F l h ^ b q k d b d h f g ^ Z p b b по организации ... · H j ] Z g b a Z p b \ g _ Z m ^ b l h j g h c Z f h k l h y l _ e v g h c [ h l u i h [ g h c b k p b i e b

$Page 1: F l h ^ b q k d b d h f g ^ Z p b b по организации ... · H j ] Z g b a Z p b \ g _ Z m ^ b l h j g h c Z f h k l h y l _ e v g h c [ h l u i h [ g h c b k p b i e b$
Государственное профессиональное образовательное учреждение

«Беловский многопрофильный техникум»

Рассмотрено:

Заседание ЦМК

Протокол №______

___________ М.В. Екимова

«____»______________ 20___г.

Утверждаю:

Зам. директора по УР

ГПОУ БМТ

________ А.Р. Анохина

«____»____________ 20___г.

Методические рекомендации

по организации

внеаудиторной самостоятельной работы обучающихся

ПО УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЕ

ОДП.01 МАТЕМАТИКА

Профессия:

15.01.05 Сварщик (ручной и частично механизированной сварки (наплавки))

Белово

2018

Организация внеаудиторной самостоятельной работы

по учебной дисциплине «ОДП.01 Математика» 2018-2020 учебный год

15.01.05 Сварщик (ручной и частично механизированной сварки (наплавки))

Одной из важнейших проблем, является повышение качества подготовки специалистов.

Обучающийся должен не только получать знания по дисциплине программы, овладевать умениями и

навыками использования этих знаний, методами исследовательской работы, но уметь самостоятельно

приобретать новые научные сведения. В этой связи все большее значение приобретает самостоятельная

работа обучающихся. Организация самостоятельной внеаудиторной работы в процессе обучения,

формирование умений учебного труда является основой для дальнейшего обучения. Таким образом,

обучающиеся должны получить подготовку к последующему самообразованию, а средством достижения

этой цели является внеаудиторная самостоятельная работа.

Внеаудиторная самостоятельная работа выполняется обучающимся по заданию преподавателя,

но без его непосредственного участия.

Объем времени, отведенный на внеаудиторную самостоятельную работу, находит отражение: в

рабочем учебном плане; в рабочей программы дисциплины.

Основные понятия и определения

Знание – проверенный практикой результат познания действительности, верное ее отражение в

мышлении человека; в педагогике - понимание, сохранение в памяти и воспроизведение фактов науки,

понятий, законов, правил, теорий.

Конспект – это систематическая, логически связанная запись, объединяющая план, тезисы,

выписки.

Контрольная работа - (письменная) – одна из форм контроля и учета знаний, умений и навыков

обучающихся( наряду с устным опросом, лабораторными работами и т.д.). Различают контрольные работы

аудиторные и домашние, текущие и семестровые.

Метод обучения - система последовательных и взаимосвязанных совместных действий

преподавателя и обучающихся, обеспечивающих усвоение содержания образовании. Метод обучения

характеризуется тремя признаками: обозначает цель обучения, способ усвоения, характер взаимодействия

субъектов обучения.

Навык – способ выполнения действий, операций, ставших в результате многократных

упражнений автоматизированным.

Приемы обучения - составные элементы метода, определенные особенности выполнения той

или иной операции, которая должна присутствовать в обучении.

Проект - уникальная деятельность, имеющая начало и конец во времени, направленная на

достижение определенного результата ( цели, создание определенного, уникального продукта или услуги,

при заданных ограничениях по ресурсам и срокам, а также требованиям к качеству и допустимому уровню

риска.

Проектирование - процесс создания проекта, прототипа, прообраза предполагаемого или

возможного объекта, состояния.

Реферат - ( от лат.refero – излагать, докладывать)- вид самостоятельной работы, представляющий

собой краткое точное изложение в письменном виде или в форме устного доклада содержание того или

иного источника( источников) по определенной форме.

Самостоятельная работа обучающихся - форма организации обучения, сущность которой

заключается в самостоятельной познавательной деятельности обучающихся по овладению научными

знаниями, практическими умениями и навыками. Наиболее распространенные виды самостоятельной

работы: работа с учебником, справочной литературой или первоисточниками, решение задач, выполнение

упражнений, сочинения, изложения, эссе, наблюдения, конструирование, моделирование и т.д.

Средства обучения - речь преподавателя, а также любые материальные объекты, в том числе

искусственно созданные специально для учебных целей и используемые в образовательном процессе в

качестве носителей учебной информации и инструмента деятельности преподавателя и обучающихся

Умение - освоенный человеком путем упражнений способ выполнения действия, обеспечиваемый

совокупностью приобретенных знаний и навыков. Умение позволяет выполнять действия не только в

привычных, но и изменившихся условиях.

Форма обучения – организационный способ осуществления учебного процесса, внешнее

выражение его внутренней сущности, логики и содержания. Форма обучения прежде всего связана с

количеством обучаемых, временем и местом обучения, порядком его осуществления.

Экзамен - ( от лат. еxamen - испытание)- одна из традиционных форм проверки знаний

обучающихся при завершении определенного этапа обучения, выявления и оценки результатов учебного

процесса.

Дипломная работа - один из видов выпускной квалификационной работы обучающихся,

выполняемая ими на последнем, выпускном курсе. Дипломная работа имеет целью систематизацию,

обобщение и проверку специальных теоретических знаний и практических навыков выпускников.

Подготовка дипломной работы и предшествующая этому профессионально- ориентировочная практика,

как заключительный этап обучения, отвечают за формирование у обучающихся навыков самостоятельной

работы в профессиональной области.

Общая характеристика самостоятельной внеаудиторной работы.

В литературе встречаются многочисленные классификации видов самостоятельной работы

учащихся по различным основаниям и критериям. Самостоятельные работы делятся по типам решаемых

задач на познавательные, творческие, исследовательские. По уровню проблемности - на репродуктивные,

репродуктивно-исследовательские, исследовательские (творческие). По методам научного познания - на

теоретические, экспериментальные, на моделирование, наблюдение, на классификацию, обобщение,

систематизацию.

Особенности организации внеаудиторной самостоятельной работы обучающихся.

Организация любой самостоятельной работы обучающихся включает три этапа:

-первый этап - постановка перед обучающимися целей, задач выполнения заданий (упражнений),

разъяснения и указания по их выполнению;

-второй этап - непосредственная деятельность обучающегося по выполнению заданий

(упражнений), решению задач;

-третий этап - подведение итогов и оценка выполнения самостоятельной работы обучающихся.

В ходе выполнения заданий, обучающиеся должны учиться мыслить, анализировать задания,

учитывать условия, ставить задачи, решать возникающие проблемы. В организации творческой

деятельности обучающихся преподавателю могут помочь новые информационные технологии.

При распределении видов заданий на ВСР рекомендуется использовать дифференцированный

подход к обучающимся. Перед выполнением ВСР преподаватель проводит инструктаж по выполнению

задания, который включает цель задания, его содержание, сроки выполнения, ориентировочный объем

работы, основные требования к результатам работы, критерии оценки. В процессе инструктажа

преподаватель предупреждает обучающихся о возможных типичных ошибках, встречающихся при

выполнении задания. Инструктаж проводится преподавателем за счет времени, отведенного на изучение

дисциплины.

Самостоятельная работа может выполняться индивидуально или группами обучающихся, в

зависимости от цели, объема, конкретной тематики самостоятельной работы, уровня сложности, уровня

умений обучающихся.

Контроль результатов внеаудиторной самостоятельной работы обучающихся может

осуществляться в пределах времени, отведенного на обязательные учебные занятия по дисциплине и может

проходить в письменной или устной форме, с предоставлением продукта творческой деятельности.

В качестве форм и методов контроля ВСР могут быть семинарские занятия, зачеты,

тестирование, самоотчеты, контрольные работы, защита творческих работ и пр.

Критериями оценки результатов ВСР являются:

-уровень усвоения учебного материала

-умение обучающегося использовать теоретические знания при выполнении практических задач

-сформированность общеучебных умений

-сформированность и четкость изложения ответов

-оформление материала в соответствии с требованиями.

Виды заданий для ВСР:

для овладения знаниями:

- чтение текста (учебника, первоисточника, дополнительной литературы);

- составление плана текста;

- графическое изображение структуры текста;

- конспектирование текста;

- выписки из текста;

- работа со словарями, справочниками;

- ознакомление с нормативными документами;

- учебно-исследовательская работа;

- использование аудио- и видеозаписей, компьютерной техники и Интернета.

для закрепления и систематизации знаний:

- работа с конспектами лекций (обработка текста),

- повторная работа над учебным материалом (учебника, первоисточника, дополнительной

литературы, аудио и видеозаписей),

- составление плана и тезисов ответа,

- составление таблиц для систематизации учебного материала,

- изучение нормативных документов,

- ответы на контрольные вопросы,

- аналитическая обработка текста (ннотирование, рецензирование, реферирование и др.)

- подготовка сообщений к выступлению на семинаре, конференции,

- подготовка рефератов, докладов, составление биографии, тематических кроссвордов,

тестирование.

для формирование умений:

- решение задач и упражнений по образцу,

- решение вариативных задач и упражнений,

- выполнение чертежей, схем,

- выполнение расчетно-графических работ,

- решение ситуационных производственных ( профессиональных) задач,

- подготовка к деловым играм,

- проектирование и моделирование разных видов и компонентов профессиональной деятельности,

- подготовка курсовых и дипломных работ ( проектов),

- экспериментально- конструкторская работа,

- опытно-экспериментальная работа.

Проектирование самостоятельной работы.

Термин «проект» происходит от латинского слова projectus, что в переводе означает

«брошенный вперед», «выступающий», « выдающийся вперед».

Признаки проекта:

Цель изначально определена и не меняется в процессе выполнения работы.

Деятельность является управляемой.

Ограничения деятельности изначально определены ( сроки, ресурсы, время, качество,

допустимый уровень рисков).

В основе проекта лежит развитие познавательных навыков учащихся, умений самостоятельно

конструировать свои знания, ориентироваться в информационном пространстве. Чтобы добиться

результата, необходимо научить учащихся самостоятельно мыслить, находить и решать проблемы,

привлекая для этой цели знания из разных областей, умения прогнозировать результаты и возможные

последствия разных вариантов решения, умения устанавливать причинно-следственные связи.

Принципы проектирования внеаудиторной самостоятельной работы:

Регламентация- совокупность норм, правил, стандартов, процедур, ограничивающих и

определяющих формы деятельности

Целесообразность – целевая определенность, когда лежащую в основе цель характеризуют как

причину.

Доступность ( в обучении)- соответствие содержания, объема изучаемого материала, методов и

организационных форм обучения возрастным и индивидуальным возможностям обучающихся,

имеющимся у них знаниям и представлениям, условиям обучения.

Результативность – получение хорошего результата, как показателя завершения деятельности,

демонстрации мастерства.

Самостоятельная работа должна быть действительно самостоятельной и побуждать

обучающегося при ее выполнении работать напряженно.

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К НАПИСАНИЮ РЕФЕРАТА

Как написать реферат

Написание и защита реферата — одна из форм аттестации знаний.

Несколько НЕ

Реферат НЕ копирует дословно книги и статьи и НЕ является конспектом.

Реферат НЕ пишется по одному источнику и Не является докладом.

Реферат НЕ может быть обзором литературы, т.е. не рассказывает о книгах.

В реферате собранный по теме материал систематизируется и обобщается.

Реферат состоит из нескольких частей:

титульный лист (оформляется по требованиям учебного заведения);

оглавление (содержание) требует наличие номеров страниц на каждый раздел реферата;

введение;

основная часть, состоящая из глав;

заключение;

список использованной литературы.

Во введении объясняется:

почему выбрана такая тема, чем она важна (личное отношение к теме (проблеме), чем она

актуальна (отношение современного общества к этой теме (проблеме), какую культурную или научную

ценность представляет (с точки зрения исследователей, ученых);

какая литература использована: исследования, научно-популярная литература, учебная, кто

авторы… (Клише: «Материалом для написания реферата послужили …»)

из чего состоит реферат (введение, кол-во глав, заключение, приложения. Клише:

«Во введении показана идея (цель) реферата. Глава 1 посвящена.., во 2 главе …В заключении

сформулированы основные выводы…»)

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ

по подготовке презентации.

Презентации по темам изучаемой дисциплины проводится с использованием средств PowerPoint,

интерактивной среды Stratum 2000, в которой отражается весь ход исследовательской работы. Название

слайдов и информация, представленная на них, соответствует схеме представления доклада. Однако не

следует помещать на слайды сплошной текст, скопированный из доклада. В презентации вы размещаете

структурированную информацию, выбирая самое главное и важное. Кроме того, на слайдах размещаются

различные схемы, диаграммы, графики, таблицы и рисунки, поясняющие полученные результаты и

сделанные вами выводы. Иллюстрации можно выполнять при помощи различных графических редакторов

или средствами самой программы PowerPoint. Вы можете подготовить иллюстрации вручную, после чего

отсканировать изображение и поместить на слайды.

Кроме того, целесообразно использование виртуальных лабораторий:

- Графер, модуль которого позволяет строить графики произвольных функций в различных

системах координат, строить параметрические кривые, осуществлять преобразования графиков

(растяжение, сдвиг, отражение), показывать результат алгебраических операций над функциями (сложение,

умножение, деление, суперпозиция), строить касательные и нормали, подписывать на графиках точки,

проверять построенные графики.

- Чертеж, модуль которого позволяет строить в режиме графического редактора геометрические

чертежи при помощи стандартных инструментов (циркуль и линейка).

- Трехмерный чертеж - средство для построения трехмерных объектов и их сечений в

стереометрии.

Также считается перспективным использование виртуальных лабораторий в комплексе с другими

средствами обучения. Типичным примером такого объединения являются лабораторные работы. Учащийся

проводит "эксперимент" на созданной разработчиками курса или сделанной им самим виртуальной

установке, измеряет требуемые величины, после чего осуществляется компьютерная проверка ответа.

Подготовить текст выступления

Для того чтобы лучше и полнее донести свои идеи до тех, кто будет рассматривать результаты

работы, надо подготовить текст доклада. Он должен быть кратким, и его лучше всего составить по такой

схеме:

1)почему избрана эта тема;

2) какой была цель проекта;

3) какие ставились задачи;

4) какие гипотезы проверялись;

5) какие использовались методы и средства;

6) каким был план;

7) какие результаты были получены;

9) что можно исследовать в дальнейшем в этом направлении.

На защите работы вы можете представить макеты или модели устройств, являющихся предметом

вашего исследования.

Делая наглядные материалы — макеты, схемы, чертежи, рисунки надо понимать, что они могут не

только показать сильные стороны проделанной работы, но и открыть слабые места в вашем исследовании.

НОРМЫ ВРЕМЕНИ ДЛЯ РЕАЛИЗАЦИИ ВНЕАУДИТОРНОЙ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ

РАБОТЫ

Раздел Темы Норма времени Развитие понятия о

числе

10 часов

Подготовить сообщение: «Модуль числа»,

«Комплексные числа»

2 ч.

Подготовить рефераты «История чисел»,

«Системы счисления»

2 ч.

Внеаудиторные самостоятельные работы

1. Решение квадратных уравнений и неравенств. 2. Преобразование алгебраических выражений.

3 ч.

Работа над конспектом лекции с применением:

учебника;

дополнительной литературы;

электронных ресурсов

Подготовка к практическим работам

3 ч.

Корни, степени и

логарифмы

18 часов

Опорные конспекты по темам

«Корни n-й степени и его свойства»

«Степень с рациональным показателем и его

свойства»

«Основное логарифмическое тождество и

свойства логарифмов»

2 ч

Подготовить сообщение: «О происхождении

термина корня и его обозначения», «Из истории

логарифмов»

«О происхождении термина логарифм и его

обозначении», «Связь показательной и

логарифмической функций»

4 ч.

Подготовить реферат «Примеры

функциональных зависимостей в реальных

процессах и явлениях».

3 ч.

Составить таблицу: Числа от 2 до 25 в степени

от 1 до 9

2 ч.


3. Тождественное преобразование

показательных и логарифмических выражений.

4. Решение показательных уравнений методом

преобразования.

5. Решение логарифмических уравнений и

неравенств, сводящиеся к простейшим.

4 ч.


учебника;



Подготовка к практическим работам Подготовка к контрольной работе

3 ч.

Прямые и

плоскости в

пространстве

12 часов

Подготовить презентацию по темам:

«Взаимное расположение прямых и плоскостей»

«Перпендикуляр и наклонная»

«Применение параллельности в пространстве на

ж/д транспорте»

«Применение перпендикулярности в

пространстве на ж/д транспорте»

4 ч.


6. Параллельность прямых и плоскостей в


7. Решение задач на угол между прямой и

плоскости.

3 ч.


учебника;




5 ч.

Элементы

комбинаторики

11 часов

Подготовить сообщение: «Из истории

комбинаторики», «Свойства биноминальных

коэффициентов»

5 ч.


учебника;




Подготовка к контрольной работе

6 ч.

Координаты и

векторы

12 часов

Подготовить сообщение: «Метод координат в

пространстве», «Векторное пространство»

«Применение векторов»

3 ч.

Подготовить презентацию по теме:

«Координаты и векторы в пространстве» 3 ч.


8. Выполнить рисунок по координатам на

плоскости

3 ч


учебника;




3 ч.

Основы

тригонометрии

11 часов

Подготовить рефераты: «Обратные значения

синуса, косинуса, тангенса», «Преобразование

тригонометрических графиков»

«Сложение гармонических колебаний»

4 ч.

Составить таблицы:

1.Числа от 2-9 в степени от 1 до 9

2. «Значения синуса, косинуса, тангенса и

котангенса».

3. «Формулы приведения».

4. Таблица арксинусов, арккосинусов,

арктангенсов

3 ч.


10. Преобразование тригонометрических

выражений.

11.Решение тригонометрических уравнений.

2 ч.


учебника;



Подготовка к практическим работам Подготовка к контрольным работам

2 ч.

Функции, их

свойства и графики.

Степенная,

показательная,

логарифмическая

функции и

тригонометрические

функции

12 часов

«Подготовить реферат: Примеры

функциональных зависимостей в реальных

процессах и явлениях».

6 ч.


учебника;




Подготовка к контрольным работам

6 ч.

Многогранники

13 часов

Подготовить реферат: «Платоновы тела» ,

«Правильные и полуправильные

многогранники», «Архимедовы тела».

«Применение многогранников»


«Выпуклые и невыпуклые многогранники»

«Правильные пирамиды»

5 ч.


12. Выполнить модели правильных

многогранников

3 ч.


учебника;




5 ч.

Тела и поверхности

вращения

10 часов

Подготовить реферат: «Многогранники,

описанные около сферы»


«Тела вращения и их применение»

«Применение многогранников и тел вращения»

«Конические сечения и их применение в

технике»

5 ч.


учебника;




5 ч.

Измерения в

геометрии

Внеаудиторные самостоятельные работы 13. Вычисление объемов

4 ч.

12 часов Работа над конспектом лекции с применением:

учебника;





8 ч.

Начала

математического

анализа

13 часов

Подготовить реферат: «Геометрический и

физический смысл производной»

«Вторая производная, ее геометрический и

физический смысл», «Применение производной

к исследованию функций и построению

графиков», «Понятие дифференциала и его

приложения», «Разложения по формуле

Тейлора»

4 ч.

