Upload
vc94
View
2
Download
0
Embed Size (px)
DESCRIPTION
harder maths problems
Citation preview
��������� �� ���������
��� ������ �� ��� ���� ��������� ����� ���� ��� �� � ��� �� � ��
����� ��� ���� �� �� � ������� � ��� �� �� � � � � ����
� � ��� � ������ �� ��� � � �����������
� ���� ���� ��� � �� �� ��� ���� � ���� �� ��� ����
�
������ �
������ �
������ � � � � ��� �
���� ����� ��� � � �
��
�
�
�� �
�� �� �
�� �
� �
���� � ��� ����� �� �� � � � ��
�� �!�� �� ��� �� ����
����� �
� ��� ������ ��
��� ������ ��
"� � � �#$���� ��� ����� � � �� ��� �� ��������� ����������� �
�� ��� �� � �%&
��� !!" #!$%&'
� ' ������ ��� (��� �� ����� � � � �#� � ��� �������� �� ��� �����(
$��$� ������ �� ������ �� �� �& �� $�� � �� (� � ���� $����� ������
� � �� ��� � � �� ) �� � � � �� ) ��
��$�������(� ����� )� �� ��� $������&
� )#$�� ����( � ���� �� )� �� � � � ��� ����
� ��( � ��)� � �� � ���
��� � ���� � � )��
�� "� � ��� ���� �� ���� ��� ��( � � ��� ����
���� (�� � ���� ��� � ���� ��( � ) � � �
��� *� � ���� ���� �� � $��$� ������ �� (�& ���� ���� � � &
+���� ����
�( � ��� ����� � � � ( $�� � � ���
� ��� � ��� ����� �(��
��,� ���� ����
� �-�� �� ��� � ��� ����� ����
��,� ���� �(��
& ��� *�� � +�,�� �)���� -�)� �&&&
�����
'� .��� ��� /.0 � 1���� )������ 2��& ����
��������� �� ���������
� 2�� ���� � �� �� ��
���� � �� � �� �� � � �
���� � ��� � �� ��� ��� ��
"��� � ��������
� �
� 3( �� ����� � ���� � � � ����� ��� ���� ���� � � ��� � � � � ��� &
�� ���� �������( ���� ���� � � ��� � � � � ��� &
��� ���� ���� ���� � � ��� � � � � ��� � � � �� �� ����
��� � �� � ��� ��� � � � �� � � �
��� � � � � ���&
�� 3( �� ����� �" ����"���
� ��� ���� " ���� � � ��� � � � � ���&
��� !!" #!$%&'
� �� ������� � ����� � ����� �� ��� ���� � � %&
��� � � �� � � �
��� �� �� � � ������ � � ��
-��� � ��� �� ��� � ������ � � ��
� ��
��� � � ���
�� �
�
� ��� �� �� �
�
� ��� �
�
�� �� �
�
� ��� �
� � %&
)#$��� �������( ���� � ��� � ���� ��� ����� �&
� 0������ ��� ����� � �� ��� ������( ��� ��� �� ��� �� !� ������ �
���� �� � � ��� ���� �� � � ��� � ��& �����������
� �� � $������ �!�� ��� ��� � � � � �� � ����� ���� ����(
�� � �� �
��� �� � �� �
��� � � � � ��� � � �� �
��
� � ���
�� � �� �
������ ����
� ��� ��� � � � ��� � ��
�� �� � �� � � �� � ������
�
��� �� � �� � � � � � �� &
4� �� �� � ��� ���� �� ��& ��� !!! #!$./'
�
��������� �� ���������
'� .��� ��� /.0 � 1���� )������ 2��& ����
� �� ������� ��� � ������ �� ��� � � � ���� �����
����� ��� ��� �� ��� ���� ��� �(� �� ��� $�� � -� �� � � �&
�� ���� ��� � ������ ����
A
P
B CR
QO
�( � �� � � � � � ��� (�� � ��� ����� � � � ���&
� 1���� ���� � � � � �� ���� � ��
�� ���� ���� �� � � ��� ����� ��( ���� � �
���� ��� ���� ���
� � � ��
�
� � �� �
��� 3(��� �� � �$$��$����� ���� ������� � ��� ���� �� ��� ����� ��( ����&
� 3( ��� �� � �$$��$����� !������ � �� ��������� ������� �#����( ��
��
� � �� ���� � ��
��
� � ��� 0�� �� 1,�� � � ���� ��� �)) ����� � � ���� ���
���0� � � � �������� 0���� ��)) ��1 0 ��1� ��� #��(' �&&&
�5�� ���� ��� ���� �#��� ���� ��� ��� ���� � $���������� &�
� 1���� ���� ��� ����� ��� �� ������� $�������� ����� �� !� � ���!�� � � ����
������ � � -���&
�� ���� ��� �� ��� � ���� �� ��#���� � ��� � �� �� ��� �� ��� �� ���
����� ���� �� ��, �� ��#���� ��� � �� ��� $���� �� ��� �� ��� �� ����
��� ��� ���& ���� ��$$� �� � � �� ���� ��$$� �� � � �� 6���( (��
� ���& ��� !!" #!$./'
� 7��� ���� � � ��� �� � ��� ���� �� � �� ���� ���
����� ��
�� � ��
������������
� � "� � ��� ������� � � ���� ���� �� ��� � ��� ��������� ���� ���� �
�������( !����� ��� ��� � � �� � � � � � � � �&
�� "� � ��� ������� � � ���� ���� �� ��� � ��� �� ����� ���� ���
��������� ���� ���� � �������( !����� ��� ��� ���� �� ���� ���
������� � ���� �� � � � �& ��� !!! #!$./'
�'� .��� ��� /.0 � 1���� )������ 2��& ����
��������� �� ���������
��
x
Q
BRC
S
O λ
λ
µ
µ
P A
y
�� �� -��� ��(� �� ������� ���� ��� ���� ��� (��� �� � � ���� ��& 1�� �
-� �� �� � ��� ��,� � ��� ��� ��� �(� (�� �� ��$�������( � ����
�- � �� � � � � (� � �� � �� ����� � � � � ���� ��� !����� � � � �� �
��� � ��� �������& �,� ���� � � � � ��
�� � �&
� ����� ��� � ���� �� � � � �
-���
� ����
�� ���� ���� -���
� � ����
��� $��$� ������&
�� $�� � 2 � ��,� � ���� �2�� � ��
���� ����
&
��� ���� ���� �2�� � �� ��� ��� � � -2
�� � ��� ���� � �� ����� � � �� �&
�� 4� ��� �� ��������� ��� ���� � ��� �2- � ���&
� 7��� ���� -� � � � 2 ��� ����� ���� ��� ���� � � �&��� *�� � +�,�� �)���� -�)� !!!
� �� ������ �� � � �� ���� �-���� �� � �� � ��� � � � � �
�� � �� � ��� ��� � � � ��$�������(& 1���� ���� � � �� ���� ������ ���
� �����( ����� ��� �����&
� �� $�� � ���� ��� ���� ��� (��� �� � � ���� ��� ����� � � � � ��� $������
�� �� �� ��� ��� ������� �� � ����� ���& �� �����!�� $�� � - ��
������ ��� ��� �� � � ���� � �� � ��( ����
-�� � -�� � -(� � -�� � ��� ����� � � � $������ �� �� �&
���� ���� -�� � -�� � -(� � -�� �� !� ������ � ��� ����
� ��� �� � ��� ���� �� �
����� � � � � � ��� �� !� �#$���� � ���� �� � � � �&
+����!� ������������( ��� $��!�� $����� �� - � ���� �� ��� ���
� �� � �� � ��8
�� �� � �� � ��8
��� �� � �� � ��&
�
��������� �� ���������
'� .��� ��� /.0 � 1���� )������ 2��& ����
� ' ���� � ���� �� � �� � ��( ���� ��� ������ � �� ���� $�� � ���� �� �
$��$� ������ �� ��� �� � 9�� � � � �� ��� ��#�� $�� � ���� ��& ����� ��� �
������� ���� �-���� �#$��� ���
��� ���� �� � � � �&
"� � ��� �� ���� ����� �� ��� ������� ���� �-���� &
* ��� ��� ��� ��� ���� $�� ������ ��� $�� � �:� ��� ��� ���� ���
���� � � ������ � � �� � �� �� ��� � � ����& ��� #��(' �&&&
�5�� ���� ��� ���� �#��� ���� ��� ��� ���� � $���������� &�
�
x
f(x)
�2 �1
�� ����� ��� � ,���� �� ��� ���$� �� � ������
���� � �
��� ����� ��� � �� � � ��� � � ��
"� � ��� �#��� ���� �� ��� ������ ��� �� ��� ����� ��( $�� � �� ����&
;�� � ��� ���� !� � ��� ���� )� �� � ����� )� � � � ��� � �����&
� "� � ��� �� �� �� ���� �� � ��� ����� ���� � � �� � ���� ����&
� "� � ��� ���� �� � �� ����
���
���� �� � � �& �����������
� �� ���� ��� ���� $������������( !(
��� �� � ��� � ��� �� � ��� �� ��
��� �� � ��� � ��� �� � ���� �� ��
"� � ��� ������ � �� ��� �� �� � �� ��� ���� �� ��� $�� � ����� � � ��� �
� � ���&
�,����� � � ��� ��� �#�� ��� ���� ��� ������&
"� � ��� �-���� �� ��� ����� �� ��� ���� ��� �� ��� $�� � ���� $�������� �&
���� ���� ��� ����� � � �� �� � �� ��� ���� ���& ��� !!" #!$%&'
� "� �
��� � ��� ��& �����������
�'� .��� ��� /.0 � 1���� )������ 2��& ����
��������� �� ���������
� <( !� , $�( �= � ����� �� ��� � � �� ���� (���& * ���� ���� ���� � � �(
���� �& �� ��� � (��� * ��$��� >� � �( ���� � �� ��� !��� � � �� ����
(���& '���� ��� � � �� ��� ��� (���� * ������ ��$��� �� �������� ��� � (���&
���� ���� ��� ����� ��� � � �( ���� � �� ��� � � �� ��� $����� �
>� �� �� � � ��
� �
����� � �� ����
&
'� ��� !��� � � �� ���� �� ��� � (��� ������� � ��� $����� * �������� >� � �
��� ����� �( ���� � ��$�( ����� ��� ��� ����������& "� � � �#$���� ���
�
�� ���� �� � �� � � � �& ��� !!" #!$./'
� ���$���(
� � :� �� �� � � �� :�� �� � :� ���� � � �� :�&
� "� � �#$���� � � ���� �� � ��� - � � � � ����
� � � �� �� � ��� � � -�� � ��
� 1���� ���� ��� $������ � ����� �
� ��� � � � ���
� ��� �� � ���� �
� ������ ��� � � � � �� ��� �-����
�� �� �� �� �� ��� �� ��� �� :�� � ����� �
� "� � ��� �#��� ���� �� ��
��
� ��
� ���
� ������ ���� � � ���� � ���� ����� ���
� ���,� � � � �& �����������
� ?* ��� -���� ����� � ������ ��� � ���� �� � � ����� � ������ ��� � ����� �&@ �� � ���� � � ���� �� !( ���� � ���� )�� )� � �
����� ) � � � ��� � AB��� �� �� �&
� ���� ���� ����� � ����� )�� )� � � �� � � �#$���� ��� �����&
�� "� � � �#$���� � ���� �� )� � � � � ��� ������� ����� ��� � ���� ���� �� �&
��� 2�� ���� � ��� �� ����� � � � � ��� �� �� � �� � � �� ��& ���� ����
���� �� !� �#$���� � ��� ���� �� ����� � � ����� ����
����� � �� �� �
���
� �� �
���
� �� � ���� � � ���� �� !( ���� � ���� )�� � )� � �
� ���� ���� ����� � ����� )�� � )� � � �� � � �#$���� ��� �����&
�� 2�� ,��� � ��� � ��� �� ����� �� � � � � ��� �� �� � �� � ��& ����
���� ,��� �� � �( !� $� � ��� ���� �� ���� �� �� � ��� � ��&
��� *�� � +�,�� �)���� -�)� !!!
�
��������� �� ���������
'� .��� ��� /.0 � 1���� )������ 2��& ����
� ' ���� � �� �-���� � � ���� ���� � ���� � �& �� �A������ ��� �� ��� $�� � -
� ��� ���� � �& �� �� �� � � � ��� ����� �� � ��� ���� �� -&
�� �� �� � �� ��� �A�#� �� ��� $�� � � � � ��� ����� �� ��� �A�#� �� ���
$�� � (&
���� ���� ��� ���� �� ��-( �
�
������ �� � ����� ����
� ����
� �
� 7��� ���� ���� � ��� � � ��� ���� �� ��-( � ���� �� � ��� �#��� ���� �� �&
�����������
�� ' $(����� ��$�� �� ��� �� � ���� ���� � ��������,
�� ���� ������� ���� ��������& �� ��������, �� ��
�� ����� $���� �� ������� ���� �� ����� �� ��� �C ��&
�� -��� !�� -��� �� �� ��� � � � ���� �� ��
��� � �� �� ��� � ��& �� ��$ �����# 2 � �� ����
2- � 2� � 2� � 2�& O
S
P Q
R
T
"� � ��� �� ��� � �� �� �- � � -2� ���� � (��
� ��� � ���� �� �&
4� ��� ��� ���� � � � � �� ���� ����� � � � � ��� � ����� ���� ����
���� !� �����&
� "� � ��� ������� �2 ��� � � �� �� ��� ���� ��� ������ 3 ���� �� ���
� ������ �� ��� $(����� �� ��� �� � ���� !(
3 � ��
��
��CC� �C�� ��� �
�
1���� ���� 3 �� � � ��� ����� ��( ���� ��� � � ��� ���� � �
������� � �� ����& ��� #��(' !!"
�5�� ���� ��� ���� �#��� ���� ��� ��� ���� � $���������� &�
� 7��� ���� ��� ��������� � �� �� �� � � �� � ��� �#$� �� �� ��� ����� �����
��� � � � � � $������ �� �� �� ��� � ��������� $������� �
��� ���� � � ���� ��
��� ����� ��&
� 7��� ������ ���� !��� � � � � ��� $������ � ������ �� � ��� $��!�� $���
�� ���� ��� � � � �& ;� ���� ��� ������( ��� (� , �� ���� (�
���� �� � ��� ��� $��!�� $��� �� ����&
� "�� ��� ��� ��� � � ���� �� � ��� ���� �� ��� $������ � ����� �&
� 7��� ���� � � ���� � � � $������ � ����� � � ���� ��� ���� ���� �� ���
��������� $������� � ��� ��������� � �� �� �� � ��� �� ( ���� ��� ��-����
��� ��� � �� ��� ��������� ���� �� �#���� ���:& �����������
�'� .��� ��� /.0 � 1���� )������ 2��& ����
��������� �� ���������
�� 4�� �� ( � ����� ������� ��� �� �-�� �� B��� � � �� ��� � ������ ��� ��
�����!�� !( � �� �� ���� � ��� ������� ���� �� ���� � ������
4�� �� ( � ����� ������� ��� �� �-�� �� B��� � � �� ��� ��:% ��� ��
�����!�� !( � �� :� ���� � ��� ������� ���� �� ���� � ������
��� !!! #!$./'
��
x
P
Q
O
y
�� ������� ��� ��� ���� ���� !( ��� $��������� �-���� � � ���� � � ���&
� ���� ���� ��� �-���� �� ��� �� �� � �� ��� ���� �� -� ��� $�� � ����
$�������� �� �
�� ��� �� � �
�� D����( ���� ��� �� �� � �� - ���� ��� ���� ���� �� �� ��� $�� � ����
$�������� � ���&
��� "� � ��� ���� �� � ��� ����� ��� �� �� � �� - � ��� ����� �� �&
�� D����( ���� ��� .������ �-���� �� ��� ���� � � � � ���
� ��� &
���� ����� ��� � � �� ��� ���� �� ��� �� ��� ����� � ����� !����� -� � �
��� ���� � C����
��& ��� *�� � +�,�� �)���� -�)� �&&&
�� ����� �� ��� ������� � ������ � ��� ��� � � ����� ��� ����� 6���( (�� � ���&
� �� � � �� � ��� ��� �� � � �&
�� �� �� �� � � ��� �� ��� ��� ���� �&��� ���� �#�� � $��( ����� 1 �� ���� �1���� �� ������� ��� ��� ���� �&�� �� � �� ����� ��� ��� � � �& ��� !!" #!$./'
�
��������� �� ���������
'� .��� ��� /.0 � 1���� )������ 2��& ����
�� ;� ��� ���� ����
�� ����� ��
� � � ��
� ���� ����
�� ��� �� � ��
�'�
�� "� � � ����� ���� �� �� ����� ��
� ���� ����� �'� � ���&
;� ��� ���� ������ ����
�� � �� � � � ��
�3�
��� ���� ���� �� � � � �� � ��� ���� �� ��� -������� �-����
��� � ��� � � �
�� 4� �� �� � ��� $��� �� ���� ��� �� ���� ����( �-���� �'� � � �3� � �
��� �� ���� ��C�� � � � �C��� ��C�� � � � �C�� � � �� � � �� �& 7���
(�� � ��� ������� �� � ������� $����&
7��� � � $��� �� ���� ��� �� ���� ��,� �� ����� ��
� ��-�� �� ��� ����
(� �� � � $��� ��& ��� *�� � +�,�� �)���� -�)� !!!
�� 1�� � �� (� � � ����� ���� �� ���� ������ ��� ������ �� �� �� ��$�������(&
���� ���� ��� �� � 9�� � � ��� ������� �� ��� ���� ��� �(� �� ��� ���A$�� � ��
��� �$$���� ��� ���� �� � $�� � �&
- � � $�� � ����� � �� � ��� $�� � �(�& 2� � ��� ���� ������ ��� ���A
$�� � �� (�� �� � � �( $������� �� -�� -( � � -� ��$�������(& ����� ���
��� ������ �-���� �� ��� �� � � � ��� !( � $����� ���� ���� �� � ���� ��
� ����� $�� � �&
1���� ������ ���� ��� �� � -� ���� ��� $�� � �(� �� �& ��� !!" #!$%&'
�� �� ���� ���� �-���� � � � �� ��� ���� �� ��� � � �� � ,������ !����&
xO 1
y
+������ � ��� �� �� ���� �� � ��� ����� � � � � �� ����� � (�� � ��� �
���� �� �&
� .������� ��� ������ ��� �� ��� $�� � �� � ������� �� ��� ����&
� E� ��� !������ � � �� � � � �������� !( $���� �� ��������� �� �� ��� �� �� ��&
4� �� $���� ���� ��� �� ��� ���� !� ��� !( ��� ���� � � ��� �� � ����
�-���� � � � � ����& ��� #��(' !!%
�5�� ���� ��� ���� �#��� ���� ��� ��� ���� � $���������� &�
�'� .��� ��� /.0 � 1���� )������ 2��& ����
��������� �� ���������