Factorisation d’un polynôme P du 3ème degré dont est racine

est racine de 𝑃 donc 𝑃() = 0

En posant 𝑃 𝑥 = 𝑎𝑥3 + 𝑏𝑥2 + 𝑐𝑥 + 𝑑

On a 𝑃 𝑥 = 𝑎3 + 𝑏2 + 𝑐 + 𝑑 = 0

Ainsi 𝑃 𝑥 = 𝑃 𝑥 − 0 = 𝑃 𝑥 − 𝑃

𝑃 𝑥 = 𝑎𝑥3 + 𝑏𝑥2 + 𝑐𝑥 + 𝑑 − (𝑎3 + 𝑏2 + 𝑐 + 𝑑)

On peut réorganiser 𝑃 𝑥

𝑃 𝑥 = 𝑎 𝑥3 − 3 + 𝑏(𝑥2 − 2) + 𝑐(𝑥 − )

En remarquant que 𝑥2 − 2 = (𝑥 − )(𝑥 + )

Et en utilisant le résultat suivant : 𝑥3 − 3 = 𝑥 − (𝑥2 + 𝑥 + 2)

Il vient :

𝑃 𝑥 = 𝑎 𝑥 − (𝑥2 + 𝑥 + 2) + 𝑏(𝑥 − )(𝑥 + ) + 𝑐(𝑥 − )

On peut ainsi factoriser 𝑃 𝑥 par 𝑥 − et en déduire l’existence d’un

polynôme du deuxième degré 𝑄 𝑥 tel que 𝑃 𝑥 = 𝑥 − 𝑄 𝑥

𝑃 𝑥 = 𝑎 𝒙 − (𝑥2 + 𝑥 + 2) + 𝑏(𝒙 − )(𝑥 + ) + 𝑐(𝒙 − )

𝑃 𝑥 = 𝒙 − [𝑎(𝑥2 + 𝑥 + 2) + 𝑏(𝑥 + ) + 𝑐]

On a 𝑄 𝑥 = 𝑎𝑥2 + 𝑎 + 𝑏 𝑥 + 𝑎2 + 𝑏 + 𝑐