Exercicios de GD

PONTOS E RECTAS PERTENCENTES A UM PLANO OBLQUO

1. Exame de 1997 1 Fase 2 Chamada

Determine as projeces de uma recta horizontal (de nvel) n pertencente a um plano oblquo alfa

- O plano alfa contm uma recta frontal f, que passa pelo ponto A (7; 5; 6) e faz um ngulo de 45, de abertura para a direita, com o Plano Horizontal de Projeco; - O plano intersecta o eixo x num ponto X, com abcissa -4; - A recta horizontal tem 2 de cota.

2. Exame de 1997- 2 Fase

Determine os traos, nos Planos de Projeco, de um plano oblquo alfa, definido por um ponto A e por uma recta de perfil p.

- A (4; 2; 8) - A Recta de perfil p contm os pontos B (O; -2; 8) e C (O; 8; -2)


Determine as projeces de uma recta frontal f contida num plano oblquo beta:

- O plano oblquo beta contm o ponto P (6; 1; -6) e uma recta horizontal (de nvel) n;- A recta horizontal faz, com o Plano Frontal de Projeco, um ngulo de 45, de abertura para a direita, intersectando-o no ponto V, com abcissa nula e 4 de cota; - A recta frontal (de frente) f tem 3 de afastamento.

4. Exame de 1999 Prova Modelo

Determine os traos, nos planos de projeco, do plano oblquo alfa que contm as duas rectas r e s.

- As rectas so concorrentes no ponto Q, de abcissa nula, pertencente ao eixo x;- A recta r contm o ponto R (2; -2; 2);- A recta s contm o ponto S (9; 3; 3).


Determine as projeces do ponto P contido no plano oblquo beta.

- O plano oblquo beta definido por um ponto X e pela recta horizontal (de nvel) n;- O ponto X pertence ao eixo x e tem 2 de abcissa; - A recta horizontal (de nvel) n contm o ponto A (O; 4; 6) e faz, com o Plano Frontal de Projeco, um ngulo de 45, de abertura para a direita; - O ponto P tem 6 de afastamento e 3 de cota


Determine as projeces da recta horizontal (de nvel) n do plano oblquo alfa

- o plano oblquo alfa contm uma recta r; - a recta r definida pelo ponto A (0; 3; 2) e pelo ponto B, com 4 de abcissa, 4 de cota e pertencente ao Plano Bissector dos Diedros Pares; - o trao frontal do plano alfa faz, com o eixo x, um ngulo de 60 de abertura para a esquerda; - a recta horizontal (de nvel) n contm o ponto A.

7. Exame de 2001 2 fase

Determine o ponto Q, pertencente ao plano oblquo beta.

- o plano oblquo beta definido pelo ponto X, do eixo x, com -4 de abcissa, e por uma recta horizontal (de nvel) n; - a recta n contm o ponto A (2; 4; 3) e a sua projeco horizontal faz, com o eixo x, um ngulo de 45, com abertura para a direita; - o ponto Q pertence ao Bissector dos Diedros mpares e tem 6 de cota


Determine os traos, horizontal e frontal, do plano oblquo delta.

- o plano oblquo delta definido pelo ponto A (4; 2; 8) e pela recta de perfil p;- a recta de perfil p contm o ponto B (0; -2; 8) e o ponto C, que tem 8 de afastamento e -2 de cota.


Determine as projeces da recta n, contida no plano oblquo alfa.

- o plano alfa definido pelo ponto A (6; 2; 7) e pela recta r;- a recta r contm os pontos B (0; 5; -5) e C (-4; -4; 4);- a recta n horizontal e concorrente com a recta r no ponto C.

10. Exame de 2002 1 Fase 2 Chamada (Programa em vigor de 2002 a 2006)

Determine o ponto N, de concorrncia dos traos do plano oblquo beta com o eixo x.

- o plano oblquo beta definido pelos pontos A (0; 7; -2), B (4; -8; 8) e C (-4; 4; 2)

11. Exame de 2002 1 Fase 2 Chamada (Programa em vigor at 2003)

Determine os traos, nos planos de projeco, do plano oblquo alfa.

- o plano oblquo alfa definido por trs pontos, A, B e C- os pontos A e B pertencem ao bissector dos diedros mpares- A tem - 4 de abcissa e 4 de afastamento- B tem abcissa nula e - 4 de cota- o ponto C pertence ao bissector dos diedros pares e tem 4 de abcissa e 4 de cota.

12. Exame de 2002 2 fase (Programa em vigor de 2002 a 2006)

Determine as projeces do ponto I do plano oblquo beta.

- o plano beta definido pelo ponto A (0; 3; 2) e pelo trao horizontal do plano beta;- o trao horizontal de beta faz um ngulo de 45 (com abertura para a direita) com o eixo x, intersectando-o num ponto X, com 7 de abcissa;- o ponto I pertence ao bissector dos diedros pares e tem 2 de abcissa.

13. Exame de 2002 2 Fase (Programa em vigor at 2003)

Determine as projeces do ponto I, pertencente ao plano oblquo alfa

- o plano alfa definido pela recta de frente f e pelo ponto X (-5; 0; 0);- a recta f contm o ponto A (5; -8; 4) e faz um ngulo de 45, de abertura para a direita, com o Plano Horizontal de Projeco;- o ponto I tem -2 de afastamento e 2 de cota.


Determine as projeces do ponto Q, contido no plano oblquo beta

- o plano beta contm a recta r, definida pelos pontos H (5; -4; 0) e P (0; 1; 2);- o trao frontal do plano beta faz um ngulo de 60 (de abertura para a direita) com o eixo x;- o ponto Q um ponto do plano bissector dos diedros impares, com 5 de cota

15. 2003 1 Fase 2 Chamada (Programa em vigor at 2003)

Determine as projeces da recta r, contida no plano oblquo alfa.

- os traos do plano alfa intersectam-se num ponto com 4 de abcissa e fazem ngulos de 45 com o eixo x, ambos de abertura para a esquerda- a recta r contm o ponto R, com 3 de afastamento e 4 de cota;- a projeco frontal da recta r faz um ngulo de 60 com o eixo x (abertura para a direita).

16. 2003 1 Fase 2 Chamada (Programa em vigor de 2002 a 2006)

Determine os traos do plano oblquo beta.

- o plano beta definido pela recta frontal f e pelo ponto A (-3; 2; 3);- a recta f contm o ponto B (-7; 5; -5), e a sua projeco frontal, f2, faz um ngulo de 45 com o eixo x, de abertura para a esquerda

17. Exame de 2003 2 Fase

Determine as projeces da recta d, contida no plano oblquo beta.

- O plano oblquo beta contm um ponto do eixo x com 2 de abcissa;- O trao frontal do plano beta faz um ngulo de 40 com o eixo x (de abertura para a direita);- A recta d contm o ponto P (-6; 3; 4) e uma das rectas de maior declive do plano beta.

18. Exame de 2004 - 1 Fase

Determine os traos do plano oblquo alfa.

- o plano alfa contm as rectas r e s, concorrentes no ponto N (7; 0; 0)- a recta r contm o ponto R (0; 3; 4)- o ponto S (0; 6; 2) pertence recta s.


Determine as projeces da recta horizontal r, contida no plano oblquo beta.

- o plano beta definido pelos pontos F (3; 0; 5), H (3; 2; 0) e P;- o ponto P tem abcissa nula, 3 de cota e pertence ao bissector dos diedros mpares- a recta r intersecta o plano frontal de projeco num ponto, F, com 2 de abcissa.


Determine as projeces do ponto P, contido no plano oblquo alfa

- o plano alfa contm o ponto A (-2; 5; 8) e o ponto B, pertencente ao plano bissector dos diedros pares, com 4 de abcissa e 3 de cota;- o trao frontal do plano alfa faz um ngulo de 60 com o eixo x (abertura para a esquerda);- o ponto P pertence ao plano horizontal de projeco e tem 3 de afastamento


Determine as projeces da recta a, contida no plano oblquo beta.

- o plano beta contm o ponto P (-3; -4; 5);- o trao horizontal do plano beta faz um ngulo de 45 com o eixo x (abertura para a esquerda) e intersecta o mesmo eixo num ponto com - 6 de abcissa;- o trao horizontal da recta a tem 6 de afastamento, e o trao frontal tem 7 de cota.


Determine as projeces da recta frontal f, contida no plano oblquo alfa.

- o plano alfa contm a recta horizontal h e o ponto A, com - 4 de abcissa e 7 de cota, pertencente ao plano frontal de projeco;- a recta h contm o ponto B (-2; 1; 3), e a sua projeco horizontal faz um ngulo de 45 com o eixo x (de abertura para a direita);- o trao horizontal, H, da recta frontal f tem 6 de abcissa.


Determine as projeces do ponto P, contido no plano oblquo beta.

- O plano beta contm a recta frontal f;- A recta f contm o ponto A, com 2 de abcissa e 3 de afastamento, pertencente ao plano bissector dos diedros mpares- A projeco frontal da recta f faz um ngulo de 45 com o eixo x (de abertura para a esquerda);- Os traos do plano beta intersectam-se num ponto com 4 de abcissa;- O ponto P tem 5 de cota e pertence ao plano bissector dos diedros pares

PONTOS E RECTAS PERTENCENTES A UM PLANO DE RAMPA

24. Exame de 1998 - Prova Modelo

Determine os traos, nos Planos de projeco, do Plano de rampa r, que contm a recta oblqua r.Dados:A recta r passa pelo ponto A (-5; 2; 12)A projeco horizontal da recta faz um ngulo de 45 com o eixo x, com abertura para a esquerda;A recta r intersecta o Plano Bissector dos Diedros mpares no ponto Q, do Terceiro Diedro, com cota 8.


Represente, pelas suas projeces, a recta oblqua r, contida no plano de rampa alfa.

O plano de rampa alfa contm o ponto P (6; 3; 4) e o seu trao horizontal tem 9 de afastamento;O trao frontal da recta r tem abcissa -4; A projeco horizontal da recta r faz, com o eixo x, um ngulo de 45, de abertura para a direita.

INTERSECO DE PLANOS


Determine as projeces da recta i de interseco de um plano de rampa alfa com um plano horizontal (de nvel) ni.

- o trao frontal do plano de rampa alfa tem cota 8- o plano de rampa alfa contm a ponto A (3; 3; 4)- o plano horizontal (de nvel) ni contm o ponto B (O; 9; 6).


Determine a recta de interseco i dos planos de rampa alfa e beta

- o trao horizontal do plano alfa tem 4 de afastamento, e o seu trao frontal tem 5 de cota; - o plano beta definido pelo seu trao horizontal, que tem 6 de afastamento, e pelo ponto B (O; 3; 2).


Determine a recta de interseco i do plano de topo pi com o plano oblquo alfa.

- o plano de topo pi intersecta o eixo x no ponto de abcissa -5 e faz, com o Plano Horizontal de Projeco, um diedro de 60, de abertura para a direita;- o plano oblquo alfa definido por uma recta de perfil p e pelo ponto C (O; 3; 3)- a recta de perfil p contm os pontos A (-8; 8; 3) e B (-8; 3; 8)

29. Exame de 2002 1 Fase 1 Chamada (programa em vigor de 2002 a 2006)

Determine a recta de interseco i dos dois planos alfa e beta.

