Universite Montpellier IISciences et Techniques du Languedoc

DEAInformatique

Evaluation des caractéristiquesgéométriques d'une structure végétaledans le cadre de l'analyse fractale

eectué au sein de l'équipe

MIAMathématiques et informatique appliquées

UMR AMAP - MontpellierMars - Juin 2005

par

Da SILVA David

Rapport de Stage de Recherche

Directeur de Stage :M. Godin Christophe INRIA

Université Montpellier IIEcole Doctorale I2S

Campus Saint-Priest - Bât. 2860, rue de Saint Priest34090 Montpellier Cédex 5

1

Introduction

Une plante est un objet irrégulier qui présente des structures à dierentes échelles d'observation.L'étude de l'interaction physique de ces structures avec leur environnement nécessite aujourd'hui demieux comprendre leur organisation spatiale en fonction de l'échelle. La geometrie fractale ore uncadre formel bien adapté à ce type d'analyse.

Pourtant ces techniques ont jusqu'à présent été peu exploitées dans le cadre de l'étude des structuresvégétales, notamment en trois dimensions. Ce travail a pour objectif d'étudier en détail l'applicationde deux concepts centraux de la géométrie fractale à l'analyse de la structure géométrique des plantes :

la dimension fractale qui caractérise le déploiement d'un objet dans l'espace la lacunarité qui permet de quantier la notion de texture d'un objet

Pour cela nous avons entrepris au cours de ce stage l'analyse des diérentes dénitions (dimensionsfractales et lacunarité) et de leurs relations théoriques. Mon apport dans ce stage a porté sur diérentsaspects conceptuels ou méthodologiques.Aspect dimension fractale :

Création à partir d'une base algorithmique initiale d'une chaine de traitement permettant d'ana-lyser des bases de données de plantes articielles et réelles et d'automatiser cette analyse.

Analyse et discussion de ces résultats Proposition d'un nouvel estimateur évitant les écueils des méthodes classiques ; début d'analysede ce nouvel estimateur.

Aspect Lacunarité : Algorithme de calcul de dierents types de lacunarité en 3D Etude théorique de la lacunarité centrée Expérimentation, résultats, interprétation

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Table des matières

1 Caractérisation d'une structure irrégulière 41.1 Mesure et rectiablité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2 Objets autosimilaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3 Iterated Function Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.4 Mesure de l'extension d'un objet autosimilaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2 Dimensions Fractale 102.1 Dimension topologique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.2 Dimension d'autosimilarté . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.3 Dimension du compas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.4 Dimension de Hausdor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.5 Dimension des boites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3 Estimation de la dimension fractale par la méthode des boites 153.1 Principe et présentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.2 Mise en oeuvre et analyse de la méthode des boites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.2.1 Problème du pas de division . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.2.2 Problème de la corrélation des données . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.2.3 Problème de l'eet du calcul sur les bords . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4 Lacunarité 264.1 Intêret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4.1.1 Lacunarité au sens d'Allain et Cloitre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274.1.2 Dénitions alternatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4.2 Propriétés de la lacunarité centrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3

Chapitre 1

Caractérisation d'une structure irrégulière

1.1 Mesure et rectiablité

Pour mesurer l'extension d'un objets réel, la méthode communément utilisée consiste à compterle nombre d'applications d'un objet étalon nécessaire pour paver cet objet. Puis d'estimer l'extensionde l'objet comme l'extension de l'objet étalon multiplié par ce nombre. Cette apparente simplicité

Fig. 1.1 Approximation d'une courbe par une ligne polygonale

repose sur deux présupposés intimements liés. Premièrement il faut que l'objet étalon soit de la mêmedimension que l'objet que l'on veut mesurer. En eet il est impossible de paver avec une précisionarbitraire un volume en utilisant une surface étalon. Deuxièmement il faut que l'objet soit susammentrégulier. La régularité d'un objet peut être formalisée par la notion de rectiabilité.

01ti

A

Bs( )ti

Fig. 1.2 Paramétrisation discrète

An de simplier les explications, nous nous restreindrons à l'étude des courbes simples1. La mé-thode de pavage appliquée à la mesure d'une courbe simple revient à considérer une approximation dela courbe par un ensemble de ligne polygonales [5].

1la courbe ne contient aucun point multiple

4

Etant donné une courbe Γ d'extrémités A et B, une approximation polygonale de Γ peut-être dénipar la paramétrisation discrète suivante (voir Fig 1.2) :Soient s une fonction de [0, 1] 7→ Γ et ti0≤i≤N ∈ [0, 1] tels que :

t0 = 0 et s(t0) = A tN = 1 et s(tN ) = B s(ti) ∈ Γ ∀i ∈ [0, N ]Notons Pn la ligne polygonale formée par l'ensemble s(ti) et |Pn| sa longueur. La longueur d'une

ligne polygonale est la somme des longueurs des segments qui la composent.On dit que la courbe Γ est rectiable si limN→∞ |Pn| existe.Ceci traduit l'idée qu'à partir d'une certaine échelle, la courbe ne présente plus de nouveaux détailscomme l'illustre la Fig 1.3

Fig. 1.3 Courbe rectiable

Ce paradigme fondamental est à la base du calcul innitésimal et par conséquent un des fondementsde la science moderne, pourtant il n'est pas toujours adapté à la manipulation d'objets très irréguliers,appelés fractals [9].An de mieux apréhender cette problématique, nous allons nous intéresser aux objets autosimilaires quisont des objets fractals particuliers. Ces objets ont la particularité d'avoir une irrégularité homogènedans l'espace et une dénition constructive simple.

Fig. 1.4 Courbe non-rectiable

5

1.2 Objets autosimilaires

Considérons la gure 1.5.e. représentant un objet autosimilaire classique, la courbe de Von Koch.Cet objet est obtenu de la manière suivante :

Nous partons d'un objet initial, ici un segment de droite, Fig 1.5.a Cet objet est contracté d'un facteur 3 Le segment résultant est dupliqué 4 fois et disposé comme sur la seconde étape, Fig 1.5.b .

En renouvelant cette procédure sur chaque nouvel objet obtenu, nous obtenons à la limite : la courbede Von Koch.

a.

b.

c.

d.

e.

Fig. 1.5 Procédure de construction de la courbe de Von Koch

En suivant la même procédure mais en faisant varier le facteur de contraction, le nombre de duplica-tions et la dispositions de ces duplications, on peut créer toute une collection d'objets autosimilairesirréguliers (i.e. non rectiables).

La première propriété visible de la courbe de Von Koch est sa composition en plusieurs morceauxde taille arbitrairement petite, chaque morceau étant une réplique de la courbe entière.An d'obtenir une mesure de l'extension de la courbe de Von Koch, nous allons paver la courbe avecune unité de mesure connue.Prenons dans un premier temps le segment initial comme objet unité de longueur 1, dans ce cas lacourbe de Von Koch a pour mesure 1. Si nous réduisons d'un facteur 3 notre unité de mesure, la mesurede l'extension de l'objet vaut 4

3 . En réduisant encore d'un facteur 3 la mesure vaut alors 169 etc. . .

Au bout de la kieme réduction, la courbe de Von Koch a une longueur de (43)k. Cette longueur augmente

indéniment lorsque k tend vers l'inni. Avec cette dénition de la mesure de l'extension d'un objet,la mesure d'objets autosimilaires est dépendante de l'échelle.

On peut généraliser ces propriétés à tous les objets autosimilaires que l'on obtient par le mêmeprocessus de construction basé sur une série de contractions et de duplications dénies par [2]. Le for-malisme déni de cette manière est celui des IFS, Iterated Function Systems [3]. Un objet autosimilaireest déni comme le point xe d'un opérateur contractant dans un espace de Banach2.

2On dit qu'un espace vectoriel normé est de Banach s'il est complet pour la topologie issue de sa norme. Ces espacespossèdent de nombreuses propriétés qui font d'eux un outil essentiel pour l'analyse.

6

x3

Fig. 1.6 Autosimilarité de la courbe de Von Koch

1.3 Iterated Function Systems

La notion d'IFS permet de formaliser la construction d'objets autosimilaires. Considérons des opé-rateurs ω de l'espace ane Rn, muni d'une distance d :

ω : Rn 7→ Rn

X 7→ Y

ω est un opérateur contractant si ∀x, y ∈ Rn et 1 < s :

d(ω(x), ω(y)) 61s.d(x, y)

où s est le facteur de contraction de l'opérateur. Si d(ω(x), ω(y)) = 1sd(x, y), alors ω est une similitude.

Notre étude se fait sur des formes. Une forme est dénie par un sous ensemble fermé borné. C'estpourquoi, à partir de maintenant, nous nous restreindrons donc aux compacts de Rn que nous noteronsC(Rn).L'image d'un ensemble F ⊂ C(Rn) par un opérateur ω est l'ensemble des images des points de F :

ω(F) = ω(x) | x ∈ F

On dénit l'union Ω = ω1 ∪ ω2 ∪ . . .∪ ωn de n opérateurs, ainsi l'image d'un point par une union de nopérateurs élémentaires est un ensemble d'au plus n points. L'image d'un ensemble F par une uniond'opérateurs est l'union des images de l'ensemble F :

Ω(F) = ω1(F) ∪ ω2(F) ∪ . . . ∪ ωn(F)

Ω est un opérateur sur C(Rn).An de pouvoir analyser la suite de formes obtenue par itération successives de cet opérateur, il fautnous munir d'une distance sur cet espace. On utilise la distance de Hausdor qui est dénie à partirde la notion d'ensemble épaissi. L'ensemble épaissi Fε d'un ensemble F est déni par :

Fε = x ∈ Rn | ∃y ∈ F , d(x, y) 6 ε

La distance de Hausdor, dH entre deux ensembles F et G est dénie par :dH(F ,G) = inf ε | F ∈ Gε , G ∈ Fε (1.1)

7

Dans l'espace des compacts de Rn, muni de la distance de Hausdor, Ω = ω1 ∪ ω2 ∪ . . . ∪ ωn estHausdor-contractant de facteur de contraction s = min s1, s2, . . . , sn, si les ωi sont des opérateurscontractants sur Rn [2].

Un IFS [2] est déni par un opérateur contractant sur un ensemble de points : Ω = ωii6n tel quewi est un opérateur contractant de l'espace ane Rn. Soit F0 l'ensemble initial, on dénit F1 = Ω(F0),ainsi Fk = Ω(Fk−1) = Ωk(F0).On note :

F∞ = limk→∞

Ω(Fk) = limk→∞

Ωk(F0)

L'existence de cette limite est garantie par le théorème du point xe. En eet, C(Rn) étant un espacecomplet, Ω étant contractant, le théorème du point xe est appliquable, et par conséquent F∞ existeet est unique, c'est l'attracteur de l'IFS.

Si l'on reprend l'exemple de la construction de la courbe de Von Koch (Fig 1.5), l'IFS associé seraitcomposé de quatre opérateurs élémentaires dont le facteur de contraction s serait de 3, le nombre deduplications n correspond au nombre d'opérateurs élémentaire de l'IFS : 4. En résumé, un IFS prendà chaque étape un ensemble de points, le réduit, le duplique et dispose ces duplications dans l'espace.Ce système de fonctions itérées permet de construire un objet de structure autosimilaire. A chaqueétape l'objet est constitué de duplication réduite de l'objet de l'étape précédente. Un IFS dénit doncun objet autosimilaire unique comme étant l'objet obtenu à la limite, l'attracteur de l'IFS.

Un des avantage de l'utilisation des IFS pour générer des objets autosimialires est la facilité pourcalcul de la dimension fractale de son attracteur. En eet si la condition de la boule ouverte (CBO)est vérié pour un IFS, alors la dimension d'autosimilarité3 de son attracteur est dénie[3].On dit qu'un IFS satisfait la OSC s'il existe une boule ouverte nie non-vide V telle que :

V ⊃ Ω(V) (1.2)

et ∀i, j ∈ [1, n]ωi(V) ∩ ωj(V) = ∅ (1.3)

L'attracteur de l'IFS est déni par l'opérateur Ω, lui même caractérisé par les n opérateurs ωi

de facteur de réduction si, mais indépendant de l'ensemble initial. Dans la suite de cet exposé, nousconsidérerons uniquement des IFS avec un facteur de réduction s identique pour les n opérateurs ωi

composant Ω.

3voir 2 page 10

8

1.4 Mesure de l'extension d'un objet autosimilaire

Nous avons vu précédement que la mesure classique de l'extension d'un objet autosimilaire estinnie. Nous allons utiliser le formalisme introduit et essayer de mesurer l'extension de l'attracteurd'un IFS. Soit Ω = ωi06i6n un IFS de facteur de contraction s. Soient δk notre unité de mesureet Nk le nombre de ces unités nécessaire pour paver l'objet à l'étape k du processus. Appelons Lk lamesure de l'extension de l'objet à l'échelle δk, on a classiquement :

Lk = Nkδdk (1.4)

où d est la dimension de notre unité de mesure. A l'étape k, l'unité de mesure est :

δk = (1s)k

Le nombre d'unités nécessaires pour paver l'objet à l'étape k est :

Nk = nk

en eliminant k entre ces deux équations, il vient :

log(Nk) =log(n). log(δk)

log(1s )

=log(n)log(s)

. log(1δk

)

En posant Da = log(n)log(s) , on obtient :

Nk = (1δk

)Da (1.5)

Ce qui nous permet d'écrire la relation suivante :

Lk = (1δk

)Daδdk = (

1δk

)Da−d (1.6)

Cette formule permet de relier la mesure de l'extension d'un objet à l'échelle à laquelle elle estfaite. On remarque que si d = Da alors la mesure de l'extension devient indépendante de l'échelle. Ilest donc possible de dénir une mesure nie sur un certain ensemble d'objets irréguliers, les attracteursdes IFS.

9

Chapitre 2

Dimensions Fractale

L'étude des objets irréguliers et en particuliers des objets autosimilaires a obligé les mathématiciensà établir des liens entre la notion de mesure et la notion de dimension. Ceci à engendré un ensemble dedénitions de la notion de dimension qui par des approches diérentes cherchent à quantier la péné-tration d'un objet dans l'espace. Dans cette partie, nous présenterons rapidement diérentes dénitionsde la notion de dimension d'un objet, ce condensé est principalement tiré de [7].

2.1 Dimension topologique

Il s'agit de la notion de dimension associée au nombre de degré de liberté d'un point se déplaçantà l'intérieur d'un objet. Un point est de dimension 0, une courbe de dimension 1, une surface dedimension 2, etc. . . Pour un objet F quelconque, nous noterons E(F ) sa dimension topologique.

2.2 Dimension d'autosimilarté

En reprenant la méthode de mesure du paragraphe 1.1, soit Ns le nombre d'objet étalon nécessairespour paver un objet en fonction de son coecient de contraction normalisé s. On constate que pour :un segment de droite Ns = s

un carré Ns = s2

un cube Ns = s3

On note que le coecient de la loi de puissance suivie par Ns correspond à la dimension topologiquede l'objet. En gardant cette même notion pour la dimension, on peut la généraliser à des valeurs nonentières. Reprenons l'exemple de la courbe de Von Koch et les notations de 1.4.On a :Nk = ( 1

δk)Da avec Da = log(n)

log(s) , ce qui nous donne pour la courbe de Von Koch : Da = log 4log 3 =

1.2619. La dimension d'autosimilarité, Da, de la courbe de Von Koch vaut donc 1.2619 et dans le casd'un objet autosimilaire obtenu à partir d'un IFS (voir 1.3) :

Da =log n

log s(2.1)

Considérons des pavés de dimension quelconque, non nécesssairement entière, pour paver un objet.Si l'objet que l'on souhaite mesurer est l'attracteur d'un IFS et que la dimension des pavés est d = log n

log salors, la mesure de l'extension de cette objet issue de l'équation (1.6) devient indépendante de l'échelle.Cette dimension caractérise l'irrégularité d'objets autosimilaires théoriques que l'on sait construire maisest inutilisable sur des objets quelconques.

