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polinomios
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Expresiones Algebraicas
• Una expresión algebraica es una expresión en la que se
relacionan valores indeterminados (variables) con constantes,
todas ellas ligadas por un número finito de operaciones de
suma, resta, producto, cociente, potencia y raíz.
• Ejemplos
1
2.)
2)
2)
2
32
2
x
xyxc
xyxb
xyxa
1
Polinomios
• Los tipos más simples de expresiones algebraicas
sólo utilizan la suma, la resta y la multiplicación.
Estas expresiones se conocen como polinomios.
• Ejemplo
542 3 yyxx
2
• Sean a0, a1, a2, …, an números reales y n un
número natural, llamaremos polinomio en
indeterminada x a toda expresión
algebraica entera de la forma:
a0 + a1 x + a2 x2 + … + an x
n
Donde a0, a1, a2 , … , an son constantes.
3
Ejemplos de polinomios
A los polinomios en indeterminada x los simbolizaremos
con letras mayúsculas indicando la indeterminada entre
paréntesis: P(x) ; Q(x) ; T(x).
3
2
3
23)
3
1)
xxb
xa
3
3
532)
21)
xxd
xc
4
Términos
• Monomio : polinomio con un solo término.
• Binomio : polinomio con dos términos.
• Trinomio : polinomio con tres términos.
• Cada monomio aixi se llama término.
• El polinomio será de grado n si el término de mayor grado
es anxn con an0.
• A a0 se lo llama término independiente.
• A an se lo llama término principal.
5
Ejemplos
6
El polinomio 0 + 0x + 0x2 + … +0xn se llama
polinomio nulo. Lo simbolizaremos por Op(x).
No se le asigna grado.
Ejercicio
• Indicar cuáles de las siguientes expresiones algebraicas son
polinomios. En este último caso indicar su grado.
7
2
13)
)3)(2()
123
1)
4
3
xc
xxb
xxa
1
32)
312
)
52)
2
2
x
xxf
xxxe
xd
Polinomios iguales
• Dos polinomios son iguales si y sólo si los
coeficientes de los términos de igual grado lo son.
8
Suma de Polinomios
• Para sumar dos polinomios se agrupan los
términos del mismo grado y se suman sus
coeficientes.
• Ejemplo: Sumar los siguientes polinomios
P(x) = -2x4 + 5x3 – 3x + 1
Q(x) = 3x3 – 6x2 – 5x - 2
9
Resta de Polinomios
• Para restar el polinomio Q(x) del polinomio P(x)
se debe sumar a P(x) el opuesto de Q(x).
P(x) – Q(x) = P(x) + [ - Q(x) ]
• Ejemplo: Restar los siguientes polinomios
P(x) = -2x4 + 5x3 – 3x + 1
Q(x) = 3x3 – 6x2 – 5x - 2
10
Multiplicación de Polinomios
• Para multiplicar dos polinomios se multiplica cada
monomio de uno de ellos por cada uno de los términos del
otro y luego se suman los términos de igual grado.
• Ejemplo: Multiplicar los siguientes polinomios
P(x) = -2x4 + 5x3 – 3x + 1
Q(x) = 3x3 – 6x2 – 5x – 2
P(x).Q(x) = P(x) 3x3 + P(x) (-6x2 ) + P(x) (-5x ) + P(x)(-2)
11
Algunos productos especiales
• (x+a)2 =(x+a)(x+a)= x2 + 2ax + a2
• (x-a)2 =(x-a)(x-a)= x2 - 2ax + a2
• (x+a)3 = x3 + 3ax2 + 3a2x + a3
• (x-a)3 = x3 - 3ax2 + 3a2x - a3
• (x+a)(x-a)= x2 –ax +ax-a2 = x2-a2
12
Ejercicio
• Escribir los desarrollos de
2
43
232
2
3
1
3
2)
)()
)32()
xxc
xxb
xa
3
23
34
3
3
2
2
1)
)()
)32()
xxf
xxe
xd
13
División de polinomios
• Existe una estrecha analogía entre el
cociente de polinomios y la división de
números enteros.
