9
Extension Exam Questions Any question marked uses techniques beyond those required for the A2 core. 1 Solve for values of x, in degrees, in the range 0 < x < 360, 5 sin 2x 2 cos x(2 cos 2x) 0 QCA/Edexcel 2 Show that the sum S N of the first N terms of the series 1 1:2:3 3 2:3:4 5 3:4:5 2n 1 n(n 1)(n 2) is 1 2 3 2 1 N 1 5 N 2 What is the limit of S N as N !1? The numbers a n are such that a n a n 1 (n 1)(2n 1) (n 2)(2n 3) Find an expression for a n =a 1 and hence, or otherwise, evaluate X 1 n 1 a n when a 1 2 9 . OCR 1998 (9470) 3 A coordinate system has origin O and axes in the directions of the mutually perpendicular unit vectors i, j, k. The points A, B, C have position vectors a r j qk, b r i p k, c q i p j, respectively, where p, q, r are positive. i Express cos AOB in terms of p, q, r, and show that sin AOB r p (p 2 q 2 r 2 ) p (q 2 r 2 ) p (r 2 p 2 ) ii Find the area of triangle AOB and show that area BOC : area COA : area AOB p : q : r iii It is given that OA is perpendicular to BC. Show that q r. Deduce that a SB SC, where S is any point on OA, b the angle which OB ! makes with AC ! is equal to the angle which OC ! makes with AB ! . OCR GCE A Level Special Paper 2000 ExtEQ 1 A2 Core for OCR # Pearson Education Ltd. 2005 Extension Exam Questions

Extension Exam Questions

  • Upload
    vc94

  • View
    2

  • Download
    0

Embed Size (px)

DESCRIPTION

harder maths problems

Citation preview

Page 1: Extension Exam Questions

��������� �� ���������

��� ������ �� ��� ���� ��������� ����� ���� ��� �� � ��� �� � ��

����� ��� ���� �� �� � ������� � ��� �� �� � � � � ����

� � ��� � ������ �� ��� � � �����������

� ���� ���� ��� � �� �� ��� ���� � ���� �� ��� ����

������ �

������ �

������ � � � � ��� �

���� ����� ��� � � �

��

�� �

�� �� �

�� �

� �

���� � ��� ����� �� �� � � � ��

�� �!�� �� ��� �� ����

����� �

� ��� ������ ��

��� ������ ��

"� � � �#$���� ��� ����� � � �� ��� �� ��������� ����������� �

�� ��� �� � �%&

��� !!" #!$%&'

� ' ������ ��� (��� �� ����� � � � �#� � ��� �������� �� ��� �����(

$��$� ������ �� ������ �� �� �& �� $�� � �� (� � ���� $����� ������

� � �� ��� � � �� ) �� � � � �� ) ��

��$�������(� ����� )� �� ��� $������&

� )#$�� ����( � ���� �� )� �� � � � ��� ����

� ��( � ��)� � �� � ���

��� � ���� � � )��

�� "� � ��� ���� �� ���� ��� ��( � � ��� ����

���� (�� � ���� ��� � ���� ��( � ) � � �

��� *� � ���� ���� �� � $��$� ������ �� (�& ���� ���� � � &

+���� ����

�( � ��� ����� � � � ( $�� � � ���

� ��� � ��� ����� �(��

��,� ���� ����

� �-�� �� ��� � ��� ����� ����

��,� ���� �(��

& ��� *�� � +�,�� �)���� -�)� �&&&

�����

'� .��� ��� /.0 � 1���� )������ 2��& ����

��������� �� ���������

Page 2: Extension Exam Questions

� 2�� ���� � �� �� ��

���� � �� � �� �� � � �

���� � ��� � �� ��� ��� ��

"��� � ��������

� �

� 3( �� ����� � ���� � � � ����� ��� ���� ���� � � ��� � � � � ��� &

�� ���� �������( ���� ���� � � ��� � � � � ��� &

��� ���� ���� ���� � � ��� � � � � ��� � � � �� �� ����

��� � �� � ��� ��� � � � �� � � �

��� � � � � ���&

�� 3( �� ����� �" ����"���

� ��� ���� " ���� � � ��� � � � � ���&

��� !!" #!$%&'

� �� ������� � ����� � ����� �� ��� ���� � � %&

��� � � �� � � �

��� �� �� � � ������ � � ��

-��� � ��� �� ��� � ������ � � ��

� ��

��� � � ���

�� �

� ��� �� �� �

� ��� �

�� �� �

� ��� �

� � %&

)#$��� �������( ���� � ��� � ���� ��� ����� �&

� 0������ ��� ����� � �� ��� ������( ��� ��� �� ��� �� !� ������ �

���� �� � � ��� ���� �� � � ��� � ��& �����������

� �� � $������ �!�� ��� ��� � � � � �� � ����� ���� ����(

�� � �� �

��� �� � �� �

��� � � � � ��� � � �� �

��

� � ���

�� � �� �

������ ����

� ��� ��� � � � ��� � ��

�� �� � �� � � �� � ������

��� �� � �� � � � � � �� &

4� �� �� � ��� ���� �� ��& ��� !!! #!$./'

��������� �� ���������

'� .��� ��� /.0 � 1���� )������ 2��& ����

Page 3: Extension Exam Questions

� �� ������� ��� � ������ �� ��� � � � ���� �����

����� ��� ��� �� ��� ���� ��� �(� �� ��� $�� � -� �� � � �&

�� ���� ��� � ������ ����

A

P

B CR

QO

�( � �� � � � � � ��� (�� � ��� ����� � � � ���&

� 1���� ���� � � � � �� ���� � ��

�� ���� ���� �� � � ��� ����� ��( ���� � �

���� ��� ���� ���

� � � ��

� � �� �

��� 3(��� �� � �$$��$����� ���� ������� � ��� ���� �� ��� ����� ��( ����&

� 3( ��� �� � �$$��$����� !������ � �� ��������� ������� �#����( ��

��

� � �� ���� � ��

��

� � ��� 0�� �� 1,�� � � ���� ��� �)) ����� � � ���� ���

���0� � � � �������� 0���� ��)) ��1 0 ��1� ��� #��(' �&&&

�5�� ���� ��� ���� �#��� ���� ��� ��� ���� � $���������� &�

� 1���� ���� ��� ����� ��� �� ������� $�������� ����� �� !� � ���!�� � � ����

������ � � -���&

�� ���� ��� �� ��� � ���� �� ��#���� � ��� � �� �� ��� �� ��� �� ���

����� ���� �� ��, �� ��#���� ��� � �� ��� $���� �� ��� �� ��� �� ����

��� ��� ���& ���� ��$$� �� � � �� ���� ��$$� �� � � �� 6���( (��

� ���& ��� !!" #!$./'

� 7��� ���� � � ��� �� � ��� ���� �� � �� ���� ���

����� ��

�� � ��

������������

� � "� � ��� ������� � � ���� ���� �� ��� � ��� ��������� ���� ���� �

�������( !����� ��� ��� � � �� � � � � � � � �&

�� "� � ��� ������� � � ���� ���� �� ��� � ��� �� ����� ���� ���

��������� ���� ���� � �������( !����� ��� ��� ���� �� ���� ���

������� � ���� �� � � � �& ��� !!! #!$./'

�'� .��� ��� /.0 � 1���� )������ 2��& ����

��������� �� ���������

Page 4: Extension Exam Questions

��

x

Q

BRC

S

O λ

λ

µ

µ

P A

y

�� �� -��� ��(� �� ������� ���� ��� ���� ��� (��� �� � � ���� ��& 1�� �

-� �� �� � ��� ��,� � ��� ��� ��� �(� (�� �� ��$�������( � ����

�- � �� � � � � (� � �� � �� ����� � � � � ���� ��� !����� � � � �� �

��� � ��� �������& �,� ���� � � � � ��

�� � �&

� ����� ��� � ���� �� � � � �

-���

� ����

�� ���� ���� -���

� � ����

��� $��$� ������&

�� $�� � 2 � ��,� � ���� �2�� � ��

���� ����

&

��� ���� ���� �2�� � �� ��� ��� � � -2

�� � ��� ���� � �� ����� � � �� �&

�� 4� ��� �� ��������� ��� ���� � ��� �2- � ���&

� 7��� ���� -� � � � 2 ��� ����� ���� ��� ���� � � �&��� *�� � +�,�� �)���� -�)� !!!

� �� ������ �� � � �� ���� �-���� �� � �� � ��� � � � � �

�� � �� � ��� ��� � � � ��$�������(& 1���� ���� � � �� ���� ������ ���

� �����( ����� ��� �����&

� �� $�� � ���� ��� ���� ��� (��� �� � � ���� ��� ����� � � � � ��� $������

�� �� �� ��� ��� ������� �� � ����� ���& �� �����!�� $�� � - ��

������ ��� ��� �� � � ���� � �� � ��( ����

-�� � -�� � -(� � -�� � ��� ����� � � � $������ �� �� �&

���� ���� -�� � -�� � -(� � -�� �� !� ������ � ��� ����

� ��� �� � ��� ���� �� �

����� � � � � � ��� �� !� �#$���� � ���� �� � � � �&

+����!� ������������( ��� $��!�� $����� �� - � ���� �� ��� ���

� �� � �� � ��8

�� �� � �� � ��8

��� �� � �� � ��&

��������� �� ���������

'� .��� ��� /.0 � 1���� )������ 2��& ����

Page 5: Extension Exam Questions

� ' ���� � ���� �� � �� � ��( ���� ��� ������ � �� ���� $�� � ���� �� �

$��$� ������ �� ��� �� � 9�� � � � �� ��� ��#�� $�� � ���� ��& ����� ��� �

������� ���� �-���� �#$��� ���

��� ���� �� � � � �&

"� � ��� �� ���� ����� �� ��� ������� ���� �-���� &

* ��� ��� ��� ��� ���� $�� ������ ��� $�� � �:� ��� ��� ���� ���

���� � � ������ � � �� � �� �� ��� � � ����& ��� #��(' �&&&

�5�� ���� ��� ���� �#��� ���� ��� ��� ���� � $���������� &�

x

f(x)

�2 �1

�� ����� ��� � ,���� �� ��� ���$� �� � ������

���� � �

��� ����� ��� � �� � � ��� � � ��

"� � ��� �#��� ���� �� ��� ������ ��� �� ��� ����� ��( $�� � �� ����&

;�� � ��� ���� !� � ��� ���� )� �� � ����� )� � � � ��� � �����&

� "� � ��� �� �� �� ���� �� � ��� ����� ���� � � �� � ���� ����&

� "� � ��� ���� �� � �� ����

���

���� �� � � �& �����������

� �� ���� ��� ���� $������������( !(

��� �� � ��� � ��� �� � ��� �� ��

��� �� � ��� � ��� �� � ���� �� ��

"� � ��� ������ � �� ��� �� �� � �� ��� ���� �� ��� $�� � ����� � � ��� �

� � ���&

�,����� � � ��� ��� �#�� ��� ���� ��� ������&

"� � ��� �-���� �� ��� ����� �� ��� ���� ��� �� ��� $�� � ���� $�������� �&

���� ���� ��� ����� � � �� �� � �� ��� ���� ���& ��� !!" #!$%&'

� "� �

��� � ��� ��& �����������

�'� .��� ��� /.0 � 1���� )������ 2��& ����

��������� �� ���������

Page 6: Extension Exam Questions

� <( !� , $�( �= � ����� �� ��� � � �� ���� (���& * ���� ���� ���� � � �(

���� �& �� ��� � (��� * ��$��� >� � �( ���� � �� ��� !��� � � �� ����

(���& '���� ��� � � �� ��� ��� (���� * ������ ��$��� �� �������� ��� � (���&

���� ���� ��� ����� ��� � � �( ���� � �� ��� � � �� ��� $����� �

>� �� �� � � ��

� �

����� � �� ����

&

'� ��� !��� � � �� ���� �� ��� � (��� ������� � ��� $����� * �������� >� � �

��� ����� �( ���� � ��$�( ����� ��� ��� ����������& "� � � �#$���� ���

�� ���� �� � �� � � � �& ��� !!" #!$./'

� ���$���(

� � :� �� �� � � �� :�� �� � :� ���� � � �� :�&

� "� � �#$���� � � ���� �� � ��� - � � � � ����

� � � �� �� � ��� � � -�� � ��

� 1���� ���� ��� $������ � ����� �

� ��� � � � ���

� ��� �� � ���� �

� ������ ��� � � � � �� ��� �-����

�� �� �� �� �� ��� �� ��� �� :�� � ����� �

� "� � ��� �#��� ���� �� ��

��

� ��

� ���

� ������ ���� � � ���� � ���� ����� ���

� ���,� � � � �& �����������

� ?* ��� -���� ����� � ������ ��� � ���� �� � � ����� � ������ ��� � ����� �&@ �� � ���� � � ���� �� !( ���� � ���� )�� )� � �

����� ) � � � ��� � AB��� �� �� �&

� ���� ���� ����� � ����� )�� )� � � �� � � �#$���� ��� �����&

�� "� � � �#$���� � ���� �� )� � � � � ��� ������� ����� ��� � ���� ���� �� �&

��� 2�� ���� � ��� �� ����� � � � � ��� �� �� � �� � � �� ��& ���� ����

���� �� !� �#$���� � ��� ���� �� ����� � � ����� ����

����� � �� �� �

���

� �� �

���

� �� � ���� � � ���� �� !( ���� � ���� )�� � )� � �

� ���� ���� ����� � ����� )�� � )� � � �� � � �#$���� ��� �����&

�� 2�� ,��� � ��� � ��� �� ����� �� � � � � ��� �� �� � �� � ��& ����

���� ,��� �� � �( !� $� � ��� ���� �� ���� �� �� � ��� � ��&

��� *�� � +�,�� �)���� -�)� !!!

��������� �� ���������

'� .��� ��� /.0 � 1���� )������ 2��& ����

Page 7: Extension Exam Questions

� ' ���� � �� �-���� � � ���� ���� � ���� � �& �� �A������ ��� �� ��� $�� � -

� ��� ���� � �& �� �� �� � � � ��� ����� �� � ��� ���� �� -&

�� �� �� � �� ��� �A�#� �� ��� $�� � � � � ��� ����� �� ��� �A�#� �� ���

$�� � (&

���� ���� ��� ���� �� ��-( �

������ �� � ����� ����

� ����

� �

� 7��� ���� ���� � ��� � � ��� ���� �� ��-( � ���� �� � ��� �#��� ���� �� �&

�����������

�� ' $(����� ��$�� �� ��� �� � ���� ���� � ��������,

�� ���� ������� ���� ��������& �� ��������, �� ��

�� ����� $���� �� ������� ���� �� ����� �� ��� �C ��&

�� -��� !�� -��� �� �� ��� � � � ���� �� ��

��� � �� �� ��� � ��& �� ��$ �����# 2 � �� ����

2- � 2� � 2� � 2�& O

S

P Q

R

T

"� � ��� �� ��� � �� �� �- � � -2� ���� � (��

� ��� � ���� �� �&

4� ��� ��� ���� � � � � �� ���� ����� � � � � ��� � ����� ���� ����

���� !� �����&

� "� � ��� ������� �2 ��� � � �� �� ��� ���� ��� ������ 3 ���� �� ���

� ������ �� ��� $(����� �� ��� �� � ���� !(

3 � ��

��

��CC� �C�� ��� �

1���� ���� 3 �� � � ��� ����� ��( ���� ��� � � ��� ���� � �

������� � �� ����& ��� #��(' !!"

�5�� ���� ��� ���� �#��� ���� ��� ��� ���� � $���������� &�

� 7��� ���� ��� ��������� � �� �� �� � � �� � ��� �#$� �� �� ��� ����� �����

��� � � � � � $������ �� �� �� ��� � ��������� $������� �

��� ���� � � ���� ��

��� ����� ��&

� 7��� ������ ���� !��� � � � � ��� $������ � ������ �� � ��� $��!�� $���

�� ���� ��� � � � �& ;� ���� ��� ������( ��� (� , �� ���� (�

���� �� � ��� ��� $��!�� $��� �� ����&

� "�� ��� ��� ��� � � ���� �� � ��� ���� �� ��� $������ � ����� �&

� 7��� ���� � � ���� � � � $������ � ����� � � ���� ��� ���� ���� �� ���

��������� $������� � ��� ��������� � �� �� �� � ��� �� ( ���� ��� ��-����

��� ��� � �� ��� ��������� ���� �� �#���� ���:& �����������

�'� .��� ��� /.0 � 1���� )������ 2��& ����

��������� �� ���������

Page 8: Extension Exam Questions

�� 4�� �� ( � ����� ������� ��� �� �-�� �� B��� � � �� ��� � ������ ��� ��

�����!�� !( � �� �� ���� � ��� ������� ���� �� ���� � ������

4�� �� ( � ����� ������� ��� �� �-�� �� B��� � � �� ��� ��:% ��� ��

�����!�� !( � �� :� ���� � ��� ������� ���� �� ���� � ������

��� !!! #!$./'