Поиск практических примеров по темам

«Применение производной»

«Применение интеграла в физике и геометрии»

2 ч.

Составить таблицы:

«Формулы дифференцирования»

«Формулы первообразных»

2 ч.

Внеаудиторные самостоятельные работы 14. .Производная и ее применение

2 ч.


учебника;




3 ч.

Элементы теории

вероятностей.

Элементы

математической

статистики

10 часов

Подготовить сообщение :«Происхождение

теории вероятности» «Дискретная случайная

величина, закон ее распределения»

«Числовые характеристики дискретной

случайной величины»

«Понятие о законе больших чисел»

3 ч.

Поиск практических задач с применением

вероятностных методов

Подготовить реферат: «Средние значения и их

применение в статистике»


учебника;




7 ч.

Уравнения и

неравенства

14 часов

Исследовательская работа «Графическое

решение уравнений и неравенств», «Исследование уравнений и неравенств с

параметром»

5 ч.

Внеаудиторные самостоятельные работы 15. Решение логарифмических уравнений,

сводящиеся к простейшим.

16. Решение систем уравнений.

4 ч.


учебника;





5 ч.

Профильный блок:

Решение задач с

профессиональной

направленностью

3 часа

Подбор задач с профессиональной

направленностью.

«Использование математических навыков в

профессии».

3 ч.

Всего 161 ч.

Методические рекомендации по выполнению внеаудиторной самостоятельной работы по теме:

Тема 1. Приближенное значение величины и погрешности приближений

Цель: закрепить знания по данной теме; научиться решать задачи на нахождение приближенных

значений величины и погрешности приближений.

Время выполнения: 2 часа

Рекомендации по выполнению работы:

1. Прочитайте теоретическую часть

2. Разберите решение представленных задач.

3. Решите предложенные задачи, запишите решение задач в рабочую тетрадь по математике.

п.1.Погрешности приближенных значений чисел.

Абсолютная погрешность приближенного значения числа. Граница абсолютной погрешности.

В практической деятельности человеку приходится измерять различные величины, учитывать

материалы и продукты труда, производить различные вычисления. Результатами измерений, подсчетов и

вычислений являются числа. Числа лишь приблизительные, точные измерения невозможны ввиду

неточности измерительных приборов, несовершенства наших органов зрения, да и сами измеряемые

объекты иногда не позволяют определить их величину с любой точностью.

Пусть результат измерения х с некоторой точностью равен а. Тогда а называется приближенным

значением (или приближением) величины х.

Причем, если а х , то а называется приближенным значением с недостатком (или приближением снизу), а

если а х, то а называется приближенным значением с избытком (или приближением сверху) величины х.

Разность точного и приближенного значений величины называется погрешностью приближения

(обозначается х),

т.е. х = х-а - погрешность приближения

откуда х = а+ х,

т.е. истинное значение равно сумме приближенного значения и погрешности приближения.

Модуль разности точного и приближенного значений величины называется абсолютной

погрешностью приближенного значения числа х.

т.е. хаx -абсолютная погрешность приближения.

Любое положительное число, которое больше или равно абсолютной погрешности, называется

границей абсолютной погрешности.

Запись х= а h означает, что истинное значение величины х заключено между границами, т.е. а - h х

а + h

Пример 1: Даны приближенные значения числа х=3

2; ;6,01 ;66,02 .67,03 Какое из этих

трех приближений является лучшим?

Решение:

Находим;

15

1

5

3

3

26,0

3

21 х

150

1

50

33

3

266,0

3

22 х ;

;300

1

100

67

3

267,0

3

2х

Лучшим приближением числа х является .67,03

Пример 2: Длина детали х (см) заключена в границах 33 х 34. Найти границу абсолютной погрешности

измерения детали.

Решение: Примем за приближенное значение длины детали среднее арифметическое границ: а=(33+34)/2 =

33,5 (см).

Тогда граница абсолютной погрешности приближенного значения длины детали не превзойдет 0,5

(см). Величину а можно найти и как полуразность верхней и нижней границ, т.е. а = (34-33)/2 = 0,5

(см). Длина детали х, найденная с точностью до а =0,5 (см), заключена между приближенными

значениями числа х:

33,5-0,5 х 33,5+0,5;

х=33,5 0,5 (см).

п.2.Относительная погрешность приближенного значения числа

Для характеристики качества измерения вводится понятие относительной погрешности.

Отношение абсолютной погрешности приближения к модулю приближенного значения величины

называется относительной погрешностью приближения и обозначается .

Т.е.

а

ах

а

х

= является относительной погрешностью приближения

Относительную погрешность часто выражают в процентах.

В отличие от абсолютной погрешности, которая чаще всего бывает размерной величиной,

относительная погрешность является безразмерной величиной.

Пример 3: При измерении длины L и диаметра проводника получили L=(10,0 0,1) м, d = (2,5 0,1) мм.

Какое из этих измерений точнее?

Решение: Измерение длины проводника производилось с точностью до 0,1м=100мм, а измерение диаметра

проводника – с точностью до 0,1мм.

При измерении длины проводника допускается абсолютная погрешность в 100мм на 10000мм, и,

следовательно, допустимая абсолютная погрешность составляет

%101,010000

100 измеряемой величины.

При измерении диаметра допустимая абсолютная погрешность составляет %404,05,2

1,0

измеряемой величины. Следовательно, измерение длины проводника выполнено точнее.

Пример 4: Известно, что 0,111 является приближенным значением для .9

1 Найти абсолютную и

относительную погрешности этого приближения.

Решение: Здесь х=9

1, а=0,111. Тогда х = х-а =

9

1 – 0,111 = 1/9000-а.п.п,

999

1

111,0

1.

9000

1

а

х-о.п.п

Любое положительное число, которое больше или равно относительной погрешности, называется

границей относительной погрешности.

Задания для самостоятельной работы

1. Округлите:

1) 95,1 до десятков;

2) 24,295 до сотых;

3) 7971 до сотен;

4) 1,9998 до тысячных;

5) 379,97 до десятых;

6) 1229911 до тысяч;

7) 73,1972 до сотых;

8) 999,923 до целых.

2. Выбрать наибольшее из чисел 2

161;2,4;23;17;32

.

3. Найдите число Х, которое заключено между числами 58,41512,347 х .

4. Найдите число Х, которое заключено между числами 459

128

459

12 х .

5. Найдите нижнюю и верхнюю границы следующих приближенных величин:

1) 417,3 (±0,1); 3) 88,8 ( 88,0 );

2) 1,98 ( 33,0 ); 4) 0,9 ( 25,0 ) .

6. Найдите абсолютную погрешность следующих величин, округляя их до единиц:

1) 478,625; 3) 0,56125;

2) 12,368; 4) 7,56.

7. Найдите относительную погрешность следующих приближенных величин, округляя их до десятых:

1) 598736,123; 3) 4571, 356;

2) 123,859; 4) 354,781.

Форма отчета: письменная работа.


Тема 2. История чисел

Цель: обобщить знания по данной теме.



1. чтение текста (учебника, первоисточника, дополнительной литературы, интернет-источника);

2. составление плана текста;

3. конспектирование текста;

4. выписки из текста;

5. методические указания к написанию реферата;


Подготовить реферат по данной теме используя выше указанные рекомендации по выполнению

работы.

Форма отчета: печатный вариант текста.


Тема 3. Системы счисления










Подготовить реферат по данной теме по данной теме использую выше указанные рекомендации по

выполнению работы.



Тема 4. Преобразование степенных, показательных выражений

Цель: закрепить знания по данной теме, выполняя данные задания.



1. Прочитайте лекционный материал.

2. Разберите решение представленных в лекции задач.

3. Выберите задания, соответствующие вашему варианту.

4. Выполните задания в тетрадях.

5. Сдать тетради на проверку.

п.1. Арифметические корни.

Определение: арифметическим квадратным корнем из числа а называется неотрицательное число, квадрат

которого равен а. обозначается а .

Например, ;3

2

9

4;00;749

bb 2;25,00625,0 .

Основными свойствами квадратных корней являются следующие:

1. ;0,0, babaab

2. .0,0, bab

a

b

a

Часто при решении задач приходится находить корни уравнения

axn , где а N.

Например, решите уравнение

164 x .

Это уравнение имеет два действительных корня: х1=2 и х2=-2. Корень х1=2 – положительное число. Это

число называется арифметическим корнем четвертой степени из числа 16 и обозначают 4 16 .

Отрицательный корень х2=-2 уравнения обозначается 4 16 .

Введем понятие корня n-ой степени из неотрицательного числа.

Определение: корнем n-ой степени из неотрицательного числа называется неотрицательное число, n-я

степень которого равна данному числу.

Этот корень называют арифметическим корнем n-й степени ( 2n ) из неотрицательного числа

( 0a ) и обозначают n a . Если n=2, то вместо 2 a пишут a .

Например, число 3 является арифметическим корнем шестой степени из числа 729, т. е. 37296 .

Существуют также корни нечетной степени из отрицательных чисел. Например, число – 2 есть

корень пятой степени из числа – 32, т. е. 5 32 = - 2.

Корень нечетной степени из отрицательного числа обозначается тем же символом 12 k a .

Основные свойства арифметического корня n-ой степени

1. К о р е н ь и з п р о и з в е д е н и я:

1 вариант нечетные

2 вариант четные

nnn baab ,

где 2,,0,0 nNnba .

2. К о р е н ь и з д р о б и:

n

n

n

b

a

b

a ,

где 2,,0,0 nNnba .

3. В о з в е д е н и е к о р н я в с т е п е н ь:

n mm

n aa ,

где 2,,,0 nNnNma .

4. И з в л е ч е н и е к о р н я и з к о р н я:

mnm n aa ,

где 2,2,,0,0 mnNnba .

Пример 1: Вычислить: 1) ;3

26

3

20

3,0

2

0081,0

16

0081,0

16

4

4

4

2) ;2328

256

8

256 555

5

3) 26464 63

Пример 2: Упростить выражение

ab

ba

b

bа

2

2

2

4 84

.

п.2. Степень с рациональным показателем.

Определим степень положительного действительного числа с рациональным показателем.

Пусть а , n

mr , где NnZm , ; тогда степень

ra определяется равенством

n mn

m

aa .

Например,

32727 33

1

; ;4288 22

33

2

251251252

33

2

; 6

1

36

13636 12

1

.

С в о й с т в а с т е п е н и с р а ц и о н а л ь н ы м

п о к а з а т е л е м.

Пусть a и b – положительные действительные числа, а r, r1, r2 – произвольные рациональные числа.

Тогда справедливы следующие утверждения:

1. 2121 rrrr

aaa

;

2. 212

1 rrrraa

;

3. rrrbaba ;

4. r

rr

b

a

b

a

;

5. Если и 1r , то 1ra ;

6. Если

7. Если

8. Если

9. Если

Свойства 5-8 называются свойствами монотонности степени.

п.3. Степень с действительным показателем.

Покажем, как можно определить степень с иррациональным показателем на примере степени 35 .

Обозначим через r1, r2, r3,…,rn,… последовательность десятичных приближений числа 3 с

недостатком:

r1=1,7; r2=1,73; r3=1,732; …

Эти числа являются рациональными, для них определены степени:

...;5;5;5;5 7320,1732,173,17,1

Эта последовательность возрастает и ограничена сверху. По теореме Вейерштрасса она имеет предел. Этот

предел обозначается 35 . Поэтому можно записать:

nr

n5lim5 3

.

Дадим определение степени с любым действительным показателем .

Определение: Пусть действительное число записано в виде бесконечной десятичной дроби и пусть

Nnn , ,- последовательность его десятичных приближений с недостатком. Тогда для любого

действительного числа 0а степень а определяется равенством

naа

n

lim .

Степени с действительными показателями обладают всеми свойствами степеней с

рациональными показателями.


1. Представьте выражение 3 325 6 4 : bbbb в виде степени.

2. Найдите значение выражения: 13

1

4

1

2

1

2

1

))125

1(1649)

9

1((

.

3. Выполните действия: 333 23 2 )45(:)1625( yxyx .

4. Выполните действия:

4

1

2

1

2

1

4

3

2

1

4

1

4

5

1:

xx

x

xx

xx

5. Вычислите: 278132)6(27)001,0( 2

3

4503

12

3

1

6. Вычислите: 4)3(16232)125,0(64 402

11

43

1

6

5

7. Найдите значение выражения: 16313116

8. Упростите выражение 4 1284256 cba , если a<0, c≤0

9. Упростите выражение: 128

1

5,34

5

1 ))((

qpqp

10. Представьте выражение 3 26 5 caac в виде степени.

11. Определите знак разности 33 325

12. Найдите значение x, если 5,02

1

5,2 4977 x


4

6

6 2

y

y


4

1

2

1

1

1a

a

a


1

3 232

1

1a

aa

a


1

4

1

2

1

4

3

2

1

1x

xx

x

17. Упростите выражение: y

yy

y2

1

1

2

1

2

3

18. Вычислите: 1,0156103,0

19. Вычислите: 30

17245:201,0

20. Вычислите: 111111

222

.



Тема 5. Корни n-й степени и его свойства.








5. работа со словарями, справочниками;


Составить опорный конспект по данной теме использую выше указанные рекомендации по




Тема 6. Степень с рациональным показателем и его свойства














Тема 7. Преобразование алгебраических выражений

Цель: закрепить знания по данной теме, выполняя данные задания.



1. Прочитайте лекцию п.1 и п. 2.


3. Выполните задания в тетрадях.


п.1. Нахождение значений числовых выражений.

Пример 1: Вычислить: 22 6,24,1

4,04,06,1

.

Решение: 1-й способ: 05,08,4

24,0

76,696,1

4,064,0

6,24,1

4,04,06,122

;

2-й способ: Знаменатель дроби преобразуем по формуле разности квадратов.

05,0

2,1

06,0

2,14

6,04,0

6,24,16,24,1

16,14,0

6,24,1

4,04,06,122

.

Пример 2: Вычислить:

22

33

5,45,41,51,5

5,17,127

.

Решение: Числитель преобразуем по формуле разности кубов, учитывая, что 27=33 и свойства степени.

22

33

22

333

22

33

5,45,41,51,5

5,41,5

5,45,41,51,5

5,17,13

5,45,41,51,5

5,17,127

6,05,41,5

5,45,1,51,5

5,45,41,51,55,41,522

22

.

Пример 3: Вычислить: 013

2

12 75512533 .

Решение:

15

12527155375512533

2

313

2312

013

2

12

25

242

25

13 .

Пример 4: Упростить выражение: 3 1844 55,0162 .

Решение:

12523125231252312523

12548154815216255,0162

2

1

4

2

4 24 4

44346

18

43 1844

Пример 5: Вычислить: 33 33913391 .

Решение:

4464279139913391

3391339133913391

3 3333322

333

Пример 6: Освободиться от иррациональности в знаменателе:

32

32

.

Решение: Используя основное свойство дроби, умножим числитель и знаменатель дроби на число

сопряженное знаменателю 32 :

.6251

3622

32

33222

32

32

3232

3232

32

3222

22

2

Замечание: Решение примера показывает, что освобождение в дроби от иррациональности вида ba

осуществляется путем умножения числителя и знаменателя этой дроби на так называемое сопряженное

выражение ba , так как babababa 22

.

Пример 7: Вычислить: 3531028 .

Решение: В подкоренном выражении выделим полный квадрат. Так как 2222 bababa , то

слагаемое 310 может только соответствовать выражению 2ab. Разложим второе слагаемое подкоренного

выражения на множители, выделив в качестве первого множителя число 2, в соответствии с указанной

выше формулой.

Получаем:

2

22

35

335253523283522831028

Отсюда

3535353535310282

223253535352

2 .

п.2. Преобразование рациональных алгебраических выражений.

Определение: Алгебраическое выражение называют рациональным, если оно содержит

переменные, над которыми производятся только операции сложения, вычитания, умножения, деления и

возведения в целую степень.

Пример 1: Упростить выражение: yx

yxyxx

7575 2

.

Решение: Сгруппируем слагаемые в числителе по парам так, чтобы, после вынесения за скобки общих

множителей из каждой пары, можно было бы преобразовать числитель в произведение:

75

75

757575757575 22

xyx

yxx

yx

xyxx

yx

yxyxx

yx

yxyxx

Пример 2: Упростить выражение:

2

32

2

42

4

xx

x.

Решение:

32

2

2

2

32

2

42

222

2

4

xx

xx

x

x

222

2

22

112322322

22

xxxxxx

x

xx.

Замечание: Для упрощения выражения примера 2 нецелесообразно приведение слагаемых к общему

знаменателю без предварительного сокращения дроби. Это следует иметь в виду и в дальнейшем: перед

приведением дробей к общему знаменателю следует проанализировать, можно ли дроби предварительно

сократить.


xy

yx

xy

yx

yx

yx

yx

yx 2222

12

.

Решение:

1)

yxyx

yxyx

yx

yx

yx

yx yxyx 22\\

yxyx

yx

yxyx

yxyxyxyx

222222 222;

2)

xy

yx

xy

xyyx

xy

yx xy

22

21

2

2222\

1\22

;

3)

xy

yx

xy

yx

yxyx

yx 22222

2

2

yx

yx

yxxyyxyx

xyyxyx

22

222

2

2.


a

a

a

a

aa

a

a

a

33

3

27

3

9

3

23

2

22

.

Решение:

1) a

aa

a

aa

3

39

33

223\

;

2)

aaaa

aaa

aa

a

a

a

33

33

3

9

3

2

2

22

;

3)

2

3323

393

33

3

39

3

27

aaa

aa

a

aa

a

a

aaa

aaa

3

39

3932

2

;

4) 33 aa .


1. Упростить выражения: 1) 2

1

2

1

422422

xxxx ;

2)

2

1

2

2

3

3

11

2

1

11

1

xxx

xx

x

x

x

x

; 3) 3 23 2

33

yx

yx

;

http://www.pm298.ru/reshenie/hrfgre3.php

4)

1528

415610

;

5) 663 23 2

3

3 233 2

3 23 2 12

2 nmnm

nmn

nmnm

nmmn

;

6) 3

3

2

4

4 24 3

bc

bcbcca

bcabc

;

7) bcac

c

abcb

b

caba

a

333

;

8) yzxz

yx

zyxy

xz

zxyx

zy

;

9) 22

22

ba

baa

ba

ab

ba

aba

;

10) baaccb

baaccb

ba

ba

ac

ac

cb

cb

.

2. Найдите значение выражения:

32

1

32

194 2

aaa



Тема 8. Преобразование логарифмических выражений

Цель: выполняя представленные задания, закрепить знания по данной теме.



1. Прочитайте лекции 2 и 3.


2. Выполните в тетрадях задания.


п.1. Логарифм. Свойства логарифма.

Задача определения показателя степени х в простом соотношении 82 х оказывается

неразрешимой с применением известных шести математических действий. Определив тем не менее, что

х=3, записать решение этой задачи с помощью известных математических знаков невозможно.

Правда эту задачу легко решить графическим способом нахождением точки пересечения графиков xy 2 и у=8 (рис.1.); это точка (3 ; 8). Графический способ иногда позволяет решить задачу,

неразрешимую с применением обычных математических приемов.

Рис.1.

В общем виде задача Nа х разрешима только с введением нового математического действия. Это

действие называется нахождением логарифма числа N по основанию а, что записывается таким образом:

xNa log .

Определение: Логарифмом положительного числа N по основанию а ( 1,0 aa ) называется

показатель степени, в которую нужно возвести число а, чтобы получить число N.