- o plano alfa de rampa e definido pelo seu trao frontal, que tem 3 de cota, e por uma recta a, fronto-horizontal, que tem 4 de afastamento e 1 de cota;- o plano beta de topo e faz um diedro de 30 (abertura para a direita, no 1 diedro) com o plano horizontal de projeco.

30. Exame de 2002 2 Fase (programa em vigor de 2002 a 2006)

Determine as projeces da recta de interseco i dos planos oblquos alfa e beta.

- os traos do plano alfa so concorrentes num ponto N, com 0 de abcissa, e fazem ambos ngulos de 45 com o eixo x: o trao horizontal com abertura para a esquerda, e o trao frontal com abertura para a direita;- o plano beta definido pelo ponto X (-7; 0; 0) e pela recta r;- a projeco horizontal r1 da recta r coincide com o trao horizontal do plano alfa- o trao horizontal da recta r tem 5 cm de afastamento- o trao frontal da recta r tem 5 cm de cota


Determine as projeces da recta i de interseco do plano oblquo alfa com o plano de rampa teta

- os traos do plano alfa cruzam-se num ponto com abcissa nula e fazem ngulos de 45 com o eixo x, ambos de abertura para a esquerda;- o plano teta definido pelas rectas fronto-horizontais a e b;- a recta a tem 2 de afastamento e 4 de cota;- a recta b contem o ponto B (-5; 4; 3)

32. Exame de 2003 1 Fase 1 Chamada (programa em vigor at 2003)

Determine as projeces da recta i de interseco do plano beta com o plano alfa.

- o plano beta horizontal e contm um ponto A (-5; 3; 7);- o plano alfa oblquo e contem o ponto B (5; 2; 3);- o trao horizontal do plano alfa cruza o eixo x no ponto de abcissa nula e faz, com a mesma, um ngulo de 45 (abertura para a direita).

33. Exame de 2003 2 Fase (programa em vigor de 2002 a 2006)

Determine as projeces da recta i de interseco do plano vertical beta com o plano de rampa alfa.

- O trao horizontal do plano beta faz um ngulo de 45 com o eixo x (de abertura para a direita) e Intersecta o mesmo eixo no ponto de abcissa nula;- O plano de rampa alfa contm os pontos A (1; 4; 2) e B (-3; I; 6).


Determine as projeces da recta i, de interseco do plano vertical alfa com o plano oblquo beta.

- o plano vertical alfa contm o ponto A (2; 2; 3), e o seu trao horizontal faz um ngulo de 45 com o eixo x, de abertura para a direita;- os traos do plano oblquo beta intersectam-se num ponto com -4 de abcissa;- o trao horizontal do plano beta faz um ngulo de 60 com o eixo x, de abertura para a esquerda; o trao frontal do plano beta faz um ngulo de 45 com o mesmo eixo, de abertura para a direita.


Determine as projeces da recta i, de interseco dos planos oblquos alfa e beta.

- o plano alfa definido pelas rectas paralelas r e s;- a recta r contm os pontos R (0; 1 ; 5) e S (1 ; 2; 3)- a recta s contm o ponto T (4; 1 ; 2)- os traos do plano beta, intersectam-se num ponto com -8 de abcissa: o trao horizontal faz um ngulo de 45 com o eixo x, e o trao frontal faz um ngulo de 60 com o mesmo eixo (ambos de abertura para a esquerda)


Determine as projeces da recta de interseco, i, dos planos oblquos lfa e beta, que contm o mesmoponto do eixo x.Dados os traos do plano lfa intersectam o eixo x no ponto com 1 de abcissa e fazem, ambos, ngulos de 60, de abertura para a direita, com esse mesmo eixo; o plano beta definido pelo seu trao horizontal e pela recta b; o trao horizontal faz um ngulo de 20, de abertura para a direita, com o eixo x; a recta b de perfil passante e contm o ponto B (2; 6).


Determine as projeces da recta de interseco, i, do plano oblquo com o plano passante .Dados o plano intersecta o eixo x no ponto com 5 de abcissa; os traos horizontal e frontal do plano fazem, respectivamente, ngulos de 50 e de 30, ambos deabertura para a direita, com o eixo x; o plano definido pelo eixo x e pelo ponto P (0; 3; 6).38. Exame de 2011 2 fase

Determine as projeces da recta de interseco, i, do plano oblquo com o plano de rampa .

o plano est definido por uma recta de maior declive, d; a recta d contm o ponto P (2; 3; 4); as projeces, horizontal e frontal, da recta d fazem, com o eixo x, ngulos de 30, de abertura para aesquerda, e de 50, de abertura para a direita, respectivamente; os traos horizontal e frontal do plano tm 5 de afastamento e 7 de cota, respectivamente.

INTERSECO DE UMA RECTA COM UM PLANO

39. Exame de 1998 - 1 Fase, 2 Chamada

Determine o ponto de interseco I da recta horizontal n com o plano oblquo alfa.

- a recta n contm o ponto P (5; 5; 3) e faz um ngulo de 45, de abertura para a direita, com o Plano Frontal de Projeco; - o plano oblquo alfa contm o ponto X do eixo x, com abcissa -5, e uma recta frontal (de frente) f, que passa pelo ponto S (-4; 2; 3) e que faz um ngulo de 45, de abertura para a direita, com o Plano Horizontal de Projeco.

40. Exame de 2000 1 Fase - 1 Chamada

Determine o ponto de interseco I da recta vertical v com o plano de rampa r.

- a recta v contm o ponto P (2; -2; 7); - o plano de rampa r definido pelo ponto A (-2; 2; 3) e pelo seu trao horizontal, que tem 4 de afastamento


Determine as projeces do ponto I de interseco da recta r com o plano oblquo alfa.

- a recta r uma recta oblqua passante, que contm o ponto A (-2; 6; 9) e o ponto B, do eixo x, com 4 de abcissa; - o trao horizontal do plano alfa faz um ngulo de 45, de abertura para a direita, com o eixo x, e intersecta-o num ponto X, com abcissa -4; - o plano alfa contm um ponto P, do Plano Frontal de Projeco, com 2 de abcissa e 9 de cota.


Determine o ponto de interseco I da recta de topo t com o plano oblquo alfa.

- a recta t contm o ponto P, com 6 de abcissa e 6 de afastamento, pertencente ao Bissector dos Diedros mpares; - o trao frontal do plano oblquo alfa faz, com o eixo x, um ngulo de 45, de abertura esquerda, intersectando-o num ponto X, com 4 de abcissa; - o plano oblquo alfa contm o ponto A (- 4; 3; 2).


Determine o ponto de interseco I da recta oblqua r com o plano oblquo alfa.

- a recta r intersecta o Plano Frontal de Projeco no ponto F (-2; 0; 5);- as projeces da recta r fazem ambas, com o eixo x, ngulos de 30, a projeco horizontal com abertura para a direita, e a projeco frontal com abertura para a esquerda; - o plano oblquo alfa est definido pelos seus traos nos planos de projeco e intersecta o eixo x no ponto X, de abcissa nula; - o trao horizontal do plano faz, com o eixo x, um ngulo de 30, com abertura para a direita, e o trao frontal faz, com o eixo x, um ngulo de 55, com abertura para a esquerda.


Determine o ponto de interseco I da recta frontal f com o plano de rampa r.

- a recta f contem o ponto P (2; 4; 6) e faz um ngulo de 45 (abertura para a esquerda) com o plano horizontal de projeco;- o trao frontal do plano de rampa r tem 3 de cota;- o plano contm um ponto A, pertencente ao bissector dos diedros pares, que tem 6 de abcissa e 6 de cota.

45. Exame de 2002 1 Fase 1 Chamada (programa em vigor at 2003)

Determine o ponto de interseco I da recta obliqua r com o plano de rampa pi.

- a recta oblqua r contm o ponto A (4; 4; 2) e intersecta o Plano Frontal de Projeco num ponto F, com abcissa nula, e as suas projeces so paralelas;- o plano de rampa pi contem o ponto H (2; -9; 0) e tem os traos coincidentes.


Determine o ponto de interseco I da recta de nvel n com o plano oblquo alfa

- a recta n definida pelos pontos A (0; 4; 3) e B, com 4 de abcissa e 5 de afastamento;- o plano alfa definido pela recta de maior declive d;- a recta d definida pelos pontos H e F, que so os seus traos nos planos de projeco;- o ponto H tem 0 de abcissa e 6 de afastamento;- o ponto F tem 5 de abcissa e 5 de cota.


Determine as projeces do ponto I de interseco da recta h com o plano de rampa teta

- a recta h horizontal, contem o ponto A (2; 1; 3) e faz um ngulo de 30 com o plano frontal de projeco, de abertura para a esquerda, no 1 diedro;- o plano teta contem o ponto P (7; 3; 2), e o seu trao frontal tem 5 de cota

48. Exame de 2003 2 Fase (programa em vigor at 2003)

Determine as projeces do ponto I de interseco da recta v com o plano de rampa teta. - a recta v vertical e contm o ponto A (2; 3; 1);- o plano teta contm um ponto P (-2; 2; 4) e o seu trao horizontal tem 5 de afastamento.


Determine as projeces do ponto I de interseco da recta frontal f com o plano oblquo beta.

- o plano beta definido pela recta frontal a e pelo ponto B (0; 1; 6)- a recta a contm o ponto H (3; 3; 0) e a sua projeco frontal faz um ngulo de 45 com o eixo x, de abertura para a direita;- a recta f contm o ponto P (-4; 4; 2) e a sua projeco frontal faz um ngulo de 60 com o eixo x, de abertura para a esquerda.


Determine as projeces do ponto I de interseco do plano obliquo beta com a recta t

- o plano contm o ponto P (0; 3; 6) e a recta h, definida pelos pontos M (4; 3; 2) e N (-1; 6; 2);- a recta t de topo, tem -3 de abcissa e 4 de cota.


Determine as projeces do ponto I de interseco da recta obliqua r com o plano obliquo beta.

- a recta r definida pelos pontos R (3; 8; 1) e S (0; 5; 4);- os traos do plano beta intersectam o eixo x num ponto com -2 de abcissa e fazem, ambos, ngulos de 50 com o referido eixo (o trao horizontal com abertura para a direita, e o trao frontal com abertura para a esquerda).


Determine as projeces do ponto I, de interseco da recta obliqua r com o plano de rampa teta.

- a recta r definida pelos pontos R (2; 1; 4) e S (0; 2; 2);- os traos horizontal e frontal do plano de rampa teta tm, respectivamente, 6 de afastamento e 7 de cota

53. Exame d 2007 - 1 Fase (Cdigo 708)

Determine o ponto de interseco I, da recta horizontal n com o plano de rampa r.- o plano r definido pelo ponto A (2; 2; 8) e pela recta a;- a recta a fronto-horizontal, tem 2 de cota e pertence, tambm, ao 2,4;- a recta n contm o ponto N (4; 5; 7) e faz um ngulo de 30, de abertura para a direita, com o plano frontal de projeco.

54. Exame de 2008 1 fase (Cdigo 708):

Determine as projeces do ponto de interseco, I, da recta de perfil r com o plano de rampa r.

