Fısica Matematica

Javier Mas

Universidad de Santiago de Compostela

23 de febrero de 2011

Indice general

1. Espacios Lineales 61.1. Espacios Vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.1.1. Base y Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.1.2. Subespacios Vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2. Espacios Lineales Normados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3. Convergencia de Sucesiones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3.1. Convergencia de sucesiones y series en espacios normados . . . . . . . . . . 111.3.2. Espacios Completos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.4. Espacios Lineales con Producto Escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.4.1. Norma inducida por un producto escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.5. Espacios de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.5.1. Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.6. Espacios de Hilbert Separables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.6.1. Teorema del Isomorfismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.7. Algunas bases ortonormales importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2. El Espacio Dual 222.1. Formas Lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.1.1. Base y Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.1.2. Cambios de Base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.2. Dualidad en espacios de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.2.1. La aplicacion adjunta, † : V ⇒ V ∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.2.2. V ∗ ⇒ V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.2.3. Dimension infinita: Distribuciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.2.4. Bases Continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3. Tensores 343.1. Producto Tensorial de Espacios Vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.2. Tensores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.2.1. Operaciones con Tensores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.3. Tensor Metrico y Producto Escalar Real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.4. Tensores Simetricos y Antisimetricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

1

3.4.1. El sımbolo alternante εi1···id . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.5. Densidades Tensoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.5.1. Densidades tensoriales a partir de tensores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4. Operadores Lineales 464.1. Operadores Lineales y Antilineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464.2. Representacion de un Operador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.2.1. Representacion Continua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504.2.2. La Representacion Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.3. Operador adjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554.3.1. Operador Hermıtico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564.3.2. Operador Inverso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574.3.3. Operador Unitario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4.4. Proyector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584.5. Valores y vectores propios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.5.1. Espectro de Operadores Hermıticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604.5.2. Resolucion Espectral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614.5.3. Espectro de Proyectores Ortogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614.5.4. Espectro de Unitarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624.5.5. Calculo Variacional del Espectro de un Operador Autoadjunto . . . . . . . 62

4.6. Diagonalizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624.6.1. Diagonalizabilidad Simultanea de Dos Operadores . . . . . . . . . . . . . . 63

4.7. Operadores Hermıticos y Mecanica Cuantica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644.7.1. Postulados de la Medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644.7.2. Estados Puro y Mezcla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654.7.3. Producto Tensorial de Operadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

5. Elementos de Geometrıa Diferencial 725.1. Sistemas Generales de Coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 725.2. Espacio Tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

5.2.1. Curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 735.2.2. Funciones F(M) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 745.2.3. Vectores Tangentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

5.3. Tensores Generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 765.3.1. Co-Vectores Tangentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 765.3.2. Tensores de Rango (p, q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

5.4. Flujos y Derivadas de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 775.4.1. Curva Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 775.4.2. Flujo de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 795.4.3. Derivada de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

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6. Grupos: Definicion y Propiedades 816.1. Definicion de Grupo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 816.2. La Estructura de los Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

6.2.1. Clases de Conjugacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 826.2.2. Subgrupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 836.2.3. Coset . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 846.2.4. Subgrupos Normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 846.2.5. Grupo Cociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 856.2.6. Producto Directo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 856.2.7. Centro de un Grupo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

7. Grupos Finitos 877.1. El Grupo Cıclico Cn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 877.2. El Grupo Dihedrico Dn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

7.2.1. El grupo D3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 897.2.2. El grupo D4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 907.2.3. El grupo Dn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

7.3. El Grupo Simetrico Sn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 917.3.1. Notacion de Ciclos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 927.3.2. Teorema de Cayley . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 937.3.3. Clases de Conjugacion de Sn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 947.3.4. El Grupo Alternante An . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

8. Representaciones 968.1. Homomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 968.2. Representaciones de Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 968.3. Reducibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

8.3.1. Reducibilidad y Reducibilidad Total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 998.3.2. Propiedades de Representaciones Irreducibles. . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

8.4. Caracteres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1058.4.1. Ortogonalidad de los Caracteres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1068.4.2. Descomposicion en Representaciones Irreducibles . . . . . . . . . . . . . . . 1078.4.3. La Representacion Regular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

8.5. Construccion de una Tabla de Caracteres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1098.5.1. Tabla de Caracteres de C3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1108.5.2. Tabla de Caracteres de D3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

8.6. Producto Directo de Representaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1128.6.1. Producto Directo de Representaciones, Reducibilidad. . . . . . . . . . . . . 1128.6.2. Serie de Clebsh-Gordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

3

9. Grupos de Lie 1159.1. Definicion y Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

9.1.1. Grupos Contınuos y Grupos de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1159.1.2. Ejemplos de Grupos de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1169.1.3. Los grupos O(2) y SO(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1189.1.4. Los grupos U(1), U(2) y SU(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

9.2. Estructura Global de los Grupos de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1199.2.1. Subgrupos de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1199.2.2. Componentes Conexas de un Grupo de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1209.2.3. Grupos de Lie Compactos y No-Compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

9.3. Estructura Local de los Grupos de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1219.3.1. Algebras de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1219.3.2. El mapa exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

9.4. Representaciones de Grupos de Lie y Algebras de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . 1239.4.1. Representaciones de Algebras de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

9.5. Conexion entre D(g) y D(L). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

10.El Grupo de Rotaciones 12610.1. El grupo O(3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

10.1.1. El algebra so(3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12610.1.2. Generadores Hermıticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

10.2. El grupo SU(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12810.2.1. El algebra su(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12910.2.2. Homomorfismo entre SU(2) y SO(3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

10.3. Representaciones Irreducibles de SU(2) y SO(3). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13110.3.1. Representaciones Irreducibles de su(2) y so(3). . . . . . . . . . . . . . . . . 13110.3.2. Representaciones de los Grupos SU(2) y SO(3) . . . . . . . . . . . . . . . . 136

10.4. Producto Directo de Representaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13710.4.1. Composicion de Momento Angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

10.5. Tensores de SU(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14010.5.1. Homomorfismo entre SU(2) y SO(3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

10.6. Rotaciones de Magnitudes Fısicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

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BIBLIOGRAFIA

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Capıtulo 1

Espacios Lineales

1.1. Espacios Vectoriales

1.1.0.1 Definicion: Un Espacio vectorial (o lineal) sobre un cuerpo Ω, es una terna (V,+, ·)formada por un conjunto no vacıo V , y dos aplicaciones + : V ×V → V y · : Ω×V → V , llamadasrespectivamente suma y producto externo, que satisfacen las siguientes propiedades

EV1. (asociatividad) |x〉+ (|y〉+ |z〉) = (|x〉+ |y〉) + |z〉.

EV2. (elemento neutro) |x〉+ |0〉 = |0〉+ |x〉 = |x〉.

EV3. (elemento opuesto) |x〉+ |−x〉 = |0〉.

EV4. (conmutatividad) |x〉+ |y〉 = |y〉+ |x〉.

EV5. a(b|x〉) = (ab)|x〉

EV6. (distributividad) a(|x〉+ |y〉) = a|x〉+ b|y〉

EV7. (distributividad) (a+ b)|x〉 = a|x〉+ b|x〉

EV8. 1|x〉 = |x〉

Ejercicio: repasa las definiciones de cuerpo, anillo, grupo, modulo, y utilızalas para darla definicion mas compacta posible de espacio vectorial.

Ejercicio: Intenta argumentar por que los espacios vectoriales son relevantes en fısica.

1.1.0.2 A los elementos |x〉, |y〉, ... de V se les llama vectores, mientras que a a, b, .. ⊂ Ωse les denomina escalares. Si Ω ≡ R, diremos que V es un espacio vectorial real, mientras que siΩ ≡ C, hablaremos de un espacio vectorial complejo.

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1.1.1. Base y Dimension

1.1.1.1 Independencia Lineal.Un subconjunto de n vectores, X ∈ V , se dice que es linealmente independiente (l.i.), si la igualdada1|x1〉 + ... + an|xn〉 = 0 solo tiene por solucion a1 = a2 = ... = an = 0. De lo contrario, decimosque X es un conjunto de vectores linealmente dependientes (l.d.).1.1.1.2 Dimension Lineal.Sea V un espacio vectorial sobre el cuerpo Ω. Si V contiene un conjunto de d vectores l.i., ycualquier otro conjunto de d + 1 vectores es l.d., decimos que la dimension lineal de V es d, yescribimos dimΩV = d. Si no hay lımite para el cardinal de un conjunto l.i., decimos que V tienedimension lineal infinita.1.1.1.3 Base Lineal.Decimos que un subconjunto B ⊂ V , forma una base lineal o de Hammel de V , cuando ademas deser l.i., sea maximal, es decir, no este contenido propiamente en ningun otro subconjunto l.i. de V .La dimensionalidad depende del cuerpo Ω sobre el que este construido nuestro espacio vectorial.Por ejemplo, si d < ∞ podemos mostrar que dimRV = 2dimCV . En efecto, si B = |x1〉, ..., |xd〉forman una base del espacio vectorial complejo V , entonces, B′ = |x1〉, i|x1〉, ..., |xd〉, i|xd〉 formauna base del mismo espacio vectorial, entendido como espacio vectorial real, ya que |xi〉 y i|xi〉son vectores linealmente independientes en un espacio vectorial real, pero no lo son en un espaciovectorial complejo.1.1.1.4 Conjunto Numerable, PotenciaEn el caso de dimension infinita, aun podemos afinar un poco mas, y comparar V con algunosconjuntos conocidos de cardinalidad infinita, como los naturales N cuya cardinalidad coincide conla de los racionales Q, o los reales R cuya cardinalidad coincide con la de los complejos C. Lacardinalidad de N se denomina ℵ0 (alef).Decimos que un conjunto es numerable cuando su cardinalidad coincide con la de los naturales. Esdecir, cuando es posible establecer una aplicacion uno a uno entre los elementos de dicho conjuntoy los numeros naturales. Por ejemplo, Q constituye un conjunto numerable. Sin embargo R no esnumerable y decimos que su potencia es superior a la de Q. La cardinalidad de R se denota ℵ.

Ejemplos:

1. R. La recta real, x ∈ R, con la operacion usual de adicion x+ y = z y multiplicacion pornumeros reales ax = y es un espacio vectorial, x→ |x〉.

2. R3. El espacio vectorial complejo, consistente en el conjunto de los triples ordenados denumeros complejos |x〉 = (x1, x2, x3), xi ∈ R. Una base para este espacio la consituyenlos tres vectores B = (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1). La generalizacion de este caso a uncuerpo y dimension arbitrarios se denomina producto cartesiano Ωn.

3. ΩN, consta en ∞−tuplas, es decir, de elementos |a〉 = (a1, a2, ..., an, ...), con ai ∈ Ω .Ası |a〉+ |b〉 = (a1 +b1, a2 +b2, ..., an+bn, ...)y λ|a〉 = (λa1, λa2, ..., λan, ...). Este espaciotiene dimension infinita.

4. MΩN , consta de matrices infinitas |M〉 = M i

j ∈ Ω, i, j ∈ N.5. Cn(R) funciones continuas de variable real n veces derivables. f(x) → |f〉 con x ∈ R y

f (n) <∞. La suma se define punto por punto |f〉+|g〉 = |h〉 ⇔ f(x)+g(x) = h(x)∀x ∈ R.Podemos remplazar R por Ω.

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1.1.2. Subespacios Vectoriales

1.1.2.1 Subespacio Vectorial Propio.Un subespacio de un espacio vectorial, es un subconjunto W ∈ V , que a su vez es un espaciovectorial. Llamamos propio a un subespacio de dimension estrictamente menor que la del espacioen el que esta contenido.1.1.2.2 Variedad Lineal.Dado un subconjunto no vacıo X de V , llamamos variedad o envolvente lineal, lin(X), al mınimosubespacio vectorial que contiene a X.Una consecuencia inmediata es que lin(X) = |x〉 ∈ V / |x〉 = a1|x1〉 + ... + ap|xp〉. Debemoshacer constar que el adjetivo “lineal” lleva implıcita la idea de sumas que involucran un numerofinito de terminos, independientemente de que el conjunto X sea finito o no.

Ejemplo: Sea X = 1, t, t2, ..., tn, ... ∈ C[0, 1]. lin(X) consiste por tanto en el espaciovectorial de polinomios en la variable t. En particular, la funcion et no pertenece alin(X) puesto que et =

P∞0 1/n!tn.

Proposicion: Si B es una base de V , entonces V = lin(B). Dicho de otra manera, la descompo-sicion ∀|x〉 ∈ V, |x〉 =

∑ni=1 ai|xi〉, existe y es unica.

Demostracion: Sea B una base de V . Por definicion se trata de un subconjunto l.i. y maximal.Supongamos que existe un elemento |x〉 ∈ V tal que |x〉 6∈ lin(B). Entonces podrıamos ampliar Ba B′ = B, x que serıa l.i. y mayor que B, contradiciendo la hipotesis de que B es maximal. Launicidad se deja como ejercicio trivial.1.1.2.3 Suma Lineal.Decimos que un espacio V es la suma lineal de dos subespacios V1 y V2, V = V1~⊕V2, cuando todoelemento |x〉 ∈ V puede ser escrito en forma unica como |x〉 = |x1〉 + |x2〉 donde |x1〉 ∈ V1 y|x2〉 ∈ V2.Esta definicion se generaliza trivialmente a la suma directa de varios espacio vectoriales.

1.2. Espacios Lineales Normados

1.2.0.4 Distancia, Metrica.Un espacio metrico (no necesariamente espacio lineal) es un par (X, d), compuesto por un conjuntode elementos X, y de una nocion de distancia entre ellos, es decir, una funcion definida sobre paresordenados de elementos |x〉, |y〉 ∈ X, tal que se verifican las propiedades siguientes

D1. (simetrıa) d(|x〉, |y〉) = d(|y〉, |x〉),

D2. d(|x〉, |x〉) = 0,

D3. d(|x〉, |y〉) > 0 si |x〉 6= |y〉,

D4. d(|x〉, |y〉) ≤ d(|x〉, |z〉) + d(|z〉, |y〉) para todo |x〉, |y〉, |z〉 ∈ X.

8

1.2.0.5 Norma.Un espacio vectorial V sobre Ω, se dice que es normado cuando existe una aplicacion (norma)|| || : |x〉 ∈ V → |||x〉|| ∈ R tal que ∀|x〉, |y〉 ∈ V,∀a ∈ Ω se verifican las siguientes propiedades

N1. (positividad) |||x〉|| ≥ 0,

N2. (unicidad de la norma del cero) |||x〉|| = 0⇔ x = 0,

N3. (homogeneidad) ||a|x〉|| = |a| |||x〉||,

N4. (desigualdad triangular o de Minkowski) |||x〉+ |y〉|| ≤ |||x〉||+ |||y〉||.

Cuando queramos hacer referencia explıcita a la norma, escribimos para un espacio normado, elpar (V, || · ||).1.2.0.6Todo espacio normado es un espacio metrico, en el que la distancia viene definida por la norma atraves de la igualdad

d(|x〉, |y〉) = |||x〉 − |y〉||. (1.1)

Es importante destacar la diferencia entre norma y distancia. Para empezar la definicion de normarequiere un espacio vectorial, mientras que se puede definir una distancia sobre un conjunto arbi-trario. Pero incluso en el contexto de espacios vectoriales, aunque ya se ha dicho que una normadefine una distancia, lo contrario no es cierto en general.

Ejemplos:

1. Ωn(Rn o Cn) con la norma euclıdea || · ||p definida por:

|||x〉||p = ||(a1, a2, ..., an)||p ≡

nXj=1

|aj |p!1/p

es un espacio lineal normado.

2. El espacio MΩm de matrices m×m cuyos elementos toman valores en Ω, puede dotarse de

una norma. Sea M ∈ MΩm, una matriz con elementos M i

j , definimos

|||M〉||p =

mXi=1

mXj=1

|M ij |p!1/p

. (1.2)

3. Sobre ΩN podemos construir los siguientes subespacios lineales normados

lpΩ ≡ |x〉 = (a1, a2, ....) ∈ ΩN | |||x〉||p ≡ (Xj

|aj |p)1/p < +∞ , 1 ≤ p < +∞

l∞Ω ≡ |x〉 = (a1, a2, ....) ∈ ΩN | |||x〉||∞ ≡ supn|an| < +∞ (1.3)

4. Igualmente, sobre un subespacio del espacio vectorial de las matrices infinitas , podemosdefinir

mpΩ = |M〉 ∈ MΩ

N | |||M〉||p =

∞X

i,j=1

|M ij |p!1/p

<∞ (1.4)

5. Sea K un conjunto compacto de Ωn, y sea (C(K), || ||∞) el espacio vectorial formado portodas las funciones f : K → Ω contınuas sobre K, investido de la norma

|||f〉||∞ ≡ supK |f(x)|

9

6. C(K) admite otras estructuras normadas, como por ejemplo (C(K), || · ||p) con

|||f〉||p ≡˛ZK

|f(x)|pdx˛1/p

7. Lp(K). Si relajamos el requisito de continuidad en el ejemplo anterior llegamos al siguienteespacio vectorial normado de gran importancia: Lp(K) es el conjunto de funciones f queverifican ||f ||p ≡ |

RK|f |pdx|1/p < +∞. Lp es un espacio normado, con la norma || · ||p.

Ejercicios:

(a) Demostrar sobre l2Ω que:Pi |aibi|

2 ≤Pj |aj |

2Pk |bk|

2.

(b) Probar que ∀|x〉, |y〉 ∈ V se cumple || |x〉|| − || |y〉|| ≤ || |x〉 − |y〉||.(c) Sean |x〉, |y〉 ∈ L2[a, b]. Demostrar que (a|x〉+ b|y〉) ∈ L2[a, b].

1.3. Convergencia de Sucesiones.

La introduccion de una norma nos permite definir una nocion de convergencia con la cual ahorapodremos permitir combinaciones lineales no-finitas.1.3.0.7 ε− vecindad.Una bola abierta (cerrada) B(|x0〉, r) (B[|x0〉, r]), es el conjunto de elementos |x〉 ∈ V que verifican|||x− x0〉|| < r, (≤ r). Una bola abierta de radio ε se denomina tambien una ε−vecindad de |x0〉, yse denota Oε(|x0〉).1.3.0.8 Punto de Adherencia.Sea M ⊂ V . Un vector |x〉 ∈ V se denomina, punto de adherencia de M , si cualquier vecindadsuya contiene al menos un punto de M .Si |x〉 ∈M trivialmente es un punto de adherencia. Pero ademas existen puntos de adherencia enV que no pertenecen a M . Por ejemplo, sea V = R, y M = [0, 1). El punto 1 es de adherencia.El conjunto formado por la union de M con todos sus puntos de adherencia se denomina adherenciao tambien clausura de M y se denota con M .1.3.0.9 Cerrado, Denso, Separable.

a) Un subconjunto M ⊂ V , decimos que es cerrado, si coincide con su adherencia, M = M .

b) Sean M,N ⊂ V dos subconjuntos. Decimos que M es denso en N cuando M ⊃ N .

c) Un subconjunto M ⊂ V se dice que es siempre denso en V , cuando M = V .

d) Un espacio normado (V, || · ||) se dice que es separable, cuando existe un subconjunto numerable,siempre denso en V .

El ejemplo clasico de subconjunto siempre denso en R es Q . Por ser ademas, Q un conjuntonumerable, R es separable.

10

1.3.1. Convergencia de sucesiones y series en espacios normados

1.3.1.1 Sucesion Convergente.Una sucesion |xn〉∞1 de elementos de V , decimos que converge (fuertemente) a un elemento |x0〉de V , simbolicamente |xn〉 → |x0〉, si |||xn−x0〉||

n→∞−→ 0 con |x0〉 ∈ V . Decimos que |x0〉 es el lımitede la sucesion.

La convergencia de sucesiones es una herramienta util para caracterizar puntos de adhe-rencia.

Lema: Dado un subconjunto M ⊂ V , y un vector |x〉 ∈ V , |x〉 es un punto de adherencia deM , (i.e. |x〉 ∈M), si y solo si existe una sucesion |sn〉∞1 ⊂M , tal que |sn〉 → |x〉.

Demostracion:

[⇒] Si |x〉 ∈ M ⊂ M entonces el enunciado se cumple con la sucesion trivial |sn〉 = |s〉, ∀nSupongamos que s 6∈M , pero |s〉 ∈M . Por ser un punto de adherencia, toda ε−vecindadde |x〉 Oε(|x〉), contiene al menos un elemento de M . Sea la sucesion εn∞1 con εn = 1/n,podemos tomar un elemento |sn〉 ∈M de cada entornoO1/n(|x〉), y definir de esta manerala sucesion una |sn〉∞1 , convergente a |x〉.

[⇐] Trivial.

1.3.1.2 Convergencia de Series.Se dira que, dados |vn〉 ∈ (V, || · ||), la serie

∑∞i=1 |vi〉 converge hacia |v〉 ∈ V , si la sucesion de

sumas parciales |sn〉 =∑ni=1 |vi〉 converge a |v〉, i.e. |||sn〉 − |v〉||

n→∞−→ 0.Es necesario recordar que tal operacion

∑∞i=1 para vectores es posible porque sobre V hay una

norma definida. No es por tanto una mera operacion formal algebraica de suma, sino que ademases necesario darle sentido controlando su distancia a cualquier elemento del espacio vectorial.Vemos que, en contraste con lo que pasaba al trabajar con espacios lineales sin norma, en los quetan solo se permitıa efectuar sumas finitas, y producto por escalares, ahora podemos admitir sumasinfinitas gracias a la introduccion de la norma.

1.3.2. Espacios Completos

1.3.2.1 Sucesion de Cauchy.Una sucesion |yn〉∞1 de elementos de V , decimos que es sucesion de Cauchy (o fundamental), si|||yn〉 − |ym〉||

n,m→∞−→ 0, es decir, si ∀ε > 0, ∃N > 0 tal que |||yn〉 − |ym〉|| < ε,∀n,m > N.

Proposicion: Toda sucesion convergente en (V, || · ||), es de Cauchy.

Demostracion: se deduce de la desigualdad triangular N4:

|||xn〉 − |xm〉|| ≤ |||xn〉 − |x0〉||+ |||x0〉 − |xm〉|| → 0

Sin embargo, Cauchy 6⇒ convergente. Es este un inconveniente que hace extremadamente utilesaquellos casos de espacios en los que se pueda asegurar la convergencia de sucesiones de Cauchy.1.3.2.2 Espacio Completo.

11

Un espacio normado, (V, || · ||), se dice que es completo en la norma asociada, o de Banach1, cuandotoda sucesion de Cauchy es tambien convergente en V .

1.3.2.3 La relacion entre completo y cerrado puede llevar a confusion. Por eso vamos acomentarla un poco. Decimos que un subconjunto no vacıo M(V, || · ||) es completo, si todasucesion de Cauchy |xn〉∞1 ⊂M converge en M .

Proposicion: Si (V, || · ||) es completo, y M ⊂ (V, || · ||) un subconjunto no vacıo, entonces: Mcompleto ⇔ M cerrado.

Demostracion:

[⇒] Si |x〉n ⊂ M es tal que |x〉n → |y〉 ⊂ V , entonces por un lado |x〉n es de Cauchy ypor otro es de M , luego si M es completo la sucesion converge en M .

[⇐] Dado M cerrado, si |x〉n ⊂ M es de Cauchy, debe converger en V (completo) hacia|y〉 ∈M = M , luego M es completo.

Ejemplos:

1. El conjunto de los Q es el ejemplo clasico de conjunto no completo en la norma euclıdea|| · ||2. Por el contrario los reales, R, sı constituyen un conjunto completo. AnalogamenteRn y Cn son conjuntos completos y separables en la misma norma.

2. Sea V un espacio vectorial real (complejo). Existe un isomorfismo entre este espacio y elespacio vectorial Rn (Cn), que asocia a cada vector con el conjunto de sus componentesreales (complejas) en una determinada base. En virtud de la completitud de Rn (Cn),tenemos que cualquier espacio vectorial de dimension finita sobre R (C) es automatica-mente completo y separable al serlo estos conjuntos.

3. Sea (C[0, 1], || · ||∞) el espacio vectorial normado de funciones contınuas sobre [0, 1] ∈ R. Elsubconjunto P de polinomios en t ∈ [0, 1] es, a su vez, un subespacio lineal normado. Elteorema de Wierstrass asegura que ∀|f〉 ∈ C[0, 1], existe alguna sucesion de polinomios|Pn〉∞1 → |f〉 en la norma || · ||∞. Por tanto, si |f〉 6∈ P, tenemos una sucesion de Cauchyque no es convergente en P, pero sı lo es en C[0, 1]. Por tanto (P, || ||∞) no es completo.Por el contrario, (C[a, b], || · ||∞) sı es completo.

4. lpΩ definido en 1.3, es completo.

5. Lp[a, b] es completo.

Ejercicio: El concepto de completitud depende, no solo del espacio vectorial de partida, sinotambien de la norma utilizada. En particular, se pide demostrar que (C[0, 1], || · ||2) noes completo, mientras que (C[0, 1], || · ||∞) sı lo es. (Ayuda: definir alguna sucesion defunciones contınuas que converja a una funcion no contınua, como por ejemplo la funcionescalon).

1.3.2.4 CompletacionAunque el espacio V no sea completo, siempre puede ser incluido de cierta manera (y de hechounica) en un espacio completo: Sea V un espacio normado V . Un espacio normado V se denominacomplecion de V , si:

1.) V es un subespacio de V .

1Stefan Banach, matematico polaco (1892-1945).

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2.) V es siempre denso en V , es decir V = V .

Teorema: Todo espacio vectorial normado V admite una complecion V , donde V es un espaciovectorial normado y completo, unica salvo isomorfismos en norma2.

Demostracion: Sigue las pautas generales que se utilizan para construir R a partir de Q. Secompleta V anadiendo elementos “ideales”, clases de equivalencia de sucesiones de Cauchysin lımite en V . La estructura lineal normada se extiende a V por continuidad, pues V esdenso en V (ver ref. [Kol], pag. 76).

Ejemplos:

1. R es la complecion de Q.

2. (C[0, 1], || · ||∞) es la complecion de (P[0, 1], || · ||∞).

3. Lp[a, b] es la complecion de C[a, b] en la norma || · ||p.

1.4. Espacios Lineales con Producto Escalar

Vamos a introducir un poco mas de estructura en un espacio vectorial. La norma es un instrumentoque permite asociar un numero positivo (longitud) a cada vector. Con el producto escalar podemosgeneralizar conceptos como angulo o perpendicularidad, propios de la geometrıa euclıdea clasica.1.4.0.5 Definicion de Producto Escalar.Sea V un espacio vectorial sobre Ω(R o C). Por un producto escalar sobre V entendemos unaaplicacion ( , ) : V × V → Ω, denotada por |x〉, |y〉 → (|x〉, |y〉) que cumple:

PE1. (positividad) (|x〉, |x〉) ≥ 0, y (|x〉, |x〉) = 0⇔ |x〉 = 0.

PE2. (linealidad) (|x〉, |y〉+ |z〉) = (|x〉, |y〉) + (|x〉, |z〉)

PE3. (homogeneidad) (|x〉, a|y〉) = a(|x〉, |y〉)

PE4. (hermiticidad) (|x〉, |y〉) = (|y〉, |x〉)∗

La definicion anterior es equivalente a afirmar que sobre el espacio vectorial hay definida una formasesquilineal o hermıtica. Llamamos, espacio con producto escalar al par (V, ( , )).La introduccion de un producto escalar permite describir propiedades de caracter geometrico comoangulos y proyecciones.1.4.0.6 OrtogonalidadSea (V, (, )) un espacio con producto escalar. Dos vectores |v〉, |w〉 ∈ H, se dice que son ortogonales,|v〉⊥|w〉, si

(|v〉, |w〉) = 0.Asımismo, decimos que un subconjunto S = |vα〉α∈J ⊂ V es ortogonal cuando todos sus elemen-tos son ortogonales dos a dos. Si ademas (|vα〉, |vα〉) = 1,∀α ∈ J decimos que S es ortonormal.Dos conjuntos de vectores S1, S2 ⊂ (V, (., .)) son mutuamente ortogonales, S1⊥S2, cuando (|v1〉, |v2〉) =0 ∀|v1〉 ∈ S1, |v2〉 ∈ S2. Se sigue inmediatamente de las propiedades de linealidad del productoescalar que lin(S1)⊥lin(S2)⇔ S1⊥S2.

2Dos espacios lineales normados V1 y V2 se dice que son isomorfos en norma, si ∃ un isomorfismo lineal T : V1 →V2, que es isometrico en el sentido de que |||Tx〉||V2 = |||x〉||V1 , ∀|x〉 ∈ V1

13

1.4.1. Norma inducida por un producto escalar

1.4.1.1 Norma asociada

En (V, (, )) la aplicacion |x〉 → |||x〉|| ≡√

(|x〉, |x〉) define una norma. La unica propiedad no trivialque hay que verificar es la desigualdad triangular N4 (ver mas abajo).

1.4.1.2 Teorema:(de Pitagoras generalizado): Si S = |vj〉j∈J es un subconjuntoortonormal finito en (V, (, )), tenemos que ∀|v〉 ∈ V se cumple

|||v〉||2 =Xj∈J

|(|vj〉, |v〉)|2 + |||v〉 −Xj∈J

(|vj〉, |v〉) |vj〉||2.

Demostracion: Sea |d〉 = |v〉 −Pj∈J(|vj〉, |v〉) |vj〉, es facil ver que |v − d〉 ⊥ |d〉. Entonces

(|v〉, |v〉) = ((|v−d〉) + |d〉, (|v−d〉) + |d〉) = |||v−d〉||2 + |||d〉||2. Igualmente |||v−d〉||2 =Pj∈J |(|vj〉, |v〉)|

2|||vj〉||2 =Pj∈J |(|vj〉, |v〉)|

2

1.4.1.3 Corolario: (Desigualdad finita de Bessel)Si |vj〉j∈J es subconjunto ortonormal finito de (V, (, )) se tiene ∀|v〉 ∈ V

|||v〉||2 ≥Xj∈J

|(|vj〉, |v〉)|2. (1.5)

1.4.1.4 Proposicion: (Desigualdad de Schwarz)∀|x〉, |y〉 ⇒ |(|x〉, |y〉)| ≤ |||x〉|| |||y〉||. Ademas cuando se satura la desigualdad, |x〉 e |y〉

son proporcionales (|x〉 = λ|y〉).

Demostracion: Si |x〉 = 0 es trivial, por tanto supondremos que |x〉, |y〉 6= 0. En este caso esuna consecuencia elemental de la desigualdad de Bessel. En efecto tomando el conjuntol.i. ortonormal, como constituido por un solo elemento |vj〉j∈J = |y〉/||y|| , 1.5 sereduce a la afirmacion

|||x〉|| ≥˛(|x〉, |y〉|||y〉|| )

˛=

1

|||y〉|| |(|x〉, |y〉)| (1.6)

1.4.1.5 Proposicion: (Desigualdad Triangular o de Minkowski)Dados v, w ∈ V

|||v〉+ |w〉||2 = |||v〉||2 + |||w〉||2 + 2Re(|v〉, |w〉)≤ |||v〉||2 + |||w〉||2 + 2|(|v〉, |w〉)|≤ |||v〉||2 + |||w〉||2 + 2|||v〉|| |||w〉||= (|||v〉||+ |||w〉||)2 (1.7)

segun la desigualdad de Schwarz. .Definicion: convergencia debil. Sea |xn〉∞1 una sucesion de elementos de (V, (., .)). De-

cimos que converge debilmente hacia |x〉, |xn〉∞1 |x〉 si

(|y〉, |xn〉)→ (|y〉, |x〉) , ∀|y〉 ∈ V.

Teorema: Convergencia fuerte implica convergencia debil. Es decir, si |xn〉∞1 → |x〉 e|xn〉∞1 x . Demostracion: Para todo y ∈ V

|(|y〉, |xn〉)− (|y〉, |x〉)| = |(|y〉, |xn − x〉)| ≤ |||y〉|| |||xn − x〉|| → 0

La implicacion inversa no ocurre necesariamente.

Ejemplos de Espacios con Producto Escalar

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1. Ωn admite una estructura de espacio con producto escalar, con la definicion

(|v〉, |w〉) ≡nXj=1

ajbj para v = (a1, ..., an) , w = (b1, ..., bn).

2. l2Ω, con el producto escalar de |v〉 = aαα∈N, |w〉 = bββ∈N.

(|v〉, |w〉) ≡Xα∈N

aαbα

3. C(K), con K ⊂ R un compacto, y producto escalar:

(|f〉, |g〉) ≡ZK

f(x)g(x) dx.

4. L2(R) con producto escalar:

(|f〉, |g〉) ≡Z

Rf(x)g(x) dx

y analogamente para L2[a, b].

El espacio lpΩ es un espacio normado, pero no existe ningun producto escalar que induzca lanorma asociada, salvo para p = 2 (c.f. [Ave] pag.80).

1.5. Espacios de Hilbert

Recordemos que todo espacio normado admite una unica extension a un espacio completo. Estacompletacion es extremadamente util pues en ella encuentran su lımite todas las sucesiones deCauchy que no convergıan en el espacio normado original. Un espacio vectorial con productoescalar induce una norma unica, y por tanto, salvo isomorfismos en norma, tambien admite unaunica completacion:1.5.0.6 Espacio de Hilbert.

Un espacio de Hilbert, es un espacio vectorial con producto escalar (V, (, )) completo en la normaasociada.

Ejemplos de Espacios de Hilbert:

1. Rn, Cn y MΩN son espacios de Hilbert

2. l2Ω y MΩ∞ son Hilbert

3. L2(Rn) y L2[a, b] son espacios de Hilbert.

1.5.0.7 Complemento OrtogonalSea M un subconjunto de un espacio de de Hilbert H. Denotamos por complemento ortogonal deM en H, M⊥, a

M⊥ ≡ |v〉 ∈ H / |v〉⊥M (1.8)

A veces se escribe tambien M⊥ = H M .

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Teorema 1.5.1 (fundamental de la proyeccion ortogonal) Si M es un subes-pacio lineal cerrado de un espacio de Hilbert H, entonces ∀|v〉 ∈ H

|v〉 = |v1〉+ |v2〉 , con |v1〉 ∈M, |v2〉 ∈M⊥ (1.9)

y tal descomposicion es unica.

Demostracion: (c.f. [Ave] pag. 86).A |v1〉 del enunciado anterior se le denomina proyeccion ortogonal de |v〉 sobre M .Definicion: Dados subespacios lineales cerrados M,N ⊂ H, diremos que H es suma directaortogonal de ambos, simbolicamente, H = M ⊕ N si ademas de ser suma directa H = M~⊕N , secumple M⊥N . El teorema anterior afirma que para todo subespacio cerrado M ⊂ H, se cumpleque H = M ⊕M⊥.

1.5.1. Bases

Sea S = |fα〉α∈I donde I un conjunto finito o infinito de ındices. Recordemos que S es base deun espacio de Hilbert base H, si es maximal, es decir si no es subconjunto propio de ningun otroconjunto linalmente independiente de H.En un espacio de Hilbert, podemos formar la matriz de productos escalares elementales de loselementos de una base

gαβ = (|fα〉, |fβ〉) . α, β ∈ I (1.10)

1.5.1.1 Teorema de Gramm-SchmidtCualquier conjunto finito o infinito numerable de vectores l.i. de un espacio de Hilbert puedeortonormalizarse, tal y como afirma el siguiente teorema:

Teorema 1.5.2 (Gramm-Schmidt) Sea |vj〉j∈J ⊂ H un conjunto l.i. con Jfinito (1, 2, ..., n) o infinito numerable (N). Entonces ∃|uj〉j∈J ortonormal tal quelin(|vj〉j∈J) = lin(|uj〉j∈J).

Demostracion: Hagamos

|w1〉 ≡ |v1〉 , |u1〉 ≡ |w1〉|||w1〉||

|w2〉 ≡ |v2〉 − (|u1〉, |v2〉)|u1〉 , |u2〉 ≡ |w2〉|||w2〉||

......

...|wm〉 ≡ |vm〉 −

∑m−1k=1 (|uk〉, |vm〉)|uk〉 , |um〉 ≡ |wm〉

|||wm〉||...

.......

(1.11)

Se comprueba directamente que el nuevo conjunto es ortogonal por construccion. |wm〉 nose anula en virtud de la supuesta independencia lineal de |uj〉j∈J . Es evidente que lasvariedades lineales generadas son las mismas.

Ejercicio: Aplicar el proceso de Gram-Schmidt al sistema de funciones 1, x, x2, x3 ∈L2[−1,+1].

16

1.5.1.2 Base OrtonormalUn conjunto ortonormal de vectores S = |eα〉 en un espacio de Hilbert es una base ortonormalde H, si es maximal, es decir si no es subconjunto propio de ningun otro conjunto ortonormal deH. La matriz de productos escalares elementales, viene dada por la delta de kronecker

(|eα〉, |eβ〉) = δαβ . (1.12)

1.5.1.3 Desarrollo de un vectorDada una base, cualquier vector puede expresarse como una combinacion lineal finita o infinita

|v〉 =∑α∈I

vα|eα〉 (1.13)

La suma anterior, que en un espacio lineal debıa restringirse a un conjunto finito de terminos,ahora puede admitir sumas infinitas. En un espacio de Hilbert es posible tener un criterio parasaber cuando una suma infinita de vectores converge.

Lema 1.5.1 Sea |ej〉∞j=1 un conjunto ortonormal de vectores de H, espacio deHilbert.

∞∑1

vj |ej〉 converge en H ⇔∞∑1

|vj |2 converge en R

Demostracion:∑∞

1 vj |ej〉 converge en H ⇔ la sucesion de sumas parciales es de Cauchy ⇔||∑nm+1 vj |ej〉|| → 0 , m, n→∞ ⇔

∑nm+1 |vj |2 → 0 ⇔

∑∞1 |vj |2 es convergente en R, al

ser R completo.

1.5.1.4 ComponentesLos coeficientes que expresan el desarrollo de un vector en una base ortonormal pueden recuperarsecalculando la proyeccion del vector sobre el elemento de la base deseado. Las cantidades

vα = ( |eα〉, |v〉 ) (1.14)

reciben el nombre de componentes covarivantes del vector |v〉 en la base |eα〉. La consistencia de(1.13) con (1.14) es consecuencia directa de la linealidad del producto escalar.

En dimension finita, trabajar con bases ortonormales es elemental. En dimension infinitala mayorıa de los resultados se extienden directamente. Alguna prueba puede requerir un pocomas de esfuerzo. Como mera ilustracion incluimos aquı este complemento para que el lectorperciba el tipo de sutilezas que surgen en las demostraciones cuando se trabaja en dimensioninfinita.

Teorema 1.5.3 ∃ de bases ortonormales Todo espacio de Hilbert 6= ∅posee alguna base ortonormal.

Teorema 1.5.4 (Caracterizacion de bases ortonormales) Sea S = |eα〉α∈Aun conjunto ortonormal en un espacio de Hilbert H, donde A es un conjunto finitoo infinito de ındices. Denotaremos vα el conjunto de productos escalares (compo-nentes) vα = (|eα〉, |v〉). Las siguientes proposiciones son equivalentes dos a dos.

BO1. S es base ortonormal de H.

17

BO2. linS = H

BO3. |v〉⊥|eα〉, (∀α ∈ A)⇒ |v〉 = 0. Es decir S⊥ = 0 .

BO4. ∀|v〉 ∈ H ⇒ |v〉 =Pα vα|eα〉 (Desarrollo de Fourier).

BO5. ∀|v〉, |w〉 ∈ H ⇒ (|v〉, |w〉) =Pα v∗αwα (Identidad de Parseval)

B06. ∀ |v〉 ∈ H ⇒ || |v〉||2 =Pα |vα|

2 (Identidad de Parseval)

Demostracion: (Ver Avellanas, pag. 103.) Demostraremos solamente (3⇒ 4).

Si A es finito entonces |v′〉 =Pα∈A vα|eα〉 es tal que (|v〉 − |v′〉) ⊥ |eα〉 y por B03 se

sigue que |v〉 = |v′〉. Veamos ahora el caso en que A es infinito. Demostraremos primeroque, a

Pα∈A vα|eα〉 solo contribuyen una cantidad infinita numerable de terminos.

Por la desigualdad finita de Bessel (1.5), ∀ subconjunto finito J ⊂ A de ındices:Xα∈J

|vα|eα〉|2 =Xα∈J

|(|eα〉, |v〉)|2 ≤ || |v〉||2.

Este hecho implica que enPα∈A vα|eα〉 solo hay una coleccion finita o, a lo sumo nu-

merable, de terminos no nulos. Efectivamente, dado un entero n ∈ N podemos formarel subconjunto de vectores Cn ≡ |eα〉, α ∈ A|vα = (|eα〉, |v〉) ≥ 1/n. En virtud de ladesigualdad de Bessel X

|eα〉∈Cn

1

n2≤

X|eα〉∈Cn

|(|eα〉, |v〉)| ≤ |||v〉||2,

vemos que Cn no puede contener mas de n2||v||2 elementos, ası que la union ∪nCn es unconjunto numerable.

En cualquiera de ambos casos tenemos quePα∈A |vα|

2 ≤ ||v||2. Definamos ahora lasucesion de sumas parciales |wn〉∞n=1 con |wn〉 ≡

Pni=1 vα|eαi〉. Esta sucesion es de

Cauchy. En efecto

|||wn〉 − |wm〉||2 =

nXm+1

|vα|2 → 0, para n > m→∞. (1.15)

Por tanto podemos definir un vector en H como el lımite |v′〉 ≡ lımn→∞ |wn〉, Un calculodirecto muestra que |v〉−|v′〉⊥∀|eα〉. Por tanto |v〉 = |v′〉 en virtud de la hipotesis (BO3).

1.6. Espacios de Hilbert Separables

La dimension de un espacio de Hilbert puede ser finita o infinita. En particular estamos interesadosen al caso en el cual tiene dimension ℵ0. Este es el caso de los Espacios de HIlbert separables.Empezaremos por recordar que un espacio de topologico X, se llama separable si posee algunsubconjunto numerable, siempre denso en X. Por ejemplo Q es numerable y denso en R, por tantoR es separable. Lo mismo puede decirse de Rn y de Cn. En C[a, b] los polinomios con coeficientesracionales forman un subconjunto numerable y denso.Si V es un espacio vectorial separable y, con respecto a la norma inducida por (., .) es un espaciode Hilbert, diremos que (V, (., .)) es un espacio de Hilbert separable. En general nos restringiremosen adelante a espacios de Hilbert separables.

Teorema 1.6.1 Un espacio de Hilbert, H 6= 0, es separable si y solo si admiteuna base ortonormal numerable (finita o infinita numerable).

18

Demostracion:

[⇒] Si H es separable ∃D = |dj〉, un conjunto numerable de vectores, siempre denso en H.Seleccionemos un subconjunto |vj〉 por el siguiente algoritmo de recurrencia: |v1〉 es elprimer vector no nulo de D. Una vez elegidos, |v1〉, ..., |vk〉, l.i. se toma como |vk+1〉 elproximo vector de D que sea linealmente independiente de los anteriores. Aplicando el metodode Gramm-Schmidt, producimos a partir de |vj〉 un conjunto ortonormal numerable B =|ek〉 con la propiedad de que linB = linD. D siempre denso ⇒ linD siempre denso ⇒ linBsiempre denso ⇒ linB = H, y por el apartado BO2 del teorema de caracterizacion de basesortonormales, B es una base.

[⇐] Si H admite una base ortonormal B = |ek〉, entonces BO2 de nuevo implica que linBsiempre denso en H. Por hipotesis B es numerable, por tanto, un subconjunto numerableM ⊂ H esta formado por aquellas combinaciones lineales de vectores de B que involucrancoeficientes racionales. Falta ver que M es siempre denso en H. Dados |v〉 ∈ H, ε > 0, ∃|w〉 ∈linB digamos, |w〉 =

∑n1 λj |ej〉 tal que ||v −w|| < ε. Luego, tomando numeros de racionales,

ρj tales que verifiquen |λj − ρj | < ε/√n, el vector |w′〉 =

∑n1 ρj |ej〉 cumple:

|| |v〉 − |w′〉 || ≤ || |v〉 − |w〉||+ |||w〉 − |w′〉|| ≤ 2ε.

Corolario 1.6.1 La dimension de todos los espacios de Hilbert separables es o bienfinita e igual a d <∞ o bien infinita e igual a la cardinalidad de N (ℵ0).

1.6.1. Teorema del Isomorfismo

Definicion: Dos espacios de Hilbert sobre Ω, H1 y H2, se dice que son isomorfos si existe algunisomorfismo lineal U : H1 → H2 que conserva productos escalares, es decir que (U |x〉, U |y〉)H2 =(|x〉, |y〉)H1 , ∀|x〉, |y〉 ∈ H1.

Teorema 1.6.2 (del isomorfismo) Todo espacio vectorial de Hilbert separable Hsobre Ω, es isomorfo a Ωd si la dimension hilbertiana de H (d < ∞), y a l2Ω si ladimension hilbertiana es infinita.

Demostracion: Sea |en〉n∈J una base ortonormal de H donde J = 1, 2, .., d o bien J = N. Laaplicacion U : H → l2Ω definida por U : |v〉 ∈ H → |x〉 = (|en〉, |v〉)n∈J ∈ l2Ω estableceel deseado isomorfismo, claramente lineal. Comprobemos que es una biyeccion. Es inyectivaporque

U |v〉 = U |w〉 ⇒ (|en〉, |v〉) = (|en〉, |w〉),∀n ∈ J ⇒ |v〉 − |w〉⊥∀|un〉 (1.16)

El unico vector que satisface, ser ortogonal a todos los vectores de una base ortogonal es el|0〉 ∈ H,⇒ |v〉 = |w〉. Ademas es suprayectiva pues dada cualquier coleccion de numerosλ = λnn=J ∈ l2Ω se tiene λn = 0, excepto a lo sumo para una subcoleccion de ındicesn1, n2, .... Si este conjunto es finito n1, ..., np el vector |v〉 =

∑pi=1 λni |eni〉 verifica U |v〉 =

(|en〉, v) = λn = |λ〉 ∈ l2Ω. Si fuese infinito veamos que tambien define un unico elemento|v〉 ∈ H. Efectivamente por ser elemento de l2Ω debe cumplir

∑j∈J |λj |2 < ∞. Por el lema

1.5.1 tenemos que necesariamente∑j∈J λj |ej〉 → v ∈ H.

Por ultimo debemos verificar la isometrıa. Esta se cumple en virtud de la identidad de Parseval

(U |v〉, U |w〉)l2Ω ≡∑n∈J

(|en〉, |v〉)(|en〉, |w〉) = (|v〉, |w〉)H

19

En resumen, para cada dimension Hilbertiana d existe un solo tipo de espacio de Hilbert separable,salvo isomorfismo. En particular hemos demostrado que L2[a, b] es isomorfo a l2Ω.1.6.1.1 Notemos que a la luz del teorema del isomorfismo anterior, se entiende el criterio deconvergencia 1.5.1, puesto que la condicion que se enuncia a la derecha no es mas que la condicionde pertenencia a l2Ω de una sucesion (λ1, λ2, ...) ∈ l2Ω.

1.7. Algunas bases ortonormales importantes

A continuacion damos sin prueba algunos ejemplos de bases ortonormales de uso frecuente. Paratodas ellas la ortonormalidad es relativamente facil de verificar. El punto delicado es probar elhecho de que su variedad lineal es densa en H.1.7.0.2 Base estandar en l2Ω. sea H = l2Ω, admite diversas bases. Una base numerable ortonormales

|ek〉∞1 = (1, 0, 0, ...), (0, 1, 0, ...), (0, 0, 1, ...) (1.17)

Claramente cualquier elemento |x〉 de l2Ω admite una expansion de la forma |x〉 =∑∞i=1 a

i|ei〉 con∑a2i <∞.

1.7.0.3 Base de Legendre

H ≡ L2[−1,+1]. Los polinomios de Legendre

|Pn〉 → Pn(x) ≡ 1n!2n

dn

dxn(x2 − 1)n (1.18)

Los polinomios de Legendre, pueden obtenerser mediante el procedimiento de Gramm-Schmidtaplicado a la sucesion de funciones xn∞0 ⊂ L2[−1,+1], el cual es un conjunto linealmente inde-

pendiente, pero no ortonormal. Finalmente√

n+ 12 Pn

∞0

es base ortonormal para L2[−1,+1].

1.7.0.4 Base de Hermite

H = L2(R). Ahora no podemos empezar con xn 6∈ H. Sin embargo podemos considerar otroconjunto de funciones xne−x2/2∞0 ⊂ H que es l.i.. Tras aplicar el metodo de ortonormalizacion,el resultado a que se llega es

|φn〉 → φn(x) =1

(n!2n√π)1/2

e−x2/2Hn(x) n = 0, 1, 2, ... (1.19)

llamadas funciones de Hermite, siendo Hn(x)∞0 los denominados polinomios de Hermite

Hn(x) = (−1)nex2 dn

dxnex

2. (1.20)

1.7.0.5 Base de Fourier

Sea Hl ⊂ L2[0, l] el subconjunto formado por funciones periodicas |f〉 → f(x) = f(x+ l).

|en〉 → en(x) =1√lei

2πnl x n ∈ Z

constituye una base ortonormal. Toda funcion |f〉 ∈ Hl es desarrollable en serie de Fourier relativaa la base de funciones trigonometricas |f〉 =

∑+∞−∞ fn |en〉, donde las componentes covariantes

fn = (|en〉, |f〉) =1√l

∫ l

0

e−i2πnl xf(x)dx

20

y |||f〉||2 =∑+∞−∞ |(|en〉, |f〉)|2.

1.7.0.6 Base de Laguerre

H = L2(R+),R+ = [0,+∞). La sucesion e−x/2xn∞0 ∈ H es linealmente independiente, y porGramm-Schmidt conduce a una familia ortonormal y numerable ψn(x)∞1 , donde salvo un factor±1,

|ψn〉 → ψn(x) = e−x/2 Ln(x), (1.21)

siendo Ln los polinomios de Laguerre

Ln(x) =1n!exdn

dxn(e−xxn). (1.22)

Ejercicio: Probar que

(|Pn〉, |Pm〉) =2

2n+ 1δm,n. (1.23)

y ademas calcular P0(x), P1(x), P2(x) y P3(x).

21

Capıtulo 2

El Espacio Dual

2.1. Formas Lineales

2.1.0.7 Forma linealSea V un espacio lineal. Una forma lineal 〈u| (tambien llamada funcional lineal o, simplemente,bra), es una aplicacion lineal

〈u| : V → Ω〈u| : |v〉 → 〈u|v〉 ∈ Ω

〈u| (|v1〉+ a|v2〉) = 〈u|v1〉+ a〈u|v2〉. (2.1)

La evaluacion de un bra, 〈u| sobre un ket, |v〉, se denomina tambien contraccion o braket, 〈u|v〉.2.1.0.8 Espacio dual: V ∗

El conjunto de todas las forma lineales sobre un espacio vectorial V , con la operacion natural desuma y multiplicacion por un elemento de Ω

〈w| = 〈w1|+ a〈w2| ⇔ 〈w|v〉 = 〈w1|v〉+ a〈w2|v〉 ∀|v〉 ∈ V (2.2)

constituye el espacio dual V ∗. Impondremos ademas que el elemento neutro de la suma, 〈0|, sea elunico con la propiedad de que

〈0|v〉 = 0 ∀|v〉 ∈ V (2.3)

2.1.1. Base y Dimension

2.1.1.1 En V , un conjunto linealmente independiente y maximal |ei〉 , i = 1, ...., n constituyeuna base. Cualquier vector |v〉 ∈ V admite una expansion de la forma

|v〉 = vi|ei〉 (2.4)

2.1.1.2 Tambien el espacio dual es un espacio lineal, y a el se le aplican las mismas consideracionesque a V . Cuando la dimension de V es finita la situacion se simplifica considerablemente

Teorema 2.1.1 Sea V un espacio lineal de dimension finita dim(V ) = n. EntoncesV y V ∗ son isomorfos. En particular la dimension de V ∗ es igualmente n.

22

En este capıtulo, mientras no se advierta, trabajaremos con espacios de dimension finita dim(V ) =n.La primera consecuencia de este teorema es que V ∗ admite una base de formas lineales 〈ui|, i =1, 2, ...dim(V ∗), tal que para cualquier 〈w| ∈ V ∗ podemos expandir

〈w| = wi〈ui| (2.5)

El uso de una base para V ∗, 〈ui|, unida a la existencia de una base para V |ei〉, permitereducir la informacion necesaria para evaluar cualquier contraccion de la forma 〈w|v〉 , al conjuntode contracciones elementales f ij = 〈ui|ej〉

〈w|v〉 = (wi〈ui| )( vj |ej〉 ) = wivj〈ui|ej〉 = wiv

jf ij (2.6)

2.1.1.3 Base Canonica DualDada una base |ei〉 de V , existe una unica base canonica dual 〈ei| de V ∗, definida por el hechode que f ij = δij . Es decir

〈ei|ej〉 = δij i, j = 1, 2, .... (2.7)

En esta base la contraccion de una forma y un vector presentan la forma mas simple posible

〈w|v〉 = wivjδij = wiv

i

2.1.1.4 Compontes de un vector y de una formaEl uso de la base dual permite recuperar las contravariantes componentes de un vector de unamanera simple, mediante la contraccion de dicho vector con los elementos de la base dual

vi = 〈ei|v〉 (2.8)

Viceversa, las componentes wi de una forma 〈w| no son mas que el resultado de evaluar dichaforma sobre los elementos de la base

wi = 〈w|ei〉 (2.9)

2.1.2. Cambios de Base

2.1.2.1 Un espacio vectorial admite infinitas bases. Sean |ei〉 y |e′i〉 dos de ellas. Por serbases, cualquier vector de una de ellas admite una expansion en la otra

|e′i〉 = Oji|ej〉 (2.10)

El conjunto Oji caracteriza completamente el cambio de base. Como componentes que son,pueden escribirse tambien utilizando la base dual

Oji = 〈ej |e′i〉 (2.11)

2.1.2.2 Ahora es relevante saber como se relacionan los coeficientes de las expansiones de unvector arbitrario en ambas bases:

|v〉 = vj |ej〉 = v′i|e′i〉 = v′

iOji|ej〉 (2.12)

donde hemos introducido la accion explıcita del operador O. Por independencia lineal podemosigualar los coeficientes de |ej〉 j = 1, 2, ...

vj = Ojiv′i (2.13)

23

Notemos que el conjunto de numeros Oji relaciona la bases y los coeficientes en sentido inverso.Es en este sentido cuando decimos que los coeficientes se transforman de forma contravariante.

2.1.2.3 Recordemos que un operador es una aplicacion O : V → V que a cada vector|u〉 ∈ V le hace corresponder otro distinto |v〉 ≡ O(|u〉) ∈ V .

En particular, podemos entender el cambio de base como el resultado de la accion de unoperador lineal sobre cada elemento de la base |ei〉

|Oei〉 ≡ |e′i〉 = Oji|ej〉 (2.14)

2.1.2.4 Podemos representar las ecuaciones (2.14) y (2.13) de una manera mas compactamediante el algebra de matrices. Para ello es necesario disenar matrices con los objetos queentran en las ecuaciones, y disponerlas de tal manera que la multiplicacion matricial reproduzcacon fidelidad las instrucciones de sumacion que aparecen en ellas.

Por ejemplo, podemos colocar los coeficientes vi y v′j

en sendas matrices columna v y v′,ası como los numeros Oji en una matriz O donde j etiqueta las filas e i las columnas. Entoncesla ecuacion (2.13) admite una expresion compacta

v = Ov′ ⇔

0BBB@v1

v2

...vn

1CCCA =

0BBB@O1

1 O12 · · · O1

n

O21 O2

2 · · · O2n

...On1 · · · Onn

1CCCA0BBB@

v′1

v′2

...v′n

1CCCAque puede invertirse para expresar las coordenadas finales en terminos de las iniciales

v′ = O−1v

En (2.14) el ındice j de los vectores |ej〉 se suma con el de las filas, de manera que si e y e′

denotan sendas matrices columna, con entradas |ej〉 y |e′j〉 respectivamente, entonces dichaecuacion es equivalente al resultado de la operacion

e′t

= etO

o, equivalentemente

e′ = Ote ⇔

0BBB@|e′1〉|e′2〉

...|e′n〉

1CCCA =

0BBB@O1

1 O21 · · · On1

O12 O2

2 · · · On2

...O1

n · · · Onn

1CCCA0BBB@|e1〉|e2〉

...|e′n〉

1CCCA2.1.2.5 Veamos otro ejemplo. Si construimos sendas matrices A y B con los elementos

Aij y Bij de forma que el primer ındice etiquete filas y el segundo columnas, entonces lassumaciones dadas por

Pj A

ijB

jk yPj A

jiB

jk se obtienen de las multiplicaciones de matrices

AB y AtB respectivamente.

2.1.2.6 NotacionVamos a introducir una notacion de gran utilidad en las transformaciones de cambio de base.Segun dicho convenio, la base de partida siempre recibira ındices sin prima: i, j, ...µ, ν, ... mientrasque para los de la base transformada se reservan ındices con prima, i′, j′, ..., µ′, ν′, .... Debe quedarclaro que en ambos conjuntos, los subındices varıan dentro del mismo rango de valores (1, ..., n).Una vez hecha esta precision no es necesario mantener la prima encima de los objetos referidos a labase transformada. De esta manera vi

′significa realmente v′i

′, y analogamente por |ei′〉 debemos

24

entender realmente |e′i′〉. Solamente cuando demos valores numericos a estos ındices sera necesariorestituir la tilde en las cantidades que la llevaban de forma implıcia. Por ejemplo, cuando i′ = 2,|ei′〉 → |e′2〉.2.1.2.7 Relacion de cierre

Con este convenio, la expresion Oij′ simboliza el conjunto de datos que se precisan para expresarla base |ei〉 en la base |ej′〉 segun

|ej′〉 = Oij′ |ei〉. (2.15)

Viceversa, como la especificacion de base de partida y base de llegada es convencional, podemosconsiderar que el conjunto de datos que nos permiten pasar de |ej′〉 a |ei〉 se simboliza porOj′i, y se lleva a cabo como sigue

|ei〉 = Oj′

i|ej′〉

Basta ahora componer dos transformaciones de ida y de vuelta

|ei〉 = Oj′

i|ej′〉 = Oj′

iOkj′ |ek〉 (2.16)

para descubrir que que verifican la relacion de cierre

Okj′Oj′i = δki. (2.17)

En lenguaje matricial esto quiere decir que las matrices formadas por los numeros Oij′ y Oj′i son,

de hecho, mutuamente inversas

Oi′j → O ; Oi′

j → O−1 (2.18)

entonces (2.17) es equivalente a la composicion de matrices OO−1 = 1. Como la distincion entreındices con prima y sin prima es convencional tambien debe verificarse que la relacion de cierreinversa

Oi′

jOjk′ = δi

′

k′ . (2.19)

o, matricialmente O−1O = 1.2.1.2.8 En esta notacion, la forma en la que aparece Oi

′j es natural. Es la unica posible que hace

consistente la ecuacion de transformacion, en el sentido de que en ambos miembros de la mismalos ındices libres sean los mismos. Analogamente, si queremos conectar los coeficientes vi

′con los

vj vemos que la unica forma gramaticalmente consistente es

vi′

= Oi′

jvj (2.20)

o bienvj = Oji′v

i′ (2.21)

que, comparada con (2.13), de nuevo muestra que las componentes son magnitudes contravariantes.Esta notacion pone de manifiesto el caracter de cada objeto bajo transformaciones lineales de labase, haciendolo depender de la posicion en la que se encuentran los ındices.2.1.2.9 Transformacion de la base dualEfectivamente vamos a comprobar que la colocacion de los ındices para los elementos de la basedual tambien codifica su propiedad de transformacion. Si a la base |ei〉 le corresponde la base

25

dual 〈ej |, a la base transformada |ei′〉 le debe corresponder una base canonica dual 〈ei′ | quesatisface

〈ei′|ej′〉 = δi

′

j′

Transformando segun la ecuacion (2.15), encontramos

〈ei′|Oij′ |ei〉 = δi

′

j′ (2.22)

a la vista de (2.19) tenemos que la solucion debe ser necesariamente de la forma

〈ei′| = Oi

′

k〈ek|, (2.23)

puesto que entonces obtenemos

Oi′

kOij′〈ek|ei〉 = Oi

′

kOij′δ

ki = Oi

′

kOkj′ = δi

′

j′ . (2.24)

De nuevo, podıamos haber acortado la deduccion sin mas que observar que la regla de transforma-cion encontrada (2.23), es la unica consistente con la posicion de los ındices.Como vemos, esta regla es la misma que la de las componentes vi, lo cual demuestra que las formaslineales se transforman de manera contravariante con respecto a los vectores.2.1.2.10 Nos queda por examinar como se transforman las componentes vi de una forma. Denuevo el argumento que se debe utilizar es el de la descripcion invariante de una forma arbitrariafrente a cambios de base 〈w| = wi〈ei| = wi′〈ei

′ |. Sin embargo la solucion ya debe ser evidentedespues de los casos que hemos resuelto anteriormente: si queremos pasar de los numeros wi a loswj′ utilizando el conjunto de datos Oi

′j o bien Oji′ , las unicas opciones consistentes son

wi′ = Oji′aj , wi = Oj′

iwj′ (2.25)

que por supuesto son compatibles. De modo que, tal y como revela la posicion de los subındices,los coeficientes de las formas se transforman igual que los vectores de la base. Como hemos tomadoestos como punto de partida en el cambio de base, se dice que wi es un conjunto de cantidades quese transforman de manera covariante.2.1.2.11 Resumen:un conjunto de numeros, Oij′ , definen un cambio de base con respecto al cual los cuatro tipos demagnitudes que hemos estudiado se agrupan esencialmente en dos:

Covariantes: (o con el ındice abajo) se transforman como i′ = Oii′ i. Por ejemplo los vectores dela base |ej〉 o las componentes de una forma wj .

Contravariantes: (o con el ındice arriba) se transforman como i′ = Oi′i

i. Por ejemplo lascomponentes de vectores vi o los vectores de la base dual 〈ei|.

2.1.2.12 Notacion matricialLa gran claridad y simetrıa de esta notacion se obtiene a expensas de tener que trabajar

con ındices. Notese que en ningun momento hemos hablado de matrices sino de conjuntos denumeros, y las operaciones que hay que hacer con ellos estan especificadas sin ambiguedad.Otras formulaciones del problema procuran obviar los ındices haciendo conexion con el algebrade matrices. Entonces surgen multitud de dudas acerca de si cierta regla de transformacioninvolucra solo la inversa de la matriz de trasformacion, o la inversa traspuesta, etc. etc. Todasestas reglas se pueden recuperar de las expresiones 2.14 y 2.13 si se adoptan las siguientes

26

precauciones: 1: definir claramente que indices etiquetan filas y cuales columnas en las matricesformadas con cada objeto; 2: identificar si los ındices que se suman coinciden con los que sededucen de la ecuacion matricial que se pretende asociar. De lo contrario la operacion debecorregirse con una oportuna trasposicion.

2.1.2.13 Transformaciones Activas y PasivasUn cambio de base es sinonimo de una transformacion pasiva. Es decir, el vector |v〉 no

cambia. Lo que varıa es su descripcion. Todo el efecto aparente que se produce sobre lascomponentes es debido a la modificacion de la base |ei〉 → |ei′〉 contenida en la matriz Oii′ .

Las componentes contravariantes se transforman con la matriz inversa Oi′i porque, debido a

la invariancia del vector, deben“compensar.el cambio producido en la base.Por el contrario, una transformacion activa implica un cambio efectivo del vector en cues-

tion, quedando intacta la base. En este caso la regla |v〉 → |v′〉 = O|v〉 debe entenderse como

que el vector |v〉 de componentes vi pasa a otro |v′〉 de componentes v′i′

en la misma base.

La relacion entre ambos puntos de vista consiste en que, si las nuevas componentes v′i′

serelacionan con las antiguas vi mediante la misma matriz Oi

′i que en el caso pasivo, entonces

la accion que representa O es la inversa. Para entenderlo claramente pensemos que O es unarotacion de angulo θ en el plano dada por

Oi′j =

„cos θ sen θ− sen θ cos θ

«. (2.26)

El cambio que se produce en las componentes de un vector bidimensional v′i′

= Oi′ivi admite

cualquiera de las dos interpretaciones siguientes: a) el vector ha sido rotado un angulo θ(transformacion activa), b) el vector es el mismo, expresado en un sistema de ejes nuevo,girado un angulo −θ con respecto al antiguo .

Es decir, Oi′i son las componentes de O actuando sobre |v〉 en el punto de vista activo, y

las de O−1 actuando sobre la base |ei〉 en el punto de vista pasivo.

2.2. Dualidad en espacios de Hilbert

2.2.1. La aplicacion adjunta, † : V ⇒ V ∗

2.2.1.1 A cada ket le corresponde un braSea (V, ( , )) un espacio de Hilbert. El producto escalar es una aplicacion (, ) : V ×V → Ω. En estecaso disponemos de una manera de elegir, para cada ket |w〉 ∈ V , un bra 〈w| ∈ V ∗. Denominamosa esta asociacion, aplicacion adjunta

† : V → V ∗

|v〉 → |v〉† ≡ 〈v| (2.27)

Definicion 2.2.1 para cada |w〉 ∈ V el adjunto |w〉† ≡ 〈w| ∈ V ∗ es el unicoelemento que, para todo ∀|v〉 ∈ V , verifique la igualdad

〈w|v〉 = (|w〉, |v〉) (2.28)

Para demostrar que esta aplicacion esta bien definida debemos comprobar la unicidad. De locontrario, es decir si 〈u| = |u〉† = 〈u′| con 〈u| 6= 〈u′|, entonces tendrıamos 〈u−u′|v〉 = (|0〉, |v〉) =0, ∀|v〉 ∈ V . Lo cual implica, segun (2.3), que 〈u| − 〈u′| = 〈0|, es decir 〈u| = 〈u′|.

27

La ecuacion (2.28) impone una forma precisa de extender la accion de la aplicacion adjunta alcuerpo Ω. En efecto, si |u〉 = |v〉+ λ|w〉, se sigue que 〈u| = 〈v|+ λ∗〈w|:

〈u|x〉 = (|u〉, |x〉) = (|v〉+ λ|w〉, |x〉) = (|v〉, |x〉) + λ∗(|w〉, |x〉) = (〈v|+ λ∗〈w|)|x〉 (2.29)

Dicho de otra manera, podemos extender la accion de † a Ω como la conjugacion compleja † : λ→λ∗.2.2.1.2 Bases adjunta y dualDenotemos con gij el conjunto de los productos escalares elementales entre los elementos de la base|ei〉

gij ≡ (|ei〉, |ej〉) = (|ej〉, |ei〉)∗ = g∗ji (2.30)

Asociadas a la misma base |ei〉 de V tenemos dos bases para V ∗

|ei〉 ⇒

base adjunta 〈ei| = |ei〉† 〈ei|ej〉 = (|ei〉, |ej〉) ≡ gij

base canonica dual 〈ei| 〈ei|ej〉 = δij

(2.31)

Ambas deben estar relacionadas linealmente, de forma que las dos expresiones anteriores seancompatible. Es inmediato comprobar que la siguiente ecuacion satisface este requisito:

〈ei| = gij〈ej | (2.32)

Supongamos que expandimos un cierto ket |w〉 en una base, |w〉 = wi|ei〉. El bra asociado, 〈w| =|w〉† admite dos expansiones, segun utilicemos la base adjunta 〈ei| o la canonica dual 〈ei|:

〈w| = (wi|ei〉 )† = 〈ei|wi∗ (2.33)〈w| = 〈ej |wj (2.34)

introduciendo (2.32) en (2.33) y comparando con (2.34) podemos relacionar las componentes deambas expansiones

wj = wi∗gij . (2.35)

Esta forma de relacionar las componentes contravariantes de un vector y las covariantes de la formaasociada se denomina bajar el ındice.2.2.1.3 Base ortonormalSi |ei〉 es una base ortonormal tenemos que

〈ei|ej〉 = (|ei〉, |ej〉) = δij (2.36)

En este caso, la correspondencia es sencillamente una conjugacion compleja

wi = wj∗δji = wi∗ (2.37)

2.2.1.4 NotacionSi c es un numero complejo, a veces se usa la notacion e |cv〉 para denotar c|v〉. La

aplicacion adjunta es anti-lineal. Es decir

〈cv| = |cv〉† = (c|v〉)† = c∗〈v|

28

2.2.1.5 Ejemplo: Estado CuanticoEn el contexto de la mecanica cuantica, el estado de un sistema viene caracterizado por

un vector de un cierto espacio de Hilbert complejo |ψ〉 ∈ H. En general sera convenienteutilizar una base |ei〉 una base de autoestados de un cierto operador hermıtico O (observable).Escribiendo |ψ〉 =

Pci|ei〉 los coeficientes ci admiten la interpretacion de una densidad de

probabilidad de obtener como resultado de una medida el autovalor λi asociado al autovector|ei〉. Por ser O hermıtico, la base puede escogerse ortonormal, de modo que podemos asignara |ψ〉 un bra 〈ψ| es 〈ψ| = cj〈ej | con cj = cj∗. Entonces diremos que |ψ〉 esta normalizado si〈ψ|ψ〉 = cic

i =Pi |c

i|2 = 1, es decir si la suma de las probabilidades es la unidad.

2.2.2. V ∗ ⇒ V

2.2.2.1 Producto escalar no-degeneradoA las propiedades del producto escalar le podemos anadir la siguiente

PE5. (no-degeneracion) If (|v〉, |x〉) = 0 ∀|x〉 ⇒ |u〉 = 0.

Cuando V tiene dimension finita, podemos demostrar que la condicion de no-degeneracion esequivalente a la invertibilidad de gij . En efecto, en componentes |u〉 = ui|ei〉, |x〉 = xi|ei〉 tenemosque

(|u〉, |x〉) = ui∗gijxj = 0 ∀ui=⇒ gijx

j = 0 (2.38)

Este sistema homogeneo solo debe tener por solucion xj = 0, y eso requiere que

( , ) no degenerado ⇔ det gij 6= 0 (2.39)

Cuando el producto escalar es no-degenerado podemos invertir la matriz gij en cualquier base.Denotamos su inversa mediante

gij ≡ g−1ij = gji∗ (2.40)

Otra manera de decir lo mismo es afirmar que

gikgkj = δij = gjkgki (2.41)

2.2.2.2 Subir ındicesSi el producto escalar es no-degenerado podemos invertir la ecuacion (2.35) multiplicando en amboslados por gjk y usando (2.41)

wk∗ = wjgjk = gkj∗wj

es decirwi = gijw∗j (2.42)

Hagamos una verificacion de consistencia

〈w|v〉 = wjvj

= wi∗gijgjkv∗k = wi∗v∗i

= (vi wi)∗ = 〈v|w〉∗

= 〈v|w〉∗ (2.43)

En resumen, en un espacio con producto escalar no-degenerado de dimension finita siempre pode-mos invertir la operacion y asociar a cualquier forma 〈w| un ket |w〉. Las componentes se relacionanpor (2.35) o, equivalentemente (2.42). Es decir, la aplicacion adjunta es biyectiva.

29

2.2.3. Dimension infinita: Distribuciones

En principio, si V es un espacio de Hilbert separable, admite una base ortonormal numerable, ytodos los resultados anteriores pueden extenderse a este caso sin mas que dejar que los subındicesi, j, i′, j′, ... etc. recorran los numeros naturales N.Sin embargo, en este caso deja de ser cierto que V y V ∗ sean automaticamente isomorfos aunqueel espacio de hilbert sea no-degenerado en el sentido de la seccion anterior. Brevemente, no todoslos elementos de 〈w| ∈ V ∗ son de la forma (|w〉, ·) para algun |w〉 ∈ V . Basta con encontrar alguncontraejemplo. Trabajaremos con el espacio de Hilbert separable L2(R) de funciones de cuadradosumable sobre la recta real. A cada funcion f(x) tal que

∫R |f(x)|2dx <∞ le corresponde un vector

|f〉 ∈ L2(R).2.2.3.1 Delta de DiracPodemos tomar una sucesion de vectores |unx0

〉 → unx0(x), con n ∈ N, dada por la siguiente expresion

unx0(x)(x) =

0 |x− x0| ≥ 1

2nn |x− x0| < 1

2n

(2.44)

A cada elemento de esta sucesion le podemos asignar un bra 〈unx0| ∈ L2∗(R) mediante el requisito

de que, ∀|g〉 ∈ L2(R) se cumpla

〈unx0|g〉 = (|unx0

〉, |g〉) =∫ ∞−∞

unx0(x)g(x)dx (2.45)

Ahora, por un lado tenemos que la norma |||unx0〉|| =

√n diverge cuando n→∞. Por tanto

lımn→∞

|unx0〉 /∈ L2(R) (2.46)

Sin embargo, en este lımite la integral (2.45) alcanza un valor bien definido

lımn→∞

〈unx0|g〉 = lım

n→∞

∫ ∞−∞

unx0(x)g(x)dx = lım

n→∞g(x0)

∫ ∞−∞

unx0(x)dx = g(x0) (2.47)

para cualquier vector |g〉 ∈ L2(R). En consecuencia, la sucesion 〈unx0| sı alcanza una forma lımite

dentro de L2∗(R)lımn→∞

〈unx0| = 〈x0| ∈ L2∗(R) (2.48)

definida por su accion sobre cualquier vector ∀|g〉 ∈ L2(R)

〈x0|g〉 = g(x0) (2.49)

La notacion habitual asocia 〈x0| → δ(x− x0) de la misma manera que |g〉 → g(x).2.2.3.2 Ondas PlanasConsideremos igualmente una sucesion de funciones con la forma de una onda plana truncada sobreun intervalo de longitud L ∈ N.

|vLp0〉 → vLp0

(x) =

0 |x| ≥ L

2

1√2πeip0x |x| < L

2

(2.50)

Nuevamente, cuando L → ∞, |||vLp0〉|| =

√L2π → ∞ y el lımite no es un elemento de L2(R). Sin

embargo, si a cada elemento le asociamos un dual

〈vLp0|g〉 ≡ (|vLp0

〉, |g〉) =∫ L/2

−L/2

dx√2πe−ip0xg(x) (2.51)

30

cuando L→∞, la cantidad 〈vLp |g〉 alcanza un lımite

lımL→∞

〈vLp0|g〉 =

∫ ∞−∞

dx√2πe−ip0xg(x) = g(p0) (2.52)

que es el valor de la transformada de Fourier g(p0). En consecuencia, podemos definir una formalımite lımL→∞〈vLp0

| ≡ 〈p0| ∈ L2∗(R) por su accion sobre todos los elementos |g〉 ∈ L2(R) definidapor

〈p0|g〉 = g(p0) (2.53)

2.2.3.3 DistribucionesL2∗ no es por tanto isomorfo a L2, sino que es mas grande. Se denominan a los elementos de L2∗

distribuciones.

2.2.4. Bases Continuas

La discusion de la seccion previa implica que hay funciones que no son de cuadrado sumable (portanto no llevan asociadas ningun elemento de L2), y sin embargo mantienen un producto escalarfinito sensato con cualquier vector de este espacio (por tanto se les puede asociar un elementode L2∗). A efectos practicos, cualquiera de los dos conjuntos de formas 〈x0|, x0 ∈ R o bien〈p0|, p0 ∈ R permite reconstruir completamente la funcion f(x) asociada a un vector |f〉 ∈ L2(R)cualquiera

f(x) = 〈x|f〉f(p) = 〈p|f〉 (2.54)

Por tanto, podemos definir una base generalizada, formada por un conjunto contınuo de vectores〈x| → |x〉 y 〈p| → |p〉 con los que escribir

|f〉 =∫ ∞−∞

dx 〈x|f〉 |x〉 =∫ ∞−∞

dxf(x)|x〉 (2.55)

o bien|f〉 =

∫ ∞−∞

dp 〈p|f〉 |p〉 =∫ ∞−∞

dpf(p)|p〉. (2.56)

Estrictamente hablando estas expresiones no tienen sentido puesto que ni |x〉 ni |p〉 tienen normafinita. Por ejemplo, en un contexto de Mecanica Cuantica, ninguna de las dos admite la interpre-tacion de una funcion de onda. Se trata por tanto de un par de bases continuas y solo sirven alefecto de escribir una expansion formal como (2.55) o (2.56). Sin embargo su utilidad proviene deque con unas modificaciones evidentes, muchas expresiones mencionadas en el presente capıtuloadmiten una generalizacion directa.2.2.4.1 Base canonica dualLa forma de compatibilizar (2.54) con (2.55) es generalizar la relacion de dualidad canonica entrelas bases 〈x| y |x〉 en la forma siguiente

〈x′|x〉 = δ(x′ − x). (2.57)

Analogamente〈p′|p〉 = δ(p′ − p) (2.58)

Vemos que, al tratar con bases continuas debemos sustituir la delta de Kronecker δij por la deltade Dirac δ(x− x′).

31

2.2.4.2 Cambio de BaseEl analogo de (2.11) es ahora

〈x|p〉 =1√2πeipx ; 〈p|x〉 =

1√2πe−ipx (2.59)

que, insertado en (2.10) debe leerse (formalmente) como

|x〉 =1√2π

∫ ∞−∞

e−ipx|p〉 dp (2.60)

|p〉 =1√2π

∫ ∞−∞

eipx|x〉 dx (2.61)

La compatibilidad entre (2.57) (2.58) y (2.59) es equivalente a las transformada de Fourier de ladelta de Dirac

δ(x′ − x) = 〈x′|x〉

=(∫ ∞−∞

dp′〈x′|p′〉〈p′|)(∫ ∞

−∞dp′〈p|x〉|p〉

)=

∫ ∞−∞

dp′dpeip′x′

√2π

e−ipx√2π

δ(p′ − p)

=∫ ∞−∞

dp

2πeip(x

′−x) (2.62)

Analogamente,

δ(p′ − p) =∫ ∞−∞

dx

2πeix(p′−p) (2.63)

2.2.4.3 Otras definiciones de δ(x)Las siguientes sucesiones definine δ(x− x0) en el lımite ε→ 0

1

2εe−|x−x0|

ε (2.64)

1

π

ε

(x− x0)2 + ε2(2.65)

1

ε√πe−

(x−x0)2

ε (2.66)

1

π

sen(x− x0/ε)

x(2.67)

ε

π

sen2(x−x0ε

)

(x− x0)2(2.68)

2.2.4.4 Propierdades de δ(x)Las siguientes propiedades se demuestran por su validez sobre cualquier funcion de prueba.

(i)

δ(g(x)) =Xj

1

|g′(xj)|δ(x− xj)|

donde la suma se realiza sobre todas las raices de la ecuacion g(xj) = 0. Si esta ecuacionadmite ceros multiples (tales que g′(xj) = 0), entonces δ(g(x)) no tiene sentido. Estapropiedad implica, en particular

32

δ(−x) = δ(x)

δ(cx) = 1|c|δ(x)

(ii)g(x)δ(x− x0) = g(x0)δ(x− x0)

Y de manera mas general xδ(x) = 0.

2.2.4.5 Derivadas y primitivas de δ(x)La funcion escalon θ(x− x0) definida por

θ(x− x0) = 1 si x > 0 (2.69)

θ(x− x0) = 0 si x < 0 (2.70)

(2.71)

tampoco pertenece a L2(R). Verifica

θ(x− x0) =

Z x

−∞δ(x− x0)dx (2.72)

o, equivalentementeδ(x− x0) = θ′(x− x0) (2.73)

lo cual ha de interpretarse como un lımite.

33

Capıtulo 3

Tensores

3.1. Producto Tensorial de Espacios Vectoriales

3.1.0.6 Definicion de producto tensorialDados dos espacios vectoriales V (1) y V (2), definimos el espacio vectorial producto directo V =V (1)⊗V (2) como el conjunto de pares ordenados |v〉 = |v1〉⊗ |v2〉 donde |v1〉 ∈ V (1) y |v2〉 ∈ V (2)

y todas sus combinaciones lineales de la forma λ(|v1〉 ⊗ |v2〉) + µ(|w1〉 ⊗ |w2〉) + ....El producto tensorial es lineal en cada argumento. Esto quiere decir que (λ|v1〉+ µ|w1〉)⊗ |v2〉 ≡λ(|v1〉 ⊗ |v2〉) + µ(|w1〉 ⊗ |v2〉), con una identidad semejante para el segundo argumento.3.1.0.7 Base de un Espacio Producto

Si |e(1)i 〉, i = 1, ..., d1 es base de V (1) y |e(2)

α 〉, α = 1, ..., d2 es base de V (2) , una base paraV = V (1)⊗ V (2) esta formada por todos los pares |eiα〉 = |e(1)

i 〉 ⊗ |e(2)α 〉. Por tanto, la dimension

de V es d = d1d2. 1

Un vector |u〉 ∈ V (1) ⊗ V (2) admite una descomposicion unica

|u〉 = uiα|eiα〉 = uiα|e(1)i 〉 ⊗ |e

(2)α 〉 (3.1)

En general no sera posible encontrar vectores |v1〉 y |v2〉 tales que |u〉 = |v1〉 ⊗ |v2〉.

3.1.0.8 Ejemplo: Funcion de Onda de EspınEn general el producto tensorial aparece cuando tenemos que representar mas de una pro-

piedad de un sistema. Por ejemplo, la funcion de onda de un electron describe la densidadde probabilidad de encontrar dicho electron en una posicion ~x, con una determinada compo-nente del espın igual a 1/2 o −1/2. Por ello la representamos mediante ψi(~x). Estas son lascomponentes de un vector |Ψ〉 ∈ C2 ⊗ L2(R3)

|Ψ〉 =Xi=1,2

Zd3x ψi(~x) |si〉 ⊗ |~x〉 (3.2)

3.1.0.9 Ejemplo: Estados Entrelazados

1Notese la diferencia con el caso del producto cartesiano V (1) × V (2). En el producto cartesiano, la suma deelementos se induce a partir de las sumas en cada espacio por separado. Es decir si v = v1 × v2 y u = u1 × u2,entonces v + u = (v1 + u1)× (v2 + u2). Es evidente que la dimension de V (1) × V (2) es d = d1 + d2.

34

En mecanica cuantica es frecuente encontrarse con problemas de varios grados de libertad.Por ejemplo la funcion de onda de un sistema de dos partıculas de espın 1/2 es un elemento deC2⊗C2⊗L2(R3)⊗L2(R3). Si obviamos la parte orbital, los grados de libertad de espın vivenen un espacio de dimension compleja 2× 2 = 4. Si adoptamos una base |si〉1,2 de autoestadosde la componente tercera del espın, Sz el estado de espın mas general en que puede encontrarseel sistema viene dado por la combinacion

|Ψ〉12 =X

i,j=1,2

sij |si〉1 ⊗ |sj〉2 (3.3)

donde, para que este normalizado, los coeficientes sij han de ser amplitudes de probabilidadque suman

Pi,j=1,2 |s

ij |2 = 1En general, no sera posible escribir |Ψ〉12 = |φ〉1 ⊗ |ϕ〉2. La posibilidad de hacerlo o no,

dependera en gran medidad de los valores de las componentes sij . Cuando es posible hablamosde un estado separable, y cuando no, de un estado entrelazado. De forma general, un estadoinicialmente separable, |φ〉1 ⊗ |ϕ〉2 evolucionara a un estado separable si los subsistemas 1 y 2son libres, y evolucionara a un estado entrelazado de la forma (3.3) si existe interaccion entrelos subsistemas 1 y 2.

En un estado separable, la medida de un observador sobre un subsistema no afecta a lafuncion de onda del otro subsistema. Por ejemplo, usando la notacion |s1〉 = | ↑〉 y |s2〉 = | ↓〉para la tercera componente del espın si despues de medir sobre estado |φ〉1 encontramos | ↑〉1habremos efectuado la operacion (no unitaria)

|φ〉1 ⊗ |ϕ〉2Sz−→ | ↑〉1 ⊗ |ϕ〉2. (3.4)

Por el contrario, en un estado entrelazado el resultado de medir sobre 1 tambien afecta alestado que describe el sistema 2. Por ejemplo podriamos tener

| ↑〉1 ⊗ | ↑〉2 + | ↓〉1 ⊗ | ↓〉2Sz−→ | ↑〉1 ⊗ | ↑〉2. (3.5)

Este tipo de correlaciones pueden parecer inocentes. Sin embargo no lo son tanto si sepiensa que los dos subsistemas 1 y 2 que comparten un estado entrelazado pueden residira miles de kilometros de distancia. Este tipo de correlaciones se estudian hoy en dia en elcontexto de la Teorıa Cuantica de la Informacion.

3.2. Tensores

En lo que sigue estaremos interesados solamente en casos particulares en los que V1, V2 = V o V ∗ .En estos casos la dimension del espacio producto es d2. Por ejemplo, para el caso V ⊗V encontramosuna base en la forma |eij〉 = |ei〉 ⊗ |ej〉, mientras que si hablamos de V ⊗ V ∗ tenemos otra deltipo |eij〉 = |ei〉 ⊗ 〈ej |.Un vector arbitrario del espacio V ⊗ V admite una expansion en la base anterior

|v〉 = vij |eij〉 = vij |ei〉 ⊗ |ej〉.

Igualmente, un elemento arbitrario del espacio V ⊗ V ∗ puede desarrollarse en la forma

|w〉 = wij |eij〉 = wij |ei〉 ⊗ 〈ej |.

3.2.0.10 Cambio de baseUn cambio de base en V implica un cambio de base sobre V ⊗ V de la forma

|ei′j′〉 = Oii′Ojj′ |eij〉 (3.6)

35

Naturalmente, sabemos que tambien se produce un cambio de base en V ∗, y por tanto podemoscalcular el cambio de base que se produce en V ⊗ V ∗.

|ei′ j′〉 = Oii′O

j′j |eij〉

Inmediatamente, sin mas que invocar invariancia de los objetos geometricos v y w frente a cambiosde base, se deduce que la componentes siguen la ley de transformacion (covariante o contravariante)que indica la posicion de sus ındices:

vi′j′ = Oi

′

iOj′jvij (3.7)

vi′

j′ = Oi′

iOjj′v

ij (3.8)

3.2.0.11 Tensores de rango arbitrario.Claramente podemos generalizar la definicion que hemos dado del producto tensorial de dos espa-cios vectoriales a N de ellos. Ası a partir de V (1), V (2), ..., V (N) podemos formar el espacio productoV (1)⊗V (2)⊗...⊗V (N), el cual esta formado por N−tuplas ordenadas de vectores |v(1)〉⊗...⊗|v(N)〉.En particular estamos interesados en el caso en el que p de estos espacios son iguales a V , y q deellos son iguales a V ∗: Ası , por ejemplo, podemos escoger la opcion de que los p primeros sean Vy los q V ∗ vengan despues.

p︷ ︸︸ ︷V ⊗ ...⊗ V ⊗

q︷ ︸︸ ︷V ∗ ⊗ ...⊗ V ∗ . (3.9)

Un elemento arbitrario de este espacio adopta la forma generica

T = T i1,...,ip j1,...,jq |ei1〉 ⊗ ...⊗ |eip〉 ⊗ 〈ej1 | ⊗ ...⊗ 〈ejq | (3.10)

y recibe el nombre de tensor de rango(pq

).

Los numeros T i1,...,ip j1,...,jq son las componentes de dicho tensor en la base canonica anterior.3.2.0.12 Cambio de baseBajo un cambio de base, de la forma

|ei′〉 = Oii′ |ei〉 (3.11)

estas componentes se transforman de la unica manera compatible con la posicion de sus ındices

T i′1,...,i

′pj′1,...,j

′q

= Oi′1i1 ....O

i′pipT

i1,...,ipj1,...,jqO

j1j′1....Ojp j′p . (3.12)

Por esta razon, a veces se dice que T es un tensor p veces contravariante y q veces covariante. Debeentenderse que se trata de un abuso de lenguaje, puesto que el tensor en realidad es invariante.Son sus componentes las que son co(contra)variantes.

3.2.0.13 Igualmente es de tipo“pq

”un tensor que tenga por componentes T i1 j1

i1,...,ipj2,...,jq .

Sin embargo no es un elemento del mismo espacio que el anterior, sino mas bien de V ⊗ V ∗ ⊗V ⊗ ...⊗ V ∗...⊗ V ∗. Por tanto, es importante recalcar que, aunque la notacion

“pq

”no hace

referencia mas que a la posicion de los ındices en el sentido vertical, debemos ser cuidadososporque en el sentido horizontal, cada ındice pertenece a un espacio vectorial diferente.

3.2.0.14 Si particularizamos para“pq

”=`

10

´recuperamos el espacio vectorial V . Con“

pq

”=`

01

´tenemos su dual V ∗. Los dos casos examinados en la seccion anterior se corres-

ponden con“pq

”=`

20

´y con

“pq

”=`

11

´respectivamente. Por definicion los elementos del

36

cuerpo R, son tensores de rango`

00

´denominados escalares. Esto es, no se transforman bajo

cambios de base.

3.2.0.15 DualidadLos espacios V ∗ y V son intercambiables. En este sentido, al igual que una forma, un vector puedeconsiderarse un funcional lineal sobre elementos de V ∗.

|v〉 : 〈w| −→ |v〉(〈w|) = 〈w|v〉,

y las componentes en una base se obtienen analogamente por evaluacion sobre elementos de la basecanonica dual

vi = |v〉(〈ei|) = 〈ei|v〉.

Siguiendo con esta manera de interpretar vectores y formas, un tensor de rango(pq

), como el

definido en (3.9) es un funcional multilineal sobre elementos del espacio dual V ∗⊗...⊗V ∗⊗V⊗...⊗V .Es decir, T es una maquina que, para producir un numero, necesita tener por argumentos p formasy q vectores, y que es lineal en cada uno de esos argumentos. Por eso, a veces escribimos

T ≡ T(·, ·, · · · ; ·, ·, · · ·)

donde hay p argumentos en primer lugar reservados para otras tantas 1-formas, y q argumentos ensegundo lugar para sendos vectores.En particular, las componentes de dicho tensor no son otras que los numeros que se obtienenevaluando T sobre elementos de la base

T i1,....,ip j1,...,jq ≡ T(〈ei1 |, ..., 〈eip |, |ej1〉, ..., |ejp)〉 (3.13)

Conociendo estos numeros, la accion de un tensor sobre cualquier conjunto de formas y vectoresse obtiene por linealidad

T(〈w1|, ..., 〈wp|, |v1〉, ..., |vq〉) = w1i1 ...w

pipT i1,....,ip j1,...,jqv

j11 ...v

jqq . (3.14)

3.2.1. Operaciones con Tensores

3.2.1.1 Espacio Vectorial Los tensores de mismo rango pueden sumarse y multiplicarsel exter-namente por elementos de un cuerpo. De este modo forman un espacio vectorial que denominamosT pq .3.2.1.2 Algebra de Tensores

Podemos definir un producto tensorial de la siguiente manera: dados dos tensores de rangos(p1q1

)y(

p2q2

)podemos formar con ellos un tensor de rango

(p1+p2q1+q2

). Los casos mas elementales ya los hemos

visto. Con dos vectores |v〉 = vi|ei〉 y |w〉 = wj |ej〉 podemos formar el tensor(

20

)T = |v〉⊗ |w〉 de

componentes T ij = viwj . Tambien hemos visto como formar un(

11

)tensor a partir de un vector y

una forma. La generalizacion es obvia. Si T de rango(

12

)tiene componentes T ij1,j2 y S, de rango(

11

)tiene componentes Skl entonces podemos formar R = T⊗S de rango

(23

), cuyas componentes

seran obtenidas por simple multiplicacion de las de T y S.

Ri1 j1j2i2j3 = T i1 j1,j2S

i2j3 (3.15)

3.2.1.3 Contraccion

37

La segunda operacion que podemos efectuar con un tensor cualquiera es la llamada contraccion.Esta operacion nos produce a partir de un tensor de rango

(pq

)otro de rango

(p−1q−1

). Por ejemplo

tomemos el(

23

)tensor T de componentes T i1i2 j1j2j3 . Si igualamos los ındices i2 = j3 = k encon-

tramos T i1kj1j2k, donde las ultimas componentes estan sumadas sobre todos sus valores. Decimosentonces que hemos contraido las componentes i2 y j3. Probemos que este tensor es de rango

(12

):

T i′1k′

j′1j′2k′ = Ai

′

iAk′kT

i1kj1j2lA

j1j′1Aj2 j′2A

lk′ (3.16)

= Ai′

iTi1k

j1j2lAj1j′1Aj2 j′2 A

lk′A

k′k (3.17)

= Ai′

iTi1k

j1j2lAj1j′1Aj2 j′2 δ

lk (3.18)

= Ai′

iTi1k

j1j2kAj1j′1Aj2 j′2 (3.19)

Por tanto, a todos los efectos T i1kj1j2k se comportan frente a cambios de base como las componentesSi1 j1j2 de un tensor de rango (1, 2).Podrıamos haber efectuado diferentes contracciones, pues tenemos total libertad para emparejarcualquier ındice de arriba con otro de abajo. En un tensor de rango

(pq

)hay por tanto pq contrac-

ciones independientes.No solo son posibles contracciones simples, sino tambien multiples. Ası si contraemos el resultadoobtenido anteriormente encontramos Si1 j1j2 → Rj1 = Skj1k, es decir un (0, 1) tensor. Aquı ya nopodemos seguir mas por falta de un ındice superior con el cual emparejar al que queda.3.2.1.4 Contraccion total

Vemos pues, que la unica manera de conseguir un tensor de rango(

00

)mediante el proceso de

contraccion es comenzar con un tensor de rango (p, p) de forma que sea posible emparejar ycontraer todos los ındices. El resultado es un escalar, es decir, independiente de la base en quetrabajemos.

T i1...ip j1...jp → T = T i1...ip i1...ipT i′1...i

′pj′1...j

′p→ T ′ = T i

′1...i

′pi′1...i

′p

=⇒ T = T ′ (3.20)

Esta operacion tambien la hemos encontrado antes. Concretamente la evaluacion de unaforma sobre un vector puede entenderse como la contraccion de ındices del

`11

´tensor 〈a|⊗|v〉

de componentes ajvi para formar el

`00

´tensor 〈a|v〉 = aiv

i

De forma mas general, podemos entender el proceso de evaluacion de una tensor de rango“pq

”sobre su dual de rango

“qp

”en dos pasos. Primero se forma el producto tensorial que

produce un tensor“p+qp+q

”y subsecuentemente se contraen todos los ındices.

En el fondo el hecho de que contraccion elimine una pareja de ındices, reside en el hechode que la combinacion i

i es invariante frente a cambios de coordenadas ya que se transformaen sı misma:

i′i′ = Ai

′iA

ji′ij = δji

ij = i

i (3.21)

Esto es lo que hace, no solo que la evaluacion 〈a|v〉 sea invariante, sino que los propiostensores los sean. Por ejemplo volvemos a encontrar esta combinacion en la expansion de unvector en una base v = viei, de una forma a = aie

i o de un tensor general (3.10).

38

3.3. Tensor Metrico y Producto Escalar Real

El producto escalar es una aplicacion ( , ) : V × V → Ω que verifica una serie de propiedades. Siel cuerpo es el de los numeros reales Ω = R, entonces la propiedad de hermiticidad del productoescalar se reduce a la de simetrıa

(|v〉, |u〉) = (|u〉, |v〉).

En este caso vemos que la aplicacion es bi-lineal (lineal en ambos argumentos) y, por tanto, setrata de un caso particular de un elemento de T 0

2 .3.3.0.5 Tensor metrico

Sea V un espacio vectorial sobre el cuerpo de los reales Ω = R. Un tensor g de rango(

02

)es un

tensor metrico si define un producto escalar real no-degenerado. En una cierta base |ei〉 podemosexpandirlo como

g = gij 〈ei| ⊗ 〈ej | (3.22)

y viene definido por las componentes

gij = g(|ei〉, |ej〉) . (3.23)

La unica propiedad que debe imponerse a las componentes de g es que formen una matriz simetrica,no-degenerada y definida positiva. Es decir, que gij = gji, y que todos los autovalores de esta matrizsean estrictamente positivos λi > 0 , λi = 1, ..., d. La no-degeneracion implica que det gij 6= 0, locual asegura la existencia de la matriz inversa gij ≡ (g−1)ij ,

gikgkj = δij . (3.24)

3.3.0.6 Subir y bajar ındicesEn el capıtulo anterior estudiamos como un producto escalar permite establecer una aplicacion entreV y V ∗ que es invertible si dicho producto escalar es no-degenerado. En lenguaje de componentes,a esta aplicacion se le conoce como subir y bajar ındices. En el caso presente, dado que el productoescalar es real y simetrico, la operacion de subir y bajar ındices es mas sencilla puesto que nonecesitamos prestar atencion a cual es el ındice de gij que se contrae

vi = gjivj = gijv

j

vi = gjivj = gijvj (3.25)

Podemos extender este procedimiento facilmente a tensores mas generales de tipo (p, q). La idea esque podemos cambiar la posicion de uno o mas ındices y pasar ası a otro tensor de tipo (p+n, q−n)donde la suma de ındices coincide con la original. Por ejemplo n = 1

T i1,....,ip−1,ipj2,...,jq+1 gipj1 = T i1,....,ip−1

j1,j2...,jq+1

T i1,....,ip−1j1j2,...,jq+1 g

ipj1 = T i1,....,ip−1ipj2,...,jq+1

(3.26)

y ası sucesivamente.En resumen, en presencia de un tensor metrico las componentes contravariantes y covariantes noson independientes. Por tanto, podemos restringirnos a tensores con todos los ındices abajo, oarriba, segun nos convenga.3.3.0.7 Pseudo-metrica

39

El tensor metrico g ∈ T 02 , debe ser definido positivo para representar un producto escalar. Si

prescindimos de esta propiedad, hablaremos de una pseudo-metrica, o de un producto pseudo-escalar. En este caso la matriz gij puede tener autovalores positivos y negativos pero no nulos. Labase que diagonaliza esta matriz se denomina pseudo-ortogonal.

gij = g(|fi〉, |fj〉

)= λiδij , λi 6= 0

Si ordenamos los autovalores de menor a mayor, podemos hacer una transformacion de escala|ei〉 = 1√

λi|fi〉 las nuevas componentes definen la metrica en su forma canonica

g(|ei〉, |ej〉) = η(p,q)ij ≡ diag( −1, ...,−1︸ ︷︷ ︸

p

, +1, ...,+1︸ ︷︷ ︸q

)

Vemos los distintos tensores metricos vienen clasificados por la signatura (p, q), es decir el numerode signos negativos y positivos de su forma canonica.

Ejemplos:

(i) (p, q) = (0, N) : Espacio Euclıdeo

La base |ei〉 que diagonaliza la metrica se denomina base cartesiana

gE(|ei〉, |ej〉) = δij

El producto cartesiano de dos vectores es el producto escalar expresado en esta base

gE(|v〉, |w〉) = δijviwj =

NXi=1

viwi i, j = 1, ..., N (3.27)

Como gij = δij , las componentes de un vector y de su forma asociada coinciden una auna vi = vjδij = vi. En otras palabras, subir y bajar ındices no altera el valor numericode las componentes.

(ii) (p, q) = (1, 3) : Espacio de Minkowski

Es el espacio vectorial R4 con la metrica de Minkowski. Convencionalmente se usan ındi-ces griegos µ, ν, ... = 0, 1, 2, 3 para denotar las componentes. Los vectores se denominancuadrivectores vµ = (v0, v1, v2, v3), y el producto de Minkowski de dos de ellos es

η(|v〉, |w〉) = −v0w0 +

3Xi=1

viwi. (3.28)

donde los ındices latinos i, j, ... corren de 1 a 3. Por tanto,la matriz de coeficientes paraη es ηij = diag(−1, 1, 1, 1).

Vemos que en rigor el producto de Minkowski no es un producto escalar, puesto que noes definido positivo. Observamos tambien que el subespacio tridimensional formado porlas componentes con ındices latinos, forma un espacio vectorial euclıdeo.

Por ultimo notemos que las componentes vµ de un cuadrivector y su dual vµ se relacionanmuy sencillamente v0 = −v0 y vi = vi , i = 1, 2, 3.

40

3.4. Tensores Simetricos y Antisimetricos

3.4.0.8 Tensores simetricosConsideremos el tensor (0, 3) de componentes Tijk. Decimos que este tensor en simetrico en losındices i, j si el conjunto de numeros que definen sus componentes en cualquier base es invariantefrente a permutacion de las mismas

Tijk = Tjik (3.29)

Claramente, la simetrıa en los dos primeros ındices podrıa haberse definido en forma intrınseca(sin hacer referencia a ninguna base) exigiendo que para todo conjunto de 3 vectores |u〉, |v〉 y |w〉,el tensor T verifique

T(|u〉, |v〉, |w〉) = T(|v〉, |u〉, |w〉) (3.30)

Por linealidad, la condicion (3.30) es equivalente a (3.29). De donde se deduce que la propiedad desimetrıa se expresa de igual forma en cualquier base.La simetrıa se puede definir con respecto a cualquier otro par, e incluso para conjuntos mas grandesde ındices. En particular el anterior tensor sera un tensor totalmente simetrico si verifica

Tijk = Tπ(ijk) (3.31)

donde π es una permutacion arbitraria de los ındices.3.4.0.9 Tensores antisimetricosAnalogamente, podemos definir tensores parcial o totalmente antisimetricos. Un tensor de tipo(0, q) es antisimetrico en (por ejemplo) los tres primeros ındices si verifica que para cualquierconjunto de q vectores |u1〉, |u2〉, |u3〉, ..., |uq〉

T(|u1〉, |u2〉, |u3〉, ..., |uq〉) = (−1)|π|T(|uπ(1)〉, |uπ(2)〉, |uπ(3)〉, ..., |uπ(q)〉) (3.32)

La funcion |π| es el orden de la permutacion, y equivale al numero de permutaciones elementalesque la componen. En realidad solo depende de si este numero es par o impar.3.4.0.10 Simetrizador y antisimetrizadorTomemos un tensor (0, q) sin ninguna simetrıa aparente. A partir de dicho tensor podemos formarotros dos que sean totalmente simetricos o antisimetricos. La operacion de simetrizar un ciertoconjunto de ındices se expresa encerrando dichos ındices entre parentesis: Ti1...iq → T(i1...iq). Laoperacion de simetrizacion se define de la siguiente manera

T(i1...iq) ≡1q!

∑π∈S(q)

Tiπ(1)...iπ(q) . (3.33)

De manera analoga, la operacion de antisimetrizacion se simboliza encerrando el conjunto de ındicesinvolucrados entre corchetes Ti1...iq → T[i1...iq ], donde ahora

T[i1...iq ] ≡1q!

∑π∈S(q)

(−1)|π|Tiπ(1)...iπ(q) . (3.34)

Ejercicio 3.4.1 Muestra explıcitamente que, bajo un cambio de base, se mantiene la propiedadde simetrıa de las componentes Tijk.

41

Ejercicio 3.4.2 Calcular el numero de componentes de un tensor de rango (0, q) totalmentesimetrico, o antisimetrico en dimension d.

Ejercicio 3.4.3 Demostrar que la contraccion de un par de ındices simetricos, con otro parde ındices antisimetricos es identicamente nula.

Ejercicio 3.4.4 Demostrar que si Si1...iq (Ai1...iq ) es totalmente simetrico (antisimetrico)entonces coincide con S(i1...iq) (A[i1...iq ]).

3.4.1. El sımbolo alternante εi1···id

En cualquier base de un espacio vectorial definimos el sımbolo alternante εi1....id = εi1....id mediantela condicion de que ε12...d = 1 y que sea totalmente antisimetrico. En rigor, el sımbolo alternante noes un tensor como veremos a continuacion. Mediante el sımbolo εi1···id se definen diversos objetosde interes. Uno de los mas utilizados es el determinante. Sea Λ una aplicacion lineal, que en unacierta base tiene por componentes Λij , definimos el determinante

det Λ = Λ1i1 . . .Λ

didε

i1...id (3.35)

= εi1...idΛi11 . . .Λidd (3.36)

3.4.1.1 En d dimensiones, un tensor totalmente antisimetrico de d ındices tiene solamente unacomponente independiente, A12···d = a. Un tensor antisimetrico es antisimetrico en cualquier base(ejercicio), de modo que en cualquier base podemos escribir Ai1···id = aεi1...id donde ε123...d = 1 ya es un numero real. Esto implica que los cambios de base solo se reflejan en cambios en el valorde a. En este sentido el sımbolo alternante εi1···id coincide las componentes del tensor totalmenteantisimetrico A en alguna determinada base (aquella para la que a = 1), pero no en cualquiera.En conclusion, ε no es un tensor.3.4.1.2 El antisimetrizador y el sımbolo alternanteHemos visto en (3.34) la operacion de antisimetrizar un tensor arbitrario. El antisimetrizadorefectua una suma de todas las componentes con ındices permutados, ponderada por la signaturade la permutacion. En el caso particular de tratar con un tensor de rango maximal q = d el mismoresultado se obtiene efectuando una contraccion con el sımbolo alternante

T[i1....id] =1d!Ti1....idε

i1...id (3.37)

Esta suma solo contiene d! terminos no nulos, y los ındices adquieren todas las permutacionesde los valores 1, 2, 3..., d. El signo asociado proviene precisamente del valor de la componentecorrespondiente del sımbolo alternante.Esta observacion es util para mostrar una tercera expresion para el determinante, a medias entre(3.35) y (3.36). En efecto, es muy facil convencerse de que det Λ es una expresion antisimetrica enlos ındices externos. Por tanto, podemos escribir

det Λ =1dεi1...id Λi1 j1 . . .Λ

idjd ε

j1...jd (3.38)

42

Ejercicio 3.4.5 Demuestra que si el tensor Ai1···id = aεi1...id en una cierta base |ei〉,en otra base |ej′〉 = Λij′ |ei〉 ⇒ A′i′1...i′d

= a′εi′1...i′d , con a′ = a(det Λii′). Deduce el resultado

analogo para tensores contravariantes Ai1,...,id = bεi1,...,id .

Ejercicio 3.4.6 Sean Aij y Bij dos matrices de componentes de tensores (1, 1).

a) Demostrar que det(AB) = detAdetB.

b) Mostrar que bajo cambios de base |ei〉 → |ei′〉, el determinante es invariante detA =detA′.

(c) Repetir con Aij y Bij, matrices de tensores (0, 2) ¿Es ahora detA invariante?

3.4.1.3 Elemento de volumenConsideremos sobre un espacio vectorial de dimension d, un conjunto de d vectores linealmenteindependientes v1, ...,vd, con componentes via en una cierta base ei. Podemos formar la siguientecantidad

V (|v1〉, ..., |vd〉) = εi1...idvi11 · · · v

idd . (3.39)

que denominamos, el volumen subtendido por dichos vectores. En particular, esta definicion asignaa la base un valor de volumen unidad

V (|e1〉, ..., |ed〉) = εi1...idδi11 · · · δ

idd = ε1...d = 1 (3.40)

Supongamos un operador A que aplica los anteriores vectores sobre otra serie, |v′1〉, ..., |v′d〉, concomponentes v′ia en la misma base |ei〉, mediante

A : |va〉 → |v′a〉 ; v′ia = Aijvja.

Entonces el nuevo volumen

V ′ = εi1...idv′i11 · · · v

′idd

= εi1...idAi1j1v

j11 · · ·Aid jdv

jdd

= εi1...idAi1j1 · · ·Aid jd v

j11 · · · v

jdd

= detA εj1...jdvj11 · · · v

jdd

= detA V (3.41)

De modo que det A adquiere el significado del cociente de volumenes antes y despues de unatransformacion. Si detA = 0 entonces el volumen V ′ = 0, y eso es senal de que el conjunto|v′1〉, ..., |v′d〉 no es linealmente independiente.3.4.1.4 Transformaciones especialesLas transformaciones especiales SL(n,R) ⊂ GL(n,R) no se definen como el subgrupo de trans-formaciones lineales que mantienen invariante el volumen. Se sigue de la ecuacion (3.41) que Λsera una transformacion especial si det(Λij) = 1.

3.5. Densidades Tensoriales

Si εi1...id no es un tensor, ¿que es? Supongamos que fuese un tensor. Como hemos dicho anterior-mente su valor en una cierta base es ±1, 0, pero si lo tratamos como un tensor contravariante,podemos considerarlo un caso particular de tensor totalmente antisimetrico maximal Ai1...id con

43

a = 1. Sin embargo, en otra base tendrıamos que εi′1...i′d tomarıa valores ±(det Λii′), 0 (igual-mente εi

′1...i

′d tomarıa valores ±(det Λi

′i), 0 = ±(det Λii′)−1, 0), con el determinante calculado

con el sımbolo original.Si insistimos en que en cualquier base el valor numerico de εi1···id = εi′1···i′d = εi1···id = εi

′1···i

′d =

±1, 0, (lo cual es importante para poder calcular determinantes en cualquier base con la mismaformula) debemos introducir una ligera modificacion en la regla de transformacion de tensores:

εi′1...i′d ≡ (det Λjj′)−1 Λi1 i′1 . . .Λidi′dεi1...id

εi′1...i

′d ≡ (det Λjj′) Λi

′1i1 . . .Λ

i′did ε

i1...id (3.42)

Definicion 3.5.1 Definimos densidad tensorial de peso h y rango (p, q) , comoaquel objeto con p ındices contravariantes y q covariantes, que bajo cambios de baseei → ei′ = Λii′ei se transforma como sigue

T i′1,...,i

′pj′1,...,j

′q

= (det Λii′)h Λi′1i1 ....Λ

i′pipT i1,...,ip j1,...,jq Λj1 j′1 ....Λ

jpj′p. (3.43)

La nueva regla de transformacion hallada en (3.42) define al sımbolo alternante εi1...id (εi1...id)como una densidad tensorial de peso −1(+1).Las siguientes propiedades se siguen automaticamente de la definicion y de la regla de transforma-cion (3.43)

Las densidades tensoriales de peso h y rango (p, q) forman un espacio vectorial. Por tanto sepueden sumar y multiplicar por escalares.

Los tensores pueden pensarse como un caso particular de densidades tensoriales de pesoh = 0.

Dos densidades tensoriales de pesos h1 y h2, y rangos (p1, q1) y (p2, q2) pueden multiplicarsepara dar lugar a una densidad tensorial de peso h1 + h2 y rango (p1 + p2, q1 + q2).

3.5.1. Densidades tensoriales a partir de tensores.

El determinante de un tensor de rango(

11

)es invariante. No ası el de uno de rango

(20

)o(

02

). Por

ejemplo, definiendodet gij = g1i1 ...gdidε

i1...id

Es evidente que bajo un cambio de base |ei〉 → |ei′〉 = Λii′ |ei〉

det gi′j′ = det Λii′gijΛjj′ = det Λii′ det gij det Λjj′ = (det Λii′)2 det gij

En definitiva, det gij es una densidad escalar de peso 2. Esto quiere decir que podemos definir untensor totalmente antisimetrico a partir del sımbolo de Levi-Civita. Usando la notacion g = |det gij |

wi1...id =√gεi1...id (3.44)

se transforma como un tensor covariante.

w′i′1...i′d=

√g′ ε′i′1...i′d

= det Λ√g (det Λ)−1Λi1 i′1 . . .Λ

idi′dεi1...id

= Λi1 i′1 . . .Λidi′dwi1...id

44

A partir de wi1...id podemos definir un tensor alternante contravariante subiendo todos los ındicescon el tensor metrico

wi1...id = gi1j1 . . . gidjdwj1...jd . ; wi1...id = gi1j1 . . . gidjdwj1...jd . (3.45)

Se comprueba facilmente quewi1...id =

s√gεi1...id (3.46)

donde s = sign(g) = | det g|det g = ±1 es la signatura del tensor metrico.

Ası , en los dos casos de espacios metricos estudiados en un ejemplo anterior encontramos

Espacio Euclıdeo n−dimensional: g = s = 1, ası que wi1...in = εi1...in y wi1...in = εi1...in

Espacio de Minkowski 4−dimensional: s = −1 = −g, con lo cual wi1...in = −εi1...in y wi1...in =εi1...in .

Ejercicio 3.5.1 En el espacio tridimensional euclıdeo, expresar los productos tensoriales:εijkε

lmn; εijkεlmk; εijkε

ljk en terminos (de productos) del tensor δij.

Ejercicio 3.5.2 Sean Aij las componentes de un (1, 1) tensor (un operador lineal) A en unacierta base de V de dimension n. Demostrar que la siguiente cantidad

detA ≡ εi1i2...inAi1

1Ai2

2 · · ·Ainn

es invariante bajo cambios de base.

Ejercicio 3.5.3 Demuestra la relacion (3.46)

45

Capıtulo 4

Operadores Lineales

4.1. Operadores Lineales y Antilineales

4.1.0.1 Operador LinealSea V un espacio vectorial Ω. Una aplicacion u operador O, con dominio de definicion D(O) ⊂ V ,y recorrido R(O) ≡ O(D(O)) ⊂ V , se dira que es lineal si ∀|u〉, |v〉 ∈ D(O), ∀a ∈ Ω

OL1. O(|u〉+ |v〉) = O|u〉+O|v〉

OL2. O(a|u〉) = a O(|u〉)

Para simplificar escribimos O|u〉 = O(|u〉). Si por el contrario O verifica

O(|u〉+ |v〉) = O|u〉+O|v〉O(a|u〉) = a∗ O(|u〉). (4.1)

diremos que O es antilineal.4.1.0.2 Denotamos por L(V ) el conjunto de las aplicaciones lineales de D(O) en R(O). Esteconjunto admite una estructura de espacio vectorial sobre Ω, sin mas que definir las dos operacionesbasicas como

(O1 +O2)|u〉 ≡ O1|u〉+O2|u〉(aO)|u〉 ≡ a(O|u〉). (4.2)

En particular, el operador identidad lo denotamos por I , y verifica I|v〉 = |v〉 , ∀|v〉 ∈ V .Llamamos operador cero, 0, a aquel operador que hace corresponder a todo |u〉 ∈ V el elementonulo |0〉 ∈ V .Por simplicidad, cuando no se especifique, se supondra que el dominio D(O) es todo V . En estecaso, ademas de (4.2), podemos definir una composicion de operadores en la forma

(O1O2)|u〉 = O1(O2|u〉) (4.3)

que hace de L(V ) un algebra de operadores. Se utilizan de manera equivalente las dos notacionessiguientes

|Ov〉 ≡ O|v〉 . (4.4)

4.1.0.3 Operadores acotados

46

Sea H un espacio de Hilbert, y A ∈ L(H). Definimos la norma ||A|| mediante

||A|| = sup||A|v〉|||||v〉||

(4.5)

Decimos que A es un operador acotado si ||A|| <∞.4.1.0.4 Elemento de matrizSea A ∈ L(H) un operador lineal acotado sobre un espacio de Hilbert. Dados dos vectores |v〉 y|w〉 definimos el elemento de matriz

〈w|Av〉 ≡ 〈w|A |v〉 (4.6)

4.2. Representacion de un Operador

4.2.0.5 Repaso de bases duales

Recordemos que, por una parte, tenemos la base canonica dual 〈ei|

〈ei|ej〉 = δij (4.7)

y por otro, la base adjunta 〈ei| = |ei〉† definida por la ecuacion

〈ei|ej〉 ≡ (|ei〉, |ej〉) = gij . (4.8)

La relacion entre ambas bases es, evidentemente,

〈ei| = gij〈ej | ; 〈ei| = gij〈ej |

Para un ket arbitrario, el bra correspondiente admite un desarrollo en cualquiera de ambas bases

|v〉 = vi|ei〉 ⇔ 〈v| = vi∗〈ei| = vi〈ei| (4.9)

lo cual implicav∗i = gijv

j (4.10)

En una base ortonormal gij = δij podemos establecer una relacion diagonal

〈ei| = 〈ei| ; vi = vi∗ (4.11)

Sea |ei′〉 = Oii′ |ei〉 un cambio de base. Si Ω = C, es decir H es un espacio de Hilbert complejo, lamatriz de productos escalares se transforma de la manera siguiente

gi′j′ = 〈ei′ |ej′〉= 〈Oii′ei|Ojj′ej〉= (Oii′)∗gijOjj′ (4.12)

o, en forma matricial g′ = O†gO. Analogamente a como se hizo en (4.12), se obtiene la regla detransformacion para las componentes Aij4.2.0.6 Operadores como elementos de T 1

1

Un operador es una aplicacion que tiene por argumento un vector y como imagen otro.

A : |v〉 −→ |v′〉 = A(|v〉) (4.13)

47

En este sentido, se trata claramente de un tensor de rango(

11

). Por tanto, de manera general, dada

una base |ei〉 de V , la manera mas natural de representar un operador A ∈ L(V ) es la siguiente1

A = Aij |ei〉 ⊗ 〈ej |. (4.14)

Las componentes Aij expresan la accion del operador sobre los elementos de la base 2

A : |ei〉 −→ |e′i〉 = A|ei〉 = Akj |ek〉〈ej |ei〉 = Akj |ek〉δji = Aki|ek〉 (4.15)

y se recuperan facilmente utilizando la base canonica dual

Aji = 〈ej |A|ei〉 (4.16)

Bajo cambio de base, |ei′〉 = Oii′ |ei〉 , los elementos de matriz Aij se transforman como lascomponentes de un tensor

(11

).

Ai′

j′ = (O−1)i′

iAijO

jj′ (4.17)

o, en forma matricialA′ = O−1AO (4.18)

4.2.0.7 Imagen de un vector genericoDespues de caracterizar un operador A podemos extender su accion a cualquier elemento de Hpor linealidad,

|v′〉 = A|v〉 = viA|ei〉 = viAji|ej〉 = v′j |ej〉 (4.19)

Vemos por tanto que, las componentes del nuevo vector son funciones lineales de las del antiguo 3

v′j = Ajivi (4.21)

Analogamente, el elemento de matriz de A entre dos vectores arbitrarios |v〉 y |w〉 es

〈w|Av〉 = 〈w|A|v〉 = w∗jAjivj . (4.22)

4.2.0.8 Ejemplos de Operadores

1. Identidad: El operador indentidad puede escribirse alternativamente como

1 = δij |ei〉〈ej | =Xi

|ei〉〈ei| (4.23)

en una base discreta.

1En adelante omitiermos el sımbolo ⊗.2Notese que no usamos la notacion con ındices i′, j′. Esto se debe a que A es una transformacion activa, que

cambia un vector en su imagen. No se trata de un cambio de base, en el que lo que cambia es solamente la descripciondel vector. El cambio de base se analiza en las ecuaciones (4.17)(4.18)(4.30) y (4.31).

3o, en notacion matricial, colocando los numeros vi en una columna

v′ = A · v. (4.20)

48

2. Operador Escalera: Dada una base discreta |ei〉, i = 1, 2, 3, .. de V podemos definir laaccion

T±1|ei〉 = c(i± 1)|ei±1〉 (4.24)

donde c(i) es una constante. Claramente los elementos de matriz son T ji = c(i±1)δji±1,es decir

T±1 =Xi,j≥1

c(j)T ji|ej〉〈ei| =Xi≥1

c(i± 1)|ei±1〉〈ei| (4.25)

Claramente T−1|e1〉 = 0, por tanto incluimos este caso imponiendo c(0) = 0.

4.2.0.9 Representacion covariante de un operadorSi A : H → H es un operador lineal, podemos tomar los siguiente elementos de matriz

Aij = 〈ei|A|ej〉 (4.26)

Este conjunto de elementos de matriz es el asociado a una representacion del operador A de laforma siguiente

A = Aij |ei〉 ⊗ 〈ej | (4.27)

La relacion entre Aij y Aij es la evidente, y se obtiene inmediatamente usando la linealidad delproducto escalar

Aij = gikAkj (4.28)

Si dicho producto escalar es no-degenerado det gij 6= 0, existe la relacion inversa

Alj = gliAij (4.29)

donde gligik = δlk.

Ai′j′ = 〈ei′ |A|ej′〉

= (Oii′)∗〈ei|A|ej〉Ojj′= (Oii′)∗AijOjj′ (4.30)

O en notacion matricialA′ = O†AO (4.31)

donde O† = Ot∗ es la matriz traspuesta y conjugada compleja. Adviertase la diferencia entre (4.18)y (4.31) que se debe a que se trata de representaciones diferentes del mismo operador. Cuando noestan presentes los ındices es necesario distinguir explıcitamente ambas matrices, salvo en el casode que estemos tratando con una base ortonormal.4.2.0.10 La traza invariante

La traza de una matriz es la suma de los elementos de la diagonal. Sin embargo solo para T ij tieneesta cantidad un significado invariante. En efecto trT = T ii, es un escalar y por tanto invariantebajo cambios de base.

T i′

i′ = Oi′

iTijO

jj′ = Ojj′O

i′iTij = δjiT

ji = T ii

4.2.0.11 Operador cero

Lema 4.2.1 Sea A ∈ L(H) donde H es un espacio de Hilbert complejo. Si, ∀|v〉 ∈H encontramos que 〈v|Av〉 = 0, entonces A = 0.

49

Demostracion: Partiendo de 〈v + w|A(v + w)〉 = 0 y desarrollando se tiene que

〈v|Aw〉+ 〈w|Av〉 = 0, (4.32)

mientras que, partiendo de 〈v + iw|A(v + iw)〉 = 0 obtenemos por el contario que

〈v|Aw〉 − 〈w|Av〉 = 0, (4.33)

es decir 〈v|Aw〉 = 0 , ∀|v〉, |w〉 ∈ H. En particular tomando |v〉 = A|w〉 tenemos que ‖A|w〉‖ =0 ⇔ A|w〉 = 0Notese que si H fuese un espacio de Hilbert sobre R, la demostracion del anterior lema fallarıa.Por ejemplo, en H = R2 con el producto escalar euclıdeo, el operador R que rota cualquier vector|v〉 = (x, y) π/2 en torno al origen, R : (x, y)→ (−y, x) es claramente no-nulo, sin embargo verifica〈v|Rv〉 = 0 ∀|v〉.4.2.0.12 Base OrtonormalEl procedimiento de Gram-Schmidt garantiza la existencia de una base ortonormal

gij = 〈ei|ej〉 = δij

En esta base, la operacion de subir y bajar ındices de vectores se reduce a tomar la conjugacioncompleja,

wj = wi∗δij = wj∗ (4.34)

y para los elementos de matrix de A a la identidad

Aij = δikAkj = Aij (4.35)

Por tanto, en una base ortonormal no hay distincion entre las dos representaciones de un operador.4.2.0.13 Espacio Vectorial RealEn el caso particular que Ω = R la matriz de productos escalares gij forma las componentes de untensor simetrico de rango

(02

)(el tensor metrico). Si la base es ortonormal la operacion de subir y

bajar ındices es la identidad en cualquier caso

wi = wi ; Aij = Aij . (4.36)

4.2.1. Representacion Continua

Si utilizamos una base continua |wα〉 ∈ V , con α ∈ R, (por ejemplo las bases |~x〉 o |~p〉) tambientenemos elementos de matriz

Aαβ = 〈wα|A|wβ〉

y una representacion continua

A =∫dαdβAαβ |wα〉〈wβ | (4.37)

4.2.1.1 Operador Identidad

1 =∫dαdβδ(α− β)|wα〉〈wβ | =

∫dα|wα〉〈wα| (4.38)

en una base continua. Ası por ejemplo en las bases de posicion y momento respectivamente

1 =∫d3x |~x〉〈~x| =

∫d3p |~p〉〈~p| (4.39)

50

4.2.1.2 Operador de TraslacionSea |x〉 la base continua de posiciones en L(R). Podemos considerar la accion

Ta|x〉 = c(x+ a)|x+ a〉 (4.40)

donde admitimos un cambio de escala dado por el numero c(x). Los elementos de matriz son

T x′

a x = c(x′)δ(x′ − (x+ a))

y, por tanto, admite una expansion

Ta =∫dxdx′T x

′

x|x′〉〈x| =∫dx c(x+ a)|x+ a〉〈x| (4.41)

La accion de Ta sobre un elemento |f〉 es inmediata en la base de posiciones4.2.1.3 Operador PosicionTomemos el operador de traslacion Ta con a = 0 y c(x) = x. Entonces obtenemos el operador deposicion

X =∫dx x |x〉〈x|

La accion de este operador es diagonal sobre la base de posiciones

X|x〉 = x|x〉 ; X x′x = 〈x′ |X|x〉 = xδ(x′ − x) (4.42)

La accion sobre cualquier elemento |f〉 ∈ H es facil de calcular en la base de posiciones

|Xf〉 ≡ X|f〉 =(∫

dx x |x〉〈x|)∫

dx′f(x′)|x′〉

=∫dx′ x′f(x′) |x′〉 (4.43)

o, tomando el producto dual con 〈x|

〈x|f〉 = f(x) =⇒ 〈x|Xf〉 = xf(x) (4.44)

4.2.1.4 Operador Momento:El operador momento se define de la misma manera que el de posicion actuando sobre la base demomentos

P =∫dp p |p 〉〈p | (4.45)

es decir, su accion es diagonal en esta base

P|p 〉 = p|p 〉 ; P p′

p = 〈p′ |P|p〉 = pδ(p′ − p) (4.46)

De forma totalmente analoga al operador de posicion, la accion del operador de momento es sencillaen la base de momento

〈p|f〉 = f(p) =⇒ 〈p|Pf〉 = pf(p) (4.47)

4.2.1.5 Cambio de Base

51

De la posicion de los ındices es evidente que si |wγ′〉 =∫dβ Oβγ′ |w〉β es otra base continua, los

elementos de matriz se transforman como sigue

Aγ′

δ′ = 〈wγ′ |A|wδ′〉

= 〈wγ′ |(∫

dα|wα〉〈wα|)

A(∫

dα|wβ〉〈wβ |)|wδ′〉

=∫dαdβ〈wγ′ |wα〉Aαβ〈wβ |wδ′〉

=∫dαdβ Oγ

′

αAαβO

βδ′ (4.48)

Por ejemplo, supongamos que deseamos representar el operador momento ~P en la base de posicio-nes. Entonces, el cambio de base viene dado por las expresiones siguientes

〈x|p〉 =1√2πeipx = 〈p|x〉∗ (4.49)

Entonces

〈x|P|x′〉 =∫dpdp′〈x|p〉 〈p|P|p′〉 〈p′|x′〉

=∫dpdp′

12πei(px−p

′x′)pδ(p− p′)

=1

2π

∫dp eip(x−x

′)p

=1i

∂

∂x

12π

∫dp eip(x−x

′)

=1i

∂

∂xδ(x− x′) (4.50)

De modo que, en la base de posiciones

P =∫d3xd3x′

1i

∂

∂xδ(x− x′)|x〉〈x′| (4.51)

Sobre una funcion, expandida en la base de posiciones

|Pf〉 =(∫

dxdx′1i

∂

∂xδ(x− x′)|x〉〈x′|

)∫dyf(y)|y〉

=∫dxdx′

(1i

∂

∂xδ(x− x′)

)f(x′) |x〉

= −∫dxdx′

(1i

∂

∂x′δ(x− x′)

)f(x′) |x〉

=∫dxdx′ δ(x− x′)

(1i

∂

∂x′f(x′)

)|x〉

=∫dx′

1i

∂

∂x′f(x′) |x′〉

(4.52)

O, equivalentemente

〈x|Pf〉 =1i∂xf(x) (4.53)

52

4.2.1.6 Relaciones de conmutacionLa composicion de operadores sigue la regla natural

(AB)|v〉 = A(B|v〉) (4.54)

Esta operacion convierte a A(H) en un algebra no conmutativa. Es decir, en general AB 6= BA.La diferencia entre ambas expresiones puede expresarse en la base de operadores de A(H). Porejemplo, para P y X podemos calcular el conmutador [P,X] en una base para identificar el operadorresultante:

〈x|XP|f〉 =∫dx′〈x|X|x′〉〈x′|P|f〉 (4.55)

=∫dx′xδ(x− x′)1

i∂x′f(x′) (4.56)

=1ix∂xf(x) (4.57)

y por otro lado

〈x|PX|f〉 =∫dx′〈x|P|x′〉〈x′|X|f〉 (4.58)

=∫dx′

1i∂xδ(x− x′)x′f(x′) (4.59)

= −∫dx′

1i∂′xδ(x− x′)x′f(x′) (4.60)

=∫dx′

1iδ(x− x′)∂′x(x′f(x′)) (4.61)

=∫dx′

1iδ(x− x′)(f(x′) + x′∂x′f(x′)) (4.62)

=1if(x) +

1ix∂xf(x) (4.63)

Restando vemos que se satisface la relacion de conmutacion que define el algebra de Heisenberg

[X,P] = i I (4.64)

Podemos generalizar esto a una coleccion de operadores ~X = (X1,X2,X3) actuandosobre la base de posiciones para L(R3)

Xi =

Zd3x xi |~x〉〈~x| ; Xi|~x〉 = xi|~x〉 ; 〈~x|Xi|~x′〉 = xiδ(~x− ~x′)

En esta base tenemos que〈~x|Xif〉 = xif(~x) (4.65)

y analogamente para el operador momento en la base |~p〉

Pi =

Zd3p pi |~p 〉〈~p | ; Pi|~p 〉 = pi|~p 〉 ; 〈~p |Pi|~p′〉 = piδ(~p− ~p′) (4.66)

y, equivalentemente,〈~p |Pif〉 = pif(~p ) (4.67)

Las relaciones de conmutacion involucran operadores en la misma direccion

[Xi,Pj ] = iδij I (4.68)

53

4.2.2. La Representacion Exponencial

Dado un operador acotado A ∈ A(H), definimos otro operador T = eA mediante la expansion enserie de Taylor

T = 1 + A +12A2 + ... =

∞∑k=1

Ak

k!.

La composicion de exponenciales de operadores presenta diferencias con respecto a la multiplicacionde numeros, debido a la no-conmutatividad de los operadores. Empezaremos con un caso restringido

Lema 4.2.2 Sean A,B ∈ A(H), si [A,B] = 0 entonces

eAeB = eA+B . (4.69)

Demostracion: Definamos la familia uniparametrica de operadores F (t) ≡ etAetB , donde t ∈ R esun parametro auxiliar. Tenemos que

dF

dt= AetAetB + etABetB = (A+B)etAetB = (A+B)F (t), (4.70)

donde hemos usado explıcitamente que [A,B] = 0. Por simple evaluacion podemos ver que lasolucion a esta ecuacion diferencial viene dada por

F (t) = F (0)et(A+B) = et(A+B) (4.71)

Haciendo t = 1 obtenemos el resultado que buscamos.Si intentamos relajar algo las condiciones del teorema en seguida nos encontramos con dificultades.Un compromiso aceptable que es de gran utilidad en el contexto de la Mecanica Cuantica es elsiguiente:

Teorema 4.2.1 (Baker-Cambell-Hausdorf) Sean A,B ∈ A(H), para los cualesel conmutador [A,B] conmuta con A y con B, entonces se tiene que

eAeB = eA+Be12 [A,B] (4.72)

Demostracion: De nuevo tomemos F (t) = etAetB y derivemos. Ahora obtenemos que

dF

dt= AetAetB + etABetB = (A + etABe−tA)F (t) (4.73)

La expansion generica del segundo termino es

etABe−tA = B + t[A,B] +t2

2[A, [A,B]] + ...+

tn

n!

n︷ ︸︸ ︷[A, [...[A,B]..]] (4.74)

que bajo la hipotesis del teorema se reduce a las dos primeras contribuciones B+t[A,B]. Por tanto

dF

dt= (A + B + t[A,B])F (t) (4.75)

Por otro lado si ponemosF (t) = F (0)e(A+B)t+ 1

2 [A,B]t2 . (4.76)

es elemental comprobar que es solucion de 4.75. Para ello es esencial que se verifiquen las hipotesis.Como F (0) = 1, poniendo t = 1 obtenemos el resultado deseado.

54

Ejercicios:

1. Comprobar que (4.76) verifica (4.75) bajo las hipotesis del teorema.

2. Considerar los operadores X y P sobre L2[−1,+1]. Encontrar la forma matricial asociadaa la accion de los mismos sobre la base ortonormal de Legendre. Investigar la acotacionen esta forma.

4.3. Operador adjunto

4.3.0.1 Definicion de operador adjuntoSea A = λ|v〉〈w|. Claramente es un operador

A|u〉 = λ〈w|u〉 |v〉.

Definimos el operador adjunto A†

A† = (λ|v〉〈w|)† = λ∗|w〉〈v|

y extendemos esta definicion de la manera natural a combinaciones lineales. La operacion involucrael conjunto de reglas usuales de la aplicacion adjunta, suplementada con un cambio de orden. Noteseque sin este cambio de orden no acabarıamos con un operador, sino con un numero λ∗〈v|w〉.4.3.0.2 Componentes del operador adjuntoEn el caso general, cualquier operador puede ser desarrollado en una base |ei〉, de hecho demaneras diferentes. Por un lado tenemos la representacion natural A→ Aij

A = Aij |ei〉〈ej | ; Aij = 〈ei|A|ej〉. (4.77)

y por otro la representacion covariante A→ Aij .

A = Aij |ei〉〈ej | ; Aij = 〈ei|A|ej〉. (4.78)

La accion de la conjugacion hermıtica es diferente en cada representacion. En caso mas sencillo sepresenta cuando utilizamos la representacion covariante

A†ij = 〈ei|A†|ej〉 = 〈ej |A|ei〉† ≡ 〈ej |A|ei〉∗ = A∗ji . (4.79)

Vemos que, en este caso la matriz que representa el operador es la matriz adjunta A† = At∗. En larepresentacion natural A→ Aij la relacion es un poco menos sencilla

A†ij = 〈ei|A†|ej〉 = 〈ej |A|ei〉† = A∗ji = (gjkAklgli)∗ (4.80)

La ecuacion (4.80) no es util para saber si un operador es adjunto. Lo mas practico es transformara la representacion covariante

Aij → Aij = gikAkj (4.81)

y utilizar (4.79). Si la base utilizada es ortonormal, gij = δij , podemos situar los ındices arriba oabajo sin distincion, y ambas condiciones son identicas

(A†)ij = (Aji)∗

Por tanto, solo en una base ortonormal, el operador A† siempre viene representado por la matrizconjugada y traspuesta de la del operador A.

55

4.3.0.3 Operador adjunto y producto escalarLa nocion de tomar el adjunto esta ligada al producto escalar definido sobre H. La manera en laque se suele definir el operador adjunto es mediante la ecuacion siguiente(

A†|w〉, |v〉)

=(|w〉,A|v〉

)(4.82)

que es equivalente a〈A†w|v〉 = 〈w|Av〉 ≡ 〈w|A|v〉 . (4.83)

Veamos como nuestra definicion de operador adjunto verifica esta propiedad. Escribiendo

A† =(Aij |ei〉〈ej |

)†= Ai∗j |ej〉〈ei|

expandimos el primer miembro de (4.83)

〈A†w|v〉 = 〈v|A†w〉∗ = 〈v|A†|w〉∗ = (Ai∗j)∗〈v|ej〉∗〈ei|w〉∗ = Aij〈ej |v〉〈w|ei〉 (4.84)

y, comparando con el de la derecha

〈w|Av〉 = Aij〈w|ei〉〈ej |v〉 (4.85)

obtenemos coincidencia.4.3.0.4 En resumen, las reglas de tomar adjunto se reducen

(λ)† = λ∗

|v〉† = 〈v|〈w|† = |w〉

ademas de invertir el orden de los objetos que no son numericos. En particular

〈Av| = |Av〉† ≡ (A|v〉)† = 〈v|A† (4.86)

todos los miembros de esta igualdad, se definen en terminos del tercero.

4.3.1. Operador Hermıtico

Un operador A ∈ A(H) , se dice que es hermıtico con respecto al producto escalar ( , ) definido enH si coincide con su adjunto

A = A†

Claramente, un operador hermıtico verifica que

〈Aw|v〉 = 〈w|Av〉 ; ∀ |v〉, |w〉 ∈ H

Lo que es mas interesante es que esto implica la realidad de cualquier elemento de matriz diagonal

〈v|Av〉∗ = 〈Av|v〉 = 〈v|Av〉 ∈ R ; ∀|v〉 ∈ H. (4.87)

En Mecanica cuantica estos elementos de matriz tienen la interpretacion de valores esperados deoperaciones de medida, por tanto deben tener un caracter real.4.3.1.1 Operador AntihermıticoUn operador que verifique

A† = −A

56

se dice que es antihermıtico. Claramente a partir de un operador hermıtico, B = B†, podemosformar un operador antihermıtico A = iB, y viceversa. Por tanto hay una relacion unıvoca entreambos conjuntos.4.3.1.2 Exponencial de un Operador Hermıtico

Si B = ±B† es un operador (anti)hermıtico, la exponencial A = eB verifica a su vez

A† =(eB)†

= (1 + B +12B2 + ...)†

= 1±B +12B2 + ....

= e±B (4.88)

Por tanto, si B es hermıtico, A† = A tambien. Pero si B es antihermıtico, A† = A−1.4.3.1.3 Descomposicion General :

Lema 4.3.1 Un operador generico A se puede, siempre, descomponer en la formaC = A + B donde A es hermıtico, y B es antihermıtico

Demostracion: siempre podemos escribir

C =C + C†

2+

C−C†

2= A + B (4.89)

4.3.2. Operador Inverso

Dado un operador lineal A ∈ L(V ), el operador inverso se define mediante la identidad

A−1A = AA−1 = 1 (4.90)

4.3.3. Operador Unitario

Definicion 4.3.1 Sea U invertible, se dice que es unitario con respecto al productoescalar ( , ) definido en H, si U+ = U−1.

