Etude numérique des jets turbulents à température élevée

Rev Ge’n Therm (1996) 35, 232-242 @ Elsevier, Paris

Etude numhrique des jets turbulents i tempkrature hlev6e

Hans Sanders, Brahim Sarh, lskender Gijkalp

Laboratoire de combustion et systImes reactifs, Centre national de la recherche scientifique, 1 C, Avenue de la Recherche Scientifique, 45071 Orlians, cedex 2, France

(Recu le 1 decembre 1995 ; accept6 le 30 avril 1996)

Abridged English version at the end of the text

Summary - Numerical prediction of the structure of high temperature axisymmetric turbulent jets. Turbulent axisymmetric jets at high temperature are studied numerically by using first and second order turbulence models. Regarding the temperature fields, on which we concentrate in this work, predictions with both types of models do not show large differences. In general, predictions agree well with the measurements ; the existing differences are usually favorable for the second order model. The effect of solving a transport equation for the scalar dissipation rate on the prediction of the mechanical to scalar time scale ratio and on the prediction of the scalar fluctuations is studied. The influence of varying the density ratio on parameters such as the axial decay rates of the temperature and velocity and the turbulence intensity are studied. Two definitions of the mixing efficiency are introduced. According to both definitions, the mixing efTiciency decreases with increasing effects of buoyancy.

Mars-cl&: turbulence, axisymmetric Jets, variable density flow, turbulent mixing, turbulence models.

RCsume - Les jets turbulents axisymetriques b temperature fortement e’lev6e sent &die’s num&iquement en utilisant des modiles de turbulence de premier et de second ordre. La comparaison entre les pr6dictions des modiles ne montre pas une grande diffirence pour /es champs scalaires, sur lesquels on se concentre dans ce travail. On &die l’effet de l’utilisation d’une equation de transport pour le taux de dissipation scalaire, au lieu d’une expression alge’brique, sur le calcul du rapport des e’chelles de turbulence thermique et me’canique et sur les fluctuations scalaires. En ge’ne’ral, les calculs sont en bon accord avec les mesures ; /es comparaisons entre les calculs des deux modiles et les mesures sont le plus souvent favorables au modtle du second ordre. L’infiuence de la variation de la masse volumique sur les paramt%res caracte’ristiques des jets tels que les demi-e’paisseurs, le taux de de’croissance axiale de la remperature et de la vitesse et l’intensitt de turbulence est &udie’e. Deux d&initions de l’eficacite’ de melange sont introduites. Dans les deux cas, l’efficaciti de me’lange diminue avec les effets de la flottabilite’.

Keywords: turbulence, jets axisymetriques, effets de masse volumique vanable, melange turbulent, modeles de turbulence.

Nomenclature

II deuxiBme invariant de b,, (-&b,s)

b z D

v

f -,f2

f F

Fr

ga

G

tenseur d’anisotropie coefficients terme de diffusion. . . . . . . . . . . kg.m-’ .se3

coefficient de diffusion. . . . . . . . m2.s-l fraction de melange instantanee

variance de f valeur moyenne de la fraction de melange nombre de Froude acc616ration de la graviti dans la direction i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . m.sP2 terme de production due B la flottabilitb . . . . . . . . . . . . . kg.m-’ se3

k

Ku, Kf

L,Lf

Le

P P

r R, Re

::,ts,

Set T

Bnergie cinbtique de la turbulence taux de d6croissance axiale de la vitesse et de la fraction de melange

m2.sP2

demi4paisseurs de la vitesse et du scalaire......................... nombre de Lewis

m

pression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . N.mP2 terme de production due aux gradients moyens . . . . . . . . . . . . . . . . . . kg.m-’ .sP3 distance radiale . . . . . . . . . . . . . . m rapport des Bchelles de temps nombre de Reynolds nombre de Reynolds turbulent taux de croissance des demi4paisseurs nombre de Schmidt turbulent temperature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . K

232 s

Etude numkrique des jets turbulents a tempkrature elevee

U vitesse axiale instantan6e ....... u vitesse axiale moyennee ......... V vitesse radiale instantanee ...... V vitesse radiale moyennee ........ X distance axiale ..................

Symboles grecs

coefficient de turbulence coefficient #expansion symbole de Kronecker taux de dissipation de l’energie cinetique turbulente. . . . . . . . taux de dissipation scalaire. . . . . . viscosite cinematique . . . . . . . masse volumique . . . . . . . . . . . . . . nombre de Schmidt turbulent variable generalis6e fonction dans le modele de Shih et al 1121 rapport des masses volumiques (= Pa/PA

Zndices

0 sortie du tube a ambiant C axe de symetrie COfl co-courant Dl ,D2 dissipation diff diffusion eff effectif E dissipation f transport scalaire j jet %.Ak indice directionnel Pl, P2 production s diffusion t turbulent

Exposants

$

moyenne de Favre de 4 moyenne de Reynolds de 4 fluctuation de Favre

I fluctuation conventionnelle

m.s-’ m.s-l m.s-l m.s-l

m

1 I INTRODUCTION

Les Bcoulements turbulents ou la masse volumique varie fortement se rencontrent dans differentes applications industrielles, liees a l’energeti- que et a la propulsion. La variation de la masse volumique peut Qtre provoquee soit par les &arts de temperature ou les reactions chimiques au sein de l’ecoulement, soit par le melange de plusieurs Bcou- lements de compositions differentes. La complexite de ces Bcoulements provient du fort couplage entre les champs dynamique et scalaire. Dans la presente etude, les jets turbulents libres axisymetriques a masse volumique variable sont Studies en utilisant les modeles de turbulence de premier et de second ordre. 11 existe en effet un fort inter& dans

la litterature pour le calcul des jets non confir& h masse volumique variable avec des modeles de turbulence du premier ou du second ordre 11 et 21. Cependant, les differences observees sur les resultats en utilisant ces differents modeles n’ont pas et6 analysees systematiquement. Une telle etude est un des objectifs de ce travail. 11 en est de meme pour les modeles proposes pour le taux de dissipation scalaire qui permettent de calculer le rapport entre les Bchelles de temps du champ dynamique et celles du champ scalaire. Le taux de dissipation scalaire intervient aussi dans les modeles de combustion turbulente. Dans le modele de flamme- lettes, par exemple, ce parametre d&it l’etat hors Bquilibre de la chimie. 11 est done un parametre t&s important pour la modelisation des emissions des oxydes d’azote dans les flammes de diffusion 131. Nous Btudions par ailleurs l’interaction entre la variation de la masse volumique et les effets de la flottabilite.

Dans la plupart des applications des jets turbulents, le but est d’obtenir un bon melange entre le jet principal et l’environnement. En consequence, il est important de disposer dune bonne indication de l’efficacite de melange en fonction des parametres comme la vitesse dejection du jet, le rapport des masses volumiques, w = pa/pj, et l’influence de la flottabilite. Dans ce sens nous proposons et analy- sons dans cette etude deux definitions de l’efficacite de melange.

2 m EQUATIONS DE CONSERVATION

Les equations instantanees qui gouvernent un jet turbulent axisymetrique libre vertical ascendant sont moyennees en utilisant la moyenne de Favre definie par :

-

(j&g P

Dans la suite, toutes les variables indiquees par une majuscule representent une moyenne de Favre et (“) des fluctuations. (3) indique une moyenne de Reynolds prise sur le temps. En appliquant les hypotheses de couche limite, on obtient les equations de conservation suivantes :

- l’equation de continuite, qui est d&rite par :

(2)

- l’equation de quantite de mouvement dans la direction axiale, en supposant que le champ de gravite est parallele a la direction axiale :

+pgx + Dif.MoZ. (3)

oh gx est l’acceleration de la gravite, et Dif.Mol. designe le terme de diffusion moleculaire ; en

233 s

H Sanders, B Sarh, I CGkalp

considerant $$ M Pagz, le terme de flottabilite peut s’ecrire -(pa - p)gz ;

- l’equation de la conservation d’energie :

Si, au lieu de chatier le jet pour obtenir une variation de la masse volumique, on &udie un melange de jets de masses molaires differentes, on peut remplacer l’etude sur la temperature par celle de la fraction de melange f (la fraction de melange &ant la fraction massique du fluide du jet). En effet dans le cas de deux esp&ces, l’equation d&at p = pM/RT, oti M-l = C$_‘=, Yi/Mi, Yl = f

etY2=1-f,donne $=E+H.Danslecas h pa

d’un jet chauffe, f = g + y ou la tempera-

ture adimensionnee est F = @. La relation (L 1-F =- P ir;+

9 n’est valide que si l’inverse de la

masse volumique instantanee p-l est une fonction lineaire de la fraction massique f ; on peut done &x-ire p = p(F). Dans le cas dune flamme, cette demarche n’est pas correcte, et l’on devrait utiliser une fonction de probabilite pour la fraction de melange alin de calculer les moyennes des variables thermochimiques [41.

2.1. MODULE DE TURBULENCE DU SECOND ORDRE

Les equations de bilan des tensions de Reynolds u%l , 7_?Gi, u?Q et GG sont :

&($J~u%) =Pij+Gij+Dij

ou l’hypothese de l’isotropie pour les petite Bchelles

est retenue. Pij, Gij, Dij et p’ ( 2 + 2) sont

respectivement les termes de production due aux gradients moyens, de production due a la gravite (c’est-a-dire la correlation entre la fluctuation de la vitesse et le gradient de la pression), de diffusion et de pression-deformation. Le modele pour les termes Dij et la pression-deformation est base sur le travail de Launder et al [53 ; voir aussi la reference [6]. Les termes model&% sont donnes dans le tableau I.

Les equations des flux scalaires sont donnees par Schiestel[71 :

“(@Jkup) =Pi+Gi+Di+z dxk

(6) z

avec la production due aux gradients moyens, dr%nie par :

(7)

et la production due a la flottabilik, qui est la correlation entre la fluctuation du scalaire et le gradient de la pression, definie par :

Gi = -~~~gi~ (8)

Dans les termes de flottabilite, q est model&e -

par IL: = -p’uy/i? = -&fNu~/-p. Le terme de diffusion est mod&e en utilisant la relation :

Di = Q& (+@?@) (9)

La correlation pression - gradient du scalaire est modelisee, en suivant Schiestel[71, comme :

pi = 41+ 42 + 43 ’ (10)

Le terme de retour a l’isotropie est :

$i,l = --ClfPiUF - CifPibikUkf -ir-h (11)

ou bik est le tenseur de I’anisotropie. Le terme rapide [71 est :

Le terme de flottabilite est :

4i,3 = -CsfGi = C3~P&gifT2 (13)

Les fluctuations scalaires F sont d&rites par :

La production des fluctuations scalaires est

don&e par P’;Tz = -2@@” g. Le taux de dissi-

pation scab& cf est modelise en supposant que les Bchelles de vitesse et scalaires sont proportionnelles avec un rapport de 2 [81:

(15)

ou en utilisant l’equation de transport :

& @k”r> = DEf ++&P- fll2 f”=

2

+ Cp2 YPk - C&$ - CD2jiy (16) f

oti DEf est le terme de diffusion qui est modelise

comme le transport turbulent de I@’ avec l’equation (9) et ou la production de l’energie cinki-

Tit au. que turbulente est Pk = ---pi. uk &. Les r&ul- tats de quelques modeles de la littkrature 19

234 s

Etude numkrique des jets turbulents a temperature rYev6e

TABLEAU I / TABLE I

Termes source pour le mod&e du second ordre duns /‘equation ge’n&ale (17). Le coefficient de diffusion turbulente D est c&ff 3 VT’.

Pour toutes /es tensions de Reynolds cdiff = C,, pour les flux scalaires et /a variance scahire c&ff = c,f, et pour le tuux de dissipation scalaire c&ff = C,,,

Source terms for the second order model in the general equation (17).

The diffusion coefficient D is c&ff $uy ‘I ‘I. For ail Reynolds stresses C&ff = C,, for the scalar fluxes and the scalar variance c&ff = csf, and for the scalar dissipation c&ff = C,,,

Variable 1 %

& 131 pour le taux de dissipation scalaire seront compar& dans ce travail. Les coefficients dans ces modkles sont donn6s dans le tableau 11. Seuls les modeles de Chen [91 et de Sanders et Giikalp [133 ont les mdmes 6chelles de temps devant tous les termes de production et de dissipation, A part des diffbrences dans les coefficients. Le mod&le de Chen est base sur le travail de Jones et Musonge [ill, qui utilisent une 6chelle de temps dynamique E/IE pour le terme de production d6 aux gradients scalaires. Le modLtle de Mantel et Borghi [lo] utilise la mi5me Bchelle de temps pour ce terme, mais il est base sur d’autres consid&ations, voir par exemple les termes proportionnels B la racine carr6e du nombre de Reynolds turbulent dans le tableau II. Enfin, le mod6le de Shih et al [121 est base sur l’approche de Lumley 1141.

L’Bquation g&&ale parabolique cylindrique s’Bcrit alors de la faGon suivante :

1 d = -- r f%

( -) @z)$ +s4 (17)

Les termes sources Sd sont donn6s dans le

tableau I, oti P = -p~??~ $$! et G = -~,&~z~~. La diffusion mol6culaire est prise en compte dans les Equations de U et F. Les constantes utilisbes sont donn6es dans le tableau III.

2.2. MODULE DU PREMIER ORDRE (k - &)

Dans le mod&le Ic - E El51 les tensions de Reynolds sont mod6lis6es en utilisant le gradient de vitesse moyenne :

(18)

avec k2

ut = cc”7 (19)

235 s


TABLEAU II / TABLE II Coefficients dans /‘equation de taux de dissipation scalaire (16) suivant differents auteurs.

Les termes dans /‘equation de Shih et al 1121 sont trop longs pour &tre reproduits ici ; R, = (k/~)/(f~/cf)

est le rapport des khelles de temps et R T,e est sa valeur d’iquilibre (1‘6).

La solution alge’brique de [13] est ef = rjfxfi Coefficients in the scalar dissipation equation (16) according to various authors.

TABLEAU Ill /TABLE Ill

Constantes duns les modiles du second ordre. Les valeurs pour la turbulence dynamique dans RSM I proviennent de /a 1261. Pour RSM II, /a valeur de Cl a ete’ modifiee pour que /es jets

axisymetriques soient calcules correctement. Les valeurs pour /a turbulence scalaire sont issues de [27] (voir [7]). Constants in the second order models. The values for the dynamic turbulence are taken from [261.

