Factory Physics Principles

7/27/2019 Factory Physics Principles

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1 I n t r o d u c t i o n

\ F o r t h e s c i e n t i s t , t h e r e i s o n l y ` b e i n g ' , b u t n o w i s h i n g , n o

g o o d , n o e v i l - i n s h o r t , n o g o a l . " ( A l b e r t E i n s t e n 1 9 5 1 )

T h o u g h t h e r e h a s b e e n a m o r e t h a n c e n t u r y l o n g h i s t o r y o f s c i e n t i c m a n a g e m e n t a n d s t u d y

o f m a n u f a c t u r i n g s y s t e m , m o s t i n t e n s i v e r e s e a r c h o n m a n u f a c t u r i n g s y s t e m h a s h a p p e n e d i n t h e

1 9 8 0 s a n d t h e e a r l y 1 9 9 0 s . ( F o r a h i s t o r y a c c o u n t , s e e , f o r e x a m p l e , C h a p t e r 1 o f H o p p a n d

S p e a r m a n ( 2 0 0 0 ) . ) T h e m o r e r e c e n t r e s e a r c h i s b u i l t u p o n t h e s u c c e s s o f o p e r a t i o n s r e s e a r c h

d u r i n g t h e W o r l d W a r I I a n d i t s r a p i d d e v e l o p m e n t i n t h e 1 9 6 0 s w i t h t h e e m e r g i n g c o m p u t e r

t e c h n o l o g y , a n d i s s t i m u l a t e d b y t h e c h a l l e n g e f r o m J a p a n e s e m a n u f a c t u r e r s i n t h e 1 9 8 0 s . T h e r e

h a v e b e e n h u n d r e d s , i f n o t t h o u s a n d s , o f r e s e a r c h p a p e r s o n s t u d y i n g v a r i o u s m a n u f a c t u r i n g

m o d e l s f r o m t h e i r p e r f o r m a n c e a n a l y s i s , o p t i m a l d e s i g n t o o p t i m a l c o n t r o l . F o r s o m e r e f e r e n c e s

i n t h i s v a s t l i t e r a t u r e , r e a d e r s a r e r e f e r r e d t o r e f e r e n c e s i n b o o k s b y K e l l y ( 1 9 7 9 ) , B u z a c o t t a n d

S h a n t h i k u m a r ( 1 9 9 2 ) a n d Y a o ( 1 9 9 4 ) .

M a n u f a c t u r i n g s y s t e m s v a r y w i t h p r o d u c t s a n d m a n u f a c t u r i n g p r o c e s s e s . B a s e d o n t h e

m a t e r i a l o w s i n m a n u f a c t u r i n g s y s t e m s , m a n u f a c t u r i n g p r o c e s s e s h a v e b e e n c l a s s i e d i n t o j o b

s h o p s , o w l i n e s a n d c o n t i n u o u s o w p r o c e s s e s . W h i l e m o s t r e s e a r c h r e s u l t s i n m a n u f a c t u r i n g

s y s t e m s a r e a b o u t s p e c i c s y s t e m s a n d s u m m a r i z e d a s T h e o r e m s o r P r o p o s i t i o n s , i t s e e m s

n a t u r a l t o s e a r c h f o r r e s u l t s t h a t h a v e b r o a d a p p l i c a b i l i t y a n d t h a t c a n b e c a l l e d l a w s . I n

p h y s i c s , t h e r e a r e l a w s s u c h a s N e w t o n ' s 2 n d L a w , a n d i n p r o b a b i l i t y t h e o r y , t h e r e a r e l a w s s u c h

a s S t r o n g L a w - o f - L a r g e - N u m b e r s a n d L a w - o f - I t e r a t e d - L o g a r i t h m . I n m a n u f a c t u r i n g s y s t e m s ,

t h e m o s t w i d e l y a p p l i c a b l e r e s u l t , L i t t l e ' s F o r m u l a , h a s a l s o b e e n k n o w n a s L i t t l e ' s L a w , w h i c h

s t a t e s t h a t t h e a v e r a g e n u m b e r o f j o b s i n a s y s t e m e q u a l s t h e a v e r a g e r a t e o f j o b s e n t e r i n g t h e

s y s t e m m u l t i p l i e d b y t h e a v e r a g e t i m e j o b s s p e n t i n t h e s y s t e m .

I n t h e a w a r d - w i n n i n g b o o k b y H o p p a n d S p e a r m a n ( 2 0 0 0 ) , t h e a u t h o r s p r o p o s e d s o m e

f a c t o r y p h y s i c s p r i n c i p l e s t h r o u g h a n a l y z i n g a c l a s s o f w h a t a r e c a l l e d d i s c o n n e c t e d o w l i n e

m a n u f a c t u r i n g s y s t e m s . T h e s e p r i n c i p l e s i n c l u d e t h e l a w s s u c h a s L i t t l e ' s L a w , t h e l a w o f

v a r i a b i l i t y , t h e l a w o f u t i l i z a t i o n , t h e l a w o f r e w o r k , t h e l a w o f l e a d t i m e , t h e l a w o f C O N W I P

e c i e n c y ( w h e r e C O N W I P i s s h o r t f o r C o n s t a n t W o r k - I n - P r o c e s s ) , a m o n g o t h e r s . A l l o f t h e s e

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l a w s a r e s i m p l e a n d e a s y t o c o m m u n i c a t e . A c c o r d i n g t o O x f o r d D i c t i o n a r y , a s c i e n t i c l a w i s a

\ f a c t u a l s t a t e m e n t o f w h a t a l w a y s h a p p e n s i n c e r t a i n c i r c u m s t a n c e s " . I n p h y s i c s , t h e v a l i d a t i o n

o f a l a w i s u s u a l l y d o n e t h r o u g h n u m e r o u s e x p e r i m e n t s . I n m a t h e m a t i c s , t h e v a l i d a t i o n o f a l a w i s

u s u a l l y d o n e t h r o u g h a p r o o f ( u n d e r s o m e m o r e f u n d a m e n t a l a x i o m s ) , t h o u g h e x p e r i m e n t s h a v e

a l s o b e e n u s e d b y m a t h e m a t i c i a n s . F o r e x a m p l e , a n u m b e r o f m a t h e m a t i c i a n s e x p e r i m e n t e d

w i t h i p p i n g c o i n s t o t e s t t h e S t r o n g L a w - o f - L a r g e - N u m b e r s . C o m p u t e r s i m u l a t i o n i s a l s o a

c o n v e n i e n t t o o l o f u s e f o r e x p e r i m e n t s . T h e e x p e r i m e n t s o r t h e p r o o f s c a n b e u s e d n o t o n l y

t o v a l i d a t e a l a w , b u t a l s o t o i d e n t i f y t h e c i r c u m s t a n c e s u n d e r w h i c h i t i s v a l i d . L i t t l e ' s L a w

w a s i n t r o d u c e d b y L i t t l e ( 1 9 6 1 ) a n d p r o v e d b y m a n y a u t h o r s u n d e r d i e r e n t c i r c u m s t a n c e s ;

i n t e r e s t e d r e a d e r s a r e r e f e r r e d t o W h i t t ( 1 9 9 1 ) a n d E l - T a h a a n d S t i d h a m ( 1 9 9 9 ) f o r r e f e r e n c e s .

