1

Практикум по теме 2. Методические указания по выполнению практикума.

Целью практикума является более глубокое усвоение материала контента темы 2, а также развитие следующих навыков:

создание математических моделей линейного программирова-ния для проблемных ситуаций,

нахождение решения задач ЛП с помощью геометрического ме-тода,

проведение анализа оптимального решения на чувствитель-ность,

решение задач ЛП с использованием стандартного программно-го обеспечения на базе электронных таблиц MS EXCEL. Перед решением заданий практикума рекомендуется внима-

тельно изучить материал контента темы 2 и провести самостоятель-ный анализ всех разобранных примеров.

Решение типовых задач. ТЗ 2.1. Написать математическую модель для рассматриваемой

проблемы. Небольшая фабрика выпускает два типа красок: для внутренних

(тип 1) и наружных (тип 2) работ. Для производства красок использу-ются два исходных продукта А и В. Максимально возможные суточ-ные запасы этих продуктов составляют 6 и 8 тонн соответственно. Расходы исходных продуктов А и В для производства 1 тонны краски каждого типа приведены в таблице:

Расход исходных продуктов

Исходный продукт

Тип 1 Тип 2

Максимальный запас

А 1 2 6 В 2 1 8

Изучение рынка сбыта показало, что суточный спрос на краску типа 2 никогда не превышает спроса на краску типа 1 более чем на 1 тонну. Кроме того, установлено, что спрос на краску 2 никогда не пре-вышает 2-х тонн в сутки. Оптовые цены одной тонны краски равны: 3000 рублей для краски типа 1 и 2000 рублей для краски типа 2. Какое количество краски каждого вида должна производить фаб-рика, чтобы суммарный доход от реализации продукции был макси-мальным?

2

Решение: Построим математическую модель задачи. Производ-ственному менеджеру компании необходимо спланировать объем производства красок так, чтобы максимизировать доход от их прода-жи. Переменными модели являются: 1x – суточный объем производства краски типа 1, 2x – суточный объем производства краски типа 2. Суммарный суточный доход от реализации произведенной про-дукции равен:

1 23 2z x x . Целью компании является нахождение среди всех допустимых значений переменных 1 2,x x таких, которые максимизируют построен-ную целевую функцию. Перейдем к ограничениям, которым должны удовлетворять пе-ременные 1 2,x x :

расход исходных ресурсов не должен превышать их запаса, по-этому:

1 22 6x x (ресурс А), 1 22 8x x (ресурс В),

ограничения на спрос можно записать так: 1 2 1x x (спрос 1), 2 2x (спрос 2),

объем производства не может быть отрицательным, поэтому: 1 0x , 2 0x .

Таким образом, математическая модель рассматриваемой зада-чи примет вид:

1 2max max(3 2 )z x x 1 22 6x x , (1) 1 22 8x x , (2)

1 2 1x x , (3) 2 2x , (4) 1 0x , 2 0x . (5)

ТЗ 2.2. Решить геометрически задачу ЛП из примера Т3 2.1. Решение: Нарисуем систему координат 1 2Ox x , запишем ограничения зада-чи как равенства. Полученные уравнения задают на плоскости пря-мые. Чтобы изобразить прямую 1 22 6x x , нужно найти две точки, лежащие на этой прямой, например 6,0 и 0,3 , и провести через

3

них прямую. Аналогично, прямая 1 22 8x x проходит через точки 4,0 и 0,8 , прямая 1 2 1x x – через точки 1,0 и 0,1 , прямая

2 2x параллельна оси 1Ox и проходит через точку 0,2 .

Рис. 2.1. Нахождение оптимального решения.

Далее определяем, с какой стороны от прямой находится об-ласть, удовлетворяющая каждому неравенству. Точки, удовлетво-ряющие всем ограничениям и ограничениям на знак переменных

1 0x , 2 0x образуют множество допустимых решений задачи ЛП (заштрихованная область OABCDE на рис. 2.1). Нахождение оптимального решения требует определения на-правления возрастания целевой функции 1 23 2z x x . Это направ-ление задается вектором нормали

c линии уровня целевой функции,

имеющей уравнение 1 23 2x x const . Координаты вектора c совпа-

дают с коэффициентами этой прямой, поэтому

3,2c . Точка пере-сечения области допустимых решений и прямой, соответствующей максимально возможному значению целевой функции, и будет точкой оптимума (вершина B ), которую будем обозначать X . Из рисунка видно, что эта точка является пересечением прямых (1) и (2), следо-вательно, ее координаты можно найти из системы уравнений:

1 2

1 2

2 62 8x xx x

1

2

10 34 3.

xx

Найдем значение целевой функции в оптимальной точке X : 1 23 2 38 3z X x x .

