LycéePierredeFermat–MPSI2–DS5 Page1/7

Exercice1:Etudedelacommandedehauteurd’unsimulateurdevol

L’apprentissagedupilotageou laqualificationdespilotessurunnouveautyped’appareilrequiertdenombreusesheuresdeformation«ensituation».A cet effet, le simulateur de vol se substitueavantageusement au vol réel, tant au niveau ducoût de la formation que de l’étendue dessituations qui peuvent être reproduites en toutesécurité.Lamiseenmouvementdusimulateurestréaliséepar des servovérins électrohydrauliques linéairesdissymétriques qui sont asservis en position (cf.photographiedel’actionneur).Chaque actionneur est alimenté à pressionconstante à partir d'une centrale hydraulique. Leservodistributeurmodule le débit fourni au vérin à partir du signal électrique issude la carte électroniqued'asservissement. Le vérin comporteun capteurdepositionmagnétostrictif, installé à l'intérieurde la tige.L'ensemble réaliseunasservissementdepositiondont la consigneest fourniepar le calculateur centraldesimulationetquidoitsatisfairelecahierdeschargessuivant:

-erreurstatiqueinférieureà1mmenprésenced'unechargeextérieurede8000N,-erreurdetraînageinférieureà1/25delapentedelaconsigne,-systèmestableavecunemargedegainégaleà10dB.

Remarque:Touslescalculsseronteffectuésenconsidérantquelapressionderetourauréservoirestnulle(ontravailledoncenpressionrelativedanslasuitedel'étude).

Devoirsurveillén°5 Note: MPSI

Nom:

Capteur

Vérin

Servodistributeur

Photodel’actionneur

Architecturedusimulateur

y!⃗

x!⃗

z⃗

Y+

/16pts

LycéePierredeFermat–MPSI2–DS5 Page2/7

1. Dynamiquenaturelledel'activationenhauteurCettepartieapourobjectifdemettreenévidencelecomportementnaturelhydromécaniquedelafonction

commandeenhauteur.L'analyseducomportementnatureldel'ensemble"charge–servovérinnoncommandé–compensateur"estuneétapepréliminaireàl'étudedel'asservissementdeposition.D'unpointdevuesystème,leservovérinsecomportecommeunressortàcausedelacompressibilitédel'huile.La masse mobile ramenée au vérin vautm = 800 kg. La raideurhydrauliqueestdirectementliéeàlagéométrieduvérinetvautrh=7.106 N.m-1. Le vérin de compensation se comporte comme ungénérateurd'effortconstantquiéquilibreexactementlachargedepesanteur. Les diverses dissipations dans le vérin (fuites entrechambres et frottements) produisent un effort qui est assimilé,poursimplifier,àun frottementvisqueuxdecoefficient f.Comptetenudecesconsidérations,lecomportementnaturelenhauteurdusimulateurpeutêtrecaractériséparleschémaci-contre:On rappelle que l'effort élastique est proportionnel à l'élongation du ressort (coefficient rh) et que l'effortdissipatifestproportionnelàlavitessed'élongation(coefficientf).Q1:LePrincipeFondamentaldelaDynamiqueappliquéàlamassemobilepermetd’écrire:

F(t) - rh.y(t) - f .dy(t)dt

=m.d2y(t)dt2

EndéduirelafonctiondetransfertliantlapositionverticaleY(p)dusimulateuràl'effortdeperturbationF(p)enprécisantlesconditionsinitiales.Y(p)etF(p)sontlestransforméesdeLaplacerespectivesdey(t)etF(t). Q2:Donnerl'expressiondesparamètrescaractéristiquesdecettefonctiondetransfert.L'effetdissipatifdecoefficientfpeutêtreajustéparunefuitecalibréeentreleschambresduvérin.Q3:Donnerlavaleurdececoefficientfqu'ilfaudraitréaliserpourobteniruncoefficientd'amortissementde0,5.Donnerlavaleurnumériquedelapulsationproprenonamortiedecesystème.

Touteslespartiessontindépendantes

LycéePierredeFermat–MPSI2–DS5 Page3/7

2. Commandeproportionnelledelahauteurdusimulateur

Cettepartieportesurladéterminationdesperformancesencommandeproportionnellepure.Ellepermetégalementdespécifierleservodistributeuretlecapteurdupointdevuedynamique.

L'actionneurdehauteurestasservienpositionselonleschémablocsuivant:La consigne yc est élaborée par le calculateur en fonction des accélérations à reproduire sur le pilote. Lecourantdecommandeiduservodistributeurestélaboréàpartirdel'écartdepositionεparunamplificateurproportionneldegainKa.La modélisation puis la linéarisation des différentes équations caractérisant l'activation en hauteur afinalementfourniletransfertsuivant:

Y(p) = Kv

p.(1+τcp). 1+2zsωs

p + 1ωs

2 p2

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟. 1+

2zhωh

p + 1ωh

2 p2

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

I(p) (1)

avec ωh = 94rd.s-1,zh=0,05etKv=40m.A-1s-1. On retrouve au passage le second ordre hydromécanique (ωh, zh) engendré par la combinaison masse –ressorthydrauliquedéterminéquestion2.Lavaleurtrèsfaiblede0,05pourlecoefficientd'amortissementestrelative au seul amortissement naturel du servovérin. Il apparaît également un second ordre lié à ladynamiqueduservodistributeur (ωs, zs),etunpremierordreliéàladynamiqueducapteurdeposition(τc).

Q4:Exprimerlafonctiondetransfertenboucleouverte FTBO(p)= Y(p)ε(p)

.Donnersonordre,saclasseetson

gainstatiquenoték. On néglige dans un premier temps la dynamique du servodistributeur et du capteur dans la fonction de

transfertenboucleouverte:soitτcet1ωs

négligeables,donc Y(p) = Kv

p. 1+ 2zhωh

p + 1ωh

2 p2

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

I(p) .

Q5:Tracersurlediagrammepagesuivante,lediagrammeasymptotiquedeBodedelaFTBOpourk=1s-1enfaisantclairementapparaîtrelesgrandeurscaractéristiques(pentes,cassures,valeursparticulières).Q6:Déterminerlavaleurdelapulsationω1,correspondantàlaphase-180°. Pour assurer une bonne stabilité de l’asservissement, le gain à la pulsationω1 doit être égal à -10dB. Ceréglagecorrespondàlamargedegainde10dBpréciséedanslecahierdescharges.Q7:Déterminerl’expressiondugainKadanscecasenfonctiondezh,ωhetKv. Fairel’applicationnumérique(préciserl’unitédeKa).

Ka servovérin+ - I(p)ε(p) Y(p)Yc(p)

LycéePierredeFermat–MPSI2–DS5 Page4/7

Afin que la dynamiquedu servodistributeur n'affecte pas les performancesde l'asservissement, on imposequesapulsationproprenonamortiesoitaumoinsletripledecelleduvérin.Q8:Enjustifiantvotreréponse,choisiruneréférencedeservodistributeurdanslalistedutableausuivant:

Référence Débitnominal Fréquencepourundéphasagede90°

(l/mn) (Hz)Moog72-101 95 70Moog72-102 160 55Moog72-103 228 35

De même, l'électronique de conditionnement du capteur de position intègre un filtre passe bas qui estassimilableàunsystèmedupremierordredeconstantedetempsτc(voirexpression(1)pageprécédente).Q9:Calculer lavaleurdesaconstantede tempsmaximalepourque ledéphasage introduitpar la fonction"capteur"àlapulsation ωh =94rd.s-1soitseulementde–10°. Quelleestalorslabandepassanteà–3dBdelamesuredeposition?Q10:Danslazonequiseraitmodifiée,tracerdansuneautrecouleurlenouveaudiagrammeasymptotiquedeBodelorsquel’onprendencompteleservodistributeuretl’électroniqueducapteur.

LycéePierredeFermat–MPSI2–DS5 Page5/7

3. VérificationdesperformancesOncherchemaintenantàévaluerl’écartstatiqueenprésenced’uneffortextérieuréquivalentaupoidsdela

cabinedu simulateur. Pourcela,leschéma-blocdel'actionneurestreprésentésouslaformesuivante:

avec A = 30a+bp

etB = a+bp

p(1+ 2zhωh

p + 1ωh

2 p2)avec a=1,2.10-5 et b =1,3.10-7

Q11:Démontrerque ε(p)F(p)

= a+bp

30+p+ 2zhωh

p2 + 1ωh

2 p3lorsquel’entréeyc=0.

Q12: En appliquant le théorème de la valeur finale, en déduire l’écart en régime permanent ε∞ pour unéchelond’effortextérieurF0=8000N.Compareraveclavaleurducahierdescharges.

4. AméliorationdesperformancesComptetenudesconclusionsprécédentes,uneaméliorationestenvisagéeenutilisantunfiltresériedetype

réjecteur.Installéensérieavecl'amplificateurd'erreurdegainKa,cefiltretrou(oufiltreréjecteur)apourfonctionde

transfert:G(p) =1+ 2zn

ωh

p + 1ωh

2 p2

1+ 2zdωh

p + 1ωh

2 p2aveczn=0,05etzd=0,5.

Q13:Tracerl’alluredudiagrammedegaindudénominateurdeG(p).Q14:Tracerdemêmel’alluredudiagrammedegaindunumérateurdeG(p).Q15:Endéduirel’alluredudiagrammedegaindelafonctiondetransfertG(p).Justifierletermedefiltretrououréjecteuretdonnerlavaleurdela«profondeur»dutrouendB.Cefiltrepermetd’améliorerlaprécisiondusystèmetoutenconservantunebonnestabilité.

A+ - ε(p) Y(p)Yc(p) B+ -

F servovérin

LycéePierredeFermat–MPSI2–DS5 Page6/7

Exercice2:LeréducteurHARMONICDRIVE Dans les réducteurs classiques, les roues dentées tournent autour d’axes fixes par rapport au bâti. Lesrapportsderéductionvarientalorsde1à1/10parétage.Ilestpossibleaveccertainsréducteursd'obtenirunrapportderéductionde1/10à1/100enunseulétage.Danscecasl'encombrementestréduit.Nousallonsétudiericideuxsolutionsbaséessurlemêmeprincipecinématique.

1. Principedebase Une roue 2 (rayon r) entraînée par unexcentrique 1 roule sans glisser sur unecouronneliéeaubâti0(rayonR).Q1: Ecrire la condition de roulement sansglissement en I, puis la composition desmouvementsenpassantparl’excentrique1.Q2: En utilisant la relation établie en Q1 eten passant par l’axe de rotation de chaquemouvement,démontrerque

!!/!!!/!

= − !!.

Q3:Endéduireque!!/!!!/!

= − !!!!.

Principaux problèmes propres à cettecinématique:Ø L’axederotationdel'arbredesortieparrapportaubâtin’estpasfixe.Ø Leseffortssontsupportésparunpetitnombrededents.

2. Solutionalternative:leréducteur"HarmonicDrive"

L’HarmonicDrive"aétéimaginéparl'inventeurdegénieC.W.Musser(photo1).Celuiciadéposépasmoinsde1500brevetsdansdiversesbranchesdessciencesettechniques.Le principe de l'Harmonic Drive est basé sur ladéformation d'une roue dentée appeléeFLEXSPLINE (photo 2 et figure 1). Le WAVEGENERATOR possède une forme elliptique etcontraint le contact entre lesdentsdu flexplineet la couronne du CIRCULAR SPLINE (environ

15%desdentssontencontact).LenombrededentsentreFLEXSPLINEetCIRCULARSPLINEesttrèsproche.Surlafigure1ladéformationaétéexagérée

Photo1

Photo2

O

A

I

X0

X1

X2

0

0

1

2

/4pts

LycéePierredeFermat–MPSI2–DS5 Page7/7

Figure1

CS

WG

FS

Performances:Couplede0.3N.mà12000N.mRéduction:de1/50à1/320Jeuangulaireinférieureàuneminuted’angleRendement:jusqu’à90%Ilestpossibled'obtenirdifférentsrapportsderéductionsuivantl'entréeetlasortiechoisies.Q4:Faire l’analogieavec leprincipedebaseen identifiant lenumérodespiècescorrespondantàCS,FSetWG.Q5: Justifierdanschaquecas lecalculdu rapportde réductionetcompléter le tableauci-dessouspourunréducteurdontlesnombresdedentssontrespectivementZCS=202dents;ZFS=200dents

Cas1 Cas2 Cas3Entrée WG WG FSSortie FS CS CSPiècefixe(bâti) CS FS WG

Rapportderéductionbâtie

bâtis

/

/ωω

ρ =

expriméenfonctiondesnombresdedents

Applicationnumérique:ρ=… Q6:Expliquercommentlesproblèmespropresaumécanismedebasedécritsdanslapremièrepartieontétérésolus.