Evaluering af eksamen i matematik for B C - stil.dk · PDF filehed for at udpege nogle som mere væsentlige frem for andre, se dog analyse af opgaverne side 9‐16. Resultater

Evaluering af

skriftlig eksamen

i matematik for

stx B, hf B og hf C

efter ny ordning

maj 2007

December 2007

2

Indhold

Forord .............................................................................................................................................................4

Evaluering af skriftlig eksamen på stx B .........................................................................................................6

Pointfordeling og karakterfordeling på stx B .........................................................................................6

Resultater fra forcensuren .....................................................................................................................7

Anmeldelse af eksamenssættet for stx B samt pointtildeling ved eksamen .........................................9

Samlet vurdering ................................................................................................................................. 17

Øvrige kommentarer til pointtildelingen ............................................................................................ 18

Hierarkisk klyngeanalyse ..................................................................................................................... 19

Prøven med og uden hjælpemidler ..................................................................................................... 19

Pointfordeling opgjort efter den opnåede karakter ........................................................................... 20

Hvordan opnår eleverne deres point – efter niveau? ......................................................................... 24

Censorernes vurdering af opgavesættet ............................................................................................. 25

Evaluering af skriftlig eksamen på hf B ....................................................................................................... 28

Pointfordeling og karakterfordeling på hf B ........................................................................................ 28

Resultater fra forcensuren .................................................................................................................. 30

Anmeldelse af eksamenssættet for hf B samt tildelingen af point ..................................................... 32


Øvrige kommentarer ........................................................................................................................... 41


Prøven uden og med hjælpemidler ..................................................................................................... 42

Pointfordeling opgjort efter elevernes niveau .................................................................................... 44

Hvordan opnår eleverne deres point? ................................................................................................ 48

3

Censorernes evaluering af opgavesættet ........................................................................................... 49

Sammenligning mellem prøverne stx B og hf B .......................................................................................... 51

Sammenligning af elevers besvarelse af enkeltopgaver ..................................................................... 53

Eksempler på sammenligning af enkeltopgaver hf‐B og stx‐B ............................................................ 57

Konklusioner ........................................................................................................................................ 58

Evaluering af skriftlig eksamen på hf C ....................................................................................................... 60

Eksamensresultat ................................................................................................................................ 60

Karakterfordeling for beståede ........................................................................................................... 61

Anmeldelse af eksamenssættet for hf C samt pointtildeling .............................................................. 62


Øvrige kommentarer til pointtildelingen ............................................................................................ 68

Korrelation mellem enkeltopgaver og helhedsindtryk ....................................................................... 69


Pointfordeling efter karakter .............................................................................................................. 73

Karakterfordeling efter skoleform ...................................................................................................... 76

Karakterfordeling efter køn ................................................................................................................. 77

Om forcensuren .................................................................................................................................. 78

Bilag ............................................................................................................................................................. 79

Hierarkisk klyngeanalyse ......................................................................................................................... 79

4

Forord

Sommeren 2007 var første gang efter reformen, hvor der blev gennemført skriftlige prøver i matematik B ved studentereksamen (stx) og matematik B ved højere forberedelseseksamen (hf). Samtidig var det andet år med skriftlig prøve i matematik C på hf.

Evalueringsrapporten over disse skriftlige prøver er udarbejdet efter samme model som ved rapporten over sommereksamen 2006:

• Der er gennemført en kvalitativ analyse af opgavesættene set i relation til læreplanernes krav. • Der er gennemført en detaljeret analyse af, hvorledes eleverne og kursisterne har klaret de en‐

kelte spørgsmål, hvorledes sammenhængen er mellem besvarelserne af de forskellige spørgsmål, og hvorledes sættene differentierer i top og bund.

• Der er inddraget en række statistiske og grafiske værktøjer for at give en detaljeret kortlægning af sættenes struktur.

Den meget detaljerede gennemlysning af eksamenssættene, som her foreligger, kan både anvendes af opgavekommission, censorer og lærere til at få en bedre forståelse af, hvordan en læreplan udmøntes i et eksamenssæt, hvilke opgaver der hører til den lettere del, og hvilke der hører til den sværere del af det faglige stof, samt hvordan eleverne egentlig går til opgaverne.

Hovedindtrykket af de skriftlige prøver er, at det gik tilfredsstillende på hf B og hf C. Derimod lå elevbe‐svarelserne på stx B på et lavere niveau end forventet, hvilket nødvendiggjorde en justering af omreg‐ningsskalaen.

En del af forklaringen på det utilfredsstillende resultat på stx B findes i selve opgavesættet. Analyserne i den foreliggende rapport belyser nogle mulige årsager hertil. Men det er naturligvis ikke hele forklarin‐gen. På efterårets regionalmøder og på emu’en er der lagt op til fortsat debat herom, og der er her peget på elementer som:

• Eleverne var tydeligt ikke så gode til at anvende CAS‐værktøjer, som forventet. Hvordan løser vi som undervisere dette?

• Mange stx B‐hold er i en vis forstand to hold i ét – en gruppe, der afslutter matematik B med skriftlig prøve, og en anden gruppe der tager matematik A som frit valgfag, og derfor ikke skal til skriftlig prøve i matematik B. Hvordan tilrettelægges undervisningen, så begge elevgrupper får maksimalt udbytte?

• Planlægning af årets undervisning har på en del skoler medført, at der er lange perioder, hvor eleven slet ikke har matematik. Dette er ikke noget reformen nødvendiggør, men er en lokal be‐slutning, som derfor kun kan løses gennem drøftelser lokalt.

• En del lærere har klaget over, at de har et lærebogs‐ og undervisningsmateriale, der ikke er sær‐ligt egnet til reformens krav. Til selve opgavetræningen foreligger der nu med vintereksamen yderligere tre stx B sæt. Til brug for den daglige undervisning ligger der meget materiale frit til‐gængelig på emu’en. Men kendskabet hertil er givetvis for lille.

Til grund for evalueringsgruppens analyse ligger de indberetninger og tilbagemeldinger, censorerne gav i forcensuren. Det er et værdifuldt materiale, og tak til censorerne for det.

5

Den kvalitative analyse af opgavesættene er Niels Grønbæk fra Matematisk Institut blevet bedt om at lave. Hensigten hermed har været at få et eksternt blik på disse eksamenssæt foretaget af én, som er uvildig både i forhold til opgavekommissionerne og til det daglige arbejde med at realisere læreplanerne i undervisningen. Analysen er naturligvis drøftet i hele evalueringsgruppen og integreret i den øvrige del af rapporten.

Man kan med fordel have selve eksamenssættene ved hånden, når man orienterer sig i rapporten. De findes på adressen: http://us.uvm.dk/gymnasie/almen/eksamen/opgaver/matematik.htm?menuid=150560

En stor tak til evalueringsgruppen, der bestod af lektor Claus Jessen, Frederiksberg Gymnasium, lektor Morten Overgaard Nielsen, KVUC og lektor Niels Grønbæk, Institut for Matematiske Fag, Københavns Universitet foruden undertegnede. Endvidere tak til lektor Inge Henningsen, Institut for Matematiske Fag, Københavns Universitet, for udarbejdelse af klyngeanalyserne.

Bjørn Grøn, fagkonsulent

6

Evaluering af skriftlig eksamen på stx B

Pointfordeling og karakterfordeling på stx B I maj 2007 deltog 4272 elever i den skriftlige prøve i matematik stx B efter ny ordning. Heraf kom 48 elever fra studenterkurser eller VUC. Resultaterne fremgår af denne tabel:

Karakter ‐3 00 02 4 7 10 12 Frekvens 3,7% 26,2% 8,5% 18,8% 22,2% 16,7% 3,9%

Gennemsnittet blev 4,50 og kvartilsættet var ( 0,53 ; 4,53 ; 7,90 )

Karakterfordelingen fremgår af følgende diagram:

Hvis man opør karakterfordelingen for de beståede, får man:

Karakter 02 4 7 10 12 Frekvens 12,1% 26,8% 31,7% 23,8% 5,6%

7

Af opgørelsen fremgår, at omkring 30% elever ikke består eksamen. Med hensyn til karakterfordelingen for de beståede elever ses, at fordelingen ligner den ideelle fra den nye karakterskala, dog med en vis asymmetri mht. karaktererne 02 og 12. Der er ikke i bekendtgørelsen om den nye karakterskala angivet retningslinjer for andelen af elever, der bør bestå. Men evalueringsgruppen vurderer, at andelen af ikke‐beståede er højere, end man med rimelighed kunne forvente, og at der derfor er et vist misforhold mel‐lem de krav, der stilles ved denne skriftlige prøve, og de kompetencer og matematiske færdigheder, som eleverne besidder. Årsagen til dette misforhold kan være mange, og evalueringsgruppen har ikke mulig‐hed for at udpege nogle som mere væsentlige frem for andre, se dog analyse af opgaverne side 9‐16.

Resultater fra forcensuren Ved denne eksamenstermin indsendte førstecensorerne indberetning om deres pointfordeling for de fem første elever på hvert hold. Dette gav et talmateriale, der dækker pointtallene for 966 elever, altså lidt mere end 1/5 af samtlige elever, og det må betegnes som et repræsentativt udsnit af eleverne. På baggrund af denne forcensur er den nærmere analyse af årets skriftlige eksamen i matematik på stx B‐niveau udført.

Ved karakterfordelingen på baggrund af pointtallene fra forcensuren er benyttet følgende pointskala ‐ som er den samme som benyttedes ved censormødet, dog uden overlap. Pointtal 0 ‐ 6 7 ‐ 35 36 ‐ 42 43 ‐ 56 57 ‐ 72 73 ‐ 88 89 ‐ 100 Karakter ‐3 00 02 4 7 10 12

Herunder ses en sammenligning af karakterfordelingerne fra eksamen med den fordeling som forcensu‐ren giver anledning til:

8

Det ses, at karakterfordelingen ved forcensurindberetningerne og den endelige karakterfordeling for alle elever ved eksamen er meget ens. Dette tolkes på den måde, at forcensuren giver et meget retvisende billede af elevernes præstationer ved eksamen.

Ud fra forcensuren kan vi observere fordelingen af det samlede pointtal, som eleverne opnåede, og som ligger bag de tildelte karakterer. Den ses herunder:

9

Det umiddelbare indtryk er, at pointtallene fordeler sig jævnt omkring 50 point. Dette er ikke tilfredsstil‐lende. Traditionelt har opereret med den tommelfingerregel, at man skal have omkring 45 point for at bestå.

Anmeldelse af eksamenssættet for stx B samt pointtildeling ved eksamen

ANMELDELSE POINTTILDELING VED EKSAMEN

Prøven uden hjælpemidler

Opgave 1 (reduktionsopgave) Forkortning af brøken

Opgave 2 (differentiation, tangent) Differentiation af tredjegradspolynomium, indsæt‐telse af x‐værdi, bestemmelse af tangentligning i punkt opgivet på formen (a , f(a)).

10

Opgave 3 (eksponentialfunktion) Bestemmelse af parameterværdier i eksponentielt funktionsudtryk ud fra to opgivne punkter på gra‐fen.

Opgave 4 (ensvinklede trekanter) Bestemmelse af sidelængde vha. ensvinklede ret‐vinklede trekanter. De opgivne data er markeret på figur. Undervejs kræves anvendelse af Pythago‐ras’ sætning til katedebestemmelse.

Opgave 5 (bestemt integral) Beregning af bestemt integral af sum af potens‐funktion og eksponentialfunktion.

11

Prøven med hjælpemidler

Opgave 6 (empirisk lineær model) Fortolkning af konkret lineær udviklingsmodel som beskrivende jævn vækst. Hvad betyder de kon‐stanter som indgår? Bemærkninger: Den ledsagende tekst beskriver modellen upræ‐cist. Der er øjensynligt tale om det kumulerede antal ophugninger siden 1987, dvs. x = 0 svarer til 1987 (primo, medio, ultimo?). Det er næppe me‐ningsfyldt, at modellen angiver en startværdi på 69550. Hvad skal der forstås ved det samlede antal biler sendt til ophugning 0 år efter 1987? En for‐tolkning af startværdien bliver altså temmelig spidsfindig – og meget vanskelig i en eksamenssi‐tuation.

Opgave 7 (trekantsberegning) Tegning af retvisende trekant ud fra opgivne stør‐relser. Cosinusrelation til sideberegning, sinusfor‐mel i retvinklet trekant til beregning af højde. Høj‐den skal eleven selv indtegne.

12

Opgave 8 (potensmodel) Bestemmelse af parameterværdier i potensmodel ud fra 2 opgivne funktionsværdier. Bestemmelse af værdi af uafhængig variabel ud fra opgivelse af afhængig. Kræver identifikation af sproglig beskri‐velse med symbol. Bemærkninger: Det angives ikke, at der er tale om en potensmo‐del, hvilket også er irrelevant for opgavens løsning. Opgaven tester således udelukkende elevens kompetencer mht. manipulation af et givent funk‐tionsudtryk, som formodes velkendt, bl.a. fordi det indgår i potensmodeller.

13

Opgave 9 (eksponentiel model) Identifikation af afhængig og uafhængig variabel ud fra sproglig beskrivelse. Benyttelse af ekspo‐nentiel regression på CAS‐værktøj. Med de fundne parameterestimater at opstille funktionsudtryk, beregne funktionsværdier og fordoblingskonstant. Bemærkninger: Detaljeringsgraden for modellens genstands‐område er generende for opgavens løsning. Den kunne ligeså godt have lydt: En bestemt indtægts‐post, her kaldet DHN, er en funktion af x, hvor x er antal år efter 2002. Sammenhængen kan med god tilnærmelse … eksponentiel… Bestem ud fra tabel‐len … ”Hvert år opgøres de danske bankers samlede nettoge-byrindtægt for 1. halvår, her kaldet DHN.”

Opgave 10 (arealbestemmelse vha. integration) Bestemmelse af område afgrænset af graf for tredjegradspolynomium og koordinatakse ud fra figur og funktionsudtryk. Arealbestemmelse vha. integration mellem relevante grænser.

14

Opgave 11 (polynomiel model) Eleven skal kunne identificere udtrykkene for de funktioner, som indgår i udtrykket for F(x), der‐næst indsætte i og evt. reducere udtrykket for F(x). Herefter finde den x‐værdi som giver maksi‐mum. Dette kan gøres grafisk med CAS‐værktøj. Maksimumsværdien ønskes ikke bestemt. Bemærkninger: Opgaven kombinerer to funktioner i én funktion. Det må formodes, at dette forhold hæver tærskel‐værdien for opgaven. Imidlertid er den sproglige iklædning af opgaven uheldig. Den elev, som læser opgaven efter følgende skabelon, sparer tid og undgår at blive forvirret af teksten: ”En funktion F er givet ved udtrykket F(x) = … hvor p og O er angi‐vet ovenfor”. Opgavens tekst er ‐ ud over at være upræcis og misvisende ‐ lang og uoverskuelig i forhold til, hvad der spørges om til sidst. Sprogligt er det uklart, hvilke variable beskriveren ”pr. uge” skal knyttes til. Den opmærksomme elev vil forstå, at det ikke betyder noget, eller rettere at teksten kun giver mening, hvis ”pr. uge” knyttes til både O, x og F. Denne indsigt forstyrres dog af, at opgavens brug af ”ugentlig” efterfølgende nærmest er selv‐modsigende. Sprogligt angives p(x) som den samlede pris for en ugentlig produktion på x, men i udtrykket for F betyder det den ugentlige stykpris. Hvis eleven ikke er hægtet af her, har vedkommende måske spekuleret på, hvilken møntfod der regnes i. Det skal man (selvfølgelig) ikke. Derimod præciserer opgaven, at x opgøres ugevist i tusinder.

a) Bestem en forskrift for F(x) , og benyt modellen til

at bestemme størrelsen af den produktion pr. uge, som giver størst fortjeneste.

15

Opgave 12 (eksponentiel model) Eleven skal kunne indsætte i funktionsudtrykket for eksponentielt henfald, T‐T0 = T1⋅ exp(‐ct) med opgiven værdier af T0, T1 og c og skal kunne fortol‐ke betydningen af exp(‐t)→ 0 for t→ + ∞ i den konkrete sammenhæng. Endvidere skal eleven kunne løse ligningen med hensyn til t ud fra en (sprogligt) opgiven værdi af T. Bemærkninger: Opgaven har en utilsigtet komplikationsgrad, fordi de variable er T og t. Derfor kræver tastning på CAS‐værktøj, at man skifter betegnelse for den ene variabel.

Opgave 13 (funktionsundersøgelse) Eleven skal kunne bestemme fortegnsvariation for differentialkvotient og benytte dette til maksi‐mumsbestemmelse. a) Gør rede for, at funktionen f har et maksimum, og

bestem dette maksimum.

16

Opgave 14 (løsning af 2 ikke‐lineære ligninger med 3 variable) Opgaven er af formen: En iklædende tekst forkla‐rer en sammenhæng mellem 3 størrelser, V, r og h. Bestem V som funktion af r ud fra to opgivne ikke‐lineære ligninger f1(r,h) = 0 og f2(V,r,h) = 0. Eleven skal indse, at dette kan gøres ved elimination af variablen h og dernæst udføre de nødvendige algebraiske manipulationer, alternativt indtaste værdier i et passende CAS‐program. Bemærkninger: Teksten er unødig kompliceret. Den elev, som prøver at forstå den bagvedliggende geometri og betydningen af måleenheder, vil have spildt tid (som meget vel kan være betragtelig, da disse sammenhænge ikke er helt simple) i forhold til den elev, som blot skræller teksten af. Løsning af ikke‐lineære ligningssystemer, omend relativt enkle, er i yderkanten af kernestoffet.

”En bestemt type af massive metalgenstande fremkom-mer ved at fjerne en halvkugle i hver ende af en cylin-der. Radius i halvkuglerne er lig med cylinderens radius. For en metalgenstand af denne type, hvor overfladen skal være 4 dm2, gælder, at…”

Opgave 15 (vurdering af påstand baseret på stati‐stik) Opgaven kræver forståelse og fortolkning af stati‐stiske sammenhænge, herunder skjulte variable versus kausalitet, på et niveau, hvor man kritisk kan vurdere en given (avis)teksts udlægning af et statistisk resultat. Bemærkninger: Opgaven udgør en spændende nyskabelse i sit sigte. Men det bør i opgaveteksten pointeres, at den adspurgte kritik skal foretages ud fra en ma‐tematikfaglig synsvinkel. Man kan hævde, at det fremgår af konteksten, men dette forplumres af, at eleven afkræves en bestemt stilistisk tilgang – kritikken skal formuleres i form af spørgsmål. Med mindre sættet skal teste journalistiske kompeten‐cer, er dette en unødig komplikation, som, hvis eleven tager den alvorligt, i bedste fald vil være et ikke ubetydeligt tidsspilde.

17

Samlet vurdering Opgavesættet kommer godt omkring i læreplanens kernestof og kompetencer. Imidlertid er nogle af opgaverne problematiske, som det er beskrevet ovenfor i ”Bemærkninger”. Denne kritik omhandler op‐gaver som referer til en ikke‐matematisk kontekst. Kritikken falder i to dele, dels at opgaver er upræcist eller vildledende udformet, dels at opgaver giver komplicerede beskrivelser som er irrelevante i forhold til opgavens spørgsmål. Men det er muligt, at der er samme bagvedliggende årsag til de kritisable opga‐veformuleringer. Det virker som om opgaverne ikke er formuleret med et klart formål med den iklædende tekst (på nær opgave 15, hvor det overordnede sigte, matematikfaglig kritik af mediers talbaserede påstande, synes klart). Man kan opstille en række formål med sådanne iklædninger:

• En (velkendt) kontekst gør det lettere for eleven at forholde sig til det matematiske indhold. • Eleven skal testes for kompetencen at uddrage et stringent matematisk indhold fra en sproglig

beskrivelse (identifikation af variable, opstilling/fortolkning af ligninger der optræder i bestemte modeller, etc.).

• Opgaverne skal demonstrere at matematik er relevant i en række ikke matematiske sammen‐hænge.

• Elevens vurdering af, hvilket af tekstens indhold der er relevant for den matematiske sammen‐hæng skal testes.

Det sidste punkt er kun meningsfyldt, hvis teksten ER relevant i en vis udstrækning. For nogle af tekstop‐gaverne rummer teksten imidlertid en del støj i forhold til, hvad der faktuelt adspørges. Med dette me‐nes, at teksten er udformet på en sådan måde, at den hæmmer eleven tidsmæssigt eller forståelses‐mæssigt i at teste de kompetencer, som opgaven egentlig omhandler. Dette gælder, som anført i be‐mærkningerne ovenfor, opgave 6 og opgave 11, som begge, især opgave 11, har forvirrende tekster, samt opgave 14, hvor teksten udgør en unødig komplikation. Man kan endvidere spørge om det rimelige i, at eleven i opgave 15 pålægges et bestemt format, der intet har at gøre med matematikfaglige kompe‐tencer.

Hf‐sættet indeholder ikke samme skavanker og er i det hele taget udformet så opgaverne er lettere at besvare (se evalueringen herefter). Dette til trods for, at læreplanerne er meget ens for de to forløb.

18

Øvrige kommentarer til pointtildelingen Som det fremgår af blokdiagrammerne, er der særligt tre opgaver, som meget få elever opnår point i overhovedet. Det er opgaverne 1 og 14, hvor over 75% af eleverne får 0 point og opgave 11, hvor over 50% får 0 point. Desuden er der en række andre opgaver, som en meget stor andel af eleverne ikke op‐når point i. Evalueringsgruppen mener ikke, at det er hensigtsmæssigt, at der er tre spørgsmål, som så få elever magter i ét opgavesæt. Der er derudover 6 opgaver, hvor over 30% af eleverne opnår 0 point.

I mange af spørgsmålene opnår eleverne enten 0 point eller fuldt pointtal, så der er tale om en slags knald‐eller‐fald‐opgaver. Det kan skyldes, at eleverne har tendens til fortrinsvis kun at besvare opgave‐spørgsmål, som de er sikre på er rigtige og undlader at aflevere delvist rigtige besvarelser. Det anbefales derfor, at lærerne opfordrer eleverne til også at aflevere besvarelser, som de ikke er helt sikre på, er rigtige.

Pointfordelingen i enkelte spørgsmål er dog anderledes. Dette ses fx i opgave 12a, hvor der er to del‐spørgsmål. En del elever opnår derfor point for den ene del, og det giver en mere jævn pointfordeling. Andre eksempler på mere jævn pointfordeling er i de spørgsmål, hvor eleverne skal kommentere deres eget resultat eller en påstand fra opgaveteksten. Særligt opgave 15 viser en meget jævn fordeling i point‐tildelingen.

Pointfordelingen for helhedsindtrykket er bemærkelsesværdigt. Det kan undre, at over halvdelen af ele‐verne kun opnår 2 point eller mindre ud af 5. Vurdering af helhedsindtryk er nyt, og måske betyder det, at censorerne er mere forsigtige i deres pointtildeling. Måske er der brug for en diskussion og en præci‐sering af, hvad og hvordan man vurderer helhedsindtrykket – jf. anbefalingerne.

Vi vender her tilbage til de tre opgaver, som kun de færreste elever opnåede point i – nemlig opgaverne 1, 11 og 14 – for at analysere, om det er de samme elever, der opnår point i disse tre opgaver.

Herunder ses en opgørelse af, hvor stor procentdel af eleverne der får fra fra nul til femten point i disse tre opgaver tilsammen. Det fremgår at ca. 45% opnår 0% i alle tre opgaver, og at under 1% af eleverne opnår 15 point i disse tre opgaver. Det kan derfor konkluderes, at det ikke gælder, at gode elever henter mange point i alle disse tre opgaver.

19

Hierarkisk klyngeanalyse For at analysere sammensætningen af eksamenssættet er der foretaget en hierarkisk klyngeanalyse. For en nærmere forklaring på metoden se bilaget s. 79. Den hierarkiske klyngeanalyse giver følgende resul‐tat:

Det tydeligste i klyngeanalysen er, at de problematiske spørgsmål 1, 11a, 14a skiller sig ud, hvilket ikke er underligt, da en stor del af eleverne ikke har klaret nogen af dem og derfor har præsteret ens i disse op‐gaver. Endvidere er det bemærkelsesværdigt, at visse dobbeltspørgsmål grupperes meget tidligt. Således er 9a, 9b og 8a, 8b de første grupperinger, hvilket tyder på, at det er nogenlunde samme beredskab i at demonstrere de kompetencer, eleverne har til a og b spørgsmålene i disse opgaver. Det noteres i øvrigt, at den hierarkiske struktur er forholdsvis flad. Det vil sige, at de enkelte spørgsmål snarere ligner andre enkeltspørgsmål end grupperinger af enkeltspørgsmål. De enkeltspørgsmål, der inddrages senest i hie‐rarkiet, er 7b samt, ikke overraskende, helhedsvurderingen.

Det understreges her ganske tydeligt at opgaverne 1, 11a og 14a er står helt for sig selv – og de føres først sammen med de øvrige opgaver i sættet ved sidste sammenføring.

Prøven med og uden hjælpemidler Herunder ses en opgørelse over sammenhængen mellem pointtallene i prøven uden og prøven med hjælpemidler.

20

Hvert punkt i diagrammet svarer til en elevs præstationer i prøven uden hjælpemidler og i prøven med (bemærk, at et punkt kan præsentere flere elever, der havde samme kombination i pointtal). Den røde linje præsenterer de punkter, hvor der opnås samme brøkdel af fuldt pointtal i de to prøver. Som forventet følger punkterne til dels den røde linje, men der er en forholdsvis stor spredning, hvilket betyder, at eleverne ikke klarer de to prøver ens. Der er overvægt af punkter over linjen, og det kan tolkes derhen, at eleverne klarer prøven med hjælpemidler bedre end prøven uden.

Pointfordeling opgjort efter den opnåede karakter For at analysere hvordan de forskellige spørgsmål i prøven klares af elever på forskelligt niveau, har vi opgjort den gennemsnitlige pointfordeling for de enkelte spørgsmål for de elever, der opnåede samme karakter.

21

22

23

24

Man kan bemærke, at der er én opgave, som de fleste elever opnår point i, og det er opgave 7a.

Som forventet ligger de tre opgaver, som få elever opnår point i (opgave 1, 11 og 14), sammen med opgave 5 meget lavt for elever på alle niveauer.

Opgave 6a og 15, hvor eleverne skal kommentere, ligger forholdsvist højt også for elever, der opnår en lav karakter.

Det er bemærkelsesværdigt, at pointtildelingen i langt højere grad, end det er tilfældet for hf B, vokser i takt. Dette er meget uheldigt, da det er et tegn på, at opgaverne ikke differentierer eleverne.

Helhedsindtrykket vurderes lavt, selv for elever der ellers opnår en høj karakter.

Hvordan opnår eleverne deres point – efter niveau? Det er også interessant at vide, hvordan eleverne opnår deres point i prøve. Herunder ses en opgørelse over andelen af spørgsmål, hvor eleverne opnåede henholdsvis 0 point, 1 point osv.

25

Diagrammet skal forstås således, at fx af de elever, der opnåede karakteren 7, havde besvaret ca. 15% af spørgsmålene til 0 point, ca. 6% af spørgsmålene til 1 point, ca. 11% af spørgsmålene til 2 point osv. Det er karakteristisk, at der på hvert niveau er rundt regnet samme andel spørgsmål, der vurderes til 1 point, 2 point, 3 point eller 4 point. Kun andelen af spørgsmål til 0 point og 5 point gør forskellen. Dette viser, at relativt få elever får vurderet deres besvarelser af enkelt spørgsmål til et pointtal mellem 0 og 5.

Censorernes vurdering af opgavesættet I forbindelse med forcensuren blev censorerne bedt om at afkrydse et kort spørgeskema om deres ind‐tryk af opgavesættet. Desuden kunne de kommentere opgavesættet som helhed, enkeltopgaver og ele‐vernes besvarelser. Dette skete på et tidspunkt, hvor alle censorer havde rettet første portion af censu‐ren, dvs. alle opgaverne var rettet af førstecensor. Desværre havde kun 20 censorer indsendt spørge‐skemaet. Da så få censorer svarer, vælger vi ikke at anføre censorernes kommentarer til opgavesættet, men kun optællingen:

26

27

Omfanget af censorer der svarer ”passende”, er i alle spørgsmål langt den overvejende del. Enten vælger de fleste blot den neutrale mulighed, eller også er det udtryk for stor tilfredshed i censorkorpset. Det er dog bemærkelsesværdigt, at mere end 25% vurderer arbejdsmængden i prøven uden hjælpemidler som for lille.

De tre opgaver, hvor kun få elever opnår point, vurderes også af flere censorer som for vanskelige, men her er alligevel tale om et mindretal. Det er bemærkelsesværdigt, at censorerne vurderer opgave 15 som vanskeligst, når eleverne klarer denne opgave rimeligt.

Generelt må man konkludere, at censorernes opfattelse af opgavesættet står i skarp modstrid til elevernes faktiske præstation. Dette er så meget mere opsigtsvækkende, da alle opgaverne er rettet af førstecensor, når spørgeskemaet udfyldes.

Man kan diskutere om censorernes vurdering af opgavesættet kan tillægges betydning. Man kunne overveje, om det måske var mere meningsfyldt at lade de lærere, der faktisk har undervist eleverne, om at vurdere opgavesættet.

28

Evaluering af skriftlig eksamen på hf B

Pointfordeling og karakterfordeling på hf B Ved denne eksamenstermin deltog 1940 hf‐kursister i den skriftlige prøve i matematik B efter den nye ordning. Herunder ses karakterfordelingen ved denne prøve:

Karakter ‐3 00 02 4 7 10 12 Frekvens 2,2% 21,8% 8,0% 17,4% 21,8% 21,5% 7,3%

Middeltallet blev 5,34 og kvartilsættet ( 1,26 ; 5,59 ; 8,94 )

Karakterfordelingen ses på diagrammet herunder:

Karakterfordelingen for de beståede ses her:

29

Karakterfordelingen for de beståede ligner meget den ideelle fordeling, som er foreslået i forbindelse med indførelsen af 7‐trinsskalaen. Man kan dog diskutere, om det er rimeligt, at 24% af hf‐kursisterne på B‐niveau dumper. Dumpeprocenten svarer til, hvad der i en længere årrække var på hf tilvalg.

Opgør man eksamensresultatet efter typen af uddannelsesinstitutioner, får man:

Karakter ‐3 00 02 4 7 10 12 Antal

kursister Frekvens gymnasier

1,9% 28,0% 8,7% 20,4% 20,7% 16,5% 3,7% 642

Frekvens VUC

2,9% 19,1% 8,4% 15,4% 21,0% 23,8% 9,5% 944

Frekvens hf‐kurser

1,5% 18,6% 5,1% 15,7% 26,3% 25,5% 7,3% 274

Frekvens St‐kurser

0,0% 13,8% 8,7% 22,5% 25,0% 20,0% 10,0% 80

30

Når man ser karakterfordelingen for hver kursustype, springer det i øjnene, at kursister fra hf‐kurserne på gymnasierne opnår markant dårligere resultater end fra de andre uddannelsestyper. Her kan være mange forklaringer, og hvis det skal afdækkes, kræver den en målrettet evaluring. Denne evaluering kan ikke give afklaring, men forskellen er så markant, at det er værd at undersøge nærmere.

Resultater fra forcensuren I forbindelse med censureringen blev censorerne bedt om at indsende deres pointtal for de fem første kursister på hvert hold. Herved indsendtes pointtallene for 719 kursister. Dette svarer til mere end 1/3 af de kursister, der deltog i den skriftlige prøve, og vi har dermed et repræsentativt udsnit af alle kursister‐ne.

Ved karakterfordelingen på baggrund af forcensuren er benyttet denne pointskala, som er den samme, som benyttedes ved censormødet, dog uden intervaloverlap.

Pointtal 0 ‐ 6 7 ‐ 40 41 ‐ 46 47 ‐ 60 61 ‐ 76 7 ‐ 92 93 ‐ 100 Karakter ‐3 00 02 4 7 10 12

Herunder ses karakterfordelingen for forcensuren sammenlignet med karakterfordelingen ved eksa‐mensresultatet.

31

Det ses, at karakterfordelingen ved forcensurindberetningerne og den endelige karakterfordeling er me‐get ens. Dette tolkes som, at forcensuren giver et meget retvisende billede af elevernes præstationer ved eksamen.

Ud fra forcensuren kan vi observere den samlede pointfordeling for eleverne, der ligger bag de tildelte karakterer. Den ses herunder:

32

Anmeldelse af eksamenssættet for hf B samt tildelingen af point

ANMELDELSE TILDELING AF POINT

Prøven uden hjælpemidler

Opgave 1 (differentiation af funktionsudtryk) Kendskab til simple differentiationsregler og diffe‐rentialkvotienter.

Opgave 2 (reduktionsopgave) Regning med parenteser.

33

Opgave 3 (ekstremumsbestemmelse vha. differen‐tialkvotient) Redegørelse for og anvendelse af sammenhæng mellem differentialkvotient og monotoniforhold. Skitsering af graf på baggrund heraf. Bemærkning: Sidste spørgsmål er af typen ’giv et eksempel på graf som har bestemte egenskaber’. Dette er kognitivt set en mere avanceret opgave end at verificere egenskaberne i konkret tilfælde.

Opgave 4 (stamfunktionsbestemmelse) Stamfunktionsbestemmelse af sum af elementære funktioner.

34

Opgave 5 (empirisk lineær model) Tolkning af lineær model i konkret sammenhæng.

En person har aflæst sin elmåler hver aften igennem en periode på 14 dage. Det viser sig, at der med tilnærmelse gælder

Prøven med hjælpemidler

Opgave 6 (geometrisk model) Afstandsberegning vha. trekant(er). Anvendelse af vinkelsum = 180, sinusrelationer, indtegning af højde fra given vinkelspids, sinus til vinkel i ret‐vinklet trekant. Bemærkning: Trekantens betegnelser angives eks‐plicit, og det angives, hvilke størrelser der ønskes beregnet. Den ledsagende tekst tjener til at gøre opgaven konkret, hvilket kan være en støtte for nogle kursister.

35

Opgave 7 (potensmodel) Identifikation af uafhængig og afhængig variabel ud fra sproglige markører (hvad kommer efter ”funktion af …”?). Identifikation af funktionstype ud fra funkti‐onsudtryk (her potensfunktion). Indtastning af tabel‐værdier i CAS‐program til potensregression. Fastlæg‐gelse af funktionsudtryk ud fra regressionsestimater. Indsættelse i herved fremkommet udtryk. Bestem‐melse af procentvis ændring ved fordobling af uaf‐hængig variabel. Bemærkning: Det må forventes, at de elever, der bestemmer fordobling af variabel ved at sammenlig‐ne fx f(1) med f(2), refererer til en egenskab ved po‐tensfunktioner.

36

Opgave 8 (funktionsundersøgelse) Bestemmelse af toppunkt for parabel. Skitsering af parabel. Bestemmelse af tangentligning i opgivet punkt. Bemærkninger: At der er tale om parabel, er ikke angivet i teksten. Ikke desto mindre tales der uden videre om toppunktet for grafen. Hensigten med sådanne implicitte oplysninger er uklar, og relevan‐sen kan diskuteres.

Opgave 9 (eksponentiel model) Genkendelse af eksponentiel model ud fra markøren ”fordobles, hver gang …”. Opstilling af funktionsud‐tryk ud fra begyndelsesværdi og fordoblingstid. Ele‐ven skal selv vælge betegnelser. Bemærkning: Denne opgave har ret høj indgangstær‐skel.

Ved dyrkning af en bestemt bakterie optælles antallet af bakterier med jævne mellemrum igennem nogle timer. Ved forsøgets start var der 15 bakterier, og det viser sig, at antallet af bakterier fordobles, hver gang der er gået 22 minutter. a) Opstil en formel, der beskriver antal bakterier som

funktion af antal minutter efter forsøgets start.

37

Opgave 10 (funktionsundersøgelse) Bestemmelse af nulpunkter for differentialkvotient af trediegradspolynomium. I passende CAS‐værktøj kan dette gøres ved en (sammensat) kommando anvendt på det korrekt indtastede funktionsudtryk. Beskrivelse af betydning af disse nulpunkter. Nul‐punktsbestemmelse for tredjegradspolynomium på CAS‐værktøj. Arealbestemmelse vha. integration af angivet område mellem graf og akse. Bemærkninger: Der efterspørges i a) kun vandret tangent, ikke mo‐notoniforhold, så arealbestemmelsen i b) kræver plotning af graf eller overvejelser om asymptotisk opførsel/fortegn for at kunne bestemme grænser for integration.

a) Løs ligningen f ’(x) =0, og forklar, hvad de fundne

x-værdier fortæller om grafen for f . b) Løs ligningen f(x) =0. Bestem arealet af det områ-

de i 1. kvadrant, som afgrænses mellem grafen og x-aksen.

38

Opgave 11 (potensmodel) Ligning for konkret model (potens = 4) med sproglig beskrivelse angives. Ud fra sproglig angivelse af kon‐kret værdi for uafhængig variabel skal eleven be‐stemme værdien af den afhængige variabel. Ud fra sproglig angivelse af værdi for afhængig variabel skal eleven bestemme værdien af den uafhængige varia‐bel (uddragning af 4. rod).

39

Opgave 12a (eksakt model) Eleven skal redegøre for opgivet funktionsudtryk for rumfang, R, af kasse, som funktion af ombukning, x. Dette indebærer identifikation af ”højde, længde og bredde” udtrykt ved ombukningen samt indsættelse i formlen for rumfang af retvinklet kasse. Endvidere skal eleven redegøre for at der findes et maksimalt rumfang og bestemme den tilhørende x‐værdi, dvs. finde relevant nulpunkt for differentialkvotient (af tredjegradspolynomium).

40

Opgave 12b (potensmodel) Potensmodel (af udbredelse af lyd) givet som funk‐tionsudtryk. Eleven skal ud fra sproglig angivelse af funktionsværdi beregne den tilsvarende værdi af variabel. Endvidere skal differentialkvotienten i et bestemt punkt beregnes, fx på CAS‐værktøj. Endvi‐dere skal differentialkvotienten som vækstrate for‐tolkes i den konkrete kontekst.

Samlet vurdering Sættet er regulært og kommer godt omkring i kernestof og kompetencer. På nær de to funktionsunder‐søgelsesopgaver er alle opgaver i delsættet med hjælpemidler modelopgaver i form af iklædningsopga‐ver. Iklædningsteksten tester stort set kun elevens kompetence til at gå frem og tilbage mellem sproglige

41

beskrivelser af størrelser og disses optræden i funktionsudtryk og ligninger, og der stilles ingen krav til fortolkning udover i opgave 12 b hvor ’vækstrate’ skal oversættes ’temperaturændring per grad’.

Der er en bemærkelsesværdig forkærlighed for opgaver, der handler om (udbredelses)hastighed. Af de 6 modelopgaver har 4 dette tema.

Øvrige kommentarer Dette er første eksamen, hvor der på hf B‐niveau er eksamen i prøve uden hjælpemidler. Generelt er resultatet tilfredsstillende (se uddybningen næste afsnit). I delprøven uden hjælpemidler er det opgave 3, hvor kursisterne opnår dårligst resultat i. Dette er en opgavetype, hvor kursisterne ikke skal bruge en formel, men fortolke fortegnsvariationen for f ’(x) – en problemstilling, der åbenbart er vanskelig, måske fordi denne type opgaver er nye og ikke trænes i så høj grad som standardopgaver. Samme mønster ses i opgave 10a, hvor kursisterne skal fortolke løsninger til ligningen f ’(x) = 0. I denne opgave er i øvrigt en meget jævn fordeling af point.

Opgaver med en tydelig topuklet pointfordeling, fx opgave 7a og 11a, er spørgsmål med to delspørgsmål, og pointfordelingen afspejler, at en del kursister kun besvarer den ene del korrekt.

Det bemærkes, at der ikke er nogen opgaver, hvor kun meget få elever kan opnå point. Mest markant er spørgsmål b i de to valgfrie opgaver, hvor størst andel af elever opnår 0 point.

Vurderingen af helhedsindtrykket giver en helt anderledes fordeling end de andre spørgsmål. Her er der meget få elever, der opnår fuldt pointtal. Vurdering af helhedsindtryk er nyt, og måske betyder det, at censorerne er mere forsigtige i deres pointtildeling. Måske er der brug for en diskussion og en præcise‐ring af, hvad og hvordan man vurderer helhedsindtrykket – jf. anbefalingerne.


42

Det er bemærkelsesværdigt, at helhedsindtryk indgår i første klyngedannelse med opgave 10 a, som ellers klynges med opgave 10 b. Disse to opgaver omhandler aspekter af klassisk funktionsundersøgelser og klynges også tidligt med opgave 3, ligeledes funktionsundersøgelse. Spørgsmålene klynges klart i to hovedgrupper. Gruppen som udgøres af venstre hovedklynge består af de spørgsmål, hvor eleverne med de laveste karakterer (‐3 og 00) henter deres points. Dobbeltspørgsmål falder med spørgsmål a i venstre klynge og spørgsmål b i højre (og 7a og 7b grupperes til venstre, 7c til højre). Dette kan tolkes som, at opgaverne i en vis grad måler grad af målopfyldelse.

Endvidere bemærkes, at opgaverne uden hjælpemidler falder i begge de to hovedgrupper (opgaverne 1, 2, 5 i den ene og opgaverne 3 og 5 i den anden). Som for stx er hierarkiet ret fladt.

Den valgfrie opgave 12 er ikke inddraget i klyngeanalysen.

Prøven uden og med hjælpemidler Vi har undersøgt, hvordan prøven uden hjælpemidler forløb her første gang den blev stillet på hf‐B. Kur‐sisterne kunne opnå maximalt 25 point ved denne prøve, og pointfordelingen var:

43

HF-B 2007 Pointfordeling for prøven uden hjælpemidler

0

5

10

15

20

25

30

35

0 - 5 point 5 - 10 point 10 - 15 point 15 - 20 point 20 - 25 point

Pointtal

Proc

ent

Man ser, at omkring 24% af kursisterne opnår et pointtal under 10 point, hvilket svarer til en præstation under dumpegrænsen. Men det er i fin overensstemmelse med det samlede resultat af eksamen, så kur‐sisterne har i gennemsnit klaret prøven uden hjælpemidler efter samme mønster, som de klarede prøven generelt.

For at undersøge forskellen på præstationer ved de to prøver er herunder vist hver kursists resultat ved prøven uden og prøven med hjælpemidler. Hver prik i diagrammet svarer til en kursist (eventuelt flere, hvis flere kursister har samme kombination af pointtal).

HF-B 2007 Prøven med og uden hjælpemidler

0

10

20

30

40

50

60

70

80

0 5 10 15 20 25 30

Pointtal for prøven uden hjælpemidler

Poi

ntta

l for

prø

ven

med

hjæ

lpem

idle

r

44

Den røde linje svarer til, at kursisterne klarer begge prøver med samme resultat. Som forventet fordeler punkterne sig langs linjen med en forholdsvis stor spredning. Der er dog en overvægt af punkter under linjen, hvilket betyder, at kursisterne tilsyneladende opnår forholdsvis flere punkter i prøven uden hjæl‐pemidler end i prøven med.

Man kan konkludere, at prøven uden hjælpemidler har vist sig også at fungere på hf‐B.

Pointfordeling opgjort efter elevernes niveau I hvilke opgaver opnår eleverne deres point? Herunder findes pointfordeling opgjort efter den opnåede karakter:

45

46

47

48

Det kan bemærkes, at søjlerne vokser ret varieret, hvilket betyder, at der er differentiering i sværhedsgrad gennem sætttet. Det ses, at ingen opgaver tydeligt kun besvares af de bedste kursister, idet pointtallen for alle spørgsmålene vokser nogenlunde jævnt med karakterniveauet. Dog ses spøgsmålene 7c og 9a samt b‐spørgsmålet i de valgfrie opgaver at have været sættets vanskeligste. Det er interessant at bemærke, at pointtallene ved helhedsindtrykket bidrager en del til de svagere kursisteres pointtal, men ligger blandt de laveste hos de kursister, der opnår en god karakter.

Hvordan opnår eleverne deres point? Vi har undersøgt, hvordan eleverne opnår deres pointtal efter den karakter, de fik. Dette er gjort for at se, om det opnåede pointtal overvejende opnås ved korrekt besvarede spørgsmål, eller om det kommer til veje ved mange delvist korrekt besvarede spørgsmål.

Diagrammet skal forstås således, at fx de elever, der opnåede karakteren 7, havde besvaret ca. 12% af spørgsmålene til 0 point, ca. 6% af spørgsmålene til 1 point, ca. 9% af spørgsmålene til 2 point osv. Det er karakteristisk, at der på hvert niveau er rundt regnet samme andel sprøgsmål, der vurderes til 1 point, 2 point, 3 point eller 4 point. Kun andelen af spørgsmål til 0 point og 5 point gør forskellen. Dette underbygger, at de fleste elever får enten 0 eller 5 point i opgaverne.

49

Censorernes evaluering af opgavesættet Foruden indsendelse af forcensuren blev censorer bedt om at udfylde et kort spørgeskema. Desværre indsendte kun 18 censorer indsendt deres svar. Derfor er materialet for lille til at drage egentlige konklu‐sioner ud af. Resultatet ses her:

50

Man kan roligt fastslå, at de censorer der besvarede, er meget tilredse med opgavesættet. På grund af det lile antal besvarelser undlader vi yderligere konklusioner, og vi afstår fra at bringe censor‐kommentarer til opgavesættet.

Man kunne overveje, om det er relevant med denne form for evaluering af opgavesættet, eller om man skulle bede de lærere, der har undervist kursisterne om at evaluere årets opgavesæt.

51

Sammenligning mellem prøverne stx B og hf B I denne eksamenstermin er det første gang efter reformen, at der afholdes skriftlig prøve både i mate‐matik på B‐niveau på stx og hf. Selvom de to ungdomsuddannelser er meget forskellige i deres sigte og med hensyn til elevtype, er det alligevel interessant at sammenligne udfaldet af de to prøver, idet de to læreplaner er meget ens, og der er stort set det samme kernefaglige indhold.

Vi bringer her tre grafiske sammenligninger:

Totalpointtal på StxB og HFB - maj 2007(forcensur)

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0 - 5

6 - 1

0

11 -

15

16 -

20

21 -

25

26 -

30

31 -

35

36 -

40

41 -

45

46 -

50

51 -

55

56 -

60

61 -

65

66 -

70

71 -

75

76 -

80

81 -

85

86 -

90

91 -

95

95- 1

00

Pointtal

Frek

vens StxB

HFB

Kvartilsæt samt minimum og maksimum

Stx B totalpoint Hf B totalpoint Middeltal 49,48 58,51

Min. 1 0 25% 31,25 41 50% 50 60 75% 68 79 Maks. 99 99

52

Boksplot:

Ud fra pointtallene fra forcensuren ved de to prøver ses en markant forskel. De pointtal som hf‐kursisterne opnår, er meget højere end pointtallene opnået af elever på stx. Ved censormøderne er der taget højde for denne store forskel i præstation ved justering af de to pointskalaer. Herved kommer ka‐rakterfordelingerne mere til at ligne hinanden. De ses herunder i sammenligning af karakterfordelinger‐ne ved eksamen:

Stx B og HF B karakterfordeling for alle - maj 2007(eksamen)

0

5

10

15

20

25

30

-3 00 02 4 7 10 12

Karakter

Frek

vens StxB

HF B

Stx B og HF B karakterfordeling for beståede - maj 2007(eksamen)

0,0

5,0

10,0

15,0

20,0

25,0

30,0

35,0

02 4 7 10 12

Karakter

Frek

vens Stx B

HF B

53

Sammenligning af elevers besvarelse af enkeltopgaver Det er oplagt, at man skal være varsom med at sammenligne enkeltopgaver fra én prøve med tilsvarende enkeltopgaver i en anden. De enkelte opgaver spiller forskellig rolle i de forskellige prøver. Men de pro‐blemstillinger, som testes ved de to prøver, er alligevel så ens, at det kan være interessant at sammen‐ligne, hvordan de klares. Derfor har vi sammenlignet pointfordeling opnået af eleverne i opgaver, der omhandler samme problemstilling:

Prøve uden hjælpemidler

Stx B Hf B

Reduktions‐opgave stx

hf

Opgave om differential‐kvotient

Integral

54

Prøve med hjælpemidler

Stx B Hf B

Trekants‐beregning

Potensvækst

55

Areal under graf

Bestemmelse af maksimum

56

Eksponentiel model

Opstil formel i model

Optimering

Indsæt i oplyst formel

57

Helheds‐indtryk

Lineær model

På nær enkelte opgavetyper ses, at eleverne på stx B klarer de stillede problemstillinger ringere, end kursisterne på hf B klarer de tilsvarende problemstillinger.

Eksempler på sammenligning af enkeltopgaver hf‐B og stx‐B Det gennemgående indtryk er, at stx‐opgaverne stiller større krav end hf‐opgaverne gør. Et par eksem‐pler:

58

I stx‐opgave 7 og hf‐opgave 6 skal eleverne beregne de samme stykker i en spidsvinklet trekant, men de opgivne data for stx‐opgaven kræver anvendelse af cosinusrelation, mens hf‐opgaven kan klares med sinusrelation. I hf‐opgaven er der angivet en støttende figur med angivelse af alle data, mens stx‐eleven selv skal tegne figur.

Stx‐opgave 9 og hf‐opgave 7 er modelopgaver baseret på tabeller med data. I stx‐opgave skal eleven selv bestemme forskrift ud fra oplysningen ’eksponentiel udvikling’, mens en eksplicit parametriseret forskrift er angivet i hf‐opgaven. Stx‐opgave 9b består af to spørgsmål, herunder bestemmelse af fordoblingstid, som altså tilsammen giver 5 points. Det tilsvarende spørgsmål i hf‐opgaven om bestemmelse af procen‐tuel vækst er separat og kan altså give 5 points alene.

Der er ingen eksempler på den modsatte tendens, altså at et givet spørgsmål har en vanskeligere ud‐formning og giver færrest points i hf‐sættet.

Konklusioner Der er i bekendtgørelserne lagt op til, at undervisningen på stx skal være mere abstrakt, og undervisnin‐gen på stx B skal være et afsæt til stx A‐niveau. Hf‐undervisningen skal være mere konkret og praksisori‐enteret. Dette må selvfølgelig også afspejle sig i de skriftlige prøver i matematik. Evalueringsgruppen mener, at de enkelte opgaver tester relevante kompetencer, men i store dele af eksamenssættet testes kompetencerne på et højere niveau, end man kan forvente, at eleverne kan honorere. Der er tilsynela‐dende bedre overensstemmelse på hf. Dette understreges af klyngeanalyserne. Mens klyngerne på ek‐samenssættet på hf‐B afspejler det opnåede karakterniveau, er der ikke noget klart mønster i klyngnin‐gen for stx.

Man kunne selvfølgelig hævde, at man bør sammenligne eleverne på stx B med kursisterne fra hf‐kurserne på gymnasierne, og så ser man en bedre overensstemmelse i forholdt til karaktererne (dumpe‐procenterne er sammenlignelige). Det ville imidlertid være urimeligt at sammenligne en delpopulation på hf B med hele populationen på stx B, og karaktersammenligningen tager ikke højde for den justerede pointskala på stx B.

Det anbefales, at der foretages en nøjere analyse af problemer, hvor det afdækkes, om der stilles for høje krav til den skriftlige eksamen stx B, eller om undervisningen i matematik stx B må styrkes, så ele‐verne kan leve op til de stillede krav.

Evalueringsgruppen har bemærket, at der er væsentlig forskel i sprogbrugen i stx B og hf B. Sproget er mere direkte i hf B (fx ”To personer bestemmer en flods bredde…” i opgave 6), mens sprogbrugen i stx B har tendens til at vanskeliggøre opgaverne unødvendigt. Vi nævner følgende eksempler:

I opgave 6 er spørgsmålet formuleret således: Beskriv, hvilken information funktionen giver om udviklingen i det samlede antal biler, der er sendt til ophugning siden 1987, og inddrag i beskrivelsen en fortolkning af de konstanter, der indgår i forskriften for f. Sætningen indeholder 34 ord og sætninger på forskellige niveauer. Et punktum i stedet for ”og” kunne afhjælpe dette noget.

59

Passivformer kan være udtryk for et vanskeligere tilgængeligt sprog. Derfor er der en bemærkelsesvær‐dig forskel på antallet af passivformer i de to sæt: • Stx B‐sættet indeholder følgende 11 passivformer: ses, oplyses, beskrives, antages, oplyses, opgøres,

antages, beskrives, sælges, beskrives, fremsættes. • Hf B‐sættet indeholder 6 passivformer: ses, oplyses, beskrives, optælles, fordobles, afgrænses.

60

Evaluering af skriftlig eksamen på hf C

Eksamensresultat Gennemsnittet var 5,2 på ny skala, hvilket svarer til 7,6 efter 13‐skalaen. Dette er højere end gennem‐snittet ved eksamen maj 2006, hvor gennemsnittet var 7,2 efter 13‐skalaen.

Det er bemærkelsesværdigt, at den hyppigst forekommende karakter er 00.

Der var 25%, der dumpede, og 28,1% fik topkarakterer, dvs. 10 eller 12. Dumpeprocenten er identisk med dumpeprocenten til eksamen maj 2006, men at 28,1% fik topkarakterer, er en markant stigning i forhold til maj 2006 hvor kun 18,8% fik topkarakterer.

Hvorvidt en dumpeprocent på 25% er rimelig, kan overvejes. Men det kan konstateres, at dumpeprocen‐ten ved eksamen på hf C‐niveau er markant lavere, end dumpeprocenten var på hf fællesfag.

Eksamensresultat maj 2007

Karakterer ‐3 00 02 4 7 10 12 I alt

Antal 98 1291 491 1090 1025 1168 396 5559

Procent 1,8 23,2 8,8 19,6 18,4 21,0 7,1 100

61

Karakterfordeling for beståede Hvis man betragter karakterfordelingen for de kursister, der har bestået eksamen, fremkommer en i nogen grad symmetrisk fordeling omkring middelkarakteren 7. Det er 4 og 10, der er de mest udbredte karakterer, hvorfor karakterfordeling er svagt topuklet.

Betragter man pointfordeling fra forcensuren (nærmere redegørelse for forcensuren s. 78), er fordelingen mere jævn for de beståede – dvs. kursister, der har opnået over 30 point.

Det kan derfor se ud som om pointskalaen, der ligger til grund for karaktergivningen, har tendens til at fremme den topuklede karakterfordeling.

Denne pointfordeling er markant anderledes, end pointfordelingen var i maj 2006:

62

Anmeldelse af eksamenssættet for hf C samt pointtildeling

ANMELDELSE TILDELING AF POINT

Opgave 1 (ensvinklede trekanter) Bestemmelse af sidelængde vha. sidelængde‐proportionalitet i ensvinklede trekanter. Alle rele‐vante størrelser er markeret på retvisende trekan‐ter.

63

Opgave 2 (simpel rentetilskrivning) Indsættelse i formel for simpel rentetilskrivning. Beregning af rente ud fra opgivet fordoblingstid. En person indsætter 15 000 kr. på en konto i en bank til en fast årlig rente på 2,6 %. a) Hvor stort et beløb står der på kontoen efter 20 år? En anden bank reklamerer for en konto med en fast årlig procentvis rente, hvor et beløb på 15 000 kr. vil blive fordoblet i løbet af 20 år. b) Bestem den årlige procentvise rente for denne bank.

64

Opgave 3 (eksplicit lineær model) Indsættelse i konkret lineær model. Fortolkning af hældningskoefficient som stigningstakt. Indsæt‐telse af værdi for afhængig variabel og løsning mht. uafhængig variabel ud fra sproglig beskrivel‐se. Fortolkning af den fundne værdi x = 10,16 som ’det sker i år 2010’. Bemærkninger: Det bør i opgaveteksten præciseres, om der er tale om kumuleret indtægt siden 2000 eller om samlet årlig indtægt. Statens samlede indtægter fra boligejerne kan for de seneste år med god tilnærmelse beskrives ved følgende lineære model: S = 1,82x + 0,50

Opgave 4 (boksplot) Aflæsning af kvartilsæt ud fra boksplot. Sammen‐lignende fortolkning af boksplot, herunder betyd‐ningen af kvartilsæt.

Bestem øvre og nedre kvartil for hver af de to fordelinger. Sammenlign de to boksplot.

65

Opgave 5 (opstilling af lineær model) Genkendelse af lineær model ud fra markøren ”konstant årlig tilvækst”. Opstilling af model ud fra sproglig opgivelse af årlig tilvækst og initial værdi. Kursisten skal selv vælge betegnelser for afhængig og uafhængig variabel og fastlægge nulpunkt for uafhængig variabel.

Vejdirektoratet opgør hvert år trafikken på udvalgte mo-torvejsstrækninger. I 1996 var årsdøgnstrafikken på Køge Bugt motorvejen 80 000 (dvs. der var i gennemsnit 80 000 køretøjer pr. døgn). I perioden 1996-2005 voksede års-døgnstrafikken på denne motorvej med god tilnærmelse med 2460 om året.

Opgave 6 (geometrisk model) Identifikation af stykker i geometrisk figur. Bereg‐ning af vinkler vha. sinusformel i retvinklet tre‐kant. Bemærkninger: Den ledsagende figur (”podefodboldmål”) er ren staffage og næppe en støtte til løsning af opga‐ven.

66

Opgave 7 (histogram) Indtegning af histogram i forelagt koordinatsy‐stem ud fra tabel. Sammenlignende fortolkning af histogrammer (evt. med udlægning i forhold til kontekst). Hvad siger histogrammerne om de to byer?)

Tegn et histogram, der illustrerer aldersfordelingen i 2006 i København. Beskriv nogle af de væsentlige forskelle mellem aldersfor-delingerne, som fremgår af de to histogrammer.

Opgave 8 (indekstal) Beregning af indekseret størrelse ud fra tabel med indekstal. Nedenstående tabel viser indekstal for, hvor mange motorcykler der blev nyregistreret i Danmark.

Det oplyses, at der i 1995 blev nyregistreret 2263 mo-torcykler i Danmark. a) Hvor mange motorcykler blev der nyregistreret i 2005?

67

Opgave 9 (eksponentiel model) Bestemme parametrene i en eksponentiel udvik‐ling ud fra talværdier i en tekst. Fortolkning af parametrene. Benytte modellen til prognose og sammenlign prognosen med en avisteksts angi‐velse, dvs. tag stilling til ”Er 1780 millioner næ‐sten 2 milliarder?” Hvis ja: ”Er der belæg for en eksponentiel model?”) Bemærkninger: Formuleringen af spørgsmål a) er uheldig. Man kan ikke bestemme parametrene i en empirisk model blot ved at indsætte to punkter. I en au‐tentisk model af befolkningsudviklingen vil para‐metrene a og b være fastlagt ved regressionsana‐lyse ud fra en række måledata. Dette forhold accentueres i spørgsmål c), hvor kursisten jo skal tage stilling til validiteten af en prognose. I spørgsmål b) efterspørges betydningen af pa‐rameteren b. Spørgsmål a) vil næppe kunne be‐svares, uden at kursisten har gjort sig denne be‐tydning bevidst, så dette spørgsmål tæller dob‐belt.

a) Brug udklippets oplysninger om 1950 og 2006 til at

bestemme tallene a og b. b) Forklar, hvad tallene a og b fortæller om antallet af

mennesker over 60 år. c) Bestem antallet af mennesker over 60 år i 2050 ifølge

modellen. Kommentér udklippets prognose for 2050.

68

Samlet vurdering Opgavesættet kommer godt omkring i læreplanens krav til kernestof og kompetencer. Dog vurderes det at it‐kompetencer ud over simple lommeregnerberegninger ikke er nødvendige og kun i ringe omfang er en fordel for kursisten. Dette forhold gjorde sig også gældende i 2006.

I opgaverne 4, 7 og 9 stilles der krav om fortolkninger og sammenligninger. Dette er en mindre øgning i forhold til 2006. Matematisk ræsonnement i den stringente betydning adspørges først og fremmest i de to geometriopgaver.

Opgaverne 3 og 9 er uheldigt formulerede. I opgave 3 omtales ”indtægter” på formelt 3 forskellige må‐der: som samlede indtægter fra boligejerne ... for de seneste år, som boligindtægter i bestemt år og som en hybrid af disse i spørgsmål b). Det ligger selvfølgelig i konteksten, at der i alle tre tilfælde er tale om størrelsen S. Den kursist, som spekulerer over disse unøjagtigheder, og det vil vel typisk være den tænk‐somme kursist, vil være handicappet i forhold til den kursist, der ignorerer den omgivende tekst og blot arbejder med den opgivne lineære ligning. Noget tilsvarende gør sig gældende med teksten til opgave 9. Når det er en pointe i undervisningen, at empiriske modeller har begrænset nøjagtighed, og parametre i modeller (derfor) skal fastlægges ud fra en eller anden proces, som tager hensyn til så mange måledata som muligt, er det problematisk at bestemme parametre ud fra kun 2 måledata. Her vil det også være en fordel for kursisten at være ukritisk over for teksten.

Øvrige kommentarer til pointtildelingen Opgave 2a var den opgave, hvor flest kursister opnåede 5 point. 79,5% af kursisterne opnåede 5 point. Opgaven var en opgave i kapitalfremskrivning.

I opgave 1a var det 70,8% af kursisterne, der opnåede 5 point. Denne opgave drejede sig om ensvinklede trekanter.

Opgaverne 5a, 8a og hele opgave 9 er de opgaver, som kursisterne opnår dårligst pointscore i. I opgave 5a får 34,8% af kursisterne 0 point, og i opgave 8a opnår 34,5% 0 point. I opgave 9 opnår 34,5% 0 point i spørgsmål a, 35,7% 0 point i b, mens 51,9% får 0 point i c.

Opgave 9c er dermed den opgave i sættet der er vanskeligst for kursisterne at besvare. I 9b og 9c er der henholdsvis 19,1% og 20,3% der opnår 5 point.

69

Opgave 9 fremstår som den opgave, hvor kursister samlet set i de tre delopgaver opnår dårligst pointsco‐re. Dette er bemærkelsesværdigt, fordi opgaven udgør 21,4% af de opnåelige point i opgaverne (her er set bort fra pointtallet i helhedsvurderingen). Denne opgave medvirker dermed til, at der ikke er flest kursister der opnår middelkarakteren 7. Opgave 9a bliver gjort vanskelig af, at talværdierne skal læses ud af et avisklip. Man kan overveje, om flere kursister kunne have opnået point i 9a, hvis talværdierne hav‐de stået direkte i opgaveformuleringen.

I de fleste opgaver er der tendens til, at kursisterne opnår enten 0 eller 5 point. I hver af opgaverne 1a, 2a, 2b, 5a, 6a, 6b, 8a, 9a, 9b og 9c får over 60% af kursisterne enten 0 eller 5 point. Opgave 4a er den opgave, der har den mest jævne pointfordeling. Denne opgave er en opgave i boksplot, hvori indgår to spørgsmål i samme spørgsmål. Også i opgave 7a (om histogram) er der en vis spredning i antal point, og denne opgave består ligeledes af to spørgsmål.

Pointfordelingen i helhedsindtrykket adskiller sig markant fra pointfordelingen i opgaverne. Her er der flest kursister, der får 2 eller 3 point. Om denne fordeling er hensigtsmæssig, og om den svarer til inten‐sionerne i helhedsvurderingen, kan overvejes.

Korrelation mellem enkeltopgaver og helhedsindtryk I dette afsnit fokuseres på, hvordan opnåede point for helhedsindtryk hænger sammen med opnåede point i udvalgte opgaver.

Følgende opgaver er blevet udvalgt: • Opgave 2a: Kapitalfremskrivning. 80% af kursisterne opnåede 5 point i opgaven. Det er den opgave,

flest kursister opnåede 5 point i. • Opgave 4a: Boksplot. Den opgave i sættet med mest lige fordeling af point. • Opgave 5a: Opstilling af lineær model. 35% opnåede 0 point, 26% opnåede 5 point. • Opgave 9c: Udregning af og diskussion af prognose beregnet på baggrund af 9a. Sættets vanskeligste

opgave i forhold til opnåede point. 51,9% opnåede 0 point.

Tendenserne i korrelationerne i diagrammerne nedenfor er at jo færre af kursisterne, der opnår 5 point, jo mere markant er det, at kursisterne, der opnår 5 point i opgaven, også opnår 5 point for helhedsind‐trykket.

Det kunne således se ud til, at helhedsvurderingen gør de gode kursisters resultater bedre. Derfor er der foretaget en korrelationsanalyse mellem antal opnåede point i helhedsindtryk og antal point opnået i alt (opdelt i intervaller på 5 point). Heraf ses det, at der for de kursister, der har opnået mellem 20 og 55 point, er nogen spredning i, hvor mange point der er opnået i helhedsindtryk. Markant få kursister opnår 5 point, hvis de har opnået mindre end 55 point i alt. For kursister, der samlet har opnået 65‐75 point, er der er klar tendens til, at en meget stor andel opnår 5 point for helhedsindtrykket.

Den generelle tendens er derfor, at jo flere point en kursist opnår i alt, jo flere point opnår kursisten i helhedsindtryk.

Det kan ikke overraske, at kursister, der opnår flest point i alt, også opnår 5 point i helhedsvurderingen. Men der er en tendens til, at de svagere kursisters resultat bliver gjort dårligere som følge af helhedsvur‐

70

deringen. Det bør overvejes, hvilket mål helhedsvurderingen skal opfylde, og om de skriftlige censorer opfylder disse mål med tildelingen af point.

Opgave 2a: Kapitalfremskrivning. 80% af kursisterne opnåede 5 point i opgaven.

Opgave 4a: Boksplot. Den opgave i sættet med mest lige fordeling af point.

71

Opgave 5a: Opstille lineær model. 35% opnåede 0 point, 26% opnåede 5 point.

Opgave 9c: Sættets vanskeligste opgave i forhold til point. Udregning af og diskussion af prognose beregnet på bag‐grund af 9a. 51,9% opnåede 0 point.

72


73

Det er bemærkelsesværdigt, at helhedsindtryk indgår i klyngedannelse på første niveau (med opgave 5a). Klyngningen falder i fire hovedgrupper, som nøje modsvarer pointtildelingen efter karakter. Den første klynge læst fra venstre består af opgaverne 1a, 2a og 7a, som er de opgaver, hvor elever med karakter ‐3 og 00 har hentet deres point. Den næste klynge bestående af opgaverne 2b, 3a, 3b og 4a udgøres af de opgaver, hvor eleverne med karakter 02 skiller sig ud osv. Man kan derfor fortolke klyngerne som en gruppering af opgaverne mht. grad af målopfyldelse. Det er endvidere bemærkelsesværdigt, at de 3 spørgsmål i opgave 9, klynges tidligst. Delspørgsmålene i denne opgave har derfor givet anledning til samme svarmønstre. Det er i det hele taget udtalt, at spørgsmål, som hører til samme opgave, klynges tidligt. En fortolkning af dette kan være, at de kompe‐tencer, som bringes i anvendelse, ikke er fragmenteret, en given elev er nogenlunde lige god i alle del‐spørgsmål. For opgave 9 bestyrkes dette af, at denne opgave fortrinsvis løses af elever, som samlet opnår høj karakter.

Pointfordeling efter karakter Man kan se i de følgende diagrammer at først for kursister, der opnår karakteren 10, er pointscoren for opgave 9 på højde med pointscoren for de øvrige opgaver. Opgave 9 er sættets vanskeligste opgave for eksaminanderne, og det kan overvejes, om det er velvalgt, at der indgår 15 point i opgaven.

74

75

76

Karakterfordeling efter skoleform Der er endog meget store udsving i, hvordan karakterfordelingen er, når man opdeler eksamens‐resultaterne efter skoleform. Følgende diagram viser dette:

Karakterfordelingerne for de toårige hf‐kurser og for VUC‐kurserne er meget lig hinanden:

Derimod klarer kursisterne sig på studenterkurserne markant bedre, mens de på gymnasierne klarer dig markant dårligere:

77

Gennemsnittet på gymnasierne er på 4,1 mod 6,9 på studenterkurserne. På gymnasierne er 00 typekarakteren, og 30,1% af kursisterne opnår denne karakter. På studenterkurserne er 10 typekarakteren, og 33,3% opnår denne karakter.

Karakterfordeling efter køn Det er igen i år en bemærkelsesværdi forskel i karakterfordelingerne for henholdsvis mænd og kvinder. 53,2% af mændene opnåede karakterer 7, 10 eller 12, mens det tilsvarende for kvinderne var 44,9%.

20,9% af mændene dumpede, mens 24,9% af kvinderne dumpede. Der er således en generel tendens til, at mændene opnåede bedre eksamensresultater til den skriftlige eksamen hf C, end kvinderne gjorde.

78

Om forcensuren I forcensuren blev indberettet data for 1659 kursister, dvs. 29,8% af samtlige eksaminander. Som det ses af følgende diagram, er der i høj grad overensstemmelse mellem eksamensresultatet og forcensuren.

79

Bilag

Hierarkisk klyngeanalyse

I en hierarkisk klyngeanalyse undersøges, hvilke opgaver der ligner hinanden mht. individuelt opnåede pointtal. Opgaverne grupperes hierarkisk således, at de to opgaver, hvis svarmønstre ligner hinanden mest, grupperes først. Dernæst foretages en ny sammenligning. Således fortsættes, så man sluttelig har en hierarkisk opdeling af spørgsmålene. Den konkrete procedure er som følger:

Antallet af besvarelser af et eksamenssæt benævnes N og antallet af spørgsmål i sættet benævnes n. Til hvert spørgsmål samt rubrikken helhedsvurdering associeres en streng bestående af samtlige tildelte N pointtal (pointtal for besvarelse 1, …, pointtal for besvarelse N), så det samlede eksamenssæt er repræ‐senteret ved n punkter, nemlig 1 punkt for hvert spørgsmål, i et N‐dimensionalt rum. I dette rum sam‐menlignes spørgsmålene ved hjælp af et passende statistisk afstandsmål mellem de tilsvarende punkter. De to spørgsmål, som er nærmest hinanden, grupperes. Dernæst erstattes denne første gruppe af den N‐dimensionale streng, som fås ved at tage et passende gennemsnit af de to først grupperede spørgsmål, så der nu er n‐1 punkter. Med disse n‐1 punkter gentages proceduren, hvorved man får n‐2 punkter. Således fortsættes, til der er 2 punkter tilbage. Disse 2 punkter svarer til, at man har fået de oprindelige n spørgsmål delt i to grupper af spørgsmål, der inden for grupperne ”ligner hinanden”, hvad angår over‐ensstemmelse af besvarelser. Der er forskellige valgmuligheder for det statistiske afstandsmål. I den foreliggende analyse giver dette dog ikke anledning til forskellige grupperinger.

Documents

Evaluering af eksamen i matematik for B C - stil.dk · PDF filehed for at udpege nogle som mere væsentlige frem for andre, se dog analyse af opgaverne side 9‐16. Resultater