Expérimentation et démarche d’investigation en mathématiques

Épreuve pratique de mathématiques au baccalauréat

Expérimentation en mathématiques

Observation

Expérience

Expérimentation

Investigation

Expérimentation en mathématiques

Observation

Le ciel est bleu.

Vu de la lune, le ciel est noir.

Des observations, pas une connaissance

Expérimentation en mathématiques

Expérience Une expérience, c’est poser une question à la nature. Une science expérimentale ne commence pas avec l’observation, mais avec l’interrogation sur l’observation.

Jacques Treiner

Expérimentation en mathématiques

Expérimentation

Une expérimentation numérique interroge le modèle.

Expérimentation en mathématiques

Démarche d’investigation

Le questionnement est premier, pas la théorie.

Expérimentation en mathématiques

En sciences physiques

observation

modèle

expérience

Expérimentation en mathématiques

En mathématiques

expérimentation

conjecture

démonstration

Expérimentation en mathématiques

L’expérimentation prend place à presque tous les

niveaux de l’activité mathématique. Elle englobe toutes

les procédures visant à traiter des cas particuliers d’une

question trop difficile pour être abordée directement.

Expérimentation en mathématiques

L’expérimentation permet notamment :

de trouver d’éventuels contre-exemples ;

de comprendre comment la question se résout dans des cas particuliers et en

quoi les arguments se généralisent ou non ;

de faire des conjectures sur des situations voisines.

BO n°7 du 31 août 2000

Programmes de série scientifique

Expérimentation en mathématiques

Mathématiques et informatique en première et terminale S :

liens entre mathématiques et informatique;

apports des outils logiciels;

modalités de mise en œuvre.

BO n°7 du 31 août 2000

Programmes de série scientifique

Expérimentation en mathématiques

Expérimentation en mathématiques

Expérimentation en mathématiques

Épreuve pratique de mathématiques au baccalauréat, série S

Les raisons de cette épreuve

Exemples d’épreuves pratiques issus de l’expérimentation

2007

Mise en situation

Les raisons de cette épreuve

Valoriser les 8 moments de l’activité mathématique :

poser un problème, modéliser expérimenter, prendre des exemples conjecturer se documenter bâtir une démonstration mettre en œuvre des outils adéquats évaluer la pertinence des résultats communiquer

Les raisons de cette épreuve

Certaines compétences mathématiques sont

actuellement peu valorisées (conjecture, prise

d’initiatives, utilisation des TICE).

Intérêts, réticences

L’utilisation des TICE permet d’explorer d’autres problèmes:

simulation en probabilités

gestion de données de taille importante en statistiques

étude de problèmes dont la résolution exacte est impossible pour un élève

de terminale (équations différentielles en sciences physiques)

Intérêts, réticences

Les TICE permettent une meilleure interaction entre

les différents registres de représentation (par exemple

en ce qui concerne les fonctions).

Ces différents registres sont indispensables pour

dégager l’objet mathématique étudié.

Intérêts, réticences

L’utilisation d’un logiciel de calcul formel permet de se libérer

de la part purement calculatoire pour mieux réfléchir au sens des

notions travaillées.

L’utilisation des TICE peut faciliter la compréhension de

certaines notions (exemple : la recopie vers le bas du tableur est

intimement liée à la notion de suite récurrente).

Intérêts, réticences

Les allers-retours et interactions entre expérimentation et preuve peuvent redonner de la saveur aux maths et donner aux élèves le goût de la recherche en leur permettant de ne pas se cantonner à une simple application de techniques données par l’enseignant.

Intérêts, réticences

Quand on utilise un logiciel, on ne fait pas de maths.

Et pourtant, si on étudie la méthodologie du travail pratique:

question posée, et éventuels calculs préliminaires mise en place expérimentale (construction, calcul sur tableur) recherche de conjecture, en faisant varier un ou des paramètres mise à l’épreuve de la conjecture retour à la théorie pour valider la conjecture

Intérêts, réticences

La conjecture est une devinette, avant de passer réellement aux mathématiques.

