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FB Elektrotechnik
1Prof. Dr.-Ing. Tatjana Lange Signal- und Systemtheorie „for Dummies“
Fachhochschule MerseburgFachhochschule Merseburg
Oh No !!!!
Etwas Signal- und Systemtheorie
„for Dummies“
Etwas Signal- und Systemtheorie
„for Dummies“
Version 01 - Juli 2002
Prof. Dr.-Ing. Tatjana LangeFachhochschule MerseburgFB Elektrotechnik
FB Elektrotechnik
2Prof. Dr.-Ing. Tatjana Lange Signal- und Systemtheorie „for Dummies“
Fachhochschule MerseburgFachhochschule Merseburg
analogeSignale
stochastisch
Gegenstand der Betrachtung sind analoge Signale:Gegenstand der Betrachtung sind analoge Signale:
periodisch
u(t)
t
u(t)
t
aperiodisch- einzelner Impuls
u(t)
t
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3Prof. Dr.-Ing. Tatjana Lange Signal- und Systemtheorie „for Dummies“
Fachhochschule MerseburgFachhochschule Merseburg
( ) ( )( )( )( )( )
............
72cos08,0
52cos11,0
42cos14,0
22cos28,0
12cos55,033,0
0
0
0
0
0
+⋅⋅π+⋅⋅π−⋅⋅π−⋅⋅π+
⋅⋅π+=
f
f
f
f
ftup
( )012cos55,0 f⋅⋅π+
Hzt
fp
3331
0 ==
( )022cos28,0 f⋅⋅π+
( )052cos11,0 f⋅⋅π−
( )072cos08,0 f⋅⋅π+
( )042cos14,0 f⋅⋅π−
Spektrum
1kH
z
2kH
z
3kH
z f
Ak
mst p 3=
( ) ( )tkfAtuk
kp 00
2cos π=∑+∞
=
Jede periodische Zeitfunktion kann durch die Summe unendlichvieler Cosinus-Schwingungen unterschiedlicher Amplitude undunter Frequenz ( und Phase) dargestellt werden.
Die Amplituden der Cosinus-Schwingungen stellt man alsLinien über der Frequenzachsedar.
! diskretes (Linien-)Spektrum
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4Prof. Dr.-Ing. Tatjana Lange Signal- und Systemtheorie „for Dummies“
Fachhochschule MerseburgFachhochschule Merseburg
1kH
z
2kH
z
3kH
z f
Ak
1kH
z
2kH
z
3kH
z
1kH
z
2kH
z
3kH
z f
1kH
z
2kH
z
3kH
z f
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
-0,2
0-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
T=1mstp=2ms
T=1mstp=3ms
T=1mstp=4ms
T=1mstp=5ms
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5Prof. Dr.-Ing. Tatjana Lange Signal- und Systemtheorie „for Dummies“
Fachhochschule MerseburgFachhochschule Merseburg
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
1kH
z
2kH
z
3kH
z f
1/T
1/tp
~ U0T/tp
T tp
Erkenntnisse:1. Die Nulldurchgänge der Hüllkurve über den Fourier-Koeffizienten hängen nur von der
Impulsbreite T, aber nicht von der Periode tp ab.2. Die Frequenz der Grundwelle f0 hängt nur von der Periode tp ab.3. Je größer die Periode tp, um so geringer der Abstand zwischen den Frequenzen der
Grundwelle und der Oberwellen. Der Abstand zwischen den Linien im Spektrum wirdimmer kleiner.
4. Mit größer werdender Periode werden die Werte der Fourier-Koeffizienten bzw. dieAmplitude der Hüllkurve immer kleiner. Die Form der Hüllkurve bleibt jedoch erhalten.
U0
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6Prof. Dr.-Ing. Tatjana Lange Signal- und Systemtheorie „for Dummies“
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1kH
z
2kH
z
3kH
z f
1/T
1/tp
~ T/tp
T tp
Grenzwertbetrachtung:Strebt die Periode gegen Unendlich (tp → ∞),
• so strebt der Abstand zwischen den Spektrallinien gegen Null (∆f=(k+1)f0-kf0 → 0)• strebt die Amplitude der Hüllkurve gegen Null; die Form der Hüllkurve bleib jedoch erhalten !!!