- o plano r tem o seu trao horizontal com 7 de afastamento e o seu trao frontal com 4 de cota;- a recta r contm o ponto P (2; 6; 3) e paralela ao plano bissector dos diedros pares (2,4).55. Exame de 2011 1 fase (Cdigo 708):

Determine as projeces do ponto I, trao da recta b no plano bissector dos diedros pares.- a recta b paralela ao plano delta- a recta b contm P (-7; 7; -2)- a projeco horizontal da recta b faz um ngulo de 45 de abertura para a direita com o eixo x- o plano delta est definido pelos pontos R (3; 6; 3), S (0; 6; 5) e T (-3; 1; 5)

SLIDOS DE BASE(S) HORIZONTAL(AIS) OU FRONTAL(AIS)

56. Exame de 1998 Prova Modelo (cdigo 109)

Represente, no sistema de dupla projeco ortogonal, dois segmentos de recta concorrentes, [AE] e [AI].Os extremos do segmento [AE] so vrtices opostos de um octgono regular contido num plano frontal f; esta figura uma das bases de um prisma octogonal regular. O segmento [AI] uma aresta lateral do prisma.Represente esse slido e identifique as suas arestas invisveis, com a conveno grfica adequada.

- o ponto de concorrncia dos dois segmentos o ponto A (-2; 8; 8)- o segmento de recta [AE] frontal, faz um ngulo de 55 de abertura para a esquerda com o Plano Horizontal de Projeco e mede 6 cm- o ponto E tem cota inferior do ponto A- o segmento [AI] tem o extremo I contido no Plano Frontal de Projeco

57. Exame de 1998 1 Fase 1 Chamada (cdigo 109)

Represente, no sistema de dupla projeco ortogonal, uma recta oblqua passante g. Esta recta contm o vrtice de um cone de revoluo, existente no espao do Primeiro Diedro, e um ponto da circunferncia que delimita a sua base.Represente esse slido e verifique, em ambas as projeces, a visibilidade da recta, identificando-a com a conveno grfica adequada.

- A recta g intersecta o eixo x no ponto X, com 5 de abcissa- As projeces horizontal e frontal da recta fazem, com o eixo x, respectivamente, ngulos de 45 e 60, ambos de abertura para a direita- A circunferncia que delimita a base do cone tem 4 cm de raio e est contida num plano horizontal com 4 cm de cota

58. Exame de 1998 1 Fase - 2 Chamada (cdigo 109)

Represente, no sistema de dupla projeco ortogonal, uma recta r, pertencente ao bissector dos diedros mpares.Essa recta contm a diagonal [AF] de uma face lateral de um prisma quadrangular regular, com bases horizontais, existente no espao do Primeiro Diedro.Represente esse slido e identifique as arestas que sejam invisveis, com a conveno grfica adequada.

- A projeco horizontal da recta faz, com o eixo x, um ngulo de 30 de abertura para a direita- O extremo A, da diagonal [AF], tem 2 cm de afastamento- O extremo F tem 5 cm de cota


Represente, no sistema de dupla projeco ortogonal, um quadrado [ABCD], contido num plano frontal f.Esta figura a base de uma pirmide recta. Represente esse slido e identifique as suas arestas invisveis, com a conveno grfica adequada.

- Os pontos A (0; 8; 8) e B (4; 8; 5) so dois vrtices consecutivos do quadrado- O ponto A o vrtice de maior cota da base da pirmide- O ponto V, que o vrtice do slido, pertence ao Plano Frontal de Projeco


O tringulo equiltero [ABC] contido num plano horizontal ni, a base de uma pirmide recta.Represente este slido no sistema de dupla projeco ortogonal, identificando as suas arestas invisveis, com a conveno grfica adequada.

- o tringulo [ABC] est inscrito numa circunferncia de centro em ponto O (0; 6; 7)- o vrtice A tem abcissa nula e 2 cm de afastamento

- o vrtice V, do slido, pertence ao Plano Horizontal de Projeco


O quadrado [ABCD], contido no Plano Frontal de Projeco, uma das faces de um cubo, situado no Primeiro Diedro. Represente este slido no sistema de dupla projeco ortogonal, identificando as arestas que sejam invisveis, com a conveno grfica adequada.

- O vrtice A do quadrado tem abcissa nula e 2 cm de cota- O vrtice B tem 3 cm de abcissa- As arestas do cubo medem 6 cm

62. Exame de 1999 2 Fase (cdigo 109)

Represente, no sistema de dupla projeco ortogonal, um prisma hexagonal recto, existente no primeiro Diedro, com as bases contidas em dois planos frontais alfa e beta.Identifique as arestas do slido que sejam invisveis, com a conveno grfica adequada.

- As bases do slido so hexgonos regulares- Os pontos A (-2; 1; 2) e D (3; 1; 7), contidos no plano alfa, so dois vrtices opostos da base [ABCDEF]- O plano beta dista 6 cm do plano alfa


Represente, no sistema de dupla projeco ortogonal, um hexgono regular [ABCDEF], contido num plano frontal f, que a base de uma pirmide recta, situada no espao do Primeiro Diedro.Represente igualmente este slido, identificando as suas arestas invisveis, com a conveno grfica adequada.

- O ponto A (1; 2; 3) o vrtice de menor cota do hexgono- O lado [AB] da figura est contido numa recta frontal f, que faz, com o Plano Horizontal de Projeco, um ngulo de 45 de abertura para a direita- Os lados do hexgono medem 4 cm- O vrtice da pirmide o ponto V, que dista 7 cm de plano frontal f


Represente, no sistema de dupla projeco ortogonal, um pentgono regular [ABCDE], contido num plano horizontal ni e que uma das bases de um prisma recto, situada no espao do Primeiro Diedro.Represente igualmente este slido, identificando as suas arestas invisveis, com a conveno grfica adequada.

- O plano horizontal tem 1 cm de cota- O centro da circunferncia circunscrita figura o ponto O, com abcissa nula e 5 cm de afastamento- O ponto A um dos vrtices do pentgono- O raio [OA] da circunferncia circunscrita tem uma inclinao de 45, de abertura para a direita, com o Plano Frontal de Projeco, e o ponto A tem 2 cm de afastamento- as arestas laterais do slido medem 3 cm


Represente, no sistema de dupla projeco ortogonal, um cubo, com duas faces contidas em planos frontais. Este slido encontra-se situado no espao do Primeiro Diedro. Identifique as suas arestas invisveis, com a conveno grfica adequada.

- A face [ABCD] do slido est contida no plano f, com 3 cm de afastamento- O ponto B, com 3 de abcissa e 5 de cota, e o ponto D, com 4 de abcissa e 4 de cota, so os extremos de uma das diagonais desta face


Represente, no sistema de dupla projeco ortogonal, um cubo com a face [ABCD] contida no Plano Horizontal de Projeco. Identifique as arestas que sejam invisveis, com a conveno grfica adequada.

- o ponto A (4; 3; 0) o vrtice da face [ABCD], localizado mais esquerda- o ponto E, com 5 de cota, define, com o vrtice A, uma das arestas verticais do slido- o vrtice B, que contguo ao vrtice A, pertence ao eixo x


Represente, no sistema de dupla projeco ortogonal, um prisma triangular recto, existente no espao do Primeiro Diedro.Identifique as arestas que sejam invisveis, com a conveno grfica adequada.

- uma das bases do slido o tringulo equiltero [ABC], que est contido no Plano Frontal de Projeco e cujos lados medem 5 cm- o vrtice A, que o vrtice que se situa mais esquerda, tem abcissa nula e 6 de cota- o vrtice B tem 3 de abcissa e tem menor cota que o ponto A - o segmento de recta [AD] uma das arestas laterais do prisma, e o ponto D pertence ao plano bissector dos diedros mpares.


Represente, no sistema de dupla projeco ortogonal, uma pirmide pentagonal recta, existente no espao do Primeiro Diedro e com a base contida num plano frontal f. Identifique as arestas invisveis com a conveno grfica adequada.

- a base da pirmide o pentgono regular [ABCDE], com centro em O (O; 2; 4)- o raio da circunferncia circunscrita base do slido mede 4 cm- o vrtice A do pentgono tem 8 de cota e pertence recta vertical v, que contm o ponto O- o vrtice da pirmide o ponto V, que dista 7 cm do plano frontal f.

69. Exame de 2002 1 Fase 1 Chamada (Cdigo 109)

Represente, no sistema de dupla projeco ortogonal, um paraleleppedo rectngulo, situado no espao do primeiro diedro, identificando as arestas que forem invisveis com a conveno grfica adequada. - os pontos A (-4; 5; 3) e G (4; 5; 6) so dois vrtices opostos do slido;- as faces [ABCD] e [EFGH] esto, respectivamente, contidas nos planos horizontais ni1 e ni2;- o vrtice B tem -2 de abcissa e tem maior afastamento que o ponto A.


Represente uma pirmide quadrangular oblqua, de base frontal e de vrtice V, situada no 1 diedro, de acordo com os dados abaixo apresentados. Identifique, a trao interrompido, as arestas invisveis do slido.

- a base o quadrado [ABCD], que est inscrito numa circunferncia com centro no ponto M, o qual tem 0 de abcissa e 5,5 de cota e pertence ao bissector dos diedros impares;- o vrtice A tem 4 de abcissa e 4 de cota;- o vrtice B o de menor cota;- a aresta lateral [AV] horizontal;- a aresta lateral [BV] de perfil- o vrtice V pertence ao plano frontal de projeco


Represente, no sistema de dupla projeco ortogonal, uma pirmide triangular recta, de vrtice V, com a base contida num plano horizontal ni. Identifique as arestas invisveis com a conveno grfica adequada.

- a base da pirmide o tringulo equiltero [ABC]- o segmento de recta [AV] uma das trs arestas laterais do slido, e os seus extremos so os pontos A (-3; 5; 6) e V (0; 4; 0).


Represente um prisma pentagonal oblquo, com as bases horizontais e situado no 1 diedro, de acordo com os dados abaixo apresentados. Identifique, a trao interrompido, as arestas invisveis do slido.

- uma das bases o pentgono regular [ABCDE], inscrito numa circunferncia de centro M (0; 6; 2);- o vrtice A tem 3,5 de abcissa e 6,5 de afastamento;- as arestas laterais so segmentos de rectas de frente que fazem ngulos de 60 com os planos das bases (abertura a esquerda, no 1 diedro) e medem 7 cm.

73. Exame de 2002 - 2 Fase (cdigo 109)

Represente pelos seus contornos aparentes, no sistema de dupla projeco ortogonal, um cone de revoluo, com a base contida num plano de nvel ni.

- o vrtice do cone e o ponto V (0; 5; 2);- o ponto P (3; 2; 7) um dos pontos da circunferncia da base.


Represente, no sistema de dupla projeco ortogonal, uma pirmide hexagonal recta, situada no primeiro diedro. Identifique as arestas invisveis com a conveno grfica adequada.

- a base da pirmide o hexgono regular [ABCDEF], contido num plano horizontal- a base est inscrita numa circunferncia com centro no ponto 0 (2; 7; 1);

- um dos vrtices da base o ponto A, com 1 de abcissa e 3 de afastamento;- o vrtice V da pirmide um ponto do plano bissector dos diedros mpares.


Represente uma pirmide quadrangular oblqua, situada no 1 diedro, de acordo com os dados abaixo apresentados. Identifique, a trao interrompido, as arestas invisveis do slido.

- a base da pirmide est contida num plano frontal;- os pontos A (6; 5; 10) e C so vrtices opostos do quadrado [ABCD] da base da pirmide;- o vrtice C tem 10 de abcissa e 2 de cota;- o vrtice V da pirmide um ponto do eixo x com 1 de abcissa


Represente, no sistema de dupla projeco ortogonal, um prisma quadrangular recto, situado no primeiro diedro. Identifique as arestas invisveis com a conveno grfica adequada.

