MATEMATICAS Nombre:Derivadas y aplicaciones

12/12/2014Tiempo disponible: 60 minutos

1. (3 puntos) Calcula la primera derivada de las siguientes funciones:

(a) (1 punto) f(x) =1 + ln x

x2.

(b) (1 punto) f(x) = (sin x)cosx

(c) (1 punto) f(x) = ln

1 + x2

1 x2

2. (2 puntos) Sea f(x) = x3+ax2+bx+x. Sabemos que la grafica de esta funcion es tangen-te a la recta y = x+ 3 en el punto de abscisa x = 1, y que en el punto de abscisa x = 1la recta tangente es paralela a la recta anterior. Calcula el valor de los parametros a, b y c.

3. (1 punto) Calcula el lmite: lmx0

x

sinx.

4. (2 puntos) La grafica correspondiente a la derivada de una funcion f(x) es la siguiente:

(a) (1 punto) Explica razonadamente que valores de x corresponden a maximos y mni-mos relativos de f(x).

(b) (1 punto) Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la funcionf(x).

5. (2 puntos) Dentro de un triangulo rectangulo, de catetos 3 y 4 cm, hay un rectangulo.Dos lados del rectangulo estan situados en los catetos del triangulo y uno de los verticesdel rectangulo es la hipotenusa del triangulo.

(a) (1/2 punto) Haz un esquema de la situacion descrita.

(b) (1/2 punto) Si x es la longitud del lado del rectangulo que se encuentra en el catetomenor e y es el otro lado del rectangulo, comprueba que se cumple que 4x+3y = 12.

(c) (1 punto) Determina las dimensiones del rectangulo para que el area sea maxima.

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