Damit verwandelt sich das diskrete Linienspektrum in eine kontinuierliche spektrale Dichtefunktion(kurz: spektrale Dichte, Spektrum).Eine gegen Unendlich strebende Periode bedeutet, daß nur noch ein einzelner Impuls (oder aperiodischeFunktion) betrachtet wird (die anderen Impulse „verschwinden im Unendlichen“), der imFrequenzbereich durch die spektrale Dichte beschrieben ist.
∆f
1kH
z
2kH
z
3kH
z f
1/T
T
tp → ∞tp → ∞
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7Prof. Dr.-Ing. Tatjana Lange Signal- und Systemtheorie „for Dummies“
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Der Verlauf der spektralen Dichtefunktion gibt Auskunft über die Verteilung der(unendlich kleinen aber differentiell unterschiedlichen ) Amplituden der unendlichvielen Cosinus-Schwingungen über die Frequenz. Die Maßeinheit ist [V/Hz].Man spricht in diesem Zusammenhang auch von der Amplitudendichte U(f).
Merke: Die Maßeinheit der Fourier-Koeffizienten Ak (für periodische Signale) ist [V].
↔
u(t)
t f
U0T
T
aperiodischeFunktion
U(f)
↔
tppu (t)
t ff0
U0 Ttp
T
[V] [V]
[V] [V/Hz]
1. Ein periodischesZeitsignal besitzt eindiskretes Spektrum.
2. Ein aperiodische Signalbesitzt einkontinuierlichesSpektrum.
Zusammenfassende Erkenntnis:
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8Prof. Dr.-Ing. Tatjana Lange Signal- und Systemtheorie „for Dummies“
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Fouriertransformation - Warum tun wir uns das an ?
ZL
Ru1(t) u2(t)Induktion verursachtPhasendrehung um 90° !!!
( ) ( )tfUtu 001 2cos π=
( ) ( )LfjR
RtfUtu
0002 2
2cosπ+
⋅π=
u1(t)
Das Systemverhalten ist frequenzabhängig.
Darstellung des komplexenWiderstands in derkomplexen Zahlenebene:
j
R
ZL
LfLZL ⋅⋅π=⋅ω= 2
u2(t)
u2(t)
u1(t)
( ) ?2 =tu ( ) ( )LjZR
Rtutu
+⋅= 12
frequenzabhängiger Übertragungsfaktor G(f0)
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9Prof. Dr.-Ing. Tatjana Lange Signal- und Systemtheorie „for Dummies“
Fachhochschule MerseburgFachhochschule MerseburgAllgemein:
SystemG(f0)
( ) ( )tfUtu 001 2cos π= ( ) ( ) ( )tffGUtu 0002 2cos π⋅=
periodische nicht-harmonische Signale
( ) ( )∑∞
=
π=0
01 2cosk
k tkfUtu ( ) ( ) ( )∑ π⋅= tkfkfGUtu k 002 2cosSystemG(kf0)
periodische harmonische Signale
aperiodische Signale
SystemG(f)
( ) ( ) dfefUtu ftj∫+∞
∞−
π= 211 ( ) ( ) ( ) dfefGfUtu ftj∫
+∞
∞−
π= 212
( ) ( ) dfefUtu ftj∫+∞
∞−
π= 222( ) ( ) ( )fGfUfU 12 =
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10Prof. Dr.-Ing. Tatjana Lange Signal- und Systemtheorie „for Dummies“
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Rechenweg:
( ) ( ) ( )fGfUfU 12 =
u1(t) u2(t)
U1(f) U2(f)
G(f)System
Fouriertransformation Fouriertransformation
1G(f)
U1(f)
U2(f)
( ) ( ) ( )fGfUfU 12 =
„Graphische Multiplikation“
!
1
2
3 !!
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11Prof. Dr.-Ing. Tatjana Lange Signal- und Systemtheorie „for Dummies“
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MeßanordnungMeßanordnung
~ Meßobjekt
Meßgerät, z.B.• Oszillograph• Vektorvoltmeter
u1(t)=U10cos(2πfkt) u2(t)=U20(fk)cos(2πfk(t- ∆tk))= U20(fk)cos(2πfkt- 2πfk∆tk)Cosinus-Generator
durchstimmbareFrequenz
U10=const., z.B. 1V ϕk
ZL
Ru1(t) u2(t)
( ) ( )fjZR
RfG
L+=
System
G(f) ? Rechnen
Messen
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12Prof. Dr.-Ing. Tatjana Lange Signal- und Systemtheorie „for Dummies“
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Merke: Die Beziehung U2(f)=U1(f)G(f) gilt nur für lineare, zeitinvariante Systeme(Beispiel. elektronischer Verstärker im linearen Arbeitsbereich).
linearesSystem
nichtlinearesSystem
u1(t) u2(t)System
zeitinvariantesSystem
nichtzeitinvariantesSystem
u1(t) u2(t)System
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13Prof. Dr.-Ing. Tatjana Lange Signal- und Systemtheorie „for Dummies“
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Jetzt etwas Mathematik:Jetzt etwas Mathematik:
( ) ( )kk
kp tkfAtu ϕ+π=∑+∞
=0
0
2cos
ptf
10 =
Fourier-Reihe für periodische Signale (Funktionen):
t
tpu(t)F-01
( ) ( ) ( )[ ]∑+∞
=
π+π=0
00 2sin2cosk
kkp tkfbtkfatu
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Komplexe Form der Fourier-Reihe:
( )( ) ( )
tkfj
C
jktkfj
C
jk
tkfjtkfj
kkk
eeA
eeA
eeAtkfA
k
k
k
k
kk
00
00
22
22
0
22
22cos
π−ϕ−
πϕ
ϕ+π−ϕ+π
⋅+⋅=
+=ϕ+π
−
434 21321
( ) ( ) ∑∑+∞
−∞=
π+∞
=
=ϕ+π=k
tkfjkk
kkp eCtkfAtu 02
00
2cos
kjkk e
AC ϕ=
2
kjkk e
AC ϕ−
− =2
0≠k
( ) ( )0
00000 cos
cosϕ
=ϕ= CAAC
( ) dtetut
C tkfj
t
t
pp
k
p
p
02
2/
2/
1 π−+
−∫=F-03
Berechnung der Koeffizienten:kk CA ⋅= 2
F-02
{ } { } kjkkkk eCCjCC ϕ=+= ImRe
Für reale { }kk CC Re=gilt:
0;2 0 =ϕ= kk CA
Euler‘sche Formel
2cos
jxjx eex
−+ +=
!
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15Prof. Dr.-Ing. Tatjana Lange Signal- und Systemtheorie „for Dummies“
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↔
u(t)
t f
U0 T
T
aperiodischeFunktion
U(f)
1/T
Mit tp → ∞ erhält man schließlich eine aperiodische Funktion imZeitbereich und ein kontinuierliches Spektrum im Bildbereich:
( ) ( ) dfefUtu ftj∫+∞
∞−
π= 2
Das Fourier-Integral ersetzt die Fourier-Reihe:
( ) ( ) dtetufU ftj∫+∞
∞−
π−= 2F-04 F-05!
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16Prof. Dr.-Ing. Tatjana Lange Signal- und Systemtheorie „for Dummies“
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Beispiel fürSymmetrie:
u(t)
t
U0
T
U(f)
f
U T0
1T
2T
3T
u(t)
U0
T1
T
f
Zeitbereich Frequenz- bzw. Bildbereich
u(t)U0
tT
Beachte Symmetrie:
( ) ( ) dfefUtu ftj∫+∞
∞−
π= 2 ( ) ( ) dtetufU ftj∫+∞
∞−
π−= 2
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17Prof. Dr.-Ing. Tatjana Lange Signal- und Systemtheorie „for Dummies“
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Standardsignale und ihre Spektren (1)Standardsignale und ihre Spektren (1)
u(t)
t
U0
U0/2
TH
U(f)
fBH
U0TH
U0TH/2
Zeitbereich Spektrum
HH B
T1≈
U(f)
f
U0 .δ(f-f )2 0
U0 .δ(f+f )2 0
+f0-f0
u(t)
t
tp
U0
( ) ( )tfUtu 00 2cos π=
0
1
ft p =
!
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18Prof. Dr.-Ing. Tatjana Lange Signal- und Systemtheorie „for Dummies“
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Standardsignale und ihre Spektren (2)Standardsignale und ihre Spektren (2)
Zeitbereich Spektrum
u(t)
t
U0
TH
U(f)
f
U T0 H
1
HT2
HT3
HT
U(f)
ff0
Fläche der Stöße = f A0 0
u(t)
t
Fläche der Stöße = A0
tp
0
1
ft p =
In der Realität werden die Dirac-Stöße durchschmale Impulse ersetzt.
( ) ( )HH fTsiTUfU π⋅= 0
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19Prof. Dr.-Ing. Tatjana Lange Signal- und Systemtheorie „for Dummies“
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Einige wichtige Eigenschaften der FouriertransformationEinige wichtige Eigenschaften der Fouriertransformation
(a) Wenn und eine zeit- und frequenzunabhängigeKonstante ist, dann gilt:
( ) ( )fUtu 11 ↔ k
( ) ( )fUktuk 11 ⋅↔⋅
(b) Wenn und , dann gilt:( ) ( )fUtu 11 ↔ ( ) ( )fUtu 22 ↔
( ) ( ) ( ) ( )fUfUtutu 2121 +↔+
(c) Die Fläche unter der Frequenzfunktion ist gleich dem Wert derZeitfunktion bei :
( )fU
( )tu 0=t( ) ( ) ( )dffUutu ∫
+∞
∞−
=== 00
(d) Die Fläche unter der Zeitfunktion ist gleich dem Wert derFrequenzfunktion bei :( )fU
( )tu0=f
( ) ( ) ( )dttuUfU ∫+∞
∞−
=== 00
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20Prof. Dr.-Ing. Tatjana Lange Signal- und Systemtheorie „for Dummies“
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u(t)
t
U0
U0/2
TH
U(f)
fBH
U0TH
U0TH/2
HH B
T1≈
!
Wichtige Näherungsbeziehung:
( ) ( )( ) ( ) HH
H
TUTtufU
BfUtuU
⋅=⋅=≈=⋅=≈==
0
0
00
00
Zur Not kann jedes Signal näherungsweise als ein glockenförmigerImpuls betrachtet werden.
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21Prof. Dr.-Ing. Tatjana Lange Signal- und Systemtheorie „for Dummies“
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G(f)
fBH=50 kHz
2
u1(t)
tTH=1µs
1V
u1(t)
tTH=1ms
2V
u1(t)
t
40 µs
1V
Beispielaufgabe:Gegeben ist die in der Abbildung dargestellteÜbertragungsfunktion G(f) eines Tiefpaß.
Skizzieren Sie näherungsweise das Signal am Ausgang desTiefpaß für folgende drei Fälle:
(A) Am Eingang des Tiefpasses wirkt ein dreieckförmigerImpuls mit der Halbwertsbreite TH=1µs und einer
Amplitude von U0=1 V - siehe Abbildung A.(B) Am Eingang des Tiefpasses wirkt ein glockenförmiger
Impuls mit der Halbwertsbreite TH=1ms und einerAmplitude von U0=2 V - siehe Abbildung B.
(C) Am Eingang des Tiefpasses wirkt eine cosinusformigeSpannung - siehe Abb. C
Fall (A) Fall (B) Fall (C)
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LösungFall A u1(t)
tTH=1µs
1V
1. Schritt: Ermittlung des Spektrums des Eingangssignals (näherungsweise !!!):
fBH≈1 MHz
U1(f=0)≈1V/MHz
2. Schritt: (graphische) Multiplikation mit derÜbertragungsfunktion des Tiefpasses: G(f)
fBH=50 kHz
2
Beachte: Unterschiedliche Maßstäbe auf denFrequenzachsen.Im Durchlaßbereich des Tiefpasses ist die spektraleAmplitudendichte des Eingangssignals U(f) ≈1V/MHz=const.