Il s’agit de se poser DES questions, de faire varier les paramètres (terme initial d’une suite par exemple), prendre des initiatives, et on fait réellement des mathématiques.

Exemples de sujets de l’épreuve pratique issus de l’expérimentation 2007

Chaque sujet est composé :

d’un descriptif,

d’une fiche élève,

d’une fiche professeur,

d’une fiche d’évaluation.

Exemples de sujets de l’épreuve pratique issus de l’expérimentation 2007

Sujet 1: expression du terme de rang n d’une suite récurrente

Sujet 29: PGCD

Sujet 11: simulation d’une expérience, lois de probabilités

Exemples de sujets de l’épreuve pratique issus de l’expérimentation 2007

Sujet 47 : partage d’un triangle

Sujet 4 : nombre de solutions d’une équation

Sujet 30 : famille de cercles

Sujet 1: expression du terme de rang n d’une suite récurrente

Descriptif :

Situation On considère une suite récurrente (un) définie par la donnée de son premier terme un et d’une relation de la forme : pour tout entier naturel n,

un + 1 = un + a x n + b, a et b étant deux nombres réels donnés.

On cherche à déterminer, pour tout entier naturel non nul n, l’expression explicite de un en fonction de n.

L’étude est proposée pour deux valeurs du couple (a , b).

Sujet 1: expression du terme de rang n d’une suite récurrente

Compétences évaluées

Compétences TICE : élaborer un processus itératif; représenter graphiquement les termes d’une suite.

Compétences mathématiques : déterminer une fonction polynôme à partir d’informations obtenues sur sa courbe représentative; mettre en place une démonstration par récurrence .

Sujet 1: expression du terme de rang n d’une suite récurrente

Sujet 1: expression du terme de rang n d’une suite récurrente

Production demandée

Le nuage de points attendu dans la question 1 et la

particularité trouvée à ce nuage.

La stratégie de démonstration retenue à la question 2

ainsi que les étapes de cette démonstration.

Sujet 1: expression du terme de rang n d’une suite récurrente

Fiche professeur:

Elle donne des indications sur les intentions de l’auteur,

sur l’analyse du sujet, sur la manière dont doivent être gérés les « appels à l’examinateur », sur l’évaluation.

Sujet 1: expression du terme de rang n d’une suite récurrente

Fiche d’évaluation:

Les « fiches évaluation » nécessitent un travail de préparation. Dans chaque établissement l’ensemble des examinateurs utilisera cette fiche et la fiche professeur pour élaborer une grille de notation adaptée aux conditions de passation.

Références bibliographiques

Rapport de la Commission de Réflexion sur

l’Enseignement des Mathématiques : « l’informatique et l’enseignement des mathématiques »

http://www.smf.emath.fr/Enseignement/commission_Kahane

Le rapport sur l’expérimentation, et les sujets posés sont disponibles sur le site de l’Inspection Générale :

http://www.igmaths.net/

Le site educnet qui renvoie à tous les sites académiqueshttp://www2.educnet.education.fr/mathshttp://www.educnet.education.fr/bd/urtic/maths/

Références bibliographiques

Eduscol

http://eduscol.education.fr/D1115/epr_pratique_presentation.htm

http://eduscol.education.fr/D1115/epr_pratique_MATHS2007.htm

Sujet 1: expression du terme de rang n d’une suite récurrente

Les élèves ont fait le choix du logiciel Excel (plutôt qu’une calculatrice).

Tous trouvent que la courbe est une parabole. Les difficultés rencontrées relèvent :

d’erreurs dans la constitution du tableau; de lacunes portant sur la parabole et le trinôme du

second degré. Certains savent très bien utiliser la fonction courbe de

tendance sur Excel (utilisée en Physique) et trouvent rapidement l’écriture : Un = n² – 12n.

La plupart des élèves ont l’idée de faire une démonstration par récurrence mais éprouvent des difficultés à la mettre en œuvre.

Sujet 1: expression du terme de rang n d’une suite récurrente

Bilan du sujet n°1: