontos A, B e C num cırculo λ = C (O, r). Construir umponto P ∈ λ de tal modo que os segmentos BC e AP se intersectam no ponto medio deAP .

A

B

C

P

�

�

Figura 23:

Os pontos medios das cordas AP , P ∈ λ, sao o conjunto λ′ = HA, 12

(λ), imagem de λ

pela homotetia de centro A e razao 12

(Figura 23). Alem disso, λ′ e o cırculo de diametro

AO, logo, o ponto procurado e uma das intersecoes de λ′ com BC.

Problema 4.5 Dados dois cırculos λ1 = C (O1, r1) e λ2 = C (O2, r2) tracar as retastangentes comuns aos dois cırculos.Observamos que dois cırculos β1 = C (O1, s1) e β2 = C (O2, s2) (s1 < s2) sao semprehomoteticos entre si. A determinacao das homotetias relacionandos os dois cırculos, sempontos interiores em comum, mostram que as tangentes comuns aos dois cırculos saotangentes em pontos homoteticos entre si. Alem disso, as tangentes ocorrem aos pares ecada par se intersecta no centro O de uma homotetia HO,α tal que β2 = HO,α (β1). Paradeterminar os centros de homotetia direta Od (α > 0) e inversa Oi (α < 0) de β1 e β2

tracamos os diametros paralelos P1Q1 e P2Q2, nao contidos na reta r, ligando os centrosO1 e O2 dos cırculos β1 e β2, respectivamente (Figura 24). Temos:

O O

P

Q

P

Q

OO

1

1

2

1 2

2

i d

��

�

Figura 24:

1. O ponto Od intersecao das retas←−→P1P2 e

←−−→Q1Q2 esta em r e e o centro da homotetia

direta. Sendo a razao de homotetia αd = OdP2

OdP1> 0.

2. O ponto Oi intersecao das retas←−→P1Q2 e

←−→P2Q1 esta em r e e o centro da homotetia

inversa. Sendo a razao de homotetia αi = − OiP1

OdQ2< 0.

Consequentemente, a solucao do problema e dado pelas tangentes comuns passandopelos centros de homotetia direta e inversa Od e Oi, respectivamente, e pelos pontosde tangencia T1, T2, T3, T4, T ′

1, T ′2, T ′

3, e T ′4 (Figura 25).

OO

��

��

T1

T1

T3

T’4T’3

T’3T’4

T4T3

Figura 25:

Referencias

[1] Araujo, P. V., Curso de Geometria, Gradiva Publicacoes, Porto - Portugal, 1986.

[2] Eves, H., Estudio de Las Geometrias, Union Tipografica Editorial Hispano-Americana,Mexico, 1969.

[3] Lima, E. L., Isometrias, Colecao Professor de Matematica - SBM, Rio de Janeiro,1996.

[4] Pinheiro, V. A., Geometrografia Volume 1 e 2, Editora Atual, Rio de Janeiro, 1986.

[5] Rezende, E. Q.F. e Queiroz, M. L. B., Geometria Euclidiana e construcoes geometricas,Editora da Unicamp, Campinas, 2000.

Estudo de Parametros Fuzzy nos Modelosde Evolucao da AIDS com Tratamento

Eder Lucio da Fonseca∗ Rosana Sueli da Motta Jafelice†




Marco de 2006

Resumo

O objetivo deste trabalho e estudar a taxa de transferencia de soropositivos HIVassintomaticos em sintomaticos e a taxa de retorno de sintomaticos para assintomaticosquando recebem tratamento com terapia anti-retroviral. Para este proposito, utilizaremosinformacoes de especialistas para calcular estas taxas, que dependem fortemente da cargaviral, do nıvel do linfocito T, do tipo CD4+ e da adesao ao tratamento. O linfocito T dotipo CD4+ e o principal linfocito que o vırus ataca ao atingir a corrente sanguınea. NoBrasil, desde 1998 as combinacoes com anti-retrovirais tem sido utilizadas e sao respon-saveis pelo prolongamento da sobrevida dos pacientes. Inclusive o Ministerio da Saudeafirma que ”No Brasil, apos o uso da terapia anti-retroviral a queda da mortalidade foi deaproximadamente 50%, alem da diminuicao das internacoes hospitalares causadas pelasinfeccoes oportunistas e melhor qualidade de vida para o paciente”. Desta forma, o estudode modelos de evolucao da AIDS com tratamento podera trazer informacoes interessantespara a Saude Publica do Brasil.

Palavras-chaves: Taxas de transferencia, HIV, Equacoes Diferenciais Ordinarias.

1 Introducao

A Sındrome da Imunodeficiencia Adquirida (AIDS) foi reconhecida em meados de 1981,nosEUA, como uma doenca que compromete o sistema imunologico. E uma sındrome prove-niente de um processo de imunodeficiencia decorrente de infeccao pelo HIV (vırus deimunodeficiencia humana).

No Brasil, desde o inıcio da decada de 90, o Ministerio da Saude vem intensificandosua polıtica de saude publica em HIV/AIDS, visando melhorar a qualidade da assistenciaaos pacientes, por meio da introducao de servicos de diagnosticos, treinamento e ca-pacitacao de profissionais de saude nesta area. Ressaltamos, dentre as diversas acoes, o

∗Orientando de Iniciacao Cientıfica CNPq. E-mail: [email protected]†Professor orientador. E-mail: [email protected]

oferecimento do diagnostico aos pacientes, terapia anti-retroviral para pacientes porta-dores do HIV e a disponibilizacao de profissionais capacitados para a abordagem efetivados pacientes infectados. Inclusive, dos paıses em desenvolvimento, o Brasil destaca-sepela polıtica de controle a AIDS (www.aids.gov.br). Apesar dos avancos ocorridos coma terapia anti-retroviral, o uso de novas drogas e estrategias de tratamento necessitamde maiores estudos para permitir o seu uso mais amplo na pratica clınica com eficacia eseguranca.

A polıtica do Ministerio da Saude de garantir acesso a terapia com anti-retroviraispara os indivıduos HIV positivos e pacientes contaminados, demandou a criacao de umarede de laboratorios de saude publica capacitada para realizar exames complementaresque permitissem avaliar tanto a necessidade de iniciar um tratamento como monitorar aeficacia do esquema terapeutico utilizado. A decisao quanto ao esquema a ser utilizadona terapia inicial devera ser feita de forma individualizada, baseando-se nos parametrosclınicos, laboratoriais e farmacologicos das drogas anti-retrovirais disponıveis.

A nao adesao e a causa mais frequente de falha do tratamento. Entre os fatoresque podem levar a baixa adesao ao tratamento estao: a ocorrencia de efeitos colaterais,numero elevado de comprimidos, restricao alimentar, habitos de vida, nao-compreensaoda prescricao, a falta de informacao sobre riscos da nao-adesao e esquemas de doses in-compatıveis com as atividades diarias do paciente. O uso de medicamentos em dosesirregulares acelera o processo de selecao de cepas virais resistentes.

Assim pretendemos atraves da teoria dos conjuntos fuzzy estudar como a adesao aotratamento com anti-retrovirais interfere na taxa de transferencia de soropositivos paraHIV assintomaticos e na taxa de retorno de sintomaticos para assintomaticos. O estudodestes parametros poderao contribuir para o estudo de modelos de evolucao da AIDS maisproximos da realidade. Neste sentido, outros modelos anteriores foram estudados em [2]e [3].

Este trabalho e organizado da seguinte forma. A secao 2 apresenta uma breve in-troducao sobre a dinamica de atuacao do HIV e sobre sua estrutura. A secao 3 apresentaa fundametacao teorica sobre teoria dos conjuntos fuzzy. As secoes 4 e 5 apresentam oestudo da transferencia de pacientes assintomaticos em sintomaticos (Λ) e o retorno dospacientes sintomaticos em assintomaticos (Γ), respectivamente. A secao 6 apresenta astaxas Λ e Γ dependendo do nıvel de CD4+, da carga viral e da adesao ao tratamento. Nasecao 7 utilizamos dados de pacientes do Ambulatorio Herbert de Souza para estudarmosa taxa de retorno Γ em funcao da adesao ao tratamento. E na secao 8 finalizamos otrabalho com a conclusao.

2 HIV - Vırus de Imunodeficiencia Humana

Trata-se de um retrovırus esferico, isto e, um vırus contendo RNA (acido ribonucleico)que se replica em uma celula hospedeira. No citoplasma da celula hospedeira, o mater-ial genetico viral (RNA) sofre acao da enzima transcriptase reversa e transforma-se emDNA. Este DNA viral possui a capacidade de penetrar no nucleo da celula infectada eincorporar-se ao DNA dela.

A Figura 1, mostra a estrutura do vırus HIV. Este vırus encapsulado tem um enve-lope proteico, constituıdo por duas proteınas principais: uma maior, a gp120, que formabotoes na superfıcie, e outra menor, a gp41, conforme Figura 1; que juntas formam oconjunto gp160. Dentro deste envelope proteico, o vırus possui uma capsula interna, for-mada pela proteına p17. No interior desta capsula interna, existe uma membrana formada

pela proteına p24 que envolve o material genetico, o RNA, Figura 2. Nesta capsula in-terna, encontram-se junto com o RNA, tres proteınas importantes: Transcriptase Reversa,Integrase e Protease, Figura 2.

Figura 1: Estrutura do HIV. 1. Envelope proteico formado por gp120 e gp41; 2. Capsulaproteica interna formada pela proteına p17; 3. Membrana formada pela proteına p24 e 4.Material genetico formado por RNA e proteınas.

��

��

��

Figura 2: HIV infectando a celula.

Na proxima secao apresentamos a fundamentacao teorica sobre teoria dos conjuntosfuzzy.

3 Fundamentacao Teorica

O termo fuzzy significa nebuloso e se refere ao fato de, em muitos casos, nao conhecermoscompletamente os sistemas que estamos analisando. Existem inumeras situacoes em que arelacao de pertinencia nao e bem definida e, nestes casos, nao sabemos dizer com exatidaose o elemento pertence ou nao pertence a um dado conjunto. Assim, um elemento podepertencer parcialmente a um dado conjunto. Dadas as caracterısticas desta teoria, saoesperadas enormes contribuicoes para o desenvolvimento de modelos em areas onde enecessario lidar com incerteza e subjetividade. Assim, definimos conjunto fuzzy:

Definicao 3.1 Um conjunto fuzzy F do conjunto universo U e definido em termos deuma funcao de pertinencia μ que a cada elemento x de U associa um numero μF (x ),

entre zero e um chamado de grau de pertinencia de x a F. Assim, o conjunto fuzzy F esimbolicamente indicado por sua funcao de pertinencia:

μF : U → [0, 1]

Os valores μF (x ) = 1 e μF (x ) = 0 indicam, respectivamente, a pertinencia plena e anao pertinencia do elemento x a F.

3.1 Variaveis Linguısticas

Uma variavel linguıstica e uma variavel cujo valor e expresso qualitativamente por umtermo linguıstico (que fornece um conceito a variavel) e quantitativamente por uma funcaode pertinencia. A variavel linguıstica e composta por uma variavel simbolica e por umvalor numerico. Por exemplo, a variavel lunguıstica ”muito quente”, que expressa umconceito que pode depender do contexto, possui um sımbolo da nossa lıngua naturalmuito quente e pode assumir um valor numerico de temperatura, T > 28◦C, por exemplo.Note que cotidianamente utilizamos variaveis linguısticas para nos expressar: ”O dia estamuito quente”, ”o onibus esta muito cheio”, ”o preco esta alto”, ”a crianca esta com muitatosse”, ”eu estou com muita dor”, etc. Os termos linguısticos sao usados para expressarconceitos e conhecimentos na comunicacao humana, e em muitas areas sao a forma maisimportante de quantificar e qualificar os dados (informacoes), Figura 3 .

Nas areas medicas o uso de variaveis linguısticas para expressar valores e extremamentecomum. De fato, muitos sao os exames clınicos em que os valores observados somentepodem ser expressos em termos de variaveis linguısticas, seguindo algum padrao que omedico desenvolve durante sua formacao e que e aperfeicoado com a sua pratica [5].

Variável Lingüística

Termos Lingüísticos

AltaMédiaBaixa

Temperatura

Figura 3: Exemplo: Termos linguısticos e varaveis linguısticas.

3.2 Sistemas Baseados em Regras Fuzzy

Sistemas baseados em regras fuzzy (SBRF) contem quatro componentes: um processadorde entrada que realiza a fuzzificacao dos dados de entrada, uma colecao de regras nebulosaschamada base de regras, uma maquina de inferencia fuzzy e um processador de saıdaque fornece um numero real como saıda. Estes componentes estao conectados conformeindicado na Figura 4.

Figura 4: Sistemas baseados em regras fuzzy.

Uma vez estabelecida uma base de regras, isto e, como relacionamos os conjuntosfuzzy pela forma Se...entao..., um SBRF pode ser visto como um mapeamento entre aentrada e a saıda da forma y = f(x), x ∈ Rn e y ∈ Rm (trajetoria em negrito na Figura4). Esta classe de sistema e amplamente utilizada em problemas de modelagem, controlee classificacao. Os componentes do SBRF sao descritos a seguir:

• Processador de Entrada (Fuzzificacao)

Neste componente as entradas do sistema sao traduzidas em conjuntos fuzzy emseus respectivos domınios. A atuacao de um especialista na area do fenomeno a sermodelado e de fundamental importancia para colaborar na construcao das funcoesde pertinencias para a descricao das entradas.

• Base de Regras

Este componente, juntamente com a maquina de inferencia, pode ser consideradoo nucleo dos sistemas baseados em regras fuzzy. Ele e composto por uma colecaode proposicoes fuzzy na forma Se...entao.... Cada uma destas proposicoes pode,por exemplo, ser descrita linguisticamente de acordo com o conhecimento de umespecialista. A base de regras descreve relacoes entre as variaveis linguısticas, paraserem utilizadas na maquina de inferencia fuzzy que descreveremos no proximo item.

• Maquina de Inferencia Fuzzy

E neste componente que cada proposicao fuzzy e traduzida matematicamente pormeio das tecnicas de raciocınio aproximado. Os operadores matematicos serao sele-cionados para definir a relacao fuzzy que modela a base de regras. Desta forma, amaquina de inferencia fuzzy e de fundamental importancia para o sucesso do sistemafuzzy, ja que fornece a saıda a partir de cada entrada fuzzy e da relacao definida pelabase de regras. Apresentaremos aqui um metodo particulares de Inferencia Fuzzy:o Metodo de Mamdani.

• Metodo de Mamdani

Uma regra Se (antecedente) entao (consequente) e definida pelo produto cartesianofuzzy dos conjuntos fuzzy que compoem o antecedente e o consequente da regra. Ometodo de Mamdani agrega as regras atraves do operador logico OU, que e mode-lado pelo operador maximo e, em cada regra, o operador logico E e modelado pelooperador mınimo. Veja as regras a seguir:

Regra 1: Se (x e A1 e y e B1) entao (z e C1).Regra 2: Se (x e A2 e y e B2) entao (z e C2).

A Figura 5 ilustra como uma saıda real z de um sistema de inferencia do tipoMamdani e gerada a partir das entradas x e y reais e a regra de composicao max-min.

Figura 5: Metodo de Mamdani com composicao max-min.

A saıda z ∈ R e obtida pela defuzzificacao do conjunto fuzzy de saıda C = C′1 ∪C

′2 da

Figura 5.Na proxima secao, estudamos a taxa de transferencia de assintomaticos para sin-

tomaticos dependendo da carga viral e do nıvel de CD4+.

4 Conversao de Assintomatico para Sintomatico: Mo-

delo Fuzzy com λ Dependendo do Nıvel de CD4+

e da Carga Viral

4.1 Introducao

A saude publica considera de suma importancia para o controle da populacao HIV-positiva, a contagem de celular CD4+ e da carga viral. Nosso principal interesse e mode-lar a taxa de transferencia nestes estagios. Para este proposito utilizaremos informacoesde especialistas para calcular a taxa de transferencia, pois esta depende fortemente dacarga viral e do nıvel de CD4+ dos indivıduos infectados. Especialistas da area medicautilizam termos linguısticos para caracterizar estagios da doenca e para especificar o usoda terapia anti-retroviral. A teoria dos conjuntos fuzzy proporciona a estrutura formalpara modelar matematicamente as descricoes linguısticas para a taxa de tranferencia Λusando o conhecimento do especialista.

4.2 Variaveis Linguısticas e Base de Regras

Vamos estimar a taxa de transferencia λ = λ(v, c) baseada nas informacoes medicas.Adotamos a base de regras fuzzy assumindo como antecedentes a carga viral V e nıvel deCD4+, e Λ como consequente. Os termos linguısticos para V (carga viral), para o nıvel deCD4+ e para a taxa de transferencia de assintomatico para sintomatico Λ sao dispostosna Tabela 1:

Variaveis Valores Linguısticoscarga viral (V) baixa, media e alta

CD4+ muito baixo, baixo, medio, medio alto, e altoΛ fraca, media fraca, media e forte

Tabela 1: Termos linguısticos das variaveis V, CD4+ e Λ

O metodo de inferencia utilizado e o de Mamdani. As funcoes de pertinencia da cargaviral, Figura 6, do nıvel de CD4+, Figura 7 e da taxa de transferencia, Figura 8 saotrapezoidais. Observamos que dividimos os valores da carga viral por 200000 copias deRNA/ml e com informacoes medicas construımos a seguinte base de regras disposta naTabela 2:

��VCD4+

muito baixo baixo medio medio alto alto

baixa forte media media media fraca fracamedia forte forte media media fraca fracaalta forte forte media media media

Tabela 2: Base de regras fuzzy assumindo como antecedentes a carga viral V e nıvel deCD4+, e Λ como consequente.

1,01,0

1,0

0,8

0,8

0,6

0,6

0,4

0,4

0,2

0,2

0,0

0,0

baixa média alta

Carga Viral

Figura 6: Funcoes de Pertinencia da carga viral (V).

1,01,0

1,0

0,8

0,8

0,6

0,6

0,4

0,4

0,2

0,2

0,0

0,0

muito baixo baixo médio Médio alto alto

Nível de CD4+ (c)

C

Figura 7: Funcoes de Pertinencia do nıvel de CD4+.

0,0

0,0

1,01,0

1,0

0,8

0,8

0,6

0,6

0,4

0,4

0,2

0,2

fraca média fraca média forte

Lambda ( )

Figura 8: Funcoes de Pertinencia da taxa de transferencia (Λ).

Na proxima secao, estudamos a taxa de retorno de sintomaticos para assintomaticosmediante tratamento com terapia anti-retroviral.

5 Conversao de Sintomatico para Assintomatico: Mo-

delo Fuzzy com γ Dependendo do Nıvel de CD4+

e da Carga Viral

5.1 Introducao

Para avaliar a eficiencia do tratamento, os especialistas da area medica tem grande in-teresse em quantificar a taxa de retorno a classe dos indivıduos assintomaticos. A quan-tificacao da carga viral e a contagem de CD4+ sao utilizados para iniciar ou alterarterapeutica anti-retroviral.


Vamos estimar a taxa de retorno γ = γ(v, c) baseada nas informacoes medicas. Adotamosa base de regras fuzzy assumindo como antecedentes a carga viral V e nıvel de CD4+, e ataxa de retorno Γ como consequente. Os termos linguısticos para V (carga viral), para onıvel de CD4+ e para a taxa de retorno de sintomatico para assintomatico Γ sao dispostosna Tabela 3:

Variaveis Valores Linguısticoscarga viral (V) baixa, media e alta

CD4+ muito baixo, baixo, medio, medio alto, e altoΓ fraca, media fraca, media e forte

Tabela 3: Termos linguısticos das variaveis V, CD4+ e Γ

O metodo de inferencia utilizado e o de Mamdani. As funcoes de pertinencia da carga

viral, do nıvel de CD4+ e da taxa de retorno de sintomatico para assintomatico, Figuras 6,7 e 9 respectivamente, sao trapezoidais. Observamos que dividimos os valores da cargaviral por 200000 copias de RNA/ml e com informacoes medicas construımos a seguintebase de regras disposta na Tabela 4:

��VCD4+

muito baixo baixo medio medio alto alto

baixa fraca media fraca media fraca media fortemedia fraca fraca media fraca media fortealta fraca fraca media fraca media fraca media fraca

Tabela 4: Base de regras fuzzy assumindo como antecedentes a carga viral V e nıvel deCD4+, e Γ como consequente.

0,0

0,0

1,01,0

1,0

0,8

0,8

0,6

0,6

0,4

0,4

0,2

0,2

fraca média fraca média forte

Gamma ( )F

Figura 9: Funcoes de Pertinencia da taxa de transferencia (Γ).

Na proxima secao estudamos as taxas Λ e Γ dependendo do nıvel de CD4+, da cargaviral e da adesao ao tratamento.

6 Conversao de Sintomatico para Assintomatico: Mo-

delo Fuzzy com λ e γ Dependendo do Nıvel de

CD4+, da Carga Viral e da Adesao ao Tratamento

6.1 Introducao

Se aos primeiros sintomas da AIDS, os indivıduos sintomaticos aderirem ao tratamentode forma adequada, isto e , se a adesao ao tratamento for de 95 % a 100 %, em geralde tres a seis meses, os indivıduos poderao ter grande recuperacao do ponto de vistaclınico, a ponto de se tornarem assintomaticos. Para avaliar a eficiencia do tratamento,os especialistas da area medica tem grande interesse em quantificar a taxa de retorno aclasse dos indivıduos assintomaticos.


De acordo com especialistas, a carga viral v, o nıvel de CD4+ e a adesao do tratamento aestao influenciando as taxas de transferencia e retorno da populacao dos HIV-positivos.Os termos linguısticos para V (carga viral), para o nıvel de CD4+ , para a taxa detransferencia de sintomatico para assintomatico (Λ), para a taxa de retorno de sintomaticopara assintomatico (Γ) e para a Adesao ao tratamanto (A) sao dispostos na Tabela 5:

Variaveis Valor Linguısticascarga viral (V) baixa, media e alta

CD4+ muito baixo, baixo, medio, medio alto, e altoΛ fraca, media fraca, media e forteΓ fraca, media fraca, media e forte

Adesao adequada e inadequada

Tabela 5: Termos linguısticos das variaveis V, CD4+, Λ, Γ e A.

O metodo de inferencia utilizado foi o de Mamdani. As funcoes de pertinencia uti-lizadas para a carga viral V, nıvel de CD4+, para a taxa de transferencia Λ, para a taxade retorno Γ e a para a adesao ao tratamento, Figuras 6, 7, 8, 9 e 10; sao trapezoidais.Com informacoes medicas construımos as seguinte bases de regras disposta nas Tabelas 6,7, 8, 9:

��CD4+V

baixa media alta

muito baixo forte forte fortebaixo media forte fortemedio media media media

medio alto media fraca media fraca mediaalto fraca fraca media

Tabela 6: Base de regras fuzzy para Λ com Adesao Inadequada

��CD4+(V

baixa media alta

muito baixo fraca fraca fracabaixo fraca fraca fracamedio fraca fraca fraca

medio alto media fraca media fraca fracaalto media media fraca

Tabela 7: Base de regras fuzzy para Γ com Adesao Inadequada.

��CD4+V

baixa media alta

muito baixo media media mediabaixo media fraca media mediamedio media fraca media fraca media fraca

medio alto fraca fraca media fracaalto fraca fraca media fraca

Tabela 8: Base de regras fuzzy para Λ com Adesao Adequada.

