Embed Size (px)
Citation preview
Matemàtiques 1 Batxillerat – Activitats complementàries
1
j Unitat 1. Nombres reals
j 1.1 Introducció
1> L’àrea d’una làmina quadrada és de 10 000 cm2. L’hem emmarcada deixant un marge de 2,4 cm a cada costat. Quin és el perímetre del marc? Expressa el resultat en metres arrodonint fins a les dècimes.
j 1.2 Nombres que no són racionals
2> En impremta s’utilitza paper de format norma-litzat DIN A; el DIN A0 és el més gran i el més corrent és el DIN A4. Cadascun d’aquests for-mats s’obté dividint l’anterior per la meitat.
Sabent que el quocient entre les mides de la base i l’altura de cada rectangle és igual a 2 i que el format A0 és un rectangle d’1 m2 d’àrea, calcula les mides del DIN A4.
Comprova els teus càlculs mesurant amb el regle la base i l’altura d’un full format DIN A4.
3> a) Mesura els dos costats del teu DNI o d’una tarja de crèdit. Divideix els resultats i com-prova que surt el nombre d’or.
b) Cerca situacions al món de l’art o de la natu-ra on aparegui el nombre d’or.
j 1.3 Nombres irracionals
4> a) Amb l’ajut de la calculadora, cerca un nom-bre decimal el quadrat del qual s’acosti el màxim possible a 2.
b) Cerca igualment un nombre el quadrat del qual s’acosti el màxim possible a 10.
c) Són periòdics els nombres decimals obtinguts?
5> a) Quin és el valor de arrodonit fins als cen-tèsims? I arrodonit fins als deumil·lèsims.
b) Descriu algun procediment casolà que ens permeti obtenir un valor de , encara que no sigui gaire exacte.
c) Volem construir una pista circular d’1 km de perímetre, quant variarà el diàmetre segons es prengui amb tres o amb cinc xifres sig-nificatives?
d) Es pot expressar en algun cas l’àrea d’un cer-cle com a nombre enter? Pot existir un cercle de 12 m2 d’àrea? En cas afirmatiu, quant me-suraria el seu radi?
j 1.4 Representació gràfica dels nombres irracionals
6> Quina quantitat de filferro cal per envoltar una finca quadrada de 2 500 m2 de superfície si es volen posar tres voltes de filferro?
7> En considerar amb quatre decimals, què és el que ens convé més, prendre l’aproximació per defecte o per excés? Per què?
8> Com calcularies el valor de amb tres xifres decimals amb una calculadora en la qual no funcionés la tecla ?
9> Representa a la mateixa recta numèrica i suc-cessivament , , .
j 1.5 Els nombres reals
10> Classifica els nombres següents segons el conjunt al qual pertanyen:
3
11> Inventa 3 nombres decimals il·limitats no periòdics i indica’n la llei de formació.
j 1.6 Operacions amb nombres reals. Propietats
12> Efectua les operacions següents:
a)
b)
c)
13> Calcula:
a)
b)
c)
14> Calcula en els casos en què això sigui possible:
Matemàtiques 1 Batxillerat – Activitats complementàries
3
33> Opera i simplifica al màxim:
a) 3 2 52
b) 5 1 2 5 ? 5 2 2 5
c) 3 1 52 2 3 2 5
2
d) 3 7 2 5 4 7 20 28 45− + + − +
e) 2 8 5 72 7 18 50+ − −
f) 3 1 3
8 12 4 27 24 2 16
− + −
j 1.10 Racionalització de denominadors
34> Racionalitza les fraccions següents:
35> Racionalitza les fraccions següents:
36> Racionalitza les fraccions següents:
37> Racionalitza i simplifica:
j 1.11 Les solucions d’inequacions i la recta real
38> Les inequacions i 2 < 3x + 5 tenen solucions comunes. Troba-les, representa-les gràficament i expressa-les de dues maneres diferents.
j 1.12 Notació científica
39> Si la massa d’un electró és kg i la d’un protó és kg, quants electrons calen perquè facin el mateix pes que un protó?
40> Utilitza la notació científica per trobar els resultats de les operacions següents:
a)
b)
41> Troba els 100 primers decimals del número π. Investiga en llibres o per internet.
42> Demostra que el número és irracional, de la mateixa manera que abans.
43> Troba un valor aproximat del número irracional
e a partir de l’expressió següent: . Has
de donar valors a la n cada cop més grans a partir de n = 1. Si la n és molt alta, el resultat és cada vegada més proper al valor que ens dóna la calculadora.
44> Considera el número:
Encara que no ho sembli, x és enter. Demos-tra-ho.
Et suggerim que calculis primer x2.
j Activitats finals
1> Escriu 4 nombres racionals compresos entre 0
i , en forma de fracció.
2> Dels nombres següents, digues quins són irra-cionals:
; ; ; 1,010010001...
3> Classifica els següents nombres en racionals o irracionals:
a) b) 5,034212121... c) d)
4> Representa a la recta numèrica els nombres irracionals següents:
a) b) c) d)
Matemàtiques 1 Batxillerat – Activitats complementàries
1
j Unitat 3. Trigonometria
j 3.1 Raons trigonomètriques d’un angle
1> En una circumferència de 10 cm de radi, si- tueu els punts A(8, 6), B(–6, 8), C(–6, –8), D(8, –6). Expressa els valors de les raons tri-gonomètriques dels 4 angles que determinen,
.
j 3.2 Circumferència trigonomètrica
2> Dibuixa diferents triangles rectangles amb an-gles de 30º i 60º i costats de mides diferents. Calcula les raons trigonomètriques dels angles a partir del dibuix i comprova que són molt semblants en tots els dibuixos, i que s’apropen als valors obtinguts amb la calculadora.
3> Situa els angles a la circumferència unitat a partir d’aquestes dades:
4> Explica per què el sinus o cosinus d’un angle no poden ser més grans que 1.
5> Esbrina quins són els signes de les raons tri-gonomètriques dels angles
a) 30º b) 150º c) 225º d) 340º e) 390º
j 3.3 Reducció al primer quadrant
6> Relaciona les raons trigonomètriques de l’an-gle 135º amb les d’un angle del primer qua-drant.
7> Un angle tal que verif ica: i .
a) A quin quadrant pertany l’angle ?
b) Quant mesura ?
j 3.4 Relacions entre les raons trigonomètriques d’un angle qualsevol
8> Si sabem que i , cal-cula i .
9> Sabent que , calcu-la i .
10> Si i , calcula i .
j 3.5 Fórmules d’addició
11> Sabent que ; i que amb calcula:
a) ; b)
12> Utilitza per calcular les raons
trigonomètriques de 60º de forma exacta, sense fer servir la calculadora. Calcula prè-viament sin 30º.
13> Sabent que i , troba ααα
.
j 3.6 Transformació de sumes en productes
14> Expressa com la suma dels si-nus de dos angles.
15> Comprova que es verifica la igualtat següent:
j 3.7 Determinació de triangles
16> Dibuixa dos segments de longituds 5 cm i 8 cm i un angle de 40º. Construeix tots els triangles possibles en cadascuna d’aquestes situacions:
a) Quan l’angle és el que determinen els dos costats.
b) Quan no ho és. Raona cada construcció.
j 3.8 Teorema del cosinus
17> Resol el triangle en què coneixem a = 3 cm, c = 5 cm i B = 60º.