U1(f)
fBH=50 kHz
U2(f) U2(f=0)≈2V/MHz3. Schritt: Rücktransformation (näherunsweise):
1
3
u2(t) u2(t=0)≈0,1V
TH≈20µs
Ergebnis:
2
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1. Schritt: Ermittlung des Spektrums des Eingangssignals (näherungsweise !!!):
2. Schritt: (graphische) Multiplikation mit derÜbertragungsfunktion des Tiefpasses:
2Beachte: Unterschiedliche Maßstäbe der Frequenzachsen.Im Frequenzband des Eingangssignals ist der Verlauf derÜbertragungsfunktion nahezu konstant.(für -1kHz <f < +1kHz gilt G(f) ≈ 2 =const.)Das Signal wird ohne frequenzmäßige Einschränkungdurchgelassen, jedoch um den Faktor 2 verstärkt.
fBH=50 kHz
G(f)
3. Schritt: Rücktransformation (näherunsweise):
1
3
Ergebnis:
2
u1(t)
tTH=1ms
2V
f
U2(f=0)≈4V/kHz
BH=1kHz
U2(f)
f
U1(f=0)≈2V/kHz
BH=1kHz
U1(f)
u2(t)
tTH=1ms
4V
LösungFall B
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2. Schritt: (graphische) Multiplikation mit derÜbertragungsfunktion des Tiefpasses: G(f)
fBH=50 kHz
2
3. Schritt: Rücktransformation (näherunsweise):
1
3Ergebnis:
2
u(t)
t
tp
U0 U(f)
f
U0 .δ(f-f )2 0
U0 .δ(f+f )2 0
+f0-f0tp=40µs f0=1/tp=25kHzf0=25kHz
G(f=25kHz)=1
U(f)
f
U0 .δ(f-f )2 0
U0 .δ(f+f )2 0
+f0-f0f0=25kHz
u(t)
t
tp
U0
tp=40µs
LösungFall C
Lösungsvariante 1 - „regulärer“ Weg
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25Prof. Dr.-Ing. Tatjana Lange Signal- und Systemtheorie „for Dummies“
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u1(t)
t
tp
U0
Zur Erinnerung:Der Wert der Übertragungsfunktion G(f) an der Stelle f=fi gibt (definitionsgemäß) das Verhältniszwischen den Amplituden des cosinusförmigen Ausgangssignals u2(t)= U20cos(2πfit) und descosinusförmigen Eingangssignals u1(t)= U10cos(2πfit) an (=Übertragungsfaktor).
Es gilt also:
G(f)
fBH=50 kHz
2
G(f=25kHz)=1u1(t)= U10cos(2πfit) u2(t)= U20cos(2πfit)
( )iff
i U
UffG
===
10
20
In der Aufgabe wirkt auf den Eingang des Systems ein cosinusförmiges Signal. Am Ausgang mußalso wieder ein cosinusförmiges Signal gleicher Frequenz erscheinen.Dessen Amplitude hängt von der Frquenz ab. In der Aufgabe ergibt sich die Frequenz derCosinus-Schwingung aus der Periode, also f0=1/tp=25kHz.Der Wert der Übertragungsfunktion bei f=25kHz ist lt. Skizze gleich G(f=25kHz)=1.Folglich erscheint am Ausgang des Systems das gleiche Signal wie am Eingang !!!