��CD4+V

baixa media alta

muito baixo fraca fraca fracabaixo media fraca fraca fracamedio media fraca media fraca media fraca

medio alto media media media fracaalto forte forte media fraca

Tabela 9: Base de regras fuzzy para Γ com Adesao Adequada.

0,0

0,0

1,01,0

1,0

0,8

0,8

0,6

0,6

0,4

0,4

0,2

0,2

inadequada adequada

A

Adesão (A)

Figura 10: Funcoes de Pertinencia da adesao ao tratamento A.

Na proxima secao utilizamos dados de pacientes do Ambulatorio Herbert de Souzapara estudar a taxa de retorno Γ em funcao da adesao ao tratamento.

7 Pacientes do Ambulatorio Herbert de Souza Uber-

landia-MG

Utilizando dados dos exames dos pacientes do nıvel de CD4+, carga viral, com informacoesdo especialista em relacao a adesao ao tratamento do paciente e atraves do sistema basea-dos em regras fuzzy e possıvel determinar a taxa de transferencia de sintomatico paraassintomatico em funcao das datas dos exames [1]. Assim, com os dados de exames dedois pacientes do Ambulatorio Herbert de Souza, Uberlandia-MG, obtemos informacoesimportantes. O paciente 1, apresenta a taxa de transferencia de sintomatico para assin-tomatico em relacao ao tempo crescente, devido a sua adesao adequada ao tratamento,Figura 11. O paciente 2, apresenta uma visıvel irregularidade na taxa de transferenciade sintomatico para assintomatico devido a adesao inadequada ao tratamento com anti-retrovirais, Figura 12.

0.9

0.8

0.7

0.6

0.5

0.85

0.75

0.65

0.55

out/02 fev/03 set/03 jan/04 jul/04

Paciente 1

Datas dos Exames

Figura 11: Paciente 1

0.5

0.45

0.4

0.35

0.3

0.25

0.2

0.15

0.05

0

0.1

Paciente 2

out/00 fev/01 jun/01 jul/01 jan/02 dez/02 abr/03 jul/03 dez/03 jul/04

Datas dos Exames

Figura 12: Paciente 2

8 Conclusao

As Figuras 11 e 12 mostram como a adesao ao tratamento e um fator determinante para atransferencia do paciente HIV positivo sintomatico para assintomatico. Este tratamentoe fornecido gratuitamente pelo Ministerio da Saude.

Assim, atraves deste sistema baseados em regras fuzzy, com dados dos exames labora-toriais e com informacoes do especialista em relacao a adesao ao tratamento dos pacientes,e possıvel determinar a taxa de transferencia de sintomatico para assintomatico em funcaodo tempo, de outros indivıduos HIV positivos.

Agradecimentos

O primeiro autor agradece ao PIBIC-CNPq pela concessao da Bolsa de Iniciacao Cientıficae o segundo autor a FAPEMIG - CEX 109/04 e ao Programa Especial de Pesquisa daUniversidade Federal de Uberlandia - A-005/2004 pelo apoio financeiro.

Referencias

[1] Fonseca, E.L. e Jafelice, R.. Estudo de Parametros Fuzzy nos Modelos de Evolucaoda AIDS, 13o Simposio Internacional de Iniciacao Cientıfica da Universidade de SaoPaulo, 2005.

[2] Jafelice, R., Barros,L.C. e Bassanezi, R. C.. Teoria dos Conjuntos Fuzzy comAplicacoes,Uma publicacao da SBMAC, Editora Pleiade, 2005.

[3] Jafelice, R. . Modelagem Fuzzy para Dinamica de Transferencia de Soropositivos paraHIV em Doenca Plenamente Manifesta. Tese de Doutorado, FEEC, Universidade Es-tadual de Campinas, Campinas, Brasil, 2003.

[4] Rachid, M e Schechter, M.. Manual de HIV/AIDS. REVINTER, Rio de Janeiro, 8 rdedition, 2005.

[5] Massad, E., Menezes, R., Silveira, P., e Ortega, N.. Metodos Quantitativos em Medi-cina. Manole, 2004.

Uso de Automato Celular no Estudo daEvolucao da AIDS

Joao Claudio Martins de Freitas∗ Rosana Sueli da Motta Jafelice†




janeiro de 2006

Resumo

O objetivo deste trabalho e utilizar automato celular para estudar a dinamica daevolucao do HIV no interior do organismo dos HIV-positivos. Vamos adotar umautomato celular para representar a dinamica de infeccao do HIV sem tratamentocom anti-retrovirais e posteriormente comparar os resultados desse automato celularque representa a dinamica do HIV com o modelo classico microscopico de Novak eBangham (1996).

Palavras-chaves: Automato, Dinamica, Equacoes Diferenciais Ordinarias, Simu-lacao.

1 Introducao

A Sındrome da Imunodeficiencia Adquirida (AIDS) foi reconhecida em meados de 1981,nos EUA, como uma nova doenca que compromete o sistema imunologico. E umasındrome proveniente de um processo de imunodeficiencia decorrente de infeccao peloHIV (vırus de imunodeficiencia humana). Os meios de transmissao cientificamente com-provados sao: relacoes sexuais com portadores de HIV; transfusao de sangue contaminado;uso de seringas ou materiais cirurgicos contaminados; via placenta, leite materno e pelocontato entre mucosas.

Nos ultimos vinte e quatro anos, desde que foi identificado, o HIV transformou-se emuma epidemia de projecao mundial. De acordo com os dados estimados e apresentadospela Organizacao Mundial de Saude e pelo Programa das Nacoes Unidas sobre HIV/AIDS(UNAIDS) (novembro de 2005) existem 40,3 milhoes de pessoas vivendo com AIDS, sendoque destes, 24,6 milhoes sao africanos. Hoje a molestia atingiu tal magnitude, indicandoque a sociedade depara-se com mais um problema biologico, de grande repercussao sociale economica.

Um conceito importante que sera utilizado no desenvolvimento deste trabalho e o deautomato celular. Os automatos celulares consistem de simulacoes discretas no tempo,

∗Orientando de Iniciacao Cientıfica FAPEMIG. E-mail: [email protected]†Professor orientador. E-mail: [email protected]

espaco e no estado do sistema. A ideia destes modelos consiste em considerar cada posicao(ou regiao) do domınio espacial como sendo uma celula, a qual e atribuıdo um estado.O estado de cada celula e modificado de acordo com seu estado e dos seus vizinhos naetapa de tempo anterior, atraves de cada serie de regras simples que tentam imitar as leisbiologicas (ou fısicas) que regem o sistema [1].

A principal vantagem dos automatos celulares e a facilidade com que podem ser imple-mentados decorrente da simplicidade de sua formulacao e o surpreendente retorno visualcapaz de reproduzir equilıbrios estaveis ou periodicos, padroes complexos e estruturasorganizadas como formacoes de ondas, entre outras [2].

Apesar da simplicidade das regras de transicao de estado, os automatos celularespodem fornecer muitas informacoes sobre a dinamica temporal e espacial de sistemasbiologicos, o que faz deste tipo de modelo uma alternativa importante na descricao deprocessos espaciais aclopados a interacoes locais.

O objetivo final dos modelos de automatos celulares e uma descricao (a partir deregras tao simples quanto possıveis) do comportamento macroscopico do fenomeno e naouma descricao exata e fiel do processo microscopico. Nao sao, em geral, instrumentos deprevisao, devendo ser abordados como meio de experimentacao. Os automatos celularessao vistos, nao como substitutos dos modelos tradicionais, mas como primeiro passo paraformulacao destes modelos. Os resultados obtidos atraves da simulacao via automatoscelulares podem confirmar hipoteses para uma posterior formulacao de um modelo formal.

Na proxima secao, apresentamos alguns conceitos biologicos do Vırus de Imunodefici-encia Humana.

2 HIV - Vırus de Imunodeficiencia Humana

Trata-se de um retrovırus esferico, isto e, um vırus contendo RNA (acido ribonucleico)que se replica em uma celula hospedeira. No citoplasma da celula hospedeira, o materialgenetico viral (RNA) sofre acao da enzima transcriptase reversa e transforma-se em DNA.Este DNA viral possui a capacidade de penetrar no nucleo da celula infectada e incorporar-se ao DNA dela.

A Figura 1, mostra a estrutura do vırus HIV. Este vırus encapsulado tem um envelopeproteico, constituıdo por duas proteınas principais: uma maior, a gp120, que forma botoesna superfıcie, e outra menor, a gp41, conforme Figura 1; que juntas formam o conjuntogp160. Dentro deste envelope proteico, o vırus possui uma capsula interna, formada pelaproteına p17, Figura 2. No interior desta capsula interna, existe uma membrana formadapela proteına p24 que envolve o material genetico, o RNA, Figura 3. Nesta capsula in-terna, encontram-se junto com o RNA, tres proteınas importantes: Transcriptase Reversa,Integrase e Protease.

Na proxima secao, introduzimos o historico natural da infeccao do HIV.

3 Esquema da Historia Natural da Infeccao do HIV

Atigindo a corrente sanguınea, o HIV lanca seu ataque principalmente contra os linfocitosT, do tipo CD4+. Tal preferencia decorre do fato, que a proteına periferica do vırusgp120 encaixa-se na proteına CD4 presente na membrana de certas celulas do sistemaimunologico. Os linfocitos T sao os que possuem em maios quantidade a proteına CD4+.

Figura 1: Estrutura do HIV. 1. Envelope proteico formado por gp120 e gp41; 2. Capsulaproteica interna formada pela proteına p17; 3. Membrana formada pela proteına p24 e 4.Material genetico formado por RNA e proteınas.

Figura 2: Representacao do momento em que o HIV esta infectando a celula [3].

��

��

��

Figura 3: HIV infectando a celula.

O tempo de vida do HIV e muito curto. Em media, de tres a sete dias todos os vırus saorepostos no organismo humano.

Os aspectos clınicos da infeccao do HIV pode ser dividido em quatro fases:

1. Infeccao aguda

A infeccao aguda, tambem chamada de sındrome da infeccao retroviral aguda ou in-feccao primaria, ocorre em cerca de 50% a 90% dos pacientes. A historia natural dainfeccao aguda caracteriza-se por viremia elevada, com resposta imune intensa. Duranteo pico de viremia, ocorre diminuicao rapida dos linfocitos T CD4+, que posteriormenteaumentam, mas geralmente nao retornam aos nıveis a infeccao. Os sintomas duram emmedia, 14 dias. Os sintomas mais frequentes associados a sindrome viral aguda causadapelo HIV sao febre, fadiga, cefaleia, vomito e outras. Apos a fase aguda, ocorre a estabi-lizacao da viremia em nıveis variaveis, definidos pela velocidade da replicacao viral.

2. Fase assintomatica

Na infeccao precoce pelo HIV, tambem conhecida como fase assintomatica, o estadoclınico e mınimo ou inexistente. Nesta fase a historia familiar, habitos de vida, comotambem uma avaliacao do perfil emocional e psicossocial do paciente, seu nıvel de en-tendimento periodicos sao recomendados.

3. Fase sintomatica inicial

Nesta fase varias doencas podem ocorrer devido a infeccao do HIV, como por exem-plo: sudorese noturna, fadiga, emagrecimento, diarreia, sinusopatias, candıase oral, herpessimples, herpes zoster e outras.

4. AIDS oportunistas

As doencas oportunistas associadas a AIDS sao varias, podendo ser causadas por vırus,bacterias, protozoarios, fungos e certas neoplasias. As doencas oportunistas, mais comunsassociadas a AIDS sao pneumonias, candıase, herpes simples, toxoplasmose, sarcoma daKaposi e outras.

A Figura 4 mostra o tempo de percurso da infeccao do HIV em um adulto infectado,em que observa-se que o tempo medio de infeccao da AIDS sao 10 anos.

Figura 4: Esquema da historia natural da infeccao do HIV [4].

Na proxima secao, introduzimos o modelo classico de Novak e Bangham que representaa dinamica da infeccao do HIV.

4 Modelo Classico

Tres modelos da dinamica de infeccao do HIV, sem tratamento com anti-retrovirais, saoestudados em [5]. Em [6] dois destes modelos foram utilizados, o primeiro contem tresvariaveis dependentes do tempo: celulas nao infectadas, celulas infectadas e partıculasde vırus livres, representadas por n, i e v respectivamente. Partıculas de vırus invademcelulas nao infectadas, infectando-as a uma taxa proporcional ao produto nv. Celulasinfectadas produzem novos vırus livres a uma taxa dada por ki. Celulas nao infectadas,celulas infectadas e partıculas de vırus morrem com taxas dadas pelos produtos an, bi, sv,respectivamente. No modelo, foi suposto que celulas nao infectadas sao continuamenteproduzidas pelo organismo a uma taxa constante r. A Figura 5 ilustra o primeiro modelode Novak e Bangham, mostrando como vırus livre infecta a celula nao infectada do linfocitoT, do tipo CD4+. Na Figura 5 o sımbolo + denota o encontro das celulas nao infectadascom o vırus livre.

A partir da Figura 5, o seguinte sistemas de equacoes diferenciais e obtido:

dn

dt= r − an − βnv

di

dt= βnv − bi

dv

dt= ki − sv (1)

O segundo modelo utiliza quatro variaveis dependentes do tempo em que as tresprimeiras sao as mesmas do modelo anterior e a nova variavel z representa os anticorpos do

�� +

β

Figura 5: Dinamica do HIV.

HIV, especificamente o linfocito T citotoxico. O seguinte sistema de equacoes diferenciaisordinarias, descreve esse modelo:

dn

dt= r − an − βnv

di

dt= βnv − bi − piz

dv

dt= ki − sv

dz

dt= ciz − dz (2)

em que p e a taxa de morte das celulas infectadas, c e a taxa de producao de anticorpose d e a taxa de morte natural de anticorpos.

A Figura 6 mostra um exemplo das solucoes numericas do sistema (2), utilizando osparametros da Tabela 1 e as condicoes iniciais da Tabela 2:

r = 0.3 a = 0.1 β = 1b = 0.01 p = 0.03 k = 0.5s = 0.01 c = 0.01 d = 0.01

Tabela 1: Parametros do modelo (2).

Na proxima secao, introduzimos o automato celular da dinamica da infeccao do HIV,que denominamos de Sistema Blood-Tor.

5 Sistema Blood-Tor

O nome Blood-Tor vem de Bloodstream-Toroidal. Simulamos o sistema Blood-Tor com oformato de um toro, onde vivem artificialmente celulas nao infectadas, celulas infectadas,

n(0) 0.99i(0) 0.01v(0) 0.1z(0) 0.01

t inicial 0 unidades tempot final 500 unidades tempo

Tabela 2: Condicoes iniciais.

0 100 200 300 400 50010

−3

10−2

10−1

100

101

Tempo (t)

Cel

ulas

nao

infe

ctad

as d

e C

D4+

(n)

0 100 200 300 400 5000

2

4

6

8

10

12

14

Tempo (t)

Cel

ulas

infe

ctad

as d

e C

D4+

(i)

0 100 200 300 400 5000

50

100

150

200

250

Tempo (t)

Viru

s liv

re (v

)

0 100 200 300 400 5000

2

4

6

8

10

Tempo (t)

Ant

icor

pos

do H

IV (z

)

Figura 6: Solucao numerica do sistema (2).

celulas livres do HIV e anticorpos do HIV, com a dinamica populacional das celulasrepresentadas em um automato celular [7]. Atingindo a corrente sanguınea, o HIV lancaseu ataque principalmente contra os linfocitos T, do tipo CD4+.

A dinamica populacional das celulas, como o HIV, e representada em um automatocelular, no qual cada ponto, em uma grade retangular, e chamado de celula. Os es-tados das celulas na grade sao atualizados de acordo com regras da dinamica local decada celula. As celulas e o HIV se movem aleatoriamente em tal sistema. As celulasnao infectadas sao produzidas a uma taxa constante proporcionando uma significativasimilaridade com a realidade. Os vırus livre quando encontram as celulas nao infectadasinfectam estas, transformando-as em celulas infectadas e os vırus desaparecem. As celulasinfectadas podem produzir celulas HIV quando tiverem alcancado o tempo apropriado deproducao. As celulas do anticorpo do HIV destroem as celulas infectadas quando ocorreo encontro. As celulas infectadas e celulas do anticorpo podem se reproduzir quandotiverem atingido o tempo apropriado de reproducao. As celulas nao infectadas, celulasHIV, celulas infectadas e celulas do anticorpo do HIV morrem quando tiverem alcancadoo tempo para mortalidade. Os tempos de producao, de reproducao e de morte das celulassao determinados a partir de regras da dinamica local do automato celular. Portanto,a simulacao do Sistema Blood-Tor e um sistema dinamico que representa a evolucao daAIDS sem tratamento [8].

A Figura 7 e uma amostra da simulacao no sistema Blood-Tor, realizada com 50iteracoes, em que as celulas nao infectadas sao representadas pela cor azul, as celulasHIV pela cor preta, as celulas infectadas pela cor verde e as celulas do anticorpo pela cor

branca.

Vermelho−Corrente sanguinea Azul−Celulas nao−infectadas Preto−HIV Verde−Celulas infectadas Branco−Anticorpos

Figura 7: Sistema Blood-Tor.

0 10 20 30 40 500

50

100

150

200

Cel

ulas

nao

−inf

ecta

das

de C

D4+

(n)

tempo (t)

Dinamica Populacional das celulas nao−infectadas

0 10 20 30 40 500

20

40

60

80

100

120

Viru

s liv

re (v

)

tempo (t)

Dinamica Populacional das celulas HIV

0 10 20 30 40 500

20

40

60

80

100

Cel

ulas

infe

ctad

as d

e C

D4+

(i)

tempo (t)

Dinamica Populacional das celulas infectadas

0 10 20 30 40 500

20

40

60

80

100

Antic

orpo

do

HIV

(z)

Dinamica Populacional das celulas anticorpos

tempo (t)

Figura 8: Sistema Blood-Tor variando em relacao ao tempo (t).

Os resultados obtidos na simulacao do Sistema Blood-Tor em funcao do tempo, Figura 8,foram comparados com o modelo classico de Novak e Bangham, na fase assintomatica, eapesar da significativa similaridade, a simulacao fornece uma descricao mais proxima darealidade, Figura 4, do que o modelo de Novak e Bangham, Figura 6.

6 Conclusao

E interessante observar que regras simples, como as utilizadas na simulacao podem con-duzir a um comportamento complexo, ou seja, a acao do todo e mais do que a simplessoma das acoes individuais. Este comportamento mostra o poder do automato celular.

Nos trabalhos futuros pretendemos implementar um automato celular utilizando osanti-retrovirais para observar o comportamento das celulas nao infectadas, infectadas, dovırus livre e dos anticorpos no organismo.

Agradecimentos

O primeiro autor agradece a FAPEMIG pela concessao da Bolsa de Iniciacao Cientıfica eo segundo autor a FAPEMIG - CEX 109/04 e ao Programa Especial de Pesquisa da Uni-versidade Federal de Uberlandia pelo apoio financeiro - A-005/2004 pelo apoio financeiro.

Referencias

[1] Ermentrout, G. e Edelstein-Keshet, L. (1993). Cellular automata approaches to biolo-gal modeling. J. Theor. Biol., 160:97-133.

[2] Wolfram, S. (1994). Cellular Automata and Complexity. Addison-Wesley publishingCompany, N. York.

[3] Saag, M. (1995). Diagnostico laboratorial da AIDS presente e futuro. In Sande, M. eP.A. Volberding, editors, Tratamento Clınico da AIDS, paginas 27-43. Revinter, thirdedtion.

[4] Perelson, A. e Nelson, P. (1999). Mathematical analysis of HIV-1 dynamics in vivo.SIAM Review, 41:3-44.

[5] Novak, M. e Bangham, C. (1996). Population dynamics of immune responses to per-sistent viruses. Science, 272:74-79.

[6] Jafelice, R. (2003). Modelagem Fuzzy para Dinamica de Transferencia de Soropositivospara HIV em Doenca Plenamente Manifesta. Tese de Doutorado, FEEC, UniversidadeEstadual de Campinas, Campinas, Brasil.

[7] Jafelice, R. e Silva, P. (2001). Simulacao de presa-predador no planeta Wa-Tor. Con-gresso Latino Americano de Biomatematica - Campinas, Brasil.

[8] Freitas, J. C. M. e Jafelice, R. S. M. (2005). Uso de Automato Celular no Estudo daEvolucao da AIDS. 13◦ Simposio de Iniciacao Cientıfica da USP - Sao Carlos, Brasil.

FAMAT em Revista




Problemas e Soluções

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Comitê Editorial da Seção Problemas e Soluções


Luiz Alberto Duran Salomão (coordenador da seção) Márcio José Horta Dantas

Marcos Antônio da Câmara Flaviano Bahia Paulinelli Vieira

Problemas e Solucoes

A revista eletronica FAMAT em Revista publica regularmente uma secao de proble-mas com o tıtulo Problemas e Solucoes. Todos os interessados podem participar dessasecao apresentando solucoes para os problemas ja publicados ou propondo novos proble-mas. Serao publicados problemas de matematica basica ou superior, assim como enigmasde natureza logica que desafiem nossos leitores e lhes proporcionem bom treinamento naresolucao de problemas. O comite editorial selecionara, dentre os problemas propostos, osque mais se destacarem por sua beleza, relevancia e originalidade. Problemas propostosem um numero da revista terao suas solucoes publicadas no numero seguinte. Quandoda publicacao de problemas ou resolucoes enviados por leitor, serao citados o(s) propo-nente(s) e o(s) autor(es) das solucoes recebidas. Ao propor um problema, o leitor deveraencaminhar sua solucao juntamente com o enunciado e citar a fonte de onde ele foi tirado,se for o caso.

Todo participante dessa secao devera identificar-se mencionando seu nome e enderecocompletos (inclusive e-mail). Para fazer contato com a revista, os participantes poderaoutilizar o endereco eletronico

[email protected]

ou encaminhar correspondencia para:

FAMAT em RevistaFaculdade de Matematica

Universidade Federal de UberlandiaAv. Joao Naves de Avila, 2121, Santa Monica

CEP 38408-100 - Uberlandia - MG

Nesse numero, alem de quatro novos desafios, publicamos a resolucao dos quatro donumero anterior.

ATENCAO: Estaremos dando continuidade a promocao do numero anterior. Para osleitores que nos enviarem solucoes corretas, de pelo menos dois dos problemas propostos,estaremos sorteando em Abril de 2006 alguns exemplares do livro:

MOREIRA, C. et. alli. (orgs.) Olimpıadas Brasileiras de Matematica. 9 a . a16 a . Problemas e resolucoes. Rio de Janeiro: Publicacao da Sociedade Brasileira deMatematica, 2003.

“A filosofia esta escrita nesse grande livro - ou seja, o Universo -que se encontra aberto continuamente ante os nossos olhos, mas elenao pode ser entendido a menos que se aprenda, primeiro, a ler sua

linguagem e interpretar as letras com as quais o compuseram. Ele foiescrito no idioma da matematica e seus sımbolos sao triangulos,

cırculos e outras figuras geometricas, sem as quais e humanamenteimpossıvel entender uma unica palavra de seu texto.”