• Recordemos algunas definiciones de la
división entre números enteros.
16
División de polinomios
• Dados los polinomios
D(x) = 6x3 – 17x2+15x-8
d(x) = 3x – 4
determinar, si es posible, dos polinomios c(x) y
r(x) tales que
D(x) = d(x). C(x) + r(x)
de modo que el grado de r(x) sea menor que el
grado de d(x) o bien r(x)=Op(x)
19
Ejemplo
6x3 – 17x2 + 15x – 8 3x – 4
20
-6x3 +8x2 2x2
0x3 - 9x2+ 15x
- 3x
9x2- 12x
0x2+ 3x - 8
+ 1
-3x + 4
0x - 4
6x3-17x2+15x-8 = (3x-4)(2x2-3x+1)-4
División de Polinomios
• Dados los polinomios D(x) y d(x);
d(x)Op(x), diremos que d(x) divide a D(x)
si y sólo si existe un polinomio c(x) tal que
D(x) = d(x) . c(x)
22
División de un polinomio por otro de
la forma (x-a)
3x3 – 2x2 – 5x – 9 x – 2
- 3x3 + 6x2 3x2 + 4x + 3
4x2 – 5x
- 4x2 + 8x
3x – 9
-3x + 6
24
Regla de Ruffini
3 -2 -5 -9
2
-3 -3 3
6
4
8
3
6
3x3 – 2x2 – 5x – 9 = ( x – 2)(3x2 + 4x + 3) + (-3)
División de un polinomio por otro de
la forma (x-a)
• División de P(x) = 3x3 – 2x2 – 5x – 9 por (x-2) realizada por la Regla de Ruffini
3 -2 -5 -9 2 6 8 6
3 4 3 -3
1º operación : 3.2 -2 = 4
2º operación : (3.2 -2).2 - 5 = 3
3º operación : [3(2) 2 – 2 . 2 - 5].2 -9 =-3
Por lo tanto 3.(2)2 -2.(2)2 -5.2 -9 = -3
25
Raíces de un polinomio
• Un número real a es raíz de un polinomio
P(x) si y solo si P(a) = 0
• Ejercicio:
Verifique que x=1 es raíz del polinomio
P(x) = 3x2 + 2x – 5
26
Raíces de un Polinomio
• Si un polinomio tiene coeficientes enteros y
a es una raíz entera del polinomio entonces
a divide al término independiente.
• Ejercicio: Calcular las raíces de
P(x) = 2x3 - 2x2 - 16x + 24
27
Ejercicio: Calcular las raíces de
P(x) = 2x3 - 2x2 - 16x + 24
• Si P(x) tiene alguna raíz entera, ésta debe ser divisor de
24.
• Probar que 1 y -1 no son raíces de P(x)
28
2x3 – 2x2 – 16x + 24 = ( x – 2)(2x2 + 2x -12)
Ver x=2 también
es raíz de
2x2 + 2x -12
2x2 + 2x -12 = (x-2)(2x+6)
Ejercicio
• Calcular las raíces de
P(x) = x4 - x3 - 6x2 + 4x + 8
29
P(x) = (x-2)2 (x+1) (x+2)
Factorización de polinomios
• Factorizar un polinomio es el proceso mediante el
cual el polinomio se transforma en un producto de
polinomios primos, (factores primos).
x2 + x - 6 = (x + 3) (x - 2)
FACTORIZACIÓN
MULTIPLICACIÓN
30
Factores comunes
• Ejemplos:
31
xx 63 2
43324 268 xyyxyx
Diferencia de cuadrados
• Ejemplos
32
254 2 a
6169 x
))(( baba 22 ba
Diferencia de dos enésimas
potencias
• Ejemplos
33
)bab...baa)(ba( nnnn 1221
nn ba
963 5y
16x
Trinomios cuadrados perfectos
962 xx
34
2)( ba
2)( ba
22 2 baba
22 2 baba • Ejemplos
122 xx
Factorización mediante
agrupación
• Ejemplos:
35
632 23 xxx
4423 xxx