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8 §>ø1C±4³±BADCÄE�Glf)Gë ³gÈåí A ì B ÃBÊEŦ��ÊÇòÿåÅÏä"ÇqÊäNÊEÅÄÍÆÄÍÊí"åæÈÅ�ÅEÈRÃÄÍÆÈ í ïNÈ A§B¤g¥±��|ªN©§è©�ASbá±4³yªN®R§UC"E§ª B ÅÄ�æÂå~��ÊÇòÿåä"ÇqÊäNÊEÅÄÍÆÄÍÊí"åæ (A ⇔ B) ÈÅïí"åÏÉ åïæÉÊæÊôð4å>êâ mNj}nkwT{Dry¡{T}�sk£ymvkÂÁNwTjtvr.t|{{Dsoqjtv{ÁNmvknwTknxymgÖ

k(A ⇔ B) {TuvmNjñoqju|oqr}ry£Ðj�{TmoqrymvwD{T»{Tk"ryknv}n{jkn£ymNjp:¸j}nryp{Dt|{¸y{DptNjt?j]}~j¸jpkjv}n{T|pry"ryskwDkrymvj}{Dtv{ A ¿ B tv{jmv{Dpqj º uv{{D}�¸j}rptv{¸y{DptNjt�tv{ A s{�j.tvkn{Dp{Tmoq{t|{T}g¸j}nryp¡tv{ B ¶¾ m�ropqj�Nj}jvpqjTÖ�sk (A ⇔ B) {D�uvmNj:oqju|ory}ry£Ðj A {D¢ù�kg¿zsry}r:k B {TùÌv¿ A {T�dskg¿zry}nr.sk B {DM� ¶

È1XT§0µ³±4³± þ g ±ÇqÊm�åÇ í ïVÈ»æÊEÅÅÄÂôïÄÍÈíNÉÈÅä|åÇqÈÅzÃBÈM��ÊÇòÿåÅä"ÇqÊäNÊEÅÄÍÆÄÍÊí"åæÈÅ:ÅEÊíæë�ôÄÍÆåÿ»ÈíNÉÈÈ í ïÄçååæÈíNÉÈÅ

kWj÷öj_ã0ÏxqsrutwvxrMv�zUvxpq~ êyꬬp ì p(p ∧ q) ∧ r ì p ∧ (q ∧ r) B ∧ ÈÅåÅEʲÆÄ4åÉ4Äçåå>=(p ∨ q) ∨ r ì p ∨ (q ∨ r) B ∨ ÈÅåÅEʲÆÄ4åÉ4Äçåå>=(p ∧ q) ì (q ∧ p) B ∧ ÈÅlÆÊíNÿ:ïBÉ åÉ4Äçåå>=(p ∨ q) ì (q ∨ p) B ∨ ÈÅlÆÊíNÿ:ïBÉ åÉ4Äçåå>=p ∧ (q ∨ r) ì (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) B ∧ ÈÅÃÄÅÉ4ÇòÄB�TïÉ4Äçåå»ÇqÈÅäNÈÆÉÊÃBÈ ∨ =p ∨ (q ∧ r) ì (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) B ∨ ÈÅÃÄÅÉ4ÇòÄB�TïÉ4Äçåå»ÇqÈÅäNÈÆÉÊÃBÈ ∧ =¬ (p ∨ q) ì (¬p) ∧ (¬q) æÈì»ÃBÈ � ÈutRÊÇ

ê ë q~r Î {n*ãv¾kmj¯R0Ïxq¾ soj{ º uvk¸j}n{TmvwDk~j}xy£yknwTjÀmvry"{Tpknokpm�vps{T{Dm0oqjpj}£yuvmvjÀoàTwDmvkwTjtv{t|{TrysopqjwDkxym ¶ â m0o{Tkm0oprBtvu| Tw�jrzwTrm vp{DwTkskxym+{T}s{Tm0oktvr º uv{èok{Dmv{è{D}Ù|{TwÙvrtv{ º uv{uvm]pqj Trymvjkn{Tmoqr:{TjwDrypps{Twoqr ¶