Un operador unitario U es una biyeccion lineal de H sobre H que conserva productos escalares:〈Uv|Uw〉 = 〈v|w〉 ∀|v〉, |w〉 ∈ H. En efecto

〈Uv|Uw〉 = 〈v|U†Uw〉 = 〈v|w〉 (4.91)

por lo tanto, U conserva productos escalares. Un corolario de este lema es que U deja invariantela matriz de productos escalares, con respecto a la cual U+ es el conjugado hermıtico de U.

g′ij = 〈e′i|e′j〉 = 〈Uei|Uej〉 = 〈ei|ej〉 = gij (4.92)

En particular, transforma toda base ortonormal de H en otra base ortonormal de H4.3.3.1 Un operador unitario es isometrico. Es decir, deja invariante la norma de todo vector

||U|v〉|| = |||v〉|| ∀|v〉 ∈ H (4.93)

57

4.3.3.2 Dada una base |ei〉, la caracterizacion de un operador unitario en la representacionnatural es sencilla, sin mas que escribir (4.92) en componentes

g′ij = 〈Uei|Uej〉= 〈Ukiek|U ljel〉= Uk∗i〈ek|el〉U lj= Uk∗igklU

lj = gij . (4.94)

En notacion matricial, la ultima ecuacion se puede representar de manera compacta

U†gU = g (4.95)

donde la matriz U† = U t∗. En una base ortonormal gij = δij y la ecuacion anterior se reduce a

U†U = 1. (4.96)

Una matriz U → U ij que represente a un operador unitario U tiene un determinante de modulounidad. Para verlo basta con tomar determinantes en la ecuacion matricial (4.95) y recordar quedetU t = detU

det(U t∗gU) = (detU)∗ det g detU = |detU |2 det g != det g , (4.97)

de aquı se deduce que |detU |2 = 1, es decir detU = eiθ donde θ es un una fase.4.3.3.3 En la representacion covariante U→ Uij la caracterizacion es tambien sencilla, y se siguedirectamente de (4.79). En efecto, si U† → U†ij = U∗ji y U−1 → U−1

ij donde U−1es la matriz inversade U , entonces, de la propia definicion (4.3.1) se deduce la ecuacion matricial siguiente

U†ij = U−1ij (4.98)

4.4. Proyector

Recordemos, que si un espacio vectorial V = M1~⊕M2, entonces ∀|v〉 ∈ V existe una unicadescomposicion |v〉 = |v1〉+ |v2〉, con |vj〉 ∈Mj .4.4.0.4 ProyectorLa aplicacion lineal PM1 : |v〉 ∈ V → |v1〉 ∈M1, se llama proyector de V sobre M1.

Proposicion: Un operador P es proyector sobre M1 ⊂ V ⇔ es idempotente (P2 = P).

Demostracion:

⇒ Es evidente.

⇐ Dado P idempotente, definamos las imagenes M1 ≡ Im(P) y M2 ≡ Im(1 − P). Es evidenteque ∀|v〉 ∈ V, |v〉 = P|v〉+ (1−P)|v〉 = |v1〉+ |v2〉, con |v1〉 ∈M1 y |v2〉 ∈M2 y, ademas,P|v〉 = |v1〉 y (1− P)|v〉 = |v2〉.

4.4.0.5 Proyector OrtogonalSi ademas V es espacio de Hilbert V = H, y con respecto al producto escalar (., .) ⇒ M1⊥M2

lo especificamos diciendo que V = M1 ⊕M2. Definicion Si PM1 : |v〉 ∈ V → |v1〉 ∈ M1 es unproyector tal que V = M1⊕M2 (es decir M1 ⊥M2, decimos que P es un proyector ortogonal sobreM1.Los proyectores ortogonales son una especializacion de los proyectores generales.

58

Proposicion: Un operador P es proyector ortogonal sobre M ∈ H si y solo si es idempotente yhermıtico (⇒ P2 = P = P+).

Demostracion: La idempotencia entra dentro del enunciado de la proposicion anterior del cual,el de esta no es sino un caso particular. Por tanto solo nos ocuparemos de demostrar queortogonalidad ⇔ P = P+.

⇒ Si P es un proyector ortogonal sobre M entonces ∀|v〉, |w〉 ∈ H tenemos que |v〉 = |v1〉+ |v2〉y |w〉 = |w1〉 + |w2〉 son descomposiciones unicas donde P|v〉 = |v1〉,P|w〉 = |w1〉 ∈M ⊥ |v2〉, |w2〉 ∈M⊥. Por tanto

(|v〉,P|w〉) = (|v1〉+ |v2〉, |w1〉) = (|v1〉, |w1〉) = (|v1〉, |w1〉+ |w2〉) = (P|v〉, |w〉) (4.99)

de donde se deduce que P = P+.

⇐ Claramente, si P es idempotente y autoadjunto, la descomposicion |v〉 = P|v〉+ (1−P)|v〉 esortogonal, ya que

(P|v〉, (1− P)|w〉) = (|v〉,P+(1− P)|w〉) = (|v〉,P(1− P)|w〉) = 0

4.4.0.6 Representacion de un proyector:Sea |eA〉 A∈I una base de H. Si I1 y I2 son dos conjuntos complementarios de ındices, I1∪I2 = Iy, cada subconjunto de vectores |ei〉 i∈Ii genera un subespacio Mi, i = 1, 2 ⊂ V con V = M1~⊕M2.Entonces podemos representar

PM1 =∑i∈I1

|ei〉〈ei|

PM2 =∑α∈I2

|eα〉〈eα| = 1− PM1

Es evidente que P2M1

= PM1 . Si |ei〉 es una base ortonormal 〈eA|eB〉 = δAB , entonces PM1 es unproyector ortogonal

〈PM1v|PM2w〉 = 〈v|P†M1PM2 |w〉 =

∑i∈I1

∑α∈I2

〈v|ei〉〈ei|eα〉〈eα|w〉 = 0

lo cual tambien puede verse del hecho de que, en este caso, PM1 es hermıtico.

PM1 =∑i∈I1

|ei〉〈ei| =∑i∈I1

|ei〉〈ei| = P†M1(4.100)

4.5. Valores y vectores propios

4.5.0.7 Definicion. Diremos que |v〉 es un vector propio de un operador lineal A, con valorpropio λ ∈ C si

A|v〉 = λ|v〉 (4.101)

El conjunto λ ∈ C de todos los valores propios se denomina espectro.

59

4.5.0.8 Un valor propio λr es gr veces degenerado si es posible encontrar gr vectores linealmenteindependientes, |vi〉, i = 1, ..., gr tales que En este caso, los vectores |vi〉 generan un subespaciovectorial Vλ ⊂ V de dimension gr. En efecto

A(gr∑i=1

ci|vi〉) =gr∑i=1

ciA|vi〉 = λr

gr∑i=1

ci|vi〉 = λr|vi〉 (4.102)

Es frecuente utilizar la notacion Vλ = Ker(A− λI).

4.5.1. Espectro de Operadores Hermıticos

Supongamos que A = A† es un operador hermıtico. Encontramos entonces los dos siguientesresultados

(i) Los valores propios de un operador hermıtico son reales. Supongamos que |v〉 es vector propiocon valor propio λ. Entonces podemos considerarlo normalizado 〈v|v〉 = 1 y encontramos

λ = λ〈v|v〉 = 〈v|A|v〉 = 〈v|A†|v〉∗ = 〈v|A|v〉∗ = (λ〈v|v〉)∗ = λ∗ (4.103)

Por tanto λ ∈ R.

(ii) Dos vectores propios, |v1〉 y |v2〉 de un mismo operador hermıtico, A, asociados a valorespropios diferentes son ortogonales:

0 = 〈v1|(A−A)|v2〉 = 〈v1|A|v2〉 − 〈v2|A|v1〉∗ = (λ2 − λ1)〈v1|v2〉

Por tanto, para λ1 6= λ2 necesariamente |v1〉 ⊥ |v2〉.

4.5.1.1 ObservableSi el espectro de un operador A esta constituido por un conjunto λn, n = 1, 2, ... de autovaloresno degenerados, entonces podemos normalizar sus autovectores y tendremos que

〈vn|vm〉 = δnm (4.104)

Si algun autovalor, λn es gn veces degenerado, siempre podemos ortonormalizar dentro del subes-pacio propio Vλn ⊂ V , es decir

A|vin〉 = λin|vin〉 ; i = 1, ..., gn

con〈vin|vjm〉 = δnmδij (4.105)

Definicion: El operador hermıtico A es un observable, si el conjunto de vectores propios formauna base de V . Esta condicion equivale a la relacion de cierre

1 =∞∑n=1

gn∑i=1

|vin〉 〈vin| (4.106)

60

4.5.2. Resolucion Espectral

Si los autovectores |vin〉, i = 1, ..., gn forman una base ortonormal del subespacio propio Vn,podemos escribir el proyector sobre dicho subespacio Pn en la forma

Pn =gn∑i=1

|vin〉 〈vin| (4.107)

Debido a la ortogonalidad es inmediato comprobar que P2n = Pn.

Si λn, n = 1, 2, ... forma el espectro de un observable A, podemos representar dicho operador enla forma

A =∑n

λnPn =∑n

gn∑i=1

λn |vin〉 〈vin| (4.108)

4.5.2.1 Espectro contınuoEn general, el espectro de un operador A se divide en una parte discreta y una parte contınua

A|vn〉 = λn |vn〉 n = 1, 2, 3, ...i = 1, 2, 3, ....gn

A|vν〉 = λ(ν)|vν〉 ν1 ≤ ν ≤ ν2 (4.109)

que puede tomarse ortonormal

〈vin|vjm〉 = δnmδij

〈vν |vν′〉 = δ(ν − ν′)〈vin|vν〉 = 0 (4.110)

A sera un observable si forma una base ortonormal y tenemos la relacion de cierre

I =∑n

gn∑i=1

|vin〉〈vin|+∫dν |vν〉〈vν | (4.111)

mientras que para A escribiremos

A =∑n

gn∑i=1

λn |vin〉〈vin|+∫dν λν |vν〉〈vν | (4.112)

4.5.3. Espectro de Proyectores Ortogonales

Un proyector hermıtico sobre un subespacio M1 es ortogonal. Sus autovalores son λvi = 1 para|vi〉 ∈M1 y λw = 0 para todo |w〉 ortogonal a |v〉, 〈w|v〉 = 0.

Pv|v〉 = 0 |v〉 ∈M1

Pv|w〉 = 0 |w〉 ∈M2 (4.113)

Por tanto, la resolucion espectral de Pv es precisamente

Pv =gn∑i=1

|vi〉〈vi| (4.114)

61

4.5.4. Espectro de Unitarios

Si |v〉 es autovector de U, entonces se verifica, por una parte

||U|v〉|| = ||λ|v〉|| = |λ| |||v〉|| (4.115)

Si ademas U es unitario, entonces ademas tenemos que

||U|v〉|| = |||v〉|| (4.116)

De donde se deduce que, los autovalores de un operador unitario verifican |λ| = 1. Por tanto, todoslos autovalores λ de U son, sencillamente, fases de la forma λ = eiα.

4.5.5. Calculo Variacional del Espectro de un Operador Autoadjunto

Sea A = A+. Definamos el valor esperado < A >|v〉≡ 〈v|A|v〉〈v|v〉 , 0 6= |v〉 ∈ H. Claramente < A >|v〉es una funcion real de |v〉 tal que < A >α|v〉=< A >|v〉. Por tanto puede considerarse definidasobre |v〉 ∈ H : |||v〉|| = 1.

Teorema: (Propiedad variacional). Sea A = A+ un operador lineal hermıtico sobre un espacio deHilbert H complejo. Sea |v0〉 un vector propio de A con valor propio λ0. Entonces < A >|v〉como funcion de |v〉 tiene valor estacionario en |v〉 = |v0〉 y en ese punto se cumple que< A >|v0〉= λ0.

Demostracion: Si trabajamos en una base ortogonal numerable |ej〉∞1 , podemos considerar< A >|v〉 como funcion de las componentes vj = vj∗∞1 de |v〉 en dicha base. Por un ladotenemos que

∂

∂vj〈v|A|v〉 =

∂

∂vj(vlAlkvk) =

∂vl∂vj

Alkvk + vlA

lk ∂v∗k

∂vj= Ajkv

k (4.117)

mientras que por otro∂

∂vj〈v|v〉 =

∂vi∂vj

vi + v∗i∂v∗i∂vj

= vj . (4.118)

Notese que estamos utilizando el hecho de que ∂z∗

∂z = 0. Por tanto el teorema presente soloes valido si H es un espacio vectorial complejo. Luego

∂

∂vj< A >|v〉=

Ajkvk〈v|v〉 − 〈v|A|v〉vj

〈v|v〉2(4.119)

que se anula si y solo siAjkv

k =< A >|v〉 vj (4.120)

que no es otra que la ecuacion de autovalores en componentes, por tanto tiene por solucion(es)|v〉 = |v0〉 y λ0 =< A >|v〉

4.6. Diagonalizacion

4.6.0.1 Diagonalizacion de un operador hermıticoSea |ei〉 una base ortonormal y A un cierto operador hermıtico, cuya representacion en dichabase viene dada por la matriz Aij = Aj∗i. Podemos representar A en la base normalizada |vm〉de autovectores mediante la matriz diagonal Amn = λmδ

mn. Como sabemos, |vm〉 puede tomarse

62

como una base ortonormal (4.105). Por tanto |vm〉 = U|ei〉 donde U es unitario. Otra manera dever esto es escribir la ecuacion de transformacion

(U−1)miAijU jn = λnδmn (4.121)

Tomando la conjugacion hermıtica de las matrices y teniendo en cuenta que Aij = (A†)ij y queλn = λ∗n, obtenemos que

(U−1)mi = (U†)mi

y por tanto el cambio de base se efectua mediante una matriz unitaria.

4.6.1. Diagonalizabilidad Simultanea de Dos Operadores

Dos operadores hermıticos que conmutan entre sı son diagonalizables simultaneamente en algunabase. Para demostrarlo mencionaremos un lema previo.

Lema 4.6.1 Sean T y S operadores que conmutan. Si |v〉 es vector propio de T,S|v〉 tambien es autovector de T con identico autovalor.

Demostracion: En efecto, si T|v〉 = λ|v〉 aplicando S por la izquierda encontramos ST|v〉 = Sλ|v〉.Como [S,T] = 0, llegamos a que T(S|v〉) = λS|v〉.Pueden darse dos situaciones. (i) Que λ sea un autovalor no degenerado, en cuyo caso S|v〉 y |v〉son necesariamente colineales. (ii) Que λ sea un valor propio degenerado, en cuyo caso, lo unicoque asegura el teorema anterior es que el vector S|v〉 pertenece al subespacio propio asociado alautovalor λ, al igual que |v〉. En resumen, un enunciado equivalente al lema anterior es que, si Ty S conmutan, todo subespacio propio de T es globalmente invariante bajo la accion de S.

Corolario 4.6.1 Si T y S son operadores que conmutan. Si T es autoadjunto, y|v1〉 y |v2〉 son vectores propios de T con valores propios λ1 6= λ2, entonces 〈v1|S |v2〉 =0.

Demostracion: Si |v2〉 es autovector de T con autovalor λ2, tambien S|v2〉 es autovector de T conidentico autovalor λ2 6= λ1. Por tanto es ortogonal a |v1〉.Llegamos ası al resultado realmente importante:

Teorema 4.6.1 Si dos operadores autoadjuntos T y S conmutan, podemos cons-truir una base ortonormal de H, constituida por vectores propios comunes a S y a T.

Demostracion: Vamos a trabajar por simplicidad con un espectro discreto. Por ser T hermıticoadmite una base ortonormal de vectores propios, que denotaremos |ein〉 asociados a autovaloresreales λn con n = 1, 2... y con i = 1, 2, ...dn con dn la degeneracion del valor propio λn. Si ordenamosdichos autovectores en la forma |e1

1〉, ...|ed11 〉; |e1

2〉, ...|ed22 〉; |e1

3〉, ... entonces, la matriz querepresenta S en esta base tiene la forma diagonal en bloques cuadrados de dimensiones dn×dn, n =1, 2, ... que denominaremos S(n). Cada bloque representa la accion de S sobre el subespacio propioHn asociado a λn; con elementos S(n)

ij = 〈ein|Sejn〉. El hecho de que fuera de estos bloques, todoslos elementos de matriz de S sean nulos se desprende del lema anterior 〈ein|Sejm〉 = 0 para n 6= m.Ahora, dos situaciones pueden darse:

(i) Si λn es un valor propio no degenerado de T, entonces dn = 1 y el autovector |e1n〉 es au-

tomaticamente autovector de S tambien.

63

(ii) Si λn es degenerado con dn > 1, el bloque S(n)ij = 〈ein|Sejn〉 no es en general diagonal. Sin

embargo, advirtamos que, restringida al mismo conjunto de autovectores |e1n〉, .., |ednn 〉, la

accion del operador T es proporcional a la identidad T(n)ij = λnδij . En consecuencia, la

eleccion de una base dentro de Hn como por ejemplo |e1n〉, .., |ednn 〉 es totalmente arbitraria,

y en cualquier base ortonormal, T restringida al mismo subespacio seguira siendo de la formaλnIHn .

Aunque no sea diagonal, la matriz S(n)ij sı es hermıtica, S(n)

ij = S(n)∗ji , con lo que podemos

efectuar dentro de cada subespacio Hn un cambio de base que diagonalice la submatriz Snijmediante un operador unitario U , |e′in〉 = U |ein〉Una vez hecho esto en cada subespacio propio Hn tenemos una base que simultaneamentediagonaliza las matrices que representan T y S en todo H.

Es importante destacar que no hemos probado que si T y S conmutan todo vector propio de T losea tambien de S. Lo que hemos demostrado es que es posible encontrar una base ortonormal devectores propios comunes.

4.7. Operadores Hermıticos y Mecanica Cuantica

4.7.1. Postulados de la Medida

La importancia de los operadores autoadjuntos en el contexto de la Mecanica Cuantica tiene quever con su relacion con el mecanismo de medida.

El primer postulado de la afirma que, a un instante fijo t0, el estado de un sistema fısicoesta contenido en la eleccion de un vector |φ〉, unitario 〈φ|φ〉 = 1, perteneciente al espacio deHilbert de estados H.

El segundo postulado afirma que toda magnitud fısica medible, esta descrita por un operadorobservable (por tanto hermıtico) A.

Los resultados de una medicion (tercer postulado) no pueden dar como resultado mas queuno de los valores propios de A, λn ∈ σ(A).

Segun el cuarto postulado, la probabilidad de obtener λn como resultado de una cierta me-dicion, viene dada por la expresion

P (λn) = |〈un|ψ〉|2 (4.122)

donde, si λn es un autovalor no degenerado, |un〉 es el autovector asociado. Si λn es unautovalor gn veces degenerado

P (λn) =gn∑i=1

|〈uin|ψ〉|2 (4.123)

donde |uin〉 es una base ortonormal de autovectores asociados al mismo autovalor.

Esta cantidad puede escribirse de una manera mas elegante utilizando el operador de pro-yeccion

Pn =gn∑i=1

|uin〉〈uin| (4.124)

Entonces claramente,P (λn) = 〈ψ|Pn|ψ〉 = ||Pn|ψ〉||2 (4.125)

64

El quinto postulado, ( reduccion del paquete de ondas) afirma que, si el resultado de unamedida ha sido λn, el estado del sistema, inmediatamente despues viene dado por el vectorde estado |ψ〉 ∈ H

|ψ〉 λn=⇒ |ψn〉 =Pn|ψ〉√〈ψ|Pn|ψ〉

(4.126)

donde explıcitamente hemos normalizado 〈ψn|ψn〉 = 1.

4.7.1.1 Valor medio de una medida.Sea λn ∈ σ(A) el espectro de posibles medidas de una cierta magnitud representada por elobservable A. Si en el instante t0, sabemos con certeza que el estado del sistema viene representadopor el vector |ψ〉, el valor medio de una secuencia de medidas viene dado por la expresion

〈A〉ψ =∑n

λnP (λn)

=∑n

λn〈ψ|Pn|ψ〉

= 〈ψ|∑n

λnPn|ψ〉

= 〈ψ|A|ψ〉 (4.127)

4.7.2. Estados Puro y Mezcla

Tomemos un par de estado |ψ1〉 y |ψ2〉, normados y ortogonales

〈ψ1|ψ1〉 = 〈ψ2|ψ2〉 = 1 ; 〈ψ1|ψ2〉 = 0

En cualquiera de ellos la probabilidad de medir un cierto autovalor λn del operador A es

pi(λ) = |〈un|ψi〉|2 i = 1, 2 (4.128)

Las cantidades 〈un|ψ〉 son numeros complejos, denominadas amplitudes de probabilidad. Es muyimportante la distincion entre probabilidades y amplitudes de probabilidad, como se vera a conti-nuacion.4.7.2.1 Superposicion CoherenteSupongamos que |ψ〉 es una superposicion de los dos estados anteriores |ψ〉 = α1|ψ1〉 + α2|ψ2〉, yque, con total certeza, un cierto sistema se encuentra en dicho estado. La probabilidad de encontrarλn como resultado de una medida asociada a A viene dada por

p(λn) = |〈un|ψ〉|2 = 〈α1ψ1 + α2ψ2|un〉〈un|α1ψ1 + α2ψ2〉= |α1|2|〈un|ψ1〉|2 + |α2|2|〈un|ψ2〉|2 + 2Re [(α1α

∗2)〈un|ψ1〉〈un|ψ∗2〉] (4.129)

El ultimo sumando es el denominado termino de interferencia, y es caracterıstico de una super-posicion coherente. Esto es muy diferente de una mezcla estadıstica. Si |ψ〉 fuese el resultado deuna mezcla estadıstica de |ψ1〉 y ψ2 con pesos estadısticos |α1|2 y |α2|2, entonces el resultado queesperarıamos serıa simplemente la suma ponderada de probabilidades

p(λn) = |α1|2P1(λn) + |α2|2P1(λn)= |α1|2|〈un|ψ1〉|2 + |α2|2|〈un|ψ2〉|2 (4.130)

4.7.2.2 Mezcla Estadıstica

65

No debemos pensar que las probabilidades estadısticas no juegan ningun papel en la mecanicacuantica. En el razonamiento anterior hemos hecho la suposicion de que el estado de un ciertosistema estaba representado por un cierto vector |ψ〉 ∈ H con certeza absoluta. Hablar de certezaabsoluta sobre el conocimiento de la funcion de onda, en terminos de probabilidades equivale ahacer una asignacion de la forma

P (|ψ〉) = 1 ; P (|ϕ〉) = 0 ∀|ϕ〉 6= |ψ〉 (4.131)

En realidad son escasas las situaciones en las que podemos asignar a un sistema fısico un vector|ψ〉 ∈ H. Cuando esto es ası hablamos de un estado puro. El caso generico es aquel en el que existeuna cierta indeterminacion acerca de cual es el estado concreto que emerge de un cierto aparato demedida, debido principalmente a la eficiencia limitada del mismo. En este caso debemos parametri-zar nuestra ignorancia, asignando al sistema una coleccion pα, |ψα〉 de vectores ortonormalizados〈ψα|ψβ〉 = δαβ , y probabilidades

∑α pα = 1 de que el sistema se halle efectivamente en dicho

estado. Serıa un error intentar asignar a dicho sistema una superposicion de la forma

|ψ〉 =∑α

pα|ψα〉. (4.132)

Ya hemos visto que esto conduce a resultados incorrectos debido a la introduccion de terminosde interferencia. En conclusion, no podemos asignar un elemento de H a un sistema que sea unamezcla estadıstica de estados.4.7.2.3 El Operador DensidadEl operador densidad es la herramienta apropiada para esta situacion

ρ =∑α

pα |ψα〉〈ψα| =∑α

pαPα . (4.133)

La descripcion mediante el operador densidad contiene el caso de un estado puro, sin mas queutilizar la asignacion de probabilidades asociadas a una certeza. Por ejemplo p1 = 1, p2 = p3 =... = 0.

ρψ1 = |ψ1〉〈ψ1| = P1 (4.134)

Claramente ρ : H → H es un operador hermıtico ρ+ = ρ que verifica

tr ρ =∑iα

pα〈ei|ψα〉〈ψα|ei〉

=∑α

pα∑i

〈ψα|ei〉〈ei|ψα〉

=∑α

pα〈ψα|

(∑i

|ei〉〈ei|

)|ψα〉

=∑α

pα〈ψα|ψα〉

=∑α

pα

= 1 (4.135)

Sin embargo, ρ es un proyector solamente cuando tenemos un estado puro

ρ2 =∑αβ

pαpβ |ψα〉〈ψα|ψβ〉〈ψβ |

=∑α

p2α|ψα〉〈ψα|

6= ρ (4.136)

66

puesto que p2α < pα. Es esta propiedad la que distingue una matriz densidad de un estado puro y

un estado mezcla.La informacion contenida en la matriz densidad en estados mezcla es equivalente a la informacionque contiene el vector de estado en un caso puro.En particular, si A es un observable y |un〉 es una base ortonormal de autovectores A|un〉 =λn|un〉, la probabilidad de encontrar un autovalor λn como resultado de una cierta medida debeser la suma ponderada de probabilidades de esa medida en cada uno de los estados |ψα〉

P (λn) =∑α

pαPα(λn)

=∑α

pα|〈un|ψα〉|2

= 〈un|

(∑α

pα|ψα〉〈ψα|

)|un〉

= 〈un|ρ|un〉=

∑j

〈un|ej〉〈ej |ρ|un〉

=∑j

〈ej | (ρ|un〉〈un|) |ej〉

= tr(ρP(un)) (4.137)

donde P(un) = |un〉〈un| es el proyector sobre el subespacio de H generado por el autovector |un〉.Igualmente podemos calcular el valor medio de A en el estado representado por ρ, como la sumaponderada de los valores medios sobre cada unos de los estados puros que componen la mezcla

〈A〉ρ =∑α

pα〈ψα|A|ψα〉

=∑α,i

pα〈ψα|ei〉〈ei|A|ψα〉

=∑i

〈ei|

(∑α

pα|ψα〉〈ψα|

)A |ei〉

= tr(ρA) (4.138)

De hecho, las formulas (4.137) y son equivalentes considerando el proyector P(un) como un casoparticular de observable.

4.7.3. Producto Tensorial de Operadores

Sean A y B dos operadores lineales definidos respectivamente sobre V (1) y V (2). Entonces podemosdefinir un operador A⊗ B que actua sobre V = V (1) ⊗ V (2) en la forma siguiente

|A ⊗ B v〉 ≡ |Av1〉 ⊗ |Bv2〉 ≡ |w〉 (4.139)

y linealmente sobre sumas de vectores de V .4.7.3.1 Dada una base |eiα〉 para V (1)⊗V (2), podemos encontrar una expresion para la matriz(A ⊗ B) que representa al operador A ⊗ B en dicha base, a partir de las matrices A y B que

67

representan A y B en las bases respectivas.

|(A⊗ B) ejβ〉 = |Ae(1)j 〉 ⊗ |Be(2)

β 〉

= Aij |e(1)i 〉 ⊗B

αβ |e(2)

α 〉

= AijBαβ |e(1)

i 〉 ⊗ |e(2)α 〉

≡ (A⊗B)iαjβ |eiα〉. (4.140)

4.7.3.2 Producto de Kroenecker de matrices

Con los datos Aij y Bαβ de las matrices asociadas a los operadores que componen A⊗Bpodemos formar una matriz que se conoce por el “producto directo”, o “producto de Krone-cker”de las matrices A y B. Si estas matrices cuadradas tienen dimensiones d1 y d2 respec-tivamente A ⊗ B es una matriz de dimension d1d2 cuyas filas y columnas estan etiquetadas,cada una por un par de numeros naturales

(A⊗B)iαjβ = AijBαβ , (1 ≤ i, j ≤ d1, 1 ≤ α, β ≤ d2) (4.141)

Una manera de visualizar la matriz anterior consiste en escribir la matriz A primero, y acontinuacion insertar en la entrada i

j el producto del numero Aij por la matriz completa B.De esta manera cada numero se transforma en una matriz d2 × d2.

Con esta prescripcion, por ejemplo con d1 = d2 = 2, la matriz A⊗B adopta la forma

„A1

1B A12B

A21B A2

2B

«=

0BB@A1

1B11 A1

1B12 A1

2B11 A1

2B12

A11B

21 A1

1B22 A1

2B21 A1

2B22

A21B

11 A2

1B12 A2

2B11 A2

2B12

A21B

21 A2

1B22 A2

2B21 A2

2B22

1CCA

=

0BB@(A⊗B)11

11 (A⊗B)1112 (A⊗B)11

21 (A⊗B)1122

(A⊗B)1211 (A⊗B)12

12 (A⊗B)1221 (A⊗B)12

22

(A⊗B)2111 (A⊗B)21

12 (A⊗B)2121 (A⊗B)21

22

(A⊗B)2211 (A⊗B)22

12 (A⊗B)2221 (A⊗B)22

22

1CCA(4.142)

Para la composicion de operadores tensoriales tenemos dos formas equivalentes de calcularsu accion matricial.

(A⊗B) · (A′ ⊗B′) = (A ·A′)⊗ (B ·B′) (4.143)

donde el punto denota la multiplicacion de matrices. Sin embargo, la matriz asociada a lasuma de dos operadores tensoriales solo puede calcularse en la representacion ((4.142)). Esdecir (A⊗B) + (A′ ⊗B′) 6= (A+A′)⊗ (B +B′).

4.7.3.3Analogamente, un elemento de la forma |v〉 ⊗ |w〉 se escribe en notacion matricial

|v〉 ⊗ |w〉 = viwj |e(1)i 〉 ⊗ |e

(2)j 〉 = (v1w1, v1w2, v2w1, v2w2)

0BB@|e11〉|e12〉|e21〉|e22〉

1CCA (4.144)

4.7.3.4 Ejemplo :El modelo (XXX) de Heisenberg, (o cadena de espines isotropica) es un modelo de mecanica

estadıstica cuyo interes teorico proviene de ser resoluble en forma exacta. Las variables deestado son vectores de V ⊗N , donde V es un espacio vectorial de dimension compleja 2, esdecir V ∼ C2. La formulacion parte de las matrices de Pauli

I =

„1 00 1

«, σx =

„0 11 0

«, σy =

„0 −ii 0

«, σz =

„1 00 −1

«. (4.145)

68

El observable basico es el operador de spin en cada sitio. Para la cadena de N lugares (atomos),~σn , n = 1 , 2 , . . . , N , se define mediante

~σn =

1↓I ⊗ · · · ⊗ I⊗

n↓~σ ⊗I⊗ · · ·⊗

N↓I . (4.146)

que son operadores sobre1↓V ⊗ · · ·⊗

n↓V ⊗ · · ·⊗

N↓V (4.147)

cuya actuacion es no trivial solamente sobre el espacio n-esimo. El hamiltoniano que describela interaccion de los espines viene dado por

H =

N−1Xn=1

Hn,n+1 (4.148)

donde el hamiltoniano de dos espines

Hij =J

4

“~σi · ~σj − I⊗N

”. (4.149)

Ejercicio 4.7.1

-Calcula el hamiltoniano para la cadena de dos atomos, H = H12.

-Calcula sus autovectores y autovalores.

En el apartado anterior habras encontrado tres autoestados de energıa E = 0, y uno conE = −J . esto se entiende por la simetrıa su(2) del modelo. En efecto, el operador de espıntotal es

~S ≡ 1

2(~σ ⊗ I + I⊗ ~σ) (4.150)

- Verifica con ~S el algebra de SU(2), [Si, Sj ] = 2iεijkSk. Verifica tambien que ~σ2 = 3I.- Muestra que H12, ~S2 y Sz forman un conjunto completo de observables que conmutan. Para

ello, muestra que

H12 =J

2

“~S2 − 2I⊗ I

”. (4.151)

Este resultado indica que podemos organizar los autoestados de H12 en representaciones |s , sz〉de SU(2) etiquetadas por autovalores de ~S2 y Sz, ~S2|s , sz〉 = s(s + 1)|s , sz〉, Sz|s , sz〉 =sz|s , sz〉. con sz = −s , . . . , s ; s = 0 , 1

- Calcula la energıa E del estado |s , sz〉, y asigna numeros s, sz a los autoestados halladosen la primera parte.

4.7.3.5 Puertas logicas cuanticas

Un elemento de C2 define un bit cuantico, o qubit. En el contexto de la teorıa cuantica dela informacion se suele adoptar la notacion |0〉, |1〉 para denotar la base computacional. Unordenador cuantico es un dispositivo que recibe, como “inputun cierto vector de V = ⊗nC2 ydevuelve, como “output.otro elemento del mismo espacio. En suma, un computador cuanticoimplementa fısicamente un operador unitario U : V → V .

La base de la teorıa de la computacion cuantica procura descomponer la accion mas generalU como una sucesion (composicion) de operaciones unitarias mas sencillas U = u1 · u2 · · · epllamadas puertas logicas. Se demuestra que, para realizar una tarea arbitraria U son suficientestres puertas logicas, dos de las cuales actuan sobre un solo qubit, y la tercera sobre 2 qubits.Para un solo qubit, las puertas logicas mas frecuentes son NOT→ UNOT, HADAMARD→ UH

y FASE → Uφ,

UNOT :

|0〉 → |1〉|1〉 → |0〉

69

UH :

(|0〉 → 1√

2(|0〉+ |1〉)

|1〉 → 1√2(|0〉 − |1〉)

Uφ :

|0〉 → |0〉|1〉 → eiφ|1〉

UH y Uφ, solo tienen sentido en el contexto de la informacion cuantica, ya que clasicamenteno tiene ningun significado una superposicion. La representacion grafica del circuito asociadoa estas puertas puede verse en la figura 1.1

x 1-xNOT

x

x

x

x

HUH

U

Figura 4.1: Puertas logicas de 1 qubit.

Actuando sobre dos qubits, las puerta logicas NO-CONTROLADA → UCNOT, y FASE-CONTROLADA → UCφ, ejecutan una negacion o una fase sobre el segundo qubit, condicio-nada a que el primero este en el estado |1〉.

x1

x2

x1

x2eix1x2

x1

x2

x1

x2x1 +

x1

x1

x2

x2

Figura 4.2: Puertas logicas de 2 qubit.

La puerta SWAP ejecuta una permutacion del valor de cada qubit. En la figura 1.2 vemoslos circuitos logicos asociados.

70

UCNOT :

8>><>>:|00〉 → |00〉|01〉 → |01〉|10〉 → |11〉|11〉 → |10〉

UCφ :

8>><>>:|00〉 → |00〉|01〉 → |01〉|10〉 → |10〉|11〉 → eiφ|11〉

USWAP :

8>><>>:|00〉 → |00〉|01〉 → |10〉|10〉 → |01〉|11〉 → |11〉

4.7.3.6 Operador Densidad Asociado a Un Sisema Bi-partitoNocion de traza parcial, y decoherencia.

71

Capıtulo 5

Elementos de GeometrıaDiferencial

5.1. Sistemas Generales de Coordenadas

En una variedad diferencial, la nocion de sistema local de coordenadas es instrumental. En generalnos encontraremos con una variedad diferencial arbitraria M de dimension D, dotada de un atlascoordenado Oα, xiαα=1,...,N . En la interseccion Oα ∩ Oβ tendremos las funciones de transicionxiβ = xiβ(xα).

M

Rd Rd

U U'

p

x1

x'2x2

x'1

xµ(p) x'µ(p)

xµ(x')

x'µ(x)

De modo que, por simplificar la notacion, dos sistemas de coordenadas cualesquiera xi y x′ise relacionan mediante un conjunto de D funciones arbitrarias

x′i = f i(x) i = 1, ..., D

72

Un requisito tecnico pero importante exige que el jacobiano no se anule

J =∣∣∣∣∂x′i∂xj

∣∣∣∣ =∣∣∣∣∂f i(x)∂xj

∣∣∣∣ 6= 0 .

lo cual es condicion necesaria y suficiente para que el cambio de coordenadas sea invertible

xi = f−1 i(x′) i = 1, ..., D

En terminologıa mas precisa, un cambio de coordenadas es un difeomorfismo f : RD → RD.

5.2. Espacio Tangente

Localmente una variedad diferencial M de dimensiones isomorfa a RD. Ello permite transportarla herramenta del calculo diferencial a entorno infinitesimal de un punto arbitrario.

5.2.1. Curvas

Una curva es una aplicacion de R en M

c : R → M

p → c(p) (5.1)

Si usamos coordenadas t ∈ (a, b) ⊂ R y xi ∈ U ⊂ M para un abierto U en M , entonces la curvaviene especificada por el conjunto de funciones coordenadas ϕ c : t→ xi(t).

t

a

b

xi(t)

c(t)

x1

x2

!

c

! o c

MR

Rd

5.2.1.1 Curvas coordenadas:Un caso importante es el conjunto de curvas que mantienen todas las coordenadas constantesmenos una. Por ejemplo, la curva coordenada asociada a x1 viene dada por

t→ (x1(t) = t, x2, ...., xD)

Y ası sucesivamente para x2(t) etc.

73

5.2.2. Funciones F(M)

Una funcion real φ ∈ F(M) es una aplicacion de M en R

φ : M → Rp → φ(p) (5.2)

Sean xi = ϕi(p) coordenadas para un abierto U ⊂M , entonces la funcion sobre M viene especifi-cada por la aplicacion xi → φ(ϕ−1(x)).La funcion coordenada es una funcion que asigna el valor de la coordenada k−esima a un punto p.5.2.2.1 Funciones coordenadasDado un abierto punto p perteneciente a un abierto (U,ϕ), el propio mapa coordenado φ = ϕi : p→xi = ϕi(p) = ϕi(ϕ−1(x)) puede considerarse como el primer ejemplo de funcion que denominamosfuncion coordenada.5.2.2.2 Funciones sobre curvas

f(p)

xi(p)

p

x1

x2

!

f

f o !"1

M R

Rd

Una curva c es una subvariedad de M , y por tanto la restriccion de φ a c es una funcion de R→ R.En coordenadas t, φ ∈ R

t→ φ(t) = φ(xi(t))

5.2.3. Vectores Tangentes

Un vector es un operador asociado a una curva c(t) en un punto p = c(t0). Este operador evaluacuanto cambian las funciones definidas sobre dicha curva a su paso por el punto p.

De manera abstracta sabemos la respuesta dφ(t)dt . Ocurre, sin embargo, que φ es una funcion de t a

traves de las coordenadas de la curva xi(t). Por tanto la operacion concreta que hay que realizarinvolucra la regla de la cadena

dφ

dt=dxi(t)dt

∂φ(x)∂xi

74

Como φ puede ser cualquier funcion, escribiremos la identidad operatorial

|V〉 ≡ d

dt=dxi(t)dt

∂

∂xi= V i(x(t))∂i (5.3)

Se dice que ~V es un vector tangente a la curva, y V i = dxi(t)/dt las componentes de dicho vector.La variacion de una funcion a lo largo de la curva viene dada por la accion del vector tangenteφ→ |V〉[φ].

Los vectores tangentes a las curvas coordenadas son precisamente las derivadas parciales |ei〉 = ∂i.Estos operadores forman una base del espacio de vectores tangentes a M en el punto p. Es decir,cualquier variacion se puede calcular como una combinacion lineal de variaciones a lo largo decurvas coordenadas.

El espacio vectorial de todos estos operadores se denomina Espacio Tangente a la variedad M enel punto p, Tp(M).5.2.3.1 Cambio de BaseEn la region de interseccion de dos abiertos U ∪ U ′ tenemos dos sistemas de coordenadas xi

y xi′

a disposicion. Las bases tangentes asociadas seran |ei〉 = ∂i = ∂/∂xi, y |ei′〉 = ∂i′ =∂/∂xi

′Claramente una funcion φ(p) admite una representacion coordenada en cada sistema de

coordenadasφ′(x′) = φ(x(x′))

Paralelamente, la evaluacion de |ei′〉(|ei〉) solo se puede hacer sobre la expresion de la izquierda(derecha). Ambas se relacionan mediante la regla de la cadena

|ei′〉[φ′] =∂φ′(x′)∂xi′

=dφ′(x′)dxi′

=dφ(x(x′)dxi′

=dxi

dxi′∂φ(x)∂xi

= Λii′ |ei〉[φ] (5.4)

Como φ es arbitraria, vemos que la matriz que define el cambio de base coordenada en el espaciotangente esta directamente correlacionada con el cambio de sistema de coordenadas

∂i′ = Λii′∂i ⇔ Λii′ =∂xi

∂xi′(5.5)

La invariancia de V = V i∂i = V i′∂i′ implica en la forma usual la regla de transformacion contra-

variante para las componentes V i′

= Λi′iV

i, donde las matrices Λi′i y Λii′ son, consistentemente,

inversas la una de la otra

Λii′Λi′

j =∂xi

∂xi′∂xi

′

∂xj=∂xi

∂xj= δij

Ejercicio 5.2.1 Considera la esfera S2 de radio unidad, definida como el conjunto depuntos (x, y, z) ∈ R3 sometidos a la ligadura x2 +y2 +z2 = 1. Considera el mapa estereograficoϕ : U± = S2/(0, 0,∓1)→ R2.

ϕ+ : (x, y, z) ∈ U+ −→ (x1+, x

2+) =

„x

1 + z(x, y),

y

1 + z(x, y)

«∈ R2

ϕ− : (x, y, z) ∈ U− −→ (x1−, x

2−) =

„x

1− z(x, y),

y

1− z(x, y)

«∈ R2

Halla las funciones de transicion xi± = xi±(x∓). Dibuja las curvas coordenadas x1+ y x2

+ yhalla las componentes de una base coordenada tangente en la otra y viceversa.

75

5.2.3.2 Campo Vectorial

El espacio tangente, Tp(M), es una nocion ligada a un punto p. Un campo vectorial es una eleccionde un elemento de cada espacio tagente, de manera que el resultado sea continuo y diferenciable.

De manera practica, basta con contar con coordenadas xi en un abierto U ⊂ M , y dejar que lascomponentes V i que especifican un vector en cada punto sean funciones continuas y diferenciablesde xi

|V〉 = V i(x)∂i (5.6)

donde ahora xi = xi(p) y p recorre todo el abierto U . El cambio de coordenadas xi → xi′(x) ahora

afecta tambien al argumento de las funciones V i

V i′(x′(x)) = Λi

′

i(x)V i(x)

Advertencia: El espacio tangente Tp(M) tiene dimension finita, igual a la dimension de M . Porcontra, el espacio T (M) tiene dimension infinita, puesto que las componentes de un campo vectorialson funciones V i(x) ∈ F(M).

5.3. Tensores Generales

5.3.1. Co-Vectores Tangentes

Al espacio vectorial Tp(M) le esta asociado, de forma natural, un espacio dual, T ∗p (M), cuyoselementos son 1-formas lineales sobre Tp(M)

〈w| : Tp(M) → R|V〉 → 〈w|V〉 = a (5.7)

La base canonica dual 〈ei|, verifica〈ei|ej〉 = δij

Un co-vector tangente admitira por tanto una expansion en una base coordenada 〈w| = wi〈dxi|de forma que el producto dual con un vector arbitrario viene dado por la contraccion natural decomponentes.

a = 〈w|v〉 = wivj〈dxi|∂j〉 = wiV

jδij = wivi

5.3.1.1 Campos de 1-formas:Al igual que los campos vectoriales, la extension de componentes wi a funciones wi(x) sobre Mpermite definir un campo de 1-formas w = wi(x)dxi ∈ T ∗(M).5.3.1.2 El gradienteSea un campo vectorial |V〉 ∈ T (M). En un punto arbitrario p ∈ M tenemos dos maneras deproducir un numero. Por un lado podemos hacer actuar V sobre una funcion f ∈ F(M) paraobtener V [f ], su variacion a lo largo de la curva a la que V es tangente en ese punto. Por otrolado, podrıamos escoger un elemento de 〈w| ∈ T ∗(M) y efectuar la contraccion 〈w|V〉. Definimosla 1-forma gradiente de f , que denotamos 〈df |, como aquella 1-forma que verifica

〈df |V〉 = V[f ] (5.8)

para todo campo vectorial V.

76

En un sistema de coordenadas, podemos expandir 〈df | = ∂if(x)〈dxi| y V = V j(x)|∂j〉 y encontra-mos coincidencia

〈df |V〉 = ∂if(x)V i = (V i∂i)f(x) = V[f ] (5.9)

En particular, lo propios elementos de la base co-tangente 〈dxi| son las 1-formas gradiente de lasfunciones coordenadas f(p) = xi(p).

5.3.2. Tensores de Rango (p, q)

Fijemos coordenadas xi para nuestra variedad ( o un abierto de ella), entonces en cada punto labase coordenada ∂/∂xi es un conjunto de elementos de TxM . Analogamente, una combinacionlineal dependiente del punto, en la forma V = V i(x)∂/∂xi sera un campo vectorial si y solo silas funciones V i(x) son C∞. De forma general, un sistema de coordenadas define una base dedimension Dp+q para el espacio de campos tensoriales TxMp

q en cada punto x.

∂

∂xi1⊗ ...⊗ ∂

∂xip⊗ dxj1 ⊗ ...⊗ dxjq (5.10)

Un campo tensorial involucra otras tantas funciones componentes T i1...ip j1...jq (x).

T = T i1...ip j1...jq (x)∂

∂xi1⊗ ...⊗ ∂

∂xip⊗ dxj1 ⊗ ...⊗ dxjq (5.11)

donde, evidentemente hay que comparar ambos miembros en el mismo sistema de coordenadas,bien sea sustituyendo x′ = x′(x) en la izquierda, o bien, x = x(x′) en la derecha.

Advertencia: La denominacion “tensores generales”, hace referencia a que no hay restriccion al-guna sobre los cambio de coordenadas x → x′(x) (a parte de los naturales que implican la no-degeneracion y continuidad). Por defecto, cuando se omita el calificativo, se entendera que untensor es general, mientra que cuando tratemos con transformaciones restringidas de coordenadas,hablaremos de tensores minkowskianos, o tensores de rotaciones, o galileanos, etc.