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2.3 Dimension du compas

La méthode dite du compas utilisée par Richardson dans [13] pour évaluer la longueur de la frontièresde diérents pays sur une carte, consiste à prendre une ouverture de compas xée δ et, à partir d'unpoint initial arbitraire, de déterminer successivement les diérents points de l'approximation polygonalede la frontière. Il obtient ainsi un approximation polygonale dont tous les segments sont de tailleidentique δ.En utilisant des ouverture de compas de plus en plus petites, δ, Richardson met en évidence l'existenced'une loi de puissance entre l'ouverture de compas et la longueur mesurée, similaire à celle de la mesurede l'extension des objets autosimilaires1 :

Lδ ∝ (1δ)d

La dimension du compas Dc est dénie par :

Dc = 1 + d (2.2)

Pour un objet autosimilaire, on a les relations suivantes :

Nδ ∝ (1δ)Da

Lδ = (1δ)d

Lδ = Nδ.δ

Par substitution dans la dernière equation et par passage au logarithme, il vient :

Da = 1 + d

Dans le cas des objets autosimilaires, la dimension du compas et la dimension d'autosimilarité coinci-dent. On peut étendre la dénition de la dimension du compas à des objets de dimension topologiquen en utilisant des boules dimension n, de volume δn, pour le recouvrement de l'objet. Dans ce cas ona : Lδ = Nδ.δ

n d'où on tire la dénition plus générale de la dimension du compas :

Dc = n + d (2.3)

1la notation f(δ) ∝ g(δ) signie qu'au voisinage de 0, f 'se comporte comme' g

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2.4 Dimension de Hausdor

Les deux dimensions précédentes ont la particularité de coincider sur les objets autosimilaires, oril y a beaucoup d'autres dénitions de la notion de dimension dans la littérature2, cependant ellessont toutes issues d'une dénition générale introduite par Hausdor. Cette dénition est basée surla considération de l'ensemble de tous les pavages possibles. Dans ce but, on introduit la notion deδ-recouvrement :Soit un ensemble F de points de Rn, un δ-recouvrement de F est un recouvrement de F par unefamille d'ouverts Ui, possiblement innie, où chaque Ui a un diamètre |Ui| inférieur ou égal à δ, avec|Ui| = sup

x,y∈Ui

(|x− y|).Pour tout réel d on déni la quantité :

hdδ(F) = inf

∞∑i=1

|Ui|d | Ui δ-recouvrement de F

Cette dénition prend en compte tous les δ-recouvrements possibles. Notonsque le fait de considérerla borne inférieure permet d'assurer en particulier que les ouverts ne se recouvrent pas.On denit la d-mesure de recouvrement de Hausdor 3 comme étant :

hd(F) = limδ→0

hdδ(F) (2.4)

Cette fonction de paramètre d a de nombreuses propriétés dont voici les plus intéressantes : hd est une mesure : soient F , G deux ensembles disjoints,

hd(F ∪ G) = hd(F) + hd(G)

hd est invariant par isométrie : si t est un isométrie,hd(t(F)) = hd(F)

propriété d'échelle : on note λF = λx|x ∈ F

hd(λF) = λdhd(F)

valeur de coupure : pour un ensemble F donné, il existe au plus une valeur de d pour laquelle lamesure de F , hd(F), est nie et non nulle.

Démonstration

Cette dernière propriété est particulièrement importante puisqu'elle permet de dénir pour toutensemble F un réel caractérisant sa dimension, voici une manière de la démontrer : Soient s et t ∈ R+

tels que s ≤ t et soit F un ensemble de points de Rn.Soit Ui un δ-recouvrement de F∑

i

|Ui|t =∑

i

|Ui|t−s.|Ui|s ≤ δt−s∑

i

|Ui|s

d'où :ht

δ(F) ≤ δt−shsδ(F)

2voir par exemple [8] [3] [2] [15]3ou Hausdor - Besicovitch

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Quand δ → 0, on a :ht(F) ≤ δt−shs(F) (2.5)

Supposons qu'il existe une valeur nie non nulle d telle que 0 < hd(F) < ∞, Si t = d pour que (2.5) soit vériée, il faut

hs(F) = ∞ ⇒ ∀x < t hx(F) = ∞

Si s = d pour que (2.5) soit vériée, il faut

ht(F) = 0 ⇒ ∀x > s hx(F) = 0

Ce qui implique :∀x 6= d hx(F) = ∞ ou hx(F) = 0 (2.6)

d

(F)

0

8

hd

hd

D (F) = dh

Fig. 2.1 Valeur de coupure pour la mesure de Hausdor

Si d existe, c'est la dimension de Hausdor, notée Dh, et elle est unique :

Dh(F) = infhd(F)=0

d = suphd(F)=∞

d (2.7)

Son existence est expliquée de façon intuitive dans le paragraphe 1.4 et plus particulièrementdans l'équation (1.6), en eet, le seul cas où la mesure de l'extension de l'objet est indépendante del'échelle4 est obtenu lorsque d = Da qui dans le cas des objets autosimilaires coincide avec la dimensionde Hausdor, Dh.La dimension de Hausdor est donc une dimension générale valable aussi bien pour les objets réguliersque pour les objets irréguliers sans restriction aux objets autosimilaires. Malheureusement elle estinutilisable sur le plan pratique car elle nécessite considérer un problème d'optimisation dans l'ensemblede tous les δ-recouvrements possibles pour lequel nous n'avons pas de méthode constructive.

4ne tend ni vers zéro, ni vers l'inni lorsque δ tend vers 0

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2.5 Dimension des boites

L'absence de méthode générale pour le calcul d'un δ-recouvrement minimum à conduit les ma-thématiciens à considérer d'autres types de recouvrements plus réguliers, et en particulier des grillesrégulières. Soit δ le pas de la grille servant à paver un objet F , on parle alors de δ-pavage et on noteNδ(F) le nomber de pavés de la grille interceptant l'objet F .A l'instar de la mesure de Hausdor, on dénit la quantité :

bdδ(F) = inf

∑pavés intersectant F

δd | δ-pavage de F = Nδ(F).δd

et lorsque δ tend vers 0 on obtient une approximation de la mesure de l'extension de l'objet :

bd(F) = limδ→0

bdδ(F) (2.8)

Cette quantité contrairement à la d-mesure de recouvrement de Hausdor (voir 2.4) n'est pas unemesure [3].Par conséquent elle n'est pas utilisable de façon générale. Néanmoins,comme elle suit uneloi de puissance, elle permet dans la majorité des cas de dénir une dimension, appelée dimension desboites, notée Db :

Db(F) = limδ→0

log Nδ(F)log 1

δ

(2.9)

Cette dimension à la particularité d'être dénie à partir du comptage du nombre de pavés intersectantl'objet F et non à partir de la mesure de ces pavés. Et surtout elle coincide dans de nombreux ca avecla dimension de Hausdor.

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Chapitre 3

Estimation de la dimension fractale par la

méthode des boites

3.1 Principe et présentation

L'objet dont on cherche à calculer la dimension fractale est recouvert par un δ-pavage où δ et lediamètre des pavés. Pour chaque valeur de δ, soit Nδ le nombre de pavés du δ-pavage interceptés parl'objet. En considérant que Nδ suit une loi de puissance du type (1

δ )d, ce que nous noterons Nδ ∝ (1δ )d.

Pour obtenir une approximation de la dimension des boites telle que dénie précédement (voir 2.5)on eectue une régression linéaire sur le diagramme (log 1

δ , logNδ). La pente de cette droite fournit unestimateur Db de la dimension fractale D.

Cette méthode, classiquement utilisée en une ou deux dimensions, engendre des dicultés lors deson application en trois dimensions. Pour commencer, l'objet à étudier doit être digitalisé ou généré defaçon à être utilisable. Les objets en trois dimensions sont en général un ensemble de formes paramé-triques qui sont triangulées. Le problème suivant est l'intersection entre cette la grille et les trianglesde l'objet.

Plutot que de considérer une grille diérente pour chaque valeur de δ, nous dénissons une structurede grilles emboitées à diérentes échelles. Appelons voxel un pavé de la grille. A la première échelle,notre structure de grilles multi échelle, MVS1, contient un unique voxel. Ce voxel est ensuite subdivisésur chaque dimension par un coecient non nécessairement identique à chaque étape.Le nombre de subdivisions successives est la profondeur de notre MVS. Les coecients de subdivisionà chaque profondeur forment le vecteur de pas de subdivisions. Par exemple, un MVS de profondeur 3avec un vecteur de pas de subdivisions de [2,3,2] contiendra :échelle 0 1 voxeléchelle 1 1× 23 = 8 voxelséchelle 2 8× 33 = 216 voxelséchelle 3 1728 voxels

La structure est une arborescence où le voxel à l'échelle i est le père des voxels de l'échelle i + 1qu'il contient. De ce fait, un MVS respecte la propriété d'inclusion, un triangle interceptant un voxel,interceptera aussi sont père, etc. . .