Полученное решение 10 4,3 3

X означает, что для компании

оптимальным выбором будет ежедневное производство 10 3 тонны

4

краски для наружных работ и 4 3 тонны краски для внутренних работ с ежедневным доходом 38 3 тысяч рублей. ТЗ 2.3. Провести анализ оптимального решения на чувствитель-ность в примере ТЗ 2.1. Решение: В рассматриваемой задаче оптимальное решение на-ходится на пересечении прямых (1) и (2), поэтому:

ресурс А – дефицитный, ограничение (1) – связывающее (актив-ное);

ресурс В – дефицитный, ограничение (2) – связывающее (актив-ное);

спрос 1 – недефицитный, ограничение (3) – несвязывающее (не-активное);

спрос 2 – недефицитный, ограничение (4) – несвязывающее (не-активное);

Для ресурса А предельно допустимое увеличение запаса со-ставляет 1 единицу (с 6 до 7 тонн) при этом максимальная прибыль увеличится на 0,33 тысяч рублей (с 3,33;1,33 12,67z до

3; 2 13z ). Оптимальное решение находится в точке K (рис. 2.2).

Рис.2.2. Изменение запаса первого ресурса.

Для ресурса В предельно допустимое увеличение запаса со-ставляет 4 единицы (с 8 до 12 тонн) при этом максимальная прибыль увеличится на 5,33 тысячи рублей (с 3,33;1,33 12,67z до

6; 0 18z ). Оптимальное решение находится в точке L (рис. 2.3).

5

Рис.2.3. Изменение запаса второго ресурса.

Для спроса 1 предельно допустимое снижение запаса составля-ет 3 единицы (с 1 до –2 тонн), для спроса 2 предельно допустимое снижение запаса составляет 0,66 единиц (с 2 до 1,33 тонн). Значение целевой функции при этом не изменится, т.к. оба ресурса недефицит-ные. Результаты первой задачи анализа на чувствительность оформ-ляются в виде таблицы:

Ресурс

Тип (статус) ресурса

Макс. измене-ние запаса

Макс. измене-ние дохода

Ресурс А (1) дефицитный 7 6 1 13 12,66 0,33 Ресурс В (2) дефицитный 12 8 4 18 12,66 5,33 Спрос 1 (3) недефицитный 2 1 3 0 Спрос 2 (4) недефицитный 1,33 2 0,66 0

Вторая задача анализа на чувствительность позволяет опреде-

лить меру зависимости оптимального решения от изменения запасов ресурсов. Эта мера называется теневой (двойственной) ценой ресур-са и показывает, на сколько изменится оптимальное значение целевой функции при изменении количества соответствующего ресурса на единицу.

Теневая (двойственная) цена ресурса i обозначается iy и вы-числяется по формуле:

Максимальное увеличение доходаМаксимальное увеличение запаса ого ресурсаiy

i.

6

Для рассматриваемой задачи

10,33 0,33

1y , 2

5,33 1,334

y , 3 0y , 4 0y .

Заметим, что для недефицитных ресурсов теневая цена всегда равна нулю. Можно сделать вывод, что наиболее выгодно увеличение запаса второго ресурса.

Третья задача анализа на чувствительность состоит в определе-нии пределов изменения коэффициентов целевой функции, позво-ляющих сохранить оптимальное решение задачи.

В рассматриваемом примере решение 3,33;1,33X остается

оптимальным, если 1

2

1 22 1

cc

, где 1 2,c c – коэффициенты целевой

функции (рис. 2.4).

Рис.2.4. Третья задача анализа на чувствительность.

В частности,

если 1 3c const , то 2

1 3 22 1c

и 23 62

c ,

если 2 2c const , то 11 22 2 1

c и 11 4c .

