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Experimentos Balanceadoscom Dois Fatores
Experimentos com dois fatores cruzados fixos
Exemplo1. Objetivo. Investigar os efeitos do preco de venda e
do tipo de campanha promocional nas vendas de certo produto.
Preco: R$ 1,00, R$ 1,20 e R$ 1,50. Campanha: Jornal, Tele-
visao.
Tratamentos Descricao1 R$ 1,00; Jornal2 R$ 1,20; Jornal3 R$ 1,50; Jornal4 R$ 1,00; Televisao5 R$ 1,20; Televisao6 R$ 1,50; Televisao
1
Doze comunidades de mesma densidade populacional e carac-
terısticas socio-economicas foram escolhidas ao acaso. Os tra-
tamentos foram atribuıdos a elas de forma aleatoria, de modo
que o mesmo tratamento foi alocado a 2 comunidades.
Resumo. Estudo experimental balanceado, completamente ca-
sualizado com dois fatores fixos e cruzados.
2
Exemplo 2. Objetivo. Estudar os efeitos da renda familiaranual e estagio da vida familiar nas aplicacoes financeiras.
Renda Familiar: R$ < 15000,00, R$ 15000,00 a menos de30000,00, R$ 30000,00 a menos de R$ 50000,00 e igual ousuperior a R$ 50000,00. Fator A - 4 nıveis.
Estagio da vida familiar: 1, 2, 3 e 4. Fator B - 4 nıveis.
Numero de tratamentos: 16; Unidade experimental: famılia.
Foram selecionadas 20 famılias com as caracterısticas de rendafamiliar e estagio de vida familiar requeridos para cada trata-mento definido. No total foram selecionadas 320 famılias.
Resumo. Estudo observacional balanceado, completamente ca-sualizado com dois fatores fixos e cruzados.
3
Exemplo 3. Objetivo. Estudar os efeitos genero e de tresdrogas para tratar a hipertensao sobre a pressao sanguınea.
Drogas: A, B e C. Fator A - 3 nıveis.
Genero: Masculino, Feminino. Fator B (Bloco) - 2 nıveis.
Numero de tratamentos: 6; Unidade experimental: paciente hi-pertenso.
Foram selecionados 30 pacientes homens hipertensos e 30 paci-entes mulheres hipertensas. Dos 30 homens, 10 foram sorteadospara receber cada droga. O mesmo ocorreu para as 30 mulheres.No total foram selecionados 60 pacientes.
Resumo. Temos um fator observacional (genero) e um fatorexperimental (droga).
4
Estudos fatoriais completos e fracionarios
Completos: Todas as possıveis combinacoes dos nıveis dos fa-
tores (tratamentos) sao incluıdas no estudo.
Fracionarios: Ocorre quando o numero de combinacoes de
nıveis dos fatores (tratamentos) e muito grande. Apenas uma
fracao dessas combinacoes e considerada. O planejamento e re-
alizado de modo que informacoes sobre os efeitos principais dos
fatores possam ser estabelecidas.
5
Interpretacao dos elementosdo modelo de ANOVA
Vamos considerar a princıpio que as medias populacionais sao
conhecidas.
Exemplo 4. Objetivo. Estudar os efeitos de genero e idade
no aprendizado de certa tarefa, avaliado por meio do tempo de
aprendizado da tarefa (em minutos).
Vamos considerar os fatores A (genero) e B (idade) fixos e cru-
zados sendo os nıveis de A, masculino e feminino, e de B, jovem,
meia-idade e idoso.
6
Medias dos tratamentos
µij: resposta media populacional onde i refere-se ao nıvel do fator
A (i = 1, . . . , a) e j refere-se ao nıvel do fator B (j = 1, . . . , b).
Tabela 1. Valores reais de µij para o Exemplo 4.
Idade (B)j = 1 j = 2 j = 3 Media
Sexo (A) Jovem Meia-idade Velho por linhai = 1 Masculino 9 11 16 12i = 2 Feminino 9 11 16 12Media por coluna 9 11 16 12
7
Interpretacao de µij
Estudo observacional: corresponde a media populacional da
variavel resposta para os elementos tendo as caracterısticas do
nıvel i do fator A e do nıvel j do fator B. No exemplo, µ11
e o tempo medio de aprendizado para a populacao de homens
jovens.
Estudo experimental: resposta media que seria obtida se o
tratamento consistindo do nıvel i do fator A e do nıvel j do fa-
tor B fosse aplicado a todas as unidades experimentais de uma
populacao sobre a qual queremos realizar inferencias. No exem-
plo do Preco versus Campanha promocional, µij seria a venda
media do produto se o preco i e a campanha j fossem atribuıdos
a todas as comunidades de uma populacao.
8
Medias dos nıveis dos fatores
• µ.j =∑ai=1 µija , µi. =
∑bj=1 µijb ,
µ.. =
∑ai=1
∑bj=1 µij
ab =∑ai=1 µi.a =
∑bj=1 µj.b
• µ1.: media populacional de tempo de aprendizado para o sexomasculino (12)
• µ.2: media populacional de tempo de aprendizado para ameia-idade (11)
• µ..: media geral populacional de tempo de aprendizado paratodas as idades e ambos os sexos (12)
9
Efeitos Principais
• αi = µi. − µ..: efeito principal do nıvel i do fator A
• βj = µ.j − µ..: efeito principal do nıvel j do fator B
• Da definicao de µ.. segue que
a∑i=1
αi =b∑
j=1
βj = 0
O efeito principal indica quanto a media do nıvel do fator desvia-
se da media geral.
10
Exemplo 4: Tabela 1
• β1 = µ.1 − µ.. = 9 − 12 = −3 (efeito principal para pessoas
jovens)
• α1 = µ1. − µ.. = 12 − 12 = 0 (efeito principal para o sexo
masculino)
Observar que α1 = α2 = 0, ou seja, o fator sexo nao afeta o
tempo medio de aprendizado.
11
Aditividade dos efeitos dos fatores
µij = µ.. + αi + βj
Neste caso,
µij − µi′j = c, i 6= i′, todo j
ou
µij − µij′ = c, j 6= j′, todo i
12
• Quando os efeitos de A e B sao aditivos temos que toda a
informacao sobre os efeitos dos fatores A e B sobre a variavel
resposta pode ser obtida fazendo-se inferencias apenas sobre
as medias populacionais µi. e µ.j.
• Dizer que os efeitos dos fatores sao aditivos, equivale a di-
zer que os fatores nao interagem ou que nao ha efeito de
interacao entre os fatores. Em outras palavras, o efeito de
cada fator nao depende do nıvel do outro fator.
13
MasculinoFeminino
16
15
14
13
12
11
10
9
Gênero
Tem
po m
édio
de
apre
ndi
zado
IdosoJovemMeia-idade
Idade
Grafico 1. Grafico de interacao para as medias da Tabela 1
Os fatores Genero e Idade nao interagem. Ha efeito de Idademas nao de Genero.
14
Meios de reconhecer que dois fatores nao interagem
• A diferenca entre as respostas medias para quaisquer doisnıveis do fator B e a mesma para todos os nıveis do fatorA. Notar que nao e necessario que as diferencas, digamos,entre os nıveis 1 e 2 e entre os nıveis 2 e 3 do fator B sejamas mesmas.
• A diferenca entre as respostas medias para quaisquer doisnıveis do fator A e a mesma para todos os nıveis do fator B.
• As curvas das respostas medias para os diferentes nıveis deum fator sao todas paralelas.
Todas essas condicoes sao equivalentes.
15
Tabela 2. Valores reais de µij para o Exemplo 4.
IdadeSexo Jovem Meia-idade Velho Media - Linha
Masculino 11 13 18 14Feminino 7 9 14 10
Media - Coluna 9 11 16 12
16
Meia-idadeJovemIdoso
18
16
14
12
10
8
6
Idade
Tem
po m
édio
de
apre
ndi
zado
FemininoMasculino
Gênero
Grafico 2. Grafico de interacao para as medias da Tabela 2
Os fatores Genero e Idade nao interagem. Ha efeito de Idade ede Genero.
17
Interacao entre os efeitos dos fatores
Tabela 3. Valores reais de µij para o Exemplo 4.
IdadeSexo Jovem Meia-idade Velho Media - Linha
Masculino 9 12 18 13Feminino 9 10 14 11
Media - Coluna 9 11 16 12
18
Meia-idadeJovemIdoso
18
16
14
12
10
Idade
Tem
po m
édio
de
apre
ndi
zado
FemininoMasculino
Gênero
Grafico 3. Grafico de interacao para as medias da Tabela 3
Os fatores Genero e Idade interagem.
19
A Tabela 3 e o Grafico 3 mostram que nao ha efeito de Genero
sobre o tempo medio de aprendizado para os Jovens. No entanto,
esse efeito e consideravel para os idosos. Essa diferenca no efeito
de Genero sobre o tempo medio de aprendizado em funcao da
Idade, implica que os efeitos de Genero e de Idade interagem.
Definicao de interacao
Se µij = µ..+αi+βj, os efeitos sao aditivos, ou seja, nao intera-
gem. Para as medias da Tabela 3, temos µ11 = 9, enquanto que
µ.. + α1 + β1 = 12 + 1 + (−3) = 10. Logo, os efeitos de Genero
e de Idade interagem.
20
Efeito de interacao. Diferenca entre µij e µ.. + αi + βj (valor
esperado para µij se os fatores forem aditivos).
Formalmente, o efeito de interacao ou interacao entre o i-
esimo nıvel do fator A e o j-esimo nıvel do Fator B e denotado
por (αβ)ij e definido por
(αβ)ij = µij − (µ.. + αi + βj)
ou
(αβ)ij = µij − µi. − µ.j + µ...
21
Se os fatores A e B forem aditivos (nao interagem), todos os
efeitos de interacao sao nulos, isto e, (αβ)ij = 0, para todo i e
j.
