Tema 25Tema 25

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TEMA 25

ITEMS

25.1 Formación de capacidades relacionadas con el

desarrollo lógico-matemático 25.1.1 La matemática en la educación infantil

25.2 Recursos didácticos y actividades adecuadas a la etapa de educación infantil

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1. El desarrollo del pensamiento lógico-matemático 2. La iniciación matemática en educación infantil 3. Las metodologías para el desarrollo del pensamiento

lógico-matemático

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DESARROLLO DEL TEMA

25.1 Formación de capacidades relacionadas con el desarrollo lógico-matemático. 25.1.1 La matemática en la educación infantil. 25.3 Recursos didácticos y actividades adecuadas a la etapa de

Educación Infantil Bibliografía 25.1 Formación de capacidades relacionadas con el desarrollo lógico-matemático Introducción Los cinco primeros años de la vida representan un periodo de gran importancia para la formación integral de los niños y las niñas. Las posibilidades de desarrollo de esta etapa son extraordinarias, dadas por la acción de las influencias externas, por la enorme plasticidad del sistema nervioso y por el dinamismo de los componentes internos; por lo que deben ser estimulados oportunamente, ya que conforman la base de la ulterior conformación de la personalidad. Esta etapa es propicia para estimular el desarrollo de los niños y niñas en diferentes dimensiones: socio-afectiva, corporal, cognitiva, comunicativa,, ética, estética y espiritual. Resulta necesaria tener una posición holística acerca de la evolución y el desarrollo para organizar y dirigir los procesos de estimulación, de manera que se aprovechen todas las particularidades individuales así como las que brindan las influencias educativas (institución, familia, comunidad) para el logro de la formación de los ciudadanos que demandan los tiempos actuales. Dentro de este enfoque un aspecto importante desde las primeras edades lo constituye la educación intelectual, vista como: “el conjunto de condiciones, métodos y medios de enseñanza encaminados a formar en el niño y la niña un sistema de conocimientos, hábitos y habilidades que le permitan el perfeccionamiento de los procesos de percepción, pensamiento, desarrollo de capacidades cognoscitivas y motivos de la actividad intelectual”. La educación intelectual en la educación infantil está encaminada a impartir conocimientos elementales, a formar vías de percepción (habilidad de observar, de examinar atentamente, de investigar los objetos con sus manos) y a formar procesos sencillos de la actividad intelectual, es decir la capacidad para analizar, comparar y generalizar lo observado. Su desarrollo radica en el proceso de asimilación de esas experiencias, bajo la dirección de los adultos, en condiciones de enseñanza, entendida esta como un procedimiento orientado y especialmente organizado para trasmitir la

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experiencia social, elaborada históricamente por la humanidad. En el caso de la primera infancia la misma se dirige fundamentalmente a la formación de capacidades intelectuales generales. Tales capacidades intelectuales generales permiten a los niños y niñas de esta edad asumir y resolver la mayor parte de las tareas que el medio circundante les plantea, por ejemplo la capacidad para generalizar, pero además, en particular hacia fines de la etapa se requieren de algunas capacidades específicas, como pueden ser analizar los sonidos que componen las palabras, diferenciar sonidos y tonos musicales, y generalizar relaciones y operaciones matemáticas. El mundo de la matemática, es decir el mundo de las relaciones cuantitativas y espaciales expresadas mediante símbolos y números es muy específico y característico. Durante el proceso de la actividad la capacidad general se transforma y actúa como capacidad específica. Las capacidades matemáticas son adquiridas, si bien hay individuos que se orientan de manera peculiar para distinguir en el mundo circundante los estímulos y relaciones y pueden trabajar de manera óptima con los símbolos espaciales y numéricos. Hasta hace algunos años se consideraba que el desarrollo de la percepción, el pensamiento y de la observación en los niños y niñas dependía de la edad y de las vivencias espontáneas, pero se ha demostrado que en realidad dicho desarrollo también es dado por el contenido y el carácter del tipo de actividad cognoscitiva que realicen en cada período etario. Esto requiere una dirección por parte de los adultos, no dejarse solo a la propia vivencia, para garantizar que los niños y niñas asimilen y descubran las propiedades intrínsecas de las cosas, sus vínculos y relaciones internos, que no están dados en la experiencia social de manera abierta. La matemática forma parte de dicha experiencia social, pues, ha sido el resultado de las relaciones que ha establecido el hombre a lo largo de la historia con el medio que le rodea, como una forma de aprehenderlo utilizando como mediador su pensamiento. Los conocimientos matemáticos iniciales tuvieron su origen en las acciones y elementos concretos con los que operaban los hombres de la antigüedad. La sistematización de estas acciones los llevó a la formación del pensamiento y las relaciones abstractas, que destacándose de lo real, conformaron teorías cada vez más abstractas y complejas. Las teorías matemáticas han posibilitado en el decursar de la historia dar solución a disímiles problemas, los cuales han determinado el desarrollo tecnológico alcanzado, por lo que casi se hace imprescindible el domino de estos conocimientos para vivir en un mundo civilizado.

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Todos los currículos escolares tradicionalmente han coincidido al considerar la enseñanza de la Matemática en los diferentes niveles. Sin embargo varias son las opiniones acerca de cómo organizar y dirigir el proceso de apropiación de los conocimientos y habilidades de esta ciencia. De esta polémica, claro está, no se exceptúa a la educación infantil. 25.1.1 La matemática en la educación infantil Un primer elemento a considerar es sí realmente es necesaria la enseñanza y aprendizaje de conocimientos matemáticos en los niños y niñas de la primera infancia, o a la adquisición de determinadas nociones que los familiaricen con formas de razonamiento, que les permitan desarrollar su intelecto y sirvan de base para la comprensión posterior de la matemática escolar. En este sentido, las nociones elementales de matemáticas permiten preparar al niño y la niña para el conocimiento más complejo de las relaciones cualitativas de los objetos, e iniciarlos en la asimilación de las relaciones cuantitativas que están dadas en el medio natural y social donde se desarrollan. Estas nociones matemáticas tienen como objetivos fundamentales que los niños y niñas se familiaricen con algunos conceptos como conjuntos, cantidades, longitudes y magnitudes, relaciones cuantitativas diversas (mas que, menos que, tanto como, igual a, mayor o menor que, entre otras), formas geométricas, concepto de número, dirección espacial, etc., que propician el desarrollo de nuevas formas de actuar y pensar, y descubrir propiedades y relaciones que no percibía directamente. Desde este punto de vista, adquirir nuevas representaciones y conceptos que los vinculan con sus futuras relaciones con el mundo externo. Sirven de base al trabajo con los conceptos matemáticos en la primera infancia, las actividades encaminadas al desarrollo sensorial. La primera infancia es un período de desarrollo sensorial intenso y de perfeccionamiento de la orientación, en cuanto a las propiedades y a las relaciones externas de los fenómenos y objetos en el espacio y en el tiempo. Si el pensamiento significa el conocimiento de los vínculos y las relaciones esenciales y estables de los objetos y fenómenos de la realidad, el conocimiento sensorial constituye el sustrato material, los datos de esa realidad, sobre los cuales el pensamiento, con ayuda de la palabra unifica los hechos percibidos y logra las generalizaciones de sus interconexiones y de las leyes sobre las cuales se basan dichos hechos. Generalmente se señala al pensamiento representativo como tipo de pensamiento característico de la edad preescolar sobre todo, a partir del 4to año de vida. Eso no quiere decir que en esta etapa no puedan formarse premisas iniciales para el desarrollo del pensamiento lógico. En diferentes tipos de tareas que requieren acciones con los objetos, los niños y niñas pueden realizar

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acciones de agrupación (clasificación), ordenamiento (seriación), inclusiones; es decir colocar un nuevo objeto en el lugar que le corresponde en una serie ya ordenada y por supuesto el pequeño preescolar también puede hacer sus inferencias sobre el análisis de una situación, llegar a conclusiones, seleccionar el objeto que falta, etc. Sobre la base del desarrollo sensorial y el pensamiento representativo se forman las nociones matemáticas en la primera infancia, porque las formas lógicas del pensar en esta área, les son menos asequibles a estos niños y niñas, aunque no por ello se ha de excluir en el proceso de enseñanza y aprendizaje matemáticos en esta edad, particularmente en el sexto año de vida. Esto quiere decir que mediante las nociones elementales de matemática se pueden desarrollar algunas formas elementales del pensamiento lógico como una acción independiente de la actividad práctica. Este proceso no pueden realizarlo por sí solos. Por ello es importante que con su propia actividad y con la ayuda de la educadora los pequeños las conozcan y se interesen por ellas. Ello requiere que el educador sepa como formar intereses cognoscitivos hacia las matemáticas en esta etapa de la vida, intereses que repercuten posteriormente en la etapa escolar y posteriores, ya que se sabe que gran parte del rechazo que muchos adultos tienen hacia el estudio de las matemáticas, radica precisamente en que no se supo desarrollar en ellos en etapas tempranas una afinidad hacia la misma. El interés es un componente esencial de la actividad cognoscitiva, que promueve la formación y desarrollo de operaciones mentales, origina la necesidad de buscar lo nuevo, y la búsqueda de procedimientos para resolver los problemas que se presentan. Este interés se caracteriza por tres factores fundamentales:

presencia de emociones positivas con relación a la actividad un enfoque cognoscitivo de esa emoción (alegría del conocer) un motivo inmediato que incite a ocuparse de la actividad,

independientemente de la existencia de otros motivos El educador ha de promover que en las actividades que realice, por ejemplo en los paseos, introducir acciones en que los niños y niñas tengan que determinar la longitud, el ancho y la altura de las cosas que ven, crear situaciones problémicas que ellos puedan resolver; introducir en el juego algunos matemáticos como el dominó de formas y figuras; introducir numerales en los cuentos que se hacen (un osito, dos osos, tres osos, y una niña, etc); encontrar un objeto que falte en una relación de varios señalando su lugar ordinal (el tercero es el que falta), hacerles preguntas problémicas, entre otras muchas; que relacionen al niño y la niña con el mundo matemático y vean su utilidad para resolver las cosas de la vida cotidiana. Esto ayuda a formar sus intereses hacia este tipo de actividad.

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25.2 Recursos didácticos y actividades adecuadas a la etapa de

educación infantil El sistema de actividades para las nociones de matemática en la primera infancia ha de tener continuidad en el primer grado de la escuela básica, pues el reconocimiento de cantidades y magnitudes, los procedimientos de modelación en la solución de problemas, la comparación de longitudes y el establecimiento de la relación parte-todo, posibilitan la asimilación de conocimientos y el desarrollo de habilidades y hábitos necesarios para el trabajo con los contenidos de numeración y las operaciones más complejas que aparecen en el programa de Matemática de la primaria. La realización de las actividades pedagógicas de la matemática posee requisitos didácticos para su planificación y desarrollo, que garantizan el éxito de su aprendizaje. Entre tales requisitos y principios generales se encuentran:

o Principio de la percepción sensorial directa Este principio es básico en la realización de las actividades matemáticas en la primera infancia, puesto que la enseñanza está basada en observaciones y demostraciones que van de lo concreto a lo abstracto, de la representación real al pensamiento lógico. Para ello se utilizan diferentes vías sensitivas utilizando materiales didácticos y acciones, tanto por el educador como por los niños y niñas.

o Principio de la asimilación activa y consciente de los conocimientos Esto está dado en la orientación que da el educador a los niños y niños luego de la demostración, en al que se sugieren los procedimientos necesarios a utilizar para realizar las distintas acciones. Esto garantiza que en ellos se refleje de manera consciente el afán de saber y responder a las preguntas que se les hacen: ¿Cuántos hay?, ¿Dónde hay mayor cantidad?, entre otras, y que promueven la apropiación activa de lo que se aprende.

o Principio de la accesibilidad del contenido Dado lo complejas que resultan las nociones elementales de las matemáticas, se requiere que al determinar la temática para cada actividad, se determinen las particularidades y posibilidades del grupo infantil, de forma tal que las tareas estén a su nivel de comprensión, y permitan a su vez prestar atención individual a aquellos que lo requieran.

o Principio de la asequibilidad Implica que el educador, para garantizar que sus educandos puedan enfrentar conscientemente las dificultades del nuevo conocimiento, lo organice de lo

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sencillo y fácil a lo difícil y complejo, de lo conocido a lo desconocido, de lo próximo a lo lejano.

o Principio de la sistematización Además de las leyes del aprendizaje que obligan a estructurar de manera sistémica el proceso, el programa de matemática ha de tener una estructura lógica y sistemática en consonancia con dicho proceso.

o Principio de la solidez de los conocimientos Las nociones matemáticas que se adquieran han de organizarse de modo tal que un aprendizaje de pie al otro, y que se puedan aplicar en la realidad del medio en que los niños y niñas se desarrollan, lo cual sedimenta la base de los conocimientos posteriores.

o Principio de la vinculación del conocimiento con la actividad práctica

Todo conocimiento matemático ha de posibilitar que los niños y niñas lo apliquen en la vida cotidiana y la solución de las nuevas tareas, y posibilitar, además, que estos se apliquen también en su actividad libre en el área de juegos.

o Principio del carácter científico de los conocimientos matemáticos Dado el hecho de la matemática ser una ciencia exacta, es dable suponer que los contenidos de la misma respondan a una verdad científica, y ello debe ser considerado así incluso desde estas edades tempranas. Esto garantiza la relación íntima entre el sistema de conocimientos, hábitos y habilidades que se desarrolla con los niños y niñas, y su formación multilateral y armónica. Entre los objetivos de este sistema de actividades han de encontrase, por lo tanto:

1. Establecer relaciones cuantitativas y por las características de los objetos, a partir de acciones de formación, reconocimiento, descomposición y unión de conjuntos.

2. Reconocer cantidades y realizar la acción de contar del 1 al 10.

3. Utilizar modelos para establecer relaciones entre el todo y las partes y

solucionar problemas sencillos 4. Establecer relaciones cuantitativas entre objetos mediante la

comparación de longitudes (largo y altura) y la realización de la acción de medir con unidades de medida no convencionales.

Los contenidos matemáticos han de tener un apoyo importante mediante el uso

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de juegos didácticos con este fin, pues a través de los mismos y en forma de juego, se reafirman, ejercitan y consolidan los conocimientos adquiridos, pueden participar un mayor número de niños y niñas, y aprovechar así mejor el tiempo. Entre ellos se encuentran los juegos de ruleta para buscar objetos por el color o por la forma que indique la flecha, los dominós, las tarjetas y loterías, los saquitos maravillosos, que permitan que el niño reconozca, seleccione o clasifique objetos, animales, flores, etc., los juegos matemáticos verbales, entre otros. Las tareas se deben planificar para que el propio niño o niña sea quien busque la vía de solución a partir de su orientación hacia el objetivo. Por ejemplo, al plantearles la comparación de dos grupos de objetos, uno de muñecas y otro de carteras, si se enfoca la tarea pidiendo que le coloquen a cada muñeca una cartera, no se propicia la búsqueda de la vía de solución por los propios niños y niñas.. En cambio, si se parte de valorar con ellos cómo saber si alcanzan las carteras para que las muñecas salgan a pasear, llegarían al establecimiento de la correspondencia entre ambos grupos, mediante el razonamiento propio, y por lo tanto se desarrollaría en ellos el deseo de encontrar la solución siempre por sí mismos. Para propiciar que trabajen en grupo una vez que ya dominen el contenido, se planificarán actividades para ejercitarlos, procurando la realización de tareas en forma conjunta, donde cuatro o cinco niños y niñas participen en la búsqueda de la solución. Para esto es necesario que planifiquen sus acciones, y se pongan de acuerdo en la parte que cada uno va a realizar. De esta manera las actividades no sólo serán dinámicas sino que contribuirán al desarrollo de la regulación de la conducta de los propios niños y niñas, al estar atentos a sus acciones y a las de sus compañeritos, entre otros aspectos que resultan importantes en la preparación para la escuela. Uno de los contenidos importantes en las nociones elementales de matemática es el trabajo con conjuntos. El trabajo con conjuntos implica operaciones fundamentales: la formación, el reconocimiento, descomposición y unión, y la comparación de conjuntos. En la formación las actividades más sencillas son las que se planifican tomando en cuenta la naturaleza de los objetos como criterio de selección y por esto se sugiere empezar por ellas, por ejemplo, conjuntos de juguetes, de pelotas, de lápices, de semillas, de hojas, de flores, etc. También se pueden formar conjuntos por la forma, el color, el tamaño y la función de los objetos. Estas actividades pueden enriquecerse y tener mayor complejidad cuando ya conocen las variaciones de los patrones sensoriales y pueden agrupar, por ejemplo, objetos de un mismo color pero con diferentes

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matices. Las actividades pueden hacerse más complejas cuando los elementos del dominio básico, es decir, del surtido de objetos del cual se parte se diferencian poco entre sí, por ejemplo, si se forma un conjunto de edificios en el que hay edificios rectangulares y cuadrados. También cuando el criterio que se utiliza para formar un conjunto está presente en un pequeño detalle del objeto, por ejemplo, al reunir los ómnibus con faroles amarillos, las muñecas con pelo negro, los constructores que tienen pala, los barcos con banderas cuadradas, o los que tienen los mástiles más largos. Es más complejo cuando los conjuntos se forman por dos y por tres características, como se señalan a continuación: No. de características Dominio básico

(surtido de objetos) Indicación

2 Pelotas grandes y pequeñas de varios colores.

Pelotas grandes y rojas

2 Payasos que unos tienen aros y otros globos y de varios colores.

Payasos con globos azules.

2 Objetos que sirven para diferentes profesiones y son de dos tamaños.

Instrumentos del carpintero, que son pequeños.

3 Juguetes de varios tipos, colores y dos tamaños.

Pelotas grandes y rojas.

3 Barcos de dos tamaños, diferentes colores y con banderas de diferentes formas.

Barcos azules grandes con banderas cuadradas.

Si se cambia el criterio de selección en cada tarea, se pueden hacer más difíciles. Cuando los niños reconocen las cantidades, pueden formar conjuntos atendiendo a esto. Del mismo modo pueden utilizarse ruletas para indicar qué conjunto formar, o cuántos elementos tiene que tener, completar tarjetas, ensartar cuentas de un collar con un criterio para hacerlo, construir casas o edificios con bloques de determinada forma o tamaño, o con una determinada cantidad. El reconocimiento de conjuntos consiste en nombrar los conjuntos formados por las características de sus elementos. También pueden hacerse actividades con este propósito, cuando se va formando un conjunto, paso a paso, pero sin decirle a los niños cuál es la característica por la que se forma. Por ejemplo, pedirles que "adivinen" con qué pelotas quiere jugar el payaso y tener pelotas de diferentes colores y tamaños para ir colocándoselas. Los niños y niñas, mediante la observación, irán llegando a la conclusión de que las pelotas que quiere el payaso son las rojas,

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independientemente del tamaño que tengan. En la descomposición de conjuntos y unión de conjuntos si los niños no tienen una preparación previa para realizar estas acciones, se planifican primero aquellas en las que la relación de equivalencia pueden establecerla con más rapidez porque los elementos del conjunto se diferencian fácilmente en sus características. Por ejemplo, si se les propone descomponer un conjunto de papalotes y se les dan papalotes rojos y azules y de dos tamaños contrastantes. Más adelante, la complejidad puede estar dada, al igual que en la formación, porque los objetos que se utilizan se diferencian menos o porque el criterio de clasificación que se adopta está relacionado con la característica de algún detalle de los objetos. También resultan más complejas las actividades en las que se descompone un conjunto en tres, que en dos. Se debe tener en cuenta que al preparar el conjunto inicial para descomponer un conjunto en dos subconjuntos por su color, los elementos sólo pueden tener dos colores, si es en tres subconjuntos, tres colores. La utilización de puntos de referencia para la formación de los subconjuntos. facilitará el trabajo con los niños, por ejemplo cuando se les dan dos canastas para distribuir todas las frutas o tres zonas de parqueo para colocar los camiones. Esto permitiría además la ejercitación de las relaciones espaciales vinculadas a estos puntos, por ejemplo; "siembra alrededor de cada árbol las flores de igual color". Las tareas en las que no se utilizan puntos de referencia son mucho más complejas y permiten la utilización más compleja de las relaciones espaciales, por ejemplo: "Separa las flores por su color y coloca a la izquierda las del color que más te guste." Cuando se cambia el criterio para la descomposición de un mismo conjunto también es otra manera de hacer más compleja la actividad, por ejemplo: descomponer un conjunto de pelotas, primero por el color y después por el tamaño. Para la descomposición de un conjunto de una potencia determinada en todas sus posibilidades, se recomienda hacerlo primero como el niño o la niña desee, por ejemplo; "Distribuyan estas 8 naranjas en las dos cestas, como ustedes quieran". Luego puede incorporarse una condición: (más) (menos) (tantos como), si se les dice: coloquen más naranjas en una cesta que en la otra, o hacerla aún más compleja cuando se asocia una potencia a esa relación, como cuando se les dice "coloquen dos naranjas más en una cesta que en la otra". La unión de conjuntos y la descomposición completan la relación "parte-todo" y "todo-parte", y le permiten al niño comprobar que el "todo", conjunto inicial, tiene más cantidad de elementos que " sus partes", subconjuntos.

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Después que se trabaje la descomposición de conjuntos por la cantidad, se trabajará también la unión con igual objetivo para completar la acción de descomponer y de integrar una cantidad. La comparación de conjuntos ha de comenzar por la comparación global y cuando los niños y niñas ya dominan el procedimiento para establecer los pares ordenados y reconocen las cantidades, se puede trabajar de forma detallada. Las actividades más sencillas son aquellas en las que se les propone la comparación de dos conjuntos cuyos elementos guardan una relación funcional, por ejemplo, cuando se compara un conjunto de tazas con uno de cucharas, o de granjeros y sombreros. Así ellos pueden colocárselos y les resulta fácil establecer los pares ordenados. La tarea se puede hacer más compleja si se utilizan conjuntos similares pero sin colocar los elementos en posición de funcionamiento, es decir, uno al lado del otro o uno encima del otro. Otra forma de hacerlas más complejas consiste en utilizar elementos que guardan una relación lógica pero no funcional, por ejemplo cuando se pregunta “ ¿Qué hay más, naranjas o piñas?”, al comparar un conjunto de naranjas y otro de piñas. Resultan más sencillas las actividades en la que los elementos se colocan en orden lineal (horizontal ó vertical). Si los elementos se colocan sin seguir un orden lineal, sino dispersos, también es más complejo. A medida que los niños y niñas van aprendiendo a reconocer las cantidades se les pueden proponer tareas en las que tenga que determinar cuántos elementos más o cuántos menos hay en un conjunto que en otro. Muchas actividades de la vida cotidiana, permiten ejercitar este contenido. Por ejemplo, cuando se les pide colocar a cada niño su vaso, repartir los cuadernos de trabajo o ayudar a poner la mesa colocando una cuchara a cada miembro de la familia. El conocimiento de la relación parte-todo es una noción matemática muy importante a asimilar por los niños y niñas. Entre las partes y el todo se establecen relaciones matemáticas que es necesario enseñar y que son las siguientes: 1.- Cada parte es siempre menor que el todo. 2.- El todo es siempre mayor que las partes. 3.- Si a una parte se añade la otra parte obtenemos un todo. 4.- Si al todo se le quita una parte, nos queda otra parte Estas reglas constituyen la base de las operaciones de adición y sustracción que aprenderán posteriormente.

