Upload
phamnhan
View
223
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
José Aurelio Pina Romero JULIO 2014 MII
www.pinae.es 1
EXAMEN DE SELECTIVIDAD JULIO 2014. MATEMÁTICAS II
OPCIÓN A
Problema A.1. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
a) El valor del determinante de la matriz
531
111
122
S , (2 puntos) y la matriz S -1 , que es la
matriz inversa de la matriz S. (2 puntos). Indicar la relación entre que el valor del determinante de
una matriz S sea o no nulo y la propiedad de que esta matriz admita matriz inversa S -1 . (1 punto).
1
332313
322212
312111
1
020S Si
411
22 4
31
22 4
31
11
111
12 11
51
12 6
51
11
311
12 13
53
12 235
53
11
444
1116
3132
20
11
2051510612310
531
111
122
S
SSS
SSS
SSS
AdjS
S
SS
t
CON WIRIS
José Aurelio Pina Romero JULIO 2014 MII
www.pinae.es 2
b) El determinante de la matriz (4( T2 )) -1 , sabiendo que T es una matriz cuadrada de 3 filas y que 20 es
el valor del determinante de dicha matriz T. (3 puntos).
25600
1
202064
1
64
1
4
13x3 matrizser por
4
11T que dado4
2232
112
TTTTT
CON WIRIS
c) La solución a de la ecuación
143
421
31
143
421
31
2
22
2
a
aa
aa
a
aa
aa
(2 puntos).
Para averiguar el valor de a que cumple la ecuación anteriormente descrita, cada uno de los términos de las
matrices deben cumplir la igualdad, y nos queda:
1a esecuación la de asolución la por tanto Y
22
4
2
16164044
12
31
22
31
2
31
2
81102
044
02
44
11
2
2
2
2
2
2
aaa
aaa
aa
aa
aa
aa
José Aurelio Pina Romero JULIO 2014 MII
www.pinae.es 4
Problema A.2. Se dan los puntos A 1, 5, 7y B 3, 1, 1.
Se pide obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
a) Las ecuaciones de los planos y que son perpendiculares a la recta r que pasa por los
puntos A y B, sabiendo que el plano pasa por el punto A y el plano pasa por el punto
medio del segmento cuyos extremos son los puntos A y B. (4 puntos distribuidos en 2 puntos
por cada plano).
Primero construimos la recta r, a partir de los puntos A y B, para ello necesitamos un vector director.
0244z-3y- x:
24D0D28-15-10D74-53-1
solicitan. nos que plano delecuación la
cumple entonces , A comoy nte,independie términodel valor elaveriguar falta Nos
0d4z-3y- x:
entonces r, alar perpendicu es Como
47
35
1
:
7,5,1
4,3,18,6,27,5,11,1,3
1
1
1
1 1
nd
z
y
x
r
A
ABBAd
r
r
0164z-3y- x:
16D0D12-6-20D34-23-2
solicitan. nos que plano delecuación la
cumple entonces , comoy nte,independie términodel valor elaveriguar falta Nos
0d4z-3y- x:
entonces r, alar perpendicu es Como
3,2,22
17,
2
15,
2
31
2
2
2
2 2
AB
r
AB
PM
nd
PM
José Aurelio Pina Romero JULIO 2014 MII
www.pinae.es 6
b) La distancia entre los planos y . (2 puntos).
u 2626
2626
26
26
26
26
431
4216,
paralelos. planos dos de distancia la ante Estamos
222222
12
21
CBA
DDd
CON WIRIS
José Aurelio Pina Romero JULIO 2014 MII
www.pinae.es 7
c) Las ecuaciones de la recta r que pasa por los puntos A y B, (2 puntos), y los puntos de la
recta r que están a distancia 3 del punto C (1, 0, 1) . (2 puntos).
3,2,2147,135,11X
1,1,3247,235,21X
:son piden nos quey igualdad, lacumplen que puntos los Por tanto
126
1339
226
1339
26
1339
26
16939
26
1352152139
132
261343939
0263913
0527826
936481625309
36453
34715311
3,/
47
35
1
:
7,5,1
4,3,18,6,27,5,11,1,3
2
1
2
2
2
222
222
222
CXdrX
z
y
x
r
A
ABBAd r
CON WIRIS
José Aurelio Pina Romero JULIO 2014 MII
www.pinae.es 8
Problema A.3. Sea f la función real definida por f (x) = xex - 3x .