1Multi-scaled Voxel Space

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La mise en place de cette structure de données ainsi que l'algorithme permettant de déterminer sonintersection avec un objet 3D quelconque à été réalisé auparavant, voir [12].

Pour obtenir l'estimateur Db, il sut de récupérer pour chaque échelle δ, le nombre Nδ, de voxelsde notre MVS interceptés par l'objet. Db est la pente de la régression linéaire sur le diagramme(log 1

δ , log Nδ).

3.2 Mise en oeuvre et analyse de la méthode des boites

Pour pouvoir mettre cette théorie en pratique et interpréter correctement les résultats, il fautprendre en compte les critères qui perturbent les calculs. Tout d'abord, il faut tenir compte de la struc-ture de l'objet étudié, dans notre cas il s'agit principalement de plantes, d'arbres. On va chercher àestimer la dimension fractale d'un objet (arbre) constitué de composants élémentaires (feuilles) dont lataille n'est pas forcément négligeable devant celle de l'objet, mais aussi devant celle du plus petit voxelde notre MVS. Dans la suite de la discussion l'appelation feuille fera toujours référence au composantélémentaire de l'objet étudié.

Le premier critère ayant de l'inuence est le pas de subdivision, en eet compte tenu de la remarqueprécédente, en fonction du choix du pas de subdivision une feuille peut être interceptée par plusieursvoxels. La profondeur et le pas de subdivision déterminent la taille du plus petit voxel de notre MVS.L'estimation de la dimension fractale est perturbée lorsqu'il devient de taille comparable ou inférieureà celle de la feuille. La structure du MVS en succession de grilles emboitées et le principe même de laméthode induisent une corrélation des données dont il faut également tenir compte. Enn, l'évaluationde la dimension fractale par la méthode des boites est biaisée par les pavés interceptants les bords del'objet.

Fig. 3.1 Cantor 1 Fig. 3.2 Articial Crown 1

An d'étudier ces diérents problèmes, il a été nécessaire de créer une chaine de calcul an deconstituer une base de données d'objet autosimilaires au moyens d'IFS. Il a également fallu développerles outils nécessaires à leur analyse. Ceci à constitué la seconde étape de mon travail après celle decompréhension du sujet et de maitrise des concepts. Nous étudierons plus précisément les objets detype poussière de Cantor dont nous ferons varier le coecient de réduction ou le nombre d'itération,ainsi qu'un IFS simulant une plante articielle, AC1 pour Articial Crown 1.

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Le tableau suivant récapitule les caractéristiques des diérents IFS utilisés. Les valeurs de la colonneTr exprime le rapport taille plante

taille feuille . Dans le cas des MVS, leurs homologues dans les tableaux de résultatssont les valeurs de la colonne Sr qui exprime le rapport taille de la boite englobante

taille du plus petit voxel . Comparer ces valeurséquivaut à comparer la taille du plus petit voxel à celle du plus petit composant de l'objet. Les colonnesn, s, k et Da correspondent respectivement au nombre de duplications, au facteur de contraction, aunombre d'itération de l'IFS et à la dimension théorique de son attracteur.

Tableau 3.1 Caractéristiques des diérents IFS utilisésIFS n s k Tr Da

Cantor1 8 3 4 84 1.893Cantor1 small 8 3 4 400 1.893

Cantor2 8 3 5 251 1.893Cantor2 small 8 3 5 1203 1.893

Cantor3 8 5 4 644 1.292Cantor3 small 8 5 4 3093 1.292

AC1 8 3 4 43 1.465AC1 small 8 3 4 1461 1.465

Chaque IFS est décliné en version small où la taille de la feuille à été diminué, ce qui augmentele Taille ratio comme on le voit dans le Tableau 3.1. Les tableaux des résultats des pages suivantesprésentent l'évaluation de la dimension fractale par la méthode des boites, Db, telle qu'elle vient d'êtreprésentée. L'estimation de le dimension fractale se fait en fonction du pas de subdivision, noté pds ,et de la profondeur du MVS, noté pf , qui représente également le nombre de points utilisés pour larégression linéaire puisque l'on compte le nombre de pavés interceptés par l'objet à chaque échelle.Lorsque la profondeur du MVS est supérieure à la taille du vecteur de pas de subdivision, le derniercoecient du vecteur est dupliqué autant de fois que nécessaire2.

3.2.1 Problème du pas de division

Les valeurs du pas de subdivisions dénissent la taille des pavés aux diérentes échelles mais in-duisent également un décalage de la grille par rapport à l'objet. Ce décalage peut avoir pour eetl'interception par plusieurs pavés d'un unique objet se trouvant sur leur point de jonction commel'illustre en 2D la gure 3.3.

Les Tableaux 3.2 et 3.4 présentent les résultats obtenus pour les objets Cantor1 et Cantor2 . Lavaleur théorique de la dimension fractale est obtenue avec un pas de subdivision de [3,3] qui correspondau facteur de réduction de l'IFS. La surestimation de la dimension fractale que l'on constate avec lepas de subdivision de [2,2] est l'illustration de l'eet de décalage que l'on vient de décrire. Les autressurestimations que l'on observe ne sont dues qu'en partie à ce problème.

2pf =5, pds =[2,3,2] ⇔ pds =[2,3,2,2,2]

17

divSteps = [2,..] divSteps = [3,..]

Fig. 3.3 Eet de diérents divSteps sur le nombre de pavés interceptés par un objet

Tableau 3.2 Résultats pour Cantor1Dimension théorique : 1.893pds pf Sr Db

[2,2] 6 64 2.209[3,3] 5 243 2.104

4 81 1.893[5,3] 4 135 2.322

3 65 2.657[5,4,3,2] 4 120 2.613

3 60 2.589

Tableau 3.3 Résultats pour Cantor1 smallDimension théorique : 1.893pds pf Sr Db

[2,2] 7 128 1.7086 64 1.886

[3,3] 5 243 1.7364 81 1.893

[5,3] 5 405 1.4954 135 1.6313 65 2.197

[5,4,3,2] 5 240 1.8044 120 1.8333 60 1.827

Une autre perturbation dans l'estimation de la dimension fractale peut être due à un MVS tropprofond. En eet, lorque la taille du plus petit voxel devient comparable ou plus petite que celle dela feuille, c'est la dimension de la feuille3 qui commence à être prise en compte dans le calcul de Db.Cet eet est clairement visible lorsqu'on regarde les résultats de Cantor1 pour le pas de subdivision de[3,3]. Le MVS de profondeur 4 dont la taille des voxels est légèrement plus grande que celle des feuillesnous permet d'obtenir la dimension théorique, alors que sur le même objet, un MVS de profondeur 5,les voxels sont plus petits que les feuilles, surestime la dimension fractale . Le fait d'obtenir une valeursupérieure à 2 traduit la plus grande importance des points extrèmes par rapports aux points médianslors de la régression linéaire. Cette perturbation disparait pour Cantor2 qui est l'objet obtenu avec lemême IFS que Cantor1 mais avec une itération suplémentaire. La taille de ses feuilles redevient pluspetite que celle du plus petit voxel du MVS de profondeur 5 et on retrouve le résultat théorique.

Le fait d'utiliser des pas de subdivision plus grand comme [5,3] ou [5,4,3,2] a pour eet d'avoir unepremière valeur issue d'un décompte de voxels dont la taille est assez proche de celle des feuilles, etpar conséquent un moins grand nombre de points pertinents pour la régression linéaire.Le petit nombre de points que l'on obtient dans les meilleurs cas, entre 6 et 8 points, l'importance despoints extrèmes pour la régression linéaire cumulés aux perturbations précédentes explique le reste dessurestimations.

3dimension d'une surface = 2

18

Tableau 3.4 Résultats pour Cantor2Dimension théorique : 1.893pds pf Sr Db

[2,2] 6 64 2.209[3,3] 5 243 1.893

4 81 1.893[5,3] 4 135 2.351

3 65 2.657[5,4,3,2] 4 120 2.643

3 60 2.673

Tableau 3.5 Résultats pour Cantor2 smallDimension théorique : 1.893pds pf Sr Db

[2,2] 7 128 1.9916 64 2.114

[3,3] 5 243 1.8934 81 1.893

[5,3] 5 405 1.6374 135 1.9693 65 2.556

[5,4,3,2] 5 240 1.9794 120 2.2063 60 2.445

Une solution mise en place pour résoudre certains problèmes à été la diminution de la taille desfeuilles an de réduire l'eet du décalage et de permettre de travailler avec des MVS plus profondpour obtenir ainsi plus de points signicatifs. Les résultats pour Cantor1 small et Cantor2 small sontprésentés dans les Tableaux 3.3 et 3.5.

