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Métodos Cuantitativos
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Evolucin de los Mtodos Cuantitativos Econmico-Financiero-Actuariales
XXI Jornadas ASEPUMA IX Encuentro Internacional
Anales de ASEPUMA n 21: 639
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Evolucin de los Mtodos Cuantitativos Econmico-
Financiero-Actuariales Villaln1, Julio G. ([email protected]), Rodrguez Ruz2, Julin
([email protected]), Seijas Macas3, Antonio ([email protected]) 1F. de Cc. Econmicas, 2F.Cc. Econmicas y Empresariales, 3F. de Economa e
Empresa 1Universidad de Valladolid, 2UNED, 3Universidade da Corua
RESUMEN
Los mtodos cuantitativos econmico-financiero-actuariales han experimentado un gran
avance a lo largo del tiempo. Los economistas se han visto obligados a aplicar, de forma
creciente, nuevos mtodos para resolver los distintos problemas que han ido apareciendo y la
relacin de tales problemas aumenta continuamente. La habilidad de los economistas para
plantear los problemas, refleja un cuerpo de teora bien desarrollado, modos de anlisis que
enfatizan la lgica e instrumentos cuantitativos sofisticados.
Las Matemticas y la Estadstica en el mbito econmico-financiero-actuarial, han
jugado un papel central en el anlisis econmico, lo que ha proporcionado un mayor avance en
el campo, particularmente financiero, al permitir a los economistas establecer rigurosamente sus
teoremas y a contrastar la validez emprica de sus teoras.
Por lo que se refiere a la Teora Financiera, hace ms de 50 aos, sta se reduca en
trminos generales, a un solo aspecto: Clculo de los valores financiero actuariales. Ahora bien,
los economistas financieros comenzaron a utilizar una gran variedad de tcnicas estadstico-
matemticas cada vez ms sofisticadas como: Teora de la Probabilidad, Optimizacin, Procesos
Estocsticos, Clculo Estocstico, Ecuaciones Diferenciales Estocsticas, etc.
Pues bien, el trabajo que presentamos hace referencia a la evolucin de las tcnicas
matemticas y sus aplicaciones, anteriormente mencionadas
Villaln, J.; Rodrguez, J.; Seijas, A.
XXI Jornadas ASEPUMA IX Encuentro Internacional
Anales de ASEPUMA n 21: 639
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ABSTRACT
The quantitative methods economic-actuarial-financial have experienced a great
advance throughout the time. The economists have increasingly met bound to apply by new
methods to solve different problems that have been appearing. These problems have been
increasingly surfacing.
The skill of the economists to raise the problems reflects a body of theory developed
well, manners of analyses that emphasize the logic and quantitative sophisticated instruments.
The Mathematics and Statistics in the economic-actuarial-financial arena have played a central
role in the economic analysis, which has provided a mayor advance in the field, particularly
financially, on having allowed the economists to establish rigorously his theorems and to
contrasting to empirical validity of his theories.
As it refers to the Financial Theory, it has been more than 50 years since it has been
simplified to one aspect alone: financial calculation of the actuarial values. At the same time,
the financial economists began to use a great variety of increasingly sophisticated mathematical
and statistical techniques such as: Probability and optimization Theory, Stochastic calculus,
differential stochastic Equation, etc. Well then, in the work that we present here, we cover the
evolution of the mathematical technologies and his applications, previously mentioned.
Palabras claves: -lgebra; Movimiento Browniano; Martingala; Diferencial
Estocstica; Frmual de It; Teora del Riesgo Individual; Teora del Riesgo Colectivo; Proceso
de Poisson Compuesto; Proceso de Riesgo; Probabilidad de Runa; Desigualdad de Lundbeg;
Clculo Estocstico; Cadenas de Markov; Black/Scholes; Diversificacin del Riesgo; Integral
Estocstica.
rea temtica: A6 Clculo Estocstico y sus Aplicaciones
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1. INTRODUCCIN
Despus de hacer algunas referencias a la evolucin de la ciencia econmico-
financiero-actuarial a lo largo del tiempo, consideramos que para modelar y analizar el
comportamiento de los fenmenos econmicos en ambiente de incertidumbre,
modernamente se vienen utilizando diversos mtodos del clculo estocstico como son
la integral estocstica, el Lema de It, las ecuaciones diferenciales estocsticas, la
estabilidad estocstica y el control ptimo estocstico, algunos de tales aspectos
consideramos a continuacin.
2. METODOS CUANTITATIVOS ECONOMICO FINANCIERO
ACTUARIALES
La Ciencia Financiero Actuarial en su nacimiento en el siglo XVII se dedic
fundamentalmente a las operaciones del seguro de vida: Clculo de primas para las
operaciones de rentas, capitales diferidos de supervivencia (
n Ex ) y operaciones de los seguros de vida entera (
Pxx = Ax). Pronto se vio que eran necesarias las tcnicas financiero actuariales para calcular las reservas matemticas (
tVx ). En este aspecto, la ciencia financiero actuarial mostr los primeros rudimentos del clculo estocstico hace
ms de un siglo. Las ecuaciones diferenciales para las reservas de una pliza del seguro
de vida las obtuvo T. Nicolai Thiele en 1875 y para la probabilidad de ruina eventual de
un seguro de vida, Filip Lundberg en 1903, en momentos en los que la nocin de
proceso estocstico no se haba definido de forma concreta.