Galileu Galilei, Il Saggiatore (1623)

Problemas para o número 6 da Revista da FAMAT

21. Mostre que as medianas de um triângulo dividem a região que ele limita em seis regiões de áreas iguais.

22. Dados um ângulo AÔB e um ponto P em seu interior, construa (com régua e compasso) um ponto X sobre a semi-reta de origem O passando por A e um ponto Ysobre a semi-reta de origem O passando por B, de modo que o ponto P esteja entre X e Ye PX = PY. Justifique a construção.

23. Dados um ângulo AÔB e um ponto P em seu interior, construa um segmento XY,com X sobre a semi-reta de origem O passando por A e Y sobre a semi-reta de origem Opassando por B, que contenha P, de modo que o triângulo OXY tenha área mínima. Justifique a construção.

24. Mostre que o polinômio x2n – 2 x2n-1 + 3x2n-2 - . . . – 2nx + 2n + 1 não tem raízes reais.

Resoluções dos problemas propostos no número anterior

17.

Na figura acima, todas as indicações relativas a somas de medidas de ângulos baseiam-se no fato de que, em um triângulo, o ângulo externo mede a soma das medidas dos ângulos internos não adjacentes a ele. Daí, conclui-se que a soma 1 + 2 + 3 + 4 + 5 é igual a 180 graus, ou seja, em um pentagrama estrelado qualquer, a soma dos ângulos internos é sempre 180 graus.

18. A solução deste exercício é uma aplicação do conhecido Princípio da Casa dos Pombos. Se n é um elemento do conjunto dado, então n = 2kb, onde k é um número natural e b é um natural ímpar, sendo k e b determinados de maneira única. Observe que, dado um elemento n no conjunto dado, existem 100 possíveis valores para b.Assim, sendo escolhidos 101 números, pelo Princípio da Casa dos Pombos, existem dentre eles dois elementos diferentes m e n com o mesmo fator ímpar b. Portanto, existem dois naturais k e l distintos de forma que m = 2kb e n = 2lb. Admitindo, sem perda de generalidade, que k > l, concluímos que m é múltiplo de n.

19. Como mdc(2003, 10) = 1, a expansão decimal de 2003

1 não tem parte não

periódica. Portanto, para algum inteiro positivo m, temos que

2003

1= ...

1010 2mm

BB,

onde B é o período na representação de 2003

1.

Daí,

2003

1=

110m

B

2003 B = 110m

2003 B -1(mod 10)3 B -1(mod 10)21 B -7(mod 10)

B 3(mod 10)Conclusão: o último algarismo de B é 3.

Nota: Ao leitor que tiver interesse em uma leitura mais aprofundada sobre dízimas periódicas, recomendamos a seção 1.13, capítulo 1, do livro Análise 1, escrito pelo professor Djairo Guedes Figueiredo, editado por Livros Técnicos e Científicos Editora S.A., 1996.

20. Chame S o conjunto {na-m: n, m e na - m>0}. Como S é limitado inferiormente, existe o ínfimo deste conjunto, o qual vamos representar por d. Observe que d 0. Suponha que d S, isto é, que existam inteiros n0 e m0 tais que d = n0 a - m0.Afirmamos que, se x S, então x = kd, para algum natural k. De fato, admita que exista x0 S,com x0 kd, para todo natural k. Agora, seja p o natural tal que pd < x0 < (p+1)d. Daí, temos que 0 < x0 – pd < d, o que não pode ocorrer.

Assim, como 1 S, 1 = k0 d = k0 (n0 a - m0), para algum natural k0 . Daí, a = 00

001

nkmk

, o que

contraria a hipótese de a ser irracional. Portanto, d S.Suponha, agora, d > 0. Podemos afirmar que existe S, com d < < 2d e, também, que existe S, com d < < . Daí, 0 < - < d e - S, o que é absurdo.Concluímos, então, que d = 0. Considere, agora, um número real positivo c.Dado um número real positivo arbitrário , pelo que vimos acima, existem inteiros m e n de modo que 0 < na – m < . Daí, [c] < na – m + [c] < [c] + c + .Assim, se c , então [c] = c e já temos o que queríamos. Suponha que c . Se y = na – m + [c] > c, nada mais temos a fazer. Admita, agora, que [c] < na – m + [c] = y c. Neste caso, tome o natural p tal que c < y + p(na – m), sendo p mínimo nesta condição. Assim, y + (p – 1)( na – m) c e, daí, y + p(na – m) c + (na – m) < c + .Portanto, c < (n + pn)a + [c] – (p + 1)m < c + .Para concluir, o leitor certamente não terá dificuldade em adaptar o argumento acima para o caso de c ser um número real negativo.

Exercıcio 20 da revista eletronica Famat em Revista

Exercıcio enviado por Flaviano Bahia Paulinelli Viera

Seja a um numero irracional. Mostre que o conjunto {pa − q; p, q ∈ Z} , e densono conjunto dos numeros reais.

Para resolver este exercıcio vamos utilizar o seguinte lemaLema. eja G um subgrupo aditivo de R. Seja G+ o conjunto dos termos posi-tivos de G. Entao

i) se inf G+ = 0 entao G e denso em R.ii) se inf G+ = a > 0 entao G = {na : n ∈ Z}

Demonstracao. De G ser subgrupo aditivo de R temos que se x ∈ G entao−x ∈ G e se x, y ∈ G entao x + y ∈ G

i) Sendo inf G+ = 0 e supondo que G nao e denso em R temos, pela definicaode conjunto denso na reta, que existe um intervalo (a, b) ⊂ R de modo que(a, b) ∩ G = ∅.

Assim, teremos que 0 /∈ (a, b) ,pois 0 = x + (−x) ∈ G e daı teremos que(a, b) ⊂ R+ ou (a, b) ⊂ R−, pois, do contrario, terıamos 0 ∈ (a, b) .

Primeiramente vamos supor (a, b) ⊂ R+.Assim, tome m ∈ G+ e m < b−a

2; isto e possıvel, pois inf G+ = 0 e b−a

2> 0.

Seja o conjunto A = {n ∈ N : nm ≥ b}. Pelo princıpio da boa ordenacao, A temum mınimo. Seja n0 + 1 o mınimo de A. Assim (n0 + 1) m ≥ b e n0m < b.

Temos ainda que n0m > a, pois, do contrario, terıamos

n0m ≤ a o que implica (n0 + 1)m ≤ a + m < a +b − a

2=

b + a

2< b,

ou seja, (n0 + 1)m < b e isto e um absurdo, pois temos (n0 + 1) ∈ A e, con-sequentemente, (n0 + 1) m ≥ b.

Assim, n0m ∈ (a, b) e, do fato de n0 ∈ N e m ∈ G+, temos que

n0m =n0∑i=1

m ∈ G+,

o que implica que (a, b) ∩ G = ∅, o que e absurdo.Consequentemente, teremos G denso em R.ii) Temos que a ∈ G+, pois se a /∈ G+ existiria, g1, g2 ∈ G+ com

0 < a < g1 < g2 < a +a

2,

pois a = inf G+.Assim, temos que g2 − g1 ∈ G pois G e grupo aditivo, e g2 − g1 > 0, pois

g1 < g2 e isto implica que g2 − g1 ∈ G+.

Veja agora que g2 − g1 < a pois, do contrario, terıamos

g2 − g1 ≥ a,

e

g2 ≥ a + g1 > a + a > a +a

2,

e, finalmente

g2 ≥ a

2,

o que e absurdo, pois g2 < a + a2

Logo a ∈ G+.Agora, seja b ∈ G. Tome m0 ∈ Z tal que m0a ≤ b < (m0 + 1) a.Assim, temos que b = m0a + r com 0 ≤ r < a. Suponha que r = 0; assim,

0 < r < a. Mas, do fato de b ∈ G e m0a ∈ G, temos que −m0a ∈ G o queimplica que r = b − m0a ∈ G+. Isto e um absurdo pois r < a = inf G+. Daı,teremos r = 0 e logo b = m0a

Vamos agora resolver o exercıcio.Seja a ∈ R − Q, entao o conjunto G = {n + am : n,m ∈ Z} e um subgrupo

aditivo contido em (R, +) , pois se (n1 + am1) , (n2 + am2) ∈ G, entao

(n1 + am1) + (n2 + am2) = (n1 + n2) + a (m1 + m2) ∈ G

e− (n1 + am1) = (−n1) + a (−m1) ∈ G.

Vamos mostrar agora que inf G+ = 0. Do fato, caso contrario, teriamosinf G+ = b > 0 e, pelo lema, temos que G = {bk : k ∈ Z} .

Como |a| > 0 e |a| ∈ G+ temos que |a| = bk1, onde k1 ∈ Z, e logo b ∈ R−Q.Temos tambem que 1 ∈ G+ e logo 1 = bk2, onde k2 ∈ Z, o que implica queb ∈ Q.

Assim, pelo lema e do fato de inf G+ = 0, temos que G e denso em R.

FAMAT em Revista




Eventos

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Comitê Editorial da Seção Eventos


Flaviano Bahia Paulinelli Vieira (coordenador da seção) Marcos Antônio da Câmara Márcio José Horta Dantas

Eventos a serem realizados em 2006

Evento: 8vo. SEM (8vo. Simposio de Educación Matemática) Data: 8 a 11 de maio de 2006 Local: Buenos Aires - Argentina. Site: http://www.edumat.org.ar/

Evento: HTEM III, encontro voltado a História e Tecnologia no Ensino da Matemática Data: 25/05 a 27/05 de 2006 Local: Campus Consolação – PUC-SP Site: http://www.pucsp.br/htem/

Evento: I Congresso Latino-Americano de Grupos de Lie em geometria

Data: 5 a 9 de junho de 2006

Local: UNICAMP

Site: http://www.ime.unicamp.br/~clagl/home.html

Evento: XIV Escola de Geometria Diferencial

Data: 17 a 21 de julho de 2006

Local: Universidade Federal da Bahia (UFBA)

Site: http://www.xivegd.ufba.br/welcome.htm

Evento: SIPEMAT - Simpósio Internacional de Pesquisa em Educação Matemática

Data: Julho de 2006

Local: UFPE – Campus de Educação

Site: http://www.ce.ufpe.br/sipemat/

Evento: XIX Escola de Álgebra

Data: 31/07 a 04/08 de 2006

Local: Universidade Federal de Diamantina

Site: http://watsi.mat.ufmg.br/~algebra/

Evento: XXIX Congresso Nacional de Matemática Aplicada a Computação

Data: 18 a 21 de Setembro de 2006

Local: UNICAMP – Campinas - SP

Site: http://www.sbmac.org.br/index.php?cnmac2006/principal.php

Evento: III Bienal do Sociedade Brasileira de Matemática

Data: 06 a 10 de novembro de 2006

Local: UFG - GO

Site: http://www.sbm.org.br/

Evento: XIV Simpósio Internacional de Iniciação Cientifica da USP

Data: Novembro de 2006

Local: USP - SP

Site: http://www.usp.br/siicusp/

Evento: III Jornada de Iniciação Científica do IMPA

Data: Novembro de 2006

Local: IMPA-RJ

Site: http://www.impa.br/

Evento: Workshop em Geometria Diferencial

Data: 06 a 08 de dezembro 2006

Local: UNICAMP - Campinas

Site: http://www.ime.unicamp.br/wgd60fm/

Evento: VI Semana da Matemática - UFU

Data: Dezembro de 2006

Local: UFU – Universidade Federal de Uberlândia - MG

Site: http://www.famat.ufu.br

Evento: III Semana Acadêmica - UFU

Local: UFU – Universidade Federal de Uberlândia - MG

Site: http://www.ufu.br/

FAMAT em Revista




www.famat.ufu.br

Reflexões Sobre o

Curso de Matemática

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Comitê Editorial da Seção Reflexões sobre o Curso de Matemática do Número 06 da FAMAT EM REVISTA:

Márcio José Horta Dantas (coordenador da seção) Marcos Antônio da Câmara

Valdair Bonfim

Reflexões sobre o Curso de Matemática

O Projeto Pedagógico do Curso de Matemática ficou pronto! E agora?

Como é do conhecimento de todos, a Universidade Federal de Uberlândia está em fase de mudança curricular. Na Faculdade de Matemática, em particular, a comissão responsável pela elaboração de uma proposta de Projeto Pedagógico terminou seus trabalhos em setembro de 2005. Esta comissão, eleita democraticamente pelo Conselho da Faculdade de Matemática, contou com representação discente durante todo o tempo de trabalho, bem como representação docente de cada uma das quatro grandes áreas existentes em nossa faculdade, a saber, Educação Matemática, Estatística, Matemática Pura e Matemática Aplicada. A composição heterogênea foi pensada no sentido de viabilizar um Projeto Pedagógico abrangente, que pudesse contemplar as aspirações dos alunos e também destes quatro grupos. Não é exagerado dizer que estas aspirações são mais do que legítimas, uma vez que estes personagens contribuem enormemente na formação de pesquisadores e professores da educação básica e de nível superior, bem como na oferta de oportunidades de educação continuada para os egressos de cursos superiores de Uberlândia e região, tais como os Cursos de Especialização em Matemática e Estatística, as Semanas de Matemática, a realização de eventos de repercussão nacional e internacional, como o 55º Seminário Brasileiro de Análise, a 49ª Reunião Anual da Sociedade Internacional de Biometria, as Reuniões da Sociedade Brasileira de Matemática (SBM) e da Sociedade Brasileira de Matemática Aplicada e Computacional (SBMAC), dentre outras atividades.

A referida comissão se pautou nas Diretrizes Curriculares Nacionais para os Cursos de Matemática, modalidades Licenciatura e Bacharelado, e também nas Resoluções internas da UFU, precisamente a Resolução 2/2004 do Conselho de Graduação, que dispõe sobre a Elaboração e/ou Reformulação dos Projetos Pedagógicos dos Cursos de Graduação, e a Resolução 3/2005 do Conselho Universitário, que aprovou o Projeto Institucional de Formação e Desenvolvimento do Profissional da Educação, a ser observada nos cursos de Licenciatura da UFU.

Conforme se pode ler na Resolução 2/2004 em seu Artigo 8º, “ a estrutura curricular de um curso é concretizada na forma adotada de organização dos seguintes componentes curriculares: I – Disciplinas; II – Trabalho de Conclusão do Curso; III – Atividades Acadêmicas Complementares; IV – Práticas Específicas; V – Estágio Supervisionado ”, e sendo assim é útil discorrer sobre cada um destes componentes, principalmente aqueles que são novidades na estrutura curricular recentemente aprovada no Conselho de Graduação.

Disciplinas são atividades acadêmicas organizadas em torno de uma ou mais áreas do conhecimento, e podem ser classificadas em obrigatórias, optativas e facultativas. A critério do Colegiado do Curso, as obrigatórias assim se caracterizam pelo fato de serem consideradas indispensáveis para a formação do profissional desejado, enquanto que as optativas pelo fato de serem consideradas

relevantes para a especialização do graduando em algum aspecto da sua formação profissional ou acadêmica. As disciplinas facultativas são aquelas que compõem o currículo de outros cursos, desta ou de outras instituições federais de ensino superior, e que contribuam também para complementar a formação profissional ou acadêmica.

Passemos às Práticas Específicas. No Curso de Licenciatura em Matemática da UFU elas assim se concretizam:

• no Projeto Integrado de Prática Educativa (abreviadamente PIPE);• nas Práticas Educativas; e • no Seminário de Prática Educativa

os quais começo a explicar. A prática, definida como componente curricular, deve ser tomada como um conjunto de atividades ligadas à formação profissional e voltadas para a compreensão de práticas educacionais distintas e de diferentes aspectos da cultura das instituições de educação básica. Ao Projeto Integrado de Prática Educativa serão destinadas 195 horas. Para a formatação deste projeto integrado a comissão que elaborou o Projeto Pedagógico levou em consideração várias coisas, como por exemplo

- as competências e habilidades a serem desenvolvidas em Matemática relativas aos Ensinos Fundamental e Médio expressas nos PCN e PCEM;

- a necessidade da existência de um espaço específico para análise crítica e reflexiva sobre a prática educativa e suas vinculações com o exercício da cidadania;

- a importância da vivência de situações–modelo agregadas à inserção de novos temas para o currículo de Matemática;

- a necessidade, segundo o entendimento deste atual Projeto Pedagógico, de uma plena articulação entre disciplinas de formação específica e pedagógica; e a partir destas considerações estabeleceu a divisão das ações a serem desenvolvidas no PIPE em quatro subprojetos denominados:

PIPE 1: “Contextualização Sócio-Cultural”; PIPE 2: “Novos Temas no Currículo do Ensino Básico”; PIPE 3: “Investigação e Compreensão”; PIPE 4 “Temas e Questões Educacionais Transversais”. A cada subprojeto será destinado uma carga horária específica, expressas

através de ações integradas ao longo de disciplinas do Curso de Matemática, do primeiro ao sexto período, em níveis presencial e em sua grande maioria não presencial, conforme a tabela a seguir:

CARGA HORÁRIA PIPE DISCIPLINAS AGREGADAS AO PIPE 4

PRESENCIAL

NÃOPRESEN

CIALTOTAL

PIPE 1 Introdução a Matemática (1º. Período – 45 h ) 45 0 45

PIPE 2

Informática e Ensino (2º. Período – 30 h ) Matemática Finita (3º. Período – 15 h ) Estatística e Probabilidade (4º.Período –15 h )

0 60 60

PIPE 3Geometria Espacial (3º. Período – 15 h ) Ensino de Matemática através de Problemas (6º. Período – 30 h )

0 45 45

PIPE 4Psicologia da Educação (5º. Período – 15 h ) Política e Gestão da Ed. (5º. Período – 15 h ) Didática Geral (6º. Período – 15 h )

0 45 45

TOTAIS 45 150 195

As atividades a serem desenvolvidas no PIPE 1 darão subsídios aos alunos ingressantes para que, ao final do quarto período, estes possam fazer uma opção consciente entre Licenciatura ou Bacharelado. Dentre estas atividades destacamos: Palestras direcionadas versando sobre: a estrutura curricular do Curso de

Matemática; as dimensões prática e pedagógica no contexto da estrutura curricular; a profissão e os atributos do Bacharel e/ou Licenciado em Matemática; os principais problemas do ensino de Matemática no Brasil; o educador e o pesquisador na sociedade atual; aspectos relevantes da História e Filosofia da Matemática; as correntes filosóficas atuais. Debates coletivos (mesa redonda) versando sobre: tendências pedagógicas e

político-ideológicas que influenciam a educação; qualidade na Educação: projetos individuais e coletivos / autonomia e valorização do professor. Visitas monitoradas a Escolas e Unidades de Ensino.

As atividades a serem desenvolvidas no PIPE 2 no contexto da disciplina Informática e Ensino são: promover debates / reflexões acerca das influências de aplicativos computacionais na dinâmica da aula de matemática; vivenciar a execução de projetos–modelos de planejamento de aulas em ambiente informatizado.

Os conteúdos a serem trabalhados na disciplina Matemática Finita trazem um enriquecimento aos conhecimentos básicos do Licenciado/Bacharel em Matemática, fundamentando as técnicas de contagem ou princípios básicos de modelagem discreta utilizadas em vários ramos da ciência ou mesmo do cotidiano. Sendo assim, as atividades desta disciplina que estarão vinculadas ao PIPE 2 consistirão de reflexões metodológicas acerca das influências destas técnicas ou princípios na dinâmica da aula de matemática.

Os objetivos do PIPE 2 no contexto da disciplina Estatística e Probabilidades são: possibilitar o desenvolvimento do processo de produção de saberes relativos à Educação Estatística; envolver os alunos em trabalhos coletivos ( mini-projetos ) nos quais se possa utilizar as novas tecnologias e os conteúdos aprendidos em aula; incentivar o discente da disciplina a aprimorar as habilidades usadas no processo de investigações estatísticas e a procurar conexões do conteúdo aprendido com geometria, aritmética e situações do cotidiano.

A parte do PIPE 3 a ser vivenciada na disciplina Geometria Espacialconsistirá em incentivar a construção de objetos geométricos tridimensionais utilizando material concreto para, além de facilitar o entendimento de conceitos e resultados da Geometria Espacial, estimular e aperfeiçoar a prática docente dos futuros professores desse conteúdo no ensino fundamental e médio. Os alunos serão incentivados a construírem e exporem objetos geométricos tridimensionais tais como poliedros, prismas, pirâmides, cilindros e cones utilizando material concreto como cartolinas, papelões, canudos de refrigerantes, madeiras, acrílicos, etc. Tal atividade, não presencial, terá por objetivo estimular a prática docente do futuro professor de geometria no ensino fundamental e médio, uma vez que tais atividades podem ser reproduzidas por seus futuros alunos. Além disso, a assimilação dos conceitos e resultados da geometria espacial torna-se mais fácil com a visualização de objetos tridimensionais no espaço, contribuindo para a melhoria do processo de aprendizagem.

Reconhecendo ainda a necessidade de capacitar o futuro professor para uma importante metodologia de ensino de matemática, a saber, o ensino através da resolução de problemas, as atividades a serem desenvolvidas no PIPE 3, no âmbito da disciplina O Ensino de Matemática Através de Problemas, são os seguintes: formular, discutir e resolver problemas variados de natureza matemática; investigar aplicações de heurísticas em várias disciplinas; desenvolver temas de natureza interdisciplinar, adequados aos diversos níveis de ensino; revelar o papel da Matemática no desenvolvimento das ciências ao longo da história através da análise de variadas situações-problema, enfocando exemplos na mecânica, na ótica, na astronomia, na biologia, nas ciências sociais, dentre outras.

O PIPE 4 – Temas e Questões Educacionais Transversais - será levado a termo mediante ações vivenciadas nas disciplinas Psicologia da Educação,Política e Gestão Educacional e Didática Geral.

No contexto da Psicologia da Educação os objetivos são promover reflexões sobre as contribuições da Psicologia para a aprendizagem e o ensino da Matemática, e também possibilitar o desenvolvimento de materiais e atividades psicopedagógicas para o mesmo fim.

Na Política e Gestão da Educação o objetivo do PIPE é situar o papel do futuro professor frente às políticas educacionais e a gestão e organização do trabalho no cotidiano escolar. Ao longo da disciplina Política e Gestão da Educação, e em articulação com outras disciplinas e componentes curriculares do período, o aluno desenvolverá um levantamento de dados sobre a compreensão dos professores da área frente às políticas educacionais na atualidade e sobre o papel do professor na organização do trabalho escolar na atualidade, especialmente no que se refere à construção da gestão democrática na escola. Estas atividades serão desenvolvidas em horário complementar ao turno em que o aluno cursa a carga horária teórica das demais disciplinas e componentes curriculares.

Na Didática Geral as ações do PIPE são no sentido de situar o papel e o trabalho do professor no cotidiano escolar, especialmente frente os processos de ensino-aprendizagem, bem como problematizar e investigar práticas docentes no processo ensino-aprendizagem desenvolvidas na área de formação no âmbito da Educação Básica.

Agora, complementando as exigências legais, este projeto pedagógico estabelece o desenvolvimento de novas atividades vinculadas à PráticaEducativa, perfazendo 210 horas, que associadas às ações do PIPE integralizam 405 horas de dimensão prática. Novamente destacamos a importância do desenvolvimento destas atividades ao longo do curso, articulando disciplinas de formação específica e pedagógica. Neste sentido, abaixo descrevemos as disciplinas que contribuirão na construção desta articulação, com o desenvolvimento de atividades presenciais e respectivas cargas horárias associadas.