H o w e v e r , a l l o f t h e o t h e r f a c t o r y p h y s i c s l a w s m e n t i o n e d a b o v e h a v e n o t b e e n a s w e l l - s t u d i e d i n

t e r m s o f v a l i d a t i o n a n d t h e i r g e n e r a l a p p l i c a b i l i t y . O u r p r e l i m i n a r y a n a l y s i s s e e m s t o s u g g e s t

t h a t e x c e p t f o r t h e w e l l - s t u d i e d L i t t l e ' s L a w , a l l o f t h e o t h e r f a c t o r y p h y s i c s l a w s m e n t i o n e d

a b o v e h a v e l i m i t e d a p p l i c a b i l i t y w h e n a p p l i e d t o n o n - M a r k o v a n d n o n - t a n d e m s y s t e m s . T h u s ,

i t m a y b e q u e s t i o n a b l e w h e t h e r t h e y s h o u l d b e c a l l e d l a w s , u n l e s s f u r t h e r r e s e a r c h c a n e s t a b l i s h

a b r o a d e r c l a s s o f c i r c u m s t a n c e s u n d e r w h i c h t h e y h o l d .

I n t h i s p a p e r , w e e x a m i n e t h e a b o v e m e n t i o n e d f a c t o r y p h y s i c s l a w s . I n s t e a d o f i d e n t i f y i n g

t h e e x a c t c i r c u m s t a n c e s o r c o n d i t i o n s t h a t a r e n e c e s s a r y a n d s u c i e n t f o r a l a w t o b e t r u e , w e

h a v e a m o d e s t o b j e c t i v e : f o r s o m e l a w s , w e i d e n t i f y o r c i t e s o m e s u c i e n t c o n d i t i o n s f o r t h e m

t o h o l d , w h i l e f o r s o m e o t h e r l a w s , w e n d s o m e c o u n t e r e x a m p l e s . I n o u r a n a l y s i s , w e d o n o t

r e s t r i c t i v e o u r s e l v e s t o t h e c l a s s o f m a n u f a c t u r i n g s y s t e m s s t u d i e d b y H o p p a n d S p e a r m a n ( 2 0 0 0 ) ,

w h i c h a r e e s s e n t i a l l y s i n g l e c l a s s t a n d e m n e t w o r k s . W e p u t t h e s e l a w s i n t o t e s t a m o n g a m u c h

l a r g e r c l a s s o f m a n u f a c t u r i n g s y s t e m s , s i n c e m o d e r n m a n u f a c t u r i n g p r o c e s s e s h a v e m o r e v a r i e t y

a n d a r e m o r e c o m p l e x . T h e m o s t n o t a b l e e x a m p l e i s t h e w a f e r f a b r i c a t i o n p r o c e s s , w h e r e t h e

r a w w a f e r m a y r e p e a t e d l y v i s i t t h e s a m e s e t o f s t a t i o n s f o r m o r e t h a n o n e h u n d r e d o p e r a t i o n s .

O u r m o t i v a t i o n i s t o u n d e r s t a n d w h e t h e r t h e p r o p o s e d l a w s h a v e b r o a d e r a p p l i c a b i l i t y a n d

w h a t t h e i r l i m i t a t i o n s a r e . T h e r e f o r e , t h e c o u n t e r e x a m p l e s s h o u l d n o t b e t a k e n a s c r i t i c i s m

t o w a r d s t h e l a w s t h a t w e r e p r o p o s e d f r o m s t u d y i n g a m o r e r e s t r i c t i v e c l a s s o f s y s t e m s . ( E v e n

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t h e c e l e b r a t e d N e w t o n ' s 2 n d L a w h a s l i m i t a t i o n s t h a t g i v e w a y t o S p e c i a l R e l a t i v i t y , Q u a n t u m

M e c h a n i c s a n d G e n e r a l R e l a t i v i t y . ) I n d e e d , i n p r o p o s i n g t h e l a w s o f f a c t o r y p h y s i c s , H o p p a n d

S p e a r m a n ( 2 0 0 0 ) n o t e d t h a t \ s o m e o f t h e s e ` l a w s ' a r e a l w a y s t r u e ( e . g . , L a w 5 C a p a c i t y ] ) , w h i l e

o t h e r s h o l d m o s t o f t h e t i m e . "

I n d e s c r i b i n g t h e a b o v e l a w s , a m a n u f a c t u r i n g / p r o d u c t i o n s y s t e m c a n b e v i e w e d a s a q u e u e -

i n g s y s t e m . M a t e r i a l s t h a t m o v e t h r o u g h t h e m a n u f a c t u r i n g s y s t e m a r e j o b s i n t h e q u e u e i n g

s y s t e m . T w o o f t h e k e y p e r f o r m a n c e m e a s u r e s i n t h e m a n u f a c t u r i n g s y s t e m , t h e W I P i n v e n t o r y

a n d t h e c y c l e t i m e , a r e c o r r e s p o n d i n g t o t h e n u m b e r o f j o b s ( o r t h e q u e u e l e n g t h ) a n d t h e s o -

j o u r n t i m e i n t h e q u e u e i n g s y s t e m , r e s p e c t i v e l y . T h e r e f o r e , w e e x a m i n e t h e a b o v e p r i n c i p l e s i n

t h e c o n t e x t o f q u e u e i n g m o d e l s . F o r t h e l a w o f v a r i a b i l i t y , w e p r e s e n t t w o c o u n t e r e x a m p l e s : a

G I / G / 1 q u e u e a n d a m u l t i c l a s s q u e u e i n g n e t w o r k . I n t h e l a t t e r c a s e , w e s h o w t h a t i t i s p o s s i b l e

t o m a k e a s t a b l e s y s t e m i n t o a n u n s t a b l e s y s t e m b y r e d u c i n g t h e v a r i a b i l i t y o f t h e i n t e r a r r i v a l

t i m e s a n d s e r v i c e t i m e s . F o r t h e l a w o f u t i l i z a t i o n , w e p o i n t o u t s o m e p o s i t i v e r e s u l t s f o r J a c k s o n

n e t w o r k s , a n d p r o v i d e a c o u n t e r e x a m p l e o f a m u l t i c l a s s q u e u e i n g n e t w o r k w h e r e b y r e d u c i n g t h e

u t i l i z a t i o n a s t a b l e s y s t e m c a n b e m a d e u n s t a b l e . C o u n t e r e x a m p l e s a r e a l s o p r e s e n t e d f o r t h e

l a w o f r e w o r k w h e r e r e d u c e d r e w o r k c a n m a k e a s t a b l e s y s t e m i n t o a n u n s t a b l e s y s t e m , a n d f o r

t h e l a w o f l e a d t i m e w h e r e u n d e r t h e s a m e l e a d t i m e , a s y s t e m w i t h l a r g e r m e a n a n d s t a n d a r d

d e v i a t i o n o f t h e c y c l e t i m e m a y o e r a b e t t e r s e r v i c e l e v e l . W e s h o w t h a t f o r a J a c k s o n n e t w o r k ,

t h e l a w o f C O N W I P i s t r u e i f t h e s e r v i c e r a t e s a t a l l s t a t i o n s a r e i n c r e a s i n g c o n c a v e , a n d t h e

c o n v e r s e i s t r u e i f t h e s e r v i c e r a t e s a r e i n c r e a s i n g c o n v e x .

