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Teoría y práctica de factoreo de polinomios
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Factoreo de polinomios
Factoreo de polinomiosFactorear un polinomio es transformarlo en un producto de una constante por uno o ms polinomios primos de coeficiente principal igual a 1.
Sabemos que los nmeros compuestos pueden, aplicando ciertos criterios de divisibilidad, expresarse como el producto de factores primos,
Observa:
3 . 5 = 15(15 = 5 . 3
Hallar el producto y descomponer en factores son dos procesos inversos:Multiplicacin (
( Factorizacin
El factoreo no siempre es posible; los polinomios que se pueden factorear presentan caractersticas que nos permiten distinguir distintos casos de factoreo.
1er Caso Factor comn
Un nmero es factor comn de un polinomio cuando figura en cada trmino como factor. Anlogamente, una expresin es factor comn de todos los trminos de un polinomio cuando figura en todos ellos como factor.Multiplicacin de un polinomio por un factor(Se resuelve aplicando propiedad distributiva)Extraccin de factor comn
(A + B) . M = A.M + B.M(A.M + B.M = M . (A + B)
Ejemplos:1.
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3.
EjerciciosAplique la propiedad distributiva y resuelva
1.
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3.
4.
Extraer factor comn en los siguientes polinomios
1.
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2do Caso Extraccin de factor comn por grupos
Consiste en descomponer el polinomio en grupos de igual nmero de trminos con un factor comn en cada grupo.
Multiplicacin de polinomiosExtraccin de factor comnpor grupos
(A + B) . (P + Q) =(A + B) . P + (A + B) . Q =A . P + B . P + A . Q + B . Q(A . P + B . P + A . Q + B . Q == P . (A + B) + Q . (A + B)= (A + B) . (P + Q)
Ejemplos:1.
otra forma de agrupar
que conduce al mismo resultado2.
otra forma de agrupar
Observa que podemos formar dos grupos de tres trminos o tres grupos de dos trminos con un factor comn en cada grupo. Los resultados son los mismos.Factoriza los siguientes polinomios
1.
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3er Caso Diferencia de cuadrados
Se puede verificar que el producto de la suma por la diferencia de dos nmeros es igual al cuadrado del primer nmero menos el cuadrado del segundo, es decir:Producto de la sumapor la diferencia de dosmonomiosDiferencia decuadrados
(x + y) . (x y) = x2 y2(x2 y2 = (x + y) . (x y)
Ejemplos:1.
2.
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Ejercicios1.
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4to Caso Cuadrado de un binomio - Trinomio cuadrado perfecto
El cuadrado de un binomio da como resultado un trinomio llamado trinomio cuadrado perfecto
Cuadrado de un binomioTrinomio cuadrado perfecto
(x ( a) 2 = x2 ( 2 xa + a2(x2 ( 2 xa + a2 = (x ( a) 2
Dos de sus trminos son cuadrados perfectos y el tercero es el doble producto de las bases de los cuadrados.Ejemplos:1.
2.
Los trminos de los binomios son las bases de las potencias.
Ejercicios
1. Expresa los siguientes trinomios como cuadrados de un binomio
1.
2.
3.
4.
2. Desarrollar cada cuadrado del binomio
1.
2.
3.
4.
5.
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3. Completen los trminos que faltan1.
2.
3.
5to Caso Cubo de un binomio - Cuatrinomio cubo perfecto
El cubo de un binomio da como resultado un cuatrinomio llamado cuatrinomio cubo perfecto
Cubo de un binomioCuatrinomio cubo perfecto
(x ( a) 3 = x3 ( 3 x2 a + 3 x a2 ( a3(x3 ( 3 x2 a + 3 x a2 ( a3 = (x ( a)3
Ejemplos:1.
2.
Ejercicios
1. Sol y Roco resolvieron el cubo de un binomio de dos formas distintas. Lean cada procedimiento y expliquen los errores que encuentren.SolRoco
2. Desarrollar cada cubo del binomio
1.
2.
3.
4.
5.
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4. Expresa los siguientes cuatrinomios como cubos de un binomio
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Expresiones algebraicas racionalesEn general, una expresin algebraica racional se anota:
Si el numerador es mltiplo del denominador , la expresin algebraica racional es equivalente a una expresin algebraica entera, es decir, es equivalente a un polinomio.Ejemplo:
Observa que para
En consecuencia, estas expresiones son equivalentes pero no igualesPues
Simplificacin de expresiones algebraicas
Existen infinitas expresiones algebraicas equivalentes a una dada. Para obtener una expresin algebraica fraccionaria equivalente a una dada se aplica la siguiente:Propiedad fundamental
Si el numerador y el denominador de una expresin algebraica racional se multiplican o dividen por un mismo polinomio, se obtiene otra expresin algebraica equivalente a la dada
Ejemplos:1.
2.
Cuando se divide numerador y denominador de una expresin algebraica racional por un mismo polinomio se dice que la expresin se ha simplificado.
Para simplificar una expresin algebraica racional se factorizan numerador y denominador y se cancelan los factores comunes.Ejemplo:
Esta simplificacin slo es vlida si
Ejercicios
Simplifica las siguientes expresiones racionales 1.
2.
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Adicin de expresiones algebraicas racionalesLa adicin de expresiones algebraicas racionales se define de la misma manera que la adicin de nmeros racionales.
Nmeros racionalesExpresiones algebraicas racionales
1. Adicin de fracciones algebraicas de igual denominador
Ejemplo 1
Las fracciones tienen igual denominador
Se suman los numeradores. Se escribe el mismo denominador
Se factorea el numerador y el denominador
si y slo si
Se simplifica
2. Adicin de fracciones algebraicas de distinto denominador
Ejemplo 2La suma de dos fracciones algebraicas de distinto denominador es igual a la suma de dos fracciones algebraicas equivalentes a las dadas y del mismo denominador.
Las fracciones tienen distinto denominador
Factorizamos los denominadores
Se calcula el m.c.m. de los denominadores
Se escriben dos expresiones algebraicas racionales equivalentes a las dadas usando como denominador el m.c.m. de los denominadores.En cada fraccin se multiplica el numerador y el denominador por una misma expresin. En la primera se multiplica por (x+2) y en la segunda por (x-2).
El problema se reduce al primer caso
Se reducen los trminos.
Se puede simplificar?
Sustraccin de expresiones algebraicas racionalesPara restar dos expresiones algebraicas racionales se suma a la primera la opuesta de la segunda
Ejemplo 3
Ejercicios1.
2.
3.
4.
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6.
Multiplicacin de expresiones algebraicas racionalesLa multiplicacin de expresiones algebraicas racionales se define en forma anloga a la multiplicacin de nmeros racionales.
Nmeros racionalesExpresiones algebraicas racionales
Ejemplo 4
Factorizamos y simplificamos
Como hemos simplificado por (x-1) y (x+2) resulta:
Divisin de expresiones algebraicas racionalesPara dividir una expresin algebraica racional por otra se multiplica la primera por la inversa de la segunda.
Ejemplo 5
Ejercicios: Resuelve1.
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8.
Potenciacin y radicacin de expresiones algebraicas racionalesLa potenciacin y la radicacin de expresiones algebraicas fraccionarias se resuelven aplicando la propiedad distributiva con respecto a la divisin
PotenciacinRadicacin
Ejemplo 6
Ejemplo 7
Ejercicios1.
2.
3.
4.
5.
6.
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