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Theoretische Physik mit SageWiSe 2013/14

- Kepler-Prolem -

t,r,phi,m,alpha,p_r,p_phi,E,H,r_a,r_p,T=var('t,r,phi,m,alpha,p_r,p_phi,E,H,r_a,r_p,T')V=function('V',r)phi_=function('phi_',t)

Tex('Ort: $\\vec r=$')

e0_1=matrix([[r*cos(phi)],[r*sin(phi)]]);e0_1

Tex('Impuls $\\vec p=$')

e0_2=matrix([[p_r],[p_phi]]);e0_2

print 'Potential:'e0_3=V==-alpha/r;e0_3

Potential:

Version 5.11

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Notebook

evaluate

Ort: =r

( )r cos(ϕ)r sin(ϕ)

Impuls =p

( )pr

pϕ

V(r) = − α

print 'Parameter: Par='Par=m==1,alpha==1,p_phi==1,E==-8/100;Par

Parameter: Par=

ATU(1,'Metrik')

Aufgabenteil 1) Metrik

Tex('Jacobi-Matrix $J=({\partial x_i \over \partial q_j})=$')

e1_1=jacobian(e0_1,(r,phi));e1_1

Tex('Metrik $G=Jt\cdot J=$')

e1_2=(e1_1.transpose()*e1_1).simplify_trig();e1_2

In('Inverse Metrik','G_{inv}=G{-1}=')

e1_3=e1_2.inverse();e1_3

Tex('Impuls-Geschwindigkeits-Beziehung ${\partial \over \partial t} \\vec r= {\\vec p \over m}= {1 \over m}G_{inv} \cdot (p_r,p_\phi)t= $')

e1_4=e1_3*e0_2/m;e1_4

V(r) = − αr

(m = 1, α = 1, = 1, E = (− ))pϕ2

25

Jacobi-Matrix J = ( ) =∂xi

∂qj

( )cos(ϕ)sin(ϕ)

−r sin(ϕ)r cos(ϕ)

Metrik G = ⋅ J =Jt

( )10

0r2

Inverse Metrik = =Ginv G−1

( )10

01

r2

Impuls-Geschwindigkeits-Beziehung = = ⋅ ( , =∂∂t

r p m

1m

Ginv pr pϕ) t

⎛⎝pr ⎞⎠

ATU(2,'Energie, Impuls, Aphel, Perihel')

Aufgabenteil 2) Energie, Impuls, Aphel, Perihel

Tex('Hamilton-Funktion $H={\\vec p2 \over 2m}+V(r)={1 \over 2m}(p_r,p_\phi)\cdot G_{inv} \cdot (p_r,p_\phi)t+V(r)$')

s=1/(2*m)*(e0_2.column(0)*e1_3*e0_2)[0]+Ve2_1=H==s.subs(e0_3)e2_1

Tex('Erhaltung des Drehimpulses: ${d p_ \phi \over d t }={\partial H \phi \over \partial \phi }=$')

e2_1.rhs().diff(phi)

Tex('Impuls durch Auflösen der Hamilton-Funktion nach $p_r {\\text und} \ H \\to E$')

e2_2=(E==e2_1.rhs()).solve(p_r);e2_2

print 'Für Bewegung nach aussen:'e2_3=e2_2[1];e2_3

Für Bewegung nach aussen:

⎛⎝pr

mpϕ

mr2

⎞⎠

Hamilton-Funktion H = + V(r) = ( , ) ⋅ ⋅ ( , + V(r)p 2

2m1

2mpr pϕ Ginv pr pϕ) t

H = −+p2

r

p2ϕ

r 2

2 mαr

Erhaltung des Drehimpulses: = =dpϕ

dt

∂Hϕ

∂ϕ

0

Impuls durch Auflösen der Hamilton-Funktion nach und H → Epr

[ = − , = ]pr

2 Em +2 αmr−r2 p2ϕ√

rpr

2 Em +2 αmr−r2 p2ϕ√

r

=pr

2 Em +2 αmr−r2 p2ϕ√

r

Tex('Perihel und Aphel als Nullstellen des Radialimpulses $p_r=0 \\to (r_p,r_a)=$')

s=(e2_3.rhs()).solve(r)e2_4=s[0].rhs(),s[1].rhs();e2_4

ATU(3,'Effektives Potential')