Matemàtiques 1 Batxillerat – Activitats complementàries
2
18> Els costats d’un triangle mesuren a = 12 cm, b = 20 cm i c = 30 cm. Calcula’n els tres an-gles.
j 3.9 Teorema del sinus
19> Resol el/s triangle/s en què a = 6 cm, b = 9 cm i A = 40º. Calcula la seva àrea.
20> Resol el/s triangle/s en què a = 10 cm, b = 6 cm i A = 100º. Calcula la seva àrea.
21> Resol el triangle en què a = 2 cm, b = 9 cm i A = 60º.
j 3.10 Resolució de problemes
22> El punt més alt d’una torre es veu des de terra sota un angle de 30º amb l’horitzontal. Si ens acostem 40 m al peu de la torre, l’angle és de 60º. Calcula l’altura de la torre.
23> Troba les diagonals d’un paral·lelogram, sa-bent que dos costats consecutius mesuren 5 cm i 8 cm i formen un angle de 150º.
24> Sobre una circumferència de radi 1 m i centre el punt O, considerem els cinc vèrtexs A, B, C, D i E d’un pentàgon regular (és a dir, amb els cinc costats de la mateixa longitud) com el del dibuix següent:
on hem dibuixat també els costats AB, BC, CD i DE; les diagonals AC, BD, CE, DA i EB; i els
radis que acaben en cada un dels vèrtexs OA, OB, OC, OD i OE). Calcula:
a) La longitud de qualsevol de les diagonals.
b) L’àrea del pentàgon.
j Activitats finals
1> Demostra els valors de les raons trigonomètri-ques de l’angle .
2> Si , en quins quadrants pot estar l’angle ? Justifica’n la resposta.
3> Relaciona les raons trigonomètriques de l’angle 330º amb les d’un angle del primer quadrant.
4> Utilitza les relacions entre les raons trigono-mètriques per determinar els angles positius més petits de 360º el cosinus dels quals sigui
igual a .
5> Expressa en forma de producte:
a) sin 75º + sin 15º
b) sin 75º – sin 15º
6> Sense utilitzar la calculadora, troba les raons trigonomètriques de l’angle 105º, a partir de les raons trigonomètriques dels angles 45º i 60º.
7> Un dels costats d’un triangle mesura 2k cm i els altres dos 3k cm i 5k cm. Està determinat el triangle?
8> Resol un triangle en què coneixem a = 2 cm, b = 5 cm, c = 6 cm.
9> Resol un triangle en què B = 40º, C = 65º i b = 8 cm.
10> Les agulles d’un rellotge de paret fan 10 cm i 12 cm respectivament.
a) Quina és la distància entre els seus extrems quan el rellotge assenyala les quatre?
b) Quina és la superfície del triangle que de-terminen en aques ta hora?
Matemàtiques 1 Batxillerat – Activitats complementàries
1
j Unitat 5. Vectors en el pla
j 5.2 Components cartesians d’un vector
1> El vector té l’origen al punt A(–3, 2). Determina:
a) Les coordenades de l’extrem B.
b) El mòdul d’aquest vector.
En farem la resolució analítica i gràfica.
2> Determina els components cartesians i el mò-dul de cadascun dels vectors següents. Fes-ne la representació gràfica en cada cas.
a)
b)
j 5.3 Vector posició d’un punt
3> Sabent que i B(5, 2), determina les coordenades del punt A de forma analítica i gràfica.
4> Representa gràficament els vectors:
a) amb
b)
CD 5 (25,2) amb D(21,23)
5> Expressa en forma polar el vector posició de cadascun dels punts següents:
a) (2, –2) b) (–3, 3)
c) d)
e) (3, 4) f) (–1, 3)
6> Calcula les coordenades cartesianes dels punts A, B, C, D els vectors posició dels quals són, respectivament:
j 5.4 Vectors equipol·lents
7> El vector a
té l’origen en el punt (–1, 3) i l’ex-trem en el punt (2, –5). El vector b
, equipol-lent a l’anterior, té l’origen en el punt (3, –1). Troba’n les coordenades de l’extrem.
8> Donats els punts A(2, –1), B(3, 5), C(1, 3) i D(x, y), calcula les coordenades del punt D sa-bent que els vectors AB i CD
són equipol·lents.
9> Els punts A(2, 1), B(–3, 7) i C(6, 9) són tres vèrtexs consecutius d’un paral·lelogram. Troba les coordenades del quart vèrtex D.
j 5.5 Operacions amb vectors
10> Donats els vectors , comprova que es verifica:
a)
b)
11> Donats els vectors i ,
troba els components dels vectors i
.
12> Determina els vectors unitaris en la direcció i el sentit dels vectors:
a) b)
j 5.6 Combinació lineal de vectors. Dependència i independència lineal
13> Donats els vectors i , troba’n les combinacions lineals següents:
a) 1 22 3
a b−
b) 2 5a b− +
14> Esbrina si són linealment dependents o lineal-ment independents els parells de vectors se-güents:
a) (2,–3) i (–6,9) b) (–5,0) i (2,0)
c) d) (6,–3) i (–6,3)
15> Calcula m perquè els vectors ( 3, )u m m→
= − − −
i (1 , 1)v m→
= − − siguin linealment depen-dents.
16> Els vectors (3, 5) i (–2, m) són linealment dependents. Calcula el valor de m.
17> Els vectors (2, –6) i (x,18) són linealment independents. Quins valors pot tenir la in-cògnita x?
18> Expressa el vector ( 4, 5)a→ = − − com a com-
binació lineal de (4, 2)u→ = − i (5, 1)v
→ = .
Matemàtiques 1 Batxillerat – Activitats complementàries
2
19> Demostra que els vectors (–1, 3), (2, 5) i (–2, 6) són linealment dependents.
j 5.7 Bases del pla
20> Si les components del vector w
en la base que formen els vectors { (2, 1)u = −
� }, ( 1,3)v = −�
{ }(4,0) , (0,3)m n= =� �
.
{ }(4,0) i (0,3)m n= =� �
{ },u v� �
{ },u v� �
:
són (3,2), troba:
a) Les components de w
en la base canònica.
b) Les components de w
en la base que for-men els vectors
{ (2, 1)u = −� }, ( 1,3)v = −
�
{ }(4,0) , (0,3)m n= =� �
.
{ }(4,0) i (0,3)m n= =� �
{ },u v� �
{ },u v� �
:
.
21> Quines són les components del vector u
en la base
{ (2, 1)u = −� }, ( 1,3)v = −
�
{ }(4,0) , (0,3)m n= =� �
.
{ }(4,0) i (0,3)m n= =� �
{ },u v� �
{ },u v� �
:
? I les del vector v
? I les del vector u v+
?
22> Expressa el vector (3, 5) en combinació lineal dels vectors (–1, 2) i (1, 6).
23> Els vectors (–1, 3) i (2, 5) són una base del pla? En cas afirmatiu, expressa el vector (1, 19) en combinació lineal dels dos vectors de la base.