PRÁTICA EDUCATIVA AO LONGO DAS DISCIPLINAS DISCIPLINAS CH TOTAL PERÍODO

Fundamentos de Matemática 2 15 Primeiro Geometria Euclidiana Plana e Desenho Geométrico

15 Segundo

Informática e Ensino 60 Segundo Ensino da Matemática Através de Problemas

60 Sexto

Oficina de Prática Pedagógica 60 Sétimo TOTAL 210

Outra prática específica é o Seminário de Prática Educativa (SPE).Trata-se de um componente curricular obrigatório na estrutura global do Curso de Licenciatura em Matemática – UFU. O mesmo constitui-se num ambiente de exposição de resultados, projetos de ensino desenvolvidos e materiais didáticos de apoio ao ensino que resultarem das ações executadas ao longo do PIPE. Além disso, caracteriza-se como uma atividade voltada para o desenvolvimento de uma ampla e criteriosa análise do estudo de casos modelos de planejamento e execução de planos de aula; de propostas governamentais para a área de educação; da troca de experiências entre graduandos do curso de matemática e educadores que atuam no ensino básico. Ainda, como um espaço institucional capaz de fomentar entendimentos quanto a uma possível estruturação de ações conjuntas, relacionadas a órgãos públicos responsáveis por políticas de extensão, direcionadas a execução de projetos educacionais integrando Universidade-Escola-Comunidade, configurando-se estes em espaços de capacitação aos educadores envolvidos e campo de vivência de situações concretas e diversificadas aos graduandos associados. Ao SPE/Matemática será destinada a carga horária de 20 horas, sendo esta integrada à carga horária total destinada ao Estágio Supervisionado. Este seminário poderá ser desenvolvido parcial ou integralmente agregado a uma atividade conjunta de igual natureza desenvolvida na UFU que integre demais cursos desta instituição, podendo, portanto ser desmembrado em até dois eventos/seminários, SPE 1 e SPE 2, cujas somas das cargas horárias individuais de cada um deles irá perfazer um total de 20 horas e os objetivos e diretrizes das atividades a serem desenvolvidas nestes estarão em conformidade com as expressas acima. Caberá ao Colegiado de Curso de Matemática estabelecer calendários, elaborar ações, instituir comissões organizadoras e definir critérios de acompanhamento e avaliações das atividades a serem desenvolvidas no SPE. Dado a dinâmica anterior adotada quanto ao processo organizacional do PIPE e o fato de que o PIPE culminará no SPE, segundo RESOLUÇÂO No 03/2005, do Conselho Universitário, somente os discentes que tenham integralizado o PIPE-Matemática poderão atuar na execução direta de atividades do SPE e, caso sejam considerados aptos, pleitear o registro curricular comprovando a aprovação neste componente curricular. Caso o Colegiado do Curso de Matemática adote uma dinâmica de desmembramento em dois eventos, SPE 1 e SPE 2, para adequações a uma atividade desta natureza unificada da UFU, poderão atuar na execução do SPE 1 discentes que tenham integralizados as ações relativas ao PIPE 1 e PIPE 2 acima descritas.

Outro componente curricular novo no Curso de Matemática da UFU é o Trabalho de Conclusão do Curso. O Trabalho de Conclusão de Curso(abreviadamente TCC), no contexto do Curso de Matemática, é definido como um tipo de atividade acadêmica orientada por docente da carreira do magistério superior da UFU, que desenvolve de modo sistemático um tema específico, não necessariamente inédito, de interesse da futura atividade profissional do aluno e vinculado a uma das seguintes áreas: Matemática Pura ou Aplicada, Estatística ou Educação Matemática. O TCC será registrado por escrito na forma de um relatório técnico conclusivo ou de uma monografia, conforme a natureza da atividade a ser desenvolvida, de no mínimo doze (12) páginas que deverá expressar domínio do assunto abordado, capacidade de reflexão crítica e rigor técnico–científico. Terá por objetivos estimular a capacidade investigativa e produtiva do graduando e contribuir para a sua formação básica, profissional, científica, artística e sócio-política. O TCC poderá ser desenvolvido como uma atividade integrada a um projeto de iniciação científica, de extensão ou de ensino sob a orientação de um docente. As ações desenvolvidas no contexto da Prática Educativa poderão ser norteadoras dos temas abordados e, neste caso, o trabalho será a sistematização dos conhecimentos elaborados a partir dos estudos, reflexões e práticas propiciadas pelas formações especifica e pedagógica.

Na estrutura curricular do Curso de Matemática, o TCC será desenvolvido por meio de duas disciplinas fortemente articuladas e intituladas, Trabalho de Conclusão de Curso 1 (TCC-1) e Trabalho de Conclusão de Curso 2 (TCC-2),ambas com a mesma carga horária, desenvolvidas em semestres sucessivos e estruturadas de forma que os discentes, em um primeiro momento, tenham contato direto com os professores orientadores, conheçam algumas de suas propostas de projetos a serem desenvolvidos no TCC, bem como suas áreas especificas de interesse e atuação, optem por uma delas e estruturem, sob orientação, um projeto de trabalho. Posteriormente, tenham tempo hábil para realizar leituras e estudos não presenciais e possam efetivamente executar e concluir o projeto originalmente estruturado no TCC-1 ao longo da disciplina TCC-2. O aluno deverá fazer uma apresentação oral pública de seu trabalho conclusivo à banca examinadora, que atribuirá uma nota final ao trabalho apresentado.

As Atividades Acadêmicas Complementares, definidas na UFU como atividades de enriquecimento curricular, são obrigatórias na estrutura curricular do Curso de Matemática e referem-se àquelas de natureza acadêmica, culturais, artísticas, científicas ou tecnológicas que possibilitam a complementação da formação profissional do estudante, tanto no âmbito do conhecimento de diferentes áreas do saber, como no âmbito de sua preparação ética, política e humanística. Elas permitem que o aluno construa uma trajetória própria na sua formação, de acordo com suas expectativas e interesses, e também de acordo com as exigências da sociedade e do mercado de trabalho, mas não somente subordinada a estes. Estas atividades acadêmicas complementares são pensadas no sentido de imprimir dinamicidade e diversidade ao currículo do curso de Matemática da UFU. Estas serão escolhidas e executadas pelo licenciando, de forma a perfazer um total mínimo de 200 horas, correspondente a exigência mínima legal para efeito da integralização curricular do Curso de Licenciatura em Matemática. No Bacharelado a exigência mínima é de 120 horas. A escolha e execução das atividades supracitadas serão balizadas por onze eixos orientadores de ações, a saber:

A ) Participação em projetos e ou atividades especiais de ensino: O futuro profissional da educação deve compreender de forma ampla e

consistente os processos educativos, considerando as características das diferentes realidades e níveis de especialidades em que se processam. Deve questionar, portanto a realidade formulando problemas e tratando de resolvê-los, utilizando para isso o pensamento lógico, a criatividade, a intuição, a capacidade de análise crítica, selecionando procedimentos e verificando sua adequação. Dessa forma, é fortemente recomendada a participação dos alunos do Curso de Matemática em projetos e ou atividades especiais de ensino. Neste contexto, como exemplos de projetos e ou atividades desta natureza citamos: o PIBEG – Programa Institucional de Bolsas para o Ensino de Graduação – UFU; as atividades de Estágio não obrigatório e o PET.

B ) Participação em projetos e ou atividades de pesquisa: O artigo 43 da LDB trata dos objetivos da educação superior, dentre estes

destaca-se “ incentivar o trabalho de pesquisa e investigação científica , visando o desenvolvimento da ciência, da tecnologia e da criação e difusão da cultura ”.Neste sentido, é salutar que o estudante do Curso de Matemática seja estimulado, orientado e se dedique, desde o início de seu curso, para ter bom rendimento acadêmico e com isto possa almejar a uma bolsa de iniciação científica. Vários são os órgãos de fomento à pesquisa, tais como o CNPq (Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico); a FAPEMIG (Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de Minas Gerais) e o Instituto Milênio – AGIMB (Avanço Global e Integrado da Matemática Brasileira), os quais tem concedido bolsas de Iniciação Científica aos nossos alunos de graduação. Naturalmente, com a crescente demanda de bolsas de iniciação científica, aliado à triste realidade de os órgãos de fomento nem sempre atenderem essa demanda, recomenda-se que aqueles projetos de iniciação científica não contemplados com bolsa e que apresentem mérito científico, sejam desenvolvidos no âmbito do PROMAT – Programa Institucional de Iniciação Científica, em conformidade com as disponibilidades de professores orientadores na Faculdade de Matemática. A participação em projetos e atividades de pesquisa durante a graduação desenvolve no aluno atitudes investigativas e instigadoras, e insere-o, de modo crítico, ao modus operandi do fazer-ciência.

C ) Participação em projetos e ou atividades de extensão: Segundo a LDB, “as atividades de extensão, aberta à participação da

população, visa à difusão das conquistas e benefícios resultantes da criação cultural e da pesquisa científica e tecnológica geradas na instituição”. Desta forma, a execução das mesmas devem ser fortemente estimuladas. No âmbito da FAMAT, citamos como exemplo de atividades desta natureza as Olimpíadas Brasileiras de Matemática que envolve o treinamento de alunos do ensino básico. Além disso, considerando que as “empresas juniores” constituem um excelente laboratório para o graduando complementar sua formação profissional, recomenda-se a participação dos graduandos na estruturação, gerenciamento e execução de atividades de extensão vinculadas a tais empresas.

D ) Participação em eventos científico-culturais e artísticos;

Inúmeros e diversificados eventos científico-culturais e artísticos são realizados por todo o Brasil ou no exterior. No sentido de ampliar a vivência acadêmica e qualificação profissional, recomenda-se a participação de nossos discentes em tais eventos. Citamos, como exemplo de eventos desta natureza realizados na UFU ou próximo dela, os que seguem: Semana de Matemática, promovida anualmente pela FAMAT; Semana Acadêmica da UFU; Simpósio Internacional de Iniciação Científica da USP; Simpósios de Iniciação Científica.

E ) Participação em grupos de estudos temáticos sob orientação docente;A formação de grupos de estudos temáticos sob orientação docente

favorece, dentre outras coisas, a interdisciplinaridade, a pesquisa de novas metodologias de ensino e o desenvolvimento de pesquisa científica em ambiente coletivo, contribuindo desta forma para o enfrentamento de problemas que surgem no processo de ensino e aprendizagem.

F ) Visitas orientadas a centros educacionais / empresariais em área específica;

Com o intuito de possibilitar ao aluno a vivência de novos ambientes de ensino, a troca de experiências acadêmicas – cientificas - culturais e a ampliação das suas possibilidades de articular parcerias científicas ou ainda planejar a continuidade de seus estudos, é fundamental a participação do mesmo em visitas orientadas a:

Centros de Educação Especial (como por exemplo, o ICBC – Instituto de Cegos do Brasil Central / Uberaba, onde são desenvolvidas atividades de orientação aos profissionais da educação básica no sentido de buscar soluções para os problemas de aprendizagem que por ventura estejam ligados à baixa visão); Centros Acadêmicos e ou de Pesquisa ( sendo estes de excelência reconhecida e de diversificadas áreas, onde o graduando tenha oportunidade de vivenciar in loco as atividades desenvolvidas, as preocupações atuais dentro de cada área, a utilização de ferramental matemático na resolução de problemas práticos, as novas tendências e metodologias utilizadas e as dificuldades locais enfrentadas pelos educadores / pesquisadores. Como exemplo podemos citar os seguintes centros: IMPA–Instituto de Matemática Pura e Aplicada – Rio de Janeiro, RJ; LNCC-Laboratório Nacional de Computação Científica – Petrópolis, RJ; Instituto de Matemática e Estatística – UNICAMP- Campinas, SP; Unesp – Rio Claro,SP: USP - São Carlos, SP; UnB – Universidade de Brasília- Brasília, DF ou UFMG – Universidade Federal de Minas Gerais, Belo Horizonte, MG)

Empresas, sendo estas públicas ou privadas, que tenham atividades que favoreceram uma visão interdisciplinar, associadas à utilização de ferramentas matemáticas, sejam elas técnicas estatísticas no controle da qualidade, no planejamento da produção e na tomada de decisões ou quaisquer outras técnicas relacionadas a pesquisa operacional, modelagem, etc.

G ) Exercício de monitoria; Partindo do pressuposto de que “muito se aprende ensinando”, a atividade

de monitoria, remunerada ou não, também é considerada como atividade acadêmica complementar por excelência, e sempre deverá ser incentivada.

H ) Representação Estudantil. A participação oficial do aluno em atividades do Diretório Acadêmico do

Curso de Matemática ou do Diretório Central dos Estudantes, como também na representação discente no âmbito do Colegiado de Curso ou Conselho da FAMAT contribui fortemente para a formação de sua mentalidade ética e política, sendo assim deve ser reconhecida em nível curricular. Vale destacar ainda que, ao mesmo tempo em que representa os alunos frente às Instituições de Ensino Superior, colocando-os a par dos vários problemas enfrentados por estas e das formas de enfrentamento dos mesmos, o aluno contribui para a construção de uma gestão educacional inclusiva.

I ) Disciplinas Facultativas; Poderão ser cursadas disciplinas em diversificados cursos da UFU, desde

que a matrícula nas mesmas seja autorizada pelo Colegiado do Curso de Matemática e que estas estejam em conformidade com as normas acadêmicas da UFU.

J ) Atividades Acadêmicas a Distância; Visando democratizar e elevar o padrão de qualidade da educação

brasileira, o Ministério da Educação - MEC, através da Secretaria de Educação à Distância - SEED, atualmente fomenta a incorporação de “tecnologias de informação e comunicação” e de técnicas e ações relacionadas com a “educação a distância”, aos cursos de formação de profissionais da educação. Dentre os vários programas e projetos atuais que a SEED promove e que poderão se configurar como atividade acadêmica complementar para os alunos do Curso de Matemática, destacamos os seguintes: o PAPED; o WEB EDUC; o PRÓ-INFO; o Salto Para o Futuro e o RIVED.

K ) Participação em concursos; O governo federal ou sociedades relacionadas ao mesmo instituíram

vários concursos com o objetivo de estimular a pesquisa, revelar talentos e investir em estudantes e profissionais que procurem novas alternativas para o enfrentamento de problemas educacionais brasileiros. Dentre eles citamos as Olimpíadas Universitárias de Matemática e o Prêmio Jovem Cientista. Assim, toda e qualquer participação de nossos discentes em atividades desta natureza que seja correlacionada com a área de matemática ou venha a utilizar-se de ferramentas desta serão reconhecidas como atividades complementares.

Finalmente, para que o aluno do Curso de Matemática possa optar por um conjunto de atividades complementares sem o perigo de uma “especialização precoce”, serão impostas limitações, quanto à carga horária, em cada um dos onze grupos de atividades acima descritos. Entendemos que esta postura garantirá escolhas bem diversificadas dando ao aluno a oportunidade de vivenciar múltiplas experiências acadêmicas e profissionais. A tabela abaixo expressa detalhadamente as limitações supracitadas.

ATIVIDADE ACADÊMICA COMPLEMENTAR LIMITAÇÃOA. Participação em Projetos Especiais de Ensino Máximo: 60 horas B. Participação em Projetos e ou Atividades de Pesquisa Máximo: 120 horas C. Participação em Projetos de Extensão Máximo: 60 horas. D. Participação em Eventos Científico-Culturais e Artísticos Máximo: 100 horas E. Participação em Grupos de Estudo Temáticos sob orientação docente

Máximo: 60 horas

F. Visitas Orientadas Máximo: 20 horas G. Monitoria Máximo: 60 horas H. Representação Estudantil Máximo: 20 horas I. Disciplinas Facultativas Máximo: 100 horas J. Atividades Acadêmicas à Distância Máximo: 60 horas K. Participação em Concursos Máximo: 30 horas Observação: O aluno da Licenciatura deverá desenvolver, no mínimo, uma carga horária total para essa componente curricular de 200 horas. O bacharelando, no mínimo, 120 horas.

Finalmente, passemos ao Estágio Supervisionado. O Estágio Supervisionado terá caráter curricular, constituindo um componente obrigatório no Curso de Licenciatura em Matemática. Realizar-se-á em campos internos e ou externos a UFU, que apresentem possibilidades de atuação articuladas ao eixo de formação profissional do estudante, com atividades relacionadas à sua formação acadêmica. Este componente curricular será desenvolvido via o Seminário de Prática Educativa (SPE) e em 04 disciplinas denominadas Estágios Supervisionados I, II, III e IV, cada qual com uma específica carga horária destinada e discriminada em ação presencial de supervisão e atuação de campo/estágio. A primeira novidade neste ponto é o aumento da carga horária do Estágio Supervisionado, em atendimento à legislação específica dos cursos de formação de professores. A carga horária total destas disciplinas quando integradas à carga horária do Seminário de Prática Educativa irá perfazer um total de 410 horas, conforme mostra a tabela abaixo.

ESTÁGIO SUPERVISIONADO CHSUPERVISÃO

CHCAMPO

CHTOTAL

Estágio Supervisionado 1 30 75 105 Estágio Supervisionado 2 15 60 75 Estágio Supervisionado 3 30 90 120 Estágio Supervisionado 4 15 75 90 Seminário de Prática Educativa

0 20 20

TOTAIS 90 320 410

Outra novidade é a exigência do estabelecimento de convênios entre a UFU e as unidades concedentes de estágio, sejam elas escolas públicas ou particulares. Foi criado na UFU o Núcleo de Estágios, o qual se responsabilizará, dentre outras coisas, com as questões dos convênios e o pagamento de seguro. Outra figura nova dentro de cada curso é a do Coordenador de Estágios, que auxiliará o coordenador de curso nas questões relacionadas com este componente curricular. Em nosso curso a atual Coordenadora de Estágios é a Profª Maria Teresa Meneses de Freitas, recém chegada de seu doutoramento na Faculdade de Educação da Unicamp, e altamente qualificada para desenvolver um trabalho

sério nesta coordenação. No Projeto Pedagógico do Curso de Matemática estão detalhadas as atribuições dos alunos com relação ao estágio supervisionado. Neste sentido, é de extrema importância a leitura detalhada dessas atribuições para que o aluno não fique prejudicado por não conhecê-las.

Tendo descrito sobre cada componente da nova estrutura curricular, conclamo a todos, alunos e professores, ao trabalho árduo. Do contrário, tudo o que foi idealizado no Projeto Pedagógico não passará de um conjunto de boas intenções. Já disse em outra ocasião nesta revista que os bons frutos são conseguidos com trabalho intenso. No andar da carruagem é provável que descubramos problemas. Deveremos então refletir e debater sobre os mesmos, propor soluções e, no momento oportuno de avaliação do Projeto Pedagógico, colocá-las em prática.

Aos alunos eu recomendo fortemente que leiam o Projeto Pedagógico, naíntegra. Importantes informações são fornecidas nas Regras de Transição, dando respostas às seguintes questões: Quem terminará o Curso de Matemática na estrutura antiga?; Quem migrará para a nova estrutura?; Quais são as equivalências de disciplinas do currículo antigo e do novo?, dentre outras.

Algumas reuniões de apresentação do Projeto Pedagógico já foram realizadas na FAMAT, e várias outras serão levadas a termo, tantas vezes quantas forem necessárias, a fim de dirimir eventuais dúvidas dos alunos e até mesmo de alguns colegas professores, quando for o caso.

A todos que contribuíram para a elaboração do Projeto Pedagógico, Prof. Dr. Walter Dos Santos Motta Jr, Prof. Dr. Luis Antônio Benedetti, coordenadores que me antecederam, aos demais docentes e também os dicentes, recebam meus sinceros agradecimentos. Se às vezes as discussões foram acaloradas é porque os envolvidos tinham noções distintas do que seria um projeto de qualidade. O importante é que tudo convergiu para o bem, e prova disso é que, em todas as instâncias, nosso Projeto não recebeu sequer um voto contrário. Foi aprovado por unanimidade no Colegiado de Curso, foi aprovado por unanimidade no Conselho da Faculdade, e por fim foi aprovado no Conselho de Graduação com 19 votos favoráveis, 5 abstenções, e nenhum voto contrário. Ao Prof. Dr. Jocelino Sato meu agradecimento é especial, pois foi o único que participou ininterruptamente de todo o processo, inclusive intervindo nas reuniões do Congrad para defender nossa proposta, juntamente com a Profª Dra Sezimária de Fátima Pereira Saramago, Diretora da Faculdade de Matemática.

Para terminar deixo registrado a fala de dois alunos de uma universidade paulista que também promoveu melhorias em seus cursos de graduação mediante ações parecidas com as que vamos tomar a partir da execução do Projeto Pedagógico. São frases ditas em contextos específicos, mas que valem a pena serem reproduzidas, pois nos enchem de esperança:

“ Realmente, o futuro pertence àqueles que acreditam na beleza dos seus sonhos. O sonho está se tornando realidade. Uma realidade nova para os estudantes da ex matéria-problema Cálculo. Esta semente que em nós foi plantada foi de muita importância”,colhido do discente Ricardo Capitano.

De Sérgio Bernardo, aluno que ajudou numa das mostras de trabalhos realizados na aludida universidade, colheu-se o seguinte depoimento:

“ Na terça-feira, durante todo o dia, eu vi um monte de sementes. Um monte mesmo. Cada um deles (isto é, dos alunos que apresentaram trabalho) me arrepiou ao final da apresentação quando diziam o que havia mudado em suas

vidas com o projeto, com a atenção dada a eles no primeiro ano da universidade ... Eles são sementes, as nossas sementes. Vamos torcer para que germinem”.

FAMAT em Revista




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Em Sala de Aula

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Comitê Editorial da Seção Em Sala de Aula


Márcio José Horta Dantas (coordenador da seção) Marcos Antônio da Câmara

Jogo no ensino de matemática: uma visão de futuros professores

Fabiana Fiorezi de Marco1

RESUMO

Neste artigo discutimos os resultados de uma pesquisa realizada com alunos do curso

de Licenciatura em Matemática da Universidade Federal de Uberlândia em que interpretamos

as concepções dos alunos sobre a utilização de jogos no ensino de Matemática após algumas

discussões teóricas e práticas. Procurávamos compreender: Quais as idéias/concepções que

futuros professores de Matemática manifestam após vivenciar situações de intervenção na

utilização de jogos no processo de ensino e aprendizagem de Matemática? Nosso objetivo

consistiu em propiciar um novo olhar aos alunos de graduação para a utilização de jogos

matemáticos para o Ensino Fundamental e Médio e discutir possíveis intervenções

pedagógicas. Os dados foram coletados a partir dos portifólios2 da formação matemática,

elaborados no segundo semestre de 2005, na disciplina de Oficina de Prática Pedagógica II,

por doze alunos. Fizemos um estudo interpretativo de extratos dos portifólios concernentes às

reflexões sobre suas concepções segundo as categorias: a importância de vivenciar as etapas

do processo de intervenção pedagógica no trabalho com jogo; o papel do professor no

trabalho com jogo; novas percepções sobre o trabalho pedagógico com jogos. A análise dos

portifólios revela que as pré-concepções, dos futuros professores, sobre a utilização de jogos

no ensino de matemática é que estes podem ajudar o aluno a desenvolver o raciocínio lógico.