Aufgabenteil 3) Effektives Potential

Tex('Effektives Potential $V_{eff}:=E|_{p_r=0},E,r_a,r_p$')

e3_1=e2_1.rhs().subs(p_r=0),E,r_a,r_p;e3_1

print 'Mit Parametern's1=SubsPar(e3_1[0])s2=SubsPar(E)s3=SubsPar(e2_4[0])s4=SubsPar(e2_4[1])e3_2=s1,s2,s3,s4;e3_2

Mit Parametern

s1=plot(e3_2[0],0,13,color='#ff0000',legend_label='$V_{eff}$')s2=plot(e3_2[1],0,13,color='#888800',legend_label='$E$')s3=list_plot([[e3_2[2],-.5],[e3_2[2],+.5]],plotjoined=True,legend_label='$r_a$',color='#00ff00')s4=list_plot([[e3_2[3],-.5],[e3_2[3],+.5]],plotjoined=True,legend_label='$r_b$',color='#0000ff')(s2+s3+s4+s1).show(ymin=-0.5,ymax=0.2,figsize=4,axes_labels=['Ort x',' '])

Perihel und Aphel als Nullstellen des Radialimpulses = 0 → ( , ) =pr rp ra

(− , − )αm+ +2 Emα2m2 p2ϕ√

2 Em

αm− +2 Emα2m2 p2ϕ√

2 Em

Effektives Potential := E , E, ,Veff | =0prra rp

(− + , E, , )αr

p2ϕ

2 mr2 ra rp

(− + , − , + , − + )1r

12 r2

225

54 21

−−√ 25

454 21

−−√ 25

4

ATU(4,'Kepler-Bahnen')

Aufgabenteil 4) Kepler-Bahnen

Tex('Wir berechnen das Integral $\phi=\int ({m \dot{r} \over p_r})\dot{\phi}dt=\int {p_\phi \over r2 p_r}dr$')

print 'Integrand:'e4_1=p_phi/r2/p_r;e4_1

Integrand:

print 'mit'e2_3

mit

print 'Integrand:'e4_2=e4_1.subs(e2_3);e4_2

Integrand:

print 'Integration'assume(p_phi>0,m>0,alpha>0,E>0,r>0)e4_3=phi==e4_2.integrate(r);e4_3

Integration

Wir berechnen das Integral ϕ = ∫ ( ) dt = ∫ drmrpr

ϕpϕ

r2 pr

pϕ

prr2

=pr

2 Em +2 αmr−r2 p2ϕ√

r

pϕ

r2 Em +2 αmr−r2 p2ϕ√

ϕ = −arcsin(− + )

print 'Auflösen nach r liefert die Keplerbahnen r(phi)'e4_4=sin(e4_3).solve(r)[0];e4_4

Auflösen nach r liefert die Keplerbahnen r(phi)

ATU(5,'Periode')

Aufgabenteil 5) Periode

Tex('Berechnung der Periode $T=2\\int_{t(r_p)}{t(r_a)}{m\dot{r} \over p_r} dt=2m \\int_{r_p}{r_a}{1 \over p_r} dr$')

print 'Integrand'e5_1=2*m/e2_3;e5_1

Integrand

print 'Integrand, untere Grenze, obere Grenze'e5_1.rhs(),e2_4[0],e2_4[1]

Integrand, untere Grenze, obere Grenze

print 'Integral'e5_2=T==e5_1.rhs().integral(r,e2_4[1],e2_4[0]).factor();e5_2

Integral

print 'mit Parametern aus Par:'s=e5_2.subs_expr(Par[0],Par[1],Par[2],Par[3]).real().simplify();e5_3=s,s.lhs()==s.rhs().n(digits=4)e5_3

mit Parametern aus Par:

ϕ = −arcsin(− + )2 αm

4 +8 Emα2m2 p2ϕ√

2 p2ϕ

r4 +8 Emα2m2 p2ϕ√

r =2 p2

ϕ

2 αm− sin(ϕ)4 +8 Emα2m2 p2ϕ√

Berechnung der Periode T = 2 dt = 2m dr∫ t( )ra

t( )rp

mrpr

∫ ra

rp

1pr

=2 mpr

2 mr

2 Em +2 αmr−r2 p2ϕ√

( , − , − )2 mr

2 Em +2 αmr−r2 p2ϕ√

αm+ +2 Emα2m2 p2ϕ√

2 Em

αm− +2 Emα2m2 p2ϕ√

2 Em

T =α(log(2 )−log(−2 ))2√ Em√ ( m+2 E )mα2 p2

ϕ√ ( m+2 E )mα2 p2

ϕ√

2 E2

(T = π, T = 98.17)1254

ATU(6,'Numerische Lösung')

Aufgabenteil 6) Numerische Lösung

Tex('Bewegungsgleichung ${d \phi_t \over d t}=-{\partial H \over \partial p_\phi}$')

e6_1=diff(phi_,t)==-diff(e2_1.rhs(),p_phi).subs(e4_4)e6_1

print 'mit Parametern'e6_2=e6_1.subs_expr(Par[0],Par[1],Par[2],Par[3]);e6_2

mit Parametern

print 'numerische Lösung mit'ran=srange(0,e5_3[1].rhs(),.2)Sol=desolve_odeint(e6_2.rhs(),[0],ran,phi)print 'Anzahl der Zeitschritte:'len(ran)

numerische Lösung mitAnzahl der Zeitschritte:

print 'Graphische Darstellung von phi(t)'t_phi=[[ran[k],Sol[k,0]] for k in range(len(ran))]e6_5=list_plot(t_phi,plotjoined=True,legend_label='$\phi (t)$',color='#0000ff').show(figsize=4);e6_5

Graphische Darstellung von phi(t)

Bewegungsgleichung = −dϕt

dt∂H

∂pϕ

D[0](ϕ)(t) = −(2 αm− sin(ϕ))4 +8 Emα2m2 p2

ϕ√2

4 mp3ϕ

D[0](ϕ)(t) = − 125 ( sin(ϕ) − 5)21

−−√

2

491

print 'r(phi) mit Parametern'e6_6=e4_4.subs_expr(Par[0],Par[1],Par[2],Par[3]);e6_6

r(phi) mit Parametern

print 'Bahnkurve'def XY(PHI): r=e6_6.rhs().subs_expr(phi==PHI) return [(r*sin(PHI)).n(digits=5),(r*cos(PHI)).n(digits=5)]#XY(1)print 'Punktepaare [x-y]='e6_7=[XY(Sol[n,0]) for n in range(len(ran))]e6_8=[e6_7[k] for k in range(0,len(e6_7)-1,5)];e6_8

BahnkurvePunktepaare [x-y]=

P1=list_plot(e6_7,plotjoined=True,color='#FF8800',thickness=1)P2=list_plot(e6_8,color='red')(P1+P2).show(figsize=4,aspect_ratio=1,title='Kepler-Bahn')

r = − 5sin(ϕ)−521√

[[0.00000, 1.0000], [−0.38264, −0.52459], [0.57845, −1.4166], [1.4300, −1.8150], [2.1641

ATU(7,'Animation der Kepler-Bewegung')

Aufgabenteil 7) Animation der Kepler-Bewegung

e6_8=[point(e6_7[n]) for n in range(0,len(ran),4)]ani=animate(e6_8,xmin=-1,ymin=-2.5,xmax=12,ymax=2.5,figsize=3,aspect_ratio=2);ani

#ani.show(iterations=3,delay=5)

#ani.save('/media/sf_Sage/Planet_ani.gif',show_path=True)

Animation with 123 frames