24> Quins dels parells de vectors següents són una base del pla? Justifica la resposta.
a) (–3,1) i (9,–3) b) (1,–1) i (3,3)
c) (2,–3) i (4,8) d) (–1,0) i (2,0)
j 5.8 Producte escalar de dos vectors
25> Donats els vectors
2 1 5 3 2 15 13⋅ = ⋅ + ⋅ = ⋅ + − ⋅ = − = −
⋅ − + − ⋅ −
a b− ⋅ −
( ) ( )2, 1 3, 2p i q= − = −� �
( ) ( ) ( )3 3 3p q p q p q⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅� � � � � �
6, 3 3, 2 2, 1 9, 6 3 2 3 1 2
⋅ − ⋅ − = − ⋅ ⋅ − = ⋅ − ⋅ −
( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3 3 3
3 2, 1 3, 2 2, 1 3 3, 2 3 2, 1 3, 2
6 3 3 2 2 9 1 6 3 6 2
p q p q p q⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅
− ⋅ − = − ⋅ − = ⋅ ⋅ + − ⋅ −
⋅ + − ⋅ − = ⋅ + − ⋅ − = ⋅ +
� � � � � �
( )p q r⋅ ⋅� � �
( ) ( ) ( )1,1 , 2, 4 3, 2p q i r= − = − = −� � �
= − = − =
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
3,2 8,1 5,1
9,6 8,1 1,5
5,1 1,5 5 1 1 5 5 5 0
BA A B
BC C B
BA i BC
= − = − = −
= − ⋅ = − ⋅ + ⋅ = − + =
���
���
��� ���
= − = − = −
= − = − =
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )8,1 3,2 5, 1
9,6 3,2 6,4
AB B A
AC C A
���
���
( ) ( )2, 5 1,3a i b= − =� �
( )1 1 2 2a b a b a b� �
( )22 2 2
13 13cos 139,76º
29 102 5 1 3
a b
a b
⋅ − −α = = = ⇔ α =⋅⋅ + − ⋅ +
� �
� �
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )2 2 22
2 1 5 3cos
2 5 1 3
a b
a b
⋅ −β = =
⋅ − + − ⋅ − + −
� �
� �
( ) (( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )2 2 22
2 1 5 3cos
2 5 1 3a b
− ⋅ − + ⋅ −γ = =
− ⋅ − − + ⋅ − + −� �
139,76°( )3, 4v = −
�
13139,76º
29 10
−= ⇔ γ =⋅
1340,24º
29 10= ⇔ β =
⋅������
� �
demostra que es compleix:
2 1 5 3 2 15 13⋅ = ⋅ + ⋅ = ⋅ + − ⋅ = − = −
⋅ − + − ⋅ −
a b− ⋅ −
( ) ( )2, 1 3, 2p i q= − = −� �
( ) ( ) ( )3 3 3p q p q p q⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅� � � � � �
6, 3 3, 2 2, 1 9, 6 3 2 3 1 2
⋅ − ⋅ − = − ⋅ ⋅ − = ⋅ − ⋅ −
( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3 3 3
3 2, 1 3, 2 2, 1 3 3, 2 3 2, 1 3, 2
6 3 3 2 2 9 1 6 3 6 2
p q p q p q⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅
− ⋅ − = − ⋅ − = ⋅ ⋅ + − ⋅ −
⋅ + − ⋅ − = ⋅ + − ⋅ − = ⋅ +
� � � � � �
( )p q r⋅ ⋅� � �
( ) ( ) ( )1,1 , 2, 4 3, 2p q i r= − = − = −� � �
= − = − =
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
3,2 8,1 5,1
9,6 8,1 1,5
5,1 1,5 5 1 1 5 5 5 0
BA A B
BC C B
BA i BC
= − = − = −
= − ⋅ = − ⋅ + ⋅ = − + =
���
���
��� ���
= − = − = −
= − = − =
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )8,1 3,2 5, 1
9,6 3,2 6,4
AB B A
AC C A
���
���
( ) ( )2, 5 1,3a i b= − =� �
( )1 1 2 2a b a b a b� �
( )22 2 2
13 13cos 139,76º
29 102 5 1 3
a b
a b
⋅ − −α = = = ⇔ α =⋅⋅ + − ⋅ +
� �
� �
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )2 2 22
2 1 5 3cos
2 5 1 3
a b
a b
⋅ −β = =
⋅ − + − ⋅ − + −
� �
� �
( ) (( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )2 2 22
2 1 5 3cos
2 5 1 3a b
− ⋅ − + ⋅ −γ = =
− ⋅ − − + ⋅ − + −� �
139,76°( )3, 4v = −
�
13139,76º
29 10
−= ⇔ γ =⋅
1340,24º
29 10= ⇔ β =
⋅������
� �
26> El resultat de
2 1 5 3 2 15 13⋅ = ⋅ + ⋅ = ⋅ + − ⋅ = − = −
⋅ − + − ⋅ −
a b− ⋅ −
( ) ( )2, 1 3, 2p i q= − = −� �
( ) ( ) ( )3 3 3p q p q p q⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅� � � � � �
6, 3 3, 2 2, 1 9, 6 3 2 3 1 2
⋅ − ⋅ − = − ⋅ ⋅ − = ⋅ − ⋅ −
( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3 3 3
3 2, 1 3, 2 2, 1 3 3, 2 3 2, 1 3, 2
6 3 3 2 2 9 1 6 3 6 2
p q p q p q⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅
− ⋅ − = − ⋅ − = ⋅ ⋅ + − ⋅ −
⋅ + − ⋅ − = ⋅ + − ⋅ − = ⋅ +
� � � � � �
( )p q r⋅ ⋅� � �
( ) ( ) ( )1,1 , 2, 4 3, 2p q i r= − = − = −� � �
= − = − =
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
3,2 8,1 5,1
9,6 8,1 1,5
5,1 1,5 5 1 1 5 5 5 0
BA A B
BC C B
BA i BC
= − = − = −
= − ⋅ = − ⋅ + ⋅ = − + =
���
���
��� ���
= − = − = −
= − = − =
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )8,1 3,2 5, 1
9,6 3,2 6,4
AB B A
AC C A
���
���
( ) ( )2, 5 1,3a i b= − =� �
( )1 1 2 2a b a b a b� �
( )22 2 2
13 13cos 139,76º
29 102 5 1 3
a b
a b
⋅ − −α = = = ⇔ α =⋅⋅ + − ⋅ +
� �
� �
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )2 2 22
2 1 5 3cos
2 5 1 3
a b
a b
⋅ −β = =
⋅ − + − ⋅ − + −
� �
� �
( ) (( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )2 2 22
2 1 5 3cos
2 5 1 3a b
− ⋅ − + ⋅ −γ = =
− ⋅ − − + ⋅ − + −� �
139,76°( )3, 4v = −
�
13139,76º
29 10
−= ⇔ γ =⋅
1340,24º
29 10= ⇔ β =
⋅������
� �
és un nombre real o un vector? Per què? Fes els càlculs per a