- as bases do prisma esto contidas em planos frontais;- uma das bases do prisma o quadrado [ABCD], cujo vrtice A tem 3 de afastamento e 2 de cota- a aresta [AB] dessa base mede 5 cm e faz um ngulo de 30 com o Plano Horizontal de Projeco de abertura para a direita;- a altura do prisma mede 7 cm.


Represente um cubo, situado no 1 diedro, de acordo com os dados abaixo apresentados.Identifique, a trao interrompido, as arestas invisveis do slido.

- a face [ABCD] est contida no plano horizontal ni;- o vrtice A pertence ao plano bissector dos diedros mpares,tem 9 de abcissa e 3 de cota;- o vrtice B tem 4 de abcissa e um ponto do plano frontal de projeco.


Represente, no sistema de dupla projeco ortogonal, um cone de revoluo, com a base contida num plano de frente f.

- os pontos A (3; 1; 9) e V (5; 8; 6) definem uma das geratrizes do cone, sendo V o vrtice do slido.


Represente um cone oblquo de base circular, situado no 1 diedro, de acordo com os dados abaixo apresentados. Identifique, a trao interrompido, a parte invisvel da circunferncia da base do slido.

- A base do slido est contida num plano frontal, com centro no ponto 0(4; 1; 5);- o ponto A, com 4 de abcissa e 8 de cota, um ponto da circunferncia da base;- a geratriz [AV] do cone horizontal;- o vrtice V tem 11 de abcissa e pertence ao plano bissector dos diedros impares


Determine as projeces de um prisma triangular oblquo, situado no 1 diedro, de acordo com os dados abaixo apresentados. Identifique, a trao interrompido, as arestas invisveis do slido.

- as bases do prisma so tringulos equilteros contidos em planos horizontais;- os pontos A (0; 5; 3) e B, com 4 de abcissa e 1 de afastamento, so vrtices da base [ABC];- o vrtice D, com -3 de abcissa e 10 de afastamento, um dos extremos da aresta lateral [AD];- a altura do prisma mede 7 cm.


Determine as projeces de uma pirmide pentagonal oblqua, situada no 1 diedro, de acordo com os dados abaixo apresentados. Identifique, a trao interrompido, as arestas invisveis do slido.

- a base da pirmide o pentgono regular [ABCDE], contido num plano horizontal;- a base est inscrita numa circunferncia com centro no ponto 0 (1; 6; 1) e 4 cm de raio;- o vrtice A, com 7,5 de afastamento, o que se situa mais esquerda;- a aresta lateral [AV] um segmento de recta frontal;- o vrtice da pirmide, V, tem -5 de abcissa e 8 de cota.


Represente uma pirmide hexagonal oblqua, situada no 1 diedro, de acordo com os dados abaixo apresentados. Identifique, a trao interrompido, as arestas invisveis do slido.

- a base da pirmide o hexgono regular [ABCDEF], contido num plano horizontal- a base est inscrita numa circunferncia com centro no ponto 0(0; 6; 9);- o vrtice A da base da pirmide tem - 4 de abcissa e 7 de afastamento;- o vrtice V da pirmide tem - 6 de abcissa e 3 de afastamento;- a aresta [AV] est contida numa recta obliqua passante.


Represente um cilindro oblquo de bases circulares, situado no 1 diedro, de acordo com os dados abaixo apresentados. Identifique, a trao interrompido, a parte invisvel da circunferncia de uma das bases do slido.

- as bases do cilindro esto contidas em planos frontais;- o ponto 0(3; 1 ; 5) o centro de uma das bases;- os pontos A (6; 1; 5) e B (2; 8; 9) definem uma das geratrizes do cilindro.


Represente um prisma quadrangular oblquo, situado no 1 diedro, de acordo com os dados abaixo apresentados. Identifique, a trao interrompido, as arestas invisveis do slido.

- as bases do prisma so quadrados, contidos em planos horizontais com 2 e 8 de cota;- os pontos A, com 6 de abcissa e 5 de afastamento, e B, com 3 de abcissa e 1 de afastamento, so vrtices consecutivos da base de menor cota;- o ponto A o vrtice do slido situado mais esquerda;- as arestas laterais do prisma so paralelas ao plano frontal de projeco e medem 8 cm.

REPRESENTAO DE FIGURAS PLANAS VERTICAIS


Represente, pelos seus traos nos Planos de Projeco, o plano vertical beta que contm o tringulo [ABC]. Desenhe as projeces do tringulo e determine a sua verdadeira grandeza.

- os pontos A (O; 2; 4) e B (5; 7; 2) so dois vrtices da figura; - o vrtice C tem 2 de abcissa e 8 de cota


Determine as projeces do hexgono regular [ABCDEF], contido num plano vertical alfa existente no espao do Primeiro Diedro.

- O plano alfa faz um diedro de 45 com o Plano Frontal de Projeco, com abertura para a direita - O ponto A, que um vrtice da figura, pertence ao Plano Frontal de Projeco e tem 2,5 cm de cota;- o lado do hexgono mede 5 cm - o vrtice B, que contguo ao vrtice A, pertence ao Plano Horizontal de Projeco.


Determine as projeces de um tringulo rectngulo [ABC], contido num plano vertical, existente no espao do primeiro Diedro.

- os pontos A (2; 2; 4) e C (7; 5; 2) so os extremos da hipotenusa do tringulo- o ponto C o vrtice de menor cota da figura- o cateto [AB] faz um ngulo de 60 com a hipotenusa.


Determine as projeces do rectngulo [ABCD], contido no plano vertical alfa e situado no primeiro Diedro.

- os pontos A (O; 2; 7) e B (4; 6; 1) so os extremos de um dos lados maiores do rectngulo- os lados menores da figura medem 4 cm.


Determine as projeces do tringulo equiltero [ABC], existente no espao do primeiro diedro e contido num plano vertical alfa.

- o plano vertical alfa faz, com o Plano Frontal de Projeco, um diedro de 60 de abertura para a direita- os lados do tringulo medem 6 cm;- o vrtice A tem afastamento nulo e 4 de cota- o vrtice B tem cota nula.


Determine as projeces do pentgono regular [ABCDE], contido num plano vertical alfa.

- o centro da figura o ponto O (5; 3; 4)- o plano vertical alfa intersecta o eixo x na origem das coordenadas; - o vrtice A do pentgono est contido no Plano Horizontal de Projeco e pertence recta vertical v, que passa pelo ponto O


Represente o hexgono regular [ABCDEF], situado no 1 diedro e contido num plano vertical alfa

- o ponto A (0; 3; 5) um dos vrtices do hexgono;- a diagonal [AD]do hexgono esta contida numa recta obliqua d, cujas projeces, horizontal e frontal, fazem com o eixo x, ngulos respectivamente iguais a 60 (de abertura a esquerda) e 30 (de abertura a direita);- os lados do hexgono medem 3 cm.


Determine as projeces do hexgono regular [ABCDEF], existente no espao do primeiro diedro e contido num plano vertical delta.

- os pontos A e B so os extremos do lado [AB] da figura- o ponto A pertence ao Plano Horizontal de Projeco, tem 3 de abcissa e 3 de afastamento- o outro extremo o ponto B (6; 6; 1,5).


Represente o quadrado [ABCD], situado no 1 diedro.

- o quadrado est contido num plano vertical d, cujo trao horizontal faz um ngulo de 45 com o eixo x, de abertura para a direita;- o quadrado est inscrito numa circunferncia com centro no ponto 0(0; 4; 6) e 3,5 cm de raio;- o vrtice A do quadrado tem -1 de abcissa- A o vrtice de maior cota.


Represente o rectngulo [ABCD], situado no 1 diedro.

- o ponto A (-1; 2; 3) e o ponto B, com 1 de abcissa, so dois vrtices consecutivos do rectngulo;- o rectngulo est contido no plano vertical b, cujo trao horizontal faz um ngulo de 45 com o eixo x (abertura para a esquerda);- o lado [AB] est contido numa recta cujas projeces, horizontal e frontal, so paralelas entre si;- o lado maior do rectngulo mede 7 cm.


Represente o hexgono regular [ABCDEF], situado no 1 diedro.

- o hexgono est contido num plano vertical a, cujos traos se intersectam num ponto com zero de abcissa;- o trao horizontal do plano a faz um ngulo de 60 com o eixo x, de abertura para a direita;- o ponto A, com 3 de afastamento e 3 de cota, um dos vrtices do hexgono;- o lado [AB]horizontal e mede 4 cm.

REPRESENTAO DE FIGURAS PLANAS DE TOPO


Determina as projeces de um quadrado [ABCD], contido num plano de topo alfa- O plano alfa faz um diedro de 45 com o Plano Horizontal de Projeco, com abertura para o lado direito; - A diagonal [AC] da figura est contida no Bissector dos Diedros mpares; - O vrtice A tem 2 de cota e o vrtice C tem 6 de afastamento.


Desenhe as projeces de um hexgono regular [ABCDEF], existente no espao do Primeiro Diedro e contido num plano de topo beta.

- o plano de topo beta faz um diedro de 45, de abertura para a direita, com o Plano Horizontal de Projeco - os pontos A (O; 4; 0) e B (O; 9; 0) so dois vrtices consecutivos da figura.


Determine as projeces de um quadrado [ABCD], contido num plano de topo pi e existente no espao do primeiro diedro.

- o plano pi faz um diedro de 60, de abertura para a direita, com o Plano Horizontal de Projeco; - o ponto M, com 4 de afastamento, o centro da figura e pertence ao Plano Bissector dos Diedros mpares; - a diagonal [AC] est contida numa recta r, cuja projeco horizontal faz, com o eixo x, um ngulo de 50, de abertura para a direita; - o raio da circunferncia circunscrita ao quadrado mede 4 cm.


Determine as projeces do tringulo equiltero [ABC], contido no plano de topo beta.

- o plano de topo beta faz um diedro de 45, de abertura para a direita, com o Plano Horizontal de Projeco, intersectando o eixo x no ponto X, de abcissa nula; - o tringulo est inscrito numa circunferncia, cujo centro o ponto O, que tem 4 de afastamento e pertence ao Plano Bissector dos Diedros mpares; - o vrtice A da figura pertence ao Plano Frontal de Projeco e tem 3 de cota.


Determine as projeces do tringulo rectngulo [ABC], contido num plano de topo beta e existente no espao do primeiro diedro.

- os pontos A e B so os dois extremos de um dos catetos da figura - o ponto A pertence ao Bissector dos Diedros mpares, tem 3 de abcissa e 2 de afastamento- o ponto B, com 7 de abcissa e 6 de cota, pertence ao Plano Frontal de Projeco- o cateto [AC] mede 8 cm.


Determine as projeces do quadrado [ABCD], contido num plano de topo beta

- o ponto M (-2; 3,5; 2) o ponto mdio do lado [AB] do quadrado- o ponto N (-6; 5,5; 6) o ponto mdio do lado [CD] do quadrado


Represente o rectngulo [ABCD], situado no 1 diedro e contido num plano de topo alfa.

- os pontos A (0; 4; 0) e B (4; 0; 4) so dois vrtices consecutivos da figura;- as diagonais medem 8 cm.


Determine as projeces do quadrado [ABCD], contido num plano de topo alfa.