T h e p a p e r i s o r g a n i z e d b y t h e l a w s m e n t i o n e d a b o v e w i t h e a c h c o r r e s p o n d i n g t o a s e c t i o n ,

a n d w e c o n c l u d e i n s e c t i o n 7 .

2 L a w o f V a r i a b i l i t y

L a w o f V a r i a b i l i t y : I n c r e a s i n g v a r i a b i l i t y a l w a y s d e g r a d e s t h e p e r f o r -

m a n c e o f a p r o d u c t i o n s y s t e m .

T h e m o s t a p p r o p r i a t e m e a s u r e f o r t h e v a r i a b i l i t y o f a r a n d o m v a r i a b l e i s p r o b a b l y i t s c o e -

c i e n t o f v a r i a t i o n , d e n e d b y t h e r a t i o o f i t s s t a n d a r d d e v i a t i o n t o i t s m e a n ; o r e q u i v a l e n t l y t h e

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s q u a r e d c o e c i e n t o f v a r i a t i o n . T w o m o s t c o m m o n p e r f o r m a n c e m e a s u r e s o f a p r o d u c t i o n s y s -

t e m a r e t h e a v e r a g e w o r k - i n - p r o c e s s ( W I P ) i n v e n t o r y a n d t h e a v e r a g e c y c l e t i m e . I f t h e s y s t e m

i s m o d e l e d b y a q u e u e , t h e W I P i s t h e q u e u e l e n g t h o r t h e n u m b e r o f j o b s i n t h e s y s t e m , a n d

t h e a v e r a g e c y c l e t i m e i s t h e a v e r a g e s o j o u r n t i m e o r t h e a v e r a g e w a i t i n g t i m e ( i n c l u d i n g s e r v i c e

t i m e ) . I n g e n e r a l , i t i s c l e a r t h a t i t i s d e s i r a b l e f o r a s y s t e m t o h a v e a l o w e r W I P a n d a s m a l l e r

c y c l e t i m e . W i t h t h e t h r o u g h p u t r a t e ( o r e q u i v a l e n t l y t h e s a m e a v e r a g e e x o g e n o u s a r r i v a l r a t e )

x e d , b y L i t t l e ' s L a w , t h e W I P i n c r e a s e s i f a n d o n l y i f t h e c y c l e t i m e i n c r e a s e s .

W i t h t h e c o e c i e n t o f v a r i a t i o n a s t h e m e a s u r e o f t h e v a r i a b i l i t y a n d t h e W I P a s t h e p e r -

f o r m a n c e m e a s u r e o f t h e s y s t e m , w e p r o v i d e t w o c o u n t e r e x a m p l e s t o t h e l a w o f v a r i a b i l i t y .

F i r s t , w e c o m p a r e t w o G I = G = 1 q u e u e i n g s y s t e m s w i t h t h e s a m e i n t e r a r r i v a l t i m e s , t h e s a m e

m e a n s e r v i c e t i m e s b u t d i e r e n t c o e c i e n t s o f v a r i a t i o n f o r s e r v i c e t i m e s . S p e c i c a l l y , w e a s s u m e

t h a t t h e r e a r e n o i n i t i a l j o b s i n b o t h q u e u e s , a n d b o t h q u e u e s h a v e d e t e r m i n i s t i c i n t e r a r r i v a l t i m e s

o f u = 2 . T h e s e r v i c e t i m e d i s t r i b u t i o n o f t h e r s t q u e u e i s a s s u m e d t o b e a u n i f o r m d i s t r i b u t i o n

U 1 ? ; 1 + ] , w h e r e 2 ( 0 ; 1 ) i s a c o n s t a n t . W h e r e a s , t h e s e r v i c e t i m e d i s t r i b u t i o n o f t h e

s e c o n d q u e u e t a k e s v a l u e 1 ? w i t h p r o b a b i l i t y p a n d a w i t h 1 ? p , w h e r e p = ( a ? 1 ) = ( a ? 1 + ) ,

a n d a > u = 2 a n d 2 ( 0 ; 1 ) a r e c o n s t a n t s . I t i s c l e a r t h a t t h e m e a n s e r v i c e t i m e s o f b o t h

q u e u e s a r e e q u a l t o 1 . H e n c e , t h e i r s q u a r e d c o e c i e n t s o f v a r i a t i o n e q u a l t h e i r v a r i a n c e s , w h i c h

a r e g i v e n b y

2

1

=

2

3

; a n d

2

2

=

2

a ? 1

a ? 1 +

+ ( a ? 1 )

2

a ? 1 +

;

r e s p e c t i v e l y . N o t e t h a t

2

2

! 0 a s ! 0 ; h e n c e , w h e n i s s u c i e n t l y s m a l l ,

2

1

>

2

2

. I n w o r d s ,

w h e n s m a l l e n o u g h , t h e s e c o n d q u e u e h a s a s m a l l e r v a r i a b i l i t y t h a n t h e r s t q u e u e . O n t h e

o t h e r h a n d , j o b s i n t h e r s t q u e u e n e v e r n e e d t o w a i t s i n c e t h e i r i n t e r a r r i v a l t i m e s a r e e x a c t l y 2

u n i t s o f t i m e a n d t h e i r s e r v i c e t i m e s n e v e r e x c e e d s 1 + 2 w i t h p r o b a b i l i t y

1 ? p ) m a y e x c e e d t h e i n t e r a r r i v a l t i m e s ( u = 2 u n i t s o f t i m e ) . N o t e t h a t b o t h o f t h e q u e u e s h a v e

t h e s a m e m e a n s e r v i c e t i m e ; h e n c e , t h e r s t q u e u e h a s a s m a l l e r a v e r a g e s o j o u r n t i m e ( o r c y c l e

5


6/20

t i m e ) t h a n t h e s e c o n d q u e u e . I n s u m m a r y , t h e s e c o n d q u e u e w i t h a s m a l l e r v a r i a b i l i t y p e r f o r m s

w o r s e t h a n t h e r s t q u e u e w i t h a l a r g e r v a r i a b i l i t y . T h i s c o n t r a d i c t s t h e l a w o f v a r i a b i l i t y .

T h e v i o l a t i o n o f t h e l a w o f v a r i a b i l i t y c a n b e m o r e e x t r e m e . C o n s i d e r a m u l t i c l a s s q u e u e i n g

n e t w o r k , w h i c h i s a v a r i a t i o n o f t h e n e t w o r k s t u d i e d b y B r a m s o n ( 1 9 9 9 ) , a s s h o w n b y F i g u r e 1 .

W e s h a l l s h o w t h a t u n d e r c e r t a i n p a r a m e t e r s , t h i s n e t w o r k i s s t a b l e ( i m p l y i n g a n i t e e x p e c t e d

c y c l e t i m e ) ; b u t w i t h r e d u c e d v a r i a b i l i t y , i t c a n b e u n s t a b l e , i m p l y i n g t h a t t h e c y c l e t i m e

a p p r o a c h e s i n n i t y . T h i s n e t w o r k c o n s i s t s o f f o u r s i n g l e - s e r v e r s t a t i o n s i n d e x e d b y j = 1 ; : : : ; 4 .