Подставим в выражение Nа х в качестве х его представление по формуле xNa log . Тогда

получим

NaNa

log.

Это равенство называется основным логарифмическим тождеством. Оно справедливо при

1,0,0 aaN . Например, 33loglog3

7log

8log;7

3

1;82

3

1

2

xaa

xx aa .

Свойства логарифмов.

Пусть 1,1,0,0,0 kaNMa , n – любое действительное число, тогда

1. NMNM aaa logloglog ;

2. NMN

Maaa logloglog ;

3. MnM a

n

a loglog ;

4. Mn

M an

a log1

log ;

По основному логарифмическому тождеству имеем MaMa

log и Na

Na log

. Перемножив и разделив

данные равенства, получим

5. MNaNM aa

loglog;

6. N

Ma

NM aa loglog

;

Возведем основное логарифмическое тождество в степень с показателем n, получим

7. тNт

Na a log

;

8. Nk

N aak log1

log ;

9. m

aa NN mloglog .

Отметим, что из условия )1,0(loglog aayx aa следует, что х=у, т. е. если логарифмы двух чисел

по одному и тому же основанию равны, то равны и сами числа.

п.2. Логарифмирование и потенцирование.

Действие нахождения логарифма числа называют логарифмированием. Если одночленное

выражение составлено из положительных чисел с применением действий умножения, деления, возведения

в степень и извлечение корня, то логарифм такого выражения вычисляется с помощью свойств логарифмов.

Например, прологарифмируем по основанию 2 выражения 34

1 4014 x и

4

13

25

2

b

bax при

0,0 ba .

Имеем, 40log3

114log44014loglog 22

34

12 x ,

4log1loglog5

4

1log 3

2

2

223

25

22

bba

b

bax .

Действие, обратное логарифмированию, называется потенцированием. Этим действием с

использованием свойств логарифмов по логарифму выражения восстанавливается само выражение.

Пример: Определить 321, xuxx , если

19log26log412log3log 33313 x ,

14log2

112log

3

2log 2222 x ,

babababaax ,0,0,loglog2loglog 33333 .

Решение: Имеем:

19

2612log19log26log12loglog

43

33

4

3

3

313

x , следовательно,

19

2612 43

1

x ;

2

1

3

2

22

1

23

2

222 1412log14log12loglog x , следовательно, 2

1

3

2

2 1412 x ;

ba

baababaax

2

33

2

3333 logloglogloglog , следовательно,

ba

baax

2

3.

п.3. Десятичные и натуральные логарифмы.

Определение: Десятичным логарифмом числа называется логарифм этого числа по основанию 10.

Такой логарифм записывается следующим образом:

aa 10loglg .

Десятичные логарифмы чисел, составляющих некоторую степень числа 10, легко вычисляются,

например,

01lg,1100 ,

110lg,10101 ,

2100lg,100102 ,

11,0lg,1,010 1 .

Логарифмы остальных чисел определяются либо с помощью таблиц, имеющихся в различных

справочниках, в частности, в четырехзначных таблицах В.Брадиса, либо с применением

микрокалькуляторов.

Целая часть логарифма, в нашем примере число 2, называется характеристикой, а дробная часть

мантиссой.

Определение: Натуральным логарифмом числа называется логарифм этого числа по основанию е,

где е – иррациональное число, приближенно равное 2,718. Логарифм числа по основанию е записывается

следующим образом: bb elogln . Число е представляет собой сумму:

......321

1...

321

1

21

1

1

11

ne .

Выведем соотношения, с помощью которых можно связать натуральные и десятичные логарифмы.

Пусть yx eNN ,10 , тогда NyNx ln,lg . Очевидно, что тогда

yx e10 .

Прологарифмировав обе части этого равенства по основанию 10, получим

eyxeyx lglg10lg или ,

следовательно,

e

xy

lg , поэтому

e

NN

lg

lgln .

По таблице логарифмов можно определить 4343,0lg e ; 303,24343,0

1 , следовательно,

NN lg303,2ln

NN ln4343,0lg

п.4. Логарифмические тождества.

Выведем формулу перехода от логарифма по одному основанию к логарифму по другому основанию

b

NN

a

ab

log

loglog .

Запишем основное логарифмическое тождество NbbN

log . Прологарифмируем это тождество по

основанию а:

N

aabbN

logloglog .

Используя свойства логарифма степени, получаем

bNN aba logloglog ,

Из чего и следует формула перехода от одного основания логарифма к другому.

Формула перехода при а=10 и а=е дает формулы перехода к десятичным и натуральным логарифмам:

b

NNb

lg

lglog ;

b

NNb

ln

lnlog .

Множитель balog

1 в формуле перехода называется модулем перевода от системы логарифмов с

основанием а к системе с основанием b. В частном случае при N=a

b

aa

blog

1log , (*)

так как 1log aa .

Пример 8: Преобразовать 28log 49 , используя свойства логарифмов.

Решение:

2

12log7log

2

12log72log

2

128log 777

2

749 .

Пример 9: Преобразовать 30log15 , используя свойства логарифмов.

Решение:

13lg

5lg3lg

10lg3lg

5lg3lg

30lg

15lg30log15

.


Вариант 1

1. Вычислить: а) ;16

15log15log 22 б) ;2log5log 1010

в) ;2

3log6log 33 г) ;32log

16

1log 88 д) 3

11 121log ;

е) 4

3

1 243log ; ж) ;9log

12log36log)3;

9log

27log

5

55

5

5

и) ;

72log3

118log

72log2

124log

33

22

к)

.4925812log8log

4log2

1

4

1

71259

2. Найти значение выражения:

а) ;7log27log 255 б) .119log125log 1211111

Вариант 2

1. Вычислить: а) ;2log54log3

1

3

1 б) ;125log8log 1010

в) ;72log2log 1212 г) ;3log75log 55 д) 513 169log ;

е) 62

128

1log ; ж) ;

30log15log

8log)3;

16log

8log

77

7

3

3

и) ;

150log2

130log

56log3

114log

66

77

к) .81036

3log2log15log 2106

2. Найти значение выражения:

а) ;5log80log

2log4 80

7

7 б) .27log8log5log 656



Тема 9. Основное логарифмическое тождество.














Тема 10. Решение квадратных уравнений и линейных неравенств

Цель: Повторение математических навыков и умений при решение квадратных уравнений и неравенств.



1.Прочтите теоретический материал (конспект, дополнительная литература или интернет ресурсы)

2. Запишите и выполните задание.

3. Запишите ответ.

1. Решение квадратных уравнений.

а) Квадратное уравнение имеет вид:

Стандартный метод нахождения корней уравнения происходит в два этапа. Сначала вычисляется

дискриминант уравнения по формуле

Затем считаются корни по формуле

б) Решение неполных квадратных уравнений вида ах2 = 0.

Если уравнение имеет вид ах2 = 0, то оно имеет один корень х = 0.

Пример:1. 5х2 = 0, х = 0, х = 0 – корень уравнения.

Ответ 0

в) Решение квадратного уравнения вида : ах2+ вх = 0.

Если уравнение имеет вид ах2 + вх = 0, то используют метод разложения на множители х(ах + в) =0.х = 0

или ах + в = 0, решением уравнения являются два корня х = 0; х =

Пример: 2. 2х2– 7х = 0, х(2х – 7) = 0х = 0 или х = 3, 5.

Ответ: 0; 3,5

г) Решение квадратного уравнения вида ах2+ с = 0.

Если уравнение имеет вид ах2 + с = 0, то его преобразуют к виду х

2= -

В случае, когда – – отрицательное число, то уравнение х2 = - не имеет корней.

В случае, когда – положительное число, т.е.- = , то уравнение х2= к имеет два корня .

Пример 3. 3х2 + 10 = 0, 3х

2= -10, х

2 = - 10/3

Ответ: корней нет

Пример 4. -2х2 + 7 = 0, -2х

2 = -7, х

2= 3, 5, х = .

Ответ:

1. Решение линейных неравенств:

Для проверки понимания и умения применять теорию на практике ответьте на вопросы. Задания

предполагают ответ «Да» или «Нет».

1. Верно ли утверждение: если х > 2 и y > 14, то х + y > 16?

2. Верно ли утверждение: если х > 2 и y > 14, то х . y < 28?

3. Является ли число 0 решением неравенства 3х – 1 < 11?

4. Является ли неравенство 3 х + 12 > 2 х – 2 строгим?

5. Существует ли целое число, принадлежащее промежутку [– 2,5; – 2,3]?

6. Верно ли, что при умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное число знак

неравенства меняется?

2. Решение квадратных неравенств:

Алгоритм решение неравенств методом интервалов

1. Неравенство приравниваем к нулю и решаем квадратное уравнение.

Квадратное уравнение имеет вид:

Стандартный метод нахождения корней уравнения происходит в два

этапа. Сначала вычисляется дискриминант уравнения по формуле

Затем считаются корни по формуле

2. Находим точки, где выражение равно нулю или не существует.

3. Отмечаем все полученные точки на числовой прямой.

4. Проверяем знаки в полученных интервалах: (берем точки из интервалов и подставляем в

неравенство).

5. Записываем ответ: (если ≥ 0 или > 0, то выбираем интервалы со знаком «+»; если ≤0 или < 0, то

выбираем интервалы с «−»)


Вариант 1 Вариант 2

1. Решить квадратные уравнения:

1. 5x2 – 26x + 5 = 0 1. 3x

2 – 13x + 14 = 0.

2. 21x2 – 5x + 1 = 0 2. 9 – 6x + x

2 = 0

3. x2 + 36 = 0. 3. 6 – 2x

2 = 0.

4. x2 + 2x = 0. 4. 3x – x

2 = 0

2. Решите линейные неравенства.

I вариант II вариант

1) Решите неравенство:

а) 4 + 12х > 7 + 13х

б) – (2 – 3х) + 4(6 + х) > 1

1) Решите неравенство:

а) 7 – 4х < 6х – 23

б) – (4 – 5х) + 2(3 + х) < 2

2) Решите систему неравенств:

2) Решите систему неравенств:

3) Решите двойное неравенство – 3 < 2 –

5х < 1

3) Решите двойное неравенство – 2 < 1 –

3х < 2

3. Решите квадратные неравенства:

1. x2 — 4x + 3 > 0. 1. x

2 + x + 1 < 0.

2. x2 — 6x + 5 < 0. 2. x

2 — x + 1 > 0.

3. — 5x2 + 3x + 2 > 0. 3. x

2 — 6x + 10 < 0.

4. x (1 — x) > 0. 4. — 3x2 + 2x + 1 >0.



Тема 11. Преобразование алгебраических выражений

Цель: Развитие математических навыков и умений при преобразование алгебраических выражений

применяя тождества сокращенного умножения.






Краткий теоретический материал.

1. Основные тождества сокращенного умножения.

1) Разность квадратов

2) Квадрат суммы

3) Квадрат разности

4) Сумма кубов

5) Разность кубов

6) Куб суммы

7) Куб разности

8) Квадрат суммы трех чисел

2. Степень с натуральным показателем.

1)

2)

3)

4)

5) , ;

6) если

7) ;

8)

Степени чисел 2 и 3

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2n 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024

3n 3 9 27 81 243 729 2187 6561 19683 59049

Пример. Упростить выражение .

Решение. Обычно такого рода выражения преобразуют, рассматривая всю формулу целиком. Но для

удобства изложения в данной ситуации проведем преобразования по действиям.

1) ;

2) ;

3) ;

4) .


1. Упростите выражения

а)

б)

2. Вычислите

а)

б)

3. Упростите выражение и вычислите при значении

.

4. Найти значение дроби:

5. Вычислить:

а)

б) .

6. Упростите выражение:

а) 87

3

75

2

6

1

6

1

baba

б) 963107

2

77

1yxyx



Тема 12. Тождественное преобразование показательных и логарифмических выражений

Цель: Развитие математических навыков и умений при преобразование показательных и логарифмических

выражений.






Основные свойства степени с рациональным показателем:

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1. Найдите значение выражения:

Ответ: 49


Ответ: 5


Ответ: 144

Пример 4. Найдите значение выражения: Ответ: 25

Пример 5. Найдите значение выражения: log2781+log279.

Решение. Воспользуемся свойствами логарифмов:

log2781+log279=log3381+log3

39 = 1 /3 log381+1 /3log39 = 1 /3log33

4+1 /3log33

2= 4 /3 + 2 /3 =2

Ответ: 2.

Пример 6. Найдите значение выражения ( log642·log742)/(log67+log76+2)

Решение. Преобразуем числитель:

log642·log742 = (1+log67)(1+log76)=1+log67+log76+log67·log76.

Но log67·log76=1.

Следовательно, числитель равен 2+log67+log76, а дробь равна 1.

Ответ: 1


Вычислить:

1. 2. 3. 4.

Упростить выражение:

1.

2.


Методические рекомендации по выполнению внеклассной самостоятельной работы по теме:

Тема 13. Решение показательных уравнений методом преобразования.

Цель: Закрепление умений и навыков при решении показательных уравнений.






1. Способ приведения к одному основанию.

При решении этим способом уравнение преобразовывается и приводится к виду )()( xgxf aа .

Равенство выполняется тогда, когда равны показатели степени т.е. )()( xgxf

Пример 1. Решите уравнение: ххх 523 22

33

Уравнение имеет степень с одинаковыми основаниями в левой и правой частях.

Если степени равны при равных основаниях, то равны и показатели степеней, следовательно:

523 22 ххх , приводим к стандартному виду

0252 ;0253 222 ххххх , решаем квадратное уравнение и получаем корни уравнения

2 и 2

121 хх . Найденные значения являются и решением данного уравнения.

Ответ: 2 и 2

121 хх

Пример 2. Решите уравнение: 122 6425,0

2 хх

Каждую степень приводим к основанию 2.

6221622 222 ;222

1 2

2

ххх

х

; при умножении с одинаковыми основаниями степеней,

показатели складываются 622 22

2 хх, приравниваем показатели степеней и решаем квадратное

уравнение.

2,4

082

622

21

2

2

хх

хх

хх

Ответ: -2,4

2. Способ вынесения общего множителя за скобку.

При решении этим способом определяем общий множитель, где показатель степени содержит

переменную х , выносим его за скобку, используя свойства степеней. В результате получаем уравнение

вида cba xf )(. Решая это уравнение, получаем kxfaа kxf )( и )(

.

Пример 3. Решите уравнение: 1222 1 хх

Применим свойства степеней 12222 хх, вынесем общий множитель

х2 за скобку 12212 х,

далее 1232 х,

4

122 х

, 42 х,

222 х, т.о получаем 2х Ответ: 2


Выносим за скобку степень с наименьшим показателем степени 15 х

, получаем 805315 1 х, далее

80165 1 х.

16

805 1 х

, 55 1 х, получаем 11х , 2х

Ответ: 2

3. Способ квадратного уравнения.

В этом случае показательное уравнение общим видом похоже на квадратное уравнение типа

0)()(2 CaBaA xfxf. Делаем замену ta xf )(

, получаем квадратное уравнение

02 CtBtA . Решая это уравнение, находим t и возвращаемся к замене. Подставляя t ,

получаем уравнение, которое решаем первым способом.

Пример 5. Решите уравнение: 066562 хх

Делаем замену tх 6 , получаем уравнение 0652 tt . Решаем уравнение и находим корни

1 ,6 tt .Таким образом 1 x,66 xи 16 x

нет решения.

Ответ: 1

Пример 6. Решите уравнение: 022542 хх

Делаем замену tх 2 ,получаем 0252 2 tt . Корни этого уравнения 2

1 ,2 tt .

Возвращаемся к замене 1 ,22 tx и 1 ,22 ,

2

12 1 xxx

Ответ:1, -1

4.Способ деления.

Если уравнение имеет степень с одинаковым показателем, то в этом случае используем свойство

деления степеней. Рассмотрим примеры.

Пример 7. Решите уравнение хх 45

Разделим данное уравнение на х4 , получаем 1

4

5

х

х

или

0

4

5

4

5

х

следовательно 0х . Ответ:0


Разделим данное уравнение на х23 , получаем 02

3

23

2

2

х

х

, далее 3

2

3

22

х

т.о 2

1 х,12 х

Ответ:0,5

5. Графический способ. В этом случае уравнение разбивается на две функции, графики которых

строим в системе координат. Точка пересечения функций и будет решением уравнения.

Пример 9. Решите уравнение 65 хх

Запишем уравнение в виде двух функций 6 и 5 хуу х

Построим графики этих функций.

у

1 х

Решением уравнения является 1х

Ответ:1


642

1 12) 43 )11

05522 10) 725 )9

044

117

4

14 8) 027363 )7

33677 )6 9033 )5

14 4) 1,53

2 )3

2166 2) 255 )1

32322

2

2х

22

32

18

822

2

хх

х

х

хххх

хх

х

хххх

ххх

х

ххх



Тема 14. Решение логарифмических уравнения и неравенств, сводящихся к простейшим. Цель: Закрепление математических навыков и умений на решение логарифмических уравнений и

неравенств, сводящиеся к простейшим.



1.Прочтите теоретические положения.

2.Запишите задание.

3.Выполните решение и запишите ответ.

Краткие теоретические положения:

Простейшие логарифмические уравнения имеют вид:

a.

b.

Решение логарифмических неравенств, сводится к решению:

1. простейших неравенств вида . В каждом из этих случаев нужно различать,

каким числом является а, так как от этого зависит характер монотонности логарифмической

функции. Если , то функция возрастает, а если , - убывает. Поэтому приходится

рассматривать различные простейшие неравенства.

2. или неравенств вида

a. ;

b. ;

Примеры:

1. Решить уравнение 0)52lg( 2 x .

Решение. Исходное уравнение равносильно уравнению 1lg)52lg( 2 x , которое в свою очередь

равносильно квадратному уравнению 1)52( 2 x . Находим корни этого уравнения : х1=3, х2=2.

Ответ: х1=3, х2=2.

2. Решить уравнение )1(log)1(log2

1

2

2 xx .

Решение. 1) Найдем область допустимых решений данного уравнения, для чего решим систему неравенств:

01

,012

x

x. Первое неравенство системы выполняется при любых значениях переменной, второе - при

1x . Поэтому система имеет решение 1x .

2) Для решения уравнения перейдем к одному основанию логарифмов, а именно к основанию 2,

воспользовавшись свойствами логарифмов:

)1(log)1(log 2

2

2 xx )1(

1log)1(log 2

2

2

x

x 1

112

xx .

Решая полученное дробно-рациональное уравнение, находим: 01 x , 2

512

x ,

2

513

x . Из

найденных значений только 2

512

x входит в область допустимых решений уравнения.

Ответ: 2

51x .

Задания для самостоятельной работы Решить уравнения:

1 вариант 2 вариант

а) log2(х2+4х+3)=3 а) log2(х

2 -3х+1)=log2(2х-3)

б) log3(х+6)+log3(х-2)=2 б) log2(1+х)+log2(-9-2х)=log23

в) log22х – log2х – 2=0 в)

Решить неравенство:

а) log5 (3x + 1) < 2; а) log 2 (3 – 5x) < 2

б) log8 (x2 – 7x) > 1; б) log12 (x

2 – x) ≤ 1

в) в) log2 (5x – 9) ≤ log2 (3x + 1);

г) б)

2

1log (2 + 3x) -1 г)



Тема 15. Прямы и плоскости в пространстве














Тема 16. Параллельность прямых и плоскостей в пространстве

Цель: Закрепление умений и навыков при решении задач на параллельность прямых и плоскостей в






3.Выполните решение, сделав рисунки и запишите ответ.

Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве.

1.Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не

пересекаются.

2.Прямые, которые не пересекаются и не лежат в одной плоскости, называются скрещивающимися (рис.

322).

3.Через две параллельные прямые можно провести плоскость, и при том только одну.

4.Через любые 3 точки пространства, не лежащие на одной прямой проходит плоскость, и при том только

одна.

5.Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и при том только одна.

6. Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и при том только одна.

7.Через две параллельные прямые проходит плоскость, и при том только одна.

8.Если одна из параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту

плоскость.

9.Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

Параллельность прямой и плоскости.

Признак параллельности прямой и плоскости:

Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой

плоскости, то она параллельна данной плоскости.


1. Стороны АВ и АС треугольника АВС лежат в плоскости α. Докажите, что и медиана АМ этого

треугольника лежит в плоскости α.

2. Докажите, что через две точки можно провести две различные плоскости. Сколько существует

таких плоскостей?

3. Прямые АВ и CD не лежат в одной плоскости. Докажите, что прямые АС и BD не пересекаются.

4. Докажите, что через прямую можно провести две различные плоскости. Сколько существует таких

плоскостей?

5. Плоскость α проходит через основание AD трапеции ABCD. Точки E и F-середины отрезков АВ и

CD соответственно. Докажите, что EF параллельно α.



Тема 17. Решение задач на угол между прямой и плоскости».

Цель: Закрепление умений и навыков при решении задач на угол между прямой и плоскостью.





3.Выполните решение, сделав рисунки и запишите ответ.

Краткие теоретические положения:

Задача:

.

.

.

Задания для внеаудиторной самостоятельной работы

Задача 1.

Задача 2

Задача 3.

Через вершину В ромба ABCD проведена прямая ВМ, перпендикулярная к плоскости. Найдите расстояние

от точки М до прямых, содержащих стороны ромба, если АВ=25 см., угол BAD = 60o , BM = 12,5см.



Тема 18. Взаимное расположение прямых и плоскостей








5. методические указания к составлению презентации;


Подготовить презентацию по данной теме по данной теме использую выше указанные

рекомендации по выполнению работы.

Форма отчета: электронный вариант презентации.


Тема 19. Перпендикуляр и наклонная














Тема 20. Применение параллельности в пространстве














Тема 21. Применение перпендикулярности в пространстве














Тема 22. Элементы теории вероятности














Тема 23. Свойства биноминальных коэффициентов














Тема 24. Дискретная случайная величина, закон её распределения














Тема 25. Числовые характеристики дискретной случайной величины














Тема 26. Понятие о законе больших чяисел














Тема 27. Построение рисунка по координатам точек на плоскости.

Цель: Проверить знания, умений и навыки при решении задач построение точек на плоскости, заданные

координатами.





3.Выполните решение, сделав рисунок.

Задания для внеаудиторной самостоятельной работы

Построить по координатам: (12;0), (12;-2),(10;-2),(7;-6),(2;-6),(1;-5),

(2;-4),(3;-4),(4;-5),(5;-5),(5;-4),(4;-3),(3;-3),(2;-2),(0;-3),(-1;-5),(-3;-6),

(-6;-6),(-7;-5),(-6;-4),(-5;-4),(-4;-5),(-3;-3),(-4;0),(-5;1),(-6;1),(-7;2),(-7;3),

(-6;4),(-6;5),(-4;7),(-1;7),(0;5),(4;2),(6;2),(8;1),(10;-1),(10;0),(12;0)

Ухо: (-4;7),(-46),(-5;4),(-4;2),(-1;2),(0;3),(0;4),(-1;6),(-1;7)

Глаз: (-5;4)



Тема 28. Метод координат в пространстве














Тема 29. Действия над векторами














Тема 30. Векторное пространство














Тема 31. Решение тригонометрических уравнений

Цель: Закрепление умений и навыков при решении тригонометрических уравнений.






Краткий теоретический материал.

При рассмотрении темы «Решение тригонометрических уравнений, сводящихся к простейшим»,

рассмотрим несколько способов решения уравнений.

1). К первому способу можно отнести уравнения вида:

asin2x + bsinx + c = 0, в этом случае делаем замену sinx = y

acos2x + bcosx + c = 0, в этом случае делаем замену cosx = y

atg2x + btg x + c = 0 ,в этом случае делаем замену tg x= y.

Все уравнения примут вид квадратного уравнения

ay2

+ by + c = 0, из которого находятся y1,y2. Возвращаясь к замене, получим простейшие уравнения: sinx =

y1, sinx = y2.

Пример 1.

6sin2x - sinx - 2 = 0,

Обозначим sinx = y и получим квадратное уравнение:

6y2 – y – 2 = 0

Корни этого уравнения y1 = 3

2 и y2 = ─

2

1, таким образом получаем два простейших уравнения:

sinx = 3

2 и sinx = ─

2

1. Решением этих уравнений будут:

x1 = (-1)n arcsin

3

2 + πn, nZ,

x2 = (-1)n +1

∙ 6

+ πn, nZ.

2). Ко второму способу можно отнести уравнения, которые приводятся к квадратному уравнению

после применения тригонометрических формул одного числового аргумента или преобразований.

Если уравнение имеет вид:

asin2x+bcosx+c=0, делаем замену sin

2x = 1 ─ cos

2x.

acos2x+bsinx+c=0, делаем замену cos

2x = 1 ─ sin

2x.

После подстановки и преобразования получаем квадратное уравнение.

Пример 2.

2cos2x + 5sinx – 4 = 0

Делаем замену cos2x = 1 - sin

2x, получаем

2(1-sin2x) + 5sinx - 4 = 0,

2 - 2sin2x + 5sinx – 4 = 0,

-2sin2x + 5sinx - 2 = 0,

Мы пришли к первому способу: делаем замену sinx = y, получаем

2y2-5y+2=0, корни этого уравнения y1 =

2

1 и y2 = 2, т.о. получаем два простейших уравнения sinx

=2

1 и sinx = 2.

Первое уравнение дает нам решение: x = (-1)n∙arcsin

2

1+ πn, nZ, второе уравнение не имеет

решения т.к. выходит за область значений. Из первого уравнения получаем

х = (-1)n·

6

+ πn, nZ.

Если уравнение имеет вид:

аtgx + ctgx+c = 0, то в этом случае уравнение умножаем на tgx или ctgx. Опять получим квадратное

уравнение.

Пример 3.

tgx - 3ctgx - 20 = 0, умножим уравнение на tgx, получим:

tg2x - 3ctgx∙tgx - 2tgx = 0,

ctgx∙tgx = 1, т.о. получаем

tg2x - 2tgx – 3 = 0, (I способ): tgx = y, получим уравнение:

y2 - 2y - 3 = 0, корнями этого уравнения являются значения:

у=-1, y=3.

Таким образом tgx = -1 и tgx = 3. Решения этих уравнений

имеют вид:x=arctg(-1) + πn, nZ, или x=-4

+ n, nZ

и x=arctg 3 + πk, kZ.

Пример 4.

2 2

2 2

2 2 2

2

5sin 2sin cos 3cos 0 разделим данное уравнение на cos ,

причем cos 0,

5sin 2sin cos 3cos0, получаем

cos cos cos

5 2 3 0, это квадратное уравнение и решаем его

первым способом:

x x x x x

x

x x x x

x x x

tgx tgx

tgx

2

1 2

, 5 2 3 0, корни уравнения

3 ; y 1, таким образом получаем два уравнения

5

3 3,решением будет , ,

5 5

1,решением будет , .4

3Ответ: , , , .

5 4

y y y

y

tgx x arctg n n Z

tgx x k k Z

x arctg n n Z x k k Z

3) Третий способ. Если уравнение имеет вид: asinx+bcosx=0, то его делим на sinx или cosx,,

предполагая, что они не равны 0. Получим в результате простейшие уравнения вида: a+bctgx=0 или

atgx+b=0, из которых находим сначала ctgx или tgx, а затем х.

Пример 5.

2sinx + 3cosx = 0, делим на cosx, причем cosx ≠ 0,

x

x

cos

sin2 +

x

x

cos

cos3 = 0 , cosx 0, получаем

2tgx + 3 = 0, решаем как линейное уравнение:

tgx = -2

3, x = arctg(-

2

3) + πn, nZ

Ответ: x = arctg(-2

3) + πn, nZ.

3). К четвертому способу можно отнести уравнения, где выносится общий множитель. К таким

уравнениям можно отнести неполные квадратные уравнения вида:

а) asin2x+bsinx=0, выносим общий множитель sinx;

б) acos2x+bcosx=0, выносим общий множитель cosx;

в) atg2+btgx=0, выносим общий множитель tgx.

В результате получаем по два простейших уравнения

а) sinx = 0, или sinx = b

a б) cosx = 0, или cos =

b

a

в) tgx = 0, или tgx = b

a

Пример 6.

2sin2

x + 3sinx = 0, выносим общий множитель sinx за скобку, получаем sinx( 2sinx + 3 ) = 0,

произведение равно нулю, когда один из сомножителей равен нулю, т. е.

sinx = 0 или 2sinx + 3 = 0,

Для уравнения sinx = 0 имеется частное решение x = πn, nZ

Из второго уравнения sinx = 3

2 , это уравнение не имеет решение т.к. выходит за область значений:

3 1

2 .

Ответ: x = , n Zn .

Пример 7.

2cos2 x + 3 cosx = 0, выносим cosx за скобку, получаем

cosx( 2cosx + 3 ) = 0,

cosx = 0, его частное решение x = + ,2

n n Z

,

Из второго уравнения cosx = 3

2 , его решением является

x = 3

arccos + 2 , k Z,2

k

x = 5

+ 2 , k .6

k Z

Ответ: x = + ,2

n n Z

, x = 5

+ 2 , k .6

k Z

Пример 8.

sin2x + 3 sinx = 0, воспользуемся формулой синуса двойного аргумента: sin2x = 2sinxcosx, подставим в

уравнение, получим 2sinxcosx + 3 sinx = 0, выносим общий множитель sinx за скобку.

sinx ( 2cosx + 3 sinx ) = 0, в результате получаем два уравнения sinx = 0 или 2cosx + 3 sinx = 0.

Решением первого уравнения является x = , n Zn , второе уравнение решается, как пример 4. x =

arctg3

+ , k Z2

k

.

Ответ: x = , n Zn . x = arctg3

+ , k Z2

k

.

5) Пятый способ – применение формул суммы и разности

а) sin sin 2sin cos2 2

ax bx ax bxax bx

,

б) sin sin 2sin cos2 2

ax bx ax bxax bx

,

в) cos cos 2cos cos2 2

ax bx ax bxax bx

,

Пример 9.

cos sin 2 0,прменяем формулу приведения:2

sin 2 2 , получаем cos cos 2 0,2

2 2применяем формулы сложения6 2cos cos 0,

2 2

3получаем два простейших уравнения cos 0 или cos 0,

2 2

x x

x cos x x x

x x x x

x x

3из первого уравнения получаем , ,

2 2

2отсюда , ,

3 2

из второго уравнения , т.к. функция четная, получаем

, ,отсюда 2 , .2 2

2Ответ: , , 2 , .

3 2

xn n Z

nx n Z

xk k Z x k k Z

nx n Z x k k Z

Форма отчёта: письменная работа.


Тема 32. Основные формулы тригонометрии.














Тема 33. Знаки синуса, косинуса, тангенса














Тема 34. Преобразование тригонометрических выражений

Цель: Закрепление умений и навыков при выполнении преобразований тригонометрических выражений.

Время выполнения: 6 часов


1. Прочитайте теоретическую часть.


3. Выполните задания в тетради.

4. Сдайте тетради на проверку.

п.1. Радианная мера угла.

Слово «тригонометрия» греческое, оно переводится как «измерение треугольников». Как нам

известно из геометрии, синус, косинус, тангенс и котангенс используются при решении треугольников,

поэтому формулы для них называются тригонометрическими.

Известна градусная мера измерения углов и дуг: 360

110 части длины окружности,

`0 601 ;

1`=60``; 1`=

0

60

1

; 1``=

60

1`.

При решении задач механики, математики, астрономии, электротехники и других разделов

естествознания и техники широко применяется еще одна единица измерения углов – радиан.

Понятие радиана теснейшим образом связана с понятием длины дуги окружности. Поэтому

рассмотрим некоторую окружность радиуса R и на этой окружности дугу AmB, на которую опирается

центральный угол величины (рис.1).

Из школьного курса геометрии нам известно, что длина всей окружности равна R2 , а весь

центральный угол равен 3600. Исходя из этого, легко найти длину l дуги окружности, на которую опирается

угол . В самом деле, если центральный угол в 3600 опирается на дугу длины R2 , а центральный угол

- на дугу длины l, то, из пропорции

l

R

23600

0

можно найти зависимость длины дуги от центрального угла и обратно:

0

0180

Rl и l

R

00 180 .

Определение: радианом называется центральный угол, опирающийся на дугу, длина которой равна радиусу

(рис.1).

Из этого определения и второго равенства при l=R следует, что

Заметим, что величина центрального угла не зависит от длины радиуса окружности, тогда как

величина длины дуги, как видно из равенства 0

0180

Rl пропорциональна радиусу.

Установим связь между градусным и радианным измерениями некоторых часто встречающихся на

практике углов:

Углы в градусах 3600

2700

1800 90

0 600

450

300

Углы в радианах 2

2

3

2

3

4

6

Таблица 1

Перевод градусной меры в радианную и обратно

1. Чтобы найти радианную меру любого угла по его данной градусной мере, надо умножить число

градусов на 0180

0.017453, число минут – на

60180

0.000291, число секунд – на

6060180

0.000005 и сложить найденные произведения.

Пример 1: Найти радианную меру угла 12°30’ с точностью до четвёртого десятичного знака.

Решение: Умножим 12 на 0180

, получим 12 · 0.017453 0.2094.

Умножим 30 на 60180

, получим 30 · 0.000291 0.0087.

Теперь находим: 12°30’ 0.2094 + 0.0087 = 0.2181 рад.

Пример 2: Найти радианную меру угла, равного 540.

Решение: По формуле перехода от градусной меры измерения угла к радианной имеем

радрад10

354

180

0

.

Итак, угол в 540 содержит

10

3 радиан.

2. Чтобы найти градусную меру любого угла по его данной радианной мере, надо умножить

число радиан на

018057°.296 = 57°17’45” (относительная погрешность результата составит ~

Пример 3: Найти градусную меру угла 1.4 рад с точностью до 1’.

Решение: Последовательно найдём: 1 рад 57°17’45” ;

0.4 рад 0.4 · 57°.296 = 22°.9184;

0°.9184 · 60 55’.104; 0’.104 · 60 6”.

Таким образом, 0.4 рад 22°55’6” и тогда:

1 рад 57°17’45”

+ 0.4 рад 22°55’6”

____________________

1.4 рад 80°12’51”

После округления этого результата до требуемой точности в 1’ окончательно получим: 1.4 рад » 80°13’

Пример 4: Найти градусную меру угла, равного 3

2 радиан.

Решение: Из формулы перехода от радианной меры измерения угла к градусной следует, что

0

0

1203

2180

.

Итак, угол в 3

2радиан содержит 120

0.

п.2. Тригонометрические функции числового аргумента .

Каждому действительному числу соответствует единственная точка М на числовой единичной

окружности, и каждая точка М этой окружности однозначно определена ее абсциссой и ординатой, т.

е. абсцисса и ордината являются функциями числа : fx и y , причем абсцисса и ордината

по абсолютной величине не превышают единицы 1,1 yx .

Определение 1: абсцисса х точки М числовой единичной окружности называется косинусом

числа (рис.2):

xсоs .

Рис.2

Определение 2: ордината у точки М числовой единичной окружности называется синусом

числа :

ysin .

Функции соs и sin определены для любого действительного числа , следовательно, область

их определения: R .

Функции соs и sin ограничены, так как каждая из них может принимать любое числовое

значение, не превосходящее по абсолютной величине единицы: 1cos и 1sin , т. е. множеством

значений функций соs и sin является промежуток 1;1 .

Определение 3: отношение синуса числа к его косинусу называется тангенсом числа :

cos

sintg .

Следовательно, tg есть отношение ординаты точки М числовой единичной окружности к ее

абсциссе.

Функция tg не определена для тех значений аргумента

, при которых 0cos (абсцисса х

равна нулю), т. е. тангенс не определен для значений аргумента 2

3,

2

, … . Множество значений

аргумента для которых 0cos , выражается формулой Zkk ,2

. Следовательно, область

определения тангенса – все действительные числа, кроме чисел вида Zkk ,2

.

Область изменения функции tg - множество всех действительных чисел.

В точке А(1; 0) числовой единичной окружности (рис.3) проведем касательную, выбрав на ней

положительное направление, одинаковое с положительным направлением оси Оу. За начало отсчета на

этой оси, которую назовем осью тангенсов, примем точку А(1; 0).

Рис.3

Пусть точка М

- любая точка числовой единичной окружности, кроме точек (0; 1) и (0; -1), т. е.

точек, лежащих на оси Оу. Продолжив радиус- вектор ОМ

до пересечения с осью тангенсов, получим на

ней точку N (если бы точка М

лежала на оси ординат, это построение нельзя было бы выполнить).

Точка N лежит на оси тангенсов выше точки А, если бы точка М

лежит в первой или третьей

четвертях, и ниже А, если М

лежит во второй или четвертой четвертях.

Из подобия треугольников 1ОММ и ONA следует взаимная пропорциональность сторон:

ANAN

OA

AN

x

ytg

1 .

Тангенс числа равен ординате точки N (ординате точки пересечения продолженного радиуса-

вектора ОМ с осью тангенсов). Таким образом, каждой точке М

числовой единичной окружности (за

исключением точек (0; 1) и (0; -1)) соответствует точка на оси тангенсов. Установленная зависимость

наглядно показывает, как при изменении числа М

изменяется ордината точки N, т. е. изменяется

величина тангенса.

Чтобы построить всю тригонометрию, необходимо рассмотреть так называемый единичный круг, то

есть круг, радиус которого равен 1 (рис.4).

Рис.4 Рис.5

Проведём два диаметра: горизонтальный AA’ и вертикальный BB’. Будем отсчитывать углы от точки A (

начальная точка ). Отрицательные углы отсчитываются по часовой стрелке, положительные – против.

Линия синуса угла вертикальный диаметр единичного круга, линия косинуса угла

горизонтальный диаметр единичного круга.

Синус угла – это отрезок OB на линии синуса, то есть проекция подвижного радиуса OK на

линию синуса; косинус угла

линию косинуса.

Линия тангенса ( рис.6а ) – это касательная к единичному кругу, проведенная через точку A

горизонтального диаметра.

Линия котангенса ( рис.6б ) – это касательная к единичному кругу, проведенная через точку В

вертикального диаметра.

Тангенс – это отрезок линии тангенса между точкой касания A и точкой пересечения (D, E, и т.д., рис.6а )

линии тангенса и линии радиуса.

Котангенс – это отрезок линии котангенса между точкой касания В и точкой пересечения ( Р, Q, и т.д.,

рис.6б ) линии котангенса и линии радиуса.

а б в

Рис.6

Секанс и косеканс определяются как величины, обратные соответственно косинусу и синусу.