- o quadrado esta inscrito numa circunferncia de 4 cm de raio, com centro no ponto M (2,5; 6; 2,5);- o vrtice A pertence ao Plano Horizontal de Projeco e tem 0 de abcissa;- o afastamento do vrtice A maior que o do ponto M.


Determine as projeces de um quadrado [ABCD] contido num plano de topo beta, situado no primeiro diedro.

- o trao frontal do plano beta faz um ngulo de 45 com o eixo x (abertura para a direita);- um dos vrtices do quadrado o ponto A, com 3 de afastamento e 2 de cota;- o lado do quadrado mede 5 cm;- o vrtice B pertence ao trao horizontal do plano


Represente o pentgono regular [ABCDE], situado no 1 diedro e contido num plano de topo beta.

- o pentgono est inscrito numa circunferncia com centro no ponto 0 (4; 3; 4);- o vrtice A do pentgono tem 5 de abcissa, 5 de cota e pertence ao plano frontal de projeco

106. Exame de 2006 -1 Fase (cdigo 409)

Represente o hexgono regular [ABCDEF], situado no 1 diedro.

- o hexgono esta contido no plano de topo alfa;- o trao frontal do plano alfa contm um ponto do eixo x com 4 de abcissa e faz um ngulo de 50 com o mesmo eixo (de abertura para a direita);- o vrtice A do hexgono tem 2 de abcissa e pertence ao plano bissector dos diedros mpares- o vrtice B tem abcissa nula e 2 de afastamento.

REPRESENTAO DE PONTOS, RECTAS E FIGURAS PLANAS PERTENCENTES A UM PLANO DE PERFIL

107. Exame de 1997 1 Fase - 2 Chamada (Cdigo 109)

Determine as projeces do ponto I de interseco de duas rectas de perfil r e s.

- a recta r contm os pontos A (O; 7; 1 ) e B (O; -2; 10) - a recta s contm o ponto C (O; 1; 2) e paralela ao Bissector dos Diedros mpares

108. Exame de 1999 Prova Modelo (Cdigo 109)

Determine as projeces dos pontos X e Y resultantes da interseco de uma recta p com uma circunferncia com ela complanar.

- a recta e a circunferncia esto ambas contidas num plano de perfil pi - a recta p contm o ponto A, com 6 de afastamento e 10 de cota, e intersecta o Plano Horizontal de Projeco num ponto H, com 1 de afastamento; - o centro da circunferncia o ponto O, com 5 de afastamento e 4 de cota- a curva tangente ao Plano Horizontal de Projeco.

109. Exame de 1999 1 Fase (Cdigo 109)

Determine as projeces do quadrado [ABCD], contido num plano de perfil pi, assinalando-as a trao contnuo forte.

- O centro da figura o ponto O, que tem 4,5 cm de afastamento e pertence ao Plano Bissector dos Diedros mpares;- O ponto A, com 1 de afastamento e 4 de cota, um dos vrtices do quadrado.


Determine as projeces dos pontos X e Y, de interseco de duas circunferncias contidas num plano de perfil pi.

- A primeira circunferncia, cujo centro o ponto C (4; 6; 4), tangente ao trao horizontal do plano pi - A segunda circunferncia, cujo centro o ponto O, com 4 de afastamento e 6 de cota, tangente ao trao frontal do plano pi


Determine os pontos H e F, que so os traos de uma recta de perfil p nos planos de projeco.

- A recta p contm os pontos A e B;- O ponto A tem 3 de afastamento e pertence ao Plano Bissector dos Diedros mpares- O ponto B, que est situado no segundo Diedro, tem -2 de afastamento e 8 de cota.


Determine as projeces dos pontos I e Q, que so os traos da recta de perfil p nos planos bissectores, respectivamente, dos diedros pares e mpares.

- A recta p contem os pontos A e H;- O ponto A fica situado no segundo diedro e tem -3 de afastamento e 5 de cota; - O ponto H pertence ao Plano Horizontal de Projeco e tem 7 de afastamento.


Determine as projeces do rectngulo [ABCD], contido no plano de perfil pi situado no primeiro diedro, assinalando-as a trao contnuo forte.

- Um dos vrtices do rectngulo o ponto A (1; 5; 8)- O vrtice B um ponto do plano bissector dos diedros impares, com 2 de cota;- O vrtice C pertence ao Plano Horizontal de Projeco.


Determine as projeces dos pontos H e F da recta de perfil p.

- Os pontos H e F so, respectivamente, os traos horizontal e frontal da recta p nos planos de projeco;- A recta p definida pelos pontos A (0; 6; -2) e B;- O ponto B pertence ao plano bissector dos diedros mpares e tem 3 de cota.

SLIDOS DE BASE(S) SITUADA(S) EM PLANO(S) PROJECTANTE(S)

115. Exame de 2002 - Prova Modelo (Cdigo 409)

Represente o pentgono regular [ABCDE] contido num plano vertical alfa. Esta figura a base de uma pirmide pentagonal recta situada no 1 diedro. Represente igualmente o slido, assinalando com a conveno grfica adequada as arestas invisveis.

- o centro da figura o ponto O (5; 5; 4);- o plano vertical alfa intersecta o eixo x na origem das coordenadas;- o vrtice A do pentgono est no plano horizontal de projeco e pertence recta vertical v, que passa pelo ponto O ; - a pirmide tem 8 de altura.

116. Exame de 2002 - 2 Fase (Cdigo 409)

Represente um cubo com duas faces de perfil, situado no 1diedro, de acordo com os dados abaixo apresentados. Identifique, a trao interrompido, as arestas invisveis do slido.

- a face [ABCD] a face de perfil que se situa mais esquerda;- o vrtice A tem 1 de afastamento e 5 de cota;- o vrtice B tem 5 de afastamento e 2 de cota

PARALELISMO DE RECTAS E PLANOS

117. Exame de 2008, 2 fase (cdigo 708)

Determine as projeces da recta b paralela ao plano lfa e ao plano bissector dos diedros pares (2,4). o plano lfa definido pelas rectas r e s, concorrentes no ponto R (5; 3; 2); o ponto H, trao horizontal da recta r, tem 9 de abcissa e 7 de afastamento; a recta s passante e a sua projeco horizontal faz um ngulo de 30, de abertura para a esquerda, com o eixo x; a recta b contm o ponto B (5; 3; 2).

118. Exame de 2010, 2 fase (cdigo 708)

Determine os traos do plano pi, que contm o ponto P e paralelo ao plano alfa.

o plano alfa definido pelas rectas a e b

a recta a contm o ponto S (3; 5; 3) as projeces, horizontal e frontal, da recta a fazem, com o eixo x, ngulos de 45, de abertura para a direita e de 30, de abertura para a esquerda, respectivamente a recta b pertence ao plano bissector dos diedros mpares e a sua projeco frontal faz, com o eixo x, um ngulo de 30 de abertura para a direita e 30, de abertura para a esquerda, respectivamente o plano pi contm o ponto P (-6; 3; -4)119. Exame de 2012, 2 fase (cdigo 708)

Determine os traos do plano paralelo ao plano .

o plano contm as retas fronto-horizontais a e b; a reta a tem 3 de afastamento e 8 de cota; a reta b pertence ao bissector dos diedros pares, 24, e tem 4 de cota; o plano contm o ponto P (6; 5; 6).

PERPENDICULARIDADE DE RECTAS E PLANOS


Represente, pelas suas projeces, a recta p, perpendicular ao plano alfa.

- o plano oblquo alfa definido pelos pontos A (5; -6; 6) , B (0; 1,5; 3) e C (-5; 5; 3)- a recta p contm o ponto Q (-7; 5; 10)

121. Exame de 2007 - 2 fase (cdigo 708)

Determine os traos do plano beta, que contm os pontos P e R e perpendicular ao plano alfa.

- o plano alfa contm o ponto A (3; 6; 4) e uma recta horizontal h- a recta h tem 8 de cota, faz, com o Plano Frontal de Projeco, um ngulo de 50 com abertura para a direita, e o seu trao frontal Fh tem 6 de abcissa.- o plano beta contm os pontos P (0; 2; 4) e R (-5; 0; 0)


Determine as projeces da recta s perpendicular recta r.

a recta r definida pelo ponto A (0; 11; 7) e pelo seu trao frontal F com 7 de abcissa e 2 de cota; a recta s, concorrente com a recta r, contm o ponto P (0; 5; 2).


Determine os traos do plano de rampa ortogonal ao plano .

o plano contm o ponto A (4; 3; 2) e o ponto B do eixo x com zero de abcissa; o trao horizontal do plano faz um ngulo de 60, de abertura para a esquerda, com o eixo x; o plano contm o ponto P (6; 7; 5).

REPRESENTAO DE FIGURAS PLANAS OBLQUAS

124. Adaptado do Exame de 2002 - Prova Modelo (cdigo 408)

Desenha as projeces de um quadrado [ABCD], pertencente a um plano oblquo alfa.

- o centro do quadrado o ponto O (-6; 3,5; 3)- os traos do plano fazem, ambos, ngulos de 45(abertura para a direita) com o eixo x- uma das diagonais horizontal- o vrtice A est no trao horizontal do plano


Desenhe as projeces de um tringulo equiltero [ABC], contido num plano oblquo beta

- os traos horizontal e frontal do plano beta fazem, respectivamente com o eixo x, ngulos de 45 e 60, ambos com abertura para a esquerda- os traos do plano beta intersectam-se na origem das coordenadas- o vrtice A est no trao horizontal do plano e tem 2 de afastamento- o vrtice B est no trao frontal do plano e tem 6 de cota


Determine as projeces do tringulo equiltero [ABC], pertencente a um plano oblquo beta

- o trao horizontal do plano do tringulo faz 55 (abertura para a esquerda) com o eixo x- o tringulo est inscrito numa circunferncia de centro em O (4; 3; 2)- o ponto A (6; 1; 4) um dos seus vrtices.


Desenha as projeces do quadrado [ABCD] contido no plano oblquo alfa

- o ponto A (-5,5; 5; 3) um dos seus vrtices- o vrtice C tem abcissa nula e 2,5 de afastamento- a diagonal [AC] pertence a uma recta oblqua passante p- o trao horizontal do plano faz, com o eixo x, 45 (abertura para a direita)


Represente pelas suas projeces o tringulo issceles [ABC], contido num plano oblquo lfa.

- o ponto A (5; 1; 8) um dos vrtices do tringulo;- o lado [BC] pertence recta s;- o ponto F, trao frontal da recta s, tem 6 de abcissa e 4 de cota;- as projeces, horizontal e frontal, da recta s fazem, ambas, ngulos de 30, de abertura para a esquerda, com o eixo x;- os lados [AB] e [AC] do tringulo medem 8,5 cm.


Determine as projeces do tringulo [LMN].

o tringulo est situado no 1. diedro; o ponto L (4; 2; 4) um dos vrtices do tringulo; o lado [LM] frontal e mede 7 cm; o lado [MN] de perfil, tem 1 de abcissa e faz 50 com o plano horizontal de projeco; o lado [LN] mede 8 cm; o ponto N o vrtice de menor cota.

REPRESENTAO DE FIGURAS PLANAS DE RAMPA


Desenhe as projeces de um tringulo equiltero [ABC], situado no 1 diedro e pertencente a um plano de rampa, sabendo que:

- os pontos A (0; 2; 4) e B (5; 6; 0) so vrtices da figura


Determine as projeces de um losango [ABCD], situado no 1 diedro.