For RSM II the value of Cl is modified in order to obtain correct predictions for axisymmetric jets

The values for the scalar turbulence are given by [27] (see [7])

Model Cl a C3 C, CE,l Cc,1 CE,s Clf c;, C3f C sf

RSM I 1,8 0,6 0,5 0,22 1,44 1,92 0,18 4,7 -4,4 0,33 0,22 RSM II 2,3 0,6 0,5 0,22 1,45 1,90 0,18 5,7 -6,l 0,33 0,22

Le flux scalaire dans l’equation (4) est approxime avec l’hypothese de transport par le gradient :

s-3 - vt dF Uif _---

Of dXi (20)

oii un nombre de Schmidt of est utilise. Ce nombre est constant, suite a l’hypothese d’egalite entre les dchelles mecanique et scalaire ; ce qui aboutit & 1’6quation (15). Si l’on resoud une equation de transport pour le taux de dissipation scalaire cf, le nombre de Schmidt nest plus 6x6 [161. La nroduction due a la flottabilite devient G =

Dans le tableau IV, P-;;, est Bgal a 2i1g g f

et le taux de dissipation scalaire est modelise en utilisant Yequation (15). Les constantes utilisees dans ce travail sont donnees dans le tableau V [15] pour les deux versions du modele k - E.

3 I MtTHODE NUMeRIQUE

Les equations sont resolues par une methode parabolique explicite dans la direction de l’ecoulement. L’equation de continuite est utilisee pour

TABLEAU IV / TABLE IV

Termes source dans /‘equation genera/e (17) pour le modele k - E. Le coefficient de diffusion

turbulente V est V = $!$ avec vt = C, $

Source terms in the general equation (17) for the k -E model.

The turbulent diffusion coefficient ‘D

is V = -$ with vt = C,, $

Variable

k & -72 f

%

P+G-7~ 2 [C,,l (P + G) - G,2i4

P- f”2 - P&f

obtenir la vitesse radiale. Les conditions initiales correspondent a un Bcoulement turbulent de tube. La valeur de F est Bgale a 1 dans le tube et 0 ailleurs et sa variance est 0 pour toutes les conditions limites. Aux limites radiales, toutes les valeurs correspondent a celles de l’ambiance. Un Bcoulement co-courant de O,Olm.s-l, et a variance 0, est impose pour stabiliser les calculs. La solution loin de la sortie n’est pas influencee par les conditions initiales.

Le maillage s’etend radialement afin de te- nir compte de l’epanouissement du jet dans cette

236 s

Etude numerique des jets turbulents a temperature klevee

TABLEAU VI / TABLE VI Valeurs asymptotiques des e’volutions axiales concernant /a fraction de me’lange,

calcukes et mesure’es pour des jets axisymktriques Asymptotic values of the axial evolution of the mixture fraction, predicted and measured for axisymmetric jets

k-&I 0,121 0,146 0,205 0,249 0,34 0,25 0,29 0,27

k-&II 0,098 0,119 0,166 0,200 0,33 0,24 0326 0,27 I I I I I I 1 I I -

est adaptie pour Constants for the classlca

direction. Cette demarche est differente de celle pro- poke initialement par Patankar et Spalding [17], oti une transformation du maillage dans la direction radiale est utilisee. Nous avons utilise 60 mailles dans la direction radiale et un pas dans la direction axiale est Bgal a 0,Ol fois la demidpaisseur LU du jet, ce qui est suffisant pour obtenir une solution independante du maillage. Les calculs sont effectues jusqu’a une distance axiale de 300 D, qui est une distance beaucoup plus importante que ce qui est r&disable avec des codes elliptiques qui necessiteraient un nombre de mailles trop grand dans la direction axiale. Les mailles dans la direction radiale deviennent plus &endues quand la distance axiale augmente, mais en meme temps les gradients deviennent moins importants. La preci- sion n’est done pas influencee.

4 I RkSULTATS

4.1. COMPARAISON R~SULTATS DE CALCUL- DONNiES EXPtiRIMENTALES

Le tableau VI donne la comparaison entre les calculs et les mesures des parametres carac-

_I

teristiques comme les taux de croissance des demi-

epaisseurs (SU = $$ et Sf = $$I, les taux de decroissance axiale de la vitesse et de la fraction de melange (KU et Kf dans lJco/Uc = K,x/D et

1/Fc = Kfx/D), et les intensites de turbulence. Les valeurs experimentales likes aux champs dyna- miques sont donnees pour le cas w = 1. Pour les champs scalaires, les mesures de Richards et Pitts [18] sont independantes de w (pour Kf, cela est vrai en utilisant un diametre effectif, voir ci-apres!s), ce qui est en bon accord avec les calculs. Le modele RSM I est un modele classique qui surestime la demi-epaisseur d’un jet axisymetrique, alors que dans le modele RSM II, le coefficient Cl a et6 adapt6 pour calculer correctement l’evasement du jet [6]. Eaccord entre le modkle RSM II et les mesures est tres bon. Le modele k - E II donne des resultats satisfaisants, mais l’anisotropie nest pas bien calculee.

Les decroissances axiales de la vitesse et de la fraction de melange augmentent quand w augmente (fig I). Cela est du a la conservation de la quantite de mouvement : quand w > 1, la masse volumique augmente en fonction de la distance axiale et par consequent la vitesse diminue plus rapidement qu’avec w = 1. Si l’on normalise la distance axiale avec un diametre effectif Deff = Dp,/pj 1191 au lieu du diametre reel (D), les decroissances de la vitesse et de la fraction de melange pour differentes valeurs de w sont les memes (voir fig 2). Cette demarche n’est juste que dans la region de l’ecoulement oti il n’y a pas d’effet de flottabilite parce que la normalisation est bake sur l’idee que le jet chaud est equivalent a un jet froid avec la m&me quantite de mouvement qui sort d’un tube avec un diametre Deff. On observe sur la figure 2 que le concept de diametre effectif n’est pas efficace lorsque les effets de gravite sont importants.

Les profils radiaux sont independants de w si la variable est normalisee par sa valeur sur l’axe de symetrie. 11 n’est pas necessaire de normali- ser la distance radiale par la demi-bpaisseur car la

237 s

H Sanders, B Sarh, I Cijkalp

400

- w-l

300

t

_____-. o_, (J

t /- c

----- 3 200- o-10; avec g

5

100 - -

0 0 60 100 160 200 260 300

Fig 1. Inverse de la tempe’rature normalisie en fonction de x/D pour w = 1, w = 10 suns flotta&iW

et w = 10 avec flottabilite’ Fig 1. Inverse of the normalized temperature vs x/D for w = 1, w = 10 without gravit effects and w = 10 with

gravity e fects Y

900

+

3 200

5

100

0 0 200 400 000 800 1000

Fig 2. Inverse de la temperature normalise’e en fonction de x/D,ff pour w = 1, w = 10 suns fVottabilit6 et w = 10

avec flottabilite’ Fig 2. Inverse of the normalized temperature vs x/D,ff

for w = 1, w = 10 without gravity effects and w = 10 with gravity effects

RSM II

----- k-E 11

0.09 +

% II.

0.02

0.01

0.00 ._ 0 10 20 30 40 00

RID

Fig 3. Profil de /a fraction de melange F ou ? en fonction de la distance radiale. La courbe gaussienne

esr donnie par Richards et Pitts (RP) [I 81

Fig 3. Ra Id ial profile of the mixture fraction F or ?. The gaussial n curve is given by Richards and Pitts (RP) [18]

0.010

0.008

9 t 0.006

10

a Y 0.004 7

0.002

O.OOQ

x/D-l 50 .

--- JOMS

Chon

--- Mmtd

-..- Shlh

0 10 20 30 40 50

Fig 4. Profil de la variance de la fraction de me’lange

en fonction de /a distance radiale.

Donne’es expe’rimentale de Richards et Pitts (RP) [I 81. Calculs avec le modtile classique, et /es modtiles de

Sanders et Gijkalp [13], Jones et Musonge [I 11, Chen 191, Mantel et Borghi [IO] et Shih et al [I 21

Fig 4. Radial profile of the mixture fraction variance

. Experimental data of Richards and Pitts (RP) [18]. Calculations with the classical model, and the models of Sanders and Cejkalp [13], Jones and Muson e [l 11, Chen [9], Mantel and Borghi [lo] and Shih et al [?2]

plupart des mesures, mais aussi les calculs, ne montrent pas d’influence de w sur la demi&paisseur. Cela n’est valable B nouveau que dans lea cas oti la flottabiliti n’est pas importante. Les profils radiaux de la fraction massique, calcul& par k - E II et RSM II sont en bon accord avec les mesures (voir fig 3). La variance scalaire, calcul6e par k - E II (relation alghbrique pour .zf) et par RSM II avec la relation algbbrique et les diffkentes Equations de transport pour Ef, montre la m6me allure pour tous lea modkles (fig 4). Les mod&lea alghbriques sont done satisfaisants quant aux calculs de la variance scalaire.

4.2. TAUX DE DISSIPATION SCALAIRE ET RAPPORT DES ECHELLES M~CANIQUE ET SCALAIRE

Le rapport entre lea 6chelles mkanique et sca-

laire & = $z peut 6tre calcul6 si l’on r6soud

une Equation pour le taux de dissipation scalaire. Dans ce travail, cette approche est utilis6e

238 s

Etude numkrique des jets turbulents i temperature Clev6e

pour lea calculs avec le modele de second ordre. Pour le cas des calculs avec le modele du premier ordre, la relation (15) est utilisee. Le calcul du taux de dissipation scalaire a une influence sur

le niveau des fluctuations scalaires F, mais pas sur le comportement de sa valeur moyenne. La

figure 5 montre les calculs de $_ F sur l’axe de

sym&rie d’un jet de methane debouchant dans de l’air (w = 0,64) avec les modeles k - E II et RSM II en utilisant les differentes equations pour of. On observe que les &arts entre les modeles deviennent moins importants loin de la sortie, et que les modeles algebriques donnent des resultats satisfaisants. Les profils dans la direction radiale (fig 4) montrent la m&me evolution.