Tableau 3.6 Résultats pour Cantor3Dimension théorique : 1.292pds pf Sr Db

[2,2] 7 128 1.56 64 1.422

[3,3] 5 243 1.6994 81 1.783

[5,3] 5 405 1.4434 135 1.4883 65 1.710

[5,4,3,2] 5 240 1.6904 120 1.7743 60 1.533

[5,5] 4 625 1.5053 125 1.589

Tableau 3.7 Résultats pour Cantor3 smallDimension théorique : 1.292pds pf Sr Db

[2,2] 7 128 1.3676 64 1.422

[3,3] 5 243 1.5424 81 1.783

[5,3] 5 405 1.6464 135 1.8933 65 1.893

[5,4,3,2] 5 240 1.9414 120 2.0793 60 1.666

[5,5] 4 625 1.2923 125 1.292

A échelle similaire, on constate bien un baisse de la surestimation4, malheureusement l'augmenta-tion de la profondeur du MVS n'améliore pas la qualité de la régression linéaire mais fait apparaitre unnouveau problème, celui de la sous-estimation du nombre d'éléments. En eet, selon les transformationanes de l'IFS, la distance entre deux éléments peut-être susamment petite pour qu'ils soient toujoursdans le même voxel. Les résultats que l'on observe pour l'IFS AC1 suggèrent ce genre de comportement.

4sauf pour Cantor3 ,pds =[5,3] et pds =[5,4,3,2]

19

Tableau 3.8 Résultats pour AC1Dimension théorique : 1.465pds pf Sr Db

[2,2] 6 64 1.621[3,3] 5 243 1.918

4 81 1.883[5,3] 4 135 2.03

3 65 2.042[5,4,3,2] 4 120 2.272

3 60 2.094

Tableau 3.9 Résultats pour AC1 smallDimension théorique : 1.465pds pf Sr Db

[2,2] 7 128 1.0396 64 1.187

[3,3] 5 243 1.014 81 1.225

[5,3] 5 405 0.8094 135 0.8393 65 1.163

[5,4,3,2] 5 240 1.0094 120 1.0983 60 1.213

Même si les résultats obtenus sont en général relativement éloignés des résultats théoriques, ilspermettent, dans la plupart des cas, de comparer entre eux diérents objets étudiés dans les mêmesconditions. En eet, pour un pas de subdivision et une profondeur donnés, l'ordre dénie par les di-mensions fractales théoriques est généralement conservé. Il pourrait être intéressant de considérer lesrésultats issus des diérentes grilles ensemble an d'obtenir un plus grand nombre de points pour larégression linéaire. Malheureusement l'eet de décalage rend possible d'avoir, pour une échelle donnée,un nombre de pavés interceptés par l'objet très supérieur à celui d'une échelle plus petite. Ceci rendincohérent les résultats pris dans leur ensemble et par conséquent l'estimation d'une dimension frac-tale basée sur ceux-ci.

An d'obtenir les résultats les plus ables, il faut donc avoir à priori une certaine connaissancede l'objet étudié an de pouvoir travailler sur un intervalle d'échelles approprié. Cet intervalle devantpermettre d'obtenir un nombre susant de points pour pouvoir eectuer une régression linéaire signi-cative tout en ne dépassant pas l'échelle de la feuille.

3.2.2 Problème de la corrélation des données

La méthode de régression linéaire permet de mettre en évidence une corrélation entre deux para-mètres, dans notre cas l'échelle et le nombre de boites. Mais ceci repose sur une hypothèse d'indépen-dance des données [14]. Or dans la méthode des boites, les données utilisées sont issues de diérentessubdivisions du même objet. Ceci étant susant pour engendrer une certaine corrélation, mais la struc-ture du MVS augmente encore cet eet du fait de la propriété d'inclusion qui y est respectée (voir3.1). Par conséquent le fait d'avoir un alignement des données n'implique pas forcément une corrélationentre les paramètres qu'elles représentent.

Considérons par exemple une suite U de m nombres aléatoires, et soit S la suite des sommescumulées de ces nombres aléatoires :

∀i ∈ [1,m] Si =i∑

k=1

Uk (3.1)

20

De cette façon les Si sont des données corrélées comme peut l'être le nombre de boites en fonctionde l'échelle et le diagramme log(Si) en fonction de log(i) peut être interprété de la même façon quecelui utilisé pour la régression linéaire déterminant le dimension des boites. La gure 3.4 est un exemplede ces diagrammes qui présentent tous cette aspect linéaire. Or dans ce cas l'alignement des points nesignie pas une corrélation entre les paramètres puisqu'il n'y en aucune par construction.Par conséquent, l'interprétation de l'alignement des points dans le diagramme log- log doit être consi-déré avec précaution.

4

4.5

5

5.5

6

6.5

7

7.5

8

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5ln(i)

Sy = 1.122 x + 3.666

ln(S

) i

i

Fig. 3.4 Somme cumulée de nombre aléatoire en fonction de leur ordre de tirage

Pour se défaire de l'inuence de la corrélation, une solution est d'étudier l'augmentation relativedu nombre de boites en fonction de l'augmentation relative de l'échelle plutôt que le nombre de boiteen fonction de l'échelle. On s'intéresse à l'augmentation relative et on suppose la loi de puissance dela méthode des boites vériée :

Nδ = (1δ)Db (3.2)

Soit :log Nδ = Db log(1δ )

En diérentiant les deux termes, il vient :

d log Nδ = dDb log(1δ )

dNδ

Nδ= −Db

dδδ

Db apparait donc comme :

Db = −d(Nδ)

Nδ

d(δ)δ

(3.3)

Cette relation n'est correct que sous l'hypothèse d'avoir d ' 0. Or cette hypothèse n'est pas vériédans la pratique qui ne permet pas une telle nesse d'échelle. C'est pourquoi les résultats ne sont pasutilisable et qu'il faut une autre façon d'étudier l'augmentation relative sans faire d'hypothèse aussiforte.

Soit Nδ le nombre de boite en fonction de l'échelle δ, par conséquent l'augmentation du nombre deboite ∆N est fonction de l'échelle δ et de l'augmentation de l'échelle ∆δ, nous la noterons ∆Nδ,∆δ.

∆Nδ,∆δ = Nδ+∆δ −Nδ

21

Par conséquent, toujours sous l'hypothèse que la loi de puissance 3.2 est vériée, on peut écrire :

∆Nδ,∆δ

Nδ=

(δ + ∆δ)−Db − δ−Db

δ−Db=

(1 +

∆δ

δ

)−Db

− 1

d'où∆Nδ,∆δ

Nδ+ 1 =

(∆δ

δ+ 1

)−Db

(3.4)

On obtient ainsi une méthode libérée du problème de corrélation pour l'estimation de Db :

Db = −log(1 + ∆Nδ,∆δ

Nδ)

log(1 + ∆δδ )

(3.5)

En posant Y = log(1 + ∆Nδ,∆δ

Nδ) et X = log(1 + ∆δ

δ ), on obtient Db par régression linéaire sur lediagramme (X, Y ). Dans le cas où ∆δ → 0 et ∆Nδ,∆δ → 0 on a :

log(1 +∆Nδ,∆δ

Nδ) ∼

∆Nδ,∆δ

Nδet log(1 +

∆δ

δ) ∼ ∆δ

δ

ce qui entraine d'après l'équation 3.5 :

Db = −∆Nδ,∆δ

Nδ

∆δδ

D'où l'équivalence entre les équations 3.5 et 3.3 lorsque ∆δ → 0 et ∆Nδ,∆δ → 0.Nous avons donc montré qu'il est possible d'utiliser la méthode des boites en changeant l'estimateurde la dimension de manière à s'aranchir de la corrélation entre les données.

Le Tableau 3.10 présente des résultats de cette méthode sur des objets utilisées en 3.2.1.