5.4. Flujos y Derivadas de Lie

5.4.1. Curva Integral

5.4.1.1 Curva Integral

Sea V un campo vectorial sobre una variedad M . Una curva xi(t) sera curva integral del campovectorial V si en todo punto sobre la misma, el vector tangente y el representante del campocoinciden. En una base coordenada podemos expandir el campo V = V i(x)∂i. Sobre un punto enla curva, el vector tangente a la curva d

dt = dxi(t)dt ∂i. xi(t) sera una curva integral si se cumple la

ecuacion diferencial de ordinariadxi(t)dt

= V i(x(t)) (5.13)

Dada una condicion inicial xi(0) = xi0, la teorıa general de ecuaciones diferenciales ordinariasasegura la existencia y unicidad de la solucion en un entorno suficientemente pequeno de xi0.5.4.1.2 Flujo

77

Dado un campo vectorial V ∈ T (M), el flujo asociado es la congruencia de curvas integrales delcampo. La forma coordenada de un flujo es una aplicacion σ

σ : R×M → M (5.14)(t, x0) → σi(t, x0) (5.15)

tal que, para cada x0, σi(t, x0) son las coordenadas de una curva integral que pasa por x0

dσi(t, x0)dt

= V i(t, x0) (5.16)

5.4.1.3 Mapa Exponencial

Dado un campo vectorial V ∈ T (M), ¿existe alguna manera de reconstruir el flujo asociado σi(t, x)?Para cualquier curva xi(t), f(t) = f(xi(t)) es una funcion sobre dicha curva. En una vecindad deun origen t0 podemos expandir en serie de Taylor y obtener

f(t) = f(t0) + tdf(t)dt

∣∣∣∣t0

+t2

2d2f(t)dt2

∣∣∣∣t0

+ ...

Si xi(t) es una curva integral, verifica (5.13). Entonces

df(t)dt

∣∣∣∣t0

=dxi(t)dt

∣∣∣∣t0

∂f(x)∂xi

∣∣∣∣∣x=x(t0)

≡ V[f ]∣∣∣∣x(t0)

y podemos rescribir la serie de Taylor formalmente como

f(t) =(

1 + tV +t2

2V2 +

t3

3!V3 + ....

)f(x)

∣∣∣∣x=x(t0)

= etVf(x)∣∣∣∣x=x(t0)

(5.17)

Un caso particular se obtiene para cualquiera de las funciones coordenada f(x) = xi. Entonces,dada la condicion inicial f(t0) = xi(t0) = x0 la expansion anterior reconstruye la curva del flujoque pasa por este punto

xi(t) = σi(t, x0) = etVxi∣∣∣∣x=x0

(5.18)

Ejercicio 5.4.1 Sea M = R2, y V = −y∂x + x∂y. Demostrar que las curvas integrales soncircunferencias.

Ejercicio 5.4.2 Demostrar que la solucion a (5.18) satisface la ecuacion las curvas integralesde V

78

5.4.2. Flujo de Lie

5.4.2.1 Arrastre de LieDefinamos σt ≡ σ(t, ·) a t donde t esta fijo.

σt : M → M

xi → σi(t, x) = σit(x) (5.19)

σt es un difeomorfismo activo de M que mueve cada punto xi a otro punto x′i = σit(x) una“distancia”t a lo largo del flujo integral del campo V. Si consideramos ahora t ∈ R, el conjunto detodos los σt forma un grupo conmutativo, isomorfo (localmente) al grupo aditivo de los reales R.

(i) σt · σs = σt+s

(ii) σ0 = 1

(iii) σ−t = σ−1

5.4.2.2 Flujo de LieEl difeomorfismo σt, asociado al flujo integral de un campo vectorial V es una transformacionactiva que induce un movimiento en todos los objetos geometricos que podemos definir sobre M .Dicho movimiento recibe el nombre de arrastre de Lie.5.4.2.3 FuncionesEl arrastre de Lie de una funcion actua solamente sobre el argumento. El valor de la nueva funcionφ′(x) ≡ (σtφ)(x) en un punto x coincide con el de la antigua en el punto correspondiente a lapreimagen de x, σ−1

t (x),

σt : F(M) → F(M)φ(x) → (σtφ)(x) = φ(σ−1

t (x) (5.20)

Equivalentemente podemos escribir

(σtφ)(σt(x)) = φ(x)

5.4.2.4 Campos Vectoriales

Tomemos un campo vectorial W = W i(x)∂i. El arrastre de Lie de W a lo largo de V define unnuevo campo vectorial

σt∗ : W → W

W → σt∗W (5.21)

dado, en coordenadas xi, por la expresion

(σt∗W )i(x) =∂σi(t, x)∂xj

W j(σ−1t (x)) (5.22)

5.4.3. Derivada de Lie

5.4.3.1 Flujo de Lie Infinitesimal

79

Sea t = ε << 1. Entonces el difeomorfismos es infinitesimal y puede aproximarse por

xi → x′i = σiε(x) = σi(ε, x)

= σi(0, x) + εdσi(t, x)

dt

∣∣∣∣t=0

+ ...

= xi + εV i(x) + ... (5.23)

En conclusion, un difeomorfismo infinitesimal σε(x) inducido por el flujo σ(t, x) asociado a uncampo vectorial V, consiste en una traslacion de la coordenada xi por una cantidad εV i(x)5.4.3.2 Derivada de Lie de una funcionLa derivada de Lie de una funcion f(x) con respecto a un campo vectorial V se define a traves dellımite

LV(φ) = lımε→0

1ε

(φ− (σεφ)

)(5.24)

Haciendo uso de (5.20) escribimos, en coordenadas xi

LV(φ)(x) = lımε→0

1ε

(φ(x)− φ(σ−1

ε x))

= lımε→0

1ε

(φ(x)− φ(x− εV + ...))

= V i∂

∂xiφ(x(p)) + ...

= V[φ](x) (5.25)

donde hemos omitido terminos de ordenO(ε2). Por tanto, la derivada de Lie de una funcion coincidecon la accion del campo vectorial sobre la funcion en cada punto.5.4.3.3 Derivada de Lie de un campo vectorialAnalogamente, podemos definir el cociente incremental

LVW = lımε→0

1ε

(W − σ∗εW) (5.26)

En coordenadas

(σε∗W )i(x) =∂σi(ε, x)∂xj

W j(σ−1ε (x))

=∂(xi + εV i(x) + ...)

∂xjW j(x− εV + ...)

= (δij + ε∂jVi(x) + ...)(W j(x)− εV k∂kW j + ...)

= W i(x) + ε(W j∂jVi − V j∂jW i)(x) +O(ε2) (5.27)

por tantoLV[W]i(x) = (V j∂jW i −W j∂jV

i)(x) (5.28)

5.4.3.4 Corchete de LieDados dos campos vectoriales V y W, se define el corchete de Lie [V , W] como un nuevo campovectorial Z tal que, para toda funcion f ∈ F(M)

Z[f ] = [V , W] [f ] = V[W[f ]]−W[V[f ]] (5.29)

Mediante un simple calculo en componentes se demuestra la siguiente identidad

LV[W] = [V,W] (5.30)

80

Capıtulo 6

Grupos: Definicion y Propiedades

6.1. Definicion de Grupo

Definicion 6.1.1 Un grupo es un conjunto de elementos g1, g2, · · · dotados deuna ley de composicion (multiplicacion), que a cada par ordenado gi, gj ∈ G le asignaotro elemento gigj de forma que se satisfacen las siguientes propiedadesG0. (cierre) La ley de composicion es interna, es decir, si gi, gj ∈ G, entonces gigj ∈

G.G1. (asociatividad). Para todo gi, gj , gk ∈ G

gi(gjgk) = (gigj)gk. (6.1)

G2. (elemento unidad). Existe un unico elemento, denotado usualmente e, con la pro-piedad de que ∀gi ∈ G

egi = gie = gi. (6.2)

G3. (elemento inverso). Para cada gi existe un unico elemento g−1i tal que

g−1i gi = gig

−1i = e. (6.3)

6.1.0.5 Dado un grupo, podemos ampliarlo a un algebra. Un algebra es un conjunto deelemento que forman un espacio vectorial sobre un cuerpo (por ejemplo R o C ), de formaque , junto a la adicion se define una operacion de multiplicacion que verifica los postuladosque definen un grupo, excepto que el cero del algebra no tiene inverso. Ası por ejemplo, dadoun grupo G con elementos gi (i = 1, ..., h), las combinaciones lineales

Phi=1 cigi, de elementos

del grupo con coeficientes en el cuerpo, forman el algebra del grupo. El producto se define pordistributividad como

hXi=1

cigi

! hXj=1

cjgj

!=

hXi=1

hXj=1

cicjgigj (6.4)

que por ser gigj un elemento del grupo, es un nuevo elemento del algebra.

6.1.0.6 La multiplicacion en general no es conmutativa; es decir, en general gigj 6= gjgi. Decimosde un grupo que es abeliano cuando gigj = gjgi para todo par gi, gj .6.1.0.7 El numero de elementos de G se denomina orden de G, y se designa como O(G). Si elorden es un numero finito, decimos que G es un grupo finito.

81

6.1.0.7 Ejemplos.

Vamos a enunciar algunos ejemplos a tıtulo ilustrativo, omitiendo otros ası mismo importantes queseran objeto mas adelante de un estudio detallado.

1. Q+. El conjunto de todos los numeros reales estrictamente positivos. La ley de composicion esla multiplicacion ordinaria. Este grupo es abeliano y el orden es ∞.

2. Zn. Enteros modulo n. Con ley de composicion: la adicion (mod n) tiene orden n y es abeliano.

3. Sn. Permutaciones de n objetos donde la multiplicacion es la simple composicion de permuta-ciones sucesivas. Este grupo es en general no abeliano, y su cardinalidad es n.

4. GL(N,R). El grupo lineal, GL(N,R) tiene por elementos todas las matrices de orden N ×Ncon valores reales y determinante no nulo. Analogamente se define GL(N,C), el grupo dematrices complejas.

5. Fn. El grupo libre de n generadores. Consiste en “palabras” construidas con n generadores(“letras”) independientes x1, ..., xn y sus inversos

Fn = xp1i1xp2i2...xpmim | m entero no-negativo, ij ∈ 1, ..., n, pj ∈ Z, (6.5)

xij−1 6= xij 6= xij+1 (6.6)

Por ejemplo x2x1x32 ∈ Fn. Cuando m = 0 la palabra es el elemento identidad e. Dos

palabras se “multiplican” escribiendolas a continuacion unas de otras, y combinando los ex-ponentes cuando aparezcan “letrascontıguas iguales. Por ejemplo, (x2x

21x2x

−21 )(x2

1x−22 x−2

1 ) =x2x

21x−12 x−2

1 .

6.1.0.7 Contraejemplos.

Los axiomas de grupo son mas restrictivos de lo que se pueda pensar a simple vista. Para elloenunciamos a continuacion unos cuantos contraejemplos.

1. Z.: Enteros con ley de composicion la multiplicacion numerica. Evidentemente el conjunto nocontiene los inversos 1/n de todos los elementos (salvo n = 1 ).

2. R.”Los numeros reales bajo multiplicacion satisfacen todos los axiomas, excepto que el elemento0 no tiene inverso. Sı es un grupo, sin embargo, con respecto a la adicion.

3. Q−. Entre los racionales negativos, la multiplicacion no es una operacion interna.

6.2. La Estructura de los Grupos

6.2.1. Clases de Conjugacion

6.2.1.1 Aunque, dados unos elementos g, g1 y g2 de un grupo, la igualdad gg1 = gg2 implica queg1 = g2 sin mas que multiplicar por g−1 por la izquierda. Sin embargo, nada impide que gg1 = g2gcon g2 6= g1. En este caso decimos que g2 y g1 son elementos conjugados mediante g. Multiplicandopor la derecha por g−1 llegamos a la siguiente caracterizacion:

Definicion 6.2.1 Dos elementos g1 y g2 de un grupo G son conjugados si existe untercer elemento g−1 tal que g2 = gg1g

−1. Decimos de g que es el elemento conjugante.

82

6.2.1.2 En los casos en que se definen los elementos de un grupo como transformaciones linealessobre un cierto espacio vectorial, la equivalencia bajo conjugacion surge de la ambiguedad queexiste a la hora de escoger la base de dicho espacio vectorial. Precisaremos este comentario en elcapıtulo siguiente, con un ejemplo explıcito en el grupo Sn.6.2.1.3 La relacion de conjugacion entre dos o mas elementos, es una relacion de equivalencia ∼.Efectivamente podemos verificar que se cumplen las propiedades

(i) reflexiva a ∼ a, en virtud de que a = ea = ae.

(ii) simetrica a = gbg−1 ⇒ b = gag−1.

(iii) transitiva a = gbg−1 y b = hch−1,⇒ a = (gh)c(gh)−1.

6.2.1.4 Dada una relacion de equivalencia, la clase de equivalencia de un elemento a, escrita (a),se define por:

(a) = b|b ∼ a. (6.7)

Podemos da una expresion ma constructiva, tomanto un representante y conjugandolo mediantetodos los elementos del grupo

(a) = b = gag−1 ∀g ∈ G (6.8)

De las propiedades de ∼ se sigue que la subdivision de un conjunto en clases de equivalencia esuna particion en subconjuntos disjuntos. Efectivamente, todo elemento pertenece a alguna clasede equivalencia por la propiedad reflexiva, a ∼ a⇒ (a) = a. Ademas, dos clases de equivalenciason disjuntas o coinciden, ya que, supongamos que dos clases (a) y (b) tienen algun elemento c encomun , entonces por transitividad a ∼ c y b ∼ c implica que a ∼ b por lo que (a) = (b). Comosabemos que la propiedad de conjugacion es una relacion de equivalencia, todo grupo G admiteuna descomposicion en clases de conjugacion:

G = ∪i (gi) (6.9)

6.2.1.5 Logicamente el numero de clases de conjugacion es menor que el orden del grupo. Soloen un grupo abeliano, cada elemento es a la vez toda una clase de conjugacion puesto que a =gbg−1 = gg−1b = b.

6.2.2. Subgrupos

Definicion 6.2.2 Un subgrupo H de un grupo G es un subconjunto de G que a suvez forma un grupo bajo la misma ley de composicion de G.

6.2.2.1 Cuando G es finito, una definicion equivalente afirma que H es un subgrupo de G cuandoes cerrado (G0) bajo la ley de composicion de G:

∀h1, h2 ∈ H ⊂ G⇒ h1h2 ∈ H. (6.10)

La asociatividad es una propiedad heredada de G, y la existencia de la identidad y del inverso enH se deducen de la propiedad de cierre y de la finitud de H. En efecto, si G es de orden finito,para cada elemento h ∈ H existe un entero r tal que hr = h. Por tanto hr−1 = e y hr−2 = h−1

como pretendıamos probar.En todo grupo G hay dos ejemplos triviales, que son H = e y H = G; Cualquier subgrupo queno sea (sı sea) H = G se denomina subgrupo propio (impropio).

83

6.2.3. Coset

6.2.3.1 Dados un elemento g ∈ G, y un subgrupo H = h1, h2, ..., de un grupo G, el coset (porla izquierda) de g, se escribe gH y consiste en el conjunto de elementos obtenidos al multiplicar gpor todos los elementos de H

gH ≡ gh1, gh2, .... (6.11)

6.2.3.2 La pertenencia de dos elementos a un mismo coset define de nuevo una relacion deequivalencia. Escribimos que

a ∼ b si b ∈ aH, (6.12)

y verificamos las propiedades

(i) (reflexiva) a ∈ aH porque a = ae.

(ii) (simetrica) b ∈ aH ⇒ b = ah ⇒ a = bh−1 ⇒ a ∈ bH.

(iii) (transitiva) b ∈ aH y c ∈ aH ⇒ b = ah y c = ah′ ası que c = bh−1h′ = bh′′ i.e. c ∈ bH.

6.2.3.3 Espacio Cociente G/HEn consecuencia, los cosets son clases de equivalencia y, automaticamente, la division en cosets esuna particion disjunta de G. Si G es un grupo finito podemos enumerar los cosets distintos en laforma G/H = g1H = eH, g2H, ..., gsH por ejemplo.6.2.3.4 Teorema de LagrangeEn un grupo finito G de orden O(G), cada coset gH contiene el mismo numero de elementos r, quecoincide con el orden O(H) del subgrupo H. Esto es evidente porque no es posible que gh1 = gh2

para h1 6= h2. Como hemos visto que la relacion que definen los cosets, produce una particiondisjunta de G, todos los elementos de este se agrupan en s cosets, todos del mismo orden O(H).Es decir

O(G) = sO(H). (6.13)

Llegamos de esta manera al siguiente teorema: en un grupo finito G el orden de cualquier subgrupoH ⊂ G es un divisor del orden de G.

6.2.4. Subgrupos Normales

Definicion 6.2.3 Un subgrupo normal, es un subgrupo H que verifica

gHg−1 = H ∀g ∈ G. (6.14)

A los subgrupo normales tambien se les llama auto-conjugados debido a la propiedad 6.14.Una definicion alternativa es la de que los subgrupos normales estan compuestos de clases deconjugacion completas, ya que ∀h ∈ H ⇒ ghg−1 = h′ ∈ H.Otra forma de decir lo mismo es aquella segun la cual un subgrupo normal tiene la propiedad deque sus cosets por la izquierda y por la derecha coinciden,

gH = Hg. (6.15)

Por ejemplo, en un grupo abeliano, cada elemento es una clase de conjugacion, por tanto cualquiersubgrupo es automaticamente normal.6.2.4.1 Grupo SimpleDecimos que un grupo es simple si no posee ningun subgrupo normal propio.

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6.2.5. Grupo Cociente

Como ya sabemos, el conjunto coset G/H define una particion disjunta de G cuyos elementos (co-sets) denotamos simbolicamente mediante un representante (giH). Podemos preguntarnos si G/Hes a su vez un grupo, y para ello debemos disenar una operacion interna que satisfaga los axiomasde grupo, (g1H)(g2H) = (g3H). Si empezamos probando con la simple multiplicacion definida enG escribiremos (g1H)(g2H) ∼ g1h1g2h2 = g3h3. Esta ecuacion siempre tiene solucion aunque engeneral no sera g3 = g1g2. Lo importante es que el producto de las clases sea independiente delos representantes escogidos. La situacion se simplifica cuando H es un subgrupo normal, ya queentonces, de la propia definicion se sigue

(g1H)(g2H) ∼ g1Hg2H = g1g2H2 = g1g2H = g3H ∼ (g3H) (6.16)

6.2.5.1 En conclusion, cuando H es un subgrupo normal, la regla de composicion entre cosetses consistente y simplemente se reduce a (g1H)(g2H) = (g1g2H). Ademas es sencillo verificar quetodas las propiedades G0, ...., G3 se heredan de las del propio grupo G. En consecuencia podemosconcluir, que el conjunto de cosets giH admite una estructura de grupo cuando H es un subgruponormal. Llamamos a este grupo: grupo cociente G/H.

6.2.6. Producto Directo

Definicion 6.2.4 Decimos que un grupo G es el producto directo de dos subgruposA y B, G = A×B, cuando

(i) todos los elementos de A conmutan con todos los de B.

(ii) todo elemento de G admite una expresion unica en la forma g = ab, donde a ∈ Ay b ∈ B.

Esta definicion se generaliza directamente al producto de n subgrupos G = A×B × ...× J .6.2.6.1 De la propia definicion se siguen algunas propiedades:

el unico elemento que tienen A y B en comun es la identidad

el producto de dos elementos g1 = a1b1 y g2 = a2b2 viene dado por

g1g2 = (a1b1)(a2b2) = a1b1a2b2 = a1a2b1b2 = (a1a2)(b1b2) (6.17)

es decir la multiplicacion separada de las componentes a y b entre sı .

Los grupos A y B son subgrupo normales de G. Que son subgrupos es evidente entendiendo,por ejemplo, los elementos a ∈ A como aeb ∈ G con eb el elemento neutro de B. Por ultimoestos subgrupos son normales porque para cualquier g = ab ∈ G

gaig−1 = abaib

−1a−1 = aaia−1 ∈ A ,∀ai ∈ A. (6.18)

Los grupos cociente G/B y G/A son isomorfos a A y B respectivamente. Los elementosde G/B son cosets de la forma a1B, a2B, ...arB y todos estos cosets son distintos ya quesupongamos que a1b1 = a2b2, violarıamos el requisito (ii) de la definicion de producto directo.Por ultimo, ademas de ser 1:1 la aplicacion G/B 7→ A tal que aiB 7→ ai, es un homomorfismo,y esto se basa en la propiedad de subgrupo normal de B, que implica la ley de multiplicacion(a1B)(a2B) = a1a2B 7→ a1a2.

85

6.2.7. Centro de un Grupo

Definicion 6.2.5 El centro Z, de un grupo G se define como el subconjunto deelementos z, que conmutan con todos los elemento del grupo.

Z = z ∈ G| zg = gz ∀g ∈ G. (6.19)

6.2.7.1 Claramente es un subgrupo, como se demuestra facilmente. Ademas, evidentemente Zes un subgrupo abeliano y, por tanto, un subgrupo normal, dado que cada elemento z ∈ Z es unaclase de conjugacion completa, z = gzg−1.

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Capıtulo 7

Grupos Finitos

Un grupo con un numero finito de elementos se llama grupo finito; el numero de elementos es elorden del grupo.7.0.7.2 La forma mas inmediata de representar un grupo finito consiste en mostrar su tabla demultiplicacion, tambien llamada cuadrado latino. Por ejemplo el grupo cıclico C3 es el conjunto de3 elementos e, b, c dotados de la tabla de multiplicacion siguiente

e b ce e b cb b c ec c e b

Es evidente que, de los axiomas, se sigue que no puede haber repeticion de un mismo elemento enuna misma fila ni columna. Supongamos que se produjese lo contrario, es decir que en una ciertatabla encontrasemos que por un lado gg2 = g4 y, por otro, gg3 = g4 tambien. Por la unicidaddel inverso podemos multiplicar por g−1 por la izquierda y obtener que g2 = g3 = g−1g4. Sinembargo no toda tabla que satisfaga este requisito corresponde a un grupo finito, y la propiedadde asociatividad ha de verificarse separadamente.7.0.7.3 Aunque precisa, la forma anterior de caracterizar un grupo es engorrosa para gruposfinitos de orden alto. Otra manera comunmente utilizada para determinar un grupo finito consisteen especificar su presentacion. Una presentacion viene dada por un conjunto de generadores y unconjunto de relaciones entre ellos. Por ejemplo, la presentacion de un grupo abeliano debera incluiruna identificacion de elementos ab = ba para cualesquiera a, b.

Teorema 7.0.1 Cualquier grupo finito G, puede ser presentado como un grupo Fnlibre, modulo ciertas relaciones de la forma R1(x1, ..., xn) = ... = Rp(x1, ..., xn) = e.En este caso escribimos

G = | x1, x2, ...xn;R1(x1, ..., xn) = ... = Rp(x1, ..., xn) = e |. (7.1)

No vamos a dar una prueba de este teorema pero lo ilustraremos con algunos ejemplos.

7.1. El Grupo Cıclico Cn

Definicion 7.1.1 Cn es el grupo de transformaciones de simetrıa de un polıgonoregular con n lados y direccionado.

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Por “direccionado.entendemos que el polıgono lleva asociado un sentido de recorrido alrededor desu perımetro. Los elementos del grupo son rotaciones discretas de angulo 2πr/n (r = 0, 1, 2, ..., n−1), alrededor de un eje de rotacion que atraviesa el centro de gravedad del polıgono en sentidoperpendicular al plano de la figura.7.1.0.4 Presentacion de CnLlamando a estos elementos crn, es evidente que podemos obtener este elemento a partir de unarotacion elemental c1n ≡ c, es decir

crn = cr. (7.2)

En principio, el grupo esta generado por potencias arbitrariamente altas de esta operacion ele-mental, c. Sin embargo, notemos que el grupo es finito debido a que una rotacion de angulo 2π esequivalente a la identidad

cn = e (7.3)

Podemos por tanto definir matematicamente el grupo cıclico de orden n como el grupo de elementosgenerados por c, consistente en elementos e, c, c2, ..., cn−1. Su presentacion es la mas sencilla

Cn = | e, c ; cn = e. | (7.4)

7.1.0.5 Obviamente se trata de un grupo Abeliano, ya que

crcs = cr+s = cs+r = cscr, (7.5)

y de hecho es isomorfo al grupo Zn, del ejemplo 2 mas arriba. La correspondencia es 1 : 1 de laforma

cr ∈ Cn ↔ r ∈ Zn. (7.6)

y esta correspondencia es un homomorfismo, es decir preserva las operaciones respectivas en ambosconjuntos.Como sabemos, al tratarse de un grupo abeliano, cada elemento constituye por sı mismo una clasede conjugacion.7.1.0.6 El grupo C6 nos brinda la oportunidad de dar un ejemplo de producto directo de sub-grupos, C6 = A×B donde

A : e, c2, c4 ∼ C3

B : e, c3 ∼ C2.(7.7)

Todo elemento de C6 se escribe en forma unica como un producto de elementos de A y de B, quepor ser abelianos, son normales. Por tanto C6 no es simple.

7.2. El Grupo Dihedrico Dn

:

Definicion 7.2.1 Dn es el grupo de transformaciones de simetrıa de un polıgonoregular, no direccionado, con n lados.

Vamos a estudiar en detalle D3 y D4, y a partir de este estudio veremos como es facil generalizara Dn.

88

7.2.1. El grupo D3

7.2.1.1 Este grupo contiene obviamente los elementos e, c, c2 del grupo cıclico C3. Ahora, alno tener que preservar ninguna direccionalidad, encontramos tres nuevas operaciones de simetrıaen los giros de 180 grados en torno a los ejes Ox, Oy y Oz. Llamamos a estas operaciones, x, y yz respectivamente. Estas operaciones satisfacen x2 = y2 = z2 = e, es decir son elementos de C2,rotaciones de orden 2.

A B

C

xy

z

O

Figura 7.1: Triangulo equilatero sin direccionar, sobre el que actuan los elementos del grupo D3

Vamos a intentar encontrar una presentacion de este grupo. Para ello observemos que si seleccio-namos los elementos c y x se verifican las siguientes identidades

y = xc (7.8)z = xc2 = xc−1 (7.9)

Concretamente, en forma canonica los elementos son

D3 = e, c, c2, x, xc, xc2. (7.10)

7.2.1.2 Presentacion de D3

Podemos afirmar por tanto que el grupo D3 esta generado por los elementos c y x solamente, puestoque todos los demas pueden obtenerse a partir de estos. Intentarıamos escribir una presentacioncomo sigue

D3 = | c, x ; c3 = x2 = e | (7.11)

Podemos ver que cualquier elemento escrito en forma canonica xmcn puede ser identificado me-diante estas relaciones. Efectivamente, sea por ejemplo x5c8; efectuando las reducciones modulo2 y modulo 3 sobre los exponentes de x y c respectivamente llegamos a la expresion equivalentexc2 = xc−1 = z. Para tratar expresiones en las que aparecen c a la izquierda de x, por ejem-plo cx5c6 debemos encontrar una relacion que permita pasar a la forma canonica. Partiendo dey2 = (xc)2 = xcxc = e podemos multiplicar por x por la izquierda y por c2 por la derecha paraencontrar

cx = xc2 (7.12)

Analizando de esta manera la conjugacion de x mediante c o c−1 encontramos otra representacionpara y y z.

y = xc = cxc−1 (7.13)z = xc2 = xc5 = c2xc = c−1xc. (7.14)

89

Finalmente podemos escribir que D3 es el grupo generado por dos elementos x y c con las relacionessiguientes

D3 = | c, x ; c3 = x2 = (xc)2 = e | (7.15)

7.2.1.3 Clases de conjugacionLas clases de conjugacion de D3 son faciles de hallar.• (e) esto siempre es ası porque geg−1 = e.• (c, c2) al conjugar por x las 2 x’s se aniquilan, xcx−1 = xcx = x2c2 = c2.• (x, xc, xc2) (x, y, z) ya que al conjugar por c o x siempre sobrevive una x.

7.2.1.4 Subgrupos

Por lo que respecta a los subgrupos, claramente D3 tiene un subgrupo isomorfo a C3, e, c, c2, y3 subgrupos isomorfos a C2, e, x, e, y, e, z.Mencionemos que C2 = e, x no es un subgrupo normal ya que la clase de conjugacion de xcontiene x, xc, xc2. Por el contrario, C3 = e, c, c2, al ser abeliano, sı es normal, como hemosvisto en la seccion anterior.7.2.1.5 CosetsSi tomamos H = e, x encontramos la siguiente particion en cosets

eH = H = e, xcH = c, cx = c, xc2 = c, zc2H = c2, c2x = c2, xc = c2, y

(7.16)

El representante que tomemos de cada coset es irrelevante como el lector puede comprobar, y esigual escribir eH que xH, o cH que zH, o c2H que yH.

Ejercicio 7.2.1 Verifica que cuando H = e, c, c2 el conjunto G/H forma un grupo cocienteisomorfo al subgrupo e, x. Comprobar que, por el contrario, cuando H = e, x, G/H no es ungrupo.

7.2.2. El grupo D4

7.2.2.1 En este caso c es una rotacion elemental de 90 grados, y por tanto satisface c4 = e. Ahoravemos que, al igual que en el caso anterior tenemos simetrıas adicionales en las rotaciones de 180grados alrededor de 4 posibles ejes: x alrededor de Ox, y alrededor de Oy, a alrededor de OD y dalrededor de OA. De nuevo, todo el grupo puede ser generado por dos operaciones fundamentales|c, x con c4 = x2 = e|.

ad

x

y

A B

CD

O

Figura 7.2: Cuadrado sin direccionar, sobre el que actuan los elementos del grupo D4

90

7.2.2.2 Para ver que elementos surgen del producto mixto xmcn no queda otra alternativa quecalcularlos. Obtenemos ası la tabla siguiente:

d = xc (7.17)y = xc2 (7.18)a = xc3 (7.19)

(7.20)

La relacion adicional es simplemente a2 = (xc)2 = e y, nuevamente, multiplicando por x por laizquierda y por c3 por la derecha encontramos

cx = xc3 (7.21)

En particular esto permite identificar los elementos conjugados por c. Por ejemplo cxc−1 = xc2 = y,cdc−1 = cxc2 = xc = a como es natural, del hecho de que los ejes asociados son los relacionadospor c. Tenemos por tanto que

D4 = | e, c, x ; c4 = x2 = (xc)2 = e |. (7.22)

7.2.3. El grupo Dn

7.2.3.1 La generalizacion deberıa estar ahora clara. El grupo Dn es el conjunto de simetrıas deun polıgono regular de n lados, y esta generado por una rotacion de orden n alrededor de un ejeperpendicular al plano del polıgono, y por una cualquiera de las n rotaciones binarias en torno acualquier eje de simetrıa en el propio plano y su presentacion es la siguiente.

Dn = | c, x ; cn = x2 = (xc)2 = e |. (7.23)

7.2.3.2 Con respecto los subgrupos, la estructura es similar, y tenemos un subgrupo isomorfo aCn,e, c, ..., cn−1, y n subgrupos binarios isomorfos a C2, e, x, e, xc, ..., e, xcn−1. Solamenteel primero de ellos constituye un subgrupo normal.

Ejercicio 7.2.2 (i)Halla las clases de conjugacion de Dn.

(ii) ¿Cual es la estructura del grupo cociente Dn/Cn? ¿Es Dn = (Dn/Cn)× Cn ?

7.3. El Grupo Simetrico Sn.

Los elementos de Sn son las posibles permutaciones o sustituciones de n elementos, o de los ındicesque los etiquetan, y contiene por tanto n! elementos. La multiplicacion es la simple aplicacionsucesiva, con lo que el axioma de asociatividad se satisface trivialmente. El orden de Sn es eviden-temente n!Un elemento generico se puede escribir en la forma canonica

p =(

1 2 ... np(1) p(2) ... p(n)

). (7.24)

e indica que el ındice i es cambiado por el ındice p(i). Esta notacion tiene la ventaja de que el ordende las columnas es irrelevante, siendo importante solo el emparejamiento vertical de elementos.

91

7.3.0.3 Para encontrar la composicion de dos permutaciones basta con seguir la pista a cadaındice. Por ejemplo (

1 2 31 3 2

)(1 2 33 1 2

)=(

1 2 32 1 3

). (7.25)

Claramente este producto no es conmutativo.(1 2 33 1 2

)(1 2 31 3 2

)=(

1 2 33 2 1

). (7.26)

En particular el inverso del elemento 7.24 se escribe

p−1 =(p(1) p(2) ... p(n)

1 2 ... n

). (7.27)

7.3.1. Notacion de Ciclos

Una notacion muy utilizada para los elementos de Sn es la llamada descomposicion en ciclos. Porejemplo, es evidente que en la sustitucion(

1 2 3 4 52 3 1 5 4

)(7.28)

los elementos primero, segundo y tercero se permutan entre sı cıclicamente 1 → 2 → 3 → 1, yası tambien lo hacen los elementos cuarto y quinto. Esto quiere decir que nuestra permutacion sedescompone en un ciclo de tres y otro de dos y por tanto escribimos(

1 2 3 4 52 3 1 5 4

)≡ (123)(45) (7.29)

Otro ejemplo puede ser (1 2 3 4 51 5 2 4 3

)(7.30)

donde vemos que encontramos de nuevo un ciclo de tres elementos 2→ 5→ 3→ 2, y dos ciclos deun solo elemento. Por tanto podemos escribir igualmente (1)(253)(4).

Ejercicio 7.3.1 Escribir el resultado de las siguientes permutaciones en la forma canonica:

(634)(1257) = (7.31)(643)(1527) = (7.32)

(6)(157)(234) = (7.33)

7.3.1.1Elementos de Sn pueden ser multiplicados en la notacion de ciclos. Aunque parezca tener

mayor dificultad, un par de observaciones allanan la tarea por este camino:

(i) dos ciclos son el mismo si coinciden salvo permutacion cıclica de sus elementos.

(ii) ciclos de un elemento pueden ser omitidos,

(iii) ciclos disjuntos conmutan entre sı ,

(iv) ciclos que tengan un solo elemento en comun simplemente se encadenan (por ejemplo,(253)(45) = (325)(54) = (3254)).

92

Con un poco de practica pueden encontrarse otras reglas utiles.7.3.1.2 Con ayuda de estas reglas, el producto de los dos ejemplos 7.28 y 7.30„

1 2 3 4 51 5 2 4 3

«„1 2 3 4 52 3 1 5 4

«=

„1 2 3 4 55 2 1 3 4

«= (1543)(2) (7.34)

puede realizarse en la forma equivalente

(1)(253)(4)(123)(45) = (253)(123)(45)= (325)(54)(123)= (2543)(312)= (2543)(31)(12)= (25431)(12)= (5431)(12)(12)= (1543)(2)

7.3.1.3 Ejemplos: S3 y S4

Independientemente de la forma que se considere mas adecuada, el punto es que todo elemento deSn puede escribirse en forma de un producto de ciclos disjuntos. En consecuencia, el orden en queescribamos dichos ciclos es irrelevante. La informacion sobre los ciclos de 1 elemento es superflua:como hemos visto, y por eso es conveniente omitirlos.Este nuevo sistema nos permite enumerar de forma sistematica los elementos y clases de conjugacionde Sn. S3 es de orden 6. Consiste en la identidad, 3 2−ciclos y 2 3−ciclos:

S3 = (); (12), (13), (23); (123), (132) (7.35)

S4 por su parte adopta el siguiente aspecto:

S4 = (); (12), (13), (14), (23), (24), (34);(12)(34), (13)(24), (14)(23);(123), (132), (124), (142), (134), (143), (234), (243);(1234), (1243), (1324), (1342), (1423), (1432)

(7.36)

7.3.2. Teorema de Cayley

La importancia del grupo simetrico Sn dentro del contexto de la Teorıa de Grupos finitos vieneesclarecida con precision por el siguiente teorema.

Teorema 7.3.1 (Teorema de Cayley:) Todo grupo G finito de orden n, es iso-morfo a algun subgrupo de Sn.

Demostracion: Notar que necesariamente ha de ser un subgrupo pues el orden es menor a partir den = 3. La prueba consiste en asociar biunıvocamente cada elemento g de G, con un elementoΠ(g) de Sn, de forma que esta relacion sea un homomorfismo. Escribiendo los elementos deG en un cierto orden escogido, a1, a2, ..., an la propiedad de cierre y la condicion de ordenfinito, implican que al multiplicar esta serie por un elemento arbitrario g por la derecha,necesariamente se produce una permutacion de la forma

ga1, ga2, ..., gan = aπ1 , aπ2 , ..., aπn. (7.37)

93

y por tanto el elemento Π(g) ∈ Sn asociado a g ∈ G es simplemente

g → Π(g) =(

1 2 ... nπ1 π2 ... πn

). (7.38)

Todo elemento tiene una imagen, y por tanto la aplicacion es suprayectiva; ademas es inyec-tiva, es decir un mismo Π(g) no puede provenir de dos elementos distintos, porque si gai =g′ai,∀ai, entonces multiplicando por la derecha por a−1

i llegamos a que g = g′. Por ultimo esun homomorfismo, es decir, respeta la ley de grupo en ambos espacios. Ası si g1 ↔ Π(g1) yg2 ↔ Π(g2) entonces por aplicacion sucesiva es evidente que g1g2 ↔ Π(g1)Π(g2). El conjuntode los Π(g) ası obtenidos es un subconjunto de Sn que cierra entre sı bajo la ley del grupo.Como sabemos ya, esto significa que forman un subgrupo, y el teorema queda demostrado

7.3.2.1 D3 ∼ S3

Particularizando para el grupo D3, su notacion de ciclos ası como su isomorfismo con S3 vieneclarificado por la siguiente tabla

(); (23), (31), (12); (123), (132)↓ ↓ ↓e; x, xc, xc2; c, c2

(7.39)

El orden de un elemento es facil de hallar en esta notacion puesto que un ciclo de longitud r tieneorden r (probar).

7.3.3. Clases de Conjugacion de Sn

Ya hemos visto la definicion de conjugacion anteriormente y hemos mostrado como la relacion deconjugacion entre dos o mas elementos es una relacion de equivalencia ‘∼’.Para analizar la clase de conjugacion de un elemento p ∈ Sn dado, debemos estudiar que tienenen comun todos los elementos que se generan en la forma sps−1 con s arbitrario:

sps−1 =(

1 2 ... ns(1) s(2) ... s(n)

)(1 2 ... np(1) p(2) ... p(n)

)(s(1) s(2) ... s(n)

1 2 ... n

)=

(1 2 ... ns(1) s(2) ... s(n)

)(s(1) s(2) ... s(n)p(1) p(2) ... p(n)

)=

(p(1) p(2) ... p(n)s(p(1)) s(p(2)) ... s(p(n))

)(s(1) s(2) ... s(n)p(1) p(2) ... p(n)

)=

(s(1) s(2) ... s(n)sp(1) sp(2) ... sp(n)

)Usando la notacion de ciclos, si

p = (p1...pk1)(pk1+1...pk2)...(pkr ...pn) (7.40)

Vemos que para obtener sps−1 debemos aplicar la permutacion s tanto a la fila de arriba como ala de abajo de p. Por ejemplo

p =(

1 2 3 4 52 1 4 5 3

); s =

(1 2 3 4 53 4 5 1 2

); sps−1 =

(3 4 5 1 24 3 1 2 5

). (7.41)

Este procedimiento opera de igual manera en la notacion de ciclos:

p = (12)(345) ; s = (13524) ⇒ sps−1 = (34)(512) (7.42)

94

y en el caso general

sps−1 = (s(p1)....s(pk1))(s(pk1+1)...s(pk2))...(s(pkr )...s(pn))= (s1....sk1)(sk1+1...sk2)...(skr ...sn).

Es decir, la conjugacion preserva la estructura de ciclos. Dicho de otro modo las clases de conju-gacion se componen de todos aquellos elementos que comparten la misma estructura de ciclos.7.3.3.1 Por tanto existen tantas clases de conjugacion como formas de dividir un elemento enciclos, o equivalentemente, de dividir el entero n en particiones. Es decir, una permutacion genericapuede escribirse en la forma

p = (a1a2...al1)(b1b2...bl2)(c1c2...cl3)... (7.43)

donde los ciclos han sido ordenados de forma que 1 ≤ l1 ≤ l2 ≤ l3... pero ha de cumplirse quel1 + l2 + l3... = n, (adviertase que hemos de incluir los 1-ciclos explıcitamente). Escrito en estaforma, la unica informacion relevante esta en los numeros li que expresan la longitud de los ciclos.Si todos ellos son diferentes escribimos l1l2 . . . lr. Sin embargo, en general la longitud de algunosciclos coincidira. En este caso anotamos las longitudes distintas li y el numero de veces que aparecepi; escribimos entonces la particion en la forma lp1

1 lp22 ...lprr . Por ejemplo para S3 tenemos

Particion Clase de Conjugacion Elementos de S3

13 (·)(·)(·) () = e1 · 2 (·)(··) (23),(13),(12)

3 (· · ·) (123),(132)

7.3.3.2 El numero de particiones πn = (l1, ..., ln) con 1 ≤ l1 ≤ l2 ≤ l3... y tal que l1+l2+l3... =n no posee una expresion analıtica. Sin embargo sı tiene una funcion generadora

∞∑n=0

πnxn =

∞∏n=1

11− xn

. (7.44)

Ejercicio 7.3.2 Calcular π5 y verificarlo construyendo las particiones de cinco elementos.

7.3.4. El Grupo Alternante An

7.3.4.1 Este es un subgrupo de Sn que se compone de exclusivamente de permutaciones pares.Toda permutacion puede descomponerse en multiplicacion de ciclos elementales de dos elementos(2-ciclos):

(n1n2n3...nr) = (n1n2)(n2n3)...(nr−1nr). (7.45)

7.3.4.2 Podemos definir una paridad asociada a toda permutacion p, en la forma π(p) = (−1)n,donde n es el numero de 2-ciclos elementales que resultan de descomponer totalmente p. Tomandoel convenio π(e) = +1, vemos que la composicion de elementos pares de Sn, (con π = +1) cierraentre sı (no ası los impares). Denominamos este subgrupo, el grupo alternante de n elementos, An.

Ejercicio 7.3.3 Mostrar que An es un subgrupo normal de Sn. Construir el espacio coset Sn/Any por tanto deducir que An es de orden ( 1

2n!). ¿Cual es la estructura del grupo Sn/An?.

95

Capıtulo 8

Representaciones

8.1. Homomorfismos

Un homomorfismo es una aplicacion f de un conjunto A en otro B (escribimos f : A 7→ B) quepreserva alguna estructura interna. En particular estamos interesados en la estructura de grupocada grupo A y B estan dotados de una ley de multiplicacion.

Definicion 8.1.1 sean A y B dos grupos, y f : A → B una aplicacion. Decimosque f es un homomorfismo cuando verifica que para cualesquiera a1, a2 ∈ A

f(a1a2) = f(a1)f(a2). (8.1)

8.1.0.3 Cuando B coincide con A, decimos que f es un endomorfismo. Recordemos como sedefinen la imagen Imf y el nucleo Kerf de una aplicacion:

Imf := b ∈ B|b = f(a) para algun a ∈ AKerf := a ∈ A|f(a) = eB ∈ B

(8.2)

Ejercicio 8.1.1 Demostrar que tanto Imf como Kerf son subgrupos de B y A respectivamente.Comprobar que, de hecho, Ker f es un subgrupo normal.

8.1.0.4 Una aplicacion inyectiva es aquella para la cual el nucleo Kerf = eA. Si ademas Imf = B,f es suprayectiva y decimos que es biyectiva, o aplicacion 1:1. Si ademas f es un homomorfismo((8.1)) decimos que constituye un isomorfismo. Un isomorfismo f : A→ A, de un grupo en sı mismose llama un automorfismo.

8.2. Representaciones de Grupos

Definicion 8.2.1 Un representacion n−dimensional, es un homomorfismo del gru-po en cuestion, G, sobre el grupo de automorfismos lineales de un espacio vectorialabstracto V de dimension n.

A cada elemento g ∈ G, este homomorfismo le asocia, por tanto, un automorfismo lineal D(g).En otras palablas, se trata de una aplicacion g → D(g) que preserva la estructura de grupo en elsentido de que

D(g1g2) = D(g1)D(g2) (8.3)

96

donde en el miembro derecho el producto indica la multiplicacion matricial. En virtud de la defi-nicion de homomorfismo tenemos que D(g−1) = D−1(g).8.2.0.5 Representacion fielDecimos de una representacion, que es fiel si la aplicacion es un homomorfismo inyectivo. Es decir,si a cada elemento distinto g le corresponde un operador distinto D(g). En particular este hechoimpone que KerD = e ∈ G, de donde se deduce que el unico elemento representado por la matrizunidad es el elemento identidad del grupo G.8.2.0.6 Forma matricial de una representacionDada una base, |ei〉 de V , un operador es equivalente a una matriz

D(g)|ei〉 = Dji(g)|ej〉, (8.4)

Es frecuente confundir D y su expresion Dij obviando la necesidad de escoger una base, y deno-

minar a Dij(g) la representacion del elemento g. Otra representacion D′i

′ ′j(g) sera equivalente a

Dij(g) si ambas se relacionan mediante la relacion de cambio de base

|ej′〉 = Ojj′ |ej〉 ⇔ D′i′

j′(g) = O−1i′iD

ij(g)Oj ′j (8.5)

Por tanto, cuando hablemos de una matriz Dij(g) como la representacion de un elemento g ∈ G,

debemos entender a la vez todas las equivalentes a ella. De esta manera estaremos realmenterefiriendonos al operador abstracto D(g).

Ejemplos:

8.2.0.7 Todo grupo admite una representacion trivial unidimensional, en la que todoelemento viene representado por el numero 1. Por supuesto dicha representacion no es fiel.