u2(t)
t
tp
U0
Lösungsvariante 1 - „Abkürzung“LösungFall C
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Multiplikation eines Signals mit einer Cosinus-FolgeMultiplikation eines Signals mit einer Cosinus-Folge
zeitlicher Signalverlauf
uN(t)
uT(t)
uM(t)
UT(f)
UM(f)
UN(f)
f
f
f
t
t
t
Modulation
Frequenzmultiplex
Multiplikationim Zeitbereich
Verschiebungdes Spektrums
Spektrum
uN(t) uT(t)
uM(t)
Nutzsignal
Trägersignal
moduliertesSignal
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27Prof. Dr.-Ing. Tatjana Lange Signal- und Systemtheorie „for Dummies“
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Multiplikation eines Signals mit einer Abtastfolge - AbtastungMultiplikation eines Signals mit einer Abtastfolge - Abtastung
uN(t)
uA(t)
uD(t)
UA(f)
UD(f)
UN(f)
f
f
f
t
t
t
Periodifizierung
Digitalisierung
periodische Folge
Multiplikationim Zeitbereich
Verschiebungdes Spektrums
Abtasttheorem
zeitlicher Signalverlauf Spektrum
uN(t) uA(t)
uD(t)
Nutzsignal
Abtastfolge
bzw. abgetastetesSignal
DiskretesSignal
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u(t) U(f)
P{u(t)}=up(t) A{U(f)}=Ua(f)
A{u(t)}=ua(t) P{U(f)}=Up(f)
Periodifizierung:Periode tp=1/f0
Periodifizierung:Periode fp=1/t0
Abtastung:Abtastintervallt0=1/fp
Abtastung:Abtastintervall f0=1/tp
Merke:• Periodifizierung im Zeitbereich bedeutet Abtastung im Frequenzbereich• Abtastung im Zeitbereich bedeutet Periodifizierung im Frequenzbereich
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29Prof. Dr.-Ing. Tatjana Lange Signal- und Systemtheorie „for Dummies“
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tTH=50 µs
U0=2 V
u (t)
f
U(f)
BH≈20kHz
U(f=0)≈100V/MHz
2. Schritt:Periodifizierung im Zeitbereich bedeutet Abtastung im Frequenzbereich.Dabei berechnet sich der Abstand zwischen den Abtastnadeln aus der Periode wie folgt:
kHzst
fp
5200
110 =
µ==
f
U(f)
BH≈20kHz
U(f=0)≈100V/MHz
5kHz 15kHz
1. Schritt: Ermittlung des Spektrums der Originalfunktion u(t)
Ergebnis:
Beispielaufgabe:Gegeben ist das in der Skizze dargestellte Signal im Zeitbereich.Dieses Signal wird periodifiziert mit einer Periode tp=200µs.
Skizzieren Sie näherungsweise das Spektrum des periodifizierten Signals.
tTH=50 µs
U0=2 V
u (t)
Lösung:
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30Prof. Dr.-Ing. Tatjana Lange Signal- und Systemtheorie „for Dummies“
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Digitalisierung analoger Signale - AbtasttheoremDigitalisierung analoger Signale - Abtasttheorem
UD(f)UN(f)
f f
uA(t)
t
uD(t)
t
uN(t)
t
analogesSignal
Abtastfolge
Diskretes bzw.abgetastets
Signal
G(f)
f
uN(t)
t
UN(f)
f
Tiefpass
Durchlaßbereich
Sperrbereiche
zeit
lich
erSi
gnal
verl
auf
Spek
tren
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31Prof. Dr.-Ing. Tatjana Lange Signal- und Systemtheorie „for Dummies“
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analogeSignalquelle Tiefpaß
Grenz-frequenz fg
AbtasterTiefpaßGrenz-
frequenz fg
AbtastimpulseAbtastfrequenz f0 > 2fg
Digitalisierung analoger Signale
Schritt 1: Abtastung
Abtasttheorem !!!Abtasttheorem !!!
Digitalisierung analoger Signale
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32Prof. Dr.-Ing. Tatjana Lange Signal- und Systemtheorie „for Dummies“
Fachhochschule MerseburgFachhochschule Merseburg
+ 3
+ 2
+ 1
+ 0
- 1
- 2
- 3
1 1 1
1 0 0
0 0 1
0 1 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0
Schritt 2:Quantisierung
undbinäre Codierung
Quantisierer / Codierer
anderer Zeitmaßstab
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33Prof. Dr.-Ing. Tatjana Lange Signal- und Systemtheorie „for Dummies“
Fachhochschule MerseburgFachhochschule Merseburg
TP AbtasterTiefpaßGrenz-
frequenz fg
Quant./Coder Decoder
DigitaleSignal-
verarbeitung
Digitale Signalübertragung
Digitale Signalfilterung
Digitale Signalspeicherung
Digitale Signalerkennung
DigitaleSignalverarbeitung
Quantisierungsverzerrung !!!anderer Zeitmaßstab