Методические указания по проведению лабораторная рабо-

та №1 «Решение оптимизационных задач средствами MS-Excel». Реализация математической модели в табличной форме (см. файл Максимизация прибыли.xls) Исходные данные. Оформим исходные данные в виде таблицы (рис. 2.5). Выделение цветом и рамками не является обязательным условием, но повышает читаемость таблицы.

7

Рис.2.5. Математическая модель в табличной форме. Изменяемые ячейки. Отведем в таблице место для переменных 1x , 2x , это ячейки B16:C16. Целевая ячейка. В ячейку D13 введем формулу для вычисления целевой функции 1 23 2z x x , используем для этого стандартную функцию

СУММПРОИЗВ, которая находится в категории "Математические" и возвращает скалярное произведение массивов:

=СУММПРОИЗВ(B13:C13;B16:C16). Ограничения. Для вычисления расхода ресурса А на производство красок введем в ячейку D18 следующую формулу:

=СУММПРОИЗВ(B18:C18;$B$16:$C$16), для ресурса В введем в ячейку D19 формулу:

=СУММПРОИЗВ(B19:C19;$B$16:$C$16), и аналогично для обеспечения спроса 1 и спроса 2 в ячейки D20 и D21, соответственно, введем формулы:

=СУММПРОИЗВ(B20:C20;$B$16:$C$16), =СУММПРОИЗВ(B21:C21;$B$16:$C$16).

8

Заполнить ячейки можно было и простым копированием первой формулы, использовав абсолютные адреса для ячеек $B$16:$C$16, т.к. они не должны изменяться при копировании. Тип ограничений.

При вводе исходных данных рекомендуется помещать значки , , между левыми и правыми частями ограничений, что в дальнейшем упростит прочтение задачи.

После оформления модели в виде таблицы попробуем подобрать решения для переменных в ячейках B16:C16. Пример рассмотрен на листе "1-й вариант решения". Пусть это будут любые произвольные значения, например, 1 23, 3x x . Эти значения не являются допустимыми, т. к. не удовлетворяют ограничениям задачи. В ячейке D13 получим результат 15, который является значением целевой функции на данном решении.

Сделаем еще один шаг (см. лист "2-й вариант решения"), позволяющий изучить механизм модели: попробуем изменить значения ячеек B16:C16 так, чтобы затраченные ресурсы (D18:D21) удовлетворяли принятым ограничениям (F18:F21). Например, введем в ячейки B16:C16 значения 1 21, 1x x , что приведет в соответствие с ограничениями используемые ресурсы, но при этом резко уменьшится прибыль. Кроме того, нет никакой гарантии, что результат является оптимальным. Применение программы Поиск решения.

Для решения проблемы воспользуемся симплекс-методом, реализованным командой Поиск решения в меню Сервис. Если команда Поиск решения в меню Сервис отсутствует, то необходимо проделать следующую последовательность действий:

в меню Сервис выбирается команда Надстройки, в диалоговом окне напротив надстройки Поиск решения

ставится флажок, соответствующая команда появляется при повторном выборе

меню Сервис. Рассмотрим подробно элементы диалогового окна Поиск решения

(см. рис.2.6).

9

Рис.2.6. Диалоговое окно Поиск решения

В поле Установить целевую ячейку дается ссылка на ячейку с

целевой функцией, для которой будет находиться максимум, минимум или заданное значение. В нашем случае целевой является ячейка D13.

Тип взаимосвязи (максимум, минимум или заданное значение) между решением и целевой ячейкой задается путем установки переключателя в группе Равной. В нашей задаче установим переключатель в положение Максимальному значению, т.к. планируется производство, обеспечивающее максимальный доход от реализации.

В поле Изменяя ячейки указываются номера ячеек, которые должны изменяться в процессе поиска решения задачи, т.е. ячейки, отведенные под переменные задачи. В нашем случае введем в поле Изменяя ячейки диапазон $B$16:$С$16.

Ограничения, налагаемые на переменные задачи, отображаются в поле Ограничения. Средство поиска решений допускает ограничения в виде равенств, неравенств, а также позволяет ввести требование целочисленности переменных. Ограничения добавляются по одному. Для ввода ограничений нажмите кнопку Добавить в диалоговом окне Поиск решения и в открывшемся диалоговом окне Добавление ограничения (рис. 2.7) заполните соответствующие поля.