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Para trabajar este aspecto se ha de comenzar por las tareas más simples, en las que los niños y niñas puedan distinguir las partes y el todo con objetos reales y de esta manera comprender las dos primeras reglas: Una fruta que se divide, una pirámide formada por diferentes anillos, un juguete que se desarma en sus partes, etc., pueden ser objetos que se utilicen para este fin, ya que en ellos la relación entre parte-todo resulta evidente y cercana a la experiencia de los niños y niñas. Ha de tenerse en cuenta que no se debe trabajar con más de dos o tres partes para que resulte comprensible la relación que se enseña. Una vez que los niños han comprendido la relación parte todo en los objetos reales, es posible utilizar las representaciones de los objetos que implica un grado mayor de abstracción. Por último puede trabajarse con un grupo de objetos que se divide en subgrupos y en los que cada uno de éstos constituye una parte del grupo inicial. De esta forma, se recomienda que la relación parte todo, se trabaje en el siguiente orden; con objetos reales, con la representación de un objeto real y con un grupo de elementos que se divide en subgrupos. Para que los niños y niñas puedan fijar las relaciones esenciales entre las partes y el todo, es conveniente que el educador se apoye en la utilización de sustitutos en los que ellos puedan ver representada esta relación. Para esto se auxiliará de una tira de papel que representa todo el objeto; se les enseña a marcar o señalar en la tira de papel las partes del mismo; luego se divide la tira rasgando cada una de las partes, y se procede entonces a realizar la comparación entre cada uno de éstos y la totalidad de la tira estableciendo las relaciones planteadas en las reglas. Los niños deben comprender que cada parte de la tira representa una parte del objeto (una naranja, un juguete, etc.) y señalar la parte que, por ejemplo, se regaló. Entonces puede comparar esa parte con una tira adicional, idéntica a la que representa "toda " la naranja y establecer las relaciones esenciales. ¿Qué es mayor la parte que regalé o toda la naranja? ¿Qué es menor, la parte que regalé o toda la naranja?. Las preguntas que se realizan se pueden enfocar también a partir del todo en dependencia de la forma en que se plantee inicialmente la tarea. ¿Qué es mayor toda la naranja o la parte que regalé?. ¿Qué es menor, toda la naranja o la parte que te di?. Las dos últimas reglas se trabajan utilizando también las tiras. ¿Y si quisiera volver a tener toda la naranja, qué tengo que hacer? ¿Y si a toda la naranja le quito una parte, qué me queda?. El procedimiento para la utilización de sustitutos (tiras) es el mismo en

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cualquier caso (objetos reales, representaciones o conjuntos). De esta forma los niños podrán percatarse de que, independientemente de cuán grande sea la parte que se está comparando con el todo, éste siempre será mayor. La acción de contar. Acceder a la noción de número como cantidad implica un proceso de abstracción, de comparación de cantidades iguales donde se reconozca esto cómo un aspecto común. Para realizar la comparación es necesario establecer una correspondencia entre los elementos de un grupo con los elementos de un segundo, es decir formar pares ordenados. La comparación crea las bases para la comprensión del concepto de número natural. Los números naturales tienen sus raíces en la realidad objetiva. El concepto de número se logra como resultado de la relación que establece el hombre con el mundo donde se desarrolla y a través del proceso de abstracción. Los números naturales como concepto sólo existen en la conciencia ya que no pueden ser reconocidos en la esfera sensorial del conocimiento. Se definen como una correspondencia mental de las características fundamentales de todos los objetos de distintas clases de equivalencia. Para llegar al concepto de número, lo esencial no son los objetos, sino la totalidad de estos objetos. Los números son expresados a través de los numerales; estos se pueden decir, oír, escribir y leer. Contar no es repetir de forma mecánica la sucesión de los números naturales. El reconocimiento de cantidades se inicia después que el niño o la niña tiene dominio de la comparación de conjuntos de forma global, y tiene interiorizada la correspondencia como procedimiento para hallar el resultado de la comparación. Cuando el niño o la niña tienen cinco años, existen dos formas metodológicas para el reconocimiento de cantidades: lo que deben dominar para reconocer las cantidades del 1 al 4, y para reconocer las del 5 al 10. También es importante recordar que en las edades preescolares no se ha de trabajar con números, sólo con lo que ellos representan - cantidades-, y con el nombre de los mismos – numerales. El concepto de número y sus símbolos suelen ser contenidos del programa de primer grado de la educación básica en muchos sistemas educacionales. El reconocimiento de las primeras cantidades correspondientes a los cinco primeros números naturales se trabaja utilizando como vía la percepción simultánea o directa, teniendo como base la abstracción. Esta forma de trabajo

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se sustenta en la percepción visual del niño, cuando abstrae la cantidad de elementos que tiene Por ejemplo: “Hay 3 osos’, “Hay 3 platos “ El niño para determinar la cantidad de elementos de un conjunto no le hace falta contar, sino que reconoce por sus vivencias, por sus experiencias previas, qué cantidad de objetos hay. Para lograr esto hay que seguir la metodología siguiente: 1. Establecer comparaciones de igual cantidad de elementos. En las primeras actividades de reconocimiento de cantidades se le presenta al niño dos grupos a comparar, nombrándole la cantidad de sus elementos: “Tengo tres niños y tres globos’ “Para cada niño hay un globo, porque hay tres niños y tres globos” “Hay tantos niños como globos, hay tres.” ¿Cuántos niños hay? Tres. Lo más importante en esta etapa, es presentarle la cantidad y su nombre (numeral) para que se familiaricen con él y lo interioricen, producto de la correspondencia que se establece entre el total de elementos que tiene y el numeral. Este trabajo se realiza con la cantidad tres, cuatro y cinco, ya que uno y dos el niño y la niña los reconocen producto de sus vivencias y de su experiencia diaria. No obstante, el educador puede realizar preguntas presentando grupos con estas cantidades. ¿Cuántas pelotas hay? ( una o dos ). ¿Cuántas flores hay en el jarrón? ( una o dos ) ¿Cuántos platos hay en la mesa? ( uno o dos ). Esta trabajo es necesario antes de comenzar con la cantidad tres, que es la primera que se utiliza. 2. Establecer comparaciones de diferentes cantidades de elementos. Después que el niño y la niña reconocen y nombran la cantidad que se le presenta ( tres, cuatro o cinco), se procede a compararla con otros grupos, por ejemplo, si se presentamos la cantidad tres, se puede comparar con las cantidades uno y dos, que ya ellos conocen. Hay dos formas de comparar detalladamente: una es planteando la diferencia que existe entre ellos (“sobran tres pelotas”, “faltan tres bicicletas “), buscando siempre la igualdad de la cantidad a comparar, y, la otra, es cuando se le pide al niño o la niña que diga cuantos hay (“hay tres niños”, “hay dos sombrillas”). Aquí, ellos tienen que obviar el color, la forma, el tamaño y la naturaleza de los objetos.

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Para poder comparar de forma detallada, el niño o la niña debe reconocer las cantidades. En esta etapa, se les demuestra la sucesión de cantidades, es decir, que unas representan más cantidad que otras. Por ejemplo: “Hay tres osos y cuatro globos” “Tres es menos que cuatro” “Cuatro es más que tres “ “Sobra un globo “ 3. Reconocer las cantidades en diferentes posiciones en el mundo circundante. A medida que los niños y niñas van reconociendo las cantidades, establecen la sucesión entre ellos:

- “Uno es menor que dos, menor que tres, menor que cuatro y menor que cinco “.

- “Cinco es mayor que cuatro, mayor que tres, mayor que dos y mayor que uno”.

Para el reconocimiento de cantidades del 5 al 10, la metodología se basa en el procedimiento de adición de uno, partiendo de la última cantidad reconocida por el niño o la niña. Teniendo en cuenta que por las características del pensamiento del niño y la niña de estas edades, no pueden reconocer más cantidades por percepción directa ( o simultánea), es por ello que se necesita de otra vía para que reconozcan hasta la cantidad 10. Así, si tiene cinco objetos, el seis se introduce a partir del cinco mas uno mas, el siete del seis mas uno mas, y así sucesivamente. Una vez que comprende la comprensión de los sucesores en los números naturales, ya el niño y la niña están en condiciones de aprender a contar. También ahora la acción de contar juega un papel fundamental, pues el niño y la niña la utilizarán para conocer el total de elementos que tienen. Se puede definir la acción de contar como la correspondencia entre dos cosas, una donde los elementos son objetos que se le hacen corresponder biunívocamente con las cantidades en un orden y secuencia preestablecidas por los numerales a los números naturales. Esto quiere decir, que los pares ordenados que se forman al contar, están compuestos por un objeto real y un nombre de cantidad. niña niña niña niña niña niña............ niña una dos tres cuatro cinco seis............ diez El grupo de niñas (muñecas) el niño o la niña lo puede ver y tocar, pero el de los numerales solo lo pueden oír cuando establecen la correspondencia. Este proceso les difícil, pues tienen que establecer correspondencia formando pares ordenados con elementos que están en diferentes esferas del conocimiento.

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Para contar, el niño o la niña debe aprender el orden lógico de las cantidades, pero no de forma mecánica, sino reconociendo lo que significa cada una de ellas. Esto se logra, con el tratamiento metodológico analizado anteriormente. En la acción de contar se distinguen claramente dos momentos: el primero, establecer la correspondencia biunívoca entre los objetos, y el segundo, cuando se asigna al último elemento la cantidad que le corresponde por el orden del conteo, que a su vez se convierte en la cantidad total. Al realizar la acción de contar, la maestra debe tener presente siempre la adecuada presentación de la tarea que el niño o la niña tienen que realizar, la cual lleva implícito lo que quieren saber. Después de planteada la tarea, hay que orientarles la acción que deben realizar para lograr responder adecuadamente, es decir, que tienen que contar. Esta acción de contar no es la mecánica reproducción de los nombres de las cantidades aprendidas de memoria, sino que está muy ligada al reconocimiento de cantidades, ya que cuando ellos se enfrentan del seis en adelante, al reconocer aparece la acción de contar: reconocer que la diferencia entre una cantidad y la que le sigue en orden es siempre uno. El conocimiento de las magnitudes Todos los objetos tienen propiedades que pueden compararse cuantitativamente, lo cual permite dividir las propiedades en clases. A esas clases pertenecen los elementos que al aplicar un procedimiento de medición propio de ellos, se obtienen resultados iguales. Una clase formada así se denomina como magnitud. Dentro de esta clase se pueden diferenciar longitudes, superficies, volúmenes, masa y tiempo, entre otras. Al explicar el concepto magnitud se infiere la existencia de un procedimiento de medición. Medir es determinar cuantas veces una representación de una magnitud está contenida en otra representación de la misma magnitud. A la representación utilizada para comparar se le llama entonces magnitud unidad, o sencillamente, unidad. La determinación de la unidad de medida es básica para el trabajo de magnitudes con los preescolares. Alrededor de los cuatro años se ha de comenzar a trabajar con los niños y niñas en el conocimiento de las magnitudes. Este conocimiento los inicia en el reconocimiento de la parte cuantitativa del mundo que les rodea. Los objetos del medio tienen dimensiones, y así tienen que ser percibidos por los niños y niñas. El tratamiento metodológico del trabajo con magnitudes implica la comparación