2 1 5 3 2 15 13⋅ = ⋅ + ⋅ = ⋅ + − ⋅ = − = −
⋅ − + − ⋅ −
a b− ⋅ −
( ) ( )2, 1 3, 2p i q= − = −� �
( ) ( ) ( )3 3 3p q p q p q⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅� � � � � �
6, 3 3, 2 2, 1 9, 6 3 2 3 1 2
⋅ − ⋅ − = − ⋅ ⋅ − = ⋅ − ⋅ −
( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3 3 3
3 2, 1 3, 2 2, 1 3 3, 2 3 2, 1 3, 2
6 3 3 2 2 9 1 6 3 6 2
p q p q p q⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅
− ⋅ − = − ⋅ − = ⋅ ⋅ + − ⋅ −
⋅ + − ⋅ − = ⋅ + − ⋅ − = ⋅ +
� � � � � �
( )p q r⋅ ⋅� � �
( ) ( ) ( )1,1 , 2, 4 3, 2p q i r= − = − = −� � �
= − = − =
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
3,2 8,1 5,1
9,6 8,1 1,5
5,1 1,5 5 1 1 5 5 5 0
BA A B
BC C B
BA i BC
= − = − = −
= − ⋅ = − ⋅ + ⋅ = − + =
���
���
��� ���
= − = − = −
= − = − =
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )8,1 3,2 5, 1
9,6 3,2 6,4
AB B A
AC C A
���
���
( ) ( )2, 5 1,3a i b= − =� �
( )1 1 2 2a b a b a b� �
( )22 2 2
13 13cos 139,76º
29 102 5 1 3
a b
a b
⋅ − −α = = = ⇔ α =⋅⋅ + − ⋅ +
� �
� �
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )2 2 22
2 1 5 3cos
2 5 1 3
a b
a b
⋅ −β = =
⋅ − + − ⋅ − + −
� �
� �
( ) (( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )2 2 22
2 1 5 3cos
2 5 1 3a b
− ⋅ − + ⋅ −γ = =
− ⋅ − − + ⋅ − + −� �
139,76°( )3, 4v = −
�
13139,76º
29 10
−= ⇔ γ =⋅
1340,24º
29 10= ⇔ β =
⋅������
� �
27> Demostra que el triangle de vèrtexs els punts A(3, 2), B(8, 1) i C(9, 6) és rectangle en B. Quant mesuren els altres dos angles del triangle?
28> Donats els vectors, calcula:
2 1 5 3 2 15 13⋅ = ⋅ + ⋅ = ⋅ + − ⋅ = − = −
⋅ − + − ⋅ −
a b− ⋅ −
( ) ( )2, 1 3, 2p i q= − = −� �
( ) ( ) ( )3 3 3p q p q p q⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅� � � � � �
6, 3 3, 2 2, 1 9, 6 3 2 3 1 2
⋅ − ⋅ − = − ⋅ ⋅ − = ⋅ − ⋅ −
( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3 3 3
3 2, 1 3, 2 2, 1 3 3, 2 3 2, 1 3, 2
6 3 3 2 2 9 1 6 3 6 2
p q p q p q⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅
− ⋅ − = − ⋅ − = ⋅ ⋅ + − ⋅ −
⋅ + − ⋅ − = ⋅ + − ⋅ − = ⋅ +
� � � � � �
( )p q r⋅ ⋅� � �
( ) ( ) ( )1,1 , 2, 4 3, 2p q i r= − = − = −� � �
= − = − =
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
3,2 8,1 5,1
9,6 8,1 1,5
5,1 1,5 5 1 1 5 5 5 0
BA A B
BC C B
BA i BC
= − = − = −
= − ⋅ = − ⋅ + ⋅ = − + =
���
���
��� ���
= − = − = −
= − = − =
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )8,1 3,2 5, 1
9,6 3,2 6,4
AB B A
AC C A
���
���
( ) ( )2, 5 1,3a i b= − =� �
( )1 1 2 2a b a b a b� �
( )22 2 2
13 13cos 139,76º
29 102 5 1 3
a b
a b
⋅ − −α = = = ⇔ α =⋅⋅ + − ⋅ +
� �
� �
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )2 2 22
2 1 5 3cos
2 5 1 3
a b
a b
⋅ −β = =
⋅ − + − ⋅ − + −
� �
� �
( ) (( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )2 2 22
2 1 5 3cos
2 5 1 3a b
− ⋅ − + ⋅ −γ = =
− ⋅ − − + ⋅ − + −� �
139,76°( )3, 4v = −
�
13139,76º
29 10
−= ⇔ γ =⋅
1340,24º
29 10= ⇔ β =
⋅������
� �
2 1 5 3 2 15 13⋅ = ⋅ + ⋅ = ⋅ + − ⋅ = − = −
⋅ − + − ⋅ −
a b− ⋅ −
( ) ( )2, 1 3, 2p i q= − = −� �
( ) ( ) ( )3 3 3p q p q p q⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅� � � � � �
6, 3 3, 2 2, 1 9, 6 3 2 3 1 2
⋅ − ⋅ − = − ⋅ ⋅ − = ⋅ − ⋅ −
( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3 3 3
3 2, 1 3, 2 2, 1 3 3, 2 3 2, 1 3, 2
6 3 3 2 2 9 1 6 3 6 2
p q p q p q⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅
− ⋅ − = − ⋅ − = ⋅ ⋅ + − ⋅ −
⋅ + − ⋅ − = ⋅ + − ⋅ − = ⋅ +
� � � � � �
( )p q r⋅ ⋅� � �
( ) ( ) ( )1,1 , 2, 4 3, 2p q i r= − = − = −� � �
= − = − =
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
3,2 8,1 5,1
9,6 8,1 1,5
5,1 1,5 5 1 1 5 5 5 0
BA A B
BC C B
BA i BC
= − = − = −
= − ⋅ = − ⋅ + ⋅ = − + =
���
���
��� ���
= − = − = −
= − = − =
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )8,1 3,2 5, 1
9,6 3,2 6,4
AB B A
AC C A
���
���
( ) ( )2, 5 1,3a i b= − =� �
( )1 1 2 2a b a b a b� �
( )22 2 2
13 13cos 139,76º
29 102 5 1 3
a b
a b
⋅ − −α = = = ⇔ α =⋅⋅ + − ⋅ +
� �
� �
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )2 2 22
2 1 5 3cos
2 5 1 3
a b
a b
⋅ −β = =
⋅ − + − ⋅ − + −
� �
� �
( ) (( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )2 2 22
2 1 5 3cos
2 5 1 3a b
− ⋅ − + ⋅ −γ = =
− ⋅ − − + ⋅ − + −� �
139,76°( )3, 4v = −
�
13139,76º
29 10
−= ⇔ γ =⋅
1340,24º
29 10= ⇔ β =
⋅������
� �
a) El seu producte escalar.
b) L’angle que formen.
c) L’angle format pels vectors a i b−
.
d) L’angle format pels vectors a i b− −
.