Tableau 3.10 Résultats obtenu en utilisant uniquement les points obtenus avec la grille dénie par le pdspds pf Cantor2 Cantor3 AC1[2,2] 6 2.404 1.5 1.886[3,3] 5 1.893 1.736 1.891[5,3] 4 2.478 1.982 2.111

[5,4,3,2] 4 2.624 2.129 2.179

Les surestimations s'expliquent d'une part par toutes les perturbations vues en 3.2.1 et d'autrepart par le fait que lorsque le pas de subdivision est toujours le même, tous les points se trouvent à lamême abscisse, ce qui diminue fortement la qualité de la régression linéaire. On remarque toutefois quelorsque la méthode classique donne le résultat théorique souhaité il en va de même pour cette nouvelleméthode.Cette méthode gagne en ecacité si l'on considère un maximum de pas de divisions diérentsan de répartir les points considérés sur l'axe des abscisses.

22

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7

y = 1.755 x

Counting Box alternative method

Cantor2 all available data

Fig. 3.5 Diagramme log(1 + ∆Nδ,∆δ

Nδ) en fonction de log(1 + ∆δ

δ )

En utilisant tous les résultats obtenus pour Cantor2 par cette méthode on observe la répartitionvisible sur la gure 3.5. En considérant la droite de pente minimum passant par l'origine et contenu,il reste à montrer que la pente de cette droite fourni une sous-estimation raisonable de la dimensionfractale puisqu'elle prend en considération les nombres minimum de boites recouvrant l'objet à certaineséchelles, ce qui se rapproche de la dimension de Hausdor. En l'occurence, la valeur trouvé de 1.755 pourune dimension théorique de 1.893 est acceptable compte tenu de toutes les perturbations mentionnéesqui aectent également cette méthode. Une étude approfondie et d'autres tests restent à faire avant deréellement pouvoir conclure sur ce sujet.

23

3.2.3 Problème de l'eet du calcul sur les bords

Une erreur classique d'évaluation de la dimension fractale à l'aide de la méthode des boites estliée à la trop grande taille de boites relativement à celle de l'objet[4]. En particulier ce sont cellespositionnées sur les bords de l'objet qui engendrent l'erreur. Considérons par exemple un losange donton veut mesurer la dimension grace à la méthode des boites. Pour cela on le place sur une grille donton fait varier le pas, la gure 3.6 représente une succession de grilles dont le pas est divisé par deux àchaque étape 5.

Le tableau 3.11 donne le nombre de pavés interceptés par le losange en fonction du coecient deréduction, c'est à dire du pas de la grille.

Tableau 3.11 Evaluation de la dimension d'un losange par la méthode des boitesCoecient de Réduction 1 2 4 8 16 32 64 128 256

Nombre de pavés interceptés 1 4 12 40 144 544 2112 8320 33024

@@

@@

@@@

@@

@@

@@@

Fig. 3.6 Ensemble de grille utilisées pour l'éva-luation de la dimension du losange.

1.55

1.6

1.65

1.7

1.75

1.8

1.85

1.9

1.95

2

0 1 2 3 4 5 6 7

Computed slopes for each pair of points

Fig. 3.7 Pentes des paires de point successivesdu diagramme log - log

La régression linéaire sur le diagramme log - log issu de ces données évalue la dimension du losangeà 1.86. Or le losange n'est pas un objet fractal et sa dimension est 2. L'erreur vient des pavés inter-ceptant le bord de l'objet. En eet, pour un tel pavé, une partie du pavé intercepte le bord de l'objetet l'autre partie intercepte le vide qu'il y a autours. Par conséquent, à l'échelle suivante, le nombrede pavés interceptant l'objet issus des pavés du bord n'est pas en fonction de la dimension de l'objetuniquement, mais prend aussi en compte le vide. Cette perturbation reste visible tant que le nombrede pavés interceptant le bord de l'objet reste non négligeable par rapport à celui des pavés intérieursà l'objet. C'est à dire en fonction de la taille des pavés par rapport à celle de l'objet et de son bord6.Ceci s'observe très bien lorsque l'on regarde les pentes des paires de points successives du diagrammelog - log, illustré gure 3.7 pour notre exemple. On remarque une forte perturbation au début, lorsquela taille des pavés est encore importante, et la lente convergence vers la valeur 2 au fur et à mesure dela diminution du pas de la grille. C'est à dire à mesure que la taille du pavé devient négligeable devantla taille de l'objet mesuré.

5similaire à un MVS ayant un pds =[2,2,..]6périmètre, surface, etc . . .

24

Tableau 3.12 Evaluation de la dimension d'un losange par la méthode des boites sans prendre en compte lespavés interceptant les bords de l'objet

Coecient de Réduction 2 4 8 16 32 64 128 256Nombre de pavés interceptés 0 4 24 112 480 1984 8096 32512

Une piste nécessitant une étude plus approfondie pour diminuer cette eet consiste à ne pas tenircompte, à chaque étape, des pavés interceptés par les bords de l'objet. La pente observée entre chaquepaire de points ainsi obtenu est très proche de la dimension fractale en la surestimant légèrementpuisqu'on prend en compte, à chaque étape, les pavés issus des pavés du bord de l'étape précédente. Lesrésultats de cette méthode sur l'exemple précédent sont présentés dans le tableau 3.12, la régressionlinéaire à partir de ces valeurs évalue la dimension du losange à 2.07. Cette valeur, tout en étantsupérieure à la valeur réelle comme prévue, en est plus proche que celle trouvé précédement. De plus,en regardant les pentes des paires de points successives du diagramme log - log, gure 3.8, on observeune convergence vers 2 plus rapide.

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

2.2

2.4

2.6

0 1 2 3 4 5 6

Computed slopes for each pair of points

Fig. 3.8 Pente des paires de points successives du diagramme log - log

25

Chapitre 4

Lacunarité

4.1 Intêret

La dimension fractale est une mesure de l'irrégularité d'un objet qui décrit son déploiement dansl'espace, mais ne prend pas en compte la distribution spatiale de ses composants dans l'espace. Eneet, la dimension fractale peut être identique pour deux objets ayant une distribution spatiale de seséléments diérentes comme l'illustre les ensembles de Cantor généralisés représentés Fig.4.1. Chaqueensemble est obtenu au moyen d'un IFS consitué de 3 opérateurs(i.e. n = 3) de même facteur deréduction, s = 5. La dimension fractale des attracteurs de ces IFS est : log(3)

log(5) = 0.683 mais la répartionspatiale de leurs éléments est diérente. Dans les processus physiques et écophysiologiques, la réparti-

C1t t t t t t t t t

C2t t t t t t t t t

C3t t t t t t t t t

C4t t t t t t t t t

C5t t t t t t t t t

C6t t t t t t t t t

Fig. 4.1 Représentation de six ensembles de Cantor généralisés après 2 itérations correspondant à des IFSayant des attracteurs de même dimension fractale et une répartition spatiale de leurs composants diérente

tion spatiale des éléments a une forte inuence, c'est pourquoi on souhaite pouvoir la caractériser. Enintroduisant la notion de lacunarité [9] Mandelbrot désire caractériser la distribution des trous dans unobjet à une échelle donnée. Plus un objet est homogène et plus sa lacunarité sera faible. A l'inverse,plus la variété de trous contenus dans un objet est grande, plus sa lacunarité sera élévée. La mesure del'écart d'un objet géométrique par rapport à son invariance par translation [6] possède ces propriétés.De plus l'invariance dépend de l'échelle d'observation, un objet très hétérogène à une échelle pourraapparaitre homogène à une échelle plus grande. La lacunarité comme mesure de l'invariance par trans-lation d'un objet peut donc être considérée comme un descripteur de la texture de l'objet en fonctionde l'échelle.

26

On trouve dans la littérature plusieurs dénitons de la lacunarité légèrement diérentes et autantde méthodes pour la calculer. Nous rappellerons dans un premier temps celle introduite par Allainet Cloitre dans [1], puis nous verrons quelques variations de cette dénition, enn nous nirons pardiscuter des propriétés d'une d'entre elles en particulier, la lacunaritée centrée.

Le principe consiste à étudier la variation de la masse des boites de rayon δ dans l'espace de plon-gement de l'objet étudié. Il existe deux grandes façons pour choisir l'ensemble des boites considérées.La première qui consiste à prendre toutes les boites possibles est celle adoptée par Allain & Cloitre .La deuxième ne prend en compte que les boites centrées sur des éléments de l'objet, nous l'appeleronsla lacunarité centrée .