A t e a c h s t a t i o n , t h e r e a r e t w o c l a s s e s o f j o b s i n d e x e d a s c l a s s a a n d b r e s p e c t i v e l y . E a c h j o b i s

p r o c e s s e d a t s t a t i o n s 1 a n d 2 s e q u e n t i a l l y a s a c l a s s b j o b r s t , a n d t h e n i s r o u t e d t o s t a t i o n 3

a n d s t a t i o n 4 a l t e r n a t e l y . A t s t a t i o n 3 o r 4 , t h e j o b i s p r o c e s s e d a s a c l a s s a a n d t h e n a s a c l a s s b

j o b s e q u e n t i a l l y , a n d t h e n i s t u r n e d b a c k a n d p r o c e s s e d b y s t a t i o n s 2 a n d 1 s e q u e n t i a l l y a s a c l a s s

a j o b . T h e i n t e r a r r i v a l t i m e s a n d s e r v i c e t i m e s o f j o b s a r e a s s u m e d t o b e i . i . d . s e q u e n c e s w i t h

u n i f o r m d i s t r i b u t i o n s ; t h e s p e c i c p a r a m e t e r s a r e g i v e n i n t h e f o l l o w i n g t a b l e , w h e r e

2 0 ; 1 ]

i s a c o n s t a n t .

I n t e r a r r i v a l t i m e U 1 ? ; 1 + ]

S e r v i c e t i m e S t a t i o n 1 a U 0 : 6 ( 1 ? ) ; 0 : 6 ( 1 + ) ]

b U 0 : 1 ( 1 ? ) ; 0 : 1 ( 1 + ) ]

S t a t i o n 2 a U 0 : 1 ( 1 ? ) ; 0 : 1 ( 1 + ) ]

b U 0 : 6 ( 1 ? ) ; 0 : 6 ( 1 + ) ]

S t a t i o n s 3 a n d 4 a U 1 : 2 ( 1 ? ) ; 1 : 2 ( 1 + ) ]

b U 0 : 0 5 ( 1

? ) ; 0 : 0 5 ( 1 + ) ]

W e a l s o a s s u m e t h a t a l l t h e i n t e r a r r i v a l t i m e s a n d s e r v i c e t i m e s a r e m u t u a l l y i n d e p e n d e n t . J o b s

a r e p r o c e s s e d f o l l o w i n g w o r k - c o n s e r v i n g p r e e m p t i v e p r i o r i t y d i s c i p l i n e s w i t h c l a s s a h a v i n g a

h i g h e r p r i o r i t y a t e a c h s t a t i o n . I n o t h e r w o r d s , j o b s o f c l a s s b c a n n o t b e p r o c e s s e d a t a s t a t i o n

u n l e s s t h e r e a r e n o j o b s o f c l a s s a a t t h e s a m e s t a t i o n .

I t i s c l e a r t h a t a s i n c r e a s e s , t h e v a r i a b i l i t y o f i n t e r a r r i v a l t i m e s a n d s e r v i c e t i m e s i n c r e a s e s .

W e p e r f o r m t h r e e s i m u l a t i o n r u n s o f t h e n e t w o r k c o r r e s p o n d i n g t o t h e n e t w o r k w i t h h i g h v a r i -

a b i l i t y ( = 1 ) , l o w v a r i a b i l i t y ( = 0 : 0 0 1 ) a n d n o v a r i a b i l i t y ( = 0 ) . I n a l l t h e s i m u l a t i o n s ,

i n i t i a l l y t h e n u m b e r o f j o b s f o r e a c h c l a s s i s s e t a t z e r o , e x c e p t t h a t t h e r e a r e 2 j o b s o f c l a s s b

a t s t a t i o n 2 . ( T h e n o n - z e r o i n i t i a l q u e u e l e n g t h c o n d i t i o n i s e s s e n t i a l f o r t h e c o n c l u s i o n t o h o l d

6


7/20

- - - -

- -

S t . 1

a

b

S t . 2

a

b

S t . 3

b

a

S t . 4

b

a

F i g u r e 1 : A n e t w o r k t h a t s h o w s t h e L a w o f V a r i a b i l i t y m a y f a i l .

i n t h e d e t e r m i n i s t i c c a s e ( = 0 ) , b u t n o t f o r t h e o t h e r t w o c a s e s . ) F i g u r e s 2 - 4 p l o t t h e t o t a l

n u m b e r o f j o b s i n t h e n e t w o r k f o r e a c h o f t h e t h r e e s i m u l a t i o n r u n s . F r o m t h e s e g u r e s , t h e

n e t w o r k w i t h h i g h v a r i a b i l i t y ( = 1 ) i s s t a b l e w h i l e t h e n e t w o r k w i t h l o w v a r i a b i l i t y ( = 0 : 0 0 1

o r = 0 ) i s n o t s t a b l e . I n f a c t , b y a t e d i o u s p a t h w i s e c o n s t r u c t i o n , w e c a n p r o v e t h a t f o r t h e

d e t e r m i n i s t i c c a s e ( = 0 ) t h e t o t a l n u m b e r o f j o b s i n t h e n e t w o r k g o e s t o i n n i t y w i t h t i m e .

F o r a s i m i l a r b u t m o r e c o m p l e x n e t w o r k ( a d d i n g m a n y m o r e s t a t i o n s l i k e s t a t i o n s 3 a n d 4 t o

t h e n e t w o r k s h o w n i n F i g u r e 1 ) , B r a m s o n ( 1 9 9 9 ) p r o v e s t h a t t h e n e t w o r k i s u n s t a b l e u n d e r t h e

P o i s s o n a r r i v a l a n d e x p o n e n t i a l s e r v i c e t i m e s , b u t i t s c o r r e s p o n d i n g d e t e r m i n i s t i c u i d m o d e l

i s u n s t a b l e . ( T h e n e t w o r k w i t h d e t e r m i n i s t i c i n t e r a r r i v a l t i m e s a n d d e t e r m i n i s t i c s e r v i c e t i m e s

p r o v i d e s a v e r y c l o s e a p p r o x i m a t i o n t o a n u n s t a b l e s o l u t i o n o f t h e u i d m o d e l . ) I n s u m m a r y ,

t h i s e x a m p l e p r o v i d e s a n o t h e r c o u n t e r e x a m p l e t o t h e l a w o f v a r i a b i l i t y .

I n t h i s l a s t n e t w o r k e x a m p l e , i f t h e n e t w o r k o p e r a t e s u n d e r a d i e r e n t s e r v i c e d i s c i p l i n e , t h e n

w e m a y r e a c h a d i e r e n t c o n c l u s i o n . I n p a r t i c u l a r , i f t h e n e t w o r k o p e r a t e s \ o p t i m a l l y " u n d e r

e a c h o f t h e g i v e n p a r a m e t e r s , t h e n i t c o u l d w e l l b e t h a t i n c r e a s i n g v a r i a b i l i t y w o u l d d e g r a d e t h e

p e r f o r m a n c e o f t h e n e t w o r k . H o w e v e r , t h e o p t i m a l i t y d e p e n d s o n t h e s p e c i c o b j e c t i v e ; e v e n

w i t h a g i v e n o b j e c t i v e , i t i s i n g e n e r a l a n o p e n p r o b l e m i n t e r m s o f i d e n t i f y i n g a n o p t i m a l s e r v i c e

d i s c i p l i n e a n d i t s c o r r e s p o n d i n g p e r f o r m a n c e m e a s u r e .

