Exercicis Tales i Pitgores (3a part)
Exercicis Tales i Pitgores (3a part)
1.
El lloc geomtric s la figura que formen els punts que verifiquen
una certa condici.
En cada apartat, el lloc geomtric buscat sn les diagonals de la
figura corresponent.
La diferncia entre les diagonals del quadrat i del rombe
respecte a les del rectangle i el romboide s que les primeres sn
perpendiculars entre s.
2.
a) s la recta parallela que passa just pel mig de les dues, a la
mateixa distncia de les dues.
b) Sn les bisectrius dels angles rectes.
c) Noms s un punt.
3.
Els triangles sn semblants perqu tenen els tres costats
parallels.
Per trobar els costats que falten, es plantejen regles de 3.
Recordeu que cada costat dun triangle sha de relacionar amb el
costat parallel de laltre triangle.
5 cm -------------- 27 cm
5cm ---------------- 27 cm
6 cm -------------- x
35 cm ------------- y
4. No es feia.
5.
s una construcci idntica a la de lexercici 3. Es fa plantejant
la regla de 3 oportuna.
4 m ------------------ 80 m
1 m ------------------ x
6.
Una vegada ms, tenim dos triangles semblants ja que els tres
costats sn parallels. Plategem la regla de 3 oportuna:
130 m --------------- 2 m
6 m ------------------- x
7.
El triangle de Carles i el de ledifici sn semblants, aix que
podem plantejar regles de tres.
160 m ------------------ x
2 m ---------------------- 48 m
9.
Estan en posici de Tales: el triangle AFD respecta a ACB; el CFE
respecte al CAB; el DEB respecta al ACB
10.
Recordeu que els tres angles dun triangle sumen 180.
a) Com que els dos angles del petit sn 45 i 60, el tercer ha de
ser 75, ja que 45 + 60 + 75 = 180. Per tal que el triangle gran
sigui semblant al petit, han de tenir dos angles iguals, com el de
60 ja coincideix, langle ha de ser 45 o b 75.
b) Per tal que siguin semblants, com ja tenen un angle en com,
30, s suficient que els costats que formen aquest angle siguin
proporcionals. Per tal que els costats siguin proporcionals, ha de
ser igual que . Per tant, x = 3.
c) Amb el mateix raonament que en lapartat b, per aplicant-lo a
langle que falta, noms bastar amb que sigui 60.
11.
Penseu: si lrea del quadrat s 144, quant mesurar cada costat?
Aix doncs, les rees dels quadrats sn una pista per a deduir que els
costats del triangle mesuren, respectivament, 12 (), 16 () i 20 ()
cm.
Si us fixeu, aquests nombres compleixen el teorema de Pitgores
(ja que 202 = 122 + 162), i aix vol dir que el triangle s un un
triangle rectangle (si no, no es compliria Pitgores). Si el
triangle s rectangle, la seva base i laltura sn els catets, que sn
els dos costats petits del triangle. Aplicant la frmula del rea del
triangle,
12.
Per trobar un costat, s suficient amb considerar el triangle
rectangle forat per un quart del rombe i aplicar Pitgores.
h2= 242 + 182 = 576 + 324 = 900
h = = 30
Per tant, cada costat del rombe sn 30 cm i el permetre 30 4 =
120 cm
13.
En qualsevol diccionari podeu trobar que la generatriu dun con s
el que mesura la lnia recta des del vrtex superior fins a qualsevol
un punt de la circumferncia de la base, mentre que laltura s la
distncia des del vrtex fins el centre de la base. Si us fixeu, la
generatriu s la hipotenusa del triangle rectangle format per ella
mateixa, laltura i un radi de la base.
Si el dimetre de la base s 40, el radi s la meitat, 20. I com la
generatriu mesura 90, aplicarem Pitgores per trobar laltura.
h2 = c2 + c2
902 = 202 + c2
8100 400 = c2c2 = 7700
c = = 8775 cm.
14.
Penseu que la lnia que va des del centre del cercle fins a un
dels vrtex del rectangle s un radi de la circumferncia i per tant,
mesura 27. s fcil doncs veure que hem daplicar Pitgores a aquest
triangle rectangle:
h2 = c2 + c2
272 = 252 + c2
c2 = 729 625 = 104
c== 102
Fixeu-vos que el que hem trobat s la meitat de laltura del
rectangle, per tant laltura s 204 i lrea s base per altura:
cm215.
Anem a calcular la diagonal de la capsa i veure si supera o no
els 50 cm. Per fer-ho, observem que forma un triangle rectangle amb
laltura de la capsa i la diagonal AB de la base. Es clar que no
tenim directament aquesta diagonal, per s la hipotenusa del
triangle format per ella mateixa i dos costats de la base.