A parte de su trabajo prctico en el seguro de vida y su tesis doctoral en 1903,
Filip Lundberg (1876-1965) fue pionero en el seguro de enfermedad, utiliz la tcnica
del seguro de vida para la obtencin de la reserva. As mismo, fue pionero en el campo
del reaseguro y de la Swedish Actuarial Society en 1904. Cre su original Collective
Risk Theory publicada en sueco en 1906 y 1926 y en alemn en 1909 y 1930. En su
tesis doctoral consider ya la descripcin estocstica de la corriente de pagos como un
proceso de Poisson compuesto. Donde los momentos de los pagos constituan un
Proceso de Poisson en el tiempo; las cantidades sucesivas pagadas eran
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independientemente obtenidas de una distribucin de la masa de riesgo. Probablemente
este fue el primer ejemplo en el cual se introdujo y, a parte del trabajo de Louis
Bachelier en 1990 y el Erlang en 1909, constituyen un ejemplo pionero importante de la
definicin y uso de los procesos estocsticos en tiempo-continuo. En la tesis, prueba el
Teorema Central del Lmite para los procesos, utilizando de forma original la ecuacin
de futuro para la funcin de distribucin del proceso, es decir, Lundberg introdujo el
proceso de riesgo que describa el supervit, donde los ingresos eran continuos al
tanto dado por la prima y el desembolso era un proceso de Poisson compuesto. Para
este proceso, consider la probabilidad de ruina, probabilidad de que el resultado
fuera negativo, como funcin del resultado inicial, el tanto de prima y la distribucin de
la masa de riesgo. Hay una ecuacin integral para la probabilidad de ruina, que se utiliza
para deducir al famosa desigualdad de Lundberg:
P(ruina) < exp(Ru), donde u es el supervit y R es el coeficiente de ajuste, una medida de la dispersin de la
distribucin de la masa de riesgo.
Por otra parte, Harald Cramer (1955) estudi la Teora del riesgo consistente
en el anlisis matemtico de las fluctuaciones aleatorias en la empresas de seguros y
discusin de los diversos medios de proteccin frente a sus efectos adversos.
En la Teora del riesgo individual, la ganancia o prdida de la compaa que
surge durante un tiempo dado sobre una pliza se considera una variable aleatoria y el
desarrollo matemtico de la teora est basado en un estudio de la distribucin de
probabilidad de variables de este tipo. Las ganancias o prdidas totales de la compaa
durante el mismo tiempo ser la suma de las variables aleatorias asociadas a las plizas
individuales en vigor en la compaa. De acuerdo con el Teorema Central del Lmite,
esta suma ser aproximadamente normalmente distribuida si el nmero de plizas es lo
suficientemente grande y se pudiera obtener los tipos de las sumas aseguradas de todas
las plizas individuales, sera posible obtener los valores aproximados de las diversas
posibilidades ligadas a las ganancias o prdidas de la compaa bajo ciertas condiciones.
Respecto a la Teora del Riesgo Colectivo fundada y desarrollada por F.
Lundberg en una serie de trabajos (1903/48), el riesgo empresarial de una compaa de
seguros se consideraba como un total, como un juego de azar continuo entre la
compaa y la totalidad de los accionistas. En el curso de este juego, ciertos sucesos
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aleatorios: las reclamaciones acaecen durante un intervalo de tiempo, tienen que
considerarse por la compaa mientras que por parte la compaa recibe una corriente
continua de primas de riesgo de los accionistas. Mediante ciertas hiptesis
simplificadoras, es posible estudiar las distribuciones de probabilidad de las variables
aleatorias fundamentales asociadas a este juego, tal como el montante total de las
reclamaciones que acaecen durante un intervalo de tiempo dado; la ganancia total de la
Compaa que surge durante el mismo intervalo, etc.
La Teora del Riesgo Colectivo, constituye una parte de la teora general de
los procesos estocsticos, que posteriormente tuvo un gran desarrollo y ha encontrado
un gran nmero de aplicaciones importantes. Se ha demostrado que se puede presentar
desde un punto de vista unificador el de la teora de los procesos estocstico. El negocio
del riesgo de una Compaa de seguros constituye un caso particular de un proceso
estocstico. El proceso de riesgo es un proceso estocstico que pertenece a la clase de
los procesos estocsticos con incrementos estacionarios e independientes.
En el siglo XX, la revista Astin, jug un papel esencial en lo relativo a los
mtodos financiero-actuares que se haban aplicado a las operaciones de seguro no-vida
(seguro del automvil, incendios, etc). Emergi una nueva clase de actuarios:
Actuarios de segunda clase, donde se dio entrada a las tcnicas de pensamiento
probabilista: Actuarios vida y Actuarios no-vida. Posteriormente, un nuevo desarrollo,
Figura 1: Funcin muestral del Proceso Y(t),
montante de las reclamaciones Figura 2: Funcin muestral del proceso X(t)
correspondiente a Y(t)
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dio lugar a la emergencia del Actuario de la tercera clase, grupo de expertos
matemticos que extendieron sus tcnicas a lo relativo a la inversin del seguro y
Banca.