Пример 5: Найти синус числа 6

13 .

Решение: Так как

266

13 , то этому числу соответствует та же точка

6

М , что и числу

6

.Опустим из точки

6

М перпендикуляр РМ6

на ось Ох (рис. %%);

6

РМ =у. В прямоугольном

треугольнике РОМ длина гипотенузы

6

ОМ равна 1 (так как окружность единичная), длина катета

6

РМ

равна 0,5 (как катета, лежащего против угла 300). Следовательно, ордината точки

6

М равна 0,5.

Ответ: 5,06

13sin .

Пример 6: Найти 4

3tg и

4

3ctg .

Рис.7.

Решение: Числу 4

3 на числовой окружности соответствует точка М, которая является концом дуги в 135

0.

Опустим из точки М перпендикуляр на ось Ох. Треугольник OMN – прямоугольный и равнобедренный

(рис.8). Следовательно, точка М имеет координаты 2

2x ,

2

2y , и поэтому

14

3

x

ytg , 1

4

3

y

xctg .

Ответ: 14

3

4

3 ctgtg .

п.3. Основные тригонометрические тождества.

Определение: если две функции от одних и тех же аргументов имеют одну и ту же область

определения и принимают равные значения при всех допустимых значениях аргументов, то они

называются тождественно равными.

Определение: Равенство, справедливое при всех допустимых значениях аргументов, называется

тождеством. Если в состав тождества входят тригонометрические функции, то тождество называется

тригонометрическим.

При доказательстве тригонометрических тождеств обычно применяют следующие приемы:

1) Производят преобразования над любой частью равенства (обычно над той, которая представляет

собой более сложное выражение), так чтобы в результате тождественных преобразований над ней

получилось выражение, стоящее в другой части равенства;

2) Преобразуют одновременно обе части доказываемого тождества, пока не станет очевидным, что в

обеих частях получились тождественно равные выражения;

3) Используя свойство пропорции о равенстве произведений крайних и средних членов, убеждаются в

равенстве этих произведений.

Основные тригонометрические тождества

1. 1cossin 22 ;

2. Znntg ,122

,cos

sin

;

3. Znnctg ,,sin

cos

;

4. Znnctgtg ,2

,1

;

5. Znntg ,2

,cos

11

2

2

;

6. Znnctg ,,sin

11

2

2

.

Используя основные тригонометрические тождества, можно выразить через

данную тригонометрическую функцию остальные функции. Эти выражения

приведены в таблице 3.

Данная

функция

Искомая функция

sin cos tg ctg

sin sin 2sin1

2sin1

sin

sin

sin1 2

cos 2cos1

cos

cos

cos1 2

2cos1

cos

tg

21 tg

tg

21

1

tg

tg

tg

1

ctg

21

1

ctg

21 ctg

ctg

ctg

1

ctg

Таблица 3

Пример 7: Дано 2

0,5

3sin

. Найти cos .

Решение: Точка M находится в первой четверти, следовательно,

5

4

5

31cos

2

.

Ответ: 5

4cos .

Пример 8: Дано

2

,5

3sin . Найти cos .

Решение: Точка M находится во второй четверти, следовательно,

5

4cos .

Ответ: 5

4cos .

Пример 9: Дано 5

3sin . Найти cos .

Решение: В задаче не указано, в какой четверти находится точка M , поэтому однозначного ответа дать

нельзя. По условию задачи 0sin , следовательно точка M находиться либо в первой, либо во второй

четверти; в первой четверти косинус – число положительное, а во второй – отрицательное.

Ответ: если 2

0

, то 5

4cos ; если

2, то

5

4cos .

Пример 10: Дано

22

3,

3

4tg . Вычислить sin .

Решение: Точка M в четвертой четверти, следовательно,

5

4

9

161

3

4

1sin

2

tg

tg.

(Из двух знаков выбрали плюс, так как синус и тангенс в четвертой четверти одного знака).

Пример 11: Упростить выражения:

1)

tg

sin1

cos; 2) 2244 cossin2cossin .

Решение: 1)

cossin1

sinsincos

cos

sin

sin1

cos

sin1

cos 22

tg =

=

cos

1

cossin1

sin1

;

2) 11cossincossin2cossin 22222244

п.4. Свойства и графики тригонометрических функций.

Функция y = sin x представляется графиком (рис.8). Эта кривая называется синусоидой.

Рис.8

График функции y = cos x представлен на рис.9; это также синусоида, полученная в результате

перемещения графика y = sin x вдоль оси Х влево на /2

Рис.9

Из этих графиков очевидны характеристики и свойства этих функций:

1) область определения: < x область значений: y +1;

2) эти функции периодические: их период 2

3) функции ограниченные (| y | имеющие так называемые

интервалы монотонности, внутри которых они ведут себя, как монотонные функции (см. графики рис.8 и

рис.9);

4) функции имеют бесчисленное множество нулей.

Графики функций y = tg x и y = ctg x показаны соответственно на рис.10 и рис.11

Рис.10 Рис.11

Из графиков видно, что эти функции: периодические (их период

неограниченные, в целом не монотонные, но имеют интервалы монотонности (какие?), разрывные (какие

точки разрыва имеют эти функции?).

Область определения и область значений этих функций:

Знаки, числовые значения и свойства четности и нечетности тригонометрических функций

Функция xfy называется четной, если при всех значениях х и области определения этой функции

xfxf .

Функция xfy называется нечетной, если при всех значениях х и области определения этой функции

xfxf .

Свойства четности и нечетности тригонометрических функций выражаются следующими формулами:

1. sinsin ;

2. coscos ;

3. tgtg ;

4. ctgctg ;

5. secsec ;

6. ecec coscos .

Таким образом, функции синус, тангенс, котангенс и косеканс являются нечетными функциями, а косинус

и секанс – четными.

Знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса в различных четвертях единичного круга показаны на

рисунке 12 .

Рис.12

Пример 12: Найти знаки чисел: а) 3

5sin ; б)

0280ctg .

Решение: а) Так как 2

3

3

5 , то 0

3

5sin

.

б) Так как 000 360280270 , то 02800 ctg .

Значения тригонометрических функций некоторых углов приведены в таблице 2.

Пример 13: Вычислить 3

cos22

3cos4sin

3sin2

63

2

ctgtg .

Решение: 3

cos22

3cos4sin

3sin2

63

2

ctgtg =

= 22

12040

2

3233

2

.


1. Упростите выражение:

1)

3sin

3sin ; 2)

15

4

15

141

15

4

15

tgtg

tgtg

;

3)

2sin2cos1

2sin21

сos; 4) coscossin2 .

2. Известно, что 2tg . Найдите значения выражений:

1)

cossin

cossin

; 2)

tgctg

tgctg

.

3. Вычислите:

1)

2

1arcsin

2

3arcsin ; 2)

2

2arccos335arctg

4. Докажите тождества:

1)

cos

cos

tgtg

tgtg;

2) 0

0000

0000

2510sin15sin10cos15cos

15sin40cos15cos40sintg

;

3) 0000 10cos270cos40cos20cos8 ;

4)

24cos

4sin

2cos4cossin1

.



Тема 35. Способы решения тригонометрических уравнений














Тема 36. Решение простейших тригонометрических уравнений








п.1. Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа.

Функция арксинус и ее график

Пусть дана единичная окружность с центром в начале координат и прямая xy , где 1a (рис.1).

Тогда одна из точек пересечения прямой и окружности принадлежит полуокружности САВ, т. е. существует

такое действительное число , которое удовлетворяет равенству asin , где 22

. Такое

число называют арксинусом числа а.

Рис.1.

Определение: арксинусом числа а, где 1a , называют такое число , из промежутка

2;

2

,

синус которого равен а. Арксинус числа а обозначают так: aarcsin (читается «арксинус числа а»).

Пример1. Найти 2

1arcsin .

Решение: Так как 2

1

6sin

и

262

, то

62

1arcsin

.

Пример 2. Найти

2

1arcsin .


1

6sin

и

2;

26

, то

62

1arcsin

.

Пример 3. Найти 975,0arcsin .

Решение: С помощью таблиц или микрокалькулятора находим 35,1346721,1975,0arcsin .

Функция xy sin на отрезке

2;

2

строго возрастает и непрерывна; следовательно, она имеет

обратную функцию, строго возрастающую и непрерывную.

Функция, обратная для функции xy sin ,

2;

2

x , называется арксинусом и обозначается

xy arcsin , 1;1x .

Рис.2.

Согласно определению обратной функции, областью определения арксинуса является отрезок

1;1 , а множество значений – отрезок

2;

2

. График функции xy arcsin , 1;1x ,

симметричен графику функции xy sin ,

2;

2

x , относительно биссектрисы координатных углов

первой и третьей четвертей (рис.2).

Функция арккосинус и ее график

Пусть дана единичная окружность с центром в начале координат и прямая xy , где 1a (рис.3).

Тогда одна из точек пересечения прямой и окружности принадлежит полуокружности АВD, т. е.

существует такое действительное число , которое удовлетворяет равенству acos , где 0 .

Такое число называют арккосинусом числа а.

Рис.3.

Определение: арккосинусом числа а, где 1a , называют такое число , из промежутка ;0 ,

косинус которого равен а. Арккосинус числа а обозначают так: aarccos (читается «арккосинус числа а»).

Пример 4. Найти 2

2arccos .


2

4cos

и

;0

4 , то

42

2arccos

.

Пример 5. Найти

2

2arccos .


2

4

3cos

и

;0

4

3 , то

4

3

2

2arccos

.

Пример 6. Найти 2,0arccos .

Решение: с помощью таблиц или микрокалькулятора находим 4,13694383,12,0arccos .

Функция xy cos на отрезке ;0 строго убывает и непрерывна; следовательно, она имеет

обратную функцию, строго убывающую и непрерывную.

Рис.4.

Функция, обратная для функции xy cos , ;0x , называется арккосинусом и обозначается

xy arccos , 1;1x .

Согласно определению обратной функции, областью определения арккосинуса является отрезок

1;1 , а множество значений – отрезок ;0 . График функции xy arccos , 1;1x симметричен

графику функции xy cos , ;0x , относительно биссектрисы координатных углов первой и третьей

четвертей (рис.4).

Функции арктангенс и арккотангенс и их графики

Пусть числу соответствует точка М(х; у) единичной окружности. Тогда x

y

x

xtg

cos

sin .

Поэтому равенство atg можно записать в виде mx

y или axy . Это означает, что если точка М,

соответствующая числу , лежит на окружности и на прямой axy , то верно равенство atg .

Одна из точек пересечения прямой axy и единичной окружности принадлежит полуокружности

САВ (рис.5), т. е. существует такое действительное число , которое удовлетворяет равенству atg ,

где 22

. Такое число называют арктангенсом числа.

Рис.5.

Определение: Арктангенсом числа а называется такое число

2;

2

, тангенс которого

равен а. Арктангенс числа а обозначают так: arctga (читается «арктангенс числа а»).

Пример 7. Найти 3arctg .


tg и

2;

23

, то

33

arctg .

Пример 8. Найти 3arctg .


tg и

2;

23

, то

33

arctg .

Функция тангенс непрерывная и строго возрастающая на интервале

2;

2

; следовательно, она

имеет обратную функцию, которая непрерывна и строго возрастает.

Функция, обратная для функции

2;

2,

xtgxy , называется арктангенсом и обозначается

Rxarctgxy , .

Рис.6.

Согласно определению обратной функции, областью определения арктангенса является интервал

; , а множество значений – интервал

2;

2

. График функции Rxarctgxy , , симметричен

графику функции

2;

2,

xtgxy , относительно биссектрисы координатных углов первой и

третьей четвертей (рис.6).

Определение: Арккотангенсом числа а называется такое число ;0 , котангенс которого

равен а. Арккотангенс числа а обозначают так: arcctga (читается «арккотангенс числа а»).

Пример 8. Найти 1arcctg .


3

ctg и

;0

4

3 , то

4

31

arcctg .

На интервале ;0 функция котангенс строго убывает; кроме того, она непрерывна в каждой точке

этого интервала; следовательно, на интервале ;0 эта функция имеет обратную функцию, которая

является убывающей и непрерывной.

Функция, обратная для функции ;0, xctgxy , называется арккотангенсом и обозначается

Rxarccrgxy , .

Согласно определению обратной функции, областью определения арккотангенса будет R, а

множеством значений – интервал ;0 . График функции Rxarccrgxy , , дан на рис.7. Этот график

симметричен графику функции ;0, xctgxy , относительно биссектрисы координатных углов

первой и третьей четвертей.

Рис.7.

п.2. Простейшие тригонометрические уравнения.

Простейшими тригонометрическими уравнениями являются уравнения вида

ax sin , ax cos , atgx , actgx ,

где а – данное число.

Очень важно уметь решать простейшие тригонометрические уравнения, так как все способы и

приемы решения любых тригонометрических уравнений заключаются в сведении их к простейшим.

Сводная таблица решения простейших

тригонометрических уравнений

Уравнение

Решение

Частные случаи

1a 0a 1a

ax sin ,

1a

axk

arcsin1

Zkk ,

2

x

Zkk ,2

kx ,

Zk kx

2

2

Zk

ax cos ,

1a

ax arccos

Zkk ,2 kx 2 ,

Zk kx

2Zk

kx 2 ,

Zk

atgx

karctgax ,

Zk

4

x

k , Zk

kx ,

Zk kx

4,

Zk

actgx

karcctgax ,

Zk kx

4

3,

Zk

kx

2

Zk

kx

4,

Zk

Таблица 1

Пример 9. Решить уравнение 2

33sin x .

Решение: Zkkxk

,2

3arcsin13 .

Zkkxk

,3

13

,

Zkk

xk

,39

1

.

Ответ: Zkk

xk

,39

1

.

Пример 10. Решить уравнение 12sin x .

Решение: Zkkx ,22

2

,

Zkkx ,4

.

Ответ: Zkkx ,4

.


14sin x .

Решение: Zkkxk

,

3

1arcsin14 ,

Zkkxk

,3

1arcsin14

1 ,

Zkk

xk

,43

1arcsin

4

11

1 .

Ответ: Zkk

xk

,43

1arcsin

4

11

1


13cos x .

Решение: Zkkx ,22

1arccos3 ,

Zkk

x ,3

2

9

.

Ответ: Zkk

x ,3

2

9

.

Пример 13. Решить уравнение 5,02cos t .

Решение: Zkkt ,25,0arccos2 ,

Zkkt ,25,0arccos2 ,

Zkkt ,23

22

,

Zkkt ,3

.

Ответ: Zkkt ,3

.

Пример 14. Решить уравнение 13 xtg .

Решение: Zkkarctgx ,13 ,

Zkkx ,4

3

,

Zkk

x ,312

.

Ответ: Zkk

x ,312

.

Пример 15. Решить уравнение 793,2tgx .

Решение: Zkkarctgx ,793,2 ,

Используя микрокалькулятор или таблицы, находим

Zkkx ,1397,1 .

Ответ: Zkkx ,1397,1 .

Пример 16. Решить уравнение 12 xctg .

Решение: Zkkarcctgx ,12 ,

Zkkx ,4

32

,

Zkk

x ,28

3 .

Ответ: Zkk

x ,28

3 .


35 xctg .

Решение: Zkkarcctgx ,3

35 ,

Zkkx ,3

5

,

Zkk

x ,515

.

Ответ: Zkk

x ,515

.

п.3. Решение тригонометрических уравнений.

В предыдущем пункте было показано, как решать простейшие тригонометрические уравнения. Покажем

на примерах, как решаются более сложные уравнения.

1. Уравнения, сводящиеся к квадратным

Пример 18. Решить уравнение 0cos3sin2 2 xx .

Решение: Так как xx 22 cos1sin , то

0cos3cos12 2 xx ,

02cos3cos2 2 xx ,

Решим это уравнение относительно косинуса

4

53

22

22493cos

x .

Составим два простейших уравнения:

2cos x и 2

1cos x .

Первое уравнение решений не имеет, так как 1cos1 x .

Второе уравнение имеет решение

Zkkx

,2

2

1arccos ,

Zkkx ,23

2

.

Ответ: Zkkx ,23

2

.

Пример 19. Решить уравнение xx 2cos3sin7 .

Решение: Так как xx 2sin212cos , то

xx 2sin63sin7 ,

03sin7sin6 2 xx

yx sin , тогда 0376 2 yy

3

11 y ,

2

32 y ;

3

1sin x ,

2

3sin x ;

Zkkxk

,3

1arcsin1 , решений нет.

Ответ: Zkkxk

,3

1arcsin1 .

Пример 20. Решить уравнение 06135 2 tgxxtg .

Решение: ytgx , тогда 06135 2 yy ,

31 y , 5

22 y ;

3tgx , 5

2tgx ;

Zkkarctgx ,3 ; Zkkarctgx

,

5

2 ;

Zkkarctgx ,5

2 .

Ответ: Zkkarctgx ,3 ; Zkkarctgx ,5

2 .

2. Уравнения, решаемые разложением левой части на множители

Пример 21. Решить уравнение tgxxxtgx sin1sin .

Решение: 0sin1sin tgxxxtgx ,

011sin tgxtgx ,

011sin tgxtgx ,

011sin tgxx ,

01sin x или 01tgx ,

1sin x 1tgx ,

Zkkx ,22

; Zkkx ,4

.

Решение Zkkx ,22

не удовлетворяет исходному уравнению, так как тангенс при этих значениях

не существует.

Ответ: Zkkx ,4

.

Пример 22. Решить уравнение x

x

x

x

cos2

2cos1

2cos1

2sin

.

Решение: x

x

x

xx

cos2

cos2

sin2

cossin2 2

2 ;

xx

xcos

sin

cos ;

xxx cossincos ;

0cossincos xxx ;

01sincos xx ;

0cos x или 1sin x ;

Zkkx ,2

; Zkkx ,22

.

Все значения Zkkx ,22

содержатся в множестве решений Zkkx ,2

при четных

значениях k , т. е. решениями будут Zkkx ,2

.

Так как левая часть заданного уравнения при Zkkx ,2

теряет смысл, то все найденные для х

значения не являются решениями.

Ответ: корней нет.

3. Уравнения, однородные относительно xsin и xcos

Пример 23. Решить уравнение xxx 2sin4cos3sin5 22 .

Решение: xxxx cossin24cos3sin5 22 ,

0cos3cossin8sin5 22 xxxx , 0cos2 x ,

0385 2 tgxxtg ,

ytgx , тогда 0385 2 yy

11 y , 5

32 y ;

1tgx , 5

3tgx ;

Zkkx ,4

; Zkkarctgx ,5

3 .

Ответ: ,4

kx Zkkarctgx ,

5

3 .

Пример 24. Решить уравнение

22

3sin5cossin4sin3 22

xxxx

.

Решение: Так как xx 22 cos2

3sin

, получим

02cos5cossin4sin3 22 xxxx ,

0cossin2cos5cossin4sin3 2222 xxxxxx ,

0cos3cossin4sin 22 xxxx , 0cos2 x ,

0342 tgxxtg ,

1tgx , 3tgx ;

Zkkx ,4

; Zkkarctgx ,3 .

Ответ: ,4

kx Zkkarctgx ,3 .

4. Другие примеры решения тригонометрических уравнений

Пример 25. Решить уравнение xx 6cos2cos .

Решение: 06cos2cos xx ,

По формуле разности косинусов имеем

02sin4sin2 xx .