8 §>ø1C±4³±BADCÄE�Glf)Gë ³gÈåí A1, ...,An ì B ��ÊÇòÿåÅä"ÇqÊäVÊEÅÄÍÆÄÍÊí"åæÈÅ�ê ³gÈÃÄÍÆÈ í ïNÈïBí�Çså£�Êí"åÿ:ÄÍÈíNÉÑÊÃBÈægÉ4Ä äNÊde A1, ...,An se deduce B

ÈÅ ³ þ µµ²§B³ þ'Ê ©BASb"±

kWj÷öj_ã0ÏxqsrutwvxrMv�zUvxpq~ ê Ø@ êzy�ÈÅlïíñÅï|�ôÇïEäNÊ»ÅÄ¢ÈÅ:í2Ê ååBÆðÍÊ£�ÆÊíNÉ

ê � q~r Î {n*ãv¾kmj¯R0ÏxqäNÊÇæÂåßÃBÈ���íNÄÍÆÄ�í+ÃBÈzÅEÈÇÄîÿä|åÇ�êb·ÊÇÿåæ ÿ»ÈíNÉÈ�îNÈÿ»ÊEÅ�ÃBÈÿ»ÊEÅÉ b ì b > c ÈíNÉÊí2ÆÈÅ a > c ê• 8 §B® þ ¨D�µªv³±BADC ý�þ µ°³ þ CáEµ²ª ý�þ ¨�±E±�� þ-QÏwTrymvskoq{Ï{Tmduoqk}nkn �jp}j{ º uvk¸j}{DmvwTkj:}nxy£yknw�jlt|{}j�s{Tm0o{TmvwDk~j

p⇒ q ¿ ¬q ⇒ ¬p.È1XT§B® ý © þ E�Glf)GBEUd `våÿ»ÊEÅ]å?ÃBÈÿ»ÊEÅÉ

kWj÷öj_ã0ÏxqsrutwvxrMv�zUvxpq~ ê �

• 8 §B® þ ¨DEµ²ªN³±BADC ý�þ µ°µ²§B´¥6³³±�ALC�ªN©ª|S¨�¥·µ´ þ-Q�wDrymvskso{z{Dmduoqk}nkn �jp}j{ º uvk¸j}n{TmvwDk~j:}nxy£yknw�j{TswTpkÂojjm0o{Tpknryp{Tmoq{p⇔ (¬p⇒ (q ∧ ¬q)).

¾ sor{TTÌVsuv"rymv{Dp º uv{}~jlÙvk"xo{Tsk¢{D¢¸y{Tptvjtv{Dpqj|ÌV}~j:wDrymvwD}uvskxym{T¢4j}nqjl¿}}n{T£yjp�j:uvmNj.wDrym0opqjt|kwTwDkxm ¶ÈXT§B® ý © þ E�Gëf)GBEf � Èÿ»ÊEÅÉ 0,

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êQ ÅTåÿ»ÊEÅRæÂåñä"ÇÊä"ÄÍÈÃåÃGÃBÈRæÊEÅ�ÅÄÂôí2ÊEÅ í ïVÈRÄîí"ÃÄÍÆå í ïNÈdÈæ¡ä"ÇqÊTÃïVÆÉÊGÃBÈ°ÃBʲÅí��ÿ»ÈÇqÊEÅÇqÈåæÈÅÈÅäNÊEÅÄÅÄîÉ4ÄçåÊÅÄ1ìlÅEÊæÂåÿ»ÈíNÉÈÀÅÄãÊåÿc�ÊEÅÀÅEÊíäNÊEÅÄîÉ4ÄçåʲÅÊåÿc�ÊEÅ

ÅEÊí'í2È ôåÉ4ÄçåÊEÅ�ê³VïEäNÊíBôåÿ»ÊEÅ í ïNÈÏæÂå°ÆÊí2Ææ ïÅÄ�íGÈÅM�Dåæ ÅTå/ì'æÂåJîBÄ ä��ÉÑÈÅÄÅÈÅ�åÈÇsÃåÃBÈÇå[�ÈÅÉÊÈÅé�a > 0

ì 1a≤ 0 ê:´�ÅÈåEÄ4ÃBÈíNÉÈ í ïVÈ 1

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a= 1

ê:±¢ÊÇÉÍåíNÉÊ£�ÆÊÿ»ÊÈæä"ÇÊTÃïNÆÉÑÊ

a 1a= 1

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ÈíRÆòÊíNÉ4ÇsåÃÄÍÆÆÄ�íñÆÊí'æÂåcîBÄ ä��ÉÈÅÄÅa > 0.

