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8/18/2019 Exo Theme3 Site ParisTech

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ECOLE NATIONALE

DES PONTS ET

CHAUSSEES

MECANIQUE DES STRUCTURES

THEME

Exercice

corrigé

CALCUL DES STRUCTURES ELASTIQUES

PAR LA METHODE DES FORCES

Pont à plusieurs travées

Un pont comporte n (n grand) travées égales, de même rigidité, de même section et de même

longueur, soumises à différents cas de charge. Tous les appuis sont des appuis simples à

rouleaux, à l’exception d’un appui qui est fixe horizontalement pour bloquer les déplacements

horizontaux.

L L L

EI E

I E

I

Figure 1 : pont à travées multiples

Donner les diagrammes de moments fléchissants pour les différentes actions suivantes :

1. Chargement uniforme de densité linéique p.

2. Chargement uniforme des travées impaires de densité linéique q.

3. Chargement linéique d’une seule travée, de densité r. Effets sur les autres travées ?

4. Gradient thermique uniforme de valeur ∆T entre la fibre supérieure et la fibre inférieure

de la poutre.

5. Dénivellations d’appuis de δ pour les appuis pairs et de -δ pour les appuis impairs.

6. Chargement uniforme de densité linéique p, dans l’hypothèse où les appuis simples sont

remplacés par des ressorts verticaux de raideur k. Discuter suivant les différentes

valeurs de k possibles.

1


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CorrigéDegré d’hyperstaticité : Pont à n travées égales (n grand).

Nombre d’appuis = n+1, dont n appuis simples et 1 appui fixe, soit n×1 + 2×1 degrés de liaisons

= n+2 avec un solide continu possédant 3 degrés de liberté hors liaison. D’où le degré

d’hyperstaticité = n+2 – 3 = n-1

Une structure isostatique associée est obtenue en disposant une rotule au droit de chaque

appui (figure 2).

Figure 2

La formule des trois moments est établie en écrivant pour un appui i quelconque la relation de

base :

Σ(Xi δi,j) + δ j0 = 0

avec Xi = Mi inconnue hyperstatique de rang i égale au moment sur appui i.

Les diagrammes de moment fléchissant associés ainsi que les réactions pour chaque coupure

élémentaire (double moment unitaire au droit de la coupure) sont présentés sur la figure 3.

2 nov.-05


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E

E

N

N

P

P

C

C

M

M

E

E

C

C

N

N

I

I

Q

Q

U

U

E

E

D

D

E

E

S

S

S

S

T

T

R

R

U

U

C

C

T

T

U

U

R

R

E

E

S

S

Figure 3

On constate que δi,j = 0 si | j – i | > 1 . L’équation ‘ M j δi,j + δi0 = 0 ’ valable pour tout j se réduit à :

Mi-1 δi,i-1 + Mi δi,i + Mi+1 δi,i+1 + δi0 = 0pour tout appui i, avec :

δi,i-1= δi,i+1= ∫ −× EI mm ii 1 = EI L

6

δi,i = ∫ × EI mm ii = EI L

32

d’où :

O M EI L M

EI L M

EI L

iiii =+⋅+⋅+⋅ +− 0,1163

26

δ

(formule des trois moments pour des travées égales)

3 nov.-05


4/10

E

E

N

N

P

P

C

C

M

M

E

E

C

C

N

N

I

I

Q

Q

U

U

E

E

D

D

E

E

S

S

S

S

T

T

R

R

U

U

C

C

T

T

U

U

R

R

E

E

S

S

1. Charge uniforme p

Si n est très grand, par symétrie de translation Mi = M, tous les moments sur appui sont égaux.

Le diagramme m0 (moment sous p dans la structure iso) est classique, voir figure 4.

Moment parabolique avec valeur maximale = pL²/8.

Figure 4

On obtient δi,0 = ∫ × EI mmi 0 = ××× EI L pL

311

8²2 = pL3/12EI. La formule des trois moments s’écrit :

O EI

pL M

EI L M

EI L M

EI L =+⋅+⋅+⋅

12

3

632

6

Soit M = -pL²/12, moment sur appui. Le moment en tout point vaut m0 + ΣM×mi, soit au centre

de la travée Mt = pL²/8 + ½ × M + ½ M = pL²/8 - pL²/12 = pL²/24.