4.1.1 Lacunarité au sens d'Allain et Cloitre

La dénition de la lacunarité utilisée par Allain & Cloitre est basée sur l'analyse des uctuations dela fonction de distribution de masse. Pour déterminer la lacunarité , les auteurs utilisent l'Algorithmede la boite glissante1 [1]. L'objet étudié est placé dans une grille régulière de pas τ . Une boite2 de rayonδ est déplacée sur la grille de manière à centrer la boite sur chacun des pavés de la grille de manièreà ce que la boite soit entièrement incluse dans la grille. Nous obtenons ainsi une collection de boitesnous permettant de dénir une distribution de masse où n(η, δ) est le nombre de boite de rayon δ etde masse η. La masse étant le nombre d'éléments de l'objet contenus dans la boite. En divisant n(η, δ)par le nombre total de boites de rayon δ, on obtient la distribution de probabilité Q(η, δ) correspon-dant à la fréquence du nombre d'occurrence d'une boite de masse η et de rayon δ. Pour analyser lespropriétés d'une telle distribution, une méthode classique consiste à étudier ses moments statistiquesd'ordre q, q ∈ N∗ : Z

(q)Q (δ)

Z(q)Q (δ) =

∑η

ηqQ(η, δ) (4.1)

Nous nous intéressons uniquement aux deux premiers moments,q = 0 et q = 1. La lacunarité à l'échelleδ est dénie comme étant le moment relatif d'ordre 2 (i.e. rapporté à la moyenne) [1].

Λ(δ) =Z

(2)Q (δ)

[Z(1)Q (δ)]2

(4.2)

La lacunarité est dénie comme une fonction de δ, par conséquent elle est dépendante de l'échelle. Ande mieux interpréter le comportement de Λ(δ) on peut noter que :

Z(1)Q = s(δ)

Z(2)Q = s2(δ) + s2(δ)

où s(δ) est la moyenne et s2(δ) est la variance des masses par boite. Ainsi, on obtient :

Λ(δ) =s2s(δ)

s2(δ)+ 1 (4.3)

1Gliding Box Algorithm2..ou n'importe qu'elle gure géométrique de rayon δ

27

La lacunarité à l'échelle δ est donc, à une constante additive près, la variance relative des masses desboites de rayon δ entièrement contenues dans la grille.

Au vue de ces dénitions, on s'attend à observer les propriétés suivantes : Les objets possédants les collections de trous les plus homogènes devraient avoir une plus petitelacunarité puisque la variance des masses de leurs collections de boites est plus faible.

La lacunarité devrait décroitre avec l'augmentation de δ. En eet, lorsque le rayon des boitesdevient susamment grand, toutes les boites contiennent la quasi totalité de l'objet et parconséquent ont sensiblement la même masse. Ce qui a pour eet de faire tendre la variance vers0 et donc la lacunarité vers 1.

Par ailleurs, Plotnick & al. qui utilisent cette dénition dans [10] et [11] pour faire de l'analyse detexture suggèrent qu'une valeur simple est inadapté pour caractériser l'hétérogénéité d'un objet, etque c'est la variation de la lacunarité en fonction de l'échelle qui contient l'information signicative surla texture de l'objet. La Fig 4.2 montre les courbes obtenues pour les ensembles de Cantors généralisésde la Fig 4.1.

0

0.5

1

1.5

2

2.5

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

ln(la

cuna

rity)

ln(box radius)

Allain and Cloitre Lacunarity

C1C2C3C4C5C6

Fig. 4.2 Lacunarité à la manière d'Allain et Cloitre des ensembles de Cantors généralisés de la Fig 4.1

C1 qui a la répartition des trous la plus homogène a, comme prévu, la lacunarité la plus faible. C5qui possède le plus gros trou a la plus grande lacunarité pour tous les rayons de boites et pas uniquementune valeur caractéristique de la taille de ce trou. De plus la lacunarité de tous les ensembles tend vers1 lorsque le rayon des boites tends vers la taille de l'objet. On remarque que les ensembles C2 etC3 qui sont identiques par symétrie mirroir ont la même lacunarité . On pourrait s'attendre au mêmephénomène pour les ensembles C5 et C6 qui sont identiques à une translation près, mais la lacunarité deC6 est plus petite que celle de C5. Ceci vient du fait que seules les boites entièrement contenues dans lagrille sont prises en compte. Par conséquent le positionnement de l'objet sur cette grille a une inuencesur la valeur de la lacunarité .

28

4.1.2 Dénitions alternatives

Dans la dénition d'Allain & Cloitre seules les boites entièrement contenues dans la grille sont prisesen compte pour le calcul de la lacunarité. Cette contrainte ne permet pas de caractériser correctementles variations de structures aux bords de l'objet. Pour s'aranchir de cette contrainte, on considèreune grille innie. On peut soit plonger l'objet dans cette grille de maniére isolée soit le périodiser partranlation ou symétrie.

Nous dénissons ainsi la lacunarité centrée à l'échelle δ comme la variance relative des massesdes boites de rayon δ centrées sur les éléments de l'objet. Soit P l'ensemble des éléments de la grilleintercepté par l'objet. Le nombre de boites à chaque échelle est identique et égal à |P |.Soit mv(δ) le nombre d'éléments de P à une distance δ de v.On peut dénir la masse de la boite de centre v et de rayon δ comme :

Mv(δ) =δ∑

j=0

mv(j)

En considérant la fonction de probabilité Qc(η, δ) obtenue pour les collections de boites centrées sur deséléments de P , on peut reformuler l'expression des moments statistiques (4.1) de la manière suivante :

Z(q)Qc

(δ) =∑

η

ηqQc(η, δ)

Or le nombre de boites étant identique à toutes les échelles, on a l'égalité :∑η

ηqQc(η, δ) =1B

∑v∈P

Mv(δ)q

On peut ainsi reformuler l'expression des moments statistiques :

Z(q)Qc

(δ) =1B

∑v∈P

Mv(δ)q

L'expression de la lacunarité (4.2) devient :

Λ(δ) =

B∑v∈P

Mv(δ)2[∑v∈P

Mv(δ)

]2 (4.4)

Ceci nous permet de calculer la lacunarité centrée en itérant sur les éléments de l'objet pris commecentres des boites. Ce principe décrit le fonctionnement de l'algorithme 1.

Cet algorithme dont la complexité est en O(n2) est implémenté pour fonctionner avec la structuredes MVS décrite précédemment.Toutefois nous nous intéresserons ici aux résultats obtenus sur des ensembles binaires de type ensemblede Cantor généralisés.

29

Algorithme 1 Algorithme de la boite glissante pour la lacunarité centréeEntrées: Ensemble des éléments de la grilleSorties: la lacunarité centrée pour chaque rayon δpour tout v ∈ P fairepour tout δ fairedéterminer mv(δ)calcul de Mv(δ)

n pourX1[δ]+ = Mv(δ)X2[δ]+ = (Mv(δ))2

n pourpour tout δ faire

Λ[δ] = X2[δ]B(X1[δ])2

n pourRetourner Λ

4.2 Propriétés de la lacunarité centrée

Il y a deux diérences entre la lacunarité d'Allain & Cloitre et la lacunarité centrée . Premièrementdans le calcul de la lacunarité centrée seules les boites centrées sur des pavés interceptant l'objet sontprises en compte. Deuxièmement on ne se restreint pas aux boites contenues dans une grille de taillearbitraire puisqu'il est plongé de manière isolé dans une grille innie.

Soit γ le diamètre de l'objet. Lorsque le rayon de la boite est plus grand que γ, toutes les boitesont le même poids. Considérer des boites de rayons supérieur n'apporte plus d'information supplémen-taire. Puisque toutes les boites ont le même poids, la variance de la distribution de masse est nulle.Par conséquent, d'après la formule (4.3), lorsque le rayon de la boite est supérieure à γ la lacunaritécentrée vaut 1. Ce phénomène se reproduit à toutes les échelles où la taille des agrégats et inférieure àcelle des trous. La valeur de la lacunarité centrée dépend de la taille relative de la boite par rapport àcelle des agrégats d'éléments à une échelle donnée. Les boites sont centrées sur des éléments de l'objet,si la boite est plus grande que les agrégats, la variance de la distribution de masse tend vers 0 et lalacunarité centrée tend vers 1. Si la taille de la boite est plus petite que les agrégats, elle sera plusélevée. Les uctuations observées Fig (4.3) sont des illustrations de ce phénomène.Pour la même raison, lorsque le rayon de la boite est nul, toutes les boites ont une masse de 1, lavariance est nulle et la lacunarité centrée vaut également 1. Par ailleurs, puisque l'objet est plongédans une grille innie, les objets symétriques ou identiques à une translation près devraient avoir unelacunarité centrée identique.

30

Regardons dans un premier temps les courbes obtenues pour les six ensembles de cantor présentésFig (4.1). Comme prévu, la valeur initiale et nale de la lacunarité centrée vaut 1. De plus les objets

0.98

1

1.02

1.04

1.06

1.08

1.1

1.12

0 50 100 150 200 250

lacu

narit

y

box radius

Lacunarity centered on occupied sites

C1C2C3C4C5C6

Fig. 4.3 Lacunarité centrée des ensembles de cantors généralisé de la Fig (4.1)

C2 et C3 identiques par symétrie mirroir ont la même courbe. Il en va de même pour C5 et C6 qui sontsimilaires à une translation près. On note également que la lacunarité centrée des objets C5 et C6, quisont les plus agrégés, est celle qui atteint sa valeur nale de 1 en premier pour un rayon proche de 120Fig (4.3). C1 et C4 étant les objets les plus étendus l'atteignent en dernier lorsque le rayon δ des boitesaugmente. Lorsque le rayon des boite atteint une taille d'agrégats, et si les trous les séparant et detaille supérieure ou égale, toutes les boites ont la même masse. La lacunarité centrée vaut donc 1 et nerecommence à augmenter que lorsque le rayon des boites devient plus grand que celui des trous autoursséparants les agrégats. Ainsi, l'étude de la lacunarité centrée devraient permettre la caractérisation destrous d'un objet.

a. q q q q q q q q q q q q q q q qb. qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qqc. qq qq qq qq qq qq qq qq

Fig. 4.4 Représentation de l'ensemble de Cantor après 4 itérations à l'échelle 181(a.) après cinq itérations à

l'échelle 1243(b.) Ensemble de Cantor avec un facteur de réduction de 5 après 4 itérations à l'échelle 1

625(c.)

Considérons l'ensemble binaire de Cantor à la quatrième itération, Fig 4.4.a. La courbe 4.5 repré-sente sa lacunarité centrée en fonction du rayon des boites. Le diagramme sous cette forme est dicileà lire, le passage au diagramme log-log, Fig 4.6 rend la lecture plus aisée.

31

Cet ensemble présente des trous de taille 1, 3, 9, 27. A part les trous de taille 3, tous les autressont clairement identiables sur la courbe Fig (4.6). En eet, il s'agit du rayon maximal d'un minimumlocal de la courbe. C'est à dire le dernier point le plus bas avant un ré-augmentation. Le trou de taille1 se voit puisque la lacunarité centrée vaut toujours 1 pour les boites de rayon 1 et augmente pour unrayon de 2. La détermination du trou de taille 3 est le plus dicile car il intervient directement aprèsla première augmentation de la lacunarité. De plus l'augmentation suivante est caractéristique de laprésence de trous de taille 1. En eet, tous les éléments étant à distance au moins 2, la variation de lalacunarité centrée se fait en fonction du rayon de 2 en 2.

0.995

1

1.005

1.01

1.015

1.02

1.025

1.03

1.035

1.04

1.045

0 10 20 30 40 50 60 70 80

lacu

narit

y

box radius

Lacunarity centered on occupied sites

Cantor 4

Fig. 4.5 Lacunaritée centrée de l'ensemble bi-naire de Cantor à la quatrième itération

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04

0.045

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

ln(la

cuna

rity)

ln(box radius)

Lacunarity centered on occupied sites

Cantor 4

Fig. 4.6 Diagramme log - log de la lacunaritéecentrée de l'ensemble binaire de Cantor à la qua-trième itération

En considérant à présent le même ensemble mais à une itération supplémentaire, il y a apparitiond'une nouvelle échelle de trous. Ce phénomène est visible sur la courbe (4.7). Les courbes de la lacunaritécentrée pour l'ensemble de Cantor à la quatrième et à la cinquième itération sont similaires jusqu'àce que le rayon des boites atteigne la taille de l'objet à la quatrième itération. Dans le premier castoutes les boites font le même poids, la lacunarité centrée vaut 1. Dans le deuxième cas, la lacunaritécentrée vaut également 1 mais parcequ'elle fait apparaitre une nouvelle taille de trous.

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04

0.045

0 1 2 3 4 5 6

ln(la

cuna

rity)

ln(box radius)

Lacunarity centered on occupied sites

Cantor 5

Fig. 4.7 Diagramme log-log de la lacunarité cen-trée de l'ensemble binaire de Cantor à la cinquièmeitération

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04

0.045

0 1 2 3 4 5 6 7

ln(la

cuna

rity)

ln(box radius)

Lacunarity centered on occupied sites

BH 4

Fig. 4.8 emphLacunarité centrée d'un ensembletrès sporadique Fig 4.4.c

32

Lorsque les trous sont bien plus grand que la taille des agrégats des éléments, les trous deviennenttrès visibles et il apparait également un phénomène de palier qui doit être étudié. Ceci est illustré parla courbe 4.8 qui est la lacunarité centrée de l'ensemble 4.4.c. Cet ensemble est un ensemble de Cantorou le facteur de réduction est 5 au liue de 3. Les trois grands paliers caractérisent les diérences detaille entre les agrégats et les trous aux diérentes échelles Fig 4.4.c.

En conclusion, la lacunarité centrée nous permet de caractériser la densité d'un objet dans son en-vironnement par la vitesse de convergence vers 1. De plus elle nous renseigne sur le nombre et la tailledes diérents types de trous que l'on peut rencontrer dans une structure autosimilaire à diérenteséchelles. Il reste néanmoins un certains nombre de comportement à étudier de manière précise ande pouvoir utiliser ce nouvel outil pour caractériser des objets naturels et en 3 dimensions. Les dia-grammes suivants illustrent les premiers résultats obtenus sur des objets tridimensionnels. La courbe

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

ln(la

cuna

rity)

ln(box radius)

Lacunarity centered on occupied sites

Fig. 4.9 Lacunaritée centrée d'un ensemble deCantor tridimensionnel

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

ln(la

cuna

rity)

ln(box radius)

Lacunarity centered on occupied sites

Fig. 4.10 Lacunarité centrée de la plante virtuelAC1

obtenue pour l'ensemble de Cantor tridimensionnel fait bien apparaitre les diérentes tailles de trous.L'interprétation de celle de la plante virtuel est plus délicate mais elle laisse quand même supposerl'existence d'au moins une taille de trous plus caractéristique d'environ 125 unités. Ce qui correspondà l'IFS utilisé qui à un facteur de réduction de 3 et que l'ensemble initial a une taille de 400 unités,4003 ' 133

Ces premiers résultats sont très prometteurs car ils permettent d'envisager das algorithmes auto-matiques de détection des principales distributions de trous dans les structures végatales à diérenteséchelles. Dans la suite du projet au sein duquel s'est inscrit mon stage, nous expliciterons la signica-tion des paliers supérieurs que l'on peut observer sur la Fig (4.8), et regarderons le comportement decet mesure de manière plus exhaustive. . . Nous pourrons également introduire une notion de densitédes pavés en fonction de la quantité d'objet qu'il intercepte.

33

Conclusion

Le travail eectué au cours de ce stage à permis de commencer l'étude d'objets tridimensionneldans le cadre de l'ananlyse fractale. Un certains nombres de problèmes ont été identiés, qu'ils soientthéorique ou méthodologiques. J'ai pu commencer à apporter des éléments de réponses pour certainsd'entre eux. Les plupart des solutions proposées restent encore à être implémentées, mais les premiersrésultats sont prometteurs.Si le travail dans le cadre du DEA s'achève là, je continue mon stage jusqu'en septembre avec l'optiquede pouvoir prendre en compte la structure multi-échelles d'une plante dans la modélisation de l'inter-ception de la lumière.La suite de ce travail commençant par l'étude exhaustive de l'évaluation de la dimension fractale et dela lacunaritée centrée sur des plantes virtuelles ou digitalisées. Une autre piste qu'il faudrait égalementexplorer est l'aspect multi-fractal des objets qui consiste à intégrer un coecient de densité lors del'estimation de la dimension fractale et de la lacunarité.

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