Законысохранения

План1. Введение

2. Закон сохранения импульса

3. Движение частицы переменной массы

4. Работа и мощность

5. Потенциальная энергия

6. Механическая энергия частицы

7. Закон сохранения энергии

8. Абсолютно упругий и неупругий удар

9. Закон сохранения момента импульса

Интегралы движения

1. Энергия

2. Импульс

3. Момент импульса

2. Закон сохранения импульса

𝑑𝒑

𝑑𝑡= 𝑭 𝑑𝒑 = 𝑭𝑑𝑡

𝒑𝟐 − 𝒑𝟏 =

0

𝑡

𝑭𝑑𝑡

𝒑𝟐 − 𝒑𝟏 = 𝑭∆𝑡

Закон изменения импульса

𝒑𝟐 − 𝒑𝟏 = 𝑭∆𝑡

Приращение импульса частицы за любой

промежуток времени равно импульсу

действующей на нее силы за то же время

𝒑𝟐 − 𝒑𝟏 = 𝑭внеш∆𝑡

Приращение импульса системы равно импульсу

результирующей всех внешних сил за

соответствующий промежуток времени

Закон сохранения импульса

Замкнутая система – система, на которую не

действуют внешние силы.

В инерциальной системе отсчета импульс

замкнутой системы частиц остается постоянным,

т. е. не меняется со временем

𝒑 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 𝒑𝟏 = 𝒑𝟐

3. Движение частиц переменной массы

Примеры движения тел с переменной массой

Уравнение Мещерского

формула и формулировка

Реактивная сила

определение и формула

4. Работа и мощность

Элементарная работа силы δA

равна скалярному произведению

силы F на перемещение dr

𝛿𝐴 = 𝑭 ∙ 𝑑𝒓 = 𝐹 ∙ 𝑑𝑠 ∙ cos 𝛼

𝐴 =

1

2

𝑭 ∙ 𝑑𝒓

Работа

𝐴 = 𝑭 ∙ 𝑺 = 𝐹 ∙ 𝑆 ∙ cos 𝛼

𝐴 =

1

2

𝑭 ∙ 𝑑𝒓

Геометрический смысл работы

Когда говорят о работе (или мощности), то необходимо в

каждом конкретном случае четко указывать или

представлять себе, работа какой именно силы (или сил)

имеется в виду

Мощность - это работа, совершаемая силой за

единицу времени

𝑁 =𝑑𝐴

𝑑𝑡=𝑭𝑑𝒓

𝑑𝑡

𝑑𝒓

𝑑𝑡= 𝒗 𝑁 = 𝑭 ∙ 𝒗

𝐴 =

1

2

𝑁𝑑𝑡

Единица мощности в системе СИ - Ватт, Вт

Внесистемная единица мощности – лошадиная сила,

л.с.

1 л.с. = 735,49875 Вт

Лошадиная сила определяется как мощность, затрачиваемая

для поднятия груза массой в 75 кг на высоту 1 метр за 1

секунду при стандартном ускорении свободного падения

(9,80665 м/с²)

Мощность

Запорожская АЭС, крупнейшая в Европе 6 ГВт

Красноярская ГЭС, крупнейшая в России 6 ГВт

Гусиноозерская ГРЭС 1 100 МВт

Улан-Удэнская ТЭЦ-1 120 МВт

Двигатель «Камаз» 740.11-240 176 кВт

Чайник электрический, 1,7л 2,2 кВт

Электроплита 1,7 кВт

Лампа накаливания 100 Вт

Паяльник 25 Вт

Коэффициент полезного действия (КПД) –

отношение полезной работы к затраченной

(полученной системой)

𝜂 =𝐴полез𝐴затр

∙ 100%

КПД есть безразмерная величина

5. Потенциальная энергия

Силовым полем (полем сил) называют область

пространства, в каждой точке которого на помещенную

туда частицу действует сила, закономерно меняющаяся

от точки к точке.