Para as medias da Tabela 3, temos
(αβ)13 = µ13 − (µ.. + α1 + β3) = 18− (12 + 1 + 4) = 1.
Reconhecimento das interacoes. Para decidir se os efeitos de
interacao estao ou nao presentes, devemos:
• Examinar se todos os µij podem ser expressos como µ.. +
αi + βj;
22
• Examinar se a diferenca entre as respostas medias para
quaisquer dois nıveis do fator B e a mesma para todos os
nıveis do fator A;
• Examinar se a diferenca entre as respostas medias para
quaisquer dois nıveis do fator A e a mesma para todos os
nıveis do fator B;
• Examinar se as curvas das medias dos tratamentos num
grafico de interacao sao paralelas.
23
Comentarios.
• Podemos ter alguns efeitos de interacao nulos embora os doisfatores interajam. Todos os efeitos de interacao devem sernulos para que os dois fatores sejam aditivos;
• Temos os seguintes resultados:∑i
(αβ)ij = 0, j = 1, . . . , b;
∑j
(αβ)ij = 0, i = 1, . . . , a;
∑i
∑j
(αβ)ij = 0.
24
Interacoes importantes e nao importantes.
• Importantes. Quando 2 fatores interagem, nao ha sentido
em examinar os efeitos de cada fator separadamente em ter-
mos das medias µi. e µ.j;
• Nao importantes. Os efeitos de interacao sao tao peque-
nos que nao sao considerados importantes (as curvas medias
sao quase paralelas). Neste caso, a analise dos efeitos dos
fatores pode ser realizada como se nao existisse interacao.
Cada fator pode ser estudado separadamente, com base em
µi. e µ.j, respectivamente. A analise e mais simples do que a
baseada em µij, quando o efeito de interacao esta presente.
25
Tabela 4. Valores reais de µij para o Exemplo 4.
IdadeSexo Jovem Meia-idade Velho Media - Linha
Masculino 9,75 12 17,75 13Feminino 8,25 10 14,75 11
Media - Coluna 9 11 16 12
26
Meia-idadeJovemIdoso
17
16
15
14
13
12
11
10
9
8
Idade
Tem
po m
édio
de
apre
ndi
zado
FemininoMasculino
Gênero
Grafico 4. Grafico de interacao para as medias da Tabela 4
Os fatores Genero e Idade interagem, mas os efeitos de interacaosao pequenos.
27
Comentarios.
• Decidir se os efeitos de interacao sao ou nao importantes e
muito difıcil e, em geral, depende do contexto em que ocorre
o estudo;
• Em algumas situacoes, os efeitos de interacao sao impor-
tantes e mesmo assim os efeitos dos fatores sao analisados
separadamente em termos de µi. e µ.j.
28
Exemplo 5. Fator A: Metodo de ensino de Matematica. Dois
nıveis: Concreto e Abstrato. Fator B: Habilidade em Matematica.
Tres nıveis: Excelente, Boa e Moderada.
Efeitos de interacao presentes. Alunos excelentes tem bom de-
sempenho com os dois metodos de ensino. Ja, alunos com habili-
dades boa ou moderada tem melhor desempenho com os metodo
concreto. No entanto, ha interesse em saber qual metodo produz
o melhor desempenho independentemente da habilidade. Isto
pode ser avaliado escolhendo-se o metodo que produz o maior
desempenho medio. Assim, mesmo na presenca do efeito de in-
teracao, os metodos podem ser comparados em termos de suas
medias marginais.
29
Interpretacao das interacoes.
Tabela 5. Valores reais de µij para a Produtividade de
executivos (Exemplo 6).
AutoridadeSalario Pouca MuitaBaixo 50 72Alto 74 75
30
BaixoAlto
75
70
65
60
55
50
Salário
Méd
ia d
a pr
odu
tivi
dade
MuitaPouca
Autoridade
Grafico 5. Grafico de interacao para as medias da Tabela 5
Os fatores Salario e Autoridade interagem.
31
Tabela 6. Valores reais de µij para a Produtividade de
executivos (Exemplo 6).
AutoridadeSalario Pouca MuitaBaixo 50 52Alto 53 75
Tabela 7. Valores reais de µij para a Produtividade de
executivos (Exemplo 6).
AutoridadeSalario Pouca MuitaBaixo 50 72Alto 72 50
32
BaixoAlto
75
70
65
60
55
50
Salário
Méd
ia d
a P
rodu
tivi
dade
MuitaPouca
Autoridade
Grafico 6. Grafico de interacao para as medias da Tabela 6
Os fatores Salario e Autoridade interagem.
33
BaixoAlto
75
70
65
60
55
50
Salário
Méd
ia d
a P
rodu
tivi
dade
MuitaPouca
Autoridade
Grafico 7. Grafico de interacao para as medias das Tabela 7
Os fatores Salario e Autoridade interagem.
34
Tabela 8. Valores reais de µij para a Produtividade por
funcionario em um grupo (Exemplo 7).
