Expos© ARIMA

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Statistique Appliqué, le modèle ARIMA

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  • Universit Hassan II Facult des Sciences Juridiques, conomiques et Sociales Mohammedia

    ARIMA

    Encadr par: Mr Ouia ralis par: KERBALI Imane JAMAL Aziza TAHIRI Sanaa SAANANE Fathi Amine

  • plan

    Rsumer

    Introduction Partie I:rappel AR,MA, ARMA

    Partie II:les modles ARIMA 1)Dfinition 2)les applications des modles ARIMA 3)La notion de la stationnarit 4)prsentation du modle ARIMA Partie III:cas pratique Conclusion

  • Rsum Franais/AnglaisCe travail consiste traiter le modle ARIMA qui traite les sries chronologiques dites non stationnaires aprs avoir dterminer le niveau dintgration c'est--dire le nombre de fois quil faut pour diffrencier la srie avant de la rendre stationnaire. Mais ce modle souffre dune lacune majeure : il est incapable de traiter simultanment plus dune variable (srie).Pour concrtiser ce modle, on a procder ltude des exportations marocaines de phosphate entre 2001 et 2009.

    This work is about the ARIMA model. It treats the time series called no stationary after determining the level of integration ie how many times it takes to differentiate the series before making it stationary. But this model suffers from a major shortcoming: it is unable to study more than one variable (series).To realize this model, we worked on Moroccan phosphate exports between 2001 and 2009.

  • introduction

    Il existe deux catgories de modles pour rendre compte dune srie chronologique.-la premire considre que les donnes sont une fonction du temps y=f(t).-la seconde, et qui fera objet de notre expos, cherche dterminer chaque valeur de la srie en fonction des valeurs qui prcdent y=f(y(t-1);y(t-2);..)Cest le cas des modles Auto-Regressive-Integrated-Moving-Average: ARIMA

  • partie I: Rappel AR,MA, ARMA

    Les processus auto-rgressif AR(P),les processus moyenne mobile MA(q) et les processus ARMA(p,q) ont t introduits comme processus alatoires stationnaire.

    Il serviront de modles pour dcrire lvolution des S.C cd premire srie chronologique pourra tre vue comme une ralisation de ce processus ARMA .

  • Le modle ARMA combine la partie AR et la partie MA. En autre termes il contient des valeurs passes Xt-1; Xt-2 ;.; Xt-p et des erreurs passes et-1 ; et-2.; et-q

    quation de ARMA :

  • Partie II:les modles ARIMA

    1) dfinition:

    Pour les modles ARIMA, cest le pass de la srie ( sa mmoire) qui explique son comportement prsent et futur.

    L'objectif essentiel donc des modles ARIMA est de permettre une prdiction de l'volution prsente ou future d'un phnomne partir des donnes du pass.

  • 2)les applications des modles ARIMA

    Reprer les tendances et cycles: Grce aux tendances et aux cycles, il est ainsi possible danalyser les interactions entres diverses variables, afin datteindre un quilibre.

    Corriger des variations saisonnires: En comparant le niveau saisonnier entre deux annes par exemple, on va pouvoir en dduire un comportement. Celui-ci apportera des informations supplmentaires indispensable afin daffiner les valeurs saisonnires, et apprhender leurs volutions.

  • Contrler les processus: Il est indispensable de dresser une carte des variables ayant une forte influence sur les reste de lconomie, afin danticiper les volutions possibles.

  • Les modles ARIMA ne sont appropris que lorsque la srie temporelles ou chronologique est stationnaire (c'est--dire que les moyennes, variances, et autocorrlations doivent tre sensiblement constantes au cours du temps).

  • 3)La notion de la stationnarit

    Avant de traiter la srie chronologique,il faut tudier son esprance et sa variance.

    Si ces derniers varient dans le temps la srie chronologique est non stationnaire,dans le cas contraire la srie est donc stationnaire.

  • On distingue 2 types de non stationnarit :

    Processus de type TS(trend stationary): Reprsente le non stationnarit de nature dterministe.

    Processus de type DS(differency stationary): reprsente les processus non stationnaire alatoires

  • Test de dickey-fuller (DF) :test de racine unitaire

    Ce test permet de mettre en vidence le caractre stationnaire ou non dune chronique par la dtermination dune tendance dterministe ou stochastique

  • 4) prsentation du modle ARIMA

    Un modle ARIMA est tiquet comme modle ARIMA (p,d,q), dans lequel:

    p est le nombre de termes auto-rgressifs.d est le nombre de diffrences.q est le nombre de moyennes mobiles.

  • la diffrenciationL'estimation des modles ARIMA suppose que l'on travaille sur une srie stationnaire. Ceci signifie que la moyenne de la srie est constante dans le temps, ainsi que la variance. La meilleure mthode pour liminer toute tendance est de diffrencier, c'est--dire de remplacer la srie originale par la srie des diffrences adjacentes. Une srie temporelle qui a besoin d'tre diffrencie pour atteindre la stationnarit est considre comme une version intgre d'une srie stationnaire (d'o le terme Integrated).

  • Une diffrenciation d'ordre 1 suppose que la diffrence entre deux valeurs successives de y est constante.

    est la constante du modle, et reprsente la diffrence moyenne en y. Un tel modle est un ARIMA(0,1,0). Il peut tre reprsent comme un accroissement linaire en fonction du temps. Si est gal 0, la srie est stationnaire. Les modles d'ordre 2 travaillent non plus sur les diffrences brutes, mais sur les diffrences de diffrence. La seconde diffrence de y au moment t est gale (yt -yt-1) - (yt-1 - yt-2), c'est- dire yt 2yt-1 + yt-2. Un modle ARIMA(0,2,0) obira lquation de prdiction suivante :

  • lauto-rgression

    Les modles autorgressifs supposent que Xt est une fonction linaire des valeurs prcdentes.

    chaque observation est constitue d'une composante alatoire (choc alatoire, ) et d'une combinaison linaire des observations prcdentes. 1, 2 et 3 dans cette quation sont les coefficients d'auto-rgression. Pour un modle ARIMA(1,1,0) on aura : yt yt-1 = + (yt-1 yt-2) + t

  • la moyenne mobile

    Les modles (MA) supposent que chaque point est fonction des erreurs entachant les points prcdant, plus sa propre erreur. Yt=et-1et-1- 2 et-2.- q et-q

    Comme prcdemment cette quation porte soit sur les donnes brutes, soit sur les donnes diffrencies si une diffrenciation a t ncessaire. Pour un modle ARIMA(0,1,1) on aura :

    yt yt-1 = - t-1 + t

  • On peut galement envisager des modles mixtes: par exemple un modle ARIMA(1,1,1) aura l'quation de prdiction suivante: yt = + yt-1 + (yt-1 yt-2) - 1t-1 + t

  • Partie III: cas pratique

    Les exportations marocaines de phosphate

  • Le modle : ARIMA (5,6,7)

  • conclusion

  • Merci pour votre attention