0.20

- Alp. OIUSIC

0.16

N i 5

0.10

0.05

0.00

- - Shlh

A Exp. mch

0 25 60 75 100

XIII

Fig 5. Profilaxialde @ou @.

Donne’es expe’rimentale de Birch et al [281

Fig 5. Axial profile of @ or fl. Experimental data of Birch et al [28]

Les calculs du rapport des Bchelles ItT (fig 6), montrent un &art important entre les differentes modelisations de cf. Le modele algebrique de Sanders et G&alp 1131, ou l’on ne suppose pas la proportion&e des echelles mecaniques et scalaires, montre une decroissance en fonction de RID, alors que les autres modeles montrent une decroissance leg&e suivie dune croissance. Les mesures de Sarh 1201, effectuees dans un jet rectangulaire chauffe, montrent une allure radiale decroissante.

4.3. EFFETS DE FLOITABILIT~

Les demi-epaisseurs pour les jets chauffes debouchant dans une ambiance froide sont plus petites avec flottabilite que sans flottabilite (jig 7). La force de portance a pour effet d’augmenter la quantite de mouvement en fonction de la distance axiale. Ainsi la vitosse decroit moins rapidement en fonction de la distance axiale par rapport au cas sans flottabilitk En revanche, la decroissance axiale de

0 10 20 30 40 50 60

RID

Fig 6. Profil radial du rapport R = -$k+ calcuk avec

les modiles indiquk sur la kgende de la figure 5

Fig 6. Radial profile of the time scale ratio R = 3,

calculated with the models indicated in the caption of figure 5

50

40

30

e i

20

10

0 0 50 100 160 200 250 300

X/D

Fig 7. Demi-ipaisseur de la fraction de mClange en fonction de X/D pour w = 1, w = 10 sans flottabilit6

et w = 10 avec flottabilite’ Fig 7. Mixture fraction halfwidths as a function of x/D

for w = 1, w = 10 without gravity effects and w = 10 with gravity effects

la temperature est plus rapide par rapport au cas sans flottabilite (fig l), ce qui pourrait s’expliquer par la conservation du flux axial du scalaire.

4.4. EFFICACIT~ DE MELANGE

11 n’existe pas de parametre unique pour mesurer l’efficacitk! de melange. Dans les applications de la combustion, par exemple, la stoechiometrie et la richesse globale sont utilisees pour d&nir une efficaciti de melange 1211. Pour estimer l’efficacitk de melange dans des Bcoulements libres de type jet, on utilise dans la litterature les parametres comme la demidpaisseur, la decroissance axiale -- du scalaire et les rapports vrt2 /un2 ou 2r??‘/~??

239 5


5 I--

! o-10 sans gravit6 4 __-_-___- o-l 0 avec gravit6

2: I/ ---._ I -.._ 2 -I_

--__ --__

--__ ----____

--__ l-

o’ I

0 100 200 300

x/D

Fig 8. hhgrale II normalise’e par rapport au cas w = 1 pour w = 10 sans flottabilite et w = 10

avec fiottabilite’ Fig 8. Integral 11, normalised with respect to the case w = 1 for w = 10 without gravity effects and w = 10

with gravity effects

[22 et 231. Ces parametres ne representent cependant que le comportement local de la variable en question. De plus, comme precedemment indique, les effets de flottabilite sur la decroissance axiale du scalaire et sa demi-epaisseur sont opposes (voir fig 7 et 1, respectivement). Ces ob- servations indiquent qu’il serait utile de disposer dune definition coherente de l’efficacite de melange. Dans ce travail, on se propose d’etudier deux definitions de l’efficacite de melange : l’evolution

de l’integrale I1 = -& s 00

$?rdA et l’integrale 0

dA, avec dA = rdr pour

les jets axisym&riq~es. La premiere integrale peut &tre consideree comme l’efficacite de melange dans le sens oti c’est une mesure de la quantite de cha- leur issue du jet qui se trouve loin de l’axe de symetrie. Dans cette integrale, la valeur du scalaire est pond&e par la distance de l’axe du jet. Cette definition ressemble 21 la definition etablie par Ro- gers et al [241 pour les chambres de combustion supersoniques et oti la stoechiometrie intervient. Cependant, la definition 11 ne tient pas compte de la possibilite que des parties du fluide soient ejectees vers les bords du jet sans etre melangees. Ce phenomene eat pris en compte dans la deuxieme definition. Le sens physique de celle-ci est plus fa- cile a comprendre si l’on remplace T^ par F car le -_ - -

f II2 paramktre F(l _ F) - _

~ll2

T(l - T^) est une mesure

- de segregation : si fl12 est grande, le fluide n’est pas bien melange et si F = 1 ou F = 0, il s’agit d’un gaz pur. On peut done considerer l’inverse de la mesure de segregation comme un parametre qui quantifie l’efficacite de melange.