Personalidade do chefe do grupoTamanho do grupo Extrovertida Introvertida
4 pessoas 28 206 pessoas 22 208pessoas 20 19
10 pessoas 17 18
35
10864
28
26
24
22
20
18
16
No. De pessoas no grupo
Méd
ia d
a P
rodu
tivi
dade
por
fu
nci
onár
io
ExtrovertidaIntrovertida
do chefePersonalidade
Grafico 8. Grafico de interacao para as medias da Tabela 8
Os fatores Tamanho do grupo e Personalidade do chefe do grupointeragem.
36
Modelo I: Dois fatores cruzados fixos
• Estudos balanceados;
• Todas as medias tem igual importancia;
• Estudos observacionais;
• Estudos experimentais completamente casualizados.
37
Situacao Basica
• Fator A: a nıveis de interesse (fator fixo);
• Fator B: b nıveis de interesse (fator fixo);
• Todos os ab tratamentos estao incluıdos no estudo;
• O numero de unidades experimentais em cada tratamento e
igual a m > 1;
• O numero total de unidades experimentais e n = abm;
38
• Indice k: denota uma observacao dentro de cada tratamento;
• Indice i: denota um nıvel do Fator A;
• Indice j: denota um nıvel do Fator B;
• yijk: valor da variavel resposta avaliada na k-esima unidade
experimental submetida ao tratamento formado pelo i-esimo
nıvel do Fator A e j-esimo nıvel do Fator B, k = 1, . . . ,m;
i = 1, . . . , a; j = 1, . . . , b.
39
Modelo de medias de caselas
Consideramos os ab tratamentos sem explicitar a estrutura fato-rial (cruzada) do estudo.
Formulacao do modelo:
yijk = µij + eijk,
sendo
• µij parametros;
• eijk ∼ N(0, σ2) independentes;
• i = 1, . . . , a; j = 1, . . . , b; k = 1, . . . ,m.
40
Caracterısticas do modelo:
• µij: resposta media sob o tratamento definido pelo i-esimonıvel do Fator A e j-esimo nıvel do Fator B. Como E(eijk) = 0vem que E(yijk) = µij;
• Como µij e uma constante temos var(yijk) = var(eijk) = σ2;
• Como eijk ∼ N(0, σ2) independentes, temos yijk ∼ N(µij, σ2)
independentes;
• O modelo de medias de caselas e um modelo linear similar aomodelo de medias definido para estudos com um fator fixo.
41
Modelo de efeitos dos fatores
Sabendo que (αβ)ij = µij − (µ.. + αi + βj), podemos escrever
µij = µ.. + αi + βj + (αβ)ij, com
• µ.. =∑i∑j µij/ab,
• αi = µi. − µ..,
• βj = µ.j − µ..,
• (αβ)ij = µij − µi. − µ.j + µ...
42
Formulacao do modelo:
yijk = µij + eijk = µ.. + αi + βj + (αβ)ij + eijk,
• µ.. uma constante (parametro);
• αi e βj constantes sujeitas as restricoes∑iαi = 0 e
∑j βj = 0,
respectivamente;
• (αβ)ij constantes sujeitas as restricoes∑i(αβ)ij =
∑j(αβ)ij =∑
i∑j(αβ)ij = 0,
• eijk ∼ N(0, σ2) independentes, i = 1, . . . , a; j = 1, . . . , b; k =1, . . . ,m.
43
Consequencias do modelo:
• E(yijk) = µij = µ.. + αi + βj + (αβ)ij;
• V ar(yijk) = var(eijk) = σ2;
• yijk ∼ N(µ.. + αi + βj + (αβ)ij, σ2) independentes;
• O modelo de efeitos dos fatores e um modelo linear.
44
Exemplo 8. Uma panificadora fornece pao italiano para varios
supermercados de uma cidade. Um estudo experimental foi de-
senvolvido para avaliar os efeitos do fator A, altura da prateleira,
cujos nıveis sao em baixo, no meio e em cima, e do fator
B, largura da prateleira, com nıveis regular e larga, nas ven-
das (em numero de unidades) deste pao durante certo perıodo.
Doze supermercados similares em termos de volume de vendas
e clientela, foram utilizados no estudo. Cada um dos 6 trata-
mentos foi atribuıdo ao acaso a duas lojas de acordo com um
planejamento completamente casualizado e a localizacao do pao
em cada loja seguiu as especificacoes do tratamento para aquela
loja. Os resultados estao apresentados a seguir.
45
Tabela 9. Vendas (em no. de unidades) de pao italiano.
Largura da prateleira (B)Altura da prateleira Regular Larga
Em baixo 47 4643 40
No meio 62 6768 71
Em cima 41 4239 46
46
No meioEm cimaEm baixo
70
65
60
55
50
45
40
Altura
Média do no. de unidades vendidas
Larga
Regular
Largura
Grafico 9. Grafico de interacao para as medias dono. de unidades vendidas de pao italiano
47
Notacao.