7


8/20

F i g u r e 2 : T h e n e t w o r k a s s h o w n b y F i g u r e 1 i s s t a b l e w i t h u n i f o r m l y d i s t r i b u t e d s e r v i c e t i m e s

o f h i g h v a r i a b i l i t y ( = 1 ) .

F i g u r e 3 : T h e n e t w o r k a s s h o w n b y F i g u r e 1 i s u n s t a b l e w i t h u n i f o r m l y d i s t r i b u t e d s e r v i c e t i m e s

o f l o w v a r i a b i l i t y ( = 0 : 0 0 1 ) .

8


9/20


10/20

s e r v i c e r a t e d e c r e a s e s , t h e n u m b e r o f j o b s i n t h e s y s t e m ( e q u i v a l e n t t o W I P ) i n c r e a s e s . ( I n

f a c t , t h e l a t t e r i n c r e a s e h a s b e e n p r o v e d i n t e r m s o f l i k e l i h o o d r a t i o o r d e r i n g b y S h a n t h i k u m a r

a n d Y a o ( 1 9 8 6 a , b ) ; a l s o s e e E x a m p l e 1 . 1 5 i n C h e n a n d Y a o ( 2 0 0 1 ) . ) B y L i t t l e ' s L a w , t h e s a m e

m o n o t o n i c i t y a l s o h o l d s f o r t h e c y c l e t i m e . T h e r e f o r e , t h e l a w o f u t i l i z a t i o n h o l d s f o r t h i s b i r t h -

d e a t h q u e u e . T h i s c o n c l u s i o n i m m e d i a t e l y e x t e n d s t o a n o p e n J a c k s o n n e t w o r k , b e c a u s e o f t h e

p r o d u c t f o r m s t a t i o n a r y d i s t r i b u t i o n o f i t s q u e u e l e n g t h p r o c e s s .

N e x t , c o n s i d e r a v a r i a t i o n o f t h e n e t w o r k r s t i n t r o d u c e d b y L u a n d K u m a r ( 1 9 9 1 ) . T h e

n e t w o r k i s a s s h o w n b y F i g u r e 5 w i t h t h r e e s i n g l e s e r v e r s t a t i o n s . J o b s e n t e r t h e n e t w o r k v i s -

- - -

1

= 1

S t . 1 S t . 2 S t . 3

m

1

m

2

m

3

= 0 : 6

m

5

= 0 : 6 m

4

F i g u r e 5 : A n e t w o r k t h a t s h o w s t h e L a w o f U t i l i z a t i o n m a y f a i l .

i t i n g o r r e v i s i t i n g s t a t i o n s 1 , 2 , 3 , 3 a n d 1 s e q u e n t i a l l y . A t s t a t i o n 1 , j o b s o f c l a s s 5 h a v e a

p r e e m p t i v e h i g h e r p r i o r i t y o v e r j o b s o f c l a s s 1 , a n d a t s t a t i o n 2 , j o b s o f c l a s s 3 h a v e a p r e e m p -

t i v e h i g h e r p r i o r i t y o v e r j o b s o f c l a s s 4 . A s s u m e P o i s s o n a r r i v a l s w i t h r a t e 1 a n d e x p o n e n t i a l

s e r v i c e t i m e s . C o n s i d e r t w o s e t s o f p a r a m e t e r s f o r t h e m e a n s e r v i c e t i m e m = ( m

1

; : : : ; m

5

) :

m

1

= ( 0 : 2 ; 0 : 9 ; 0 : 6 ; 0 : 2 ; 0 : 6 ) a n d m

2

= ( 0 : 1 ; 0 : 1 ; 0 : 6 ; 0 : 1 ; 0 : 6 ) . I t s e e m s c l e a r t h a t u n d e r m

1

, t h e

u t i l i z a t i o n s a r e 0 : 8 , 0 : 9 a n d 0 : 8 a t s t a t i o n s 1 , 2 a n d 3 , r e s p e c t i v e l y , a n d t h a t u n d e r m

2

, t h e

u t i l i z a t i o n s a r e 0 : 7 , 0 : 1 a n d 0 : 7 a t s t a t i o n s 1 , 2 a n d 3 , r e s p e c t i v e l y . I n p a r t i c u l a r , w e n o t e t h a t

t h e u t i l i z a t i o n u n d e r m

1

a r e g r e a t e r t h a n t h e u t i l i z a t i o n u n d e r m

2

a t e a c h o f t h e c o r r e s p o n d i n g

s t a t i o n s . U n d e r m

1

, w e c a n s h o w t h a t t h i s n e t w o r k i s p o s i t i v e r e c u r r e n t ( u s i n g , f o r e x a m p l e ,

t h e s u c i e n t c o n d i t i o n i n C h e n a n d Z h a n g 2 0 0 0 ) . I n p a r t i c u l a r , t h e ( l o n g - r u n ) a v e r a g e n u m b e r

1 0


11/20

o f j o b s a t e a c h s t a t i o n i s n i t e . F i g u r e 6 p r o v i d e s a s i m u l a t i o n r e s u l t f o r t h i s c a s e . O n t h e o t h e r

F i g u r e 6 : T h e n e t w o r k a s s h o w n b y F i g u r e 5 i s s t a b l e w h e n m = ( 0 : 2 ; 0 : 9 ; 0 : 6 ; 0 : 2 ; 0 : 6 ) a n d t h e

( n o m i n a l ) u t i l i z a t i o n s a r e 0 : 8 a t s t a t i o n 1 , 0 : 9 a t s t a t i o n 2 a n d 0 : 8 a t s t a t i o n 3 .

h a n d , u n d e r m

2

, w e c a n s h o w t h a t t h i s n e t w o r k i s u n s t a b l e , m e a n i n g t h a t t h e t o t a l n u m b e r

o f j o b s i n t h e n e t w o r k a p p r o a c h e s i n n i t y ( u s i n g , f o r e x a m p l e , t h e c o n d i t i o n s i n D a i ( 1 9 9 6 ) o r

M e y n ( 1 9 9 5 ) ) . F i g u r e 7 p r o v i d e s a s i m u l a t i o n r e s u l t . T h e r e f o r e , w e n d a c o u n t e r e x a m p l e t h a t

F i g u r e 7 : T h e n e t w o r k a s s h o w n b y F i g u r e 5 i s u n s t a b l e w h e n m = ( 0 : 1 ; 0 : 1 ; 0 : 6 ; 0 : 1 ; 0 : 6 ) a n d

t h e ( n o m i n a l ) u t i l i z a t i o n s a r e 0 : 7 a t s t a t i o n 1 , 0 : 1 a t s t a t i o n 2 a n d 0 : 7 a t s t a t i o n 3 .

i n c r e a s i n g t h e u t i l i z a t i o n a t e v e r y s t a t i o n o f a n e t w o r k c a n d e c r e a s e a v e r a g e W I P d r a m a t i c a l l y

( f r o m a n i n n i t e a v e r a g e t o a n i t e a v e r a g e ) .