29> Troba un vector de mòdul 3 que sigui ortogo-nal al vector
2 1 5 3 2 15 13⋅ = ⋅ + ⋅ = ⋅ + − ⋅ = − = −
⋅ − + − ⋅ −
a b− ⋅ −
( ) ( )2, 1 3, 2p i q= − = −� �
( ) ( ) ( )3 3 3p q p q p q⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅� � � � � �
6, 3 3, 2 2, 1 9, 6 3 2 3 1 2
⋅ − ⋅ − = − ⋅ ⋅ − = ⋅ − ⋅ −
( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3 3 3
3 2, 1 3, 2 2, 1 3 3, 2 3 2, 1 3, 2
6 3 3 2 2 9 1 6 3 6 2
p q p q p q⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅
− ⋅ − = − ⋅ − = ⋅ ⋅ + − ⋅ −
⋅ + − ⋅ − = ⋅ + − ⋅ − = ⋅ +
� � � � � �
( )p q r⋅ ⋅� � �
( ) ( ) ( )1,1 , 2, 4 3, 2p q i r= − = − = −� � �
= − = − =
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
3,2 8,1 5,1
9,6 8,1 1,5
5,1 1,5 5 1 1 5 5 5 0
BA A B
BC C B
BA i BC
= − = − = −
= − ⋅ = − ⋅ + ⋅ = − + =
���
���
��� ���
= − = − = −
= − = − =
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )8,1 3,2 5, 1
9,6 3,2 6,4
AB B A
AC C A
���
���
( ) ( )2, 5 1,3a i b= − =� �
( )1 1 2 2a b a b a b� �
( )22 2 2
13 13cos 139,76º
29 102 5 1 3
a b
a b
⋅ − −α = = = ⇔ α =⋅⋅ + − ⋅ +
� �
� �
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )2 2 22
2 1 5 3cos
2 5 1 3
a b
a b
⋅ −β = =
⋅ − + − ⋅ − + −
� �
� �
( ) (( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )2 2 22
2 1 5 3cos
2 5 1 3a b
− ⋅ − + ⋅ −γ = =
− ⋅ − − + ⋅ − + −� �
139,76°( )3, 4v = −
�
13139,76º
29 10
−= ⇔ γ =⋅
1340,24º
29 10= ⇔ β =
⋅������
� �
. Analitza les solu-cions obtingudes.
30> Donat el vector (3, 4)w = −
, troba:
a) Els vectors perpendiculars a w
i amb el mateix mòdul que ell.
b) Els vectors perpendiculars a w
i unitaris.
c) Els vectors perpendiculars a w
i de mòdul 3 (equival a l’activitat anterior).
j 5.9 Aplicacions geomètriques dels vectors
31> Troba el punt mitjà del segment AB, on
.
32> Troba el punt simètric de A(4, –2) respecte B(1,7).
33> Troba les coordenades dels punts que dividei-xen el segment d’extrems A(–1, 3) i B(9, 13) en 5 parts iguals.
34> Els punts A(–1, 2), B(3,5) i C(5, x) estan ali-neats. Calcula x.
35> Determina les coordenades del baricentre del triangle de vèrtexs els punts A(2, –5), B(1, 6) i C(6, 2).
36> Els punts A(2, 2), B(3, 6) i C(8, 5) són tres vèrtexs consecutius d’un paral·lelogram. Tro-ba les coordenades del quart vèrtex D i les del punt intersecció de les diagonals.
j Activitats finals
1> El vector ( ) ( ),1 2,3a x i b= =� �
( )3,5AB = −���
( )2, 1v = −�
( ) ( ) ( )0, 3 , 1,2 1,6a b i c= − = = −� � �
( )a b c a b a c⋅ + = ⋅ + ⋅� � � � � � �
( ) ( )a b a b+ ⋅ +� � � �
té l’extrem en el punt B(–1, 8). Determina:
a) Les coordenades de l’origen A.
b) El mòdul d’aquest vector.
2> a) Expressa en forma polar el vector posició
del punt
b) Quines són les coordenades cartesianes del punt A el vector posició del qual expressat en forma polar és 180º1a =
?
Matemàtiques 1 Batxillerat – Activitats complementàries
1
j Unitat 6. Rectes en el pla
j 6.1 Diferents formes d’expressió de la recta
1> Troba l’equació vectorial i les equacions para-mètriques de la recta que té com a vector di-rector i passa pel punt A(–5, 6).
2> Troba dos punts i el vector director de les rectes:
a) ( , ) (2, 5) (3,7)x y k= − +
b) 3
2
x k
y k
= − =
c) 3 1
2 5x y− +=
−
3> Troba l’equació general o implícita de la recta que té per equació contínua:
4> Donada la recta 5x – 3y + 2 = 0, determina un punt i un vector director.
5> Troba l’equació explícita de la recta que té per equació general 2x – 3y + 5 = 0.
6> Troba l’equació punt-pendent d’una recta que passa pel punt A(–1, 2) i té com a vector direc-tor .
7> Calcula el valor de k perquè el pendent de la recta que passa pels punts A(1, 3) i B(k, 4) si-gui –2.
8> Donada la recta 3 4y x= − , troba dos punts de la recta i el vector director.
9> Troba l’equació canònica de la recta d’equació general 5x – 6y + 5 = 0.
10> Esbrina si el punt P(3, 2) pertany o no a ca-dascuna de les rectes següents:
a)
b)
c) x – 3y + 3 = 0
d)
e)
f)
11> Troba l’equació implícita de la recta que pas-sa pels punts A(2, 6) i B(–3, 2).
j 6.2 Determinació de rectes
12> Determina l’equació de la recta que passa pel punt P(–1, 3) i que forma un angle d’inclina-ció de 45º amb el sentit positiu de l’eix OX.
13> Sense fer-ne la representació gràfica, esbrina si els punts A(2, 5), B(–1, 3) i C(0, –2) estan alineats.
j 6.3 Incidència i paral·lelisme de rectes
14> Determina l’equació de la recta que passa pel punt P(–1, 6) i és paral·lela a la recta 5x – 4y + 2 = 0.
15> Esbrina si les tres rectes 3x + y – 4 = 0,
5x – 6y + 1 = 0 i 8x – 6y – 2 = 0, es tallen o no en un mateix punt.
16> Calcula els valors de k per tal que les rectes r i s siguin paral·leles:
r: kx – 6y + 2 = 0 s: x + (k + 5) y – 3 = 0
j 6.4 Perpendicular de rectes
17> Troba l’equació d’una recta perpendicular a r: 2x + 3y – 2 = 0 i que passi pel punt P(–2, 5).
18> Troba la projecció ortogonal del punt P(–1, 3) sobre la recta r: 2x – 6y + 1 = 0.
19> Determina l’equació de la mediatriu del seg-ment d’extrems els punts A(–1, 5) i B(3, 7).
20> Troba a i b per tal que les rectes r: ax + 2y = 0 i s: y = bx – 3 siguin perpendiculars i la pri-mera passi pel punt A(2, –1).
21> Donat el triangle de vèrtexs A(0, 2), B(4, 6) i C(–2, –8), calcula:
a) El circumcentre del triangle.
b) El baricentre del triangle.
c) L’ortocentre del triangle.
Matemàtiques 1 Batxillerat – Activitats complementàries
2
j 6.5 Angle de dues rectes
22> Quin angle formen les rectes r: 3x + 5y – 2 = 0
i s: ?