On retrouve le résultat classique d’une poutre bi encastrée. Voir diagramme de la figure 5.

Figure 5

4 nov.-05


5/10

E

E

N

N

P

P

C

C

M

M

E

E

C

C

N

N

I

I

Q

Q

U

U

E

E

D

D

E

E

S

S

S

S

T

T

R

R

U

U

C

C

T

T

U

U

R

R

E

E

S

S

2. Chargement sur les travées impaires.

Le diagramme m0 moment sous p uniquement sur les travées impaires dans la structure iso est

simple : parabolique pl²/8 sur les travées chargées et nul sur les travées paires.

Figure 6

n étant très grand, par symétrie de translation (de 2L), on peut écrire une égalité des moments

sur appui avec décalage : Mi = Mi+2 .

Figure 7

Puis par symétrie par rapport à la mi travée L/2, on a :

Figure 8

D’où Mg = Md = M : tous les moments sur appui sont égaux.

Par rapport au cas précédent, seul δi,0 est changé et vaut :

δi,0 = ∫ × EI mmi 0 =

××

EI L pL

3

11

8

²

= pL3 /24E I

La formule des trois moments fournit M = -pL²/24, moment sur appui.

Au centre des travées chargées le moment vaut :

Mt = pL²/8 + ½ × M + ½ M = pL²/8 - pL²/24 = pL²/12

Sur les travées non chargées (M0 = 0) le moment est constant et vaut M = - pL²/24.

Voir figure 9.

5 nov.-05


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E

E

N

N

P

P

C

C

M

M

E

E

C

C

N

N

I

I

Q

Q

U

U

E

E

D

D

E

E

S

S

S

S

T

T

R

R

U

U

C

C

T

T

U

U

R

R

E

E

S

S

Figure 9

Les moments sont moins importants sur appui, mais supérieurs en travée sur travées chargées

que le cas précédent.

3. Chargement sur une seule travée.

Le diagramme m0 moment sous p uniquement sur une travée dans la structure iso est simple :parabolique pl ²/8 sur la travée chargée et nul sur les autres.

Par symétrie autour de la mi-travée L/2 de la travée chargée, on a une symétrie sur les

moments sur appui :

Figure 10

En écrivant la relation des trois moments autour de l’appui de gauche de la travée chargée :

δi,0 = ∫ × EI mmi 0 =

××

EI L pL

3

11

8

²= pL3 /24E I

EI pL M

EI L M

EI L M

EI L

243

632

6001 −=⋅+⋅+⋅

puis ∀ i ≥ 0, la relation :

O M EI L M

EI L M

EI L

iii =⋅+⋅+⋅ ++63

26

12

soit :

Oi M i M i M =++⋅++ 142 ; ∀ i ≥ 0

C’est une relation de récurrence, dont les solutions sont du type Mi = α(x1)i + β(x2)

i, avec x1 et x2

solutions de X²+4X+1=0 ; soit x1=(-2+√3) et x2=(-2-√3).

6 nov.-05


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E

E

N

N

P

P

C

C

M

M

E

E

C

C

N

N

I

I

Q

Q

U

U

E

E

D

D

E

E

S

S

S

S

T

T

R

R

U

U

C

C

T

T

U

U

R

R

E

E

S

S

Comme |x2|>1, β =0 sinon le terme β(x2)i diverge quand i → ∞ . D’où Mi = α(√3-2)

i, α étant fixé

par la condition initiale EI

pL M

EI L M

EI L M

EI L

24

3

632

6001

−=⋅+⋅+⋅ , soit α(√3-2) + 4α +α = -pL²/4,

d’où :

1234

²

+−= pLα et

i

i pL

)23(1234

² −+

M −=

Soit1234

²0

+−= pL M et Mi change de signe à chaque fois et M i → 0 quand i → ∞. Voir diagramme

résultant figure 11.

Figure 11

Conclusion : Ce qu’il se passe sur une travée s’atténue lorsque l’on s’éloigne de celle ci.

4. Gradient thermique uniforme.

La fibre supérieure est à la température ∆T/2 et la fibre inférieure -∆T/2. La courbure thermique

associée est κth =-α∆T/h avec α coefficient de dilatation thermique, h la hauteur de la poutre.