• 8 §B® þ ¨DEµ²ªN³±BADC ý�þ µ³yªN¨ þ ¨ QwDuNjmvt|rs{loqkn{Tmv{uvmNjÏkn|}kÂw�jwTknxym�tv{T}6oqkn"rp⇒ a1 ∨ a2 ∨ ...∨ an

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ê Ú q~r Î {n*ãv¾kmj¯R0ÏxqìäNÊÇÉÍåíNÉÑÊ

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kWj÷öj_ã0ÏxqsrutwvxrMv�zUvxpq~ êWí ïVÈ:ÈÅ�ÊzÊEÆïBÇòÇå>ê³VÄ

((p⇒ q) ∨ (r ⇒ q))⇔ ((p ∧ r)⇒ q) : F,Æå>�DÈí�ÃBÊEÅ¡äNÊEÅÄB�TÄîæ Ä4ÃåÃBÈÅé� í ïVÈÄîÇqÈÿ»ÊEÅÃBÈÅTåÇòÇqÊæîæÂåí"ÃBÊä|åÅEÊåä|åÅEÊ�;

Ê��TÄÍÈí Ê��TÄÍÈí(p⇒ q) ∨ (r ⇒ q) : ` (p⇒ q) ∨ (r ⇒ q) : bì

((p ∧ r)⇒ q) ;Ib ì (p ∧ r)⇒ q ;`ÃBÈÃBÊí"ÃBÈ ÃBÈÃBÊí"ÃBÈ(p⇒ q) ∨ (r ⇒ q) : ` (p⇒ q) : b1� (r ⇒ q) : b

(p ∧ r) : ` , q : b (p ∧ r)⇒ q ;`æ ïNÈÍôBÊ æ ïVÈÍôBÊ(p⇒ b ) ∨ (r ⇒ b ) : ` p ;`� r : `)� q : b

p :`�

r :`

(p ∧ r)⇒ q ;n`äNÊÇæÊ í ïNÈ äNÊÇæÊ í ïVÈ(` ⇒ b ) ∨ ( ` ⇒ b ) : ` ( ` ∧ ` )⇒ b;z`ÈÅÃBÈÆÄîÇ ÈÅÃBÈÆÄîÇb�;z`

(contradicción)b;z`

(contradicción)

9 ïVÈÍôBÊ falla ÈægÄîíNÉÈíNÉÑÊÃBÈ¡ä"ÇÊm�åÇ í ïNÈf�XRÈÅïBí"å»ÉÍåïÉÊæÊôð4å[�¡ÊæÊ í ïNÈ:ÈÅæÊÿ:ÄÅÿ»Ê£�·í2ÊÈÅSäNÊEÅÄB�TæÈ¢åÅÄÂôí"åÇ6ååæÊÇqÈÅ�ÃBÈxåÈÇsÃåÃåæÂåÅxååÇòÄ4å>�TæÈÅ6ä"ÇÊäNÊEÅÄÍÆÄÍÊí"åænÈÅí ïVÈ¡ÄîíNÉÑÈǺåEÄÍÈí2Èí»ÃBÈ¡ÿåí2ÈÇså í ïNÈ¡æÂåu��ÊÇòÿå¡ä"ÇqÊäNÊEÅÄÍÆÄÍÊí"åæ ((p⇒ q) ∨ (r ⇒ q))⇔((p ∧ r)⇒ q) ÅEÈåx�Dåæ ÅTå[�2äNÊÇæÊ í ïNÈlÆÊí2Ææ ïBÄîÿ»ÊEÅ í ïNÈÃÄÍÆéî|å���ÊÇòÿåä"ÇqÊäVÊEÅÄÍÆÄÍÊí"åæÈÅé��È���ÈÆÉ4Äçååÿ»ÈíNÉÑÈé��ïBí"å»ÉÍåïÉÊæÊôð4å>êÈXT§B® ý © þ E�Gëf)GBE|9 å.ÅEÈíNÉÑÈí2ÆÄ4å

((p⇒ q) ∧ q)⇒ pí2Ê]ÈÅïBí"åzÉ åïBÉÑÊæÊôð4å>êa´íßÈ���ÈÆÉÊ£�ÉÑÊÿåÿ»ÊEÅ

((p ⇒ q) ∧ q) : V ì p : F ê À Êÿ»Ê((p ⇒ q) ∧ q) : V ÈíNÉÑÊí2ÆÈÅ q : V ì (p ⇒ q) : V ê À ÊÿÏÊ p : F ÈíNÉÑÊí2ÆÈÅÈ���ÈÆÉ

ë Û q~r Î {n*ãv¾kmj¯R0Ïxq{Tmoq{jNjp{T Dw�jm¸jpkjv}{D¢vpry"rkwDkrmNj}n{T�¿wTkn{Tpoqry�wDrymv{DwDoqk¸yryÀ}x£ykwDry�{T}n{TwòwDkrymvjtvry�wTryr.vpknkÂok¸yr ¶�â з"rp¢{ѽs{D|}rvÌ|mvr{T�t|knÐwDkn}2tv{Drsoqpjp º u|{vjpqjwDuNj} º u|k{Tp�rypj¢vpr"ryknwTkrmNj} A {T6"ryskv}n{Ò{Tm|wTrymoqpqjp6uvmNj�rpj¢vpry"rkwDkrymvj}{ º uvkn¸j}{Dm0oq{¡{Tm.}j º uv{�}rySÔvmvknwTry¼wDrymv{DwDoqk¸yry º uv{¢jNjps{T Dw�jm.{Tjm.}r¼tv{D}vwDrym½suvmBor {∨,∧,¬}. �6rp�{ѽs{Dv}nrvÌNsk A {DÀ}~jlrypj.|pry"ryskwDkrymNj} B ⇒ C, o{Tmvt|p{Tryº uv{}~jzryps»j|pry"ryskwDkrymvj} A {T}nxy£yknw�j.{Tmoq{.{ º uvk¸j}n{Tmoq{»j (¬B ∨ C) ¶ ó k A{D¡}jryps»j|pry"ryskwDkrymNj} B ⇔ C ÌBoq{Dmvtvps{Try º uv{}~jryps»jvpsry"ryskwTknrymNj} A {D}nxy£yknw�j{Tmoq{{ º uvk¸j}n{Tmoq{j (¬B ∨ C) ∧ (¬C ∨ B) ¶�6ryp·{DrÀs{ÒtvknwT{ º uv{Ò}nry�wTrmv{Twoqk¸yry {∨,∧,¬} wDrymvsoknou|¿y{Tmuvm ³ þ CUXT¥"Cá þ ªN´·§'p³¥·ªN´ þ ´§G³ þ C·§³E±�� þ ¨¶ Ü�oqkn}kn Tjmvtvr�}~j}{¿y{Tltv{z{�ryps£jm?wTryr�j²Î|knryj{D�"rk|}{ryoqpqjp º uv{ojmoqr {∨,¬} wDryr {∧,¬} wDrymvsoknou|¿y{TmzwTrym²½suvm0ory¢jtv{wDuNjtvr�tv{wTrmv{Twoqk¸yry ¶

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ó k�{DNjpjry¢}j�{Dm0o{TmvwDk~jDÖE ÈÅ�ä"ÇòÄîÿ»ÊF ÈÅ�ä"ÇòÄîÿ»ÊF ÈÅÄîÿä|åÇ

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kWj¡ j_ã0Ïxqs}~yrutMyu}q}¦v�z ë êúRû�û)( ý©þuÿ��702-��O�[�¤2�{-�/þ +%�ÿ�0��2����£+|ÿ-�K¥�{¦ÿ'�[�����{�-�Ó ryrÙ|{TryS¸BkoqrvÌyuvmvju|mvwTknxym:|pry"ryskwDkrymvj}2ç4r{Tmoq{DmvwTkjjvkn{Tpsoqjé·vuv{Tt|{¢tNjp}uv£jpju|mNjvpsry"ryknwTknxym8ç4rvÌ�}r º uv{{D}nrksr|Ìgs{|uv{Ttv{wD{Tpspqjpqéjsk£ymNjmvtvr¸j}nryp{DwTrymvwDp{oqrytv{T}ãu|mvkn¸y{Dprtv{»tvknwTu|pr�j�}j¸jpkjv}n{T º uv{Ï{Dm?{T}n}~jkm0o{TpѸkn{Tmv{Dm ¶ m0oqpsrBtvuvwDkryljÙvrypj'ropqj»jmv{Tpj'tv{ÏwT{Dppqjpl}j{Tmoq{DmvwTkjjvk{DpsoqjTÌuvqjm|tvr}nry�wDuNjm0oknÁNwTjtvrp{T¢uvm|kn¸y{Tpsqj}g¿z{òÎkoq{Tm|wTk~j} ¶