Os resultados chamam a atenção para a necessidade da existência de discussões teóricas e

práticas sobre o assunto nos cursos de Licenciatura para que futuros professores entendam que

não é o jogo que ensina Matemática, mas as intervenções pedagógicas intencionalmente

planejadas e mediadas pelo professor no momento de jogo que poderão contribuir para a

melhoria do processo de ensinar e aprender Matemática.

Palavras-chave: Jogo no ensino de matemática, intervenções pedagógicas.

1 Professora da Faculdade de Matemática/UFU, doutoranda do Programa de Pós-Graduação da Faculdade de Educação da Unicamp, área: Educação Matemática. 2 Portifólio, segundo os portugueses, é uma pasta para guardar escritos, desenhos, fotos, músicas. No nosso caso, os portifólios guardavam reflexões escritas produzidas pelos alunos durante o processo de formação pedagógica.

Introdução

... a melhor maneira de se ensinar Matemática é mergulhar as crianças num ambiente onde o desafio matemático esteja naturalmente presente.

Ubiratan D’Ambrósio

Uma boa forma de estudar a Matemática, por muitos considerada uma disciplina

sisuda e abstrata devido à maneira com que foi apresentada ao longo dos séculos, é por meio

da exploração de conceitos de maneira lúdica, de forma que o prazer, a criatividade e a

satisfação pessoal estejam presentes no processo de resolução de problemas.

Pode-se garantir esta satisfação mediante a utilização de jogos no ensino de

Matemática, não no sentido do prazer do novo, de consumir jogos, mas pelo prazer de ser

ativo, pensante, questionador e reflexivo no processo de aprender. Como Corbalán (1994)

citando Alsina, menciona:

Ensinar e aprender Matemática pode e deve ser uma experiência feliz. Curiosamente quase nunca se cita a felicidade dentro dos objetivos educativos, mas é bastante evidente que só poderemos falar de um trabalho docente bem feito quando todos alcançarmos um grau de felicidade satisfatório (p.14)3

Frente a tal afirmação, acreditamos que o ensino de Matemática pode ser realizado

dentro de um ambiente divertido e sério, no qual a criação passa a ser um componente de

esforço e auto-desafio, possibilitando a construção e reelaboração do conhecimento.

O jogo no ensino de matemática

A palavra jogo, do latim joco, significa, etimologicamente, gracejo e zombaria, sendo

empregada no lugar de ludus, que representa brinquedo, jogo, divertimento e passatempo

(GRANDO, 1995).

Independentemente das várias concepções existentes, a palavra jogo, muitas vezes,

denota sentimento de alegria e prazer e trata-se de uma atividade que, possivelmente permite

uma ponte para algum conhecimento. É uma atividade autônoma característica da infância, na

medida em que expressa a maneira como a criança vê o mundo (meio físico e cultural) e

busca compreendê-lo.

3 Traduzido da língua espanhola pela autora.

No contexto de ensino e aprendizagem, o objetivo do professor no trabalho com jogos

atenta para valorizar seu papel pedagógico, ou seja, o desencadeamento de um trabalho de

exploração e/ou aplicação de conceitos matemáticos. Além disso, a elaboração de estratégias

de resolução de problemas pelos alunos, com a mediação do professor, merece ser

considerada. É necessário que o professor questione o aluno sobre suas jogadas e estratégias

para que o jogar se torne um ambiente de aprendizagem e (re)criação conceitual e não apenas

de reprodução mecânica do conceito, como ocorre na resolução de uma lista de exercícios

denominados problemas.

Uma vez que o professor planeja a exploração do jogo, este deixa de ser

desinteressado para o aluno, porque visa à elaboração de processos de análise de

possibilidades e tomada de decisão: habilidades necessárias para o trabalho com resolução de

problemas, tanto no âmbito escolar como no contexto social no qual estamos inseridos. Para

essa elaboração, o aluno é “forçado” a criar processos pessoais para que possa jogar e resolver

os problemas que inesperadamente irão surgir, elaborando assim novos pensamentos e

conhecimentos, deixando de seguir sempre a mesma “receita”.

Ao se propor a análise do jogo pelo aluno, este é levado a refletir sobre as estratégias

(intuitivas ou lógicas) que utilizou durante as jogadas e a avaliá-las, influenciando na

melhoria da habilidade de resolução de problemas. Tal reflexão ocorre sem que o aluno tenha

consciência, pois analisar os processos de pensamento seguidos é exigência do próprio jogo, o

que o leva a detectar as jogadas erradas realizadas, compreender as variáveis envolvidas na

ação e buscar alternativas para solucioná-las a tempo de ganhar a partida e produzir

conhecimento.

Nessa perspectiva, a análise do erro e do acerto pelo aluno se dá de maneira dinâmica

e efetiva, proporcionando a reflexão e a (re)criação de conceitos matemáticos que estão sendo

discutidos; o professor tem condições de analisar e compreender o desenvolvimento do

raciocínio do aluno e de dinamizar a relação ensino e aprendizagem, por meio de

questionamentos sobre as jogadas realizadas pelos jogadores.

Um outro aspecto que é próprio da natureza do jogo é o seu caráter social que

possibilita à criança expor suas idéias e analisar pontos de vista dos outros colegas, refletir

sobre as jogadas realizadas pelo grupo e as do adversário e tomar decisões sobre qual melhor

jogada deve realizar, podendo entender a opinião de um colega pode ser melhor que a própria

ou que juntos podem encontrar soluções mais interessantes. Esse fato contribui para que o

aluno compreenda que, em seu futuro profissional, a interação e troca de idéias serão

relevantes para poder bem desempenhar seu papel na sociedade.

Ressaltamos que o trabalho com jogos deve ser desencadeador, mediador, aplicador-

fixador (MOURA, 1992) do trabalho de exploração de conceitos ou um revelador do

conhecimento matemático formal e do pensamento teórico que os alunos constroem ao longo

dos anos escolares. Essa consideração é feita uma vez que, no jogo em si, não está envolvida a

idéia de desenvolvimento conceitual. Isso ocorre porque, muitas vezes, o jogo não abrange a

construção do conceito em sua completude, uma vez que o desenvolvimento do conceito tem

a operacionalidade da linguagem que é própria da linguagem formal matemática. Essa é uma

linguagem especializada frente à linguagem natural do aluno de ensino fundamental ou

médio. Seguramente, ele auxilia sim na operacionalidade do conceito, servindo como auxiliar

didático para se chegar à formalização daquele.

No Brasil, os Parâmetros Curriculares Nacionais de Matemática (PCN´s, 1998), do

Ministério de Educação e Cultura (MEC), em relação à inserção de jogos no ensino de

Matemática, pontuam que estes

constituem uma forma interessante de propor problemas, pois permitem que estes sejam apresentados de modo atrativo e favorecem a criatividade na elaboração de estratégias de resolução de problemas e busca de soluções. Propiciam a simulação de situações-problema que exigem soluções vivas e imediatas, o que estimula o planejamento das ações [...] (p. 46).

Apesar de os PCN´s orientarem para a utilização de jogos no ensino de Matemática,

não orientam em relação a como deve ser encaminhado o trabalho pedagógico após “o jogo

pelo jogo”. Fica a sensação de que o jogo por si mesmo estará trabalhando análises,

desencadeamentos ou formalizações de conceitos matemáticos.

Os jogos têm suas vantagens no ensino da Matemática desde que o professor tenha

objetivos claros do que pretende atingir com a atividade proposta. Não concordamos com o

fato de que o jogo, propiciando simulação de problemas, exija soluções imediatas, como

defendem os PCN´s. Entendemos que as situações vivenciadas durante a partida levam o

jogador a planejar as próximas jogadas para que tenha um melhor aproveitamento. No

entanto, esse fato só ocorrerá se houver intervenções pedagógicas por parte do professor.

Com estas considerações delineadas, acreditamos que, ao propor um jogo a seus

alunos, o professor deve estabelecer e deixar muito claro seus objetivos para o jogo escolhido,

bem como verificar a adequação da metodologia que deseja utilizar à faixa etária com que

trabalha, e que este jogo represente uma atividade desafiadora aos alunos para que o processo

de aprendizagem seja desencadeado. Em outras palavras, o professor deve tê-lo jogado

anteriormente para que conheça o jogo selecionado, o que permitirá realizar intervenções

pedagógicas adequadas no momento da aplicação em sala de aula.

Intervenções pedagógicas

As intervenções pedagógicas com jogos nas aulas de Matemática podem ser

realizadas, segundo Grando (2000) em sete momentos distintos: familiarização com o

material do jogo, reconhecimento das regras, jogar para garantir regras, intervenção

pedagógica verbal, registro do jogo, intervenção escrita e jogar com competência.

No momento de familiarização com o material do jogo, os alunos entram em contato

com o material, construindo-o ou experimentando-o mediante simulações de possíveis

jogadas. É comum o estabelecimento de analogias com os jogos já conhecidos por eles. O

reconhecimento das regras do jogo pelos alunos pode ocorrer mediante a explicação do

professor, a leitura pelos alunos ou pela identificação a partir de várias jogadas entre o

professor e um dos alunos, que aprendeu anteriormente o jogo. Os outros alunos tentam

perceber as regularidades nas jogadas e identificar as regras.

O jogar para garantir regras é o momento do “jogo pelo jogo”, momento do jogo

espontâneo e de exploração de noções matemáticas contidas no jogo. Concomitantemente a

este momento, o professor pode intervir verbalmente nas jogadas por meio de

questionamentos e observações, a fim de provocar os alunos para analisar suas jogadas. Trata-

se de atentar para os procedimentos de resolução de problema de jogo dos alunos,

relacionando-os à formalização matemática.

O registro do jogo pode acontecer dependendo de sua natureza e dos objetivos que se

têm com o registro. O registro dos pontos ou dos procedimentos realizados ou dos cálculos

utilizados pode ser considerado uma forma de sistematização e formalização por meio de uma

linguagem própria: a linguagem matemática. É importante que o professor crie intervenções

que gerem a necessidade do registro escrito do jogo, havendo um sentido para este registro e

não mera exigência.

No momento de intervenção escrita, o professor e/ou os alunos elaboram situações-

problema sobre o jogo para que os próprios alunos resolvam. A resolução dos problemas de

jogo propicia uma análise mais específica sobre o mesmo, na qual os problemas abordam

diferentes aspectos que podem não ter ocorrido durante as partidas. O registro do jogo

também se faz presente nesse momento.

Como último momento do trabalho pedagógico com jogos, o jogar com competência,

é o retorno à situação real de jogo. É importante que o aluno retorne à ação do jogo para que

execute estratégias definidas e analisadas durante a resolução dos problemas.

Nosso estudo...

Quais as idéias/concepções que futuros professores de Matemática manifestam em

após vivenciar situações de intervenção na utilização de jogos no processo de ensino e

aprendizagem de Matemática? Tendo esta pergunta como norteadora, no segundo semestre de

2005, ministramos a disciplina Oficina de Prática Pedagógica II para o Curso de Licenciatura

em Matemática da Universidade Federal de Uberlândia4 e fizemos um estudo interpretativo

dos portifólios de formação matemática elaborados por doze alunos do curso. A maioria deles

não havia tido experiência com a docência, a não ser por meio da participação nos estágios

realizados nas disciplinas Prática de Ensino de Matemática I e II. Procuramos, com este

trabalho, propiciar um novo olhar aos alunos de graduação para a utilização de jogos

matemáticos para o Ensino Fundamental e Médio e discutir possíveis intervenções

pedagógicas.

Entre os jogos por nós utilizados estão Torre de Hanói e Contig 60®5. O primeiro jogo

tem como objetivo educacional levar o aluno a observar regularidades e a elaborar a estratégia

que envolve a construção de fórmulas algébricas. O segundo, escolhido para nossa análise,

tem como objetivo educacional, a utilização do cálculo mental com as 4 operações, criação de

estratégias de análise de possibilidades e de antecipação de jogadas e a análise combinatória.

O jogo Contig 60® é composto por um tabuleiro (figura 1), 25 fichas de uma cor e 25

de cor diferente, 3 dados.

0 1 2 3 4 5 6 7 27 28 29 30 31 32 33 8 26 54 55 60 64 66 34 9 25 50 120 125 144 72 35 10 24 48 108 180 150 75 36 11 23 45 100 96 90 80 37 12 22 44 42 41 40 39 38 13 21 20 19 18 17 16 15 14

Fig. 1 - Tabuleiro do CONTIG 60®

Para ganhar o jogo o jogador deve ter o número de pontos necessários, definidos

inicialmente (30 ou 40 pontos). Uma outra forma de vencer é ser o primeiro a identificar

4 Na instituição também é oferecido o curso Bacharel em Matemática. 5 Jogo criado por Dr. John C. Del Regato – Copyright 1980, 1986; by Pentathlon Institute, Inc. GRANDO, R. C. O jogo e a matemática no contexto da sala de aula. São Paulo: Papirus, 2004.

cinco fichas de mesma cor em linha reta (diagonal, vertical ou horizontal). Para tanto, o

jogador deve seguir as seguintes regras:

1. Adversários jogam alternadamente. Cada jogador joga os três dados. Constrói uma sentença

numérica usando os números indicados pelos dados e uma ou duas operações diferentes. Por

exemplo, com os números 2, 3 e 4 o jogador poderá construir (2 + 3) x 4 = 20. O jogador,

neste caso, cobriria o espaço marcado 20 com uma ficha de sua cor. Só é permitido utilizar as

quatro operações básicas.

2. Contagem de pontos: Um ponto é ganho por colocar uma ficha num espaço desocupado

que seja adjacente a um espaço com uma ficha (horizontalmente, verticalmente ou

diagonalmente). O jogador marca um ponto. Colocando-se um marcador num espaço

adjacente a mais de um espaço ocupado mais pontos poderão ser obtidos. A cor das fichas nos

espaços ocupados não faz diferença. Os pontos obtidos numa jogada são somados para o

jogador.

3. Se um jogador passar sua jogada, por acreditar que não é possível fazer uma sentença

numérica com aqueles valores dos dados, o adversário terá uma opção a tomar. Se o

adversário achar que seria possível fazer uma sentença com os dados jogados pelo colega, ele

pode fazer antes de fazer sua própria jogada. Ele ganhará, neste caso, O DOBRO DO

NÚMERO DE PONTOS, e em seguida poderá fazer sua própria jogada.

4. O jogo termina quando o jogador conseguir atingir o número de pontos definidos no início

do jogo ou colocar 5 fichas de mesma cor em linha reta sem nenhuma ficha do adversário

intervindo. Essa linha poderá ser horizontal, vertical ou diagonal.

Nos momentos de exploração e vivência do jogo íamos lançando questões como “Qual

seria o melhor cálculo para você conseguir muitos pontos neste momento?”, “Será que agora a

melhor opção é fazer maior número de pontos ou bloquear futura jogada de seu adversário?”.

Estas e outras questões levavam os alunos a pensar melhor sobre as jogadas que pretendiam

realizar. A intervenção verbal faz com que antecipações/previsões de jogadas sejam criadas

pelos alunos e, às vezes, estes conseguem perceber jogadas ótimas que não haviam previsto.

Nos portifólios, pedimos que escrevessem sobre o que haviam refletido sobre as

discussões teóricas realizadas em sala sobre a utilização de jogos no ensino de Matemática e

suas “novas” concepções sobre o tema. O portifólio foi sugerido com o objetivo de

proporcionar ao aluno, futuro professor de matemática, relembrar suas vivências matemáticas

escolares com a utilização de jogos para, a partir delas, construir perspectivas para uma futura

prática pedagógica.

As concepções registradas foram classificadas em três categorias: a importância de

vivenciar as etapas do processo de intervenção pedagógica do trabalho com jogo; o papel do

professor no trabalho com jogo; novas percepções sobre o trabalho pedagógico com jogos.

Indicamos a autoria das falas com letras maiúsculas do alfabeto e cada letra

corresponde a um aluno diferente, pois retiramos de cada portifólio somente o trecho que faz

referência a uma das categorias analisadas.

A importância de vivenciar as etapas do processo de intervenção pedagógica do trabalho

com jogo.

Nos portifólios aqui analisados, os alunos fazem referência à importância de o

professor vivenciar o jogo que poderá levar para a sala de aula.

Considero que esta experiência de trabalhar com o jogo Contig 60®, em sala de aula,

foi muito rica. Primeiramente pela oportunidade de manipular o material e vivenciar na

prática todas as etapas do processo, isso nos faz compreender melhor o aluno nessa situação.

(A)

Trabalhando com o jogo Contig 60® percebi que mesmo num ambiente lúdico é

possível aprender. Compreendi também que há momentos certos de fazer intervenções. (U)

Vi a diferença de uma aula com e sem intervenção do professor, o que foi possível

tendo experienciado uma partida realizada de qualquer jeito, esquecendo das regras do jogo.

Com a intervenção da professora, a segunda rodada foi muito diferente, pois abordamos

todas as regras, armamos estratégias; sem dúvidas pensamos muito mais e o jogo ficou mais

desafiante. (F)

Os extratos de portifólios acima nos levam a perceber que os futuros professores

compreenderam que não basta conhecer o material do qual o jogo é composto e suas regras.

Faz-se necessário que o professor ou o futuro professor vivencie as etapas do processo de

intervenção pedagógica para que melhor compreenda cada um dos sete momentos, podendo

rever suas estratégias de jogo e sua concepção sobre o trabalho com jogos no ensino de

Matemática.

Desse modo, o jogo, na Educação Matemática, “passa a ter o caráter de material de

ensino quando considerado promotor de aprendizagem. A criança, colocada diante de

situações lúdicas, apreende a estrutura lógica da brincadeira e, deste modo, apreende também

a estrutura matemática presente” (MOURA, 1996, p.80).

Sobre o papel do professor no trabalho com jogo

Nos extratos seguintes, podemos perceber que os futuros professores passaram a ter

uma preocupação em relação ao trabalho com jogos no ensino de Matemática em sua futura

prática pedagógica.

Pude notar que uma aula com jogos, além de ser bastante atrativa para os alunos,

ajuda no processo de ensino e aprendizagem. E ainda auxilia na resolução de problemas,

mas percebi que não adianta levarmos um jogo para sala de aula se não soubermos quais os

conteúdos que iremos trabalhar e se não tivermos um objetivo a atingir. (M.L.)

Durante o curso de licenciatura em matemática já havia estudado o jogo como uma

ferramenta no ensino de matemática, sabendo assim da sua importância. O que mudou com a

aula de jogos em Oficina 2, foi que aprendi que não basta levar o jogo à sala. É necessário

que o professor tenha um principal objetivo em cima do mesmo, e a partir desse fazer

intervenções com os alunos fazendo ligações com o conteúdo matemático. (F)

Pude refletir sobre o papel do professor, que ao dar um jogo, deverá dominá-lo bem

para tirar qualquer dúvida que os alunos venham a ter. (L)

A partir da vivência do trabalho com jogos, os futuros professores puderam perceber

que o papel do professor neste contexto é muito importante, pois não basta oferecer o “jogo

pelo jogo” aos alunos, é preciso que o professor tenha objetivos claros do que pretende atingir

com a atividade proposta para que o jogo matemático assuma a característica de jogo

pedagógico (MOURA, 1992). O jogo em si não oferece todo o rigor e formalização da

linguagem matemática; o trabalho de formalização de conceitos matemáticos deve ser

orientado pelo próprio professor.

Ao professor cabe questionar o aluno sobre suas jogadas e estratégias para que o jogar

se torne um ambiente de aprendizagem e (re)criação conceitual e não apenas de reprodução

mecânica do conceito.

Novas percepções sobre o trabalho pedagógico com jogos

Aprendi que não será com o uso somente de jogos que eu como professora estarei

resolvendo todos os problemas da minha turma. São vários fatores que dificultam a

aprendizagem do aluno, por isso o jogo pode auxiliar essa aprendizagem sem, no entanto,

fazer milagres. (J)

Com a leitura do texto e a discussão em sala de aula pude ver que quando vamos

trabalhar com jogos temos que conhecer bem o jogo que estamos propondo e é preciso saber

relacioná-lo com o conteúdo que se pretende trabalhar, pois caso contrário sua utilização se

torna apenas uma diversão. (G)

É importante a percepção da aluna J ao mencionar que não será o jogo o grande

solucionador dos problemas de uma turma. O jogo pode auxiliar no processo de aprendizagem

se o professor realizar intervenções pedagógicas intencionalmente planejadas e mediá-las no

momento de jogo, mas não sanará os diversos problemas que serão encontrados.

Como dito anteriormente, o trabalho com jogos deve ser desencadeador, mediador ou

aplicador-fixador (MOURA, 1992) do trabalho de desenvolvimento de conceitos, podendo

levar o aluno a pensar sobre os conteúdos ou conceitos matemáticos. O jogo pode ainda

auxiliar no processo de formalização do conceito.

À guisa de conclusões...

Com o trabalho realizado na disciplina de Oficina de Prática Pedagógica 2, pudemos

perceber que os futuros professores, em seus portifólios, mencionaram um novo olhar sobre a

questão de jogos no ensino de Matemática. Dentre esses destacamos a importância de terem

vivenciado as etapas de intervenção pedagógica que levou os alunos a entenderem a essência

de cada momento de intervenção e sua contribuição para a construção de conceitos

matemáticos mediados pelo professor.

Os futuros professores perceberam também que o jogo pode estimular a concentração,

possibilitando o desenvolvimento de habilidades pessoais como exploração, investigação de

um contexto, análise, comparação, interpretação, previsão, síntese e tomada de decisão -

elementos essenciais para o ‘resolvedor’ de problemas.

Finalizamos com o entendimento da necessidade da existência de discussões teóricas e

práticas sobre o assunto nos cursos de Licenciatura para que futuros professores entendam que

não é o jogo que ensina Matemática, mas que estes, quando intencionalmente definidos,

podem promover um contexto estimulador e desafiante para o movimento de formação do

pensamento do ser humano, de sua capacidade de cooperação e um auxiliar didático na

construção de conceitos matemáticos. Entendemos que o jogo é um facilitador da

aprendizagem, pois mobiliza a dimensão lúdica para a resolução de problema,

disponibilizando o aluno a aprender, mesmo que a formalização do conceito seja a posteriori

ao jogo.

Referências Bibliográficas

CORBALÁN, F. Juegos matemáticos para secundaria y bachillerato. Madrid: Sintesis,

1994.

GRANDO, R. C. O jogo e a matemática no contexto da sala de aula. São Paulo: Papirus,

2004.

______________. O jogo e suas possibilidades metodológicas no processo ensino-

aprendizagem da matemática. Dissertação de Mestrado. Campinas, SP, Faculdade de

Educação, UNICAMP, 1995.

MARCO, F. F. Estudo dos processos de resolução de problema mediante a construção de

jogos computacionais de matemática no ensino fundamental. Dissertação de Mestrado.

Campinas, SP. Faculdade de Educação, UNICAMP, 2004.

MEC - Ministério da Educação - Secretaria de Educação Fundamental - PCN’s: Parâmetros

Curriculares Nacionais. Brasília: MEC/SEF, 1998.

MOURA, M. O. A construção do signo numérico em situação de ensino. Tese de

Doutorado. São Paulo, SP, Faculdade de Educação, USP, 1992.