• yijk: valor da variavel resposta avaliada na k-esima unidadeexperimental submetida ao tratamento formado pelo i-esimonıvel do fator A e j-esimo nıvel do fator B;
• yij. =∑k
yijk: soma dos valores observados sob o tratamento
formado pelo i-esimo nıvel do fator A e j-esimo nıvel do fatorB;
• yij. =
∑k yijk
m: media dos valores observados sob o trata-
mento formado pelo i-esimo nıvel do fator A e j-esimo nıveldo fator B;
48
• yi.. =∑j
∑k
yijk: soma dos valores observados sob o i-esimo
nıvel do fator A;
• yi.. =
∑j∑k yijk
bm: media dos valores observados sob o i-esimo
nıvel do fator A;
• y.j. =∑i
∑k
yijk: soma dos valores observados sob o j-esimo
nıvel do fator B;
• y.j. =
∑i∑k yijk
am: media dos valores observados sob o j-esimo
nıvel do fator B;
49
• y... =∑i
∑j
∑k
yijk: soma de todos os valores observados;
• y... =
∑i∑j∑k yijk
abm: media de todos os valores observados;
Tabela 10. Medias amostrais das vendas de pao italiano.
Largura da prateleira (B)Altura da prateleira Regular Larga Media linha
Em baixo 45 43 y1.. = 44
No meio 65 69 y2.. = 67
Em cima 40 44 y3.. = 42Media coluna y.1. = 50 y.2. = 52 y... = 51
50
Ajuste do modelo de analise de variancia
O metodo de mınimos quadrados e equivalente ao de maximaverossimilhanca. No modelo de medias de caselas queremosminimizar
Q =∑i
∑j
∑k
(yijk − µij)2.
Obtemos µij = yij.. Logo, o valor ajustado de yijk e yijk = yij..Os resıduos eijk sao dados por eijk = yijk− yijk = yijk− yij.. Essesresıduos sao uteis para validar o ajuste do modelo.
No modelo de de efeitos dos fatores queremos minimizar
Q =∑i
∑j
∑k
(yijk − µ.. − αi − βj − (αβ)ij)2,
sujeita as restricoes∑iαi =
∑j βj = 0 e
∑i(αβ)ij =
∑j(αβ)ij =∑
i∑j(αβ)ij = 0, i = 1, . . . , a; j = 1, . . . , b; k = 1, . . . ,m.
51
Obtemos
Tabela 11. Estimativas dos efeitos principais e dos efeitos de
interacao.
Parametro Estimativaµ.. µ.. = y...αi αi = yi.. − y...βj βj = y.j. − y...(αβ)ij = µij − µi. − µ.j + µ.. (αβ)ij = yij. − yi.. − y.j. + y...
Novamente, yijk = yij. e eijk = yijk − yij..
52
Tabela 12. Estimativas dos efeitos principais e dos efeitos de
interacao - Pao italiano.
Parametro Estimativaα1 44− 51 = −7α2 67− 51 = 16α3 42− 51 = −9β1 50− 51 = −1β2 52− 51 = 1
(αβ)11 45− 51− (−7)− (−1) = 2(αβ)12 43− 51− (−7)− 1 = −2(αβ)21 65− 51− 16− (−1) = −1(αβ)22 69− 51− 16− 1 = 1(αβ)31 40− 51− (−9)− (−1) = −1(αβ)32 44− 51− (−9)− 1 = 1
53
Particao da soma de quadrados total
Sejam
• Desvio total = yijk − y...;
• Efeito principal estimado do fator A = yi.. − y...;
• Efeito principal estimado do fator B = y.j. − y...;
• Efeito estimado da interacao entre A e B = yij.−yi..−y.j.+y...;
54
• Desvio em relacao a media estimada do tratamento = eijk =
yijk − yij.;
• Desvio da media estimada do tratamento em relacao a media
geral = yij.− y... = yi..− y... + y.j.− y... + yij.− yi..− y.j. + y....
Sejam
• SQT =∑i∑j∑k (yijk − y...)2: soma de quadrados total;
• SQtrat = m∑i∑j (yij.− y...)2: soma de quadrados devida aos
tratamentos;
55
• SQR =∑i∑j∑k (yijk−yij.)2: soma de quadrados dos resıduos;
• SQA = mb∑i (yi.. − y...)2: soma de quadrados devida a A;
• SQB = ma∑i (y.j. − y...)2: soma de quadrados devida a B;
• SQAB = m∑i∑j (yij.− yi..− y.j. + y...)2: soma de quadrados
devida a interacao entre A e B.
56
E facil mostrar que
• SQtrat = SQA+ SQB + SQAB;
• SQT = SQtrat + SQR;
• SQT = SQA+ SQB + SQAB + SQR.
57
Tabela 13. Somas de quadrados - Pao italiano.
Somas de quadrados (SQ)SQT = 1642SQtrat = 1580SQR = 62SQA = 1544SQB = 12SQAB = 24SQtrat = SQA+ SQB + SQAB = 1544 + 12 + 24SQT = SQtrat + SQR = 1580 + 62SQT = SQA+ SQB + SQAB + SQR = 1544 + 12 + 24 + 62
Observar que a variabilidade em torno da media geral (SQT ) e
devida ao fator A.