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U = RÌ|sk{Dmvtvr

x =√2éÌ"{DprR{T4j}nqjè{Dm {T}¢uvm|kn¸y{DprRtv{�t|kwDuvpsr°tv{]}ry.m0Ôv{Tpr{Dm0o{Tpsry

çU = Z

¿j º uv{ √2 /∈ Z é ¶ó k2{D}2uvmvk¸y{Tpsr:tv{tvknwDuvpr:{D¡ÁNm|knoqr|Ì{T}áwTuNjmoqkÂÁNw�jtvrypuvmvk¸y{Tpj}2vu|{Ttv{suvsokÂouvkps{�"rpÒuvmmBÔv{TpsrÁNm|knoqrtv{ÀwDrym½suvm|wTkrmv{T�¿.{T}VwTuvjm0oknÁNwTjtvryp�{Îknsoq{DmvwTkj}V"rypu|m�m0Ôv{Tpr:ÁNmvkÂoqr.t|{t|ks¿Buvm|wTkrmv{T ¶�6ryp]{½s{Tv}r|Ìk}rz¸j}nryp{D]"rk|}{Ttv{ñ}j߸jpk~jv}{

xrym

a, b, c,çU =

{a, b, c} é¡}j:s{Tmoq{Tm|wTk~j.wT{DppqjtNj∀x ∈ U P (x)

{DTÌN"ryp¢tv{ÁNmvknwTknxymgÌP (a) ∧ P (b) ∧ P (c)¿Ï}~j:s{Tmoq{DmvwTkj∃x ∈ U P (x){DTÌN"ryp¢tv{ÁNmvknwTknxymgÌ

P (a) ∨ P (b) ∨ P (c).¾ oj»tv{DÁNm|kwDkrymv{D»luv{Dsoqpjm º uv{}rwDuNjm0oknÁNwTjtvrp{T»{òÎkso{TmvwDk~j}¢¿8uvmvk¸y{Tpj}srym]uvmNj:ryps»j:j|p{D¸BkjtNj:tv{{TswTpknvkp¡}ry�wDrymv{DwDoqk¸yry ∨ ¿ ∧ ¶úuû�û§ü *þ +",.-./��3�+%��/�6�7-�/þuÿÓ rr{Dm'{D}wTjr»tv{}j}nxy£yknw�j:vpr"ryknwTkrmNj}�{Dm}~j.}xy£kwTj.tv{vps{Ttvknw�jtvryÀry|{TpѸjr º uv{�}j¸j}nktv{D �rmvrt|{�wDk{Tpoqry�pqj DrymNjk{Dm0ory�{Dsoq{Tmurpj ¶ ó {Tj"ryp{½s{Tv}r'{T}¡pqj Trymvjkn{Tmoqr�jmoq{T:wTrym|kt|{TpqjtvrvÌ º uv{knm0ouvknok¸j{Dm0o{Ïs{luv{ToqpjwDryr:¸}nktvrvÖ

×6rBt|ry�}nry�Ùvr:|p{T�rym]rypsoj}n{Tó xBwTpjoq{D�{T¢uvm]Ùvrylvps{ó xBwTpjoq{D�{T¢rypsoj}

¾ soq{pj TrmNjk{Dm0oqr:{D�{D}�knrvÌ{Tm]urypj|Ì º uv{Ö×6rBt|ry�}nry�wTjry¢rym]p{Dry}nuvv}n{T¾ }�wTjr Ë àTwDrypqj.{T¢uvm]w�jsr¾ }�wTjr Ë àTwDrypqj.{T¢p{Dry}nuvv}{

ø {"rBtvpÐj:ps{Tvps{T{Dm0oqjp�wTryrvÖ

kWj¡ j_ã0Ïxqs}~yrutMyu}q}¦v�z ë Ø∀x ∈ U P (x)

a ∈ UP (a)

Ë u|{Tsopqj�knm0oqu|kwTknxmè{T¹vj}~j º uv{{Dsoq{pj Trymvjkn{Tmoqr{T¸}kntvrk{D|p{Ì{Dm°{T}{Tmoqkntvrltv{ º uv{mvrtv{T"{Dmvtv{tv{D}áuvmvk¸y{Tpsr:t|{t|kwDuvpsrlwTrymvsktv{Dpqjt|r ¶ ü {Tsuv}noqj{DmoqrymvwD{T�mvjoquvpj}g{TswTpknvkp¡}~j:sk£uvk{Dm0oq{{òÎvp{Dkxm º uv{wDrymvkntv{Tpjp{Dr�¸y{DptNjt|{TpqjÖ

(∀x P (x))⇒ P (a).¢|àTp¸y{Ts{ º uv{m|r{ÙNj.{DwTpsknor{T}�uvm|kn¸y{Dprtv{tvknwTu|pr ¶{{Dsoq{rBtvr{TÀkmoq{Dp{Tjm0o{wTrmvsopuvknp�uvmNj}xy£kwTj:rpj}guvqjm|tvr»vp{DtvkwTj

tvry ¶ Ó rym�{Toq{:ryB½s{Dorϸjryj»tNjpuvm�wDrym½suvmoqrztv{lps{T£y}jNjpjÏt|{DÁNm|kp8��ÊÇòÿåÃBÈä"ÇqÈÃÄÍÆåÃBÊEÅÌ º uv{:{T{T}S{ º uvk¸j}n{Tm0o{Ìg{Tm�}~j»}nxy£yknw�jtv{:vps{Ttvknw�jtvryTÌ�j}6wTrym|wT{D|oqrtv{x��ÊÇÿåä"ÇqÊäNÊEÅÄÍÆÄÍÊí"åæ{Tm]}~jl}xy£yknwTjlvpr"ryknwTknrymNj} ¶  ªN¨ þ E�G Ó r{Dmv �jry�|pk{TpsrwDrymvkntv{TpjmvtvruvmvwTknrymv{DÒvpsry"ryknwTknrymNj}n{TDÌtv{�}jrypj

P (x), Q(x), ...ç4tvrmvtv{ojl|kàTm{vuv{Dtv{TmwTrym|kt|{Tpqjp¢¸jpsk~j�¸jpkjv}n{Té ¶ij�uvmvwDkrym|{T¢vpr"ryknwTkrmNj}n{T¡rmc��ÊÇòÿåÅÃBÈ¡ä"ÇqÈÃÄÍÆqåÃBÊEÅ ¶

  ªN¨ þ d)G ó {|uv{Tt|{TmwDrymvsopuvknpm0uv{D¸j¡rpjãtv{vps{Ttvknw�jtvruvqjm|tvr:}nryãwTrmv{Twòoqkn¸yr¢}nxy£yknwTr ¶ �Nryps»j�"ryp�{ѽs{D|}rvÌ|tv{D}goqk"r|ÖP (x) ∧Q(x)P (x) ∧Q(y)¬P (x)

P (x) ∨Q(x)P (x)⇒ Q(x)P (x)⇔ Q(x)

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P (x)Ì{|uv{Ttv{Dm]wDrymvoqpu|kp}~j

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∃x (P (x, y)⇔ Q(x)).

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(∃xP (x)) ∨ (∃xQ(x))⇒ ∃x (P (x) ∨Q(x)) {T Vkîé ó uv"rymv£yjry�¸{Tptvjtv{Tpj}~jl{Dm0oq{DmvwTkj ∃x (P (x) ∨Q(x)) . ó {�j a oj} º uv{

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comp(A ∧ B) = comp(A) ∨ comp(B) == ¬A ∨ ¬B = (De Morgan) == ¬ (A ∧ B) = ¬C.

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a2 · b2 + c2 = ab.

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g)g ∧ (¬u)

R2a : (g ∧ (¬u))⇒ aaç{Tm]{Toq{ry{Tmoqr:Ùv{Try�j|}kjtvr:}j:vj{tv{Ùv{TwÙvry�wDrym]{T}�mBu|{D¸yrÙv{DwòÙ|r

a)g ∧ (¬u)

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