1 1


12/20

W e n o t e t h a t u n d e r m

2

, t h e l o n g - r u n a v e r a g e t o t a l n u m b e r o f j o b s a t e a c h o f s t a t i o n s 1 a n d

3 d o e s n o t e x i s t , i . e . , t h e l i m i t s o f

1

T

Z

T

0

Q

1

( t ) + Q

5

( t ) ] d t a n d

1

T

Z

T

0

Q

3

( t ) + Q

4

( t ) ] d t

a s T ! 1 , d o n o t e x i s t . H o w e v e r , t h e i r l i m i t s u p e r i o r s a r e i n n i t y . W e a l s o n o t e t h a t i f t h e

u t i l i z a t i o n i s d e n e d a s t h e l o n g - r u n a v e r a g e f r a c t i o n o f t i m e a s t a t i o n i s b u s y , t h e n u n d e r m

2

t h e u t i l i z a t i o n d o e s n o t e x i s t f o r a n y o f t h e t h r e e s t a t i o n s . T h i s i s b e c a u s e n o n e o f t h e f o l l o w i n g

l i m i t s a s T ! 1 ,

1

T

Z

T

0

1

f Q

1

( t ) + Q

5

( t ) > 0 g

d t ;

1

T

Z

T

0

1

f Q

2

( t ) > 0 g

d t ;

1

T

Z

T

0

1

f Q

3

( t ) + Q

4

( t ) > 0 g

d t ;

e x i s t , w h e r e 1

A

i s a n i n d i c a t e f u n c t i o n f o r e v e n t A . ( H o w e v e r , w e n o t e t h a t t h e i r l i m i t i n f e r i o r s

a r e l e s s t h a n t h e u t i l i z a t i o n s u n d e r m

1

a t t h e c o r r e s p o n d i n g s t a t i o n s . ) T h i s s u g g e s t s t h e n e t w o r k

u n d e r m

2

d o n o t h a v e a u t i l i z a t i o n u n d e r o u r u s u a l d e n i t i o n o f t h e u t i l i z a t i o n ( i . e . , t h e u t i l i z a t i o n

i s t h e r a t i o o f ( a c t u a l ) a r r i v a l r a t e t o t h e e e c t i v e s e r v i c e r a t e ) . T h e u t i l i z a t i o n s w e c a l c u l a t e d

f o r t h e n e t w o r k u n d e r m

2

a b o v e ( n a m e l y , 0 : 7 , 0 : 1 a n d 0 : 7 r e s p e c t i v e l y f o r s t a t i o n s 1 , 2 a n d 3 )

s h o u l d b e c a l l e d n o m i n a l u t i l i z a t i o n s , r a t h e r t h a n ( a c t u a l ) u t i l i z a t i o n s .

4 L a w o f R e w o r k

L a w o f R e w o r k : F o r a g i v e n t h r o u g h p u t l e v e l , r e w o r k i n c r e a s e s b o t h t h e

m e a n a n d s t a n d a r d d e v i a t i o n o f t h e c y c l e t i m e o f a p r o c e s s .

W e d e s c r i b e a c o u n t e r e x a m p l e f o r t h i s l a w , b y t h e n e t w o r k a s d e p i c t e d i n F i g u r e 8 , w h i c h i s

m o d i e d f r o m t h e n e t w o r k i n F i g u r e 5 . T h e m o d i c a t i o n i s t h a t w i t h p r o b a b i l i t y p

r

, e a c h j o b

a f t e r p r o c e s s e d a t s t a t i o n 2 ( r e g a r d l e s s i t s h i s t o r y ) w i l l r e q u i r e a r e w o r k . T h e m e a n s e r v i c e t i m e s

a r e a s i n d i c a t e d i n t h e g u r e . S i n c e w e h a v e a s s u m e d t h a t a l l s e r v i c e t i m e s a r e e x p o n e n t i a l l y

d i s t r i b u t e d , t h e q u e u e i n g l e n g t h p r o c e s s o f t h i s n e t w o r k h a s t h e s a m e d i s t r i b u t i o n a l b e h a v i o r

a s t h e n e t w o r k i n F i g u r e 5 w i t h m

2

= 0 : 1 = ( 1 ? p

r

) . T h e r e f o r e , i t f o l l o w s f r o m t h e d i s c u s s i o n

f o r t h e n e t w o r k i n F i g u r e 5 t h a t t h e n e t w o r k s h o w n b y F i g u r e 8 i s u n s t a b l e w h e n t h e r e i s n o

1 2


13/20

r e w o r k , i . e . , p

r

= 0 , a n d i t c a n b e s h o w n t h a t t h e n e t w o r k i s s t a b l e w h e n t h e r e w o r k p r o b a b i l i t y

i s i n c r e a s e d t o p

r

= 8 = 9 . T h i s c l e a r l y c o n t r a d i c t s t h e L a w o f R e w o r k .

- - -

?

1

= 1

S t . 1 S t . 2 S t . 3

m

1

= 0 : 1 m

2

= 0 : 1 m

3

= 0 : 6

m

5

= 0 : 6 m

4

= 0 : 1

p

r

1 ? p

r

F i g u r e 8 : A n e t w o r k t h a t s h o w s t h e L a w o f R e w o r k m a y f a i l .

5 L a w o f L e a d T i m e

L a w o f L e a d T i m e : T h e m a n u f a c t u r i n g l e a d t i m e f o r a r o u t i n g t h a t

y i e l d s a g i v e n s e r v i c e l e v e l i s a n i n c r e a s i n g f u n c t i o n o f b o t h t h e m e a n

a n d s t a n d a r d d e v i a t i o n o f t h e c y c l e t i m e o f t h e r o u t i n g .

T h e l e a d t i m e o f a g i v e n r o u t i n g o r l i n e i s t h e t i m e a l l o t t e d f o r p r o d u c t i o n o f a p a r t o n

t h a t r o u t i n g o r l i n e . H e n c e , i t i s a m a n a g e m e n t c o n s t a n t . I n c o n t r a s t , c y c l e t i m e s a r e g e n e r a l l y

r a n d o m . T h e r e f o r e , i n a m a k e - t o - o r d e r e n v i r o n m e n t ( w h e r e p a r t s a r e p r o d u c e d t o s a t i s f y o r d e r s

w i t h s p e c i c d u e d a t e s ) , a n i m p o r t a n t m e a s u r e o f l i n e p e r f o r m a n c e i s t h e s e r v i c e l e v e l , w h i c h i s

d e n e d a s

S e r v i c e l e v e l = P f c y c l e t i m e l e a d t i m e g :

F i x t h e s e r v i c e l e v e l a t s ( 0 < s


14/20

s u p p o s e t h a t t h e c y c l e t i m e f o l l o w s a u n i f o r m d i s t r i b u t i o n b e t w e e n ( m

?a ) a n d ( m + a ) ( w h e r e

0 a m ) . T h e n t h e l e a d t i m e i s g i v e n b y L

u

= m + ( 2 s ? 1 ) a , w h i c h i s a l s o i n c r e a s i n g i n b o t h

t h e m e a n ( m ) a n d t h e s t a n d a r d d e v i a t i o n ( a =

p

3 ) , p r o v i d e d t h a t t h e s e r v i c e l e v e l s > 0 : 5 . N o w

s u p p o s e t h a t t h e c y c l e t i m e f o l l o w s a n e x p o n e n t i a l d i s t r i b u t i o n w i t h m e a n m . I n t h i s c a s e , t h e

l e a d t i m e i s g i v e n b y L

e

= ? m l o g ( 1 ? s ) , w h i c h i s a g a i n i n c r e a s i n g i n b o t h t h e m e a n ( m ) a n d

t h e s t a n d a r d d e v i a t i o n ( m ) .