Tan pronto como pensemos respecto a la inversin en trminos estocsticos se
present el gran problema de que: los riesgos de inversin son tpicamente
dependientes, y por tanto, desequilibrados. La contestacin a este problema: como no
hay ninguna ley matemtica que automticamente equilibre el riesgo de inversin
implica crear nuevos instrumentos artificiales para este fin: las opciones call, put y
futuros. Por tal motivo se crearon tcnicas avanzadas. La base estadstica matemtica
deba sustancialmente ampliarse para los economistas financiero-actuariales, con
nociones como la teora de los proceso estocsticos, integracin estocstica, Frmula de
It, Frmula de Black-Scholes. En resumidas cuentas, dar entrada al clculo estocstico.
Nueva clase de especialistas en las aplicaciones del clculo estocstico.
El trmino estocstico significa el arte de suponer. En primer lugar fue
utilizado por Jacob Bernoulli en su libro Ars Conjuctandi en 1773 en el que prob la
primera ley de los grandes nmeros. Stochastic modern day, es un dominio de las
matemticas aplicadas. Comprende, (entre otras, la Teora de la Probabilidad, los
Procesos Estocstico y la Estadstica). Se utilizan para examinar los sucesos aleatorios,
desarrollos temporales, y estructuras especiales tratando de encontrar las regularidades
posibles. Los mtodos estocsticos son aplicables a todas las disciplinas cientficas,
obtenindose ventajas del comportamiento mediante los computadores modernos. Lo
estocstico ha llegado a ser un instrumento inestimable para las ciencias naturales,
desarrollo tecnolgico y economa.
El clculo que estudiamos en los primeros cursos de matemticas nos
proporciona los instrumentos analticos para las funciones deterministas. Ahora bien,
cuando modelamos la incertidumbre futura de un objeto, por ejemplo, el precio de un
ttulo o los tantos de inters a lo largo del tiempo, estos son aleatorios en cualquier
momento considerado, por tanto, son llamados proceso estocsticos.
El clculo estocstico es el instrumento analtico adecuado para los procesos
estocsticos. Entonces con tales instrumentos, podemos predecir el comportamiento
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futuro de estos aspectos y cuantificar los riesgos asociados a ellos. Esto es por lo que
tiene gran importancia.
La Teora de los Procesos Estocsticos, estudia los acontecimientos aleatorios
asociados al tiempo regidos por las leyes de probabilidad.
El clculo estocstico se refiere a una clase especfica de procesos estocsticos
que son estocsticamente integrables y frecuentemente expresados como soluciones de
ecuaciones diferenciales estocsticas.
Las primeras aplicaciones financieras de los procesos estocsticos, aparte de lo
mencionado relativo a Lunberg y Cramer datan de 1900 cuando el matemtico francs
Louis Bachelier aplic un proceso estocstico especial llamado movimiento Browniano
o proceso de Wiener para describir los precios de los ttulos en su tesis doctoral.
En 1982 Louis Bachelier lleg a Pars para continuar su educacin universitaria
en la Universidad de la Sorbonne. All tuvo un insigne cuadro de profesores: Paul Apell,
Joseph Bousiness y Henri Poincar. El desarrollo como cientfico fue bastante rpido y
escribi su interesante tesis Teora de la Especulacin sobre la aplicacin de la Teora
de la probabilidad a los mercados de ttulos. Este se considera ahora histricamente el
primer intento de utilizar las matemticas avanzadas en la matemtica financiero-
actuarial y testimoniar la introduccin del movimiento Browniano1. De acuerdo con la
tradicin de la poca, tambin defendi una segunda tesis sobre una materia elegida por
la universidad sobre la mecnica de fluidos. Su ttulo refleja el bagaje educativo de L.
Bachelier La resistencia de una masa lquida indefinida dotada de fricciones interiores
regidas por las frmulas de Navier, a los pequeos movimientos variados de traslacin
1 El movimiento Browniano llamado as despus de que el botnico Robert
Brown observar el movimiento aleatorio al estudiar el movimiento de las particulas del
polen en el agua en 1827. El proceso llamado a veces proceso de Wiener en las ciencias
metafsicas, cuando el matemtico Norbert Wiener fundador de la ciberntica aplico el
movimiento Browniano al fenmeno quantum. El trabajo de Louis Bachelier,
olvidado hasta que el Nbel en economa de 1970 Paul Samuelson, llam la atencin a
la comunidad de economa en 1966 (ver discurso de Robert Merton en la sociedad
financiera de L. Bachelier).
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de una esfera slida, sumergida en una masa y adherente a la capa fluida que la
contacta.