FAMAT em Revista




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Iniciação Científica

em Números

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Comitê Editorial da Seção Iniciação Científica em Números


Flaviano Bahia Paulinelli Vieira (coordenador da seção) Márcio José Horta Dantas

Título: O problema da trissecção do ângulo e algumas soluções na Grécia antiga Orientador: Dulce Mary de Almeida Bolsista(s): Flávia Cristina Martins Queiroz e Mariana Fernandes dos Santos Villela Período de realização: março de 2005 a fevereiro de 2006. Bolsa: SESu/MEC

Título: Interdisciplinaridade e Interação Construtiva: uma experiência à luz das novas diretrizes curriculares Orientador: Dulce Mary de Almeida Bolsista(s): Thiago Rodrigues da Silva Período de realização: junho de 2005 a maio de 2006. Bolsa: UFU

Título: Estudo de Alguns Algoritmos Evolutivos Orientador: Sezimária Saramago Bolsista(s): Jair Rocha do Prado Período de realização: fevereiro de 2004 a fevereiro de 2006. Bolsa: PIBIC- CNPq

Título: Corpos de Funções Algébricas. Orientador: Cícero Fernandes de Carvalho. Bolsista(s): Flaviano Bahia Paulinelli Vieira. Período de realização: março de 2006 a fevereiro de 2007. Bolsa: SESu/MEC

Título: Estudo e algumas aplicações do Cálculo Avançado Orientador: Lúcia Resende Pereira Bonfim Bolsista(s): Alessandra Ribeiro da Silva. Período de realização: março de 2006 a fevereiro de 2007. Bolsa: SESu/MEC

Título: Tópicos de Geometria Diferencial de Curvas e Superfícies Orientador: Edson Agustini Bolsista(s): Laís Bássame Rodrigues Período de realização: março de 2006 a fevereiro de 2007. Bolsa: SESu/MEC

Título: Tópicos de Geometrias Não – Euclidianas Orientador: Edson Agustini. Bolsista(s): Patrícia Borges dos Santos e Flávia Cristina Martins Queiroz Período de realização: março de 2006 a fevereiro de 2007. Bolsa: SESu/MEC

Título: Frações Contínuas e Aplicações. Orientador: Luiz Alberto Duran Salomão Bolsista(s): Leandro Cruvinel Lemes Período de realização: março de 2006 a fevereiro de 2007. Bolsa: SESu/MEC Título: A Álgebra Comutativa da Geometria Algébrica Orientador: Cícero Fernandes de Carvalho

Bolsista(s): Ernani Magno de Freitas Junior Período de realização: março de 2006 a fevereiro de 2007. Bolsa: SESu/MEC

Título: Introdução à Álgebra Comutativa e Computacional Orientador: Cícero Fernandes Carvalho Bolsistas: Stela Zumerle Soares e Karla Barbosa de Freitas Período de realização: agosto de 2005 a agosto de 2006. Bolsa: SESu/MEC

Título: Frações contínuas: primeiros passos Orientador: Luiz Alberto Duran Salomão Bolsista(s): Mariana Fernandes dos Santos Villela Período de realização: março de 2006 a fevereiro de 2007. Bolsa: SESu/MEC

Título: Simulação Numérica De Problemas De Transferência De Calor E De Mecânica Dos Fluidos Unidimensionais Transientes Orientador: Aristeu da Silveira Neto Bolsista(s):Maksuel Andrade Costa Período de realização: março de 2006 a fevereiro de 2007. Bolsa: SESu/MEC

Título: Informação e Codificação Orientador: Ercílio Carvalho da Silva Bolsista(s): Weyder Orlando Brandão Junior Período de realização: março de 2006 a fevereiro de 2007. Bolsa: SESu/MEC Título: Um estudo de funções Orientador: Antônio Carlos Nogueira Bolsista(s): Matheus Bartolo Guerrero Período de realização: março de 2006 a fevereiro de 2007. Bolsa: SESu/MEC Título: Divisão Áurea Orientador: Marcos Antônio da Câmara Bolsista(s): Giselle Moraes Resende Pereira Período de realização: março de 2006 a fevereiro de 2007.

Título: Introdução à Teoria da Informação e Codificação Orientador: Edson Agustini Bolsista(s): Franciella Marques da Costa Período de realização: março de 2006 a fevereiro de 2007. Bolsa: FAPEMIG

Título: Introdução a Álgebra Comutativa computacionalOrientador: Cícero Fernandes de Carvalho Bolsista(s): Warlisson Inácio de Miranda Período de realização: agosto de 2006 a agosto de 2007. Órgão Responsável: Promat

Título: A Álgebra Comutativa da Geometria AlgébricaOrientador: Cícero Fernandes de Carvalho Bolsista(s): Diogo Antônio Carvalho Período de realização: agosto de 2006 a agosto de 2007. Órgão Responsável: Promat

Título: Avaliação do desempenho dos alunos do curso de Engenharia Elétrica da UFU Orientador: Rogério de Melo Costa Pinto Bolsista(s): Gustavo Silva Salge Período de realização: novembro de 2006 a novembro de 2007. Órgão Responsável: Promat

Título: Superfícies com curvatura Gaussiana Constante Orientador: Jocelino Sato Bolsista(s): Bruno Nunes de Souza Período de realização: abril de 2005 a abril de 2006. Órgão Responsável: Promat

Título: Superfícies regradasOrientador: Jocelino Sato Bolsista(s): Cláudia Helena Vieira Freitas Período de realização: abril de 2005 a abril de 2006. Órgão Responsável: Promat

Título: Velhas e novas ações em Geometria Analítica: diminuindo a reprovação-evasão e pensando o futuroOrientador: Valdair Bonfim Bolsista(s): Danilo Adrian Marques Período de realização: junho de 2005 a maio de 2006. Órgão Responsável: PIBEG – UFU

Título: Aspectos extra-curriculares de Matemática Elementar I e iniciação ao software CABRI-GEOMÉTRÈOrientador: Dulce Mary de Almeida Bolsista(s): Thiago Rodrigues da Silva Período de realização: junho de 2005 a maio de 2006. Órgão Responsável: PIBEG – UFU

Título: Tópicos de Matemática do Ensino Médio Orientador: Antônio Carlos Nogueira Bolsista(s): Juliana Maria de Oliveira Período de realização: junho de 2005 a maio de 2006. Órgão Responsável: PIBEG – UFU

Título: O papel da Matemática na CiênciaOrientador: Luiz Alberto Duran Salomão Bolsista(s): Mariana Ramos Reis Período de realização: junho de 2005 a maio de 2006. Órgão Responsável: PIBEG - UFU

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E o Meu Futuro Profissional?

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Comitê Editorial da Seção E o Meu Futuro Profissional?


Marcio José Horta Dantas (coordenador da seção) Flaviano Bahia Paulinelli Vieira Maria Luiza Vitorino Gonçalves

Entrevista com Germano Abud

1) Qual sua formação acadêmica?

Bacharelado em Matemática – UFU (2002)

Mestrado em Matemática – Unicamp (2004)

2) Quando você acabou a graduação, você teve alguma dúvida sobre a escolha do

mestrado? (se gostaria mesmo fazer mestrado, ou pensava em trabalhar logo, se

teve dúvida em onde fazer o mestrado)

Não, desde o meu ingresso no PET, no 2° período da graduação, eu já tinha o mestrado

como objetivo.

A principio minha escolha foi o ICMC/USP – São Carlos, mas o acaso acabou me

levando a Unicamp.

3) Como foi o processo de seleção para ser professor da UFU? Você achou difícil?

Qual a dificuldades para futuras ingressantes?

O processo de seleção foi bem tranqüilo. A relação candidato/vaga foi alta, mas poucos

tinham mestrado em matemática. Para futuros ingressantes acho que a maior

dificuldade é a concorrência.

4) Quais as dificuldades como professor universitário?

No meu caso a maior dificuldade é com relação ao tempo. O salário de professor

substituto é muito baixo, o que nos obriga a procurar um segundo emprego na rede

privada. Assim, não sobra tempo para outras atividades (pesquisa, estudos, etc.).

5) O que você pensa sobre o futuro profissional de professores universitários?

Gosto muito da carreira acadêmica. Acho uma carreira promissora, lucrativa e

agradável. É uma pena que não tem o seu merecido respeito e valor.

6) Daqui a 10 anos, você acha que ingressar em uma universidade pública como

professor de matemática será muito difícil, ou sempre haverá muitas vagas para

novos professores. E se for uma universidade particular? Como se preparar para

isso?

A rede pública está em constante crescimento. Este ano houve um grande salto em

relação ao número de vagas, com a criação de novas instituições federais e a

federalização de outras já existentes.

Acredito que esta é uma tendência que vai permanecer por muito tempo visto que o

mercado de trabalho está cada vez mais exigente.

Quem pretende seguir a carreira acadêmica deve ter como principal objetivo a pós-

graduação.

Até mesmo as universidades particulares já exigem, no mínimo, o título de mestre para

seus professores.

7) Se fosse para começar, de novo, você se prepararia para ser um professor

universitário, ou professor de ensino médio/fundamental? Porque?

Professor universitário, certamente. É o que gosto de fazer. Não só pelas disciplinas,

mas pelo contato com pesquisadores, possibilidade de crescimento, e o meio acadêmico

em geral.

8) Quais as dificuldades para futuros ingressantes do mestrado e doutorado?

Você teve alguma?

O curso de matemática da UFU oferece uma excelente base para todos que desejam

ingressar na pós-graduação. A maior dificuldade é a concorrência, que tem aumentado

muito. Por isso, você precisa começar a se preparar o quanto antes, participando de

eventos científicos, atividades de extensão e cursos de verão.

Comecei a direcionar minha formação para o mestrado já no quarto período de

graduação, por isso não tive dificuldades para ingressar na Unicamp (também fui aceito

no ICMC-USP)

9) O que você pode contar sobre sua experiência na pós-graduação?

Foi muito boa. Tive professores excelentes e um ótimo orientador. A escolha do

orientador é um passo fundamental na pós-graduação. Infelizmente não consegui seguir

adiante com o doutorado, pois já não tinha o mesmo entusiasmo, após dois e meio longe

da família e uma crescente vontade de lecionar.

10) Atualmente você está fazendo pesquisa em alguma área? Qual?

Como já disse, sou professor na UFU e na Uniube. Minha carga horária semanal é

muito alta. Não sobra tempo para a pesquisa. Minha área de interesse é a de Sistemas

Dinâmicos. Pretendo fazer concurso para professor efetivo o mais breve possível, para

retornar as atividades de pesquisa.

11) Quais as vantagens de se fazer pesquisa? Isto pode gerar lucros?

Acho que a pesquisa pode gerar lucros dependendo da área de atuação. De qualquer

forma é uma atividade que me dá muito prazer. É claro que acaba trazendo algum

adicional salarial, mas nada muito significativo.

Espaço livre para falar o que quiser.

Deixo aqui algumas palavras de incentivo a todos alunos do curso de matemática da UFU:

Pense seriamente sobre a possibilidade de fazer o mestrado

Comece a se preparar desde já, informe-se sobre as formas de ingresso, cursos de

verão, eventos científicos, etc.

Não faça filhos na graduação!!

Quem desejar entrar em contato comigo, pode escrever. A minha página é

www.famat.ufu.br/prof/germano

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Merece Registro

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Comitê Editorial da Seção Merece Registro


Marcos Antônio da Câmara (coordenador da seção) Flaviano Bahia Paulinelli Vieira

Merece Registro

A) REFORMA CURRICULAR

Atendendo às Diretrizes Curriculares Nacionais, o Curso de Matemática da Universidade Federal de Uberlândia passou por uma reforma curricular. São muitas as novidades, como por exemplo o aumento da carga horária dos Estágios Supervisionados, a obrigatoriedade de uma carga horária mínima para as Atividades Acadêmicas Complementares, as Práticas Educativas e o Trabalho de Conclusão de Curso. Já aconteceram algumas reuniões de apresentação do Projeto Pedagógico, com esclarecimento das dúvidas mais comuns dos alunos, tais como: Como será a fase de transição? Quem migra para o novo currículo? Como se dará a equivalência entre disciplinas do currículo antigo e do currículo novo? Como funcionará o Projeto Integrado de Prática Educativa?, dentre outras. Novas reuniões serão agendadas durante o primeiro semestre letivo de 2006 com o objetivo de esclarecer ainda mais os alunos, bem como orientá-los nas questões referentes à matrícula em disciplinas, e a construção de percursos acadêmicos. Em breve nosso Projeto Pedagógico estará na página da Famat. Por enquanto, sugiro aos alunos a leitura da seção Reflexões Sobre o Curso de Matemática para entender algumas dificuldades que estamos enfrentando na aprovação do Projeto no Conselho de Graduação.

B) MESTRADO EM MATEMÁTICA NA UFU

Nos dias 03 e 04 de abril de 2006 a FAMAT recebeu a visita dos professores Márcio Soares da Universidade Federal de Minas Gerais (Belo Horizonte-MG) e Abramo Hefez da Universidade Federal Fluminense (Niterói-RJ) que são representantes do Comitê de Matemática e Estatística da CAPES (Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior) - órgão federal que regulamenta todas as pós-graduações stritu-sensu no país. O objetivo da visita foi, dentre outras coisas, a análise de nossas instalações e a sugestão de algumas alterações no projeto de implantação do Mestrado em Matemática na FAMAT. Os referidos professores mostraram-se favoráveis à implantação do mestrado e fizeram um relatório que foi encaminhado ao Comitê Técnico-Científico da CAPES que deliberará sobre a aprovação ou não do nosso mestrado. Resta-nos torcer pela sua aprovação...

C) VAGAS DOCENTES

Na última distribuição de vagas docentes para a UFU, a Faculdade de Matemática recebeu 3 vagas. Por decisão do CONFAMAT, será realizado um concurso na área de Matemática (duas vagas) e outro na área de Estatística (uma vaga).

D) NOVOS PROFESSORES

No ano passado foi realizado concurso para 3 docentes da carreira, sendo admitidos:

Prof. Edmílson Rodrigues Pinto (Estatística) Profa. Fabiana Fiorezi de Marco Matos (Educação Matemática) Profa. Célia Aparecida Zorzo Barcelos (Matemática Aplicada)

Neste ano foram contratatos dois novos professores substitutos:

Prof. Solidônio Rodrigues de Carvalho Profa. Fabiana Bissochi

E) FACULDADE DE CIÊNCIAS INTEGRADAS DO PONTAL – ITUITABA

Foram aprovadas 7 vagas para atender as disciplinas de Matemática e Estatística desta nova Faculdade. Os concursos serão realizados até o mês de junho, sendo assim distribuídos:

Matemática: 5 vagas Estatística: 1 vaga Educação Matemática: 1 vaga

F) V SEMANA DA MATEMÁTICA

Foi realizada nos dias 25 a 28 de outubro de 2005, na Faculdade de Matemática, a V Semana da Matemática.

A Semana da Matemática FAMAT – UFU representa um instrumento de divulgação científica e propicia um intercâmbio entre os discentes da região e docentes de várias Instituições de Ensino Superior no país. Desenvolvida junto a Faculdade de Matemática - UFU, ela caracteriza-se como uma reunião regional de caráter específico

que visa difundir a Matemática como ciência, promovendo uma reflexão acerca de atividades de ensino, pesquisa e enriquecimento curricular realizadas no âmbito da Universidade Federal de Uberlândia.

Este evento vem sendo realizado anualmente e, por vezes, em parceria com sociedades científicas ou centros de estudos, tais como: SBM, SBMAC, etc.

O público alvo consiste de discentes de graduação em matemática e áreas afins, bem como docentes do ensino fundamental, médio e superior. As atividades desenvolvidas na Semana concentram-se na apresentação de palestras, mini-cursos técnicos, seções de apresentação de trabalhos de iniciação científica, relatos de experiências e oficinas.

A Comissão organizadora da V Semana da Matemática foi composta pelos seguintes membros:

Prof. Edson Agustini (UFU): Coordenador da V Semana da Matemática. Prof. Valdair Bonfim (UFU): Coordenador do Curso de Licenciatura e Bacharelado em Matemática. Prof. César Guilherme de Almeida (UFU): Tutor do Programa de Educação Tutorial - PET - da FAMAT. Profa. Rosana Sueli da Motta Jafelice (UFU): Membro da comissão. Profa. Dulce Mary de Almeida (UFU): Membro da comissão. Prof. Rogério de Melo Costa Pinto (UFU): Membro da comissão. Flaviano Bahia Paulinelli Vieira: Representante do Grupo PET-Matemática. Maísa Gonçalves: Representante do Diretório Acadêmico - Matemática.

A Famat em Revista parabeniza toda a comissão organizadora do evento, bem como aos alunos do DAMAT e do PET que colaboraram de forma decisiva para o bom êxito desta atividade.

G) NOSSOS ALUNOS EM PROGRAMA DE MESTRADO

Ingressou no programa de mestrado em matemática pura do IMPA neste semestre o aluno Jairo Menezes e Souza.

H) DEFESAS DE MONOGRAFIAS PET-MATEMÁTICA

Foram realizadas as seguintes defesas de monografia por alunos do Pet-Matemática:

Data Aluno(a) Título Banca

14.12.2005 Jairo Menezes e Souza

Introdução à Geometria Algébrica

Cícero Fernandes de Carvalho (Orientador)

Ercílio Carvalho da Silva

Marcos Antônio da Câmara

27.03.2006 CarolinaFernandesMolina Sanches

Modelagem Matemática no Crescimento de

EspéciesAquáticas

Rosana Sueli da Motta Jafelice

(Orientadora)César Guilherme de

Almeida Sezimária de Fátima

Pereira Saramago

I) DEFESA DE TESE

Merece destaque a defesa de tese de doutoramento, A escrita no processo de formação contínua do professor de matemática, da Professora Maria Teresa Menezes Freitas, em fevereiro, na Faculdade de Educação da UNICAMP. Parabéns a mais uma doutora da FAMAT.

J) ORIENTAÇÕES

Destacamos a seguir as orientações de nossos docentes no segundo semestre de 2005.

DocenteOrientador

OrientandoÓrgão de Fomento

Curso / Programa

Tipo deOrientação

Antônio Carlos Nogueira

Juliana Maria de Oliveira

PIBEG - UFU, No. E05/020-1

Matemática Ensino

Graduação

Arlindo José de Souza Júnior

Edinei Leandro dos Reis


Matemática Ensino

Graduação


Deive Barbosa Alves

PACTo-CNPq(Port. R978

UFU)Matemática

IniciaçãoCientífica


Ronicley Eduardo Corrêa Araújo (1021433-5)

PACTo-CNPq(Port. R978

UFU)Matemática



Fernando da Costa Barbosa

CNPq-UFU,Edital 014/2004

Matemática IniciaçãoCientífica


Vanessa de Paula Cintra

CNPq-UFU,Edital 014/2004



Maria Fátima Cursino Borges

---Pós-Grad.Educação.

Mestrado


Sandra Gonçalves Vilas Boas


Mestrado


Márcia Aparecida Mendes (5041523-6)


Mestrado


Adriana Rodrigues (5041502-3)


Mestrado

Célia Aparecida Zorzo Barcelos

Cristiane de Fátima dos Santos

---Pós-Grad.

Computação.

Mestrado


Ivan Oliveira Lopes---

Pós-Grad.Computação

.Mestrado


Alexandre Fieno da Silva

---Pós-Grad.

Computação.

Mestrado


Márcio R.Ferreira---

Pós-Grad.Computação

.Mestrado


Mylene Lemos Rodrigues

---Pós-Grad.

Computação.

Mestrado


Anselmo de Morais Silva

Proj. CNPq. No. 205924/2004-7

Ciência da Computação

.


César Gilherme de Almeida

Weyder Orlando Brandão Júnior

PET - SESu - MEC


Cícero Fernandes de Carvalho

Jairo Menezes e Sousa

PET - SESu - MEC



Ernani Magno de Freitas Júnior

PET - SESu - MEC



Karla Barbosa de Freitas

PET - SESu - MEC



Stela Zumerle Soares

PET - SESu - MEC


Dulce Mary de Almeida

Thiago Rodrigues da Silva


Matemática Ensino

Graduação


Flávia Cristina Martins Queiroz

PET - SESu - MEC



Mariana Fernandes dos Santos Villela

PET - SESu - MEC


Edmílson Rodrigues Pinto

Guilherme GonçalvesFelizardo



Ednaldo Carvalho Guimarães

Gabriella de Freitas Alves

PIBIC-CNPq, No. A-011/2005


Ednaldo Carvalho Guimarães

Alessandra Ribeiro da Silva

PET - SESu - MEC


Edson Agustini Fabiana Alves Calazans

PET - SESu - MEC


Edson Agustini Sandreane Poliana Silva

PET - SESu - MEC


Heyder Diniz Silva

Elpítio Francisco Neto

---Pós-GradGen/Bio

Doutorado

Heyder Diniz Silva

Kátia Bernardelli --- Pós-Grad.

Agronomia. Mestrado

Heyder Diniz Silva

Leandro Cândido Brasão

PBIIC-FAPEMIG, No.

A-010/2005

Eng.Elétrica


Jocelino Sato Leandro Cruvinel Lemes

PET - SESu - MEC


Luíz Alberto Duran Salomão

Mariana Ramos Reis


Matemática Ensino

Graduação

Luíz Alberto Duran Salomão

Maksuel Andrade Costa

PET - SESu - MEC


Marcelo Tavares Fernanda Bonuti PBIIC-

FAPEMIG, No. A-013/2005


Marcelo Tavares Camila Afonso Bernardes


MedicinaVeterinária


Márcio José Horta Dantas

Carlos Henrique Tognon




Flaviano Bahia Paulinelli Vieira

PET - SESu - MEC



Lais Bássame Rodrigues

PET - SESu - MEC



Patrícia Borges dos Santos

PET - SESu - MEC


Rogério de Melo Costa Pinto

Beques Aparecido Araújo de Souza


Eng.Elétrica



João Cláudio Martins de Freitas

FAPEMIG - CEX 109/04

Eng.Elétrica



Éder Lúcio Da Fonseca



Sezimária de Fátima Pereira Saramago

Matheus Borges Arantes


Eng.Elétrica



Jair Rocha do PradoPBIIC-

FAPEMIG, No. A-015/2005



Giovana Trindade da Silva Oliviera

---Pós-Grad.

Eng.Mecânica.

Mestrado


Lúcio Aurélio Purcina

---Pós-Grad.

E.Mecânica.

Doutorado


Sidney Araújo Mendonça

PET - SESu - MEC

Eng,Mecânica



Antônio Dias Carrijo Neto

PET - SESu - MEC

Eng,Mecânica



Plínio José de Oliveira

---Pós-Grad.

E.Mecânica.

Doutorado

Valdair Bonfim Danilo Adrian Marques


Matemática Ensino

Graduação

L) PRODUÇÃO CIENTÍFICA

Destacamos a seguir a produção científica da FAMAT no segundo semestre de 2005.