Рис.2.7. Диалоговое окно Добавление ограничения

10

В рассматриваемом примере две группы ограничений: ограничения на ресурсы и спрос – (1), (2), (3) и (4), ограничения на знак переменных – (5)

В поле Ссылка на ячейку введите левую часть всех ограничений первой группы, которые вычисляются в ячейках $D$18:$D$21, а в поле Ограничение – правую часть, в нашем примере $F$18:$F$21. С помощью раскрывающегося списка вводится тип соотношения между левой и правой частями ограничения. Одновременный ввод всех ограничений в нашем примере возможен, т.к. в нашем примере все ограничения имеют одинаковый знак меньше или равно ( ):

$D$18:$D$21$F$18:$F$21. Нажмите кнопку Добавить в диалоговом окне Добавление

ограничения и введите вторую группу ограничений: $B$16:$С$16 0 .

Обратите внимание на то, что ограничения удобнее задавать в виде диапазонов. Нажатие кнопки ОК завершает ввод ограничений.

Теперь нажмите кнопку Параметры в диалоговом окне Поиск решения, для того чтобы проверить, какие параметры заданы для поиска решений. В открывшемся диалоговом окне Параметры поиска решения (рис. 5) можно изменять условия и варианты поиска решения исследуемой задачи, а также загружать и сохранять оптимизируемые модели. Значения и состояния элементов управления, используемые по умолчанию, подходят для решения большинства задач. Тем не менее, рассмотрим подробнее элементы этого диалога:

Рис.2.8. Диалоговое окно Параметры поиска решения

Поле Максимальное время служит для ограничения времени, отпускаемого на поиск решения задачи.

Поле Предельное число итераций служит для ограничения числа промежуточных вычислений.

Поля Относительная погрешность и Допустимое отклонение служат для задания точности, с которой ищется решение.

11

Рекомендуется после нахождения решения с величинами этих параметров, заданными по умолчанию, повторить вычисления с большей точностью и меньшим допустимым отклонением и сравнить с первоначальным решением. Использование подобной проверки особенно рекомендуется для задач с требованием целочисленности переменных.

Флажок Линейная модель служит для поиска решения линейной задачи оптимизации или линейной аппроксимации нелинейной задачи. В случае нелинейной задачи этот флажок должен быть сброшен, в случае линейной задачи – установлен, т.к. в противном случае возможно получение неверного результата.

Флажок Показывать результаты итераций служит для приостановки поиска решения и просмотра результатов отдельных итераций.

Флажок Автоматическое масштабирование служит для включения автоматической нормализации входных и выходных значений, качественно различающихся по величине, например, при максимизации прибыли в процентах по отношению к вложениям, исчисляемым в рублях.

Группа Оценка служит для выбора метода экстраполяции. Группа Производные служит для выбора метода численного дифференцирования. Группа Метод служит для выбора алгоритма оптимизации.

Вернитесь в диалог Поиск решения нажатием кнопки ОК. Нажатие кнопки Выполнить открывает окно Результаты поиска решения, которое сообщает, что решение найдено (рис. 2.9) или ре-шение не может быть найдено (вследствие его отсутствия или допу-щенных ошибок). Для того, чтобы вывести отчет о результатах решения задачи выберите в диалоговом окне требуемый тип отчета: Результаты, Устойчивость, Пределы. Можно выбрать одновременно все типы отчетов, выделив их при нажатой клавише Ctrl. Эти отчеты содержат анализ оптимального решения на чувствительность. Каждый отчет сохраняется на отдельном листе текущей книги, названия отчетов отображаются на ярлычках.

Рис. 2.9. Диалоговое окно Результаты поиска решения

12

Оптимальное решение модели приведено на листе Оптимальный вариант. Полученную табличную модель можно использовать для ввода новых исходных данных. Отчеты как средство дополнительной информации о модели

Отчет по результатам. Отчет по результатам подробно описывает табличную модель с указанием адресов целевой ячейки, ячеек с ограничениями и исходными данными (рис 2.10).

