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DECOM-FEEC-UNICAMP IE-509 – Processos Estocásticos para Engenharia
1. Verifique a equação que dá o número médio de
mensagens chegando no intervalo de tempo T.
[ ] ( ) TtnPNEn
n λ== ∑∞
=0
E N!" #$= nPn T( )n=0
∞
∑ = nλT( )
ne−λT
n!n=0
∞
∑ = e−λTλT( )
n
n−1( )!n=1
∞
∑
= e−λT λT +λT( )
2
1!+λT( )
3
2!+ ...
(
)
***
+
,
---= e−λTλT 1+
λT( )1
1!+λT( )
2
2!+ ...
(
)
***
+
,
---
= e−λTλTeλT = λT
DECOM-FEEC-UNICAMP IE-509 – Processos Estocásticos para Engenharia
2. Em uma fábrica chegam em média 7 pedidos por semana. Qual a probabilidade
de ocorrer a chegada das quantidades de pedidos abaixo em uma mesma semana?
a) zero pedidos:
b) 7 pedidos:
c) Até 7 pedidos:
d) Acima de 7 pedidos:
Pn t( ) =λt( )
ne−λt
n!
P0 t( ) =7( )0e−7
0!≅ 0,001
P7 t( ) =7( )7e−7
7!≅ 0,149
P≤7 t( ) = P0 t( )+ P1 t( )+ P2 t( )+ P3 t( )+ P4 t( )+ P5 t( )+ P6 t( )+ P7 t( )
=7( )0e−0
0!+7( )1e−7
1!+7( )2e−7
2!+7( )3e−7
3!+7( )4e−7
4!+7( )5e−7
5!+7( )6e−7
6!+7( )7e−7
7!≅ 0,598
P>7 t( ) =1− P≤7 t( ) =1−0,598 = 0,402
DECOM-FEEC-UNICAMP IE-509 – Processos Estocásticos para Engenharia
3. Considere um sistema de fila M/M/1 com taxa de chegada de λ clientes/s.
a) Encontre a taxa de serviço necessária tal que a fila média seja de 5 clientes.
b) Encontre a taxa de serviço necessária para que a fila que se forma de
tempos em tempos tenha média 5.
Nq =ρ 2
1− ρ( )= 5⇒ ρ 2 +5ρ −5= 0 ρ =
−5± 52 − 4 ⋅ −5( )2
=−5± 452
=−5,854
0,854
#$%
&%
ρ =λµ= 0,854 ⇒ µ =1,17λ
P Nq = j | Nq > 0!" #$=P Nq = j!" #$
P Nq > 0!" #$=1− ρ( )ρ j
ρ= 1− ρ( )ρ j−1
E Nq | Nq > 0!" #$= jP Nq = j | Nq > 0!" #$j=1
∞
∑ = j 1− ρ( )ρ j−1 =11− ρj=1
∞
∑ = 5
5−5ρ =1 ⇒ ρ = 45= 0,8 ⇒ λ
µ= 0,8 ⇒ µ =1,25λ
DECOM-FEEC-UNICAMP IE-509 – Processos Estocásticos para Engenharia
4. Uma empresa possui um sistema com 4 linhas telefônicas conectando duas
de suas localidades. Suponha que requisições para estas linhas cheguem de
acordo com um processo de Poisson a uma taxa de uma chamada a cada 2
minutos e que as durações das chamadas sejam distribuídas
exponencialmente com média igual a 4 minutos. Quando todas as linhas
estão ocupadas, o sistema atrasa (isto é, filas) as requisições de chamadas
até que uma linha se torne disponível. Encontre a probabilidade de esperar
por uma linha.
λ =12
chamadas/minuto
µ =14
chamadas/minuto
ρ =λµ=1 21 4
= 2
DECOM-FEEC-UNICAMP IE-509 – Processos Estocásticos para Engenharia
Probabilidade de ter que esperar:
p0 =ρ n
n!+ρm
m!1
1− ρ /m( )n=0
m−1
∑#
$%%
&
'((
−1
= 1+ 2+ 22
2+23
6+1624
1
1− 24
)
*
++++
,
-
.
.
..
#
$
%%%%
&
'
((((
−1
=323
P entrar na fila!" #$=
ρm
m!1
1− ρ m( )ρ n
n!+ρm
m!1
1− ρ m( )n=0
m−1
∑=
24
4!1
1− 2 4( )233
= 0,1739
DECOM-FEEC-UNICAMP IE-509 – Processos Estocásticos para Engenharia
5. Suponha que o sistema M/M/1 seja usado para modelar um sistema com
capacidade K e que a probabilidade de rejeitar clientes seja aproximada para
P[N = K]. Compare esta aproximação com o valor exato de probabilidade
para o modelo M/M/1/K.
Para M/M/1:
Para M/M/1/K:
Para ρ < 1 e K grande, a aproximação P[N’=K] = P[N=K] é boa.
Se ρ > 1, a aproximação para o sistema M/M/1 não é possível pois a
probabilidade se torna negativa.