Les integrales 11 et 12 augmentent quand w augmente. L’efficacite de melange definie par

l’integrale I1 est montree sur la figure 8, oti I1 pour les cas w = 10 avec et sans flottabilite est normalisee par ses valeurs pour w = 1. On observe sur cette figure qu’en s’eloignant de la sortie, les effets de flottabilite deviennent importants et l’efficacite de melange diminue par rapport au cas sans flottabilite. L’efficacite de melange definie par l’integrale 12 montre la m&me evolution.

En general, les effets de flottabilite engendrent des instabilites de type Rayleigh-Taylor, qui donnent lieu a une generation de fluctuations (turbu-

lence). En effet, la correlation u;l?;/l eat beaucoup plus grande en presence de flottabilite, d’apres les mesures de Panchapakesan et Lumley [251 et les calculs de second ordre [61. Ces calculs ont montre que cette augmentation est due a la production de la turbulence induite par la flottabilite. Mais cette correlation n’a aucune influence sur l’efficacite de melange parce qu’elle n’intervient pas dans l’equa-

tion de v??. En revanche, l’intensite des fluctua-

tions scalaires sur l’axe de symetrie J- p/Fe est beaucoup plus importante dans le cas avec flottabilite [61, ce qui est en accord avec la conclusion dune diminution de l’efficacite du melange due a la flottabilite.

5 I CONCLUSIONS

Le calcul des effets de la variation de la masse volumique dans un jet turbulent peut 6tre effect& en utilisant, soit un monogaz a gradients de temperature, soit un melange de gaz isothermes. Les resultats des calculs avec les modeles de turbulence adapt& au cas d’un jet axisymetrique sont en general en bon accord avec les mesures de la litterature. On n’observe pas de grandes differences entre les champs de la vitesse et de la fraction massique moyennes calcules par les modeles de premier ordre et de second ordre. Cependant, il existe une anisotropie dans les fluctuations de vitesses qui ne peut etre calculee que par le modele de second ordre [61. Quant aux flux scalaires, le modele k - E est suffisant pour calculer les jets sans effets de flottabilitk En revanche, si ces effets sont importants, un modele de second ordre est necessaire.

La resolution dune equation de transport pour le taux de dissipation scalaire a permis de calculer le rapport entre les Bchelles de temps des champs mecanique et scalaire. Loin de la sortie du jet, ce rapport est independant de la distance axiale d’apres tous les mod&lea, et sa valeur est voisine de la valeur exp&imentale. Le rapport calcule est a peu p&s constant p&s de l’axe du jet, alors que pour les distances radiales plus grandes on observe une evolution differente selon les modeles. Quant h la variance scalaire, tous les modbles

240 s

Etude numhique des jets turbulents ti temperature klevee

pour le taux de dissipation scalaire donnent des rksultats corrects ; un modhle alghbrique est done suffisant. Une Equation de transport pour le taux de la dissipation scalaire est certainement p&f&able par rapport B un modkle algbbrique pour calculer les Bcoulements plus complexes qu’un jet libre. 11 n’est 6galement pas &dent qu’un rapport fixe soit une bonne approximation dans des jets rhactifs, tels que des flammes de diffusion.

Pour mesurer l’efficacith de melange, les dew definitions qui ont Btk propos6es montrent que l’efficaciti de melange augmente avec w. Loin de la sortie, selon ces d&initions, l’effet de la flottabilitb est de diminuer l’efficacitk du mklange.

RkFkRENCES

[l] P Chassaing, C Harran, L Joly (1994) Density fluctuation correlations in free turbulent binary mixing. J Fluid Mech 279, 239-278

[2] E Ruffin, E Schiestel, F Anselmet, M Amielh, L Fulachier (1994) Investigation of characteristic scales in variable density turbulent jets using a second-order model. Phys Fluids 6, 2785-2799

131 JPH Sanders, J-Y Chen, I Cdkalp (1996) Flame/et bused modeling of NO formation in turbulent hydrogen jet diffusion flames. Soumis

[4] JPH Sanders, APCC Lamers (1994) Modeling and calculation of turbulent lifted diffusion flames. Combustion and Flame 96, 22-33

[5] BE Launder, GJ Reece, W Rodi (1975) Progress in the development of a Reynolds-stress turbulence closure. J. Fluid Mech 68, 537-566

[6] JPH Sanders, 8 Sarh, I Cakalp (1996) Variable density effects in axisymmetric isothermal turbulent jets. A comparison between a first and a second-order turbulence model. Int J Heat Mass Transfer, A paraitre

[7] R Schiestel (1993) Mod&&on et simulation des e’coulements turbulents. HermGs, Paris

[8] C Beguier, I Dekeyser, BE Launder (1978) Ratio of scalar and velocity dissipation time scales in shear flow turbulence, Phys Nuids 2 1, 307-310

[9] JY Chen (1987) Second-order conditional modeling of turbulent nonpremixed flames with a composite PDF. Combustion and Flame 69, 1-36

[lo] Th Mantel, R Borghi (1994) A new model of turbulent wrinkled flame propagation based on a scalar dissipation equation. Combustion and Flame 96, 443- 457