Рис.2.10. Отчет по результатам Для ячеек с ограничениями кроме исходного неравенства

указываются еще два значения: Статус и Разница. Если ограничение, выраженное неравенством с операторами или , при нахождении оптимального решения становится равенством, то эта конструкция приобретает статус "связанной". Соответственно в графе Разница (между левой и правой частями неравенства) пишется ноль. В противном случае, если конструкция сохраняется в виде строгого неравенства, в графе Разница фиксируется разность между ограничением и значением, принятым при решении; такая конструкция называется "несвязанной". Для переменных показывается разность между значением переменных в найденном оптимальном решении и заданным для них граничным условием.

В рассматриваемом примере значение максимума целевой функции 12,67z находится в таблице Целевая ячейка в графе Результат, при начальных значениях, находящихся в изменяемых

13

ячейках (Исходно) – 0z . Оптимальные значения переменных 1 3,33x , 2 1,33x находятся в таблице Изменяемые ячейки в

графе Результат. Из таблицы Ограничения находим, что связанными являются ограничения (1) и (2), т.е. ресурс 1 и ресурс 2 дефицитные и используются полностью, о чем говорит также и Разница, равная нулю для этих ограничений. Спрос не является дефицитным, т.к. Статус соответствующей конструкции – "несвязанная" и Разница не равна нулю.

Отчет по устойчивости. Отчет по устойчивости содержит

информацию о том, насколько чувствительна целевая ячейка к изменениям ограничений и переменных.

Этот отчет содержит два раздела: один для изменяемых ячеек, другой для ограничений. Раздел для изменяемых ячеек содержит значение Нормированного градиента, которое показывает, как целевая ячейка реагирует на увеличение значения в соответствующей изменяемой ячейке на единицу. Подобным образом Множитель Лагранжа в разделе для ограничений показывает, как целевая ячейка реагирует на увеличение соответствующего значения правой части ограничения на одну единицу (рис.2.11).

Рис.2.11. Отчет по устойчивости

Если в окне диалога установить флажок Линейная модель, то отчет по устойчивости содержит несколько дополнительных столбцов информации (рис.2.12). В анализе переменных (изменяемых ячеек) приведены следующие данные:

Результирующие значения переменных;

14

Нормированная стоимость, которая показывает на сколько изменяется целевая функция при принудительном включении единицы этой переменной в оптимальное решение;

Целевой коэффициент, который показывает степень зависимости между изменяемой ячейкой и целевой ячейкой;

Допустимое увеличение и Допустимое уменьшение, которые показывают допустимые значения приращения коэффициентов целевой функции, при которых сохраняется набор переменных, входящих в оптимальное решение.

Рис. 2.12. Отчет по устойчивости для линейной модели Поясним полученную таблицу: в столбце Результирующее

значение указаны оптимальные значения переменных 1 3,33x , 2 1,33x . Нормир. стоимость равная нулю говорит о том, что

значение в целевой ячейке не изменится при увеличении значения в соответствующих изменяемых ячейках на единицу. Столбцы Допустимое увеличение и Допустимое уменьшение показывают, что значение первого коэффициента целевой функции можно увеличить на 1 и уменьшить на 2 единицы, а второй коэффициент соответственно – на 4 и 0,5 единиц, и это не повлияет на полученное оптимальное решение для всего объема производства, хотя суммарный доход изменится. В анализе ограничений приведены следующие значения:

Результирующие значения – это величины используемых ресурсов;

Теневые цены, или двойственные переменные, которые показывают увеличение целевого значения при увеличении ограничения на одну единицу;

Ограничение Правая часть выводит используемые в задаче значения ограничений;

15

Допустимое Увеличение и Допустимое Уменьшение показывают величину изменения значения ограничения (показанного в столбце Ограничение Правая часть) при которых сохраняется оптимальный набор переменных, входящих в оптимальное решение.

Теневая Цена для ресурса А показывает, что дополнительная тонна этого ресурса (при уже достигнутом верхнем ограничении) увеличит прибыль на 0,333 тыс. рублей. Аналогично можно интерпретировать теневую цену ресурса В. В отличие от связанных конструкций, теневая цена для несвязанных конструкций всегда равна нулю, что показывает возможность экономии. Из таблицы можно увидеть, что для несвязанных конструкций (спрос 1, спрос 2) увеличение значения ограничения бессмысленно, о чем говорит число 1Е+30 ( 3010 ) в соответствующем столбце, т. е. увеличение запаса недефицитного ресурса не может увеличить значения целевой функции.