23> Troba l’equació de les rectes que formen un angle de 60º amb l’eix OX i passen pel punt A(–1, 3).
j 6.6 Distàncies
24> Determina la distància del punt A(–1, 6) a la recta r: 3x + 5y – 1 = 0.
25> Troba els punts de la recta 2 0x y− + = que disten 5 unitats del punt (1,2)P .
26> Troba l’equació de la recta paral·lela a 3 2 4 0x y+ + = i que dista 4 unitats del punt A(–1,5).
27> Troba la distància entre les rectes
r: 3x – 2y + 1 = 0 i s: – 9x + 6y + 2 = 0.
28> Calcula l’àrea del triangle format pels punts A(3, 2), B(7, 1) i C(–2, 3).
29> Determina les equacions de les bisectrius dels angles que formen les rectes r: 5x + 2y – 1 = 0 i s: 2x + 5y – 3 = 0.
j Activitats finals
1> Considera la recta d’equació: . Es
demana: un vector director, el pendent i els punts de tall amb els eixos de coordenades.
2> Escriu l’equació canònica de la recta que passa pels punts A(2, –5) i B(3, 2).
3> Determina el punt d’intersecció de les rectes:
r: :
4> Troba l’equació de la recta perpendicular a r: 6x – 4y + 2 = 0 i que passa pel punt .
5> Determina l’angle que formen les rectes:
6> Troba el valor de b per tal que la distància del punt A(1, b) a la recta r: 3x + 4y – 2 = 0 si- gui 5.
Matemàtiques 1 Batxillerat – Activitats complementàries
1
j Unitat 7. La circumferència i altres llocs geomètrics
j 7.1 Equació de la circumferència
1> Escriu l’equació de la circumferència de centre el punt (3, 0) i radi 4.
j 7.2 Determinació del centre i el radi
2> Troba l’equació de la circumferència que té per diàmetre el segment d’extrems els punts A(–3, 2) i B(2, 4).
3> Les equacions següents són de circumferències. Troba’n el centre i el radi.
a)
b)
4> Esbrina quines d’aquestes equacions no corresponen a una circumferència. Raona la resposta.
a)
b)
c)
d) 2 2 4 7 0x y x+ − + =
e) 2 22 3 6 0x y x+ − + =
j 7.3 Circumferència que passa per tres punts
5> Determina l’equació de la circumferència que passa pels punts A(–1, 0), B(0, 3) i C(2, 2).
j 7.4 Circumferència tangent a una recta
6> Troba l’equació de la circumferència de centre (2, –3) i tangent a la recta s: y = –3x + 1.
j 7.5 Posicions relatives de rectes i circumferències
7> Determina la posició relativa de la recta x + y = 0 i la circumferència
8> Determina la posició relativa de la recta : 3 2 0s x y− + = i l a c i r c um f e r è n c i a 2 2 2 6 1 0x y x y+ − + + = .
9> Determina la posició relativa de la recta : 4 3 8 0s x y+ + = i l a c i r cumf e r ènc ia
2 2 8 0x y x+ + = .
10> Determina la posició relativa de les circumferències d’equacions
11> Determina la posició relativa de les circumferències
12> Determina la posició relativa entre les circumferències
2 2 8 0x y x+ + = i 2 2 2 3 0x y x y+ − + − = .
13> Determina la posició relativa entre les circumferències
2 2 8 0x y x+ + = i 2 2 8 3 0x y x y+ + + − = .
14> Determina la posició relativa entre les circumferències 2 2 4 2 4 0x y x y+ − + − = i
2 2 4 14 28 0x y x y+ − − + = .
15> Troba la posició relativa del punt P(–1, 3) respecte de la circumferència d’equació
16> Considerem la circumferència d’equació i el punt P(5, 0) exterior a la cir
cumferència. Troba les equacions de les rectes tangents a la circumferència des d’aquest punt.
j 7.6 Recta tangent a una circumferència
17> Escriu l’equació de la recta tangent a la circumferència d’equació
j 7.7 Potència d’un punt respecte d’una circumferència
18> Calcula la potència del punt P(3, –1) respecte d’una circumferència de centre el punt C(2, 1)
Matemàtiques 1 Batxillerat – Activitats complementàries
1
j Unitat 2. Polinomis
j 2.1 Polinomis en una indeterminada
1> Escriu els nombres 123, 15 201 i 37,22 usant la descomposició polinòmica.
2> Calcular el valor numèric de cada un dels polinomis P(x) = –x2 – 3x + 4 i Q(x) = –2x3 – x2 + 2x en x = –1, x = 0, x = 1, x = 2
j 2.2 Operacions amb polinomis
3> De vegades la indeterminada d’un polinomi pot ser una lletra diferent a x.
Identifica quines de les següents expressions corresponen a polinomis:
a) 5y2 – 7y + 3
b) 5zy – 3z2 + 2z3
c) 3x – 2y
d) 7a3 – 2a + 5
4> Comprova les propietats de la multiplicació de polinomis, commutativa, associativa, element neutre i distributiva respecte la suma, amb els polinomis següents:
a) A(x) = 3x2 – x + 7
b) B(x) = 3x2 – 4
c) C(x) = x – 5
j 2.3 Divisió de polinomis
5> Realitza les divisions següents entre monomis:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
6> Dóna el quocient i el residu de les següents divisions:
a) (x3 2 3 x2 1 4 x 2 2) : (x2 2 3 x 1 1)
b) (4 x5 2 2 x3 1 x2 2 3 x) : (2 x2 1 3)
c) (x5 1 x4 2 3 x3 1 4 x2 2 x 1 1) : (2 x3 + 2 x 2 1)
7> Calcula per Ruffini els quocients següents:
a) (3x4 – 5x3 + 3x – 2) :(3x – 6)
b) (x3 – 2x2 – x + 4) :(2x – 4)
8> Dóna el quocient i el residu de les divisions següents:
a) (3 x4 2 x2 1 2) : (x 1 2)
b) (2x2 1 3 x 2 1) : (x 2 2)
c) (x5 2 2 x4 1 x2 2 3 x 1 5) : (x 1 1)
j 2.4 Teorema del residu
9> Calcula el residu de la divisió (x99 + 3) : (x + 1).
10> Calcula el valor de k per tal que la divisió entre els polinomis 4 2( ) 3 2P x x x kx= − + + i ( ) 1Q x x= + sigui exacta.