58
Particao dos graus de liberdade
Tabela 14. Graus de liberdade.
SQ Graus de liberdade (gl)SQT n− 1 = mab− 1SQtrat ab− 1SQR ab(m− 1)SQA a− 1SQB b− 1SQAB (a− 1)(b− 1)
Observar que mab−1 = (a−1)+(b−1)+(a−1)(b−1)+ab(m−1).
59
Tabela 15. Graus de liberdade - Pao italiano.
SQ Graus de liberdade (gl)SQT 2× 3× 2− 1 = 12− 1 = 11SQtrat 3× 2− 1 = 5SQR 3× 2× (2− 1) = 6SQA 3− 1 = 2SQB 2− 1 = 1SQAB (3− 1)× (2− 1) = 2
Temos que 11 = (3−1)+(2−1)+(3−1)×(2−1)+3×2×(2−1).
60
Quadrados medios
QMA =SQA
a− 1QMB =
SQB
b− 1
QMAB =SQAB
(a− 1)(b− 1)QMR =
SQR
ab(m− 1)
Quadrados medios - Pao italiano
QMA =1544
2= 772 QMB =
12
1= 12
QMAB =24
2= 12 QMR =
62
6= 10,33
61
Valores esperados dos quadrados medios
Mostrar que
E(QMR) = σ2
E(QMA) = σ2 +mb
∑iα
2i
a− 1= σ2 +mb
∑i(µi. − µ..)2
a− 1
E(QMB) = σ2 +ma
∑j β
2j
b− 1= σ2 +ma
∑j(µ.j − µ..)2
b− 1
E(QMAB) = σ2+m
∑i∑j(αβ)2
ij
(a− 1)(b− 1)= σ2+m
∑i∑j(µij − µi. − µ.j + µ..)2
(a− 1)(b− 1)
62
Estatısticas de teste
Para testar
1. H01 : µij − µi. − µ.j + µ.. = 0, para todo i e j versus
H11 : µij − µi. − µ.j + µ.. 6= 0, para algum i, j
ou, equivalentemente,
H01 : (αβ)ij = 0, para todo i e j versus
H11 : (αβ)ij 6= 0, para algum i, j,
consideramos a seguinte estatıstica de teste
F ∗1 =QMAB
QMR.
2. H02 : µ1. = . . . µa. versus
H12 : nem todos os µi. sao iguais
63
ou, equivalentemente,H02 : αi = 0, para todo i, versusH12 : αi 6= 0, para algum i,consideramos a seguinte estatıstica de teste
F ∗2 =QMA
QMR.
3. H03 : µ.1 = . . . µ.b versusH12 : nem todos os µ.j sao iguaisou, equivalentemente,H03 : βj = 0, para todo j, versusH13 : βj 6= 0, para algum j,consideramos a seguinte estatıstica de teste
F ∗3 =QMB
QMR.
64
Supondo as hipoteses nulas verdadeiras, o teorema de Cochranse aplica e, entao, F ∗i ∼ F − Snedecor, com gl apropriados, ouseja,
1. F ∗1 ∼ F[(a−1)(b−1),ab(m−1)]
2. F ∗2 ∼ F[a−1,ab(m−1)]
3. F ∗3 ∼ F[b−1,ab(m−1)]
Fixado um nıvel de significancia α, rejeitamos H0i, i = 1,2,3, seF ∗i > F[1−α; gl num., gl den.], sendo F[1−α; gl num., gl den.] o quantilde ordem 1− α da distribuicao F[gl num., gl den.]. Caso contrario,nao rejeitamos H0i. O nıvel descritivo P e dado porP = P (F[gl num., gl den.] > F ∗i ).
65
Tabela 16. Tabela de ANOVA
FV SQ gl QM FA SQA a− 1 QMA F ∗2B SQB b− 1 QMB F ∗3
AB SQAB (a− 1)(b− 1) QMAB F ∗1Resıduo SQR ab(n− 1) QMR
Total SQT nab− 1
Observacao: Sejam α1, o nıvel de significancia para o teste
do efeito de interacao entre os fatores A e B, α2, o nıvel de
significancia para o teste do efeito do fator A e α3, o nıvel de
significancia para o teste do efeito do fator B. Seja α, o nıvel de
significancia para a famılia dos 3 testes.
66
(a) Desigualdade de Bonferroni
α ≤ α1 + α2 + α3
(b) Desigualdade de Kimball
α ≤ 1− (1− α1)(1− α2)(1− α3)
Se α1 = α2 = α3 = 0,05 temos
(a) α ≤ 0,15, pela desigualdade de Bonferroni;
(b) α ≤ 1− (1− 0,05)3 = 0,143, pela desigualdade de Kimball.