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de dichas magnitudes, primero global (cuando se determina la relación existente entre dos o más objetos referido a una dimensión determinada), y luego detallada, en al que se determina la dimensión de dos objetos, conociendo las veces que un objeto está contenido en el otro. En la comparación de dimensiones es fundamental guiar al niño o la niña en el reconocimiento de una dimensión del objeto (altura, longitud, peso, etc). De inicio se hace necesario hacer demostraciones con dos objetos, guiar con la palabra el movimiento de sus ojos hacia los puntos de referencia, y comparar los objetos. Para esto el educador ha de guiar la observación de los ojos, pues los niños y niñas deben sentir esta dimensión en ese movimiento (cuando al comparar dos mesas se guía la observación de arriba abajo para constrastar la altura). Mientras más difícil sea reconocer la diferencia en las dimensiones, más compleja será la actividad, por lo que el educador puede apoyarse en preguntas, en dependencia de la dimensión y de la situación problémica planteada. El grado de complejidad de una tarea está dado, además, por el número de objetos (es más fácil comparar dos objetos que cinco) y por la mayor o menor ostensibilidad de la diferencia. Asimismo si se utilizan varias dimensiones en una tarea, aumenta el grado de complejidad de la comparación. En el trabajo con magnitudes es necesario que los niños y niñas aprendan la relatividad de las dimensiones, pues una cinta es larga con relación a otra corta, pero a su vez puede ser mas corta que una mayor. La propiedad es intrínseca al objeto, no existe fuera de él, y es la misma no importa donde esté situado, ni al lado de que se ubique, pero su denominación sí es relativa, lo que se comprueba al comparar dos objetos. Los preescolares requieren tener concretamente los dos objetos para poder establecer su comparación, pero luego se requieren tres para variar el grado de comparación, así aprenden que la dimensión es relativa y que depende del número de objetos que se comparen. El trabajo con longitudes Dentro del trabajo con magnitudes, un lugar importante lo ocupa el trabajo con las longitudes. Al comparar objetos por su longitud o altura, se recomienda que se seleccionen medios cuya dimensión más notable sea la que se va a comparar, por ejemplo, para trabajar el largo, pueden utilizarse cintas, cordeles, y para la altura, edificios, árboles, etc. Los niveles de complejidad varían a partir del número de objetos a comparar, (dos, tres o más); si son del mismo tipo, si las diferencias son más o menos ostensibles, y la incorporación del vocabulario de comparación.

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Por ejemplo, comparar dos muñecas por su altura, con diferencias poco ostensibles es menos complejo que comparar tres con diferencias ostensibles. La utilización de tres objetos, permite el trabajo con la relatividad de las longitudes, por lo que las tareas pueden realizarse a partir de situaciones que permitan ir sustituyendo unos objetos por otros, y esto cambia la denominación en la relación de comparación. por ejemplo: A partir de tres muñecas de diferente altura, compararlas para determinar la más alta y seguidamente sustituir la más baja por otra más alta que la primera. La comparación detallada de longitudes responde a tres momentos o fases: 1- Familiarizarse con la medida y las tareas que se realizan para que surja la

necesidad de medir al comparar longitudes. 2- Dominio de la acción de medir mediante la utilización de objetos sustitutos

que permiten modelar la relación entre las longitudes de los objetos. 3- Solución de problemas sencillos partiendo de la comparación de longitudes. Para la realización de las primeras actividades se puede utilizar el área exterior o un espacio apropiado para que los niños y niñas puedan realizar las mediciones en los laberintos que se dibujen en el piso. El educador debe dibujar varios de ellos, para dividir a los niños y niñas en equipos de aproximadamente cuatro integrantes. Las relaciones espaciales Las primeras representaciones del niño y la niña de la orientación en el espacio se encuentran relacionadas con su propio cuerpo, el que constituye su punto de referencia más importante para determinar la ubicación de los objetos en el medio circundante. Los conceptos de derecha e izquierda se trabajan a partir del conocimiento de sus manos (lo que hace imprescindible que los niños y niñas aprendan cual es su mano derecha y cual su izquierda), y a partir de esto diferenciar las direcciones tomando como base su cuerpo, apoyándose también en las actividades de construcción, dibujo, modelado. Mas tarde se ha de trabajar en ubicar un objeto en estas posiciones En la primera infancia el niño y la niña aún no reconocen la relatividad espacial de los objetos (no puede explicar porqué un objeto que está a su derecha, está a la izquierda del niño que tienen enfrente). Dentro de las nociones elementales de matemática las relaciones espaciales no se dan aisladas, sino que se aplican en los otros contenidos: conjuntos, longitudes, etc., señalando la ubicación que tales objetos tienen: la muñeca de la izquierda es mas alta que la de la derecha, arriba hay dos barcos y abajo cuatro peces, el árbol más grande

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es el que está mas cerca, y las flores mas lejos, la calle está delante, pero la casa está detrás. También se pueden observar cuando se trabaja con tarjetas, y luego se exige un determinado orden de colocación de las mismas, o en los juegos didácticos de meda de los dominós, las loterías, etc. La solución de problemas. La solución de problemas es una de las tareas que permite lograr mayor activación intelectual en los niños y niñas. Encontrar las relaciones esenciales entre los elementos de la tarea planteada, decidir la acción o realizarla para encontrar la solución exige gran movilidad del pensamiento, activa el proceso de análisis, y permite la generalización. Es por esto que se debe prestar especial atención a este contenido y plantear a los niños y niñas problemas sencillos, que estén fuertemente vinculados con sus experiencias cotidianas. Este contenido se trabajará de dos maneras: La primera de ellas, mediante el planteamiento de situaciones problémicas a partir del trabajo con diferentes operaciones. La segunda es mediante el planteamiento de problemas sencillos, una vez que los niños y niñas han dominado las operaciones desde el punto de vista cualitativo y cuantitativo. En su experiencia cotidiana el niño o la niña se ven en la necesidad de resolver problemas simples, y es conveniente ayudarlos a encontrar las vías de solución y a fijar los elementos esenciales en estas relaciones. "¿Le alcanzarán los caramelos para sus amiguitos?, ¿Quién tiene más juguetes? ¿Qué habría que hacer para saber qué naranjas hay en la cocina si su mamá compró una caja y el papá otra? ¿Qué bolas le quedan si regaló algunas a su amiguito?" Estos son ejemplo de problemas que pueden plantearse. En el sexto año de vida más que la solución numérica interesa enseñar al niño y la niña qué acciones debe realizar para llegar a ella. Las nociones sobre las relaciones entre las partes y el todo que ya los niños han adquirido resultan fundamentales para que puedan comprender las acciones que deben realizar. En los problemas de adición, los niños deben comprender que para encontrar la solución tienen que unir las partes, ya que el resultado que buscan es el todo. Para esto es necesario que distingan en los "datos" del problema qué elementos representan las partes. Véase en un ejemplo cómo puede trabajarse esto: Se le muestran al niño varias bolas (más de 10 para que no pueda contarlas). Se le plantea el siguiente problema:" María José tiene estas bolas y su amigo Juan le regala estas otras. ¿Qué hay que hacer para saber cuantas son las

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bolas que tiene ahora?. Aquí no es tan importante que dé una respuesta numérica, sino que comprenda que tiene que unir lo que tenía María José con lo que le regaló Juan, y entonces obtiene todas las bolas que María José tiene ahora. Es muy importante que se le dé la posibilidad de resolver la tarea por sí mismo, y propiciar las acciones que lo lleven al resultado. El educador se auxiliará de sustitutos que le permitan al niño comprender las relaciones esenciales que debe establecer. Para esto simbolizará con un cuadrado azul las bolas que tiene María José y otro de igual color, las de Juan. Les explicará lo que representan los cuadrados. Retomará la situación planteada en el problema y simbolizará la acción de unir con un cuadrado de cartulina con el signo (+).

bolas unimos bolas que juntamos que le tenia añadimos regaló María José agregamos Juan

a + a = r

El niño o la niña observan que al unir las bolas de María José y Juan se obtiene como resultado todas las bolas que tiene María José que se simboliza con un cuadrado rojo. La acción del resultado se representa con un cuadrado de cartulina con el símbolo (=). A partir del resultado ellos deben reconstruir toda la situación planteada apoyándose en los sustitutos. En los problemas de sustracción se procede de manera similar. Ejemplo: En una lámina que tiene insertado unos pajaritos se le plantea a los niños y niñas que en las ramas del árbol están posados estos pajaritos y que una parte, se fue volando. - ¿Qué se tendría que hacer para saber qué pajaritos quedaron en las ramas?. Al igual que en la adición se le debe dar al niño o la niña la posibilidad de resolver la tarea y propiciar las acciones que le llevan al resultado. Con la ayuda de sustitutos se fijarán las relaciones esenciales que debe establecer para la solución. Un cuadrado de cartulina de color rojo representará todos los pajaritos del árbol, de estos pajaritos" se fueron", "se quitan" éstos. Se simboliza la acción de quitar con un cuadrado con el signo (-) y los pajaritos que se fueron con un cuadrado azul, que es una parte de todos los pajaritos. Si a todos los pajaritos se le quita una parte "queda", "entonces tenemos", (representado por el signo =), esta parte de los pajaritos,( representado por otro cuadrado azul).

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Ahora los niños y niñas reconstruyen la situación del problema y explican, valiéndose de los sustitutos, las acciones que realizan. “En el árbol estaban todos los pajaritos, se fue una parte y entonces quedó esta otra parte de los pajaritos”. Es necesario tener en cuenta que al plantear los problemas de adición y sustracción no se siga un patrón que podría llevar a los niños y niñas a esquematizar las acciones a realizar e impediría su comprensión, que es el objetivo fundamental de estas tareas. Se debe tener en cuenta la motivación y su vinculación con la vida cotidiana, aspectos que deben determinar en su formulación. De igual manera la utilización de sustitutos con los que se expresa de una manera gráfica y abreviada la relación que ellos deben establecer, no debe constituir un esquema memorístico que éstos repitan sin entender su sentido. Es mucho más importante que puedan actuar por sí mismos y se valgan de estos modelos para explicar lo que hacen, para comprender la acción que tienen que realizar y lo expresen con sus propias palabras. Introducción de los signos "más (+)" y “menos (-)” Como se puede apreciar en la solución de problemas se hace necesario introducir los signos más y menos que ayudarán al niño y la niña a encontrar la respuesta de la tarea planteada. La introducción de estos signos se realiza simultáneamente con las soluciones de problemas, señalándoles la necesidad de utilizarlos para responder correctamente y de una forma más fácil lo que se les pregunta. Se expresará con el signo (+) en tareas donde se adicionan cantidades y posteriormente se introduce el signo (-) en tareas donde se requiera sustraer una cantidad de un total dado. La solución de problemas facilita el desarrollo de las habilidades de identificación y de modelación en los niños, y junto con las otras nociones asimiladas por el niño y la niña en la primera infancia, constituyen la base y premisas de los conocimientos lógico-matemáticos que posteriormente serán consolidados en la educación básica.

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Bibliografía

1. Asociación Mundial de Educadores Infantiles, AMEI. Curso Master. Conocimientos lógico-matemáticos, Madrid, 1999.

2. Kamii, Constance. “El número en la Educación Preescolar”. Visor Libros Madrid, España, 1984.

3. Jean Piaget, Problemas de psicología genética, Barcelona, Ariel, 1978. 4. La equilibración de las estructuras cognitivas, Madrid, Siglo XXI, 1978. 5. Psicología de la inteligencia, Buenos Aires, Psique, 1977. 6. B. Inhelder, Psicología del niño, Madrid, Morata, 1984. 7. I. Pozo, Teorías cognitivas del aprendizaje, Madrid, Morata, 2a edición,

capítulo 3, 1999. 8. J. Wadsworth, Teoría de Piaget del desarrollo cognoscitivo y afectivo,

México, Diana, 1991.