La primera parte de la tesis de Louis Bachelier, Teora de la Especulacin,
contiene una descripcin detallada de los productos disponibles en aquel momento en el
mercado de ttulos en Francia, tales como contratos a plazo (forward) y opciones. Sus
especificaciones fueron completamente diferentes de los productos correspondientes en
el mercado americano; por ejemplo todos los pagos estaban relacionados con una fecha
dada y no se tena necesidad de pensar en el descuento o cambio numerario. Despus de
los preliminares financieros Louis Bachelier comenz con la modelacin matemtica de
los movimientos y frmulas de los precios de los ttulos, el principio de que La
esperanza del especulador fuera nula. Obviamente, interpretaba mediante la esperanza
condicionada dada por la informacin pasada. Es decir, implcitamente aceptaba como
axioma que el mercado valoraba los activos utilizando una medida martingala. La
hiptesis posterior era que el precio evolucionaba como un proceso de Markov
continuo, homogneo en el espacio y el tiempo. Louis Bachelier demostr que la
densidad de las distribuciones unidimensionales de este proceso satisfaca la relacin,
ahora conocida como la ecuacin Chapman-Kolmogorov y observ que la densidad
Gaussiana con la varianza lineal creciente resolva esta ecuacin. La cuestin de la
unicidad no se discuta pero Louis Bachelier proporcion algunos argumentos para
confirmar esta conclusin. Lleg a la misma ley considerando el proceso de los precios
como lmite de las trayectorias aleatorias. Louis Bachelier tambin observ que la
familia de funciones de distribucin de los proceso satisfaca la ecuacin de calor.
El modelo se aplic para calcular algunos precios de las opciones. Teniendo en
cuenta las opciones americanas y dependientes de la trayectoria, Louis Bachelier calcul
la probabilidad de que el movimiento Browniano no excediera un nivel fijo y obtuvo la
distribucin del supremum del movimiento Browniano.
La tesis de Louis Bachelier se puede considerar como el origen de la financiera
matemtica moderna y de varias ramas importantes de clculo estocstico tal como la
teora del movimiento Browniano, procesos de Markov (1856-1922), procesos de
difusin e incluso de la convergencia libre en los espacios funcionales. Evidentemente,
el razonamiento no fue riguroso pero a nivel intuitivo bsicamente correcto. Esto es
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realmente asombroso ya que a comienzos del siglo XX los fundamentos matemticos de
la probabilidad no existan. A. Markov comenz sus estudios sobre lo que ahora
llamamos cadenas de Markov en 1906 y el concepto de esperanzas condicionadas con
respecto a una variable arbitraria o -lgebra fueron desarrollados en 1930.
El informe de Henri Poincare, firmado por P. Apell y J. Bousssines, tribunal que
juzg la tesis de Louis Bachelier contiene un profundo anlisis no solamente de los
resultados matemticos sino tambin una penetracin en la leyes de mercado. En
contraste con la leyenda de que la nota de evaluacin honorable significaba algo
como que los examinadores fueron escpticos respecto a la tesis, esta parece que fue la
nota ms alta que poda habrsele reconocido a una tesis que estaba esencialmente fuera
de las matemticas y que tena algunos argumentos lejos de ser rigurosos. La nota de
excelente usualmente se asignaba a memorias que contenan la solucin al cambiante
problema en una disciplina matemtica bien establecida.
Creemos que el informe mostraba que H. Poincare era un lector atento y
benvolo y su moderada crtica fue positiva. La crtica que expres fue que Louis
Bachelier no estudiaba con detalle la relacin descubierta de los procesos estocsticos
con las ecuaciones en derivadas parciales, poda interpretarse que fue realmente
intrigado, viendo all ulteriores perspectivas. El informa de Poincare y la conclusin fue
publicar la tesis en las revistas prestigiosas de aquel tiempo contradeca lo que algunos
consideraron como la decepcin de honorable. Se poda conjeturar que Louis
Bachelier no fue galardonado con la nota de muy honorable debido a una
presentacin ms dbil de su segunda tesis (pero el correspondiente informe de P.
Appell fue muy positivo).
No es necesario decir que las ideas innovadoras de Louis Bachelier estuvieron
por encima del nivel prevaleciente en la teora financiera existente en aquella poca lo
cual fue ciertamente percibido.
Los notables resultados obtenidos por Louis Bachelier en su tesis sobre la
Teora de la Especulacin en 1900 permanecieron en una especie de limbo
cientfico durante ms de 75 aos, hasta que el clebre economista premio Nbel Paul
Samuelson influenciado por el insigne profesor de estadstica William Feller, corrigi a
Louis Bachelier, en 1965, reemplazando el movimiento Browniano por su exponencial
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(geomtrica), evitando as obtener como resultados valores negativos del modelo y,
luego comenz a jugar un papel esencial en el clculo de los precios de las opciones
mediante la famosa frmula de Black-Scholes en 1973.
Desde 1980 se ha comprobado la explosin de lo modelos matemtico
financieros junto con los productos financieros, todos a su vez llegados a ser ms
complejos.
Toda esta tecnologa existe debido a que algunos conceptos matemticos
financieros simples y universales han permitido construir una Teora matemtica
financiera de las leyes de los mercados basada en principios tales como que los precios
de un activo a lo largo del tiempo tienen la estructura probabilista de un juego
equitativo, es decir, una martingala. A partir de este concepto, poco a poco, se ha ido
construyendo toda la teora de los procesos estocsticos, pilar sobre el cual se ha
desarrollado la Teora Matemtica del Arbitraje por Delbaen y Schahermayor en
1994.
Desde comienzos de 1990, la matemtica y particularmente la teora de la
probabilidad han jugado un papel creciente, en general y particularmente, en el campo
econmico financiero actuarial influenciado por las investigaciones de A. Kolmogorov
relativas a los procesos temporales continuos.
A partir de la tesis de Louis Bachelier surgi el nuevo nacimiento de los
procesos estocsticos y, por otra parte, la estrategia de tiempo continuo para la cobertura
de riesgos financieros.
Aunque Louis Bachelier estableci en su tesis la conexin entre el precio de los
instrumentos financieros y algunos clculos de probabilidad relativos a ciertos procesos
estocsticos, el problema de la cobertura correspondiente al riesgo fue resuelto mediante
los trabajos de Black/Scholes/Merton en 1973. En aquella poca la idea de
diversificacin estaba vigente debido a los trabajos pioneros de Markowitz en 1952
(Nbel de Economa en 1990) relativos a la optimizacin de la cartera.
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3. RELACIONES DEL CLCULO CLSICO CON EL CLCULO
ESTOCSTICO
Respecto de las relaciones del Clclulo Clsico con el Clculo Estocstico
procede hacer la siguientes consideraciones.
Si
X : 0,[ ]R es una funcin real
X(t) = Xt . Por ejemplo, la funcin
Xt puede representar la velocidad de un cuerpo slido dependiente del tiempo t. Tambin
Xt puede representar el precio de un ttulo a lo largo del tiempo, diagrama del ttulo X. Ahora bien, hay una diferencia fundamental entre las dos interpretaciones. En el
primer caso, X como funcin de t es una funcin suave no solamente continua, sino
tambin diferenciable. Para esta clase de funciones se aplican dos instrumentos
conocidos del clculo clsico. Utilizando la notacin
X := dXtdt
para la derivada de
Xt con respecto al tiempo t, la relacin bsica entre la derivacin e integracin se puede establecer como
Xt = X0 + X sds0t ,
o bien,
dXt = X tdt . Si
F C2(R) es una funcin real continuamente diferenciable dos veces sobre la recta real
R. Entonces la frmula de Taylor establece:
f (Xt ) = F(Xt+t ) F(Xt ) = F '(Xt )Xt +12 F ' '(Xt )(Xt )
2
con
Xt = Xt+t Xt y cierto
t t,t + t[ ]. Tomando lmites cuando
t 0 , obtenemos
dF(Xt ) = F '(Xt )dXt o tambin,
F(Xt ) = F(X0) + F '(Xs)dXs0t
puesto que para una funcin suave
Xt ,Xt t 0 dXt = X tdt y los trminos de orden superior (dt)2 son despreciables.
Villaln, J.; Rodrguez, J.; Seijas, A.
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Ahora bien, esta relacin clsica no es aplicable para las funciones reales que se
presentan en la Matemtica Financiera. Cuando el matemtico alemn Weierstrass
construy una funcin real continua, pero no diferenciable en ninguna parte, esto se
consider como una curiosidad matemtica. Desgraciadamente, esta curiosidad est
en el corazn de la Matemtica Financiera. Los grficos de los tantos de cambio, de
los tantos de inters y de los activos lquidos son prcticamente continuos, como los
disponibles hoy en da que presentan datos de alta frecuencia, pero son de
variacin ilimitada en todo el intervalo de tiempo. En particular, no son
diferenciables en ninguna parte. Por tanto, el Clculo Clsico necesita una
extensin a funciones de variacin no acotada, tema estudiado por los matemticos
durante mucho tiempo.
Este dficit se cubri mediante el desarrollo del Clculo Estocstico que
se puede considerar como la teora de la diferenciacin e integracin de los
procesos estocsticos.
Existen numeros libros recientemente publicados que desarrollan ampliamente el
clculo estocstico con nfasis sobre las aplicaciones a los mercados financieros a
diferentes niveles de sofisticacin matemtica (Fllmer y Schied, 2010).
Qu extensin del clculo clsico se necsita para las funciones reales de
variacin ilimitada? Simplemente, cuando al desarrollar la diferencial
dF(Xt ) el segundo trmino de la frmula de Taylor no se puede despreciar, puesto que el trmino
Xt( )2, la variacin cuadrtica de
Xt no desaparece para
t 0 . Por tanto, para las funciones de variacin non acotada, la diferencial es de la forma
dF(Xt ) = F '(Xt )dXt +12 F ' '(t)(dXt )
2 (1)
o bien, de forma explcita
F(Xt ) = F(X0) + F '(Xs)dXs0t + 12 F ' '(Xs)(dXs)
20t (2)
donde
dXt( )2 es la variacin cuadrtica infinitsimal de X.
Esta no fue, la nuevamente aparici del segundo trmino, lo que cre la principal
dificultad para desarrollar el Clculo Estocstico. Para funciones de variacin cuadrtica
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finita este trmino
F ' ' es una integral bien definida Lebesgue-Stieltjes. El cambio real consiste en dar un significado preciso a la primera integral donde tanto el argumento del
integrando y del integrador son de varicin no-acotada sobre todo el intervalo de
tiempo, arbitrariamente pequeo. Esta cuestin fue resuelta en primer lugar por It, de
ah el nombre de la frmula de It para la relacin (1) y la integral de It para la
primera integral de la (2).
Utilizando el enfoque a lo largo de una trayectoria de Fllmer, podemos deducir
la frmula de It y la integral de It sin recurrir a la teora de la probabilidad.
Observando un proceso estocstico paso a paso, se puede dar un significado preciso a
las expresiones (1) y (2) utilizando solamente instrumentos elementales del anlisis real
clsico. Solamente se necesita la teora de la probabilidad, posteriormente cuando
consideramos la accin recproca de todas las trayectorias de los procesos estocsticos
como difusiones y semimartingalas.
3.1. El Lema de It
Si
Xt es un proceso de It que satisface
dXt = (t,Xt )dt + (t,Xt )dWt (3)
y
f (t,x) es una funcin dos veces diferenciable, entonces tenemos que
f (t,Xt ) es un proceso de It y que
df (t,Xt ) =ft dt + f '(x)dx +
12 f ' '(x)dx
2 (4)
donde
dx 2 est definido por
dt 2 = 0 (5)
dtdW = 0 (6)
dW 2 = dt (7)
Observemos que la regla de la multiplicacin final es la crucial que da el trmino
complementario.
Un argumento anlogo, nos proporciona una regla cuando tenemos varios
procesos It basados en el mismo movimiento Browniano.
Villaln, J.; Rodrguez, J.; Seijas, A.
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En efecto, sean n procesos de It unidimensionales
Si, dados por
dSi = idt + idzi, i =1,2,...,n Supongamos que
u = u t,S1,S2,...,Sn( ) : 0,T[ ] Rn R , tiene derivadas parciales
ut ,uSi,uSij , i, j n que son continuas. Entonces, el proceso
Y = u t,S1,S2,...,Sn( ) tambin es un proceso de It dado por:
dY = utdt + uSidSii=1n + 12 uSiSjdSidS jj=1
ni=1
n (8)
donde el producto
dSidS j , se puede calcular utilizando las reglas de multiplicacin:
dZi dZ j = ijdt para i j, j < ndZi dZ j = dt para i = j =1,2,...,ndt dZi = 0 para i =1,2,...,n
con
ij coeficiente de correlacin entre
dZi y
dZ j .
Sobre este tema se podran consultar: It (1951), Gikman y Skorokhod (1969),
Arnold (1974), o bien Malliaris y Brock (1982).
4. CUESTIONES PRACTICAS
4.1. Ejemplo 1
Sea una funcin de proceso de Wiener estndar
Wt dada por
F(Wt ,t) =Wt2. (9) Se pide aplicar la frmula de It a esta funcin.
Solucin: Teniendo en cuenta que
Wt tiene un parmetro de tendencia 0 y un parmetro de difusin 1.
Aplicamos la frmula de It a la funcin:
dFt =12 2dt[ ] + 2WtdWt (10)
o bien,
dFt = dt + 2WtdWt (11)
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Entonces, en este caso, la frmula de It resulta una ecuacin diferencial
estocstica que tiene de coeficiente de tendencia a
(It ,t) =1 (12)
y coeficiente de difusin
(It ,t) = 2Wt (13)
Por tanto, la tendencia es constante y la difusin depende del conjunto de
informacin
It .
4.2. Ejemplo 2
Aplicar la frmula de It a la funcin
F(Wt ,t) = 3+ t + eWt . (14) Solucin: Obtenemos
dFt = dt + eWt dWt +12 e
Wt dt . (15)
Agrupando
dFt = 1+12 e
Wt
dt + eWt dWt . (16)
En este caso, obtenemos una ecuacin diferencial estocstica para
F(s,t) con tendencia
It -dependiente y trmino de difusin:
a(It ,t) = 1+12 e
Wt
y
(It ,t) = eWt .
5. CONCLUSIONES
Despus de haber realizado una revisin de los mtodos cuantitativos a lo largo
del tiempo se observa que el Lema de Ito, es el instrumento central de la diferenciacin
en el clculo estocstico. No son demasiadas cuestiones bsicas las que hay que
recordar para poder utilizarle. En primer lugar, la frmula ayuda a determinar las
Villaln, J.; Rodrguez, J.; Seijas, A.
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diferenciales estocsticas para los derivados financieros dados los movimientos del
activo subyacente. En segundo lugar, las frmulas son completamente dependientes de
la definicin de la integral de Ito. Esto significa que las igualdades se deben interpretar
dentro de la equivalencia estocstica. Finalmente, desde un punto de vista prctico, se
debe recordar que las frmulas estndar utilizadas en el clculo determinista
proporcionan resultados significativamente diferentes de los obtenidos mediante el
clculo estocstico. En particular, si se utilizan las frmulas estndar, esto supondra
que todos los procesos en observacin tendran volatilidad infinitesimal nula. Por otra
parte, hemos visto que sta no es una hiptesis adecuada cuando se trata de valorar el
riesgo utilizando los derivados financieros.
6. ANEXO SOBRE VARIABLES ALEATORIAS Y PROCESOS
ESTOCASTICOS
6.1 Definiciones generales de la teora de la probabilidad.
La nocin bsica de la teora de la probabilidad es la de espacio de probabilidad,
constituida por terna siguiente:
Un conjunto
.
Una -lgebra
sobre
.
Una medida de probabilidad
P sobre
.
Una -lgebra
sobre un conjunto
, es un conjunto de las partes que contiene el
conjunto vaco y que es estable respecto de las operaciones de unin numerable, de las
intersecciones numerables y del conjunto complementario. Los elementos de
se denomina
sucesos.
Una ley de probabilidad
P sobre el espacio
,( ) es una medida positiva definida sobre
, de masa total igual a 1.
Se tiene pues:
a)
P() =1; b)
P(A) 0,A ; c)
P Ann
= P(An )
n .
El nmero
P(A), se denomina poblacin del suceso A
A( ) ; se tratar de un nmero real comprendido entre 0 y 1.
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Un suceso
A( ) , se dice casi seguro si su probabilidad es igual a 1. Un suceso
A( ) , se dice P-despreciable si su probabilidad es nula. Un espacio de probabilidad
,,P( ) , se denomina completo si toda parte A de
contenida en un conjunto P-despreciable pertenece a la -lgebra de los sucesos
.
Sobre un espacio de probabilidad as definido, se introduce la nocin de variable
aleatoria que modela el resultado cuantitativo de la experiencia aleatoria considerada.
Una variable aleatoria X definida sobre el conjunto
con valores en un espacio
medible dado
E,( ) es una funcin medible de
E , es decir,
X :E : X() E tal que
X 1(A) para A . La -lgebra
F(X)asociada a la variable aleatoria X es la -lgebra sobre
engendrada por los conjuntos de la forma:
B = : X( )B{ } donde B. La ley de probabilidad (o distribucin) de la variable aleatoria X definida sobre el
espacio de probabilidad
,,P( ) , es la medida
QX sobre el espacio
E,( ) definida por
QX (A) = P : X( ) A{ }, donde A . Para una variable aleatoria real, la distribucin se puede caracterizar por la nocin de
funcin de distribucin.
6.2 El Proceso de Poisson.
El proceso de Poisson permite modelar el tipo de experiencia siguiente.
Se observa a lo largo del tiempo la aparicin repetida de un cierto suceso aleatorio
(espacio de los tiempo =
R+ ). Si a) el nmero de sucesos aparecidos en el intervalo
t,t + h[ ] no depende ni del nmero ni del momento de aparicin de los sucesos en el intervalo
0,t[ ] ; b) la probabilidad de que se presente un suceso en el intervalo
t,t + h[ ] es de la forma
h +O(h), > 0; c) la probabilidad de que no aparezca ningn suceso en el intervalo
t,t + h[ ] es de la forma
Villaln, J.; Rodrguez, J.; Seijas, A.
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1 h +O(h); d) la probabilidad de que se presenten ms de un suceso en el intervalo
t,t + h[ ] es igual a O(h).
Entonces el proceso definido por
X(t)= nmero de sucesos aparecidos en el intervalo
0,t[ ] es un proceso de Poisson. La distribucin de tal proceso estocstico viene dada por:
P X(t) = k[ ] = t( )k
k! et , k N.
La variable aleatoria
X(t) admite pues una distribucin de Poisson de parmetro
t . La nocin de proceso de Poisson compuesto proviene de esta interpretacin: los saltos,
deterministas y unitarios en el proceso de Poisson, se reemplazan por variables aleatorias
independientes y equidistantes.
6.3 Movimiento Browniano.
Sea
,,P( ) un espacio de probabilidad, dotado de un filtracin
t ,t 0{ } , es decir, de una familia creciente de -lgebras de
.
Un proceso estocstico
W (t,);t R+, { } es un proceso de Wiener o movimiento browniano estndar si:
a)
W es un proceso de incrementos independientes y estacionarios; b)
W (t) admite una distribucin normal,
t > 0 . c)
W (0) = 0 d)
t > 0; E(W (t)) = 0 y Var(W (t)) = t . El movimiento browniano se denomina adaptado a la filtracin
t{ } si
W (t) es una variable aleatoria t-medible para todo
t 0 . Adems, se supone que
t,s > 0,W (t + s) =W (t + s) W (t) es independiente de
t{ }.
La funcional
I0T se denomina funcional de integracin estocstica con respecto al movimiento browniano; la variable aleatoria
I0T ( f ) , se denomina integral estocstica definida y se denota
I0T = f (t)dW (t)0T
Se dice que el proceso
admite una diferencial estocstica sobre
0,t[ ] y se denota
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d(t) = a(t)dt + b(t)dW (t) . La operacin de diferenciacin estocstica, lineal como la diferenciacin clsica, se
distingue en dos aspectos.
1) Diferenciacin de un producto de procesos.
Si
1 y
2 son dos procesos que admiten una diferencial estocstica, entones el
producto
1.
2 es igualmente diferenciable
d1(t) = a1(t)dt + b1(t)dW (t)d2(t) = a2(t)dt + b2(t)dW (t)
entonces
d1(t)2(t) = 1(t)d2(t) + 2(t)d1(t) + b1(t)b2(t)dt 2) Diferenciacin de un proceso compuesto (frmula de It).
Si un proceso
admite una diferencial estocstica
d(t) = a(t)dt + b(t)dW (t) y si
f (t,x) es una funcin de
0,T[ ] R en
R, continua as como sus derivada
parciales:
ft ,
fx ,
2 fx 2 , entonces:
df t,(t)( ) = ft (t,(t)) +
fx (t,(t)) +
12 2 fx 2 (t,(t))b
2(t)
dt + f
x (t,(t))b(t)dW (t)
Un proceso
X se denomina cad-lag, cadlag functions (abreviatura del francs) continuas por la derecha con lmite por la izquierda, si sus trayectorias son continuas por la
derecha sobre
R+ y tienen lmites por la izquierda finitos sobre
R0+ . Tiempo de espera.
La nocin de tiempo de espera, generalmente los tiempos deterministas, juegan un
papel esencial en teora de los procesos estocsticos.
Una variable aleatoria
T :R+ { } es un tiempo de espera si
t R+ el suceso
T t{ }t . En particular, toda constante positiva es un tiempo de espera.
6.4 Martingalas.
Una martingala
M es un proceso estocstico adaptado, cad-lag, tal que: 1)
M(t, ) es integrable y
E(M(t, )) < ;
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2)
E M(s, ) |t( ) = M(t,),0 t s. Si
E M(s, ) |t( ) M(t,),0 t s (
respectivamente) se habla de super-
martingala (respectivamente, sub-martingala)
Un proceso estocstico
X(t),t 0{ } con medias finitas, se denomina martingala (de parmetro continuo) si para todo conjunto de momentos
t1 < t2 < ... < tn < tn+1E X(tn+1) | X(t1),...,X(tn )[ ] = X(tn )
es decir, la esperanza condicionada de
X(tn+1) , dados los valores
X(t1),...,X(tn ) es igual al valor ms recientemente observado
X(tn ) . - Martingalas (de parmetro discreto)
Un proceso estocstico
Xn ,n =1,2,...{ } con medias finitas se denomina martingala (de parmetro discreto) si para todo entero n
E Xn+1 | X1,...,Xn[ ] = Xn Un proceso estocstico
X(t) : t T{ } es tal que la esperanza matemtica de
X(t) es finita para cada t y si
t1 < t2 < ... < tn son del ndice T, entonces (con probabilidad 1) la esperanza condicionada de
X(tn ) , dado
X(ti) = ai; si i < n es igual a
an1. Si T es el conjunto de los enteros positivos; basta requerir que la esperanza condicionada de
Xn , dado
X(i) = ai si i < n , es
an1.
6.5 Procesos Estocsticos.
Un proceso estocstico es una familia de variables aleatorias
X(t) : t T{ } indizada por un parmetro t que vara dentro de un conjunto ndice T.
Sean
,,P( ) un espacio de probabilidad, T un conjunto cualquiera y
E,( ) un espacio medible. Se llama proceso estocstico definido sobre
que tiene a T como conjunto
de tiempos y E como espacio de estados, a toda familia
X(t)( )tT de variables aleatorias con valores en E.
La variable aleatoria
X(t) se denomina estado en el instante t. Para todo
, la
aplicacin
T E : t X(t, ) se llama trayectoria asociada a
.
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Es decir una familia de variables aleatorias
X(t) : t T{ } donde T es el conjunto ndice y hay una variable aleatoria
X(t) para cada
t T . Cuando T es un conjunto discreto (por ejemplo, un conjunto de enteros) el proceso es un proceso de parmetro discreto, cuando
T es un intervalo de nmeros reales, el proceso es un proceso de parmetro continuo.
Un proceso estocstico X se denomina de crecimientos independientes si
n y t1 < t2 < ... < tn, ti T( ) las variables aleatorias
X(t1),X(t2) X(t1),...,X(tn ) X(tn1) son independientes.
Este proceso estocstico se denomina de crecimientos estacionarios si las variables
aleatorias
X(t + h) X(t) y
X(h) estn equidistantes. Una filtracin es una familia
t( )tT de sub--lgebras de
, tal que
s t , para s t (familia creciente). La -lgebras de
t se denomina -lgebra de los sucesos anteriores a t, modela la
informaciones disponibles en el instante t.
En el futuro y a medida que transcurre el tiempo la informacin es cada vez ms
importante, lo que modela el aspecto creciente de la familia.
La relacin entre filtracin y proceso estocstico est asegurada mediante la definicin
siguiente:
Todo proceso estocstico X genera una filtracin llamada filtracin natural del
proceso definida por:
t =(X(s)) : s < t : filtracin engendrada por las variables aleatorias anteriores al instante t.
Un proceso estocstico X se denomina adaptado a una filtracin
t( )tT si y slo si
para
t T , la variable aleatoria
X(t) es
t-medible (es decir,
Xt1(A)t , A ). Un proceso estocstico es, por definicin, adaptado a su filtracin natural.
7. REFERENCIAS BIBLIOGRFICAS
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Villaln, J.; Rodrguez, J.; Seijas, A.
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