A s a b r i e f s u m m a r y , t h e a b o v e e x a m p l e s s u g g e s t t h a t t h e L a w o f L e a d T i m e h o l d w h e n

t h e c y c l e t i m e v a r i e s i t s m e a n a n d s t a n d a r d d e v i a t i o n w i t h i n t h e s a m e f a m i l y o f a d i s t r i b u t i o n ,

t h o u g h i t r e m a i n s t o i d e n t i f y a l l s u c h f a m i l i e s o f d i s t r i b u t i o n s . I t s e e m s r e a s o n a b l e t o a s s u m e

t h a t t h e d i s t r i b u t i o n o f t h e c y c l e t i m e o f a p r o d u c t i o n p r o c e s s w i l l a p p r o x i m a t e l y r e m a i n w i t h i n

t h e s a m e f a m i l y a s t h e p r o c e s s i n v o l v e s a m a r g i n a l i m p r o v e m e n t ( r e d u c i n g t h e m e a n a n d t h e

s t a n d a r d d e v i a t i o n o f i t s c y c l e t i m e ) ; h e n c e , t h e L a w o f L e a d T i m e w o u l d a p p l y .

T h e n e x t e x a m p l e s h o w s t h a t t h i s l a w m a y f a i l w h e n d i e r e n t f a m i l i e s o f c y c l e t i m e d i s t r i b u -

t i o n s a r e i n v o l v e d ( w h i c h m a y c o r r e s p o n d t o d i e r e n t m a n u f a c t u r i n g p r o c e s s e s ) . S u p p o s e t h a t

t h e s e r v i c e l e v e l s = 0 : 5 . T h e r s t c y c l e t i m e f o l l o w s a u n i f o r m d i s t r i b u t i o n b e t w e e n ( 8 0 ? a )

a n d ( 8 0 + a ) ( w h e r e 0 a


15/20

m e a n a n d s t a n d a r d d e v i a t i o n t h a n t h e s e c o n d s y s t e m ( n a m e l y , E ( X

1

) = 1 : 4


16/20

s p e c t i v e l y . B o t h s y s t e m s h a v e t w o s t a t i o n s a n d d e t e r m i n i s t i c p r o c e s s i n g t i m e s w i t h m e a n 1 a t

s t a t i o n 1 a n d m e a n ( 0 f o r a l l x > 0 .

U p o n s e r v i c e c o m p l e t i o n a t s t a t i o n i , a j o b m a y g o t o a n o t h e r s t a t i o n j w i t h p r o b a b i l i t y p

i j

,

1 6


17/20

j = 1 ; : : : ; J , o r l e a v e t h e n e t w o r k w i t h p r o b a b i l i t y p

i 0

: = 1

?

P

J

j = 1

p

i j

, i = 1 ; : : : ; J . W e a s s u m e

t h a t t h e t r a n s i t i o n m a t r i x P = ( p

i j

)

J

i ; j = 1

i s a s u b s t o c h a s t i c m a t r i x w i t h a s p e c t r a l r a d i u s l e s s

t h a n u n i t y .

L e t = (

j

)

J

j = 1

b e t h e u n i q u e s o l u t i o n t o t h e f o l l o w i n g t r a c e q u a t i o n :

j

=

0

p

0 j

+

J

X

i = 1

i

p

i j

; j = 1 ; : : : ; J :

A s s u m e t h a t t h e c o n d i t i o n ,

1

X

n = 1

n

j

.

n

Y

= 1

j

( ) ]


18/20

t h e e x p e c t e d n u m b e r o f j o b s i n t h e o p e n n e t w o r k ) i s a n i n t e g e r , t h e n h ( E N ) i s t h e t h r o u g h p u t

r a t e o f t h e e q u i v a l e n t c l o s e d n e t w o r k ( C O N W I P s y s t e m ) w i t h t h e s a m e a v e r a g e W I P . I n v i e w

o f ( 2 ) , t h e L a w o f C O N W I P E c i e n c y h o l d s i f a n d o n l y i f

E h ( N )

h ( E N ) :

T h e a b o v e h o l d s i f h ( ) i s a c o n c a v e f u n c t i o n , a n d t h e r e v e r s e d i n e q u a l i t y o f t h e a b o v e h o l d s i f h ( )

i s a c o n v e x f u n c t i o n . I t f o l l o w s f r o m T h e o r e m 3 . 2 2 i n C h e n a n d Y a o ( 2 0 0 1 ) t h a t t h e t h r o u g h p u t

h ( n ) i n t h e c l o s e d n e t w o r k i s i n c r e a s i n g a n d c o n c a v e ( r e s p e c t i v e l y i n c r e a s i n g c o n v e x ) i n t h e j o b

p o p u l a t i o n n i f t h e s e r v i c e r a t e s a t a l l s t a t i o n s a r e i n c r e a s i n g a n d c o n c a v e ( r e s p e c t i v e l y i n c r e a s i n g

c o n v e x ) . H e n c e , w e h a v e t h e f o l l o w i n g .

T h e o r e m 6 . 1 A s s u m e t h a t t h e c o n d i t i o n ( 1 ) h o l d s f o r t h e o p e n J a c k s o n n e t w o r k . L e t E N b e

t h e t o t a l e x p e c t e d n u m b e r o f j o b s i n t h e o p e n J a c k s o n n e t w o r k i n e q u i l i b r i u m . I f E N i s a n

i n t e g e r , t h e n t h e t h r o u g h p u t o f t h e e q u i v a l e n t C O N W I P s y s t e m ( i . e . , t h e c l o s e d n e t w o r k ) w i t h a

j o b p o p u l a t i o n o f E N h a s a l a r g e r ( r e s p e c t i v e l y a s m a l l e r ) t h r o u g h p u t i f t h e s e r v i c e r a t e s a t a l l

s t a t i o n s a r e i n c r e a s i n g a n d c o n c a v e ( r e s p e c t i v e l y i n c r e a s i n g c o n v e x ) .

I f E N i s n o t a n i n t e g e r , t h e a b o v e t h e o r e m s t i l l h o l d s w i t h s o m e m i n o r m o d i c a t i o n : t h e

j o b p o p u l a t i o n i n t h e e q u i v a l e n t C O N W I P s y s t e m i s t h e s m a l l e s t i n t e g e r n o l e s s t h a n E N

( r e s p e c t i v e l y t h e l a r g e s t i n t e g e r n o g r e a t e r t h a n E N ) w h e n t h e s e r v i c e r a t e s a r e i n c r e a s i n g

c o n c a v e ( r e s p e c t i v e l y i n c r e a s i n g c o n v e x ) .

N o t e t h a t w h e n a s e r v i c e s t a t i o n h a s a n y g i v e n n u m b e r o f i d e n t i c a l s e r v e r s , t h e s e r v i c e r a t e

i s i n c r e a s i n g c o n c a v e . W h e n a s e r v i c e s t a t i o n h a s a n i n n i t e i d e n t i c a l s e r v e r s , t h e s e r v i c e r a t e

i s l i n e a r . I n m o s t a p p l i c a t i o n s , t h e s e r v i c e r a t e s a r e i n c r e a s i n g c o n c a v e . H e n c e , t h e L a w o f

C O N W I P E c i e n c y i s a r e l a t i v e s a f e l a w t o u s e , w h e n t h e n e t w o r k i s a J a c k s o n n e t w o r k .