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LECTURAS RECOMENDADAS

1 El desarrollo del pensamiento lógico-matemático

Un concepto es una agrupación de objetos, acontecimientos o situaciones que:

Permite reunir todo tipo de entes discriminablemente diferentes en una misma clase, expresándolos como equivalentes.

Esta agrupación conlleva la separación de sus componentes de otros

entes, considerados como no equivalentes.

Se expresa, en toda cultura, mediante un símbolo o signo de lenguaje. Los conceptos pueden ser, de modo general, de estos dos tipos:

- Conceptos naturales cuando las agrupaciones quedan definidas por características que dependen de la función asignada por el hombre, o de su hábitat, o de su comportamiento.

- Conceptos formales cuando las agrupaciones quedan definidas por

características pura y esencialmente objetivas. La formación de los conceptos entraña el seguimiento de los pasos y etapas siguientes:

Los estímulos del mundo exterior alcanzan nuestros sentidos y tienen lugar sobre ellos un proceso de filtración motivado por la naturaleza, tanto de los estímulos como del receptor.

Los estímulos ya seleccionados llegan a las correspondientes áreas del cerebro produciendo una señal o sensación.

La interpretación que damos a todas estas sensaciones, en nuestra percepción, es el percepto.

A partir del percepto se logra la formación del concepto mediante estas etapas:

- Discriminación: Los perceptos se diferencian reconociendo

las cualidades comunes y distintas de los mismos. Así se va estableciendo una clasificación inicial pues nombrar un percepto es clasificarlo, en parte.

- Generalización: Con experiencias estimulantes, se confrontan activamente los perceptos diferenciados. Así se completa la clasificación inicial anterior, generalizándolos.

- Abstracción: Las cualidades comunes entre los perceptos se van haciendo más funcionales y menos perceptuales, o sea, menos ligadas a cada percepto concreto. El producto final de esta abstracción es ya el concepto.

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La aparición de los conceptos en el niño y la niña presenta estas características:

Los conceptos, por lo general, no se desarrollan repentinamente en su forma definitiva.

Los conceptos, normalmente, se ensanchan y profundizan según progresa el niño y niña en su desarrollo evolutivo físico e intelectual.

Sin duda alguna, existe cierta concatenación entre los conceptos, es decir, los conceptos ya establecidos influyen en la adquisición de otros conceptos subsiguientes.

En su mayoría, la formación de los conceptos se realiza mediante actividades de ensayo/error, a través de las cuales se determina si un nuevo concepto es incluible o no en una hipótesis establecida.

El lenguaje y los símbolos intervienen en la conceptualización, porque actúan como marco de referencia, y capacitan al niño y niña para la adquisición de los conceptos.

La cronología de la aparición de los conceptos en el niño y la niña presenta tres niveles:

- Preconceptos: El niño y la niña son capaces de disociar los objetos de sus propiedades, sobre la base de su conducta.

Se establecen ya a partir de los 2 años.

Conceptos contrastados con la realidad: Son esquemas mentales más elaborados que los anteriores. Se caracterizan por la necesidad de experimentarlos y de contrastarlos con la realidad. Por tanto, a las edades que indicamos, solamente se podrán elaborar aquellos conceptos que sean derivables de la experimentación y contacto directo con la realidad.

Se establecen ya hacia los 6 años.

Conceptos reales: Se establecen alrededor de los 12 años. A estas edades, los conceptos son ya generalizaciones y abstracciones que no precisan el contacto directo con la realidad. Los conceptos matemáticos Los conceptos matemáticos constituyen un tipo especial dentro de los conceptos formales: Son generalizaciones de las relaciones entre cierta clase de “datos”, haciendo abstracción total de los objetos y fenómenos particulares en que se presentan.

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Los conceptos matemáticos no pueden lograrse únicamente por la acción directa del entorno cotidiano, sino solamente de manera indirecta desde otros conceptos que ya se hayan alcanzado. Estas características especiales de los conceptos matemáticos les hace, en alto grado, dependientes de los maestros o maestras, de su didáctica concreta y de la observación atenta, activa y muy experimental con que responda el niño o la niña. En la adquisición de los conceptos matemáticos, intervienen de modo claro y evidente, los factores siguientes: Es más sencillo descubrir un concepto simple (triángulo), que un

concepto compuesto (triángulo verde más triángulo verde grande). El descubrimiento y adquisición de un concepto simple requiere menos

experiencias y ensayos que el de un concepto compuesto. Cuanto mayor es el número de características irrelevantes o distractores

presentados (otras formas, colores, tamaños, etc), más difícil resulta la adquisición de un concepto.

En las primeras edades y niveles conviene un bajo número de distractores, pero a medida que el concepto se vaya consolidando es útil ampliar el número de distractores, para que el niño y la niña consigan extraer las propiedades conceptuales con una mayor independencia de cada caso concreto e, incluso, del mismo maestro o maestra.

Para ayudar al niño y niña a desarrollar los conceptos matemáticos es necesario enseñarles el lenguaje de la matemática, sus relaciones, sus procedimientos, sus métodos, su lógica, sus símbolos propios, su operatividad y cálculo, etc.

Hay variables difíciles de controlar porque están relacionadas con el mismo niño o niña, y que influyen en la adquisición de estos conceptos.

Cuanta mayor sea la capacidad discriminatoria del niño y de la niña, respecto de las características relevantes, más fácil será la adquisición del concepto.

Se mejorará la adquisición de los conceptos conjuntivos (grande “y” amarillo) mediante la presentación inicial de ejemplares positivos.

Se mejora la adquisición de los conceptos disyuntivos (grande “o” amarillo) mediante la presentación inicial de ejemplares negativos, o mediante la alternancia de ejemplares negativos y positivos.

La manipulación, experimentación y observación activa son base imprescindible para la adquisición de los conceptos matemáticos, en general, y de modo muy particular en Educación Infantil.

Entre los conceptos matemáticos básicos para ser trabajados asiduamente en la etapa de Educación Infantil se encuentran los siguientes:

Concepto de objeto-materia:

- A través de relaciones: niño-demás niños.

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- A través de relaciones: niño-objeto. - A través de relaciones: objeto-objeto.

El razonamiento lógico:

o Se irá desarrollando en el niño, de modo globalizado, al tratar los

conceptos anteriores. o Sobre todo, a través de relaciones: objeto-objeto. o Se apoyará, fundamentalmente, en las acciones sobre las

colecciones y agrupamientos de objetos. o Tendrá su mejor ayuda en la maduración personal del niño y de la

niña, a lo largo de la etapa de Educación Infantil.

Concepto de número con:

- Sus agrupaciones y significado. - Sus aspectos: cardinal y ordinal, al realizar clasificaciones y

seriaciones. - Sus operaciones y aritmética. - Sus aplicaciones a la vida real.

Conceptos sobre espacio y geometría:

- Mediante percepciones y representaciones. - Mediante análisis de posiciones de puntos, líneas, objetos, etc. - A través de movimientos rígidos, donde las propiedades

métricas de los cuerpos permanecen constantes (lados, ángulos, paralelismo, perpendicularidad, etc.): espacio euclidiano.

- A través de transformaciones proyectivas, donde las propiedades de los cuerpos sufren deformaciones que dependen de la posición relativa del objeto y su transformado (sombras, etc.): espacio proyectivo.

- A través de transformaciones topológicas, donde los cuerpos sufren deformaciones tan violentas que se pierden las propiedades métricas y proyectivas (proximidad, separación, encerramiento o clausura, orden o sucesión espacial, continuidad, etc.) sin llegar al rompimiento: espacio topológico.

- Hoy se estima que los primeros conceptos infantiles sobre el espacio son de carácter topológico.

Concepto de longitud, superficie y capacidad/volumen:

- A través de comparaciones y relaciones. - A través de la medida de objetos reales. - Mediante el uso de unidades convencionales diversas. - Mediante el uso de unidades de sistemas ya establecidos.

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Concepto de tiempo:

- A través de estímulos sucesivos. - A través de estímulos contínuos que cesan. - Mediante comparación de estímulos contínuos. - Realizando medidas de tiempo real y su expresión en

unidades.

Concepto de peso:

- A través de comparaciones sistemáticas. - A través de clasificaciones. - A través de ordenaciones. - Realizando medidas sin unidades patrón (con arena, etc.). - Realizando medidas con unidades patrón.

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LECTURAS RECOMENDADAS

2 La iniciación matemática en educación infantil

Para un mejor análisis de la iniciación matemática en el niño y niña de cero a seis años necesitamos partir de los siguientes supuestos de la matemática:

La matemática es una materia en la que menos se puede prescindir de un iniciador, porque está constituida por unos conocimientos y procedimientos a los que difícilmente se accede sin la guía de un buen maestro o maestra en ellos.

La matemática exige un esfuerzo mental añadido, porque desemboca

siempre en actividades mentales que exigen un alto grado de abstracción, pues, aunque de cero a seis años hay que partir siempre de lo concreto, la intención debe ser superarlo y buscar en ello lo general.

Precisamente, por desembocar en lo general y recorrer el camino de la

abstracción, la matemática:

o Se construye esquemáticamente, formal y sistemáticamente. o Se organiza a partir de axiomas. o Se decanta y se comunica mediante lenguajes y códigos

especiales, como son: los símbolos, las figuras, los diagramas, los algoritmos, las estructuras, etc.

La matemática es una materia sumamente acumulativa. Unas actividades

exigen otras previas, lo cual requiere comprensión lógica y memoria comprensiva de los contenidos anteriores. Es decir, saber razonar y saber aplicar los conceptos o los procedimientos en acción.

La matemática es una de las materias más concretas y que menos

permite disimular la ignorancia propia.

La matemática, hoy, está en el transfondo de todas las materias. Por ello es imprescindible su conocimiento activo y aplicativo.

La matemática debe ayudar a asegurar que los seres humanos nos

comportemos en el mundo de acuerdo con unas leyes lógicas, no contradictorias y coordinadas entre sí, tanto en el orden natural, como en el familiar, social, político, mundial, etc.

La matemática, más que una materia, es un bien común al que todos

tienen derecho y que la sociedad espera de la escuela, porque constituye una dimensión necesaria para la formación de la persona en el mundo de hoy.

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La matemática promueve virtualidades que son metas educativas, de tal modo que su valor formativo puede superar quizá su propia utilidad, si es que fuese posible considerar y sopesar separadamente dichos factores.

El alto valor formativo de la matemática viene probado por los efectos

siguientes:

a) En el ámbito de la formación intelectual, la matemática nos enseña:

- A reflexionar sobre las situaciones. - A considerar y aislar lo esencial de lo accesorio. - A desarrollar el juicio, distinguiendo lo probado, demostrado

y cierto, de lo posible y de lo imposible o falso. - A organizar el pensamiento, ordenando las ideas,

elaborando esquemas, realizando consecuencias y distinguiendo medios, causas y efectos.

- A formar el espíritu científico en sus vertientes de: objetividad, exactitud, precisión y espíritu crítico.

b) En el ámbito de la formación moral y estética, la matemática fomenta:

- La necesidad de rigor, de discernimiento y de claridad en la

verificación de pruebas, así como la discusión formativa. - El gusto por el orden, la concisión, la exactitud y la verdad. - El habito de conocer, indagar y comprender los principios

de las cosas. - El descubrimiento y la sensibilización por la belleza de las

formas y la organización en la naturaleza y en la técnica. - El habito de la aceptación del mejor criterio probado y la

constatación irrefutable del acierto.