04sin x или 02sin x ,

Zkk

x ,4

; Zk

kx ,

2

.

Вторая серия решений содержится в первой.

Ответ: Zkk

x ,4

.

Пример 26. Решить уравнение xx 2sin2cos .

Решение: так как 2

2cos1sin 2 x

x

, тогда уравнение примет вид

2

2cos12cos

xx

,

12cos3 x ,

Zkkx ,23

1arccos2 ,

Zkkx ,3

1arccos

2

1 .

Ответ: Zkkx ,3

1arccos

2

1 .

Пример 27. Решить уравнение xxxx 3cos5sin2cos6sin .

Решение: Преобразуем произведения тригонометрических функций в суммы

xxxx 8sin2sin2

18sin4sin

2

1 ,

xx 2sin4sin ,

02sin4sin xx .

По формуле разности синусов имеем 03cossin2 xx .

0sin x или 03cos x ,

Zkkx , ; Zkkx ,2

3

,

Zkk

x ,36

.

Ответ: ,kx Zkk

x ,36

.

Пример 28. Решить уравнение 1cossin3 xx .

Решение: Используя формулы 2

cos2

sin2sinxx

x ,

2

sin2

coscos 22 xxx ,

2

cos2

sin1 22 xx ,

запишем данное уравнение в виде:

2

cos2

sin2

sin2

cos2

cos2

sin23 2222 xxxxxx

,

02

cos2

sin322

sin2 2 xxx

.

Полученное уравнение однородное относительно 2

sinx

и 2

cosx

. Разделим обе части уравнения на 2

cos 2 x,

получим

02

322

2 2 x

tgx

tg ,

02

32

2 x

tgx

tg ,

0322

xtg

xtg ,

02

xtg или 3

2

xtg ,

Zkkx

,2

; Zkkarctgx

,32

,

Zkkx ,2 ; Zkkx ,23

2

.

Ответ: ,2 kx Zkkx ,23

2

.


xtgtgx

.

Решение: 2

41

4

tgxtg

tgxtg

tgx

,

21

1

tgx

tgxtgx ,

32 xtg ,

3tgx ,

Если 3tgx , то Zkkx ,3

.


.

Ответ: Zkkx ,3

.


Решите уравнения:

1) 4

1

62sin

x

; 2) 113 xtg ; 3) 2

2sin x ;

1) 2

1sin 2 x ; 5)

9

1cos 2 x ; 6) 32 xctg ;

7) 12cos x ; 8) 12

xtg ; 9) 12

2

xtg ;

10) 0cossin xxtgx ; 11) 0)1(cos tgxx ;

12) 0cos12

xx

tg .



Тема 37. Решение тригонометрических уравнений, сводящихся к квадратным.








1. Уравнения, сводящиеся к квадратным

Пример 18. Решить уравнение 0cos3sin2 2 xx .

Решение: Так как xx 22 cos1sin , то

0cos3cos12 2 xx ,

02cos3cos2 2 xx ,

Решим это уравнение относительно косинуса

4

53

22

22493cos

x .

Составим два простейших уравнения:

2cos x и 2

1cos x .

Первое уравнение решений не имеет, так как 1cos1 x .

Второе уравнение имеет решение

Zkkx

,2

2

1arccos ,

Zkkx ,23

2

.

Ответ: Zkkx ,23

2

.

Пример 19. Решить уравнение xx 2cos3sin7 .

Решение: Так как xx 2sin212cos , то

xx 2sin63sin7 ,

03sin7sin6 2 xx

yx sin , тогда 0376 2 yy

3

11 y ,

2

32 y ;

3

1sin x ,

2

3sin x ;

Zkkxk

,3

1arcsin1 , решений нет.

Ответ: Zkkxk

,3

1arcsin1 .

Пример 20. Решить уравнение 06135 2 tgxxtg .

Решение: ytgx , тогда 06135 2 yy ,

31 y , 5

22 y ;

3tgx , 5

2tgx ;

Zkkarctgx ,3 ; Zkkarctgx

,

5

2 ;

Zkkarctgx ,5

2 .

Ответ: Zkkarctgx ,3 ; Zkkarctgx ,5

2 .

2. Уравнения, решаемые разложением левой части на множители

Пример 21. Решить уравнение tgxxxtgx sin1sin .

Решение: 0sin1sin tgxxxtgx ,

011sin tgxtgx ,

011sin tgxtgx ,

011sin tgxx ,

01sin x или 01tgx ,

1sin x 1tgx ,

Zkkx ,22

; Zkkx ,4

.

Решение Zkkx ,22

не удовлетворяет исходному уравнению, так как тангенс при этих значениях

не существует.

Ответ: Zkkx ,4

.

Пример 22. Решить уравнение x

x

x

x

cos2

2cos1

2cos1

2sin

.

Решение: x

x

x

xx

cos2

cos2

sin2

cossin2 2

2 ;

xx

xcos

sin

cos ;

xxx cossincos ;

0cossincos xxx ;

01sincos xx ;

0cos x или 1sin x ;

Zkkx ,2

; Zkkx ,22

.

Все значения Zkkx ,22

содержатся в множестве решений Zkkx ,2

при четных

значениях k , т. Е. решениями будут Zkkx ,2

.

Так как левая часть заданного уравнения при Zkkx ,2

теряет смысл, то все найденные для х

значения не являются решениями.

Ответ: корней нет.

3. Уравнения, однородные относительно xsin и xcos

Пример 23. Решить уравнение xxx 2sin4cos3sin5 22 .

Решение: xxxx cossin24cos3sin5 22 ,

0cos3cossin8sin5 22 xxxx , 0cos2 x ,

0385 2 tgxxtg ,

ytgx , тогда 0385 2 yy

11 y , 5

32 y ;

1tgx , 5

3tgx ;

Zkkx ,4

; Zkkarctgx ,5

3 .

Ответ: ,4

kx Zkkarctgx ,

5

3 .

Пример 24. Решить уравнение

22

3sin5cossin4sin3 22

xxxx

.

Решение: Так как xx 22 cos2

3sin

, получим

02cos5cossin4sin3 22 xxxx ,

0cossin2cos5cossin4sin3 2222 xxxxxx ,

0cos3cossin4sin 22 xxxx , 0cos2 x ,

0342 tgxxtg ,

1tgx , 3tgx ;

Zkkx ,4

; Zkkarctgx ,3 .

Ответ: ,4

kx Zkkarctgx ,3 .

4. Другие примеры решения тригонометрических уравнений

Пример 25. Решить уравнение xx 6cos2cos .

Решение: 06cos2cos xx ,

По формуле разности косинусов имеем

02sin4sin2 xx .

04sin x или 02sin x ,

Zkk

x ,4

; Zk

kx ,

2

.

Вторая серия решений содержится в первой.

Ответ: Zkk

x ,4

.

Пример 26. Решить уравнение xx 2sin2cos .

Решение: так как 2

2cos1sin 2 x

x

, тогда уравнение примет вид

2

2cos12cos

xx

,

12cos3 x ,

Zkkx ,23

1arccos2 ,

Zkkx ,3

1arccos

2

1 .

Ответ: Zkkx ,3

1arccos

2

1 .

Пример 27. Решить уравнение xxxx 3cos5sin2cos6sin .

Решение: Преобразуем произведения тригонометрических функций в суммы

xxxx 8sin2sin2

18sin4sin

2

1 ,

xx 2sin4sin ,

02sin4sin xx .

По формуле разности синусов имеем 03cossin2 xx .

0sin x или 03cos x ,

Zkkx , ; Zkkx ,2

3

,

Zkk

x ,36

.

Ответ: ,kx Zkk

x ,36

.

Пример 28. Решить уравнение 1cossin3 xx .

Решение: Используя формулы 2

cos2

sin2sinxx

x ,

2

sin2

coscos 22 xxx ,

2

cos2

sin1 22 xx ,

запишем данное уравнение в виде:

2

cos2

sin2

sin2

cos2

cos2

sin23 2222 xxxxxx

,

02

cos2

sin322

sin2 2 xxx

.

Полученное уравнение однородное относительно 2

sinx

и 2

cosx

. Разделим обе части уравнения на 2

cos 2 x,

получим

02

322

2 2 x

tgx

tg ,

02

32

2 x

tgx

tg ,

0322

xtg

xtg ,

02

xtg или 3

2

xtg ,

Zkkx

,2

; Zkkarctgx

,32

,

Zkkx ,2 ; Zkkx ,23

2

.

Ответ: ,2 kx Zkkx ,23

2

.


xtgtgx

.

Решение: 2

41

4

tgxtg

tgxtg

tgx

,

21

1

tgx

tgxtgx ,

32 xtg ,

3tgx ,


.


.

Ответ: Zkkx ,3

.

Решите уравнения:

1) 22 sincos2sin2 xxx ; 2) 01sin3sin2 2 xx ;

3) 0cos23cos1 xx ; 4) xxxx 5sin4cos4sin5cos1 ; 5) 12coscossin8 xxx ; 6)

022

sin1

xxсos

;

7) 01cos2cos2 xtgxtgxx ;

8) 0cossincos3sin2 22 xxxx ;

9) 022

3

2

2

xctgxctg ; 10) 1sincos 22 xx



Тема 38. Решение тригонометрических неравенств

Цель: Закрепление умений и навыков при решении тригонометрических неравенств.







Простейшие тригонометрические неравенства.

Простейшими тригонометрическими неравенствами называются неравенства

mx sin , mx sin , mx cos , mx cos , mtgx , mtgx ,

mctgx , mctgx , где m - данное число.

Решить простейшее тригонометрическое неравенство – значит найти множество всех значений аргумента,

которые обращают данное неравенство в верное числовое неравенство.

Пример 30. Решите неравенство 2

1sin x .

Решение: Решение иллюстрируется рисунком 8а : здесь точке М1 соответствует угол 6

, М2 – угол

6

5, М3

– угол

6, М4 – угол

6

5. Неравенство выполняется для

6

5

6

x и

6

5

6x .

Общим решение служит неравенство

Zkkxk ,6

5

6

.

Ответ: Zkkxk ,6

5

6

.

а) б)

Рис.8.

Пример 31. Решить неравенство 2

1cos x .

Решение: Данное неравенство иллюстрируется рисунком 8б: здесь точке М1 отвечает угол 3

2, а точке М2

– угол 3

2 . Общим решением неравенства является

Zkkxk ,3

22

3

2

.


22

3

2

.

Пример 32. Решить неравенство 3tgx .

Решение: Учитывая свойство неограниченности функции тангенс, имеем ;3tgx . Исходному

неравенству удовлетворяют дуги из промежутка

2;

3

x . Так как периодом для функции тангенс

является число , общим решением является неравенство

Zkkxk ,23

.


.

Пример 33. Решить неравенство 2

1

2sin

x.

Решение: Поскольку kx

k

26

5

22

6 , решение имеет вид:

Zkkxk ,43

54

3

.


54

3

.


Решите неравенства:

1) 2

1sin x ; 5)

2

2sin x ;

2) 3tgx ; 6) 2

3cos x ;

3) 13

xctg ; 7)

2

1

2cos

x;

4) 3

3tgx . 8) 1ctgx .



Тема 39. Математика в моей профессии














Тема 40. Определение области определения

Цель: Закрепление умений и навыков нахождения области определения функции.





3. Выполните в тетради задания соответствующие варианту.

п.1. Функции. Область определения и множество значений функции.

Одним из важнейших математических понятий является понятие функции.

Определение: Переменная у называется функцией переменной х, если каждому допустимому

значению х соответствует определенное значение у.

Символически функциональная зависимость между переменной у (функцией) и переменной х

(аргументом) записывается с помощью равенства xfy , где f означает совокупность действий, которое

надо произвести над х, чтобы получить у.

Числовое значение функции, соответствующее данному числовому значению аргумента, называется

частным значением этой функции. Например, функция xfy при х=а принимает значение аfy .

Определение: Областью определения (существования) функции называется множество всех

действительных значений аргумента, при которых она может иметь действительное значение.

Например, для функции у=х областью определения является множество всех действительных чисел R; для

функции x

y1

областью определения является множество R кроме х=0.

Определение: Множеством значений функции называется множество всех действительных

значений функции у, которые она может принимать.

Например, множеством значений функции 1 xy является множество R, множеством значений функции

12 xy является множество действительных чисел, больших или равных 1.

Для задания функции необходимо и достаточно задать закон соответствия, по которому для

каждого значения аргумента можно указать единственное значение функции и ее область определения.

Функция может быть задана аналитически (формулой), таблицей, графиком или каким-либо другим

способом.

Пример 1. Найти область определения функции: 1) 1 xxy ,

2) 62

23

x

xy .

Решение: 1) Областью определения данной функции является общая часть областей определения каждого

из слагаемых. Для первого слагаемого 0x , для второго 1x . Областью определения функции служит

промежуток 1x .

2) Функция определена для всех значений х, удовлетворяющих неравенству 062

23

x

x.

.3

,3

2

3

,3

2

,3

,3

2

x

x

x

x

x

x

На рисунке 1 показаны области определения данной функции.

Рис.1

Пример 2. Дана функция 12)( 23 xxxxf . Найти )0(f , )1(f , )1(f , )2(f .

Решение: Чтобы вычислить значение )0(f , надо в данную функцию вместо аргумента х подставить его

значение х=0.

110020)0( 23 f ;

111121)1( 23 f ;

511121)1(23

f ;

112222)2( 23 f .

Пример 3. Найти область определения и множество значений функции x

xy

3

4.

Решение:

1. Найдем D (у), т.е. те значения, которые может принимать х. Для этого найдем ОДЗ(область допустимых

значений дроби):

03 x

3x

значит D (у)=( ∞; -3) и (-3;+∞), т.е. всё множество действительных чисел, кроме -3.

2. Найдем Е (у), т.е. те значения, которые может принимать у, при всех возможных х.

Решаем уравнение вида: Ax

x

3

4, где А є Е (у),

xxA 43 ,

AxxA 43 ,

AxA 43 ,

A

Ax

4

3.

Значит Е (у)=( ∞; 4) и (4;+∞), т.е. всё множество действительных чисел, кроме 4.

Пример 4. Найти D (у)и Е (у) функции, изображенной на графике

Рис.2.

Решение:

Область определения(значения х) смотрим по оси х- это промежуток [ 4; 7],

Областью значения(значения у) смотрим по оси у- это промежуток [ 4; 4].

Пример 5. Дана функция у = f(x), где

.42,3

,20,1

,0,2

xесли

xеслиx

xеслиx

xf

1. Найти D (f);

2. Вычислить f (-2), f (0), f (2), f (3,2), f (4), f (5);

3. Найти Е (f).

Решение:

1. Область определения функции состоит из трех промежутков: 4,2,2;0,0; . Объединяя их,

получаем луч 4; .

Итак, D(f) = 4; .

2. Значение х = - 2 удовлетворяет условию 0x , следовательно,

f (-2) надо вычислять по первой строке задания функции. Имеем f(х) = -х2, значит, f (-2) = -(-2)

2 = - 4.

а) б)

Рис.3.

3. Область значений функции, удобнее всего находить с помощью графика функции. Построение графика

осуществим «по кусочкам». Сначала построим параболу у = -х2 и выделим ее часть на луче 4;

(рис.3а). Затем построим прямую у = х + 1 и выделим ее часть на полуинтервале (0, 2] (рис.3б). Далее

построим прямую

у=3 и выделим ее часть на полуинтервале (2, 4] (рис.4а). Наконец, все три «кусочка» изобразим в одной

системе координат — это и будет график функции у = f (х) (рис.4б).

а) б)

Рис.4.

Теперь хорошо видно, что область значений функции состоит из двух промежутков: луча 0; — он

сплошь заполняется ординатами точек ветви параболы у = -х2, х < 0 — и полуинтервала (1, 3] — он сплошь

заполняется ординатами точек участка прямой

у = х+ 1, 0<х<2. Итак, 3;10; fE .


Найдите область определения функции:

1) xy 3 ; 2) 432 23 xxy ;

3) x

y2

; 4)1

12

x

y ;

5) 4

42

2

x

xy ; 6)

44

32

xx

xy ;

http://school.xvatit.com/index.php?title=%D0%A3%D1%80%D0%BE%D0%BA_3._%D0%9F%D1%80%D1%8F%D0%BC%D0%B0%D1%8F._%D0%9B%D1%83%D1%87._%D0%9E%D1%82%D1%80%D0%B5%D0%B7%D0%BE%D0%BA

http://school.xvatit.com/index.php?title=%D0%A4%D0%B0%D0%B9%D0%BB:Al824.jpg

http://school.xvatit.com/index.php?title=%D0%A8%D0%BA%D0%B0%D0%BB%D1%8B_%D0%B8_%D0%BA%D0%BE%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D1%82%D1%8B


7) xx

y

3

2; 8)

xx

xy

4

2;

9) xx

xy

8

234

; 10) 32 xy ;

11) 3 3 1 xy ; 12) 4 21 xy ;

13) 43

2

x

xy ; 14)

2

3

x

xy ;

15) x

xy

2

1; 16) 4 531 xxy ;

17) 24 xxy ; 18) xxy 12 ;

19) 49x

4xf(x)

2

;

20) 8x

x5xlogf(x)

2

5



Тема 41. Определение множества значений функции

Цель: Закрепление умений и навыков нахождения области значения функции.





3. Выполните в тетради задания соответствующие варианту.

п.1 Функции. Область определения и множество значений функции.

Одним из важнейших математических понятий является понятие функции.

Определение: Переменная у называется функцией переменной х, если каждому допустимому

значению х соответствует определенное значение у.

Символически функциональная зависимость между переменной у (функцией) и переменной х

(аргументом) записывается с помощью равенства xfy , где f означает совокупность действий, которое

надо произвести над х, чтобы получить у.

Числовое значение функции, соответствующее данному числовому значению аргумента, называется

частным значением этой функции. Например, функция xfy при х=а принимает значение аfy .

Определение: Областью определения (существования) функции называется множество всех

действительных значений аргумента, при которых она может иметь действительное значение.

Например, для функции у=х областью определения является множество всех действительных чисел R; для

функции x

y1

областью определения является множество R кроме х=0.

Определение: Множеством значений функции называется множество всех действительных

значений функции у, которые она может принимать.

Например, множеством значений функции 1 xy является множество R, множеством значений функции

12 xy является множество действительных чисел, больших или равных 1.

Для задания функции необходимо и достаточно задать закон соответствия, по которому для

каждого значения аргумента можно указать единственное значение функции и ее область определения.

Функция может быть задана аналитически (формулой), таблицей, графиком или каким-либо другим

способом.

Пример 1. Найти область определения функции: 1) 1 xxy ,

2) 62

23

x

xy .

Решение: 1) Областью определения данной функции является общая часть областей определения каждого

из слагаемых. Для первого слагаемого 0x , для второго 1x . Областью определения функции служит

промежуток 1x .

2) Функция определена для всех значений х, удовлетворяющих неравенству 062

23

x

x.

.3

,3

2

3

,3

2

,3

,3

2

x

x

x

x

x

x

На рисунке 1 показаны области определения данной функции.

Рис.1

Пример 2. Дана функция 12)( 23 xxxxf . Найти )0(f , )1(f , )1(f , )2(f .

Решение: Чтобы вычислить значение )0(f , надо в данную функцию вместо аргумента х подставить его

значение х=0.

110020)0( 23 f ;

111121)1( 23 f ;

511121)1(23

f ;

112222)2( 23 f .