Примеры

Поле силы тяжести

Поле сил сопротивления в потоке жидкости

Электрическое поле

Стационарное силовое поле, в котором

работа силы поля на пути между двумя

любыми точками не зависит от формы

пути, а зависит только от положения этих

точек, называется потенциальным,

а сами силы — консервативными

𝐴21(𝑏)= −𝐴12

𝑏

𝐴12(𝑎)+ 𝐴21

(𝑏)= 𝐴12

(𝑎)− 𝐴12

𝑏= 0

𝐴𝑛0 =

𝑛

0

𝑭 ∙ 𝑑𝒓 = 𝑈 𝒓

𝑈 𝒓 – потенциальная энергия

– энергия характеризующая

способность тела совершать работу в

силовом поле

𝐴12 = 𝐴10 + 𝐴02 = 𝐴10 − 𝐴20

𝐴𝑛0 =

𝑛

0

𝑭 ∙ 𝑑𝒓 = 𝑈1 − 𝑈2

Приращением величины 𝑥 называют разность конечного

и начального значений этой величины:

∆𝑥 = 𝑥2 − 𝑥1

Убылью величины 𝑥 называют разность ее начального и

конечного значений:

𝑥1 − 𝑥2 = −∆𝑥

𝐴консерв = −∆𝑈

Потенциальная энергия тела

В поле упругой силы (потенциальная

энергия упруго деформированного тела) 𝑈 =𝑘𝑟2

2

В поле точечной массы 𝑈 = −𝐺𝑚1𝑚2𝑟

В однородном поле сил тяжести 𝑈 = 𝑚𝑔ℎ

Потенциальная энергия — это функция, которая

определяется с точностью до прибавления некоторой

произвольной постоянной

𝐴𝑛0 =

𝑛

0

𝑭 ∙ 𝑑𝒓 = 𝑈1 − 𝑈2

Потенциальную энергию следует относить не к

частице, а к системе взаимодействующих между

собой частицы и тел, вызывающих силовое поле

Связь потенциальной энергии и силы поля

𝐴𝑛0 =

𝑛

0

𝑭 ∙ 𝑑𝒓 = 𝑈1 − 𝑈2

𝑭 ∙ 𝑑𝒓 = 𝑑𝐴12 = 𝑈1 − 𝑈2 = −𝑑𝑈

𝑭 = −𝑑𝑈

𝑑𝒓= −

𝜕𝑈

𝜕𝑥∙ 𝒊 +

𝜕𝑈

𝜕𝑦∙ 𝒋 +

𝜕𝑈

𝜕𝑧∙ 𝒌 = −𝛻𝑈 = −𝐠𝐫𝐚𝐝𝑼

Сила поля равна со знаком минус градиенту

потенциальной энергии частицы в данной точке поля

𝛻 = 𝒊𝜕

𝜕𝑥+ 𝒋 ∙

𝜕

𝜕𝑦+ 𝒌 ∙

𝜕

𝜕𝑧

Градие́нт — вектор, своим направлением

указывающий направление наискорейшего

возрастания некоторой величины скалярного поля,

а по величине (модулю) равный быстроте роста

этой величины в этом направлении.

6. Механическая энергия

𝑑𝐴 = 𝑭𝑑𝒓 = 𝑚 ∙𝑑𝒗

𝑑𝑡∙ 𝑑𝒓 = 𝑚 ∙ 𝒗 ∙ 𝑑𝒗 = 𝑑

𝑚𝑣2

2

𝐸кин =𝑚𝑣2

2Кинетическая энергия – энергия, зависящая от

скоростей движения тел системы

𝐸кин 1 − 𝐸кин 2 = 𝐴12

Приращение кинетической энергии частицы на

некотором перемещении равно алгебраической сумме

работ всех сил, действующих на частицу на том же

перемещении

𝑭 = 𝑭консерв + 𝑭сторон

𝑑𝐸кин = 𝛿𝐴консерв + 𝛿𝐴сторон

𝑑𝐴консерв = −𝑑𝑈

𝑑𝐸кин + 𝑑𝑈 = 𝑑 𝐸кин + 𝑈 = 𝛿𝐴сторон

𝑑𝐸 = 𝛿𝐴сторон

𝐸 = 𝐸кин + 𝑈 полная механическая энергия тела

Закон изменения энергии

𝑑𝐸 = 𝛿𝐴сторон

𝐸2 − 𝐸1 = 𝐴сторонПриращение полной механической энергии частицы на

некотором пути равно алгебраической сумме работ всех

сторонних сил, действующих на частицу на том же пути

𝐴сторон > 0 энергия увеличивается

7. Закон сохранения полной механической энергии тела

𝐸 = 𝐸кин + 𝑈 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡

𝐸2 = 𝐸1

Если сторонние силы отсутствуют или таковы, что

алгебраическая сумма их мощностей равна нулю в

течение интересующего нас времени, то полная

механическая энергия частицы остается постоянной за

это время.