La matemática fuerza a plantearse diversidad de requerimientos según el tipo de alumno o alumna, pues unos son más lentos y otros más rápidos en sus diversas actuaciones matemáticas, lo cual exige una metodología fina y apropiada para cada niño, niña o grupo de niños y niñas.

La matemática, como el lenguaje, es una actividad en la que los niños y

niñas se desenvuelven con normalidad, si ponemos a su disposición los medios oportunos par una correcta iniciación. No obstante su práctica asidua en la vida, quizá sea la matemática uno de los símbolos donde más errores se cometen.

El niño y niña son sensibles al mundo de las matemáticas. En todo lo que

crean y en lo que hacen tienen presente el mundo de los números. Su manera de ser y su modo de comportarse les empujan hacia el cálculo:

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- Su sentido de la propiedad. - Su afán por el coleccionismo. - Su gusto por repetir. - Su deseo de observar. - Su necesidad de ordenar. - Y hasta el uso que ellos hacen como soportes formales en sus

juegos. - Etc.

Principios didácticos para la iniciación matemática en educación infantil

Lograr una motivación adecuada es fundamental para el proceso didáctico en Educación Infantil. Se puede lograr más fácilmente que el niño y niña se sientan motivados: - Si se atribuye sentido a lo que se les pide que hagan.

- Si hay una distancia óptima entre lo que saben y lo que se propone como

nuevo.

- Si tienen la cantidad y calidad de ayuda pedagógica necesaria y suficiente.

- Si el error se utiliza como fuente de aprendizaje y no tanto como algo negativo que es necesario eliminar, sin más.

Los contenidos de enseñanza y aprendizaje deben partir siempre de experiencias directas, de este modo:

Experiencias con materiales manipulativos concretos. Experiencias que partan del juego según el tipo que corresponda,

juego de ejercicio, simbólico o de reglas, conforme veremos en su momento oportuno.

Experiencias con procedimientos y acciones bien organizadas, según pautas muy claras que dirijan la actuación de cada niño y niña.

Experiencias que sigan un orden de prioridades para mejor lograr la construcción y significación de los conceptos matemáticos que correspondan.

Mediante la verbalización el niño y l niña evocan las actividades realizadas, ya sea de modo vivencial o mediante materiales manipulativos. Por esta razón conviene proponerla como medio didáctico después de realizadas dichas actividades. Mediante el dibujo se expresan gráficamente las funciones de representación. El niño y niña dibujan su modelo interno, es decir, la representación mental propia que han elaborado. Ello significa que dibujan el objeto no como lo ven en una posición concreta, sino que diseñan todo lo que saben de dicho objeto. En lugar de reproducir un objeto desde un solo punto de vista, lo dibujan

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simultáneamente desde todos ellos, de modo que representan imágenes en las que superficies de objetos tridimensionales aparecen como desarrolladas sobre un plano único. Es muy importante tener en cuenta todo esto para la correcta interpretación evaluativa de los conceptos que se vayan adquiriendo. En la toma de contacto de cada niño y cada niña con la experiencia será necesario conseguir lo siguiente:

- Alcanzar el conocimiento de los objetos y sus cualidades o atributos.

- Realizar el descubrimiento de lo esencial, según sus posibilidades.

- Lograr la generalización y abstracción conceptuales propias. Toda experiencia con materiales manipulativos curriculares debe seguir el método del descubrimiento, lo cual exige cumplir los “principios básicos del aprendizaje de la matemática” que son, según Dienes, son los siguientes: Principio de constructividad: La construcción, la manipulación, el juego,

deberá ser siempre el primer contacto con las realidades matemáticas, pues el niño y niña ven y entienden por las manos.

Principio dinámico: El aprendizaje va, de la experiencia a la categorización,

mediante ciclos que se suceden regularmente. Cada ciclo consta de tres etapas:

Etapa preliminar. Con los juegos de ejercicios y juegos

simbólicos, que inician el proceso de interiorización.

Etapa constructiva: Con los juegos de reglas, mediante los cuales, buscando regularidades se descubren reglas de comportamiento.

Etapa de anclaje: En la que se logra la aplicación del concepto y mejor fijación del mismo.

Principio de variabilidad perceptiva: Para abstraer una estructura matemática debemos encontrarla en situaciones diferentes. Esto exige la utilización de diversidad de materiales manipulativos sobre los mismos contenidos lógicos y matemáticos que trabajemos.

Principio de variabilidad matemática: Cada concepto envuelve distintas

variables esenciales. Para alcanzar la completa generalización del concepto es necesario trabajar con cada una de estas variables de modo independiente, dejando las demás variables constantes.

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El proceso para que los principios anteriores logren la formación del pensamiento abstracto-simbólico, exige estas fases:

Fase manipulativa: Por sencillo que sea un concepto matemático debe pasar inicialmente por su manipulación más acomodada.

Fase verbal: El niño y la niña deben explicar, a su manera, lo realizado y

conseguido. Esta verbalización marca el inicio de la comprensión e interiorización de los conceptos.

Fase ideográfica: El niño y niña deben traducir de manera plástica cuanto hayan descubierto en su investigación:

Con plastilina, etc. Sobre papel grande de embalar. Sobre fichas, según su propio nivel.

Fase simbólica: Cuando sea el modo oportuno, el niño y la niña deberán

expresar sus experiencias con símbolos matemáticos, si su utilización es ciertamente significativa para ellos. Todo esto supone ya un logro más en la abstracción matemática.

El desarrollo óptimo de la experimentación propuesta a los niños y niñas en el “método del descubrimiento”, exige el orden y proceso siguientes, para los distintos ejercicios y materiales manipulativos que indicamos:

1. Ejercicios con los propios niños y niñas.

Su objetivo será vivenciar, desde el propio yo del niño y de la niña, el significado de sus acciones.

2. Ejercicios con materiales manipulativos:

- Ambientales. - Estructurados.

3. Ejercicios realizados:

- Sobre papel grande, de embalar. - En el suelo.

4. Ejercicios en fichas individuales de trabajo.

Se realizarán a partir del momento que se considere oportuno y posible, para cada niño y niña.

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El método del descubrimiento a partir de la experiencia exige establecer gran variedad de ejercicios de aprendizaje o actividades. Mialaret propone para ellas los tipos siguientes:

* Actividades de iniciación:

Se realizarán cuando:

- Se presente un nuevo material o nuevo contenido. - Se inicien nuevas actuaciones con el material. - Se incluyan ciertas novedades o particularidades.

* Actividades de aplicación:

Versarán sobre lo introducido en las actividades de iniciación. Se realizarán de modo individual, una vez lograda su comprensión.

* Actividades de fijación o entrenamiento:

Presentarán la duración que cada niño y niña precisen hasta conseguir una suficiente asimilación.

* Actividades de control:

Mediante ellas conoceremos el momento de paso a otras nuevas experiencias. Estas actividades pueden realizarse:

- De modo individual. - En pequeño grupo. - En gran grupo. - Dentro o fuera de la “puesta en común”.

Para lograr una abstracción coordinada con sus diferentes tipos, deberá seguirse este orden, de acuerdo con su complejidad creciente:

1º Abstracción física.

Realizada como proceso mental que permite extraer una característica física concreta entre diferentes y variados objetos.

2º Abstracción funcional.

Realizada como proceso mental que permite extraer una misma característica funcional entre diferentes y variados objetos.

3º Abstracción lógico-matemática.

Realizada como proceso mental que permite establecer relaciones de tipo lógico-matemático entre diferentes y variados objetos.

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4º Abstracción inclusiva.

Realizada como proceso mental que permite extraer una misma característica fundamental entre diferentes y variados objetos por el hecho de estar todos ellos incluidos en un concepto superior.

Metodología para una correcta iniciación matemática en educación infantil

Como consecuencia de todo lo dicho hasta aquí y con el fin de realizar una correcta iniciación matemática debemos tener en cuenta, metodológicamente, cuanto sigue:

1) La correcta iniciación en la matemática y su aprendizaje sistemático se inscriben dentro de los derechos del alumno, que necesariamente ha de satisfacer la escuela desde los primeros niveles.

Esta corrección exige su iniciación desde los comienzos

educativos, pues su encaje posterior sufriría decisivamente si no se hace a su tiempo.

Hay momentos educativos que, una vez “pasados”, ya no logran recuperarse nunca.

2) La iniciación matemática, al igual que la iniciación a la lectoescritura,

deberá realizarse, al menos, con tanto cuidado, atención y celo, como se hace con otros ritos sociales de iniciación.

3) La iniciación matemática realizada correctamente, de modo

constructivo y significativo, debe poner las bases para que el niño y niña:

Se apropien de las invenciones que han costado miles de

años a la humanidad. Puedan manejar todo el tesoro científico, técnico, etc.,

acumulado a lo largo del tiempo.

4) La iniciación matemática ha de ser una construcción mental vivida y experimentada paso a paso. Para conseguirlo con normalidad:

Debe esta básicamente motivada mediante los materiales

manipulativos curriculares, apropiados a tal fin. Debe ser fuertemente motivadora, estando conectada con

la realidad que se vive, a través de las actividades oportunas.

Debe lograr una progresiva asunción de los conceptos matemáticos, de modo que se consiga un creciente nivel de dominio de ellos sobre la vida.

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5) Además, durante el desarrollo de toda la iniciación matemática se deberá tener siempre muy en cuenta que:

Se ha de cultivar el razonamiento lógico desde la base. No se deberá favorecer el culto a la buena y rápida

respuesta, sin más. Se debe aprovechar los errores de los niños y niñas como

fuente de aprendizaje para descubrir: Las sub-lógicas operantes. El fallo en el proceso realizado. El punto en que se inició la desviación del

razonamiento correcto.

Se debe analizar, también, la actuación del maestro o maestra en el proceso de enseñanza/aprendizaje, comprobando:

La motivación lograda. El vocabulario empleado. La presentación, el tratamiento y el manipulado de los

materiales curriculares y didácticos frente a los niños y niñas.

El diseño, calidad, acomodación, ordenación y cantidad de las actividades propuestas.

El establecimiento concreto de las situaciones problemáticas o de aplicabilidad a la vida.

6) Es necesario evitar una excesiva mitificación de los términos que se usan en la iniciación matemática.

Trabajar la matemática, ciertamente, que va a obligar al niño y

niña a aprender muchas palabras nuevas.

El camino a seguir en la iniciación de estos términos nuevos será ofrecerlos: En contextos muy significativos. Con la intensidad oportuna. Con la extensión conveniente. Con la insistencia necesaria para que cada niño y niña los

asimile correctamente. Se hará del mismo modo que con otras palabras, como:

clase, recreo, compañero, compañera, etc., que los niños o niñas no suelen conocer hasta que no vienen al colegio y que, sin necesidad de explicaciones especiales, las van incorporando correctamente a su vocabulario.

7) En la iniciación matemática, se podrán saltar fases previas y se

podrán seguir ritmos más o menos lentos/rápidos, según lo vaya

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exigiendo cada niño y niña. Todo esto hace conveniente plantear una metodología a través de procesos muy bien agrupados, donde cada “escalón” esté diferenciado del anterior por un solo aspecto propio.

Así, en el escalón didáctico en el que el niño y niña no avancen

podrá estudiarse la dificultad típica y concreta que presenta, y solucionarla de manera específica.