11> Troba el valor de m per tal que el residu de la divisió entre els polinomis 2( ) 2P x x x m= + + i ( ) 3Q x x= − sigui 7.
j 2.5 Divisibilitat de polinomis
12> Resol les qüestions següents:
a) El polinomi x – 2 és divisor de P(x) = x3 – 2x – 4?
b) El polinomi x4 + 3x3 – x2 – 4x + 1 és múltiple de x – 1?
c) El polinomi x4 + 3x3 – x2 – 4x + 1 és divisible per x + 1?
j 2.6 Arrels d’un polinomi
13> Resol les següents equacions, és a dir, troba les arrels del polinomis corresponents:
a) 24 24 0x x− =
b) 22 32 0x − =
c) 22 5 0x x− =
d) 4 25 7 3 0x x− + =
e) 4 213 36 0x x− + =
f) 4 25 6 0x x− + =
g) 3 26 9 0x x x− + =
Matemàtiques 1 Batxillerat – Activitats complementàries
2
h) 3 0x x− =
i) 3 8 9 0x x x+ − =
j) 4 3 29 3 18 0x x x x− − + + =
k) 3 28 21 18 0x x x− + − =
l) 3 22 2 28 48 0x x x− − + =
m) 4 3 22 6 2 0x x x x+ − + + =
j 2.7 Factorització de polinomis
14> Factoritza i calcula les arrels dels polinomis següents:
a) P(x) = x4 + x3 – 17x2 – 21x + 36
b) Q(x) = x4 – 4x3 – 6x2 + 5x
c) R(x) = 6x3 + 7x2 – 9x + 2
d) S(x) = x4 + x3 + x + 1
e) T(x) = x4 – 16
f) U(x) = 9x4 – 81x2
j 2.8 Màxim comú divisor i mínim comú múltiple de polinomis
15> Troba el m.c.d. i el m.c.m. dels polinomis següents:
A(x) = (x – 5) (x – 1)2 B(x) = x2 (x + 1) (x + 2)
j 2.9 Fraccions algèbriques
16> Escriu tres fraccions algèbriques equivalents
a la fracció següent .
17> Comprova que les següents fraccions són equivalents multiplicant o dividint pel polinomi adequat:
a)
b)
18> Simplifica les fraccions següents:
a) 2
2
6 42 2x xx x
++
b) 4 2
2
3 22 3 1x x x
x x− +
− +
c) 2
3 2
68 12
x xx x x
− −+ − −
j 7.10 Operacions amb fraccions algèbriques
19> Calcula, simplificant al màxim, el resultat de les fraccions següents:
a) 22
3 13 3
x xx
x x x+− +
− −
b) 2
1 23
2 2 4x xx x x
+ − + +− + −
c) 2 2
2
6 ( 3)3 2 1
x x xx
x x x− − ++ −+ + +
d) 2
2
4 1 (2 3)3x x x
x x+ ++ −
e) 2
2
3 7 4 2 11
1 1x x x
x x+ + +− −
− −
20> Calcula
21> Sigui 2
1( )
6f x
x x=
+ − i
2( )
4x
g xx
=−
. Efec
tua l’operació següent deixant el resultat en la forma més simplificada possible:
( ) ( )( )
f x g xg x
−
22> Efectua l’operació següent i simplifica el resultat al màxim:
11
11
1x
++
+
j 2.11 El binomi de Newton
23> Desenvolupa les expressions següents:
a) 6( 2)x −
b) 2 4(3 2 )x x+
c) 3 5( 1)x −
Matemàtiques 1 Batxillerat – Activitats complementàries
1
j Unitat 8. Funcions
j 8.1 Concepte de funció
1> Sovint, estem acostumats a treballar amb funcions expressades de forma algèbrica. Escriu les funcions següents de la forma que s’indica:
a) f(x) = 3x 1 (representació gràfica)
b) g(x) = 4x (taula de valors)
c) h(x) = x2 + 5 (text)
2> El preu d’un bitllet d’una línia d’autobusos és la suma d’una quantitat fixa i una altra proporcional al nombre de quilòmetres del recorregut. S’ha pagat 10,50 € per un bitllet a una població que dista 250 km, i 33 € per un altre a una ciutat que dista 1 000 km. Quant haurem de pagar per un bitllet a una població que està a 500 km?
j 8.2 Domini i recorregut d’una funció
3> Indica el domini i el recorregut d’aquestes funcions:
a) f(x) = 2x − 1
b) g(x) = 3x2
c) 1
( )h xx
=
j 8.3 Funcions algèbriques
4> Troba el domini de les funcions següents:
a) 2( ) 9f x x= −
b) 2
( )1
xf x
x+=
− +
c) 2
2
4 5( )
4x x
f xx
+ −=−
5> Troba el domini de les funcions següents:
a)
1si 4
2( )3
si 41
xxf x
xx
⎧ < −⎪⎪ += ⎨⎪ > −⎪ −⎩
b)
2
2
9 , si 0( )
, si 04
x xf x x
xx x
− <= ≥ +
j 8.4 Operacions amb funcions
6> Donades les funcions i
a) Troba els dominis de f(x) i g(x).
b) Calcula les funcions (f + g)(x) i (f − g)(x) i els seus dominis.
c) Troba les funcions oposades de f(x) i de g(x).
7> Troba la funció producte de les següents funcions i el domini del resultat de cada producte:
a) f(x) = 7x2 − 2x+1 i g(x) = x + 3
b) f(x) = i g(x) = 2x2 − 5
c) f(x) = i g(x) =
d) f(x) = i g(x) =
8> Troba la funció quocient i i el domini de
cadascuna d’aquestes funcions a partir de:
a) f(x) = 7x2 − 2x + 1 i g(x) = x + 3
b) f(x) = 3 1
2xx
−+
i g(x) = 2x2 − 5
c) f(x) = 1x
x−
i g(x) = 23 7
4xx
−+
d) f(x) = 8x + i g(x) = 1
2 3x −
j 8.5 Funció composta
9> A partir de les següents funcions
i g(x) = x2 − 6, calcula g o f i f o g.
10> Donades les funcions f(x) = 5 i g(x) = x2 − 1, calcula ( f o g) (x) i (g o f) (x). Les funcions compostes són constants?
j 8.6 Funció inversa
11> Comprova si i són
funcions inverses respecte la composició.
Matemàtiques 1 Batxillerat – Activitats complementàries
1
j Unitat 11. Funcions exponencial i logarítmica
j 11.2 La funció exponencial
1> Indica quines de les funcions següents són funcions exponencials:
j 11.4 La funció logarítmica
2> Utilitzant les propietats dels logaritmes de-mostra que les següents expressions valen zero:
a) log33
b) log (3·3-1)
c)
3> Indica quines de les següents expressions són certes (C) o falses (F).
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
4> Calcula, aplicant les propietats dels loga-ritmes:
a) 2 3
16 2log
2
b) 100
log1000
c) ( )2ln e e⋅
( )1 5
2 2 2 2 5ln ln ln
2e e e e e
⋅ = ⋅ = =
→ ( ) ( )2 1log 5 log 4x x− += →
→ ( ) ( )1 2log 5 log 3 4 xx+ = ⋅ → ( ) ( )21log 5 log3 log 4 xx+ = +
→ 5 5 4,28.10–l –1620ln(1/2)
d) 7 3
1log
49
5> Resol, aplicant logaritmes, les equacions se-güents:
22 135x + =2 15 4x x− +=1 25 3 4x x+ = ⋅
6> Sabent que 2log 3 x= , aplica les propietats dels logaritmes per expressar els logaritmes següents en funció de x:
a) 2log 72
b) 2 5
16log
3
c) 2
3 3log
8
7> Troba la relació entre a, b, c i d (sense logarit-mes), a partir de l’expressió següent:
3
3log 2log 4 log log5
a b c d = − −
j 11.5 Equacions logarítmiques
8> Resol els sistemes següents:
a)
b)
j 11.6 Aplicacions de les funcions exponencial i logarítmica
9> El creixement de la població d’una colònia de mol·luscs, en condicions adequades, ve dona-da per la funció exponencial P(t) = Po·e0,04t, on t és el temps en dies. Calcula el temps que ha de passar per què la població es tripliqui.