- o losango pertence a um plano de rampa teta, cujo trao horizontal tem 7cm de afastamento- o vrtice A pertence ao trao frontal do plano, tem 2 de abcissa negativa e 5 de cota

- o vrtice C tem 2 de abcissa e 1 de cota- [AC] uma diagonal do losango- a diagonal [BD] mede 6cm


Determine as projeces de um quadrado [ABCD], de rampa.

- os pontos A (1; 1; 7) e C (-1; 4; 2) definem uma das suas diagonais


Represente, pelas suas projeces, horizontal e frontal, o rectngulo [ABCD] do 1. diedro e contido num plano de rampa teta

o trao horizontal do plano de rampa tem 6 de afastamento; o vrtice A pertence ao plano frontal de projeco, tem 2 de abcissa e 4 de cota; o lado [AB] faz, com o trao frontal do plano, um ngulo de 35, com abertura para a direita, e um dos lados maiores do rectngulo; os lados medem 3 cm e 6 cm

SLIDOS DE BASE(S) SITUADA(S) EM PLANO(S) NO-PROJECTANTE(S)

134. Exame de 2009 2 fase (cdigo 708)

Represente, pelas suas projeces, uma pirmide quadrangular regular, situada no 1. diedro, de acordocom os dados abaixo apresentados.

a base [ABCD] est contida no plano oblquo , que cruza o eixo x no ponto com 3 de abcissa; os traos, horizontal e frontal, do plano fazem, respectivamente, ngulos de 40 e 50, ambos de abertura para a direita, com o eixo x; as diagonais da base medem 10 cm; o ponto A (1; 8) e o ponto C, que pertence ao trao horizontal do plano , definem a diagonal [AC]; a pirmide tem 12 cm de altura.

135. Exame de 2011 1 fase (cdigo 708)

Represente, pelas suas projeces, um prisma triangular regular, situado no 1. diedro. identifique, a trao interrompido, as arestas invisveis.

as bases do prisma esto contidas em plano oblquos, perpendiculares ao plano bissector dos diedros mparesa base [ABC] est contida no plano alfa, cujo trao horizontal faz um ngulo de 40, de abertura para a direita, com o eixo xo ponto A (1; 3; 0) um dos vrtices da base referida o ponto O' (3; 10; 9) o centro da outra base

PROBLEMAS MTRICOS - DISTNCIAS

136. Exame 2002 1 fase 2 Chamada (Cdigo 408)

Determine graficamente a distncia d do ponto P ao plano oblquo alfa.

- o ponto P pertence ao plano beta13, tem 0 de abcissa e 7 de cota;- o plano alfa intersecta o eixo x no ponto O, de abcissa nula;- os traos, horizontal e frontal, do plano alfa fazem, ambos, ngulos de 45 (de abertura para a direita) com o eixo x.

137. Exame 2003 2 fase (Cdigo 408)

Determine graficamente a distncia d do ponto P recta de frente f.Dados:- o ponto P pertence ao plano beta13, tem 0 de abcissa e 7 de cota;- o trao horizontal H da recta f tem 4 de abcissa e 2 de afastamento;- a recta faz um ngulo de 30 (de abertura a direita) com o plano horizontal de projeco, medido no 1 diedro.


Determine graficamente a verdadeira grandeza do segmento de recta [HI] e represente os pontos H e I pelas suas projeces.

- o segmento de recta [HI] est contido numa recta de perfil p, que definida pelos pontos A (0; 1; 5) e B, com 6 de afastamento e 2 de cota- o ponto H o trao horizontal da recta p- o ponto I o ponto de interseco da recta p com o plano oblquo alfa, cujos traos horizontal e frontal fazem, com e eixo x, respectivamente, ngulos de 45 e 60 (ambos com abertura para a direita), intersectando-o num ponto com 5 de abcissa.


Determine graficamente a distncia d entre os planos paralelos alfa e beta.- o plano alfa contm uma recta horizontal, n, que intersecta o plano frontal de projeco no ponto Fn (0; 0; 8) e cuja projeco horizontal faz um ngulo de 60 (de abertura a direita) com o eixo x;- o plano beta contm uma recta obliqua b, cujos traos nos planos de projeco so os pontos Hb (3; 4; 0) e Fb (-3; 0; 6).

140. Exame 2006 - 2 Fase (Cdigo 408)

Determine graficamente a distancia d, entre o ponto P e a recta de perfil p.

- o ponto P tem 2 de abcissa, 2 de afastamento e 3,5 de cota;- a recta de perfil p definida pelos pontos A (0; 4; 3,5) e B (0; 6; 2)

141. Exame 2007 - 2 Fase (Cdigo 408)

Determine graficamente a distncia d do ponto P recta passante r.

- o ponto P pertence ao bissector dos diedros pares e tem 4 de abcissa e 4,5 de cota;- os traos da recta r tm 4 de abcissa;- as projeces da recta fazem, ambas, ngulos de 50 (de abertura direita) com o eixo x.

142. Exame de 2009 - 2 fase (Cdigo 708)

Determine, graficamente, a verdadeira grandeza da distncia entre dois planos paralelos, alfa e beta.

o trao frontal do plano lfa intersecta o eixo x no ponto com 10 de abcissa e faz um ngulo de 60, de abertura para a esquerda, com esse mesmo eixo; o plano beta contm os pontos M (6; 2; 3) e N (10; 7; 3).


Determine, graficamente, a verdadeira grandeza da distncia do ponto P ao plano oblquo lfa. o ponto P pertence ao plano bissector dos diedros mpares (1,3), tem 6 de abcissa e 8 de afastamento; o plano lfa definido pelo ponto A (1; 4; 2) e pela recta r; a recta r contm o ponto M (6; 6; 9); o ponto F, trao frontal da recta r, tem 0 de abcissa e 6 de cota.144. Exame de 2012 - 1 fase (Cdigo 708)

Determine, graficamente, a amplitude do ngulo entre a reta horizontal h e o plano . o plano est definido por uma das suas retas de maior declive d; o trao horizontal da reta d tem 4 de abcissa e 2 de afastamento; a projeo horizontal da reta d faz um ngulo de 30, de abertura para a direita, com o eixo x; o trao frontal da reta d tem 4 de cota; a reta h contm o ponto P (0; 1; 7) e faz um ngulo de 50, de abertura para a direita, com o PlanoFrontal de Projeo.


Determine, graficamente, a distncia do ponto P ao plano . P (3; 10; 2);

o plano est definido pelo ponto A (0; 1; 5) e pela reta de perfil p; a reta p contm o ponto B (4; 2; 5) e o seu trao horizontal tem 6 de afastamento.

PROBLEMAS MTRICOS - NGULOS


Determine graficamente a amplitude do diedro formado pelo plano oblquo alfa com o plano frontal de projeco.

- o plano alfa definido pelo ponto P (0; -4; 2) e pela recta de nvel (horizontal) n- a recta de nvel n contm o ponto A (3; 3; 4) e faz um ngulo de 45 (abertura para a esquerda) com o plano frontal de projeco.

147. Exame 2002 1 fase 1 Chamada (cdigo 408)

Determine graficamente a amplitude do ngulo alfa, formado pelas rectas n e f.

- as rectas so concorrentes no ponto P (0; 5; 3)- a recta n de nvel (horizontal) e faz um ngulo de 45 (de abertura para a direita) com o plano frontal de projeco- a recta f de frente (frontal) e faz um ngulo de 60 (de abertura para a direita) com o plano horizontal de projeco.

148. Exame 2002 2 fase (cdigo 408)

Determine graficamente a amplitude do ngulo formado pelo plano oblquo alfa com o plano horizontal de projeco.

- o plano alfa intersecta o eixo x (Linha de Terra) no ponto X, de abcissa nula;- os traos, horizontal e frontal, do plano alfa fazem, com o eixo x, respectivamente, ngulos de 30 e de 45 (ambos com abertura para a esquerda).


Determine graficamente a amplitude do diedro formado pelos planos alfa e beta.

- o plano alfa vertical, faz um diedro de 45 com o plano frontal de projeco (com abertura a direita) e intersecta o eixo x num ponto A, com 4 de abcissa;- os traos do plano beta fazem, ambos, ngulos de 60 com o eixo x (o horizontal com abertura esquerda e o frontal com abertura direita) e so concorrentes num ponto B, com - 4 de abcissa.


Determine graficamente a amplitude do ngulo alfa, formado pelas rectas n e p.

- as rectas so concorrentes no ponto P (0; 6; 5);- a recta p de perfil e intersecta o Plano Frontal de Projeco no ponto F, com 8 de cota;- a recta n de nvel (horizontal) e faz um ngulo de 45 (de abertura para a esquerda) com o plano frontal de projeco


Determine graficamente a amplitude do diedro formado pelos planos oblquos alfa e beta.

- os traos, horizontal e frontal, do plano alfa fazem, respectivamente, ngulos de 45 (de abertura esquerda) e 30 (de abertura direita) com o eixo x e intersectam-se num ponto com 4 de abcissa;- os traos do plano beta intersectam-se num ponto com - 4 de abcissa;- o trao horizontal do plano beta paralelo ao trao horizontal do plano alfa, e o seu trao frontal perpendicular ao trao frontal do plano alfa.


Determine graficamente a amplitude do ngulo formado pelas rectas f e b.

- as rectas so concorrentes no ponto P (0; -4; 4)- a recta f frontal e faz um ngulo de 20 (com abertura para a direita) com o Plano Horizontal de Projeco- a recta b est contida no beta24, e a sua projeco frontal faz um ngulo de 45 (abertura para a direita) com o eixo x

153. Exame 2006 1 fase (cdigo 408)

Determine graficamente a amplitude do ngulo formado pela recta r com o plano obliquo alfa.

- a recta r paralela ao eixo x e tem 4 de afastamento e 6 de cota;- os traos, horizontal e frontal, do plano alfa fazem com o eixo x, respectivamente, ngulos de 45 e de 60 (ambos de abertura para a direita).

154. Exame de 2006-1 Fase (cdigo 708)

Determine graficamente a amplitude, alfa, do ngulo das duas rectas enviesadas n e f.

- a recta n horizontal, intersecta o Plano Frontal de Projeco no ponto Fn (-4; 0; 4) e faz, com este, um ngulo de 60 de abertura para a direita- a recta f frontal, intersecta o Plano Horizontal de Projeco no ponto Hf (4; 4; 0) e faz, com este, um ngulo de 60 de abertura para a esquerda

155. Exame de 2007 -1 Fase (cdigo 408)

Determine graficamente a amplitude do diedro formado pelos planos oblquos alfa e beta.

- os planos intersectam-se na recta de perfil p, cujos traos nos planos de projeco so os pontos H ( 3; 6; 0) e F, com 3 de cota;- os traos do plano alfa intersectam o eixo x no ponto X, de abcissa nula;- os traos do plano beta intersectam o eixo x no ponto Y, com 9 de abcissa.


Determine graficamente a amplitude do ngulo entre o plano oblquo e o plano frontal de projeco.

- o plano definido pela recta d, uma recta de maior declive que contm o ponto P (0; 4; 2);- a projeco horizontal da recta d faz um ngulo de 35, de abertura para a esquerda, com o eixo x e a sua projeco frontal faz um ngulo de 45, de abertura para a direita, com esse mesmo eixo.


Determine, graficamente, a amplitude do ngulo formado pelas rectas r e s.

a recta r paralela ao plano bissector dos diedros pares (2,4); a projeco frontal da recta r faz um ngulo de 30, de abertura para a esquerda, com o eixo x; o ponto F, trao frontal da recta r, tem 8 de abcissa e 8 de cota; a recta s concorrente com a recta r no ponto P, com 3 de cota; as projeces da recta s so perpendiculares s projeces homnimas da recta r.


Determine, graficamente, a amplitude do ngulo formado pelos planos delta e teta.

o plano delta oblquo e os seus traos, nos planos de projeco, so coincidentes o trao horizontal do plano delta cruza o eixo x num ponto com 6 de abcissa e faz um ngulo de 60, de abertura para a esquerda, com esse mesmo eixo o plano teta de topo, contm o ponto R (-5; 6; 5) e faz um diedro de 50, de abertura para a esquerda, com o plano horizontal de projeco


Determine, graficamente, a amplitude do ngulo formado pelas rectas a e p.

as rectas a e p so concorrentes no ponto C (0; 4; 5) o ponto F, trao frontal da recta a, tem 8 de abcissa e -3 de cota a recta p de perfil o ponto H, trao horizontal da recta p, tem 8cm de afastamento

SOMBRAS DE FIGURAS PLANAS SOBRE OS PLANOS DE PROJECO

160. Exame de 2002 Prova Modelo (Cdigo 408)

Represente o quadrado [ABCD], contido num plano oblquo beta.De acordo com a direco luminosa convencional, determine a sombra produzida pelo quadrado [ABCD] nos planos de projeco.Traceje, nas suas partes visveis, a sombra nos planos de projeco, utilizando linhas perpendiculares s respectivas projeces da direco luminosa.

- o centro do quadrado o ponto 0(-6; 3,5; 3);- uma das diagonais horizontal;- os traos do plano b fazem ambos ngulos de 45 (ab. para a direita) com o eixo x - o vrtice A est no trao horizontal de beta.


Represente o quadrado [ABCD], situado no 1 diedro e contido num plano vertical delta, de acordo com os dados abaixo apresentados.Utilizando a direco luminosa convencional, determine a sombra real produzida pelo quadrado [ABCD] nos planos de projeco.Represente a trao interrompido a parte invisvel do contorno da sombra projectada. Identifique as reas visveis da sombra projectada, preenchendo-as a tracejado ou com uma mancha de grafite clara e uniforme (Se optar pelo tracejado, devera faz-lo com linhas perpendiculares s respectivas projeces da direco luminosa.)

- o vrtice A tem abcissa nula, 4 de afastamento e 2 de cota;- o plano delta faz um diedro de 45 (de abertura para a direita, no 1 diedro) com o plano frontal de projeco- o vrtice B pertence ao plano frontal de projeco e tem 4 de cota.


Represente o tringulo equiltero [ABC], situado no 1 diedro e contido num plano de topo beta, de acordo com os dados abaixo apresentados.Utilizando a direco luminosa convencional, determine a sombra real projectada pelo tringulo [ABC] nos planos de projeco.Represente a trao interrompido a parte invisvel do contorno da sombra projectada. Identifique as reas visveis da sombra projectada, preenchendo-as a tracejado ou com uma mancha de grafite clara e uniforme (Se optar pelo tracejado, devera faz-lo com linhas perpendiculares s respectivas projeces da direco luminosa.)

- o centro do tringulo o ponto 0,que tem 3 de abcissa e 4 de afastamento e pertence ao bissector dos diedros mpares;- o vrtice A tem 0 de abcissa e 6 de cota e pertence ao trao frontal do plano beta.


Represente um hexgono regular [ABCDEF] situado no 1 diedro e contido num plano vertical alfa, de acordo com os dados abaixo apresentados.Utilizando a direco luminosa convencional, determine a sombra real projectada pelo hexgono nos planos de projeco.Represente a trao interrompido a parte invisvel do contorno da sombra. Identifique as reas visveis da sombra projectada, preenchendo-as a tracejado ou com uma mancha de grafite clara e uniforme (Se optar pelo tracejado, devera faz-lo com linhas perpendiculares s respectivas projeces da direco luminosa.)

- os pontos A (0; 2; 0) e B (-3; 4; 0) so dois vrtices consecutivos do hexgono

SOMBRAS DE SLIDOS SOBRE OS PLANOS DE PROJECO


Represente um prisma triangular regular, situado no 1 diedro e com uma das bases, [ABC], assente no plano horizontal de projeco, de acordo com os dados abaixo apresentados.Utilizando a direco luminosa convencional, determine a sombra prpria do prisma e a sua sombra real nos planos de projeco.Represente a trao interrompido a parte invisvel do contorno da sombra projectada.Identifique as reas visveis das sombras prpria e projectada, preenchendo-as a tracejado ou com uma mancha de grafite clara e uniforme (Se optar pelo tracejado, devera faz-lo com linhas paralelas ao eixo x, nas reas de sombra prpria, e com linhas perpendiculares s respectivas projeces da direco luminosa, nas reas de sombra projectada.)

- o vrtice A tem abcissa nula e 2 de afastamento;- o vrtice B tem 5,5 de abcissa e 3 de afastamento;- a altura do prisma 6 cm.


Represente uma pirmide triangular regular, de vrtice V, situada no 1 diedro e com a base [ABC] paralela ao plano horizontal de projeco, de acordo com os dados abaixo apresentados.Utilizando a direco luminosa convencional, determine a sombra prpria da pirmide e a sua sombra real projectada nos planos de projeco.Represente a trao interrompido as arestas invisveis e a parte invisvel do contorno da sombra projectada.Identifique as reas visveis das sombras prpria e projectada, preenchendo-as a tracejado ou com uma mancha de grafite clara e uniforme (Se optar pelo tracejado, devera faz-lo com linhas paralelas ao eixo x, nas reas de sombra prpria, e com linhas perpendiculares s respectivas projeces da direco luminosa, nas reas de sombra projectada.)

- o vrtice A tem -3,5 de abcissa, 1 de afastamento e 7 de cota;- o vrtice V pertence ao plano horizontal de projeco, tem abcissa nula e 4 de afastamento.


Represente uma pirmide quadrangular regular de base horizontal, situada no 1 diedro, de acordo com os dados abaixo apresentados.Utilizando a direco luminosa convencional, determine a sombra prpria da pirmide e a sua sombra real projectada nos planos de projeco.Identifique, a trao interrompido, as arestas invisveis do slido e a parte invisvel do contorno da sombra projectada.Identifique as reas visveis das sombras prpria e projectada, preenchendo-as a tracejado ou com uma mancha de grafite clara e uniforme (Se optar pelo tracejado, devera faz-lo com linhas paralelas ao eixo x, nas reas de sombra prpria, e com linhas perpendiculares s respectivas projeces da direco luminosa, nas reas de sombra projectada.)

- o vrtice da pirmide e o ponto V (0; 5; 9)- o ponto A (2; 1; 2,5) e um dos vrtices da base [ABCD].


Represente um prisma pentagonal oblquo de bases horizontais, situado no 1 diedro, de acordo com os dados abaixo apresentados.Utilizando a direco luminosa convencional, determine a sombra prpria do prisma e a sua sombra real projectada nos planos de projeco.Represente, a trao interrompido, as arestas invisveis e a parte invisvel do contorno da sombra projectada.Identifique as reas visveis das sombras prpria e projectada, preenchendo-as a tracejado ou com uma mancha de grafite clara e uniforme (Se optar pelo tracejado, dever faz-lo com linhas paralelas ao eixo x, nas reas de sombra prpria, e com linhas perpendiculares s respectivas projeces da direco luminosa, nas reas de sombra projectada).

- as bases do prisma so pentgonos regulares- os pontos O (0; 6; 0) e O (2,5; 6; 6,5) so os centros das bases- o vrtice A, da base de menor cota, tem abcissa nula e 2,5 de afastamento


Represente um cone de revoluo de base horizontal, situado no 1 diedro, de acordo com os dados abaixo apresentados.Utilizando a direco luminosa convencional, determine a sombra prpria do cone e a sua sombra real projectada nos planos de projeco.Represente, a trao interrompido, as partes invisveis da separatriz e do contorno da sombra projectada.Identifique as reas visveis das sombras prpria e projectada, preenchendo-as a tracejado ou com uma mancha de grafite clara e uniforme (Se optar pelo tracejado, dever faz-lo com linhas paralelas ao eixo x, nas reas de sombra prpria, e com linhas perpendiculares s respectivas projeces da direco luminosa, nas reas de sombra projectada).

- a base tem centro no ponto 0 (3; 7; 2,5) e 3 cm de raio;- o vrtice V do cone tem 10 de cota.


Represente uma pirmide hexagonal regular de base de perfil, situada no 1 diedro, de acordo com os dados abaixo apresentados.Utilizando a direco luminosa convencional, determine a sombra prpria da pirmide e a sua sombra real projectada nos planos de projeco.Identifique, a trao interrompido, a parte invisvel do contorno da sombra projectada, identifique as reas visveis das sombras prpria e projectada, preenchendo-as a tracejado ou com uma mancha de grafite clara e uniforme (se optar pelo tracejado, dever faz-lo com linhas paralelas ao eixo x, nas reas de sombra prpria, e com linhas perpendiculares s respectivas projeces da direco luminosa, nas reas de sombra projectada).

- Os pontos A (0; 3; 0) e B (0; 6,5; 0) so vrtices consecutivos do hexgono da base;- o vrtice principal da pirmide, V, fica situado 7 cm direita do plano da base.


Represente um cone oblquo de base circular, situado no 1 diedro, de acordo com os dados abaixo apresentados.Utilizando a direco luminosa convencional, determine a sombra prpria do cone e a sua sombra real projectada nos planos de projeco.Represente, a trao interrompido, as partes invisveis da separatriz e do contorno da sombra projectada.Identifique as reas visveis das sombras prpria e projectada, preenchendo-as a tracejado ou com uma mancha de grafite clara e uniforme (Se optar pelo tracejado, dever faz-lo com linhas paralelas ao eixo x, nas reas de sombra prpria, e com linhas perpendiculares s respectivas projeces da direco luminosa, nas reas de sombra projectada).

- a base horizontal, tem centro no ponto O (0; 5; 6) e tem 4cm de raio- o vrtice V do cone tem 2 de abcissa, 5 de afastamento e 1 de cota


Represente um cubo, situado no 1 diedro, de acordo com os dados abaixo apresentados.Utilizando a direco luminosa convencional, determine a sombra prpria do cubo e a sua sombra real projectada nos planos de projeco.Identifique, a trao interrompido, as arestas invisveis e a parte invisvel do contorno da sombra projectada.Identifique as reas visveis das sombras prpria e projectada, preenchendo-as a tracejado ou com uma mancha de grafite clara e uniforme (se optar pelo tracejado, dever faz-lo com linhas paralelas ao eixo x, nas reas de sombra prpria, e com linhas perpendiculares s respectivas projeces da direco luminosa, nas reas de sombra projectada).

- a face [ABCD] do cubo paralela ao plano frontal de projeco;- os pontos A e B so dois vrtices consecutivos da face [ABCD];- o vrtice A tem abcissa nula, 2 de afastamento e 5 de cota;- o vrtice B tem 4 de abcissa e 3 de cota.