��

x

P

Q

O

y

�� ������� ��� ��� ���� ���� !( ��� $��������� �-���� � � ���� � � ���&

� ���� ���� ��� �-���� �� ��� �� �� � �� ��� ���� �� -� ��� $�� � ����

$�������� �� �

�� ��� �� � �

�� D����( ���� ��� �� �� � �� - ���� ��� ���� ���� �� �� ��� $�� � ����

$�������� � ���&

��� "� � ��� ���� �� � ��� ����� ��� �� �� � �� - � ��� ����� �� �&

�� D����( ���� ��� .������ �-���� �� ��� ���� � � � � ���

� ��� &

���� ����� ��� � � �� ��� ���� �� ��� �� ��� ����� � ����� !����� -� � �

��� ���� � C����

��& ��� *�� � +�,�� �)���� -�)� �&&&

�� ����� �� ��� ������� � ������ � ��� ��� � � ����� ��� ����� 6���( (�� � ���&

� �� � � �� � ��� ��� �� � � �&

�� �� �� �� � � ��� �� ��� ��� ���� �&��� ���� �#�� � $��( ����� 1 �� ���� �1���� �� ������� ��� ��� ���� �&�� �� � �� ����� ��� ��� � � �& ��� !!" #!$./'

��������� �� ���������

'� .��� ��� /.0 � 1���� )������ 2��& ����

Page 9: Extension Exam Questions

�� ;� ��� ���� ����

�� ����� ��

� � � ��

� ���� ����

�� ��� �� � ��

�'�

�� "� � � ����� ���� �� �� ����� ��

� ���� ����� �'� � ���&

;� ��� ���� ������ ����

�� � �� � � � ��

�3�

��� ���� ���� �� � � � �� � ��� ���� �� ��� -������� �-����

��� � ��� � � �

�� 4� �� �� � ��� $��� �� ���� ��� �� ���� ����( �-���� �'� � � �3� � �

��� �� ���� ��C�� � � � �C��� ��C�� � � � �C�� � � �� � � �� �& 7���

(�� � ��� ������� �� � ������� $����&

7��� � � $��� �� ���� ��� �� ���� ��,� �� ����� ��

� ��-�� �� ��� ����

(� �� � � $��� ��& ��� *�� � +�,�� �)���� -�)� !!!

�� 1�� � �� (� � � ����� ���� �� ���� ������ ��� ������ �� �� �� ��$�������(&

���� ���� ��� �� � 9�� � � ��� ������� �� ��� ���� ��� �(� �� ��� ���A$�� � ��

��� �$$���� ��� ���� �� � $�� � �&

- � � $�� � ����� � �� � ��� $�� � �(�& 2� � ��� ���� ������ ��� ���A

$�� � �� (�� �� � � �( $������� �� -�� -( � � -� ��$�������(& ����� ���

��� ������ �-���� �� ��� �� � � � ��� !( � $����� ���� ���� �� � ���� ��

� ����� $�� � �&

1���� ������ ���� ��� �� � -� ���� ��� $�� � �(� �� �& ��� !!" #!$%&'

�� �� ���� ���� �-���� � � � �� ��� ���� �� ��� � � �� � ,������ !����&

xO 1

y

+������ � ��� �� �� ���� �� � ��� ����� � � � � �� ����� � (�� � ��� �

���� �� �&

� .������� ��� ������ ��� �� ��� $�� � �� � ������� �� ��� ����&

� E� ��� !������ � � �� � � � �������� !( $���� �� ��������� �� �� ��� �� �� ��&

4� �� $���� ���� ��� �� ��� ���� !� ��� !( ��� ���� � � ��� �� � ����

�-���� � � � � ����& ��� #��(' !!%

�5�� ���� ��� ���� �#��� ���� ��� ��� ���� � $���������� &�

�'� .��� ��� /.0 � 1���� )������ 2��& ����

��������� �� ���������