67
Estrategia de analise
1. Teste primeiramente H01.
2. Se H01 nao for rejeitada, reduza o modelo para o modelo aditivo, con-tendo apenas os efeitos dos fatores A e B. Teste os efeitos dos fatoresA e B (H02 e H03) nesse novo modelo. Se as duas hipoteses forem re-jeitadas, trabalhe com as medias µi. e µ.j. Se apenas uma das hipotesesfor rejeitada, pode ser indicado reduzir o modelo para um modelo comum unico fator. Se ambas as hipoteses nao forem rejeitadas obtenha umintervalo de confianca para µ...
3. Se H01 for rejeitada, verifique se os efeitos de interacao sao ou naoimportantes.
4. Se os efeitos de interacao nao forem importantes, volte para o item 2.
5. Se os efeitos de interacao forem importantes, trabalhe com as mediasµij dos tratamentos.
68
Segue abaixo a tabela de Anova (Tabela 17) do modelo ajustado
com os efeitos dos fatores Altura e Largura e de interacao entre
Altura e Largura.
Tabela 17. Tabela de ANOVA - Exemplo 8.
FV SQ gl QM F PA - Altura 1544 2 772
B - Largura 12 1 12AB 24 2 12 12/10,33 = 1,16 0,375
Resıduo 62 6 10,33Total 1642 11
Nao ha efeito de interacao entre Altura e Largura da prateleira.
69
Segue abaixo a tabela de Anova (Tabela 18) do modelo ajustado
apenas com os efeitos dos fatores Altura e Largura (modelo
aditivo).
Tabela 18. Tabela de ANOVA - Exemplo 8.
FV SQ gl QM F PA - Altura 1544 2 772 772/10,75 = 71,81 < 0,001
B - Largura 12 1 12 12/10,75 = 1,12 0,322Resıduo 86 8 10,75
Total 1642 11
Ha efeito do fator Altura mas nao ha efeito do fator Largura da
prateleira.
70
Segue abaixo a tabela de Anova (Tabela 19) do modelo ajustado
apenas com o efeito do fator Altura (modelo com 1 fator).
Tabela 19. Tabela de ANOVA - Exemplo 8.
FV SQ gl QM F PA - Altura 1544 2 772 772/10,75 = 70,90 < 0,001
Resıduo 98 9 10,89Total 1642 11
Comparacoes entre as medias sob os tres nıveis do fator Altura
seguem na Tabela 20. Metodo de Tukey. Coeficiente de con-
fianca global igual a 0,95.
71
Tabela 20. Comparacoes multiplas - metodo de Tukey -
Exemplo 8.
Comparacao Estimativa Variancia estimada Limites de confianca
µM − µC 25,00 10,89 [18,480; 31,520]
µM − µB 23,00 10,89 [16,483; 29,517]
µB − µC 2,00 10,89 [−4,517; 8,517]
Nao ha diferenca no volume medio de vendas sob as alturas Em
baixo e Em cima. O volume medio de vendas e maior quando a
prateleira esta No meio.
72
Modelo linear - Parametrizacao de medias de caselas
Para expressar o modelo de analise de variancia (efeitos dos fa-
tores) como um modelo linear, vamos considerar para os αi´s
(a− 1) variaveis indicadoras, que vao assumir os valores 1, -1 e
0. Para os βj´s vamos considerar (b − 1) variaveis indicadoras,
que vao assumir os valores 1, -1 e 0. Para representar todos
os efeitos de interacao (αβ)ij´s precisamos considerar apenas
(a− 1)(b− 1) variaveis indicadoras.
73
Exemplo: Pao italiano
Modelo de analise de variancia
yijk = µ+ αi + βj + (αβ)ij + eijk,
i = 1,2,3, j = 1,2.
Suposicao: eijk ∼ N(0, σ2).
Restricoes:
2. α3 = −α1 − α2;
1. β2 = −β1;
74
3. (αβ)12 = −(αβ)11;
4. (αβ)22 = −(αβ)21;
5. (αβ)31 = −(αβ)21 − (αβ)11.
6. (αβ)32 = −(αβ)31 = (αβ)21 + (αβ)11;
Modelo de regressao equivalente
a − 1 = 3 − 1 = 2 variaveis indicadoras para os efeitos do fator
A;
b− 1 = 2− 1 = 1 variavel indicadora para os efeitos do fator B;
75
(a−1)(b−1) = 2 variaveis indicadoras para os efeitos de interacao
entre os fatores A e B.
yijk = µ+α1Xijk1+α2Xijk2+β1Xijk3+(αβ)11Xijk4(αβ)21Xijk5+eijk,
onde Xijk4 = Xijk1 ×Xijk3 e Xijk5 = Xijk2 ×Xijk3, sendo
76
X1 =
1, se a observacao esta no nıvel 1 (Em baixo) do fator A;
−1, se a observacao esta no nıvel 3 (Em cima) do fator A;
0, caso contrario.
X2 =
1, se a observacao esta no nıvel 2 (No meio) do fator A;
−1, se a observacao esta no nıvel 3 (Em cima) do fator A;
0, caso contrario.