Represente uma pirmide quadrangular regular de base horizontal, situada no 1 diedro, de acordo com os dados abaixo apresentados.Utilizando a direco luminosa convencional, determine a sombra prpria da pirmide e a sua sombra real projectada nos planos de projeco.Represente, a trao interrompido, as arestas invisveis do slido e as partes invisveis do contorno da sombra projectada.Identifique as reas visveis das sombras prprias e projectada, preenchendo-as a tracejado ou com uma mancha de grafite clara e uniforme (se optar pelo tracejado, dever faz-lo com linhas paralelas ao eixo x, nas reas de sombra prpria, e com linhas perpendiculares s respectivas projeces da direco luminosa, nas reas de sombra projectada.)

- o vrtice da pirmide o ponto V (0; 6; 0);- o ponto A (3,5; 8; 6) um dos vrtices da base [ABCD].


Represente, em dupla projeco ortogonal, uma pirmide triangular regular de base frontal, de acordo com os dados abaixo apresentados.Utilizando a direco luminosa convencional, determine a sombra prpria da pirmide e a sua sombra real projectada nos planos de projeco.Represente, a trao interrompido, as arestas invisveis do slido e as partes invisveis do contorno da sombra projectada.Identifique as reas visveis das sombras prprias e projectada, preenchendo-as a tracejado ou com uma mancha de grafite clara e uniforme (se optar pelo tracejado, dever faz-lo com linhas paralelas ao eixo x, nas reas de sombra prpria, e com linhas perpendiculares s respectivas projeces da direco luminosa, nas reas de sombra projectada.)

- O ponto A (4; 7; 3) um dos vrtices da base [ABC]- O vrtice principal, V, tem 0 de abcissa, 1,5 de afastamento e 4,5 de cota


Represente, em dupla projeco ortogonal, um cone de revoluo de base horizontal, de acordo com os dados abaixo apresentados.Utilizando a direco luminosa convencional, determine a sombra prpria do cone e a sua sombra real projectada nos planos de projeco.Identifique, a trao interrompido, as geratrizes invisveis da linha separatriz de luz/sombra do slido, na sombra prpria, e as partes ocultadas do contorno da sombra projectada.Identifique as reas visveis das sombras prpria e projectada, preenchendo-as a tracejado ou com uma mancha de grafite clara e uniforme (Se optar pelo tracejado, dever faz-lo com linhas paralelas ao eixo x, nas reas de sombra prpria, e com linhas perpendiculares s respectivas projeces da direco luminosa, nas reas de sombra projectada.)

- o plano horizontal que contm a base do slido tem 5,5 de cota;- o vrtice V do cone um ponto do semiplano horizontal anterior com 2 de abcissa e 7,5 de afastamento;- o raio da circunferncia da base mede 3,5 cm.


Represente pelas suas projeces um cilindro de revoluo, de acordo com os dados abaixo apresentados.Utilizando a direco luminosa convencional, determine a sombra prpria do cilindro e a sua sombra real nos planos de rojeco.Identifique, a trao interrompido, a parte invisvel da linha separatriz de luz/sombra do slido, na sombra prpria, e as partes ocultadas do contorno da sombra projectada.Identifique as reas visveis das sombras prpria e projectada, preenchendo-as a tracejado ou com uma mancha de grafite, clara e uniforme.

- as bases so horizontais;- o ponto O (4; 7; 8) o centro de uma das bases;- a base de centro O tem 2 de cota;- o raio das bases mede 4 cm.


Represente, pelas suas projeces, um cone de revoluo, de acordo com os dados abaixo apresentados.Determine a sombra prpria do cone e a sua sombra real nos planos de projeco, utilizando a direco luminosa convencional.Identifique, a trao interrompido, a parte invisvel da linha separatriz de luz/sombra, na sombra prpria, e a parte ocultada do contorno, na sombra projectada.Identifique as reas visveis das sombras prpria e projectada, preenchendo-as a tracejado ou com uma mancha de grafite, clara e uniforme.Nota: Se optar pelo tracejado, dever faz-lo com linhas paralelas ao eixo x, nas reas de sombra prpria, e com linhas perpendiculares s respectivas projeces da direco luminosa, nas reas de sombra projectada.Dados: a base est contida no plano frontal e tem 4 cm de raio; o centro da base o ponto O, que pertence ao plano bissector dos diedros mpares (1,3) e tem2 de abcissa e 8 de afastamento; o vrtice o ponto V, com 1 cm de afastamento.


Determine a sombra prpria e a sombra real de um prisma pentagonal regular, nos planos de projeco, de acordo com os dados abaixo indicados.Ponha em destaque, quer o contorno da sombra real nos planos de projeco, quer as projeces do prisma. Indique, a trao interrompido, as linhas invisveis, quer no slido, quer na parte ocultada do contorno da sua sombra projectada nos planos de projeco.Identifique as reas visveis das sombras prpria e projectada, preenchendo-as a tracejado ou com uma mancha de grafite, clara e uniforme.Nota: Se optar pelo tracejado, dever faz-lo com linhas paralelas ao eixo x, nas reas de sombra prpria, e com linhas perpendiculares s respectivas projeces da direco luminosa, nas reas de sombra projectada.

- as bases esto contidas em planos de perfil- os pontos O (2; 4,5; 6) e A (2; 0; 6) so, respectivamente, o centro e um dos vrtices da base [ABCDE];- o plano de perfil da outra base tem -5 de abcissa;- a direco luminosa a convencional.


Determine a sombra prpria e a sombra real nos planos de projeco, de um cilindro oblquo de basescirculares, situado no 1. diedro.Ponha em destaque quer o contorno da sombra real nos planos de projeco, quer as projeces docilindro.Identifique, a trao interrompido, as linhas invisveis, quer no slido, quer na parte ocultada do contorno dasua sombra projectada nos planos de projeco.Identifique as reas visveis das sombras prpria e projectada, preenchendo-as a tracejado ou com uma mancha de grafite clara e uniforme.Nota Se optar pelo tracejado, dever faz-lo com linhas paralelas ao eixo x, nas reas de sombra prpria, e com linhas perpendiculares s respectivas projeces da direco luminosa, nas reas de sombra projectada.

o cilindro tem bases frontais cujo raio mede 4,5 cm; o ponto O (0; 0; 8) o centro de uma das bases; o ponto O', centro da outra base, tem 4,5 de cota; o eixo do cilindro de perfil e faz um ngulo de 70 com o plano frontal de projeco; a direco luminosa a convencional.179. Exame de 2012 - 1 fase (cdigo 708)

Determine a sombra prpria e a sombra projetada nos planos de projeo de uma pirmide quadrangular oblqua, de base regular contida num plano de perfil e situada no 1. diedro.Destaque, a trao mais forte, as projees da pirmide e o contorno da sua sombra projetada nos planos de projeo.Identifique, a trao interrompido, as linhas invisveis, quer no slido, quer na parte ocultada do contorno dasua sombra projetada nos planos de projeo.Identifique as reas visveis das sombras, prpria e projetada, preenchendo-as a tracejado ou com umamancha de grafite clara e uniforme.Nota Se optar pelo tracejado, dever faz-lo com linhas paralelas ao eixo x, nas reas de sombra prpria, e com linhas perpendiculares s projees da direo luminosa, nas reas de sombra projetada.

os pontos A (0; 0; 3) e B (0; 4; 0) so dois dos vrtices da base [ABCD] da pirmide; a aresta lateral [AV] fronto-horizontal; o vrtice V tem 10 de abcissa;

a direo luminosa a convencional.

SECES PRODUZIDAS EM SLIDOS


Represente, em dupla projeco ortogonal, uma pirmide pentagonal regular de base horizontal e ainda um plano de topo pi. Representa as projeces do contorno da seco produzida na pirmide pelo plano de topo e determina a verdadeira grandeza da seco.Identifica, a trao interrompido, as arestas invisveis da pirmide. Preencha a tracejado, a verdadeira grandeza da seco.

- O ponto A (-5; 9; 1,5) um dos vrtices da base [ABCDE] da pirmide- O vrtice principal, V, tem -5 de abcissa, 5 de afastamento e 7 de cota- O plano de topo faz 35 (a.p.d.) com o P.H.P., e contm o vrtice mais esquerda da base da pirmide.

181. Exame de 2007- 1 fase (cdigo 708)

Determine as projeces da seco produzida pelo plano de topo beta num prisma hexagonal oblquo de bases frontais.Ponha em destaque, a trao mais forte, a parte do prisma delimitada pela seco, que contm a base situada mais esquerda. Preencha a tracejado a projeco horizontal da seco, e identifique, a trao interrompido, as arestas invisveis da parte do slido que foi posta em destaque.

- as bases do prisma so hexgonos regulares com 2,5 cm de lado e com uma diagonal maior vertical- o centro da base de menor afastamento o ponto O (4; 0; 4)- as arestas laterais so horizontais e fazem ngulos de 50, de abertura para a direita, com o plano frontal de projeco- os dois vrtices mais direita, na base de centro O, tm a mesma abcissa dos dois vrtices mais esquerda da outra base- o plano beta contm o ponto de abcissa 3 do eixo x e faz um ngulo de 55, de abertura para a esquerda, com o plano horizontal de projeco.


Represente pelas suas projeces uma piramide pentagonal obliqua com base contida no plano horizontal de projeco e, ainda, um plano de rampa , de acordo com os dados abaixo apresentados.Determine as projeces do contorno da seco produzida na pirmide pelo plano . Identifique, a trao interrompido, as invisibilidades nas arestas da pirmide e no contorno da seco.

- a base [ABCDE] um pentgono regular inscrito numa circunferncia de centro O (4; 5; 0) e 5 cm de raio;- a face lateral [ABV] frontal, representa um tringulo issceles, e os vrtices A e B, da base, so os de menor afastamento;- o vrtice V da pirmide tem 9 de cota;- o trao horizontal do plano tem 11 de afastamento e o seu trao frontal tem 5 de cota.183. Exame de 2010 - 1 Fase (cdigo 708)

Represente, pelas suas projeces, o slido resultante da seco produzida pelo plano de topo numcone de revoluo, de acordo com os dados abaixo apresentados.Ponha em destaque, a trao mais forte, a parte do cone delimitada pelo plano secante e pelo plano dabase. Preencha a tracejado a projeco visvel da seco.

a base est contida num plano horizontal; o vrtice V (0; 6; 10) e o ponto A (5; 6; 2) so os extremos de uma das geratrizes do contorno aparentefrontal; o plano de topo contm o ponto mdio do eixo do cone e paralelo geratriz [AV].184. Exame de 2012 - 2 Fase (cdigo 708)

Represente, pelas suas projees, o slido resultante da seco produzida por um plano de topo numprisma triangular oblquo de bases regulares horizontais, situado no 1. diedro.Destaque, a trao mais forte, a parte do prisma delimitada pelo plano secante e pelo Plano Horizontal deProjeo. Identifique, a trao interrompido, as arestas invisveis do slido resultante. Preencha, a tracejado, a projeo visvel da seco.

o ponto A (7; 4; 0) e o ponto B (1; 5; 0) so dois dos vrtices do tringulo [ABC] de uma das bases doprisma; a aresta lateral [AA'] tem as suas projees horizontal e frontal a fazerem, respetivamente, ngulosde 25, de abertura esquerda, e 45, de abertura direita, com o eixo x; o vrtice A' pertence ao Plano Frontal de Projeo; o plano contm um ponto do eixo x com 6 de abcissa e o seu trao frontal faz um ngulo de 30, deabertura para a direita, com

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