8) La metodología para una iniciación matemática correcta, teniendo en cuenta las bases de la Educación Infantil y de acuerdo con los supuestos anteriores, deberá ser:

Globalizada, por cuanto se refiere al modo de programar los

contenidos el maestro y maestra.

Globalizante, en clara referencia al modo de actuar el maestro y maestra en todo momento.

Globalizadora, respecto al modo de percibir cada niño y niña la enseñanza recibida.

9) Por su carácter globalizador, la etapa de Educación Infantil, de cero a

seis años, deberá realizarse y lograr un desarrollo paralelo y armónico en cuanto hace referencia a la iniciación matemática y a la del lenguaje.

Es necesario cuidar todo esto grandemente ya que se

malogran muchos procesos mentales, nociones o conceptos matemáticos sólo por problemas en el lenguaje que se ha empleado.

CONCLUSIÓN El maestro y maestra de Educación Infantil que quieran realizar una correcta iniciación matemática deberán ser muy creativos, activos y dinámicos, empatizar perfectamente con todos los niños y niñas según la edad de éstos y, a la vez, mantenerse muy al día en su formación psicopedagógica y científica. Todo ello supone, sin duda alguna, un “arte” singular, vivido en el día a día.

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LECTURAS RECOMENDADAS

3 Las metodologías para el desarrollo del pensamiento lógico-matematico

Congreso Mundial de Lecto-escritura, celebrado en Valencia, Diciembre 2000

D. José Antonio Fernández Bravo

Centro de enseñanza superior D. Bosco - Universidad Complutense.

Cada vez más, la comprensión de los conceptos matemáticos como actividad escolar en Educación Infantil, depende de planteamientos metodológicos adecuados que permitan al niño generar ideas desde la observación, la imaginación, la intuición y el razonamiento lógico. A este afán de comprensión hay que añadir la necesidad de extensión, de los conceptos adquiridos, al entorno inmediato en el que el alumno se desenvuelve, con el claro objetivo de aplicar correctamente las relaciones descubiertas, y descubrir otras nuevas que aporten al conocimiento amplitud intelectual. Este reto a la enseñanza muestra palmariamente la necesidad de aprender “haciendo”, teniendo como base el desafío, los ejemplos y contraejemplos abiertos a la contrastación y canalización de sus ideas. Exigencia de aprendizaje que puede verse amenazada por una falta de prudencia en la decisión de una metodología didáctica; cuyos procedimientos deben apoyarse, principalmente, en la curiosidad y en la necesidad, a través de cuatro etapas que, en nuestra opinión, constituyen el acto didáctico como actuación en el aula, para la clara y ortodoxa comprensión de los conceptos y relaciones, el enriquecimiento intelectual y la satisfacción personal: Etapa de Elaboración, Etapa de Enunciación, Etapa de Concretización y Etapa de Transferencia o Abstracción. I. Factores intervinientes en el desarrollo del pensamiento lógico-matemático. El pensamiento lógico infantil se enmarca en el aspecto sensomotriz y se desarrolla, principalmente, a través de los sentidos. La multitud de experiencias que el niño realiza -consciente de su percepción- consigo mismo, en relación con los demás y con los objetos del mundo circundante, transfieren a su mente unos hechos sobre los que elabora una serie de ideas a las que podemos llamar “creencias”. De estas percepciones no podemos decir, por su construcción lógica infantil, que sean matemáticas. El contenido matemático no existe; lo que existe es una interpretación matemática de esas adquisiciones. Esta interpretación se va consiguiendo, en principio, a través de experiencias en las que el acto intelectual se construye mediante una dinámica de relaciones sobre la cantidad y la posición de los objetos en el espacio y en el tiempo. Es por eso, por lo que cada vez más se señala la diferencia entre contenido y conocimiento; con contenido hacemos referencia a lo que se enseña y, con conocimiento, a lo

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que se aprende. Un paso más nos llevará a estudiar la fiabilidad y validez de ese conocimiento. De momento, tengamos presente esta sencilla distinción. El desarrollo de cuatro capacidades favorece el pensamiento lógico-matemático:

La observación: Se debe potenciar sin imponer a la atención del niño lo que el adulto quiere que vea; es más una libre expresión de lo que realmente él puede ver. La observación se canalizará libremente y respetando la acción del sujeto, mediante juegos cuidadosamente dirigidos a la percepción de propiedades y a la relación entre ellas. Esta capacidad de observación se ve aumentada cuando se actúa con gusto y tranquilidad y se ve disminuida cuando existe tensión en el sujeto que realiza la actividad. Según Krivenko (1990), hay que tener presentes tres factores que intervienen de forma directa en su desarrollo: El factor tiempo, el factor cantidad y el factor diversidad.

La imaginación. Entendida como acción creativa, se potencia con

actividades que permiten una pluralidad de alternativas a la acción del sujeto. Ayuda al aprendizaje matemático por la variabilidad de situaciones a las que se transfiere una misma interpretación. En ocasiones se suele confundir con la fantasía. Cuando, bajo un punto de vista matemático hablamos de imaginación , no queremos decir que se le permita al alumno todo lo que se le ocurra; más bien, que consigamos que se le ocurra todo aquello que se puede permitir según los principios, técnicas y modelos de la matemática.

La intuición: Las actividades dirigidas al desarrollo de la intuición no

deben provocar técnicas adivinatorias; el decir por decir no desarrolla pensamiento alguno. La arbitrariedad no forma parte de la actuación lógica. El sujeto intuye cuando llega a la verdad sin necesidad de razonamiento.

El razonamiento lógico: El razonamiento es la forma del pensamiento

mediante la cual, partiendo de uno o varios juicios verdaderos, denominados premisas, llegamos a una conclusión conforme a ciertas reglas de inferencia. Para Bertrand Russell (1988) la lógica y la matemática están tan ligadas que afirma: "la lógica es la juventud de la matemática y la matemática la madurez de la lógica". La referencia al razonamiento lógico se hace desde la dimensión intelectual que es capaz de generar ideas en la estrategia de actuación ante un determinado desafío. El desarrollo del pensamiento es resultado de la influencia que ejerce en el sujeto la actividad escolar y familiar. Toda actividad que intente cumplir este objetivo se dirigirá a estimular en el alumno la capacidad para generar ideas y expresarlas. Si no se les escucha es imposible desarrollar pensamiento alguno. Muchas veces lo que hacemos únicamente es conseguir que escuchen nuestros pensamientos, ¿que creemos ya formados y correctos?, cuando lo importante es dirigir los suyos propios. Es por eso por lo que la mayoría de los niños y las niñas tienen por único argumento razonado: “Él /ella lo

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dijo (Ipse dixit) - refiriéndose al profesor/a-”, cuando lo importante es cambiar esa expresión arcaica por otra más moderna, y que el argumento de cada escolar sea: “Yo puedo verlo (I can see it)”.

Estos cuatro factores ayudan a entender el pensamiento lógico-matemático desde tres categorías básicas:

Capacidad para generar ideas cuya expresión e interpretación sobre

lo que se concluya sea: verdad para todos o mentira para todos.

Utilización de la representación o conjunto de representaciones con las que el lenguaje matemático hace referencia a esas ideas.

Comprender el entorno que nos rodea, con mayor profundidad,

mediante la aplicación de los conceptos aprendidos. Sobre estas indicaciones cabe advertir la importancia del orden en el que se han expuesto. Obsérvese que, en muchas ocasiones, se suele confundir la idea matemática con la representación de esa idea. Se le ofrece al niño, en primer lugar, el símbolo, dibujo, signo o representación cualquiera sobre el concepto en cuestión haciendo que el sujeto intente comprender el significado de lo que se ha representado. Estas experiencias son perturbadoras para el desarrollo del pensamiento lógico-matemático. Se ha demostrado suficientemente que el símbolo o el nombre convencional es el punto de llegada y no el punto de partida, por lo que, en primer lugar, se debe trabajar sobre la comprensión del concepto, propiedades y relaciones. Otra cuestión importante sobre la formación del conocimiento matemático es la necesaria distinción entre: la representación del concepto y la interpretación de éste a través de su representación. Se suele creer que cuantos más símbolos reconozca el niño más sabe sobre matemáticas y, aunque esto se aleja mucho de la realidad en la que se desenvuelve esta ciencia no faltan en las escuelas falsas analogías didácticas: “El dos es un patito” o “La culebra es una curva” o…. Tales expresiones pueden implicar el reconocimiento de una forma con un nombre, por asociación entre distintas experiencias del niño, pero en ningún modo contribuye al desarrollo del pensamiento matemático, debido a que miente sobre el contenido intelectual al que se refiere, por ejemplo, el concepto dos: Nunca designa a UN “patito”. En resumen, lo que favorece la formación del conocimiento lógico-matemático es la capacidad de interpretación matemática, y no la cantidad de símbolos que es capaz de recordar por asociación de formas. II. Fundamentos de metodología didáctica en la formación del conocimiento lógico- matemático Actualmente se ha comprobado la necesidad de subordinar la enseñanza al aprendizaje. Lo importante es ir descubriendo cómo aprenden para que podamos crear técnicas válidas de cómo enseñar. Garantizando que se cumple la influencia señalada se hace obligado partir de dos fundamentos principales:

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Por un lado, que sea el alumno el constructor de sus propios conocimientos. Por otro, que la comprensión de los conceptos sea anterior al enunciado convencional que se ha adquirido por tradición; primero comprender, después enunciar. Para que estos fundamentos no sean desnaturalizados se tiende a evitar, por parte del profesor/a, toda información verbal no comprendida por el alumno, partiendo en todo momento del vocabulario que ellos utilizan. En esta metodología las palabras correctivas: “bien” o “mal” carecen de sentido. Si decir mal obstaculiza el desarrollo personal, decir bien interrumpe el proceso intelectual: y todo ello porque un alumno o grupo de alumnos han dicho algo que se corresponde con lo que el profesor espera oír. Esta forma de proceder hace gala cada vez más de una psicología del convencimiento dirigida a enseñar que el trabajo escolar consiste en adivinar lo más rápidamente que se pueda lo que el responsable de esa enseñanza obliga a ver y a expresar. Evidentemente, la escuela en unos años les muestra que la participación es cosa de unos pocos que formulan correctamente lo que el profesor/a ha creído conveniente seleccionar. Esta constitución de corrupción intelectual produce un efecto adivinatorio e inhibidor, y toda creatividad que por naturaleza heredó el niño se convierte en nociva para lo que debería ser investigación y descubrimiento; la esperanza de saber degenera pronto a la decadencia de la razón del programa que ha sido creado por solidaridad a los maestros que no saben qué hacer sin él, cuando la verdadera ventaja de llamarse maestro viene reforzada por seguir al niño y no al programa. Por eso está afectada de falsedad la búsqueda de la razón del profesor en el hacer matemático: porque en este hacer más que la razón existen los razonamientos; y éstos son consecuencia del arte de preguntar, de la inclusión de desafíos, de ejemplos y contraejemplos que eduquen un temperamento intelectual capaz de comprender la matemática a través de la necesidad de pensar. Generalmente se ha aceptado que el aprendizaje de la matemática en la etapa infantil se refería al número y a la cantidad, apoyadas principalmente sus actividades en el orden y la seriación, siendo el contar el trabajo más preciado para la actividad matemática. Hoy, la naturaleza de la enseñanza de la matemática se muestra diferente: como expresión, como un nuevo lenguaje y un nuevo modo de pensar con sus aplicaciones prácticas a su entorno circundante. Aunque la asociación matemática y número suele ser habitual, se hace necesario indicar que no siempre que aparece la matemática se refiere al número, del mismo modo que el hecho de utilizar números nada puede decir del hacer matemático, si este hacer no ha sido generado por una acción lógica del pensamiento. El desarrollo del pensamiento lógico-matemático se puede recorrer didácticamente:

a) Estableciendo relaciones y clasificaciones entre y con los objetos que le

rodean. b) Ayudarles en la elaboración de las nociones espacio-temporales, forma,

número, estructuras lógicas, cuya adquisición es indispensable para el desarrollo de la inteligencia.