Soient les termes δi,0 = =∫ thim κ . LhT ××∆ 21.2 α .Les moments sur appuis sont tous égaux et M = EIα∆T/h.

Le diagramme de moment sous gradient linéaire est constant et vaut M = EIα∆T/h .

5. Dénivellation d’appui +

et -

L’appui pair monte de +δ et l’appui impair descend de - δ.

∆

∆ ∆

∆

∆

Figure 12

7 nov.-05


8/10

E

E

N

N

P

P

C

C

M

M

E

E

C

C

N

N

I

I

Q

Q

U

U

E

E

D

D

E

E

S

S

S

S

T

T

R

R

U

U

C

C

T

T

U

U

R

R

E

E

S

S

Par symétrie de translation (de 2L), on obtient pour les moments sur appui :

∆∆

∆∆

∆

Figure 13

Puis par anti-symétrie par rapport à l’axe vertical à une mi travée :

∆∆

∆∆

∆∆

Figure 14

D’où M+ = - M- et la relation des trois moments s’écrit :

063

26

0=+⋅+⋅+⋅ +−+ i M EI L M

EI L M

EI L δ avec impimpii u R∑ ⋅−=0δ

Pour obtenir δi0 , la figure suivante montre les réactions élémentaires dues aux coupures et les

déplacements imposés correspondants :

∆∆

∆

Figure 15

D’où δ δ δ δ ⋅−−⋅−−⋅−=⋅−= ∑ L L Lu R impimpii

1)()2(10 = Lδ 4− .

En reprenant l’équation avec M+ on a : 043

=−⋅− + L

M EI L δ

, d’où M+ = -12EIδ/L².

M+ < 0 , puisque la courbure associée à la dénivellation +δ est négative . Voir figure 16.

8 nov.-05


9/10

E

E

N

N

P

P

C

C

M

M

E

E

C

C

N

N

I

I

Q

Q

U

U

E

E

D

D

E

E

S

S

S

S

T

T

R

R

U

U

C

C

T

T

U

U

R

R

E

E

S

S

∆

∆

∆

Figure 16

Par ailleurs, M- = +12EIδ/L² .

M- > 0 , puisque la courbure associée à la dénivellation -δ est positive . Voir déformée figure 17.

∆

∆

∆

Figure 17

Le diagramme de moment de flexion est représenté figure 18 :

∆

∆ ∆

∆∆

Figure 18

6. Chargement uniforme p et ressorts sur appuis

Le moment m0 est identique à la question 1 et on rajoute les termes :

Ri R j / k dans δij Ri R0 / k dans δi0

Les réactions Ri sont les réactions dues aux coupures unitaires (voir figure 2) :

R0 réaction due à la charge uniforme p , soit R0 = pL

Attention les termes Ri R j / k ≠ 0 pour j=i-2 ou j=i+2, alors que pour les moments seuls on avait

δi,j = 0 si | j – i | > 1.

Suivant fig. 2, on rajoute les termes suivants :

dans δi,i-1 et δi,i+1 : –2/kL² -2/kL² = -4/kL²

dans δi,i : 1/kL²+ 4/kL²+1/kL² = 6/kL²

9 nov.-05


10/10

E

E

N

N

P

P

C

C

M

M

E

E

C

C

N

N

I

I

Q

Q

U

U

E

E

D

D

E

E

S

S

S

S

T

T

R

R

U

U

C

C

T

T

U

U

R

R

E

E

S

S

10 nov.-05

dans δi,i-2 et δi,i+2 : 1/kL²

et dans δi,0 : 1pL/Lk –2pL/Lk+1pL/Lk = 0

Finalement, dans la formule des trois moments augmentée des termes δi,i+2 et δi,i-2, par symétrie,

tous les moments sont égaux et on obtient :

EI

pL

kL M M

kL EI L M

kL EI L M

kL EI L

kL M

12²)

²4

6()

²6

32()

²4

6(

²

3−=+−⋅++⋅+−⋅+

d’où, après simplification, M = -pL²/12 .

Conclusion : la raideur k des appuis n’intervient pas pour une charge uniforme dans le

diagramme des moments de flexion.

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