Se pide la obtención razonada, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado, de:
a) Los puntos de corte de la curva y = f (x) con el eje X. (2 puntos).
0,0 corte de Punto
00300y
0)(x Y EJE EL CON CORETES
ln3,0 0,0 corte de Puntos
3ln303
00303ex
0)y ( X EJE EL CON CORTES
0
3x
e
xee
xexx x
x
CON WIRIS
José Aurelio Pina Romero JULIO 2014 MII
www.pinae.es 9
b) El punto de inflexión de la curva y = f (x) , (2 puntos), así como la justificación razonada de que la
función f es creciente cuando x > 2 . (2 puntos).
2 xcuando creciente es xf Por tanto0342.7734)3('
3e1'
2. xcuando creciente esfunción la entonces cera, quemayor es resultante valor el si
,3y'calcular y derivada primera lacalcular a vamos2, xcuando creciente es f que justificar Para
262,- inlfexión de Punto
2623e2- y(-2)
inflexión de puntoun hay 2- En x 01
e322'''
e3e2e'''
solución tieneNo 0e
2020e2e2e1e''
3e13e'
3e xy
derivada. terceralaen positivo es derivada segunda la anula que punto el
quecomprobar y cero, aigualar e derivada segunda lacalcular quehay inflexión de punto elhallar Para
3
x
2
2
2-
2
2-
xxx
x
xxxx
xx
x
ey
xy
e
e
ey
xxy
xxxxxy
xxey
x
x
José Aurelio Pina Romero JULIO 2014 MII
www.pinae.es 11
c) El área limitada por el eje X y la curva y = f (x) , cuando 0 ≤ x ≤ ln3, donde ln significa logaritmo
neperiano. (4 puntos).
51459,023ln32
33ln
2
0301
2
3ln33ln1
2
313-
1
2
31 3 3
2
2
0
2
3ln
3ln
0
23ln
0
2
eex
exdxxex
exeexdxeexdxex
edxevdxedv
dxduxu
xexdxxdxexdxxex
xx
xxxxxx
xxx
xxx
CON WIRIS
José Aurelio Pina Romero JULIO 2014 MII
www.pinae.es 12
OPCIÓN B
Se tiene el sistema de ecuaciones lineales
214
42
421
zyx
zyx
zyx
donde es un parámetro
real.
Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
a) Los valores del parámetro para los que el sistema es incompatible. (3 puntos).
compatibleSistema In rg(A*)Arg
A*A*
?, rg(A*)Arg Si
e valores dión de losos en func) Discutim
A
SIArg
Arg
Arg
32
0484032201636
854
421
412
4
854
421
412
4
24
1
22
26
42
26
2
26
2
32366
086961121814411
141
211
121
2141
4211
4121
141
211
121
A
ampliada. matriz lay escoeficient de matriz laconstruir necesito ello Para
Arg Si
SCI incógnitas de nºArg Si
SCD incógnitas de nºArg Si
.ecuaciones de sistema del ilidadincompatib la averiguo Frobenius-Rouché de teoremael Mediante
11
22
*
*
*
*
José Aurelio Pina Romero JULIO 2014 MII
www.pinae.es 13
CON WIRIS
b) Los valores del parámetro para los que el sistema es compatible y determinado. (3 puntos).
SCD incógnitas de nº 3*)(22y 4
SCD incógnitas de nºArg Si *
ArgArg Si
Arg
José Aurelio Pina Romero JULIO 2014 MII
www.pinae.es 14
c) Todas las soluciones del sistema cuando 2 . (4 puntos).