Descrição

ROCAHA, L. P.; FREITAS, M. T. M. "Professor(a)-Pesquisador(a): Possibilidades na Formação Humana e na Formação do Educador Matemático". Revista de Educação Matemática (ISSN: 1676-8868). Vol 09, Números 09 e 10, 2o. semestre de 2005. pp. 39 a 45. CÂMARA, M. A.; CARVALHO, C. F.; CARRIJO, G. "Construção de Códigos Lineares Binários através de Códigos Geométricos de Goppa". Ciência & Engenharia (Science & Engineering Journal), 14 (1). pp. 53 a 58. 2o. semestre de 2005.NACARATO, A. M.; PASSOS, C. L. B.; FIORENTINI, D.; BRUM, E. D.; MEGID, M. A.; FREITAS, M. T. M.; MELO, M. V.; GRANDO, R. C.; MISKULIN, R. G. S. "Saberes Docentes em Matemática: uma análise da prova do concurso paulista de 2003". Revista de Educação Matemática (ISSN: 1676-8868). Vol 09, Números 09 e 10, 2o. semestre de 2005. pp. 61- 70. ARAÚJO, M. A.; GOULART, L. R.; CORDEIRO, E. R.; GATTI, R. R.; MENEZES, B. S.; LOURENÇO, C.; SILVA, H. D. "Genotipic interactions of renin-angiotensin system genes in myocardial infarction". Journal of Cardiology. Volume 103. No. 1. agosto de 2005. pp. 27-32. BARCELOS, C. A. Z.; FERREIRA, M. J. R.; RODRIGUES, M. L. "Texture Image Retrieval: A Feature-Based Correspondence Method in Fourier Spectrum". Lecture Notes on Computer Science - Springer, No. 3687, vol.2. ISSN 03029743, pp. 424 a 433. 2o. semestre de 2005.BOTELHO, G, M. A. "Ideals of polynomials generated by weakly compact operators". Note di Matematica. No. 25, 2o. semestre de 2005, pp. 69 a 102.

LOPES, W. A.; JAFELICE. R. S. M.; BARROS, L. C. "Modelagem Fuzzy de Diagnóstico Médico e Monitoramento do Tratamento da Pneumonia". Biomatemática. 2o. semestre de 2005. pp. 77 a 96. Revista impressa e eletrônica. PEREIRA, G. A.; SILVA, S. P.; MOTTA Jr., W. S. "O Modelo van Hiele de Ensino de Geometria aplicado à 5a. e 6a. séries do Ensino Fundamental". FAMAT em Revista. No. 05, setembro de 2005, pp. 21 a 50. OLIVEIRA, N. J.; DANTAS, M. J. H. "Uma Introdução à Mecânica Clássica: Força Central e Movimento Planetário". FAMAT em Revista. No. 05, setembro de 2005, pp. 51 a 84. LOPES, W. A.; JAFELICE, R. S. M. "Modelagem Fuzzi na Saúde". FAMAT em Revista. No. 05, setembro de 2005, pp. 85 a 126. SANTOS, J. L. C.; BONFIM, L. R. P. "Algumas Aplicações e Teoria Qualitativa das Equações Diferenciais Ordinárias". FAMAT em Revista. No. 05, setembro de 2005, pp. 127 a 146. FONSECA, E. L.; SATO, J. "Leis de Kepler para o movimento planetário e a lei da gravitação universal de Newton". FAMAT em Revista. No. 05, setembro de 2005, pp. 147 a 166. LEITE, L. A.; ALMEIDA, C, G. "Modelagem de Problemas de Matemática Financeira e suas Resoluções Utilizando Técnicas Matemáticas e Computacionais". FAMAT em Revista. No. 05, setembro de 2005, pp. 166 a 192. COSTA, F. M.; AGUSTINI, E. "Álgebra Linear e Formação de Imagens: a Tomografia Computadorizada". FAMAT em Revista. No. 05, setembro de 2005, pp. 193 a 210. VIEIRA, F. B. P.; RODRIGUES, L. B.; AGUSTINI, E. "O Problema do Cabo Suspenso". FAMAT em Revista. No. 05, setembro de 2005, pp. 225 a 234. CAVALCANTI, R. S.; COSTA, F. M.; MAIA, D. V. P.; ROCHA, L. A.; AGUSTINI,E. "Identificando Curvas Cônicas Utilizando Autovalores". FAMAT em Revista. No. 05, setembro de 2005, pp. 263 a 276. SICRE, M. R. Apresentação do Trabalho "An hybrid interior-proximal point method for the monotone complementarity problem". 25o. Colóquio Brasileiro de Matemática. Rio de Janeiro-RJ, 24-29/07/2005.LOPES, I. O.; BARCELOS, C. A. Z. Publicação do resumo "Análise de Performance de Técnicas no Domínio Espacial de Inserção e Ataque de Marca D’Água". XXVIII CNMAC - Congresso Nacional de Matemática Aplicada e Computacional. 12 a 15 de setembro de 2005, Santo Amaro-São Paulo -SP. 1 página. (CD-ROM). SILVA, A. F.; SILVA, I. R.; BARCELOS, C. A. Z. Publicação do resumo "Os efeitos da iluminação e da pose no reconhecimento da face humana". XXVIII CNMAC -Congresso Nacional de Matemática Aplicada e Computacional. 12 a 15 de setembro de 2005, Santo Amaro-São Paulo -SP. 1 página. (CD-ROM) ASSUNÇÃO, R. G.; PIRES, V. B.; BARCELOS, C. A. Publicação do resumo "Marca d’água digital – Inserção e ataque". XXVIII CNMAC - Congresso Nacional de

Matemática Aplicada e Computacional. 12 a 15 de setembro de 2005, Santo Amaro-São Paulo -SP. 1 página. (CD-ROM) BARCELOS, C. A. Z. Apresentação do trabalho "Marca d’água Inserção e Ataque ( técnicas no domínio da frequência)". Conpeex – II Congresso de Pesquisa, Ensino e Extensão, UFG – Goiania-GO, out/2005. SILVA, U. P.; OLIVEIRA, A. A. A.; AGUSTINI, E. Publicação do resumo "UmModelo Matemático para Identificação de Obras de Arte Falsificadas". XXVIII CNMAC - Congresso Nacional de Matemática Aplicada e Computacional. 12 a 15 de setembro de 2005, Santo Amaro-São Paulo -SP. 1 página. (CD-ROM). DANTAS, M. J. H. Apresentação do Trabalho "A Stability Result for O.D.E. with Periodic Coefficients Part II: A Centrifugal Vibrator". 62o Seminário Brasileiro de Anális, 21 a 24 de novembro de 2005, Rio de Janeiro, RJ. (CD-ROM, 9 páginas).RANGEL, V. O.; FRONTAROLLI, A. C.; GOMES, D. C.; MORALES, N. M. O.; ARAÚJO, R. R. H.; PINTO, R. M. C.; SILVA, C. H. M. Publicação do Resumo "RELAÇÃO ENTRE DEFICIÊNCIA INTELECTUAL E QUALIDADE DE VIDA RELACIONADA À SAÚDE EM CRIANÇAS E ADOLESCENTES COM PARALISIA CEREBRAL". XVIII Semana Científica da Medicina, 27 a 30 de setembro de 2005, UFU. Res. no. 336. 1 página. (CD-ROM) BARCELOS, C. A.; ASSUNÇÃO, R. G. Publicação do resumo "Análise de Robustez das Marcas D’Água no Domínio Espacial". CD-ROM da V Semana da Matemática da FAMAT-UFU, 25 a 28/10/2005. pp. 53 a 55.GUIMARÃES, E. C.; SILVA, A. R. "Comportamento de Semivariogramas Esféricos sob Diferentes Tipos de Tendências". CD-ROM da V Semana da Matemática da FAMAT-UFU, 25 a 28/10/2005, pp. 01 e 02.SOUSA, J. M.; CARVALHO, C. F. Publicação do Resumo "Variedades Projetivas". CD-ROM da V Semana da Matemática da FAMAT-UFU, 25 a 28/10/2005, pp. 33 e 34.COSTA, M. A.; SALOMÃO, L. A. D. Publicação do Resumo "As frações de Farey de um ponto de vista geométrico". CD-ROM da V Semana da Matemática da FAMAT-UFU, 25 a 28/10/2005, p. 45. ABREU, R. S.; PINTO, R. M. C. Publicação do Resumo "Avaliação do desempenho dos graduandos do Curso de Engenharia Química da UFU". CD-ROM da V Semana da Matemática da FAMAT-UFU, 25 a 28/10/2005, pp. 65 e 66. LOPES, W. A.; JAFELICE, R. S. M.; BARROS, L. C. Publicação do Resumo "Modelagem Fuzzy de Diagnóstico Médico e Monitoramento do Tratamento daPneumonia". CD-ROM da V Semana da Matemática da FAMAT-UFU, 25 a 28/10/2005, pp. 77 e 78. VIEIRA, F. B. P.; CÂMARA, M. A. Publicação do Resumo "Códigos Corretores de Erros (Códigos Cíclicos)". CD-ROM da V Semana da Matemática da FAMAT-UFU, 25 a 28/10/2005, pp. 79 e 80.

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2005. v. 1, pp. 1 a 6.

CAVALCANTI, R. S.; COSTA, F. M.; MAIA, D. V. P.; ROCHA, L. A.; AGUSTINI,E. "Identificando Curvas Cônicas Utilizando Autovalores". CD-ROM da V Semana da Matemática FAMAT-UFU, 25 a 28/10/2005, pp. 27 a 30. BOTELHO, G. M. A.; BRAUNSS, H.; JUNEK, H.; PELLEGRINO, D. Publicação do Trabalho Completo "Holomorphy types and ideals of multilinear mappings". Anais do 62o. Seminário Brasileiro de Análise, UNIRIO-Rio de Janeiro, 21 a 24 de novembro de 2005. 30 páginas. CD-ROM.BOTELHO, G. M. A.; RUEDA, P.; PELLEGRINO, D. Publicação do Trabalho Completo "On the way to strictly singular non-linear mappings". Anais do 62o. Seminário Brasileiro de Análise, UNIRIO-Rio de Janeiro, 21 a 24 de novembro de 2005. 9 páginas. CD-ROM.BOTELHO, G. M. A.; PELLEGRINO, D. Publicação do Trabalho Completo "Absolutely summing homogeneous polynomials on Banach spaces with unconditional basis". Anais do 62o. Seminário Brasileiro de Análise, UNIRIO-Rio de Janeiro, 21 a 24 de novembro de 2005. 9 páginas. CD-ROM.BONUTTI, F.; TAVARES, M.; GUIMARÃES, E. C. Publicação do Trabalho "Avaliação das relações de atributos químicos e físicos de um solo e produtividade da soja". 11o. SIMPÓSIO DE ESTATÍSTICA APLICADA À EXPERIMENTAÇÃO AGRONÔMICA, Londrina. Anais do 11o. SEAGRO e 50o. RBRAS. 04-08/07/2005, 5 páginas. (Anais em CD-ROM) BERNADES, C. A; GUIMARÃES, E. C.; TAVARES, M. Publicação do Trabalho "Comparação de dois sistemas de amostragem em diferentes condições de manejo de solo". 11o. SIMPÓSIO DE ESTATÍSTICA APLICADA À EXPERIMENTAÇÃO AGRONÔMICA, Londrina. Anais do 11o. SEAGRO e 50o. RBRAS. 04-08/07/2005, 5 páginas. (Anais em CD-ROM) OLIVEIRA, J. A.; GUIMARÃES, E. C.; TAVARES, M. Publicação do Trabalho "Comportamento espacial de chuvas de verão no Estado de Minas Gerais". 11o. SIMPÓSIO DE ESTATÍSTICA APLICADA À EXPERIMENTAÇÃO AGRONÔMICA, Londrina. Anais do 11o. SEAGRO e 50o. RBRAS. 04-08/07/2005, 5 páginas. (Anais em CD-ROM) SARAMAGO, S. F. P.; PRADO, J. R. Publicação do trabalho completo "Otimização por Colônia de Partículas". IN: IX SEMINÁRIO DE INICIAÇÃO CIENTÍFICA, UFU. UBERLÂNDIA. 05-07/10/2005. 10 páginas. (CD-ROM)SANTOS, P. B.; BONFIM, L. R. P. Publicação do trabalho completo "Estudo sobre as Propriedades Geométricas das Cônicas e suas Aplicações". IX SEMINÁRIO DE INICIAÇÃO CIENTÍFICA , UFU. Uberlândia. 05-07-10/2005. 10 páginas. (CD-ROM)SARAMAGO, S. F. P.; ROSA, R. G., Publicação do trabalho completo "Aplicação de B-Splines Cúbicas Uniformes para Modelar Trajetórias de um Robô Paralelo", In: IX SEMINÁRIO DE INICIAÇÃO CIENTÍFICA , UFU. Uberlândia. 05-07-10/2005. 10

páginas. (CD-ROM)

BONUTTI, F.; GUIMARÃES, E. C.; TAVARES, M. Publicação do Trabalho "Determinação do número de medições de caracteres de ovos utilizando diferentes métodos de estimação da repetibilidade". 11o. SIMPÓSIO DE ESTATÍSTICA APLICADA À EXPERIMENTAÇÃO AGRONÔMICA, Londrina. Anais do 11o. SEAGRO e 50o. RBRAS. 04-08/07/2005, 5 páginas. (Anais em CD-ROM) ZANÃO Jr., L. A.; LANA, R. M. Q.; GUIMARÃES, E. C.; NOLLA, A. Publicação do Trabalho "Geoestatística na avaliação da variabilidade espacial de micronutrientes em Latossolo Vermelho sob sistema plantio direto". XXX CONGRESSO BRASILEIRO DE CIÊNCIA DO SOLO, Recife. Anais do XXX CBCS.17-22/07/2005, 5p.(Anais CD-ROM). SILVA, A. M.; BARCELOS, C. A. Z. Publicação do Trabalho Completo "Marca d’água robusta no domínio da freqüência". CD-ROM da V Semana da Matemática da FAMAT-UFU, 25 a 28/10/2005, pp. 03 a 09. SILVA, S. P.; AGUSTINI, E. Publicação do Trabalho Completo "Teoria da Informação e Codificação: um estudo do Algoritmo de Huffmann para codificação de fonte". CD-ROM da V Semana da Matemática da FAMAT-UFU, 25 a 28/10/2005, pp. 67 a 72. SANTOS, P. B.; CAMARA, M. A. Publicação do Trabalho Completo "A Utilização do Polinômio de Taylor na Resolução de Equações de Congruência". CD-ROM da V Semana da Matemática da FAMAT-UFU, 25 a 28/10/2005, pp. 47 a 51. PRADO, J. R.; SARAMAGO, S. F. P. Publicação do Trabalho Completo "Otimização de Funções Contínuas por Colônia de Formigas". CD-ROM da V Semana da Matemática da FAMAT-UFU, 25 a 28/10/2005, pp. 35 a 44. TEIXEIRA, R. L.; LÉPORE, F. P.; RIBEIRO, J. F. Publicação do trabalho completo "DESCRIÇÃO, MONTAGEM E FUNCIONAMENTO DE UM PROTÓTIPO DE AMORTECEDOR ATIVO PIEZOELÉTRICO". 15º POSMEC - Simpósio do Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica - 7 a 9 de dezembro de 2005 na Universidade Federal de Uberlândia. 10 páginas. CD-ROM.TEIXEIRA, R. L.; LÉPORE, F.P. Publicação do trabalho completo "ACTIVE DAMPER USING FUZZY CONTROLLER". Proceedings of the IEEE International Conference on Systems, Man and Cybernetics, Volume 4, 10-12 Oct. 2005 - Big Island, Hawaii, Page(s): 3841 - 3846.AGUSTINI, E.; COSTA, S. I. R. "AWGN-Signal Transmission in Hyperbolic Spaces". In: IEEE-ISIT2005 - International Simposyum in Information Theory. 04-09/09/2005. Adelaide, Austrália. pp. 1 a 4. (Anais em CD-ROM).SOUZA, A. M. ; SOUZA, F. J.; SILVEIRA NETO, A. "Numerical simulation of the turbulent transition in free round jets". In: 18th International congress of mechanical engineering, 2o. semestre de 2005, Ouro Preto. Proceedings of COBEM 2005. Rio de Janeiro: ABCM, 2005. v. 1. p. 1-10. (CD-ROM)

SARAMAGO, S. F. P.; SANTOS, R. R.; STEFFEN Jr., V. "Solving the Inverse Kinematics Problem through Performance Index Optimization". In: IBERIAN LATIN AMERICAN CONGRESS ON COMPUTATIONAL METHODS IN ENGENEERING, 2o. semestre de 2005, Guarapari. XXVI CILAMCE. ABMEC, 2005. v. 1, pp. 1 a 15. (CD-ROM)SARAMAGO, S. F. P.; STEFFEN Jr., V.; SANTOS, R. R. "Robot Path Planning: Avoiding Obstacles". In: 18TH INTERNATIONAL CONGRESS OF MECHANICAL ENGINEERING, 2o. semestre de 2005, Ouro Preto. COBEM05 ABCM, 2005. v. 1, pp. 1 a 8. (CD-ROM)SARAMAGO, S. F. P.; OLIVEIRA, P. J.; CARVALHO, J. C. M.; CECCARELLI, M. "Trajectory Modeling of CaPaMan (Cassino Parallel Manipulator) by using 4th order B-splines. In: 18thInternational Congress of Mechanical Engineering, 2o. semestre de 2005, Ouro Preto. COBEM05. ABCM, 2005. v. 1, pp. 1 a 8. (CD-ROM)BARCELOS, C. A. Z. Coordenadora de Projeto de Pesquisa. Processo 502924/2004-7. Modalidade do processo: AI - Auxilio Integrado. Edital CNPq 05/2004, http://www.cnpq.br/resultadosjulgamento/lista02.pdf. Auxílio Integrado ao Projeto "Processamento de Imagens via Equações Diferenciais Parciais Modelagem - Aspectos Numéricos e Computacionais". Vigência 08/2004 a 07/2007.BARCELOS, C. A. Z. Coordenadora de Projeto de Pesquisa. Processo 302549/2003-0. Modalidade do processo PQ - Produtividade Em Pesquisa.Título do Projeto: "Processamento de Imagens via Equações Diferenciais Parciais Modelagem - Aspectos Numéricos e Computacionais. Vigência: agosto de 2003 a 28/02/2006.AGUSTINI, E. Coordenador do Projeto de Pesquisa: "Aplicações de Geometria Hiperbólica e Diferencial em Teoria da Informação e Codificação - Aspectos Probabilísticos". PEP/UFU-2003. Vigência: 07/2004 a 06/2006. SARAMAGO, S. F. P. Coordenadora de projeto de pesquisa TEC 80084/02 -FAPEMIG: "Projeto Ótimo de Robôs Manipuladores 3R, Considerando seu Espaço de Trabalho". Vigência: 08/2003 a 10/2005.ALMEIDA, C. G. Coordenador de projeto de pesquisa CEX 80847/02 - FAPEMIG: "Análise Numérica e Matemática de escoamentos em meios porosos". Vigênica: 08/2003 a 10/2005.CARVALHO, C. F. Coordenador de projeto de pesquisa CEX 80140/02 - FAPEMIG: "Estudo de uma classe de semigrupos relacionada a pontos ramificados de recobrimentos de curvas". Vigência: 07/2003 a 10/2005.PINTO, R. M. C. Coordenador do Projeto de Pesquisa: "Avaliação da interação genótipos x ambientes utilizando a metodologia "AMMI" (aditive main effects and multiplicative interaction)". PEP/UFU-2003. Vigência: 05/2004 a 04/2006.SILVA,, H. D. Coordenador do Projeto de Pesquisa: "Estudo da curva de crescimento de bovinos da raça Nelore". PEP/UFU-2003. Vigência: 05/2004 a 04/2006.CUNHONG, Z. Coordenador do Projeto de Pesquisa: "Semigrupos e Geometria Algébrica real". PEP/UFU-2003. Vigência: 07/2004 a 06/2006.

CÂMARA, M. A. Coordenador do Projeto de Pesquisa: "Aplicação da Teoria de Weierstrass ao Estudo dos Códigos Geométricos de Goppa". PEP/UFU-2003. Vigência: 03/2004 a 02/2006.PINTO, R. M. C. Coordenador do Projeto: "Formação de Grupos Heterótipos com Linhagens de Milho Tropical Utilizando-se a Representação Biplot AMMI". CAG 38/03 - DIPOC 191/2004 - FAPEMIG. Vigência: 10/2004 a 09/2005. SILVA, H. D. Coordenador do Projeto: "Incorporação da Dependência Espacial no Mapeamento de QTL's para Resistência a Doenças do Milho". CAG 36/03 - DIPOC 190/2004 FAPEMIG. Vigência: 10/2004 a 09/2005.SOUZA, Jr. A. J. Coordenador do Projeto de Ensino "Aprimoramento do ensino estatístico e trabalhos de projetos na universidade" - Projeto E05/019-1. PIBEG-UFU. Edital PRGRAD 1/2005. Vigência: 07/2005 a 06/2006. (orientador: Edmilson Rodrigues Pinto)SALOMÃO, L. A. D. Coordenador do Projeto de Ensino "Interdisciplinaridade e Interação Construtiva: uma experiência à luz das novas diretrizes curriculares" - Projeto E05/020-1,2,3,4. PIBEG-UFU. Edital PRGRAD 1/2005. Vigência: 07/2005 a 06/2006.SOUZA Jr, A. J. Coordenação de Projeto de Pesquisa: CNPq-UFU Desenvolvimento Tecnológico. Edital 014/2004. Projeto: "Ferramenta de autoria para criação de Webquest". Vigência: 07/2005 a 06/2006.SILVA, E. C. Coordenador do Projeto de Pesquisa "Sobre funções de ordens fracas e códigos geométricos de Goppa". PEP/UFU-2004. Vigência: 01/2005 a 12/2006.BONFIM, L. R. P. Coordenadora do Projeto de Pesquisa "Análise qualitativa de equações de reação-difusão". PEP-UFU-2004. Vigência: 01/2005 a 12/2006SICRE, M. R. Coordenador do Projeto de Pesquisa "Implementação e estudo de metodos essencialmente não oscilatórios em malhas não estruturadas e sua aplicação a escoamento de gases reativos compressíveis". PEP/UFU-2004. Vigência: 01/2005 a 12/2006.JAFELICE, R. S. M. Coordenadora do Projeto de Pesquisa "Modelagem Fuzzy da Evolução da AIDS". PEP/UFU-2004. Vigência: 01/2005 a 12/2006.GUIMARÃES, E. C. Coordenador do projeto de pesquisa "Análise da Dependência Espacial de Variáveis Climáticas no Estado de Minas Gerais". EDT 1923/03 - DIPOC 169/2004 FAPEMIG. Vigência: 07/2004 a 06/2006.JAFELICE. R. S. M. Coordenadora do projeto de pesquisa "Biomatemática e Modelagem Epidemiológica: Uma Abordagem para o Estudo da Evolução da AIDS utilizando a Teoria dos Conjuntos Fuzzy". FAPEMIG. Processo no. CEX 109/04. Vigência: 03/05/2005 a 03/05/2007.JAFELICE, R. S. M. Publicação do livro "Teoria dos Conjuntos Fuzzy com Aplicações". Uma publicação da SBMAC – Editora Plêide – ISBN 85-7651-020-0. 2o. semestre de 2005.BOTELHO, G. M. A. Participação em banca examinadora de concurso público para professor-doutor no IME-USP, São Paulo, 04-08/07/2005.