[l 11 WP Jones, P Musonge (1988) Closure of the Reynolds stress and scalar flux equations. Phys Fluids 31, 3589-3604

1121 TH Shih, J Janicka, JL Lumley (1987) Second-order modelling of a variable-density mixing layer. J Fluid Mech 180, 93-l 16

[13] JPH Sanders, I Gijkalp (1996) Scalar dissipation in turbulent axisymmetric jets and diffusion flames. Actes du ‘Turbulent Heat Transfer, an International Conference’, 1 O-l 5 mars, San Diego, USA

141 JL Lumley (1978) Computational modeling of turbulent flows. Adv Appl Mech 18, 123-l 75.

1’

[15] BE Launder, DB Spalding (1974) The numerical computation of turbulent flow. Comp Meth Appl Mech Eng 3, 269-289

[16] JPH Sanders, APCC Lamers (1992) Scalar transport in a turbulent jet. Int Comm in Heat and Mass Transfer 19, 851-858

[17] SV Patankar, DB Spalding (1970) Heat and muss transfer in boundary layers. Intertext, London

[18] CD Richards, WM Pitts (1993) Global density effects on the self-preservation of turbulent free jets. J Fluid Mech 254, 417-435

[19] CJ Chen, W Rodi (1980) Vertical turbulent buoyant jets, a review of experimental data. Pergamon Press, Oxford

[20] 8 Sarh (1990) Contribution ti I’e’tude des jets turbulents b masse volumique variable et des flammes turbulentes de diffusion. PhD thesis, Universitk Pierre et Marie Curie, Paris 6, 1990.

[21] ET Curran, WH Heiser, DT Pratt (1996) Fluid phenomena in scramjet combustion systems. Ann Rev Fluid Mech 28, 323-360

[22] J Murlis, HM Tsai, P Bradshaw (1982) The structure of turbulent jets at low Reynolds number. J Fluid Mech 122, 13-50

[23] LW8 Browne, RA Antonia, AJ Chambers (1984) The interaction region of a turbulent plane jet. J Fluid Mech 149, 355-373

[24] RC Rogers, EH Weidner, RD Bittner (1994) Quantifica- tion of scramjet mixing in the hypervelocityflow of a pulse facility. A/AA paper 94-25 18

[25] NR Panchapakesan, JL Lumley (1993) Turbulence measurements in axisymmetric jets of air and helium. Part 2. Helium jet. J Fluid Mech 246, 225-247

[26] A EL Baz, TJ Craft, NZ Ince, BE Launder (1993) On the adequacy of the thin-shear-flow equations for computing turbulent jets in stagnant surroundings. Int J Heat and Nuid Flow 14, 165-l 69

[27] MM Gibson, BE Launder (1978) Ground effects on pressure fluctuations in the atmospheric boundary layer. J Fluid Mech 86, 491-51 1

[28] AD Birch, DR Brown, MC Dodson, JR Thomas (1978) The turbulent concentration field of a methane jet. J Fluid Mech 88, 43 l-449

[29] NR Panchapakesan, JL Lumley (1993) Turbulence measurements in axisymmetric jets of air and helium. Part 1. Air jet. J Fluid Mech 246, 197-223

[30] HJ Hussein, SJ Capp, WK George (1994) Velocity measurements in a high-Reynolds-number, momentum- conserving, axisymmetric, turbulent jet. J Fluid Mech 258, 31-75

241 s

H Sanders, B Sarh, I Ciikalp

ABRIDGED ENGLISH VERSION

Numerical prediction of the structure of high temperature axisymmetric turbulent jets

Variable density turbulent jets are important in many applications related to combustion and propulsion. In these flows mixing is often the limi- ting factor of the combustion process, and therefore mixing efficiency is important. The turbulent mixing process can be simulated by solving the Favre avera- ged Navier-Stokes equations, coupled with a turbulence model. In the present study the mixing process of heated turbulent jets with their environment is studied using first and second order turbulence models. These models are compared with each other and with experiments.

It is found that there are no large differences between the predictions of first and second order models, although the differences that exist are usually favourable for the second order model when compared to experiments.

The scalar dissipation rate signifies the destruc- tion rate of scalar fluctuations. Often, an algebraic

relationship, based on proportionality of mechanical and scalar turbulence time scales leading to a constant time scale ratio, is used. In the present work, results of computations using this assump- tion are compared with computations in which a transport equation for this variable is solved. Seve- ral model equations are investigated, and it is found that the algebraic relationship gives in general sa- tisfactory results.

To quantify mixing efficiency in turbulent jet type of flows, a number of parameters that are often associated with mixing efliciency are investigated. It is found that they lead to contradictory results when buoyancy is important. 27~0 new definitions are introduced, which both give the same trends in eases with and without buoyancy. Without buoyancy effects, decreasing the density ratio w leads to more efJicient mixing, while buoyancy effects decrease the mixing efficiency according to these two definitions.

242 s

Documents

Etude numérique des jets turbulents à température élevée