7 C o n c l u s i o n s

I n t h i s p a p e r , w e h a v e e x a m i n e d s o m e f a c t o r y p h y s i c s l a w s p r o p o s e d i n H o p p a n d S p e a r m a n

( 2 0 0 0 ) . T h e s e l a w s a r e s i m p l e a n d i n t u i t i v e . M o s t o f t h e s e l a w s h o l d w h e n t h e s y s t e m i s d e s c r i b e d

1 8


19/20

b y a n M / M / 1 q u e u e , o r a t a n d e m n e t w o r k o f M / M / 1 q u e u e s , o r s o m e t i m e s a G I / G / 1 q u e u e . I t

i s p r o b a b l y t h r o u g h s t u d y i n g t h e s e s i m p l e s y s t e m s t h a t t h e s e l a w s h a v e b e e n d e v e l o p e d . M o d e r n

m a n u f a c t u r i n g s y s t e m s c a n b e m o r e c o m p l e x . T h i s m o t i v a t e s u s t o a s k t h e q u e s t i o n s w h e t h e r

a n d w h e n t h e s e l a w s h o l d f o r m o r e c o m p l e x s y s t e m s .

O u r a n a l y s i s s u g g e s t s t h a t w e s h o u l d b e v e r y c a u t i o u s a b o u t t h e a p p l i c a b i l i t y o f t h e s e l a w s ,

p a r t i c u l a r l y w h e n t h e s y s t e m s a r e n o t M a r k o v i a n o r n o t i n t a n d e m . W e h o p e o u r p r i m i t i v e

a n a l y s i s a n d c o u n t e r e x a m p l e s c a n s t i m u l a t e m o r e r e s e a r c h i n t e r e s t i n t h e d i s c o v e r y o f m o r e

g e n e r a l f a c t o r y p h y s i c s l a w s .

R e f e r e n c e s

1 ] B r a m s o n , M . ( 1 9 9 9 ) . A s t a b l e q u e u e i n g n e t w o r k w i t h u n s t a b l e u i d m o d e l . A n n a l s o f A p -

p l i e d P r o b a b i l i t y , 9 , 8 1 8 - 8 5 3 .

2 ] B u z a c o t t , J . A . a n d J . G . S h a n t h i k u m a r . ( 1 9 9 2 ) . S t o c h a s t i c M o d e l s o f M a n u f a c t u r i n g S y s -

t e m s , P r e n t i c e H a l l .

3 ] C h e n , H . a n d D . D . Y a o . ( 2 0 0 1 ) . F u n d a m e n t a l s o f Q u e u e i n g N e t w o r k s : P e r f o r m a n c e , A s y m p -

t o t i c s a n d O p t i m i z a t i o n , S p r i n g e r - V e r l a g , N e w Y o r k .

4 ] C h e n , H . a n d H . Z h a n g . ( 2 0 0 0 ) . S t a b i l i t y o f m u l t i c l a s s q u e u e i n g n e t w o r k s u n d e r p r i o r i t y

s e r v i c e d i s c i p l i n e s . O p e r a t i o n s R e s e a r c h , 4 8 , 2 6 - 3 7 .

5 ] D a i , J . G . ( 1 9 9 6 ) . A u i d - l i m i t m o d e l c r i t e r i o n f o r i n s t a b i l i t y o f m u l t i c l a s s q u e u e i n g n e t -

w o r k s . A n n a l s o f A p p l i e d P r o b a b i l i t y , 6 , 7 5 1 - 7 5 7 .

6 ] E i n s t e i n , A . ( 1 9 5 1 ) . \ F o r w a r d " i n t h e b o o k , R e l a t i v i t y - A R i c h e r T r u t h b y P . F r a n k , A l d e n

P r e s s , O x f o r d , L o n d o n .

7 ] E l - T a h a , M . a n d S . S t i d h a m . ( 1 9 9 9 ) . S a m p l e - P a t h A n a l y s i s o f Q u e u e i n g S y s t e m s , K l u w e r

A c a d e m i c P u b l i s h e r s .

8 ] H o p p , W . J . a n d M . L . S p e a r m a n . ( 2 0 0 0 ) . F a c t o r y P h y s i c s , 2 n d e d i t i o n , I r w i n / M c G r a w - H i l l .

1 9


20/20

9 ] K e l l y , F . P . ( 1 9 7 9 ) . R e v e r s i b i l i t y a n d S t o c h a s t i c N e t w o r k s , W i l e y , N e w Y o r k .

1 0 ] L i t t l e , J . D . C . ( 1 9 6 1 ) . A p r o o f o f t h e q u e u e i n g f o r m u l a L = W . O p e r a t i o n s R e s e a r c h , 9 ,

N o . 3 , 3 8 3 - 3 8 7 .

1 1 ] L u , S . H . a n d P . R . K u m a r . ( 1 9 9 1 ) . D i s t r i b u t e d s c h e d u l i n g b a s e d o n d u e d a t e s a n d b u e r

p r i o r i t i e s . I E E E T r a n s a c t i o n s o n A u t o m a t i c C o n t r o l , 3 6 , 1 4 0 6 - 1 4 1 6 .

1 2 ] M e y n , S . ( 1 9 9 5 ) . T r a n s i e n c e o f m u l t i c l a s s q u e u e i n g n e t w o r k s v i a u i d l i m i t m o d e l s . A n n a l s

o f A p p l i e d P r o b a b i l i t y , 5 , 9 4 6 - 9 5 7 .

1 3 ] R o s s , S . ( 1 9 9 6 ) . S t o c h a s t i c P r o c e s s e s , W i l e y .

1 4 ] S h a n t h i k u m a r , J . G . a n d D . D . Y a o . ( 1 9 8 6 a ) . P r e s e r v a t i o n o f l i k e l i h o o d r a t i o o r d e r i n g u n d e r

c o n v o l u t i o n . S t o c h a s t i c P r o c e s s e s a n d T h e i r A p p l i c a t i o n s , 2 3 , 2 5 9 - 2 6 7 .

1 5 ] S h a n t h i k u m a r , J . G . a n d D . D . Y a o . ( 1 9 8 6 b ) . T h e e e c t o f i n c r e a s i n g s e r v i c e r a t e s i n c l o s e d

q u e u e i n g n e t w o r k s . J o u r n a l o f A p p l i e d P r o b a b i l i t y , 2 3 , 4 7 4 - 4 8 3 .

1 6 ] Y a o , D . D . ( 1 9 9 4 ) . S t o c h a s t i c M o d e l i n g a n d A n a l y s i s o f M a n u f a c t u r i n g S y s t e m s , S p r i n g e r -

V e r l a g .

1 7 ] W h i t t , W . ( 1 9 9 1 ) . A R e v i e w o f L = W a n d E x t e n s i o n s . Q u e u e i n g S y s t e m s , T h e o r y a n d

A p p l i c a t i o n s , 9 , N o . 3 , 2 3 5 - 2 6 8 . ( C o r r e c t i o n N o t e o n L = W . Q u e u e i n g S y s t e m s , 1 2 , N o .

4 , 1 9 9 2 , 4 3 1 - 4 3 2 . )

2 0

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