Aix, apliquem Pitgores:
h2 = c2 + c2
h2 = 242 + 322 = 576 + 1024 = 1600
h = = 40
I tenim que la diagonal de la base s 40 cm. Ara, considerem el
triangle format per la diagonal de la base (40 cm), laltura de la
caixa (30 cm) i la diagonal de la capsa (?) i tornem a aplicar el
teorema de Pitgores:
h2 = c2 + c2
h2 = 402 + 302 = 1600 + 900 = 2500
h = = 50
Doncs s, com la diagonal mesura el mateix que el clarinet,
aquest cabria justet, justet a la caixa.
16.
El problema s bsicament igual a lanterior: loperari ha de
collocar la barra en la diagonal de lascensor... si hi cap. Anem a
trobar aquesta diagonal, tenint en compte que forma un rectangle
amb laltura de lascensor i amb la diagonal de la base.
Per calcular la diagonal de la base, hem de tenir en compte que
forma un triangle rectangle amb dos costats de la base, que s
quadrada de costat 110m. Aplicant Pitgores,
h2 = c2 + c2
h2 = 1102 + 1102 = 121 + 121 = 242
h = = 156 m
Ara, tornem a fer Pitgores amb el triangle format per la
diagonal de la base, laltura de lascensor i la diagonal de
lascensor:
h2 = c2 + c2
h2 = 1562 + 22 = 242 + 4 = 642
h = = 253 m
Com la barra mesura 25 m, s que cap a lascensor. Per si mesurs
5cm ms, no hi cabria.
17.
Com pregunta sobre projeccions, farem servir el teorema del
catet o el de laltura, i per tant, dibuixarem el triangle rectangle
de manera tombat sobre la hipotenusa:
a) Trobem el catet que falta aplicant Pitgores:
h2 = c2 + c2
102 = 82 + c2
100 64 = c2c2 = 36
c = = 6 cm.
b) Recordeu que aquestes projeccions s lo que en el teorema del
catet i de laltura anomenem m i n. Aplicant el teorema del catet
amb el catet c, tenim que
c2 = n h ; 82 = n 10 ; 64 = n 10 ; n = = 64 cm
I com m + n = h, tenim que m = 36 cm.
c) Per calcular laltura, apliquem el teorema de laltura:
a2 = m n = 64 36 = 78336 ; a = = 885 cm.
18.
a) Mireu el triangle de manera que la hipotenusa sigui la base
per aplicar el teorema del catet. Fixeu-vos que el que hem de
buscar s el que nosaltres anomenem catet b. Llavors podem aplicar
el teorema de laltura per trobar m:
a2 = m n ; 42 = m 3 ; 16 = m 3 ; m = = 533.
Ara, tenim que la hipotenusa mesura 3 + 533 = 833.
Aplicant el teorema del catet tenim que: b2 = m h = 533 833 =
4444. Per tant, el catet buscat s b = = 667 cm.
(tamb es pot trobar el catet aplicant el teorema de Pitgores; el
resultat s el mateix).
b) Com hem de buscar c i tenim n i h, podem aplicar el teorema
del catet:
c2 = n h = 65 8 = 52; c = = 721 cm.
19.
a) La distncia de la gasolinera a C s laltura del triangle, aix
que fem servir el teorema de laltura:
a2 = 2 3 = 6 ; a = = 245 km
b) La distncia de C als altres pobles sn els catets. La podem
trobar amb el teorema dels catets, tenint en compte que h = m + n =
2 + 3 = 5 km.
Distncia a A
b2 = m h
b2 = 2 5
b2 = 10
b = = 316 km
Distncia a B
c2 = n h
c2 = 3 5
c2 = 15
c = = 387 km
EMBED CorelDRAW.Graphic.12
EMBED CorelDRAW.Graphic.12
EMBED CorelDRAW.Graphic.12
EMBED CorelDRAW.Graphic.12
EMBED CorelDRAW.Graphic.12
EMBED CorelDRAW.Graphic.12
EMBED CorelDRAW.Graphic.12
_1289911778.unknown
_1289914697.unknown
_1289916522.unknown
_1289917580.unknown
_1289917902.unknown
_1289918166.unknown
_1289918252.unknown
_1289918045.unknown
_1289917782.unknown
_1289917240.unknown
_1289917347.unknown
_1289917440.unknown
_1289917111.unknown
_1289916803.unknown
_1289915510.unknown
_1289916479.unknown
_1289915370.unknown
_1289915111.unknown
_1289912293.unknown
_1289914002.unknown
_1289914437.unknown
_1289914646.unknown
_1289914065.unknown
_1289912958.unknown
_1289913657.unknown
_1289912935.unknown
_1289912122.unknown
_1289912291.unknown
_1289912108.unknown
_1289910719.unknown
_1289911197.unknown
_1289911766.unknown
_1289910851.unknown
_1289910496.unknown
_1289910531.unknown
_1289910367.unknown