8.2.0.8 En el caso de C3 podemos suponer que el triangulo orientado que queremos rotaresta contenido en el plano (x, y, z = 0). Entonces una rotacion generica alrededor del eje z seescribe como una matriz

R(θ) =

0@ cos θ − sen θ 0sen θ cos θ 0

0 0 1

1A (8.6)

Particularizando para los valores del angulo 0, 2π/3 y 4π/3 obtenemos las matrices

D(e) = R(0) =

0@ 1 0 00 1 00 0 1

1AD(c) = R(2π/3) =

0@ −1/2 −√

3/2 0√3/2 −1/2 00 0 1

1AD(c2) = R(4π/3) =

0@ −1/2√

3/2 0

−√

3/2 −1/2 00 0 1

1A(8.7)

El lector puede verificar que se cumple D(c2) = (D(c))2 y (D(c))3 = DV (e), como correspondea una representacion del grupo C3.

Ejercicio 8.2.1 Construye la representacion del grupo dihedrico D3 anadiendo la matriz querepresenta a x y verificando las reglas que se especifican en la presentacion de D3 (7.15)

97

8.2.0.9 G-moduloEl espacio vectorial V sobre el que actua un grupo G de esta manera se conoce como un G-modulo.En adelante supondremos el G−modulo V es un espacio vectorial dotado de algun producto escalarhermıtico ( , ) : V × V ∈ C Recuerdese que si la base |ei〉 no es ortonormal con respecto a dichoproducto escalar, entonces se debe hacer una distincion entre las matrices Dj

i definidas en (8.4),y Dji ≡ 〈ej |Dei〉.

8.3. Reducibilidad

En el ejemplo de C3 hemos encontrado una representacion que presentaba la forma generica

D(c) =

· · 0· · 00 0 1

etc. (8.8)

Esta forma diagonal en bloques tiene su origen en el hecho de que el eje z permanece invariante.Es decir, por cuanto se refiere a las transformaciones consideradas, el espacio vectorial |x〉 =x1|e1〉 + x2|e2〉 + x3|e3〉 se descompone en dos subespacios desacoplados |x〉 = |u〉 + |v〉 con|u〉 = x1|e1〉+x2|e2〉 y |v〉 = x3|e3〉. Por tanto, la representacion anterior se descompone de formaefectiva en dos representaciones separadas, una 2-dimensional D(2), actuando sobre |u〉, y otra, latrivial D(1) = 1 actuando sobre |v〉, y que son totalmente independientes

D(g)D(g′) =(A(g) 0

0 1

)(A(g′) 0

0 1

)=(A(g)A(g′) 0

0 1

)(8.9)

8.3.0.10 Representacion reducibleUna representacion D : G→ Aut(V ) es reducible si podemos descomponer V = V1 +V2 donde V1 ∈V es un G-submodulo invariante . Dicho de otra manera, si para todo g ∈ G, |v〉 ∈ V1 ⇒ D(g)|v〉 ∈V1 ∀|v〉.

Veamos la expresion que adopta la matriz Dij(g) en una base adaptada |e1〉...|en〉 ∈ V1. Clara-

mente la accion de D(g) sobre estos elementos de la base solo puede ser una combinacion lineal deellos mismos. Por tanto D|ej〉 = Di

j(g)|ei〉 = 0 para j = 1, ..., n, y i = n+ 1, ...., d.Podemos expresar este hecho en forma del siguiente lema

Lema 8.3.1 Si una representacion de dimension n+m es reducible, existe algunabase en la que Di

j(g) adopta la forma en bloques siguiente

D(g) =(A(g) C(g)

0 B(g)

)∀g ∈ G (8.10)

donde A(g) y B(g) son matrices cuadradas de dimensiones n× n y m×m respectiva-mente.

Multiplicando dos matrices del tipo (8.10) llegamos al resultado de que D(g)D(g′) = D(gg′) con

A(gg′) = A(g)A(g′) (8.11)B(gg′) = B(g)B(g′) (8.12)C(gg′) = A(g)C(g′) + C(g)B(g′). (8.13)

98

Por tanto, dada la forma en bloques (8.10), automaticamente A(g) y B(g) constituyen repre-sentaciones de G, n− y m−dimensionales respectivamenteViceversa, dadas dos representaciones A y B siempre podemos formar una mayor mediante la sumadirecta

D(g)ij =(A(g) 0

0 B(g)

)(8.14)

y, en este caso, escribimos D = A⊕B, siendo la dimension de D, la suma de las de A y B.Una representacion D : G → Aut(V ) es completamente reducible si podemos descomponer V =V1 + V2 donde V1 y V2 son G-submodulos invariantes . Escribimos D = D(1) ⊕D(2) donde D(i) esla restriccion de D al subespacio Vi.Podemos generalizar el argumento que condujo a (8.10) al caso presente. Entonces vemos quenecesariamente los elementos de matrix Di

j nulos son los que hacen que dicha matriz tenga unaapariencia diagonal por cajas:8.3.0.11 Representacion irreducibleUna representacion irreducible es una representacion que no es reducible. Por tanto, si D(g) esirreducible, no tiene G-submodulos invariantes.Las irreducibles son las piedras angulares en el estudio de la teorıa de representaciones de grupos,ya que una representacion arbitraria siempre puede descomponerse en combinacion lineal de re-presentaciones irreducibles. Por ejemplo, si D(g) admite una transformacion de semejanza a unaforma como la siguiente

D =

D(1) 0 0 0

0 D(2) 0 00 0 D(2) 00 0 0 D(3)

(8.15)

escribiremos queD = D(1) ⊕ 2D(2) ⊕D(3). (8.16)

8.3.1. Reducibilidad y Reducibilidad Total

Lema 8.3.2 Dada una representacion de un grupo finito siempre podemos cons-truir un producto escalar con respecto al cual esta representacion es unitaria.

Prueba:

Recordemos entonces, que si D es una aplicacion lineal de V en V , la aplicacion adjuntao conjugada hermıtica, D†, se define a traves de la ecuacion

〈Du|v〉 ≡ 〈u|D†v〉 (8.17)

La conjugacion hermıtica es una involucion que permite caracterizar dos tipos de aplica-ciones. Por un lado tenemos las aplicaciones auto-adjuntas o hermıticas, que son aquellasque verifican

D† = D (8.18)

Por otro tenemos las unitarias, que se caracterizan por que D† = D−1. Una formaequivalente de expresar esto es la siguiente

〈Du|Dv〉 ≡ 〈u|v〉 (8.19)

para toda pareja de vectores |u〉, |v〉 ∈ V .

99

8.3.1.1 Supongamos que D(g) es una representacion deG que actua sobre elG−modu-lo V . Para demostrar el lema debemos ser capaces de construir un producto escalar 〈〈 | 〉〉,para el cual la identidad (8.19) se verifique con D = D(g), ∀g ∈ G. Partamos para ello delproducto escalar hermıtico 〈 | 〉 definido sobre V , y construyamos el siguiente productoescalar igualmente hermıtico:

〈〈u|v〉〉 ≡ 1

O(G)

Xg∈G

〈D(g)u|D(g)v〉. (8.20)

Verifiquemos ahora el resultado deseado:

〈〈D(h)u |D(h)v〉〉 =1

O(G)

Xg∈G

〈D(g)D(h)u|D(g)D(h)v〉

=1

O(G)

Xg∈G

〈D(gh)u|D(gh)v〉

=1

O(G)

Xg′=gh∈G

〈D(gh)u|D(gh)v〉

=1

O(G)

Xg′∈G

〈D(g′)u|D(g′)v〉

= 〈〈u|v〉〉. (8.21)

8.3.1.2 A continuacion nos podemos preguntar por la generalidad de las representacionesreducibles y las totalmente reducibles; llegamos de esta manera al siguiente teorema:

Teorema 8.3.1 Teorema de Maschke. Para un grupo G finito o compacto,toda representacion reducible es totalmente reducible.

Prueba: partimos de un G−modulo, V , sobre el cual G actua de forma reducible, es decirexiste un subespacio U que es invariante. El subespacio orto-complementario W , (tal queV = U ⊕W con respecto al producto escalar 〈〈 | 〉〉), no es necesariamente invariante.Del hecho de que U y W son complementos ortogonales es evidente que, tomando dosvectores genericos |u〉 ∈ U y |w〉 ∈ W , se verifica que 〈〈u|w〉〉 = 0. Ası mismo, del hechode que U es invariante bajo la accion de G se sigue automaticamente que:

〈〈D(g)u|w〉〉 = 0, ∀u ∈ U, ∀g ∈ G. (8.22)

Ahora, por ser D unitaria con respecto a 〈〈 | 〉〉, se sigue que tambien W es invariante

〈〈u|D(g)w〉〉 = 〈〈D−1(g)u|w〉〉 = 〈〈D(g−1)u|w〉〉 = 0 (8.23)

y por tanto D es completamente reducible como especificaba el enunciado del teorema

8.3.1.3 Un grupo compacto es un grupo contınuo con un numero infinito de elementos.Sin embargo, la suma

Pg puede ser remplazada por una integracion invariante bajo la accion

del grupoRdµ(g) <∞

8.3.2. Propiedades de Representaciones Irreducibles.

En esta seccion y en adelante, haremos la interpretacion de representacion como una coleccionde matrices. Es decir, como un automorfismo en una determinada base. Las propiedades que semencionaran hacen referencia a caracterısitas de algun miembro de la clase de matrices equivalentesbajo semejanza.Ya hemos enunciado una propiedad importante:

100

I. Siempre podemos escoger una base de V , tal que las matrices de la representacion de un grupofinito sean unitarias.

Debido a la existencia en V de un producto escalar hermıtico 〈〈 | 〉〉 con respecto al cual D es unarepresentacion unitaria, podemos formar una base ortonormal |eα〉 con respecto a dicho pro-ducto escalar. Claramente D†αβ = 〈〈eα|D†eβ〉〉 = 〈〈Deα|eβ〉〉 = 〈〈eα|D−1eβ〉〉 = D−1

αβ es una matrizunitaria. Ası pues, sin perdida de generalidad consideraremos en lo que sigue representaciones uni-tarias. Trabajaremos ademas (mientras no se especifique lo contrario) en bases ortonormales paralos G−modulos, de forma que las matrices Dα

β y Dαβ coincidan. En este caso D+αβ = D−1

αβ = D∗βα.8.3.2.1 Lemas de Shur

II. (Lema 1 de Schur) Un operador lineal A, que conmuta con todos los elementos de una irrepD(g), ∀g ∈ G es, necesariamente, propocional a la identidad Es decir

[A,D(g)] ∀g ∈ G = 0 ⇒ A = λI

Prueba: La hipotesis sobre el conmutador implica quue cualquier autoespacio Vλ ∈ V deautovalor λ es globalmente invariante bajo la accion de G. Por ser irreducible, Vλ no puedeser un subespacio propio de V , ası que solo puede ser Vλ = |0〉 o Vλ = V . Sobre loscomplejos la ecuacion caracterıstica siempre tiene al menos una solucion, de modo que solopuede ser Vλ = V .

De este lema se deduce un corolario importante:

Corolario 8.3.1 Las representaciones irreducibles de un grupo abeliano son1-dimensionales.

Prueba: En un grupo abeliano D(g) conmuta con todas las demas matrices D(g′), y por tanto,si pertenece a una representacion irreducible, en virtud del Lema de Shur es proporcional ala identidad D(g) = λgI. Esto es cierto para D(g)∀g ∈ G. Por tanto V = V1 + V2 + ...+ Vndonde Vi son subespacios unidimensionales invariantes.

III. (Lema 2 de Schur) Sean D(a) y D(b) dos representaciones irreducibles de dimensiones day d2 sobre sendos G−modulos V (a) y V (b) respectivamente (donde el superındice etiquetairreps distintas). Y sea A : V (a) → V (b) una operador lineal que verifica

A D(a)(g) = D(b)(g)A ∀g ∈ G, (8.24)

Entonces, A ≡ 0 para a 6= b. Cuando a = b el primer Lema de Shur es relevante.

IV. (Teorema Fundamental de Ortogonalidad). Sean D(a) y D(b) dos representacionesirreducibles inequivalentes de dimensiones da y db respectivamente de un grupo G, entoncesse verifica la relacion de ortogonalidad siguiente∑

g∈GD(a)αµ (g)D(b)

νβ (g−1) =O(G)da

δabδανδµβ (8.25)

Como hemos visto anteriormente siempre podemos considerar nuestras matrices unitarias. Entoncespodemos rescribir (8.25) en la forma equivalente

∑g∈G

D(a)αµ (g)D(b)∗

βν (g) =O(G)da

δabδανδµβ . (8.26)

101

Prueba: Sean D(a) y D(b) dos representaciones s de dimensiones da y db respectivamente, y seaA : V (b) → V (a) un operadores lineales arbitrario. Definamos otro operador B : V (b) → V (a)

medianteB ≡

∑g∈G

D(a)(g) A D(b)(g−1). (8.27)

(Esta expresion se puede generalizar a grupos compactos mediante la medida adecuada∫dµ(g)). Es elemental demostrar la siguiente propiedad de la matriz B: dado un elemen-

to h ∈ GD(a)(h)B =

∑g D(a)(h)D(a)(g) A D(b)(g−1)

=∑g D(a)(hg) A D(b)(g−1)

=∑g′=hg D(a)(hg) A D(b)(g−1)

=∑g′ D

(a)(g′) A D(b)(g′−1h)

=∑g′ D

(a)(g′) A D(b)(g′−1)D(b)(h)= BD(b)(h),

(8.28)

con lo cual D(a), D(b) y B se encuentran en las hipotesis del Lema 2 de Schur (8.24), y enconsecuencia B = 0 a no ser que a = b en cuyo caso las dos representaciones son la misma(notese que hemos supuesto que a, b etiquetan representaciones no-equivalentes). Entonces elprimer lema de Schur (??) entra en juego para decir que B = λI. Podemos condensar estainformacion en la forma siguiente

B =∑g∈G

D(a)(g) A D(b)(g−1) = λ(a)A δabI (8.29)

que en una base ortonormal |eα〉 se traduce en la siguiente equacion para los elementos dematriz

Bαβ =∑g∈G

D(a)αγ (g)AγρD

(b)ρβ (g−1) = λ

(a)A δab δαβ (8.30)

Existe una constante indeterminada que depende tanto de la matriz Aγρ como de la re-presentacion irreducible D(a) que escojamos. Tomaremos una base de matrices con todoslos elementos nulos excepto uno, o lo que es igual, (A(µν))γρ = δγµδρν , y consecuentementedenotamos λ(a)

A = λ(a)(µν). Entonces, el elemento de matriz αβ de (8.30) adopta la forma∑g∈G

D(a)αµ (g)D(b)

νβ (g−1) = λ(a)µν δ

abδαβ µ, ν = 1, ..., da (8.31)

Para calcular λ(a)(µν) igualamos en primer lugar a = b y sumamos sobre los indices α = β =

1, ..., da, lo cual implica ∑g∈G

(D(a)(g−1)D(a)(g))νµ = daλ(a)(µν) (8.32)

y como cada uno de los elementos de la suma el miembro izquierdo es igual a la matrizdiagonal δνµ, habiendo O(G) de ellos, llegamos a que

O(G)δµν = daλ(a)(µν) (8.33)

A continuacion, sustituyendo el valor encontrado de λ(a)(µν) en la ecuacion (8.31), obtenemos

el enunciado del teorema (8.25)

102

8.3.2.2 Cota al numero de irreps.Sea G un grupo finito de orden O(G), el numero de representaciones irreducibles D(a) de

dimensiones da que admite esta acotado por la expresionXa≥1

d2a ≤ O(G) (8.34)

Para probarlo, consideremos el elemento αβ de la a-esima representacion irreducible. Dado queg recorre los O(G) elementos del grupo, D

(a)αβ (g) toma O(G) valores que podemos organizar

en un vector de O(G) componentes. El teorema de ortogonalidad nos dice que este vector esortogonal a cualquier otro de la misma o de otra representacion ireducible. Cada representacionirreducible cuenta con d2

a de estos vectores, y por tanto el numero total de ellos es d21 +d2

2 + ...;los cuales, por lo que acabamos de ver, son todos linealmente independientes. El numerototal no puede, por tanto, exceder la dimensionalidad del espacio que subtienden, O(G), yası llegamos al resultado deseado

8.3.2.3 Operador de ProyeccionSea V un G−modulo de dimension n, y supongamos que este modulo es reducible. Lla-

memos D(g) el operador lineal inducido en V por la accion del elemento g, y D a la re-presentacion correspondiente. Supongamos que V = V (1) ⊕ V (2) ⊕ ... ⊕ V (p) de dimensionesd1 + d2 + ...+ dp = n. Esto quiere decir que existe una base |e1〉, ..., |en〉 de V , para la que laaccion de G viene dada la “suma directa”

D(g) = D(1) ⊕D(2) ⊕ ...⊕D(p). (8.35)

Sea D(a) una cierta representacion irreducible de dimension da que aparece en la descomposi-cion de D. Esto quiere decir que existe un a base de da vectores ortonormales |uα〉, α = 1, .., daque generan el subespacio V (a), y que por tanto verifican

D(g)|uα〉 =

daXβ=1

D(a)βα |uβ〉, (8.36)

y lo mismo puede decirse de las restantes representaciones. El conjunto de operadores lineales

P(a)αβ =

daO(G)

Xg

D(a)∗αβ (g)D(g) , α, β = 1, ..., da (8.37)

es un conjunto de proyectores, en el sentido siguiente:

P(a)αβP(b)

µν =dadbO(G)2

Xg,g′

D(a)∗αβ (g)D(b)∗

µν (g′)D(gg′)

=dadbO(G)2

Xg,g′′

D(a)∗αβ (g)D(b)∗

µν (g−1g′′)D(g′′)

=dadbO(G)2

Xg,g′′

dbXρ=1

D(a)∗αβ (g)D(b)∗

µρ (g−1)D(b)∗ρν (g′′)D(g′′)

=dadbO(G)2

Xg,g′′

dbXρ=1

D(a)∗αβ (g)D(b)

ρµ (g)D(b)∗ρν (g′′)D(g′′)

=daO(G)

δabδβµδαρXg′′

dbXρ=1

D(b)∗ρν (g′′)D(g′′)

= δabδβµP(a)αν (8.38)

despues de haber utilizado la relacion de ortogonalidad (8.26).

8.3.2.4 El operador P(a)αβ no es autoadjunto:

Ejercicio 8.3.1 Probar que para D(a) una representacion unitaria, se verifica

P(a)+αβ = P

(a)βα . (8.39)

103

8.3.2.5 El operador definido en (8.37) proyecta cualquier vector |v〉 ∈ V , sobre el subes-pacio invariante V (a). En particular esto implica que la accion del grupo sobre el vector pro-yectado solo es combinacion de vectores en el mismo subespacio:

Teorema 8.3.2 Dado un vector v arbitrario, y β fijo, el conjunto de da vectores

|uα〉 ≡1

|P (a)ββ |v〉|

P(a)αβ |v〉 , α = 1, ..., da, (8.40)

forma una base ortonormal para el G-submodulo invariante V (a). Bajo la acciondel D(d), los elementos de esta base se transforma mediante la matriz unitaria D

(a)αβ

D(g)|uα〉 =

daXν=1

D(a)να |uν〉. (8.41)

Prueba: Empezaremos probando que |uα〉 forman una base ortonormal (naturalmente conrespecto al mismo producto escalar 〈〈 | 〉〉 que hace de T un operador unitario)

〈〈uµ|uν〉〉 =1

|P(a)ββ |v〉|2

〈〈P(a)µβv|P(a)

νβ v〉〉

=1

|P(a)ββ |v〉|2

〈〈v|P(a)+µβ P

(a)νβ v〉〉

=1

|P (a)ββ |v〉|2

〈〈v|P(a)βµP

(a)νβ v〉〉

=1

|P(a)ββ |v〉|2

δµν〈〈v|P(a)ββv〉〉

= δµν1

|P(a)ββ |v〉|2

〈〈P(a)ββv|P(a)

ββv〉〉

= δµν (8.42)

Una vez probado este resultado, y al ser D unitario,1 podemos demostrar la segundaparte del teorema:

D(h)|uα〉 = D(h)

1

|P (a)ββ |v〉|

P(a)αβ |v〉

!=

da

|P (a)ββ |v〉|

Xg

D(a)∗αβ (g)D(h)D(g)|v〉

=da

|P (a)ββ |v〉|

Xg

D(a)∗αβ (g)D(hg)|v〉

=da

|P (a)ββ |v〉|

Xg′

D(a)∗αβ (h−1g′)D(g′)|v〉

=da

|P (a)ββ |v〉|

Xg′

Xν

D(a)∗αν (h−1)D

(a)∗νβ (g′)

!D(g′)|v〉

=Xν

D(a)να (h)

0@ da

|P (a)ββ |v〉|

Xg′

D(a)∗νβ (g′)D(g′)|v〉

1A=

Xν

D(a)να (h) |uν〉 (8.43)

1notese que bajo la accion de los elemento de T , la propiedad de ortonormalidad de la base se mantiene por serunitario, y por tanto el tensor metrico es siempre δij .

104

8.4. Caracteres

8.4.0.6 Una matriz Dαβ(g) solo caracteriza una representacion D(g) en una base |eα〉. Serıa

deseable encontrar alguna caracterizacion intrınseca de la representacion, independiente de la base.Dada una matriz D hay dos cantidades invariantes bajo transformaciones de semejanza, detD ytrD:

det(S−1DS) = detS−1 detD detS = det Dtr(S−1DS) = tr(DSS−1) = tr D (8.44)

Definicion 8.4.1 El caracter de una representacion D de un grupo G, es el con-junto χ de numeros complejos χ = χ(g) = tr D(g) , g ∈ G calculado en cualquierbase.

8.4.0.7 Veamos como ejemplo las representaciones de orden mas bajo de los grupos isomorfosS3 ∼ D3, y sus respectivos caracteres.

g ∈ S3 g ∈ D3 D(1) D(2) D(3) χ(1) χ(2) χ(3)

() e 1 1(

1 00 1

)1 1 2

(123) c 1 1 12

(−1 −

√3√

3 −1

)1 1 −1

(132) c2 1 1 12

(−1

√3

−√

3 −1

)1 1 −1

(23) x 1 −1 12

(1√

3√3 −1

)1 −1 0

(13) xc 1 −1 12

(1 −

√3

−√

3 −1

)1 −1 0

(12) xc2 1 −1(−1 00 1

)1 −1 0

(8.45)

8.4.0.8 Recopilemos algunas propiedades que hacen interesante la informacion contenida en loscaracteres.

(i) El caracter depende de la representacion y es independiente de la base |ei〉 en la que secalcula ξ(a) = ξ(D(a)).

(ii) El caracter del elemento unidad coincide con la dimension de la representacion χ(e) = n.

Es evidente puesto que la matriz que representa al elemento e es siempre la unidad.

(iii) Los caracteres son funciones de la clase de conjugacion (g).

Esto es facil de probar, puesto que las matrices que representan dos elementos conjugados g,y g′ = hgh−1 son equivalentes:

D(g′) = D(hgh−1) = D(h)D(g)D(h)−1 (8.46)

y por tanto las matrices D(g) y D(g′) comparten la misma traza.

105

(iv) Si D es unitaria, D† = D−1, entonces χ(g−1) = χ∗(g).

Es evidente ya que D†αα = Dαα∗.

8.4.1. Ortogonalidad de los Caracteres

Podemos visualizar el caracter, χ(a), asociado a una representacion arbitraria D(a), como un vector(χ(a)(g1), χ(a)(g2), ...) en un espacio vectorial de dimension O(G). Dados dos caracteres φ y χ,podemos definir un producto escalar hermıtico en la forma

〈φ|χ〉 ≡ 1O(G)

∑g∈G

φ∗(g)χ(g) =1O(G)

∑g∈G

φ(g−1)χ(g) ; (8.47)

de hecho este producto escalar es real y simetrico 〈φ|χ〉 = 〈χ|φ〉 como puede comprobarse facil-mente.

Teorema 8.4.1 (Teorema de Ortogonalidad de Caracteres) . Los caracteresχ(a) y χ(a), asociados a dos representaciones irreducibles D(a) y D(b), son ortonormalescon respecto al producto escalar definido en (8.47)

〈χ(a)|χ(b)〉 = δab. (8.48)

Prueba. Partiendo de la ecuacion (8.26) podemos tomar la traza sobre los ındices α = µ y β = νy obtenemos ası

1O(G)

∑g∈G

χ(a)∗(g)χ(b)(g) = δab1da

∑µ,ν

δµνδµν = δab (8.49)

8.4.1.1 Los vectores χ(a), a = 1, ..., r no forman una base del espacio de dimension O(G)debido a que, en general r ≤ O(G). Sin embargo advirtamos que debido a la propiedad (ii)anteriormente mencionada, si en G hay s clases de conjugacion Kp, p = 1, ..., s, cada una de

ellas con kp elementos, los caracteres distintos podemos denotarlos χ(a)p , p = 1, ..., k, de forma

que la suma anterior puede escribirse en la forma

〈χ(a)|χ(b)〉 =1

O(G)

sXp=1

kp χ(a)∗p χ(b)

p = δab, (8.50)

donde la suma se efectua sobre clases de conjugacion (gp). Esta expresion puede ser interpre-

tada como ortogonalidad de los r vectores ξa de componentes ξ(a)p ≡

qkpO(G)

χ(a)p , p = 1, ..., s

con respecto al producto escalar usual que consiste en sumar los productos de las componentes:

〈〈ξ(a)|ξ(b)〉〉 =

sXp=1

ξ(a)p ξ(b)∗

p = δab, a, b = 1, ..., r (8.51)

Por ser ortogonales, son l.i. y por tanto no puede haber mas de s vectores de este tipo. Tenemosentonces una desigualdad que acota el numero de representaciones irreducibles r, a saber r ≤ s.

106

8.4.1.2 Curiosamente, puede demostrarse que en ξap ≡q

kpO(G)

χ(a)p tambien podemos

fijar el subındice p a un valor comprendido entre 1 y s, y los s vectores ξp formados con lascomponentes ξap , a = 1, ..., r verifican ortogonalidad con respecto a otro producto escalar

(( χp|χq )) =1

O(G)

rXa=1

kp χ(a)∗p χ(a)

q = δpq. (8.52)

o lo que es igual

(( ξp|ξq )) =

rXi=1

ξ(a)∗p ξ(a)

q = δpq. (8.53)

Un argumento analogo al anterior implica que en este caso, el numero s de vectores no puedesuperar el de la dimensionalidad del espacio, r, es decir s ≤ r.

8.4.1.3 La suma de conclusiones que, sobre r y s se desprenden de (8.51) y (8.53) nosconduce al enunciado del siguiente lema

Lema 8.4.1 En un grupo finito, G, el numero de representaciones irreduciblesr, y el de clases de conjugacion s, coinciden r = s.

8.4.1.4 Ademas, las identidades (8.51) y (8.53) se pueden tambien resumir como sigue

Lema 8.4.2 El conjunto de cantidades ξap =q

kpO(G)

χ(a)p , donde a = 1, ..., r es

un ındice de representacion, y p = 1, ..., s, es un ındice de clase de conjugacion,forman una matriz cuadrada (r = s) y unitaria.

8.4.2. Descomposicion en Representaciones Irreducibles

8.4.2.1 Para un grupo finito o compacto sabemos que las representaciones reducibles son to-talmente reducibles en suma directa de representaciones ireducibles (irreps ). Tal y como hemosvisto en el ejemplo (8.16), una misma representacion irreducible puede aparecer mas de una vez,de modo que escribiremos en el caso general una descomposicion de la forma

D =∑⊕naD(a). (8.54)

Esto indica que podemos dotar al conjunto de todas las representaciones de un grupo de unaestructura de espacio vectorial sobre los numeros naturales, donde una base esta formada por lasirreducibles.8.4.2.2 Ademas los coeficientes naturales na pueden ser deducidos facilmente usando las propie-dades de ortogonalidad anteriores. Efectivamente, tomando la traza en la ecuacion (8.54) para unelemento generico g ∈ G obtenemos,

χ(g) =∑a

naχ(a)(g). (8.55)

Multiplicando por χ(b)∗(g) y sumando sobre g ∈ G∑g χ

(b)∗(g)χ(g) =∑a na

∑g χ

(b)∗(g)χ(a)(g)=

∑a naO(G)δab

= O(G)nb(8.56)

lo cual implica sencillamente que

na = 〈χ(a)|χ〉. (8.57)

107

Corolario 8.4.1 Una representacion D es irreducible si y solo si verifica la condi-cion

1O(G)

∑g

|χ(g)|2 = 1. (8.58)

Prueba. Supongamos que la representacion D es equivalente a la suma directa de representacionesexpresada en (8.54); entonces verifica:

1O(G)

∑g

|χ(g)|2 =1O(G)

∑a,b

∑g

nanbχ(a)(g)∗χ(b)(g) =

∑a

n2a (8.59)

en virtud de (8.55) y (8.50). Ahora bien, es evidente del significado de la descomposicion(8.54), que si D es irreducible, entonces na = δaD y por tanto la anterior suma es igual a 1

8.4.2.3 La generalizacion a un grupo contınuo compacto es directa, sin mas que sustituirla suma por la integral invariante sobre el grupo:∫

g

|χ(g)|2dg = 1. (8.60)

8.4.3. La Representacion Regular

8.4.3.1 El grupo finito Sn tiene una representacion de orden n evidente. Cada elemento vienerepresentado por una matriz Di

j donde por cada columna y cada fila hay una sola componenteigual a 1, y el resto son iguales a 0. Por ejemplo en S3 el elemento (12) viene representado por lamatriz que efectua el intercambio de las componentes primera y segunda, es decir

D(12) =

0 1 01 0 00 0 1

(8.61)

y ası sucesivamente.Segun el Teorema de Cayley hay un isomorfismo entre todo grupo finito G de orden n y un subgrupodel grupo simetrico Sn, que tiene su origen en la multiplicacion por la izquierda

ggi = Dji(g)gj (8.62)

donde las matrices Dij forman una representacion n dimensional del grupo llamada representacion

regular. Ahora bien, ggi es algun elemento gl de G, con gl 6= gi excepto cuando g = e. Por tanto,la representacion regular de un grupo G de orden O(G) = n esta formada por matrices que tienentodos los elementos fuera de la diagonal, excepto para g = e para la cual es la matriz identidad.Por esta razon los caracteres de la representacion regular son siempre de la misma forma:

χ(g) =

0 g 6= eO(G) g = e

(8.63)

Tomemos por ejemplo C3

D(e) =

1 0 00 1 00 0 1

, D(c) =

0 0 11 0 00 1 0

, D(c2) =

0 1 00 0 11 0 0

(8.64)

La sencillez de la representacion regular nos permite demostrar un resultado que ya habıamosanunciado

108

Teorema 8.4.2 En un grupo finito, G, la suma de los cuadrados de las dimensionesde las representaciones irreducibles, es igual al orden O(G)∑

a

d2a = O(g)

Prueba: vamos a descomponer la representacion regular en sus componentes irreducibles:

D =∑⊕naD(a). (8.65)

Los coeficientes na vienen dados por (8.57)

na = 〈χ(a)|χ〉 =1O(G)

∑g

χ(a)∗(g)χ(g) = χ(a)∗(e) = da (8.66)

Por otro lado, tomando trazas en (8.65) llegamos a (8.55),

χ(g) =∑a

naχ(a)(g) =

∑a

daχ(a)(g). (8.67)

y particularizando para g = e obtenemos

O(G) =∑a

d2a

Tambien podemos verificar la validez de la identidad (8.52) en el caso particular g 6= e,(en cuyo caso ke = 1); entonces

0 =Xa

daχ(a)(g) (8.68)

y las dos ultimas ecuaciones pueden resumirse en la forma combinada

1

O(G)

Xa

χ(a)∗(e)χ(b)(g) =

0 g 6= e1 g = e

(8.69)

8.5. Construccion de una Tabla de Caracteres

La forma convencional de presentar los caracteres de las representaciones irreducibles de un grupofinito G es una tabla donde las filas corresponden a diferentes representaciones irreducibles y lascolumnas a diferentes clases de conjugacion. En la construccion de esta tabla haremos uso de lasiguiente informacion

(i) En virtud del lema (8.4.1), sabemos que esta tabla sera cuadrada.

(ii)∑a d

2a = O(G)

109

(iii) Ortogonalidad:∑p kpχ

(a)p χ

(b)p = O(G)δab

(iv) Cualquier otra informacion. Por ejemplo el hecho de que para grupos abelianos, los caracterescoinciden con las representaciones irreducibles mismas, al ser estas unidimensionales. Portanto los caracteres no son otra cosa que un conjunto de numeros complejos que simulanbajo multiplicacion la ley del grupo.

Veamos algunos ejemplos.

8.5.1. Tabla de Caracteres de C3

8.5.1.1 Este grupo es abeliano y consta de tres elementos e, c, c2, que son clases de conju-gacion completas. Por tanto tendremos 3 representaciones irreducibles D(a)(g) = 1, i = 1, 2, 3unidimensionales que, como hemos visto, coinciden con sus caracteres. Como obligatoriamenteD(a)(e) = 1, i = 1, 2, 3 y ademas D(a)(c3) = (D(a))3(c), necesariamente D(a)(c) ha de ser una delas dos raices cubicas de la unidad, ω = eπ/3 o ω2 = e2π/3. Si ademas han de cumplir la relacionde ortogonalidad (iii) la unica posibilidad es

C3 e c c2

D(1) 1 1 1D(2) 1 ω ω2

D(3) 1 ω2 ω

(8.70)

La representacion D(1) es la representacion trivial que existe para todo grupo y que no es fiel. Lasdos representaciones fieles D(2) y D(3) son inequivalentes. De hecho son complejas conjugadas launa de la otra. Es un ejercicio elemental comprobar que 〈χ(a)|χ(b)〉 = δab.8.5.1.2 Antes de pasar a otro ejemplo vamos a ver de que manera la tabla de caracteres nos ayudaa encontrar como la representacion vectorial DV (c.f. (8.7)) que actua sobre el espacio vectorialtridimensional lin(|e1〉, |e2〉, |e3〉), se descompone en representaciones irreducibles. A la vista de lamatrices (8.7), el caracter de esta representacion es

|χV 〉 = (χV (e), χV (c), χV (c2)) = (3, 0, 0), (8.71)

y si queremos escribirlo como

|χV 〉 = n1|χ(1)〉+ n2|χ(2)〉+ n3|χ(3)〉, (8.72)

podemos ver por simple inspeccion (sumando las filas de la tabla (8.70)) que

|χV 〉 = |χ(1)〉+ |χ(2)〉+ |χ(3)〉 (8.73)

Alternativamente podemos tomar los productos escalares na = 〈χ(a)|χV 〉 para demostrar quen1 = n2 = n3 = 1. Por tanto la representacion vectorial se descompone en la forma

DV = D(1) ⊕D(2) ⊕D(3). (8.74)

8.5.1.3 Nos queda identificar las combinaciones sobre las que C3 actua de forma irreducible,o, equivalentemente los G-submodulos invariantes. En el caso presente es relevante el comentariosiguiente: los subespacios invariantes coinciden con los subespacios propios comunes a DV (e),DV (c)y DV (c2). Esto es debido a que como sabemos, estas tres matrices conmutan entre sı por tratarsede una representacion de un grupo abeliano. Este hecho es suficiente para saber que podemosencontrar una base que las diagonalice simultaneamente. Esta es una demostracion independiente

110

del corolario (8.3.1), que afirma que las representaciones irreducibles de un grupo abeliano sonunidimensionales.De la forma de las matrices (8.7) es evidente que el subespacio lin(|e3〉) es invariante frente a la accion de todos los elementos. Por tanto |e3〉 forma la base de la representacion trivial D(1)

mientras que D(2) y D(3) actuan en el plano (x, y). Para analizar estas ultimas, consideremos lascombinaciones |e±〉 = |e2〉 ± i|e3〉. La matriz que cambia de la base (|e1〉, |e2〉, |e3〉) a la base(|e+〉, |e−〉, |e3〉) tiene la forma

S =

1 1 0i −i 00 0 1

S−1 =12

1 −i 01 i 00 0 1

(8.75)

y en esta nueva base la representacion vectorial adopta la forma semejante DV = S−1DV S

DV (e) =

1 0 00 1 00 0 1

DV (c) =

ω2 0 00 ω 00 0 1

DV (c2) =

ω 0 00 ω2 00 0 1

(8.76)

es decir, en rigor DV = D(3) ⊕D(2) ⊕D(1).

8.5.2. Tabla de Caracteres de D3

Empecemos recordando las tres clases de conjugacion que posee este grupo K1 = (e), K2 =(c, c2), K3 = (x, xc, xc2). Esperamos por tanto tres representaciones irreducibles D(1), D(2) yD(3), cuyas dimensiones satisfacen d2

1 + d22 + d3

3 = 6. Dado que la representacion trivial siempreexiste D(1)(g) = 1 nos queda d2

2 + d23 = 5, cuya unica solucion entera es d2 = 1 y d3 = 2. Como

sabemos que χ(a)(e) = da ya tenemos la primera fila y la primera columna de la tabla8.5.2.1 Para completar la segunda fila recordamos que una representacion unidimensional coin-cide con el caracter de forma que la multiplicacion de caracteres reproduce la de los elementos delgrupo. En particular, de χ(2)

3 = χ(2)(x) = χ(2)(xc) = χ(2)(x)χ(2)(c) llegamos a la conclusion de queχ(2)(c) = χ

(2)2 = 1. El ultimo numero de la fila χ(2)

3 se obtiene de la relacion de ortogonalidad

16

(1 · 1 · 1 + 2 · 1 · 1 + 3 · 1 · χ(2)3 ) =

16

(3 + 3χ(2)3 ) = 0 (8.77)

es decir χ(2)3 = −1. Las unicas dos incognitas de momento son χ

(3)2 y χ(3)

3

D3 K1 K2 K3

D(1) 1 1 1D(2) 1 1 −1D(3) 2 χ

(3)2 χ

(3)3

(8.78)

que podemos ajustar requiriendo ortogonalidad

〈χ(1)|χ(3)〉 = 16 (2 + 2χ(3)

2 + 3χ(3)3 ) = 0 (8.79)

〈χ(2)|χ(3)〉 = 16 (2 + 2χ(3)

2 − 3χ(3)3 ) = 0 (8.80)

111

cuya unica solucion es χ(3)2 = −1 y χ(3)

3 = 0. Con estos numeros, la ortonormalidad < χ(a), χ(b) >=δab se verifica, y podemos escribir la tabla completa

D3 K1 K2 K3

D(1) 1 1 1D(2) 1 1 −1D(3) 2 −1 0

(8.81)

8.5.2.2 Al igual que en el caso anterior, podemos analizar la forma en la que la representacionvectorial se descompone en representaciones irreducibles de D3. Si usamos la misma base que enel caso de C3, vemos que en (8.7) ya tenemos las matrices correspondientes a 3 de los 6 elementosde D3. Nos falta la matriz que representa al menos uno de los giros x, xc o xc2. Sin perdidade generalidad podemos tomar xc2, la rotacion de 180 grados en torno al eje e2, y su matrizcorrespondiente sera entonces

DV (xc2) =

−1 0 00 1 00 0 −1

. (8.82)

cuya traza nos da el caracter de la clase de conjugacion entera χV3 = −1.Las otras dos matrices se encuentran por simple multiplicacion: DV (x) = DV (xc2)DV (c), etc.8.5.2.3 El caracter de la representacion vectorial es por tanto

χV = (3, 0,−1) (8.83)

que se descompone de nuevo facilmente

n1 = 〈χ(1)|χV 〉 = 16 (3 + 0− 3) = 0 (8.84)

n2 = 〈χ(2)|χV 〉 = 16 (3 + 0 + 3) = 1 (8.85)

n3 = 〈χ(3)|χV 〉 = 16 (6 + 0 + 0) = 1, (8.86)

o sea que |χV 〉 = |χ(2)〉+ |χ(3)〉 o equivalentemente

DV = D(2) ⊕D(3) (8.87)

Correspondientemente vemos que la descomposicion de V es G-submodulos invariantes es V =lin(|e3〉)⊕ lin(|e1〉, |e2〉). El primer subespacio ya no es reducible como era el caso de C3.

Ejercicio 8.5.1 Construir la tabla de caracteres de A4, el grupo alternante de cuatro elementos.

8.6. Producto Directo de Representaciones

8.6.1. Producto Directo de Representaciones, Reducibilidad.

8.6.1.1 Consideremos dos G-modulos V (a) y V (b). Es decir, dos espacios vectoriales sobre losque actua el grupo G mediante dos representaciones D(a) y D(b) de dimensiones da y db, es decir,∀g ∈ G

D(a)(g)|e(a)i 〉 =

∑j

D(a)ji (g)|e(a)

j 〉

D(b)(g)|e(b)k 〉 =

∑l

D(b)lk (g)|e(b)

l 〉 (8.88)

112

Teorema 8.6.1 Si D(a) y D(b) definen dos representaciones unitarias e irreduci-bles de un grupo G sobre V (a) y V (b), con dimensiones da y db repectivamente, entoncesel conjunto de operadores D(a⊗b)(g) ≡ D(a)(g) ⊗D(b)(g), g ∈ G definen una repre-sentacion unitaria de G actuando sobre el espacio producto tensorial V = V (a) ⊗ V (b).El caracter de D(a⊗b) es el producto de los caracteres de D(a) y D(b)

χ(a⊗b)(g) = χ(a)(g)χ(b)(g). (8.89)

Demostracion: Sea |v〉 = |va〉 ⊗ |vb〉 un elemento arbitrario de V . Entonces

D(a⊗b)(g′)D(a⊗b)(g) |v〉 = D(a⊗b)(g′)(D(a)(g)|va〉 ⊗D(b)(g)|vb〉

)= D(a)(g′)D(a)(g)|va〉 ⊗D(b)(g′)D(b)(g)|vb〉= D(a)(g′g)|va〉 ⊗D(b)(g′g)|vb〉= D(a⊗b)(gg′) |v〉. (8.90)

Ademas, si D(a) y D(b) son unitarias,

D(a⊗b)+|v〉 = D(a)+|va〉 ⊗D(b)+|vb〉= D(a)−1|va〉 ⊗D(b)−1|vb〉= (D(a⊗b))−1|v〉 (8.91)

y D(a⊗b) tambien lo es.

Por ultimo, en cualquier base |eij〉 = |ei〉⊗|ej〉 la matriz que representa el operador D(a⊗b)

es el producto de Kronecker de las matrices que representan respectivamente D(a) y D(b).

D(a⊗b)ijkl = D(a)i

kD(b)j

l (8.92)

Entonces

χ(a⊗b)(g) = tr(D(a) ⊗D(b))(g)= D(a⊗b)ij

ij

= D(a)ii(g)D(b)j

j(g)

= χ(a)(g)χ(b)(g) (8.93)

8.6.2. Serie de Clebsh-Gordan

En general, la representacion D(a)⊗(b) es reducible, incluso si D(a) y D(b) son irreducibles.Por ejemplo, en D3 la representacion D(3⊗3) debe ser reducible, puesto que es 2×2 = 4-dimensional,y no existen representaciones irreducibles de esa dimension.Supongamos que D(a) ⊗D(b) es reducible (y por tanto, totalmente reducible). Entonces, podemosescribir en general su descomposicion en la base irreducible como

D(a) ⊗D(b) =∑⊕nabc D(c). (8.94)

El miembro de la derecha define la Serie de Clebsch-Gordan para D(a) ⊗D(b).Los coeficientes de la serie de Clebsch-Gordan, nabc se deducen en la forma habitual

nabc = 〈χ(c)|χ(a⊗b)〉 = 〈χ(c)|χ(a)χ(b)〉 (8.95)

113

que, en el caso de grupos finitos, se escribe

nabc =1O(G)

∑g

χ(c)∗(g) χ(a)(g) χ(b)(g). (8.96)

mientras que en el caso de grupos contınuos compactos

nabc =∫G

dµ(g) χ(c)∗(g) χ(a)(g) χ(b)(g). (8.97)

Por tanto, en estos casos, la serie de Clebsch-Gordan esta determinada unıvocamente por loscaracteres de las representaciones involucradas.8.6.2.1 Los coeficientes nabc satisfacen algunas ligaduras que son utiles a la hora de calcularlos.Por ejemplo, particularizando para el caso del elemento identidad g = e, encontramos, como ladimension de D(a) ⊗D(b) es dadb

dadb =∑c

nabc dc.

114

Capıtulo 9

Grupos de Lie

9.1. Definicion y Ejemplos

Hasta ahora hemos estudiado algunas propiedades genericas de los grupos, y otras que hacenreferencia a los grupos finitos. Entre los grupos no-finitos, aun debemos hacer distincion entreaquellos que son discretos, y cuyos elementos son numerables, y los contınuos.

9.1.1. Grupos Contınuos y Grupos de Lie

En los grupos contınuos, los elementos pueden parametrizarse en un entorno de cualquier pun-to mediante un conjunto de variables reales. Escribiremos entonces para un elemento genericog(x1, x2, ...xd) = g(x), y si d es el numero mınimos de parametros necesarios para alcanzar cual-quier elemento, hablamos de un grupo de dimension d.9.1.1.1 Es evidente que no podemos escribir una tabla de multiplicar en el mismo sentido quepara un grupo finito. Si el producto de g(x) por g(y) es g(z), esto es

g(x1, x2, ...xd)g(y1, y2, ...yd) = g(z1, z2, ..., zd), (9.1)

entonces los parametros z1, z2, ...zd son funciones de los parametros x1, x2, ..., xd, y1, y2, ..., yd. Esdecir, la tabla de multiplicacion consta de n funciones reales de 2d argumentos zi = fi(x,y), i =1, .., d.Las propiedades que definen un grupo imponen restricciones sobre las posibles funciones fi. Lamas severa es la que proviene de la asociatividad

(g(x)g(y))g(z) = g(x)(g(y)g(z))

que expresado en terminos de las funciones fi debe ser

fi(f(x,y), z) = fi(x, f(y, z))

valida para todos lo valores de x, y, z.

Definicion 9.1.1 Un Grupo de Lie es un grupo contınuo, en el cual las funcionesfi que expresan la multiplicacion, a parte de satisfacer los requisitos que provienen delas propiedades del grupo, son C∞ (contınuas e infinitamente derivables).

115

9.1.2. Ejemplos de Grupos de Lie

Grupo general lineal GL(N):

El grupo general lineal complejo, GL(N,C) es el ejemplo mas importante de grupo de Lie, yya ha sido mencionado antes, al introducir las representaciones. Esta formado por todas lasmatrices complejas e invertibles de dimension N ×N . Es por tanto un grupo de dimensionreal d = 2N2, ya que cada elemento esta especificado por un conjunto de N2 coordenadascomplejas ( que no son otras que las componentes (a11, a12..., aNN ) ∈ C2 / det(aij) 6= 0.)

Es evidente que cada elemento de GL(N,C) es la representacion matricial de un operadorlineal actuando sobre el espacio vectorial V de dimension compleja N , en una determinadabase. Llamamos a este grupo GL(V ), grupo general lineal complejo, el grupo de operadoreslineales biyectivos sobre V . Sin embargo, conocido el isomorfismo entre ambos grupos, noharemos distincion explıcita entre operadores lineales y su representacion matricial.

9.1.2.1 La mayorıa de los demas grupos e Lie que encuentran aplicacion en fısica puedendefinirse como subgrupo de GL(N,C). El metodo general para definir subgrupos consiste enimponer cierta condicion sobre las matrices de este grupo.

El ejemplo mas sencillo es la condicion de realidad de las matrices, que define el grupo generallineal real, GL(N,R). Es un grupo de dimension real N2.

Grupo especial lineal: SL(N)

SL(N,C). Se define como el conjunto de matrices M ∈ GL(N,C) tales que detM = 1. Estacondicion es una ecuacion compleja que reduce el numero de parametros, y por tanto ladimension real a 2(N2 − 1). Por su parte, la version real, SL(N,R) se define igual, y tienedimension real N2 − 1.

Grupo unitario: U(N)

El grupo unitario se define como el subgrupo de GL(N,C) formado por matrices unitarias:U ∈ GL(N,C)| U+U = UU+ = 1.

Es elemental comprobar que este conjunto satisface todos los axiomas que definen un grupo.

La condicion de unitariedad es un conjunto de 12N(N + 1) ecuaciones reales y 1

2N(N − 1)imaginarias. En total N2 condiciones que restadas a los 2N2 grados de libertad iniciales nosdicen que las U(N) viene parametrizado por N2 parametros reales.

Grupo especial unitario: SU(N)

Este grupo es una especializacion del grupo unitario, sometido a la condicion adicional deque el determinante sea igual a 1:

SU(N) = U ∈ U(N) | detU = 1.

Las matrices de U(N) tienen por determinante un numero complejo de modulo unidad, yaque 1 = det(U+U) = (detU)∗ detU . Por tanto la condicion adicional que define los elementosde SU(N) reduce solamente un grado de libertad. En resumen, la dimension real de SU(N)es N2 − 1.

Grupo ortogonal: O(N)

Se define como el subgrupo de GL(N,R) formado por matrices ortogonales

O(N) = O ∈ GL(N,R) | OtO = 1.

Analogamente se podrıa haber definido como el subgrupo de matrices reales pertenecientesa U(N): O(N) = U(N) ∩GL(N,R).

116

Las matrices de GL(N,R) tienen N2 grados de libertad, y la condicion OtO = OOt = 1 es unsistema de N2 ecuaciones con simetrıa bajo transposicion, por tanto 1

2N(N + 1) ecuacionesindependientes. La dimension real es igual a 1

2N(N − 1).

La matrices de O(N) tienen determinante real y modulo unidad. Por tanto solo puede valer±1.

Grupo especial ortogonal: SO(N)

Es el subgrupo de matrices pertenecientes a O(N) cuyo determinante vale exactamente +1,SO(N) = O(N) ∩ SL(N,R). El numero de parametros es exactamente el mismo que el deO(N) es decir, 1

2N(N − 1).

A este grupo pertenecen las rotaciones . Para N = 3 encontramos que tiene 3 parametros,que pueden ser los tres angulos de Euler o cualquier combinacion de ellos.

Grupo simplectico Sp(N) Sea J la siguiente matriz de dimension 2N × 2N :(0N×N 1N×N−1N×N 0N×N

)Definimos el grupo simplectico el conjunto de todas aquellas matrices S ∈ GL(2N,R) quesatisfacen la condicion

StJS = J

El sistema de ecuaciones que implica esta igualdad forma un conjunto antisimetrico tantoen la parte real como en la imaginaria. Por tanto tenemos que la dimension sera 2N2 −2( 1

2N(N − 1)) = N(N + 1).

Grupo pseudo-ortogonal O(M,N) Sea la matriz diagonal de dimension d = M +N

η = diag(

M︷ ︸︸ ︷−1,−1...,−1

N︷ ︸︸ ︷, 1, 1, ..., 1 ).

Definimos el grupo pseudo-ortogonal SO(M,N) como aquel subgrupo de matrices Λ ∈GL(d = M +N,R) que satisface la condicion adicional

ΛtηΛ = η.

Este conjunto de ecuaciones presenta simetrıa bajo transposicion y por tanto implica 12d(d+1)

ecuaciones independientes. En consecuencia SO(M,N) tiene dimension 12d(d− 1).

Observese que para M = 0 o N = 0 recuperamos la definicion de O(d) = O(d = M, 0) =O(0, d = N). Por tanto el grupo pseudo-ortogonal es una generalizacion del grupo ortogonal.Ademas sus elementos tambien tienen determinante igual a ±1.

Grupo pseudo-ortogonal especial SO(M,N)

Se define a partir de O(M,N), y contiene solamente aquellos elementos que tiene determi-nante igual a +1.

Grupo de Galileo

Como sabemos los sistemas llamados inerciales, es aquel subconjunto de sistemas de referen-cia (x, y, z, t) para el cual es valida la Segunda Ley de Newton en la forma ~F = m~a. Lastransformaciones de coordenadas que relacionan estos sistemas inerciales entre sı forman elllamado grupo de Galileo. Dos de estos sistemas, de ser distintos, difieren a lo sumo en unarotacion fija (una matriz de SO(3)) y una traslacion del origen con una velocidad uniforme:

~r′ = R~r + ~vt

117

t′ = t. (9.2)

En notacion matricial tenemos que podemos expresar un elemento de este grupo medianteuna matriz de la forma

G(~n,~v) =(R(~n) ~v

0 1

)(9.3)

donde ~n y ~v son 6 parametros que especifican la rotacion de ejes, y la velocidad relativarespectivamente. R es una matriz de SO(3).

Ejercicio 9.1.1 Para cada uno de los ejemplos anteriores, verificar que se cumplen todos losaxiomas que definen un grupo.

9.1.3. Los grupos O(2) y SO(2)

O(2) es el grupo formado por las matrices reales ortogonales de dimension 2. Sea O ∈ O(2). SO(2)es el subgrupo formado por aquellas matrices para las cuales detO = +1. Sea

O =(a bc d

). (9.4)

La condicion de ortogonalidad OtO = OOt = 1 impone las siguientes ecuaciones

a2 + b2 = a2 + c2 = c2 + d2 = b2 + d2 = 1 (9.5)ac+ db = ab+ dc = 0. (9.6)

Las ecuaciones 9.5 implican que a2 = d2 y b2 = c2, de modo que solo encontramos dos conjuntosde soluciones para 9.6:

O+; a = d y b = −c. En este caso detO = +1 y O ∈ SO(2). Los elementos de este conjunto sedenominan, rotaciones propias.

O−; a = −d y b = c, en cuyo caso detO = −1. Los elementos de este conjunto se denominan,rotaciones impropias.

9.1.3.1 Podemos parametrizar las matrices del conjunto O+ mediante un solo parametro −π ≤θ < π en la forma

R+(θ) =(

cos θ sen θ− sen θ cos θ

)(9.7)

Este conjunto contiene el elemento identidad cuando θ = 0. Por su parte el conjunto O− nocontiene la identidad. A partir de un elemento arbitrario del conjunto O+ podemos obtener otro,R−, perteneciente a O− multiplicandolo por una matriz de reflexion sobre un eje

R−(θ) = I ·R+(θ) =(−1 00 1

)(cos θ sen θ− sen θ cos θ

). (9.8)

9.1.4. Los grupos U(1), U(2) y SU(2)

U(1) es el conjunto de numeros complejos con modulo unidad. Por tanto podemos parametrizarloscon un solo angulo

g(θ) = eiθ. (9.9)

Es evidente el isomorfismo que existe entre los grupos SO(2) y U(1). Mientras que el primeroinduce rotaciones en el plano real, el segundo lo hace en el plano complejo.

118

9.1.4.1 U(2) esta compuesta por matrices 2× 2 unitarias. Por tanto, escribiendo

U =(α βγ δ

)(9.10)

las ecuaciones que se siguen de U+U = UU+ = 1 son

|α|2 + |β|2 = |α|2 + |γ|2 = |γ|2 + |δ|2 = |β|2 + |δ|2 = 1αγ∗ + βδ∗ = αβ∗ + βγ∗ = 0 (9.11)

es decir|α| = |δ| ; |β| = |γ| (9.12)

que tienen un conjunto de soluciones parametrizado por una variable real 0 ≤ χ < 2π

δ = α∗eiχ

γ = −β∗eiχ (9.13)

o lo que es igual,

U =(

α β−β∗eiχ α∗eiχ

). (9.14)

con |α|2 + |β|2 = 1. El determinante es una fase detU = e2iχ.9.1.4.2 SU(2) es el grupo de matrices unitarias 2 × 2 con determinante unidad. Cualquiera deestas matrices tiene necesariamente la siguiente forma(

α β−β∗ α∗

). (9.15)

donde |α|2 + |β|2 = 1. Podemos parametrizar los numeros α, β mediante los siguientes angulos

α = cos θeiφ , β = sen θe−iψ. (9.16)

donde 0 ≤ θ ≤ π2 , 0 ≤ φ, ψ < 2π. De esta manera

U =(

cos θeiφ sen θeiψ

− sen θe−iψ cos θe−iφ

). (9.17)

9.2. Estructura Global de los Grupos de Lie

9.2.1. Subgrupos de Lie

Definicion 9.2.1 Un subconjunto de un grupo de Lie, que es a su vez grupo de Lie,se dice que forma un subgrupo de Lie.

En el caso de grupos finitos, vimos un criterio muy sencillo para identificar subgrupos. Bastabacon verificar que para cualesquiera dos h, h′ ∈ H ⊂ G, tambien el producto hh′ ∈ H.Daremos a continuacion, un criterio mas potente para verificar cuando un subconjunto de elementoses un subgrupo de Lie.

Teorema 9.2.1 Sea S es un subconjunto de G, tal que, para cualesquiera dos ele-mentos s, s′ ∈ S se verifica s′s−1 ∈ S, entonces S es un subgrupo de G.

119

Demostracion: El axioma de asociatividad se verifica para cualquier subconjunto de elementos deG, y por tanto no necesita verificacion. El axioma III sobre la existencia de elemento neutrose verifica particularizando para s′ = s, con lo que s′s−1 = ss−1 = e. El axioma IV sobre laexistencia del elemento inverso se sigue poniendo, ahora que sabemos que existe, s’=e. Conesto, s′s−1 = s−1 ∈ S. Por ultimo, como s−1 ∈ S, s′(s−1)−1 = s′s ∈ S , ∀s′, s con lo quehemos verificado el axioma de cierre I.

9.2.2. Componentes Conexas de un Grupo de Lie

Definicion 9.2.2 Componente conexa de un grupo de Lie, G, es el conjunto ma-ximal de elementos g ⊂ G, que pueden ser relacionados mediante una variacioncontınua de las variables x1, ..., xd que parametrizan el grupo.

Ejemplos

(i) El grupo multiplicativo de numeros reales. En este grupo no esta el numero 0, porque no tieneinverso. En consecuencia, la recta real se divide en dos componentes conexas R+ = x ∈R|x > 0 y R− = x ∈ R|x < 0.

(ii) Los grupos O(N) y SO(N). Ya mencionamos anteriormente que los elementos de O(N) sonmatrices reales ortogonales. Este conjunto se divide dos subconjuntos disconexos, formadospor aquellas matrices cuyo determinante es igual a +1 y aquellas otras con determinante iguala −1. Evidentemente no es posible mediante una deformacion contınua de los parametrospasar de una situacion a la otra. Es posible mostrar que cada uno de estos subconjunto esuna componente conexa de O(N). De hecho SO(N) no es otra que la componente conexaque contiene a la identidad e = 1, ya que det(1) = +1.

Teorema 9.2.2 La componente conexa con al identidad forma por sı misma ungrupo de Lie que se denomina el “subgrupo conexo”.

9.2.3. Grupos de Lie Compactos y No-Compactos

En Rn un subconjunto de puntos es compacto si y solo si es cerrado y acotado. Este criterio setransporta a los grupos de Lie en la siguiente manera:

Definicion 9.2.3 Un grupo de Lie de dimension N , con un numero finito de com-ponentes conexas, es compacto, si y solo si existe un conjunto de variables y1, ..., yn queparametrizan este grupo completamente, y que varıan dentro de intervalos cerrados yacotados ai ≤ yi ≤ bi, i = 1, 2, ..., n.

9.2.3.1 En los casos de interes fısico que hemos enunciado en la lista de ejemplo del punto 9.1.1,los grupos compactos son aquellos en los que los elementos de matriz no alcanzan valores arbitra-riamente altos. Por el contrario, en los no compactos algunos elementos de matriz no encuentranninguna cota.Entre los ejemplos no-compactos, el mas evidente es GL(N). Otro ejemplo evidente es el grupo deGalileo. Esto es debido a que no hay restriccion fısica sobre los valores de la velocidad relativa ~ventre dos sistemas de referencia inerciales. Como veremos al estudiar en detalle los grupos SL(N)y SO(N,M), estos son no-compactos.Entre los ejemplos de grupos compactos tenemos O(N), SO(N), U(N) y SU(N), como demostra-remos tambien en su momento.

120

9.2.3.2 El interes de los grupos compactos radica en que para ellos es posible definir un analogode la suma sobre los elementos del grupo que tan importantes resultados ha permitido demostraren el caso de grupos finitos, especialmente en relacion con la teorıa de representaciones. Sin entraren mayores detalles, la sustitucion ∑

g∈G⇔∫G

dµ(g)

permite extender, intactos, todos lo teoremas demostrados en el capıtulo 8 al caso de grupos deLie compactos.

9.3. Estructura Local de los Grupos de Lie

9.3.1. Algebras de Lie

Definicion 9.3.1 Un “algebra de Lie real”L de dimension d ≥ 1, es un espaciovectorial real de dimension d, dotado de una operacion interna llamada “corchete deLie”, [, ] : L × L → L, definida para todo par u, v ∈ L, y que satisface las siguientespropiedades

(i) [u, v] ∈ L para todo a, b ∈ L.

(ii) (antisimetrıa), [u, v] = −[v, u].

(iii) (linealidad), [αu+ βv,w] = α[u,w] + β[v, w], α, β ∈ R.

(iv) (Identidad de Jacobi), [u, [v, w]] + [w, [u, v]] + [v, [w, u]] = 0.

9.3.1.1 Dada una base L1, ..., Ld para un algebra de Lie de dimension d, las relaciones de con-mutacion [Li, Lj ], i, j = 1, ..., d determinan las de cualquier par de elementos L,M por linealidad.En consecuencia, un algebra de Lie viene especificada por un conjunto de d3 numeros fkij deno-minados: “constantes de estructuracon respecto a la base Li i = 1, ..., d, que se definen segun lasiguiente expresion

[Li, Lj ] =d∑k=1

fkijLk, i, j = 1, ..., d. (9.18)

Estos numeros no son independientes, como se deduce de las propiedades (i) y (iv) que definen elcorchete de Lie. Por el contrario verifican

(i) → fkij = −fkji (9.19)

(iv) → fmlkfkij + fmikf

kjlf

mjkf

klk = 0. (9.20)

9.3.1.2 Frente a cambios de base Li → Lii = 1, ..., d las constantes de estructura se trans-forman como las componentes de un tensor de rango

(12

). Es decir si O especifica el cambio

L′j′ = Oij′Li, entoncesf ′k′

i′j′ = O−1k′kf

kijO

ii′O

jj′

.

121

9.3.2. El mapa exponencial

Teorema 9.3.1 A cada grupo de Lie matricial, G, de dimension d (como variedad)le corresponde una unica algebra de Lie G de la misma dimension (como espacio vec-torial). Todo elemento de un grupo de Lie, perteneciente a la componente conexa conla identidad, puede ser expresado como la exponencial de algun elemento de su algebrade Lie G.

g = eL

De las condiciones que definen un elemento g ∈ G podemos deducir las analogas que definen lasmatrices L ∈ G Por ejemplo, sea g ∈ SO(N), si g = eL entonces g−1 = e−L mientras que gt = eL

t

.Identificando obtenemos que el algebra so(2) esta generada por matrices reales antisimetricasLt = −L. Automaticamente tienen traza nula, de donde se sigue, utilizando la expresion det expL =exp trL que det g = 1 como corresponde a un elemento de SO(N).

G Condiciones sobre g ∈ G G Condiciones sobre L ∈ G d

GL(N,C) − gl(N,C) − 2N2

GL(N,R) g real gl(N,R) L real N2

SL(N,C) det g = +1 sl(N,C) trL = 0 2N2 − 2SL(N,R) g real; det g = +1 sl(N,R) L real; trL = 0 N2 − 1

U(N) g+ = g−1 u(N) L+ = −L N2

SU(N) g+ = g−1; det g = +1 su(N) L+ = −L; trL = 0 N2 − 1

O(N) gt = g−1; g real so(N) L+ = −L; L real 12N(N − 1)

SO(N) gt = g−1; g real; det g = +1 ” ” ”

O(p, q) gtη = ηg−1; g real so(p, q) (ηL)t = −ηL, L real 12N(N − 1), N = p+ q

SO(p, q) gtη = ηg−1; g real,det g = 1 ” ” ”

(9.21)9.3.2.1Sin embargo, como el algebra de Lie solo da cuenta de la estructuradel grupo en el entorno de laidentidad, varios grupos de Lie pueden compartir el mismo algebra, encontrandose entonces que sediferencian en la estructura global.9.3.2.2 Ejemplo:so(2) es unidimensional, y por base podemos tomar

L =(

0 1−1 0

). (9.22)

Un elemento generico de so(2) sera θL, θ ∈ R. Entonces un elemento generico de SO(2) sera g(θ) exp θL.para evaluar esta exponencial es util la siguiente observacion: L2 = −1 lo cual nos permite evaluarla expansion

g(θ) = eθL

= 1 + θL+12θ2L2 +

13!θ3L3 +

14!θL4 + ...

122

= (1− 12θ2 + ...+

(−1)n

(2n)!θ2n + ...)1

+(θ − 13!θ3 + ...+

(−1)n+1

(2n+ 1)!θ2n+1 + ...)L

= cos θ 1 + sen θL

=(

cos θ sen θ− sen θ cos θ

)(9.23)

9.4. Representaciones de Grupos de Lie y Algebras de Lie

En principio, la definicion de representacion para grupos de Lie en nada difiere de la que dimos enel capıtulo anterior. Sin embargo, aun se puede refinar un poco para distinguir aquellas represen-taciones que poseen un comportamiento analıtico razonable:

Definicion 9.4.1 Una “representacion analıtica”de un grupo de Lie G, es una re-presentacion D(g) ∈ Aut(V ), que verifica que ∀g(x1, ..., xd) en una vecindad de la iden-tidad, los elementos matriz Dαβ(g(x1, ..., xd)) son funciones analıticas de x1, ..., xd.

9.4.1. Representaciones de Algebras de Lie

Definicion 9.4.2 Sea L un algebra de Lie abstracta. Una representacion lineal m−dimensional de L es un homomorfismo lineal del algebra sobre el conjunto de operadoreslineales definidos sobre un espacio vectorial V de dimension m.

Por tanto, una representacion, asigna a cada elemento L ∈ L un operador lineal D(L) con lapropiedad de que dados dos elementos L,M esta asignacion verifica

(i) Linealidad: D(αL+ βM) = αD(L) + βD(M).

(ii) Homomorfismo: D([L,M ]) = [D(L),D(M)].

9.4.1.1 En una base arbitraria (que tomaremos ortonormal), la representacion asigna a cadaelemento del algebra una matriz m dimensional, D(L)αβ .Algunas nociones, como la equivalencia de representaciones, o la reducibilidad se definen de formatotalmente analoga como para los grupos. La ventaja es que en el caso presente la linealidadsimplifica enormente el analisis.Ası por ejemplo, para saber si una representacion es reducible, totalmente reducible o irreducible,basta con saber si adopta la forma correspondiente a cada caso para todos los elementos de unabase del algebra de Lie.9.4.1.2 Los dos lemas de Schur se formulan exactamente de la misma forma que en el caso degrupos, pero poniendo ∀L ∈ L donde decıa ∀g ∈ G.Un algebra de Lie abeliana es aquella para la cual [L,M ] = 0 para todo L,M ∈ L. Un corolarioinmediato de los lemas de Schur, aplicado a algebras de Lie es el siguiente

Corolario 9.4.1 Toda representacion irreducible de un algebra de Lie abeliana esunidimensional.

123

9.5. Conexion entre D(g) y D(L).

En principio, para todos los grupos matriciales ya conocemos una representacion, puesto que loselementos mismos se definen como automorfismos de un espacio vectorial. La conexion entre elalgebra y el grupo viene dada por el mapa exponencial, y por la derivada en el origen. Esta conexion,siendo cierta para una representacion, vamos a ver que se extiende a todas las representacionesanalıticas.

Teorema 9.5.1 sea D una representacion m-dimensional de un grupo de Lie linealG, cuya algebra de Lie real es G.

(i) Existe una representacion m-dimensional D, definida para todo elemento L ∈ Gmediante

D(L) =d

dtD(etL)

∣∣∣∣t=0

. (9.24)

(ii) Para todo L ∈ G y todo t ∈ R

etD(L) = D(etL). (9.25)

(iii) Si D es reducible (completamente reducible) entonces D es reducible (completa-mente reducible). El contrario es cierto solo si G es conexo.

(iv) Si G es conexo, D es irreducible si y solo si D es irreducible.

(v) Si D es una representacion unitaria, entonces D es anti-Hermıtica. El enunciadocontrario es cierto si G es conexo.

9.5.0.3 Es muy importante notar que este teorema implica que toda representacion de un grupoda lugar a una representacion de un algebra, mientras que la implicacion inversa no es cierta engeneral. El punto esencial es que, mientras que las matrices etD(L) estan bien definidas en generalpara cualquier L ∈ G y t ∈ R, no necesariamente forman una representacion del grupo G. Veremosuna demostracion de este hecho en el caso de las representaciones de “espın”semientero del algebraso(3).9.5.0.4 El punto (iii) del teorema 9.5.1 contiene la afirmacion de que si D(a) ⊕ D(b) es unarepresentacion del grupo G, la representacion correspondiente del algebra sera D(a) ⊕ D(b), ennotacion evidente.9.5.0.5 Mas interesante es saber que representacion del algebra corresponde, a traves de laidentificacion 9.24, a la representacion D(a) ⊗D(b).Para evitar una profusion de ındices trabajeremos con las aplicaciones lineales abstractas D(a)(g)y D(b)(g) del grupo, y D(a)(L) y D(b)(L) del algebra. Entonces a la representacion D(a⊗b)(g) =D(a)(g)⊗D(b)(g) le corresponde D(a⊗b)(L) mediante la identificacion

D(a⊗b)(L) =d

dtD(a⊗b)(etL)

∣∣∣∣t=0

(9.26)

Si consideramos la actuacion de un operador como el anterior, sobre un elemento arbitrario va⊗vbdel espacio V (a) ⊗ V (b) encontramos

D(a⊗b)(L) (|va〉 ⊗ |vb〉) =d

dtD(a⊗b)(etL)

∣∣∣∣t=0

(|va〉 ⊗ |vb〉)

=d

dt

(D(a)(etL)|va〉 ⊗D(b)(etL)|vb〉

)∣∣∣∣t=0

124

= D(a)(L)|va〉 ⊗ |vb〉+ |va〉 ⊗ D(b)(L)|vb〉= (D(a)(L)⊗ 1b + 1a ⊗D(b)(L))|va〉 ⊗ |vb〉 (9.27)

9.5.0.6 En conclusion, el operador lineal correspondiente a la representacion del algebra G sobreel espacio V (a) ⊗ V (b) es

D(a⊗b)(L) = (D(a)(L)⊗ 1b + 1a ⊗D(b)(L)) (9.28)

que en una base dada |eik〉 ≡ |e(a)i 〉 ⊗ |e

(b)k 〉 viene expresado por la matriz

(D(a)(L)⊗ 1b + 1a ⊗D(b)(L))ik jl = D(a)(L)ijδkl + δijD(b)(L)kl (9.29)

9.5.0.7 Aunque la demostracion ha sido constructiva, no esta de mas verificar que, de hecho,D(a⊗b) constituye una representacion. Para ello basta con comprobar que, efectivamente

D(a⊗b)([L,M ]) = [D(a⊗b)(L),D(a⊗b)(M)]. (9.30)

Notese como, si hubiesemos definido el producto tensorial de representaciones de un algebra aligual que para grupos, no se satisfarıa este requisito.9.5.0.8 En general, sabemos que D(a⊗b) es altamente reducible:

D(a⊗b) =∑c

nabc D(c). (9.31)

Esto implica que, igualmenteD(a⊗b) =

∑c

nabc D(c). (9.32)

Por tanto, los coeficientes de la Serie de Clebsh-Gordan, nabc , coinciden en la descomposicion derepresentaciones reducibles, ya sean las del grupo o las del algebra.

125

Capıtulo 10

El Grupo de Rotaciones

10.1. El grupo O(3)

Recordemos que O(3) es el conjunto de matrices ortogonales reales 3×3. Este grupo consta de doscomponentes conexas O+ y O−, segun que el determinante det g sea igual a +1 o a −1.10.1.0.9 Dado un elemento g ∈ O+ podemos obtener otro en O− mediante la multiplicacion deg por algun elemento de O−. Por ejemplo la reflexion en torno al origen

IS =

−1−1

−1

. (10.1)

De hecho cualquier elemento de O− puede escribirse de esta forma, entre las dos componentes existeuna biyeccion. Por tanto vamos a restringir nuestra atencion a la construccion de la componenteconexa con la identidad, o lo que es igual, a la construccion del grupo SO(3).

10.1.1. El algebra so(3)

Ya hemos visto de que manera se refleja la condicion de ortogonalidad sobre la caracterizacion delalgebra. Podemos obtener el mismo resultado haciendo uso de la representacion exponencial.Cualquier elemento de O+ puede escribirse en la forma g = eL, donde L es un elemento del algebrade Lie L ∈ G, que podemos espandir en una base L =

∑k θ

kLk. Por un lado tenemos que gt = eLt

,y por otro g−1 = e−L. Identificando ambas expresiones la definicion del algebra so(3) como elconjunto de matrices reales 3× 3 antisimetricas, es decir reales y antihermıticas.Una base para este algebra la constituye el siguiente conjunto de matrices reales

L1 =

0 0 00 0 10 −1 0

; L2 =

0 0 −10 0 01 0 0

; L3 =

0 1 0−1 0 0

0 0 0

(10.2)

que pueden ser definidas colectivamente en la forma (Li)jk = εijk (ε123 = 1) donde εijk es elsımbolo totalmente antisimetrico con tres ındices.

Ejercicio 10.1.1 Demuestra que las matrices Li satisfacen las siguientes reglas de conmutacion

[Li, Lj ] = −εijkLk. (10.3)

Ayuda:∑l εijlεlmn = δimδjn − δinδjm.

126

El ejercicio anterior muestra que las constantes estructura del algebra, en la base escogida (10.2),son precisamente f ijk = −εijk.10.1.1.1 Un elemento generico de so(3) es de la forma

L(~θ) = ~θ · ~L =3∑i=1

θiLi =

0 θ3 −θ2

−θ3 0 θ1

θ2 −θ1 0

(10.4)

y a partir de el, encontramos un elemento del grupo en la forma R(~θ) = e~θ·~L ∈ SO(3).

De nuevo, a la hora de calcular esta exponencial, es crucial la observacion siguiente:

(~θ · ~L)3 = −|~θ|2(~θ · ~L). (10.5)

Entonces

R(~θ) = e~θ~L

= 1 + ~θ~L+12

(~θ~L)2 +13!

(~θ~L)3 +14!

(~θ~L)4 + ...

= 1 + ~θ~L+12

(~θ~L)2 − 13!θ2(~θ~L)− 1

4!θ2(~θ~L)2 + ...

= 1 + (12− 1

4!θ2 + ...)(~θ~L)2 + (1− 1

3!θ2 + ...)(~θ~L)

= 1 + (12θ2 − 1

4!θ4 + ...)

(~θ

θ· ~L

)2

+ (θ2 − 13!θ4 + ...)

(~θ

θ· ~L

)

= 1 + (1− cos θ)

(~θ

θ· ~L

)2

+ sen θ

(~θ

θ· ~L

)= 1 + (1− cos θ)(~n · ~L)2 + sen θ(~n · ~L) (10.6)

=

n2

1 + cos θ(1− n21) n1n2 cos θ + n3 sen θ n1n3 cos θ − n2 sen θ

n1n2 cos θ − n3 sen θ n22 + cos θ(1− n2

2) n2n3 cosw + n1 sen θ

n1n3 cos θ + n2 sen θ n2n3 cos θ − n1 sen θ n23 + cos θ(1− n2

3)

donde hemos definido un vector unitario mediante ~θ = θ~n. Analogamente usaremos la notacionR~n(θ) = R(~θ) de forma intercambiable.10.1.1.2 Interpretacion Geometrica de ~w

Para dar una interpretacion geometrica a los parametros (θ1, θ2, θ3), es conveniente fijarnos enalgunos casos particulares. Por ejemplo, tomemos ~θ = (θ1, 0, 0). En este caso, la expresion (10.6)se reduce a

R(θ1, 0, 0) = 1 + (1− cos θ1)(L1)2 + (sen θ1)L1 =

1 0 00 cos θ1 sen θ1

0 − sen θ1 cos θ1

. (10.7)

De identica manera obtenemos un resultado muy sencillo para R(0, θ2, 0) y para R(0, 0, θ3):

R(0, θ2, 0) =

cos θ2 0 sen θ2

0 1 0− sen θ2 0 cos θ2

; R(0, 0, θ3) =

cos θ3 sen θ3 0− sen θ3 cos θ3 0

0 0 1

;

127

En resumen, al menos para estos tres casos, vemos que el vector ~θ parametriza una rotacion finitade angulo θ = |~θ| alrededor de un eje marcado por la direccion del vector unitario ~θ/θ.

Este es tambien el caso generico. En efecto, dado ~θ, mediante un cambio de base podemos hacerque este vector coincida con alguno de los tres ejes coordenados, y en esta base la matriz R tieneel significado que hemos encontrado en el parrafo anterior.En conclusion, las matrices de SO(3) R(~θ) son rotaciones de angulo θ en torno al eje que senala elvector ~n en el espacio euclıdeo tridimensional. Todos los elementos de SO(3) pueden parametrizarseen terminos de ~θ = θ~n con −π < θ ≤ π, y ~n en el hemisferio norte.10.1.1.3 Parametrizacion mediante angulos de EulerLa parametrizacion de Euler raliza una rotacion generica mediante una superposicion de tresrotaciones sucesivas: θ en torno al eje x3, a continuacion φ en torno al eje x1, y finalmente ψ entorno al eje x3 de nuevo. Es decir

R(ψ, θ, φ) = eψL3eθL1eφL3

=

cosψ senψ 0− senψ cosψ 0

0 0 1

1 0 00 cos θ sen θ0 − sen θ cos θ

cosφ senφ 0− senφ cosφ 0

0 0 1

=

cosψ cosφ− senψ senφ cos θ cosψ senφ+ senψ cosφ cos θ senψ sen θ

− senψ cosφ− cosψ senφ cos θ − senψ senφ+ cosψ cosφ cos θ cosψ sen θ

senφ sen θ − cosφ sen θ cos θ

10.1.2. Generadores Hermıticos

Los operadores hermıticos juegan un papel fundamental en el contexto de la Mecanica Cuantica,donde se denominan “observables”. Sus autovalores son reales y constituyen magnitudes mediblesexperimentalmente.Por este motivo es muy frecuente el uso de una base de operadores hermıticos para el algebra.¿Como se consigue esto? Evidentemente, si a partir de un operador L parametrizamos un elementodel grupo en la forma g(t) = eitH , donde hemos introducido un factor i en el exponente, tenemosque si g(t) es una matriz unitaria, iH debe ser antihermıtica y, por tanto, H hermıtica. De estaforma, si en lugar de Li, i = 1, 2, 3 consideramos los generadores Ji = ~

iLi encontramos que elalgebra que satisfacen estos nuevos generadores es

[Ji, Jj ] = i~εijk Jk. (10.8)

que es la forma estandar para las relaciones de conmutacion de los operadores de “momentoangular.en Mecanica Cuantica. En adelante usaremos ~ = 1 mediante la eleccion de un sistemaadecuado de unidades.

10.2. El grupo SU(2)

Por definicion, este es el grupo de matrices unitarias 2×2, con determinante unidad. Su dimensiones 3 al igual que la de SO(3). Sin embargo no es esta la unica semejanza que se da entre los dosgrupos, y la estrecha relacion que existe entre ambos es el motivo de que los hayamos incluidoen el mismo capıtulo. De hecho, ciertas partıculas, como el electron, exhiben grados de libertad,denominados espın, que se transforman frente a las rotaciones del espacio como representacionesdel grupo SU(2).

128

10.2.1. El algebra su(2)

El algebra su(2) es el espacio vectorial de matrices 2 × 2 antihermıticas y sin traza. Una base dedicho espacio la constituyen las matrices siguientes

L1 =12

(0 ii 0

)L2 =

12

(0 1−1 0

)L3 =

12

(i 00 −i

). (10.9)

que satisfacen las reglas de conmutacion [Li, Lj ] = −εijkLk.Encontramos ası que con esta definicion, las constantes de estructura son de nuevo f ijk = −εijk.En otras palabras, las algebras reales so(3) y su(2) son isomorfas.Al igual que en la seccion anterior, podemos considerar igualmente una base de operadores hermıti-cos σi = −2iLi i = 1, 2, 3 donde σi son las matrices de Pauli:

σ1 =(

0 11 0

)σ2 =

(0 −ii 0

)σ3 =

(1 00 −1

). (10.10)

que satisfacen [σi, σj ] = 2iεijkσk, ademas de σ2i = I y σi, σj = 2δijI. Todas estas propiedades se

pueden condensar en la identidadσiσj = δij + iεijkσk . (10.11)

Los generadores hermıticos usados convencionalmente en Mecanica Cuantica son Ji = ~2σi =

−i~Li, por tanto:

J1 =~2

(0 11 0

)J2 =

~2

(0 −ii 0

)J3 =

~2

(1 00 −1

). (10.12)

y que verifican por suparte[Ji, Jj ] = i~εijkJk (10.13)

10.2.1.1 De nuevo, un elemento arbitrario de SU(2) viene representado mediante la exponencialde un elemento, tambien arbitrario, de su(2), que denotaremos mediante

L = ~θ · ~L =i

2~θ · ~σ =

i

~~θ · ~J (10.14)

De la misma manera que antes, ahora encontramos que (~θ · ~σ)2 = θ2 I, y por lo tanto tenemos

U(θ) = e~θ·~L = ei

~θ· ~J

= ei2~θ·~σ

= 1 +i

2~θ~σ +

12

(i

2~θ~σ)2 +

13!

(i

2~θ~σ)3 +

14!

(i

2~θ~σ)4 + ...

= 1− 12

(θ

2)2 +

14!

(θ

2)4 − ...+ (1− 1

3!(θ

2)2 + ...)(

i

2~θ~σ)

= 1− 12

(θ

2)2 +

14!

(θ

2)4 − ...+ i(

θ

2− 1

3!(θ

2)3 + ...)

(~θ

θ· ~σ

)

= cosθ

21 + i sen

θ

2

(~θ

θ· ~σ

)

= cosθ

21 + i sen

θ

2(~n · ~σ) (10.15)

=(

cos θ2 + in3 sen θ2 (in1 + n2) sen θ

2

(in1 − n2) sen θ2 cos θ2 − in3 sen θ

2

)

129

donde, de nuevo, hemos definido el vector unitario ~n mediante ~θ = θ~n. Por tanto, de nuevo podemosparametrizar los elementos de este grupo mediante un vector tridimensional ~θ.Ahora, por el contrario, la periodicidad es 4π, de modo que podemos tomar en cuenta este hechopermitiendo que θ varıe en un rango de la misma longitud, por ejemplo: −2π ≤ ~θ ≤ 2π y ~n en elhemisferio norte, ya que U(θ · (−~n)) = U((−θ) · ~n) .10.2.1.2 Parametros de EulerPor analogıa con las rotaciones, podemos escribir

U(ψ, θ, φ) = eiψ2 σ3ei

θ2σ1ei

φ2 σ3

=

(eiψ2 0

0 e−iψ2

)(cos θ2 i sen θ

2

−i sen θ2 cos θ2

)(eiφ2 0

0 e−iφ2

)

=

(cos θ2e

iψ+φ2 i sen θ

2eiψ−φ2

−i sen θ2e−iψ−φ2 cos θ2e

−iψ+φ2

)(10.16)

10.2.2. Homomorfismo entre SU(2) y SO(3)

Del resultado de las secciones anteriores se deduce que podemos definir una aplicacion h : SU(2)→SO(3), que haga corresponder a U(~θ) ∈ SU(2) precisamente R(~ω = ~θ) ∈ SO(3). Es hecho de queesta aplicacion sea un homomorfismo, es decir, que a U(~θ)U(~θ) = U(~θ′′) le haga corresponderR(~θ)R(~θ′) = R(~θ′′) es consecuencia de que para encontrar ~θ′′(~θ, ~θ′) solo es necesario utilizar lasrelaciones de conmutacion del algebra, y estas son iguales para ambos grupos.Sin embargo es evidente que no es un isomorfismo ¡La periodicidad del parametro θ es el dobleque la de ω ! Por tanto, sospechamos que la aplicacion no es inyectiva, y que para cada elementode SO(3) existen dos elementos de SU(2). Para demostrarlo vamos a utilizar un resultado que esde uso frecuente cuando se trabaja con homomorfismos:

Teorema 10.2.1 Sea f : G → G′ un homomorfismo de G en G′, cuyo nucleo esKer(f). Entonces, la imagen Im(f) ⊂ G′ es isomorfa a G/Ker(f) ⊂ G:

Im(f) ' G

Ker(f). (10.17)

En el caso que nos ocupa, podemos encontrar facilmente el nucleo, puesto que para θ = 2π tenemosque R(2π) = R(0) = 1. Por el contrario, U(2π) = −1. En resumen, el nucleo consta de doselementos

Ker(f) =(

1 00 1

),

(−1 00 −1

). (10.18)

que forma una representacion del grupo Z2. En virtud del teorema anterior, encontramos para laimagen

SO(3) ' SU(2)/Z2. (10.19)

Sin necesidad de hacer uso del teorema (10.2.1) vemos que dos elementos U~n(θ) y U~n(θ + 2π) quese aplican en el mismo elemento R~n(θ), se diferencian en un factor U~n(2π) = −12×2.10.2.2.1 En resumen: los grupos SU(2) y SO(3) difieren en sus propiedades globales, pero com-parten el mismo algebra, el cual refleja la estructura del grupo en la vecindad de la identidad.La relacion puede ser dibujada geometricamente en la forma siguiente. El vector OP representa~θ = θ~n. Todo el espacio de parametros de SO(3) puede acomodarse en la esfera de radio π. Paraverlo recordemos que hemos permitido un rango de variacion para θ ∈ [−π,+π], mientras que ~n,

130

que senala el eje de rotacion, es un vector unitario que solamente puede apuntar en direcciones delhemisferio superior para evitar un doble contaje.Por su parte, el espacio de parametros para SU(2) consiste en todo el interior de la esfera de radio2π. Efectivamente, en este caso θ ∈ [−2π, 2π], con ~n de nuevo en el hemisferio superior.Un detalle importante que diferencia ambas construcciones es el hecho de que todos los puntosque caen exactamente sobre la esfera θ = 2π se corresponden con un unico elemento de SU(2),U~n(2π) = −12×2. La representacion grafica, si bien es util, no es fiel en este sentido.10.2.2.2 Una trayectoria en el grupo SO(3) que represente una sucesion contınua de rotacionesde angulos −π ≤ θ ≤ π en torno a un eje ~n fijo, viene representada mediante una recta que partede algun punto sobre la esfera de radio π, atraviesa el origen y termina en el punto diametral-mente opuesto. Como puntos diametralmente opuestos representan la misma rotacion, se puedenidentificar y vemos que la trayectoria constituye una curva cerrada.El mismo razonamiento puede hacerse con respecto a una rotacion contınua de angulo −2π ≤ θ ≤2π en torno a un eje fijo, para el grupo SU(2). Se trata tambien de una curva cerrada.El lector debe convencerse de un hecho crucial que distingue a un caso del otro: en el caso de SO(3)es imposible deformar continuamente la curva cerrada de forma que pueda contraerse a un punto:cualquier trayectoria que alcanza la esfera θ = π en algun punto, reaparece automaticamente enel punto diametralmente opuesto. Al mover el primero, se desplaza el segundo como un reflejo.Esto no es ası para SU(2), ya que entra en juego la observacion de que todos los puntos sobre laesfera θ = 2π son equivalentes. Por tanto podemos mover independientemente los puntos en losque la curva se adhiere a esta esfera sin que esta deje de ser cerrada. Procediendo ası hasta hacerloscoincidir al final obtendremos una curva cerrada tambien en el sentido de la representacion grafica,la cual puede ser deformada a un punto sin obstruccion alguna.

Definicion 10.2.1 Decimos que una variedad diferencial, M , es “simplemente co-nexa”si toda curva cerrada puede deformarse de forma contınua a un punto.

La discusion anterior nos permite ilustrar esta definicion con un ejemplo de cada tipo: SO(3) noes simplemente conexo mientras que SU(2) sı es simplemente conexo.

10.3. Representaciones Irreducibles de SU(2) y SO(3).

Al tratarse de grupos matriciales, inmediatamente estamos en conocimiento de una representacionfiel del grupo: aquella que asigna a cada elemento la propia matriz. Ası para SO(3) conocemosuna representacion de dimension d = 3 y para SU(2) una de dimension d = 2.Estas representaciones han sido obtenidas mediante la exponenciacion de matrices pertenecientes alalgebra correspondiente. En otras palabras, conocemos tambien una representacion para cada alge-bra. Concretamente las matrices (10.2) y (10.9) forman bases para representaciones antihermıticasde dimensiones d = 3 y d = 2 para so(3) y su(2) respectivamente.El procedimiento seguido en este caso has consistido en “ir del algebra al grupo”, y es el que debeseguirse para construir el resto de las representaciones irreducibles. Por tanto, vamos a empezarpor estudiar las representaciones irreducibles de so(3) y su(2).

10.3.1. Representaciones Irreducibles de su(2) y so(3).

10.3.1.1 La primera observacion relevante es esta: como su(2) y so(3) son algebras de Lie realesisomorfas, sus representaciones coinciden.

131

Esto implica que automaticamente conocemos 2 representaciones para cada una de las dos algebra,dadas por (10.2) y (10.9). En adelante, por tanto nos referiremos exclusivamente a su(2).La segunda observacion, si bien es prematuro reconocer su importancia, consiste en el hecho de quela construccion de las representaciones irreducibles de su(2) se simplifica enormemente si admitimoscombinaciones lineales complejas de los generadores Li. La estructura resultante es un “algebra deLie compleja”. 1

10.3.1.2A partir de J1 y J2, definimos los operadores “escalera”J± en la forma

J+ = J1 + iJ2 ; J− = J1 − iJ2. (10.20)

Inversamente, tenemos

J1 =12

(J+ + J−) , J2 =12i

(J+ − J−). (10.21)

Ahora, haciendo uso de las relaciones de conmutacion (10.13) obtenemos el algebra su(2) en estanueva base

[J3, J+] = J+

[J3, J−] = −J−[J+, J−] = 2J3 (10.22)

Si bien J3 sigue siendo hermıtico, J± son mutuamente conjugados:

J+3 = J3 ; J+

± = J∓ . (10.23)

Finalmente, y como consecuencia de las relaciones de conmutaci , tenemos que J2 ≡ J21 + J2

2 + J23

conmuta con todos los generadores 2

[J2, Ji] = [J2, J±] = 0 (10.24)

10.3.1.3 Desde el punto de vista abstracto, el algebra su(2) viene especificada a partir de lasrelaciones de conmutacion (10.22) para los tres generadores J+, J−, J3.Construir una representacion D de su(2) de dimension d es tan sencillo como encontrar un conjuntode 3 matrices (en general complejas) d×d, D(J+),D(J−),D(J3), las cuales verifican exactamentelas relaciones de conmutacion de su(2).Es conveniente resumir los resultados esenciales acerca de la existencia y caracterizacion de lasrepresentaciones irreducibles de su(2) en el enunciado de un teorema:

1Un algebra de Lie compleja de dimension d, es una espacio vectorial complejo de dimension compleja d, dotadode un corchete de Lie que satisface las mismas propiedades que para algebras de Lie reales, excepto que, ahora, lalinealidad se entiende con respecto a coeficientes complejos.

No se debe confundir el hecho de que un algebra de Lie sea compleja con el hecho de que sus elementos seancomplejos (c.f. (10.9)). La caracterizacion real o compleja del algebra hace referencia al tipo de combinaciones linealesadmisibles. Sea L un algebra de Lie real, tal que una base cualquiera es linealmente independiente tambien sobre elcuerpo de los numeros complejos. Podemos entonces considerar el cambio de cuerpo R → C y el algebra complejaque se obtiene es unica, denominandose complexificacion del algebra de Lie real L, eL.

Esto es lo que ocurre en el caso de las matrices Li de (10.9). Podemos tomar estas mismas matrices como base parala complexificacion fsu(2) de su(2). La base es la misma, y la dimension compleja tambien, por tanto la dimensionreal es el doble.

En la clasificacion de Cartan, de algebras complejas simples, se denomina a fsu(2), A1. En general la complexifi-cacion su(N) de su(N) se denomina AN .

2Debe usarse la siguiente identidad: [AB,C] = A[B,C] + [A,C]B.

132

Teorema 10.3.1 (i) Todas y cada una de las representaciones irreducibles de di-mension finita de su(2) de dimension finita (y su complexificacion A1), vienen eti-quetadas por un numero entero o semi-entero no-negativo D(j); j = 0, 1

2 , 1,32 , ...).

D(j) es un operador lineal que actua sobre un espacio vectorial V (j) de dimensionreal (o compleja) dj = 2j + 1.

(ii) Denotemos una base ortonormal de vectores del espacio vectorial V (j) en la forma|e(j)

m 〉;m = j, j − 1, j − 2, ...,−j + 1,−j3. Esta base puede ser escogida de formaque todos los vectores |e(j)

m 〉 de la misma sean autovectores de D(j)(J2) y deD(j)(J3) simultaneamente con autovalores j(j + 1) y m respectivamente; o sea:

D(j)(J2) |e(j)m 〉 = j(j + 1) |e(j)

m 〉D(j)(J3) |e(j)

m 〉 = m |e(j)m 〉. (10.25)

Ademas, las fases relativas de cada uno de estos vectores puede ser escogida de talforma que

D(j)(J+) |e(j)m 〉 =

√(j −m)(j +m+ 1) |e(j)

m+1〉

D(j)(J−) |e(j)m 〉 =

√(j +m)(j −m+ 1) |e(j)

m−1〉 (10.26)

Correspondientemente, en dicha base encontramos matrices D(j)m′m que repre-

sentan los operadores D(j), y cuyos elementos de matriz son

D(j)(J+)m′

m =√

(j −m)(j +m+ 1) δm′

m+1

D(j)(J−)m′

m =√

(j +m)(j −m+ 1) δm′

m−1

D(j)(J3)m′

m = m δmm′ . (10.27)

Demostracion: Como hemos dicho anteriormente, los operadores D(Ji) han de verificar las mismasrelaciones de conmutacion que los generadores del algebra Ji. Para simplificar la notacion,denotaremos al operador lineal D(Ji) mediante Ji, sobrentendiendo la diferencia que existeentre ambos objetos.

En particular tenemos que, como J2 y J3 son generadores hermıticos que conmutan entresı existe una base comun de autovectores con autovalores reales: sea v un autovector de J3

con autovalor m y de J2 con autovalor λ(m), es decir:

J3|v〉 = m|v〉J2|v〉 = λ(m)|v〉 (10.28)

Entonces, se deduce de las relaciones de conmutacion (10.22) que

J3(J+|v〉) = (m+ 1)(J+|v〉). (10.29)

Por tanto, excepto cuando J+|v〉 = 0, este vector es un vector propio de J3 con autovalorm + 1. Analogamente probamos que, excepto cuando J−|v〉 = 0, este vector es un vectorpropio de J3 con autovalor m− 1.

Por tanto, los autovalores m de J3, forman secuencias de numeros separados por intervalosenteros. Los operadores J± se denominan “operadores escalera”porque inducen, a traves deJ±, saltos de “escalones unidad”dentro de cada una de estas secuencias.

3m asume valores enteros si j es entero, y valores semienteros cuando j es semi-entero

133

En virtud del hecho de que J2 conmuta con J± y con J3 deducimos que: todos los autovectorespertenecientes a una secuencia de valores ...m− 1,m,m+ 1, .. comparten identico autovalorde J2: ...λ(m − 1), λ(m), λ(m + 1), ... = λ. Esta secuencia de vectores genera un subespaciovectorial que es invariante bajo la accion de todos los elementos del algebra. En definitivase trata del G-modulo asociado a una representacion irreducible que, por hipotesis, tiene dedimension finita. La hipotesis de finitud implica que estas secuencias se truncan para algunvalor de m.

Sea m = j el maximo autovalor de J3, dentro de una secuencia de vectores propios como lasdescritas anteriormente y supongamos que dicho autovalor no es degenerado. Denominemosel vector propio correspondiente |vj〉. Entonces necesariamente se cumple que J+|vj〉 = 0 yaque de otro modo obtendrıamos un vector propio con autovalor m = j + 1 en contra de lahipotesis. Entonces tenemos que

J−(J+|vj〉) = 0. (10.30)

Vamos a examinar esta ecuacion, primero en terminos de los generadores abstractos:

J−J+ = (J1− iJ2)(J1 + iJ2) = J21 +J2

2 + i[J1, J2] = (J2−J23 )−J3 = J2−J3(J3 +1) (10.31)

Correspondientemente tenemos que

J−(J+|vj〉) = (J2 − J3(J3 + 1))|vj〉 (10.32)

de donde deducimos queJ2|vj〉 = j(j + 1)|vj〉. (10.33)

En resumen, todos los vectores de la representacion irreducible tienen identico autovalor deJ2 , λj = j(j + 1).

Consideremos a continuacion el conjunto de vectores J−|vj〉, J2−|vj〉 = J2

−|vj〉, ..., que corres-ponden a los autovalores m = j − 1, j − 2, ... de J3. De nuevo, si suponemos que se tratade una representacion de dimension finita, en esta secuencia debe alcanzarse el vector cerodespues de una numero finito de pasos; es decir, ∃k tal que Jk−|vj〉 6= 0 pero Jk+1

− |vj〉 6= 0.Entonces el mınimo autovalor de J3 es j − k.

Examinemos entonces las consecuencias de la igualdad J+J−(Jk−|vj〉) = 0. Mediante unrazonamiento paralelo al seguido en (10.31), (10.32) tenemos que

J+J− = J2 − J23 + J3 (10.34)

y por tanto

J+J−(Jk−|vj〉) = (J2−J23 +J3)(Jk−|vj〉) = (j(j+1)−(j−k)2 +(j−k))(Jk−|vj〉) = 0 (10.35)

Como, por hipotesis, Jk−|vj〉 6= 0, encontramos que

j(j + 1)− (j − k)2 + (j − k) = 0 = (2j − k)(k + 1) = 0 (10.36)

es decir j = k/2.

En definitiva, los unicos valores posibles para j son j = 0, 12 , 1,

32 , ... mientras que los valores

propios posibles para J3 son j, j − 1, j − 2, ...,−j + 1,−j. Como son en total 2j + 1 valores,la dimension de la representacion es dj = 2j + 1.

Denotemos por |e(j)m 〉 autovectores simultaneos de J2 y J3 con autovalores j(j + 1) y m

respectivamente.

J2|e(j)m 〉 = j(j + 1)|e(j)

m 〉J3|e(j)

m 〉 = m|e(j)m 〉. (10.37)

134

Sabemos que J−e(j)m sigue siendo autovector, por tanto podemos escribir

J−|e(j)m 〉 = αjm|e

(j)m−1〉 (10.38)

donde αJm es un numero complejo. Como |e(j)m 〉 forman un conjunto ortonormal de auto-

vectores, tenemos que

|αjm|2 = 〈αjme(j)m−1|αjme(j)

m−1〉= 〈J−e(j)

m |J−e(j)m 〉

= 〈e(j)m |J+J−e(j)

m 〉= 〈e(j)

m |(J2 − J23 + J3)e(j)

m 〉= (j(j + 1)−m2 +m)〈e(j)

m |e(j)m 〉

= (j +m)(j −m+ 1). (10.39)

Es necesario tomar la “raiz cuadrada” de esta expresion. Siguiendo el convenio de Condon-Shortley (1935), tomaremos αjm real y positiva. De esta manera αjm =

√(j +m)(j −m+ 1),

o lo que es igualJ−|e(j)

m 〉 =√

(j +m)(j −m+ 1)|e(j)m−1〉. (10.40)

Como aj−j = 0 y J−e(j)−j = 0 esta ecuacion es consistente para j, j − 1, ...,−j + 1,−j.

Por otro lado, multiplicando la ecuacion (10.38) por J+ en ambos miembros encontramos

J+|e(j)m−1〉 =

1αjm

J+J−|e(j)m 〉 =

|ajm|2

αjm|e(j)m 〉 = αjm|e(j)

m 〉 (10.41)

donde en el ultimo paso hemos seguido la convencion de Condon-Shortley para tomar la raizcuadrada. En resumidas cuentas, llegamos a que

J+|e(j)m 〉 = αjm+1 =

√(j +m+ 1)(j −m)|e(j)

m+1〉 (10.42)

para m = −j,−j + 1, ..., j − 1. De nuevo, como αjj+1 = 0 y a su vez J+|e(j)j 〉 = 0, la ecuacion

anterior es consistente cuando m = j.

Volviendo a la notacion Ji → D(j)(Ji), las matrices que representan estos operadores linealesD(j)(Ji) son elementales de hallar a partir de las relaciones (10.42) y (10.61)

D(j)(J+)m′

m = 〈e(j)m′ |D

(j)(J+)e(j)m 〉 =

√(j −m)(j +m+ 1)δm

′

m+1

D(j)(J−)m′

m = 〈e(j)m′ |D

(j)(J−)e(j)m 〉 =

√(j +m)(j −m+ 1)δm

′

m−1

D(j)(J3)m′

m = 〈e(j)m′ |D

(j)(J3)e(j)m 〉 = mδm

′

m (10.43)

10.3.1.4 Resulta interesante examinar en detalle los casos especiales j = 0, 12 , y 1. La represen-

tacion j = 0 tiene dimension 1 y es la representacion trivial D(0)(Ji) = 1.

La representacion D( 12 ) es 2-dimensional. Etiquetando las filas primera y segunda mediante m′ = 1

2y m′ = − 1

2 , y las columnas primera y segunda mediante m = 12 y m = − 1

2 respectivamenteencontramos el siguiente conjunto de matrices

D( 12 )(J+) =

(0 10 0

), D( 1

2 )(J−) =(

0 01 0

), D( 1

2 )(J3) =(

12 00 − 1

2

). (10.44)

135

Despues de deshacer el cambio de variables encontramos para D( 12 )(Ji) = i

2σi, la representacionbidimensional (10.12) que define su(2).Para D(1) las matrices son 3× 3. De nuevo, etiquetando las filas y columnas con valores de m′ =1, 0,−1 y m = 1, 0,−1 obtenemos la base para la representacion en la forma siguiente

D(1)(J+) =

0√

2 00 0

√2

0 0 0

D(1)(J−) =

0 0 0√2 0 0

0√

2 0

D(1)(J3) =

1 0 00 0 00 0 −1

y deshaciendo el cambio segun se indica en (10.21)

D(1)(J1) =1√2

0 1 01 0 10 1 0

D(1)(J2) =1√2

0 i 0−i 0 i0 −i 0

D(1)(J3) =

1 0 00 0 00 0 −1

(10.45)

Esta representacion es unitariamente equivalente a la representada en (10.2). En efecto, la matriz

U =

− i√2

0 − i√2

0 1 01√2

0 − 1√2

(10.46)

es unitaria U−1 = U†, y verifica UD(1)(Ji)U† = iLi (salvo una redefinicion de los ejes L3 ↔ L2).

10.3.2. Representaciones de los Grupos SU(2) y SO(3)

Solucionado el problema de la contruccion de las representaciones irreducibles de su(2) formalmen-te esta resuelta tambien la construccion de las representciones de SU(2). Para cada j = 0, 1

2 , 1,32 , ...

obtenemos una representacion irreducible de SU(2), D(j) a partir de la correspondiente represen-tacion de su(2) D(j) mediante la aplicacion exponencial

D(j)(g = eitJ) = eitD(j)(J) = 1 + itD(j)(J) + ... (10.47)

donde J es un elemento (hermıtico) del algebra.10.3.2.1 Si particularizamos para j = 1

2 encontraremos precisamente la representacion (10.16),mientras que si j = 1 la representacion que obtenemos exponenciando las matrices (10.45) esunitariamente equivalente a la representacion (10.6).El calculo de las representaciones de dimension superior no representa mayor inconveniente tecnico.10.3.2.2 Si nos concentramos ahora sobre el grupo SO(3) encontramos un punto sutil. Efecti-vamente, las algebras su(2) y so(3) son isomorfas y por tanto comparten el mismo conjunto derepresentaciones irreducibles. Sin embargo no todas ellas inducen bajo la aplicacion exponencialrepresentaciones del grupo SO(3). Para verlo consideremos la familia uniparametrica de elementosg(t) = eitJ3 en la representacion de “espın”j.

D(j)(g(t)) = D(j)(eitJ3)= expitD(j)(J3)= expit diag(j, j − 1, ...,−j + 1,−j)= diag(eitj , eit(j−1), ..., eit(−j+1), eit(−j)) (10.48)

Claramente la periodicidad g(t) = g(t+ 2π) propia del grupo SO(3) solo se ve reproducida en lasmatrices (10.48) cuando j es un numero entero. En resumidas cuentas:

136

Lema 10.3.1 La representacion D(j) de so(3) induce bajo exponenciacion una re-presentacion D(j) del grupo SO(3), si y solo si j es un entero no-negativo.

10.3.2.3 Por ultimo, vamos a calcular el caracter χj(~ω) de un elemento g(~ω) de SU(2) en larepresentacion D(j). En particular vamos a calcularlo para ~ω ~J = ωJ3, es decir con ~ω = (0, 0, ω).Utilizando la ecuacion (10.48), vemos como

χj(~ω) =j∑

m=−jeimω (10.49)

Esta es una serie geometrica de 2j + 1 terminos con razon constante r = eiω, por tanto

χj(~ω) =e−ijω − ei(j+1)ω

1− eiω. (10.50)

Multiplicando arriba y abajo por e−jω/2 llegamos a la expresion

χj(~ω) =e−i(j+

12 )ω − ei(j+ 1

2 ))ω

e−iω/2 − eiω/2=

sen(j + 12 )ω

sen 12ω

. (10.51)

Como hemos dicho este es el caracter de una rotacion de angulo ω en torno a un eje ~n = ~ω/ω con~n = (0, 0, 1). Sin embargo, una rotacion del mismo angulo en torno a otro eje ~n′ se relaciona conesta mediante un cambio de orientacion de los ejes. Esto quiere decir que las matrices D(j)

~n (ω) yD

(j)~n′ (ω) son semejantes, y por tanto comparten identico caracter. En resumen por tanto,

χj(~ω) =sen(j + 1

2 )ωsen 1

2ω. (10.52)

es el caracter de una rotacion de angulo ω en torno a un eje cualquiera.

10.4. Producto Directo de Representaciones

Recordemos, que la serie de Clebsh-Gordan, produce la descomposicion del producto directo dedos representaciones irreducibles, como suma directa de representaciones irreducibles.Fısicamente esto se corresponde con el problema del acoplamiento de momentos angulares enmecanica cuantica.El resultado importante esta contenido en el siguiente teorema

Teorema 10.4.1 La serie de Clebsh-Gordan, para el producto directo de dos irrepsD(j1) y D(j2) de SU(2), es

D(j1) ⊗D(j2) =j1+j2∑

J=|j1−j2|

⊕D(J) (10.53)

Demostracion: Tomemos j1 ≥ j2. Entonces χj1⊗j2 = χ(j1)χ(j2) y haciendo uso de las expresiones(10.49) y (10.51) en la forma mas conveniente tenemos

χ(j1)χ(j2) =ei(j1+ 1

2 )ω − e−i(j2+ 12 )ω

2i sen ω2

j2∑m=−j2

eimω

=1

2i sen ω2

j2∑m=−j2

(ei(j1+m+ 12 )ω − e−i(j1−m+ 1

2 )ω) (10.54)

137

Como la suma sobre valores de m es sobre un intervalo simetrico, podemos cambiar −m porm en el segundo exponente. Despues de hacer esto observamos que m y j1 aparecen siempreen la combinacion j = j1 +m, con j corriendo desde j1 − j2 hasta j1 + j2. Es decir

χ(j1)χ(j2) =1

2i sen ω2

j1+j2∑j=j1−j2

(ei(j+12 )ω − e−i(j+ 1

2 )ω) =j1+j2∑j=j1−j2

sen (j + 12 )ω

sen ω2

(10.55)

Ası llegamos a la expresion final

χj1⊗j2 =j1+j2∑

J=j1−j2

χJ(ω) (10.56)

10.4.1. Composicion de Momento Angular

La serie de Clebsh-Gordan (10.53), indica que el producto tensorial de dos representaciones sedescompone en suma de otras tantas representaciones irreducibles,En aplicaciones concretas a problemas de mecanica cuantica es necesario saber algo mas. Concre-tamente desearıamos conocer como se expresan las bases de los espacios de representacion D(j),como productos tensoriales de las bases de D(j1) y D(j2).

D(j1⊗j2) = eiD(j1⊗j2)(J)

= D(j1) ⊗D(j2) = eiD(j1)(J) ⊗ eiD

(j2)(J)

= (1 + iD(j1)(J) + ...)⊗ (1 + iD(j1)(J) + ...) (10.57)

Para ello empezaremos recordando que, para las representaciones del algebra,

D(j1⊗j2)(J) = D(j1)(J)⊗ 1(j2) + 1(j1) ⊗D(j2)(J)

aunque generalmente omitiremos los operadores 1 en lo que sigue. Es elemental verificar queD(j1⊗j2) verifica las mismas relaciones de conmutacion que D(j1) y que D(j2), y, por tanto, es unarepresentacion del algebra. Usaremos a partir de ahora la notacion D(jk)(J) → J (k). En nuestrocaso tendremos, denotando Ji = J

(1⊗2)i

Ji = J(1)i + J

(2)i i = 1, 2, 3

o, de forma colectiva. ~J = ~J

(1)

+~J(2)

. Analogamente podemos formas la base de operadores escalera

J3 = J(1)3 + J

(2)3 (10.58)

J± = J(1)± + J

(2)±

J2 = J (1)2 + J (2)2 + J(1)+ J

(2)− + J

(1)− J

(2)+ + 2J (1)

3 J(2)3 (10.59)

Con esto es facil verificar que J2 = ~J~J , y J3 siguen conmutando [J2, J3] = 0. Recordemos que, por

lo tanto, es posible construir una base de autovectores de ambos operadores |e(j)m 〉 donde

J2|e(J)M 〉 = J(J + 1)|e(J)

M 〉

J3|e(J)M 〉 = M |e(J)

M 〉 (10.60)

138

Concretamente, el vector e(J)J es aniquilado por J+, y a partir de el generamos el resto usando

J− |e(J)M 〉 =

√(J +M)(J −M + 1) |e(J)

M−1〉. (10.61)

Si tomamos la ecuacion como una identidad entre espacios de representacion, entonces debe ser po-sible expresar los vectores |e(J)

M 〉 como combinacion lineal de la base |e(j1)m1 〉⊗|e

(j2)m2 〉 de autovectores

de (J (1))2, J(1)3 ⊗ (J (2))2, J

(2)3 . Escribimos en este caso

|e(J)M 〉 =

∑m1,m2

C(j1j2J ;m1m2M) |e(j1)m1〉 ⊗ |e(j2)

m2〉 (10.62)

Los coeficientes que expresan este cambio de base se denominan Coeficientes de Clebsch-Gordan.De (10.58) vemos que los numeros m1 y m2 son aditivos por lo que se suele omitir el argumentom,

|e(J)M=m1+m2

〉 =∑m1,m2

C(j1j2J ;m1m2) |e(j1)m1〉 ⊗ |e(j2)

m2〉 (10.63)

La generacion de la base |e(J)M 〉 sigue de la observacion siguiente: hay vectores propios de J2 y

J3, (uno por cada D(J) que entra en la suma del miembro de la derecha) que son aniquilados porJ+. Una vez identificado uno de estos vectores, el resto del subespacio se genera por aplicacionreiterada de J− hasta que se trunca la sucesion. La mecanica sigue los siguientes pasos

Paso 1: El mas facil de identificar es |e(j1)j1〉 ⊗ |e(j2)

j2〉. Aplicando J3 este vector no es otro que

|e(J)J 〉 con J = j1 + j2.

Paso 2: Utilizando la forma explıcita del generador J− en las representaciones de dimensionesj, j1 y j2 uno puede expresar |e(J)

J−1〉, |e(J)J−2〉, ..., etc. en funcion de |e(j1)

j1−1〉, |e(j1)j1−2〉.... ⊗

|e(j2)j2−1〉, |e

(j2)j2−2〉.... Finalmente uno llega al estado |e(J)

−J〉 = |e(j1)−j1〉 ⊗ |e

(j2)−j2〉, aniquilado por

J−. Todas estas combinaciones forman el subespacio sobre el que actuan las matrices de D(J).

Paso 3: Con los estados |e(j1)j1−1〉⊗|e

(j2)j2〉 y |e(j1)

j1〉⊗|e(j2)

j2−1〉 formese una combinacion lineal ortogonal

a |e(J)J−1〉. Por construccion, es autovalor de J3 con autovalor J − 1. Verificar que ademas es

autoestado de J2 con autovalor (J − 1)J = (J − 1)((J − 1) + 1), y que es aniquilado por J+.Llamaremos a este estado |e(J−1)

J−1 〉

Paso 4: Repetir el Paso 2, ahora comenzando con el estado encontrado, para generar la serie|e(J−1)J−2 〉, |e

(J−1)J−3 〉, ... que forma la base del subespacio sobre el que actuan las matrices de

D(J−1).

Paso 5: Identificar |e(J−2)J−2 〉como aquella combinacion de vectores |e(j1)

j1−2〉⊗|e(j2)j2〉, |e(j1)

j1−1〉⊗|e(j2)j2−1〉

y |e(j1)j1〉 ⊗ |e(j2)

j2−2〉 que es ortogonal tanto a |e(J)J−2〉 como a |e(J−1)

J−2 〉 . Este vector es el puntode partida para la construccion de D(J−2).

Paso 6: El procedimiento se termina al llegar a J = |j1− j2|. En el proceso, el numero de vectoresque habremos generado es

Jmax∑i=Jmin

dim(D(i)) =Jmax∑i=0

(2i+ 1)−Jmin−1∑i=0

(2i+ 1) = (Jmax + 1)2 − (Jmin)2

= (j1 + j2 + 1)2 − (j1 − j2)2 = (2j1 + 1)(2j2 + 1) (10.64)

139

Ejercicio 10.4.1 Considera la descomposicion general D(j1)⊗D(j2) en representacionesirreducibles D(Jmax) ⊕D(J−1) ⊕ ....⊕D(Jmin), donde Jmax = j1 + j2 y Jmin = |j1 − j2|.

(i) Verifica que J2 y J3 conmutan [J2, J3] = 0.

(ii) Obten explıcitamente la forma de los vectores |e(J)J 〉 y |e(J)

J−1〉 con J = Jmax = j1 + j2.

Construye |e(J−1)J−1 〉 imponiendo ortonormalidad con |e(J)

J−1〉. Verifica que J+ aniquila este

vector. Verifica que todos ellos son autoestados de J2 con el autovalor correcto.

(ii bi) Obten recursivamente los coeficientes de Clebsh-Gordan, C(j1, j2, J ;m1,m2) para elproducto tensorial de dos representaciones D(j1) ⊗ D(j2) de SU(2), en los casos (j1 =12, j2 = 1

2) y (j1 = 1, j2 = 1

2).

10.5. Tensores de SU(2)

10.5.0.1 Tensores (1, 0)

Ya hemos visto que, dada una representacion hermıtica de su(2), D(j)i ≡ D(j)(Ji)

[D(j)i ,D(j)

j ] = iεijkD(j)k (10.65)

obtenemos una representacion para el elemento g(~θ)

D(j)(g)ab = D(j)(~θ)ab = (ei~θ· ~D(j)

)ab (10.66)

Denominamos (j)-tensores contravariantes a los elementos de un espacio vectorial que se transfor-man bajo la representacion D(j).

η′a = (D(j)−1)abηb (a, b = 1, ..., 2j + 1). (10.67)

A los ( 12 )-tensores se les conoce tambien con el nombre de espinores, y D( 1

2 ) es la representacionespinorial. D(1) se conoce como representacion vectorial, y xi = ηi(1), i = 1, 2, 3 son los vectorestridimensionales usuales. Notese que en general ηa son numeros complejos.10.5.0.2 Tensores (0, 1) La nocion de covariancia y contravariancia es la misma que de costumbre.Por tanto, a la par que ηa podemos considerar ηa que se transforman segun la regla usual

ηa = D(j) baηb (a, b = 1, ..., 2j + 1). (10.68)

10.5.0.3 Forma Bi-lineal InvarianteLa relacion que verifican las matrices de SU(2) deben compartirla todas sus representaciones. Portanto, en general sera verdad que D(j)†D(j) = 1 ∀j. Escrito en componentes

D(j)∗ caδcdD

(j) db = δab (10.69)

Esta ecuacion sugiere una generalizacion de la forma bilineal que tenemos para una metrica sobreuna espacio real, a un espacio complejo. Sean ηa y ξa dos j-espinores

g(η, ξ) = ηa∗δabηb (10.70)

140

es claramente invariante bajo la accion de SU(2)

g(η′, ξ′) = η′∗cδcdη′d = ηa D∗(j) caδcdD

(j) db η

b = ηaδabηb = g(η, ξ)

Esto nos permite definir espinores covariantes a partir de espinores contravariantes en la formausual

ηa = ηb∗δab = ηa∗ (10.71)

10.5.0.4 Otra forma invariante ω

En el caso j = 12 encontramos otro tensor invariante. Definamos

ωab = (iσ2)ab =(

0 1−1 0

); ωab ≡ ω−1

ab = (−iσ2)ab =(

0 −11 0

)(10.72)

Entonces claramente se cumple que

D( 12 ) a′

aωa′b′D( 1

2 ) b′b = (detD( 1

2 ))ωab = ωab (10.73)

De modo que ωab es un tensor antisimetrico invariante. Podemos definir una metrica invariante

ω(η, ξ) = ηaωabξb = η1ξ2 − η2ξ1

que tiene la pega de que todo espinor tiene norma nula ω(η, η) = 0. Dejando de lado esta sutileza,es evidente que la no-degeneracion de ω nos permite subir y bajar ındices como si de una metricausual se tratase. Ahora solo hay que tener cuidado porque contraer con el primer ındice o con elsegundo lleva a resultos opuestos

ηa = ωabηb = −ηbωba ; ηa = ωabηb = −ηbωba (10.74)

10.5.0.5 Representacion ConjugadaEn general, aunque un algebra de Lie sea un espacio vectorial real, las matrices que forman unarepresentacion arbitraria no tienen por que ser reales. El caso mas evidente es el de la representacionespinorial de SU(2), D( 1

2 )i = 1

2σi. Sin embargo, siempre existe una base en la cual las constantesde estructura deben ser numeros reales o puramente imaginarios. Nos centraremos en esta segundabase, de la cual ((10.65)) es un ejemplo.Dada una representacion D de un algebra de Lie en una base como la mencionada, se demuestrainmediatamente que las siguientes son tambien representaciones −D∗,−DT y D∗T . Exponenciandoestas representaciones en la forma usual (10.47), vemos que cualquier representacion D de un grupode Lie, viene automaticamente acompanada de otras tres D∗, D−1T y D∗−1T

En general estas representaciones no son equivalentes. En el caso de que exista algun elemento delalgebra S, tal que SDS−1 = −D∗ es inmediato verificar que SDS−1 = D∗. En este caso decimosque la representacion D del algebra y D del grupo son reales. En caso contrario, el caso general,decimos que la representacion es compleja.10.5.0.6 La representacion D = D( 1

2 ) es realEsto se deduce sencillamente del hecho de que existe una metrica invariante que es real. Nos estamosrefiriendo a ω que como vemos, permite construir espinores contravariantes a partir de covariantesy viceversa, sin necesidad de invocar la conjugacion compleja. De hecho la ecuacion (10.73) puedeescribirse en forma matricial

DtωD = ω . (10.75)

Haciendo uso de la unitariedad esta ecuacion puede ponerse en la forma equivalente

ωDω−1 = (Dt)−1 = D∗ (10.76)

141

o, en componentes4

ωabDbcω

cd = (D−1)tda = D−1 ad

Solo hace falta recordar que ω es un elemento del algebra ω = −iσ2 y tenemos el resultado queanunciabamos. Es sencillo probar que, consistentemente

ωD∗ω−1 = iσ2D∗(−iσ2) = −D∗

En resumidas cuentas los espinores contravariantes y covariantes se transforman con matricesmutuamente complejas conjugadas. Si η′a = Da

bηb = (Dη)a

η′a = ωabη′b

= ωabDbcηc

= (ωabDbcω

cd)ηd= D−1 c

aηc

= (D−1T η)a= (D∗η)a .

La equivalencia entre D y D−1T es la que existe siempre que tenemos una metrica invariante, entrelos tensores covariantes y contravariantes. La equivalencia entre D y D∗ se entiende en este casopor la unitariedad, que implica que D∗ = D−1T .

10.5.1. Homomorfismo entre SU(2) y SO(3)

Ya hemos hablado de los espinores. Por su parte, los vectores se transforman segun la representacionde espın 1

xi = D(1)(~θ)ijxj = (ei~θ·D(1)( ~J))ij xj (10.78)

Podemos establecer con mas precision el homomorfismo que existe entre SU(2) y SO(3). Para ellocomenzamos por recordar que la descomposicion de Clebsh-Gordan afirma que

[12

]⊗ [12

] = [0]⊕ [1] (10.79)

donde por [j] entendemos D(j). En el fondo, la ecuacion (10.79) lo unico que dice es que un sistemaligado formado por dos magnitudes espinoriales, se transforma bajo rotaciones como un vector ocomo un escalar. Querrıamos tener una regla explıcita para construir a partir de dos espinores η yξ dicho vector, o dicho escalar. El escalar es sencillo. De hecho hay dos posibles

A =2∑a=1

ηaξ∗a ; B = ηaωabξb (10.80)

4En efecto la posicion de los ındices es consistente

D−1 bdD

dc = ωdeD

eaω

abDdc

= DdcωdeDeaω

ab

= (DT εD)caεab

= εcaεab = δbc . (10.77)

142

En cuanto al vector,tenemos la ecuacion

xi = ηa (σi)ab ξb (10.81)

Si esta ecuacion es correcta debe transformarse bajo rotaciones con D(1), es decir x′i = D(1) ijxj .

Por otro lado

x′i = η′a(σi)abξ′b = ηc (D( 12 ))ca(σi)ab(D( 1

2 )−1)bd ξd

= ηc

(D( 1

2 )σiD( 12 ) †)c

d ξd

= (D(1))ij(ηc(σj)cdξd

)= (D(1)−1)ijxj (10.82)

Si esta igualdad ha de verificarse para cualesquiera η y ξ quiere decir que debe cumplirse(D( 1

2 )σiD( 12 ) †)c

d = D(1)−1 ij(σj)cd (10.83)

Haciendo uso de la identidad trσiσj = 2δ podemos despejar, y, tomando hermıtico conjugadollegamos a

D(1) ij(g) =

12

tr(D( 1

2 )†(g)σiD( 12 )(g)σj

)(10.84)

De esta ecuacion deducimos que la representacion D(1) no puede ser fiel en SU(2) puesto que losdos elementos ±D( 1

2 ) se aplican sobre el mismo elemento D(1). Esta identidad hace explıcito elhomomorfismo entre SU(2) y SU(3) mencionado en (10.19).Por ultimo vamos a probar que (10.84) es correcta. Para ello expandimos ambos miembros entorno a la identidad, y utilizamos el hecho de que conocemos explıcitamente las representacionesdel algebra D( 1

2 )(Jk) = i2σ

k y (D(1)(Ji))jk = −iεijk. Supongamos que g = g(θ) es una rotacioninfinitesimal θi << 1

D( 12 ) i

j = (eiθkD

( 12 )k )ij = δij + iθk(D( 1

2 )

k )ij + ...

= δij +i

2θk(σk)ij + ... (10.85)

entonces

12

tr(D( 1

2 )†(g)σiD( 12 )(g)σj

)=

12

tr(

(1− i

2θkσ

k + ...)σi(1 +i

2θkσ

k + ...)σj)

=12

tr(σiσj − i

2θkσ

kσiσj +i

2θkσ

iσkσj ...

)=

12

tr(σiσj − i

2θk[σk, σi]σj + ...

)= δij + θkε

kij + ...

= δij + iθk(−iεijk).... (10.86)

y por otro ladoD(1) i

j = (eiθkD(1)

k )ij = δij + iθk(D(1)k )ij + ... (10.87)

Comparando obtenemos ası(D(1)

k )ij = −iεijk (10.88)

143

que es precisamente la representacion fundamental de SO(3).

Ejercicio 10.5.1 Demostrar que el producto vectorial de dos vectores de SO(3), xi =εijkyjzk se transforma como un vector x′i = D(1) j

ixj.

10.6. Rotaciones de Magnitudes Fısicas

10.6.0.1 ¿Como rota el vector de posiciones ?El vector de posicion ~x es un elemento del espacio vectorial R3 con componentes (x1, x2, x3)en una base cartesiana, en la cual la metrica adopta la forma gij = δij . Por su dimension, larepresentacion que actua sobre estas coordenadas es D(1)(g). Abreviaremos esta matriz con ladenominacion D(1)(g) = R. Una rotacion finita especificada por un eje θ = θ~n sera

~x′ = R~x ⇒ x′i = (D(1)(g))ijxj = R(θ)ijxj

Una rotacion infinitesimal sera por tanto, para θ << 1

x′i = (D(1)(g))ijxj = (eiθkD(1)(Jk))ijxj

= (1 + iθkD(1)(Jk) +O(θ2))ijxj

= (δij − θk(Lk)ij + ...)xj

= xi − θkεkijxj + ...

= xi + (~θ × ~x)i + ... (10.89)

10.6.0.2 ¿Como rota una funcion?Si f(~x) es una funcion que describe alguna magnitud fısica en una region del espacio, podemospreguntarnos cual es la funcion f ′(~x) que describe el sistema despues de haber efectuado unarotacion del aparato. Si bajo la rotacion ~x → ~x′ = R(g)~x = R~x. Entonces, se debe cumplir quef(~x)→ f ′(~x′(~x)) = f(~x), o lo que es igual,

f ′(~x′) = f(R−1~x′). (10.90)

Por un lado tenemos que la expresion anterior es cierta para todo valor de ~x′, por tanto podemoscambiar el argumento por ~x sin problemas. Por otro, como f ′(~x) viene determinada a partir def(~x) a partir de la transformacion de coordenadas R(g), podemos considerar que ambas estanrelacionadas mediante la accion de un unico operador U(g) que solo depende de g. Definamos, portanto, un operador lineal U(g) sobre L2(R3) a traves de la siguiente identidad

g : f(~x) → f ′(~x) = U(g)f(~x) = f(R(g−1)~x). (10.91)

Teorema 10.6.1 Con la definicion (10.91) el conjunto de operadores lineales U(g) g ∈G forma una representacion del grupo G sobre el espacio de Hilbert L2.

Demostracion: Sea ~y = R−1(g′)~x. Entonces

U(g)U(g′)f(~x) = U(g)f(~y) = f(R−1(g)~y)= f(R−1(g)R−1(g′)~x)= f(R−1(gg′)~x)= U(gg′)f(~x).

144

La accion infinitesimal de U(g(~θ)) a primer orden en ~θ, define un operador U que es un elementode la representacion del algebra de Lie sobre el espacio de funciones L2. Por un lado tenemos

f ′(~x) = U(g(~θ))f(~x) = eiθkU(Jk)f(~x)

= (1 + iθkU(Jk) + ...)f(~x) (10.92)

y por otro

f ′(~x) = f(R(−~θ)ijxj) = f(xi − (θ × x)i + ...)= f(~x)− (θ × x)i∂if(~x)= f(~x)− θkεikjxj∂if(~x) (10.93)

Comparando (10.92) con (10.93) llegamos a la identificacion siguiente

U(Jk) = −iεkjixj∂i (10.94)

o, explıcitamente

U(J1) = −i(x2 ∂

∂x3− x3 ∂

∂x2)

U(J2) = −i(x3 ∂

∂x1− x1 ∂

∂x3) (10.95)

U(J3) = −i(x1 ∂

∂x2− x2 ∂

∂x1)

Para verificar que los operadores U(Jk) constituyen una representacion de so(3) sobre L2 podemoscomprobar, mediante un calculo sencillo, que las relaciones de conmutacion se cumplen adecuada-mente.

[Ji, Jj ] = iεijkJk ⇒ [U(Ji),U(Jj)] = iεijkU(Jk) (10.96)

10.6.0.3 ¿Como rota un campo vectorial?Conocemos bastantes ejemplos de campos vectoriales: el campo eletrico ~E(~x), el campo magnetico~A(~x), el campo de velocidades de un fluido ~v(~x), etcetera. Tomemos Ei(xj) como caso ejemplar. Elhecho de que estas tres funciones formen las componentes de un campo vectorial quiere decir quebajo rotaciones no se transforman como tres campos escalares independientes, sino que se mezclanentre sı en la representacion D(1) de SO(3), exactamente igual a como lo hacen las coordenadas.Mas concretamente, ahora en lugar de (10.90) encontraremos

E′i(~x) = RijEj(R−1~x) (10.97)

De nuevo, esta aplicacion define un operador U (1)(g) : ~E(~x)→ ~E′(~x). Tecnicamente, este operadorrepresenta los elementos del grupo sobre el espacio vectorial V (1) ⊗ L2. La accion infinitesimal,de nuevo nos permite definir un elemento del algebra y su correspondiente representacion. Por unlado

E′i(~x) = U (1)(g(~θ))ijEj(~x) = Ei(~x) + iθk U (1)(Jk)ijEj(~x) + ... (10.98)

E′i(~x) = RijEj((R−1)lmxm)

= (δij + θkεijk + ...)Ej(xl − θkεlmkxm + ...)= Ei(~x) + θkεijkE

j(~x)− δijεlmkθkxm∂lEj(~x) + ...

= Ei(~x) + θk(εijk − δijεlmkxm∂l)Ej(~x) + ... (10.99)

145

Comparando con (10.98) llegamos al resultado buscado

U (1)(Jk)ij = −iεijk − iδijεkmlxm∂l (10.100)

La generalizacion de un campo vectorial de 3 componentes, a uno de 2j + 1 componentes que setransforme en la representacion D(j) es inmediata. Sean ψjm(~x),m = j, j− 1, ...,−j un conjunto de2j + 1 funciones del espacio de representacion V (j) ⊗ L2. En lugar de (10.97) ahora tendremos

ψ′jm(~x) = D(j)(θ)m′

mψjm′(R

−1~x) (10.101)

y, siguiendo los mismos pasos que llevaron a (10.100), obtenemos ahora un operador sobre esteespacio

U (j)(Jk)m′

m = D(j)(Jk)m′

m ⊗ 1 + δm′

m ⊗ U(Jk) (10.102)

que es lo natural para una representacion del algebra actuando sobre el espacio producto V (j)⊗L2.10.6.0.4 Invariancia rotacionalUna funcion invariante bajo rotaciones cumple que f ′(~x) = f(~x). A la vista de (10.94), a primerorden esto se cumple si U(Jk)f(~x) = 0. Explıcitamente

εijkxj∂kf(~x) = 0 ⇒ ~x× ~∇f(~x) = 0 (10.103)

En particular esto se cumple para cualquier funcion f(|~x|).¿Que podemos decir de un campo vectorial invariante bajo rotaciones? El mismo argumento noslleva a pedir que ~E′(~x) = ~E(~x), es decir U (1)(Jk)ijEj = 0. El campo vectorial invariante rotacio-nalmente debe verificar el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden

εlmkxm∂lE

i = εijkEj (10.104)

Esta ecuacion la verifica cualquier funcion con “perfil de erizo”Ei = xif(|~x|). Ademas, contrayendocon ∂k y sumando sobre k en ambos miembros llegamos a que cualquier solucion de esta ecuaciontiene rotacional nulo ~∇× ~E = 0 (no es condicion suficiente).10.6.0.5 Invariancia rotacional de rango superior: los armonicos esfericosLa generalizacion de (10.104) a espacios de representacion superiores es ahora evidente. La nocionde campo (2j+1)-vectorial invariante bajo rotaciones involucra funciones ψjm(~x) tales que se verifica

U (j)(Jk)ψim(~x) = 0 ⇒(D(j)(Jk)m

′

m ⊗ 1 + δm′

m ⊗ U(Jk))ψim(~x) = 0 (10.105)

En particular esta base la forman autoestados de los generadores J2 = ( ~J)2 y J3, por tanto

D(j)(J2)m′

mψjm′(~x) = j(j + 1)ψjm(~x)

D(j)(J3)m′

mψjm′(~x) = mψjm(~x). (10.106)

D(j)(J±)m′

mψjm′(~x) =

√(j ∓m)(j ±m+ 1)ψjm±1(~x)

Si en lugar de trabajar en coordenadas cartesianas (x1, x2, x3) utilizamos coordenadas polares,(r, θ, φ), los operadores diferenciales (10.95) adoptan la siguiente expresion:

U(J1) = i

(senφ

∂

∂θ+ cotθ cosφ

∂

∂φ

)U(J2) = −i

(cosφ

∂

∂θ− cotθ senφ

∂

∂φ

)(10.107)

U(J3) = −i ∂∂φ

146

que verifican el mismo algebra (10.96), como se debe comprobar. De forma que las ecuaciones queexpresan la invariancia bajo rotaciones, (10.105), ahora son

1sen θ

∂

∂θ

(sen θ

∂

∂θ

)+

1sen2 θ

∂

∂φ2

ψjm(~x) = j(j + 1)ψjm(~x) (10.108)

−i ∂∂φψjm(~x) = mψjm(~x) (10.109)

e±iφ− ∂

∂θ+ icotθ

∂

∂φ

ψjm(~x) =

√(j ∓m)(j ±m+ 1)ψjm±1(~x) (10.110)

Empezaremos solucionando estas ecuaciones por (10.109) que implica ψjm(r, θ, φ) = eimφf jm(r, θ)Si ahora sustituimos esta funcion en la ecuacion (10.108) obtenemos

1sen θ

∂

∂θ

(sen θ

∂

∂θ

)− m2

sen2 θ

f jm(r, θ) = j(j + 1)f jm(r, θ). (10.111)

Esta ecuacion es conocida en la teorıa de ecuaciones diferenciales como la Ecuacion Asociada deLegendre, cuyas soluciones adoptan la forma

f(r, θ) = Pmj (cos θ)F (r) (10.112)

con F (r) una funcion generica y Pmj (cos θ) la funcion asociada de Legendre, que puede definirseen terminos de los Polinomios de Legendre, Pj(cos θ) mediante

Pmj (cos θ) = (sen θ)mdm

d(cos θ)mPj(cos θ). (10.113)

para m = 0, 1, 2, ...j y por

Pmj (cos θ) = (−1)m(j −m)!(j +m)!

Pmj (cos θ) (10.114)

para m = −1,−2, ...,−j.Con los armonicos esfericos Y mj (θ, φ) definidos en la forma

Y mj (θ, φ) = (−1)m√

(2j + 1)(j −m)!4π(j +m)!

eimφPmj (cos θ), (10.115)

las ecuaciones (10.108),(10.109) y (10.110) se satisfacen con las funciones 5

ψjm(~x) = Y mj (θ, φ)R(r). (10.118)

La gran ventaja de las funciones (10.118) es que tienen controlado su comportamiento bajo rota-ciones. Concretamente, bajo rotaciones finitas ~x→ R~x verifican que

ψjm(~x) = D(j)(g)m′

mψjm′(R(g)−1~x) (10.119)

5Si ψjm han de formar una base ortonormal, dada la propiedad de ortonormalidad de los armonicos esfericosZ 2π

0

Z π

0Y ∗jm(θ, φ)Yj′m′ (θ, φ) sen θdθdφ = δjj′δmm′ . (10.116)

tenemos que R(r) es cualquier funcion de r, tal queZ ∞0|R(~x)|2r2dr = 1. (10.117)

147

de la que la ecuacion (10.105) no es mas que la version infinitesimal de (10.119).

Y 00 (θ, φ) = 1√

4π

Y 11 (θ, φ) = −

√3

8π sen θeiφ

Y 01 (θ, φ) =

√3

4π cos θ

Y −11 (θ, φ) = +

√3

8π sen θe−iφ

Y 22 (θ, φ) =

√5

96π3 sen2 θe2iφ

Y 12 (θ, φ) = −

√5

24π3 sen θ cos θeiφ

Y 02 (θ, φ) =

√5

4π

(32 cos2 θ − 1

)Y −1

2 (θ, φ) = +√

524π3 sen θ cos θe−iφ

Y −22 (θ, φ) =

√5

96π3 sen2 θe−2iφ

Primeros armonicos esfericos.

Ejercicio 10.6.1 Demostrar que el cambio de base (10.46) transforma las funciones ψ1m(~x)

en funciones vectoriales cartesianas de la forma Ei(~x) = ~xif(|~x|).

10.6.0.6 Armonicos Esfericos de SU(2)

Con respecto a SU(2), consideramos que la representacion que define el grupo D( 12 ) actua sobre el

espacio vectorial C2 formado por pares ~z = (z1, z2) de numeros complejos.De nuevo, podemos considerar una representacion del algebra su(2) en forma de operadores di-ferenciales de primer orden que verifican bajo conmutacion las mismas relaciones que los propiosgeneradores Ji.

U(J1) = −12

(z2∂z1 + z1∂z2)

U(J2) = +i

2(z2∂z1 − z1∂z2)

U(J3) = −12

(z1∂z1 − z2∂z2) (10.120)

10.6.0.7 De nuevo buscamos una base de autofunciones ψjm(~z) que satisfagan el analogo de lasrelaciones (10.105)

U(Jk)ψjm(~z) = D(j)(Jk)m′

mψjm′(~z) (10.121)

donde, ahora, j = 0, 12 , 1,

32 , .... La solucion es

ψjm(~z) =(−1)m√

(j −m)!(j +m)!zj−m1 zj+m2 . (10.122)

148

y la mejor manera de comprobarlo consiste en actuar directamente con los operadores diferencialesque representan a los generadores J± y J3

J+ = −z2∂

∂z1, J− = −z1

∂

∂z2, J3 = −1

2(z1

∂

∂z1− z2

∂

∂z2) . (10.123)

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