Закон сохранения энергии для системы тел

Систему частиц, на которую не действуют никакие

посторонние тела или их воздействие пренебрежимо

мало, называют замкнутой или изолированной

Силы

Внешние Внутренние

Закон сохранения энергии для системы тел

Потенциальными называют силы, зависящие при

данном характере взаимодействия только от

конфигурации механической системы

Силы

Потенциальные Непотенциальные

Закон сохранения энергии для системы тел

Силы

Потенциальные Непотенциальные

Диссипативные Энергетические

Диссипац́ия (лат. dissipatio) — рассеивание

Диссипация энергии — переход части энергии

упорядоченных процессов (кинетической энергии

движущегося тела, энергии электрического тока и т. д.) в

энергию неупорядоченных процессов, в конечном итоге

— в тепло

Суммарная работа внутренних диссипативных сил

рассматриваемой системы отрицательна, а

энергетических сил — положительна

Закон изменения энергии системы

𝐸2 − 𝐸1 = 𝐴внеш + 𝐴внутрнепотен

Механическая энергия системы может изменяться под

действием как внешних сил, так и внутренних

непотенциальных сил (точнее говоря, под действием

алгебраической суммы работ всех этих сил)

Закон сохранения энергии системы

𝐸 = 𝐸кин + 𝑈 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡

В инерциальной системе отсчета механическая энергия

замкнутой системы частиц, в которой нет

непотенциальных сил, сохраняется в процессе движения

Такую систему называют консервативной

При движении замкнутой консервативной системы

сохраняется именно полная механическая энергия,

кинетическая же и потенциальная в общем случае

изменяются

Универсальный закон сохранения энергии

Энергия никогда не создается и не уничтожается, она

может только переходить из одной формы в другую или

обмениваться между отдельными частями материи

8. Абсолютно упругий и неупругий удар

Удар (соударение) — это столкновение двух или более

тел, при котором взаимодействие длится очень короткое

время.

Прямая, проходящая через точку соприкосновения тел и

нормальная к поверхности их соприкосновения,

называется линией удара.

Удар называется центральным, если тела до удара

движутся вдоль прямой, проходящей через их центры

масс

Абсолютно упругий удар — столкновение двух тел, в

результате которого в обоих взаимодействующих телах

не остается никаких деформаций и вся кинетическая

энергия, которой обладали тела до удара, после удара

снова превращается в кинетическую энергию

Абсолютно упругий удар — идеализация

Для абсолютно упругого удара выполняются закон

сохранения импульса и закон сохранения кинетической

энергии

𝑚1𝒗1 +𝑚2𝒗2 = 𝑚1𝒗′1 +𝑚2𝒗′2

𝑚1𝒗12

2+𝑚2𝒗2

2

2=𝑚1𝒗′1

2

2+𝑚2𝒗′2

2

2

𝒗1 − 𝒗′1 = 𝒗

′2 − 𝒗2

𝒗12 − 𝒗′1

2= 𝒗′2

2− 𝒗2

2

𝒗′1 =𝑚1 −𝑚2 𝒗1 + 2𝑚2𝒗2

𝑚1 +𝑚2

𝒗′2 =𝑚2 −𝑚1 𝒗2 + 2𝑚1𝒗1

𝑚1 +𝑚2

При 𝒗2 = 0

𝒗′1 =𝑚1−𝑚2 𝒗1

𝑚1+𝑚2𝒗′2 =

2𝑚1𝒗1

𝑚1+𝑚2

𝑣2 = 0,𝑚1 = 𝑚2

𝒗′1 = 𝒗2 = 0

𝒗′2 = 𝒗1

𝑣2 = 0,𝑚1 > 𝑚2

𝒗′1 < 𝒗1𝒗′2 > 𝒗′1

𝑣2 = 0,𝑚1 < 𝑚2

𝒗′2 > 𝒗1

𝑣2 = 0,𝑚1 ≪ 𝑚2

𝒗′1 = −𝒗1

𝒗′2 ≈2𝑚1𝒗1𝑚2

≈ 0

Абсолютно неупругий удар

— столкновение двух тел, в

результате которого тела

объединяются, двигаясь дальше

как единое целое

𝑚1𝒗1 +𝑚2𝒗2 = 𝑚1 +𝑚2 𝒖

𝒖 =𝑚1𝒗1 +𝑚2𝒗2𝑚1 +𝑚2

Вследствие деформации происходит «потеря»

кинетической энергии, перешедшей в тепловую или

другие формы энергии

∆𝐸кин =𝑚1𝒗1

2

2+𝑚2𝒗2

2

2−𝑚1 +𝑚2 𝒖

2

2

∆𝐸кин =𝑚1𝑚2

2 𝑚1 +𝑚2𝒗1 − 𝒗2

2

При 𝒗2 = 0 и 𝑚2 ≫ 𝑚1 почти вся кинетическая энергия

тела при ударе переходит в другие формы энергии.