,,3
,3
125,,
3
1254
32,,
303
42
:queda nosY
2F2F3 que puesto 3 fila la Eliminamos
0260
0130
4121
21
21
4341
4211
4121
:queda nos Gauss aplicando
434
42
42
2
214
42
421
zyx
xzyzy
zyx
FF
FF
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
CON WIRIS
José Aurelio Pina Romero JULIO 2014 MII
www.pinae.es 15
Problema B.2. Se dan las rectas
10
0:
z
yxr y
13
8:
zyx
yxs
Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
a) Un vector director de cada recta (2 puntos) y la posición relativa de las rectas r y s. (2 puntos).
cruzan se sy r rectas las3*2
3*1055500005
500
011
811
?*
2211
11
?
500
011
811
*
00
11
1-1
M
:recta cada de puntoun y directores vectoressus mediante relativaposición laestudiar a vamosAhora
5,0,8
5,0,8
0,1,1
5
8
:
5813
8
13
8:
10,0,0
0,1,1
10
:
10,,10
0:
MrgMrg
Mrg
Mrg
Mrg
Mrg
M
ArAsArAs
As
d
z
y
x
s
z
xy
zyx
yxs
Ar
d
z
y
x
r
zxyz
yxr
r
r
José Aurelio Pina Romero JULIO 2014 MII
www.pinae.es 17
b) La ecuación del plano que contiene a la recta s y es paralelo a la recta r. (3 puntos).
Si el plano contiene a la recta s, entonces el vector director de la recta s es vector director del plano. Y
puesto que el plano es paralelo a r, el vector director de r es también vector director del plano solicitado.
Finalmente el punto de la recta s es un punto del plano. Así pues:
501020550
005z
11y
118-x
:general formaEn
5
8
:
5,0,8
0,1,1
0,1,1
2
1
zzzz
z
y
x
A
d
d
s
s
r
CON WIRIS
José Aurelio Pina Romero JULIO 2014 MII
www.pinae.es 18
c) La distancia entre las rectas r y s. (3 puntos).
52
10
011
011
500
011
811
,,
,
kjidxd
AAdd
srd
sr
srsr
CON WIRIS
José Aurelio Pina Romero JULIO 2014 MII
www.pinae.es 19
Problema B.3. Un club deportivo alquila un avión de 80 plazas para realizar un viaje a la empresa VR. Hay
60 miembros del club que han reservado su billete. En el contrato de alquiler se indica que el precio de un billete será
800 euros si sólo viajan 60 personas, pero que el precio por billete disminuye en 10 euros por cada viajero adicional a
partir de esos 60 viajeros que ya han reservado el billete.
Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
a) El total que cobra la empresa VR si viajan 61, 70 y 80 pasajeros. (1 punto).
Primero construimos la función que nos permite calcular el precio total que cobra la empresa VR en función
de un número “X” de pasajeros, siendo P(x) el precio total y X el número de viajeros.
P(x) = (60+x) (800 – 10x) 0 ≤ x ≤ 20
Cuando viajan 61 pasajeros x= 1
Cuando viajan 70 viajeros x= 10
Cuando viajan 80 pasajeros x=20
P(1) = (60+1) (800 – 10*1) = 61 * 790 = 48.190€
P(20) = (60+10) (800 – 10*10) = 70 * 700 = 49.000€
P(1) = (60+20) (800 – 10*20) = 80 * 600 = 48.000€
CON WIRIS
José Aurelio Pina Romero JULIO 2014 MII
www.pinae.es 20
b) El total que cobra la empresa VR si viajan 60 + x pasajeros, siendo 0 ≤ x ≤ 20. (4 puntos).
P(x) = (60+x) (800 – 10x) 0 ≤ x ≤ 20
CON WIRIS
c) El número de pasajeros entre 60 y 80 que maximiza lo que cobra en total la empresa VR. (5 puntos).
Para ello vamos a obtener la primera derivada de la función P(x) y a calcular el valor que máximiza la
función.
P(x) = (60+x) (800 – 10x) = 48.000 - 600x + 800x -10x2 = -10x2 + 200x +48.000
P’(x) = -20x +200 = 0 x=10
P’’(x) = -20 P’’(10) = -20 y por tanto en x=10 hay un máximo
Puesto que (60+x) es el número de viajeros que realizan el viaje, entonces 60+ 10 = 70 es el números que
de pasajeros que maximiza la cantidad abonada a la empresa VR.
CON WIRIS