X3 =
1, se a observacao esta no nıvel 1 (Regular) do fator B;
−1, se a observacao esta no nıvel 2 (Larga) do fator B.
Temos:
77
i j k y Xijk1 Xijk2 Xijk3 Xijk4 Xijk51 1 1 47 1 0 1 1 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 2 2 40 1 0 -1 -1 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 1 2 68 0 1 1 0 12 2 1 67 0 1 -1 0 -1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 1 2 39 -1 -1 1 -1 -1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 2 2 46 -1 -1 -1 1 1
O vetor de parametros e β> = {µ, α1, α2, β1, (αβ)11, (αβ)21}.
78
Modelo linear - Parametrizacao de casela de referencia
Para expressar o modelo de analise de variancia como um modelo
linear, usando a parametrizacao de casela de referencia, vamos,
primeiramente, escolher uma das medias µij como referencia.
Em seguida, vamos considerar, para (a−1) variaveis indicadoras,
que vao assumir os valores 0 e 1, para representar os a nıveis do
fator A. Para os b nıveis do Fator B, vamos considerar (b − 1)
variaveis indicadoras, que vao assumir os valores 0 e 1. Para
representar os efeitos de interacao vamos utilizar apenas (a −1)(b−1) variaveis indicadoras, que irao assumir os valores 0 e 1.
79
Exemplo: Pao italiano
Modelo de analise de variancia
yijk = µ+ αi + βj + (αβ)ij + eijk,
i = 1,2,3, j = 1,2.
Suposicao: eijk ∼ N(0, σ2).
Casela de referencia: tratamento cuja media e µ32.
Modelo de regressao equivalente
a − 1 = 3 − 1 = 2 variaveis indicadoras para os efeitos do fator
A;
80
b− 1 = 2− 1 = 1 variavel indicadora para os efeitos do fator B;
(a−1)(b−1) = 2 variaveis indicadoras para os efeitos de interacao
entre os fatores A e B.
yijk = γ0 +γ1Xijk1 +γ2Xijk2 +γ3Xijk3 +γ4Xijk4 +γ5Xijk5 + eijk,
onde Xijk4 = Xijk1 ×Xijk3 e Xijk5 = Xijk2 ×Xijk3, sendo
81
X1 =
1, se a observacao esta no nıvel 1 (Em baixo) do fator A;
0, caso contrario.
X2 =
1, se a observacao esta no nıvel 2 (No meio) do fator A;
0, caso contrario.
X3 =
1, se a observacao esta no nıvel 1 (Regular) do fator B;
0 se a observacao esta no nıvel 2 (Larga) do fator B.
Temos:
82
i j k y Xijk1 Xijk2 Xijk3 Xijk4 Xijk51 1 1 47 1 0 1 1 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 2 2 40 1 0 0 0 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 1 2 68 0 1 1 0 12 2 1 67 0 1 0 0 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 1 2 39 0 0 1 0 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 2 2 46 0 0 0 0 0
O vetor de parametros e β> = {γ0, γ1, γ2, γ3, γ4, γ5}.
83
Nesse modelo de regressao, temos as seguintes interpretacoes:
• µ32= γ0;
• µ12 = γ0 + γ1; µ22 = γ0 + γ2;
• µ31 = γ0 + γ3;
• µ11 = γ0 + γ1 + γ3 + γ4;
• µ21 = γ0 + γ2 + γ3 + γ5;
84
• γ1: variacao na media da v. resposta quando passamos daaltura Em cima para Em baixo, fixada a largura Regular;
• γ2: variacao na media da v. resposta quando passamos daaltura Em cima para No meio, fixada a largura Regular;
• γ3: variacao na media da v. resposta quando passamos dalargura Larga para Regular, fixada a altura Em cima;
• γ3 + γ4: variacao na media da v. resposta quando passamosda largura Larga para Regular, fixada a altura Em baixo;
• γ3 + γ5: variacao na media da v. resposta quando passamosda largura Larga para Regular, fixada a altura No meio.
85
Comentarios:
• Os testes de hipoteses sao realizados utilizando-se testes F
parciais.
• Testa-se primeiro a hipotese de inexistencia de efeito de in-
teracao entre os fatores A e B. Para tanto, ajustam-se o
modelo completo com todos os efeitos (principais e de in-
teracao) e um modelo reduzido, sem os efeitos de interacao.
Realizado o teste F parcial, verifica-se se o efeito de interacao
e ou nao e significante.
86
• Se o efeito de interacao nao for significante, reformula-se o
modelo completo. Neste caso, o novo modelo de regressao
completo passa a ter apenas os efeitos principais de A e de
B. Ajustam-se, em seguida, dois modelos reduzidos, um com
os efeitos principais de A e outro com os efeitos principais
de B e testam-se os efeitos principais de A e de B, por meio
de testes F parciais.
• Os testes F parciais, desenvolvidos por meio de modelos de
regressao, sao analogos aos obtidos, por exemplo, por meio
da funcao GLM do MINITAB.
87