P N = K!" #$= 1− ρ( )ρK
P !N = K"# $%=1− ρ( )ρK1− ρK+1
= 1− ρ( )ρK 1+ ρK+1 + ρ 2K+2 + ρ3K+3 + ..."#
$%
DECOM-FEEC-UNICAMP IE-509 – Processos Estocásticos para Engenharia
6. Encontre a probabilidade de equilíbrio P(n) de que a rede está no estado n = (n1, n2, n3) para a rede aberta de filas abaixo:
λ
1
µ1 3
µ3
2
µ2 1/2
1/2
1/2
1/2
λ1 = λ
λ2 =12λ +12λ3 =
32λ
λ3 = λ2 +12λ = 2λ
ρ1 =λµ1
ρ2 =3λ2µ2
ρ3 =2λµ3
Assumindo que ρi < 1, i = 1, 2, 3, então pelo teorema de Jackson:
P n1, n2 , n3!" #$= P n1
!" #$P n2!" #$P n3
!" #$= 1− ρ1( )ρ1n1 1− ρ2( )ρ2
n2 1− ρ3( )ρ3n3 n1, n2 , n3 ≥ 0
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7. Encontre p[n ≥ m + k] para uma sistema M/M/m.
pn =ρ n
n!p0 para n ≤m
pn =ρ n
m! mn−mp0 para n ≥m
p0 =ρ n
n!+
ρ n
m!mn−mn=m
∞
∑n=0
m−1
∑$
%&
'
()
−1
=ρ n
n!+ρm
m!1
1− ρ /m( )n=0
m−1
∑$
%&&
'
())
−1
p n ≥m+ k"# $%=ρ n
m!mn−mn=m+k
∞
∑ p0 =ρ n+m+k
m!mn+kn=0
∞
∑ p0
=ρm+k
mm+kρ n
m!mn−mn=0
∞
∑ p0
=ρm+k
mm+kρm
m!1
1− ρ /m( )p0
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p n ≥m+ k"# $%=ρm+k
mm+kρm
m!1
1− ρ /m( )p0
=ρm+k
mm+kρm
m!1
1− ρ /m( )1
ρ n
n!+ρm
m!1
1− ρ /m( )n=0
m−1
∑
=ρ 2m+k
m!mm+k 1− ρ /m( ) ρ n
n!+mm+kρm
n=0
m−1
∑
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8. Encontre o tempo médio de espera e o atraso médio em um sistema M/G/1 no
qual o tempo de serviço é uma variável aleatória m-Erlang com média 1/µ.
Compare os resultados com os sistemas M/M/1e M/D/1.
V.a. m-Erlang:
f X x( ) =λe−λx λx( )
m−1
m−1( )!; x > 0,m > 0
E X!" #$=mλ
Var X!" #$=mλ 2
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E X!" #$=kλ=
1µ
⇒ λ = kµ
Média = 1/µ, então
Atraso médio:
Var X!" #$=kλ 2
=k
kµ( )2=1kµ 2
Cb2 =
σ b2
1 µ 2=1 kµ 2
1 µ 2=1k
T = 1λE N!" #$=
1λρ + ρ 2
1+Cb2
2 1− ρ( )!
"&&
#
$''
T = ρλ1+ ρ
1+Cb2
2 1− ρ( )"
#$$
%
&''=1µ1+ kµ
µ
1+ 1k
2 1− kµµ
(
)*
+
,-
"
#
$$$$
%
&
''''
=1µ3− k2 1− k( )
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Para M/M/1:
Para M/D/1:
Então, TM/D/1 < TM/M/1 < TM/G/1
T = 1µ1+ ρ1− ρ
"
#$
%
&'=1µ1+ k1− k
"
#$
%
&'=1µ11− k
T = 1λE N!" #$=
1λρ + ρ 2
1+02 1− ρ( )
!
"&&
#
$''=1kµ
k + k 2 1+02 1− k( )
!
"&&
#
$''=1µ1+ k2 1− k( )
!
"&&
#
$''
=1µ
2 1− k( )+ k2 1− k( )
!
"&&
#
$''=1µ
2− k2 1− k( )!
"&&
#
$''
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λ
1
µ1 3
µ3
2
µ2 1/2
1/2
1/4
1/2
4
µ4
1/4
1/4
1/4
9. Encontre a probabilidade de equilíbrio P(n) de que a rede está no estado n = (n1, n2, n3, n4) para a rede aberta de filas abaixo:
DECOM-FEEC-UNICAMP IE-509 – Processos Estocásticos para Engenharia
λ1 = λ
λ2 =12λ1 +
14λ3 =
12λ +12λ = λ
λ3 = λ2 +14λ1 +λ4 = 2λ
λ4 =14λ3 +
14λ1 =
12λ +14λ =
34λ
ρ1 =λµ1
ρ2 =λµ2
ρ3 =2λµ3
ρ4 =3λ4µ4
Assumindo que ρi < 1, i = 1, 2, 3, 4, então pelo teorema de Jackson:
P n1, n2 , n3, n4!" #$= P n1
!" #$P n2!" #$P n3
!" #$P n4!" #$
= 1− ρ1( )ρ1n1 1− ρ2( )ρ2
n2 1− ρ3( )ρ3n3 1− ρ4( )ρ4
n4 n1, n2 , n3, n4 ≥ 0
P n1, n2 , n3, n4!" #$= 1−λµ1
&
'(
)
*+λµ1
&
'(
)
*+
n1
1− λµ2
&
'(
)
*+λµ2
&
'(
)
*+
n2
1− 2λµ3
&
'(
)
*+2λµ3
&
'(
)
*+
n3
1− 3λ4µ4
&
'(
)
*+3λ4µ4
&
'(
)
*+
n4