Отчет по пределам. Отчет по пределам содержит информацию о том, в каких пределах значения изменяемых ячеек могут быть увеличены или уменьшены без нарушения ограничений задачи. Для каждой изменяемой ячейки этот отчет содержит оптимальное значение, а также наибольшее и наименьшее значения, которые ячейки могут принимать без нарушения ограничений. Другими словами, в отчете по пределам показано в каких пределах может изменяться выпуск продукции, вошедшей в оптимальное решение, при сохранении структуры оптимального решения.

Рис. 2.13. Отчет по пределам

Поясним: в ячейке $D$13 находится значение целевой функции 12,67z при оптимальных значениях переменных 1 3,33x (ячейка

$B$16), *2 1,33x (ячейка $C$16). Нижний предел – это минимальное

допустимое значение соответствующей переменной при условии, что другие переменные принимают свои оптимальные значения. Верхний

16

предел – это максимальное допустимое значение соответствующей переменной при условии, что другие переменные принимают свои оптимальные значения. Соответствующие значения целевой функции находится в графе Целевой результат. В рассматриваемом примере, если 2 1,33x , то минимальное значение, которое может принимать первая переменная 1 0,33x (в этом нетрудно убедиться при использовании графического метода решения задачи), целевой результат 0,33;1,33 3,67z , если

1 3,33x , то минимальное значение, которое может принимать вторая переменная *

2 0x , целевой результат 3,33;0 10z . При верхних пределах для первой и второй переменной получаем оптимальное решение с целевым результатом (3,33;1,33) 12,67z . Задания практикума (задания для выполнения лабораторной ра-боты №1 «Решение оптимизационных задач средствами MS-Excel»). В задачах 2.1 – 2.18:

составь математическую модель, решите задачу геометрически, найдите оптимальное решение с помощью средств MS Excel, проведите анализ на чувствительность (геометрически и с по-

мощью отчетов MS Excel), представить письменный отчет о проделанной работе.

2.1. Фабрика головных уборов производит два типа шляп.

Производство шляпы первого типа требует в два раза больше временных ресурсов, чем производство шляпы второго типа. Если фабрика будет производить только шляпы второго типа, то в день она может изготовить 400 таких шляп. Рынок накладывает ограничения на производство шляп: не более 150 шляп первого типа и не более 200 шляп второго типа. Доход от производства шляп первого типа составляет 8 у.е. на единицу первого типа и 5 у.е. – второго типа. Составьте оптимальный план производства, приносящий максимальный доход.

2.2. Компания производит два вида продукции А и В. Объем про-

даж продукта А составляет не менее 80% от общего объема продаж продуктов А и В. Вместе с тем компания не может производить более 100 единиц продукта А в день. Для производства этих продуктов ис-пользуется одно и то же сырье, поступление которого ограничено 240 фунтами в день. На изготовление единицы продукта А расходуется 2

17

фунта сырья, а единицы продукта В – 4 фунта. Цена одной единицы продуктов А и В составляет 20 и 50 у.е. соответственно. Сколько единиц продукции каждого типа нужно изготавливать, чтобы доход был максимальным?

2.3. Завод производит два типа электрических двигателей, каж-

дый на отдельной сборочной линии. Производительность этих линий составляет 600 и 750 двигателей в день. Двигатель первого типа ис-пользует 10 единиц некоего комплектующего, а двигатель второго ти-па – 8 единиц этого же комплектующего. Поставщик может обеспечить на день 8000 единиц этого комплектующего. Доходность двигателя первого типа составляет 60 у.е., второго – 40 у.е.. Определите опти-мальную структуру ежедневного производства двигателей, максими-зирующую доходность.

2.4. Мебельная фабрика собирает из готовых комплектующих

два вида кухонных шкафов: обычные и дорогие. Обычный шкаф по-крывается белой краской, а дорогой – лаком. Покраска и покрытие ла-ком производятся на одном производственном покрасочном участке. Сборочная линия фабрики ежедневно может собирать не более 200 обычных шкафов и 150 дорогих. Лакирование одного дорогого шкафа требует вдвое больше времени, чем покраска одного простого шкафа. Если покрасочный участок занят только лакированием дорогих шка-фов, то за день здесь можно подготовить 180 таких шкафов. Фабрика оценивает доход от обычных и дорогих кухонных шкафов в 100 и 140 у.е. соответственно. Составьте оптимальный ежедневный план произ-водства покрасочного участка.