Пример 3. Найти область определения и множество значений функции x

xy

3

4.

Решение:

1. Найдем D (у), т.е. те значения, которые может принимать х. Для этого найдем ОДЗ(область допустимых

значений дроби):

03 x

3x

значит D (у)=( ∞; -3) и (-3;+∞), т.е. всё множество действительных чисел, кроме -3.

2. Найдем Е (у), т.е. те значения, которые может принимать у, при всех возможных х.

Решаем уравнение вида: Ax

x

3

4, где А є Е (у),

xxA 43 ,

AxxA 43 ,

AxA 43 ,

A

Ax

4

3.

Значит Е (у)=( ∞; 4) и (4;+∞), т.е. всё множество действительных чисел, кроме 4.

Пример 4. Найти D (у)и Е (у) функции, изображенной на графике

Рис.2.

Решение:

Область определения(значения х) смотрим по оси х- это промежуток [ 4; 7],

Областью значения(значения у) смотрим по оси у- это промежуток [ 4; 4].

Пример 5. Дана функция у = f(x), где

.42,3

,20,1

,0,2

xесли

xеслиx

xеслиx

xf

1. Найти D (f);

2. Вычислить f (-2), f (0), f (2), f (3,2), f (4), f (5);

3. Найти Е (f).

Решение:

1. Область определения функции состоит из трех промежутков: 4,2,2;0,0; . Объединяя их,

получаем луч 4; .

Итак, D(f) = 4; .

2. Значение х = - 2 удовлетворяет условию 0x , следовательно,

f (-2) надо вычислять по первой строке задания функции. Имеем f(х) = -х2, значит, f (-2) = -(-2)

2 = - 4.

а) б)

Рис.3.

3. Область значений функции, удобнее всего находить с помощью графика функции. Построение графика

осуществим «по кусочкам». Сначала построим параболу у = -х2 и выделим ее часть на луче 4;

http://school.xvatit.com/index.php?title=%D0%A3%D1%80%D0%BE%D0%BA_3._%D0%9F%D1%80%D1%8F%D0%BC%D0%B0%D1%8F._%D0%9B%D1%83%D1%87._%D0%9E%D1%82%D1%80%D0%B5%D0%B7%D0%BE%D0%BA


(рис.3а). Затем построим прямую у = х + 1 и выделим ее часть на полуинтервале (0, 2] (рис.3б). Далее

построим прямую

у=3 и выделим ее часть на полуинтервале (2, 4] (рис.4а). Наконец, все три «кусочка» изобразим в одной

системе координат — это и будет график функции у = f (х) (рис.4б).

а) б)

Рис.4.

Теперь хорошо видно, что область значений функции состоит из двух промежутков: луча 0; — он

сплошь заполняется ординатами точек ветви параболы у = -х2, х < 0 — и полуинтервала (1, 3] — он сплошь

заполняется ординатами точек участка прямой

у = х+ 1, 0<х<2. Итак, 3;10; fE .


Найдите область изменения функции:

1) 14 xy ; 2) x

y2

;

3) 32 xy ; 4) 23 xy ;

5) 842 xy ; 6) 2

35 xy ;

7) 562 xxy ; 8) 12 xxy ;

9) 12 xy ; 10)

23 xy ;

11) x

xy

2.



Тема 42. Построение графиков функции (параллельный перенос, симметрия, растяжение и сжатие)

Цель: Закрепление навыка построения графиков функций.

Время выполнения: 6 часов


1. Рассмотрите таблицу на стр. 14.


п.1 График функции. Построение графиков функций.

Функцию xfy иногда можно представить таблицей, в первой строке которой перечисляются

значения независимой переменной х, а во второй – соответствующие значения xf зависимой

переменной. Запишем часть такой таблицы для функции 3xy :

х 0 1 2 3 4 5

у 0 1 8 27 64 125

http://school.xvatit.com/index.php?title=%D0%A8%D0%BA%D0%B0%D0%BB%D1%8B_%D0%B8_%D0%BA%D0%BE%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D1%82%D1%8B


Разумеется, для функций, области определения fD которых представляют собой бесконечные

множества, невозможно составить таблицу всех значений но, тем не менее, часто бывает полезным

представить функцию как множество всех упорядоченных пар чисел xfx; .

Определение: Графиком функции xfy называется множество всех точек координатной

плоскости с координатами xfx; .

а) б)

Рис. 5.

Из этого определения следует, что график функции xfy можно рассматривать как полную

таблицу функции.

Известны графики многих функций. Так, например, график функции bkxy есть прямая линия

(рис.5а), график функции 2xy - парабола (рис.5б), график функции

xy

1 (обратная пропорциональная

зависимость) – гипербола (рис.6).

Рис.6

В графике содержится вся информация о функции. Мы будем изучать, в основном, такие функции,

точки графика которой на плоскости составляют одну или несколько линий. Так как из определения

функции следует, что каждому значению переменной х соответствует не более одного значения функции

xf , то линия может считаться графиком функции только в том случае, если каждая прямая,

параллельная оси у, пересекает эту линию не более чем в одной точке (рис.7а). Линия, изображенная на

рис. 7б, не является графиком функции, так как существуют прямые, параллельные оси у, пересекающие

эту кривую более, чем в одной точке.

Рис.7.

Из курса геометрии нам известно, что окружность единичного радиуса с центром в начале

координат задается уравнением 122 yx . Эта окружность не является графиком функции, так как для

нее также не выполняется приведенное выше условие. Однако верхняя полуокружность, представляющая

множество всех точек (х; у), для которых 122 yx и 0y , будет графиком функции 21 xy .

Точно так же нижняя полуокружность будет графиком функции 21 xy . Эти окружности

представляют те точки (х; у) плоскости, для которых 122 yx и 1y . Очевидно, для обеих функций

21 xy и 21 xy область определения 1;1yD , а область значений: 1,01 2 xE

и 1,01 2 xE .

Мы уже отметили, что график функции задает полную таблицу функции. Но так как для

большинства функций полной таблицы составить нельзя, построение графика функции является

достаточно сложной задачей.

Основные приемы преобразования графиков

f(x+a)

Перенос графика у = f(x) на

вектор р (-а; 0)

р(- 2;0)

f(x)+b

Перенос графика у = f(x) на

вектор р (0; b)

р(0;-1)

-f(x)

Симметрия относительно

оси абсцисс

f(-x) Симметрия относительно

оси ординат

f(x)

Часть графика в верхней

полуплоскости и на оси

абсцисс без изменения, а

вместо части графика в

нижней полуплоскости

строим симметричную ей

относительно оси Ох

f(x)

Часть графика в первой полуплоскости и на оси ординат без

изменения, а вместо части в левой полуплоскости строим

симметричную правой относительно оси Оу

При k1 сжатие к точке (0;0) вдоль оси абсцисс в k раз;

при 0k1 растяжение от точки (0;0) вдоль оси абсцисс в 1/k

раз

f(kx)

(k0)

kf(x)

(k0)

При k1 растяжение от точки (0;0) вдоль оси ординат в k раз;

при 0k1 сжатие к точке (0;0) вдоль оси ординат в 1/k раз

п.2 Свойства функции.

1) Область определения функции и область значений функции.

Описано в п.1.

2) Нули функции.

Нуль функции – такое значение аргумента, при котором значение функции равно нулю.

3) Промежутки знакопостоянства функции.

Промежутки знакопостоянства функции – такие множества значений аргумента, на которых значения

функции только положительны или только отрицательны.

4) Монотонность функции.

Определение: Функцию у = f(х) называют возрастающей на множестве X с D(f), если для любых двух точек х1 и х2 множества X, таких, что х1 < х2, выполняется неравенство f(х1 < f(х2).

Определение: Функцию у = f(х) называют убывающей на множестве X с D(f), если для любых

монотонность двух точек х1 и х2 множества X, таких, что х1 < х2, функции выполняется неравенство f(x1)

> f(x2).

На практике удобнее пользоваться следующими формулировками: функция возрастает, если

большему значению аргумента соответствует большее значение функции; функция убывает, если

большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Обычно термины «возрастающая функция», «убывающая функция» объединяют общим названием

монотонная функция, а исследование функции на возрастание или убывание называют исследованием

функции на монотонность.

Отметим еще одно обстоятельство: если функция возрастает (или убывает) в своей естественной

области определения, то обычно говорят, что функция возрастающая (или убывающая) — без указания

числового множества X.

Рис.8.

http://school.xvatit.com/index.php?title=%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE%D0%B2%D1%96_%D0%BD%D0%B5%D1%80%D1%96%D0%B2%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%96._%D0%9E%D1%81%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D0%BD%D1%96_%D0%B2%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%B8%D0%B2%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%96_%D1%87%D0%B9%D1%81%D0%BB%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%85_%D0%BD%D0%B5%D1%80%D1%96%D0%B2%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%B9._%D0%9F%D0%BE%D1%87%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%B5_%D0%B4%D0%BE%D0%B4%D0%B0%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F_%D1%96_%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F_%D0%BD%D0%B5%D1%80%D1%96%D0%B2%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%B9._%D0%9F%D1%80%D0%B5%D0%B7%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%B0%D1%86%D1%96%D1%8F_%D1%83%D1%80%D0%BE%D0%BA%D1%83

http://school.xvatit.com/index.php?title=%D0%9E%D1%81%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D0%BF%D0%BE%D0%BD%D1%8F%D1%82%D0%B8%D1%8F


Пример 5. Исследовать на монотонность функции:

а) у = х3 + 2; б) у = 5 - 2х.

Решение: а) Возьмем произвольные значения аргумента х1 и х2 и пусть х1<х2. Тогда, по свойствам числовых

неравенств, будем иметь:

3

2

3

1 xx ;

22 3

2

3

1 xx .

Последнее неравенство означает, что f(х1) < f(х2). Итак, из х1 <х2 следует f{х1) < f(х2), а это означает, что

заданная функция возрастает (на всей числовой прямой).

б) Если х1 < х2, то -2х1 > -2х2;

5 - 2x1 > 5 - 2х2, т.е. f(х1) > f(х2).

Итак, из х1 < х2 следует f(х1) > f(х2), а это означает, что заданная функция убывает (на всей числовой

прямой).

5) Четность (нечетность) функции.

Четная функция - функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и

для любого х из области определения выполняется равенство f(-x) = f(x). График четной функции симметричен относительно оси ординат.

Нечетная функция - функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат

и для любогох из области определения справедливо равенство f(-x) = - f(x). График нечетной функции

симметричен относительно начала координат.

Пример 6. Исследовать на четность и нечетность функцию: 1) 1

232

24

x

xxy ; 2)

43 2

3

x

xxy ; 3)

34

12

3

x

xy , определенную на всей числовой оси.

Решение: Подставляем на место аргумента (-х):

1)

xyx

xx

x

xxxy

1

23

1

232

24

2

24

- функция четная.

2)

xyx

xx

x

xx

x

xxxy

4343432

3

2

3

2

3

- функция нечетная.

3) 34

1

342

3

2

3

x

x

x

xxxy - функция не является ни четной, ни нечетной.

6) Ограниченная и неограниченная функции.

Функция называется ограниченной, если существует такое положительное число M, что |f(x)| ≤ M для всех

значений x . Если такого числа не существует, то функция - неограниченная.

Определение: Функцию у = f(х) называют ограниченной снизу на множестве X =D (f), если все значения

функции на множестве X больше некоторого числа (иными словами, если существует число m такое, что

для любого значения х є X выполняется неравенство f(х) >m).

Определение: Функцию у = f(х) называют ограниченной сверху на множестве X= D (f), если все значения

функции меньше некоторого числа (иными словами, если существует число М такое, что для любого

значения х є X выполняется неравенство f(х) < М).

Если множество X не указано, то подразумевается, что речь идет об ограниченности функции снизу

или сверху во всей области определения.

Если функция ограничена и снизу, и сверху, то ее называют ограниченной.

Ограниченность функции легко прочитывается по ее графику. Если функция ограничена снизу, то ее

график целиком расположен выше некоторой горизонтальной прямой у = m (рис. 10). Если функция

http://school.xvatit.com/index.php?title=%D0%97%D0%B0%D0%B2%D0%B4%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F_%D0%B4%D0%BE_%D1%83%D1%80%D0%BE%D0%BA%D1%83:_%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE%D0%B2%D1%96_%D0%BD%D0%B5%D1%80%D1%96%D0%B2%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%96._%D0%9E%D1%81%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D0%BD%D1%96_%D0%B2%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%B8%D0%B2%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%96_%D1%87%D0%B9%D1%81%D0%BB%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%85_%D0%BD%D0%B5%D1%80%D1%96%D0%B2%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%B9._%D0%9F%D0%BE%D1%87%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%B5_%D0%B4%D0%BE%D0%B4%D0%B0%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F_%D1%96_%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F_%D0%BD%D0%B5%D1%80%D1%96%D0%B2%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%B9.

http://school.xvatit.com/index.php?title=%D0%97%D0%B0%D0%B2%D0%B4%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F_%D0%B4%D0%BE_%D1%83%D1%80%D0%BE%D0%BA%D1%83:_%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE%D0%B2%D1%96_%D0%BD%D0%B5%D1%80%D1%96%D0%B2%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%96._%D0%9E%D1%81%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D0%BD%D1%96_%D0%B2%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%B8%D0%B2%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%96_%D1%87%D0%B9%D1%81%D0%BB%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%85_%D0%BD%D0%B5%D1%80%D1%96%D0%B2%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%B9._%D0%9F%D0%BE%D1%87%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%B5_%D0%B4%D0%BE%D0%B4%D0%B0%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F_%D1%96_%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F_%D0%BD%D0%B5%D1%80%D1%96%D0%B2%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%B9.

http://school.xvatit.com/index.php?title=%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE%D0%B2%D1%96_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%BC%D1%96%D0%B6%D0%BA%D0%B8._%D0%9E%D0%B1%27%D0%B5%D0%B4%D0%BD%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F_%D1%82%D0%B0_%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B5%D1%80%D1%96%D0%B7_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%85_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%BC%D1%96%D0%B6%D0%BA%D1%96%D0%B2

http://school.xvatit.com/index.php?title=%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE%D0%B2%D1%96_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%BC%D1%96%D0%B6%D0%BA%D0%B8._%D0%9E%D0%B1%27%D0%B5%D0%B4%D0%BD%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F_%D1%82%D0%B0_%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B5%D1%80%D1%96%D0%B7_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%85_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%BC%D1%96%D0%B6%D0%BA%D1%96%D0%B2

http://school.xvatit.com/index.php?title=%D0%9F%D1%80%D0%B8%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D0%B4%D0%B8_%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84%D1%96%D0%BA%D1%96%D0%B2_%D0%B7%D0%B0%D0%BB%D0%B5%D0%B6%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%B9_%D0%BC%D1%96%D0%B6_%D0%B2%D0%B5%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D0%BC%D0%B8

ограничена сверху, то ее график целиком расположен ниже некоторой горизонтальной прямой у = M (рис.

10).

Рис.9.

Пример 6. Исследовать на ограниченность функцию 29 xy .

Решение: С одной стороны, вполне очевидно неравенство 09 2 x (по определению квадратного

корня 0a ). Это означает, что функция ограничена снизу. С другой стороны, имеем 99 2 x , а

потому 39 2 x .

Это означает, что функция ограничена сверху. А теперь посмотрите на график заданной функции.

Ограниченность функции и сверху, и снизу прочитывается по графику достаточно легко.

Рис.10.

7) Наибольшее и наименьшее значения функции.

Определение: Число m называют наименьшим значением функции у = f(х) на множестве X D(f), если:

1) в Х существует такая точка х0, что f(х0) = m;

2) для всех x из X выполняется неравенство m>f(х0).

Определение: Число М называют наибольшим значением функции у = f(x) на множестве XD(f), если:

1) в Х существует такая точка х0, что f(x0) = М;

2) для всех x из X выполняется неравенство 0xfxf .

Наименьшее значение функции обозначается символом miny , а наибольшее — символом maxy .

Если множество X не указано, то подразумевается, что речь идет об отыскании наименьшего или

наибольшего значения функции во всей области определения.

Достаточно очевидны следующие полезные утверждения:

1) Если у функции существует miny , то она ограничена снизу.

2) Если у функции существует maxy , то она ограничена сверху.

3) Если функция не ограничена снизу, то miny не существует.

4) Если функция не ограничена сверху, то maxy не существует.

Пример 7. Найти наименьшее и наибольшее значения функции 29 xy .

Решение: Достаточно очевидно, особенно если прибегнуть к помощи графика функции (рис. 11), что miny =

0 (этого значения функция достигает в точках х = -3 и х = 3), а maxy = 3 (этого значения функция достигает

в точке х = 0.

8) Периодичность функции.


http://school.xvatit.com/index.php?title=%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE_%D0%B4%D0%B5%D0%B9%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D1%85_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%B5%D0%BB

Функция f(x) - периодическая, если существует такое отличное от нуля число T, что для любого x из

области определения функции имеет место: f(x+T) = f(x). Такое наименьшее число называется периодом функции. Все тригонометрические функции являются периодическими (тригонометрические формулы).

Изучив данные свойства функции Вы без проблем сможете исследовать функцию и по свойствам функции сможете построить график функции.

п.3 Обратные функции. График обратной функции.

Если функция задана уравнением вида 0, yxf , не разрешенным относительно у, то она при

некоторых условиях называется неявной функцией аргумента х.

Пусть задана некоторая функция xfy , которая каждому элементу из множества fD

ставится в соответствие один элемент из множества fE . Если обратное соответствие есть тоже функция,

то есть, каждому значению fEy соответствует единственное значение fDx , то ее называют

обратной функцией по отношению к функции xf .

В этом случае соотношение xfy определяет х как неявную функцию от у. если это

соотношение разрешимо относительно х, то получим явное выражение обратной функции: ygx .

Если функция g является обратной по отношению к функции f, то и функция f является обратной по

отношению к функции g, т.е. эти две функции – взаимно-обратные.

Одна и та же кривая xfy представляет собой график функции xfy и график обратной

функции ygx (если она существует), но в последнем случае значения аргумента рассматриваются на

оси Оу, а значения функции – на оси Ох.

Если придерживаться стандартных обозначений и независимую переменную обозначать через х, а

функцию – через у, то функция, обратная по отношению к xfy , запишется в виде ygx . В этом

случае график функции ygx симметричен графику функции xfy относительно прямой у=х –

биссектрисы первого и третьего координатных углов.

Для взаимно- обратных функций область определения прямой и обратной функции совпадает.

Пример 8. Найти функцию обратную для 23 xy .

Решение: Областью определения и областью значений этой функции является множество действительных

чисел. Выразим х через у (другими словами, решим уравнение относительно х).

3

2

3

1 yx - это и есть обратная функция, только здесь у – аргумент, а х– функция этого аргумента.

Переставив буквы х и у, будем писать 3

2

3

1 xy .

Таким образом, 23 xy и 3

2

3

1 xy - взаимно обратные функции.

Приведем графическую иллюстрацию взаимно обратных линейных функций.

Рис.11.

Очевидно, что графики симметричны относительно прямой у=х (биссектрисы первого и третьего

координатного угла).

п.4.Арифметические операции над функциями.

http://www.webmath.ru/poleznoe/trig_formules.php

Пусть функции xfy и xy имеют одну и ту же область определения, т. е. пусть DfD .

Определение: Сумма, разность произведение и частное функций xf и xq суть функции,

определенные, соответственно, правилами:

xxfy ; xxfy ;

xxfy ; x

xfy

, где 0x

И заданные на множестве DfD , за исключением функции x

xf

, которая не определена в тех

точках х, где 0x .

Пример 9. Даны функции 42 2 xxf , 1

1

xx . Найти функции: 1) xf2 ; 2) xxf ; 3)

xxf 23 ; 4) xxf ;

5) x

xf

.

Решение: 1) 844222 22 xxxf .

2)

1

14422

1

142

232

x

xxx

xxxxf

1

5422 23

x

xxx.

3) 1

101266

1

242323

232

x

xxx

xxxxf .

4) 1

42

1

142

22

x

x

xxxxf .

5)

1421

142 22

xx

xx

x

xf

.

Пример 10. Пусть xxxf 23 3 и x

x1

. Найти: 1) 3f ; 2) 2f .

Решение: 1) 3

172

3

19813

1233 3

xxxf .

2) 102

12283

1232

2

3

xxxxf .

п.5 Сложная функция.

Если функция у зависит от переменной u, т.е. ufy , Uu , а u в свою очередь, является какой-либо

функцией от независимой переменной х, т.е. xgu , Xx , то переменная у называется функцией от

функции (или сложной функцией) от х записывается в виде xguufY , или xgfy .

Область определения сложной функции – это множество тех значений Xx , для которых функция

xg определена, кроме того, значения u принадлежат области определения функции ufy .

Пример 11. Функция 322 xxy является сложной. Здесь uy и 322 xxu .

Функция 322 xxu определена на всей числовой прямой, т.е. Rx . В область определения функции

xfy входят лишь те значения х, для которых подкоренное выражение не отрицательно

0322 xx , поэтому 1x и 3x . Следовательно, ;31;D . На интервале 3;1

заданная функция не существует.

Из определения следует, что сложная функция xgfy может быть представлена в виде

цепочки простых функций: ufy , xgu . Переменную u принято называть промежуточным

аргументом в отличие от независимой переменной х.

Пример 12. Пусть 1

2

x

xxf . Требуется найти функцию

2

1

t

tfy .

Решение: Чтобы найти функцию f, нужно в обе части равенства 1

2

x

xxf вместо переменной х

подставить 2

1

t

t :

12

22

1

22

11

12

12

2

2

2

2

2

2

tt

t

t

tt

t

t

t

tt

t

t

tf .

Пример 13. Найти вид сложной функции tgfy , где 2

1

x

xxf , 12 ttgx и ее область

определения.

Решение: Заметим, что область определения функции tg есть множество R действительных чисел.

11

2

1

1

21

11

2

1 2

2

2

2

2

tt

t

t

t

t

t

tg

tgtgfy .

Из этого выражения видно, что функция tgfy не определена в точках 1t и 1t .

Следовательно, ее область определения состоит из объединения трех подмножеств множества R:

;11;11;tgfD .


Постройте в одной системе координат (разными цветами):

1) 2xy и 2

25 xy ;

2) xy и 3 xy ;

3) xy 2log и 1log 2 xy ;

4) 2 xy и 2 xy ;

5) xy cos ; xy cos2

1 и xy

3

1cos2 ;

6) xy sin ; xy sin3 и xy 2sin2

1



Тема 43. Функции, их свойства и графики














Тема 44. Примеры функциональных зависимостей в реальных процессах и явлениях














Тема 45. Правильные многогранники

Цель: Закрепление обучающимися материала о правильных многогранниках и формирование у них

пространственного воображения.


Рекомендации по выполнению работы: 1. Изучите материал по теме «Правильные многогранники»

2. Выполните правильный пятиугольник с ребром 5см (шаблон

развертки додекаэдра)

3. Начертите 12 таких пятиугольников, виды разверток предлагается

3. Вырежьте данную развертку

4. Склейте полученную модель

Додекаэдр

(шаблоны разверток октаэдра, икосаэдра, тетраэдра, куба)

Октаэдр Икосаэдр

Тетраэдр Гексаэдр (куб)

Форма отчетности: выполненная модель


Тема 46. Призма и её элементы.

Цель: закрепить знания по данной теме.













Тема 47. Пирамида и её элементы














Тема 48. Цилиндр и его элементы














Тема 49. Конус и его элементы














Тема 50. Платоновы тела














Тема 51. Правильные и полуправильные многогранники














Тема 52. Архимедовы тела














Тема 53. Применение многогранников














Тема 54. Многогранники, описанные около сферы














Тема 55. Сечение куба плоскостью














Тема 56. Выпуклые и невыпуклые многогранники














Тема 57. Правильные пирамиды














Тема 58. Тела вращения и их применение














Тема 59. Применение многогранников и тел вращения














Тема 60. Формулы дифференцирования

Цель: закрепить знания по данной теме.













Тема 61. Производная и ее применение.

Цель: Закрепление обучающимися материала по нахождению производных функций и их применению.


Рекомендации по выполнению внеаудиторной самостоятельной работы:




Краткий теоретический материал:

Пример 1.Найдите производную функции y = .

Решение:

y' = = = = =

=

Пример 2. Найдите точку максимума функции y = x3 – 3x + 2.

Решение:

y' = 3x2 – 3, 3x

2 – 3 = 0 при x = 1.

При переходе через стационарную точку х = 1 производная сменила знак с “+” на “–”, значит х = –1

точка max.

Ответ: (1).

Пример 3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции

f(x) = x5 – x

3 + x + 2 на отрезке [– 1; 1].

Решение:

f( – 1) = (-1)5 – (-1)

3 + (-1) + 2 = -1 + 1 – 1 + 2 = 1, f(1) = 15 – 13 + 1 + 2 = 3.

f '(x) = 5x4 – 3x

2 + 1, D<0, следовательно уравнение 5x

4 – 3x

2 + 1= 0 не имеет действительных корней,

т.е. стационарных точек нет, следовательно наибольшее и наименьшее значение функции находим на

концах отрезка.

f( – 1) = 1 – наименьшее значение, f(1) = 3 – наибольшее значение.

Ответ: f( – 1) = 1 – наименьшее значение f(x) на [– 1; 1],

f(1) = 3 – наибольшее значение.

f(1) = 3 – наибольшее значение.


1. Найти значение производной при заданном значении аргумента.

1) f(x)=4x3+6x+3; x0=1 2) f(x)=x

2- 4; x0=4

3) f(x)= ; x0=0 4) f(x)=x sinx; x0=

5)f(x)=sin2x; x0= 6) f(x)= 2x+cos2x; x0 =

2. Задачи о касательной.

1) Составьте уравнения касательной к графику функции f(x)=x2-x

3, проходящей через точку графика с

абсциссой x0 = -1.

2) Составьте уравнения касательных к графику функции y=2x-x2 в точках графика ординатой y0= -3

3) Определить угол, который составляет с осью ох касательная к графику функции у=2х2 в точках с

абсциссами х0= и х0=1.

4) Найти точки, в которых касательные к кривой у=х3+х-2 параллельны прямой у = 4х-1

3. Задачи о скорости.

1) Закон прямолинейного движения материальной точки задан зависимостью S(t)=5t3-8t+2, где s и t

измеряются соответственно в метрах и секундах. Найти скорость и ускорение в момент времени

t=2с.

4. Исследование на экстремум.

1) Найти точки экстремума функции у = х3- 3 х

2 + 18

2) Найти наименьшее и наибольшее значение функции у=2х3 + 3х

2 – 12х на отрезке [-4;2].

3) Исследовать функцию у=3х - х3 и построить ее график.

4) Исследуйте функцию y=6x5-10x

3 [y=5x

3 -3x

2 ] на монотонность и экстремумы и постройте ее

график.



Тема 62. Геометрический и физический смысл производной














Тема 63. Вторая производная, её геометрический и физический смысл














Тема 64. Вычисление объемов Цель: Закрепление умений и навыков при решении задач на вычисление объемов.



1. Рассмотрите предложенные задачи.


Задача 1. Образующая конуса, равная 12см, наклонена к плоскости основания под углом . Найдите

объем конуса, если = 300.

Дано: конус, SA=SB=12 см, SBO=300

Найти:V осн

Решение: Vкон=

1. SOB – прямоугольный, в нем катеты ОВ, гипотенуза SB.

2. SB

OB= cos30

0 OB = SB = 12 ,

ОВ = R (радиус основания)

3. , высота

4.

Ответ: 216

Задача 2. Найдите объем правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой, равны 4, а

высота равна .

Решение.

Объем пирамиды равен ,

где – площадь основания, а H – высота пирамиды. Площадь

равностороннего треугольника в основании,

Тогда объем пирамиды равен

О т в е т : 8.


1. В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 3 , а боковое ребро – 5 см.

Вычислить объем пирамиды.

2. . В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 6, боковое ребро равно 10. Найдите ее

объем.

3. Конус описан около правильной четырехугольной пирамиды со стороной основания 4 и высотой 6.

Найдите его объем.



Тема 65. Основные приёмы решения уравнений














Тема 66. Основные методы решения систем уравнений














Тема 67. Решение систем уравнений

Цель: Закрепление математических навыков и умений при решение систем уравнений



1. Рассмотрите предложенные примеры.


Рассмотрим несколько способов решения систем:

п.1 Решение системы линейных уравнений способом подстановки

Пример

1) Выразить в одном из уравнений переменную. Например, выразим y в первом уравнении ,

получим систему:

2) Подставляем во второе уравнение системы вместо y выражение 3х-7:

3) Решаем полученное второе уравнение:

4) Полученное решение подставляем в первое уравнение системы:

Система уравнений имеет единственное решение: пару чисел x=1, y=-4. Ответ: (1; -4), записывается в

скобках, на первой позиции значение x, на второй - y.

п.2.Решение системы линейных уравнений способом сложения

Решим систему уравнений из предыдущего примера методом сложения.

1) Преобразовать систему таким образом, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали

противоположными. Умножим первое уравнение системы на "3".

2) Складываем почленно уравнения системы. Второе уравнение системы (любое) переписываем без

изменений.

Полученное решение подставляем в первое уравнение системы:

Ответ (1;-4)

п.3.Решение системы линейных уравнений графическим способом

Графическое решение системы уравнений с двумя переменными сводится к отыскиванию координат общих

точек графиков уравнений.

Графиком линейной функции является прямая. Две прямые на плоскости могут пересекаться в одной

точке, быть параллельными или совпадать. Соответственно система уравнений может: а) иметь

единственное решение; б) не иметь решений; в) иметь бесконечное множество решений.

2) Решением системы уравнений является точка (если уравнения являются линейными) пересечения

графиков.

Графическое решение системы а)

Ответ (1;-4)

Решить систему уравнений

б)

Решение.

1) Построим график уравнения х2+ у2 = 16 — окружность с центром в начале координат и радиусом 4 (рис.

39).

2) Построим график уравнения у - х = 4. Это прямая, проходящая через точки (0; 4) и (-4; 0) (рис. 39).

3) Окружность и прямая пересекаются в точках А и В (рис. 39). Судя по построенной геометрической

модели, точка A имеет координаты А(-4; 0), а точка В — координаты В(0; 4). Проверка показывает, что на

самом деле пара (-4; 0) и пара (0; 4) являются решениями обоих уравнений системы, а значит, и решениями

системы уравнений. Следовательно, заданная система уравнений имеет два решения: (-4; 0) и (0; 4).

Ответ: (-4; 0); (0; 4)

y

4

x

-4

п.4 Метод введения новых переменных

Замена переменных может привести к решению более простой системы уравнений, чем исходная.

Рассмотрим решение системы Введем замену , тогда

Переходим к первоначальным переменным


1. Решить методом подстановки

а) б)

2.Решить методом сложения

а) б)

3.Решить графическим методом


СПИСОК УЧЕБНОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

Основная литература

1. Башмаков, М.И. Математика [Текст]: учебник для НПО и СПО/ М.И. Башмаков. – 6-е изд.,

стер. – М.: Академия, 2019. – 256с.

2. Башмаков, М.И. Математика [Текст]: сборник задач/ М.И. Башмаков. – 4-е изд., стер. – М.:

Академия, 2017. – 416с.

Дополнительная литература

1. Колмогоров А.Н. и др. Алгебра и начала анализа. 10 (11) кл.[Учебник] / А. Н. Колмлгоров, –

М.: Просвещение, 2008. – 384 с.

2. Погорелов, А.В. Геометрия 10 - 11 кл. [Учебник] / А.В. Погорелов, - М.: Просвещение,

2014. – 175 с.

3. Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. Геометрия (базовый и профильный уровни).

10—11 кл. 2005.

4. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия (базовый и профильный

уровни). 10-11. – М., 2005.

5. Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федерова Н.Е. и др. под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала

математического анализа (базовый и профильный уровни). 10 кл. – М., 2005.

6. Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др. Алгебра и начала математического

анализа (базовый и профильный уровни). 11 кл. – М., 2006.

7. Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др. Алгебра и начала математического

анализа (базовый и профильный уровни). 10 кл. – М., 2006.

8. Алимов Ш.А. и др. Алгебра и начала анализа. 10 (11) кл.[Учебник] – М., 2000.

9. Атанасян Л.С. и др. Геометрия. 10 (11) кл. – М., 2000.

10. Башмаков М.И. Алгебра и начала математического анализа (базовый уровень). 10 кл. – М.,

2005.

11. Башмаков М.И. Алгебра и начала математического анализа (базовый уровень). 11 кл. – М.,

2005.

12. Башмаков М.И. Математика: 10 кл. Сборник задач: учеб. пособие. – М., 2004.

13. Колягин Ю.М. и др. Математика (Книга 1). – М., 2003.

14. Колягин Ю.М. и др. Математика (Книга 2). – М., 2003.

15. Луканкин Г.Л., Луканкин А.Г. Математика. Ч. 1: учебное пособие для учреждений

начального профессионального образования. – М., 2004.

16. Пехлецкий И.Д. Математика: учебник. – М., 2003.

17. Смирнова И.М. Геометрия. 10 (11) кл. – М., 2000.

18. Самостоятельные и контрольные работы по алгебре и началам анализа для 10-11 классов.

Л.П. Ершова, 4-е изд., испр. – М.: Илекса. -2008.

19. Сборник заданий для проведения письменного экзамена по алгебре за курс основной школы

.9 класс/ Л.В. Кузнецова, 9-е изд., стереотип. - М.; Дрофа, 2004.

20. Сборник заданий для подготовки и проведения письменного экзамена по математике (курс

А) и алгебре и началам анализа (курс В) за курс средней школы 11 класс / Г.В. Дорофеев, 10-е

изд., стереотип. - М.; Дрофа, 2007.

21. Комплект контролирующих заданий тестового типа для определения уровня подготовки

учащихся профильных учебных заведений по геометрии. Л.Ф. Моржикова , г.Томск, 1996г

учебно-методический центр.

22. Геометрия. Тесты. 10-11 кл.: Учебно-метод. пособие. – 3-е изд. – М.: Дрофа, М. 1999.

23. Дидактические материалы по геометрии для 10 класса / Б.Г. Зив – 5-е изд. - М.: Просвещение,

2002.

24. Математика. Пособие для подготовки к ЕГЭ и централизованному тестированию: Учебно-

методическое пособие / Л.Д. Лаппо, М.А. Попов. – М.: Издательство «Экзамен», 2004.

25. Единый государственный экзамен: математика: контрол.-измерит. материалы: 2006-2007 –

М.: Просвещение; СПб.: Просвещение, 2007.

26. Единый государственный экзамен 2002: Контрольно-измерительные материалы: Математика/

Л.О. Денищева, - М.: Просвещение, 2002

27. Четырехзначные математические таблицы: Для сред.шк. – 56-е изд. – М.: Просвещение, 1988.

28. Устные занятия по математике в старших классах/ Пособие для учителя. – М.: АО

«Столетие», 1997. А.Я. Кононов

29. Дидактические игры на уроках математики: Кн. Для учителя . - М.: Просвещение, 1990. В.Г.

Коваленко

30. Из опыта обучения геометрии в старших классах (10кл). – М.: Просвещение, 1981.

31. Контроль на уроках математики: Пособие для учителя. – Мн.: Нар.асвета, 1986. Л.С.

Скобелев

32. Оценка качества подготовки выпускников средней (полной) школы по математике / Г.В.

Дорофеев - М.: Дрофа, 2002.

Интернет-ресурсы

1. http://www.uic.ssu.samara.ru Путеводитель "В мире науки" для школьников

2. http://fmi.asf.ru Электронная хрестоматия по методике преподавания математики

3. http://methmath.chat.ru Методика преподавания математики

4. http://mat-game.narod.ru Математическая гимнастика

5. http://www.zaba.ru Математические олимпиады и олимпиадные задачи

6. http://www.mccme.ru Московский центр непрерывного математического образования

7. http://www.exponenta.ru Математический сайт

8. http://zadachi.mccme.ru Информационно-поисковая система "Задачи"

9. http://alglib.sources.ru Библиотека алгоритмов Подборка ссылок на математические ресурсы

Интернета.

10. http://www.vspu.ac.ru/de/ Телекоммуникационные викторины для школьников

11. http://dondublon.chat.ru/math.htm Популярная математика

12. http://www.college.ru/mathematics/ Открытая математика

13. http://ege.yandex.ru/ ГИА

14. pedsovet.su Интерактивный тест-тренажер для подготовки к ГИА, ЕГЭ по математике.

15. www. fcior. edu. ru (Информационные, тренировочные и контрольные материалы).

16. www.school-collection. edu. ru (Единая коллекции цифровых образовательных ресурсов)

http://infourok.ru/site/go?href=http%3A%2F%2Fwww.uic.ssu.samara.ru%2F

http://infourok.ru/site/go?href=http%3A%2F%2Ffmi.asf.ru%2F

http://infourok.ru/site/go?href=http%3A%2F%2Ffmi.asf.ru%2F

http://infourok.ru/site/go?href=http%3A%2F%2Fmethmath.chat.ru%2F

http://infourok.ru/site/go?href=http%3A%2F%2Fmat-game.narod.ru%2F

http://infourok.ru/site/go?href=http%3A%2F%2Fwww.zaba.ru%2F

http://infourok.ru/site/go?href=http%3A%2F%2Fwww.mccme.ru%2F

http://infourok.ru/site/go?href=http%3A%2F%2Fwww.exponenta.ru%2F

http://infourok.ru/site/go?href=http%3A%2F%2Fzadachi.mccme.ru%2F

http://infourok.ru/site/go?href=http%3A%2F%2Falglib.sources.ru

http://infourok.ru/site/go?href=http%3A%2F%2Fwww.vspu.ac.ru%2Fde%2F

http://infourok.ru/site/go?href=http%3A%2F%2Fwww.vspu.ac.ru%2Fde%2F

http://infourok.ru/site/go?href=http%3A%2F%2Fdondublon.chat.ru%2Fmath.htm

http://infourok.ru/site/go?href=http%3A%2F%2Fwww.college.ru%2Fmathematics%2F

http://infourok.ru/site/go?href=http%3A%2F%2Fege.yandex.ru%2F

http://infourok.ru/site/go?href=http%3A%2F%2Fpedsovet.su%2F

Documents

F l h ^ b q k d b d h f g ^ Z p b b по организации ... · H j ] Z g b a Z p b \ g _ Z m ^ b l h j g h c Z f h k l h y l _ e v g h c [ h l u i h [ g h c b k p b i e b