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c) Impulsar a los niños a averiguar cosas, a observar, a experimentar, a interpretar hechos, a aplicar sus conocimientos a nuevas situaciones o problemas

d) Desarrollar el gusto por una actividad del pensamiento a la que irá llamando matemática.

e) Despertar la curiosidad por comprender un nuevo modo de expresión. f) Guiarle en el descubrimiento mediante la investigación que le impulse a la

creatividad. g) Proporcionarles técnicas y conceptos matemáticos sin desnaturalización y

en su auténtica ortodoxia.

Los procedimientos que se utilicen para la consecución de los objetivos presentados anteriormente serán válidos en tanto se apoyen lo más posible en el juego, obteniendo como resultado experiencias fructíferas que aseguren la fiabilidad del conocimiento lógico y matemático.

Dienes (1977), plantea cuatro principios básicos para el aprendizaje de la matemática, son los siguientes: Principio dinámico. El aprendizaje marcha de la experiencia al acto de categorización, a través de ciclos que se suceden regularmente uno a otro. Cada ciclo consta, aproximadamente, de tres etapas: una etapa del juego preliminar poco estructurada; una etapa constructiva intermedia más estructurada seguida del discernimiento; y, una etapa de anclaje en la cual la visión nueva se fija en su sitio con más firmeza. Principio de construcción. Según el cual la construcción debe siempre preceder al análisis. La construcción, la manipulación y el juego constituyen para el niño el primer contacto con las realidades matemáticas. El principio de variabilidad perceptiva. Establece que para abstraer efectivamente una estructura matemática debemos encontrarla en una cantidad de estructuras diferentes para percibir sus propiedades puramente estructurales. De ese modo se llega a prescindir de las cualidades accidentales para abstraer lo esencial. El principio de la variabilidad matemática. Que establece que como cada concepto matemático envuelve variables esenciales, todas esas variables matemáticas deben hacerse variar si ha de alcanzarse la completa generalización del concepto. La aplicación del principio de la variabilidad matemática asegura una generalización eficiente.

Utilización didáctica de materiales y recursos Cada vez más, la comprensión de los conceptos se empareja a la manipulación de materiales capaces de generar ideas válidas sin desnaturalizar el contenido matemático. A este afán de comprensión hay que añadir la necesidad de extensión de los conceptos adquiridos al entorno inmediato en el que el niño se desenvuelve, con el claro objetivo de aplicar correctamente las relaciones

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descubiertas, y descubrir otras nuevas que aporten al conocimiento amplitud intelectual. El planteamiento didáctico se dirige a utilizar el contenido como medio para obtener conocimiento (Fernández Bravo, 1995ª). Por eso, aprender no consiste en repetir las informaciones escuchadas o leídas, sino en comprender las relaciones básicas mediante la contrastación de las ideas: Adquirir hábitos de pensamiento, desarrollar la capacidad creativa, descubrir relaciones, transferir ideas a otras nuevas situaciones, observar hechos, intuir conceptos, imaginar situaciones o, buscar nuevas formas de hacer donde, aparentemente, siempre había una y sólo una. La utilización de materiales y recursos es consecuente en su hacer didáctico con la interpretación que se tenga de la matemática. Que los materiales “didácticos” se apliquen para el desarrollo del pensamiento lógico-matemático, no significa que cubran los altos desafíos educativos para la intelectualización y aplicación de los conceptos y relaciones. Es la didáctica utilizada la que nos conducirá, o no, al cumplimiento de tales objetivos. El empleo del material es sin duda más que necesario. Pero si ha de ser fructífero y no perturbador debe llevar implícito un fuerte conocimiento de los fenómenos intelectuales que se pueden conseguir y de cómo se consiguen. El material no debe ser mostrado, sino utilizado. Lo que se debe mostrar a la consciencia del alumno es el conjunto de ideas que, de su manipulación, se generan en la mente, y canalizarlas, en tanto que han sido descubiertas por el niño, en el procedimiento matemático. Una cosa es "enseñar" una situación matemática y que el niño aprenda, y otra, muy distinta, es permitir que el niño manipule, observe, descubra y llegue a elaborar su propio pensamiento. No debemos imponer ningún modo particular para la realización de las distintas actividades. Saber sugerir para que el educando intuya, es lo propio. Como el trabajo activo va dirigido al niño es él quien debe realizar la experiencia y él, quien llegue al descubrimiento por sus propios medios: concediéndole la posibilidad de jugar con las respuestas antes de escoger una de ellas; y, eliminando los condicionantes que sujetan la opción de argumentar sus libres decisiones en la elaboración de estrategias para la resolución de los conflictos cognitivos que se le puedan plantear en relación con el material. Así, la matemática se presenta como algo de lo que se disfruta al mismo tiempo que se hace uso de ella.

Etapas del acto didáctico.

Existen cuatro etapas fundamentales en el acto didáctico (Fernández Bravo, 1995b): Elaboración, Enunciación, Concretización y Transferencia o Abstracción. Este orden de presentación de las etapas es irreemplazable.

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Etapa de Elaboración. En esta etapa se debe conseguir la intelectualización de la/s estrategia/s, concepto/s, procedimiento/s que hayan sido propuestos como tema de estudio. El profesor/a, respetando el trabajo del educando y el vocabulario por él empleado, creará, a partir de las ideas observadas, desafíos precisos que sirvan para canalizarlas dentro de la investigación que esté realizando en su camino de búsqueda. Tal planteamiento, supone evitar la información verbal, así como las palabras correctivas: "bien" o "mal"; utilizando, en todo momento, ejemplos y contraejemplos que aporten continuidad a la pluralidad de respuestas que escuchemos. Estas respuestas, ya correctas o incorrectas, se forman a través de un diálogo entre todos y de un diálogo interior, y deben ser recogidas, como hipótesis, desde la motivación de comprobarlas por sus propios medios para establecer conclusiones válidas. La curiosidad por las cosas surge por la actualización de las necesidades de nuestros alumnos; necesidades, no solamente físicas o intelectuales sino también operativas en el pensamiento para buscar soluciones a las dudas que se reflejan en focos concretos de las situaciones propuestas.

Esta etapa subraya el carácter cualitativo del aprendizaje. El respeto al niño es obligación permanente para que su originalidad y creatividad tome forma en las estrategias de construcción del concepto o relación. Y es en esta etapa, más que en ninguna otra, donde el educador pondrá a prueba el dominio que tiene sobre el tema. Un domino sin el cual se perderá fácilmente.

Etapa de Enunciación. El lenguaje, que desempeña un papel

fundamental en la formación del conocimiento lógico-matemático, se convierte muchas veces en obstáculo para el aprendizaje. Los niños no comprenden nuestro lenguaje. Si partimos de nuestras expresiones les obligaremos a repetir sonidos no ligados a su experiencia. Estas expresiones darán lugar a confusión y se verá aumentada la complejidad para la comprensión de los conceptos y la adquisición de otros nuevos. Por esto, llegados al punto en que el niño ha comprendido a partir de la generación mental de una serie de ideas expresadas libremente con su particular vocabulario, se hace necesario enunciar o simbolizar lo que ha comprendido, respecto a la nomenclatura o simbología correctas: los convencionalismos. Este es el objetivo de esta etapa: poner nombre o enunciar con una correcta nomenclatura y simbología. Por ello, la etapa anterior es de exagerada importancia y debe tener su particular evaluación para no considerar intelectualizado todo lo que en ella se ha visto, sino todo lo que en ella, ciertamente, se ha intelectualizado. En esta etapa, se puede orientar al sujeto de esta forma: “Eso que tú dices ... se dice...", "Eso que tú escribes como... se escribe...", "Lo que tú llamas... se llama...", "Lo que tú expresas de la forma... se expresa...", "Lo que tú indicas con... se indica..." (...)

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Etapa de Concretización. Es la etapa en la que el educando aplica, a

situaciones conocidas y ejemplos claros ligados a su experiencia, la estrategia, el concepto o la relación comprendida con su nomenclatura y simbología correctas. Se proponen actividades similares a las realizadas para que el alumno aplique el conocimiento adquirido, y evaluar en qué medida ha disminuido el desafío presentado en la situación propuesta en la etapa de Elaboración.

Etapa de Transferencia o Abstracción. Etapa en la que el niño aplica

los conocimientos adquiridos a cualquier situación u objeto independiente de su experiencia. Es capaz de generalizar la identificación de una operación o concepto y aplicarlo correctamente a una situación novedosa, tanto en la adquisición de nuevos contenidos, como en la interrelación con el mundo que le rodea. En muchas ocasiones, no se puede estudiar después de la etapa de Concretización; se confundiría con ella y su independencia como etapa no sería significativa. Existen niños que reproducen, sin dificultad alguna, formas de figuras inmediatamente después de haberlas trabajado, y, sin embargo, muchos de ellos no reconocen esas formas en los objetos del entorno en el que desenvuelven su actividad cotidiana, unos días más tarde. Se puede decir, que estos alumnos no han asimilado la relación o conjunto de relaciones trabajadas con anterioridad sobre el concepto. Si esto ocurre, el educador revisará la preparación de las etapas anteriores y su actuación en ellas, desde una investigación-acción.

La etapa más difícil para el educador es la etapa de Elaboración y, sin embargo, debe ser la que le resulte más fácil al educando. Las etapas presentadas no se pueden ver como cuatro pasos distintos sino como un todo ligado en el PROCESO DIDÁCTICO. Las características de la actuación del educador y su incidencia en la actuación del niño de estas edades se pueden resumir de la siguiente manera:

El/la profesor/a tiene que...

Observar las respuestas de los niños sin esperar la respuesta deseada. Permitir, mediante y ejemplos y contraejemplos, que el niño corrija sus

errores. Evitar la información verbal y las palabras correctivas: "Bien", "Mal", o

formulaciones con la misma finalidad. Respetar las respuestas, conduciendo, mediante preguntas, el camino de

investigación que ha propuesto el sujeto. Enunciar y/o simbolizar la relación, estrategia, estructura lingüística o

procedimiento que se estén trabajando con la nomenclatura correcta, después, y sólo después, de su comprensión.

El/la niño/a tiene que...

Ver su trabajo como un juego.

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Dudar sobre lo que está aprendiendo. Jugar con las respuestas antes de escoger una de ellas. Tener la completa seguridad de que no importa equivocarse. Conquistar el concepto; luchar por su comprensión. Dar explicaciones razonadas. Trabajar lógica y matemáticamente. Transferir los conocimientos adquiridos a otras nuevas situaciones.

La fiabilidad de lo que el profesor/a enseña se corresponde con la validez de lo que el alumno/a es capaz de crear. Por eso, llamaremos avance didáctico a lo que consiga obtener un mayor rendimiento con un menor esfuerzo.

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Bibliografía

DIENES, Z.P. (1977): Las seis etapas del aprendizaje de la matemática. Barcelona. Teide.

FERNÁNDEZ BRAVO, J.A. (1995a): Didáctica de la matemática en la

educación infantil. Madrid. Ediciones pedagógicas.

FERNÁNDEZ BRAVO, J.A. (1995b): Las cuatro etapas del acto didáctico. Revista Comunidad Educativa, núm. 228

RUSSELL, B. (1988): Introducción a la Filosofía de la Matemática.

Barcelona. Paidós.