Matemàtiques 1 Batxillerat – Activitats complementàries
2
10> El nombre de bacteris d’un cultiu, que inici-alment és de 4,9 milers, ve donat per la fór-mula N(t) = 4,9 · 1,186t on t és el temps en hores i N(t) és el nombre de bacteris en mi-lers. Calculeu el temps que triga el cultiu a duplicar-se.
11> Un altre problema relacionat amb els fulls de paper fa referència als boscos i als arbres (matèria primera del paper).
Si un bosc té 24 000 m3 de fusta i aquesta augmenta un 3,5 % anual.
Quanta fusta tindrà el bosc al cap de 12 anys, mantenint aquest ritme de creixement?
Quant de temps tardarà a duplicar-se la quan-titat de fusta?
12> El creixement d’una població en funció del temps segueix, aproximadament, l’expressió P(t) = P0· (1 + r)t on P0 és la població inicial, r la taxa de creixement anual i t el temps en anys.
a) Sabent que la població d’un cert país P l’any 2002 era de 3 milions de persones, troba el nombre d’habitants que hi ha l’any 2007 si aquest país té una taxa de creixement anual del 2,5 %.
b) Si la població d’un cert país Q l’any 1999 era de 14 milions de persones i l’any 2007, de 15,7 mi lions, calcula la taxa de creixe-ment anual de la població d’aquest país.
13> La massa d’una mostra inicial de 3 mg de poloni radioactiu disminueix amb el temps
segons la fórmula m tt
( ) ,= ⋅3 0 5140 on t és el temps en dies. Calculeu quant de temps ha de passar perquè la quantitat de poloni es re-dueixi a 1 mg.
14> Usant aquesta fórmula, calcula:
a) L’energia alliberada pel terratrèmol de San Francisco, l’any 1906, si la seva magnitud va ser de 8,5 en l’escala de Richter.
b) La magnitud d’un lleuger tremolor de terra en què s’alliberés una energia de 8·105 J.
j Activitats finals
1> Representa gràficament yx
=
13
i y = log13
en uns mateixos eixos i fes una llista de les característiques de cadascuna de les funcions.
2> Resol les següents equacions o sistemes:
a) log5 x = -2
b) log6 131 = x (amb calculadora)
c) 811
32 =
x
d) 4x + 1 + 2x + 3 - 320 = 0
e) 7x + 7x + 1 + 7x + 2 = 2 793
f) log(3x + 5) - log(2x + 1) = 1 - log 5
g)
3> Resol les equacions exponencials següents:
a)
b) 24x + 3 = 2
c) 4x - 3·2x - 4 = 0
d) 7 12 5 6x x− + =
e) 4x · 16x = 2
f) 22x + 4 - 3· 2x + 2 + 2 = 0
g) 7x = 251
4> Calcula el valor de x en les expressions se-güents:
a) logx 8 = 3
b) logx 25 = -2
c) log2 x = 4
d) logx
14
= 2
e) logx 0,001 = -3
f) log3 x = 2
g) log2 x = -1
h) logx 0,5 = -1
i) log7 x = 3
j) logx 49 = 2
k) logx 27 = -3
l) logx
116
= -4
Matemàtiques 1 Batxillerat – Activitats complementàries
1
j Unitat 10. Límits i continuïtat de funcions
j 10.1 Límit d’una funció en un punt
1> Fes servir l’Excel per calcular el límit de les següents funcions quan x tendeix a 1, fent servir els valors per la x que s’indiquen: 0,9, 0,99, 0,999, 1,1, 1,01, 1,001:
a) f1(x) = x2
b) f2(x) =
c) f3(x) =
Indica també si les funcions són creixents o decreixents en aquest punt.
2> Fes servir l’Excel per calcular el límit de les funcions següents quan x tendeix a 1, amb els valors de x: 0,9, 0,99, 0,999, 1,1, 1,01, 1,001.
a) 4
3( )
1f x
x=
−
b) 2
5 2
2 1( )
1x x
f xx− −=
−
c) 6 3
2 2( )
( 1)x
f xx
− +=−
j 10.2 Límit d’una funció a l’infinit
3> Calcula els límits següents:
a) 65 4
3
3 2 1lim
4
x
x
x xx→+∞
− + +
b)
3
2
2
11lim
4
x
x
x
xx
+
→+∞
+
c)
22
2
3 2lim
4
x
x
x xx
−
→+∞
− + +
d) 2 21
lim2 1 1x
x xx x→+∞
− − − +
e) 3 2 3lim 3 3x
x x x x→+∞
− − +
f) 4 2lim 3x
x x x→+∞
− −
g) 2 2lim 3x
x x x x→+∞
− − +
h) 2 2lim 3 10x
x x x→+∞
− − +
i) 32
lim 1x
x x→+∞
+
j)
32 25 1
lim5 6
n
x
xx→+∞
− +
k) 4 3
2
1lim
7 2 1x
x xx x→+∞
− ⋅ + −
j 10.3 Càlcul del límit d’una funció en un punt
4> Calcula els límits següents:
a) 3
22
3 2lim
6x
x xx x→
− −+ −
b) 3
30
5lim
2x
x xx x→
++
c) 3
22
2 4lim
2x
xx x→
+−
d) 2
3 23
2 4 6lim
2 2 3x
x xx x x→
− −− − −
e) 4 3
21
2 5 5 5lim
1x
x x xx→−
+ + +− +
f) 3 2
3 22
3lim
6x
x xx x→−
−− − +
g) 4 2
20
3lim
2x
x xx x→
−− +
h) 3 2
3 21
4 5 2lim
3 9 5x
x x xx x x→
− + −+ − +
i) 2
21
3 4lim
( 1)x
x xx→
− −−
j) 22
5lim
4x x→− −
k) 5 4 3
4 30
2 3 6lim
2x
x x xx x→
+ −− +
l) 3 2
23
3 3lim
5 13 6x
x x xx x→−
+ + ++ −
Matemàtiques 1 Batxillerat – Activitats complementàries
3
j Activitats finals
1> Calcula els límits següents, indicant la indeterminació en el cas que n’hi hagi:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
2> Calcula els límits següents indicant en cada cas la indeterminació, si és que n’hi ha:
a)
b)
c)
d)
e)
3> Donada la funció
sisi
si
a) Representala gràficament.
b) Estudia la continuïtat en x = −2 i x = 1. En cas que hi hagi discontinuïtat, digues de quin tipus és.
c) Determina el valor de k per tal que
sisi
si
sigui contínua en x = 1.
4> Estudia la continuïtat de la funció en x = −3.
5> Estudia la continuïtat de la funció en x = 0.
En cas que la funció sigui discontínua, digues com és la discontinuïtat.
6> Estudia la continuïtat de la funció següent en x = −1 i en x = 1.
si
si
si