2.5. Банк в течение нескольких месяцев планирует вложить до

200000 у.е. в кредитование частных лиц и покупок автомобилей. Бан-ковские комиссионные составляют 14% при кредитовании частных лиц и 12% при кредитовании покупок автомобилей. Оба типа кредитов возвращаются в конце годичного периода кредитования. Известно, что около 3% клиентских и 2% автомобильных кредитов никогда не воз-вращаются. В этом банке объемы кредитов на покупку автомобилей обычно более чем в два раза превышают объемы других кредитов для частных лиц. Найдите оптимальное размещение средств по двум опи-санным видам кредитования.

2.6. Из одного города в другой ежедневно отправляются пасса-жирские и скорые поезда.

В таблице указаны состав поездов каждого типа, количество имеющихся в парке вагонов различных видов для формирования по-

18

ездов и максимальное число пассажиров, на которое рассчитан вагон каждого вида:

Поезда Багажн. Почтов. Плацкарт. Купейн. Мягкий Скорый 1 1 5 6 3 Пассажир. 1 - 8 4 1 Число пассажиров

- - 58 40 32

Парк вагонов 12 8 81 70 26 Определите число скорых и пассажирских поездов, которые необхо-димо формировать ежедневно из имеющегося парка вагонов, чтобы число перевозимых пассажиров было максимально.

2.7. Для изготовления сплава из меди, олова и цинка в качестве сырья используют два сплава тех же металлов, отличающихся соста-вом и стоимостью. Данные о процентном содержании этих сплавов приведены в таблице

Компоненты сплава Сплав 1 Сплав 2 Медь 10% 10% Олово 10% 30% Цинк 80% 60% Стоимость 1 кг. 4 6

Получаемый сплав должен содержать не более 2 кг. меди, не менее 3 кг. олова, а содержание цинка может составлять от 7,2 до 12,8 кг. Найдите количества сплавов каждого вида, обеспечивающие получе-ние нового сплава с минимальными затратами на сырье.

2.8. Магазин продает два вида безалкогольных напитков: колу и лимонад. Доход от одной банки колы составляет 5 центов, тогда как доход от одной банки лимонада – 7 центов. В среднем магазин за день продает не более 500 банок обоих напитков. Несмотря на то, что колу выпускает известная торговая марка, покупатели предпочитают лимонад, поскольку он значительно дешевле. Подсчитано, что объе-мы продаж колы и лимонада должны соотноситься не менее 2:1. Кро-ме того, известно, что магазин продает не менее 100 банок колы в день. Сколько банок каждого напитка должен иметь магазин в начале рабочего дня для максимизации дохода?

2.9. Компания имеет возможность рекламировать свою продук-цию по местному радио и телевидению. Бюджет на рекламу ограничен суммой 10000 у.е. в месяц. Одна минута рекламного времени на ра-дио стоит 15 у.е., а на телевидении – 300 у.е. Компания предполагает, что реклама на радио по времени должна превышать рекламу на те-

19

левидении не менее, чем в два раза. Вместе с тем известно, что не-рационально использовать более 400 минут рекламы на радио в ме-сяц. Последние исследования показали, что реклама на телевидении в 25 раз эффективнее рекламы на радио. Разработайте оптимальный бюджет для рекламы на радио и телевидении.

2.10. Факультет послевузовского обучения местного колледжа предлагает в общей сложности до 30 курсов каждый семестр. Все кур-сы условно можно разбить на два типа: практические, такие как дере-вообработка, обучение работе на компьютере и т.п. и гуманитарные, например история, музыка и изобразительное искусство. Чтобы удов-летворить запросы обучающихся в каждом семестре должно предла-гаться не менее 10 курсов каждого типа. Факультет оценивает доход от одного практического курса в 1500 у.е., а гуманитарного – в 1000 у.е. Какова оптимальная структура курсов для факультета?