DANTAS, M. J. H. Membro de banca de dissertação de mestrado. Título: "Análise da Dinâmica de um sistema Vibrante não Ideal de dois graus de Liberdade". Aluno: Luiz Oreste Cauz. Programa de Pós-Graduação em Matemática Aplicada, UNESP-São José do Rio Preto, 25/07/2005. Outros membros da banca: Masayoshi Tsushida (Orientador) e Manoel Ferreira Borges Neto.CARVALHO, C. F. Membro de banca de dissertação de mestrado. Título: Apresentação de senhas em máquinas hostis. Candidata: Karla Aparecida Perine Lagares. Instituição: FACOM-UFU. Data: 22/09/2005. Outros membros da banca: Jeroen Antonius Maria Van der Graaf e João Nunes de Souza (orientador).JAFELICE, R. S. M. Membro de banca de dissertação de mestrado. Candidato: Fernando Feltrin Milani. Instituição: UNESP-Campus de São José do Rio Preto-SP. Data: 21/07/2005. Outros membros da banca: Cleonice Fátima Bracialli (orientadora) e Alagacone Sri Ranga.PINTO, R. M. C. Membro de Banca de Defesa de Dissertação de Mestrado de Kátia Bernardeli. “MAPEAMENTOS DE QTLS ASSOCIADOS A ESPESSURA DA PAREDE DO COLMO EM MILHO”. 29/09/2005. Programa de Pós-Graduação em Agronomia da Unversidade Federal de Uberlândia-MG. Outros membros da banca: SILVA, H. D. (Orientador); BRITO, C. H.BOTELHO, G. M. A. Membro de banca de dissertação de mestrado. Título: O teorema de Dvoretzky-Rogers. Candidato: Alex Farah Pereira. Instituição: IM-UFRJ. Data: 13/10/2005. Demais membros da banca: Luíza Amália de Moraes (Orientadora -UFRJ) e Antônio Roberto da Silva (UFRJ).BOTELHO, G. M. A. Membro de banca de dissertação de mestrado. Título: Fatoração de operadores fracamente compactos entre espaços de Banach. Candidato: Ariosvaldo Marques Jatobá. Instituição: IMECC-Unicamp. Data: 05/08/2005. Demais membros da banca: Jorge Mujica (orientador - IMECC-Unicamp) e Mário Carvalho de Matos (IMECC-Unicamp).GUIMARÃES, E. C. Membro de banca de dissertação de mestrado de Marcos André Silva Souza. "Comportamento espacial e temporal de alguns atributos em Latossolo Vermelho Distrófico na cafeicultura do Cerrado". (Mestrado em Agronomia) -Universidade Federal de Uberlândia. Data: 28/07/05. Outros membros da banca: Elias Nascentes Borges (orientador), Regina Maria Q. Lana e Alberto Carvalho Filho.GUIMARÃES, E. C. Membro de banca de dissertação de mestrado de Rafael Montanari. "Variabilidade Espacial de classes de solos influênciados pela paisagem". (Mestrado em Agronomia (Ciências do Solo) [Jaboticabal]) - Universidade Estadual Paulista Júlio de Mesquita Filho. Data: 25/11/05. Outros membros da banca: Gener Tadeu Pereira (orientador) e José Carlos Barbosa.SARAMAGO, S. F. P. Banca de Dissertação de Mestrado, Aluno: Luís Henrique Moedinger, PUC-PR, 05/09/05. Outros membros da banca: Leandro dos Santos Coelho (orientador) e Júlio César Nievola.

BOTELHO, G. M. A. Membro de banca de tese de doutorado. Tese: Operadores hipercíclicos e funções analíticas em espaços de Banach. Candidato: André Arbex Hallack. Instituição: IME-USP. Data: 11/11/2005. Demais membros da banca: Mary Lilian Lourenço (orientadora - IME-USP), Richard Aron (Kent State University, Kent-Ohio), Raymundo Luiz de Alencar (IMECC-Unicamp) e Nilson Bernarder (UFF).SICRE, M. R. Membro de Banca de Tese de Doutorado. Título: "Otimização de trajetórias de robôs com estrutura paralela". Aluno: Plínio José de Oliviera. Local: FEMEC-UFU. Data: 30/08/05. Outros membros da banca: Sezimária de Fátima Pereira Saramago (orientadora), João Carlos M Carvalho, José Mauricio S Motta e Luiz Siqueira M Filho.SARAMAGO, S. F. P. Banca de Tese de Doutorado, Aluno: Dogmar Antônio de Souza Júnior, UFU, 12/12/05. Outros membros da banca: Francisco Antônio R Gesualdo (orientador), Cleudmar Amaral de Araújo, Renato Bertolino Júnior, João Alberto V. Requena.CÂMARA, M. A. Banca de monografia de final de curso de graduação. "Introdução à geometria Algébrica". Aluno: Jairo Menezes e Souza. 14/12/2005. PET-Matemática. Demais membros da banca: Ercílio Carvalho da Silva e Cícero Fernandes de Carvalho (orientador).SILVA, E. C. Banca de monografia de final de curso de graduação. "Introdução à geometria Algébrica". Aluno: Jairo Menezes e Souza. 14/12/2005. PET-Matemática. Demais membros da banca: Ercílio Carvalho da Silva e Cícero Fernandes de Carvalho (orientador).CAMARA, M. A. Membro de Banca de Monografia. Título: Modelagem de Problemas de Matemática Financeira e Suas Resoluções Utilizando Técnicas Matemática e Computacionais. Aluna: Leone Alves Leite. VII Curso de Especialização em Matemática. 12/08/2005. Outros membros da banca: Edson Agustini e César Guilherme de Almeida (orientador).AGUSTINI, E. Membro de Banca de Monografia. Título: Modelagem de Problemas de Matemática Financeira e Suas Resoluções Utilizando Técnicas Matemática e Computacionais. Aluna: Leone Alves Leite. VII Curso de Especialização em Matemática. 12/08/2005. Outros membros da banca: Marcos Antônio da Câmara e César Guilherme de Almeida (orientador).ALMEIDA, C. G. Membro de Banca de Monografia. Título: Modelagem Fuzzy na Saúde. Aluna: Wanda Aparecida Lopes. VII Curso de Especialização em Matemática. 10/08/2005. Outros membros da banca: Edson Agustini e Rosana Sueli da Motta Jefelice (orientadora).AGUSTINI, E. Membro de Banca de Monografia. Título: Modelagem Fuzzy na Saúde. Aluna: Wanda Aparecida Lopes. VII Curso de Especialização em Matemática. 10/08/2005. Outros membros da banca: César Guilherme de Almeida e Rosana Sueli da Motta Jefelice (orientadora).

CUNHONG, Z. Membro de Banca de Monografia. Título: O Modelo de Leslye para

Crescimento Populacional. Aluna: Juliana de Souza Guimarães. VII Curso de Especialização em Matemática. 12/08/2005. Outros membros da banca: Rosana Sueli da Motta Jefelice e Edson Agustini (orientador).JAFELICE, R. S. M. Membro de Banca de Monografia. Título: O Modelo de Leslye para Crescimento Populacional. Aluna: Juliana de Souza Guimarães. VII Curso de Especialização em Matemática. 12/08/2005. Outros membros da banca: Zhang Cunhong e Edson Agustini (orientador).AGUSTINI, E. Membro de Banca de Monografia. Título: As Cônicas e a Equação Geral do 2o. Grau. Aluno: Kleyber Moura Ribeiro. VII Curso de Especialização em Matemática. 11/08/2005. Outros membros da banca: Luís Antônio Benedetti e Mário Luiz de Mendonça Faria (orientador).BENEDETTI, L. A. Membro de Banca de Monografia. Título: As Cônicas e a Equação Geral do 2o. Grau. Aluno: Kleyber Moura Ribeiro. VII Curso de Especialização em Matemática. 11/08/2005. Outros membros da banca: Edson Agustini e Mário Luiz de Mendonça Faria (orientador).BONFIM, L. R. P. Membro de banca de monografia. Título: Caracterização dos Polígonos Equicompostos e uma Introdução ao Cálculo Avançado, com Aplicações". Aluna: Katiúcia Mendes dos Santos. VII Curso de Especialização em Matemática. 09/08/2005. Outros membros da banca: Antônio Carlos Nogueira e Valdair Bonfim (orientador).NOGUEIRA, A. C. Membro de banca de monografia. Título: Caracterização dos Polígonos Equicompostos e uma Introdução ao Cálculo Avançado, com Aplicações". Aluna: Katiúcia Mendes dos Santos. VII Curso de Especialização em Matemática. 09/08/2005. Outros membros da banca: Lúcia Resende Pereira Bonfim e Valdair Bonfim (orientador).BONFIM, L. R. P. Membro de banca de monografia. Título: Comparação entre as integrais de Riemann e de Lebesgue. Aluno: Ricardo Magno Carvalho de Melo. VII Curso de Especialização em Matemática. 13/07/2005. Outros membros da banca: Marcos Antônio da Câmara e Geraldo Márcio de Azevedo Botelho (orientador).CAMARA, M. A. Membro de banca de monografia. Título: Comparação entre asintegrais de Riemann e de Lebesgue. Aluno: Ricardo Magno Carvalho de Melo. VII Curso de Especialização em Matemática. 13/07/2005. Outros membros da banca: Lúcia Resende Pereira Bonfim e Geraldo de Azevedo Botelho (orientador).GUIMARÃES, E. C. Membro de Banca de Monografia. Título: Análise dos fornecedores de couro bovino em relação à qualidade, utilizando análise multivariada. Aluno: Frederico Gilber de Campos. VII Curso de Especialização em Matemática. 12/08/2005. Outros membros da banca: Marcelo Tavares e Rogério de Melo Costa Pinto (orientador).TAVARES, M. Membro de Banca de Monografia. Título: Análise dos fornecedores de couro bovino em relação à qualidade, utilizando análise multivariada. Aluno: Frederico Gilber de Campos. VII Curso de Especialização em Matemática. 12/08/2005. Outros

membros da banca: Ednaldo Carvalho Guimarães e Rogério de Melo Costa Pinto (orientador).

GUIMARÃES, E. C. Membro de Banca de Monografia. Título: Evolução do INPC no periodo de janeiro de 1995 a dezembro de 2004, uma aplicação de séries temporais. Aluno: Cleber Ferreira Oliveira. VII Curso de Especialização em Matemática. 12/08/2005. Outros membros da banca: Marcelo Tavares e Heyder Diniz Silva (orientador).TAVARES, M. Membro de Banca de Monografia. Título: Evolução do INPC no periodo de janeiro de 1995 a dezembro de 2004, uma aplicação de séries temporais. Aluno: Cleber Ferreira Oliveira. VII Curso de Especialização em Matemática. 12/08/2005. Outros membros da banca: Ednaldo Carvalho Guimarães e Heyder Diniz Silva (orientador).GUIMARÃES, E. C. Membro de Banca de Monografia. Título: Tomada de decisão por meio de técnicas estatísticas aplicadas em Marketing. Aluna: Kelbia Cristina Braga Santos. VII Curso de Especialização em Matemática. 12/08/2005. Outros membros da banca: Rogério de Melo Costa Pinto e Marcelo Tavares (orientador).PINTO, R. M. C. Membro de Banca de Monografia. Título: Tomada de decisão por meio de técnicas estatísticas aplicadas em Marketing. Aluna: Kelbia Cristina Braga Santos. VII Curso de Especialização em Matemática. 12/08/2005. Outros membros da banca: Ednaldo Carvalho Guimarães e Marcelo Tavares (orientador).NOGUEIRA, A. C. Membro de Banca de Monografia. Título: Códigos Corretores de Erros Lineares. Aluna: Adenilce Oliveira Souza. VII Curso de Especialização em Matemática. 15/07/2005. Outros membros da banca: Luíz Alberto Duran Salomão e Marcos Antônio da Câmara (orientador).SALOMÃO, L. A. D. Membro de Banca de Monografia. Título: Códigos Corretores de Erros Lineares. Aluna: Adenilce Oliveira Souza. VII Curso de Especialização em Matemática. 15/07/2005. Outros membros da banca: Antônio Carlos Nogueira e Marcos Antônio da Câmara (orientador).SALOMÃO, L. A. D. Membro de Banca de Monografia. Título: Polinômios e equações polinomiais. Aluna: Ana Thaís Pereira. VII Curso de Especialização em Matemática. 09/08/2005. Outros membros da banca: Marcos Antônio da Câmara e Antônio Carlos Nogueira (orientador).CÂMARA, M. A. Membro de Banca de Monografia. Título: Polinômios e equações polinomiais. Aluna: Ana Thaís Pereira. VII Curso de Especialização em Matemática. 09/08/2005. Outros membros da banca: Luíz Alberto Duran Salomão e Antônio Carlos Nogueira (orientador).ALMEIDA, D. M. Membro de Banca de Monografia. Título: A evolução do conceito de volume do Egito a Cavalieri. Aluno: Luiz Gambogi. VII Curso de Especialização em Matemática. 11/08/2005. Outros membros da banca: Arlindo José de Souza Júnior e Luís Antônio Benedetti (orientador).

SOUZA Jr. A. J. Membro de Banca de Monografia. Título: A evolução do conceito de volume do Egito a Cavalieri. Aluno: Luiz Gambogi. VII Curso de Especialização em Matemática. 11/08/2005. Outros membros da banca: Dulce Mary de Almeida e Luís Antônio Benedetti (orientador).ALMEIDA, D. M. Membro de Banca de Monografia. Título: uma generalização do Teorema de Pick. Aluna: Déborah Patrícia Santos do Nascimento Oliveira. VII Curso de Especialização em Matemática. 11/08/2005. Outros membros da banca: Luíz Alberto Duran Salomão e Walter dos Santos Motta Júnior (orientador).SALOMÃO, L. A. D. Membro de Banca de Monografia. Título: uma generalização do Teorema de Pick. Aluna: Déborah Patrícia Santos do Nascimento Oliveira. VII Curso de Especialização em Matemática. 11/08/2005. Outros membros da banca: Dulce Mary de Almeida e Walter dos Santos Motta Júnior (orientador).SARAMAGO, S. F. P. Membro de Banca de Monografia. Título: Uma Introdução à mecânica clássica: força central e movimento planetário. Aluno: Neilon José de Oliviera. VII Curso de Especialização em Matemática. 14/07/05. Outros membros da banca: Valdair Bonfim e Márcio José Horta Dantas (orientador).BONFIM V. Membro de Banca de Monografia. Título: Uma Introdução à mecânica clássica: força central e movimento planetário. Aluno: Neilon José de Oliviera. VII Curso de Especialização em Matemática. 14/07/05. Outros membros da banca: Sezimária de Fátima Pereira Saramago e Márcio José Horta Dantas (orientador).SICRE, M. R. Membro de Banca de Monografia. Título: Um estudo sobre algoritmo genético. Aluno: Sidney Tadeu Santiago. VII Curso de Especialização em Matemática. 06/07/2005. Outros membros da banca: Rosana Sueli da Motta Jafelice e Sezimária de Fátima Pereira Saramago (orientadora).JAFELICE, R. S. M. Membro de Banca de Monografia. Título: Um estudo sobre algoritmo genético. Aluno: Sidney Tadeu Santiago. VII Curso de Especialização em Matemática. 06/07/2005. Outros membros da banca: Mauricio Romero Sicre e Sezimária de Fátima Pereira Saramago (orientadora).TAVARES, M. Membro de Banca de Monografia. Título: Uso de paródias musicais nas disciplinas de matemática e física na Escola Agrotécnica Federal de Uberlândia: Comparação estatística de desempenho. Aluna: Tatyana Maestri de Barros Soares. VII Curso de Especialização em Matemática. 11/08/2005. Outros membros da banca:Rogério de Melo Costa Pinto e Ednaldo Carvalho Guimarães (orientador).PINTO, R. M. C. Membro de Banca de Monografia. Título: Uso de paródias musicais nas disciplinas de matemática e física na Escola Agrotécnica Federal de Uberlândia: Comparação estatística de desempenho. Aluna: Tatyana Maestri de Barros Soares. VII Curso de Especialização em Matemática. 11/08/2005. Outros membros da banca: Marcelo Tavares e Ednaldo Carvalho Guimarães (orientador).NOGUEIRA, A. C. Membro de Banca de Monografia. Título: Investigando a trajetória de uma situação problema. Aluna: Vanessa de Fátima Cruz. VII Curso de Especialização em Matemática. 12/08/2005. Outros membros da banca: Luís Antônio

Benedetti e Arlindo José de Souza Júnior (orientador).

BENEDETTI, L. A. Membro de Banca de Monografia. Título: Investigando a trajetória de uma situação problema. Aluna: Vanessa de Fátima Cruz. VII Curso de Especialização em Matemática. 12/08/2005. Outros membros da banca: Antônio Carlos Nogueira e Arlindo José de Souza Júnior (orientador).PEREIRA, M. G. Membro de Banca de Monografia. Título: Algumas alternativas metodológicas para o ensino da matemática. Aluna: Helenice Maria Costa. VII Curso de Especialização em Matemática. 12/08/2005. Outros membros da banca: Valdair Bonfim e Lúcia Resende Pereira Bonfim (orientadora).BONFIM, V. Membro de Banca de Monografia. Título: Algumas alternativas metodológicas para o ensino da matemática. Aluna: Helenice Maria Costa. VII Curso de Especialização em Matemática. 12/08/2005. Outros membros da banca: Maria das Graças Pereira e Lúcia Resende Pereira Bonfim (orientadora).GUIMARÃES, E. C. Participação em banca de trabalho de conclusão de curso de Adriana Figueiredo. "Ciclo de vida do fitonematoide Rotylenchulus reniformis em algodoeiro ao longo do ano sob condições de casa de vegetação". Graduação em Agronomia - Universidade Federal de Uberlândia. Data: 01/07/05. Outros membros da banca: Maria Amelia dos Santos (orientadora) e Julio Cesar Viglioni Penna.CARVALHO, C. F. Palestra "On Weierstrass semigroups at one or several points" proferia no Symposium on Algebraic Curves, 19-22/12/2005. Tóquio, Japão.SALOMÂO, L. A. D. Palestra "Estratégias para resolução de problemas". V Semana do Curso de Licenciatura em Matemática da Fundação Educacional de Ituiutaba-MG. 05/10/2005.SICRE, M. R. Minicurso: "Análise Convexa". Evento: XX Semana do IME/UFG. Goiânia-GO, 03-07/10/2005.SILVA, H. D. Palestra: "Métodos biométricos aplicados à análise de QTLs". 11 Seagro - Simpósio de Estatística Aplicada à Experimentação Agropecuária e 50 RBRAS -Reunião Anual da Região Brasileirada Sociedade Internacional de Biometria. Londrina-PR. 04-08/07/2005.FREITAS, M. T. M. Coordenação de mesa redonda "A comunicação e os processos de escritas nas aulas de matemática" no 15o. COLE - Congresso de Leitura do Brasil. 05-08/07/2005. Campinas-SP.ALMEIDA, D. M. Palestra "Sobre a Aplicação de Gauss de superfícies de Riemann imersas em H3 e H4".Evento: I Encontro de Geometria Diferencial da UFRJ-Universidade Federal do Rio de Janeiro. 01 a 05 de agosto de 2005. Data da palestra: 03 de agosto.PINTO, R. M. C. Parecer ad-hoc do artigo número 055/05 da REVISTA SCIENTIA AGRICOLA. Novembro de 2005.SARAMAGO, S. F. P. Parecer ad-hoc para o Processo Capes AEX 1016/05-9: título: Reconstrução de Superfícies no Planejamento de Trajetórias de tarefas de Robôs

através de Diagramas de Voronoi ; Autor: Altamir Dias; ago/05.

SARAMAGO, S. F. P. Parecer ad-hoc para o Evento: Iberian Latin American Congress On Computational Methods In Engeneering- CILAMCE 2005, paper code: CIL0200, Title: Aplicação de Métodos de Otimização Não Linear na Definição da Composição Granulométrica de Agregados, ago/05. SARAMAGO, S. F. P. Parecer ad-hoc para o Evento: Iberian Latin American Congress On Computational Methods In Engeneering - CILAMCE 2005, paper code: CIL0659, Title: Reliability –Based Desig Optimization of Reinforced Concrete Cross-Section under Uniaxial Moment and axi8al Force, ago/05. SOUZA Jr. A. J. Consultor ad hoc do artigo "Filosofia da Matemática e Educação Matemática para a concessão de incentivo funcional por produção científica". IV CONFERÊNCIA NACIONAL SOBRE MODELAGEM E EDUCAÇÃO MATEMÁTICA. Universidade Estadual de Feira de Santana.SOUZA Jr., A. J. Consultor ad-hoc do artigo "Visão de Matemática: processo infindável de movimentos e desdobramentos para a concessão de incentivo funcional por produção científica". IV CONFERÊNCIA NACIONAL SOBRE MODELAGEM E EDUCAÇÃO MATEMÁTICA. Universidade Estadual de Feira de Santana.GUIMARÃES, E. C. Consultoria Científica à Revista de Matemática e Estatística. Artigo "22/05 RevMat.Est". 2o. Semestre de 2005. (consultoria Científica).GUIMARÃES, E. C. Consultoria Científica ao Instituto de Pesquisas e Estudos Florestais - IPEF - Manuscrito 0040/04. 2005. (Consultoria Científica).JAFELICE, R. S. M. Parecer ad-hoc do artigo "A Self-Learning Fuzzy Discrete Event System for HIV/AIDS Treatment Regiment Selection". SMCB – E-10282005-0732 -IEEE Transactions on Systems, Man and Cybernetics – Part B.TAVARES, M. Consultor ad-hoc da Revista Horticultura Brasileira – Manuscrito HB 344-05. 2005. (consultoria Científica).TAVARES, M. Consultor ad-hoc da Revista Horticultura Brasileira – Manuscrito no 5220. 2005. (consultoria Científica).TAVARES, M. Consultor ad-hoc da Revista Brasileira de Botânica – Manuscrito no 49/05. 2005. (consultoria Científica).TAVARES, M. Consultor ad-hoc da Revista Bragantia – Manuscrito no 397/05. 2005. (consultoria Científica).TAVARES, M. Consultor ad-hoc da Revista Brasileira de Botânica – Manuscrito no 404/05. 2005. (consultoria Científica).BARCELOS, C. A. Z. Parecer ad-hoc. CNPq - Processo 304574/2005-8. out/2005.BARCELOS, C. A. Z. Parecer ad-hoc. CNPq - Processo 305737/2005-8. out/2005.BARCELOS, C. A. Z. Parecer ad-hoc. CNPq - Processo 304091/2005-7. out/2005.BARCELOS, C. A. Z. Parecer ad-hoc. CNPq - Processo 460099/2005-1. dez/2005.BARCELOS, C. A. Z. Parecer ad-hoc. IPSE – Inverse problem in Science and Engineering. No. IPSE-05416. nov/2005.

BARCELOS, C. A. Z. Parecer ad-hoc. Journal IEE Proc. Vision, Image & Signal Processing. No. Vis-2004-5242. set/2005.BARCELOS, C. A. Z. Parecer ad-hoc. Journal of Mathematical Imaging and Vision. No. JMIV48. out/2005.BOTELHO, G. M. A. Resenha publicada no Mathematical Reviews-AMS: Factorization of injective ideals of n-homogeneous polynomials, by H. Braunss and H. Junek, in J. Math. Anal. Appl. 297 (2004), 740-750, AMS-2005.BOTELHO, G. M. A. Resenha publicada no Mathematical Reviews-AMS: Dominated, diagonal polynomials on lp-spaces, by R. Cilia and J. Gutierrez, in Arch. Math. 84 (2005), 421-431, AMS-2005.BOTELHO, G. M. A. Resenha publicada no Mathematical Reviews-AMS: Extension of vector-valued integral polynomials, by D. Carando and S. Lassalle, in J. Math. Anal. Appl. 307 (2005), 77-85, AMS-2005.

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