2.11. Завод бытовой химии производит два вида чистящих средств, А и В, используя при этом сырье 1 и 2. Обработка одной еди-ницы сырья 1 стоит 8 у.е., в результате производится 0.5 единицы средства А и столько же средства В. Обработка одной единицы сырья 2 стоит 5 у.е., в результате получается 0,6 единицы средства А и 0,4 единицы средства В. Ежедневное производство средства А должно быть не менее 10 и не более 15 единиц. Для средства В аналогичные ограничения составляют 12 и 20 единиц. Найдите оптимальную струк-туру выпуска чистящих средств.

2.12. Студент Джек решил распределить свое дневное время (10 часов) между учебой и игрой в баскетбол. Привлекательность игрово-го времени он оценивает в два раза выше, чем привлекательность времени, затраченного на учебу. Но имея совесть и чувство долга. Джек решил, что время игры не должно превышать время учебы. Кро-ме того, он заметил, что если выполнять все задания, на игру останет-ся не более 4 часов в день. Помогите Джеку распределить его днев-ное время так, чтобы он получал максимальное удовольствие и от ра-боты, и от игры.

2.13. Ресторан торгует порционными мясными пирогами и чиз-бургерами. На порцию мясного пирога идет четверть фунта мяса, а на чизбургер только 0,2 фунта. В начале рабочего дня в ресторане име-ется 200 фунтов мяса. Ресторан имеет доход 20 центов от одной порции мясного пирога и 15 центов от одного чизбургера. Ресторан не может продать в день более 900 порционных блюд. Какова должна быть доля чизбургеров, чтобы максимизировать доход ресторана?

20

2.14. Консервный завод перерабатывает за смену 60000 кг спе-лых помидоров (7 центов за кг) в томатный сок и пасту. Готовая про-дукция пакетируется в упаковки по 24 банки. Производство одной банки сока требует одного кг помидоров, а одной банки пасты – 3 кг. Заводской склад может принять за смену только 2000 упаковок сока и 6000 упаковок пасты. Оптовая цена одной упаковки томатного сока со-ставляет 18 долларов, одной упаковки томатной пасты – 9 долларов. Найти оптимальную структуру производства консервного завода.

2.15. Сформируйте вариант образования бензина АИ-92 и АИ-95, который обеспечивает максимальный доход от продажи, если имеется 50 тонн смеси 1 сорта и 30 тонн смеси 2-го сорта. На изготовление бензина АИ-92 идет 60% смеси 1 сорта и 40% смеси второго сорта, а на изготовление АИ-95 идет 80% смеси 1 сорта и 20% смеси второго сорта. Реализуется 1т бензина АИ-92 за 5000 рублей, а 1т бензина АИ-95 за 6000 рублей.

2.16. Фирма производит два безалкогольных напитка «Колоколь-чик» и «Буратино». Для производства «Колокольчика» требуется 0,02 ч работы оборудования, а для «Буратино» – 0,04, а расход специаль-ного ингредиента на них составляет 0,01 кг и 0,04 кг на 1 л соответст-венно. Ежедневно в распоряжении фирмы 16 кг специального ингре-диента и 24 ч работы оборудования. Доход от продажи одного литра «Колокольчика» составляет 0,25 рубля, а «Буратино» – 0,35. Опреде-лить ежедневный план производства напитков каждого вида, обеспе-чивающий максимальный доход от продажи.

2.17. Фирма производит и продает столы и шкафы и древесины хвойных и лиственных пород. Расход каждого вида в кубометрах на каждое изделие задан в таблице.

хвойные лиственные Цена изделия (тыс. руб.)

Стол 0,15 0,2 0,8 Шкаф 0,3 0,1 1,5 Запас древесины 80 40

Определить оптимальное количество столов и шкафов, которое сле-дует поставлять на продажу для получения максимального дохода фирмы. 2.18. Для сборки двух видов приборов и применяются три вида микросхем , ,A B C . На один прибор затрачивается одна мик-росхема A , две микросхемы B и одна микросхема C . Для прибора затраты микросхем , ,A B C соответственно составляют 3,1 и 2. Запас

21

микросхем A – 60 шт., B – 35 шт., C – 40 шт. Сколько приборов каж-дого вида следует собрать для получения максимального дохода, ес-ли цена одного прибора – 17 руб., а – 19 руб.